modulo_impresso-métodos quantitativos

MTODOSQUANTITATIVOS

1a Edio - 2009

SOMESBSOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA.

GERVSIO MENESES OLIVEIRAPRESIDENTE

SAMUEL SOARESSUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO

GERMANO TABACOFSUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSO

PEDRO DALTRO GUSMO DA SILVASUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADMICO

FTC EADFACULDADE DE TECNOLOGIA E CINCIAS ENSINO A DISTNCIA

REINALDO DE OLIVEIRA BORBADIRETOR GERAL

MARCELO NERYDIRETOR ACADMICO

JEAN CARLO NERONEDIRETOR DE TECNOLOGIA

ANDR PORTNOIDIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO

RONALDO COSTAGERENTE ACADMICO

JANE FREIREGERENTE DE ENSINO

LUS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSENGERENTE DE SUPORTE TECNOLGICO

ROMULO AUGUSTO MERHYCOORD. DE SOFTWARES E SISTEMAS

OSMANE CHAVESCOORD. DE TELECOMUNICAES E HARDWARE

JOO JACOMELCOORD. DE PRODUO DE MATERIAL DIDTICO

MATERIAL DIDTICOPRODUO ACADMICA PRODUO TCNICA

JANE FREIRE JOO JACOMELGERENTE DE ENSINO COORDENAO

ANA PAULA AMORIM MRCIO MAGNO RIBEIRO DE MELOSUPERVISO REVISO DE TEXTO

CAROLINE FERNANDES PASTANA PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTOCOORDENADOR DE CURSO REVISO DE CONTEDO

ADRIANO PEDREIRA CATTAIJONES GARCIA DA MATA PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO

AUTOR(A) EDIO EM LATEX 2EQUIPE

ANDR PIMENTA, ANTONIO FRANA FILHO, AMANDA RODRIGUES, BRUNO BENN DE LEMOS, CEFAS GOMES, CLUDERFREDERICO FILHO, FRANCISCO FRANA JNIOR, HERMNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, JOHN CASAIS, MRCIO SERAFIM,

MARIUCHA SILVEIRA PONTE ECopyright c 2008 FTC EAD

Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98. proibida a reproduo total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorizao prvia, por escrito, da

FTC EAD - Faculdade de Tecnologia e Cincias - Ensino a distncia.www.ead.ftc.br

Sumrio

Bloco 1: Estatstica Descritiva 9

Tema 1: Tabulao de Dados, Medidas de Tendncia Central e Medidas de Disper-so 9Contedo 1: Distribuio de Frequncias 9

1.1 Introduo Estatstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 Conceitos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Sries Estatsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Tabulao de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Rol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Distribuio de Frequncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Componentes de uma distribuio de frequncias em classes . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2 Agrupamento em Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3 Construo das classes de frequncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Contedo 2: Representao Grfica, Histograma 161.4.4 Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.5 Ogivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.6 Grfico de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.7 Grficos de colunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.8 Grficos de setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.9 Diagrama de Disperso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.10 Grficos Pictricos ou Pictogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.11 Falhas na elaborao de grficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.12 Grfico sucata (chart junk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.13 Ausncia de base relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.14 Eixo vertical comprido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.15 Ausncia do Ponto Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Contedo 3: Medidas de Tendncia Central 211.5 Mdias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1 Mdia Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.3 Clculo da Mdia Aritmtica para Dados Repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.4 Vantagens da Mdia Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.5 Desvantagens da mdia aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.6 Clculo da Mdia Aritmtica de Dados Agrupados em Classes de Frequncia . . . . . . 241.5.7 Mdia Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.8 Mdia harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.1 Calculo da mediana para dados repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.2 Vantagens da Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.3 Desvantagem da Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.4 Mediana para dados agrupados em classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Mtodos Quantitativos 3

1.7 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7.1 Vantagens da moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7.2 Desvantagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Contedo 4: Medidas de Disperso 291.8 Amplitude total (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.9 Desvio mdio (DM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.10 Varincia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11 Desvio Padro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.12 Desvio padro e varincia populacional e amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.13 Coeficiente de disperso relativa (disperso relativa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.14 Medidas de Ordenamento e Posio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.14.1 Quartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.14.2 Decis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.14.3 Percentis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.15 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Tema 2: Probabiidade 34Contedo 1: Equivalncia de Capitais 34

2.1 Contedo 1: Conceito e Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2 Combinao de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 Unio de dois ou mais eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.2 Interseo de dois ou mais eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.3 Complementar de um evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Frequncia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Definio de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Contedo 2: Probabilidade Condicional 38Contedo 3: Teorema da Multiplicao e Teorema da Probabilidade Total 40

2.4.2 Teorema da Multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.3 Teorema da Probabilidade Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Contedo 4: Eventos Independentes, Arranjos e Combinao 422.5 Independncia de Dois Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6 Mtodos de Enumerao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6.1 Regra da Multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6.2 Permutaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6.3 Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6.4 Combinaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Bloco 2: Inferncia Estatstica 48

Tema 3: Distribuies de Probabilidade 48Contedo 1: Varivel Aleatria 48

FTC EAD |4

3.1 Funo de Probabilidade e Esperana de uma Varivel Aleatria . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Contedo 2: Distribuio Normal 503.2 Distribuio Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Mdia (Valor esperado) e varincia da distribuio binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Contedo 3: Distribuio de Poisson 52

3.2.2 Propriedades da Distribuio de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Contedo 4: Normal 543.3 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Tema 4: Estimativa, Regresso e Correlao 57Contedo 1: Conceitos de Amostragem, Estimativa de Mdias Populacionais 58

4.1 Conceitos de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Por Que Amostragem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Quando o Uso de Amostragem No Interessante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Tipos de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.1 Amostragem Probabilstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.2 Amostragem por Quotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.3 Amostragem Aleatria Simples (AAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.4 Amostragem Sistemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4.5 Amostragem Aleatria Estratificada (AAE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4.6 O Processo de Amostragem Estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4.7 Amostra Aleatria Simples Amostra Aleatria Estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4.8 Amostragem Aleatria por Conglomerados (AAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5 Inferncias Estatsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.6 Formas de estimativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Contedo 2: Estimativas de Propores Populacionais 684.6.1 Erro de estimao da proporo populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.6.2 Determinao do tamanho da amostra em populaes finitas . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Contedo 3: Regresso Linear 704.7 Equao de Regresso Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.8 Deciso por um tipo de relao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.9 Determinao da equao de regresso linear (mtodo dos mnimos quadrados) . . . . . . . 71

Contedo 4: Correlao Linear 734.10 Correlao Linear (o coeficiente de Pearson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.11 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Referncias Bibliogrficas 76


Prezado(a),

Bem vindo! Neste material dialogaremos sobre a disciplina Mtodos Quantitativos. Ele foi concebidoe escrito com o objetivo de tratarmos da melhor maneira possvel sobre o significado da Estatstica, seusobjetivos, utilidades e funes. No primeiro bloco deste material trabalharemos a estatstica descritivaenfatizando o tratamento das informaes atravs dos dados e no segundo bloco versaremos sobre aestatstica de inferncia, buscando mostrar a utilidade das distribuies de probabilidade e das estimativasna rotina dos administradores de empresas, pesquisadores e da sociedade.

Portanto, longe de tornar este material uma coletnea de contedos organizados de uma maneiraque somente os tcnicos possam interpret-los, muito menos fazer da Estatstica a nico caminho parase chegar verdade cientfica, nem que deva ser desacreditado pela existncia de incertezas quanto aalgumas de suas teorias e utilizaes, buscou-se uma linguagem simples e objetiva que possa lhe levara compreenso dessa maravilhosa ferramenta cientfica.

Desejamos aqui oferecer aos estudantes de administrao uma ferramenta poderosa para a tomada dedecises, afinal de conta os nmeros no mentem, e se vocs souberem interpret-los, estaro sempreum passo a frente, dos demais que se bloquearam para esse conhecimento.

Estudem com calma, pois para compreendermos as disciplinas quantitativas devemos buscar sempreentender o processo, nunca decorar, desta forma, vocs aprendero e sentiro, cada vez mais, prazer emestudar o assunto.

Reflexos da sade financeira que o Pas atravessa nos revelam que profissionais renomados, queexercem suas profisses no mbito financeiro, possuem um conhecimento especfico nos contedos ref-erentes aos temas abordados na Matemtica Financeira. Isto significa, dentre outras coisas, que apenasos profissionais da rea de finanas, com uma boa formao acadmica e com um conhecimento espec-fico em contedos financeiros esto credenciados ao sucesso profissional.

Prof. Jones Garcia da Mata

APRESENTAO DA DISCIPLINA


BLOCO01Estatstica Descritiva

TEMA01

Tabulao de Dados, Medidas de

Tendncia Central e Medidas de

Disperso

Contedo 1: Distribuio de Frequncias

1.1 Introduo Estatstica

A estatstica uma cincia que envolve um corpo de tcnicas e uma metodologia desenvolvida para acoleta, a tabulao, a classificao e simplificao de dados, para tornar esses dados melhor apresentveis,para anlise e a interpretao dos mesmos para a tomada de decises.

1.1.1 Conceitos Importantes

Populao: um conjunto de elementos com caractersticas iguais ou parecidas, agrupadas em conjuntosdenominados como populao ou universo.

Amostra: um subconjunto retirado da populao com o objetivo de ser analisado, obtendo assim infor-maes dessa amostra, para poder ser generalizado para a populao.

Dados experimentais: So dados obtidos de amostras de uma populao composta de variveis.

Censo: a anlise de todos os elementos de uma populao.Observao: Se a populao pequena, muitas vezes mais indicado um censo do que uma retirada

de uma amostra. Na grande maioria das vezes, quando vamos aplicar a estatstica na prtica, trabalhamoscom populaes com um grande nmero de elementos, portanto se torna invivel o estudo de cada elementoda populao, pois seria trabalhoso e teramos um custo alto e em certos casos o estudo de cada elementoda populao tambm impossvel, que seria o caso de determinarmos a mdia de quilometragem que umdeterminado pneu capaz de rodar, pois se testarmos todos os pneus, estaramos destruindo todos os pneus,portanto trabalhamos tomando uma amostra da populao.

Podemos dizer que a estatstica se divide em trs ramos.

1. Estatstica Descritiva: Trata da coleta, classificao, organizao, tabulao, do resumo e, em geral, dasimplificao de informaes que podem ser muito complexas, fazendo uso de parmetros estatsticosque resumem o comportamento dos dados.

Exemplo: Taxa de desemprego, custo de vida, quilometragem mdia por litro de combustvel, mdias dasidades de um grupo de pessoas, etc.

2. Estatstica Probabilstica: Utilizada em situaes que envolvem o acaso.

Exemplo: Jogos de dados, jogos de cartas, jogos esportivos, loterias, etc.


3. Estatstica Inferencial: Consiste da aplicao de um corpo de tcnicas e metodologias para mensurar osresultados obtidos de uma amostra para toda populao.

Exemplo: Pesquisa de inteno de votos para presidente de um pas.

1.2 Sries Estatsticas

Para se compreender melhor a definio de uma srie estatstica, necessrio ter uma viso do significadode uma tabela.

A tabela a reunio dos dados estatsticos em que as variveis so dispostas de tal maneira que se possainterpretar o seu significado. A varivel a ser observada est listada na coluna indicadora da tabela (primeiracoluna, no sentido da esquerda para direita da tabela).

A srie estatstica a representao dos dados estatsticos, em funo de alguns fatores contidos em umatabela, que podem ser o tempo, o espao e a espcie.

