mÓdulo i - matemÁtica financeira- ceebc_2009

COLÉGIO ESTADUAL EDVALDO BRANDÃO CORREIA

Educador e Professor, ITAMAR NASCIMENTO

SEMESTRE 2009.1/2009.2

MATEMÁTICA FINANCEIRA

3ª SÉRIEENSINOMÉDIO

MATEMÁTICA FINANCEIRASEMESTRE 2009.1

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COLÉGIO ESTADUAL EDVALDO BRANDÃO CORREIA

CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

EDUCADOR E PROFESSOR

ITAMAR SANTOS NASCIMENTO

M Ó D U L O I

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Salários semanais

fi xi (xi-x̄ )2 (xi-x̄ )2fi

140 |-- 160 7

160 |-- 180 20

180 |-- 200 33

200 |-- 220 25

220 |-- 240 11

240 |-- 260 4

∑ 100

Educador e Professor Itamar Nascimentowww.mathbabylon.blogspot.com/

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Figura 1- Ábaco Romano

Figura 2 - Cifrão

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Salvador2009

SUMÁRIO

1. APRESENTAÇÃO........................................................................................................06

2. INTRODUÇÃO..............................................................................................................07

3. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA.....................................................08

3.1 - APLICAÇÕES FINANCEIRAS....................................................................10

3.2 - UM POUCO DE HISTÓRIA.........................................................................12

3.2.1 - DO RENASCIMENTO À REVOLUÇÃO INDUSTRIAL..................12

3.2.2 - A EXPANSÃO MARÍTIMA.............................................................14

3.2.3 - O RENASCIMENTO CULTURAL..................................................14

3.2.4 - A REFORMA RELIGIOSA.............................................................16

3.2.5 - RENASCIMENTO DAS CIÊNCIAS...............................................17

3.2.6 - A EXPANSÃO DA MATEMÁTICA – SÉCULOS XV E XVI............17


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Figura 3 - Calculadora Financeira HP 12c

Figura 4 - Dr. Manhattan Filme Watchmen

Figura 5 - Ábaco Escolar

Figura 6 - Calculadora Financeira HP 49 G+



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3.2.7 - CONSOLIDAÇÃO DA MATEMÁTICA – SÉCULOS XVII E XVIII

............................................................................................................................18

4. AS ORIGENS DO SISTEMA MONETÁRIO.............................................................19

4.1 - MOEDA EM FORMATO DE OBJETOS......................................................19

4.2 - ESCAMBO..................................................................................................19

4.3 - ORIGEM E EVOLUÇÃO DO DINHEIRO....................................................19

4.4 - MOEDA-MERCADORIA.............................................................................19

4.5 - BREVE HISTÓRIA DO PAPEL-MOEDA.....................................................20

4.6 - HISTÓRICO DAS MOEDAS NO BRASIL...................................................22

4.7 - METAL........................................................................................................22

4.8 - MOEDAS ANTIGAS....................................................................................23

4.9 - OURO, PRATA E COBRE..........................................................................24

4.10 - MOEDA DE PAPEL..................................................................................25

4.11 - FORMATOS DIVERSOS..........................................................................26

5. SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO.....................................................................27

5.1 - DINHEIRO...................................................................................................27

5.2 – O CIFRÃO..................................................................................................28

5.2 - CHEQUE.....................................................................................................28

5.3 - CARTÕES DE CRÉDITO E DÉBITO..........................................................29

5.4 - AS MOEDAS NACIONAIS BRASILEIRAS ATUAIS....................................30

5.5 - 1.ª FAMÍLIA DE MOEDAS BRASILEIRAS (AÇO INOX).............................30

5.6 - 2.ª FAMÍLIA DE MOEDAS (CORES EM AÇO LETRORREVESTIDO).......33


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5.7 - MODIFICAÇÕES NAS MOEDAS DE 50 CENTAVOS E DE 1 REAL.........34

5.8 - POR QUE ALGUMAS MOEDAS NÃO SÃO ATRAÍDAS PELO IMÃ?

5.9 - QUAIS SÃO ELAS?....................................................................................37

5.10 - MOEDAS INADEQUADAS À CIRCULAÇÃO............................................38

5.11 - MOEDAS DANIFICADAS.........................................................................38

6. OS CONCEITOS DE NÚMERO, NUMERAL E ALGARISMO...............................

7. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO...................................................................................

8. QUADRO VALOR DE LUGAR (QVL)........................................................................

9. UMA BREVE REVISÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS E

SUBCONJUNTOS........................................................................................................

10. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE..............................................................................

11. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC).......................................................................

12. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)..........................................................................

13. INTERVALOS NUMÉRICOS......................................................................................

14. SEIS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS FUNDAMENTAIS.........................................

15. USO DO ÁBACO.........................................................................................................

16. USO DA CALCULADORA NÃO-CIENTÍFICA E CIENTÍFICA E AS

RESPECTIVAS FUNCIONALIDADES DAS SUAS TECLAS...............................

17. RAZÃO...........................................................................................................................

18. PROPORÇÃO...............................................................................................................

19. REGRA DE TRÊS SIMPLES......................................................................................

20. REGRA DE TRÊS COMPOSTA................................................................................

21. TAXA PERCENTUAL (i %).........................................................................................


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22. PORCENTAGEM.........................................................................................................

23. PROBLEMAS ENVOLVENDO PORCENTAGEM...................................................

24. LUCRO...........................................................................................................................

25. PREJUÍZO.....................................................................................................................

26. ACRÉSCIMOS E DESCONTOS................................................................................

27. JURO SIMPLES...........................................................................................................

28. JURO COMPOSTO......................................................................................................

29. MONTANTE..................................................................................................................

30. APLICAÇÕES DE LOGARITMO EM JURO COMPOSTO....................................

31. VALOR ATUAL E VALOR FUTURO........................................................................

32. CONFECÇÃO DE UMA PLANILHA ORÇAMENTÁRIA .......................................

33. NOÇÕES DE ESTATÍSTICA......................................................................................

34. PROBABILIDADE........................................................................................................

35. NOÇÕES DE ECONOMIA..........................................................................................

36. ESBOÇO DE GRÁFICOS DIVERSOS......................................................................

37. REFERÊNCIAS............................................................................................................

38. ANEXOS........................................................................................................................


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APRESENTAÇÃO

A importância da aprendizagem da Matemática Financeira no Ensino Médio é

imprescindível dado a sua enorme funcionalidade diária, tanto quanto nas Bolsas de

Valores, Comércio Interior e Exterior, Índices Inflacionários, Balança Comercial e na

dinâmica social das empresas e famílias, estas últimas sendo mais abastadas ou não. Visto

posto neste primeiro Módulo I estou contemplando os seguintes assuntos, a saber:

definição de Matemática Financeira, as origens do Sistema Cambial, moeda, dinheiro,

cheque, cartões de crédito etc, Sistema Nacional Financeiro, Cuidados com o dinheiro e sua

circulação, os conceitos de Número, Numeral e Algarismo, Sistemas de Numeração, Quadro

Valor de Lugar (QVL), uma breve revisão dos Conjuntos Numéricos e Subconjuntos já

estudados, Critérios de Divisibilidade, Mínimo Múltiplo Comum (MMC), Máximo Divisor

Comum (MDC), intervalos numéricos, as seis Operações Aritméticas Fundamentais, uso do

Ábaco, uso da Calculadora não-científica e científica e as respectivas funcionalidades das

suas teclas, Razão, Proporção, Regra de três Simples e Composta, Porcentagem,

Problemas envolvendo porcentagem, Lucro, Prejuízo, Acréscimos e Descontos, Juro

Simples, Juro Composto, Montante, Aplicações de Logaritmo em juro composto, Valor Atual


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e Valor Futuro, confecção de uma planilha orçamentária, cálculo da Taxa Percentual (i %),

Noções de Estatística, Probabilidade, esboço de Gráficos diversos, uso dos softwares Excel

e PowerPoint da Microsoft Corporation, uso das diversas Tecnologias da Informação, Textos

Diversos, Oficinas e é claro, Curiosidades matemáticas estando algumas constantes nos

Anexos.

Considero que a Matemática Financeira é um assunto de grande relevância no

cotidiano de todas as pessoas que se servem ou virão a servir-se do sistema bancário e do

comércio, além de ser tema constante de provas vestibulares e concursos públicos afins.

Sabe-se que, após a estabilização da economia nacional em virtude do plano real, de 1994

até então, no Governo do presidente Henrique Cardoso de Melo, as pessoas passaram a

adquirir financiamentos e empréstimos com maior freqüência o que justificaria de per si e de

fato uma sólida aprendizagem e futura aplicação da Matemática Financeira.

Há ainda a pretensão pedagógica em apontar os pré-requisitos fundamentais para a

assimilação dos conteúdos supracitados interdisciplinando-os quando possível, restando

aos alunos contemplarem e estudarem com a devida e merecida atenção, respeitando o

cronograma prévio e a contento estabelecido para este curso de Matemática Financeira.

INTRODUÇÃO

Caro aluno (a),

Convido você cordialmente a perscrutar esta ramificação da Matemática

intitulada Matemática Financeira. Nela seremos capazes de “ver” certos conteúdos

matemáticos de forma mais prática, aplicada no cotidiano e por extensão no tramite das

finanças que varrem o mundo e estão presentes na vida de cada habitante deste planeta,

seja ele rico ou pobre. O adimplento das novas Tecnologias da Informação, vulgo TICs, traz,

amplia e oportuniza formas cada vez mais laicas e internacionais de se perceber e analisar

o mundo moderno em que vivemos e as finanças não ficam à deriva deste processo.

Neste primeiro momento do nosso curso iremos revisar alguns preceitos e conceitos

básicos das operações aritméticas e outros conteúdos matemáticos que servirão de

sustentáculo ou base pra daí podermos qual linha zenital nortear, mensurar, elucidar e

exprimir as diversas realidades e situações do mercado financeiro, onde estamos também

inseridos, mediante formulações de cunho matemático.

É fato dizer que desde uma simples ida numa padaria, posto de gasolina, Feira de

São Joaquim, lojas na Baixa dos Sapateiros ou Avenida Sete e Shoppings afins para


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aquisição de bens de consumo percebe-se de pronto e imediato que há tanto valores

monetários envolvidos quanto a administração destas compras mediante uso de cartões de

crédito, promissória, cheque avulso, débito em conta corrente ou “dinheiro in cash”. Ao

dirigir-se a tais centros comerciais vê-se placas com dizeres “20% de desconto” ou “20%

off”, segundo modismo norte-americano, juro de 7,45% no cheque especial bancário, multa

de 2% e ainda, nos diversos meios noticiosos alguém explicita “Bolsa de Valores apresentou

alta de 1,5% ou queda de 0,75% negativo”s (grafa-se −0,75 % ¿ e “a Crise Mundial faz

empresas nos continentes falirem”. Assim resta perguntar, não deveria haver uma

matemática específica que contemplasse somente esta área prática do conhecimento?

Assim nasce a Matemática Financeira que objetiva inserir-se nestes múltiplos meandros a

fim de se prestar a compreender o mundo das finanças. Todavia seria pretensioso achar

que somente tal área supriria tal carência. Aliadas como a Estatística, Contabilidade e

Economia, dentre outras, é que juntas fornecem um aparato preciso para melhor ser

compreendida toda diagnose e influência abrangente do Mercado Financeiro.

Visto posto, sinta-se e seja muito bem-vindo (a) a este curso de Matemática

Financeira!

INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA

Segundo Renato Kleber Azevedo, Professor Licenciando em Matemática pela

Universidade Católica de Brasília, a Matemática Financeira é parte da matemática aplicada

e fundamental nas negociações bancárias e comerciais, sendo de grande importância sua

aprendizagem pelos estudantes do terceiro ano do Ensino Médio. Ela oferece a

oportunidade de revisar tópicos matemáticos vistos em séries anteriores, tais como funções

logarítmicas, funções exponenciais e progressões geométricas. Esses conteúdos formam a

base principal da Matemática Financeira.

Também Matemática Financeira é a parte da matemática mais utilizada por nós. Um

exemplo comum é quando compramos algo em uma loja no crediário ou cartão, financiamos

uma casa ou carro ou quando fazemos empréstimo onde será aplicado sobre o valor um

taxa de juros, que é calculada com a ajuda da matemática financeira. Taxas bancárias

também são calculadas com o auxílio da matemática financeira. Além, de calcular

operações de estatística como a porcentagem. É sensato afirmar que a Matemática

Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou


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financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos

para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

De acordo com o professor Renato Kleber Azevedo, assim como a Estatística e a

Probabilidade, a Matemática Financeira é subárea da matemática aplicada, especialmente

ligada às aplicações. Por isso é importante que o aluno perceba que as definições,

demonstrações, encadeamentos conceituais e lógicos tenham a função principal de

construir novos conceitos e estruturas a partir de outros.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio preceituam que se interprete

informações e seus significados (tabelas, gráficos e expressões). Eles devem ser

relacionados a contextos sócio-econômicos ou ao cotidiano que se adaptam certamente a

Matemática Financeira. Devem formular questões a partir de situações da própria realidade

e compreender aquelas já enunciadas.

Os Parâmetros também consideram relevante estabelecer conexões entre diferentes

temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo.

Mesmo que o conteúdo seja abordado de forma completa e aprofundado, nada garante que

o aluno estabeleça alguma significação para as idéias isoladas e desconectadas umas das

outras. O ponto central é o da contextualização que insere o assunto na realidade do aluno

e da interdisciplinaridade que procura inter-relacionar as disciplinas entre si. No tratamento

desses temas, a mídia, as calculadoras e os computadores adquirem importância natural

como recursos que permitem a abordagem de problemas com dados reais e requerem

habilidades de seleção e análise de informações.

APLICAÇÕES FINANCEIRAS

O sistema financeiro proporciona várias formas de ganhos extras, desde que se

tenha um capital a ser movimentado. Algumas opções são bem simples e estão ao alcance

de todos, a poupança é um desses produtos que gera rendimentos mensais, por ser de fácil

acesso e que não tem um prazo pré-determinado de aplicação, paga juros baixos, pois o

aplicador pode retirar o dinheiro a qualquer momento, sem nenhuma burocracia. Existem

algumas aplicações que pagam taxas de juros mais compensatórias, os títulos de

capitalização proporcionam aos clientes uma melhor rentabilidade. Mas como funciona um

titulo de capitalização?

Funciona como um título de crédito comercializado por entidades financeiras

autorizadas e fiscalizadas pelo Banco Central. Possuem carências pré-determinadas, o


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portador do título aplica mensalmente uma quantia fixa e, ao longo do período, concorre a

prêmios em dinheiro através de sorteios; alguns planos asseguram o cliente, repassando à

família um determinado valor caso ele venha a falecer. Sendo ou não sorteado, ao final do

período receberá o dinheiro aplicado, acrescido dos juros do rendimento, se ele resolver

retirar o dinheiro antes do prazo, possivelmente uma parte do montante será descontada.

Para calcular o montante de uma aplicação programada (títulos de capitalização,

fundos de investimento), sendo os depósitos mensais com valores fixos, taxas mensais fixas

e número de meses previstos, utilizamos as seguintes expressões:

M=P∗(1+i )∗(1+1 )n−1

i

Considerando que o resgate seja efetuado 30 dias após o último depósito.

M=P∗(1+1 )n−1

i

Considerando que o resgate aconteça imediatamente após o último depósito.

Onde:

i: taxa (deve ser dividida por 100), ou seja, figurar como número racional decimal mesmo;

P: valor do depósito

M: montante final

n: período da capitalização

Obs.: Para o desenvolvimento das expressões acima explicitadas precisaremos do auxílio

de uma calculadora científica e com certeza ao longo do nosso curso de Matemática

Financeira.

Exemplos

Investindo mensalmente o valor de R$ 150,00 em um título de capitalização que paga juros

de 1% ao mês, qual o valor a ser resgatado após 12 meses, considerando o resgate após

30 dias do último depósito?


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{ P=150i=1 %=0,01n=12meses

M=P ∙ (1+i ) ∙ (1+i )n−1i

M=150 ∙ (1+0,01 ) ∙ (1+0,01 )12−10,01

M=150 ∙1,01∙(1,01 )12−1

0,01=150 ∙1,01∙

1,126825030−10,01

=150 ∙1,01 ∙12,6825030=¿

M=1921,40

O valor a ser resgatado será de R$ 1 921,40.

Caso queira resgatar o dinheiro imediatamente após o último depósito, qual será o

valor do resgate?

Caso o resgate seja efetuado imediatamente após o último depósito, o valor será de

R$ 1 902,37.

Podemos observar que os valores são diferentes, isso ocorre porque na 1.ª opção

após o último depósito se passaram 30 dias, assim o montante é corrigido. Na 2.ª

opção, imediatamente após o último depósito, o dinheiro foi sacado não gerando a

correção do último mês.

