modelo termo-higro-mecânico: descrição e aplicação do...

União Europeia – Fundos Estruturais Governo da República Portuguesa

PROJETOS DE INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA E DESENVOLVIMENTO TECNOLÓGICO

RELATÓRIO REFERENTE AO PROJETO PTDC/ECM/099250/2008

“Comportamento em serviço de estruturas de betão: uma abordagem multi-física das tensões

auto-induzidas”

Modelo termo-higro-mecânico: Descrição e aplicação do

modelo aos provetes de betão estudados nas Tarefas 2 e 3

Autores:

Luís Leitão

Miguel Azenha

Rui Faria

Porto, FEUP, 2013

i

RESUMO

No âmbito do projeto de investigação PTDC/ECM/099250/2008 desenvolveu-se um conjunto

de conhecimentos relativos à medição de humidade no interior do betão e à caraterização do

comportamento deste material sob retração impedida. O domínio da medição laboratorial

destes parâmetros reforçou o interesse em desenvolver um modelo termo-higro-mecânico que

permitisse modelar adequadamente quer o fenómeno térmico, quer o fenómeno higrométrico

de forma a poder reproduzir numericamente os resultados obtidos em laboratório.

No presente relatório é feita uma descrição detalhada das equações matemáticas que permitem

descrever o campo térmico e o campo higrométrico, e apresenta-se também a forma de

implementação numérica do modelo termo-higro-mecânico adotado com base no método dos

elementos finitos (MEF). Através do modelo desenvolvido, é possível simular adequadamente

os provetes monitorizados nas Tarefas 2 e 3 e proceder à respetiva validação do modelo,

permitindo assim uma aplicação futura às estruturas estudadas no âmbito da Tarefa 7.

.

iii

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO 1

1.1 Enquadramento e objetivos deste trabalho 1

1.2 Organização em capítulos 2

2. DESCRIÇÃO DO MODELO TERMO-HIGRO-MECÂNICO 3

2.1 Introdução 3

2.2 Componente térmica 4

2.2.1 Modos de transferência de calor 4

2.2.2 Procedimento de medianização do material – conceito REV 4

2.2.3 Equação de condução do calor 5

2.2.4 Condições fronteira do problema térmico 8

2.2.5 Implementação numérica com o método dos elementos finitos 9

2.3 Componente higrométrica 12

2.3.1 Formulação do campo de humidade no betão 12

2.3.2 Condições fronteira 17

2.3.3 Implementação numérica 18

2.4 Componente mecânica 21

3. SIMULAÇÃO NUMÉRICA TERMO-HIGRO-MECÂNICA 22

3.1 Introdução 22

3.2 Discretização dos elementos finitos e escolha da malha 24

3.3 Valores dos parâmetros numéricos adotados 25

3.3.1 Modelo térmico 25

3.3.2 Modelo higrométrico 26

3.3.3 Modelo mecânico 27

3.4 Incrementos de tempo considerado 31

4. RESULTADOS DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA E VALIDAÇÃO 33

4.1 Comparação perfis de humidade 33

4.2 Comparação das extensões monitorizadas com as calculadas 37

5. CONCLUSÃO 43

REFERÊNCIAS 45

v

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 – Estrutura de betão com restrição ativa construída no laboratório. 2

Figura 2.1 – Modos de transferência de calor. 4

Figura 2.2 – Valor médio de uma propriedade como função do volume médio dv [3]. 5

Figura 2.3 – Condução de calor no REV. 6

Figura 2.4 – Movimento da água no REV. 13

Figura 2.5 – Típica forma da isotérmica de absorção/desabsorção para o betão. 16

Quadro 2.2: Correspondência entre as variáveis associadas aos campos térmico e higrométrico 18

Figura 3.1 – Esquematização do programa experimental para medição de perfis de humidade e retração. 22

Figura 3.2 – Esquematização das faces seladas [1]. 23

Figura 3.3 – Profundidades de monitorização de humidade para os vários tipos de provetes, a) provete de

10x10x40cm3, b) provete de 15x15x60cm

3 e c) provete de 20x20x60cm

3 [1]. 24

Figura 3.4 – a) Definição dos planos de simetria; b) representação dos apoios e da malha de EF; c) definição das

fronteiras do provete de betão. 25

Figura 3.5 – Comparação dos resultados experimentais com a lei de evolução do módulo de elasticidade adotada.28

Figura 3.6 – Comparação dos resultados experimentais com a Lei da Dupla Potência adotada. 29

Figura 4.1 – Resultados do perfil de humidade da simulação numérica para provete de 10x10x40 na câmara

climática de T=20ºC e HR=60%. 34

Figura 4.2 – Resultados do perfil de humidade da simulação numérica para provete de 15x15x60cm3 na câmara


Figura 4.3 – Resultados do perfil de humidade da simulação numérica para provete de 20x20x60cm3 na câmara


Figura 4.4 – Perfil humidade provete 10x10x40cm3 aos 7 dias de ensaio. 36




Figura 4.8 – Comparação resultados experimentais da evolução da extensão de secagem vs. resultados numéricos38

Figura 4.9 – Comparação resultados experimentais da evolução da extensão de secagem vs. resultados numéricos

com zero aos 20 dias de experiência – provete 101040cm3 39

Figura 4.10 – Comparação resultados experimentais da evolução da extensão de secagem vs. resultados

numéricos com zero aos 20 dias de experiência– provete 151560cm3 40

Figura 4.11 – Deformada do provete 10x10x40cm3 aos 17 dias de ensaio. 41

Figura 4.12 – Padrão de fendilhação do provete 10x10x40cm3 aos 17 dias de ensaio. 41

1. INTRODUÇÃO

1.1 Enquadramento e objetivos deste trabalho

No âmbito do projeto de investigação SeLCo - “Comportamento em serviço de estruturas de

betão: uma abordagem multi-física das tensões auto-induzidas” – está prevista na Tarefa 6 a

implementação de um modelo termo-higro-mecânico que possibilite a simulação numérica da

evolução dos perfis de temperatura e de humidade no betão, bem como das decorrentes

tensões internas.

Pretende-se no presente relatório descrever detalhadamente o modelo implementado, quer a

formulação matemática, quer a implementação no MEF. Posteriormente é efetuada uma

validação do modelo através da simulação numérica dos provetes monitorizados nas Tarefas 2

e 3 [1]. Apresenta-se uma descrição detalhada do modelo e dos respetivos parâmetros

numéricos adotados, finalizando com uma comparação dos resultados obtidos com os

resultados experimentais. Na Figura 1.1 pode-se verificar essa mesma ligação entre a

componente experimental e a numérica.

2 Capítulo 1

Figura 1.1 – Estrutura de betão com restrição ativa construída no laboratório.

Assim sendo, este relatório surge como uma extensão ao relatório 7 [1], focando-se na

componente D1 identificada na Figura 1.1, para validação perante a retração medida

experimentalmente.

1.2 Organização em capítulos

Este relatório está organizado em 5 capítulos, destinando-se o presente a fazer uma introdução

da temática abordada.

No Capítulo 2 apresenta-se detalhadamente o modelo termo-higro-mecânico implementado,

detalhando a formulação matemática que comanda o processo térmico e higrométrico e

destacando a respetiva implementação no MEF.

