módulo 3 • unidade 5 esfera · 2013-04-12 · que diferente! não me embro de você gostar de...

Matemática e suas Tecnologias • Matemática 5

Módulo 3 • Unidade 5

EsferaPara início de conversa...

Pedro chega a casa e encontra sua irmã gêmea, Laura.

Pedro: Oi, Laura! Sabe de onde acabo de chegar?

Laura: Não tenho ideia, mas, deixe-me ver... do mercado?

Pedro: Não, foi...

Laura: ...da praia?

Pedro: Não!

Laura: Hmmmmm...j� sei! �hegou da�ue�e bar em �ue o pessoa� est� to-� sei! �hegou da�ue�e bar em �ue o pessoa� est� to-�hegou da�ue�e bar em �ue o pessoa� est� to-

cando?

Pedro: Não! Acabei de chegar do par�ue de diversões!

Laura: Par�ue de diversões? Que diferente! Não me �embro de você gostar

de par�ue de diversões.

Pedro: Pois é, não gostava muito não. Mas aí, passei em frente a esse par-

�ue e reso�vi entrar pra ver como era. Acabei gostando e fi�uei um tempo por ��

Laura: Do �ue você mais gostou, do tiro ao a�vo, da montanha russa, do

carrosse�?

Pedro: Minha irmã, tudo �� é muito interessante. A�i�s, sugiro �ue você v�: é di-

versão garantida. Agora, para te fa�ar bem a verdade, eu gostei mesmo foi do vidente!

Laura: Ah, sabia ! ! ! ! Foi por isso �ue entrou no par�ue de diversões ! ! Mas

me conta tudo! �omo era ��? Era uma tenda, uma sa�a, um temp�o? E o �ue foi

�ue e�e disse?

Pedro: O�ha, era só uma tendinha mesmo. Tinha uns panos no fundo e uma

bo�a de crista� sensaciona�! Quanto ao �ue e�e me disse... ahmmmm...é �ue...bem...


Laura: Fa�a, menino!

Pedro: Aí é �ue est�! Eu fi�uei tão vidrado na bo�a de crista� �ue não faço ideia do �ue e�e me disse...

Laura: Jura? Nossa! Mas como era essa bo�a de crista� para você ficar tão encantado com e�a?

Pedro: Ah, era um g�obo de vidro cheio de um g�s de baixa pressão e um e�etrodo de a�ta vo�tagem bem no

centro da esfera.

Laura: Ih! �entro, esfera...essa au�a de Matem�tica eu fa�tei, meu irmão! Lembra?

Pedro: É verdade, é verdade! Foi a�ue�e dia do...

Laura: O�ha só, me�hor nem começar, t�? Você pode me ensinar esse negócio de esfera, centro e ta�?

Pedro: ��aro, Laura, c�aro. É assim, o�ha só...

Fonte: http://sxc.hu

Figura 1 – Uma “bola de cristal”: esfera de vidro, contendo gás com baixa pressão e um eletrodo no centro.

O��, pessoa�. A�guém aí j� foi ou tem vontade de se consu�tar com um vidente? Sim ? ! ? ! ? Não ? ! ? ! Espera aí,

gente, um de cada vez ! ! ! Bom, vamos fazer o seguinte: para não tumu�tuar, vamos deixar esse assunto para depois.

Na história �ue acabamos de �er, Pedro encantou-se mais pe�a bo�a de crista� do vidente do �ue com o �ue ouviu na

consu�ta. A�i�s, pe�o �ue pudemos perceber, e�e se�uer ouviu o �ue foi dito.

De �ua��uer forma, Pedro fez uma tentativa de descrever a bo�a de crista� de �ue tanto gostou para sua irmã

Laura. Só �ue esta ú�tima não entendeu muito bem.

Nesta unidade, vamos tentar auxi�iar Laura e a todos vocês a entender me�hor o �ue é uma esfera, a identificar

seus e�ementos, ca�cu�ar sua �rea e seu vo�ume. Então, fi�uem �igados e bom traba�ho!


Objetivos de aprendizagem � Reconhecer os e�ementos de uma esfera;

� �a�cu�ar a �rea da superfície e o vo�ume da esfera;

� �a�cu�ar a �rea de um fuso esférico e o vo�ume de uma cunha esférica.

Seção 1

O que é uma esfera?

Você j� ouviu o termo “esfera”? Sabe dizer exatamente ou, pe�o menos, com mais precisão, o �ue é uma esfera?

As figuras seguintes representam objetos muito comuns em nosso cotidiano e �ue podem ser chamados de esferas.

Você sabe dizer o �ue e�es têm em comum?

Figura 2 – Um limão, uma lima e uma laranja; bolas de natal; bolas de boliche e bola de futebol

E então, conseguiu descrever precisamente o �ue é uma esfera? �onseguiu identificar seus e�ementos princi-

pais? A�i�s, você sabe como ca�cu�ar a �rea e o vo�ume de uma esfera? Nas próximas seções, iremos responder a estas

perguntas!

Vendo esferas onde não podia ver...

Vamos agora ref�etir um pouco sobre os objetos �ue vimos representados pe�as figuras das p�ginas anteriores?

O �ue e�es têm em comum uns com os outros?


Bom, imagine se cort�ssemos ao meio todos estes “objetos”. O �ue veríamos na parte cortada? Um círcu�o,

concordam? Vejam na figura seguinte.

Figura 3 – À direita, uma laranja inteira. À esquerda, a laranja cortada exatamente ao meio.

E se não cortarmos ao meio, se cortarmos em �ua��uer outra parte, o �ue veremos na seção cortada? São cír-

cu�os também, só �ue menores �ue os �ue podemos ver, �uando imaginamos os cortes pe�o meio. Vejam na figura

seguinte

Figura 4 – Seções produzidas, quando cortamos uma laranja sem passar exatamente pelo seu centro.

Pois é isso o �ue todos têm em comum! Quando os cortamos em �ua��uer �ugar, o �ue vemos são círcu�os!

Agora, vamos vo�tar ao caso de Pedro e Laura. Abaixo, segue a imagem da bo�a de crista� de �ue Pedro tanto

gostou. Assim, poderemos entender mais a�gumas coisas sobre a definição de esfera.

Pedro comentou com Laura �ue a bo�a de crista� era feita de um g�obo de vidro, com um g�s de baixa pressão

e um e�etrodo de a�ta tensão no interior. Este e�etrodo �oca�iza-se no centro da bo�a. Vamos entender me�hor o �ue

essas partes significam para o nosso estudo desta unidade.


Figura 5 – Outra “bola de cristal”, nos mesmos moldes da primeira: uma esfera de vidro, contendo gás com baixa pressão e um eletrodo no centro.

O g�obo de vidro constitui numa superfície curva, no formato de uma bo�a (daí o nome bo�a de crista�). Esta

superfície recebe o nome de casca esférica. Sua função é a de �imitar o g�s necess�rio para produzir o be�o efeito �u-

minoso �ue vimos na figura anterior.

Se adicionarmos ao g�obo de vidro - �ue, repetimos, é apenas uma borda, uma casca – tudo a�ui�o �ue est�

em seu interior, teremos o �ue chamamos de esfera.

�asca esférica é apenas a borda – em nosso caso, a superfície curva de vidro �ue tem o formato de uma

bo�a. Esfera é o conjunto �ue contém a casca esférica e tudo �ue est� em seu interior – em nosso caso,

casca de vidro mais g�s e e�etrodo.

Podemos fazer uma ana�ogia com uma �aranja com formato redondo, esférico. A casca da �aranja é a

superfície esférica, en�uanto toda a �aranja (casca mais gomos) é a esfera.

Uma propriedade muito importante é �ue, em toda a esfera, h� sempre um ponto centra� �ue, no caso da bo�a

de crista�, é ocupado pe�o e�etrodo de a�ta tensão. Sua distância até a cada ponto da casca esférica (g�obo de vidro) é

constante.

Podemos forma�izar um pouco os conceitos até agora discutidos da seguinte forma:

Dado um ponto O e uma distância r, chamamos de esfera ao conjunto de pontos cuja distância até o ponto O

é menor ou igua� ao raio r. Se essa distância for exatamente igua� a r, chamamos o conjunto de pontos de superfície

da esfera, pois, neste caso, estaremos tomando somente a “casca” da esfera (em cinza escuro). Se a distância for menor

do �ue r, teremos apenas o “mio�o” da esfera (em cinza c�aro). Vejam na figura seguinte


Figura 6 – Esfera, com centro O e raio r destacados

A superfície esférica e a esfera podem ser definidas também como superfície ou só�ido de revo�ução, respecti-

vamente. Se girarmos uma semicircunferência comp�etamente - ou seja, 360º - em torno de um eixo �ue contém seu

diâmetro, obtemos uma superfície esférica.

Figura 7 – Superfície esférica gerada por rotação da semicircunferência em torno do eixo

Va�e re�embrar a�ui �ue a circunferência é, por assim dizer, apenas a borda do círcu�o – e �ue semicircunferên-

cia é metade de uma circunferência. Agora, se girarmos um semicírcu�o comp�etamente – ou seja, 360º - em torno de

um eixo �ue contém o seu diâmetro, obteremos uma esfera. Lembramos a�ui �ue um semicírcu�o é a metade de um

círcu�o - �ue é a figura comp�eta, mio�o mais borda.

Figura 8 – Esfera gerada por rotação do semicírculo em torno do eixo


Dê exemp�os de objetos reais �ue podem ser considerados superfícies esféricas e

outros �ue podem ser considerados esferas.

Seção de uma esfera

A�guém �uer um coco aí?


O coco é uma fruta muito apreciada pe�os fre�uentadores das

praias de todo o nosso estado. Os vendedores de coco têm uma habi�i-

dade incríve� para cort�-�o e deixa-�o ta� como na imagem anterior

Se considerarmos um coco como uma esfera, o tampo retirado

pe�o vendedor para �ue a gente possa beber sua �gua é chamado de seção da esfera. �omo havíamos comentado no

início desta unidade, esta seção deixa uma marca circu�ar no coco. Ser� �ue a gente consegue saber mais informações

sobre essa seção circu�ar?

Vamos dar uma o�hada no es�uema a seguir:

Se tomarmos o coco como uma esfera de raio R e centro O e fizermos um corte (com o facão do vendedor, para

abrir o coco), como mostra a figura abaixo, então a interseção deste p�ano com a esfera ser� um círcu�o de raio R’ e centro O’.

Figura 10 – Esfera com centro O, raio R e seção α, com centro O’ e raio R’ destacados.

Figura 9 – Um coco também pode ser consi-derado uma esfera


Desta figura, podemos obter a seguinte re�ação: R² = d² + R’² (teorema de Pit�goras), donde d é a distância do

ponto O ao ponto O’.

Observe o coco representado na figura. Note �ue e�e é constituído de uma parte

exterior, uma parte interior e, bem no centro, h� uma outra esfera onde fica a �gua. Vamos

considerar �ue as duas esferas são concêntricas e �ue a menor tem raio igua� a 6 cm. Um

vendedor passa um facão de forma p�ana e tangente à esfera menor. Na esfera maior, fica

determinada uma seção – marcada em cinza - cuja �rea é igua� a 64π cm². Determine o raio

r da esfera maior.