Observao: Dentre todas as sries, a mais importante a srie temporal, pois o estudo dessa sriepossibilita fazer estimativas futuras, utilizando os dados do passado.

As sries estatsticas so classificadas da seguinte forma:

Sries geogrficas, territoriais ou de localizao: representam os dados em funo da localidadeExemplo: Exportao segundo os pases de destino - janeiro de 2007.

Pases de aquisio Valor (US$ 1.000 FOB)Estados Unidos 1.734.081

Argentina 822.584China 558.075

Fonte: Ministrio da FazendaNota: Foram expostos os trs pases que fizeram mais aquisies.

Sries histricas, cronolgicas, temporal ou marcha: representam os dados em funo do tempo.Exemplo: Dados gerais de exportaes no Brasil, no primeiro semestre de 2007.

Meses Valor (em US$ milhes FOB)Janeiro 10.963

Fevereiro 10.106Maro 12.859Abril 12.493Maio 13.616Junho 13.192

Fonte: Ministrio da FazendaNota: FOB - Frete por contado remetente.

Sries especficas ou categricas: representam os dados em funo da especificao ou categoria.Exportaes dos produtos agrcolas - janeiro a junho de 2006.

FTC EAD |10

Produtos agrcolas Quantidade (T )Caf 618.315

Soja em gro 12.477.684leo de soja em bruto 701.583

Acar em bruto 4.868.574Fonte: Ministrio da Fazenda

Sries conjugada ou tabela de dupla entrada: representam os dados em funo de duas ou mais var-iveis.Exemplo: Exportaes dos produtos agrcolas - janeiro a junho de 2006 e 2007.

Produtos agrcolas Quantidade (T )2006 2007

Caf 618.315 723.674Soja em gro 12.477.684 12.749.472

leo de soja em bruto 701.583 787.263Acar em bruto 4.868.574 5.250.416

Fonte: Ministrio da Fazenda

1.3 Tabulao de Dados

Nesta seo veremos tcnicas empregadas pela estatstica para simplificar e resumir dados em uma tabela,facilitando, assim, a leitura e interpretao dos mesmos.

Uma tabela primitiva uma coleo de dados sem nenhum tratamento de organizao.

Exemplo: Suponha que desejamos estimar a mdia de idade dos estudantes do turno noturno do ensinomdio de uma determinada escola e para isso coletamos vinte e uma idades desses estudantes, conformedados abaixo.

18 19 20 18 18 17 17

22 25 24 23 27 21 28

19 20 21 21 23 23 23

Os dados acima foram coletados e anotados sem nenhuma preocupao organizacional, dizemos ento queesta uma tabela primitiva estando sem nenhum tratamento organizacional. Os dados esto desordenadosdificultando assim uma anlise.

1.3.1 Rol

um conjunto de dados numricos ordenados em ordem crescente.Exemplo: Colocando os dados da tabela primitiva acima no rol temos:

17 17 18 18 18 19 19

20 20 21 21 21 22 23

23 23 23 24 25 27 28

Observe que esta organizao torna mais fcil a observao de algumas informaes tais como o menorvalor, que 17, o maior, que 28, quantos dados com o valor 18 temos, que so trs, etc.


1.4 Distribuio de Frequncias

Podemos melhorar a visualizao dos dados, dispondo-os de forma que aparea o nmero de vezes emque se repetem cada valor na tabela. A esta organizao ns chamamos de distribuio de frequncia. Porexemplo:

Idade Frequncia17 2

18 3

19 1

20 1

22 1

24 1

25 1

Na representao em distribuio de frequncia importante colocar as frequncias acumuladas absolutase a as frequncias relativas e relativas acumuladas, pois essas informaes, na distribuio, facilitar a anlisedos dados. Vejamos, ento, a distribuio acima com essas informaes.

Idade Frequncia Frequncia% Frequncia Acumulada Frequncia Acumulada%17 2 9, 52 2 9, 52

18 3 14, 29 5 23, 81

19 2 9, 52 7 33, 33

20 2 9, 52 9 42, 85

21 3 14, 29 12 57, 14

22 1 4, 76 13 61, 90

23 4 19, 05 17 80, 96

24 1 4, 76 18 85, 72

25 1 4, 76 19 90, 48

27 1 4, 76 20 95, 24

28 1 4, 76 21 100

Total 21 100

Porm, se o rol muito grande, torna-se invivel este tipo de disposio dos dados. Ento usamos intervalose chamamos este tipo de disposio, de distribuio de frequncia com intervalos de classe. Por exemplo:

Idade Frequncia17 18 218 19 319 22 222 24 224 25 1X

10

1.4.1 Componentes de uma distribuio de frequncias em classes

Classe: o intervalo entre as variveis estudadas, denotada pela letra i . O nmero de classes denotada pela letra K . No exemplo acima temos cinco classes (k = 5). O intervalo 22 24 est na quarta

FTC EAD |12

classes (i = 4).

Para sabermos quantas classes existem em um rol com n observaes, podemos aplicar vrias regras.Uma, que muito utilizada, a regra de Sturges:

Se n < 25, ento k = 5.

Se n 25, ento k 1 + 3, 22 log(n)

Outra regra, bastante aplicada, a regra da raiz quadrada:

Se n < 25, ento k = 5.

Se n 25, ento k n

No exemplo anterior n = 10 < 25. Logo, k = 5.

Limites de uma classeSo os extremos de cada classe. O menor valor o limite inferior (li) e o maior, o limite superior (Li ). Noexemplo anterior temos os limite inferior de quarta classe l4 = 22 e, o superior, L4 = 24.

Amplitude de intervalos de classe a variao do intervalo, e denotamos por hi .

hi = Li li .

No exemplo anterior, temos que a amplitude da quarta classes h4 = L4 l4 = 24 22 = 2.

Amplitude total a variao do limite mnimo ao limite mximo do rol. Denotamos por AT = Lmax Lmin.No exemplo anterior, temos que a amplitude total AT = 25 17 = 8 anos.

Ponto mdio de uma classe o valor mdio da classe. Denotamos por xi = li + Li

2. No exemplo anterior, temos que o ponto mdio

da quarta classe x4 =l4 L4

2=

22 + 24

2=

46

2= 23 anos.

Frequncia simples ou absoluta a quantidade de dados contidos em uma classe. Denotamos por fi . Por exemplo:

i Idade fi1 17 18 22 18 19 33 19 22 24 22 24 26 24 25 1

X

10

Uma forma ainda melhor de apresentar os dados em uma tabela de frequncia informando as frequnciasacumulativas e percentuais. Isto facilita a anlise dos dados. Por exemplo, os dados abaixo so referentes s


idades de 40 alunos de uma universidade.

i Idade(xi ) fi FACi Fr FACi%1 17 2 2 5, 0% 5, 0%

2 18 3 5 7, 5% 12, 5%

3 20 2 7 5, 0% 17, 5%

4 21 1 8 2, 5% 20, 0%

5 22 5 13 12, 5% 32, 5%

6 23 10 23 25, 0% 57, 5%

7 24 12 35 30, 0% 87, 5%

8 25 3 38 7, 5% 95, 0%

9 26 2 40 5, 0% 100%X

40 100%

f ri =fi 100%X

fie FACi% =

FACi 100%X

fi,

em que

fi - frequncia absoluta simples

FACi - frequncia Acumulada Crescente

f r - frequncia relativa percentual

FAC% - frequncia Acumulada Crescente Percentual

1.4.2 Agrupamento em Classes

No caso de dados que apresentam grande disperso, vivel o agrupamento em classes de frequncia.Por exemplo, suponha que os pesos de um grupo de estudantes seja dado pelo seguinte rol: 36, 40, 49, 49, 49,50, 50, 51, 52, 52, 52, 52, 54, 59, 60, 60, 60, 60, 61, 61, 61, 61, 62, 62, 63, 64, 64, 65, 65, 65, 67, 68, 74, 77, 77, 81,

81, 83, 87, 90.

FTC EAD |14

Podemos arrum-lo da seguinte forma:

xi fi fi% FACi FACi%

36 1 2, 5% 1 2, 5%

40 1 2, 5% 2 5, 0%

49 3 7, 5% 5 12, 5%

50 2 5, 0% 7 17, 5%

51 1 2, 5% 8 20, 0%

52 4 10, 0% 12 30, 0%

54 1 2, 5% 13 32, 5%

59 1 2, 5% 14 35, 0%

60 4 10, 0% 18 45, 0%

61 4 10, 0% 22 55, 0%

62 2 5, 0% 24 60, 0%

63 1 2, 5% 25 62, 5%

64 2 5, 0% 27 67, 5%

65 3 7, 5% 30 75, 0%

67 1 2, 5% 31 77, 5%

68 1 2, 5% 32 80, 0%

74 1 2, 5% 33 82, 5%

77 2 5, 0% 35 87, 5%

81 2 5, 0% 37 92, 5%

83 1 2, 5% 38 95, 0%

87 1 2, 5% 39 97, 5%

90 1 2, 5% 40 100, %X

40 100, 0%

Observe que esta tabela de frequncias grande e contm muitos dados dispersos, dificultando a anlisedos dados. Vamos, ento, construir as classes de frequncia.

1.4.3 Construo das classes de frequncia

Para construir uma tabela com as frequncias em classes devemos:

1. Determinar o nmero de classes.

2. Estimar o intervalo (amplitude).

3. Agrupar os dados nas classes.

Como no exemplo temos n = 40, ento k 40 6, 3 ou K 1 + 3, 22 log(n) 1 + 3, 22 log(40) 6, 2.Tome k = 6.

Para determinarmos a amplitude de cada classe (h), tomamos a amplitude total dos dados (AT ) e dividimospelo nmero de classes (k).

h >AT

k=

Lmax Lmink

=90 36

6=

54

6= 9


Vamos agrupar, agora, os dados em classes de frequncia.

Classes fi f ri% FACi FACi%

36 45 2 5, 0% 2 5, 0%45 54 10 25, 0% 12 30, 0%54 63 12 30, 0% 24 60, 0%63 72 8 20, 0% 32 80, 0%72 81 3 7, 5% 35 87, 0%81 90 5 12, 5% 40 100, 0%X

40 100, 0%

Verificamos que com os dados agrupados em classes de frequncia, facilitamos a anlise dos dados.

Contedo 2: Representao Grfica, Histograma

1.4.4 Histograma

um grfico de colunas ou barras utilizado, geralmente, para distribuies de frequncias que esto agru-padas em classes ou no. Observe a tabela e o seu histograma ao lado.

Idade fi f r i% FACi FACi%16 4 10% 4 10%

17 5 12, 5% 9 22, 5%

18 8 20, 0% 17 42, 5%

19 10 25, 0% 27 67, 5%

20 13 32, 5% 40 100, 0%X

40 100, 0%

Idades16 17 18 19 20

O diagrama de Pareto consiste numa formaespecial de grfico de colunas justapostas,que dispe os itens analisados desde o maisfrequente at o menos frequente. Tem comoobjetivo estabelecer prioridades na tomadade deciso, a partir de uma abordagem es-tatstica. Note que este grfico elege comoprioridade identifica os itens que possuemmaior evidncia.

Idades20 19 18 17 16FTC EAD |16

1.4.5 Ogivas

Representam as frequncias do histograma, podendo ser simples ou relativas, acumuladas ou no.