UM POUCO DE HISTÓRIA

Do Renascimento à Revolução Industrial

O Início

A Europa ocidental sofreu várias transformações, durante a baixa idade média, que

contribuíram de forma significativa para o fim do feudalismo e do modelo econômico que

durante mil anos foi a base para esta civilização. Citam-se como os mais importantes:

ascensão da burguesia;

expansão da atividade comercial;

aumento no uso de moedas;

obtenção de autonomia do poder senhorial por parte de algumas cidades;


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disseminação de feiras pela Europa ocidental;

perda gradativa de poder por parte da igreja católica,;

contestação de dogmas religiosos por parte de filósofos e cientistas, e nova visão de

mundo.

A burguesia tinha como objetivo principal o lucro. Com o novo modo de vida urbano, as

pessoas passaram a abandonar o campo. Assim, começa um novo êxodo rural, tendo as

cidades como principal centro migratório.

O século XIV começa com crises ameaçando destruir toda esta transformação já

ocorrida. Estas crises atingem as instituições econômicas, políticas e sociais. A Europa do

fim da idade média e começo da idade moderna foi marcada por três grandes calamidades:

a guerra, a peste e a fome.

A guerra dos 100 anos, entre Inglaterra e França, deixou muitos senhores feudais na

ruína, pois suas propriedades foram arrasadas e seus servos fugiram. Os nobres não tinham

como reconstruir seus feudos e não estavam preparados para o novo de produção que

começava a surgir. Era preciso, primeiramente, investir em mão-de-obra e somente depois

obter algum lucro com a venda da colheita.

Esta ruína da nobreza fundiária faz crescer o poder real com o apoio da burguesia.

Florescem os estados monárquicos absolutistas, principalmente Inglaterra e França.

Com as guerras, volta a ser utilizada a via marítima para o transporte de mercadorias,

pois o transporte terrestre é prejudicado. Os comerciantes Italianos continuam com um

comércio marítimo muito forte. Este comércio, gradualmente, vai se expandindo do

mediterrâneo ao 0 e pobres, intelectuais e ignorantes, servos e senhores. Como a

contaminação dava-se, também, pelas rotas comerciais que uniam as cidades Européias,

milhões de pessoas morreram e povoados inteiros desapareceram. Esta peste negra é

apontada como o principal fator que acelerou a crise feudal e fez mudar o pensamento de

muitas pessoas sobre a situação do homem no mundo.

A mortandade da população, aliada às péssimas condições da agricultura

provocaram a queda da produção de alimentos. Com esta queda na produção, o lucro dos

comerciantes cai a níveis muito baixos. Aumentou a especulação. Estas calamidades que

abalaram a Europa, o aumento dos impostos e o desejo de liberdade impulsionaram os

camponeses à revolta. Levantes armados se espalharam por toda a Europa. Normalmente

estes levantes eram sufocados cruelmente pelo poder real ou nobres, que possuíam

exércitos particulares. Mesmo assim, conseguiram maior participação nas corporações e o

afrouxamento nas relações servis.


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Juntamente com todos estes problemas enfrentados neste período, existia ainda o

problema da expansão turca contra o continente europeu. Esta expansão havia interrompido

o fluxo de mercadorias pela rota da seda, pois os turcos haviam dominado todo o oriente.

Foi necessário, aos europeus, descobrir outro caminho para o comércio com a índia e o

oriente.

A Expansão Marítima

A dominação turca das rotas comerciais ligando o ocidente com o oriente não

impediu o fluxo de mercadorias. Porém, os custos das mercadorias era enorme. Aliado a

este problema, aconteceu o esgotamento das minas de metais preciosos na Europa. Havia

também o aumento populacional, o que acarretava o problema da alimentação para a

população, visto que havia falta de produtos agrícolas.

Veneza, junto com os árabes, dominava as principais rotas de navegação do

mediterrâneo e monopolizava o comércio e a maior parte do fornecimento de mercadorias.

A navegação no oceano atlântico, de longo alcance, única alternativa possível, exigia

técnicas mais avançadas do que a navegação no mediterrâneo. A navegação neste oceano

era extremamente adversa e desafiava a perícia dos navegadores.

Para que esta navegação fosse plena de êxito era necessário aprimorar as técnicas

de construção de navios, confecção de instrumentos para navegação, melhoria e criação de

novas cartas náuticas e geográficas. Foram instrumentos valiosos nesta etapa:

invenção da bússola, que aliada ao astrolábio, auxiliou a leitura de latitudes e longitudes;

descoberta da imprensa de tipos móveis, que auxiliou a difusão e a confecção de cartas de

navegação, e descoberta da pólvora.

Mesmo com todas as descobertas realizadas, ainda havia um grande empecilho para

a expansão marítima: os altos custos financeiros. Este problema foi solucionado pela

burguesia que começou a financiar as grandes expedições em troca de futuros benefícios.

As cortes reais também passaram a financiar estas expedições, em troca de ouro, prata e

especiarias.

É evidente que esta expansão marítima necessitava de altos conhecimentos

matemáticos e científicos de uma Europa que começava a sair do isolamento marcado pela

idade média. Este processo de expansão marítima e comercial foi um dos fatores que

fizeram com que a matemática, bem como as demais ciências, tivesse a maior expansão em


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todos os tempos da história. Esta expansão fez com que o continente europeu chegasse à

revolução industrial como potência mundial.

O Renascimento Cultural

O desenvolvimento artístico, científico e cultural ocorrido na Europa, denominado

Renascimento, foi um movimento que teve em suas concepções: renascimento da

antiguidade clássica por meio do estudo da cultura greco-romana, e análise crítica da

história passada por meio de uma precisa percepção da história.

O renascimento originou-se no norte da Itália e estendeu-se do início do século XIV

ao século XVI. Este movimento fez parte das transformações globais pelas quais passava a

Europa ocidental desde o fim da idade média. Depois, este movimento estendeu-se para os

demais países europeus, principalmente França, Inglaterra, Alemanha e Polônia.

Podem ser considerados fatores que contribuíram para o desenvolvimento do

movimento renascentista:

o interesse pelo estudo do direito romano;

rejeição ao misticismo medieval;

multiplicação das universidades, as quais haviam rompido com a escolástica, ou

seja, haviam rompido com o domínio da igreja sobre a construção do conhecimento;

apoio de ricos mercadores aos descobrimentos científicos, artísticos e culturais, e

queda de Constantinopla, fazendo com que sábios bizantinos fugissem para a Itália,

trazendo de volta os escritos gregos com a influência oriental.

O acúmulo de riqueza, ouro e prata, passou a ser muito valorizado. A burguesia lutava

pelos seus interesses econômicos e pela ascensão social. Surgem novos segmentos

sociais: profissionais liberais e assalariados.

A burguesia, e mesmo o alto clero e a nobreza, patrocinavam artistas. Ser retratado em

obras de arte era uma maneira de se conseguir prestígio político. Estes burgueses se

tornaram protetores das artes por interesse político e econômico. Ficaram conhecidos como

“mecenas”.

A possibilidade de leigos cursarem a universidade levou muitos burgueses a terem

acesso à educação. Houve uma preocupação maior com o ser humano, menor com a

metafísica, voltou-se mais para as questões cotidianas e da sociedade.

Estas transformações ocorridas na sociedade e no modo de agir da civilização

influenciaram diretamente na questão religiosa. A concepção de mundo pregada pela igreja

sofreu grandes contestações. Pregava-se, claramente, a divisão entre filosofia e teologia.


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Rejeitam-se as explicações medievais do mundo. É necessário ao homem conhecer os

fatos, testar e experimentar os fenômenos naturais. Hipóteses são testadas por

experiências. É o começo do racionalismo, que teve seu auge nos séculos XVII, XVIII e XIX,

principalmente com os filósofos franceses.

A Reforma Religiosa

Todas estas transformações sociais, políticas e econômicas ocorridas na Europa

ocidental fez com que também ocorressem mudanças consideráveis no seio da igreja. O

avanço das ciências e da filosofia no renascimento também estava na origem das críticas à

igreja, contrárias às novas idéias. A física e a astronomia renascentistas sustentavam a

teoria heliocêntrica e a esfericidade da terra. A igreja mantinha a teoria aristotélica de

mundo.

Aliado a estas dificuldades, o comportamento do clero não condizia com as

mensagens da bíblia, que estava sendo traduzida para as línguas nacionais européias. A

reforma religiosa veio com o intuito, não de dividir a igreja, e sim, de retirar o poder absoluto

da igreja sobre as questões de mundo. Todos os reformadores questionavam a influência da

igreja nas questões políticas, sociais e econômicas.

Desde o século XII aconteciam movimentos que tentavam realizar algumas reformas

religiosas. Alguns movimentos não se sustentaram por falta de coesão interna, outros foram

esmagados por força e alguns foram bem sucedidos, causando a cisão da igreja católica.

John Wycliff, professor de Oxford, Inglaterra, traduziu a bíblia do latim para o inglês e pregou

a libertação da igreja do domínio papal, recusou o culto aos santos e negou as indulgências;

Johan Huss, nacionalista boêmio, defendeu as mesmas idéias de Wycliff. Foi preso,

excomungado e morto na fogueira;

Martinho Lutero, monge agostiniano, alemão, fixou suas 95 teses contra as práticas

comuns da igreja, na catedral de Wittemberg. Foi perseguido, excomungado, mas conseguiu

que suas idéias ganhassem adesão nas cortes e na nobreza. Sua reforma fez a divisão

entre católicos e protestantes. Lutero traduziu a bíblia para o alemão e utilizando a

descoberta da imprensa de tipos móveis publicou muitos livros com linguagem acessível à

população, contribuindo para a liberdade de expressão.

A reforma religiosa contribuiu muito para o desenvolvimento das ciências, visto que a

censura da igreja sobre os assuntos sobre a origem e desenvolvimento do mundo

diminuíram bastante.


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Renascimento das Ciências

Mesmo durante a Idade Média, a ciência tinha uma relativa liberdade de pesquisa.

Esta liberdade permitiu que acontecesse um avanço do conhecimento em várias áreas.

Pode-se citar como avanços importantes ocorridos com o renascimento:

evolução da medicina com os estudos sobre a anatomia humana realizados por

Eustáquio, Falópio, Della Torre, Mundius e Da Vinci;

desenvolvimento da física e da astronomia, onde se destaca Leonardo da Vinci com

estudos sobre hidráulica, mecânica, gravitação universal, navegação submarina e

vôo de objetos mais pesados do que o ar;

desenvolvimento da teoria heliocêntrica pelo astrônomo polonês Nicolau Copérnico;

desenvolvimento mais acentuado da engenharia e arquitetura;

estudo da lei da queda dos corpos e da gravitação universal, estudo da via láctea,

manchas solares e os satélites de júpiter por Galileu Galilei.

Todas estas descobertas científicas, aliadas ao desenvolvimento do capitalismo pela

burguesia levaram a um período extremamente produtivo para as descobertas matemáticas.

A expansão da Matemática – Séculos XV e XVI

A queda de Constantinopla frente aos Turcos, faz com que haja um grande afluxo de

refugiados para a Itália, principalmente. Por este motivo, vários escritos da civilização grega

retornam ao ocidente. Assim, a Europa volta a ter contato com os originais gregos, agora

acrescidos das influências orientais.

Outro fator extremamente importante para a difusão dos conhecimentos matemáticos

foi a invenção da imprensa de tipos móveis. A comercialização dos livros pode ser

aprimorada, o que resultou numa disseminação dos conhecimentos de uma maneira rápida

e significativamente mais barata.

O desenvolvimento dos conceitos matemáticos, aritmética, álgebra e trigonometria,

estavam centrados, em sua maioria, nas cidades italianas e nas cidades de Nuremberg,

Viena e Praga. Estas eram cidades mercantis em desenvolvimento, propiciando um campo

fértil para a expansão matemática.


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A população volta a ter interesse pela educação. A atividade comercial no

Renascimento tem um grande crescimento. Começam a aparecer textos populares de

aritmética, em linguagem clássica (latim) para os eruditos e na língua mãe, com o fim de

propiciar o ensino aos jovens que tem interesse em seguir a carreira comercial.

A expansão matemática foi tão grande neste período que é impossível relatar todos

os avanços obtidos. A matemática passa a ser entendida por especialistas tais como:

François Viéte (1540-1603)

Christopher Clavius (1537-1612)

Simon Stevin (1548-1620)

Nicolau Copérnico (1473-1543)

Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576)

As realizações matemáticas no século XVI constam de: expansão da álgebra

simbólica, padronização do cálculo com numerais indo-arábicos, uso comum de frações

decimais, resolução de equações cúbica e quárticas por meios algébricos, aprimoramento

da trigonometria e progressão da teoria das equações. Estava preparado o campo para a

grande expansão que viria a ocorrer a partir do século XVII até o século XIX.

Consolidação da Matemática – Séculos XVII e XVIII

O século XVII é extremamente importante no desenvolvimento da matemática.

Tivemos o desenvolvimento dos logaritmos, por Napier; contribuição para notação e

codificação da álgebra, por Harriot e Ougthred; fundação da ciência da dinâmica por Galileu;

Kepler anunciou suas leis do movimento planetário; Desargues e Pascal inauguraram um

novo campo da geometria pura; Descartes desenvolveu a geometria analítica; Fermat

desenvolveu os fundamentos da teoria dos números; Huygens contribuiu para a teoria das

probabilidades; e no final do século, Newton e Leibniz contribuíram para o desenvolvimento

do cálculo.

Este grande desenvolvimento da matemática neste período foi partilhado por todas

as atividades intelectuais e só foi possível graças aos avanços políticos, econômicos e

sociais da época.

Com a política mais favorável no norte da Europa e a superação da barreira do frio e

da escuridão durante os longos meses de inverno, há um deslocamento da atividade

matemática da Itália para a França e Inglaterra.


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19

Começa uma crescente pesquisa matemática, fora do alcance do leitor comum, pois

a maior parte da matemática desse período só pode ser entendida por especialistas.

A astronomia, a navegação, o comércio, a engenharia e a guerra fizeram com que as

demandas por cálculos rápidos e precisos crescessem rapidamente. Quatro invenções

contribuíram muito para este progresso: notação indo-arábica, frações decimais, logaritmos

e modernos computadores.

Serão analisadas as contribuições de vários matemáticos deste período para o

desenvolvimento da matemática.

AS ORIGENS DO SISTEMA MONETÁRIO

Escambo

Origem e Evolução do Dinheiro

Escambo, permuta, troca direta ou, simplesmente, troca é a

transação ou contrato em que cada uma das partes entrega um

bem ou presta um serviço para receber o bem ou serviço que a

outra lhe entrega ou presta a ela, sem que um dos bens seja

moeda ou seja, uma aplicação monetária, que alguns

estudiosos chamam de dinheiro, que é a moeda "aceita", ou

em "circulação - forçada", desde Dario, como querem os

autores. A moeda, como hoje a conhecemos, é o resultado de

uma longa evolução.

No início não havia moeda. Praticava-se o escambo, simples troca de mercadoria

por mercadoria, sem equivalência de valor.

Assim, quem pescasse mais peixe do que necessário para si e seu grupo trocava

este excesso com o de outra pessoa que, por exemplo, tivesse plantado e colhido

mais milho do que fosse precisar. Esta elementar forma de comércio foi dominante

no início da civilização, podendo ser encontrada, ainda hoje, entre povos de

economia primitiva, em regiões onde, pelo difícil acesso, há escassez de meio

circulante, e até em situações especiais, em que as pessoas envolvidas efetuam

permuta de objetos sem a preocupação de sua equivalência de valor. Este é o

caso, por exemplo, da criança que troca com o colega um brinquedo caro por outro


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http://pt.wikipedia.org/wiki/Dario

http://pt.wikipedia.org/wiki/Moeda

http://pt.wikipedia.org/wiki/Dinheiro



20

de menor valor, que deseja muito.

As mercadorias utilizadas para escambo geralmente se apresentam em estado

natural, variando conforme as condições de meio ambiente e as atividades

desenvolvidas pelo grupo, correspondendo a necessidades fundamentais de seus

membros. Nesta forma de troca, no entanto, ocorrem dificuldades, por não haver

uma medida comum de valor entre os elementos a serem permutados.

Moeda-Mercadoria

Algumas mercadorias, pela sua utilidade, passaram a ser mais procuradas do que

outras.

Aceitas por todos, assumiram a função de moeda, circulando como elemento

trocado por outros produtos e servindo para avaliar-lhes o valor. Eram as moedas–

mercadorias.

O gado, principalmente o bovino, foi

dos mais utilizados; apresentava

vantagens de locomoção própria,

reprodução e prestação de serviços,

embora ocorresse o risco de

doenças e da morte.