Os elementos de uma esfera

Na seção 1.1, fa�amos um pouco sobre os e�ementos principais de uma esfera, a partir da bo�a de crista� com

�ue Pedro tanto se encantou. Agora, vamos dar uma o�hada de uma maneira mais forma� nestes e�ementos e aprovei-

tar o ensejo para apresentar outros. Acompanhe na figura a seguir!

Figura 11 – Esfera com os principais elementos destacados


�onsiderando a esfera acima, temos os seguintes e�ementos:

� O ponto O é o centro da esfera.

� O raio r é a distância do ponto da superfície da esfera até o centro.

� O eixo e é a reta �ue contém o diâmetro.

� Po�os P1 e P2 são as interseções da superfície com o eixo.

� E�uador é a seção (circunferência) perpendicu�ar ao eixo e �ue contém o centro da esfera.

� Para�e�o é uma seção (circunferência) perpendicu�ar ao eixo e �ue não contém o centro da esfera.

� Meridiano é uma seção (circunferência) �ue contém o eixo.

Seção 2Como calcular área e volume de esferas?

Volume da esfera

Qua� seria a �uantidade necess�ria de g�s para �ue a bo�a de crista� da�ue�e vidente funcionasse? �omo po-

demos saber o �uanto de g�s pode ser co�ocado dentro da esfera de crista�? Qua� é essa capacidade? Para responder

a essas perguntas, precisamos ca�cu�ar o vo�ume de uma esfera. Vo�ume, convém �embrar, é a capacidade interna de

um objeto, seja e�e de �ue formato for.

�omo a esfera é um corpo redondo, não podemos fazer aproximações por cubos como fazemos em um

para�e�epípedo. Então como podemos ca�cu�ar seu vo�ume? Uma forma de rea�izarmos este c��cu�o é usarmos o prin-omo podemos ca�cu�ar seu vo�ume? Uma forma de rea�izarmos este c��cu�o é usarmos o prin-

cípio de �ava�ieri e compararmos as seções de uma esfera com as de uma anticlépsidra.

anticlépsidra

O princípio de �ava�ieri foi estabe�ecido no sécu�o XVII pe�o matem�tico Ita�iano Bonaventura �ava�ieri e, até os dias de hoje,

serve como base para uma grande �uantidade de estratégias de c��cu�o de vo�umes de só�idos. De acordo com esse princípio,

só�idos �ue 1) tenham a mesma a�tura e 2) tenham a mesma �rea de seção transversa� para todas as a�turas intermedi�rias

terão o mesmo vo�ume. Na figura acima, como os dois só�idos têm a mesma a�tura h, basta �ue as �reas das seções A´e B´ sejam

sempre iguais para �ue os só�idos tenham o mesmo vo�ume.


Uma antic�épsidra, antes �ue você pergunte, é um só�ido geométrico obtido, retirando uma c�épsidra de den-é um só�ido geométrico obtido, retirando uma c�épsidra de den-, retirando uma c�épsidra de den-

tro de ci�indro e�ui��tero. E, antes �ue você diga �ue a exp�icação mais atrapa�hou do �ue ajudou, �embramos a você

�ue uma c�épsidra é o só�ido obtido com a união de dois cones invertidos. Lembramos também �ue um ci�indro

e�ui��tero é a�ue�e cujo diâmetro da base é igua� à a�tura. Veja na figura.

Figura 12 - Cilindro equilátero, clepsidra e anticlépsidra.

Então vamos ��: o só�ido à es�uerda é um ci�indro e�ui��tero, cuja a�tura h é igua� ao diâmetro 2r da circunferên-

cia da base. O só�ido do centro é a c�epsidra, união de dois cones invertidos, cujas bases coincidem com as do ci�indro.

E, se fizéssemos uma espécie de escu�tura no ci�indro, removendo exatamente a parte da c�epsidra, o só�ido resu�tante

seria a antic�épsidra, representada na direita da figura. Entenderam? Ótimo!

Agora, você pode estar se perguntando, e muito justamente, como é �ue nós vamos fazer para juntar uma

esfera com uma antic�épsidra para usar o princípio de �ava�ieri - afina�, são só�idos a princípio bem diferentes! Nossa

resposta é franca: a forma de re�acionar a esfera com a antic�épsidra nem é assim tão comp�exa, mas envo�ve umas

contas �ue fariam com �ue nossa au�a perdesse seu rumo.

Assim, vamos combinar o seguinte: para efeito da nossa au�a, o importante é entender �ue, após a�guns c��-

cu�os, podemos demonstrar �ue o vo�ume de uma esfera é V r= ⋅43π ‡. �aso você tenha curiosidade acerca da de-

monstração desta fórmu�a, consu�te o boxe a seguir.

A interessante demonstração da fórmu�a do vo�ume da esfera via princípio de �ava�ieri tem por base o

fato de �ue a �rea da seção transversa� da antic�épsidra é sempre idêntica à �rea da seção transversa�

de uma esfera de mesma a�tura. E�a est� bem deta�hada no �ivro “Fundamentos da Matem�tica e�e-

mentar, vo�ume 10”, escrito por Oswa�do Do�ce e José Nico�au Pompeo e pub�icado pe�a Editora Atua�.

Outra boa dica é procurar o site http://a�faconnection.net/pag_avsm/geo1601.htm#GEO160102.


Vamos dar uma o�hada nesta fórmu�a: o vo�ume V da esfera va�e 4/3 (uma constante) mu�tip�icado por π (outra

constante), mu�tip�icado pe�o va�or do raio e�evado ao cubo. Assim, podemos afirmar o vo�ume de uma esfera depen-

de exc�usivamente da medida do seu raio. Isto é, muito simp�es, não acham?! Vamos a�ui pensar uns dois prob�emas

e fazer umas contas para conferir.