Idades16 17 18 19 20

1.4.6 Grfico de barras

Apresenta as frequncias sob a forma de barras horizontais. Neste tipo de grfico as barras devem serordenadas de maneira crescente ou decrescente. Por exemplo,

TIPO DE FRAUDENOS CARTES DE CRDITO

DA MASTERCARD INTERNACIONALNO BRASIL - 2000

Tipo de fraude QuantidadeCarto roubado 243Carto falsificado 85Pedido por correio/telefone 52Outros 46

Fonte : Triola,MarioF .Quantidade

Tipo de fraude nos cartes de crdito da

Mastercard Internacional do Brasil - 2000

Carto Roubado

Carto Falsificado

Pedido porcorreio/telefone

Outros

0 50 100 150 200 250 300

1.4.7 Grficos de colunas

Apresenta as frequncias na forma de colunas verticais. Por exemplo,


NMERO DE CRIANAS DE BAIXA RENDA, SEGUNDO O BAIRRO

DE RESIDNCIA, QUE PARTICIPARAM DO ENSINO DE MSICA

NA ESCOLA XYZ, SALVADOR - 1998

Bairro Nmero de crianas

Paripe 11

Periperi 39

Plataforma 45

Praia Grande 25

Total 120

Tabela 1.1: Fonte: Escola de Msica XYZ, Salvador.

Nmero de crianas de baixa renda, segundo o bairro

de residncia, que participaram do ensino de msica

na escola XYZ, Salvador - 1998

Paripe Periperi Plataforma PraiaGrande

0

10

20

30

40

50

1.4.8 Grficos de setores

Representa frequncias relativas ou simples na forma de setores de crculos. O seu uso deve ser empregadosempre que se quiser comparar as partes e o todo. Por exemplo,ER 1. Srie Geogrfica

Percentual de funcionrios dos coletivosde Salvador segundo rea de residncia

rea de residncia PercentualCentro 17, 2Subrbio 39, 1Periferia 43, 7Fonte: Dados Fictcios

17, 2%39, 1%

43, 7% Centro Subrbio Periferia

1.4.9 Diagrama de Disperso

Mostra a relao grfica entre duas variveis numricas. Por exemplo,

FTC EAD |18

Vendas Custos54, 00 38, 00

60, 00 37, 50

50, 00 35, 00

58, 00 40, 00

Vendas

Custo

5450 60

35

40

45

1.4.10 Grficos Pictricos ou Pictogramas

So construdos a partir de figuras e conjuntos de figuras representativas da intensidade do fenmeno, ospictogramas so muito utilizados em jornais e revistas. Cada unidade desenhada deve representar grandesvolumes de unidades produzidas. Uma parte da figura representar uma frao do volume produzido.

Regio

Nordeste

Norte

Sul

Vendas10 20 30

1.4.11 Falhas na elaborao de grficos

1.4.12 Grfico sucata (chart junk)

Muita figura e pouca informao. Por exemplo, valor da cesta bsica brasileira de 1994 a 1998.

1994 : R$100, 00 1996 : R$120, 00 1998 : R$150, 00

Temos, acima, uma apresentao pouco recomendada para dos dados, podendo mascarar a informao,vindo a dificultar a interpretao dos dados.

Uma boa apresentao seria da seguinte forma:


Ano

R$

1994 1996 1998

150

120

100

1.4.13 Ausncia de base relativa

Os grficos podem ocultar a verdadeira informao a depender da base empregada ou sugerida na anlise.Por exemplo, o grfico abaixo representa a reprovao de trs turmas T1, T2 e T3 em Matemtica.

Turmas

Reprovao

T1 T2 T3

10

12

14

Vemos que a turma T3 teve um nmero maior de reprovao, porm considerando que a turma T3, tem 70alunos, que T2 tem 60 alunos, e que T1 tem 50 alunos, vemos que o ndice de reprovao so todos iguais a20%. Logo, a representao correta seria a seguinte:

Turmas

Reprovao %

T1 T2 T3

20%

1.4.14 Eixo vertical comprido

As escalas usadas devem ser proporcionais as grandezas apresentadas. Por exemplo, valor do salriomnimo nos anos de 1994, 1996 e 1998.

FTC EAD |20

Anos

R$

1994 1996 1998

500

M representaoAnos

R$

1994 1996 1998

100

150

Boa representao

1.4.15 Ausncia do Ponto Zero

A ausncia do zero em um grfico pode disfarar eventuais variaes, aumentando a variao demasiada-mente.

Ano

R$

1994 1996 1998

100

120

150

M representao

Ano

R$

1994 1996 1998

100

120

150Boa representao

Contedo 3: Medidas de Tendncia Central

So medidas que resumem o comportamento central dos dados, podendo representar um conjunto dedados.

1.5 Mdias

1.5.1 Mdia Aritmtica

a diviso entre a soma dos valores dos dados e a quantidade de dados. Denotaremos:

a mdia amostral por x

a mdia populacional por .

ER 1. Calcule a mdia dos dados x1 = 10, x2 = 20, x3 = 5, x4 = 5.


Soluo: x =

nX

i=1

xi

n=

x1 + x2 + x3 + x44

=10 + 20 + 5 + 5

4=

40

4= 10.

1.5.2 Propriedades

(a) A soma dos desvios dos dados em relao a mdia aritmtica zero.Exemplo: Considere os dados seguintes:

xj x xj = dj2 5 2 = 33 5 3 = 25 5 5 = 07 5 7 = 28 5 8 = 3

x = 5X

di = 0

(b) A soma dos quadrados dos desvios em relao mdia aritmtica mnimo zero.Vamos pegar a soma dos quadrados dos desvios, em relao a quatro e a seis, que so nmeros queesto prximos da mdia, para verificarmos se este valor vai dar maior que a soma dos quadrados dosdesvios, em relao media.

x xj = di 4 xj = d j 6 xj = d j5 2 = 3 4 2 = 2 6 2 = 45 3 = 2 4 3 = 1 6 3 = 35 5 = 0 4 5 = 1 6 5 = 1

5 7 = 2 4 7 = 3 6 7 = 15 8 = 3 4 8 = 4 6 8 = 2X

d2i = 26X

d i2

= 31X

d2

j = 31

Logo, notamos que a soma dos quadrados dos desvios, em relao mdia, realmente mnimo.Poderamos tomar nmeros mais prximos da mdia que sempre amos obter um valor maior.

Se os valores da srie tiverem pesos diferentes, ns chamamos a mdia aritmtica de mdia ponderada.

Exemplo: Em uma avaliao de matemtica, aplicada a 180 alunos, distribudos em trs turmas, T1, T2 eT3, obtemos os seguintes dados:

Turma N de alunos (n) x iT1 50 5

T2 60 6

T3 70 8

Queremos saber qual foi a mdia dos 180 alunos. Como a mdia da turma T1 igual a, x1 =X

N1

n1,

em que x1 a mdia da turma T1, N1 so as notas da turma T1 e n1 o nmero de alunos da turma T1.Desta forma, temos que a soma das notas da turma T1

X

N1 = x1 n1. Analogamente, obtemos que

FTC EAD |22

a soma das notas das turmas T2 e T3, soX

N2 = x2 n2 eX

N3 = x3 n3, respectivamente. Como amdia de todos os alunos a soma de todas as notas dividido pelo total de alunos, temos que a mdia

das turmas x =

X

N1 +X

N2 +X

N3

=

x1 n1 + x2 n2 + x3 n3n1 + n2 + n3

. Desta forma, temos que a mdia dos

180 alunos x = 5 50 + 6 60 + 8 7050 + 60 + 70

=250 + 260 + 560

180=

1.170

180= 6, 5.

Exemplo: Considere uma srie com n1 nmeros, e sua mdia x1, outra srie com n2 nmeros e mdiax2, e uma outra com n3 nmeros e mdia x3. A mdia de todos os nmeros ou mdia ponderada x =

n1x1 + n2x2 + n3x3n1 + n2 + n3

.

Se tivermos n sries, ento x = n1x1 + n2x2 + . . .+ nnxnn1 + n2 + . . . + nn

=

X

nix iX

ni.

(c) Se adicionarmos ou subtrairmos uma constante a todos os valores da srie, a mdia ser adicionada ousubtrada por esta mesma constante.Exemplo:

xi y i = xi 3 zi = xi + 32 1 53 0 6

5 2 8

7 4 10

8 5 11

x = 5 y = 2 = x 3 z = 8 = x + 3

(d) Considere a srie, x1, x2, . . . , xn, com n dados e mdia x . Ento a srie x1 + k , x2 + k , . . . , xn + k ter mdiax + k , em que k uma constante.

(e) Se multiplicarmos ou dividirmos os dados de uma srie por uma constante, a mdia ser multiplicada oudividida por esta constante.Exemplo:

xi yi = 2xi zi = xi/2

2 4 13 6 3/2

5 10 5/2

7 14 7/2

8 16 4

x = 5 y = 10 = 2x z = 5/2 = x/2

1.5.3 Clculo da Mdia Aritmtica para Dados Repetidos

Considere a distribuio:xi fi xi fi3 5 15

4 2 8

2 3 6

8 4 32X

14 61


Portanto, x =

X

xi fiX

fi=

61

14= 4, 36.

1.5.4 Vantagens da Mdia Aritmtica

1. Fcil compreenso e fcil de calcular.

2. Usa todos os dados.

3. Evidncia o valor de estabilidade da amostra.

1.5.5 Desvantagens da mdia aritmtica

1. preciso conhecer todos os dados da srie.

2. Nem sempre um valor inteiro. Exemplo: a mdia das idades sendo 23, 6 anos = 23 anos, 7 messes e 6dias.

1.5.6 Clculo da Mdia Aritmtica de Dados Agrupados em Classes de Frequncia

ER 2. Arrume a distribuio 2, 4, 6, 9, 9, 10, 10, 12, 13, 13, 14, 16, 17, 17, 22 em classes de frequcias e, emseguida, compare as mdias da distribuio antes e aps a arrumao.

Soluo: Como temos n = 15 < 25, o nmero de classes de frequncia k = 5 e a amplitude de cadaclasse h = AT/K = (22 2)/5 = 20/5 = 4. O ponto mdio de cada classe dado por PMi = (Li + li )/2.Assim, podemos estabelecer a seguinte tabela:

Classes fi PMi2 6 2 46 10 3 810 14 5 1214 18 4 1618 22 1 20

X

15

A mdia da distribuio inicial x = 17415

= 11, 60 e a da tabela de distribuio em classes de frequncias

x =

X

fiPMiX

fi=

2 4 + 3 8 + 5 12 + 4 16 + 1 202 + 3 + 5 + 4 + 1

=176

15 11, 73.

Podemos ver que a mdia calculada pela distribuio dos dados em classes de frequncia bem prximado valor real dos dados. Logo, se no tivssemos o rol e apenas a distribuio em classes de frequncia, nsestimaramos a mdia dos dados utilizando este clculo para distribuio em classes de frequncia.

FTC EAD |24

1.5.7 Mdia Geomtrica

Considere o rol: 2, 3, 5 e 6. A mdia geomtrica destes dados g =

42 3 5 6 = 4180 3, 7. Se temosn dados x1, x2, . . . , xn, ento a mdia geomtrica destes dados g =

nx1 x2 xn.

Pode ser usada em situaes que buscam analisar certo padro de crescimento.

Exemplo: Considere o rol: 2, 4, 8, 16 e 32. Observe que se trata de uma progresso geomtrica de razo 2.A mdia geomtrica deste rol g = 5

2 4 8 16 32 = 8. Note que a mdia geomtrica nos deu justamente o

elemento que est no centro do rol, que o 8.

Exemplo: O PIB do Brasil foi de U$4 bilhes em 1950 e de U$16 bilhes em 1990. Estime o PIB em 1970.