O sal foi outra moeda–mercadoria; de

difícil obtenção, principalmente no

interior dos continentes, era muito

utilizado na conservação de

alimentos. Ambas deixaram marca de

sua função como instrumento de

troca em nosso vocabulário, pois, até

hoje, empregamos palavras como

pecúnia (dinheiro) e pecúlio (dinheiro

acumulado) derivadas da palavra

latina pecus (gado). A palavra capital

(patrimônio) vem do latim capita

(cabeça). Da mesma forma, a palavra


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salário (remuneração, normalmente

em dinheiro, devida pelo empregador

em face do serviço do empregado)

tem como origem a utilização do sal,

em Roma, para o pagamento de

serviços prestados.

No Brasil, entre outras, circularam o

cauri – trazido pelo escravo africano

–, o pau-brasil, o açúcar, o cacau, o

tabaco e o pano, trocado no

Maranhão, no século XVII, devido à

quase inexistência de numerário,

sendo comercializado sob a forma

de novelos, meadas e tecidos.

Com o passar do tempo, as

mercadorias se tornaram

inconvenientes às transações

comerciais, devido à oscilação de seu

valor, pelo fato de não serem

fracionáveis e por serem facilmente

perecíveis, não permitindo o acúmulo

de riquezas.

Breve História do Papel-Moeda

O papel-moeda resultou de um longo processo de evolução, a partir de duas grandes

formas primitivas: o recibo e o título de dívida.

A China foi o primeiro país a utilizar o papel-moeda, no reinado do imperador Wu-Ti,

no séc. II a.C. A partir do séc. VII, as notas de depósito, emitidas em troca de dinheiro

depositado, eram o meio utilizado entre os comerciantes da dinastia Tang.

Na Europa, os comerciantes, em nome individual ou coletivo, passavam recibos

sobre dinheiro depositado. Além do comércio, dedicavam-se a atividades financeiras, como

cambistas e banqueiros. Com o aumento desta atividade, que tomou proporções de

"operação bancária", desenvolveram-se formas diferentes de recibos e ordens de

pagamento: a Letra de Câmbio, a Livrança, o Cheque e a Nota de Banco.


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22

Foi o Banco de Estocolmo, em 1661, que criou as primeiras notas bancárias em toda

a Europa.

Em Portugal, no séc. XVII, no reinado de D. Pedro II, surgiu a primeira experiência

conhecida de utilização do papel como forma de dinheiro - Recibos ou Escritos da Casa da

Moeda.

No reinado de D. José I, foi conferida a categoria de Banco Público às Companhias

Gerais, cujas apólices foram declaradas como dinheiro, e no reinado de D.Maria I o papel

passou a ser utilizado como meio de pagamento.

As notas do Banco de Lisboa foram as primeiras a surgir em Portugal, em 1822.

Em 1846, da fusão do Banco de Lisboa com a Companhia Confiança Nacional surgiu

o Banco de Portugal, que emitiu as suas primeiras notas em 1847 e funcionou até 1870 no

edifício da Câmara Municipal de Lisboa (figura em baixo).

Misto de banco comercial e de banco emissor partilhou com as outras instituições o

direito de emissão de notas até 1891. A partir de então, o Banco de Portugal passou a deter

o exclusivo de emissão de notas para o Continente, Açores e Madeira.

Dom Sebastião, rei de Portugal, determinou a circulação de moedas portuguesas no

Brasil em 1568, porém a partir dessa época as moedas eram o pau-brasil, o açúcar e o

ouro, que formaram os ciclos econômicos no Brasil Colônia.

As primeiras moedas cunhadas no Brasil entraram em circulação nos anos de 1645,

1646 e 1654. Essas moedas foram colocadas em circulação pelos holandeses

(neerlandeses), que controlavam Pernambuco e fizeram as moedas para pagamento de

seus soldados.


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http://pt.wikipedia.org/wiki/Pernambuco

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pa%C3%ADses_Baixos

http://pt.wikipedia.org/wiki/1654



http://pt.wikipedia.org/wiki/Brasil

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ouro

http://pt.wikipedia.org/wiki/A%C3%A7%C3%BAcar

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pau-brasil



http://pt.wikipedia.org/wiki/Portugal

http://www.bportugal.pt/bnotes/moneyhst/notasbp_p.htm

http://www.bportugal.pt/bnotes/moneyhst/notasbl_p.htm


23

Em 1694 cria-se a primeira casa da moeda na Bahia, que previa a cunhagem da

grande diversidade de moedas que circulavam na América Portuguesa desde o fim da União

Ibérica em 1640.

Entre 1695 e 1698 foram criadas as primeiras moedas para uso exclusivo na colônia.

Durante e após esse período, existiram casas da moeda em Pernambuco, na Bahia e no Rio

de Janeiro.

Na Casa da Moeda no Rio de Janeiro foram cunhadas em 1703 as primeiras moedas

para uso no Reino Unido, portanto válidas também em Portugal.

Atualmente, a responsabilidade pela emissão de moeda-papel e moeda metálica é

do Banco Central do Brasil, que delega à Casa da Moeda do Brasil a sua produção.

A Casa da Moeda do Brasil produz em média 2,4 bilhões de cédulas e 1,5 bilhões de

moedas por ano. A primeira sede da instituição foi construída na Praça da República, no

centro do Rio de Janeiro. Atualmente, a fábrica da Casa da Moeda fica no bairro de Santa

Cruz, também no Rio de Janeiro.

HISTÓRICO DAS MOEDAS NO BRASIL

Real (plural: Réis) - de 1500 a 8 outubro 1834

Mil Réis - de 8 outubro 1834 a 1.º novembro 1942

Conto de Réis (equivalente a um milhão de réis)

Cruzeiro - de 1.º novembro 1942 a 13 fevereiro 1967

Cruzeiro Novo - de 13 fevereiro 1967 a 15 maio 1970

Cruzeiro - de 15 maio 1970 a 28 fevereiro 1986

Cruzado - de 28 fevereiro 1986 a 15 janeiro 1989

Cruzado novo - de 15 janeiro 1989 a 15 março 1990

Cruzeiro - de 15 março 1990 a 1.º agosto 1993

Cruzeiro Real - de 1.º agosto 1993 a 1.º julho 1994

Real (plural: Reais) - de 1.º julho 1994 até atualmente

Fonte no site do Banco do Brasil: http://www.bcb.gov.br/?ORIGEMOEDA

Moçambique

A moeda nacional de Moçambique é o metical. Em Maputo, capital de Moçambique,

existe um Museu da Moeda, mostrando moedas atuais e antigas de vários países. existem

varias formas de dizer dinheiro guito;massa.


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http://pt.wikipedia.org/wiki/Casa_Amarela

http://pt.wikipedia.org/wiki/Maputo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Metical

http://pt.wikipedia.org/wiki/Mo%C3%A7ambique


http://pt.wikipedia.org/wiki/Real_(moeda)



http://pt.wikipedia.org/wiki/Cruzeiro_Real



http://pt.wikipedia.org/wiki/Cruzeiro_(moeda)



http://pt.wikipedia.org/wiki/Cruzado_novo



http://pt.wikipedia.org/wiki/Cruzado_(BRC)







http://pt.wikipedia.org/wiki/Cruzeiro_(moeda)





http://pt.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9is

http://pt.wikipedia.org/wiki/Santa_Cruz_(bairro_do_Rio_de_Janeiro)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Santa_Cruz_(bairro_do_Rio_de_Janeiro)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Rio_de_Janeiro_(cidade)


http://pt.wikipedia.org/wiki/Casa_da_Moeda



http://pt.wikipedia.org/wiki/Banco_Central_do_Brasil

http://pt.wikipedia.org/wiki/Portugal

http://pt.wikipedia.org/wiki/Reino_Unido_de_Portugal,_Brasil_e_Algarve


http://pt.wikipedia.org/wiki/Rio_de_Janeiro_(cidade)





http://pt.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%A3o_Ib%C3%A9rica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%A3o_Ib%C3%A9rica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Bahia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Casa_da_moeda



24

Metal

Quando o homem descobriu o metal, logo passou a utilizá-lo para fabricar seus

utensílios e armas anteriormente feitos de pedra.


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25

Por apresentar vantagens como a

possibilidade de entesouramento,

divisibilidade, raridade, facilidade de

transporte e beleza, o metal se elegeu

como principal padrão de valor. Era

trocado sob as formas mais diversas. A

princípio, em seu estado natural, depois

sob a forma de barras e, ainda, sob a

forma de objetos, como anéis, braceletes

etc.

O metal comercializado dessa forma exigia aferição de peso e avaliação de seu

grau de pureza a cada troca. Mais tarde, ganhou forma definida e peso

determinado, recebendo marca indicativa de valor, que também apontava o

responsável pela sua emissão. Essa medida agilizou as transações, dispensando a

pesagem e permitindo a imediata identificação da quantidade de metal oferecida

para troca.

MOEDA EM FORMATO DE OBJETOS

Os utensílios de metal passaram a ser

mercadorias muito apreciadas.

Como sua produção exigia, além do

domínio das técnicas de fundição, o

conhecimento dos locais onde o metal

poderia ser encontrado, essa tarefa,

naturalmente, não estava ao alcance de

todos.

A valorização, cada vez maior, destes

instrumentos levou à sua utilização como

moeda e ao aparecimento de réplicas de

objetos metálicos, em pequenas

dimensões, que circulavam como


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dinheiro.

É o caso das moedas faca e

chave que eram encontradas no

Oriente e do talento, moeda de

cobre ou bronze, com o formato

de pele de animal, que circulou

na Grécia e em Chipre.

MOEDAS ANTIGAS

Surgem, então, no século VII a.C., as primeiras moedas com características das

atuais: são pequenas peças de metal com peso e valor definidos e com a

impressão do cunho oficial, isto é, a marca de quem as emitiu e garante o seu

valor.

São cunhadas na Grécia moedas de prata e, na Lídia, são utilizados pequenos

lingotes ovais de uma liga de ouro e prata chamada eletro.

As moedas refletem a

mentalidade de um povo e de

sua época. Nelas podem ser

observados aspectos políticos,

econômicos, tecnológicos e

culturais. É pelas impressões

encontradas nas moedas que

conhecemos, hoje, a efígie de

personalidades que viveram há

muitos séculos. Provavelmente,

a primeira figura histórica a ter

sua efígie registrada numa

moeda foi Alexandre, o Grande,

da Macedônia, por volta do ano

330 a.C.

A princípio, as peças eram fabricadas por processos manuais muito rudimentares e

tinham seus bordos irregulares, não sendo, como hoje, peças absolutamente iguais

umas às outras.

OURO, PRATA E COBRE


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Os primeiros metais utilizados na cunhagem de moedas foram o ouro e a prata. O

emprego destes metais se impôs, não só pela sua raridade, beleza, imunidade à

corrosão e valor econômico, mas também por antigos costumes religiosos. Nos

primórdios da civilização, os sacerdotes da Babilônia, estudiosos de astronomia,

ensinavam ao povo a existência de estreita ligação entre o ouro e o Sol, a prata e a

Lua. Isto levou à crença no poder mágico destes metais e no dos objetos com eles

confeccionados.

A cunhagem de moedas em

ouro e prata se manteve durante

muitos séculos, sendo as peças

garantidas por seu valor

intrínseco, isto é, pelo valor

comercial do metal utilizado na

sua confecção. Assim, uma

moeda na qual haviam sido

utilizados vinte gramas de ouro,

era trocada por mercadorias

neste mesmo valor.

Durante muitos séculos os países cunharam em ouro suas moedas de maior valor,

reservando a prata e o cobre para os valores menores. Estes sistemas se

mantiveram até o final do século passado, quando o cuproníquel e, posteriormente,

outras ligas metálicas passaram a ser muito empregados, passando a moeda a

circular pelo seu valor extrínseco, isto é, pelo valor gravado em sua face, que

independe do metal nela contido.

Com o advento do papel-moeda a cunhagem de moedas metálicas ficou restrita a

valores inferiores, necessários para troco. Dentro desta nova função, a durabilidade

passou a ser a qualidade mais necessária à moeda. Surgem, em grande

diversidade, as ligas modernas, produzidas para suportar a alta rotatividade do

numerário de troco.

MOEDA DE PAPEL


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Na Idade Média, surgiu o costume de se guardarem os valores com um ourives,

pessoa que negociava objetos de ouro e prata. Este, como garantia, entregava um

recibo. Com o tempo, esses recibos passaram a ser utilizados para efetuar

pagamentos, circulando de mão em mão e dando origem à moeda de papel.

No Brasil, os primeiros bilhetes de banco, precursores das cédulas atuais, foram

lançados pelo Banco do Brasil, em 1810. Tinham seu valor preenchido à mão, tal

como, hoje, fazemos com os cheques.

Com o tempo, da mesma forma

ocorrida com as moedas, os

governos passaram a conduzir a

emissão de cédulas,

controlando as falsificações e

garantindo o poder de

pagamento.

Atualmente quase todos os

países possuem seus bancos

centrais, encarregados das

emissões de cédulas e moedas.

A moeda de papel evoluiu quanto à técnica utilizada na sua impressão. Hoje a

confecção de cédulas utiliza papel especialmente preparado e diversos processos

de impressão que se complementam, dando ao produto final grande margem de

segurança e condições de durabilidade.

FORMATOS DIVERSOS

O dinheiro variou muito, em seu aspecto físico, ao longo dos séculos.

As moedas já se apresentaram

em tamanhos ínfimos, como o

stater, que circulou em Aradus,

Fenícia, atingindo também

grandes dimensões como as do

dáler, peça de cobre na Suécia,

no século XVII.

Embora, hoje, a forma circular seja adotada em quase todo o mundo, já existiram


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moedas ovais, quadradas, poligonais etc. Foram, também, cunhadas em materiais

não metálicos diversos, como madeira, couro e até porcelana. Moedas de

porcelana circularam, neste século, na Alemanha, quando, por causa da guerra,

este país enfrentava grave crise econômica.

As cédulas, geralmente, se apresentam no formato retangular e no sentido

horizontal, observando-se, no entanto, grande variedade de tamanhos. Existem,

ainda, cédulas quadradas e até as que têm suas inscrições no sentido vertical.

As cédulas retratam a cultura do país emissor e nelas podem-se observar motivos

característicos muito interessantes como paisagens, tipos humanos, fauna e flora,

monumentos de arquitetura antiga e contemporânea, líderes políticos, cenas

históricas etc.

As cédulas apresentam, ainda, inscrições, geralmente na língua oficial do país,

embora em muitas delas se encontre, também, as mesmas inscrições em outros

idiomas. Essas inscrições, quase sempre em inglês, visam a dar à peça leitura para

maior número de pessoas.

SISTEMA MONETÁRIO

DINHEIRO

O dinheiro é o meio usado na troca de bens, na forma de moedas ou notas (cédulas), usado na compra de bens, serviços, força de trabalho, divisas estrangeiras ou nas demais transações financeiras, emitido e controlado pelo governo de cada país, que é o único que tem essa atribuição. É também a unidade contábil. Seu uso pode ser implícito ou explícito, livre ou por coerção.

A emergência do dinheiro não depende de uma autoridade central ou governo. É um fenômeno do mercado; na prática, entretanto, os tipos de moeda mais aceitos


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http://pt.wikipedia.org/wiki/Contabilidade

http://pt.wikipedia.org/wiki/Finan%C3%A7as

http://pt.wikipedia.org/wiki/Trabalho

http://pt.wikipedia.org/wiki/Servi%C3%A7o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Bem

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A9dula



30

atualmente são aqueles produzidos e sancionados pelos governos. A maior parte dos países possuem um padrão monetário específico — um dinheiro reconhecido oficialmente, possuindo monopólio sobre sua emissão. Algumas exceções são o euro (usado por diversos países europeus) e o dólar (utilizado em todo mundo).

O dinheiro em si é um bem de escassez. Muitos itens podem ser usados como dinheiro, desde metais e conchas raras até cigarros ou coisas totalmente artificiais como notas bancárias. Em épocas de escassez de meio circulante, a sociedade procura formas de contornar o problema (dinheiro de emergência), o importante é não perder o poder de troca e compra. Podem substituir o dinheiro governamental: cupons, passes, recibos, cheques, vales, notas comerciais entre outros.

Na sociedade ocidental moderna o dinheiro é essencialmente um símbolo -- uma abstração. As notas são o tipo mais comum de dinheiro utilizado presentemente, no entanto bens como ouro e prata mantém muitas das características essenciais de ser dinheiro.

O conjunto de cédulas e moedas utilizadas por um país forma o seu sistema monetário. Este sistema, regulado através de legislação própria, é organizado a partir de um valor que lhe serve de base e que é sua unidade monetária.