No Capítulo 3 apresenta-se detalhadamente o modelo numérico adotado para a simulação dos

provetes ensaiados no âmbito das Tarefas 2 e 3. Faz-se uma descrição completa do modelo

(geometria, malha de EF, condições fronteira, apoios, etc.), e dos parâmetros utilizados para

descrever o fenómeno termo-higrométrico, além dos parâmetros de análise associados.

No Capítulo 4 apresenta-se a comparação dos resultados experimentais com os resultados

numéricos e a respetiva discussão de resultados.

O relatório é finalizado com a apresentação das principais conclusões no Capítulo 5.

2. DESCRIÇÃO DO MODELO TERMO-HIGRO-MECÂNICO

2.1 Introdução

Em Vieira et al [1] é feita uma apresentação do modelo Higrométrico 1D implementado em

MATLAB. Este modelo simples permitiu numa primeira fase servir de referência para estimar

os parâmetros necessários à adequada simulação dos perfis de humidade nos provetes

instrumentados no âmbito das Tarefas 2 e 3. Tal é possível, uma vez que as peças de betão em

análise apresentam perfis de humidade 1D. No entanto, no presente relatório, para além da

simulação dos campos térmico e higrométrico, é também realizado a simulação mecânica com

recurso ao método dos elementos finitos aplicado a elementos tridimensionais.

O modelo termo-higro-mecânico 3D desenvolvido encontra-se atualmente implementado

através dos softwares MATLAB e DIANA (tirando partido direto do último para as análises

mecânicas). Apresenta-se de seguida a formulação matemática que comanda o processo

térmico e o processo higrométrico, assim como a respetiva implementação numérica através

do MEF.

4 Capítulo 2

2.2 Componente térmica

2.2.1 Modos de transferência de calor

A transferência de calor ocorre através de três mecanismos principais, conforme sintetizado

na Figura 2.1: através da condução, convecção e radiação. A condução é um processo de

transferência de calor no qual o transporte da energia térmica é realizado pela vibração

aleatória de moléculas, ou pelo movimento de eletrões livres; é o típico mecanismo de

transferência nos sólidos. A convecção depende do movimento de fluídos para a transferência

de calor; numa transferência típica por convecção uma superfície quente aquece o fluido

envolvente, dando continuidade ao seu movimento, tal como é exemplo o vento. O fluido

quente é substituído por um fluido mais frio, que tem mais potencial para armazenar calor,

mantendo-se sempre este ciclo. Por último, a radiação encontra-se relacionada com a

transmissão de energia de um corpo por ação da sua temperatura. A transferência de calor por

radiação é feita através de ondas eletromagnéticas (de acordo com a Teoria Clássica de

Maxwell), ou através de partículas discretas de fotões (hipótese de Planck).

Figura 2.1 – Modos de transferência de calor.

2.2.2 Procedimento de medianização do material – conceito REV

Em diferente escalas, o betão pode ser considerado como um material poroso heterogéneo.

Contudo, quando se pretende avaliar a distribuição de temperaturas numa estrutura de betão,

não existe a necessidade em perceber qual a distribuição de temperatura na escala do cimento

e dos agregados. Inclusive, é preferível uma abordagem macro, que permita uma avaliação

média do balanço de energia do betão nos seus diferentes estados (sólido, líquido e gasoso)

através da caracterização de um elemento representativo de volume – representative

elementary volume (REV). Assim, representa-se o betão numa escala macro, assumindo-se

um meio isotrópico homogéneo, tendo consciência que na sua microescala se trata de um

Descrição do Modelo Termo-Higro-Mecânico 5

material heterogéneo e não-isotrópico. Esta abordagem facilita a dedução da equação que

governa o balanço de energia para o campo térmico do betão. De facto, apesar de ser possível

modelar adequadamente o fenómeno a nível da microescala, a sua aplicação a estruturas de

escala reais levaria a tempos de cálculo incomportáveis, tornando esta abordagem

impraticável. A abordagem adotada de medianização do material assume que todas as fases

(sólido, gás e líquido) ocorrem em todos os elementos do REV, em todos os instantes. No

entanto, é necessário escolher cuidadosamente as dimensões para o REV, uma vez que deve

ser grande suficiente de forma a garantir que as heterogeneidades têm uma influência

negligenciável, e que é suficiente pequeno de forma a permitir caracterizar adequadamente o

meio que se pretende simular [2]. Na Figura 2.2, apresenta-se uma representação gráfica

interessante sobre a escolha do valor de volume dv a considerar como REV [3].

Figura 2.2 – Valor médio de uma propriedade como função do volume médio dv [3].

2.2.3 Equação de condução do calor

A equação que traduz o diferencial associado à condução em sólidos é conhecida como lei de

Fourier, e expressa-se, considerando apenas uma dimensão, da seguinte forma:

x

Tq kA

x (2.1)

em que qx representa o fluxo de calor (W) através da área A (m2), k representa a condutividade

térmica (Wm-1

K-1

), T representa a temperatura (K) e X representa a coordenada espacial (m).

6 Capítulo 2

Contudo, num ambiente poroso como betão, o calor pode também ser transferido

consequência do fluxo de humidade [4]. Surge então uma alteração na Equação 2.1,

aparecendo uma parcela associado a este fluxo (o efeito de Dufour) que pode ser definido

como um fluxo de calor produzido por um gradiente de concentração de outra

entidade - humidade neste caso [5].

x duf

T wq kA k A

x x (2.2)

onde kduf representa o coeficiente de proporcionalidade entre o fluxo de humidade e a

condutividade (Wm-1

kg-1

) e w representa a massa (kg) de água livre (não ligada

quimicamente) por unidade de volume de betão. Contudo, está provado que o efeito de

Dufour representa um papel negligenciável na transferência de calor para o betão em

ambientes de temperatura normais [4]. Assim sendo, este efeito foi desprezado no modelo

desenvolvido, não havendo assim uma influência direta da componente térmica com a

componente higrométrica, ainda que o modelo inclua ambos os fenómenos.

A nível macroscópico, a equação que governa o balanço de energia pode ser representada

tendo em conta as coordenadas cartesianas do REV, conforme se pode observar na Figura 2.3.

Figura 2.3 – Condução de calor no REV.

Na presença de gradientes térmicos, a condução de calor ocorre através das superfícies do

REV, perpendicularmente a estas. Em três das superfícies, o fluxo de calor pode ser

representado por qx, qy e qz, sendo que nas faces opostas, o fluxo de calor deve ser


representado, de acordo com a expansão da série de Taylor (negligenciando os termos de

segunda ordem e superior):

xx x x

qq q x

x

y

y y y

qq q y

y

z

z z z

qq q z

z (2.3)

Representando a geração interna de calor por unidade de volume por Q (Wm-3

) – como por

exemplo a hidratação do cimento – o rácio de geração de energia no REV calcula-se da

seguinte forma:

gE Q x y z (2.4)

O rácio de energia armazenado no REV, stE (W), pode ser expresso como uma função da

derivada da temperatura em ordem ao tempo, do calor específico do material c (Jkg-1

K-1

) e da

massa especifica (kgm-3

):

stE cT x y z (2.5)

Considerando o rácio de energia de entrada, inE , e de saída, outE , do REV, o balanço da

energia, de acordo com a Primeira Lei da Termodinâmica num sistema fechado pode ser

definido como:

in g out stE E E E (2.6)

Incluindo ainda os fluxos de energia representados na Figura 2.3, e substituindo as Equações

2.4 e 2.5 na Equação 2.6, obtêm-se a seguinte expressão:

x y z x x y y z zq q q Q x y z q q q cT x y z (2.7)