De 1950 a 1990 o PIB quadruplicou. De 1950 a 1970 temos 20 anos e de 1970 a 1990 temos, tambm, 20 anos.Logo, vamos pegar a mdia geomtrica de 4 e 16 para estimarmos o PIB de 1970. Logo, g =

4 16 = 64 = 8,

ento podemos estimar que o PIB do Brasil em 1970 foi de U$8 bilhes.

1.5.8 Mdia harmnica

utilizada para determinar a mdia de crescimento ou propores de preos e velocidades, pois a utilizaoda mdia aritmtica nos daria um resultado incorreto.

Considere os n dados x1, x2, . . . , xn, a mdia harmnica destes dados calculada da seguinte maneira:

xh =n

1

x1+

1

x2+ . . .+

1

xn

=n

X 1

xi

Exemplo: Suponha que um motorista foi de Salvador para Feira de Santana velocidade mdia de 80Km/h,e voltou de Feira de Santana para Salvador pelo mesmo caminho velocidade mdia de 100Km/h. Sabendo-seque a distncia entre as cidades de 100Km. Qual foi a velocidade mdia de todo percurso?

O tempo que o motorista levou para ir de Salvador para Feira de Santana foi 100km80km/h

= 1, 25h. O tempo

que ele levou para voltar foi 100km100km/h

= 1h. Como o percurso completo tem 200Km, a velocidade mdia foi

de 200km1h + 1, 25h

=200km

2, 25h= 88, 89km/h. Se ns calculssemos a mdia das velocidades mdias o resultado

estaria errado, pois 80km/h + 100km/h2

= 90km/h. Notamos que, neste caso, temos a mdia harmnica das

velocidades mdias, pois 21

80Km/h+

1

100Km/h

=2

5 + 4

400Km/h

=800Km/h

9= 88, 89Km/h.

1.6 Mediana

o valor que est no meio de um rol, dividindo a srie em duas partes iguais, obtendo desta forma nelementos com valores inferiores mediana do lado esquerdo e n elementos com valores superiores medianado lado direito. Quando o rol tem um nmero par de elementos, calculamos a mediana tomando a mdia dosdois elementos centrais do rol. Notao Md .

ER 3. Doze candidatos fizeram uma prova seletiva para o preenchimento de seis vagas para administradorem uma empresa. As notas foram as seguinte: 5, 0; 7, 0; 6, 5; 6, 0; 8, 0; 7, 0; 5, 5; 9, 0; 9, 5; 8, 5; 8, 0; 7, 6. Sabendo


que a nota de corte a mediana. Determine a mediana.

Soluo: rol: 5, 0; 5, 5; 6, 0; 6, 5; 7, 0; 7, 0; 7, 6; 8, 0; 8, 0; 8, 5; 9, 0; 9, 5.

Os dois elementos centrais so 7, 0 e 7, 6. Logo, Md =7, 0 + 7, 6

2=

14, 6

2= 7, 3

1.6.1 Calculo da mediana para dados repetidos

ER 4. Dada a tabela de frequncia abaixo, determine sua mediana.

xi 3 6 8 9 10

fi 5 3 4 2 3

Soluo: A mediana o nono dado, pois ele est no meio da srie, logo Md = x9 = 8.Para determinarmos facilmente a ordem do dado central de uma srie de nmero mpar, ns somamos

o total de dados da srie mais um e dividimos por dois. No exemplo anterior tnhamos um total de 17 dados.

Ento, (17 + 1)/2 = 18/2 = 9 e, portanto, a ordem do dado central da srie anterior o x9, que justamentea mediana.

ER 5. Dada a tabela de frequncia abaixo determine sua mediana.

xi 2 4 5 7 8

fi 5 3 2 4 2

Soluo: Como temos um nmero par de dados, tomamos a mediana sendo a mdia dos dados centrais,que neste caso so x8 = 4 e x9 = 5, logo Md = (4 + 5)/2 = 9/2 = 4, 5. Para determinarmos os dados centrais

de uma srie como nmero de dados par, ns dividimos o total de dados por dois, para acharmos o primeiro

dado central, o outro dado central o seguinte. No exemplo acima fizemos 16/2 = 8, ento x8 o primeiro

dado central e x9 o segundo dado central, logo Md = (x8 + x9)/2.

1.6.2 Vantagens da Mediana

1. Mesmo que alguns valores da srie sejam modificados, a mediana pode manter-se inalterada.2. Os valores extremos da srie no interferem no resultado da mediana.

3. Mesmo que os extremos da srie no estejam definido, podemos determinar a mediana.

Exemplo:

Salrio mnimo Frequncia (milhes)At 1 45, 01 3 75, 03 5 30, 0

acima de 5 20, 0X

170, 0

FTC EAD |26

Como temos um nmero par de dados, 170, ento os dados centrais so x85 e x86. Como os dados centraisda srie esto na faixa de 1 a 3 salrios mnimos, temos tambm que a mediana est nesta faixa.

1.6.3 Desvantagem da Mediana

Se determinarmos a mediana de sries separadas, no temos uma relao para determinar a mediana dassries unidas.

Exemplo: Considere as seguintes sries: S1 : 3, 4, 6, 7, 8 e S2 : 2, 3, 4, 5, 8, 9. A mediana da srie S1 Md1 = 6e a mediana da srie S2 Md2 = (4 + 5)/2 = 9/2 = 4, 5. No temos uma relao entre as medianas que nospermita calcular a mediana da unio das sries. Portanto, temos que construir o rol da unio das sries. Assim,S1 S2 : 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9 e Md12 = 5.

1.6.4 Mediana para dados agrupados em classes

Considere a tabela seguinte:

Classes Fi% FAci%5 9 20% 20%9 13 25% 45%13 17 30% 75%17 21 15% 90%21 25 10% 100%X

100%

A mediana se encontra na terceira classe, dados entre 13 e 17, pois a frequncia acumulada de 50% estnesta classe, isto , os dados centrais da srie esto nesta classe.

Para determinarmos a mediana utilizamos a formula seguinte:

Md = l + h(EMd Fant)

fMd,

em que

l : o limite inferior da classe da mediana.h: a amplitude da classe de mediana.

EMd : a frequncia total dividida por dois.Fant : a frequncia acumulada da classe anterior classe da mediana.fMd : a frequncia da classe da mediana.

Logo, temos que l = 13, h = 4, EMd = 50, Fant = 45 e fMd = 30. Desta forma, temos que Md = 13 + 4 (50 45)

30= 13, 67. Note que, neste caso, usamos os valores em porcentagem para EMd , Fant e fMd , porm, se

tivssemos os valores numricos, poderamos us-los e o resultado obtido seria o mesmo, tendo o cuidado deno misturar dados numricos com dados em porcentagem.


ER 6. Calcular a mediana dos dados apresentados na tabela abaixo:

Classes F i F i% FAci Faci%2, 0 4, 4 3 30 3 304, 4 6, 8 1 10 4 406, 8 9, 2 2 20 6 609, 2 11, 6 2 20 8 8011, 6 14, 0 2 20 10 100

X

10 1004

Soluo: Temos, neste caso, que os dados centrais ento na terceira classe, que vai de 6, 8 e 9, 2. Osdados centrais so o x5 e x6, pois temos dez dados. Neste caso, temos que, l = 6, 8, h = 2, 4, EMd = 50,

Fant = 40 e fMd = 20. Logo, Md = 6, 8 + 2, 4 (50 40)20

= 8. Se usarmos os dados numricos ao invs de

porcentagens temos que, E + Md = 5,Fant = 4 e fMd = 2. Desta forma, Md = 6, 8 + 2, 4 (5 4)2

= 8. A

mesma resposta.

EP 1.1. Calcule a mdia dos dados apresentados acima.

1.7 Moda

o valor da srie que ocorre com maior frequncia, podendo no existir e neste caso a srie dita amodal.No caso em que a moda em uma srie no for nica, dizemos que a srie multimodal.

A moda a nica medida de tendncia central que se aplica em dados quantitativos e qualitativos.

Exemplo (quantitativo): O nmero de infraes de trnsito observadas em trs semforos A, B e C de umacidade, a cada hora, durante 8 horas de observao foram os seguintes:

A: 10, 12, 14, 14, 16, 8, 9, 5

B: 15, 20, 20, 12, 13, 15, 10, 2

C : 5, 6, 4, 2, 3, 1, 7, 8

Moda de A = 14; Moda de B = 20 e 15; Moda de C no existe.

Exemplo (qualitativo): Foi feita uma pesquisa com 8 pessoas, que assistiram trs filmes, A,B e C , onde elastinham que classificar como P (pssimo), R (regular), B (bom) ou O (timo) e obtemos os seguintes resultados:

Filme A: B, B, R , R , O, O, O, O; Moda filme A = O

Filme B: P , P , R , R , R , B, B, B; Moda filme B = R e B

Filme C : P , P , R , R , B, B, O, O; Moda filme C no existe

ER 7. Uma fbrica de calas fez uma pesquisa com mil pessoas do sexo masculino de uma cidade, para sabero nmero mais comum que estas pessoas vestiam. De acordo com a tabela de frequncia abaixo, determine amoda dos dados.

FTC EAD |28

Nmero da cala fi36 200

38 250

40 350

42 500

44 300X

1600

Soluo: A moda dos dados 42, que exatamente o nmero mais usado na cidade.

1.7.1 Vantagens da moda

1. Se algum valor da srie for modificado, a moda pode no ser modificada.Exemplo: Considere o rol: 5, 5, 7, 7, 7, 9. A moda deste rol 7. Se modificarmos, por exemplo, o valor 9do rol, para 8, teremos que a moda continuar sendo 7.

2. Fcil de ser determinada.

1.7.2 Desvantagens

1. um valor que pertence srie.2. Difcil de ser includa em equaes matemticas.

3. Pode no ser nica

4. No usa todos os dados da srie.

Contedo 4: Medidas de Disperso

O grau ao qual os dados numricos tendem a dispersar-se em torno de um valor mdio, ns chamamos dedisperso ou variao dos dados.

1.8 Amplitude total (h)

a diferena entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dados.Exemplo: Considere o conjunto A = {5, 2, 3, 9, 1, 7}. O rol deste conjunto : 1, 2, 3, 5, 7, 9. A Amplitude total

destes h = 9 1 = 8

1.9 Desvio mdio (DM)

o somatrio dos mdulos da diferena entre cada elemento do conjunto e a mdia deste conjunto divididopelo nmero de dados.


Exemplo: Considere o conjunto de dados {2, 4, 9}. Temos que a mdia destes dados x = 5. LogoDM =

|2 5|+ |4 5|+ |9 5|3

=| 3|+ | 1|+ 4|

3=

3 + 1 + 4

3=

8

3= 2, 67. Se temos um conjunto com n

dados x1, x2, . . . , xn, com mdia x , ento DM =X

|xi x |n

.

1.10 Varincia (2)

o somatrio do quadrado da diferena entre cada elemento do conjunto, e a mdia destes elementos,dividido pelo nmero de elementos.

Exemplo: Considere o conjunto de dados {1, 3, 2, 6}, temos que a mdia dos dados x = 3 e a varincia

2 =(1 3)2 + (3 3)2 + (2 3)2 + (6 3)2

4=

(2)2 + 02 + (1)2 + 324

=4 + 0 + 1 + 9

4=

14

4= 3, 50.

Se temos um conjunto com n dados x1, x2, . . . , xn, ento 2 =X

(xi x)2n

.

1.11 Desvio Padro

a raiz quadrada da varincia, = 2 =s

X

(xi x)2n

.

