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Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatıstica

Departamento de Estatıstica

Universidade Federal da Paraıba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 1 / 49

Conceitos Fundamentais


Historia da Estatıstica no mundo


Introducao


IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).

Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.

Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei

de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do

vacuo (Lei da Gravitacao: t =√

2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer

(IMC = peso/altura2).

Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.


IntroducaoExistem outros fenomenos cuja observacao, repetida sob condicoesespecificadas, nao conduz sempre ao mesmo resultado.

Exemplos:1 Lancamento de uma moeda.2 Jogo de futebol: SPORT x Nautico.3

Pode parecer impossıvel fazer qualquer afirmacao valida sob taisfenomenos, contudo a experiencia mostra que muitos fenomenosaleatorios exibem uma regularidade estatıstica que os torna passıveisde estudo.

Para tais fenomenos, modelos que estipulam que as condicoesdo experimento determinam apenas o comportamentoprobabilıstico do resultado observavel sao apropriados.

Tais modelos sao chamados modelos probabilısticos.


IntroducaoA teoria da probabilidade oferece metodos de quantificacao daschances ou possibilidades de ocorrencia associadas aos diversosresultados de um experimento aleatorio.

Experimento Aleatorio: E qualquer acao ou processo cujo resultadoesta sujeito a incerteza. Isto e, um experimento aleatorio podefornecer diferentes resultados, embora seja repetido da mesmamaneira.

Pergunta: O que os experimentos aleatorios tem em comum?

Resposta:I Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob

condicoes essencialmente inalteradas.

I Embora nao possamos afirmar que resultado particular ocorrera,nos podemos descrever o conjunto de todos os resultadospossıveis do experimento.


Introducao

Quando o experimento e executado repetidamente, sob asmesmas condicoes, os resultados individuais parecerao ocorrerde uma forma casual (acidental). No entanto, a medida que onumero de repeticoes aumenta, surgem certos padroes nafrequencia de ocorrencia dos resultados.

E esta regularidade (padrao) que torna possıvel construir um modelomatematico para analisar o experimento.


Introducao


IntroducaoObservacao 1.1: Cada resultado possıvel e denominado elemento deΩ e denotado por ω.

Exemplos de experimentos aleatorios:

E1: Jogue um dado e observe a face superior.

E2: Jogue uma moeda tres vezes e observe a sequencia decaras e coroas.

E3: Jogue uma moeda tres vezes e observe ao numero decaras obtidos.

E4: Jogue uma moeda ate obter a primeira cara e observe asequencia obtida.

E5: Jogue uma moeda ate obter a primeira cara e observe onumero de lancametos necessarios.


IntroducaoExemplos de experimentos aleatorios:

E6: Um lote de 10 testes de farmacia contem 3 defeituosos.Os testes sao retirados um a um (sem reposicao) ate queo ultimo teste defeituoso seja encontrado. O numero totalde testes retirados do lote e contado.

E7: Avaliacao de uma nova maquina para realizacao deexames no Hospital Vida Saudavel. O tempo decorrido(em horas) ate a falha e registrado.

E8: Avaliacao de perdas na Energisa. O numero de ligacoesclandestinas em uma comunidade e anotado.

E9: Avaliacao do desempenho dos alunos de MPIE. A mediafinal e anotada.

E10: Em um estudo sobre obesidade infantil, escolhe-se dezcriancas cujos pesos sao anotados.


Introducao

Exercıcio: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos anteriormente.

Espacos amostrais:

E1: Ω =.

E2: Ω =

E3: Ω =.

E4: Ω =

E5: Ω =.


Introducao

Exercıcio: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos anteriormente.

Espacos amostrais:

E6: Ω =.

E7: Ω =.

E8: Ω =

E9: Ω =.

E10: Ω =.


ExercıciosExercıcio: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos abaixo.

(a) Uma moeda e lancada duas vezes e observam-se asfaces obtidas.

(b) Um dado e lancado duas vezes e a ocorrencia de facepar ou ımpar e observada.

(c) Uma urna contem 10 bolas azuis e 10 vermelhas comdimensoes rigorosamente iguais. Tres bolas saoselecionadas ao acaso com reposicao e as cores saoanotadas.


Exercıcios(d) Dois dados sao lancados simultaneamente e estamos

interessados na soma das faces observadas.

(e) Em uma cidade, famılias com 3 criancas saoselecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cadauma.

(f) Uma maquina produz 20 medicamentos por hora,escolhe-se um instante qualquer e observa-se o numerode defeituosas na proxima hora.

(g) Uma moeda e lancada consecutivamente ate oaparecimento da primeira cara. As faces observadas saoanotadas.


Introducao

Definicao 1.2: (Evento)

E qualquer subconjunto de resultados contidos no espaco amostral.

Observacao 1.2: Como regra geral, uma letra maiuscula sera usadapara denotar um evento.Observacao 1.3: Quando um experimento e realizado, diz-se queocorre o evento A se o resultado do experimento estiver contido em A.Observacao 1.4: O espaco amostral Ω e o evento certo e o conjuntovazio e o evento impossıvel.

