Distribuição ContínuaDistribuição Contínua

NormalNormalNormalNormal

Prof. Prof. TarcianaTarciana LiberalLiberalDepartamento de Estatística Departamento de Estatística –– UFPBUFPB

x

x

Variável Aleatória Contínua:

• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.

• Assume valores num intervalo de números reais.

• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de uma v.a. contínua.

x

Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultasselecionadas ao acaso em uma população.

0.01

0 .02

0 .03

0 .04

De

ns

ida

de

30 40 50 60 70 80 90 100

0.00

Peso

- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg;

- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85);

- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de92kg (1%).

Vamos definir a variável aleatória

Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual adistribuição de probabilidades de X ?

X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população.

0 .03 0

A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.

30 40 50 6 0 70 80 90 100

0.000

0.015

0 .03 0

P eso

De

nsid

ad

e

A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuiçõescontínuas de probabilidade pois:

• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição. Exemplos:

1. altura;

2. pressão sanguínea;

3. peso.

• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada,probabilidades para outras distribuições, como por exemplo, para adistribuição Binomial.

Exemplo:Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca.

A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica- grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequenaproporção de valores acima de 1500 horas.

Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal.

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

, – ∞∞∞∞ < x < ∞∞∞∞.

A v. a. X tem distribuição Normal com parâmetros µµµµ e σσσσ2 se sua funçãodensidade de probabilidade é dada por

Pode ser mostrado que

1. µµµµ é o valor esperado (média) de X ( -∞∞∞∞ < µµµµ < ∞∞∞∞);

2. σσσσ 2 é a variância de X (σσσσ 2 > 0).

Obs: f(x) é simétrica em relação a µµµµ.

Notação : X ~ N(µµµµ ; σσσσ 2)

Propriedades da distribuição normal2

)(,)()( σµ == XVarXEa

(b) A distribuição é simétrica em torno de sua média.(c) A área total sob curva é igual a um.(d) f (x) → 0 quando x → ±∞

(e) x = µµµµ é ponto de máximo de f (x)(f ) µµµµ - σσσσ e µµµµ + σσσσ são pontos de inflexão de f (x)

Propriedades da distribuição normal

Propriedades da distribuição normal

Influência de µµµµ na curva Normal

N( µµµµ1; σσσσ 2) N( µµµµ

2; σσσσ 2)

Curvas Normais com mesma variância σ2

mas médias diferentes (µ2 > µ1).

µµµµ1

µµµµ2 x

Influência de σσσσ2 na curva Normal

N(µ;σ12)

N(µ;σ22)

σ22 > σ1

2

Curvas Normais com mesma média µ,µ,µ,µ,

mas com variâncias diferentes (σσσσ22 > σσσσ1

2 ).

N(µ;σ2 )

µ

Cálculo de probabilidades

Cálculo de probabilidades

P(a < X < b)

Área sob a curva acima do eixo horizontal (x) entre a e b.

a bµµµµ

(I) Integrar a função de densidade (utilização de métodos numéricos).

entre a e b.

PROBLEMAS:

(II) Qual Tabela usar?

Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par σ e µ!

Cálculo de probabilidades

SOLUÇÃO:

Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ2 ) Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ2 ) em uma distribuição normal com parâmetros fixos (Normal Padrão), através de uma mudança de variável e tabelar as probabilidades.

Cálculo de probabilidades

Cálculo de probabilidades

Se X ~ N(µµµµ ; σσσσ 2),

E(Z) = 0

Var(Z) = 1f(x) X ~ N(µµµµ ; σσσσ2)

definimos

0 z

f(z)

a – µµµµσσσσ

b – µµµµσσσσ

Z ~ N(0 ; 1) a µµµµ b x

A v.a. Z ~ N(0;1) denomina-se normal padrão ou reduzida.

Portanto,

Dada a v.a. Z ~N(0;1) podemos obter a v.a. X ~ N(µµµµ;σσσσ2) através da transformaçãoinversa

X = µµµµ + Z σ.σ.σ.σ.

Cálculo de probabilidades

Cálculo de probabilidades

Cálculo de probabilidades

USO DA TABELA NORMAL PADRÃO

P(Z ≤≤≤≤ z)

Obs.: P(Z > z) = P(Z < -z)

P(Z > z) = 1 - P(Z < z).

P(Z < -z) = 1-P(Z < z).