Normalmente os valores mais altos são expressos em cédulas e os valores

menores em moedas. Atualmente a tendência mundial é no sentido de se suprirem

as despesas diárias com moedas. As ligas metálicas modernas proporcionam às

moedas durabilidade muito superior à das cédulas, tornando-as mais apropriadas à

intensa rotatividade do dinheiro de troco.

Os países, através de seus bancos centrais, controlam e garantem as emissões de


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http://pt.wikipedia.org/wiki/Prata

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ouro

http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Dinheiro_de_emerg%C3%AAncia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Nota

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cigarro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Concha

http://pt.wikipedia.org/wiki/Metal

http://pt.wikipedia.org/wiki/Escassez

http://pt.wikipedia.org/wiki/D%C3%B3lar

http://pt.wikipedia.org/wiki/Europa

http://pt.wikipedia.org/wiki/Euro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Coin_making.jpg


31

dinheiro. O conjunto de moedas e cédulas em circulação, chamado meio circulante,

é constantemente renovado através de processo de saneamento, que consiste na

substituição das cédulas gastas e rasgadas.

Cheque

Com a supressão da conversibilidade das cédulas e moedas em metal precioso, o

dinheiro cada vez mais se desmaterializa, assumindo formas abstratas.

Esse documento, pelo qual se ordena o

pagamento de certa quantia ao seu

portador ou à pessoa nele citada, visa,

primordialmente, à movimentação dos

depósitos bancários.

O importante papel que esse meio de pagamento ocupa, hoje, na economia, deve-

se às inúmeras vantagens que proporciona, agilizando a movimentação de grandes

somas, impedindo o entesouramento do dinheiro em espécie e diminuindo a

necessidade de troco, por ser um papel preenchido à mão, com a quantia de que

se quer dispor.

O dinheiro, seja em que forma se apresente, não vale por si, mas pelas

mercadorias e serviços que pode comprar. É uma espécie de título que dá a seu

portador a faculdade de se considerar credor da sociedade e de usufruir, através do

poder de compra, de todas as conquistas do homem moderno.

A moeda não foi, pois, genialmente inventada, mas surgiu de uma necessidade e

sua evolução reflete, a cada momento, a vontade do homem de adequar seu

instrumento monetário à realidade de sua economia.

O CIFRÃO


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Com o correr dos tempos as moedas passaram a ter uma representação

gráfica, geralmente constituída de duas partes: a designação abreviada do

padrão monetário, que varia em cada país, e o cifrão, símbolo universal do

dinheiro e que se origina etimologicamente do árabe cifr. A propósito, conta

a mitologia grega que o lendário Heracles (Hércules), para realizar um de

seus doze trabalhos, teria necessidade de transpor enorme montanha.

Dispondo de pouco tempo para a escalada, resolveu abrir o caminho,

rachando a montanha com sua pesadíssima e indestrutível maça e

separando-a em duas, ligando, assim, o mar Mediterrâneo ao oceano

Atlântico. De um lado, ficou grande rochedo, mais tarde chamado de

Gibraltar, e, de outro, o Monte Acho, a leste da ilha de Ceuta. As duas

colunas, assim separadas, passaram a denominar-se as "Colunas de

Hércules".

É conhecido, por outro lado, que, próximo àquela região, os fenícios

fundaram, entre os anos 1000 e 800 a.C., um entreposto comercial em

Gades (Cádiz), que se desenvolveu rapidamente graças à agricultura do

Vale do Guadalquivir e que perdurou por longo tempo. Mais tarde, o declínio

dos fenícios, no século VI, possibilitou a expansão grega no Mediterrâneo,

sobretudo no litoral leste e, a partir de 535, Cartago passou a dominar o

estreito de Gibraltar, sustando o avanço grego.

Nas guerras Púnicas, após a vitória sobre Cartago, os romanos, por sua

vez, alcançaram o Vale do Gualdaquivir, dominando Cádiz e solidificando a

ocupação hispânica, embora essa ocupação tenha sido feita de forma

gradual e somente completada pela vitória de Cipião, o Africano (Publius

Cornelius Scípio Aemilianus Numantinus).

Assim, o Cristianismo surgiu desde cedo na Península Ibérica, em que pese

haver a Espanha sido sucessivamente invadida pelos bárbaros, destacando-


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se os Vândalos, Suevos, Godos, Astrogodos e Visigodos.

Em 660, com a morte de Ali, encerrou-se a primeira dinastia islamita, tendo

início a Dinastia dos Omíadas, que perdurou de 660 a 750. No ano 710 da

era cristã os visigodos recusaram-se a reconhecer, como sucessor do reino,

o filho do Rei Vitiza, destronando-o, o que levou a família real a recorrer,

apesar da predominância, na Península, do Cristianismo, ao auxílio militar

muçulmano. Os islamitas rumaram, então, em direção ao Ocidente,

conquistaram o norte da África, de onde, atravessando o estreito de

Gibraltar, partiram para a conquista do Reino Visigodo da Espanha e, mais

tarde, de toda a Península Ibérica. Os Visigodos viram-se, então,

compelidos a fugir para as montanhas, de onde, reorganizados partiram

para expulsar os invasores, numa luta que duraria sete séculos, quando os

antigos habitantes da Península Ibérica, no movimento conhecido como

Reconquista, derrotaram os dominadores árabes, que se retiraram

definitivamente da região, mantendo em seu poder, apenas, a cidade de

Granada, que foi retomada pelos espanhóis em 1492.

A invasão do reino Visigodo, pelos árabes, foi realizada no ano 711 da era

cristã, pelo general Djebel-el-Táriq (Táriq-ibn-Ziyád), o Conquistador, em

nome dos Califas Omíadas. As incursões muçulmanas levaram ao

continente europeu a cultura árabe que, mais tarde, se espalhou pelo

mundo, com as conquistas européias, especialmente de portugueses,

espanhóis, franceses, ingleses e holandeses.

Existem duas versões quanto ao caminho percorrido pelo general árabe. A

primeira, em que teria Táriq partido de Tânger, cidade próxima ao Marrocos,

e da qual era governador. A Segunda, em que, para alcançar a Europa, teria

Tàriq partido da Arábia e passado, sucessivamente, pelo Egito, desertos do

Saara e da Líbia, Tunísia, Argélia e Marrocos; cruzando o estreito das

Colunas de Hércules e chegado, finalmente, à Espanha. Esse estreito, a

partir do século VIII, passou a denominar-se Djebel-el-Táriq e, atualmente,

tem o nome de estreito de Gibraltar, palavra que se origina do árabe Djabal.

Táriq mandou gravar, em moedas, uma linha sinuosa, em forma de "S",

representando o longo e tortuoso caminho percorrido. Cortando essa linha

sinuosa mandou colocar, no sentido vertical, duas colunas paralelas,

representando as Colunas de Hércules, com o significado de força, poder,


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perseverança. O símbolo assim gravado nas moedas - - passou a ser

reconhecido, em todo o mundo, ao longo do tempo, como cifrão,

representação gráfica do dinheiro.

Texto extraído do Livro "Casa da Moeda do Brasil: 290 anos de História,

1694/1984"

CARTÃO DE CRÉDITO E DÉBITO

O que é o cartão de crédito?

Talvez a melhor e mais simples definição que se pode encontrar é aquela

presente no site do Banco Central do Brasil, a qual segue reproduzida agora: “É

um serviço de intermediação que permite ao consumidor adquirir bens e serviços

em estabelecimentos comerciais previamente credenciados mediante a

comprovação de sua condição de usuário. Essa comprovação é geralmente

realizada, no ato da aquisição, com a apresentação de cartão ao estabelecimento

comercial. O cartão é emitido pelo prestador do serviço de intermediação,

chamado genericamente de administradora de cartão de crédito.”

Cartão de crédito e cartão de débito são a mesma coisa?

Não. Apesar de os cartões atuais poderem acumular as duas funções, as

compras por meio de cartão de crédito são pagas apenas no dia de vencimento

da fatura enquanto aquelas, realizadas nos cartões de débito, são descontadas

imediatamente (on line) da conta bancária do consumidor, a qual o cartão está

vinculado.

Conheça a origem do cartão de crédito

Em 1950, um grupo de executivos financeiros de Nova York saiu para jantar e

esqueceu de levar dinheiro e talão de cheque. Frank MacNamara e seus

convidados entraram num restaurante. Entre uma conversa e outra, terminaram o

jantar e a conta foi apresentada. Só então o grupo percebeu que estava sem

dinheiro ou talão de cheques. Depois de alguma discussão, o dono do restaurante

concordou em deixar MacNamara pagar a conta outro dia, mediante a assinatura

na nota de despesas. A partir desse episódio, MacNamara concebeu a idéia do

cartão de crédito. Em 28 de fevereiro de 1950, o primeiro cartão multiuso foi


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35

emitido, o Diners Club Card, aceito em lugar de dinheiro ou cheque em 27

restaurantes. Duzentas pessoas, a maioria amigos de MacNamara, tiveram um

naquele primeiro ano.

Fonte da Pesquisa: http://www.endividado.com.br/faq_det.php?id=97

A expansão no Brasil

O primeiro cartão de crédito no Brasil surgiu em 1956, pelas mãos do empresário

Habus Tauber, que havia adquirido, nos Estados Unidos, a franquia do Diners

Club. Hoje há cerca de 47,5 milhões de cartões de crédito no mercado nacional. O

número dobrou em relação ao registrado em 1999, com um crescimento entre 14%

e 26% ao ano desde então. O maior crescimento se deu a partir de 1994, com a

estabilidade econômica obtida a partir do Plano Real. Levantamento da Credicard

indica que o Brasil já é o oitavo emissor de cartões de crédito do mundo e o maior

da América Latina.

Fonte: Associação Brasileira das Empresas de Crédito e Serviços (Abecs)

AS MOEDAS NACIONAIS BRASILEIRAS ATUAIS

1.ª FAMÍLIA DE MOEDAS – AÇO INOX

Características Técnicas:

Valor FacialR$

Diâmetromm

Pesog

Espessuramm

Bordo Material

0,01 20,00 2,96 1,20 liso Aço inoxidável







[email protected]



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Conforme Comunicados nº 4.011 e 4.198.

1 centavo - R$ 0,01

Anverso:À direita, a efígie representativa da República, ladeada por representação estilizada de ramo de louros. Na parte inferior, a inscrição "BRASIL".

Reverso:Inscrição indicativa de valor, ladeada por ramos de louros. Abaixo, os dísticos "centavo" e o correspondente ao ano de cunhagem.

5 centavos - R$ 0,05


Reverso:Inscrição indicativa de valor, ladeada por ramos de louros. Abaixo, os dísticos "centavos" e o correspondente ao ano de cunhagem.




[email protected]


https://www3.bcb.gov.br/normativo/detalharNormativo.do?N=094184345&method=detalharNormativo

https://www3.bcb.gov.br/normativo/detalharNormativo.do?N=094120659&method=detalharNormativo


37



Anverso:No centro, a efígie representativa da República, ladeada pela inscrição "BRASIL". Na parte inferior, dístico correspondente ao ano de cunhagem.

Reverso:Linhas sinuosas de fundo dão destaque ao dístico correspondente ao valor facial, seguido do dístico "centavos".




1 Real - R$ 1,00 (Retirada de circulação em 23 de dezembro de 2003)



[email protected]



38

Reverso:Inscrição indicativa de valor, ladeada por ramos de louros. Abaixo, os dísticos "Real" e o correspondente ao ano de cunhagem.

A partir de 23 de dezembro de 2003 a moeda de R$ 1,00 em aço inox saiu de

circulação. Informações sobre cédulas e moedas de padrões monetários anteriores ao Real

podem ser obtidas no Museu de Valores do Banco Central.

2.ª FAMÍLIA DE MOEDAS

Características Técnicas: Coloridas – Aço eletrorrevestido

Valor FacialR$

Diâmetromm

Pesog

Espessuramm

Bordo Material

0,01 17,00 2,43 1,65 lisoAço revestido

de cobre

0,05 22,00 4,10 1,65 lisoAço revestido

de cobre

0,10 20,00 4,80 2,23 serrilhadoAço revestido

de bronze

0,25 25,00 7,55 2,25 serrilhadoAço revestido

de bronze

0,50(1998 a 2001)

23,00 9,25 2,85

legenda * ORDEM E

PROGRESSO * BRASIL

Cuproníquel

0,50(2002 em

diante)23,00 6,80 2,85

legenda * ORDEM E

PROGRESSO * BRASIL

Aço inoxidável

1,00(1998 a 2001)

27,00 7,84 1,95Serrilha

intermitente

Cuproníquel (núcleo)

e Alpaca (anel)


[email protected]


http://www.bcb.gov.br/?MUSEU


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Valor FacialR$

Diâmetromm

Pesog

Espessuramm

Bordo Material

1,00(2002 em

diante)27,00 7,00 1,95

Serrilhaintermitente

Aço inoxidável (núcleo)

e aço revestidode bronze (anel)

1 centavo - R$ 0,01

Anverso:Efígie de Pedro Álvares Cabral - navegador português que, em 22 de abril de 1500, descobriu o Brasil -, ladeada por nau, simbolizando as navegações portuguesas.

Reverso:À esquerda, linhas diagonais de fundo dão destaque ao dístico correspondente ao valor facial, seguido dos dísticos "centavo" e o correspondente ao ano de cunhagem.


Anverso:Efígie de Joaquim José da Silva Xavier (1746-1792), que, condenado à forca em decorrência de sua participação no movimento pela independência, denominado Inconfidência Mineira, é hoje reverenciado como herói e patrono cívico da nação brasileira. Sua imagem está ladeada pelo dístico "Brasil" e por motivos alusivos à Inconfidência Mineira - o triângulo da bandeira dos inconfidentes, sobreposto por pássaro que representa a liberdade e a paz.

Reverso:À esquerda, linhas diagonais de fundo dão destaque ao dístico correspondente ao valor facial, seguido dos dísticos "centavos" e o correspondente ao ano de cunhagem.


[email protected]



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Valor FacialR$

Diâmetromm

Pesog

Espessuramm

Bordo Material


Anverso:Efígie de D. Pedro I - proclamador da Independência, primeiro imperador do Brasil -, ladeada pelo dístico "Brasil" e por cena alusiva à proclamação da independência política do País, ocorrida em 7 de setembro de 1822, em São Paulo, às margens do ribeirão Ipiranga.



Anverso:Efígie de Manuel Deodoro da Fonseca (1827-1892), - proclamador da República e primeiro presidente constitucional do Brasil republicano -, ladeada pelas Armas Nacionais e pelo dístico "Brasil".



Anverso:Efígie de José Maria da Silva Paranhos Júnior (1845-1912), Barão do Rio Branco - estadista, diplomata e historiador brasileiro, considerado o símbolo da diplomacia do Brasil -, está ladeada pelo dístico "Brasil" e por cena alusiva à dinamização da política externa brasileira no início da República e à consolidação dos limites territoriais com vários países.


[email protected]



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Valor FacialR$

Diâmetromm

Pesog

Espessuramm

Bordo Material


1 Real - R$ 1,00

Anverso:Efígie da República à direita do núcleo prateado (disco interno) e transpassando para o anel dourado (disco externo), assim posicionada constitui um dos elementos de segurança da moeda de maior denominação. No anel dourado, referência às raízes étnicas brasileiras, representada pelo grafismo encontrado em cerâmicas indígenas de origem marajoara, e a legenda "Brasil".

Reverso:No anel dourado, a repetição do grafismo indígena marajoara. No núcleo prateado, esfera sobreposta por uma faixa de júbilo, que, com a constelação do Cruzeiro do Sul, faz alusão ao Pavilhão Nacional, e os dísticos correspondentes ao valor facial e ao ano de cunhagem.

Veja também as versões comemorativas da moeda de 1 Real, com anversos alterados, alusivas ao: Cinqüentenário da Declaração Universal dos Direitos Humanos

(1998). Centenário de Juscelino Kubitschek de Oliveira (2002).

40 Anos do Banco Central do Brasil (2005).

Informações sobre cédulas e moedas de padrões monetários anteriores ao Real podem ser obtidas no Museu de Valores do Banco Central.

POR QUE ALGUMAS MOEDAS NÃO SÃO ATRAÍDAS PELO IMÃ? QUAIS SÃO ELAS?


[email protected]


http://www.bcb.gov.br/?MUSEU

http://www.bcb.gov.br/htms/mecir/mcomemor/MCbim40bc.asp?idpai=moedarel

http://www.bcb.gov.br/htms/mecir/mcomemor/MCbimJK.asp?idpai=moedarel

http://www.bcb.gov.br/htms/mecir/mcomemor/MCdh50.asp?idpai=moedarel


42

Porque hoje existem em circulação moedas confeccionadas com metais diferentes, ou

seja, com características magnéticas diferenciadas, o que faz com que algumas sejam

atraídas pelo imã outras não.