Podendo ainda ser alterada, através da introdução da Equação 2.3 na equação anterior,

obtendo-se:

yx zqq q

x y z Q x y z cT x y zx y z

(2.8)

De acordo com o princípio presente na Equação 2.1, a transferência de calor nas superfícies

do REV pode ser expressa da seguinte forma:

x

Tq k y z

x

y

Tq k x z

y

z

Tq k x y

z (2.9)

8 Capítulo 2

então, a expressão geral de condução de calor expressa na Equação 2.8 transforma-se na

seguinte equação:

T T Tk k k Q cT

x x y y z z (2.10)

Finalmente, nos casos em que a condutividade térmica se mantêm inalterada durante o

período da análise, é usual representar a Equação 2.10 da seguinte forma:

2 2 2

2 2 2

T T Tk Q cT

x y z (2.11)

2.2.4 Condições fronteira do problema térmico

A convecção é um dos fenómenos que condiciona as condições fronteira do problema

térmico, havendo diferentes formas de convecção (natural e forçada). No entanto, do ponto de

vista numérico, ambas são tratadas como se apenas se considera-se um fenómeno único, uma

vez que o mecanismo de transferência de calor é basicamente o mesmo – movimento do ar.

Assim sendo, a transferência de calor entre o betão e o ambiente através da convecção é

modelado através da lei de Newton para o arrefecimento [6]:

,hc T surf envq h T T (2.12)

onde qh,c representa o fluxo de calor na superfície [Wm-2

], hT representa o coeficiente de

transferência de calor associado à convecção [Wm-2

K-1

], e Tenv e Tsurf representam as

temperaturas do ambiente e da superfície do betão respetivamente [K].

A radiação conforme explicado na secção 2.1 surge como outro mecanismo possível de

transferência de calor. De uma forma geral, este processo é modelado de uma forma

simplificada, através da proposta de Branco et al.[7], na qual o balanço de energia associado à

radiação de onda comprida é feita de forma análoga à equação utilizada para definir a

fronteira de convecção. Na Equação 2.12 apenas se substitui o coeficiente de transferência de

calor associado à convecção hT, pelo associado à radiação, hr.

,hr r surf envq h T T (2.13)

Tendo em conta a semelhança entre as Equações 2.12 e 2.13 associadas às fronteiras de

convecção e de radiação, é possível idealizar um coeficiente único de transferência de calor

associado a ambos os fenómenos: hcr=ht+hr, resultando no final a seguinte expressão para


definir as condições fronteira do problema térmico – simplificando a respetiva implementação

numérica:

, ,h hc hr cr surf envq q q h T T (2.14)

2.2.5 Implementação numérica com o método dos elementos finitos

A equação de transferência de calor, em conjunto com as condições fronteiras do problema

térmico, foi implementada através do uso do método dos elementos finitos. A presente secção

apresenta informação relacionada com as estratégias utilizadas para esse objetivo.

Tendo em conta a Equação 2.10 e considerando aplicação das condições de Neumann na

fronteira Гq, onde o fluxo qh é tido em conta – ver Equação 2.14 – surge então a seguinte

expressão:

cr env h

T T Tk l k m k n h T T q

x y z (2.15)

onde l, m e n representam as componentes do versor normal a Гq. Através dos procedimentos

habituais associados ao MEF, uma interpolação da forma

eT N T (2.16)

é assumida, sendo que N representa a matriz de interpolação e Te designa as temperaturas

nodais para um determinado elemento finito com volume dΩ. Aplicando o método dos pesos

residuais de Galerkin à Equação de campo 2.10, e às condições fronteira definidas na

Equação 2.15, o equilíbrio térmico sobre o volume Ω e a fronteira Гq, pode ser expressa

recorrendo a um integral da seguinte forma:

q

T

T

h cr env q

T T Tk k k Q cT d

x x y y z z

q h T T d 0

N

N

(2.17)

É possível obter uma forma mais desenvolvida da Equação 2.17 integrando por partes os

primeiros três termos da equação:

q q

T T TT T

T T

h q h cr env q

T T Tk k k Q cT d

x x y y z z

q d q h T T d 0

N N NN N

N N

(2.18)

10 Capítulo 2

simplificando a Equação 2.18 obtém-se a seguinte expressão:

q

T T TT T

T

cr env q

T T Tk k k Q cT d

x x y y z z

h T T d 0

N N NN N

N

(2.19)

introduzindo a aproximação representada na Equação 2.16 na Equação 2.19, é possível obter

um formato mais conveniente para a respetiva implementação numérica:

e e e e

T QC T G T F F (2.20)

onde as matrizes e vetores elementares (referenciados pelo índice ‘e’) são calculados de

acordo com as seguintes expressões [8]:

e

e Tc dC N N (2.21)

e eq

e T T

cr qk d h dG N N N N (2.22)

eq

e T

T cr env qh T dF N (2.23)

e

e T

Q Q dF N (2.24)

implementando um esquema de integração no tempo, e assumindo a seguinte aproximação

estável incondicional de Euler:

1 1( )n n nT T T t (2.25)

com Δt=tn+1-tn e índices “n” e “n+1” referentes a dois incrementos de tempo consecutivos tn e

tn+1, a Equação 2.20 definida para o instante tn+1 transforma-se na seguinte expressão:

1 1 1 1 , 1 , 1

1 e e e e e e e

n n n n n T n Q ntC T T G T F F (2.26)

Procedimentos habituais de assemblagem podem agora ser aplicados de forma a constituir as

matrizes Cn+1 e Gn+1 e os vetores FT,n+1 e FQ,n+1 necessários para a análise através do MEF de

um problema térmico, ou seja:


1 1

1 1 , 1 , 1

n n

n n T n Q n nt t

C CG T F F T (2.27)

Devido à necessidade de calcular FQ,n+1 para o incremento n+1, que de acordo com a

Equação 2.24 depende de Tn+1 e de 1nQ (que define o calor gerado pela hidratação do

cimento, e que é normalmente calculado através da lei de Arrhenius), observa-se então uma

dependência não linear na Equação 2.27. Por este motivo, adota-se normalmente um processo

de resolução da Equação 2.27 iterativo, como por exemplo o método de Newton-Raphson, de

forma a extrair as temperaturas dos nós no instanteTn+1.

A formulação que foi explanada pode ser implementada com EF 1D, 2D ou 3D (formulação

isoparamétrica), aplicando diferentes tipos de EF ao betão e às condições fronteira (por

exemplo: se forem utilizados elementos 3D de bloco para o betão, os elementos de fronteira

devem ser planos). Os integrais presentes nas Equações 2.21-2.24 são calculados com recurso

às técnicas habituais de integração de Gauss.

Uma breve descrição do procedimento geral para realizar a análise térmica do betão, desde

das idades jovens, é apresentada no Quadro 2.1, onde as operações necessárias para avaliação

a distribuição das temperaturas finais são reproduzidas considerando a aplicação do método

iterativo de Newton-Raphson.

Para simplificação da interpretação, a Equação 2.27 pode ainda ser reescrita da seguinte

forma:

1 1 1ˆ ˆn n nK T F (2.28)

sendo

1

1 1ˆ n

n nt

CK G (2.29)

1

1 , 1 , 1ˆ n

n T n Q n nt

CF F F T (2.30)

12 Capítulo 2

Quadro 2.1 - Esquema do modelo térmico

INPUT: n, Tn, t , tend, TOLER, Qtotal, nQ , nQ

OUTPUT: Tn+1

(i) Atualizar tempo 1n nt t t .