Exemplo 1: Seja Z ~ N (0; 1), calcular

a) P(Z ≤≤≤≤ 0,32)

Encontrando o valor na Tabela N(0;1):

z 0 1 2

0,0 0,5000 0,5039 0,5079

0,1 0,5398 0,5437 0,5477

0,2 0,5792 0,5831 0,5870

0,3 0,6179 0,6217 0,6255

M M MM

Exemplo 1: Seja Z ~ N (0; 1), calcular

a) P(Z ≤≤≤≤ 0,32)

P(Z ≤≤≤≤ 0,32) = Φ(0,32)=0,6255.

b) P(Z ≥≥≥≥ 1,5)

P(Z ≥ 1,5) = 1 – P(Z < 1,5) = 1 – Φ(1,5) = 1 – 0.9332 = 0,0668.

c) P(0 < Z ≤≤≤≤ 1,71)

P(0 < Z ≤≤≤≤ 1,71) = P(Z ≤≤≤≤ 1,71) – P(Z < 0) = Φ(1,71) – Φ(0) = 0,9564 – 0,5 = 0,4564

d) P(-1,5 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,5)

P(–1,5 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,5) = P(Z ≤≤≤≤ 1,5) – P(Z ≤≤≤≤ –1,5) = Φ(1,5) – Φ(1,5) = 0,9332 – 0,0668 = 0,8664

Exemplo 2: Seja X ~ N(10 ; 64)

Calcular: (a) P(6 ≤≤≤≤ X ≤≤≤≤ 12)

(b) P( X ≤≤≤≤ 8 ou X > 14)

Como encontrar o valor z da distribuição N(0;1) tal que:

(i) P(Z ≤≤≤≤ z) = 0,975

A tabela da normal pode ser utilizada no sentindo inverso, isto é,dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que aoriginou.

z é tal que A(z) = 0,975.

Pela tabela, z = 1,96.

Zz

(ii) Qual o valor de z tal que P(0 ≤≤≤≤ Z≤≤≤≤ z)= 0,4975 ?

ZzP(0 < Z ≤≤≤≤ z) = 0,4975

P(Z ≤≤≤≤ z) – P(Z < 0) = 0,4975

Φ(z) – Φ(0) = 0,4975

Φ(z) – 0,5 = 0,4975

Φ(z) = 0,9975

z é tal que A(z) = 0,5 + 0,4975 = 0,9975. Pela tabela z = 2,81.

(iii) P(Z ≥≥≥≥ z) = 0,3

z é tal que A(z) = 0,7.

Pela tabela, z = 0,53.

Zz

(iv) P(Z ≥≥≥≥ z) = 0,975

z é tal que A(z) = 0,975 .

Então, z = – 1,96.

Zz

(v) P(– z ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ z) = 0,80

z é tal que P(Z ≤ –z) = P(Z ≥ z) = 0,1.

Zz– z

Isto é, P(Z ≤ z) = 0,90 e assim, pela tabela, z = 1,28.

Voltando ao exemplo 2: Seja X ~ N(10 ; 64). Calcule k tal que P( X ≥≥≥≥ k) = 0,05

z é tal que A(z)=0,95

Pela tabela z = 1,64

05,08

10

8

1005,0)( =

−≥=

−≥

−→=≥

kZP

kXPkXP

σ

µ

10Então, 1,64.

8k

z−−−−

= == == == =

Logo k = 10 + 1,64 ×××× 8 = 23,12.

Pela tabela z = 1,64

Z

Obtenha k tal que P( X ≤≤≤≤ k) = 0,025

Exemplo 3: O tempo gasto no exame vestibular de umauniversidade tem distribuição Normal, com média 120 mine desvio padrão 15 min.

a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que eletermine o exame antes de 100 minutos?

X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120; 152)

0918,0)33,1(15

120100)100( =−<=

−<

−=<= ZP

XPXP

σ

µ

Z

b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dosvestibulandos terminem no prazo estipulado?

120( ) 0,95 0,95

15x

P X x P Z−−−−

< =< =< =< = ⇒⇒⇒⇒ ≤ =≤ =≤ =≤ =

z = ? tal que A(z) = 0,95.

X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120; 152)

.

z = ? tal que A(z) = 0,95.

Pela tabela z = 1,64.

120Então , 1,64

15x −−−−

====⇒x = 120 +1,64 ××××15

⇒ x = 144,6 min.

Z

c) Qual é o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastampara completar o exame?

1 21 2

120 120P( ) 0,80 P 0,80

15 15x x

x X x Z− −− −− −− −

≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ = ⇒⇒⇒⇒ ≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =

z = ? tal que A(z) = 0,90

X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120, 152)

.

Pela tabela, z = 1,28.

1 1201,28

15x −−−−

= −= −= −= −

2 1201,28

15x −−−−

====

⇒⇒⇒⇒ x1= 120 - 1, 28 ×××× 15 ⇒⇒⇒⇒ x1 = 100,8 min.

⇒⇒⇒⇒ x2 = 120 +1,28 ×××× 15 ⇒⇒⇒⇒ x2 = 139,2 min.

Z

Exemplo 5: Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos a umtratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por umadistribuição normal, com média 15 e desvio padrão 3 (em dias).

a) Que proporção desses pacientes demora mais de 17 dias para serecuperar?

b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso,apresentar tempo de cura inferior a 20 dias?

c) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25% dosc) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25% dospacientes?

d) Considere um grupo de 100 pacientes escolhidos ao acaso, qualseria o número esperado de doentes curados em menos de 11 dias?

Exemplo 5:

Exemplo 6:

Exemplo 6: