ModelosdeFronteiraEstocásticaCE 731 – Econometria IIProf. Alexandre Gori MaiaInstituto de Economia - UNICAMP

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EmentaProdutividade e Eficiência

Função de Produção de Cobb-Douglas

Modelo de Fronteira Estocástica

BibliografiaCoelli; Rao; O´Donnell e Battese (2003). An Introduction to efficiency and

productivity analysis.

Gori Maia, A.; Campos, C.; Lanna Silveira, R.; Burney, J.; Cesano, D.

(2019). Technical efficiency of family dairy farms: the experience of a

climate resilience program in Brazil.

Produtividade é a razão entre a produção e os insumos (capital e trabaho, por exemplo), de uma empresa. Uma função de produção pode ser ajustada para estimar a produção esperada para cada nível de insumo e, assim, estimar a produtividade esperada para cada situação.

Y

L

Produtividade

EficiênciaA curva vermelha representa a fronteira de produção, ou seja, a máxima produção possível para cada nível de insumo. Empresas que operam sobre a fronteira são ditas tecnicamente eficientes. Empresas abaixo da fronteira são ditas tecnicamente ineficientes.

Y

L

ProdutividadeeEficiência• Embora muitas vezes se confundam, produtividade e eficiência apresentam definições distintas:

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Pressupões variações absolutas e constantes do produto para variações absolutas dos insumos Xj. É, entretanto, pouco provável que as relações entre produto e insumos sejam lineares.

Y

L

Função Linear

Função de Cobb-Douglas

Pressupõe variações relativas constantes do produto em função de variações relativas dos insumos (elasticidade). Embora não seja linear nos parâmetros, pode ser linearizadas por transformações logarítmicas.

Y

L

eXYk

jjj ++= å

=1ba

eXYk

jjjÕ

=

=1

ba )ln()ln()ln()ln(1

eXY j

k

jj ++= å

=

ba

FunçãodeProdução

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• Diferentes pressupostos implicam em diferentes formas funcionais para a função de produção:

A função de Cobb-Douglas estabelece a relação entre o nível de produção e de insumos.

Onde βj é a elasticidade produto para o j-ésimo insumo e a é chamado de produtividade total dos fatores, o qual expressa o efeito na produção não devido aos insumos. De maneira geral, tem-se que:

i

k

jji eXY jiÕ

=

=1

ba

Pode ser obtida por MQO através da transformação logarítmica:

)ln()ln()ln()ln(1

ij

k

jji eXY

i++= å

=

ba

A função de produção apresenta retornos constantes de escala se:

A função de produção apresenta retornos decrescentes de escala se:

A função de produção apresenta retornos crescentes de escala se:

11

=å=

k

jjb

11

<å=

k

jjb

11

>å=

k

jjb

FunçãodeCobbDouglas

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A função de fronteira estocástica incorpora um componente devido à ineficiência nos erros do modelo:

Y

X

iiii uvXY -++= )ln()ln( ba

Onde vi é o erro de mensuração devido, por exemplo, a ausência de variáveis relevantes na determinação de Y, e ui é uma variável não negativa associada à ineficiência técnica.

O componente determinístico da função expressa a máxima produção prevista para o nível de insumos Xi e será dado por:

iuiviXiuiviX eeeeYi-+-++ ´´== )ln()ln( baba

Ou ainda:

)ln(ˆ iXeYiba+=

iX

iY

Caso a empresa operasse em eficiência técnica, ou seja, caso ui fosse nulo, teríamos o produto (não observado) de fronteira para a empresa i :

iviXeYi++= )ln(*ˆ ba

efeito ineficiência

O choque (ou ruído), por sua vez, será dado pela diferença entre o produto não observado de fronteira e a máxima produção prevista. Para estimar a eficiência técnica de cada empresa, basta realizar a razão entre a produção observada (Yi) e o produto não observado de fronteira (Yi

*):

choq

ue

*i

ii YYET =

Modelode FronteiraEstocástica• A partir de uma função de Cobb-Douglas teremos:

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O modelo de fronteira estocástica permite estimar a ineficiência associada a uma função de produção tradicional:

O modelo desagrega o erro de previsão ei em dois componentes específicos: i) choques aleatórios (vi), resultantes, por exemplo, da omissão de variáveis relevantes entre os fatores explanatórios do modelo, erros de mensuração ou de aproximação da forma funcional; ii) componentes associados à ineficiência tecnológica (ui):

ij

k

jji eXY

i++= å

=

)ln()ln(1ba

iij

k

jji uvXY

i-++= å

=

)ln()ln(1ba

Pode-se ainda concluir que um determinado nível de produção seria dado pela conjugação de três componentes:

iaineficiêncchoqueticodeterminís

)exp()exp()exp(1

ii

k

jjji uvXYi

-´´+= å=

ba

Estimativas não viesadas para os coeficientes do modelo podem ser obtidas por MV pressupondo que:

),0(~ 2vi Nv s e ),0(~ 2

ui Nu s+

Modelode FronteiraEstocástica

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Exercício

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1) O arquivo Dados_Pesca.csv contém informações históricas sobre a pesca anual de atum (mil toneladas) e dias de pesca (mil dias) entre os anos de 1961 e 1994. Pede-se:

a) Ajuste, por MQO , a função de Cobb-Douglas para o logaritmo da produção como função do logaritmo dos dias de trabalho;

b) Ajuste um modelo de fronteira estocástica e compare suas estimativas com as de MQO;

c) Analise a eficiência técnica da produção. Quais fatores ajudariam a explicar a ineficiência?