O primeiro prob�ema é o seguinte: se dup�icarmos o raio de uma esfera, seu vo�ume fica dup�icado também?

O �ue você acha? A resposta é sim?

Bom, a verdade é �ue a resposta é não. Acompanhe a gente a�ui: se uma esfera tem raio R então seu vo�u-

me é V R= ⋅43

3π , ok? Então se dup�icarmos o raio desta esfera teremos um novo vo�ume V R’ ( )= ⋅43

2 3π , ou seja,

V R’ = ⋅ ⋅843

3π .

Isto significa �ue o vo�ume desta esfera fica mu�tip�icado por 8.

O segundo prob�ema é assim: três esferas de ge�o, todas de raio 2cm, são derretidas. Ju�ião comprou um reci-

piente com raio três vezes maior �ue as esferas de ge�o para �ue, ao fina� da fusão, toda a �gua fosse despejada ne�e,

preenchendo-o comp�etamente. Ju�ião conseguiu o �ue pretendia?

Figura 13 – Cuba de gelo

Bom, acompanhe as contas a�ui: o vo�ume de cada esfera de ge�o é v = ⋅ ⋅43

23π , ou seja, v = ⋅323

π . �omo

temos 3 esferas de ge�o, então o vo�ume tota� de �gua produzido foi de v cm= 32π ‡. Por outro �ado, o vo�ume do

recipiente comprado por Ju�ião é v = ⋅ ⋅43

63π , ou seja, v = ⋅ =2163

72π π. cm3. Assim, o recipiente comprado por

Ju�ião não foi comp�etamente preenchido – e, se �embramos �ue a metade de 72 é 36, poderíamos ainda dizer �ue a

�gua resu�tante do derretimento das 3 esferas, de vo�ume tota� igua� a 32πcm³, não foi suficiente para preencher nem

a metade dos 72πcm³ do recipiente comprado por Ju�ião. Para ca�cu�ar o raio do recipiente �ue seria comp�etamente

preenchido pe�a �gua, advinda do derretimento das esferas, fazemos assim: para ser comp�etamente preenchido, o

recipiente precisaria ter 32πcm³, certo? Então teríamos �ue 3243

3π π= ⋅ ⋅R , onde R é o raio do recipiente esférico. E,

desenvo�vendo, teríamos �ue R = 243 , ou seja, R cm≅ 2 89, .


É importante ressa�tarmos neste exemp�o �ue ao juntarmos 3 esferas de raio 2 cm não obtemos uma esfera

de raio 6 cm, mas sim uma nova esfera de raio aproximadamente 2,89 cm. O �ue mostra �ue devemos tomar muito

cuidado com as deduções precipitadas!

Área da esfera

E como poderíamos ca�cu�ar a �uantidade de vidro, mesmo �ue de uma camada muito fina, necess�rio para

fazer a bo�a de crista� de Pedro? É como se �uiséssemos ca�cu�ar a �rea de toda a casca de uma �aranja cortada. Em

outras pa�avras, estamos �uerendo discutir sobre como podemos ca�cu�ar a �rea de uma superfície esférica.

A�ui, seguiremos o mesmo caminho da seção sobre vo�ume: apresentaremos uma ideia b�sica dessa demons-

tração, a fórmu�a – �ue nos interessa mais diretamente – e um boxe para os �ue se interessarem na demonstração em

mais deta�hes.

Figura 14 – O icosaedro da figura pode representar uma das etapas da aproximação do volume de uma esfera pela soma dos volumes de pirâmides cujo vértice coincide com o centro da esfera e cuja base coincide com a superfície da esfera.

Muito basicamente, a ideia é tentar aproximar o vo�ume da esfera pe�a soma do vo�ume de v�rias pirâmides

cujos vértices coincidam com o centro da esfera e cujas bases coincidam com a superfície da esfera. Evidente �ue,

como a superfície da esfera é curva e a base da pirâmide é p�ana, sempre haver� uma diferença de vo�ume. No entan-

to, na medida em �ue a �uantidade de pirâmides for aumentando e sua base diminuindo, essa diferença de vo�ume

ir� sumindo. No �imite, - e eis o �ue nos interessa a�ui – a �rea da esfera ser� ²4 rA ⋅= π . �uriosos em re�ação aos

deta�hes da demonstração? Vejam no boxe seguinte:


A dedução comp�eta da fórmu�a da �rea da esfera a partir da aproximação com as pirâmides pode

ser encontrada no �ivro “Matem�tica”, do autor Luiz Roberto Dante, da editora Ática, vo�ume único, na

p�gina 394 da 1ª edição. �aso �ueira conhece-�a online, a sugestão é o site http://obaricentrodamente.

b�ogspot.com.br/2011/09/area-da-superficie-esferica-partir-de.htm�

Vamos fazer juntos um exemp�o? Pois bem, a situação é a seguinte. M�rcio est� numa festa e deseja encher

uma bo�a com �gua. Para isso, precisa saber aproximadamente seu vo�ume. No entanto, e�e não consegue encontrar

essa informação. A única coisa �ue e�e sabe é o diâmetro da bo�a: 18 cm. Ser� �ue e�e tem como ca�cu�ar o vo�ume a

partir do diâmetro?

Bom, como você j� deve estar imaginando, a resposta é sim – afina�, não usaríamos como exemp�o um prob�e-

ma sem so�ução! Então veja ��: como a bo�a possui 18 cm de diâmetro então seu raio mede 9 cm. Usando a fórmu�a

de vo�ume, temos: V = ⋅43

93π . Logo V = ⋅972 π . Logo, o vo�ume é de 972πcm³. Se tomarmos o va�or de π como

aproximadamente 3,14, teremos �ue o vo�ume tota� da bo�a é a�go em torno de 3052 cm³. �omo 1000 cm³ e�uiva�em

a 1 �itro, a bo�a teria capacidade para aproximadamente 3 �itros de �í�uido.