As moedas de R$0,50 e de R$1,00 bimetálica da 2ª família produzidas até 2001 não são

atraídas pelo ímã, por serem de cupro-níquel.

As demais moedas são atraídas pelo ímã, quais sejam:

Moedas de aço inoxidável da 1ª família do Real;

Moedas da 2ª família (coloridas - aço eletrorrevestido), de R$0,01, R$0,05, R$0,10 e

R$0,25;

Moedas de R$0,50 (aço inoxidável) e R$1,00 bi metálica (aço inoxidável - miolo e aço

eletrorrevestido - anel) da 2ª família do Real, produzidas a partir de 2002.

MOEDAS INADEQUADAS À CIRCULAÇÃO

O Banco Central do Brasil é a instituição responsável pela emissão das cédulas, pelo

lançamento das moedas nacionais e pela atividade de saneamento do meio circulante. As

duas ações, emissão e saneamento, visam manter o dinheiro em poder do público em boas

condições de uso. O estado de conservação e a presença de danos na cédula ou moeda

são elementos que podem determinar se elas têm ou não valor.

MOEDAS DANIFICADAS

São moedas tortas, perfuradas, desfiguradas ou com danos de qualquer outra natureza. As

instituições financeiras bancárias deverão acolher do público as moedas danificadas a serem

encaminhadas ao Banco Central para exame. Ao receber moedas danificadas, a instituição

financeira bancária deverá fornecer recibo ao interessado e informá-lo, posteriormente, do

resultado do exame, ressarcindo-o no valor que eventualmente lhe couber. Legislação

pertinente:

Decreto-Lei 2.848, de 07.12.1940 (art. 290);

Lei no. 4.595, de 31.12.1964 (art. 10);


[email protected]


http://www.bcb.gov.br/htms/mecir/terminologia.asp?idpai=cedinadeq#mei

http://www.bcb.gov.br/htms/mecir/terminologia.asp?idpai=cedinadeq#san

http://www.bcb.gov.br/htms/mecir/terminologia.asp?idpai=cedinadeq#emissao


43

Lei no. 8.697, de 27.08.1993 (art. 10);

Carta-circular 3.235, de 17.05.2006.

Fontes de Pesquisa: http://www.bcb.gov.br/?MOEDINADEQhttp://www.bcb.gov.br/?EDUCACAO

OS CONCEITOS DE NÚMERO, NUMERAL E ALGARISMO

Olá caro aluno (a),

Já caminhamos um bocado até aqui, não é mesmo? Você teve a oportunidade de

estudar a história do Sistema Monetário e pôde perceber que as coisas não surgiram por

acaso. No Universo que nos circunda, contemplamos e constantemente aprendemos e

ainda há diversas coisas a serem perscrutadas e estudadas ainda e, via de regra, a

Matemática Financeira não é exceção a esta regra.

Ao trabalharmos com finanças usaremos Número, Numeral ou Algarismo? Você

sabe a diferença entre estas três palavras? Será que significam a mesma coisa? Vejamos

as definições que seguem e daí tire você mesmo suas conclusões. Concordam?

NÚMERO é a IDÉIA (ou IDEIA) DE QUANTIDADE que nos vem à mente

quando contamos, ordenamos e medimos. Assim estamos pensando em

números quando contamos as portas de um automóvel, enumeramos a

posição de uma pessoa numa fila ou medimos o “peso” (na verdade MASSA)

de uma caixa;


[email protected]


http://www.bcb.gov.br/?EDUCACAO

http://www.bcb.gov.br/?MOEDINADEQ

http://www.bcb.gov.br/?ANEXOCC3235

http://www.bcb.gov.br/?ANEXOCC3235


44

NUMERAL é toda REPRESENTAÇÃO DE UM NÚMERO, seja ela escrita,

falada ou indigitada;

ALGARISMO é todo símbolo numérico que usamos para formar os números

escritos.

Vários tópicos à frente ligados às finanças como Estatística, Probabilidade e

Economia serão contemplados, todavia é imprescindível recapitularmos conteúdos

matemáticos já aprendidos ou não, dado que estes nortearão e auxiliarão nossos cálculos

financeiros futuros. Que tal revermos os seguintes assuntos? Sistemas de Numeração,

Quadro Valor de Lugar (QVL), Conjuntos Numéricos e Subconjuntos, Critérios de

Divisibilidade, Mínimo Múltiplo Comum (MMC), Máximo Divisor Comum (MDC), Intervalos

Numéricos, Operações Aritméticas Fundamentais, Uso do Ábaco, Uso da Calculadora não-

científica e científica, Razão, Proporção, Regra de Três Simples, Regra de Três Composta,

Noção de Função, Função Exponencial e Função Logarítmica, Progressão Aritmética e

Progressão Geométrica?

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Definição: é todo conjunto de regras para a produção sistemática de numerais. No

caso de sistemas de numeração escrita, a produção dos numerais é feita através de

combinações de algarismos e eventuais símbolos não-numéricos como a vírgula no sistema

indo-arábico ou o ponto nos países de língua inglesa. As configurações presentes na

maioria das calculadoras justificam a assertiva pois estas estão em língua inglesa. Um fato

comprovado é você tentar decifrar o que significa 2ndF numa calculadora científica. Com

certeza não encontrará correspondente em Língua Portuguesa todavia em língua inglesa a

sigla 2ndF significa “second Function” ou em tradução lusitana segunda Função. Logo se

numa tecla houverem duas inscrições de funções tal tecla acionará a segunda.

A guisa de exemplo digite os algarismos 1 405,79 numa calculadora comum. Será

que na grande maioria delas você encontrará a vírgula como separadora de inteiros e

decimais? Creio que você já entendeu o ponto em questão. Nas calculadoras eletrônicas

você deve evitar duas coisas que são erros comuns de digitação, a saber:

Usar o ponto como separador de Unidade de Milhar. EVITE! Ele é uma

criação sua, nossa, da sociedade. É um costume ou hábito de escrita cursiva;


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Ficar procurando a vírgula nas teclas da calculadora. Lembre-se que a

configuração da mesma está em língua estrangeira inglesa e, portanto

constar no teclado o period ou ponto em bom português.

OS EGÍPCIOS CRIAM OS SÍMBOLOS

Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar

ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças, sobretudo ao desenvolvimento do

comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas

necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades,

tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores.

Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito. Você certamente já ouviu falar nas pirâmides

do Egito. Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis

problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.

Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a

representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática.

Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. 3 + 5 = 8 Muitas vezes não

sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para

representar os números?

CONTANDO COM OS EGÍPCIOS


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Fonte: http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm



46

Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito

mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de

Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.

O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de

grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no

Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos

do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades:

Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000: Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos

números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros

números completamente diferentes: 265 526 562 625 652 Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar

de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 45

OS PAPIROS DA MATEMÁTICA EGÍPCIA

Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou. O primeiro foi escrito por volta de

1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também

como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres. O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25

problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada sobre o seu autor.

A TÉCNICA DE CALCULAR DOS EGÍPCIOS

Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os


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cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição. Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.

13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação:

Número de parcelas Resultado 1 9 2 18 4 36 8 72

Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas:

1 + 4 + 8 = 13 O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:

9 + 36 + 72 = 117 Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de

expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. E para isso os números inteiros não serviam.

DESCOBRINDO A FRAÇÃO


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Fonte: http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm



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Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris... “... repartiu o solo

do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote

de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a

extensão exata da perda.” Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há

cerca de 2.300 anos. O rio Nilo atravessa uma vasta planície. Uma vez por ano, na época

das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando

uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descobertas

uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo. Desde a Antigüidade, as águas do

Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale

deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia. Cada metro de terra era precioso e tinha

de ser muito bem cuidado.

Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.

Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o

início da inundação, que durava até setembro. Ao avançar sobre as margens, o rio

derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de

cada agricultor. Usavam cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida

assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e

verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno.

Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas. No entanto, por mais adequada que

fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no

lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o

número fracionário. Para representar os números fracionários, usavam frações.

AS COMPLICADAS FRAÇÕES EGÍPCIAS

Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso,

utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1. Para escrever as

frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador. As outras

frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1. Os egípcios não

colocavam o sinal de adição - + - entre as frações, porque os símbolos das operações ainda

não tinham sido inventados. No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se

com muita freqüência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que

envolviam números fracionários eram muito complicados. Assim como os egípcios, outros

povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os


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cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em

alguma dificuldade. Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de

numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de

numeração romano.

CONTANDO COM OS ROMANOS

De todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante.

Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por

povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de

guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos;

mais tarde nas campanhas de conquistas de novos territórios. Foi assim que, pouco a

pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de

uma parte da Ásia e o norte de África.

Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza,

usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas

grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Foi nesta Roma de miséria e luxo que

se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época

das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso?

O SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO

Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os

números; usaram as próprias letras do alfabeto.

I V X L C D M Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema

de numeração? O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave: I

tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. C valia 100.

D valia 500. M valia 1.000.

Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.

II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30


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Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam

os seus valores.

IV = 4 porque 5 - 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90

Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.

VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX

= 60 porque 50 + 10 = 60

Ao lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exercíto de Roma fez numa certa época MCDV

prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos

faziam:

Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor. M = 1.000

Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.

D = 500

Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.

D – C = 500 – 100 = 400

Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.

M + CD = 1.000 + 400 = 1.400

Sobrava apenas o V. Então: Então:

MCDV = 1.400 + 5= 1.405

Os milhares Como você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M.

Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000. E os números maiores que 3.000? Para

escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre

as letras que representavam esses números. Um traço multiplicava o número representado

abaixo dele por 1.000. Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão. O sistema de

numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com

este sistema. Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente

símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números. E como resultado

dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história

da Matemática: O sistema de numeração decimal.

AFINAL OS NOSSOS NÚMEROS


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No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa

espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura

vindas da Grécia. Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio

Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa

vinda dos gregos, explodiu dizendo:

“Existem outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm

valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são

feitos por apenas nove sinais!”. A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o

passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a

invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente. A idéia dos hindus de introduzir

uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no

fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à

Europa. Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o

conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que você aprendeu a ler e

escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante. Hoje, estes símbolos são

chamados de algarismos indo-arábicos. Se foram os matemáticos hindus que inventaram o

nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso? E por que os símbolos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 são chamados de algarismos?

Os árabes divulgam ao mundo os números hindus

Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes

familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são

apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do

ano 786 até 809. Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de


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conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados

para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.

Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum

era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção. “Não há ninguém mais culto em todos os

ramos do saber do que eu”. Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar

Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da

época. Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-

Khowarizmi. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua

árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que

incluíam um ovo de ganso! Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os

matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os

cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme

importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática.

Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a

arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus.

Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do

sistema de numeração hindu. Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como

a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome

algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros

povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal

conhecidos como algarismo indo-arábicos.

OS NÚMEROS RACIONAIS

Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele

fosse.

0 13 35 98 1.024 3.645.872 Como estes números foram criados pela necessidade prática de

contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais. Os números naturais

simplificaram muito o trabalho com números fracionários. Não havia mais necessidade de

escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam

os matemáticos egípcios. O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de


[email protected]



53

dois números naturais. A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os

números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois

números naturais. Por isso, são chamados de números racionais. A descoberta de números

racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.

QUADRO VALOR DE LUGAR (QVL)

É um material didático utilizado com o objetivo de facilitar a aprendizagem de assuntos matemático tais como: sistema de numeração decimal e operações com os Números Naturais (N ).

unidade de milhar centena dezena unidade

REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS NATURAIS

5 = 5 unidades

11 = 1 dezena e 1 unidade

A cada grupo de 10 juntar e passar para 1 dezena.

Obs:

1ª série: 99

2ª série: 999

3ª série: 9.999

4ª série: completo

5ª série: Reforço a 4ª série e aprofunda a parte de construção (teoria matemática).

431 = 4 centenas, 3 dezenas e 1 unidade

400 + 30 + 1

Composição:

7d,5u = 70 + 5 = 75

6c, 9d, 3u = 600 + 90 + 3


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ou

14 = 1d + 4u


54

6c = 60d = 600u

9d = 90u

3u = 3u S

693 unidades

OPERAÇÕES COM OS NATURAIS

1.ª) ADIÇÃO: (Passos ou níveis de dificuldade)

a) Não ultrapassar a nove:

3 + 2, 7 + 1, 2 + 7,

b) 6 + 5, 7 + 8 com reserva

Agrupando (Quadro valor de lugar)

+ = (agrupamentos de 10)

= 1 dezena + 1 unidade

10u + 1u = 11u

c) 48 + 16

d u

6 4


[email protected]



55

d) parcela da adição parcela da adição reserva na 2ª ordem

356 + 91 = 300 + 50 + 6

+ 90 + 1

300 + (140) + 7

300 + (100 + 40) + 7

associativa (300 + 100) + 40 + 7

400 + 40 + 7

447 soma ou total

2.ª) SUBTRAÇÃO

9 minuendo

4 subtraendo

5 resto ou diferença

Representa-se no quadro valor-de-lugar apenas o minuendo (na subtração).

Ex.: a) 48 – 23

d u

2d 5u

b) 3235 – 1872

3000 + 200 + 30 + 5 De 30 não é possível retirar 70!

1000 + 800 + 70 + 2 (idéia nova)

3

3000 + 200 + 30 + 5 de 100 não é possível retirar 800!


[email protected]

d u

4 8

2 3

2 5



56

1000 + 800 + 70 + 2

(2000 + 1100 + 130 + 5 de 100 não é possível retirar 800!

1000 + 800 + 70 + 2

1000 + 300 + 60 + 3 1363

Quanto falta à 128 para chegar à 323 (aditiva – Escola Alemã)

1900 – Cálculo mental;

1940 - Idéia aditiva (alemã e trad.)

3 2 3

1 2 8

1 9 5

Como fazer no quadro-valor de lugar?

Cálculos mentais

1) 37 + 45 = 37 + 40 + 5 = 77 + 5 = 82

30 + 40 +7 +5 = 70 + 12 = 82

2) 73 – 48 = 73−40⏞1º

= 33−8⏞2º

= 25

3.ª) MULTIPLICAÇÃO


[email protected]

= 8 p/ 13 5 (compensar)

3 p/ 12 9 (compensar)



57

Soma de

3 x 4 = 4 + 4 + 4

2 x 26 = 26 + 26

26 2 x 6 = 12

x 2 1d + 2u

53 2 x 2d = 4d+

1d = 5d

342 x 12

c d u

3 4 2

x 1 2

6 8 4

3 4 2 *

4 1 0 4

c d u


[email protected]

300 + 40 + 5

+ 20 + 3

900 + 120 + 15

6000 + 800 + 100 + *

6000 + 1700 + 220 + 15

6000 + (1000+700) + (200 + 20) + (10 + 5)

(6000 + 1000) + (700 + 200) + (20 + 10) + 5

7000 + 900 + 30 + 5 = 7 935



58

3 4 5

x 2 3

1 0 3 5

6 9 0 *

7 9 3 5

M c d u

ou

c d u

3 4 5

x 2 3

1 5

1 2 0

9 0 0

1 0 3 5

1 0 0

8 0 0

6 0 0 0

6 9 0 0

345 x 23

300 x 23 = 300 x (20 + 3) = 300 x 20 + 300 x 3

40 x 23 = 40 x (20 + 3) = 40 x 20 + 40 x 3

5 x 23 = 5 x (20 + 3) = 5 x 20 + 5 x 3

4.ª) DIVISÃO

Quadro valor-de-lugar ?


[email protected]

* o espaço é deixado pois estou multiplicando por 20 (2 dezenas)

1035 + 6900 = 7935



59

dividendo

8 2 divisor

– 8 4 quociente

0 resto

Processo longo

8 2

0 4

Dividendo divisor

635 4

– 400 100 + 50 + 10 + 3 = 163

253

– 200 quociente

53

– 40

13

– 12

1 resto

Decomposição:

642 6 = (600 + 42) 6

= (600 6) + (42 6)

= 100 + 7

= 107


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Quantas vezes o 2 cabe dentro do 8?

Cabe 4 vezes e não sobra espaço!

2 x 4 processo breve



60

Nos naturais agrupamentos de “10”.

A cada 10 unidades 1 dezena

A cada 10 dezenas 1 centena

1, 10 e 100 ordens

Cada 3 ordens classe

Ex: 2.543 {2 classes ¿ ¿¿¿

2 = ordem das unidades de milhar } 2 classe

5 = ordem das centenas ¿ } 4 = ordem das dezenas ¿ }¿¿¿ 1 classe

Lê-se:

ordens: ¿ {unidade ¿ {dezenas ¿ ¿¿

classes: ¿ {unidades simples ¿ {milhares ¿¿¿Quadro:


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Classes Milhões Milhares Unidades simples

Ordens c | d | u c | d | u c | d | u



61

5.ª) POTENCIAÇÃO

Definição: é uma multiplicação de fatores iguais. Observe:

2 ∙2 ∙2ou23=8

Note que 23 é a expressão concisa do produto de 2 fatores iguais a 2. Ela representa

uma potência na qual o número 2 é denominado base e 3, o expoente.

