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TI de Matemática A – Resolução – Versão 2 • Página C/1/ 5

RESOLUÇÃO

GRUPO I

1. Resposta (A)

Tem-se: 1a a2161

31

,+ + = =

2. Resposta (A)

O número de casos favoráveis é C15 2 (número de maneiras de escolher duas bolas de entre 15).

O número de casos possíveis é 3 , , , ,1 6 2 5 3 4ea k# # #- - -

Portanto, a probabilidade pedida é C3

351

152=

3. Resposta (C)

Na opção C, tem-se: g f

g f

4 4 4 16 9 7

1 1 1 1 3 2

2

2

− = − − − = − =

= − = − = −

_ _ _

_ _

i i i

i i

Como g g4 1e-_ _i i têm sinais contrários, e como g é contínua no intervalo ,4 1-7 A, o teorema de Bolzano

permite garantir a existência de pelo menos um zero de g no intervalo ,4 1- 7A

Em cada uma das restantes opções, g g4 1e-_ _i i têm o mesmo sinal.

Teste Intermédio

Matemática A

Versão 2

Duração do Teste: 90 minutos | 26.05.2011

12.º Ano de Escolaridade

Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março

Teste Intermédio de Matemática A

Versão 2


4. Resposta (B)

Da observação do gráfico, conclui-se que a função f é estritamente decrescente. Portanto, f l é sempre negativa.

Como o gráfico tem a concavidade voltada para cima, conclui-se que f ll é sempre positiva.

5. Resposta (D)

Seja z o número complexo cuja imagem geométrica é o ponto B

Como os pontos A e B estão igualmente distanciados da origem do referencial, tem-se

| | | |z i6 8 6 8 102 2= + = + =

Como o arco BC tem 9p de amplitude , tem-se que um argumento de z é

23

9 1825p p p− =

Portanto, cisz 101825p=

GRUPO II

1. Como 1 é um zero do polinómio 9 9z z z− + −3 2 , este polinómio é divisível por 1z -

Efectuando a divisão do polinómio 9 9z z z− + −3 2 por 1z - , utilizando a regra de Ruffini, tem-se:

1 -1 9 -9

1 -1 0 -9

1 -0 9 -0

Portanto, z z z z z z z

z z i z i

9 9 0 1 9 0 1 0 9 0

1 3 3

, , ,

,

0

0 0

− + − = − + = − = + == = = −

3 2 2 2_ _i i

Na figura, está representado o triângulo cujos vértices são as imagens geométricas dos números complexos 1, 3i e -3i

O perímetro deste triângulo é igual a 26 10+


2.1. Tem-se:

( )( )( ) ( )

1 1 , 0

lim lim lim limsen sen sen

f xe x ex

e xx

e xx

y x x y

31

311

3 111

Seja . Como

x x x x1 1 1 1

" "

= +−− = +

−− = +

−−

= −

" " " "

− −

− − − −_ fi p

Tem-se:

3( )

3 3 1 3lim limsen sen

e xx

e yy

e e1

11 1 1 1

x y1 0#+

−− = + = + = +

" "− −

lim limf x x e x ee

fe

3 3 1 3

1 1 3

x x

x

1 1

1= + = + = +

= +

" "

− −+ +

_ a

_

i k

i

Portanto, lim limf x f x f 1x x1 1

= =" "− +

_ _ _i i i

Podemos então concluir que a função f é contínua em x = 1

2.2. Seja m o declive da assimptota, e seja b a sua ordenada na origem.

Tem-se:

0 3 3lim lim limmxf x

xx e x e3 3

x x

x

xx= = + = + = + =

" " "3 3 3+ +

−

+−_

_i

i

0

lim lim lim

lim limlim

b f x x x e x x x e

ex

xe

xe

3 3 3

1 1 1

x xx

xx

x x

x

3

= − = + − = =

= = = =+

=

" " "

" "

"

3 3 3

3 3

3

+ +−

+−

+ +

+

x x x

_a a _i k k i

Portanto, a equação reduzida da assimptota oblíqua do gráfico da função f é y x3=

2.3. Em ,1 3+7 7, tem-se 3xf x

e x= +−_ i

3 3 2 6 2 3 2 3 0e ee

e e e e e e23 1

23 2x x

xx x x x x x, , , ,+ = + + = + + = + − − =− 2 2_ _i i

impossível

9 4 2

ln

e e

e e e x

43 2

43 5

221 2 2

x x

x x x

Equação

, , ,

, , ,

! # !

0

#=

− −=

= = − = =

_ i

S

Como 2 1ln 1 , conclui-se que a equação é impossível em ,1 3+7 7


3.1. Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos.

1.º Processo

senxOQOP

d11= =+

Portanto, 1sensenf xxx

d

dd

d d d

11

111

111 1 1 1#= − =

+

−+ = −

++ = + − =_ d _i n i

2.º Processo

senxOQOP

d11= =+

Tem-se

1 1sen sen sen sensensenx

dd x x d x d

xx d f x

11 1 1, , , ,=+

+ = + = = − =_ _i i

3.2. sensen

sen

sen sen sen sen

sen

cos sen sen cos

sencos sen cos sen cos

sencos

f xxx

x

x x x x

x

x x x x

xx x x x x

xx

1 1 1 12 2

2 2

= − =− − −

=− − −

=

= − − + = −

ll l l

_ d_ _ _ _

i ni i i i

Para qualquer ,x 02

!p ;E , tem-se 0 0cosx f x, logo2 1l_ i , pelo que a função f é decrescente.

Assim, quanto maior é o valor de x, menor é o valor de d

Portanto, a afirmação é verdadeira.


4. Designando por x a abcissa do ponto A , o declive da recta tangente ao gráfico da função f , no ponto A, é igual a f xl_ i

Trata-se, assim, de encontrar o valor de x tal que f x 4=l_ i

1ln ln cossenf x x x x x x4 3 4 3 3 4, ,= + = + + =l l_ _a _i ik i

Na figura, estão representados o gráfico da função f l e a recta de equação y 4= , bem como o ponto de intersecção destas duas linhas. Também se indica a abcissa deste ponto, arredondada às centésimas.

Portanto, a abcissa do ponto A , arredondada às centésimas, é 1,87

5. Tem-se:

| |

| |

|

|

P A B P B A P A P A P B P A B P B A P A

P A P B P A B P B A P B A P A

P A P B P A B P B A P A B

P A P B P B A

1, ,

, ,

, ,

,

, # + #

+ #

+ +

1 1

1

1

1

+ − −

+ − −

+ − −

+

_ _ _ _ _ _ _ __

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _

_ _ _

i i i i i i i ii

i i i i i i

i i i i i

i i i

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