Entenderam? Ótimo! Que ta� tentarem fazer uma atividade sozinhos agora?

João deseja determinar o vo�ume de um objeto de formato esférico, mas não sabe a

medida do raio deste objeto e não possui nenhum instrumento para medi-�o. No entanto,

e�e possui um recipiente em formato ci�índrico �ue possui marcações de 1 em 1 cm. E�e

então teve a seguinte ideia: co�ocou �gua até �ue e�a atingisse uma a�tura maior do �ue a

do objeto. Depois, co�ocou o objeto dentro do recipiente e percebeu �ue, nesse instante,

a superfície da �gua havia se des�ocado 4 cm para cima. Sabendo �ue ta� recipiente tem

formato ci�índrico com raio igua� a 4 cm, determine o raio do objeto esférico.


Lembram do M�rcio? A�ue�e, do exemp�o anterior? Então, imagine �ue e�e, em vez de saber o vo�ume da bo�a,

�uisesse embru�h�-�a? Seria possíve� saber a �uantidade de pape� de �ue precisa? Bom, novamente a resposta é sim:

se usarmos a fórmu�a de �rea, temos: V = 4·π·9², ou seja, V = 324 πcm², aproximadamente. Se tomarmos novamente o

va�or de π como 3,14, teremos �ue a �rea da superfície da esfera é de aproximadamente 1017 cm². Para termos uma

ordem de grandeza da �uantidade de pape� �ue essa �rea representa, basta �embrar �ue a �rea de um �uadrado

com 32 cm de �ado seria de 1024 cm². Assim, os 1017 cm² seriam e�uiva�entes à �rea de um �uadrado com um pouco

menos de 32 cm de �ado.

Para fechar a seção, convidamos vocês a fazerem a

Ao encher uma bo�a de anivers�rio, uma pessoa percebeu �ue esta tomou um formato

esférico e, medindo com um determinado instrumento chegou a conc�usão �ue o diâmetro da

bo�a era de 20 cm. Determine a �rea da superfície desta bo�a.

Seção 3Fuso e cunha

Os assuntos desta seção, trataremos a partir de uma pe�uena aproximação – a saber, a existência de me�ancias

perfeitamente esféricas – e de um prob�ema bastante concreto – a saber, os custos de um feirante. Prontos? Então

vamos.


Figura 15 – Melancias inteiras e cortadas


Um problema prático

Um feirante vende me�ancias perfeitamente esféricas e dividiu uma de�as em 10 partes rigorosamente iguais,

como na figura anterior. Essa me�ancia tem 40 cm de diâmetro. O feirante precisa saber o vo�ume de cada parte e a

�uantidade aproximada de p��stico necess�ria para emba�ar essa parte – mas não tem muita ideia de como fazer para

encontrar estes va�ores. Quando soube �ue você est� estudando Matem�tica, veio pedir sua ajuda.

En�uanto você, educadamente, agradece, vai pensando numa maneira de sair da sinuca. Bom, a �uantidade

de p��stico deve ser a �rea do só�ido formado. Mas o vo�ume...Hmmm...J� sei, vou fazer uma regra de três! Aí pede

pape�, ��pis e mais uns instantes ao amigo feirante. Diz, confiante, �ue j� tem a so�ução e só vai organizar as ideias.

Para a regra de três, você �embra da rotação do semicírcu�o em torno do eixo, �ue vimos no início desta au�a. Se

uma rotação de 360º vai dar um vo�ume de 43

3⋅ ⋅π R , então uma rotação de metade disso (180º) vai dar um vo�ume

�ue é justamente a metade desses 43

3⋅ ⋅π R . Se a rotação for de um �uarto do tota� (90°, �ue é um �uarto dos 360°),

o vo�ume fina� ser� de um �uarto do vo�ume tota� (um �uarto dos 43

3⋅ ⋅π R ) - e por aí vaí!

Figura 16 – Sólido gerado por rotação de α graus de um semicírculo em torno de um eixo que passa pelo seu diâmetro


Assim, de uma maneira gera�, para um ângu�o α - veja na figura ! - teremos

Ângu�o (em graus) ---------- Vo�ume

360° --------------- 43

3⋅ ⋅π R

α ---------------------V

Neste caso, como a me�ancia tem 40 cm de diâmetro então R = 20 cm e como foi dividida em 10 partes iguais,

então α = 36°.

Substituindo estes va�ores, temos: 36043

20 363⋅ = ⋅ ⋅ ⋅V π , ou seja, V = 32003π

, tomando π como 3,14, te-

mos o vo�ume aproximado de: V ≅ 3349 33, cm3

Se �embramos �ue 1000 cm3 e�uiva�em a 1 �itro, teremos um vo�ume de aproximadamente 3,3 �itros.

Vencido o desafio do vo�ume, você parte para a �uestão da �rea. Para isso, o�ha mais atentamente para a parte

da me�ancia �ue o feirante pretende emba�ar. Identifica, então, três �reas – veja na figura abaixo:

Figura 17 – Fatia de melancia a ser embalada

A primeira �rea é a�ue�a verme�ha e branca, do interior da me�ancia e �ue est� em desta�ue na imagem. Fa-

zendo a�ue�a nossa correspondência, e�a seria e�uiva�ente justamente ao semicírcu�o. A segunda �rea é a�ue�a da

casca – �ue, na me�ancia, é a parte externa, verde e branca. J� a terceira �rea é rigorosamente igua� à primeira – parte

interna da me�ancia, verme�ha e branca. Na imagem, corresponderia, por assim dizer à parte de tr�s da fatia, idêntica

à primeira, mas ocu�ta pe�o ângu�o da foto. Essa parte também corresponde a um semicírcu�o. Na figura seguinte,

fizemos uma representação, j� usando e�ementos matem�ticos:


Figura 18 – Sólido que representa a melancia a ser embalada: área 1, semicírculo da frente; área 2, parte da superfície da esfera e área 3 semicírculo de trás.