A potência 23 pode ser assim lida:

Dois elevado ao cubo;

Dois elevado a terceira potência;

Cubo de dois.

23∙23=4

9 ou ( 23 )

2

=19

Aqui, ( 23 )

2

também representa uma potência, sendo lida como: dois terços elevado à

segunda potência ou um terço elevado ao quadrado.

De modo geral, sendo a um número real e n um número natural, com n≥2,

definimos:

an=a ∙a ∙ a ∙a…∙a⏟n fatores

Podemos observar que os símbolos a1 e a0não se encaixam na definição acima, pois

não tem sentido falar em multiplicação com um só fator ou, ainda, com nenhum fator.

No entanto, é conveniente estender a definição de potência para esses dois casos, de modo

a preservar as propriedades das potências.

Então fica definido:

REGRAS GERAIS DA POTENCIAÇÃO

ESCRITA ALGÉBRICA DISCRIMINAÇÃO DAS PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO


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62

01an=b { a⟶é aBASE

n⟶é o EXPOENTEb⟶ é a POTÊNCIA

Nomenclatura básica da Potenciação.

02 a1=a Toda base elevada a UM resulta nela mesma.

03 a0=1(a≠0) Toda base elevada a ZERO resulta em UM.

04 am∙ an=am+n Na MULTIPLICAÇÃO de BASES IGUAIS conserva-se aBASE e somam-se os expoentes.

05 am÷an=am−n Na DIVISÃO utilizando-se BASES IGUAIS conserva-se a BASE e somam-se os expoentes.

06 {[ (a )n ]p}w=an ∙ p ⋅wNa POTÊNCIA DE POTÊNCIA conserva-se a base e

MULTIPLICA-SE os expoentes.

07 (a ⋅b )n=an⋅ bn Na POTÊNCIA DE UM PRODUTO COM BASES DIFERENTES elevadas ao MESMO EXPOENTE eleva-

se cada base ao expoente dado.

08 ( ab )n

=an

bnNa POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE COM BASES

DIFERENTES eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente.

09a−n= 1

anUma BASE qualquer elevada a um EXPOENTE

NEGATIVO reescreve-se a mesma colocando UM sobre a BASE elevada ao EXPOENTE POSITIVO.

10 ( ab )−n

=( ba )n Na POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE COM BASES

DIFERENTES elevadas a um EXPOENTE NEGATIVO invertem-se ou trocam-se numerador e denominador ficando a potência elevada ao EPOENTE POSITIVO.

11ank=an repertir−se−á K vezes⏞

nn

Ex.: 523

=52∙ 2∙ 2=58

Está é a propriedade POTÊNCIA SOBRE POTÊNCIA.

12a

nm=

m√anEx.: 3

23=

3√32

Potência com EXPOENTE FRACIONÁRIO.

Agora é hora de você exercitar essas regras não é mesmo? Então responda,

adequadamente, as questões seguintes, utilizando as propriedades das potências já

estudadas e agora revisadas. Bons estudos!!


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63

1. Considere a igualdade 25=32.

a) Como se chama o número 2? ______________________________________

b) Como se chama o número 5? ______________________________________

c) Como se chama o número 32? _____________________________________

2.3. Calcule:

a) 82=¿

b) 23=¿

c) 73=¿

d) (−4 )2=¿

e) 180=¿

f) (−8 )2=¿

g) (−2 )3=¿

h) (−1 )5=¿

i) −(−2 )3=¿

j) −351=¿

k) 10x=100 000

l) 10x=0,00001

m) 2015−3x=1

n) 22+2−2=¿

o) 52 ∙10−2 ∙( 12 )

−2

=¿

p)92∙273

2432 =¿

q)210 ∙24

29 =¿

r) { (ax )x }x=¿

s) (2x−1:31− x)2=¿

t) ( 25 )

−3

=¿

u) ( 13 )

23

=¿

v) 80 ,3=¿

w) (0,444… )0,5=¿

RADICIAÇÃO

Definição: Dados um número real a e um número inteiro, n>1 ; define-se raiz n-ésima de a

sendo o número x, cuja potência n-ésima seja igual a a.

A radiciação é uma operação unária oposta à potenciação (ou exponenciação).

Para um número real a, a expressão representa o único número real x que verifica

xn=a e tem o mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omitido, significa que n=2 o

símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. A x chama-se a raiz, a n índice, a a radicando

e a radical.


[email protected]

http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://pt.wikipedia.org/wiki/Potencia%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Opera%C3%A7%C3%A3o_un%C3%A1ria



64

Assim temos: n√a=x⟺ xn=a

Daí temos a seguinte Nomenclatura da Radiciação: { né o Índicex é araiz

aé o radicandoO símbolo√❑é oradical

Não se esqueça que por nomenclatura entende-se as partes que compõem

alguma coisa. No caso as partes da conta aritmética dada.

Exemplo:

REGRAS GERAIS DA RADICIAÇÃO

Considerando a e b positivos temos:

ESCRITA ALGÉBRICA DISCRIMINAÇÃO DAS PROPRIEDADES DA

RADICIAÇÃO

01 n√ab=n√a n√b02 n√ ab=

n√an√b

03 n√am=( n√a )m=amn

04 m√ n√a=m∙ n√a

05

( n√a )m= n√am

06amn=

n√am


[email protected]



65

07a−mn = 1

n√am

08 n√an09

2√a±√b= 2√ (a+√a2−b )2

±2√ (a−√a2−b )

2

Racionalização

Quando o denominador de uma fração envolve radicais, o processo pelo qual se transforma essa fração neutra cujo denominador não tem radicais chama-se racionalização da fração.

Exemplos:

1¿ a√b

= a√b

∙ √b√b

=a√bb

2¿ 1(√a+√b )

=1 ∙ (√a−√b )

(√a+√b ) ∙ (√a−√b )= √a−√b

(√a )2−(√b )2=√a−√b

a−b

3¿4

5√72=

45√72

∙5√73

5√73=

45√73

5√75

4 ¿3−√53+√5

=(3−√5 )(3+√5 )

∙( 3−√5 )( 3−√5 )

=(3−√5 )2

(3 )2−(√5 )2=¿

(3 )2−2 ∙3 ∙√5+ (√5 )2

9−5=

9−6√5+54

=14−6√5

4

Conseguiu perceber as regras envolvidas?

Nos exemplos dados, você observou que a racionalização do denominador da expressão

dada é feita multiplicando-se o seu numerador e o seu denominador por uma expressão

conveniente, chamada de fator racionalizante.

O fator racionalizante de alguns caos pode ser obtido de acordo com a tabela abaixo.

TIPO DE DENOMINADOR

√a (coma≥0 )

n√am(coma>0 )

√a+√b(coma>0 eb>0 )

√a−√b(coma>0 eb>0 )

FATOR √a n√an−m √a−√b √a−√b


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http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o



66

RACIONALIZANTE

No ExcelPara efetuar a radiciação no excel é necessário entender um conceito simples. Vamos

explicar assim a raíz X de um número Y ( ), é igual a Y elevado à 1 dividido por X (

). Em fórmula ficaria assim: " = radicando ^ (1/índice) ". Ex: raíz cúbica de 8 ( ) ficaria " = 8 ^ (1/3)".

UMA BREVE REVISÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS E SUBCONJUNTOS

Olá alunos,

Estão conseguindo acompanhar nosso curso de Matemática Financeira? Bem, espero que

sim. Agora iremos fazer uma revisão breve sobre os principais conjuntos numéricos e seus

subconjuntos, a saber, Conjunto dos Números Naturais ou Inteiros Absolutos (N ), Conjunto

dos Números Inteiros (Z ), Conjunto dos Números Racionais (Q ), Conjunto dos Números

Reais (R ) e o Conjunto dos Números Complexos (C ).

1. TEORÍA DE CONJUNTOS

CONCEITO DE PERTINÊNCIA: ""

Seja um conjunto A = a, b

a A

b A c A

CONCEITO DE SUBCONJUNTO: ""

A B x A x B, x

A, A

A A, A


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67

CONJUNTOS ESPECIAIS

Conjunto Vazio: =

0

Conjunto Universo: "U"

Definição: É aquele formado por todos os elementos que figuram no problema.

Conjunto Potencia: "P(A)"

É aquele formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

P(A) = 2n;

Onde n: n.º de elementos de A.

OPERAÇÕES

UNIÃO: A B = x / x A x B

INTERSECÇÃO: A B = x / x A x B

A B A B = A

A B = A y B son disjuntos.

DIFERENÇA: A - B = x / x A x B

COMPLEMENTAR: CUA= x / x A x U

(A B) = U

(A B) =

c = U ; Uc = ; Ac = U - A

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes. Os Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números.


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68

Divididos em:

• Conjunto dos Naturais (N ),

• Conjunto dos Inteiros (Z),

• Conjunto dos Racionais (Q),

• Conjunto dos Irracionais (I ),

• Conjunto dos Reais (R).

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS OU INTEIROS ABSOLUTOS

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13... + ∞ }

Quando for representar o Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N este portanto torna-se um Subconjunto dos Números Naturais.

Representado assim:

N ¿ = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... + ∞ }

A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... + ∞} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... + ∞ }

Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.

• 6 é o sucessor de 5.

• 7 é o sucessor de 6.

• 19 é antecessor de 20.

• 47 é o antecessor de 48.

Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.

Quando um conjunto é finito?

O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ... + ∞ }

Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}

Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.


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69

• O conjunto dos alunos da classe.

• O conjunto dos professores da escola.

• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS –Z

Interseção do conjunto dos naturais e dos inteiros.

Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos, os números positivos e o zero. Fazendo uma comparação entre os números naturais e os inteiros relativos

percebemos que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros.

N = {- ∞ ... 0,1,2,3,4,5,6, ... + ∞ }

Z= {- ∞ ... , -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ... + ∞ }

N Z O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z maiúscula, esta simbologia

oriunda língua alemã da palavra zahlen, significando contar e mais precisamente da palavra zahl correspondente a número em língua lusitana. Os números positivos são representados

com o sinal de (+) positivo na frente ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números negativos são representados com o sinal de negativo (-) na sua frente (-2).

►Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo:

♦ Exemplo 1:


[email protected]



70

Um termômetro em certa cidade que marcou 10°C acima de zero durante o dia, à noite e na manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação dessas

temperaturas com os números inteiros?

Quando falamos acima de zero, estamos nos referindo aos números positivos e quando falamos dos números abaixo de zero estamos referindo aos números negativos.

+10° C ------------- 10° C acima de zero - 3° C --------------- 3° C abaixo de zero

♦ Exemplo 2:

Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça sucessivas retiradas:

• dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00

• dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00

• dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00

A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim:

Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser representada por – R$100,00.

►Oposto de um número inteiro

O oposto de um número positivo é um número negativo simétrico. Por exemplo: o oposto de +2 é -2; o oposto de -3 é +3.

►O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos:


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71

Inteiros não – nulos

São os números inteiros, menos o zero. Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z.

Z¿ = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}

Inteiros não - positivos

São os números negativos incluindo o zero. Na sua representação deve ser colocado - ao lado do Z.

Z−¿¿ = {..., -3, -2, -1, 0}

Inteiros não positivos e não – nulos

São os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z.

Z−¿¿ ¿ = {-∞..., -3, -2, -1}

Inteiros não - negativos

São os números positivos incluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z.

Z+¿¿ = {0, 1, 2, 3, 4,... + ∞}

O Conjunto Z + é igual ao Conjunto dos Naturais (N ) .

Inteiros não - negativos e não - nulos São os números do conjunto Z+, excluindo o zero.

Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z. Z+¿¿¿ = {1, 2, 3, 4,... + ∞}

O Conjunto Z+¿¿¿ é igual ao Conjunto N*

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS(Q )


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72

Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais.

Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração.

Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes: Por exemplo:

♦ Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos.

Esses números tem a forma com a , b Z e b ≠ 0.

♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:

Esses números têm a forma com a , b Z e b ≠ 0.

♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas:

As dízimas periódicas de expansão infinita, que podem ser escritas na forma : com a, b


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73

Z e b ≠ 0. ► O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.

Q = {x = , com aZ

e b Z¿

}

Q={−∞,…−52,−2 ,−3

2,−1 ,0 ,+1 ,+ 3

2,+5

2,+3 , ..+∞}

Conjunto dos Números Racionais

►Outros subconjuntos dos Números Racionais (Q )

Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. São eles:

Q¿={−∞ ,…−52,−2,−3

2,−1 ,+1 ,

32,52,3 ,..+∞}

Conjunto dos Números Racionais Não Nulos

Q+¿¿ ¿ {0 ,+1 ,32,52,3 ,3 ,2 , ...+∞}

Conjunto dos Números Racionais Não Negativos

Q−¿ ¿ ¿ {−∞ ,…−52,−2 ,−3

2,−1,0}

Conjunto dos Números Racionais Não Positivos


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74

Q+¿ ¿¿ ¿ {1, 32,52,3 ,3 ,2 ..+∞}

Conjunto dos Números Racionais Positivos

Q+¿ ¿={−∞,…−

52,−2 ,−

32,−1}¿

Conjunto dos Números Racionais Negativos

► Representação Geométrica

Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais.

NÚMEROS IRRACIONAIS

É um numero irracional e portanto infinitesimal π = 3,141592 ...

O número irracional é aquele que não admite a representação em forma de fração (contrário dos números racionais) e também quando escrito na forma de

decimal ele é um número infinito e não periódico.

Exemplo

• 0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não repetem periodicamente), então é irracional.

• 2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica.

• Se calcularmos em uma calculadora veremos que √2 , √3 , π são valores que


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representam números irracionais.

A representação do Conjunto dos Irracionais é feita pela letra Imaiúscula.

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

Representação do conjunto dos números reais.

Para chegarmos ao estudo dos números reais, temos que ter passado pelos números: naturais, inteiros, racionais e irracionais. Pois o conjunto dos números reais é a união do conjunto dos racionais com os irracionais.

R=Q∪ I

Sendo que Q∩I=∅, pois se um número é racional ele não é irracional e vice-versa.

Sabemos que N⊂Z⊂Q⊂R ou R⊃Q⊃Z⊃N

R={−∞…−√9,5−52,−2 ,−3

2,−1 ,0 ,+1,

32,52,3 ,√9,5. ..+∞}

Conjunto dos Números Reais

Alem desses subconjuntos, o conjunto dos reais tem mais alguns importantes subconjuntos:

R¿={−∞…−√9,5−52,−2 ,−3

2,−1 ,+1 ,

32,52,3 ,√9,5. ..+∞}

Conjunto dos Números Reais Não Nulos


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R+¿={0 ,+1 ,

32,52, 3 ,√9,5...+∞}¿

Conjunto dos Números Reais Não Negativos

R−¿={−∞…−√9,5−

52,−2 ,−

32,−1 , 0}¿

Conjunto dos Números Reais Não Positivos

R+¿¿={+1 ,+

32,+

52,+3 ,+√9,5...+∞}¿

Conjunto dos Números Reais Positivos

R−¿¿={−∞…−√9,5−

52,−2 ,−

32,−1}¿

Conjunto dos Números Reais Negativos

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Quando você vê um número natural você sabe dizer se ele é ou não divisível por 2?

Se souber, muito provavelmente, você não precisou efetuar a divisão por 2 e constatar que o resto de tal divisão resulta 0, portanto divisível por 2... Acredito que um critério apropriado para saber se há divisibilidade ou não é mais eficiente em boa parte dos casos, principalmente se o critério é simples e requer uma conta menos burocrática que a própria divisão em si.

No entanto, alguns critérios são bem mais onerosos que a própria divisão, sendo mais fácil efetuar a divisão para saber se o resto é 0 (só assim será divisível!) - Vale sempre lembrar que estamos falando de divisão NATURAL, onde apenas estes números são usados para estabelecer critério. Eventualmente entenderemos ao inteiros quando for conveniente.

DEFINIÇÃO

Se D e d são números naturais. Diz-se que D (dividendo) é divisível por d (divisor) se existe um número natural q (quociente) tal que dq= D. Podemos também dizer D que é múltiplo de de d.

Veja alguns critérios de divisibilidade a seguir:


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por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

por 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 5 ou 0.


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por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

por 7

Deseja-se verificar se um número N é divisível por 7.

Devem ser feitas as passagens 1, 2, 3, 4 e 5 para se obter o número M. Na etapa 6: se M for múltiplo de 7, então N é divisível por 7; caso contrário, se M não for múltiplo de 7, então N não é divisível por 7.