IMPORTANTE: Escrevemos ω ∈ Ω para indicar que o elemento ωesta em Ω. Escrevemos A ⊂ Ω para indicar que A e umsubconjunto do espaco amostral.


Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos



Para apresentar os conceitos basicos de probabilidade, usaremosalgumas ideias da teoria de conjuntos.

Um conjunto e uma colecao de objetos, representados por letrasmaiusculas A, B, etc.

Existem tres maneiras de descrever que objetos estao contidosno conjunto A:

1 Fazer uma lista dos elementos de A: A = 1,2,3,4.2 Descrever o conjunto A por meio de palavras: A e formado pelas

notas dos alunos aprovados em Probabailidade I.

3 A = x |0 ≤ x ≤ 1; A e o conjunto de todos os numeros reais entre0 e 1.



Algumas Notacoes Importantes:

A notacao ω ∈ A significa que ω e um elemento de A.

A notacao ω /∈ A significa que ω nao pertence a A.

Para representar um conjunto, tambem usaremos anotacaoω : p(ω), onde p(ω) e uma proposicao concernete a ω,e o conjunto consiste de todos os elementos para os quais p(ω) everdadeira.

Exemplo: ω : ω = 2k ; k = 1,2, . . . e o conjunto de todos osinteiros positivos pares.


IntroducaoExercıcio: Descreva o evento associado a cada experimento.

Eventos:

(E1) A =Um numero ımpar ocorre.

(E2) =Obtencao de faces iguais.

(E7) C =A maquina falha em menos de um dia.

(E8) D =Pelo menos quatro casas apresentam ligacoesclandestinas.

(E9) E =O Aluno passa na disciplina.



1.1 Algumas operacoes entre conjuntos

1 UNIAO: A ∪ B = w ∈ Ω : w ∈ A ou w ∈ B (ou ambos)A ∪ B sera formado por todos os elementos que estejam em A, ouem B, ou em ambos (adicao).

2 INTERSECAO: A ∩ B = w ∈ Ω : w ∈ A e w ∈ BA ∩ B sera formado por todos os elementos que estejam em A eem B (multiplicacao).

3 COMPLEMENTAR: Ac = w ∈ Ω : w /∈ AAc sera formado por todos os elementos de Ω que nao estejamem A.

4 DIFERENCA: A− B = w ∈ Ω : w ∈ A e w /∈ BA− B sera formado por todos os elementos de A, exceto os quetambem estejam em B (A− B = A ∩ Bc).



Observacao 1.8: As operacoes de uniao e intersecao podem serestendidas a mais de dois eventos.

A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An oun⋃

i=1

Ai

A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An oun⋂

i=1

Ai

IMPORTANTE: Uma representacao grafica utilizada para uma melhorvisualizacao das operacoes entre eventos e o diagrama de Venn.


Uma revisao sobre a teoria dos conjuntosDefinicao 1.5: (Eventos disjuntos) Dois eventos sao disjuntos oumutuamente exclusivos se e somente se A ∩ B = ∅.


Uma revisao sobre a teoria dos conjuntosDefinicao 1.6: (Espaco produto) Sejam Ω1 e Ω2 dois espacosamostrais. O espaco produto Ω = Ω1 × Ω2 e dado por:

Ω1 × Ω2 = (w1,w2) : w1 ∈ Ω1 e w2 ∈ Ω2

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

ExeperimentoExeperimento:: Dois dados são jogados e as faces são

observadas.

Espaço Amostral (Ω):

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

5,1

5,2

5,3

5,4

5,5

5,6

6,1

6,2

6,3

6,4

6,5

6,6


Exercıcios1. Uma urna contem duas bolas brancas e tres bolas vermelha.Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lanca-se umamoeda; se for vermelha, ela e devolvida a urna e retira-se outra bola.Anota-se o resultado obtido. Obtenha o espaco amostral desseexperimento.

2. Dois dados sao lancados. Sejam os eventos: A=o primeiro numeroe maior que o segundo, B=o primeiro numero e igual ao dobro dosegundo e C=a soma dos dois numeros e maior ou igual a 8.Descreva os eventos: A, B, C, Ac ∪ B, B ∩ Cc , (Ac)c ∩ C e(A ∩ (B ∪ C))c .


Exercıcios3. Considere os veıculos que trafegam pela BR-230 na altura daUFPB, no ponto em que podem continuar na BR-230(S), seguir emdirecao a UFPB(R) ou seguir em direcao ao centro (L). Observe adirecao de cada um de 3 veıculos sucessivamente:

1 Relacione todos os resultados do evento A em que todos osveıculos seguem na mesma direcao.

2 Relacione todos os resultados do evento B em que todos osveıculos seguem diferentes direcoes.

3 Relacione todos os resultados do evento C em que exatamentedois dos tres veıculos seguem para a UFPB.

4 Relacione todos os resultados do evento D em que exatamentedois veıculos seguem na mesma direcao.

5 Relacione os resultados em Dc , C ∪ D e C ∩ D.


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