Tema 1: Arbitragem e Lei do Preo nico

Montagem e Otimizao de Carteiras de AtivosIntroduoPreviamente a definio de uma carteira eficiente de investimentos faz-se necessrio entender a definio de risco e o comportamento do investidor em relao a ele (conceito de averso a risco).Define-se risco como a incerteza de resultados futuros, ou a probabilidade de que os resultados futuros difiram do esperado, ou a probabilidade de um resultado adverso. Em termos prticos, este risco mensurado por meio de medidas de variabilidade do retorno esperado, que sero exploradas posteriormente.Pressupe-se que um investidor racional apresente um comportamento de averso ao risco. Ou seja, o investidor espera obter o mximo de retorno incorrendo no mnimo de risco possvel. Neste sentido, s aceitvel incorrer em mais risco, se o investimento tiver maior expectativa de retorno. Portanto, a um dado nvel de risco, a escolha tima o investimento de maior retorno e a um dado nvel de retorno, a escolha tima o investimento de menor risco.Hanry Markowitz, no famoso artigo Portfolio Selection (1952), utilizando-se de resultados da teoria de probabilidades, prope o modelo chamado Mdia-Varincia em que a composio de uma carteira, a fim de obter uma carteira eficiente, seja realizada por meio da avaliao dos retornos e dos riscos. Define-se por carteira eficiente aquela em que a um nvel de retorno ter menor risco que qualquer outra carteira existente e a um nvel de risco ter maior retorno que qualquer outra carteira existente. Portanto, carteira eficiente ser aquela que maximiza a relao retorno/risco ou minimiza a relao risco/retorno.Os pressupostos utilizados so:1. Os investidores consideram cada alternativa de investimento representada por uma distribuio de probabilidades de retornos esperados em um certo prazo de aplicao;2. Eles maximizam a utilidade esperada em um perodo, e suas curvas de utilidade exibem utilidade marginal decrescente da riqueza;3. Eles estimam o risco da carteira com base na variabilidade dos retornos esperados;4. Eles baseiam suas decises apenas no retorno e risco esperados;5. Eles preferem retornos mais altos a um nvel de risco estabelecido e riscos mais baixos a um nvel de retorno estabelecido.Estimao do Retorno e RiscoO retorno de um ativo definido por:

Onde: a expectativa de retorno do ativo ; so todos os possveis retornos que o ativo pode assumir no intervalo de tempo ; a probabilidade do ativo ter o retorno no tempo .O risco de um ativo :

Pelo Teorema 1, em anexo, o retorno de uma carteira com dois ativos e , com pesos e , :

Pelos Teoremas 2 e 3, em anexo, o risco de uma carteira com dois ativos, com pesos e , :

Pelo Teorema 1, em anexo, tem-se que a expectativa de retorno de uma carteira com ativos a soma das expectativas de retorno de cada ativo que compe a carteira ponderada pelo peso de cada ativo. Logo:

Onde: a expectativa de retorno do ativo ; o peso do ativo e .

Pelos Teoremas 2 e 3, em anexo, o risco da carteira com ativos e pesos :

importante salientar que a relevncia destes resultados decorrem do fato de que a expectavia de retorno de uma carteira a mdia dos retornos esperados de cada ativo ponderados por seus respectivos pesos e o risco da carteira composto pelas varincias ponderadas pelos pesos ao quadradro mais um segundo termo (funo das covarincias/correlaes) que reduz a varincia da carteira quando as correlaes entre os ativos . Ainda, possvel maximizar a relao risco e retorno inserindo na carteira ativos que apresentem correlao negativa (vide figura 1), e quo mais prximo de a correlao dos ativos, maior ser a reduo de risco da carteira. Ou seja, quando a correlao positiva e diferente de h reduo de risco, mas em menor intensidade.