Caso o número M não seja evidente (para quem aplica o critério) em ser ou não ser múltiplo de 7, repetem-se as passagens de 1 a 5 tantas vezes quanto forem necessárias para o reconhecimento devido na etapa 6.

Etapas

1. Separa-se o número N em duplas de algarismos, da direita para esquerda. Por exemplo, o número 10.976 é separado em 3 duplas como segue:

Um número natural ABCDE, é divisível por 7 se ABCD - 2E for múltiplo de 7.

por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.


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por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por por 9.

por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

por 12



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por 13

Seja um número ABCDEFGHI. Para o exemplo que será dado, entenda que I, H e G serão os dígitos das unidades, dezenas, centenas,... Devemos somar o produto dos mesmos pelos contidos na seguinte seqüência: 1, -3, -4, -1, 3, 4, para mais dígitos a seqüência se repetirá 1, -3, -4 ...

por 14


por 15


http://www.divisibilitybyseven.mat.br.

Fonte de pesquisa: http://www.profcardy.com/cardicas/divisibilidade.php

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Pense na seguinte situação:

Três peças de tecido (seda, linho e algodão) têm a mesma largura. De

comprimento, a peça de seda tem 96 metros, a peça de linho, 60 metros, e a de

algodão, 72 metros. Maria Antônia precisa dividi-las em cortes de mesmo

comprimento e com o maior tamanho possível. Surgem então dois questionamentos:


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http://www.profcardy.com/cardicas/divisibilidade.php



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a) Que comprimento devem ter esses cortes?

b) Quantos cortes de cada peça serão obtidos?

Como se depreende do problemas quer-se duas coisas são requeridas, a saber,

“mesmo comprimento” e “ o maior tamanho possível”, logo busca-se um divisor

máximo para satisfazer ao problema proposto. Assim temos:

Denomina-se máximo divisor comum de dois ou mais números naturais, não

simultaneamente nulos, o maior de seus divisores comuns.

Resolução

a) O comprimento de cada corte, em metro, deve ser o maior divisor comum de 96, 60

e 72, porque as peças serão divididas em cortes de igual comprimento. Decompondo

os números simultaneamente:

96 ,60 ,7248 ,30 ,3924 ,15 ,1808 ,05 ,06

||223 {mdc (60,72,96 )=2 ∙2 ∙3=23 ∙3¿=12

Assim, o comprimento de cada corte deve ser igual a 12 metros.

* A expressão 23 ∙3é a fatoração ou decomposição do número 12, ou seja,

decompor ou fatorar um número significa escrever esse número na forma de

multiplicação.

b) O número de cortes de cada peça será igual a:

Peça de seda → 96 metros : 12 metros = 8 cortes

Peça de linho → 60 metros : 12 metros = 5 cortes

Peça de algodão → 72 metros : 12 metros = 6 cortes

Agora é sua vez! Calcule:

1) Pela decomposição em fatores primos, calcule o máximo divisor comum:

a) mdc(216,180) =

b) mdc(48,54) =

c) mdc(36,48,128) =

d) mdc(8,25) =


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2) No tanque A, cabem 240 litros de líquido; no tanque B, 450 litros. Para encher esses

tanques, foi usada uma mesma vasilha, em um número inteiro de vezes.

a) Qual a maior quantidade de litros que essa vasilha pode conter?

b) Quantas vezes foi necessário usar a vasilha para encher cada um dos tanques?

3) Haverá um torneio de queimada na escola. As equipes serão mistas, formadas por

48 meninos e 54 meninas. O número de equipes deve ser o maior possível. Além

disso, todas as equipes devem ter o mesmo número de meninas, assim como os

meninos devem igualmente distribuídos entre as equipes. Todos os alunos devem

participar.

a) Quantas equipes podem ser formadas?

b) Quantas meninas e quantos meninos terá cada equipe?

4) Quando o mdc d dois ou mais números é igual a 1, eles são chamados de números

primos entre si. Verifique se são primos entre si os números:

a) 14 e 45 b) 11 e 33 c) 12,16 e 27

5) Um comerciante comprou uma partida de arroz de três qualidades: a primeira veio

em sacas de 60 quilogrmas; a segunda, em sacas de 48 quilogramas; e a terceira,

em sacas de 72 quilogramas. O comerciante pretende embalar o produto em sacas

menores, com a amesma quantidade de quilogramas, sem misturar as qualidad es

de grão e sem sofrer perdas. Quantos quilogramas deve ter cada uma das novas

sacas para que o tamanho seja o maior possível? Qunatas scas o comerciante

obterá?

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

Pense nas seguintes situações por um instante:

Dois carros percorrem uma pista de corrida. O carro amarelo completa uma

volta inteira em 3 minutos, e o carro verde, em 5 minutos.

Os dois carros saem do ponto de largada no mesmo instante e mantêm a

velocidade constante. Depois de quanto tempo eles se encontrarão pela primeira vez

no ponto de largada, após o início da corrida?


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Como o carro amarelo leva 3 minutos para dar uma volta completa, ele

passará pelo ponto de largada nos instantes correspondentes a múltiplos de 3:

M (3 )= {0 ,3 ,6 ,9 ,12 ,15 ,18 ,21 ,24 ,27 ,30 ,…}

O instante 0 (zero) representa a largada, isto é, o instante em que acionamos o

cronômetro para contagem dos tempos.

Já o carro verde leva 5 minutos para dar uma volta completa. Logo, ele

apssará pelo ponto de largada nos instantes correspondentes a múltiplos de 5:

M (5 )={0 ,5 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,35 ,40 ,45 ,50 ,…}

Após 15 minutos de corrida, os carros se encontrarão, pela primeira vez, na

posição de largada.

Os carros estarão juntos, na posição de largada, nos instantes: 0(momento

da largada), 15, 30, 45, ....

Esses números, que são múltiplos tanto de 3 como de 5, são chamados

múltiplos comuns de 3 e 5.

Desses, o menor múltiplo comum de 3 e 5, diferente de zero, é 15. De modo

abreviado, fica assim indicado:

mmc(3,5) = 15→ Lê-se: “o mínimo múltiplo comum de três e cinco é igual a

quinze”.

Assim, denomina-se mínimo múltiplo comum de dois ou mais números

naturais não-nulos o menor de seus múltiplos comuns diferentes de zero.

Agora é sua vez! Calcule:

1) Qual o mínimo múltiplo comum (mmc) dos números abaixo:

a) 6 e 9 b) 8 e 25 c) 6, 10 e 15 d) 6, 20 e 24

2) Qual é o mínimo múltiplo comum (mmc) de dois números em que um deles é

múltiplo do outro? Dê um exemplo.

3) Num país, o prefeito é eleito a cada 4 anos, enquanto o governador é eleito a

cada 5 anos, e o presidente, a cada 6 anos. Em setembro de 2002, as três

eleições coincidiram. Qual será o próximo ano em que coincidirão novamente?

4) Qual é o mínimo múltiplo comum de dois números primos entre si?

5) Um cesto contém maçãs, em número menor que 150. Distribuindo-se as maçãs

em sacos, formando grupos de 7, sobrarão 3 maças. Distribuindo-se de 5 em 5,


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também sobrarão 3 maças. Sabendo que se as maças forem distribuídas de 11

em 11 não sobrará nenhuma maçã, calcule o número de sacos necessários para

essa distribuição.

6) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” em diferentes intervalos de tempo. A primeira “pisca” a cada 4 segundos, e a segunda “pisca” a cada 6 segundos. Se, num certo instante, as luzes “piscam” simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar” ao mesmo tempo?

INTERVALOS NUMÉRICOS

O conjunto dos números reais é formado a partir da união dos seguintes conjuntos:

Números Naturais: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,....)

Números Inteiros: (....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....)

Números Racionais: (números na forma de a/b, com b≠0 e decimais periódicos. Ex:

1/2; 3/5; 0,25; 0,33333.....)

Números Irracionais: (números decimais não periódicos. Ex. 0,2354658752485879.....)

Intervalo Real

Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ , {x Є R/a < x < b}

Aberto à esquerda e aberto à direita

Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a,b], {x Є R/a < x ≤ b}

Aberto à esquerda e fechado à direita

Intervalo fechado em a e aberto em b, [a,b[, {x Є R/a ≤ x < b}


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Fechado à esquerda e aberto à direita

Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b], {x Є R/a ≤ x ≤ b}

Fechado à esquerda e fechado à direita

INTERVALOS INFINITOS

{x Є R / x > a}

{x Є R / x < a}

{x ЄR / x ≥ a}

{x Є R / ≤ a}

Fonte da pesquisa: http://www.brasilescola.com/matematica/intervalo-real.htm


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http://www.brasilescola.com/matematica/intervalo-real.htm



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HISTÓRIA DO ÁBACO

Conforme citado pelo Professor Luiz

Alberto Melchert de Carvalho e Silva,

professor de Economia, o ábaco foi inventado

pelos romanos. E é justamente das pedrinhas

que os formam que vem palavras como

contas, contar, cálculo e calcular. Muitos anos

depois, em 1541, os portugueses aportaram

no Japão e levaram consigo os jesuítas com seus ábacos que foram muito bem

recebidos por lá. Enquanto isso, no ocidente, a adoção dos algarismos arábicos

quase levaram esses instrumentos ao esquecimento.

Imaginem ainda que quando Jesus nasceu em Belém estava sendo feito um censo e

deveriam existir formas dos romanos fazerem contas que não haveriam de ser com

algarismos romanos. Nesse período eles já usavam ábacos, pois sempre foram muito

organizados, inclusive, na cobrança de impostos e nas transações comerciais.

Com o advento dos algarismos arábicos, especialmente com a noção do

zero, puderam-se fazer contas na ponta do lápis, ou a bico de pena, se o leitor

preferir. É que, com os algarismos romanos, colocar parcelas, umas sobre as outras,

não significava nada, pois os números não tinham a correspondência espacial que a

noção do zero nos trouxe.

As frações decimais também não existiam, tanto que os países de língua

inglesa ainda usam as ordinais para

quase todas as medições, especialmente

as feitas em polegadas e demais

medidas imperiais. Os latinos que

tiveram muito mais influência árabe, seja

pela invasão da Península Ibérica, seja

pelo compartilhamento de ilhas do

Mediterrâneo, adotaram os seus meios


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de contar com grande entusiasmo, esquecendo-se rapidamente dos antigos

métodos.

No Japão, porém, não havendo os mesmos recursos gráficos para registro de

números, o ábaco floresceu e expandiu seu uso, muito embora a máquina de

calcular de Ghaus tenha-se baseado nele. Em 1601, os europeus foram expulsos do

Japão pelo Xogum Tokugawa. Houve uma matança de cristãos e somente a ilha de

Fukuoka pôde continuar a receber estrangeiros, de modo que a escrita romana não

se espalhou pelo restante do país, mas o ábaco sim, pois resolvia um problema

sério.

Há controvérsias quanto à origem do ábaco – alguns dizem que veio do oriente para o

ocidente (da China para a Europa) e outros afirmam que o caminho foi o inverso, com o

ábaco saindo de Roma para o Oriente a partir do domínio imperial romano sobre a Ásia

Menor.

Há alguns historiadores que contam outra história, afirmando que o ábaco é

chinês e que fora trazido pelas expedições de Marco Pólo. Essa versão, porém, não

explica como os romanos conseguiam fazer contas complexas com os algarismos

com que contavam.

O uso de algarismos arábicos deixou o ato de contar extremamente visual,

inclusive as "escadinhas" que se fazem nas operações de multiplicação e divisão,

dificultando o entendimento por crianças cegas de nascença. O uso do cubaritmo é a

transposição do método visual para o tátil sem a correspondência no imaginário do

aluno, tornando o ato enfadonho, lento e absolutamente antinatural. O sorobã

adaptado, ao contrário, aumenta a capacidade de abstração da criança, a ponto de,

sem o ter nas mãos, simplesmente imaginando as bolinhas subindo e descendo,

poderem fazer quaisquer contas mentalmente.

Duas são as condições para isso acontecer. A primeira é que a adaptação

seja bem feita, o que é raríssimo ultimamente. A segunda é que a técnica ensinada

seja a correta, o que também não é comum aqui no Brasil, especialmente porque os

professores costumam aprender em instituições que desconhecem ou não se atém

ao assunto. Esses profissionais, por não saberem usar o aparelho, induzem as

crianças a calcular mentalmente, da direita para a esquerda como nos cálculos

escritos, registrando os resultados no aparelho, ao invés de mostrar-lhes o algoritmo

correto, que explicarei mais adiante.


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Para poder explicar como se faz uma adaptação correta, é preciso que se

entenda seu funcionamento. Trata-se de uma moldura com, em geral, vinte e uma

barras verticais que servem de eixo para as contas. A dois terços da altura, há uma

barra horizontal. Acima dela, há uma conta em cada eixo que, se baixadas até tocar

a barra valem 5 e se tocando a parte superior da moldura nada valem. Na parte de

baixo, em cada eixo, há quatro contas. As que forem empurradas para cima valem 1

cada, de sorte que se todas as de baixo forem levantadas e a de cima for baixada,

temos o valor de 9. Aqui entra um conceito muito interessante, o valor binário. Se

empurrada, a conta está ativa, se em repouso, não vale nada, exatamente como se

faz nos computadores.

Eu tive um ábaco importado do Japão que era realmente bem adaptado.

Durou vinte anos e, quando se desgastou, nunca mais encontrei um que prestasse.

Ele era forrado com uma espuma de borracha siliconada que, a um só tempo,

pressionava as contas contra as barras, impedindo que se desmanchassem os

resultados pelo tatear, e dava agilidade igual à dos ábacos para quem enxerga.

O ábaco pode ser um ótimo recurso pedagógico para a aprendizagem da

matemática.

Os adaptados aqui nunca funcionaram bem porque, ao invés de uma

espuma, põe-se uma manta de borracha. Ela

deixa o ábaco duro demais quando novo, a ponto

de não se conseguir mover rapidamente as

contas, e, quando a manta fica mais gasta, por

não possuir efeito de mola, deixa de fazer pressão

sobre as bolinhas, tornando-as tão soltas quanto

as que se encontram nos ábacos sem adaptação.

Na verdade, adotando-se a idéia de desenho

universal, todos os ábacos deveriam ter forração

de espuma de borracha, pois ela não atrapalha

quem enxerga e queira usar um ábaco.

Este artigo não pretende esgotar o algoritmo, mas dar uma idéia do quanto o

ábaco é melhor para ensinar contas a crianças cegas, assim, vou somente dar uma

idéia de como se fazem as operações de somar e subtrair, deixando as demais para

quem tiver interesse. Para somar parte-se, assim como nas antigas máquinas, de

uma parcela e vão-se escrevendo as demais por cima das anteriores, sempre da


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esquerda para a direita, usando um algoritmo simplíssimo, que vale para sempre que

não houver espaço para empurrarem-se as bolinhas equivalentes à parcela entrante.

Em outras palavras, se tivermos o número 8 escrito, teremos deixado a

bolinha de cima, que vale 5 e levantado três das debaixo, restando apenas uma

bolinha no mesmo eixo. Para adicionar - digamos 3, levantamos uma das do eixo à

esquerda e baixamos sete das da direita, resultando 11, sendo uma no eixo a

esquerda e uma no da direita. Se quisermos somar 7 em 8, por exemplo, levantamos

10 e baixamos 3, pois 7=10-3, o que é intuitivo, tanto que aprendi a usá-lo sozinho,

brincando em casa com o do meu irmão mais novo.

Uma vez, já na faculdade, dona Isa, minha professora itinerante, que era

japonesa de nascença, viu-me usando o sorobã numa prova de contabilidade e disse

que eu era o primeiro "gaijin" que sabia usar corretamente o aparelho. Faço qualquer

operação nele, incluindo todas as de matemática financeira.

Mesmo hoje, que empregamos tanto o computador e que até os celulares têm calculadoras

embutidas, continuo usando-o para calcular mentalmente. Não sei por que ainda insistem

com o cubaritmo, que não tem absolutamente nada a ver com a forma de um cego pensar,

ou mesmo abstrair, deixando-o avesso à Matemática.

Durante muitos séculos a Humanidade não dispôs de papel para usar de

forma generalizada tal como acontece hoje em dia. A falta de uma superfície de

escrita barata e acessível foi um obstáculo ao desenvolvimento da educação em

geral e da aritmética em particular, e é certo que a maioria dos comerciantes e

mercadores não tinham ao seu dispor livros para registo de trocas comerciais. No

entanto, era preciso efectuar cálculos e daí a necessidade de um instrumento

auxiliar. Esse auxiliar foi o ábaco. A palavra tem a sua origem no latim abacus e no

grego (abax) e significa “mesa de cálculo”.