Verificar 1n endt t ? Não: Ir para o incremento (ii).

Sim: Ir para o incremento (x).

(ii) Inicializar contador de iterações i=0, set 0

1

i

n 0T e trial nQ Q .

(iii) Definir 1 1

i i

n n n T T T .

(iv) Calcular +1

înF com base nas seguintes entidades calculadas:

1

i

n n trialQ Q Q t

1

, 1

i

i n

T n

total

Q

Q

1 , 1 1,i i i

n T n nQ T

Preparar trialQ para a iteração seguinte 1

i

trial nQ Q .

Se necessário calcular +1

î

nK .

(v) Calcular o vetor de resíduos 1

i

nΨ +1 +1 +1ˆî i i

n n nF K T .

(vi) Verificação da convergência:

Is 1

i

n TOLER Ψ ? Não: Ir para o incremento (vii).

Sim: Ir para o incremento (ix).

(vii) Calcular

1 1

1 1 11

î i i i

n n nn

T T K Ψ .

(viii) Atualizar contador de iterações i:=i+1. Ir para (iii).

(ix) Atualizar contador de incrementos n:=n+1. Ir para (i).

(x) Fim.

2.3 Componente higrométrica

2.3.1 Formulação do campo de humidade no betão

A modelação do campo de humidade no betão pode ser feita em diversas escalas e em

diferentes níveis de detalhe. Alguns autores que abordaram a problemática associada à

fendilhação envolvente dos agregados, devido à ação restringida da retração, tiveram que


adotar modelos que permitissem a modelação explícita dos agregados [9, 10, 11]. No entanto,

no presente relatório é considerado uma abordagem macroscópica, em que se caracteriza o

campo de humidade no betão (nas suas diferentes fases: sólido, líquido e gasoso) através de

um elemento representativo do volume (REV – ver secção 2.2.2). A maior parte dos autores

que lidam com problemas de fluxo de humidade em peças de betão não saturadas, assumem

poros não deformáveis em condições isotérmicas, e aplicam a primeira Lei de Fick como base

para a equação de equilíbrio de massas. Também é considerado, que a apenas a água

evaporável é sujeita a transporte, sendo utilizado como variável do problema, compreendendo

o conteúdo em vapor da água em estado líquido e sólido [12]. A formulação matemática

associada à teoria da difusão para materiais isotrópicos é baseada na hipótese que a taxa de

transferência da substância a difundir por uma área unitária é proporcional ao seu gradiente de

concentração medido na direção normal à secção, ou seja:

( )eJ D gradW (2.31)

onde J representa o fluxo de difusão [kgm-2

s-1

], D é o coeficiente de difusão [m2s

-1] e We

representa a concentração de água evaporável [kgm-3

].

Considerando um REV paralelepipédico com os seus lados paralelos às coordenadas dos

eixos, com dimensões 2dx, 2dy, 2dz (ver Figura 2.4):

Figura 2.4 – Movimento da água no REV.

o centro do REV é P(x,y,z) onde a concentração de água evaporável é We. Então, o fluxo de

água ao longo do eixo X e através da face ABCD pode ser expresso da seguinte forma:

1 4 x

x

JQ dy dz J dx

x

(2.32)

analogamente é possível obter a seguinte expressão para a A’B’C’D’:

14 Capítulo 2

2 4 x

x

JQ dy dz J dx

x

(2.33)

através das Equações 2.32 e 2.33 é possível obter a contribuição de ambas as faces para o

aumento da substância difundida no REV:

8 x

x

JQ dx dy dz

x

(2.34)

as contribuições das outras quatro faces podem ser obtidas de forma análoga:

8y

y

JQ dx dy dz

y

(2.35)

8 z

z

JQ dx dy dz

z

(2.36)

Deve ser tido em conta que o betão é um material poroso, e que a concentração de água W

corresponde à soma da concentração de água We e concentração de água não evaporável Wn.

Então, o aumento global do rácio de água no REV pode ser calculado com base numa função

da variação da concentração total de água ao longo do tempo:

8

e nW WQ dx dy dz

t

(2.37)

então, a equação de equilíbrio de massas passa a ser:

0

yx z

e n

JJ JW W

x y z (2.38)

que aplicando a Equação 2.31, a Equação 2.38 pode ser reescrita da seguinte forma:

e e nW div D grad W W (2.39)

sendo que o ultimo termo da equação reflete o consume de água devido às reações químicas,

que reduz a quantidade de água evaporável disponível no sistema poroso. Este termo é

obviamente importante para idades jovens, mas a sua importância torna-se negligenciável

após alguns dias, à medida que a taxa de hidratação do cimento diminui.

Em alternativa à formulação apresentada, baseada na concentração de água no sistema, alguns

autores defendem a formulação baseada na humidade relativa interna H como ‘driving


potential’ do campo de humidade. Seguindo esta linha de pensamento a Equação 2.31 pode

ser reescrita de forma análoga (introduzindo o correspondente coeficiente de difusão DH):

( )HJ D grad H (2.40)

A Equação 2.38 continua válida, e pode ser reescrita da seguinte forma:

0yx zJJ JW

t x y z

(2.41)

onde se pode definir o primeiro termo como:

WW H

H (2.42)

Ainda assim, o ultimo termo da equação 2.42 -H - tem duas componentes (considerando

condições isotérmicas): o H alterara-se devido à secagem drying

H t , mas também se altera

devido ao consumo interno de água associada às reações químicas SH t :

S

drying

HHH

t t (2.43)

Então, a combinação das Equações 2.40, 2.41, 2.42 e 2.43, originam uma equação final que

governa o campo de humidade no betão, baseada no teor de humidade relativa:

1

S

H

HH Wdiv D grad H

t H t

(2.44)

Além do parâmetro que governa o fluxo higrométrico, as Equações 2.39 e 2.44 têm uma

diferença importante: assumindo a humidade relativa como ‘driving potential’, o fator

1

W H

aparece do lado direito da Equação 2.44. Este fator é o equivalente ao declive da

isotérmica da humidade W=f(H) reproduzido na Figura 2.5, sendo também conhecido como a

capacidade de humidade do sistema.

16 Capítulo 2

Figura 2.5 – Típica forma da isotérmica de absorção/desabsorção para o betão.

Alguns autores consideram que a capacidade de humidade de um sistema cimentício para

humidades relativas habituais (H>50%) é quase constante [13], algo que motivou a

simplificação da Equação 2.44, aglomerando a capacidade de humidade do sistema e o

coeficiente de difusividade DH num coeficiente único DH*:

*H SH div D grad H H (2.45)

Se a análise do campo higrométrico é realizada após as reações de hidratação ocorrerem, ou

se a influência da autodissecação na humidade do poro é negligenciável (ou seja, no caso de

misturas com relação w/c elevadas [14]), o último termo da Equação 2.45 pode ser

desprezado, resultando numa simplificação adicional, que corresponde à metodologia

proposta pelo MC2010 [15]:

*H

Hdiv D grad H

t

(2.46)

Os autores que utilizam H como ‘driving potential’ do sistema para modelar o campo

higrométrico no betão, normalmente defendem a sua posição através dos seguintes

argumentos:

Para relações w/c habituais, a variação de H devido às reações químicas da hidratação

é relativamente reduzido (inferior a 3%), e por isso este efeito pode ser desprezado

mesmo que as reações ainda não tenham terminado. Isto apenas no caso de W não ser

usado como parâmetro potencial do sistema, uma vez que Wn e We variam

significativamente durante a hidratação.