Exemplo: Considere o exemplo anterior. Obtemos a varincia dos dados 2 = 3, 50. Logo, o desvio padrodos dados =

2 =

3, 50 = 1, 87.

1.12 Desvio padro e varincia populacional e amostral

O desvio padro e a varincia podem ser calculados de forma amostral, isto , tomando-se uma parte dapopulao, e neste caso, so ditos amostrais, ou podem ser calculados usando-se toda populao, e nestecaso so ditos populacionais.

Varincia populacional: 2 =X

(xi x)2n

Desvio padro populacional: =s

X

(xi x)2n

Varincia amostral: s2 =X

(xi x)2n 1

Desvio padro amostral: s =s

X

(xi x)2n 1

Exemplo: A varincia populacional dos dados do exemplo anterior foi 2 = 3, 50 e o desvio populacional foi = 1, 87. A varincia amostral

s2 =

X

(xi x)2n 1

(1 3)2 + (3 + 3)2 + (2 + 3)2 + (6 + 3)23

=(2)2 + 02 + (1)2 + 32

3= 4, 67

FTC EAD |30

e o desvio padro amostra s =s2 =

4, 67 = 2, 16.

Das medidas de disperso as mais usadas so o desvio padro amostral e a varincia amostral. Utilizandoa HP12C ns podemos calcular, facilmente, o desvio padro amostral e a varincia amostral.

Vamos calcular, agora, o desvio padro amostral e a varincia amostral dos dados do exemplo anterior.Primeiro passo vamos limpar os registradores da mquina apertando a tecla [f ] e a tecla [clx ]. O segundopasso ser entrar com os dados, onde ns digitaremos os dados [xi ] e logo depois apertaremos a tecla

X

+

,

o visor nos mostrar, aps cada passo deste, o nmero de dados armazenados, como no exemplo temos oconjunto de dados {1, 3, 2, 6}, ento aps entrarmos com todos os dados o visor mostrar o nmero 4. Oterceiro passo calcular o desvio padro amostral, apertando a tecla azul [g ] e a tecla [s ] (Obs.: o s est emazul na mquina), ento calculamos o desvio padro amostral s = 2, 6.

Para obter a varincia amostral basta elevarmos o desvio padro ao quadrado teclando [2] e em seguida[x2], ento obteremos a varincia amostral s2 = 4, 67. Se quisermos obter a mdia dos dados teclamos [g ]e [0x ], ento obteremos x = 3. Quando apertamos a tecla azul da mquina [g ], ns estamos ativando todasas funes que esto em azul da mquina, por esta razo que as teclas do desvio padro e da mdia damquina esto em azul.

EP 1.2. Utilizando a mquina HP12C , calcule a mdia, o desvio padro e a varincia dos seguintes dados:5, 0; 5, 5; 6, 0; 6, 5; 7, 0; 7, 0; 7, 6; 8, 0; 8, 0; 8, 5; 9, 0; 9, 5.

1.13 Coeficiente de disperso relativa (disperso relativa)

Obtemos a disperso relativa dividindo a disperso absoluta pela mdia, onde a disperso absoluta podeser qualquer medida de disperso, isto ,

disperso relativa = disperso absolutamdia .

A razo entre o desvio padro e a mdia de uma srie dito coeficiente de disperso relativa, logo coefi-ciente de disperso relativa =

xou coeficiente de disperso relativa = s

x.

ER 8. A mdia de uma turma na prova de estatstica foi 9 e em matemtica foi 8. Sabendo que a turma tem30 alunos e que o desvio padro das notas de estatstica foi = 4 e em matemtica foi = 5, determine ocoeficiente de disperso relativa de cada matria.

Soluo:

Estatstica: Coeficiente de disperso relativa = x

=4

9= 0, 44 = 44%

Matemtica: Coeficiente de disperso relativa = x

=5

8= 0, 63 = 63%

A matria matemtica apresentou um coeficiente de disperso relativa maior.


1.14 Medidas de Ordenamento e Posio

1.14.1 Quartis

Sabemos que a mediana divide o rol em duas partes, sendo 50% dos dados menores que a mediana e 50%dos dados maiores que a mediana. O quartil divide o rol em quatro partes iguais. Logo, teremos trs quartis:Q1, Q2 e Q3. Para determinarmos a ordem dos quartis, ns usaremos a relao Qi = x

in4 +

1

2

, em que i = 1, 2 e

3 so as ordens dos quartis e n o nmero de dados.

ER 9. Considere os dados 2, 4, 1, 9, 5, 3. Determine os quartis deste conjunto de dados.

Soluo: rol: 1, 2, 3, 4, 5, 9. Neste caso temos seis dados. Logo, n = 6. O primeiro quartil Q1 =x1 6

4+

1

2

= x2 = 2. O segundo e o terceiro quartis so Q2 = x[ 264 + 12 ] = x3,5 =x3 + x4

2=

7

2= 3, 5 e

Q3 = x[ 364 +12 ]

= x5 = 5. Logo, estes so os trs quartis que dividem o rol em quatro partes iguais.

1.14.2 Decis

Dividem o rol em dez partes iguais.Di = x[ in10 +

12 ]

.

1.14.3 Percentis

Dividem o rol em cem partes iguais.Pi = x[ in100 +

12 ]

.

EP 1.3. Dado o conjunto de dados {1, 3, 2, 6, 5, 9}. Determinar seus quartis.

EP 1.4. Dado o conjunto de dados {20, 5, 7, 3, 9, 3, 4, 8, 2}, determine:

(a) O rol, a mdia e a mediana.

(b) A moda, o desvio mdio e a varincia.

(c) O desvio padro , o quarti lQ3, o deci lD5 e o percenti lP10

EP 1.5. Considere os conjuntos de dados X = {13, 29, 37, 51, 46, 39, 58}e Y = {14, 26, 13, 32, 16, 53, 78, 86, 93, 41}.Determine para os dois conjuntos de dados:

(a) A mediana, a mdia, e a moda

(b) Q3, D7 e P52

FTC EAD |32

1.15 Atividade Complementar

EP 1.6. Dado o rol de dados amostrais abaixo:

26, 98 25, 10 25, 20 32, 40 34, 30 34, 30 36, 40 39, 06 39, 37

39, 40 49, 00 49, 00 50, 84 51, 50 54, 68 54, 68 65, 30 65, 60

67, 70 67, 80 70, 30 71, 77 71, 80 79, 60 79, 70 81, 00 81, 00

81, 00 82, 37 82, 38 89, 00 93, 00 93, 90 94, 13 101, 00 103, 00

107, 00 107, 00 107, 00 107, 30 120, 34 122, 87 122, 98 123, 96

(a) Construa a distribuio em classes de frequncia.

(b) Construa o histograma.

(c) Calcule a mdia dos dados.

(d) Determine a mediana dos dados.

(e) Calcule a mdia da distribuio em classes de frequncia que voc construiu no item (a).

(f) Calcule a mediana da distribuio em classes de frequncia que voc construiu no item (a).

EP 1.7. Em cada uma das situaes abaixo utilize o clculo da mdia correta. Escolha entre o clculo damdia aritmtica, da mdia geomtrica ou da mdia harmnica. Justifique a utilizao de cada mdia em cadasituao.

(a) Um motorista foi de Lauro de Freitas para Camaar velocidade mdia de 78, 92km/h. Depois foi deCamaar para Feira de Santana velocidade mdia de 103, 78km/h. Depois voltou de Feira de Santanapara Salvador velocidade mdia de 69, 23km/h. Calcule a velocidade mdia de todo este percurso,supondo que as distncia entre as cidades so iguais.

(b) A mdia das notas da turma dos estudantes de administrao com habilitao em marketing foi 7, 98 naprova de estatstica, a mdia das notas dos estudantes de administrao com habilitao em comercioexterior foi de 7, 98 e a dos estudantes de administrao com habilitao em gesto da informao foi de8,38. Sabendo-se que temos 41, 43 e 36 alunos nas turmas de marketing, comercio exterior e gesto dainformao respectivamente, calcule a mdia das notas de todos os alunos das trs habilitaes.

EP 1.8. As notas de 17 candidatos s vagas de administrador de empresas em uma indstria foram asseguintes: 5, 0; 7, 2; 6, 8; 5, 3; 8, 3; 7, 2; 8, 0; 8, 2; 6, 8; 6, 3; 7, 1; 8, 9; 5, 9; 8, 6; 6, 3; 5, 3; 7, 2. Sabendo-se que a nota decorte para selecionar os aprovados determinada pelo 70deci l :

(a) Determine a nota de corte

(b) Quais as notas dos candidatos aprovados?

EP 1.9. Em trs empresas de um complexo petroqumico, obtivemos os seguintes dados referentes a nmerosde acidentes de trabalho no ano de 2002: Na empresa E1 tivemos 6 acidentes. Na empresa E2 ocorreram 9acidentes e na empresa E3 ocorreu 3 acidentes. Sabendo-se que nas empresas E1, E2 e E3 existem respecti-vamente 300, 450 e 150 funcionrios:


(a) Na representao grfica ao lado existe um erro muito comumque as pessoas cometem ao representar dados em grficos.Esse erro nos induz a concluirmos que a empresa E2 foi menoseficiente na preveno de acidentes que as demais empresas.Qual foi o erro cometido nessa representao grfica?

Acidentes

E1 E2 E3

3

6

9

(b) Faa a representao grfica correta dos dados referentes a acidentes das empresas E1, E2 e E3.

EP 1.10. Considere os dois conjuntos de dados amostrais abaixo:C1 = {2, 53; 5, 47; 2, 47; 5, 57; 5, 78; 6, 35; 4, 34; 9, 56; 8, 98; 7, 34}C2 = {16, 45; 16, 09; 15, 47; 16, 78; 14, 98; 15, 98; 14, 76; 15, 23; 15, 31}

(a) Calcule a mdia, o desvio padro amostral e a varincia amostral para cada conjunto de dados.(b) Qual conjunto apresenta uma maior disperso entre os dados em relao a sua mdia? Justifique sua

resposta.

Gabarito

1.1 7, 28. 1.2 x = 7, 3, s = 1, 39 e s2 = 1, 93. 1.3 Q1 = 2, Q2 = 4 e Q3 = 6 1.4 (a) x = 6, 78, Md = 5 (b) Mo = 3, DM = 3, 75 es2 = 30, 44 (c) s = 5, 52, Q3 = x7,75 = 8, 75, D5 = x5 = 7, P10 = x1,4 = 2, 4. 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

TEMA02 Probabiidade

Contedo 1: Equivalncia de Capitais

2.1 Contedo 1: Conceito e Definio

2.1 Definio. So chamados de experimentos aleatrios aqueles que repetidos em idnticas condies,produzem resultados que no podem ser previstos com certeza, porm, em geral, conseguimos descrever oconjunto de todos os resultados possveis que podem ocorrer.

So exemplos de experimentos aleatrios:

(a) Lanar um dado e observar o nmero da face de cima.(b) Lanar uma moeda.(c) De um lote de 30 peas defeituosas e 50 boas, retirar 5 peas e observar o nmero de defeituosas.

2.2 Definio. Chamamos de espao amostral o conjunto formado por todos os resultados possveis de umexperimento aleatrio. Indicamos por .

Assim, se tivermos:

FTC EAD |34

(a) duas moedas so lanadas simultaneamente e observa-se o nmero de caras. O espao amostral = {0, 1, 2}.

(b) uma moeda lanada duas vezes e observa-se a face de cima. O espao amostral = {(K ,K ); (K ,C ); (C ,K ); (C ,C )}.