Existem registos de ábacos um pouco por todo o mundo, em diferentes

épocas e civilizações. Ainda que o seu aspecto possa variar, a forma de utilização é

basicamente a mesma.


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http://nonio.ese.ipsantarem.pt/avemurca/file.php/1/Jornal_Online/abaco3.jpg



90

Figura 1 -http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://nonio.ese.ipsantarem.pt/avemurca/file.php/1/Jornal_Online/abaco2.jpg&imgrefurl=http://jornalavem.wordpress.com/2007/07/02/o-abaco/&usg=__-zpqcYYQAA-6IW6krmYFVCRwanU=&h=360&w=915&sz=41&hl=pt-BR&start=8&t

O ábaco mais antigo – e mais sofisticado – foi usado por mercadores

babilônios. Consistia numa simples tábua onde pequenas pedras se dispunham em

colunas paralelas para representar os números.

Um pouco mais sofisticado, o ábaco romano era formado por uma base em

metal, com ranhuras paralelas nas metades superior e inferior e pequenas bolas:

uma em cada um das ranhuras superiores e quatro em cada uma das ranhuras

inferiores. Cada bola numa ranhura superior valia 5 e cada bola numa ranhura

inferior valia 1.A partir da posição inicial (a), o registro dos números era feito

deslocando-se bolas para a zona central do ábaco (b) – neste exemplo está

representado o número 5648.

USO DA CALCULADORA NÃO-CIENTÍFICA E CIENTÍFICA E AS RESPECTIVAS

FUNCIONALIDADES DAS SUAS TECLAS

UM POUCO DE HISTÓRIA

Ábaco


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http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Abacus_6.png


91

A Humanidade tem utilizado dispositivos para auxiliar a computação há

milênios. Um exemplo é o dispositivo para estabelecer a igualdade pelo peso: as

clássicas balanças, posteriormente utilizadas para simbolizar a igualdade na justiça.

Um dispositivo mais orientado à aritmética é o ábaco mostrado na figura ao lado.

Primeiras calculadoras mecânicas

Em 1623 Wilhelm Schickard construiu a primeira calculadora mecânica e

assim, tornou-se o pai da era da computação. Como sua máquina utilizava técnicas

como engrenagens inicialmente desenvolvidas para relógios, ela foi também

chamada de 'relógio calculador'. Ela foi colocada em uso prático por seu amigo

Johannes Kepler, que revolucionou a astronomia.

A máquina de Blaise Pascal (a Pascalina, 1642) e Gottfried Wilhelm von

Leibniz (1670) se seguiram.

Leibniz descreveu também o código binário, um ingrediente central de todos

os computadores modernos. Entretanto, até 1940, muitos projetos (incluindo a

máquina de Babbage do século 19 e mesmo o ENIAC de 1945) foram baseados no

sistema decimal, mais difícil de implementar.


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http://pt.wikipedia.org/wiki/ENIAC

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_bin%C3%A1rio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Leibniz

http://pt.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz

http://pt.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz

http://pt.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

http://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

http://pt.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Schickard

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco


http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Gears_large.jpg


92

John Napier notou que a multiplicação e a divisão de números poderia ser

feita pela adição e subtração, respectivamente, de logaritmos destes números. Como

números reais podem ser representados pelas distâncias ou intervalos em uma linha,

uma simples operação de translação ou movimentação de dois pedaços de madeira,

corretamente marcados com intervalos logaritmos ou lineares, foi utilizada como a

régua de cálculo por gerações de engenheiros e outros profissionais de ciências

exatas, ate a invenção da calculadora de bolso . Assim os engenheiros do programa

Apollo para enviar o homem à lua fizeram seus cálculos em réguas de cálculo.

Leitores de cartões perfurados 1801-1940

Em 1801, Joseph-Marie Jacquard desenvolveu

uma máquina têxtil em que o padrão de saída era

controlado por cartões

perfurados. O conjunto de

cartões poderia ser alterado

sem alterar a estrutura da

máquina têxtil. Este foi um

marco na programação.

Em 1890 o censo dos

Estados Unidos utilizou

cartões perfurados e máquinas de ordenação desenhadas

por Herman Hollerith para controlar os dados do censo da década conforme previsto

na constituição. A companhia de Hollerith tornou-se posteriormente o núcleo da IBM.

No século 20, a eletricidade foi utilizada pela

primeira vez em máquinas de calcular e ordenar. Em 1940, W.J. Eckert do Thomas

J. Watson Astronomical Computing Bureau da Universidade de Columbia publicou o

artigo Método dos cartões perfurados na computação científica que era

suficientemente avançado para resolver equações diferenciais, multiplicar e dividir

números de ponto flutuante, baseado unicamente em cartões perfurados e mesas de

conexão similares às utilizadas por operadores de telefonia. Os cálculos

astronômicos representaram o estado da arte na computação.

Primeiros projetos de máquinas programáveis 1835-1900s


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Figura 2 - Joseph M. Jacquard

Figura 3 - Herman Hollerith

http://pt.wikipedia.org/wiki/1900s


http://pt.wikipedia.org/wiki/IBM

http://pt.wikipedia.org/wiki/Herman_Hollerith

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cart%C3%A3o_perfurado




http://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_Marie_Jacquard




http://pt.wikipedia.org/wiki/Lua

http://pt.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gua_de_c%C3%A1lculo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmos

http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Napier


http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hollerith.jpg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Joseph_Marie_Jacquard.jpg


93

A característica que define um "Computador Universal" é a

"programabilidade" que permite ao computador emular qualquer outra máquina de

calcular alterando a sequência de instruções armazenadas. Em 1835 Charles

Babbage descreve sua Máquina Analítica. Esta máquina tratava-se de um projeto de

um computador programável de propósito geral, empregando cartões perfurados

para entrada e uma máquina de vapor para fornecer energia. Enquanto os projetos

estavam provavelmente corretos, conflitos com o artesão que construía as partes, e

o fim do financiamento do governo, tornaram impossível a sua construção. Ada

Lovelace, filha de Lord Byron, traduziu e adicionou anotações ao Desenho da

Máquina Analítica de L. F. Manabrea. Ela se tornou uma parceira bem próxima de

Babbage. Alguns reivindicam que ela é a primeira programadora de computadores

do mundo, entretanto essa reivindicação e a validade de suas outras contribuições

são disputadas por muitos. A reconstrução da Máquina Diferencial está em operação

desde 1991 no Museu de Ciências de Londres, ela trabalha como Babbage projetou

e mostra que ele estava certo na teoria e permite a produção de partes da precisão

requerida. Babbage falhou porque seus desenhos eram muito ambiciosos, ele teve

problemas com relações de trabalho, e era politicamente inapto.

Outros tipos limitados de computação mecânica 1800s-1900s

No início do século 20 as primeiras calculadoras mecânicas, caixas

registradoras e máquinas de cálculo em geral foram redesenhadas para utilizar

motores elétricos, com a posição das engrenagens representando o estado de uma

variável. Pessoas eram empregadas com o cargo de "computador", e utilizavam

calculadoras para avaliar expressões. Durante o Projeto Manhattan, o futuro prêmio

Nobel Richard Feynman foi o supervisor de uma sala cheia de computadores

humanos, muitos deles mulheres, que entendiam as equações diferenciais que

estavam sendo solucionadas para a guerra. Mesmo o renomado Stanislaw Marcin

Ulam foi encarregado de trabalhar na tradução da matemática em um modelo

computacional aproximado da bomba de hidrogênio, depois da guerra.

Durante a Segunda guerra mundial, Os planos de Curt Herzstark para uma calculadora

mecânica de bolso literalmente salvaram sua vida. Veja: Cliff Stoll, Scientific American 290,

no. 1, pp. 92-99. (Janeiro 2004).


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http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Curt_Herzstark&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Segunda_guerra_mundial

http://pt.wikipedia.org/wiki/Bomba_de_hidrog%C3%AAnio

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Stanislaw_Marcin_Ulam&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Stanislaw_Marcin_Ulam&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial

http://pt.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynman

http://pt.wikipedia.org/wiki/Projeto_Manhattan

http://www.oldcalculatormuseum.com/fridenstw.html



http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Museu_de_Ci%C3%AAncias_de_Londres&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_Diferencial

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_Anal%C3%ADtica


http://pt.wikipedia.org/wiki/Computador



94

Na atualidade

Dá-se o nome de calculadora científica a um tipo específico de calculadora

que permite efectuar, para além das operações elementares, algumas operações

matemáticas mais complexas, tendo também a capacidade de trabalhar com vários

tipos de notação (fracções, notação científica, notação de engenharia) e de fazer

conversões de coordenadas (coordenadas cartesianas/polares).

Entre as suas principais capacidades, encontra-se a de permitir gerar

números aleatórios e efetuar arredondamentos, bem como a de calcular valores de

funções trigonométricas (nas várias unidades de medição angular, nomeadamente

graus, grados e radianos), de funções exponenciais e logarítmicas e de efetuar

alguns cálculos ligados à teoria das probabilidades (arranjos, combinações) e à

estatística (média, desvio-padrão).

Algumas delas, mais avançadas, permitem ainda operar com números complexos.

Uma calculadora é um dispositivo para a realização de cálculos numéricos.

Este tipo é considerado distinto das máquinas calculadoras e dos computadores, no

sentido de que a calculadora é um dispositivo voltado para um fim específico e que

não pode ser qualificada como uma Máquina de Turing, ou seja, a máquina de

Turing é um dispositivo teórico, conhecido como máquina universal, que foi

concebido pelo matemático britânico Alan Turing (1912-1954), muitos anos antes de

existirem os modernos computadores digitais (o artigo de referência foi publicado em

1936). Num sentido preciso, é um modelo abstrato de um computador, que se

restringe apenas aos aspectos lógicos do seu funcionamento (memória, estados e

transições) e não à sua implementação física. Numa máquina de Turing pode-se

modelar qualquer computador digital.

Turing também se envolveu na construção de máquinas físicas para quebrar

os códigos secretos das comunicações alemãs durante a II Guerra Mundial, tendo

utilizado alguns dos conceitos teóricos desenvolvidos para o seu modelo de

computador universal.

Embora muitas calculadoras modernas incorporem com freqüência um

computador genérico, o dispositivo como um todo foi projectado para facilitar a

realização de operações específicas, e não visando flexibilidade de tarefas.

Também, calculadoras modernas são muito mais portáteis do que a maioria dos


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http://pt.wikipedia.org/wiki/II_Guerra_Mundial





http://pt.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_de_Turing


http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_calculadora

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo



95

outros dispositivos chamados computadores, embora muitos PDAs sejam

compatíveis em tamanho com calculadoras portáteis.

Características

As calculadoras de hoje são eletrônicas e

são construídas por vários fabricantes, em diversas formas e tamanhos variando em

preço de acordo com a sofisticação e os recursos oferecidos. Somente poucas

companhias desenvolvem calculadoras profissionais para a área financeira e

engenharia; as mais conhecidas são Sharp, Casio, Hewlett-Packard (HP) e Texas

Instruments (TI), estas duas últimas empresas, os mais tradicionais fabricantes de

calculadoras.

A capacidade de uma calculadora varia conforme o modelo, desde

possibilidades de cálculo limitados à aritmética básica, passando por outras que

oferecem funções trigonométricas, até outras funções matemáticas mais avançadas.

As mais modernas e avançadas são programáveis e podem apresentar gráficos.

No passado, com a ajuda de dispositivos como o ábaco, régua de cálculo e

outros, pessoas, normalmente mulheres, denominadas "calculadores" faziam o sério

trabalho de cálculo numérico com a ajuda de caneta e papel. Não é necessário dizer

que este trabalho semi-manual era tedioso, extremamente lento e sujeito a erros.

[editar] Tipos de calculadoras

Calculadoras Gráficas são aquelas que podem plotar gráficos 2D ou 3D em

seu display. Exemplos de calculadoras gráficas são HP49G+,

HP48, etc.

Calculadoras Científicas não plotam gráficos, mas calculam funções

como seno, cosseno, etc. Exemplos são as da marca Casio, HP 11C.


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Figura 4 - Hewlett-Packard HP-48, capaz de lidar com

gráficos tridimensionais, cálculo diferencial e integral, matrizes, e muitas outras funções avançadas.

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=HP48&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/HP49G%2B

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Calculadora&action=edit&section=2

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Trabalho_semi-manual&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Papel

http://pt.wikipedia.org/wiki/Caneta


http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco

http://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Texas_Instruments

http://pt.wikipedia.org/wiki/Texas_Instruments

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hewlett-Packard

http://pt.wikipedia.org/wiki/Casio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sharp

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_integral

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=HP-48&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hewlett-Packard

http://pt.wikipedia.org/wiki/PDA



http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:HP48G.jpg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:CasioFX300ES.jpg


96

As calculadoras Financeiras são calculadoras voltadas para o meio

financeiro, com muitas funções já prontas. Um exemplo é a HP12C.

E temos também as calculadoras simples que não possuem nem as funções

trigonométricas básicas, como seno, cosseno e tangente.

Curiosidades

Para que se possa desligar uma calculadora sem a tecla Off, basta apenas

pressionar simultaneamente as teclas números "5" e "6", ou mesmo as teclas de

"multiplicação" e "divisão", junto à tecla On/C. Corretamente, rapidamente a

calculadora responderá ao comando desligando-se.

É comum, sobretudo entre jovens, a utilização de calculadoras para envio de mensagens

curtas. Estas mensagens correspondem ao uso de determinados caracteres da calculadora

cujos tenham semelhanças com as letras do alfabeto. Assim, no ecrã da calculadora, ao

digitar "507138", ao girar 180°, tanto à esquerda quanto à direita, obter-se-á "beijos".

Também é disponível "oi", que seria "10", e ao digitar "50135" e girar 180º, obtém-se a

palavra "seios".


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Figura 6 - Uma antiga calculadora científica Casio FX-77.

Figura 5 - Casio fx-300ES, uma calculadora científica com display real (é capaz de exibir frações, raízes e outras funções do modo que são escritas)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ecr%C3%A3

http://pt.wikipedia.org/wiki/Alfabeto

http://pt.wikipedia.org/wiki/Letras

http://pt.wikipedia.org/wiki/Caracteres

http://pt.wikipedia.org/wiki/Jovens

http://pt.wikipedia.org/wiki/Divis%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Seis

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinco


http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:FX-77.JPG


97

Durante muito tempo ao Inês de calculadoras eletrônicas usou-se as réguas

de cálculo. Mas o que é mesmo uma régua de cálculo? Uma Régua de cálculo é um

computador mecânico analógico que permite a realização de cálculos por meio de

guias graduadas deslizantes.

Sua criação foi feita pelo padre inglês William Oughtred, em 1638, basendo-

se na tábua de logaritmos que fôra criada por John Napier pouco antes, em 1614.

Apesar da semelhança com uma régua a régua de cálculos é um dispositivo

que não tem nada a ver com medição de pequenas distâncias ou traçagem de retas.

A régua de cálculo é o pai das calculadoras eletrônicas modernas (até mesmo

porque os engenheiros que criaram as calculadoras eletrônicas provavelmente

fizeram isso usando réguas de cálculo), tendo sido largamente usada até a década

de 1970 quando então a versão eletrônica foi largamente difundida e aceita em

função de sua simplicidade e precisão.

Quanto a precisão as réguas de cálculo não fornecem valores exatos e sim

aproximados que são aceitos como viáveis dentro de certa aplicação. Assim, um

cálculo como 1345 x 3442 = ? É resolvido em poucos segundos com uma régua de

cálculo mas o máximo que será possível dizer do resultado é que ele está bem

próximo de 4.650.000 e raramente o valor exato (4.629.490 neste caso).

FONTES DA PESQUISA:

calculadora científica. In Infopédia [Em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-

2009. [Consult. 2009-04-26].

Disponível na www: <URL: http://www.infopedia.pt/$calculadora-cientifica>.

Visite o site: http://museu.boselli.com.br/

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_do_hardware



RAZÃO

PROPORÇÃO

REGRA DE TRÊS SIMPLES


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http://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_do_hardware

http://museu.boselli.com.br/



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REGRA DE TRÊS COMPOSTA

TAXA PERCENTUAL (i %)

PORCENTAGEM

PROBLEMAS ENVOLVENDO PORCENTAGEM

LUCRO

PREJUÍZO

ACRÉSCIMOS E DESCONTOS

JURO SIMPLES

JURO COMPOSTO

MONTANTE

APLICAÇÕES DE LOGARITMO EM JURO COMPOSTO

VALOR ATUAL E VALOR FUTURO

CONFECÇÃO DE UMA PLANILHA ORÇAMENTÁRIA

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

PROBABILIDADE

ESBOÇO DE GRÁFICOS DIVERSOS

REFERÊNCIAS

ANEXOS


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mÓdulo i - matemÁtica financeira- ceebc_2009

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