As condições fronteira são mais facilmente definidas em função de H [13]


A generalização da equação governante (derivada para condições isotérmicas) em

situações em que ocorre variação da temperatura é mais simples, caso o parâmetro que

governa a equação seja H [16].

O uso de H é considerado mais prático em resolução de problemas associados à

secagem do betão, podendo englobar mais facilmente o fenómeno da fluência [17].

Numa posição antagónica, surgem autores que defendem a utilização da concentração de W

como parâmetro condutor da análise do fluxo higrométrico. Apontam como potencialidades o

seguinte [12, 18]:

H não pode apresentar estados variáveis, enquanto W pode.

A medição experimental de W é bastante mais direta do que a quantificação de H, que

se revela bastante difícil.

A limitação associada ao facto de se poder desprezar o termo nW t na

Equação 2.49 é ultrapassado caso a análise se realize após a hidratação ter ocorrido.

Facilmente se compreende que a escolha do parâmetro condutor do fluxo higrométrico não é

evidente, e que é necessário avaliar o problema que se pretende analisar de forma a escolher a

melhor metodologia. No presente trabalho, considerou-se preferível adotar H uma vez que se

estima o fator SH t tenha uma ligeira importância nas presentes simulações numéricas.

2.3.2 Condições fronteira

A maior parte dos investigadores adota a mesma metodologia em termos de condições

fronteira para a análise do campo higrométrico no betão, independentemente do ‘driving

potential’ adotado. As condições consideradas têm uma apresentação genérica bastante

similar à modelação adotada para o fluxo térmico (ver Equação 2.12), implementando-se a

seguinte formulação (tendo por base a humidade relativa como ‘driving potential’):

m m surf envq h H H (2.47)

Em que qm representa o fluxo de humidade que atravessa a fronteira, hmoist representa o

coeficiente de emissividade, e Hsurf e Henv representam respetivamente os valores de H na

superfície do betão e no ambiente envolvente. Esta formulação adotada para as condições

fronteira revela-se bastante eficaz quando se pretende modelar campos higrométricos em

condições isotérmicas.

18 Capítulo 2

2.3.3 Implementação numérica

A equação adotada que governa o fluxo de humidade é a Equação 2.44, que pode ser reescrita

da seguinte forma:

S

H

HW Hdiv D grad H

H t t

(2.48)

ou então apresentada em relação às suas coordenadas

H H H S

H H H WD D D H H

x x y y z z H (2.49)

Sendo que as condições de Neumann podem sem aplicadas à Гq, (à semelhança do fluxo

térmico), resultando em:

H H H m env

H H HD l D m D n h H H

x y z (2.50)

Como é possível verificar, existem semelhanças evidentes entre o par de Equações 2.49 e 2.50

e o par de Equações 2.10 e 2.15 associadas ao campo térmico. Por esse motivo, passos

intermédios de derivação das equações finais não serão apresentados, uma vez que se

apresenta no Quadro 2.2 as correspondências entre a formulação adotada para o campo

térmico, e a implementada para o campo higrométrico.

Quadro 2.2: Correspondência entre as variáveis associadas aos campos térmico e higrométrico

Campo Térmico Campo Higrométrico

T H

k DH

c W

H

hcr hm

Tenv Henv

Q SH

Assim, em analogia com a Equação 2.20, a equação de campo pode ser formulada da seguinte

forma:

e e e e

H autC H G H F F (2.51)

onde os vetores e matrizes elementares se apresentam da seguinte forma:


e

e T Wd

HC N N (2.52)

e eq

e T T

H m qD d h dG N N N N (2.53)

eq

e TH m env qh H dF N (2.54)

e

e Taut SH dF N (2.55)

Nota: Para betão de normal desempenho, 0 0e

autSH F

assumindo um esquema de integração backward-Euler obtém-se:

1 1( )n n nH H H t (2.56)

a Equação 2.51 definida para o instante n+1 assume o seguinte formato:

, 1 , 11 11 1

1 e e e ee e eH n autnn nn n n

tC H H G H F F (2.57)

Aplicando procedimentos habituais de assemblagem, é possível constituir as matrizes globais

C e G e os vetores globais HF e autF necessários para a resolução através do MEF do

problema estrutural associado ao campo higrométrico:

1 1, 1 , 11 1

n nH n autnn n n

t t

C CG H F F H (2.58)

Devido à dependência do fator (∂W/∂H) e do parâmetro DH da humidade relativa H, as

matrizes C e G apresentam uma dependência não linear de Hn+1. A Equação 2.58 é então

resolúvel através de um procedimento incremental iterativo baseado no método de

Newton-Raphson, de forma a obter as humidades relativas Hn+1 no conjunto de nós da malha

de EF.

De forma a simplificar a interpretação, a Equação 2.58 pode ser reescrita da seguinte forma:

1 11n nnK H F (2.59)

20 Capítulo 2

11 1

nn n

t

CK G (2.60)

11 , 1 , 1

nn H n autn n

t

CF F F H (2.61)

A estratégia adotada de implementação no MEF (funções de forma, esquema de integração,

etc.) é semelhante ao modelo térmico conforme explicado. Assim, apresenta-se no Quadro 2.3

um breve resumo do procedimento geral adotado para a implementação da formulação

associada ao campo higrométrico. Apresenta-se o algoritmo, com especial destaque para o

cálculo da distribuição de humidades, e para a forma de implementação do processo iterativo

associado ao método de Newton-Raphson.

Quadro 2.3: Esquema do modelo higrométrico

INPUT: n, Hn, t , tend, TOLER

OUTPUT: Hn+1

(i) Atualização do tempo 1n nt t t .

Verificar 1n endt t ? Não: Ir para o incremento (ii).

Sim: Ir para o incremento (x).

(ii) Inicializar o contador de iterações i=0 e define 0

1

i

n 0H .

(iii) Definir 1 1

i i

n n n H H H .

(iv) Calcular +1

i

nF and +1

i

nK .

(v) Calcular o vetor de resíduos 1

i

nΨ +1 +1 +1

i ii

n n nF K H .

(vi) Verificação da convergência:

1

i

n TOLER Ψ ? Não: Ir para o incremento (vii).

Sim: Ir para o incremento (ix).

(vii) Calcular

1 1

1 1 11

ii i i

n n nnH H K Ψ .

(viii) Atualizar o contador de iterações i:=i+1. Ir para (iii).

(ix) Atualizar contador incrementos n:=n+1. Ir para (i).

(x) Fim.


2.4 Componente mecânica

O modelo termo-higrométrico foi implementado pela equipa de investigação em MATLAB.

Já quanto à resolução da componente mecânica do modelo, recorreu-se a um software

preexistente (o algoritmo DIANA), que a partir das deformações no betão de origem térmica

e/ou resultantes da alteração da humidade interna, procede à determinação das tensões no

betão e nas armaduras. Esta abordagem tira partido das potencialidades do código DIANA,

que contempla uma ampla panóplia de modelos de fissuração do betão (no presente projeto

foi privilegiada a utilização de modelos de fenda distribuída, com possibilidade de formação

de múltiplas fendas). Além disso, fenómenos diferidos como a maturação e a fluência do

betão, bem como a simulação do comportamento das armaduras, estão também disponíveis

para utilização no referido código.