(c) um casal que planeja ter 3 filhos e observa-se a sequncia dos sexos. O espao amostral = {(M ,M ,M); (M ,M ,F ); (M ,F ,M); (M ,F ,F ); (F ,F ,F ); (F ,F ,M); (F ,M ,F ); (F ,M ,M)}.

Dos experimentos anteriores temos os seguintes espaos amostrais:

1. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. = {K ,C},K = Cara e C =Coroa

3. = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

2.3 Definio. Seja o espao amostral de um experimento. Chamamos de evento todo subconjunto de .Dizemos que um evento A ocorre se, realizado o experimento o resultado obtido pertence a A.

Exemplos

(a) Um dado lanado e observa-se o nmero da face de cima. Assim, = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. EntoA: Observar nmero par o evento A = {2, 4, 6};B: Observar nmero mpar o evento B = {1, 3, 5};C : Observar nmero menor que quatro o evento C = {1, 2, 3}.

(b) Uma moeda lanada 2 vezes e observa-se a sequncia de caras e coroas. Assim, = {(K ,K ); (K ,C ); (C ,K ); (C ,C )}.

Ento,

A: Observar cara no segundo lanamento o evento A = {(K ,K ); (C ,K )};B: No observar coroa o evento B = {(K ,K )};C : Observar exatamente uma coroa o evento C = {(K ,C ); (C ,K )}.

2.2 Combinao de Eventos

2.2.1 Unio de dois ou mais eventos

Sejam A e B eventos de um espao amostral , ento C = A B, tambm um evento de .Sejam A1,A2, . . . ,An eventos de .

Ento A = A1 A2 . . . An = ni=1Ai um evento de .

Se A1 A2 . . . An = , ento dizemos que os Ai s so exaustivos.


2.2.2 Interseo de dois ou mais eventos

Sejam A e B dois eventos de , ento C = A B tambm um evento de . Se A B = , ento A e Bso ditos mutuamente exclusivos.

Sejam A1,A2, . . . ,An eventos de .

Ento I = A1 A2 . . . An = ni=1Ai tambm um evento de . Se Ai Aj = , para todo i 6= j , dizemos que os eventos so dois a dois exclusivos. Se Ai Aj = , para todo i 6= j , e A1 A2 . . . An = , dizemos que os Ai s so dois a dois exclusivos e

exaustivos.

2.2.3 Complementar de um evento

Seja A um evento de . Ento Ac = A tambm um evento de .Exemplo: Um dado lanado e observa-se o nmero da face de cima. Logo, = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Considere os seguintes eventos:

A: Observar nmero par (A = {2, 4, 6})B: Observar nmero mpar (B = {1, 3, 5}).C : Observar nmero menor que 3 (C = {1, 2}).

Temos, portanto, que

A C = {1, 2, 4, 6} (ocorrer nmero par ou menor que 3).A C = {2} (ocorrer nmero par e menor que 3).A B = (ocorrer nmero par e mpar) (mutuamente exclusivos).C c = C = {3, 4, 5, 6} (ocorrer nmero maior ou igual que 3).Ac = A = {1, 3, 5} (no ocorrer nmero par).

2.3 Frequncia relativa

Em um experimento aleatrio, no sabemos qual evento ocorrer, porm uns podem ocorrer mais que out-ros. Queremos associar nmeros a cada evento que nos dem uma indicao quantitativa da sua ocorrncia.Ento, definimos frequncia relativa da seguinte maneira:

Definio: Seja o espao amostral de um experimento aleatrio. Suponha que o experimento seja repetidoN vezes, nas mesmas condies. Seja ni o nmero de vezes que ocorre o evento elementar {a}. A frequnciarelativa do evento {a} o nmero f r = n

N.

Exemplo: Suponha que lanamos um dado 100 vezes e observamos o nmero 5, 16 vezes, ento a frequn-cia relativa deste evento f r = 16

100= 0, 16 = 16%.

FTC EAD |36

2.3.1 Propriedades

1. 0 f r 1, pois 0 nN 1.

2. f r1 + f r2 + . . .+ f rk = 1, poisn1

N+

n2

N+ . . .+

nk

N=

N

N= 1 (ou 100%).

3. Se A um evento no vazio de , ento a frequncia relativa de A (f rA) o nmero de vezes que ocorreA, dividido por N . Logo, f rA =

X

aiA

f ri .

Exemplo: Seja A = {a1, a2}. Logo, f rA = n1 + n2N

= f r1 + f r2.

4. A frequncia relativa tende a se estabilizar em torno de um valor bem definido, quando N suficiente-mente grande.

2.4 Definio de Probabilidade

Considere o espao amostral = {a1, a2, . . . , aN}. A cada evento {ai}, associamos um nmero real, in-dicado por P({ai}) = P(ai) ou, simplesmente, Pi , que chamaremos de probabilidade do evento {ai}, se asseguintes condies so satisfeitas:

1. 0 Pi 1, i {1, 2, . . . ,N}.

2.NX

i=1

Pi = P1 + P2 + . . .+ PN = 1.

Dizemos, assim, que os nmeros P1,P2, . . . ,PN , definem uma probabilidade sobre .

Seja A um evento.

1. Se A = , ento P(A) = 0.

2. Se A 6= , ento P(A) =X

aiA

Pi , ou seja, a probabilidade de um evento ocorrer dada pela soma dasprobabilidades com que seus eventos elementares ocorrem.

ER 10. Considere o espao amostral = {a1, a2, a3} e o evento A = {a1, a3}. Sabendo que P({a1}) = 0, 3 eP({a2}) = 0, 5, determine P(A).

Soluo: Temos que P(A) = P({a1}) + P({a3}) = 0, 3 + 0, 2 = 0, 5 = 50%.

2.4.1 Propriedades

1. P() = P(a1) + P(a2) + . . . + P(ak) = 1.

2. Se A e B so dois eventos de , tais que A B, ento P(A) P(B).

3. Se A um evento de , ento 0 P(A) 1.


4. Se A e B so dois eventos, ento P(AB) = P(A)+P(B)P(AB). Se A e B forem excludentes, entoP(A B) = P(A) + P(B), pois P(A B) = P() = 0.

5. Se Ac o complementar de A em relao a , isto Ac = A, ento P(Ac) = P( A) = 1 P(A).De fato, como Ac A = e Ac A = , temos que 1 = P() = P(Ac A) = P(Ac) + P(A), entoP(Ac) = 1 P(A).

A probabilidade de um evento A de um espao amostral finito equiprovvel pode ser obtida da seguinteforma:

P(A) =n(A)

n(),

em que n(A) o nmero de elementos de A e n() o nmero de elementos de .

Exemplo: Em uma urna temos 100 bolinhas numeradas de 1 a 100. Ento

(a) A probabilidade de tirarmos a bola de nmero 10 P({10}) = 1/100.

(b) A probabilidade de retirarmos uma bola que seja mltiplo de 10 P(A) = n(A)n()

=10

100=

1

10= 0, 1 = 10%.

Observe que o evento mltiplo de 10 A = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}.

Exemplo: Sejam os eventosA: nmero mltiplo de 20 e B: nmero mltiplo de 30. Logo, A = {20, 40, 60, 80, 100}e B = {30, 60, 90}. Observe que A B = {60} e, portanto, P(A B) = 1/100. A probabilidade de observarmosum mltiplo de 20 ou 30

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 5/100 + 3/100 1/100 = 7/100 = 0, 07 = 7%

Observe, neste exemplo, que cada bola tem a mesma probabilidade de ser retirada. Dizemos, ento, queeste espao amostral equiprovvel.

Contedo 2: Probabilidade Condicional

Sejam um espao amostral e A e B dois eventos de . Indicamos por P(A|B) a probabilidade do eventoA ocorrer, dado que o evento B ocorreu. Chamamos P(A|B) a probabilidade condicional do evento A dadoque o evento B ocorreu. Calculamos P(A|B) usando B como o novo espao amostral reduzido, dentro do qualqueremos calcular a probabilidade do evento A.

Exemplo: Considere o experimento aleatrio do lanamento de um dado. Logo, = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Con-sidere os seguintes eventos:

Ocorrer nmero par (A = {2, 4, 6}). Ocorrer nmero menor ou igual a 3 (B = {1, 2, 3}).

A probabilidade de ocorrer o evento A dado que B ocorreu P(A|B) = 1/3,pois considerando B como o novo espao amostral reduzido, temos que sexiste um nmero par em B, que o 2, e dois nmeros mpares que so, 1 e3.

5

1

32

4

6

B

A

Exemplo: Foram selecionadas 400 pessoas em uma cidade, cujo sexo e estado civil esto na tabela abaixo:

FTC EAD |38

Solteiros (S) Casados(C) Desquitados(D) Vivos (V) TotalMasculino (M) 50 60 40 30 180Feminino (F) 150 40 104 204 220

Total 200 100 50 50 400

Temos, ento, as seguintes probabilidades condicionais:

P(S |M) = 50/180 = 5/18, pois a probabilidade de ocorrer solteiro, dado que ocorreu o evento masculino.Logo, o evento masculino se torna o espao amostral reduzido, no qual calcularemos a probabilidade deo evento solteiro.

P(M |S) = 50/200 = 1/4 = 0, 25 = 25%, pois a probabilidade de ocorrer masculino, dado que ocorreuo evento solteiro. Logo, o evento solteiro se torna o espao amostral reduzido, no qual calcularemos aprobabilidade de o evento masculino. Podemos observar que P(S |M) 6= P(M |S).

P(F |D) = 10/50 = 1/5 = 0, 20 = 20%; P(D|F ) = 10/220 = 1/22. P(V |M) = 30/180 = 1/6; P(M |V ) = 30/50 = 3/5 = 0, 60 = 60%.

Podemos observar que P(A|B) = P(A B)P(B)

, se P(B) > 0.

Exemplo: Considere o exemplo anterior. Temos as seguintes probabilidades condicionais:

P(S |M) = P(S M)P(M)

=

50

400180

400

=50

400 400180

=50

180=

5

18.

P(M |S) = P(M S)P(S)

=

50

400200

400

=50

400 400200

=50

200=

1

4= 0, 20 = 20%

ER 11. Considere o experimento aleatrio do lanamento de dois dados D1 e D2, onde observamos osnmeros do dado D1 e do dado D2, representado pelo par ordenado (d1, d2). Considere os seguintes eventos:

A: Observar o nmero 4 em D2.

B: A soma dos nmeros de D1 e D2 5.

Determine P(A|B) e P(B|A).

Soluo: O experimento tem o seguinte espao amostral:

=

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;


Temos que A = {(1, 4); (2, 4); (3, 4); (4, 4); (5, 4); (6, 4)} e B = {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)}. Logo,

P(A|B) = P(A B)P(B)

=

1

364

36

=1

36 36

4=

1

4= 0, 25 = 25% e P(B|A) = P(B A)

P(A)=

1

366

36

=1

36 36

6=

1

6.

Contedo 3: Teorema da Multiplicao e Teorema da

Probabilidade Total

2.4.2 Teorema da Multiplicao

Temos, da definio de probabilidade condicional, que P(A|B) = P(A B)P(B)

e P(B|A) = P(B A)P(A)

. Logo,P(A B) = P(B) P(A|B) e P(A B) = P(A) P(B|A), isto , a probabilidade de ocorrer os eventos A e B igual ao produto da probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro dado que oprimeiro ocorreu. Este resultado conhecido como o teorema da multiplicao.