Figura 1: Correlao entre ativos

fcil ver na Figura 1 que a combinao de ativos com retornos correlacionados negativamente reduz a variabilidade geral da carteira. A combinao de ativos com retornos correlacionados, mas no de forma perfeita, reduz o risco da carteira, embora no de maneira to eficaz quanto o uso de ativos correlacionados negativamente.Por meio da diversificao (carteira composta por diversos ativos com correlao diferente de +1) proposta por Markowitz (1952), um investidor pode eliminar o risco no sistemtico (diversificvel), mas no o risco sistemtico (no diversificvel), conforme Figura 2. Portanto, sob a hiptese de averso a risco, conclui-se que os investidores no deveriam alocar recursos em um nico ativo.O risco diversificvel ou no sistemtico representa a parte do risco de um ativo associado a causas aleatrias especficas de uma empresa (greves, aes judiciais, decises de agncias reguladoras, perda de um cliente importante, etc.) e que pode ser eliminada com a diversificao da carteira.O risco no diversificvel ou sistemtico representa a parte do risco atribuvel a fatores macroeconmicos de mercado (guerras, inflao, incidentes internacionais, fatores polticos, etc.) que afetam todas as empresas e no pode ser eliminado por meio da diversificao. Ou seja, o risco de mercado, incorrido pelo investidor.H vrios artigos na literatura mostrando o nmero de ativos na carteira necessrios para eliminar o risco no sistemtico ou para mitig-lo em diversos nveis de percentual.

Figura 2: Reduo do risco no sistemtico com a diversificao.

Sob as suposies (ver Teorema 4) de que os retornos dos ativos so gaussianos, independentes e identicamente distribuidos e varincia constante, tem-se os estimadores de mxima verossimilhana do retorno e do risco. Portanto, por meio dos retornos histricos dos ativos obtem-se estimativas dos retornos e riscos de cada ativo que compe a carteira e da carteira. Logo, os estimadores de mxima verossimilhanda do retorno e do risco de uma carteira de dois ativos so:

H muitos trabalhos na literatura que demonstram que os pressupostos apresentados acima no devem ser utilizados, pois muitas sries de retornos no tem distribuio gaussiana, e/ou os retornos no so independentes entre si, e/ou no so homoscedsticos. Em razo disto, h muitas propostas de outros estimadores para o retorno, tais como a mdia geomtrica, mdia mvel simples, media mvel suavizada, entre outros, e outros estimadores para o risco, tais como volatilidade condicional (GARCH), volatilidade estocstica e modelos de espaos de estados no-gaussianos.Fronteira EficienteAs possveis combinaes que os ativos (todos com risco) disponveis aos investidores propiciam a obteno de uma coleo de carteiras timas, aonde esta coleo apresenta a melhor relao risco/retorno. Todas estas carteiras esto contidas na fronteira eficiente, conforme Figura 3.

Figura 3: Fronteira Eficiente somente com ativos de risco

A coleo de carteiras contidas na fronteira eficiente pode ser obtida de vrias maneiras, dentre as quais: 1. Maximizando o retorno esperado sujeito a um limite mximo de risco:

2. Minimizando o risco sujeito a um limite mnimo de retorno:

Onde: o risco mximo desejado para a carteira; o retorno mnimo desejado para a carteira.H diversas outras propostas de otimizao de carteiras na literatura, tais como: carteira que maximiza a razo de Sharpe, carteira que maximiza o retorno geomtrico, carteira igualmente ponderada, modelo de Roy, modelo de Kataoka, modelo de Telser, dentre outros.A fronteira eficiente composta por uma coleo de carteiras timas, logo, um questionamento faz-se necessrio: Qual a melhor carteira para um investidor? Esta resposta esta relacionada com a funo utilidade deste investidor. Um investidor mais conservador esta menos disposto a incorrer em risco, portanto, opta por uma carteira contida na fronteira eficiente que tem uma menor expectativa de retorno. Na contrapartida, um investidor mais agressivo busca uma maior rentabilidade, portanto, opta por uma carteira contida na fronteira eficiente que tem uma maior expectativa de risco. Ambos, condicionada a sua funo utilidade, por estarem na fronteira eficiente, esto maximizando sua relao risco e retorno. Baseado no Teorema da Separao de Tobin (1958), tem-se que todas as carteiras na fronteira eficiente de mdia/varincia podem ser formadas por uma mdia ponderada de duas carteiras quaisquer desta fronteira. Desta forma, possvel ter uma carteira tima para qualquer funo utilidade de um investidor.A incluso de um ativo livre de risco com volatilidade zero e retorno leva a uma nova fronteira eficiente, a Linha do Mercado de Capitais CML (ver Figura 4), que supera toda e qualquer carteira da fronteira eficiente, exceto a carteira de mercado, pois esta tangencia a CML. Seja uma nova carteira constituida por um ativo livre de risco e a carteira de mercado ( o Portflio Tangente), com pesos e . Logo:

Com as relaes de risco e retorno desta nova carteria, pode-se verificar que:

Com este resultado e o Teorema da Separao pode-se obter uma coleo de carteiras eficientes contidas na CML. Ressalta-se que a Carteira de Mercado tambm denominada Portiflio Tangente por ser a carteira que tangencia a fronteira eficiente e a CML. Pode-se observar ainda que a inclinao da CML definida pela razo de Sharpe.

Figura 4: Fronteira Eficiente somente com a insero de ativo livre de risco

Sharpe, Lintner e Mossin (1964) ao desenvolverem o Capital Asset Pricing Model CAPM especificaram as condies de equilbrio no mercado de renda fixa e varivel, dando teoria financeira a indispensvel integrao e generalizao. O modelo definido por:

Onde: a expectativa de retorno da carteira ; o retorno do ativo livre de risco; a expectativa de retorno da carteira de mercado; o coeficiente de inclinao (risco sistemtico); o termo de erro aleatrio.Artigo recentemente publicado avaliou as publicaes dos ltimos 10 anos no Brasil e demonstrou que o IBOVESPA e a taxa do CDI so as proxies mais utilizadas para a carteira de mercado e o ativo livre de risco, respectivamente.O estimador de Mnimos Quadrados Ordinrios de (ver Teorema 4 e 5). Este estimador o mesmo de mxima verossimilhana sob a suposio que os erros so independentes e identicamente distribuidos (distribuio normal) com mdia zero e varincia constante. Ainda, a varincia do erro representa o risco no sistemtico ou diversificvel. Na Figura 5 pode-se observar a a relao entre a Linha de Mercado de Capitais e a Linha do Mercado de Ttulos SML.

Figura 5: Linha de Mercado de Capitais e a Linha do Mercado de Ttulos

A SML segue a mesma interpretao da fronteira eficiente do modelo de Markowitz (1952), ou seja, essa linha contm todas as combinaes possveis de carteiras eficientes, conforme o risco que o investidor est disposto a tolerar. Diferentemente da CML, que apresenta anlise direcionada somente s carteiras, a SML permite a mesma anlise tanto para ativos individuais quanto para carteiras.Resultados Importantes de EstatsticaTeorema 1: Seja e variveis aleatrias e e constantes, ento

Prova.

Por consequncia, se variveis aleatrias e constantes, ento:

Teorema 2: Seja e variveis aleatrias quaisquer e e constantes, ento:

Prova.

Por consequncia, se variveis aleatrias e constantes, ento:

Teorema 3: Seja e variveis aleatrias quaisquer, ento pelas desigualdades de Jensen e Cauchy Schwarz, tem-se que:

Por consequncia:

Generalizando, se variveis aleatrias e constantes, ento:

Teorema 4: Seja e , ento:1. .2. O estimador de mxima verossimilhana do vetor de parmetros :

3. Os estimadores , e so viesados, portanto utiliza-se na prtica:

Teorema 5: Sejam variveis aleatrias independentes com , onde conhecido, , ento , , , , , . Os EMQO / MV de e so:

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