3. SIMULAÇÃO NUMÉRICA TERMO-HIGRO-MECÂNICA

3.1 Introdução

No presente relatório procedeu-se à simulação numérica de 3 provetes de betão com o

objetivo de comparar as previsões numéricas com as medições de humidade e leituras das

extensões em provetes de betão monitorizados em laboratório [1] – ver Figura 3.1.

Figura 3.1 – Esquematização do programa experimental para medição de perfis de humidade e retração.

Os provetes de ensaio deste programa experimental dividem-se em dois grupos principais

(Figura 3.1): um grupo de provetes destinados à medição de perfis de humidade (PH); outro

grupo de provetes para medição da retração (R). Foram consideradas 3 geometrias distintas

para os provetes de ensaio: 10cm×10cm×40cm; 15cm×15cm×60cm e 20cm×20cm×60cm.

Todos os provetes foram sujeitos às mesmas condições ambientais: T=20ºC e HR=60%.

Provetes de ensaio

Perfis de Humidade (PH)

10x10x40

(cm3)

15x15x60

(cm3)

20x20x60

(cm3)

Retração (R)

10x10x40

(cm3)

15x15x60

(cm3)

20x20x60

(cm3)

Resultados da Simulação Numérica e Validação 23

Refira-se que todos os provetes para medição de perfis de humidade e monitorização da

retração foram selados com parafina em 4 faces, deixando duas das faces maiores paralelas

sujeitas à secagem. Com este procedimento foi garantida a ocorrência de fluxos

unidimensionais de humidade – ver Figura 3.2. A descofragem dos provetes realizou-se aos 7

dias de ensaio, não havendo possibilidade de secagem durante este período.

Sentido do fluxo de secagem Faces seladas

macro-poro

Figura 3.2 – Esquematização das faces seladas [1].

Para monitorização dos perfis de humidade, foram efetuadas medições a três profundidades

distintas em cada provete. Nos 3 tipos de provete foi monitorizada a humidade relativa a 2cm

e a 4cm da superfície de secagem, bem como a metade da profundidade do provete, o que

correspondeu a 5cm, 7.5cm e 10cm respetivamente para os provetes com secção transversal

10x10cm2, 15x15cm

2 e 20x20cm

2. Na Figura 3.3, encontram-se esquematizadas as

profundidades de monitorização de humidade nos vários provetes, bem como a forma de pré-

colocação de mangas para embebimento dos sensores.

a)

24 Capítulo 4

b)

c)

Figura 3.3 – Profundidades de monitorização de humidade para os vários tipos de provetes, a) provete de

10x10x40cm3, b) provete de 15x15x60cm

3 e c) provete de 20x20x60cm

3 [1].

3.2 Discretização dos elementos finitos e escolha da malha

Conforme explicado anteriormente, realizou-se a simulação numérica dos 3 provetes

instrumentados. Apresenta-se de seguida apenas o modelo associado ao provete 10x10x40cm3

uma vez que a escolha da malha e a definição dos materiais seguiu exatamente a mesma

metodologia. Ao analisar os diferentes provetes, é possível identificar 3 planos de simetria,

esquematizados na Figura 3.4a. Desta forma, é possível modelar apenas um quarto de cada

provete real, tirando assim partido das simetrias existentes. Nas três simulações é utilizada a

mesma divisão em termos de malha de elementos finitos, com adensamento da malha nas

zonas onde são esperados gradientes mais significativos – com 6 divisões na secção

transversal em X e Z e 12 divisões associadas ao desenvolvimento do provete em Y (ver

Figura 3.4b e Figura 3.4c). Na Figura 3.4b encontram-se representados ainda os apoios

considerados no modelo mecânico. Uma vez que se trata da análise numérica de um provete

livre, os apoios a considerar são os relacionados com os planos de simetria, tendo sido

impedido o deslocamento e respetiva rotação na direção perpendicular a cada plano de

simetria.


Figura 3.4 – a) Definição dos planos de simetria; b) representação dos apoios e da malha de EF; c) definição das

fronteiras do provete de betão.

Na Figura 3.4c é possível verificar os diferentes tipos de fronteiras consideradas,

representando-se a azul os planos de simetria, através dos quais não há transferências termo

higrométricas. A verde representa-se as fronteiras que possibilitam perdas termo

higrométricas para o ambiente exterior – faces superior e inferior do provete de betão. A

vermelho assinalam-se as fronteiras que possibilitam apenas perdas térmicas para o

exterior - faces dos topos e laterais do provete –, estando impedidas as perdas higrométricas

através destas fronteiras por terem sido isoladas com um material impermeável - parafina.

3.3 Valores dos parâmetros numéricos adotados

3.3.1 Modelo térmico

Propriedades térmicas do betão e geração de calor

A condutividade térmica do betão foi estimada através da média ponderada das propriedades

térmicas dos constituintes do betão, de acordo com a metodologia proposta por

Van Breugel [19]. Assim, adotou-se o seguinte valor:

- Condutividade térmica: k = 2.60 Wm-1

K-1

O calor específico volumétrico do betão adotado teve por base os valores normalmente

empregues nas análises térmicas de estruturas de betão:

- Calor específico volumétrico: (c) = 2400 JK-1

m-3

O calor de hidratação foi modelado de acordo com a proposta de Reinhardt et al. [20],

aplicando a curva adiabática associada a um cimento CEM II 42.5 R (utilizou-se 280kg de

cimento) [1, 21]:

- Energia de ativação: Ea = 47.8 kJmol-1

Plano de Simetria

Fluxo Térmico

Fluxo Higrométrico

26 Capítulo 4

- Constante dos gases perfeitos: R = 8.314 Jmol-1

K-1

Condições ambientais e das fronteiras térmicas

As condições fronteira para o modelo térmico foram estimadas com base no coeficiente de

transferência de calor convecção-radiação hcr, de acordo com a velocidade do vento estimada

de ~0m/s (condições laboratoriais):

- Coeficiente convecção-radiação: hcr = 10.0 Wm-2

K-1

Durante o período em que o betão se encontra cofrado (ou seja, até aos 7 dias de ensaio),

estimou-se um valor diferente para o coeficiente convecção-radiação, de acordo com a

proposta de Jonason [22]:

- Coeficiente convecção-radiação: hcr = 5.0 Wm-2

K-1

Considerou-se uma temperatura inicial de 20ºC para todos os elementos de betão (temperatura

ambiente ao longo de todo o ensaio). Refira-se ainda que os efeitos associados ao evaparotive

cooling foram desprezados na presente simulação numérica.

3.3.2 Modelo higrométrico

Propriedades higrométricas do betão e respetiva condição fronteira

O coeficiente de difusividade é definido no MC2010 [15] com a seguinte função:

( ) [

[( ) ( )⁄ ] ] (3.1)

Em que:

é o valor máximo da difusividade para H=1 [m2/s]

é o valor mínimo da difusividade para H=0 [m2/s]

é

é a humidade relativa da rede porosa para

n é um expoente

Este tipo de modelos tem sido usado por vários autores, nomeadamente Kwak et al. [23] e

Kim et al. [24]. No entanto, assinala-se o facto de existir uma dispersão relativamente

alargada na escolha dos parâmetros de simulação, que frequentemente se afasta das

recomendações do MC2010 [15] (definidas em função da resistência à compressão do betão).

Assinale-se também que quer o MC2010 [15] não faz qualquer referência aos valores a adotar

para o coeficiente de fronteira hm.