ER 12. Uma urna U1 contm 5 bolas vermelhas e 10 bolas brancas, a urna U2 contm 2 bolas vermelhas e 8brancas. Supondo que as duas urnas so idnticas, determine a probabilidade de escolhermos aleatoriamentea urna 1 e retirarmos uma bola vermelha.

Soluo: Temos que

P(U1 B) = P(U1) P(B|U1) = 12 1015

=10

30=

1

3,

P(U2 V ) = P(U2) P(V |U2) = 12 210

=2

20=

1

10= 0, 10 = 10% e

P(U2 B) = P(U2) P(B|U2) = 12 810

=8

20=

2

5= 0, 40 = 40%

P(U1 V ) = P(U1) P(V |U1) = 12 515

=5

30=

1

6, pois P(U1) = 1/2 e P(V |U1) = 5/15.

ER 13. Em um lote de 100 lmpadas, existem 80 boas (B) e 20 queimadas (Q). Uma lmpada escolhida aoacaso e, sem reposio desta, outra escolhida ao acaso. Determine a probabilidade escolhermos a primeiralmpada boa e a segunda queimada.

Soluo: A probabilidade de escolhermos uma lmpada boa e outra queimada sem reposio o pro-duto das probabilidades que esto nos ramos do caminho boa (B) e queimada (Q). Logo, temos a proba-

bilidade 8100

2099

=4

5 20

99 0, 16 = 16%. Notamos que a probabilidade de escolhermos uma queimada

(Q) e uma boa (B) tm a mesma probabilidade de escolhermos uma boa (B) e uma queimada (Q). De fato20

100 8099

=1

5 8099

0, 16 = 16%. A probabilidade de escolhermos duas boas 80100

7999

=4

5 7999

0, 64 = 64%

e a probabilidade de escolhermos duas queimadas 20100

1999

=1

5 1999

0, 04 = 4%.

2.4.3 Teorema da Probabilidade Total

Sejam B1,B2, . . . ,Bn, n eventos do espao amostral . Dizemos que eles formam uma partio de se:

FTC EAD |40

1. P(Bi ) > 0.

2. Bi Bj = , se i 6= j .

3. ni=1Bi = .

Isto , os B i s so dois a dois mutuamente exclusivos e exaustivos.

B1B2

B5

B4B3

B6

Seja A um evento qualquer de . Ento, temos que A = (B1 A) (B2 A) . . . (Bn A). Como os conjuntos (B1 A), (B2 A), . . . , (B2 A)so dois a dois mutuamente exclusivos, isto , a interseo entre doisquaisquer destes conjuntos o conjunto vazio, temos que P(A) = P(B1A)+P(B2A)+. . .+P(BnA). Este resultado conhecido como teoremada probabilidade total.

B1B2

B5

B4B3

B6A

ER 14. Uma urna I tem 5 bolas pretas e 10 vermelhas; outra urna I I tem 3 bolas pretas e 2 vermelhas e a urnaI I I tem 7 bolas pretas e 3 vermelhas. Uma urna selecionada ao acaso e dela retirada uma bola tambm aoacaso. Qual a probabilidade desta bola ser vermelha?

Soluo: Temos que as urnas U1,U2 e U3, formam uma partio do espao amostral. Logo, o conjuntovermelho podemos escrever da seguinte forma: V = (U1 V ) (U2 V ) (U3 V ).

A probabilidade de retirarmos uma bola vermelha , ento, P(V ) = P(U1 V )+P(U2 V )+P(U3 V ) =1

3 1015

+1

3 25

+1

3 310

=2

9+

2

15+

1

10 0, 46 = 46%.

ER 15. Em trs caixas idnticas C1, C2 e C3, temos em C1 duas moedas de ouro (O), em C2 uma de ouro (O)e uma de prata (P) e em C3 duas de prata (P). Se escolhermos uma caixa ao acaso e retirarmos tambm aoacaso uma moeda de ouro desta caixa, qual a probabilidade de que a outra moeda desta caixa seja de ouro?

Soluo: Notamos que o problema se resume no seguinte: Se a moeda escolhida foi de ouro, qual aprobabilidade desta moeda ter vindo da caixa C1? Isto , qual a probabilidade de ocorrer o evento C1, dado

que o evento ouro (O) ocorreu. Logo, queremos determinar P(C1|O).

1/3

1/3

1/3

1/2

1

7/10

O

P

P

Q

C1

C2

C3

1/2

P(C1|O) = P(C1 0)P(0)

, como P(C1 O) = 13 1 = 1

3e P(O) =

P(C1 O) + P(C2 O) + P(C3 O) = 13 1 + 1

3 12

+1

3 0 = 1

2,

temos que P(C1|O) =1

31

2

=2

3.


Contedo 4: Eventos Independentes, Arranjos e

Combinao

2.5 Independncia de Dois Eventos

Dados dois eventos A e B de um espao amostral , dizemos que o evento A independe do evento B se,P(A|B) = P(A), isto , A independe de B se a ocorrncia de B no afeta a probabilidade de A. Notamos quese A independe de B, ento B independe de A. Vejamos:

Se A independe de B, ento P(A|B) = P(A B)P(B)

= P(A). Logo, P(A B) = P(A) P(B). Como P(B|A) =P(A B)P(A)

=P(A) P(B)

(A)= P(B). Portanto, B independe de A.

Temos que P(A|B) = P(A B)P(B)

. Logo, P(A B) = P(A/B) P(B), se A independe de B temos queP(A|B) = P(A), ento P(A B) = P(A) P(B). Podemos, ento, dizer que dois eventos A e B de um espaoamostral , so independentes se P(A B) = P(A) P(B).

Exemplo: Uma moeda lanada trs vezes. Logo, temos que = {(K ,K ,K ); (K ,K ,C ); (K ,C ,K ); (K ,C ,C ); (C ,C ,C ); (

Considere os eventos:

A: Ocorrerem resultados iguais nos trs lanamentos.

B: Ocorrerem pelo menos duas caras.

Assim, A = {(K ,K ,K ); (C ,C ,C )} e B = {(K ,K ,C ); (K ,C ,K ); (C ,K ,K ); (K ,K ,K )}.

Temos que P(A) = 2/8 = 1/4 e P(B) = 4/8 = 1/2. Como A B = {(K ,K ,K )}, temos que P(A B) = 1/8.Logo, temos que P(AB) = P(A)P(B), pois 1/8 = 1/41/2 e, neste caso, os eventos A e B so independentes.

Se dois eventos A e B de um espao amostral no so independentes, ento eles so ditos dependentes.

ER 16. Dois candidatos A e B prestam o mesmo vestibular para determinado curso de uma faculdade. Aprobabilidade do candidato A passar de 1/2 e do candidato B passar 3/4. Determine:

(a) A probabilidade de ambos passarem no vestibular.(b) A probabilidade de pelo menos um passar no vestibular.

Soluo: (a) O evento do candidato A passar no vestibular independe do evento do candidato B passa.Logo, A e B so independentes e P(A B) = P(A) P(B) = 1/2 3/4 = 3/8.

(b) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 1/2 + 3/4 3/8 = 7/8.EP 2.1. Mostre que se dois eventos A e B de um espao amostral so independentes, ento A e Bc so

independentes, Ac e B so independentes e Ac e Bc so independentes.

EP 2.2. Considere o exemplo acima. Determine as seguintes probabilidades:

(a) Nenhum dos candidatos passem no vestibular.

FTC EAD |42

(b) O candidato A passe no vestibular e o candidato B no.(c) O candidato B passe no vestibular e o candidato A no.

2.6 Mtodos de Enumerao

2.6.1 Regra da Multiplicao

Suponha que uma primeira deciso possa ser tomada de N maneiras e uma segunda deciso de Mmaneiras, ento o nmero de decises possveis M N .

Exemplo: Suponha que uma primeira deciso possa ser tomada de duas maneiras A e B, e uma segundadeciso possa ser tomada de trs maneiras C , D e E .

C

D

E

E

D

C

A

B

Logo, as decises possveis so {{A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}} e o nmero de decisespossveis so 2 3 = 6.

2.6.2 Permutaes

Se temos trs objetos A, B e C , podemos coloc-los juntos nas sequncias: ABC , ACB , BAC , BCA,CAB e CBA. Logo, temos seis maneiras diferentes de arrumar estes trs objetos. Se tivermos N objetos, nsteremos N possibilidades (objetos) para a primeira posio, N 1 possibilidades (objetos) para a segunda,N 2 possibilidades (objetos) para a terceira e assim sucessivamente, at a posio N , onde teremos apenasuma possibilidade (objeto).

N N 1 N 2 s 2 1

Pela regra da multiplicao, temos um total de N (N 1) (N 2) . . . 2 1 possibilidades de permutarmosestes objetos. Se N um inteiro positivo, definimos o fatorial de N por N! = N (N 1) (N 2) . . . 2 1 e0! = 1.

O nmero de maneiras de permutarmos N objetos dado por PN = N!.

2.6.3 Arranjos

Suponha que temos n elementos distintos e escolhemos r elementos entre eles. Chamamos de arranjodos n elementos tomados r a r a qualquer sequncia de r elementos tomados entre estes n elementos, todosdistintos.


O nmero de arranjos de n elementos tomados r a r denotada por An,r . Para a primeira posio temosn possibilidades, para segunda n 1 e assim sucessivamente at a posio r , onde teremos n (r 1)possibilidades.

n n 1 n 2 s n (r 2) n (r 1)

Temos que An,r = n (n 1) (n 2) . . . (n (r 1)) = n!(n r)! . Pois

n!

(n r)! =n (n 1) . . . (n 1)) (n r) (n (+1)) . . . 2 1

(n r) (n (r + 1) . . . 2 1 = n (n 1) (n 2) . . . (n (r 1)).

Logo, An,r =n!

(n r)! .

Exemplo: Sejam a e b dois elementos. Logo, A2,2 = 2!/(22)! = 2! = 2. As possibilidades so {(a, b); (b, a)}.Exemplo: Sejam a, b e c trs elementos, logo A3,3 = 3!/(3 3)! = 3! = 6. As possibilidades so

{(a, b, c); (a, c , b); (b, a, c); (b, c , a); (c , a, b); (c , b, a)}. Considere, agora, o nmero de arranjos deste 3 elementostomados 2 a 2. Temos, A3,2 = 3!/(32)! = 3! = 6. As possibilidades so {(a, b); (b, a); (a, c); (c , a); (c , b); (b, c)}.

Exemplo: Sejam a, b, c e d quatro elementos. Logo, A4,2 = 4!/(42)! = 4!/2! = 24/2 = 12. As possibilidadesso {(a, b); (b, a); (a, c); (c , a); (a, d); (d , a); (b, c); (c , b)(b, d); (d , b); (c , d); (d , c)}.

2.6.4 Combinaes

Dado um conjunto M com n elementos, M = {a1, a2, . . . , an}, chamamos de combinao dos n elementos,tomados r a r , a todo subconjunto de r elementos do conjunto M .

Exemplo: Considere o conjunto a, b, c , d, queremos tomar dois dentre estes quatro elementos. De quantasmaneiras podemos fazer isto? Temos as seguintes possibilidades: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c , d}.

O nmero de combinaes possveis que podemos fazer com n elementos tomados r a r indicado porCn,r ou

nr

, onde 0 r n. Sendo que Cn,r = n!r ! (n r) . Considerando o exemplo acima temos que

C4,2 =4!

2! (4 2)! =24

2.2=

24

4= 6.

ER 17. Dentre 6 pessoas desejamos fazer grupos de dois, quantas so essas possibilidades?

Soluo: C6,2 =6!

