modelo macroscópico para o transporte iônico passivo pela ... · m = e k, a corrente para....

5910187 – Biofísica II – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 13

1

Modelo Macroscópico para o Transporte Iônico Passivo pela Membrana

Celular

Como visto na aula 11, quando apenas uma espécie iônica pode fluir pela

membrana celular existe um valor de equilíbrio para o potencial de membrana (o

potencial de Nernst, En) tal que quando o potencial de membrana Vm tem esse

valor o fluxo dessa espécie iônica através da membrana se anula.

Um modelo simples para capturar este fenômeno, sem recorrer à teoria de

eletrodifusão e à equação de Nernst-Planck, consiste em assumir que a relação

entre a densidade de corrente Jn e o potencial de membrana Vm é linear, do tipo lei

de Ohm1:

Jn = gn (Vm −En ) , (1)

onde gn é a condutância da membrana à espécie iônica n por unidade de área

(pois Jn é uma medida por unidade de área). Se quisermos calcular a corrente total

passando pela membrana, teremos que multiplicar os dois lados da equação acima

pela área da superfície da membrana A.

Este modelo captura o fenômeno da existência de um potencial de equilíbrio dado

pelo potencial de Nernst. Para verificar isto, basta fazer Vm = En na equação

acima. O resultado é Jn = 0 como desejado.

1Para uma revisão sobre lei de Ohm, veja o apêndice desta aula.


2

Por outro lado, quando Vm ≠ En, a equação (1) implica que Jn varia linearmente

com a diferença entre Vm e En.

Além de sua simplicidade, este modelo permite representar a relação entre o

potencial de membrana Vm e a densidade de corrente Jn por um circuito elétrico

equivalente (veja a figura abaixo).

Observe a figura acima. No lado esquerdo temos um esquema para a membrana

celular mostrando a densidade de corrente que passa através dela, do lado de

dentro da célula para o lado de fora. No lado direito temos o modelo de circuito

equivalente que representa a membrana e a densidade de corrente do ponto de

vista elétrico.

A membrana oferece uma resistência à passagem de corrente através dela, que é

representada aqui pela condutância por unidade de área gn.


3

Existe uma diferença de potencial elétrico Vm entre o lado de dentro e o lado de

fora da membrana e a densidade de corrente Jn é proporcional à diferença entre

Vm e o potencial de Nernst En, de maneira que En pode ser representado por uma

bateria em série com a resistência gn.

Para entender melhor: Da figura acima, vemos que a variação de potencial entre o

lado de dentro e o lado de fora da membrana, Vm, é numericamente igual à soma

da variação de potencial pela resistência com a variação de potencial pela bateria

En. Chamando a resistência de R e omitindo o índice n para simplificar:

Vm = RI +E. Rearranjando:

RI =Vm −E⇒ I = 1RVm −E( ) =G Vm −E( ).

Dividindo pela área da superfície da membrana:

IA=GAVm −E( )⇒ J = g Vm −E( ).

A condutância de um canal iônico é uma quantidade positiva. Portanto, pela

equação (1):

se Vm −En > 0, então Jn > 0;

se Vm −En < 0, então Jn < 0.

Um transporte iônico que satisfaz essas condições é dito passivo, pois se origina

apenas da diferença de potencial entre os dois lados da membrana sem gastos

energéticos por parte da membrana.


4

As membranas celulares têm mecanismos para fazer com que íons passem através

dela no sentido contrário ao definido pela relação entre Vm e En acima. Esses

mecanismos requerem o gasto de energia por parte da membrana e o tipo de

transporte proporcionado por eles é chamado de ativo.

A convenção a ser adotada aqui para o sentido positivo de corrente através da

membrana celular (convenção dos eletrofisiologistas) é a de que corrente que sai

da célula é positiva e corrente que entra na célula é negativa. Como corrente

elétrica é definida como movimento de cargas positivas, corrente positiva através

da membrana corresponde a cargas positivas saindo da célula e corrente negativa

através da membrana corresponde a cargas positivas entrando na célula.

Por exemplo, suponha que os íons que fluem pela membrana são íons de potássio

(K+). A equação (1) fica então:

JK = gK (Vm −EK ). (2)

Se Vm −EK > 0, então JK > 0. Isto corresponde a:

• Corrente para fora da célula;

• Cargas positivas saindo da célula;

• Íons de potássio saindo da célula;

• Potencial dentro fica mais negativo em relação ao exterior (por causa da

saída das cargas positivas);

• Vm diminui (lembre-se que Vm = Vdentro − Vfora);

• Vm vai em direção a EK.


5

Tomando um exemplo concreto: Vamos supor que o potencial de Nernst do

potássio é EK = –75 mV e que o potencial de membrana é Vm = –70 mV. Note que

Vm −EK = −70 mV− (−75 mV) = 5 mV > 0. Se cargas positivas saem da célula, o

potencial dentro tende a ficar mais negativo, por exemplo indo a Vm = –72 mV,

que é mais próximo de EK. Quando Vm = EK, a corrente para.

Se Vm −EK < 0, então JK < 0. Isto corresponde a:

• Corrente para dentro da célula;

• Cargas positivas entrando da célula;

• Íons de potássio entrando na célula;

• Potencial dentro fica mais positivo em relação ao exterior (por causa da

entrada das cargas positivas);

• Vm aumenta;

• Vm vai em direção a EK.

Exemplo: EK = –75 mV e Vm = –80 mV, portanto

Vm −EK = −80 mV− (−75 mV) =− 5 mV < 0. Se cargas positivas entram na célula, o

potencial dentro tende a ficar mais positivo, por exemplo indo a Vm = –78 mV,

que é mais próximo de EK. Quando Vm = EK, a corrente para.

Podemos dizer que a corrente de potássio através da membrana é provocada pela

diferença Vm −EK (em inglês diz-se que Vm −EK é a driving force para a corrente).

O sentido da corrente é sempre tal que o potencial de membrana tende para o

valor do potencial de equilíbrio (Nernst) do íon.


6

Faça como exercício para casa o mesmo estudo acima considerando o íon de

sódio (Na+) e depois o íon de cloreto (Cl-). Use como valores de ENa e ECl os

valores da tabela da página 6 da aula 11. O resultado será o mesmo. O sentido da

corrente sempre será o de forçar o potencial de membrana Vm em direção ao

potencial de equilíbrio do íon.

Eletrodifusão Estacionária pela Membrana Celular

O modelo de circuito elétrico para um canal iônico apresentado acima pode ser

interpretado da seguinte maneira. Suponhamos que a membrana seja constituída

por uma matriz impermeável na qual existam canais (poros) cheios de água, pelos

quais os íons possam passar por eletrodifusão (figura abaixo).

O fluxo iônico por esse poro pode ser modelado pelas equações de eletrodifusão

vistas nas aulas passadas.


7

Para simplificar, vamos supor que a eletrodifusão é estacionária. Neste caso,

como visto na aula 12, a densidade Jn é constante e o problema de eletrodifusão é

descrito pelas equações (6) e (7) daquela aula, reproduzidas abaixo:

Jn = −unznF RT dcn (x)dx

+ znFcn (x)dV (x)dx

"

#$

%

&' , (3)

e,

ερ )()(

2

2 xdxxVd

−= . (4)

Como vamos considerar aqui a corrente (ou a densidade de corrente) por um

único canal da membrana, vamos usar um super-índice c (de canal) para indicar

isto. Então, a equação de Nernst-Planck para um único canal fica:

Jnc = −unznF RT dcn (x)

dx+ znFcn (x)

dV (x)dx

"

#$

%

&'. (5)

Multiplicando a equação (5) por A (a área da seção reta do canal), obtemos uma

expressão para a corrente passando pelo canal, Inc = AJn

c :

Inc = AJn

c = −unAznF RT dcn (x)dx

+ znFcn (x)dV (x)dx

"

#$

%

&' . (6)

Esta equação pode ser manipulada da seguinte maneira. Primeiramente, vamos

reescrevê-la como,

Inc = −unAzn

2F 2cn (x)RTznF

1cn (x)

dcn (x)dx

+dV (x)dx

"

#$

%

&' . (7)


8

Usando o fato de que

cdxd

dxdcc

ln1= ,

podemos escrever a equação (7) na forma (note que estamos apenas usando um

artifício matemático para transformar a equação em outra que possa ser mais

facilmente interpretada):

Inc = −unAzn

2F 2cn (x)ddx

RTznF

lncn (x)+V (x)"

#$

%

&'⇒

⇒Inc

unAzn2F 2cn (x)

dx = −d RTznF

lncn (x)+V (x)#

$%

&

'( . (8)

Integrando ambos os lados de x = 0 a x = d:

Inc

unAzn2F 2

dxcn (x)0

d

∫ = − d RTznF

lncn (x)+V (x)#

$%

&

'(

x=0

x=d

∫ ⇒

⇒Inc

unAzn2F 2

dxcn (x)0

d

∫ = −RTznF

lncn (x)+V (x)$

%&

'

()x=0

x=d

⇒

⇒Inc

unAzn2F 2

dxcn (x)0

d

∫ = −RTznF

lncn (d)− lncn (0)( )+ V (0)−V (d)( )⇒

⇒Inc

unAzn2F 2

dxcn (x)0

d

∫ = −RTznF

ln cn (d)cn (0)$

%&

'

()+Vm, (9)

onde se usou a definição de potencial de membrana: Vm = V(0) − V(d).


9

Lembrando que o potencial de Nernst do íon n é

En =RTznF

ln cn (d)cn (0)!

"#

$

%&,

podemos reescrever a equação (9) como:

Inc

unAzn2F 2

dxcn (x)0

d

∫ =Vm −En. (10)

Podemos isolar Inc no lado esquerdo da equação acima, obtendo:

Inc = γn Vm −En( ), (11)

onde definiu-se

γn =unAzn

2F 2

dxcn (x)0

d∫

. (12)

A grandeza γn definida por (12) é a condutância do canal aberto.

Portanto, no estado estacionário a equação de Nernst-Planck para um canal iônico

pode ser colocada numa forma similar à do modelo da equação (1). Para verificar

isto, basta dividir a equação (11) pela área da seção reta do canal iônico:

Jnc =

Inc

A=γnAVm −En( ) = gnc Vm −En( ). (13)


10

Nesta equação, Jnc é a densidade de corrente pelo canal iônico e gn

c é a

condutância do canal aberto dividida pela área de sua seção reta.

Como será visto mais para a frente neste curso, o transporte iônico passivo

através de membranas é feito por canais iônicos microscópicos. Porém, eles não

estão sempre abertos. Um canal pode estar aberto ou fechado para a passagem de

íons em função de fatores como o valor do potencial de membrana ou a ligação de

alguma molécula à membrana.

Em um dado instante de tempo um canal iônico pode estar aberto ou fechado (ele

não pode estar meio aberto ou meio fechado). Portanto, a corrente total através da

membrana num dado instante de tempo pode ser calculada multiplicando a

corrente por um canal, dada por (13), pelo número de canais abertos nesse

instante de tempo.

Como estamos estudando uma condição de estado estacionário, vamos supor que

o número de canais abertos não varia no tempo, ou seja, embora os canais estejam

se fechando e abrindo constantemente, a fração de canais abertos em relação ao

número total de canais da membrana permanece constante ao longo do tempo.

Esta fração pode ser entendida como a probabilidade p de que um canal esteja

aberto. Se N for o número de canais da espécie iônica n presentes na membrana,

pN dá o número de canais abertos (uma constante ao longo do tempo no regime

estacionário).


11

Então, a corrente iônica total da espécie n através da membrana é

In = pNInc = pNγn Vm −En( ). (14)

Em geral, é muito difícil determinar o número total de canais em uma membrana,

mas pode-se estimar a densidade ρ de canais por unidade de área da membrana.

Se A for a área total da superfície da membrana (não confundir com A, que é a

área da seção reta de um canal), o número total de canais da espécie iônica n pode

ser escrito como

N = ρA. (15)

Substituindo (15) na equação (14) obtemos:

In = pρAγn Vm −En( ) =Gn (Vm −En ). (16)

Nesta equação, Gn = pρAγn é a condutância da membrana à espécie iônica n no

estado estacionário. Em palavras:

Condutância Gn = condutância de um canal × número total de canais × fração do

número total de canais que estão abertos

A equação (16) nos dá a corrente total pela membrana. Para obter a densidade de

corrente total pela membrana temos que dividir a corrente total pela área A da

membrana. Fazendo isso, obtemos:

Jn =InA= pργn Vm −En( ) = gn (Vm −En ), (17)


12

onde definiu-se a densidade de condutância da membrana à espécie iônica n

como:

gn =Gn

A. (18)

Preste atenção na notação: estamos usando letras minúsculas para indicar

grandezas por unidade de área da membrana (ditas específicas) e letras

maiúsculas para indicar grandezas para toda a membrana.

Note que a equação (17) é idêntica à equação (1). Portanto, o modelo

desenvolvido nesta segunda parte da aula, baseado na equação de Nernst-Planck e

na hipótese de corrente estacionária pelos canais iônicos da membrana, reproduz a

equação macroscópica para a relação entre densidade de corrente e potencial de

membrana do modelo (ôhmico) de circuito elétrico equivalente usada na primeira

parte da aula.

Apêndice: Lei de Ohm e Condutividade Molar para Soluções Eletrolíticas

Consideremos um condutor cilíndrico de seção reta de área S.

Quando uma corrente flui pelo condutor, cargas se movem e existe um campo

elétrico em seu interior.


13

A corrente elétrica I é a quantidade de carga passando por um dado ponto do

condutor por unidade de tempo:

dtdQI = . (A1)

A unidade de I é o ampère = coulomb/segundo.

Para haver corrente ao longo do condutor deve haver um campo elétrico em seu

interior (sem campo elétrico as cargas se moveriam de forma aleatória em todas

as direções e o movimento médio seria nulo). Portanto, deve haver uma diferença

de potencial entre dois pontos do condutor.

Seja V = V(A) – V(B) a diferença de potencial entre as extremidades do condutor

(veja a figura abaixo).

A corrente I é uma função da voltagem: I = I(V). Na maioria dos casos, I é

simplesmente proporcional a V:


14

.GVRVI == (A2)

Esta é a lei de Ohm. A constante R é denominada resistência elétrica do condutor

(sua unidade é o ohm, Ω). A grandeza G = 1/R é denominada condutância

elétrica do condutor (sua unidade é o siemens, S). Por convenção, a direção

positiva de corrente elétrica é a que cargas positivas livres teriam se fossem

colocadas entre os dois polos da bateria, ou seja, do polo positivo para o negativo

(veja a figura acima).

Se o condutor tiver comprimento L e área de seção reta A, a sua resistência será

dada por,

,ALR ρ= (A3)

onde ρ é a resistividade elétrica do material de que é feito o condutor. A sua

unidade é Ωm. A inversa de ρ é a condutividade elétrica do material, denotada

por σ, com unidade S/m.

A condutividade σ e a resistividade ρ são propriedades materiais de uma dada

substância, que não dependem das dimensões do condutor.

Combinando as equações vistas, a lei de Ohm para o fio condutor fica:

V = RI = ρ LIA. (A4)


15

Lembrando que a densidade de corrente pelo condutor é

J = IA, (A5)

podemos escrever a lei de Ohm como:

V = ρLJ. (A6)

Isto implica que

J = 1ρVL=σ

VL. (A7)

Por outro lado, o campo elétrico e o potencial no interior do condutor estão

relacionados por:

E = − dVdx

= −V (B)−V (A)

L=VL. (A8)

Logo, podemos reescrever a lei de Ohm como:

J =σE. (A9)

Esta forma de escrever a lei de Ohm é muito útil, pois não envolve grandezas que

dependem da geometria do condutor.

No estudo de materiais que conduzem eletricidade, esses materiais são

caracterizados por sua resistividade ou condutividade. No caso de materiais

biológicos é mais comum eles serem caracterizados pela condutividade.


16

Porém, na teoria de eletrodifusão desenvolvida nas aulas passadas as equações

(por exemplo, a equação de Nernst-Planck) estão expressas em termos de

grandezas como concentração e mobilidade. O objetivo do resto deste apêndice

será relacionar essas grandezas com a condutividade do material, para obtermos

equações que possam ser aplicadas ao caso biológico.

Vamos considerar uma solução eletrolítica homogênea com concentração

uniforme do íon n. Neste caso, o gradiente de cn é nulo e o movimento iônico é

devido apenas ao campo elétrico presente. A equação de Nernst-Planck (equação

20 da aula 10) torna-se então:

Jn = −unzn2F 2cn

∂V∂x . (A10)

Lembrando da relação entre potencial elétrico e campo elétrico, esta equação

pode ser escrita como:

Jn = unzn2F 2cnE. (A11)

Comparando esta equação com a lei de Ohm (equação A9), podemos definir a

condutividade elétrica da n-ésima espécie iônica por

σ n = unzn2F 2cn. (A12)

Note que a condutividade depende da mobilidade do íon, da sua concentração e

da sua valência.


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Define-se a condutividade molar, Λn, por

2222 FzRTDFzu

c nn

nnn

nn ===Λ

σ, (A13)

onde se usou a relação de Einstein (equação 19 da aula 10, Dn = unRT), que

relaciona a mobilidade molar ao coeficiente de difusão da n-ésima espécie iônica.

Como medidas elétricas de condutividade são relativamente fáceis de serem

feitas, esta equação é muitas vezes usada para se determinar o coeficiente de

difusão de um íon.

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