Tendo em conta as limitações identificadas na bibliografia e o desempenho insuficiente da

aplicação direta da Equação 3.1 com os parâmetros recomendados pelo MC2010 [15],

decidiu-se efetuar um processo de “tentativa-e-erro” em Vieira et al. [1] para determinar o

melhor conjunto de parâmetros que permitissem simular adequadamente os resultados

experimentais obtidos para os provetes de betão colocados a T=20ºC e HR=60%. Refira-se a

especial influência dos parâmetros e em especial de nos perfis de humidade simulados.

Durante o processo iterativo foi necessário alterar alguns dos valores estipulados, de modo a

garantir um resultado satisfatório. Assim pode-se verificar no Quadro 3.1 os parâmetros

utilizados por Kim et al. [24], MC2010 [15] e os melhores valores finais obtidos pelas várias

iterações efetuadas.

Quadro 3.1 - Parâmetros higrométricos.

Kim et al [24] MC2010 [15] Parâmetros adotados

( )

( )

Com efeito, à exceção do parâmetro n e da utilização da fronteira hm, pode afirmar-se uma

proximidade bastante plausível entre os parâmetros finais e as recomendações do

MC2010 [15]. Referir ainda, que uma vez que a descofragem dos provetes se realiza aos 7

dias de ensaio, a fronteira higrométrica apenas é considerada ativa para este instante,

assumindo-se hm = 0ms-1

durante o período inicial.

3.3.3 Modelo mecânico

É importante referir que para as simulações numéricas do presente relatório a relação aplicada

entre a retração de secagem do betão e a humidade interna num ponto infinitesimal foi a

formulação proposta por Kwak et al. [23] – ver Equação 3.2:

[ ( )] ( ) ( ) (3.2)

sendo a retração infinitesimal do betão, H a humidade interna do betão e a retração

a tempo infinito de um elemento de betão. A partir dos resultados reportados por

Vieira et al [1], é possível inferir que o valor de é de 570. A definição desta relação é

28 Capítulo 4

importante, pois é a partir da retração infinitesimal em cada EF que o modelo mecânico pode

determinar a evolução das extensões.

Propriedades mecânicas do betão

As propriedades mecânicas do betão associadas à resistência à compressão e tração foram

impostas no modelo de acordo com os resultados experimentais realizados para a sua

determinação, presentes no Quadro 3.2, e cujos ensaios foram pormenorizadamente descritos

por Vieira et al. [1]. Convém referir que a evolução no tempo destes parâmetros foi estimada

com base no conceito de idade equivalente.

A lei de evolução do Módulo de Elasticidade foi determinada tendo em conta as expressões

propostas pelo Eurocódigo 2 [25], de forma a permitir captar adequadamente a evolução ao

longo do tempo do parâmetro Ec, tendo sempre em conta os resultados experimentais

observados – daí haver uma ligeira discrepância entre os valores sugeridos pelo

Eurocódigo 2 [25] para o parâmetro s, e o valor adotado de 0.47. Na Figura 3.5 é possível

observar a curva adotada para o módulo de elasticidade e o correspondente ajuste com os

dados experimentais.

Figura 3.5 – Comparação dos resultados experimentais com a lei de evolução do módulo de elasticidade adotada.

O fenómeno da fluência do betão foi modelado com base na Lei da Dupla Potência

correspondentes à Equação 2, que permitiu definir adequadamente este fenómeno tendo em

conta o ensaio de fluência à compressão realizado e descrito em Vieira et al [1].

( )

( ) (3.3)

Na Figura 3.6 é possível observar a boa correspondência da simulação da Lei da Dupla

Potência com os resultados experimentais obtidos para uma carga aplicada aos 7 dias de

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50

Ec(t

) (G

Pa)

Tempo (Dias)

Resultados Experimentais

Lei numérica adotada


ensaio. Apresenta-se também a título indicativo curvas de comportamento em fluência para

idades de carregamento distintas.

Figura 3.6 – Comparação dos resultados experimentais com a Lei da Dupla Potência adotada.

Os parâmetros adotados para a lei da Dupla Potência que permitiram otimizar a relação com

os resultados experimentais são os seguintes:

- = 0.85

- m = 0.20

- n = 0.15

Referir ainda que se estimou um valor para o coeficiente de dilatação térmico de T = 12×10-6

e um valor para o coeficiente de Poisson = 0.20. O valor da energia de fratura foi estimada

com base na metodologia proposta pelo MC2010 [15], tendo definido um valor de

Gf = 137Nm-1

. As deformações associadas à retração autogénea foram desprezadas para a

presente simulação numérica.

No Quadro 3.2 é feito um resumo dos parâmetros numéricos utilizados, quer para descrever o

material betão, quer para caracterizar as condições fronteira do modelo

termo-higro-mecânico.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00

Flu

ên

cia

Es

pe

cíf

ica

Tempo (Dias)

J 4.5

J 7

J 28

30 Capítulo 4

Quadro 3.2 – Parâmetros numéricos adotados no modelo termo-higro-mecânico

Parâmetro Numérico Valor

Condutividade Térmica - k 2.6 Wm-1

K-1

Calor Específico Betão - c 2400 Jm-3

K-1

Temperatura Exterior 20 ºC

CEM II 42,5 R 280 kgm-3

Expoente n – equação Kim et al. [5] 2

Coeficiente de emissividade - hm 4.8110-8

ms-1

Coeficiente difusão – D1 3.0810-10

m2s

-1

Valor de H para Dh=0.5D1 - Hc 80%

Quociente entre D1 e D0 - αh 0.0967

Humidade Exterior 60%

Coeficiente Dilatação Térmico - αc 10 µSºC-1

Tensão Resistência à Tração – fctm 2.60 MPa

Energia de Fratura – Gf 137 Nm-1

Coeficiente Poisson - 0.2

Parâmetros Lei Dupla Potência

E0 32 GPa

t’ 28.82 Dias

1 0.85

m 0.2

n 0.15

Parâmetros Lei Evolução Módulo Elasticidade Ec(t)

Módulo de Elasticidade Secante do Betão - Ecm 32 GPa

S 0.47


3.4 Incrementos de tempo considerado

Nas simulações numéricas realizadas optou-se por uma discretização temporal que foi

suficientemente reduzida para não afetar a qualidade dos resultados obtidos, adotando-se

inicialmente 40 incrementos de 3600s, seguidos de 20 incrementos de 14400s, 20 de 57600s,

30 de 86400s e 76 de 345600s.

4. RESULTADOS DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA E VALIDAÇÃO

4.1 Comparação perfis de humidade

Inicialmente foi verificado o desempenho do modelo de simulação 3D dos perfis de

humidade, capaz de replicar os mesmos resultados do programa de simulação 1D através do

qual tinham sido obtidos os parâmetros de simulação. Tendo o modelo 3D um fluxo 1D de

humidade, seria previsível que os resultados numéricos apresentassem igualmente um

comportamento semelhante, mas uma vez que o objetivo é validar este novo modelo,

apresenta-se de seguida a comparação dos resultados experimentais com os resultados

numéricos – ver Figura 4.1, Figura 4.2 e Figura 4.3.

34 Capítulo 4

Figura 4.1 – Resultados do perfil de humidade da simulação numérica para provete de 10x10x40 na

câmara climática de T=20ºC e HR=60%.