2!(6 2)! =720

2 24 =720

48= 15 possibilidades.

ER 18. Dentre 6 sons diferentes de um aparelho eletrnico, quantos sinais podemos produzir usando doissons entre esses 6?

Soluo: A6,2 =6!

(6 2)! =730

24= 30 possibilidades.

ER 19. Dentre um grupo de 6 pessoas temos 4 homens e duas mulheres, queremos formar um grupo de 2pessoas sendo que 1 homem e 1 mulher. Quantas so as possibilidades de formarmos este grupo?

Soluo: C4,1 =4!

1!(4 1)! =24

6= 4,C2,1 =

2!

1! (2 1)! =2

1= 2, logo as possibilidades so C4,1 C2,1 =

4 2 = 8.

FTC EAD |44

ER 20. Se temos 10 pessoas, sendo 6 homens e 4 mulheres, e queremos formar um grupo de 5 pessoas,sendo 3 homens e 2 mulheres, quantas possibilidades temos para formar este grupo?

Soluo: C6,3 =6!

3! (6 3)! =720

36= 20,C4,2 =

4!

2! (4 2)! =24

4= 6. Logo, as possibilidades so

C6,3 C4,2 = 20 6 = 120.

EP 2.3. De um determinado grupo de 101 empresas alimentcias que fabricam pelo menos um dos produtosmencionados, sabe-se que 66 fabricam gelias, 62 fabricam sorvetes e 56 produzem chocolates. Destas, 39fabricam sorvetes e gelias, 42 fabricam sorvetes e chocolates, 38 fabricam chocolates e gelias. Qual aprobabilidade de uma empresa escolhida ao acaso fabricar: (a) Somente gelia? (b) Somente chocolate ousorvete? (c) Chocolate e sorvete e gelia? (d) Gelia mais no sorvete? (e) Chocolate ou sorvete mas nogelia?

EP 2.4. De um grupo de 126 estudantes temos que 66 falam ingls, 52 falam francs e 11 no falam nenhumadestas lnguas.

(a) I e F so coletivamente exaustivos? Porqu?(b) I e F so mutuamente excludentes? Porqu?(c) Determine P(I F ).(d) Determine P(I F ).(e) Qual a probabilidade de escolhermos um estudante que fale apenas ingls?(f) Qual a probabilidade de escolhermos um estudante que fale apenas francs?

EP 2.5. Um cliente de uma loja de roupas e sapatos deseja comprar 4 camisas, 3 calas e 2 sapatos, eleest em duvida entre 6 camisas, 4 calas e 3 sapatos. De quantas maneiras ele pode efetuar esta compra?

EP 2.6. Uma dona de casa tem 12 livros em sua estante, sendo 5 matemtica, 4 de histria e 3 fsica. a)De quantas maneiras a dona de casa pode arrumar os livros na estante sendo que os livros de histria fiquemtodos juntos? b) De quantas maneiras a dona de casa pode arrumar os livros na estante sendo que os livrosde matemtica e fsica fiquem todos juntos?EP 2.7. Um rapaz construiu uma rifa onde o prmio era seu carro. Ele criou cartes com cinco cores

diferentes, azul,vermelho, verde, amarelo e branco, os cartes contm 5 dezenas escolhidas entre 10 dezenas.Qual a probabilidade de uma pessoa ganhar o prmio adquirindo um carto, se no dia marcado sorteia-se umacor e cinco dezenas entre as dez?

EP 2.8. A caixa econmica federal planeja lanar um jogo onde o jogador deve marcar 6 dezenas das 12possveis do carto. Ele ganha o prmio se conseguir acertar pelo menos 5 das 6 dezenas. Qual a probabilidadedele ganhar o jogo?EP 2.9. Nove livros so colocados ao acaso numa estante. Qual a probabilidade de que 3 livros determinados

fiquem juntos?EP 2.10. Em um dos novos jogos comercializados pela caixa econmica federal, o apostador deve marcar 50

dezenas de um carto contendo 100 dezenas. Posteriormente so sorteadas 20 dezenas. Calcule a probabili-dade do apostador ganhar: (a) acertando todas as 20 dezenas; (b) acertando 16, 17, 18, 19, ou 20 dezenas ouerrando as 20 dezenas.


2.7 Atividade Complementar

EP 2.11. Um grupo de pessoas foi classificado segundo o peso e o nvel de colesterol no sangue, onde aproporo encontra-se na tabela abaixo:

PesoColesterol Excesso Normal Baixo Total

Alto 0,2 0,18 0,17 0,55Normal 0,12 0,10 0,23 0,45

Total 0,32 0,28 0,40 1,00

(a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter colesterol normal?

(b) Se escolhermos uma pessoa desse grupo e ela tiver colesterol alto, qual a probabilidade que ela tenhaexcesso de peso?

EP 2.12. Em uma fbrica temos duas mquinas, mquina A e mquina B. A mquina A responsvel por53, 7% da produo, e a mquina B por 46, 3% da produo. A mquina A produz 41, 3% de peas com defeitoe a mquina B 2, 5% de peas com defeito.

(a) Se uma pea escolhida ao acaso e verificamos que ela defeituosa, qual a probabilidade dela ter sidoproduzida pela mquina B?

(b) Se escolhemos uma pea ao acaso, qual a probabilidade dela ser boa?

EP 2.13. Uma moeda viciada de modo que a probabilidade de sair K (cara) 7/3 da probabilidade de sairC (coroa). Se lanarmos essa moeda qual a probabilidade de sair:

(a) Cara (K )

(b) Coroa (C )

EP 2.14. Em uma urna temos 20 bolas enumeradas de 1 a 20.

(a) Se retirarmos uma bola par dessa urna, qual a probabilidade dessa bola ser maior ou igual a 13?

(b) Qual a probabilidade de uma bola menor que 17 ser retirada dessa urna?

(c) Qual a probabilidade de uma bola que seja mltipla de 3 e mltipla de 2 ser retirada dessa urna?

EP 2.15. Em uma urna temos quatro moedas. A moeda M1 uma moeda normal, a moeda M2 viciada detal modo que sair cara (K ) 1.219 vezes mais provvel que sair coroa (C ), a moeda M3 tem duas caras (K ) ea moeda M4 tem duas coroas (C ). Uma moeda escolhida ao acaso e lanada.

(a) Se o resultado obtido foi coroa (C ), qual a probabilidade da moeda lanada ter sido a moeda M2?

(b) Qual a probabilidade de observarmos moeda M3 e cara (K )?

(c) Qual a probabilidade de observarmos coroa (C )?

FTC EAD |46

Gabarito

2.1 2.2 (a) 1/8 (b) 1/8 (c) 3/8 2.3 (a) 25/101 (b) 29/101 (c) 36/101 (d) 27/101 (e) 35/101 2.4 (c) 3/126 (d) 115/126 (e) 63/126 (f) 49/126.2.5 C6,4 C4,3 C3,2 = 180 maneiras. 2.6 (a) A4,4 A9,9 = 4! 9! (b) A5,5 A3,3 A6,6 = 5! 3! 6!. 2.7 1/C5,1 C10,5 = 1/1.260. 2.8(C6,5+C6,6)/C12,6 = 7/924. 2.9 (A3, 3A7,7)/A9,9 = 1/12. 2.10 (a) C50,20/C100,20 (b) (C50,16+C50,17 +C50,18 +C50,19 +C50,20+C50,20)/C100,20.2.11 2.12 2.13 2.14 2.15


BLOCO02 Inferncia Estatstica

TEMA03Srie de Capitais, Inflao e

Depreciao

Contedo 1: Varivel Aleatria

Quando uma varivel tem resultados ou valores que tendem a variar de uma observao para outra emrazo de fatores relacionados com a chance, ns chamamos de varivel aleatria.

Uma varivel aleatria uma funo que associa um evento a um nmero. Por exemplo, ao jogar umamoeda, existem dois resultados K ou C , que no so numricos. Podemos, ento, considerar a varivelaleatria igual ao nmero de caras em uma jogada, ou seja, os valores numricos possveis so 0 e 1. As-sim, uma varivel aleatria (v.a) uma funo com valores numricos cujo valor determinado por fatoresrelacionados a chance.

As variveis aleatrias podem ser discretas ou contnuas. Uma varivel aleatria dita discreta se tomavalores que podem ser contados e dita contnua quando pode tomar qualquer valor de um determinadointervalo.

3.1 Funo de Probabilidade e Esperana de uma Varivel Aleatria

Admitamos X uma varivel aleatria em um espao amostral com contradomnio finito, de sorte queX () = {x1, x2, x3, . . . , xn}. Se para cada ponto xi , deste espao amostral X () tiver sido definido sua probabil-idade, tal que P(X = xi ), denominada por f (xi ), tem-se um espao de probabilidade.

Nesse sentido, a funo de probabilidade f em X () ser definida por f (xi ) = P(X = xi ), que passar aser chamada de distribuio ou funo de probabilidade e ser usada de forma mais comum segundo mostraa tabela seguinte:

xi x2 . . . xn

f (xi ) f (xi ) . . . f (xn)

A distribuio f acima dever satisfazer as seguintes condies:

1. f (xi ) 0

2.nX

i=1

f (xi ) = 1

Nestes termos, pode-se afirmar que a mdia ou a esperana matemtica para X , denotado por E (X ) ou Xou, simplesmente, E ou , definido por:

E (X ) = x1f (x1) + x2f (x2) + . . .+ xnf (xn) =nX

i=1

xi f (xi ).

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Observe que E (X ) representa a mdia ponderada entre os valores de xi e suas respectivas frequnciasabsolutas.

Exemplo: Lana-se um par de dados, obtendo-se um espao finito equiprovvel formado por 36 paresordenados cujos nmeros esto situados entre 1 e 6, conforme quadro abaixo.

=

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

A varivel aleatria X que associa a cada par ordenado (a, b) de o maior desses nmeros (X (a, b) =max{a, b}). Assim, X uma varivel aleatria cuja imagem : X () = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Ao se considerar a funo de distribuio de probabilidade f de X , calculando-se seu valor para cadaelemento da imagem, temos:

f (1) = P(X = 1) = P({(1, 1)}) = 136

f (2) = P(X = 2) = P({(2, 1); (2, 2); (1, 2)}) = 336

f (3) = P(X = 3) = P({(3, 1); (3, 2); (3, 3); (2, 3); (1, 3)}) = 536

f (4) = P(X = 4) = P({(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (1, 4); (2, 4); (3, 4)}) = 736

f (5) = P(X = 5) = P({(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (4, 5); (3, 5); (2, 5); (1, 5)}) = 936

f (6) = P(X = 6) = P({(1, 6); (2, 6); (3, 6); (4, 6); (5, 6); (6, 6); (6, 5); (6, 4); (6, 3); (6, 2); (6, 1)}) = 1136

A sntese dessa distribuio pode ser exposta em forma de tabela:

xi 1 2 3 4 5 6

f (xi )1

36

3

36

5

36

7

36

9

36

11

36

Por fim, a mdia de X :

E (X ) =nX

i=1

xi f (xi ) = 1 136

+ 2 336

+ 3 536

+ 4 736

+ 5 936

+ 6 1136

= 4, 47.

ER 21. Suponha que uma loteria pague prmios a seus clientes da seguinte maneira: 1.000 prmios deR$400, 00; 500 prmios de R$500, 00 e 100 prmios de R$1.000, 00.

Considere que so vendidos, num determinado concurso, 50.000 bilhetes e encontre o preo justo que sedeve pagar por cada bilhete comprado.

Soluo: Para

modulo_impresso-métodos quantitativos

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