Então muito bem: nossa �rea tota� a ser emba�ada é a soma das �reas 1, 2 e 3 A tota� = A1 + A2 + A3

O primeiro movimento ser� o seguinte: as �reas A1 e A3 são dois semicírcu�os idênticos. E, portanto, somadas,

dão um círcu�o inteiro, de �rea tota� igua� a πR² - onde R é o raio do círcu�o. A �uestão é justamente a �rea 2. Que fazer

com e�a? Você pensa mais um pouco e �embra, novamente, do início desta au�a. Só �ue, desta vez, �embra da rotação

de �ue a casca esférica é obtida pe�a rotação de 360° de uma semicircunferência em torno do eixo �ue contém seu

diâmetro. Novamente, uma regra de três!

Se uma rotação de 360° gera uma superfície de �rea igua� a 4πR², então uma rotação de 180° (metade da rota-

ção tota�) vai gerar uma �rea de 2πR² (metade da �rea tota�), uma rotação de 90° (um �uarto da rotação tota�) vai gerar

uma �rea de πR² (um �uarto da �rea tota�) e assim sucessivamente. De uma maneira gera�, uma rotação de α vai gerar

uma �rea igua� a A. Teremos então:

Ângu�o (em graus) -------------- Área

360°--------------- 4πR²

α ---------------------A

Exce�ente! Agora é só inserir os va�ores!

A tota� = A1 + A2 + A3

A1 + A3 = círcu�o de raio R

�omo a me�ancia tem 40 cm de diâmetro, então R=20 cm. A �rea de um círcu�o de raio 20 cm é Acírcu�o =π ·20²=

400.π· cm 2 . Maravi�ha! Vamos à casca da me�ancia

A2 = �rea da parte da superfície esférica



360°--------------- 4πR²

α ---------------------A

�omo j� vimos anteriormente, o va�or de α é igua� a 36° (me�ancia de 360° dividida em 10 partes iguais) e o

va�or de R é igua� a 20 cm (me�ancia esférica com diâmetro igua� a 40 cm). Substituindo os va�ores, temos:

360A = 4·π·20² ·36, ou seja, A = 160π cm²

Assim,

A tota� = A1 + A2 + A3

A tota� = 160 π cm² + 400.π· cm2

A tota� = 560 πcm²

�om π= 3,14, teremos �ue a �rea tota� a ser emba�ada é de aproximadamente 1758,4 cm² - �rea de um �uadra-

do com aproximadamente 42 cm de �ado.

Ufa! Quanta conta! Mas tenha certeza de �ue a informação �ue você �evou ao feirante foi muito úti�. Parabéns! ! !

Conceituando

Vamos agora ver isso sob um ponto de vista mais forma�? A ideia a�ui é dar nomes e conceituações mais preci-

sas aos e�ementos �ue usamos para reso�ver o prob�ema anteiror. O primeiro conceito é o de fuso esférico. Vamos ��?

Fuso esférico é uma parte da superfície esférica cujas extremidades estão nos po�os. Uma definição mais preci-

sa, mais rigorosa, é a superfície obtida pe�a rotação de α graus (0° < α < 360°) de uma semicircunferência em torno do

eixo �ue contém seu diâmetro. Veja na figura a seguir:

Figura 19 – Esfera com fuso esférico destacado


Para ca�cu�armos a �rea do fuso esférico, devemos fazer uma regra de três �ue re�aciona a �rea da superfície

esférica com o ângu�o da superfície esférica, ou seja, �uando temos uma superfície esférica sua �rea é de 4πR² e �ue

corresponde a um ângu�o de 360°, en�uanto se tomarmos apenas uma parte da superfície esférica então teremos um

certo ângu�o α e; portanto, uma �rea A:

Área -------------- Ângu�o (em graus) Área---------------Ângu�o (em radianos)

4πR²--------------- 360° 4πR²--------------- 2π rad

A --------------------- α A--------------------- α rad

No exemp�o do feirante, o fuso esférico corresponde à casca da fatia de me�ancia a ser emba�ada. �onseguiram asso-

ciar? Se não conseguiram, deem uma o�hadinha com ca�ma nas figuras anteriores. É muito importante �ue vocês consigam

identificar a casca da fatia com o fuso esférico. Pronto? Ótimo, vamos em frente! O próximo conceito é o de cunha esférica.

�unha esférica é uma parte da esfera cujas extremidades estão nos po�os. Percebam a�ui a diferença: o fuso

é uma parte da superfície, da casca esférica. J� a cunha é parte da esfera, do só�ido. Para definirmos de forma mais

rigorosa, podemos dizer �ue cunha esférica é o nome dado ao só�ido obtido pe�a rotação de α graus (0° < α < 360°) de

um semicírcu�o em torno do eixo �ue contém o seu diâmetro.

Figura 20 – Esfera com cunha esférica destacada

Para ca�cu�armos o vo�ume da cunha esférica, devemos fazer uma regra de três �ue re�aciona o vo�ume da

esfera com o ângu�o da cunha, ou seja, �uando temos uma esfera comp�eta seu vo�ume é de 43

3⋅ ⋅π R e �ue corres-

ponde a um ângu�o de 360°, en�uanto se tomarmos apenas uma parte da esfera então teremos um certo ângu�o α e;

portanto, um vo�ume V:

Vo�ume ---------- Ângu�o (em graus)

Vo�ume-----------Ângu�o (em radianos)

43

3⋅ ⋅π R --------------- 360°

Anexo • Módulo 3 • Unidade 524

43

3⋅ ⋅π R --------------- 2 πrad

V--------------------- α

V --------------------- α rad

No exemp�o do feirante, a cunha era justamente a fatia de me�ancia inteira e seu o vo�ume era, portanto, o

vo�ume da fatia. �onseguiram ver? Muito bem!

No caso da cunha esférica, podemos também ca�cu�ar sua �rea tota�. Para isto, primeiro, devemos notar �ue

uma cunha esférica é composta da união de um fuso esférico com dois semicírcu�os de raios igua� ao raio da esfera.

Portanto, a �rea tota� da cunha esférica é igua� à soma da �rea do fuso esférico com a �rea de um círcu�o: Área(cunha)

= Área(fuso) + Área(círcu�o).

E foi justamente essa �rea – a �rea da fatia de me�ancia (ou, mais forma�mente, a da cunha esférica) – �ue ca�-

cu�amos na segunda parte do exemp�o do feirante. Viram ��?

Muito bem! E, para fina�izar a au�a, deixamos vocês com a Atividade 5. Um abraço e até a próxima!

Uma fruta de formato esférico foi cortada em partes iguais. Tomando uma parte,

determine o ângu�o da casca desta parte da fruta (fuso), sabendo �ue a �rea da superfície

desta fruta é de 324π cm² e �ue a �rea da casca de uma das partes (fuso) é igua� a 54π cm².

ResumoEsfera é o conjunto de pontos �ue estão a uma distância menor ou igua� a uma distância r de um determinado

ponto O.

Superfície esférica é o conjunto de pontos �ue estão a uma distância igua� a uma distância r de um determi-

nado ponto O.


O vo�ume de uma esfera é dado pe�a fórmu�a V r= ⋅43π ‡

A �rea da superfície esférica é igua� a A r= ⋅4π †

Fuso esférico é a superfície obtida pe�a rotação de α graus (0° < α < 360°) de uma semicircunferência em torno

do eixo �ue contém seu diâmetro

Para ca�cu�ar a �rea A do fuso de ângu�o α, fazemos uma regra de três com a superfície tota� da esfera:


360°--------------- 4πR²

α --------------------- A

�unha esférica é o nome dado ao só�ido obtido pe�a rotação de α graus (0° < α < 360°) de um semicírcu�o em

torno do eixo �ue contém o seu diâmetro.

Para ca�cu�ar o vo�ume V da cunha esférica de ângu�o α, fazemos uma regra de três com o vo�ume tota� da esfera

Ângu�o (em graus) ---------- Vo�ume

360° --------------- 43

3⋅ ⋅π R

α ---------------------V

A �rea tota� da cunha esférica é igua� à soma da �rea do fuso com a �rea de dois semicírcu�os de raios iguais ao

raio da esfera.

Veja AindaUm dos primeiros matem�ticos a se interessarem pe�o c��cu�o dos vo�umes e �reas de só�idos foi ninguém

menos �ue o grande Ar�uimedes (287 a. �. – 212 a. �). No link a seguir, você encontra um interessante artigo sobre

a forma como e�e encontrou a re�ação entre as �reas e os vo�umes do ci�indro e da esfera. O resu�tado foi importante

a ponto de o próprio Ar�uimedes pedir para �ue sua famí�ia e amigos o gravassem no seu túmu�o, como epit�fio.

http://www.ime.usp.br/~p�eite/pub/artigos/avi�a/rpm10.pdf

Os conteúdos de geometria espacia�, por tratarem de objetos tridimensionais, terminam ficando um pouco

mais difíceis de enxergar no pape�, �ue é bidimensiona�. Nesta hora, vídeos e animações podem nos ajudar bas-

tante. O endereço abaixo traz um interessante vídeo sobre o princípio de �ava�ieri. http://www.youtube.com/

watch?v=mxpwmQa�u7A


Referências

� Dante, L.R. Matemática. vo�ume único. São Pau�o: Ática, 2008

� Do�ce, O. Pompeo, J.N. Fundamentos da Matemática elementar. Vo�ume 10. 6ª edição. São Pau�o: Atua�,

1993

� Eves H. Introdução à história da matemática. �ampinas: Unicamp, 1995

� Iezzi, G.; Do�ce, O.; Degenszajn, D.; Périgo, R., de A�meida, N. Matemática ciência e aplicações. vo�.2. São

Pau�o: Atua�, 2005

Imagens

• http://www.sxc.hu/photo/789420

• http://www.sxc.hu/browse.phtml?f=download&id=175125






• http://www.sxc.hu/photo/1259850.






• http://www.sxc.hu/photo/517386 • David Hartman.


O que perguntam por aí?1) (UFRRJ) Na famosa cidade de Sucupira, foi feito um monumento de concreto com pedesta� em forma de

uma esfera de raio igua� a 5 m, em homenagem ao anti-herói “Zeca Diabo”.

O cidadão “Nezinho do Jegue” foi informado de �ue, apesar de o preço do metro cúbico do concreto ser 260

reais, o custo tota� do concreto do pedesta�, feito com dinheiro púb�ico, foi de 500 mi� reais. Nezinho do Jegue verifi-

cou, então, �ue houve um superfaturamento:

a. menor �ue 50 mi� reaise) entre 50 e 200 mi� reais

b. entre 50 e 200 mi� reais

c. entre 200 e 300 mi� reais

d. entre 300 e 400 mi� reais

e. acima de 400 mi� reais

Observação: �onsidere π = 3,14.

2) Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma a�tura e o mesmo diâmetro da boca. Ne�es

são co�ocados �í�uidos até a metade de sua a�tura, conforme indicado nas figuras. O recipiente v1 é um cone, a parte

inferior do recipiente v2 é uma semiesfera e a parte superior ci�índrica, e o recipiente v3 é (uma c�epsidra?). Represen-

tando por V1, V2 e V3 o vo�ume de �í�uido em cada um dos recipientes, tem-se:

a. V1 = V2 = V3

b. V1 < V3 < V2

c. V1 = V3 < V2

d. V3 < V1 < V2

e. V1 < V2 = V3


Caia na rede !�omo dissemos anteriormente, os vídeos e softwares ajudam muito na visua�ização de objetos tridimensionais.

Nesta au�a, chegamos à esfera via rotação de um semicírcu�o em torno de um eixo �ue contém o próprio diâmetro.

Agora, o �ue aconteceria se rod�ssemos outras figuras em torno de um eixo? �omo ca�cu�aríamos seus vo�umes?

Descubra com o ap�icativo “Forma e vo�ume de só�idos de revo�ução”, disponíve� em http://m3.ime.unicamp.br/app/

webroot/media/software/1230/


Atividade 1

Bom, gente, a�ui as respostas são muitas! O importante é �ue superfície esférica

é apenas a casca, en�uanto a esfera consiste no conjunto casca e interior. Assim, seriam

exemp�os de superfície esférica a bo�ha de sabão e a bo�a de frescobo�, ambos vazios por

dentro. As bo�as de futebo� e de bas�uete (se considerarmos �ue, no �imite, a câmara de

ar e a parte de couro praticamente coincidem) a�ém da�ue�as bo�as de nata� �ue são ocas

(por�ue h� umas �ue são inteiriças) também seriam exemp�o de superfície esférica. Seriam

exemp�os de esfera a bo�inha de gude e a bo�a de sinuca, justamente pe�o fato de ambas

serem comp�etamente só�idas. As bo�as de nata� inteiriças e as bo�as de bo�iche também

seriam exemp�os de esferas pe�o mesmíssimo motivo. Frutas �ue não sejam ocas – vocês

�embram de a�guma outra fruta oca �ue não seja o coco? – �aranja, �imão etc. também são

bons exemp�os de esferas.

Atividade 2

Bom, começamos a reso�ução, ap�icando um teorema de Pit�goras ao triângu�o OB�

– conseguem vê-�o na figura? Um dos catetos é o raio da esfera pe�uena, �ue mede 6 cm.

J� o outro cateto é o raio do círcu�o, marcado em cinza na figura, �ue se forma com o corte

da “tampa” do coco. Esse raio chamaremos de R. A hipotenusa é o raio r da esfera maior,

�ue �ueremos descobrir.

O teorema de Pit�goras fica então . �omo temos uma e�uação e duas incógnitas,

precisaríamos do va�or de uma para encontrar o va�or de outra. �omo �ueremos encon-

trar o va�or de r, precisaremos encontrar o va�or de R. Do enunciado, vemos �ue a �rea do

círcu�o formado – marcado em cinza na figura – é de 64cm². �omo sabemos �ue a �rea do

círcu�o é R2, igua�amos: . Segue �ue R2=64 e R=8.

Aí, vo�tamos ao teorema de Pit�goras com o va�or de R: Assim, o raio r da esfera

maior é de 10 cm.

Atividade 3

A�ui fazemos assim: o vo�ume da �gua �ue “subiu” no recipiente é justamente igua�

ao vo�ume inserido – ou seja, o vo�ume da esfera. Noutras pa�avras, Vsubiu=Vesfera. Agora, o


vo�ume �ue do �í�uido �ue subiu é justamente o vo�ume de ci�indro de raio de base igua� a

4 cm e de a�tura igua� a 4 cm. E assim, temos . Note a�ui �ue o raio r do ci�indro é diferente

do raio R da esfera. Seguimos com . Dividindo por 4.π dos dois �ados, teremos . Assim, o

raio tem medida igua� a 2 6 10 93 ≅ , cm

Atividade 4

�omo o diâmetro é de 20 cm, então o raio mede 10 cm. Usando a fórmu�a de �rea

de superfície esférica, temos �ue S = 4··10², ou seja, a �rea da superfície é de 400 cm², ou

aproximadamente 1256 cm².

Atividade 5

A�ui, reso�vemos com a regra de três! Se 324 cm² correspondem a 360°, 54 cm² cor-

responderão a x. Então, . O ângu�o então é de 60°.

O que perguntam por aí?

1:

O vo�ume do pedesta� é V = ⋅ ⋅43

3 14 125, , ou seja, V = 523 3, m‡. �omo o m³ cus-

ta 260 reais, então 523,3 m³ custa R$136058,00. Tendo assim um superfaturamento de

500000 – 136058, ou seja, entre 330 e 400 mi� reais.

2

A Letra correta é a B, pois nos três recipientes, a a�tura é a mesma, mas em V1, a

base é menor do �ue em V2 e em V3. J� comparando V2 e em V3, temos �ue a a�tura do

cone é igua� ao raio da semiesfera, as bases são iguais, mas a �rea de V2 é ca�cu�ada por 432

2 3 143

2 093

33

π R R R≅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅, , .

J� o vo�ume de V3 é ca�cu�ado por 13

133 14 1 052 3 3π R R R R⋅ ≅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅, , .

(a�tura é igua� a R).

Portanto, V1 < V3 < V2.

módulo 3 • unidade 5 esfera · 2013-04-12 · que diferente! não me embro de você gostar de...

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