Figura 4.2 – Resultados do perfil de humidade da simulação numérica para provete de 15x15x60cm3 na


60

65

70

75

80

85

90

95

100

0 50 100 150 200 250 300 350 400

HR

(%

)

t (Dias)

RH 2cm

RH 5cm

60

65

70

75

80

85

90

95

100

0 50 100 150 200 250 300 350 400

HR

(%

)

t (Dias)

RH 2cm

RH 7.5cm

1.68cm Modelo3D


Figura 4.3 – Resultados do perfil de humidade da simulação numérica para provete de 20x20x60cm3 na


Conforme se pode observar nas Figura 4.1 e Figura 4.2 não é possível comparar os resultados

numéricos com os resultados experimentais associados à profundidade de 4cm, devido à

discretização da malha de EFs que não apresenta nós suficientemente próximos. A obtenção

dos resultados seria possível por interpolação, mas não foi considerada necessária, dado o

sucesso dos restantes pontos de comparação. Na Figura 4.3 esta comparação já é possível uma

vez que a geometria da malha associada já o permitia, dentro de uma tolerância considerada

aceitável (inferior a 1cm). Nos três casos é possível observar que os resultados numéricos

captam adequadamente a tendência dos resultados experimentais.

Apresenta-se ainda, de forma a demonstrar as potencialidades do modelo desenvolvido, a

evolução da humidade em formato 3D na peça de betão, nomeadamente os perfis de

humidade associados às fronteiras do provete, zonas em que o gradiente é mais acentuado –

ver Figura 4.4 à Figura 4.7.

60

65

70

75

80

85

90

95

100

0 50 100 150 200 250 300 350 400

HR

(%

)

t (Dias)

RH 2cm RH 4cm

RH 10cm 2.23cm Modelo 3D

3.85 Modelo 3D 10cm Modelo 3D

36 Capítulo 4

Figura 4.4 – Perfil humidade provete 10x10x40cm3 aos 7 dias de ensaio.





4.2 Comparação das extensões monitorizadas com as calculadas

Com base nos resultados da análise mecânica dos provetes, é possível proceder-se à validação

final, comparando-se as extensões de retração medidas com os sensores de cordas vibrantes

com os correspondentes valores do modelo numérico – ver Figura 4.8. Os resultados

numéricos são obtidos através do cálculo do deslocamento relativo entre dois nós da malha de

EFs, obtendo-se a respetiva extensão associada.

38 Capítulo 4


numéricos

Analisando genericamente os resultados, é possível observar que existe uma concordância

razoável dos resultados do provete 10x10x40cm3 e do provete 15x15x60cm

3 com os

resultados numéricos. No caso do provete 20x20x60cm3 os resultados numéricos apresentam

valores marcadamente distintos dos experimentais. No entanto, considera-se que a

semelhança de resultados experimentais entre os provetes 15x15x60cm3 e 20x20x60cm

3 não

faz sentido, apontando para problemas experimentais no caso do provete 20x20x60cm3. De

facto, não seria de esperar que a retração de secagem associada a estes dois provetes com

secção transversal distinta (15x15cm2 e 20x20cm

2) apresentasse extensões de secagem

semelhantes. Com efeito, a diferença de resultados observada na simulação numérica para

estes dois provetes é bastante mais plausível. De facto, muito provavelmente os resultados

associados ao provete 20x20x60cm3 poderão estar afetados por erro na medição associado a

algum problema laboratorial (por exemplo, o funcionamento do próprio sensor), ou então,

simplesmente relacionado com o posicionamento do sensor de corda vibrante.

Analisando em pormenor os resultados associados ao provete 10x10x40cm3 e 15x15x60cm

3 é

possível verificar que os valores calculados se apresentam ligeiramente desfasados dos

resultados experimentais, evoluindo no entanto com cinéticas bastante semelhantes. Uma

explicação para esta diferença, pode estar associado ao facto de aos 7 dias ainda não ter

ocorrido a totalidade da retração autogénea, que foi ignorada no modelo de simulação. Tal

simplificação de modelação conduz a uma potencial subestimação das extensões totais por

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

Exte

nsã

o (

mic

rost

an)

t (Dias)

Provete 10x10x40

Provete 15x15x60

Provete 20x20x60

10x10x40 Modelo 3D

15x15x60 Modelo 3D

20x20x60 Modelo 3D


parte do modelo numérico. Uma forma simples de diminuir o efeito da retração autógena nos

resultados reportados, é observar apenas as extensões que decorreram a partir de uma idade

mais adiantada, em correspondência com maior dissipação das extensões de retração

autogénea.

Apresenta-se na Figura 4.9 e Figura 4.10 os mesmos resultados, com uma inicialização das

extensões medidas e calculadas aos 20 dias de idade da experiência (correspondente a 27 dias

de maturação do betão).


numéricos com zero aos 20 dias de experiência – provete 101040cm3

0

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

Exte

nsã

o o

corr

ida

a p

arti

r d

os

20

dia

s d

e en

saio

(µ

S)

t (Dias)

Provete10x10x40

10x10x40Modelo 3D

40 Capítulo 4


numéricos com zero aos 20 dias de experiência– provete 151560cm3

Conforme se pode observar a semelhança entre os resultados experimentais, e os resultados

numéricos é notória, sendo os valores ao final de 340 dias de ensaio são praticamente

coincidentes. Note-se que a variação de extensão continua a ser bastante significativa, sendo

em ambos os casos superior a 250, algo que reforça ainda mais esta validação parcial do

modelo.

Por último, e de forma a evidenciar uma vez mais algumas das potencialidades do modelo,

não diretamente relacionadas com a componente higrométrica, apresenta-se na Figura 4.11 a

deformada global do provete para um instante correspondente aos 17 dias de ensaio (10 dias

após a exposição à secagem, com importantes gradientes de deformação). Nesta Figura, pode

observar-se a tendência de retração superior junto às superfícies do provete. Na Figura 4.12 é

ainda apresentado o padrão de fendilhação obtido numericamente, que é coerente com a

deformação espectável [26].

0

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

Exte

nsã

o o

corr

ida

a p

arti

r d

os

20

dia

s d

e en

saio

(µ

S)

t (Dias)

Provete15x15x60

15x15x60Modelo 3D


Figura 4.11 – Deformada do provete 10x10x40cm3 aos 17 dias de ensaio.

Figura 4.12 – Padrão de fendilhação do provete 10x10x40cm3 aos 17 dias de ensaio.

5. CONCLUSÃO

Pretendeu-se no presente relatório apresentar e validar o modelo termo-higro-mecânico

utilizado no âmbito da Tarefa 6 do projeto SeLCo.

Nesse sentido, elaborou-se inicialmente uma apresentação detalhada das formulações

matemáticas e a respetiva implementação numérica, quer do campo térmico, quer do campo

higrométrico.

Posteriormente efetuou-se uma comparação direta entre os resultados experimentais e os

resultados numéricos obtidos através do estudo de 3 provetes com geometrias distintas,

sujeitos ao mesmo tipo de condições ambientais em secagem. Foram realizadas com sucesso

duas validações diferentes: a primeira respeitante aos perfis de humidade; a segunda relativa à

validação das extensões de retração calculadas. Nesta segunda validação os resultados obtidos

foram bastante satisfatórios, tendo no entanto apresentado um ligeiro desvio para os primeiros

dias de ensaio após a descofragem dos provetes. No entanto, este desvio pôde ser justificado

de forma plausível pela simplificação de modelação efetuada ao ignorar os efeitos da retração

autogénea.

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Comportamento em serviço de estruturas de betão: uma abordagem multi-física das

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