modelo de amortecimento em roll para fpsos com bolinas...
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Modelo de Amortecimento em Roll para FPSOs com
Bolinas Estendidas
Fernanda Araújo
Rio de Janeiro
Setembro 2018
Projeto de Graduação apresentado ao
Curso de Engenharia Naval e Oceânica da
Escola Politécnica, Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do título
de Engenheiro.
Orientador: Prof. Antonio Carlos
Fernandes, PHD
ii
MODELO DE AMORTECIMENTO EM ROLL PARA FPSOS COM BOLINAS
ESTENDIDAS
Fernanda Araújo
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO
CURSO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA
POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO
PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU
DE ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO.
Examinado por:
_______________________________________
Prof. Antonio Carlos Fernandes, PhD
_______________________________________
Prof. Joel Sena Sales, D.SC
_______________________________________
Allan Carré de Oliveira, D.SC
_______________________________________
Peyman Asgari, M.SC
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
SETEMBRO DE 2018
iii
Araújo, Fernanda
Modelo de Amortecimento em Roll para FPSOs com
Bolinas Estendidas. (l) Fernanda Araújo – Rio de Janeiro:
UFRJ/Escola Politécnica, 2018.
viii, 105 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Antonio Carlos Fernandes
Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/ Curso de
Curso de Engenharia Naval e Oceânica, 2018.
Referências Bibliográficas: p. 78-83.
1. Análise não-linear. 2. Movimento em Roll de
FPSOs. 3. Amortecimento em Decaimento Livre.
I. Fernandes, Antonio Carlos. II. Universidade Federal do
Rio de Janeiro, Escola Politécnica; Curso de Engenharia
Naval e Oceânica. III. Título.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais por terem priorizado a educação acadêmica dos filhos,
fornecendo o incentivo e os recursos necessários à minha formação. Agradeço em
especial à tia Conceição, ex-professora, que diante da dificuldade financeira dos meus
pais encarregou-se de buscar bolsas de estudo e arcar com os cursos complementares.
Se hoje eu estou conquistando um diploma de engenharia em uma das melhores
universidades do país, eu devo sem dúvida a essas importantes pessoas que me
agraciaram com todo o apoio e incentivo.
Quero agradecer também aos amigos de graduação, companheiros durante os
momentos difíceis: Rodrigo Figueiredo Chapouto, Glauter Moreira Barbosa e Luanda
da Silva Barboza. Obrigada pela paciência, compreensão, pela companhia e pelas boas
risadas. Espero poder levar a amizade de vocês para o resto da vida.
À Laiz Campos, sem ela esse trabalho não seria finalizado, estou em dívida.
Minha gratidão à Flávia Rezende, exemplo de profissional e pessoa, que me orientou e
cedeu os dados utilizados dentro do JIP Roll Não linear.
Meus agradecimentos ao professor Tatalo, pela orientação e conhecimento
compartilhado e ao professor Sphaier pelas contribuições.
Pelo apoio, incentivo e aprendizado técnico, quero agradecer aos colegas do Bureau
Veritas: Cristiane Palhares, Caroline Almeida, Débora Ladeira e Martin Gundelach.
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Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.
MODELO DE AMORTECIMENTO EM ROLL PARA FPSOS COM BOLINAS
ESTENDIDAS
Fernanda Araújo
Setembro/2018
Orientador: Prof. Antonio Carlos Fernandes, PhD.
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
A predição confiável do amortecimento em roll durante o projeto de FPSOs é um
importante tema para a indústria de óleo e gás. Com o advento do uso das bolinas
estendidas, o tema tornou-se especialmente latente por conta da dificuldade dos
modelos tradicionais em abranger resultados para essa recente configuração. O
presente trabalho traz uma revisão bibliográfica dos estudos sobre o assunto e propõe
uma abordagem presente no trabalho de IKEDA (1978) através do modelo de
amortecimento cúbico como a melhor opção para modelar FPSOs com bolinas
estendidas. Resultados de testes de decaimento livre com modelos 2D e 3D, testes de
oscilação forçada e análises em CFD são usados para avaliar o modelo cúbico
embasado por experimentos de decaimento livre. Os resultados do novo modelo são
comparados com o modelo de IKEDA (1978). Além disso, o efeito memória relatado
em trabalhos anteriores é considerado no tratamento dos dados de decaimento livre. Ao
final, a adequação com o modelo de previsão semi empírico de IKEDA é verificada.
Palavras Chaves: Decaimento Livre; Decaimento em jogo; Amortecimento em Jogo;
Bolinas estendidas; Balanço Transversal.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Engineer.
ROLL DAMPING MODEL FOR FPSOS WITH LARGER –THAN-USUAL BILGE
KEELS
Fernanda Araújo
September/2018
Advisor: Prof. Antonio Carlos Fernandes, PhD.
Course: Naval and Ocean Engineering
A reliable prediction of roll damping during FPSO’s design is an important issue for
the Oil and Gas industries. With the advent of extended bilge keels the subject became
specially smoldering because of traditional models difficulties on provide results for
this modern configuration. The present work brings out a bibliographical revision of
the current studies about the subject and recovers an approach presented by IKEDA
(1978) through cubic damping model as a better option for modelling FPSOs with
larger-than-usual bilge keels. Results from free decay tests with 2D and 3D models,
forced roll tests and CFD analyses are used in order to assess IKEDA’s cubic model.
In addition, the memory effect pointed out by recent CFD works plays an important
role during free decay results treatment. At last, the adequacy with IKEDA (1978)
semi-empirical prediction model is verified.
Keywords: Free Decay; Roll Decay; Roll Damping; Extended Bilge Keels.
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Sumário
1 Introdução ..................................................................................................................... 1
1.1 Unidades tipo FPSO e o problema do movimento em roll ................................ 1
2 Objetivo ......................................................................................................................... 6
3 Revisão Bibliográfica .................................................................................................... 7
4 Teoria........................................................................................................................... 28
4.1 Hidrodinâmica do Roll ........................................................................................ 28
4.1.1 Equação do Movimento .............................................................................. 28
4.1.2 Modelo de Amortecimento.......................................................................... 30
4.1.3 Decaimento Livre ........................................................................................ 31
4.1.4 Amortecimento Equivalente ....................................................................... 33
5 Experimentos .............................................................................................................. 34
5.1 Testes no Laboratório de Ondas e Corrente – LOC ........................................ 34
5.1.1 Decaimento Livre ........................................................................................ 34
5.1.2 Definição do Centro de Roll ....................................................................... 36
5.1.3 Teste Oscilação Forçada no Ar ................................................................. 38
5.1.4 Teste Oscilação Forçada na Água ............................................................ 40
5.1.5 Coeficiente de Amortecimento em Oscilação Forçada ............................ 41
5.2 Testes no LABOCEANO .................................................................................... 47
6 Resultados .................................................................................................................. 48
6.1 Comparação entre Formulações do Fator de Amortecimento. ....................... 48
6.2 Comparação entre Amplitude Média Aritmética e Geométrica....................... 50
6.3 Resultados LOC .................................................................................................. 52
6.3.1 Cálculo do Fator de Amortecimento devido Radiação............................. 52
6.3.2 Decaimento Livre – Comprimento da Bolina e Período Fixos x Variação
do Calado .................................................................................................................... 52
6.3.3 Decaimento Livre – Comprimento da Bolina e Calado Fixos x Variação
do Período Natural ..................................................................................................... 58
6.3.4 Oscilação Forçada ...................................................................................... 63
6.4 Resultados LABOCEANO .................................................................................. 68
6.5 Comparação LOC x LABOCEANO ................................................................... 70
6.6 Comparação com Resultados CFD................................................................... 71
6.7 Comparação das Curvas de Decaimento ........................................................ 75
7 Conclusão ................................................................................................................... 76
viii
8 Referências ................................................................................................................. 78
9 Apêndice ..................................................................................................................... 84
9.1 Amortecimento em Função do Número de Keulegan-Carpenter ................... 84
9.2 Curvas de Histerese para Bolina de 1,20m ...................................................... 94
1
1 Introdução
1.1 Unidades tipo FPSO e o problema do movimento em roll
A exploração de petróleo offshore no Brasil consagrou o uso de unidades marítimas
do tipo FPSO (Floating, Production, Storage and Offloading). Um FPSO é uma
plataforma de produção de petróleo com forma semelhante a um navio petroleiro
convencional conforme Figura 1. O FPSO está ligado ao fundo marinho através de
um sistema de ancoragem responsável pela manutenção da posição da plataforma.
Na produção os risers (dutos) conectam a unidade FPSO ao arranjo submarino de
onde uma mistura de água, gás e óleo são retirados dos poços. A mistura é então
tratada na planta de processamento localizada no topside e a parcela de óleo
resultante é armazenada nos tanques a bordo até ser transferida para um navio
aliviador responsável por transportar a produção até as unidades de refino.
Figura 1 – FPSO Cidade de Itajaí com ancoragem tipo Spread Mooring. 1
As unidades tipo FPSO tem como vantagem a alta capacidade de armazenamento de
óleo. Esse tipo de unidade pode ser rapidamente implementado no campo de
produção e é até mesmo possível explorar a grandes distâncias da costa, onde a
construção de uma infraestrutura de oleodutos para escoamento da produção seria
inviável. Outra vantagem está na grande área de convés disponível, menos sensível
à movimentação de pesos quando comparada com uma unidade tipo
1 Disponível em http://tnpetroleo.com.br/noticia/fpso-cidade-de-itajai-mais-um-marco-de-seguranca/
Acessado em agosto 2018.
2
semissubmersível. Com os FPSOs foi possível ainda reduzir o custo de capital e
tempo de construção convertendo cascos de navios antigos. Essa opção foi
particularmente útil quando a IMO (International Maritime Organization) , através da
inclusão do Regulamento 13F ao Anexo 1 da MARPOL2 em 2003, estabeleceu a
obrigatoriedade do duplo fundo, fazendo o preço dos navios com casco singelo
caírem drasticamente.
Através da Petrobras, o país lidera o ranking de operação para esse tipo de unidade,
conforme pode ser visto na Figura 2 que ilustra o mapa da distribuição de FPSOs no
mundo segundo dados de 2016.
A presença de FPSOs convertidos significa que os cascos foram projetados
inicialmente para navegação e não para as condições estacionárias de exploração de
petróleo. Quando em navegação o navio pode optar por enfrentar as ondas pela
proa, mas a plataforma é estacionária e incapaz de evitar a incidência de ondas por
través. Ademais, enquanto navegando, existe um efeito de sustentação gerado que
minimiza os efeitos de roll nos navios.
Portanto, apesar das reconhecidas qualidades, um problema preocupante em relação
aos FPSOs diz respeito à movimentação excessiva em operação, especialmente, o
movimento em roll (jogo) excessivo, gerado principalmente pelas ondas de través. O
efeito desse movimento nos FPSOs possui as mais diversas implicações: prejudica o
conforto da tripulação a bordo; compromete o desempenho dos equipamentos da
planta de operação provocando até mesmo a interrupção das atividades de
exploração em condições críticas; induz movimento vertical excessivo nos conectores
dos risers; e impede o pouso e decolagem de helicópteros.
Alguns FPSOs possuem sistema de ancoragem por Turret, o que permite com que a
unidade se movimente para se adaptar às condições ambientais. Uma ilustração dos
dois sistemas é mostrada na Figura 3. Nele vemos que o sistema turret, figura 3a,
permite que o sistema rotacione em torno de um eixo fixo. Já no sistema Spread
Mooring vemos 4 grupo de linhas de ancoragem que fixam a posição da unidade à
vante e à ré. Ambos os sistemas estão sujeitos ao problema de movimentação
excessiva em roll: entretanto o sistema tipo spread mooring é menos suscetível por já
ser projetado alinhado com a direção mais crítica. Já o sistema tipo Turret, onde a
unidade pode ajustar o aproamento em função das condições ambientais, é mais
propícia a ter problemas em locais onde existe direcionalidade ambiental. Nesse
2 Convenção para Prevenção da Poluição por Navios de 1973 e modificada por Protocolo de 1978.
3
caso, as combinações de mar de vento e swell podem resultar em aproamento
propício ao roll.
Figura 2 – “Ranking” de empresas operadoras de FPSO. Retirado de OFFSHORE MAGAZINE (2016)
Figura 3 - Ilustração de sistemas de ancoragem tipo Turret (3a) e tipo Spread Mooring (3b). 3
A solução mais fácil e mais eficiente atualmente para minimizar o efeito do
movimento em roll é o uso de bolinas. As bolinas são placas de metal fixadas ao
longo da região do bojo da embarcação, em ambos os bordos, que amortecem o
movimento, conforme Figura 4. A adoção de bolina constitui prática já consagrada em
3 Figuras 3a e 3b, respectivamente, disponíveis em :
https://www.nov.com/Segments/Completion_and_Production_Solutions/Floating_Production_Systems/APL_MooMooM_and_Loading_Systems/Submerged_Turret_Production.aspx http://fukymarintech.weebly.com/permanent-mooring.html Acessado em agosto 2018.
3A 3B
4
embarcações e permaneceu nos FPSOs mesmo após a conversão do casco de
petroleiro. As bolinas que são utilizadas hoje nos FPSOs nova construção (“new
build”) são similares às utilizadas em navios exceto pelo tamanho. Como o
incremento da resistência ao avanço não é uma preocupação no caso de
plataformas, as bolinas utilizadas podem ser muito maiores do que o usual, a fim de
aumentar o amortecimento, podendo alcançar até quase 2 metros de extensão.
Figura 4 – Representação do casco de um FPSO com bolina estendida. Retirado de JAN VAN KAMPEN (2015).
Diferente dos demais movimentos como heave, pitch e yaw, o movimento em roll é
sensível aos efeitos da viscosidade do fluido. Além disso, a presença de bolinas
interfere fortemente nos resultados. Mas dado o impacto no comportamento da
unidade, uma previsão do amortecimento em roll precisa ser estabelecida ainda na
etapa preliminar de um projeto. Os métodos computacionais mais utilizados
atualmente tem por base a teoria potencial que, apesar de rápida e eficiente, falha no
tratamento da parcela viscosa do amortecimento em roll. Nesse caso, métodos de
previsão semi empírica são utilizados para calcular a parcela viscosa que deve ser
posteriormente inserida na abordagem potencial.
Demais alternativas no cálculo do amortecimento roll consistem em análises CFD ou
testes com modelos em tanques de provas. Os testes experimentais são o método
mais caro e também mais adequado às etapas avançadas de projeto. As análises
CFD, pela exigência computacional, são aplicáveis em estudos específicos. No caso
experimental do teste de decaimento, o modelo de ajuste usual consiste na
consideração do amortecimento não linear através de uma equação quadrática em
função da velocidade do movimento, chamado resumidamente de modelo quadrático.
Entretanto, trabalhos desenvolvidos por FERNANDES et al através da PETROBRAS
em parceria com a COPPE/UFRJ demonstraram que a presença de bolinas
estendidas interfere consideravelmente no mecanismo de amortecimento, com
5
resultados experimentais divergindo dos obtidos por abordagens baseadas na teoria
do navio e no modelo tradicional quadrático.
Conforme podemos observar na Figura 5, o coeficiente de amortecimento para
grandes amplitudes, aproximadamente ângulos maiores que 6 graus, deixa de
apresentar um comportamento linear. De fato, observa-se uma redução significativa
da taxa de incremento do amortecimento para grandes ângulos. Portanto, os
resultados experimentais levantam questões relacionadas ao mecanismo de
evolução do movimento em roll com presença de grandes bolinas; mecanismo ainda
não plenamente compreendido.
Figura 5 – Exemplo de divergência do modelo com bolinas estendidas em comparação com o modelo convencional, que será investigada no presente trabalho. Retirado de OLIVEIRA E FERNANDES
(2012).
Por exemplo, sabe-se que uma das principais consequências da utilização de bolinas
estendidas é a geração de vórtices de grandes magnitudes. No instante em que a
unidade inicia o movimento em roll ocorre a separação do escoamento e formação de
vórtice na extremidade da bolina. O vórtice altera a pressão no casco gerando o
amortecimento de pressão. Entretanto, dado o tamanho da bolina estendida, o
grande vórtice gerado continua interagindo com o meio fluido e alterando a pressão
do mesmo, um fenômeno complexo de mensurar.
A partir da necessidade investigativa, surge também a necessidade de modelos
adequados de previsão e ajuste desses resultados.
6
O objetivo do presente trabalho consiste em apresentar o modelo cúbico como uma
alternativa às limitações do modelo quadrático, em se tratando da estimativa de roll a
partir de testes experimentais. A próxima seção, seção 2, detalha melhor esse
objetivo.
2 Objetivo
O presente trabalho tem como objetivo apresentar o modelo cúbico, presente no
trabalho de IKEDA (1978) e na coletânea do estado da arte feita por HIMENO (1981),
como um modelo adequado para representar o amortecimento em roll de FPSOs com
bolinas estendidas. O modelo cúbico, apesar de conhecido, na sua forma original ele
foi pouco utilizado na literatura. Alguns autores como CARDO et al (1982), BASS E
HADDARA (1988) recorreram a modelos cúbicos, geralmente modelos lineares-
cúbicos, a fim de facilitar o cálculo matemático pela exclusão do termo com módulo
de velocidade presente no modelo quadrático tradicional. Sendo assim, apesar de
cúbicos, os modelos avaliados por esses autores não correspondem ao modelo
original de IKEDA (1978). A ideia do presente trabalho é recuperar o modelo cúbico,
conforme proposto por IKEDA (1978) e verificar se ele representa adequadamente a
taxa de redução do incremento do amortecimento para ângulos maiores do que
aproximadamente 6 graus, que aqui serão considerados “grandes” ângulos.
Além disso, a própria taxa de redução do incremento do amortecimento para
“grandes” ângulos será avaliada à luz de recentes estudos de CFD que indicam a
presença do efeito memória durante os testes de decaimento a partir do repouso.
Para o objetivo citado, os resultados de uma campanha de testes experimentais no
LOC e LABOCEANO e testes em CFD realizados com diferentes softwares por
empresas participantes do JIP Non Linear Roll foram utilizados.
O Capítulo 1 contém uma breve introdução do problema a ser abordado, ou seja, o
problema operacional provocado pelo roll em plataformas FPSO e a ausência de
referência e base teórica para o caso de FPSOs com bolinas estendidas ou maiores
do que o usual, além da aparente inadequação do tradicional modelo quadrático
advindo de William Froude.
O Capítulo 2 resume os objetivos do trabalho e a organização do mesmo.
7
O Capítulo 3 apresenta uma compilação histórica dos principais trabalhos
relacionados ao movimento em roll, especialmente os trabalhos que são a base para
o entendimento do movimento em roll em plataformas FPSO.
O Capítulo 4 ilustra a teoria matemática envolvida.
O Capítulo 5 descreve os experimentos realizados nos laboratórios LOC e
LABOEANO.
O Capítulo 6 apresenta os resultados dos testes de decaimento, oscilação forçada e
comparação com simulações numéricas realizadas externamente.
O Capítulo 7 apresenta as conclusões e conhecimentos adquiridos ao longo do
trabalho.
O Capítulo 8 contém as obras e trabalhos de referência consultados em ordem
alfabética.
O Capítulo 9 fornece gráficos adicionais dos resultados.
3 Revisão Bibliográfica
A história formal do estudo do movimento em roll começa com William FROUDE, que
no séc. XIX se debruçou na teoria matemática do assunto em seu primeiro trabalho
hidrodinâmico “On the Rolling of Ships” (FROUDE, 1861). FROUDE era engenheiro
civil por formação, mas sempre se interessou pelo tema do comportamento de
navios. A amizade com I.K. Brunel, famoso engenheiro construtor de ferrovias e
navios a vapor, apenas reforçou sua disposição e deu a devida oportunidade para
que FROUDE ingressasse no meio naval. De fato, FROUDE entrou para a história da
hidrodinâmica por conseguir relacionar a resistência de modelos em tanques de
prova com navios em escala real. Durante os testes ele observou que poderia obter a
equivalência da resistência residual entre modelo e protótipo se a relação das
velocidades sobre a raiz quadrada dos comprimentos, adotando modelo e protótipo
geometricamente semelhantes, fosse mantida constante; o que ficou conhecido como
a Lei da Similaridade de FROUDE (FROUDE, 1888).
Segundo BROWN (2006), a história do envolvimento de FROUDE com o movimento
em roll começa quando seu amigo Brunel fica a cargo do projeto de um novo navio
muito maior que os anteriores que havia projetado: o GREAT EASTERN. Com 210
metros de comprimento e capacidade para até 4000 passageiros, o navio seria a
8
tecnologia de ponta da época e Brunel estava preocupado que a diferente
distribuição de pesos pudesse interferir de maneira inesperada no comportamento ao
mar da embarcação. Foi então que Brunel encarregou FROUDE da tarefa de estudar
o movimento em roll nos navios.
Conforme BROWN (2006), continua descrevendo, o fenômeno era claramente
conhecido por parte dos marinheiros e engenheiros, mas parece não ter despertado
muito a atenção deles até o início do século XIX. O fato é que as formas dos cascos
e os tipos de carregamento eram similares de um navio para o outro, de modo que
não existia uma classe de navios que fosse consideravelmente superior ou inferior às
outras. As velas também funcionavam como dispositivos de minimização do roll, na
medida em que, ao mesmo tempo em que o navio era submetido ao movimento, a
velocidade do vento nas velas era alterada de modo a produzir um efeito de oposição
ao roll.
Até que em meados de 1830, um debate exaltado envolvendo o roll surgiu por conta
de William Symonds, novo Vistoriador da Marinha Inglesa. A princípio, o trabalho de
Symonds como Vistoriador era o de administrar os diques da Marinha e o programa
de construção de navios. Entretanto, graças ao título e a definição vaga que recebeu
sobre o limite de suas incumbências no cargo, Symonds começou a exercer sua
influência também no projeto dos navios. Tendo ascendido ao cargo mais por
indicação política do que por conhecimento técnico, Symonds forçou a Marinha a
adotar suas próprias concepções de projeto, apesar de suas ideias terem recebido
muita oposição.
Symonds aumentou as dimensões da boca, com o objetivo de aumentar a
estabilidade, e fez com que o fundo dos navios fosse mais parecido com o formato de
uma cunha em “V” – antes o formato em “U” era o usual – no intuito de ganhar
velocidade. A boca maior diminuiu a necessidade de lastro, permitiu aumentar a
potência das velas e do armamento devido à disponibilidade de espaço. Ocorre que
alguns de seus navios apresentaram, em operação, movimento em roll tão rápido,
acentuado e às vezes desigual, que não era possível atirar a partir dos mesmos. O
movimento em roll também aumentava o desgaste nos mastros.
Com isso a polêmica foi gerada e dada à presença de um pano de fundo político – já
que Symonds era do partido liberal – quando o partido conservador assumiu o
Conselho do Almirantado foram determinadas as “Esquadras Experimentais”. O
objetivo era comparar o desempenho dos navios de Symonds com o dos navios
tradicionais anteriores verificando, assim, o real impacto das modificações
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promovidas. Foram conduzidas 3 séries de experimentos em 1844, 1845 e 1846, com
os navios fazendo um bate e volta até predeterminado porto. De modo geral os
resultados foram inconclusivos devido à influência de fatores externos como a
habilidade do comandante e a preferência política que podia pender contra ou a favor
de Symonds, assim como fatores técnicos sobre como a carga foi armazenada. Ao
final o Conselho decidiu monitorar Symonds e impôs que ele fizesse alterações nos
seus projetos, o que Symonds não aceitou e o levou a pedir demissão do cargo.
Figura 6 – HMS Vanguard em 1837, o primeiro da série de 11 navios projetados por W. Symonds, exemplo de antigo problema operacional causado pelo movimento em roll.4
A partir do caso Symonds, podemos supor que ainda que a física do movimento em
roll fosse mais ou menos compreendida, a falta do domínio matemático era um
obstáculo na abordagem do problema. Sendo assim desde que fossem mantidas as
devidas proporções entre dimensões e forma – e ninguém ousasse fazer
modificações inadvertidas como as de Symonds - o problema do movimento em roll
não despertava atenção e era tido como um fato inerente da vida ao mar no qual era
inútil perder tempo porque nada poderia ser feito. Porém, isso era um claro limitador
de projeto. Por conseguinte, através do contexto histórico aqui exposto, é possível
entender a preocupação de Brunel com seu projeto e o tamanho da responsabilidade
que depositou sobre FROUDE.
4Disponível em
https://en.wikipedia.org/wiki/HMS_Vanguard_(1835)#/media/File:H.M.S._Vanguard_in_Malta_Harbour_1837._(SShow_Medea_and_Barham)_RMG_PY0859.jpg Acessado em agosto de 2018
10
E, realmente, os poucos trabalhos sérios sobre o assunto só foram escritos um
século antes do trabalho de FROUDE e muitos consideravam o movimento em roll
sem ondas, sem resistência significativa ao movimento. Segundo BROW (2006),
apenas dois homens atacaram o problema com ondas antes de FROUDE: DANIEL
BERNOULLI e DON GEORGE JUAN, mesmo assim, as simplificações que usaram
resultaram em conclusões incorretas. Surpreendentemente, FROUDE demonstra não
ter conhecimento prévio de desses trabalhos.
O que intrigava particularmente FROUDE era o aspecto de ressonância que ele
observava no fenômeno do movimento em roll. Conforme suas próprias palavras, em
uma tradução livre: “A característica mais notável no movimento de um navio em roll
e que sempre me pareceu ser especialmente típico das leis da dinâmica às quais é
necessário referenciar, é o gradual acúmulo do ângulo durante muitos sucessivos
ciclos, a ação cumulativa, portanto crescendo até um máximo e então cessando
através de gradações similares, até o momento em que o navio permanece por um
momento estável; quando uma série praticamente similar de excursões começa e é
reproduzida: com relação à pausa momentânea, ou suspensão do movimento,
parece claro para mim que ocorre não porque as ondas cessaram, ou cessaram de
agir, mas porque a última oscilação termina no momento em que o navio e as ondas
calham de ocupar, relativamente, uma posição de equilíbrio momentâneo.” FROUDE
(1861).
Figura 7 – Ilustração do fenômeno da ressonância presente no roll (FROUDE, 1861).
11
FROUDE segue relatando a dificuldade em estabelecer leis empíricas a partir do
navio em movimento em águas calmas que possam ser transportadas para o caso
em ondas. Por isso, ele começa adotando um modelo matemático e estabelecendo
simplificações como: associar o movimento do navio com o de um pêndulo isócrono,
assumir a onda como função senoidal e assumir a validade das equações para
ângulos de roll até 8 a 10 graus. Com relação à forma, conforme observa OLIVEIRA
(2011), FROUDE acertou na escolha de formas bem arredondadas que dissipam
pouca energia e são apropriadas para o objeto de estudo.
A associação com o pêndulo foi muito útil porque ele pôde relacionar o movimento do
navio através apenas do seu período natural. E assim, apesar da estabilidade do
navio depender de fatores muito variáveis como posição do centro de gravidade e o
metacentro, que depende da área submersa; estando a distância entre esses
mesmos fatores - a altura metacêntrica (GM) - inserida dentro da formula do período
natural, seria possível generalizar e dizer que dois navios com distribuição de pesos
diferentes, mas de mesmo período natural, reagem da mesma maneira em roll
quando submetidos ás mesmas ondas. Isso facilitou bastante o problema e permitiu
que FROUDE fizesse comparações diretas entre o período natural dos navios e o
período das ondas, Figura 7. Foi assim que o mesmo identificou o fenômeno da
ressonância como causa das ocorrências mais alarmantes de movimento em roll.
FROUDE concluiu que navios com período natural mais longo estariam menos
sujeitos ao movimento ao roll, dado que ondas com comprimentos maiores são
menos comuns. Mais importante; nos navios “duros” com excesso de estabilidade
como os de Symonds, o problema maior podia não ser necessariamente a amplitude
de roll, mas sim a aceleração do movimento, que desorientava os tripulantes.
Com relação à “força de resistência” ao movimento, FROUDE diz que ela é função do
quadrado da velocidade, o decaimento sendo função parabólica da amplitude média
de oscilação, o que ele exemplificou na Figura 8. Isso estabeleceu a base do modelo
quadrático não linear de amortecimento que é utilizado até hoje. O trabalho de
FROUDE foi o mais “matemático” apresentado durante a primeira década de
existência do Instituto de Arquitetos Navais (INA), hoje RINA; e isso foi possível
graças à parceria com William Bell, que desenvolveu boa parte do tratamento
matemático do roll. Os detalhes de sua teoria são apresentados na Seção 4.
12
Figura 8 – Decréscimo da amplitude do movimento devido à “força de resistência” e sua representação gráfica através de função quadrática, (FROUDE, 1861).
Ainda assim, a formulação inicial de FROUDE subestimava o valor do amortecimento
e ele posteriormente adicionou uma parcela linear em consideração à radiação de
ondas (FROUDE, 1872). Os trabalhos de FROUDE continuaram através do
desenvolvimento de um método gráfico (FROUDE, 1875) para análise dos dados de
decaimento, onde o ângulo máximo alcançado em cada ciclo é plotado em função do
tempo, o que ele chamou de “curva de extinção”. Com algum desenvolvimento
matemático, chega-se a uma equação diferencial em que a taxa de redução do roll é
expressa através de uma integral da “força de resistência” e da geometria do navio
que pode ser resolvida graficamente.
FROUDE foi um dos primeiros, senão o primeiro, a defender a utilização de bolinas
como instrumentos de minimização do roll. Com o passar dos anos, a influência da
bolina no amortecimento também entrou em discussão. O trabalho de BRYAN (1900)
tenta provar a vantagem de um navio com bolinas em relação a um mesmo navio
desprovido das mesmas. Ele atribui isso ao efeito de separação do escoamento, que
é parcela responsável pela maior dissipação de energia, muito mais do que a
radiação e a viscosidade. A separação do escoamento ocorre devido à extremidade
da bolina, “dividindo o movimento do fluido em duas partes por uma superfície de
descontinuidade lançada a partir da extremidade”, os vórtices. BRYAN admite a
13
importância da formação de ondas, mas de uma forma secundária, tanto pelas ondas
modificando o efeito de separação do escoamento quanto pelas bolinas influenciando
e maximizando a absorção de energia pelas ondas. Assim, a presença das bolinas
contribui para o amortecimento não só como placas planas oferecendo resistência ao
movimento, mas também indiretamente através da influencia sobre os campos de
pressão no fluido. BRYAN avaliou, então, o escoamento considerando diferentes
seções de navio.
GAWN (1940) realiza comparações entre testes com modelos e navios e conclui que
amortecimento com bolinas corresponde a 80% do amortecimento total e que
qualquer efeito de escala é mais importante quando relacionado às forças na bolina.
Ele também chama a atenção para o efeito dos apêndices e da profundidade da água
no amortecimento.
TANAKA (1960) realizou experimentos sistemáticos com modelos de seção 2D no
intuito de investigar o amortecimento devido à separação do escoamento. Ele
descobriu que essa parcela de amortecimento em seção retangular é tão significativa
quanto a resistência devida às bolinas e ela diminui rapidamente conforme o raio de
bojo aumenta.
HIMENO (1981) foi quem reuniu e divulgou em inglês a pesquisa sobre roll realizada
por pesquisadores japoneses. O mais importante desses pesquisadores foi o IKEDA.
IKEDA (1978) fez o trabalho mais importante depois de FROUDE (1861). Ele definiu
o amortecimento em função dos diferentes fenômenos ocorrendo no fluido: fricção
(BF), separação (BE), sustentação (BL), amortecimento de onda para o casco (BW),
amortecimento devido à força normal nas bolinas (BBKN), amortecimento devido à
mudança no campo de pressão no casco causada pelas bolinas (BBKH) e
amortecimento de onda devido às bolinas (BBKW). O efeito dos apêndices, exceto
pelas bolinas e pelo leme, não é considerado.
𝐵𝑒 = 𝐵𝐹 + 𝐵𝐸 + 𝐵𝐿 + 𝐵𝑤 + 𝐵𝐵𝐾𝑁 + 𝐵𝐵𝐾𝐻 + 𝐵𝐵𝐾𝑊
BF - Termo relativo à perda de energia por fricção do casco. Pode sofrer influência da
presença de ondas e bolinas. Termo quadrático, mas não é dos mais significativos no
amortecimento total.
BE – Parcela quadrática relativa à separação do escoamento, geração de vórtices e a
influência na distribuição de pressão no meio fluido próximo à embarcação. Exclui o
14
efeito das ondas e das bolinas. Típico de movimento em roll com velocidade de
avanço do navio nula.
BL – Parcela linear referente ao efeito de sustentação gerado pelo próprio movimento
do roll associado a uma velocidade de avanço. O termo mais difícil de medir
experimentalmente.
BW – Parcela referente à dissipação de energia através das ondas geradas pelo
movimento. Inclui a interação das ondas com vórtices e ondas com efeito de
sustentação, mas como essas interações são pequenas, é assumido que o termo é
praticamente linear.
Os três termos restantes compõem os termos relativos à presença de bolinas no
casco (BBK):
𝐵𝐵𝐾 = 𝐵𝐵𝐾𝑁 + 𝐵𝐵𝐾𝐻 + 𝐵𝐵𝐾𝑊
BBKN – Termo quadrático referente às forças normais atuando na bolina.
BBKH – Corresponde à mudança de pressão no fluido ao redor do casco devido à
presença das bolinas. Termo quadrático. Na Figura 9, de acordo com os
experimentos de IKEDA et al (1977), podemos observar um coeficiente de pressão
positivo na dianteira da bolina, na região não afetada pelo deslocamento provocado
pelo movimento da bolina. Já na região pós-bolina existe um valor de coeficiente de
pressão negativo, influenciado pelo período de oscilação. A combinação disso gera
uma resistência contra o sentido do movimento do roll. Esse termo tem relação com o
termo BE, e o tratamento em separado visa isolar a parcela relativa à bolina.
BBKW – Termo linear relativo ao amortecimento de onda causado pelas bolinas. Como
os dois termos anteriores não abrangem a relação com superfície livre, esse termo
entra para contabilizar a interação do casco com bolinas e as ondas.
15
Figura 9 – Distribuição de pressão no casco induzida pela bolina (HIMENO, 1981)
Segundo HIMENO (1981), é difícil responder qual componente é mais importante no
amortecimento porque, com exceção de BF e BBKW, os termos possuem mesma
ordem de magnitude para formas de casco ordinárias. A subdivisão das componentes
foi baseada em um ponto de vista hidrodinâmico que permitisse a medição prática
durante a realização dos experimentos. Não à toa, essa abordagem é a
recomendada pela ITTC (International Towing Tank Conference). Ainda assim,
distinguir amortecimento linear do não linear pode ser difícil em um estágio inicial. É
claro que amortecimentos não viscosos, como BL e BW podem ser tidos como linear,
mas também algumas partes dos termos BF e BBK podem ser lineares devido à
dependência como o número de Reynolds ou número de Keulegan-Carpenter. A
Figura 10 ilustra a participação de cada componente do amortecimento em função da
velocidade. No caso de velocidade nula, que é o interesse desse trabalho, as
parcelas BE e BBKH são preponderantes.
HIMENO (1981) reuniu as pesquisas realizadas até aquele momento, incluindo o
importante trabalho de IKEDA (1978) e os demais trabalhos sobre cada uma das
componentes do amortecimento em roll. Com isso, formou-se uma base de dados
experimentais e fórmulas derivadas para previsão de cada efeito. Os métodos de
previsão para cada componente do amortecimento foram publicados por IKEDA,
HIMENO, TANAKA e FUJIWARA e a abordagem ficou conhecida como método de
IKEDA (1978) ou método ITH (IKEDA, TANAKA e HIMENO).
16
Figura 10 – Componentes do roll em função da velocidade de avanço (HIMENO, 1981).
Esse método é muito útil porque ele aliou o conhecimento teórico, até onde foi
possível, com abordagens empíricas. Entretanto ele sempre esteve sujeito à base de
dados dos navios da época, e o método foi sofrendo modificações ao longo do tempo
para se adequar. Em IKEDA (1993), o autor confirmou que o método original
subestimava o amortecimento em um modelo de barcaça com fundo muito plano,
Figura 11, propondo então uma fórmula simplificada para previsão da componente de
separação do escoamento própria para esse caso em específico. Ainda assim, pode-
se observar que o método corrigido é válido apenas para amplitudes de roll de até 5
graus, acima disso os valores de amortecimento são superestimados. Em IKEDA
(1994) o método foi modificado para levar em conta a exata seção transversal e
localização da bolina, ao invés de assumir uma seção simples retangular simplificada.
Isso foi útil para navios de forma mais delgada. Em IKEDA (2004), o autor avaliou o
tamanho ótimo e localização ideal das bolinas. Em KAWAHARA et al (2008) e
KAWAHARA et al (2010) os autores definem um método simplificado, baseado no
original, a fim de facilitar o uso na etapa inicial de projeto.
17
Figura 11 – Comparação entre amortecimento medido e previsto para um modelo de barcaça (IKEDA, 2004).
Ao invés de utilizar um método de faixa, os coeficientes de forma são determinados
através de aproximações polinomiais em função das dimensões principais. Em
contrapartida, o método está limitado à determinada faixa de navios e não se aplica
àqueles com período natural longo.
Paralelamente, CARDO et al (1982) trabalharam na investigação dos modelos
matemáticos de previsão do roll. Ele ressalta a problemática de transportar o que se
sabe sobre o roll, a teoria e as observações experimentais, para um modelo
matemático que é incompleto e baseado em hipóteses empíricas nem sempre
verificadas. Ele compara a adequação dos modelos quadrático e cúbico em ensaios
de decaimento livre e oscilação forçada. O modelo cúbico foi introduzido por
HADDARA (1971) a fim de superar dificuldades analíticas. No caso do decaimento
livre, ambos os modelos geram curvas de extinção que se adequam bem aos dados
experimentais, conforme verificado anteriormente por DAZELL (1978), mas os
coeficientes de amortecimento, especialmente a parte não linear, diferem entre si.
Isso tem um impacto na determinação do roll máximo em oscilação forçada. Ainda
que o modelo mais realístico possa ser identificado através da comparação com
testes com modelos, resta o problema de que não é possível diferenciar os valores
dos coeficientes da equação do amortecimento na resposta final.
18
Ainda com relação aos coeficientes de amortecimento, CARDO et al (1982) cita
alguns trabalhos anteriores que identificaram que esses coeficientes podem variar
significativamente em função da amplitude de oscilação (BLAGOVESHCHENSKY,
1962; BHATTACHARYYA, 1978; ABICHT, 1975; KERWIN, 1955; DALZELL, 1978).
BASS E HADDARA (1988) também avalia modelos de amortecimento e ressalta que
a seleção do mais adequado não deve ser feita com base no ajuste preciso dos
dados experimentas, mas sim o quão precisa é a previsão que ele fornece fora da
faixa de dados disponíveis. Importante observar que dos modelos cúbicos testados
por CARDO et al (1982) e BASS E HADDARA (1988) , nenhum corresponde
exatamente ao modelo cúbico original de IKEDA (1978).
Com relação aos métodos de avaliação da curva de decaimento, BASS E HADDARA
(1988) desenvolvem então, uma técnica de análise dos dados de decaimento que
utiliza a curva toda e não só os picos; além de que, por ser baseada no método da
energia, a técnica seria melhor para tratar do movimento em roll com maior amplitude
e na consideração do momento de amortecimento dependente do ângulo.
CONTENTO et al (1995), realizando testes com modelos de navio Ro-Ro, identificou
uma dependência dos coeficientes de amortecimento com a frequência para grandes
amplitudes de roll e tentou introduzir a dependência com frequência / inclinação de
onda nas equações. CHAN et al (1995) reconhece que o momento de restauração
em roll pode ser fortemente não linear. Os autores, então, desenvolveram um método
assintótico a fim de tratar esses casos.
Segundo OLIVEIRA (2011), um conhecimento acumulado sobre o movimento em roll
foi empregado quando as primeiras unidades de navio de casco singelo foram
convertidas para FPSO. O problema ficou evidente nos casos de unidades tipo
“Turret” em locais onde o efeito de swell é considerável e está dissociado das
condições de mar local, como na costa brasileira e australiana, conforme ilustra a
Figura 12.
19
Figura 12 – Gráfico que mostra a frequência (%) em função do aproamento relativo à plataforma para diferentes condições ambientais (SOFEC, 2010).
No Brasil o problema começou a ser estudado pela PETROBRAS em parceria com
institutos de pesquisa como a COPEE/UFRJ e o IPT. Em FERNANDES E MASETTI
(1998) foi proposto o uso de bolinas estendidas, ou bolinas Ad Hoc (Patente INPI PI
9800843-9) maiores que as convencionais de navios a fim de minimizar o movimento
em roll em plataformas FPSO. Vale lembrar que a solução foi aplicada nos novos
projetos de FPSO. No caso de plataformas já em operação, OLIVEIRA (2011)
ressalta que não existe solução fácil que não prejudique a produção de petróleo.
Em SOUZA et al (1998) um estudo experimental e numérico foi conduzido a fim de
mensurar a resposta considerando esse novo tipo de bolina. Os testes de decaimento
apresentaram um resultado dispersivo quando o amortecimento foi calculado a partir
de uma abordagem tradicional por ciclo (valores de picos consecutivos), de acordo
com Figura 13. Eles observaram que a não linearidade é maior nos primeiros ciclos,
onde existem os ângulos maiores de oscilação. Em compensação, o amortecimento
nos últimos ciclos é menor. Eles então adotaram uma nova abordagem, baseada em
n ciclos, a fim de levar em conta o histórico da dissipação de energia. Basicamente,
um componente linear do amortecimento é estimado nos últimos ciclos, com
pequenos ângulos, e outro componente de amortecimento é obtido para os primeiros
ciclos, com grandes ângulos. A quantidade de ciclos a serem considerados em cada
caso é feita através de uma avaliação dos valores de componente calculados para n
20
ciclos, Figura 14. Através dessa estratégia, o modelo quadrático ainda seria capaz de
reproduzir o comportamento dos testes de decaimento. A efetividade do uso de
bolinas estendidas ficou comprovado em um incremento de mais 100% do
amortecimento no caso do teste com modelo em condição de carregamento cheio.
Resultados positivos sobre a eficácia também foram obtidos por FERRARI JR E
FERREIRA (2002).
Figura 13 – Valores de Zeta (amortecimento crítico) em função de 𝟏𝟔
𝟑
𝜽
𝑻𝒏 . Os valores foram obtidos
através do teste de decaimento utilizando o método convencional de calcular o valor entre picos SOUZA et al (1998).
O trabalho continuou em FERNANDES et al (2000) através do desenvolvimento do
modelo bilinear. Ela surgiu porque as abordagens quadrática e cúbica não foram
consideradas satisfatórias no ajuste de parte dos resultados. O modelo consistia na
consideração de dois regimes de amortecimento, ângulos maiores (LARGE) e
ângulos menores (SMALL) e um ângulo de transição (𝜃𝑇). O que se sabe hoje, e que
será abordado novamente ao longo do trabalho, é que o regime de grandes ângulos
do modelo bilinear onde se observa o amortecimento reduzido inclui os primeiros
ciclos do teste de decaimento livre. E no primeiro ciclo existe o efeito memória,
porque o modelo é solto da posição de repouso e a geração e interação entre os
vórtices que contribuem para o amortecimento não tem tempo de se desenvolverem,
o que explica o subamortecimento. Esse fenômeno tem a ver com a forma com que o
teste é realizado e não com a situação real do FPSO no mar. Conforme a
consideração do efeito memória foi sendo levantada em estudos posteriores, ela
21
acabou por invalidar o modelo bilinear e sua versão aperfeiçoada, o modelo
hiperbólico. Ainda assim, ambos os modelos são tratados nessa bibliografia pela
importância na evolução do pensamento sobre o roll em FPSOs.
OLIVEIRA (2003) realizou testes sistemáticos de validação do modelo bilinear e
investigou a formação e influência dos vórtices no amortecimento. O autor observou
que na condição LARGE, sujeita ao efeito memória, quando o movimento em roll
ganha velocidade, ocorre o desprendimento de um vórtice. Com o aumento da
velocidade, o vórtice cresce de tamanho até que o fundo da embarcação sinta seu
efeito. O fundo da embarcação age como um espelho, aumentando a velocidade do
escoamento e mantendo o vórtice “preso” ao fundo, alterando a distribuição de
pressão, gerando um momento de origem viscosa que aumenta a inércia e o
amortecimento da plataforma. O vórtice continua atraído ao fundo até a velocidade
mudar de sentido. Ocorre então que o vórtice é expelido, efeito sling, e o fenômeno
recomeça no outro bordo, no que o autor chama de efeito atração-lavagem ou
“attached-washed vortex effect”, Figura 16, bem ilustrado no trabalho de PINHEIRO
(2003).
Figura 14 – Comportamento de Zeta (amortecimento crítico) em função da seleção do número de ciclos SOUZA et al (1998).
No regime SMALL o vórtice gerado pela bolina não é de intensidade suficiente para
ser desprendido naturalmente e, portanto, não é atraído pelo fundo, ficando próximo
a bolina. Quando a rotação muda de sentido um novo vórtice em sentido contrário é
gerado e o penúltimo se afasta, Figura 17, formando uma esteira de vórtices,
22
chamada de fishtailing ou Fernandes and Oliveira Street. OLIVEIRA (2003)
desenvolveu um modelo de vórtices somados à função potencial de radiação advinda
do programa WAMIT, a fim de simular os resultados experimentais de PINHEIRO
(2003). No quesito visualização de escoamento, vale destacar o trabalho de ALOISIO
E FELICE (2006), onde ele registra o comportamento de evolução e liberação dos
vórtices provocados pela presença da bolina. VAN’T VEER et al (2011) desenvolveu
um interessante trabalho no entendimento da física do amortecimento através de
simulações CFD. Nele o autor observa que os testes de decaimento podem estar
sujeitos à um efeito memória do escoamento que pode alterar significativamente a
parcela quadrática do amortecimento quando uma análise por decremento
logarítmico é utilizada. JAN VAN KAMPEN (2015), também ressalta como sendo
importante o efeito memória, que são os efeitos gerados no fluido pelas velocidades
dos vórtices dos ciclos anteriores. A menos que o sistema esteja em um regime
permanente, o campo de velocidades no fluido e o próprio movimento em roll vão
depender de um ou mais ciclos anteriores. Isso foi confirmado também por
KATAYAMA (2010) e IKEDA (1988). SCHUTT (2013) mostrou que os resultados de
oscilações regulares não são diretamente aplicáveis às oscilações irregulares.
Com isso, SOARES (2013) associou a taxa de redução do amortecimento observado
nos resultados dos testes de decaimento com o efeito memória, devido à inexistência
de um “colchão” de vorticidade entre o casco e o vórtice principal sendo gerado. O
autor recomenda a exclusão do primeiro meio ciclo.
23
Figura 15 – Campo de velocidade ao redor da bolina no primeiro ciclo do teste de decaimento. Na figura superior o modelo foi solto a partir da posição de repouso, na figura inferior o modelo foi
solto após pré-oscilar. VAN’T VEER (2011).
Esse assunto é ressaltado porque através das referências é possível concluir que a
separação do escoamento e a consecutiva formação dos vórtices são parcela
dominante no amortecimento viscoso e isso é evidente no regime em grandes
ângulos.
24
Figura 16 – Visualização da “atração” e “lavagem” do vórtice no regime “LARGE”, PINHEIRO (2003).
25
Figura 17 – Visualização dos vórtices em regime “SMALL”, OLIVEIRA (2003).
A questão da física em grandes ângulos foi vista também por IKEDA (2004), quando
ajustou o seu método para barcaças e observou que para grandes ângulos, o método
superestimava o amortecimento, Figura 11. Ele atribuiu a divergência aos efeitos de
interação com a superfície, devido ao calado reduzido das barcaças e à possibilidade
de emersão do raio de bojo. Contudo, resultado similar foi obtido por OROZCO et al
(2002) quando realizou testes de decaimento livre em FPSOs com bolinas de até 1
metro, Figura 18. Observa-se uma grande dispersão dos valores de amortecimento e
a redução da taxa de incremento do amortecimento em grandes ângulos quando o
autor compara o resultado dos testes com o previsto pelo método de IKEDA.
Igualmente, o ajuste pelo método quadrático na obtenção dos coeficientes a partir
dos ensaios em decaimento também não se mostra adequado. OLIVEIRA E
FERNANDES (2009) propuseram uma mudança muito útil no tratamento dos dados
experimentais baseada em experiência anterior de SANTOS (2007). Ao invés de
tentar ajustar os dados através de um único ensaio de decaimento, realizar o ajuste
para um grupo de repetições do mesmo ensaio com o maior ângulo possível. A
Figura 19 ilustra que os métodos quadráticos estão longe de corresponder aos
regimes em pequenos e grandes ângulos, principalmente se incluírem os primeiros
ciclos, conforme circulado em vermelho. OLIVEIRA E FERNANDES (2009) citam a
possibilidade de aumentar o grau do polinômio, para um modelo cúbico talvez, mas
são reticentes quanto à correlação física.
26
Figura 18 – Coeficiente de amortecimento (em percentual do amortecimento crítico) obtido
para testes com modelos e pelo método de IKEDA para calado cheio (F) e em lastro (B), OROZCO et al (2002).
Figura 19 – Comparação grupo de dados de ensaio de decaimento e o ajuste pelos modelos quadráticos de Froude e Faltinsen. O modelo de Froude não considera os valores próximos de zero,
OLIVEIRA E FERNANDES (2009). O círculo em vermelho ressalta o que seriam os primeiros ciclos.
27
Os autores ressaltam que o fato do modelo quadrático não se adequar se deve ao
fato de que Froude havia previsto a sua utilização em ângulos até 10 graus. Adicionar
um grau a mais, não resolveria as discrepâncias físicas e a limitação da faixa de
ângulos permaneceria. Entretanto, o modelo cúbico nada mais é do que a expansão
em série potencial do termo de amortecimento e foi previsto por HIMENO (1981).
Adaptando o modelo bilinear a fim de capturar bem a transição entre regimes nos
ensaios de grupo, OLIVEIRA E FERNANDES (2009) propõem então o modelo função
tangente hiperbólico, com a adição de um coeficiente alfa (α) para representar a
inclinação da curva na região de transição. A formulação tende para o modelo bilinear
para valores muito altos de alfa e tende para o modelo linear simplesmente quando
alfa é igual à zero. Os coeficientes são, por fim, calculados através de um algoritmo
de Newton-Gauss, que ajusta os dados ao modelo. Entretanto, com a indicação de
outros trabalhos sobre a importância do efeito memória nos primeiros ciclos, isso
abre espaço para uma nova modelagem não linear dos resultados, já que a razão de
existência do modelo hiperbólico era justamente justificar a redução da taxa de
incremento do amortecimento nos maiores ângulos.
Figura 20 – Ajuste dos dados de amortecimento ao modelo hiperbólico, OLIVEIRA E FERNANDES (2009).
OLIVEIRA (2011) não só testou a aplicabilidade do modelo hiperbólico nas
campanhas de testes com LOC e LABOCEANO como também investigou uma série
de fenômenos, como: o patamar de amortecimento em grandes ângulos, a dispersão
28
dos resultados em pequenos ângulos, influência de parâmetros da bolina, superfície
livre e frequência natural do movimento. O autor identificou que o próprio tratamento
dos dados incorpora uma incerteza inversamente proporcional à amplitude, o que
dificulta a obtenção do valor de coeficiente linear.
Apesar de não ser o foco no presente trabalho, além dos métodos semi empíricos e
testes experimentais, outra linha de investigação do movimento em roll é o da
simulação numérica através de CFD. O uso do CFD em aplicações marítimas
cresceu no final da década de 60 com o surgimento do método de painel por HESS E
SMITH (1967) e o principal foco hoje é a resolução e aproximação das equações de
Navier-Stokes. As equações de Navier-Stokes incluem a parcela viscosa e a
vantagem é que computacionalmente é muito mais fácil testar diferentes
configurações e parâmetros. Destacam-se os trabalhos de Na et al (2002), YEUNG
(2002), KINNAS (2005), BRADDOCK et al (2005), WANDERLEY et al (2007) e o
próprio VAN’T VEER et al (2011) já citado anteriormente. Por outro lado, os modelos
CFD ainda necessitam de validação dos resultados.
O presente trabalho é baseado em nova campanha de testes com LOC e
LABOCEANO e simulações numéricas em CFD a fim de propor um modelo cúbico
para os dados de amortecimento que não se adequam ao tradicional modelo
quadrático.
4 Teoria
Esta seção apresenta a matemática envolvida no movimento em roll: equação básica
do movimento, modelo de amortecimento quadrático, modelo de amortecimento
cúbico e testes de decaimento.
4.1 Hidrodinâmica do Roll
4.1.1 Equação do Movimento
Para entender o amortecimento em roll é preciso conhecer as equações básicas que
descrevem o movimento de um navio. A equação básica aplicada ao movimento em
roll puro (desacoplado e com livre flutuação) é:
Equação 1
𝐴𝜙�̈� + 𝐵𝜙(�̇�) + 𝐶𝜙𝜙 = 𝑀𝜙(𝜔𝐸𝑡)
29
Onde:
𝐴𝜙 – Coeficiente de inércia
𝐵𝜙– Amortecimento
𝐶𝜙 – Momento de restauração
𝑀𝜙 – Momento externo de excitação por ondas
𝜔𝐸 – Frequência de excitação
𝑡 – Tempo
�̈�, �̇�, 𝜙– Aceleração, Velocidade angular e Deslocamento em roll, respectivamente.
Outros termos referentes ao momento externo podem ser adicionados no lado direito
da equação a fim de representar a presença de risers, ancoragem e dispositivos anti-
roll.
A massa adicional, o amortecimento e o momento de excitação de onda são
dependentes da frequência. Além disso, o momento de excitação do roll depende
também da direção de incidência.
O coeficiente de inércia é escrito como:
Equação 2
𝐴𝜙 = 𝐼 + 𝑎𝜙𝜙
𝐼 – Momento de inércia de massa
𝑎𝜙𝜙 – Massa adicional
O termo 𝐶𝜙 é o momento de restauração da embarcação. É um termo não linear em
essência porque a altura metacêntrica não é constante em grandes ângulos, mas que
frequentemente é linearizado como:
Equação 3
𝐶𝜙 = 𝜌𝑔∇ 𝐺𝑀̅̅̅̅̅
Onde:
𝐺𝑀̅̅̅̅̅ = Altura Metacêntrica
30
𝜌 = Densidade da água
𝑔 = Aceleração da gravidade
∇ = Deslocamento do navio
4.1.2 Modelo de Amortecimento
O amortecimento não linear é representado através de uma série de expansão de �̇�
e |�̇�| na forma:
Equação 4
𝐵𝜙 = 𝐵𝜙1�̇� + 𝐵𝜙2�̇�|�̇�| + 𝐵𝜙3�̇�3 + ⋯
Quanto maior o grau do polinômio do amortecimento, mais trabalhoso é o
procedimento de solução. Portanto, a expressão de amortecimento mais utilizada é o
quadrático, Equação 5:
Equação 5
𝐵𝑞𝑢𝑎𝑑 = 𝐵𝜙1�̇� + 𝐵𝜙2�̇�|�̇�|
Equação 6
𝐵𝑐𝑢𝑏 = 𝐵𝜙1�̇� + 𝐵𝜙2�̇�|�̇�| + 𝐵𝜙3�̇�3
A primeira equação corresponde ao modelo quadrático presente no método de
Froude. A segunda é o modelo cúbico. Ambas as formulações já constam no trabalho
de IKEDA. e foram incluídas em HIMENO (1981). Os coeficientes 𝐵𝜙1, 𝐵𝜙2 e/ou 𝐵𝜙3
são obtidos através dos testes de decaimento, a princípio. Entretanto, como será
discutido com base nos resultados do trabalho, na prática a obtenção dos
coeficientes do modelo cúbico dependerá dos testes de oscilação forçada.
Substituindo a Equação 6 na Equação 1 e dividindo tudo pela Equação 2, uma outra
expressão, por unidade de momento de inércia pode ser obtida:
Equação 7
�̈� + 2𝜁𝜔𝑛�̇� + 𝜔𝑛2𝜙 = 𝑚𝜙(𝜔𝐸𝑡)
Onde:
31
Equação 8
2𝜁𝜔𝑛 =𝐵𝜙
𝐼 + 𝑎𝜙𝜙
Equação 9
𝜔𝑛 = √𝐶𝜙
𝐼 + 𝑎𝜙𝜙=
2𝜋
𝑇𝑛
Equação 10
𝑚𝜙 =𝑀𝜙
𝐼𝜙
Onde 𝜔𝑛 é frequência natural, 𝑇𝑛 é o período natural e 𝜁 é o fator de amortecimento.
4.1.3 Decaimento Livre
No decaimento livre o momento externo é igual à zero. A equação do movimento fica
então:
Equação 11
�̈� + 2𝜁𝜔𝑛�̇� + 𝜔𝑛2𝜙 = 0
Figura 21 – Exemplo de curva de decaimento livre
O deslocamento do modelo do navio é dado por:
Equação 12
𝜙 = 𝜙0𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 [cos (√1 − 𝜁2𝜔𝑛𝑡 + 𝛼)]
Onde os valores de 𝜙0 e 𝛼 são determinados a partir das condições de deslocamento
iniciais 𝜙 (𝑡 = 0) e �̇� (𝑡 = 0).
A frequência do movimento do decaimento na água é dada por:
32
Equação 13
𝜔 = √1 − 𝜁2𝜔𝑛
A curva a seguir tangencia curva de resposta do movimento próxima aos máximos.
Equação 14
𝜙 = 𝜙0𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡
Existem diferentes modos de avaliação da curva de decaimento que podem ser
divididos em dois tipos: métodos com base nos valores de amplitude, que se utilizam
dos valores de pico; e métodos que consideram a curva por completo. No presente
caso foi utilizado o método quase linear, com base na amplitude dos picos máximos
de oscilação, através do cálculo do decremento logarítmico entre duas oscilações
sucessivas, que é expresso por:
𝛿 =𝑋𝑖
𝑋𝑖+2= 𝑒
2𝜋𝜂
√1−𝜂2
Onde i = 1, 2, 3...n representa o n-ésimo pico, incluído os valores negativos e
positivos.
O decremento aritmético é dado por:
𝜆 = 2𝑋𝑖 − 𝑋𝑖+2
𝑋𝑖 + 𝑋𝑖+2= 2 tanh (
𝜋𝜁
√1 − 𝜁)
O fator de amortecimento 𝜁 segundo a formulação exata é:
𝜁 = ln (𝛿)
√4𝜋2 + ln (𝛿)2
As aproximações de segunda ordem são:
𝜁1 =ln (𝛿)
2𝜋= 𝜁 +
1
2𝜁3 + 𝑂(𝜁3)
𝜁2 =λ
2𝜋= 𝜁 + (
1
2−
𝜋2
3) 𝜁3 + 𝑂(𝜁3)
33
4.1.4 Amortecimento Equivalente
Sendo difícil analisar estritamente a equação não linear, a prática comum é substituir
o amortecimento não linear por um tipo de amortecimento linearizado conforme
segue:
Equação 15
𝐵𝜙(�̇�) = 𝐵𝜙𝐸�̇�
O coeficiente 𝐵𝜙𝐸 significa coeficiente de amortecimento equivalente. Embora, o valor
de 𝐵𝜙𝐸 dependa em geral da amplitude e frequência porque o amortecimento é
usualmente não linear, pode ser assumido que 𝐵𝜙𝐸 é constante durante o movimento
específico abordado.
Há muitas maneiras de expressar o coeficiente 𝐵𝜙𝐸 em termos dos coeficientes de
amortecimento não linear 𝐵𝜙1, 𝐵𝜙2. O modo mais geral é assumir que a energia
perdida devido ao amortecimento não linear em meio ciclo de roll é igual para o
amortecimento linear equivalente. Se o movimento é harmônico simples com
frequência circular 𝜔𝐸 , então 𝐵𝜙𝐸 pode ser expresso como:
Equação 16
𝐵𝜙𝐸 = 𝐵𝜙1 +8
3𝜋𝜔𝐸𝝓𝒎𝐵𝜙2
Equação 17
𝐵𝜙𝐸 = 𝐵𝜙1 +8
3𝜋𝜔𝐸𝝓𝒎𝐵𝜙2 +
3
4𝜔𝐸
2𝝓𝒎𝟐 𝐵𝜙3
Para determinar os coeficientes 𝐵𝜙1, 𝐵𝜙2 da Equação 14, referente ao modelo
quadrático, plotamos 𝐵𝜙𝐸 por 𝝓 e ajustamos uma reta entre os pontos, definindo
seus coeficientes linear e angular.
Para determinar os coeficientes 𝐵𝜙1, 𝐵𝜙2 e 𝐵𝜙3 da Equação 15, referente ao modelo
cúbico, plotamos 𝐵𝜙𝐸 por 𝝓 e ajustamos uma função polinomial entre os pontos,
definindo seus coeficientes.
34
5 Experimentos
Os testes de decaimento com modelos em escala reduzida podem ser de dois tipos:
Decaimento Livre e Oscilação Forçada.
No decaimento livre o modelo é levado a posição inicial ou ângulo inicial por meios
estáticos ou dinâmicos. Então, o modelo é solto e oscila livremente. A amplitude do
seu movimento é registrada para análise posterior. O decaimento livre constitui opção
mais fácil e barata de teste experimental.
A oscilação forçada é um teste mais sofisticado, onde o valor do amortecimento em
roll é medido. O modelo é fixado em um equipamento giratório e o momento
necessário para deslocar o modelo é medido.
5.1 Testes no Laboratório de Ondas e Corrente – LOC
5.1.1 Decaimento Livre
Os testes em decaimento livre foram realizados no LOC em modelo seção 2D e no
LABOCEANO em modelo 3D.
Nos experimentos do LOC o modelo com bolinas foi colocado para flutuar livremente
em um calado específico. Então, um binário estático puro (com exceção da pequena
fricção nas roldanas) é aplicado ao casco até o ponto em que atinge o ângulo inicial
desejado. Após a água ser considerada calma e com a instrumentação pronta, o
modelo é solto.
Figura 22 – Esquema de Decaimento Livre no tanque de provas do LOC. Retirado de LOC (2015).
35
A largura do canal é de 1 metro e o comprimento do modelo é 0,90 metros, o que
permite um espaçamento de 5 cm em cada lado, o que foi considerado suficiente
para um teste 2D sem interferência das paredes. As características do modelo
encontram-se na Tabela 1.
Tabela 1 – Dados do Modelo LOC 2D
A Figura 23 apresenta as dimensões do modelo e a configuração adotada no caso
escolhido para o Blind Test com os diferentes softwares de simulação CFD.
Figura 23 – Características do modelo e configuração adotada para o Blind Test, retirado de LOC (2015).
A tabela a seguir lista os experimentos realizados no LOC:
Boca 726,9 mm
Pontal 448 mm
Comprimento 900 mm
Raio de Bojo 23,3 mm
Escala 1 / 75
Dimensões do Modelo
36
Tabela 2 – Parâmetros dos testes realizados.
5.1.2 Definição do Centro de Roll
O centro de roll não possui uma definição unânime na hidrodinâmica. Quando o
corpo está no teste de decaimento, ele oscila conforme a forma modal do movimento.
Portanto, o centro de roll pode ser obtido por análise modal do movimento. Para o
experimento, ao invés de calcular, adotou-se que o centro de roll é a média da
posição instantânea do centro de rotação. È importante que essa equivalência seja
garantida porque a posição do centro de roll influi significativamente no resultado.
É consenso que o centro de rotação varia com o tempo, indo até o infinito no final de
cada ciclo, quando a velocidade de rotação tende a zero. Para os testes o centro de
rotação instantâneo foi obtido a partir da interseção de duas retas perpendiculares ao
vetor de velocidade em dois pontos arbitrários do modelo.
Figura 24 – Obtenção do centro instantâneo de rotação. O centro de roll é a média dos centros instantâneos calculados. Retirado de LOC (2015).
Parâmetros Número Valores na escala real
Largura da Bolina 3 0.75m / 1.20m / 1.80m
Calado 1 7m
Período Natural 1 15s
Calado 2 14m / 21m
Período Natural 3 15s / 30s / 45s
Ângulo Inicial 4 2° / 5° / 10 ° / 15 °
Total 84
Decaimento Livre
37
Aplicando o procedimento indicado os resultados obtidos são ilustrados na Figura 23,
onde estão registradas as posições verticais dos centros de rotação (KR) em uma
série de ciclos. Observa-se um plateau (pontos em vermelho) e retirando o 1/10 dos
valores mais altos, a média é calculada para cada ciclo e posteriormente para o
ensaio completo.
Figura 25 – Valores de posição vertical do centro de rotação (KR) medidos ao longo dos ciclos de decaimento. Retirado de LOC (2015).
Um estudo da variação do centro de roll numérico com o casco com e sem bolinas e
diferentes carregamentos foi feita por GUNDELACH E REZENDE (2014). O software
HYDROSTAR foi utilizado e o centro de roll obtido a partir da teoria (equação do
movimento acoplado roll-sway 2D não amortecido):
𝑍𝑅 = 𝑍𝐺 −𝐴42𝐺
∆ + 𝐴22
Onde
𝑍𝑅 – Altura do centro de roll
𝑍𝐺 – Altura do centro de gravidade
𝐴42𝐺 – Inércia adicional de roll causada pelo sway, em relação ao centro de
gravidade.
∆ – Deslocamento da embarcação
𝐴22 – Massa Adicional em Sway, que não depende do referencial.
38
Foi observado que os resultados numéricos foram coerentes com os SOUZA et al
(2012) para variação de centro de roll, exceto, para os carregamentos com maior
frequência natural. A remoção da bolina, assim como a variação do raio de bojo
provocaram pouca alteração no centro de roll.
5.1.3 Teste Oscilação Forçada no Ar
Determinar o amortecimento devido ao eixo durante os testes de oscilação forçada foi
um ponto de desafio dos testes. O amortecimento foi considerado como tipo
Coulomb.
Algumas tentativas foram feitas e o LOC concluiu que a melhor abordagem é realizar
ensaios de oscilação forçada no ar, análogos aos testes de oscilação forçada na
água, garantindo mesma frequência natural e mesma distribuição de forças nos eixo.
O procedimento é listado a seguir:
Assume-se que as forças aplicadas no sistema do eixo durante os testes no ar e na
água são os mesmos.
Equação 18
𝑁𝐻2𝑂 = 𝑁𝑎𝑖𝑟
Quando o casco está na água, a força normal é a resultante do peso e do empuxo.
Equação 19
𝑁𝐻2𝑂 = 𝑊 − 𝐵
Para o teste de oscilação forçada no ar, o empuxo foi simulado usando 4 molas
lineares.
Equação 20
𝑁𝑎𝑖𝑟 = 𝑊 − 4𝑘𝑥
As frequências naturais na oscilação no ar e na água são consideradas as mesmas.
Equação 21
𝑤𝑛 𝐻20 = 𝑤𝑛 𝑎𝑖𝑟
39
Figura 26 – Equivalência entre as Forças normais nos testes na água e no ar, retirado de LOC (2015a)
A equivalência entre as frequências pode escrita na forma:
Equação 22
√𝐶44 𝐻20
𝐼𝑜 + 𝐴44= √
𝐶44 𝐴𝑟
𝐼𝑜
O coeficiente de restauração do casco na água pode ser aproximado por:
Equação 23
𝐶44𝐻2𝑂 = 𝜌𝑔∇𝐺𝑀
O coeficiente de restauração do casco no ar:
Equação 24
𝐶44 𝑎𝑟 = 4𝑘𝑏2
Onde b é a distância entre as molas na Figura 24 e k é a constante elástica. Tanto a
Equação 18, quanto a Equação 22 permitem a obtenção do valor de k para
montagem do experimento.
40
Realizando a equivalência entre os ensaios no ar e na água, serão obtidas duas
séries de momento de excitação e resposta, cada uma para cada teste no ar e na
água. A energia dissipada no teste na água fornece o momento total (amortecimento
em roll somado ao amortecimento no eixo). O amortecimento no eixo é calculado a
partir do ensaio no ar e então é descontado do ensaio na água.
5.1.4 Teste Oscilação Forçada na Água
Os testes em oscilação forçada eles foram realizados tendo o centro de roll definido
como sendo o ponto de localização do eixo. O centro de roll foi calculado como sendo
a média dos centros de rotação dos testes de decaimento, conforme Seção 5.1.2. Os
testes foram realizados sob os mesmos parâmetros dos testes de decaimento livre.
Os ângulos de 2 graus foram incluídos.
Tabela 3 – Parâmetros do teste de oscilação forçada
Figura 27 – Montagem do teste de oscilação forçada na água, incluindo equipamento de PIV, retirado de LOC (2015a).
Parâmetros Número Valores na escala real
Largura da Bolina 3 0.75m / 1.20m / 1.80m
Calado 3 7m / 14 m/ 21m
Amplitude de oscilação 4 2° / 5° / 10° / 15 °
Período de Oscilação 3 15s / 30s / 45s
Total 108
Oscilação Forçada
41
Figura 28 – Detalhe de como é aplicada a força que gera o momento de excitação. A montagem foi feita de forma a minimizar a influência sobre força normal no eixo, retirado de LOC (2015a).
5.1.5 Coeficiente de Amortecimento em Oscilação Forçada
A formulação utilizada para cálculo do coeficiente de amortecimento equivalente por
ciclo 𝐵44 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
e comparação com os resultados do CFD foi fornecida
pelo LOC (2015b).
5.1.5.1 Método Convencional
O movimento na oscilação forçada pode ser considerado harmônico:
Equação 25
𝜙(𝑡) = 𝜙0𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡)
A consideração de energia adotada diz que a energia aplicada compensa a energia
gasta na dissipação:
Equação 26
𝐸𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜 = 𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎çã𝑜
Equação 27
𝐸𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = ∫ 𝑀𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜(𝑡) �̇� 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
Onde T é o período do movimento aplicado 𝑀𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜(𝑡) é o momento imposto. Por um
eixo fixo passando pelo ponto O, o teorema de Euler expressa:
42
Equação 28
𝐼𝑂�̈� = ∑ 𝑀𝑂𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
Onde o ponto O é definido como sendo o centro de rotação, obtido a partir dos testes
de decaimento segundo seção 5.1.2. Onde 𝐼𝑂 é o momento de inércia de massa ao
redor do ponto O e 𝑀𝑂𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 é o somatório dos binários aplicados assim como dos
momentos de força perpendiculares ao eixo, se existirem. Sendo assim,
Equação 29
∑ 𝑀𝑂𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑀𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜(𝑡) + 𝑀𝐻
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜(𝜙,̈ 𝜙,̇ 𝜙) + 𝑀𝑒𝑖𝑥𝑜( 𝜙 ̇ )
Onde 𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜
é o binário de restauração devido à ação da água, incluindo forças
hidrostáticas. 𝑀𝑒𝑖𝑥𝑜 é o binário devido aos mancais que seguram o modelo ao eixo.
Tanto 𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜
quanto 𝑀𝑒𝑖𝑥𝑜 se opõem ao deslocamento. Para os resultados
CFD, 𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜
é negativo. Para o LOC, ambos 𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜
e 𝑀𝑒𝑖𝑥𝑜 são
negativos.
A equação governante pode ser escrita como:
Equação 30
𝐼𝑂�̈� − 𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜(𝜙,̈ �̇�, 𝜙) − 𝑀𝑒𝑖𝑥𝑜( 𝜙 ̇ ) = 𝑀𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜(𝑡)
Os experimentos de oscilação forçada medem o 𝑀𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜(𝑡) com o momento dos
mancais do eixo, enquanto os códigos CFD medem o momento de restauração
𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜(𝜙,̈ �̇�, 𝜙). Portanto, a seguinte equação é necessária na comparação
com os resultados CFD:
Equação 31
−𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜(𝜙,̈ �̇�, 𝜙) = 𝑀𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜(𝑡) + 𝑀𝑒𝑖𝑥𝑜( 𝜙 ̇ ) − 𝐼𝑂�̈�
A seguir será listada uma série de hipóteses adotadas a fim de obter equivalência
entre os resultados por ciclo do teste de oscilação forçada e da simulação CFD:
Hipótese 1: A aceleração, velocidade e deslocamento angular são considerados
desacoplados e podem ser separados conforme equação;
43
Equação 32
𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜(𝜙,̈ �̇�, 𝜙) = 𝑀𝐻
𝐴𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙(�̈�) + 𝑀𝐻𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜(𝜙)̇ + 𝑀𝐻
𝐻𝑖𝑑𝑟𝑜𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜(𝜙)
Hipótese 2: O momento hidrostático pode ser considerado linear até 15° de
inclinação para um FPSO típico.
Equação 33
𝑀𝐻𝐻𝑖𝑑𝑟𝑜𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜(𝜙) = −𝐶44𝜙
Onde 𝐶44 pode ser aproximado por 𝐶44 = 𝜌𝑔∇𝐺𝑀̅̅̅̅̅ desde que o ponto de rotação seja
fixado após o navio em flutuação livre estar no calado correto.
Hipótese 3: Para o termo inercial, o escoamento potencial parece ser dominante, o
que significa um termo proporcional à aceleração. Por segurança será adicionado
também um termo que inclui o número e Keulegan-Carpenter (KC), o que adiciona a
viscosidade ao problema. O efeito do KC é devido à separação que gera vórtices de
retorno durante as oscilações. O efeito do KC está presente tanto no CFD quanto nos
experimentos.
Hipótese 4: O efeito do número de KC é considerado linear. Portanto,
Equação 34
𝑀𝐻𝐴𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (�̈�) = −𝑀𝐻
𝐴𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙�̈� − 𝑀𝐾𝐶𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 �̈� ≡ −𝐴44�̈�
Onde, 𝐴44 = 𝐴44(𝜔) é considerado constante para cada frequência de excitação
ainda que o escoamento potencial e efeitos viscosos relacionados ao KC estejam
envolvidos.
Entretanto, não é possível considerar que o termo de amortecimento também seja
linear porque, conforme foi apresentado na revisão bibliográfica, existem fortes
efeitos viscosos atuando no amortecimento. Então, a equação do momento de
restauração fica:
Equação 35
−𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜(𝜙,̈ �̇�, 𝜙) = 𝐴44�̈� − 𝑀𝐻
𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝜙)̇ + 𝐶44𝜙
Substituindo na equação governante tem-se que:
Equação 36
(𝐼𝑂 + 𝐴44)�̈� − 𝑀𝐻𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝜙)̇ + 𝐶44𝜙 − 𝑀𝑒𝑖𝑥𝑜( 𝜙 ̇ ) = 𝑀𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜(𝑡)
44
Hipótese 5: O momento de excitação também é harmônico. Com base na Equação
25 tem-se que:
Equação 37
𝑀𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜(𝑡) = 𝑀𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
Onde 𝜑 é a fase e um importante parâmetro para acessar o amortecimento e a
massa adicional conforme será mostrado a seguir. Substituindo a Equação 37 na
Equação 36:
Equação 38
(𝐼𝑂 + 𝐴44)�̈� − 𝑀𝐻𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝜙)̇ + 𝐶44𝜙 − 𝑀𝑒𝑖𝑥𝑜( 𝜙 ̇ ) = 𝑀𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒
𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
Hipótese 6: O momento de amortecimento em um ciclo pode ser representado por:
Equação 39
𝑀𝐻𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝜙 ̇ ) = −𝐵44 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝜙 ̇
Hipótese 7: De forma análoga, para o amortecimento no eixo, por ciclo:
Equação 40
𝑀𝐸𝑖𝑥𝑜(𝜙 ̇ ) = − 𝐵44 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝐸𝑖𝑥𝑜 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
𝜙 ̇
Multiplicando a Equação 38 por 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡), integrando em um ciclo e arranjando
propriamente, o resultado é:
Equação 41
𝐴44 =𝐶44 𝜙𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒− 𝑀𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒
𝐸𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑
𝜙𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝜔2− 𝐼𝑂
Onde as propriedades ortogonais foram utilizadas. Note que é importante estimar a
massa adicional, o coeficiente estático e o momento de inércia de massa. Importante
observar que a hipótese 4, que resulta na Equação 34 é essencial para chegar ao
resultado anterior.
Multiplicando a Equação 38 agora por 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) e integrando no ciclo é possível obter:
Equação 42
− ∫ (𝑀𝐻𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (�̇�)
𝑡0+𝑇
𝑡0
+ 𝑀𝐸𝑖𝑥𝑜(�̇�))cos (𝜔𝑡)𝑑𝑡 = 𝑀𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝐸𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜 𝜋
𝜔𝑠𝑒𝑛𝜑
45
O lado esquerdo da equação representa a dissipação do amortecimento por ciclo
com exceção do amortecimento do eixo que precisa ser descontado. As hipóteses
são mantidas e a inércia e o momento de restauração não são importantes quando
integrando no ciclo.
Utilizando as Equação 39 e Equação 40 o resultado é:
Equação 43
𝐵44,𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜, 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
+ 𝐵44,𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝐸𝑖𝑥𝑜, 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
= −𝑀𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒
𝐸𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑
𝜙𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝜔
O resultado dado pela Equação 43 é bem conhecido (sem a parcela do eixo), mas
não bem compreendido. Não se deve considerar esse amortecimento válido em
determinado espaço de tempo, mas apenas como representação linear a cada ciclo.
Por isso o uso da nomenclatura 𝐵44,𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜, 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
. Importante observar
também que pela Equação 43 qualquer incerteza na fase 𝜑 terá impacto no
amortecimento 𝐵44,𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜, 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
. Também é necessário que o termo
referente ao amortecimento no eixo 𝐵44,𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝐸𝑖𝑥𝑜, 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
, possua uma estimativa
confiável.
5.1.5.2 Método da Curva de Histerese
Outra maneira de obter o amortecimento é considerar a curva de histerese, que
consiste em plotar −𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜(𝜙,̈ �̇�, 𝜙) em função de 𝜙. Assim a visualização dos
ciclos é muito mais propícia do que em uma série temporal. A curva de histerese
também é muito útil porque a área de histerese é proporcional à energia dissipada.
46
Figura 29 – Curva de Histerese com os parâmetros do teste de oscilação forçada, retirado de LOC (2015b).
É importante identificar que no resultado da análise de CFD o que é conhecido (por
integração da pressão) é o momento de restauração −𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜(𝜙,̈ �̇�, 𝜙). Logo,
para os resultados em CFD:
Equação 44
𝐸𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜𝐷𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎çã𝑜
= − ∫ 𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜
𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜
(𝜙,̈ �̇�, 𝜙) 𝑑𝜙
Utilizando as Equação 35 e Equação 39:
Equação 45
𝐸𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜𝐷𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎çã𝑜
= 𝜋𝜙𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝜔 𝐵44,𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜, 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
Combinando a Equação 44 com a Equação 45:
Equação 46
𝐵44,𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜, 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
=− ∫ 𝑀𝐻
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜
𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜(𝜙,̈ �̇�, 𝜙) 𝑑𝜙
𝜋𝜙𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒2 𝜔
O resultado da Equação 46 deve ser usado para os cálculos com CFD.
A mesma Equação 46 serve também para obter os resultados do LOC, desde que
dois fatos sejam lembrados: o que é medido no experimento é o 𝑀𝐸𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜 e a
47
dissipação no mancal do eixo está presente. Utilizando as Equação 31 e Equação 42
tem-se que:
Equação 47
− ∫ 𝑀𝐻, 𝐿𝑂𝐶𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜
𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜
(𝜙,̈ �̇�, 𝜙) = 𝑀𝐸𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜(𝑡) − 𝐼𝑂�̈� − 𝐵44,𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝐸𝑖𝑥𝑜, 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
�̇�
Observa-se que quando calculada a integral na Equação 44 o trabalho realizado em
um ciclo é obtido. Entretanto, é comum usar a integração no tempo, isso é, integrar
pela potência, tal que:
Equação 48
𝐸𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝐷𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎çã𝑜
= − ∫ 𝑀𝐻𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜(𝜙,̈ �̇�, 𝜙)𝜙 ̇ 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
Como a diferença de fase entre excitação e deslocamento está presente através do
termo de velocidade, é preferível usar a Equação 44.
5.2 Testes no LABOCEANO
No intuito de incluir possíveis efeitos no amortecimento que podem não ter sidos
considerados no modelo simplificado 2D, testes em decaimento livre com modelo 3D
foram realizados no LABOCEANO.
O LABOCEANO é um tanque oceânico capaz de simular as mais diversas condições
em ambientes marinhos. Suas dimensões medem 40 metros de comprimento por 30
metros de largura e 15 de profundidade. Possui um gerador de ondas multi-flap e
duas praias, uma lateral e outra frontal, para absorção de ondas. A Tabela 4
apresenta as dimensões do modelo.
Tabela 4 – Características do modelo 3D Laboceano.
Boca 776 mm
Pontal 526 mm
Comprimento 4601 mm
Raio de Bojo 25 mm
Calado 300 mm
Escala 1 / 70
Dimensões do Modelo
48
Figura 30 – Modelo utilizado nos testes do LABOCEANO, retirado de LABOCEANO (2015).
Tabela 5 – Parâmetros do teste no Laboceano
Em condições de flutuação livre, os testes de decaimento livre foram realizados para
o calado correspondente a 21 m e 30 s de período natural na escala do protótipo, 10
repetições foram feitas para cada ângulo inicial.
6 Resultados
6.1 Comparação entre Formulações do Fator de Amortecimento.
A primeira etapa de análise dos resultados consiste em comparar as formulações
para fator de amortecimento 𝜁 (exata, n1 e n2), assim como o cálculo da amplitude
média segundo média aritmética (método convencional) e média geométrica. Isso foi
feito para os dados do LOC, com maior variação de parâmetros.
Parâmetros Número Valores na escala real
Largura da Bolina 1 1.20m
Calado 1 21 m
Período Natural 1 30 s
Ângulo Inicial 3 5° / 10 ° / 15 °
Total 30
Decaimento Livre
49
Figura 31 – Comparação entre formulações para bolina de 0.75m, calado de 7 m, período de 15s e ângulo inicial de 2°.
Figura 32 - Comparação entre formulações para bolina de 0.75m, calado de 7 m, período de 15s e ângulo inicial de 5°.
50
Figura 33 - Comparação entre formulações para bolina de 0.75m, calado de 7 m, período de 15s e ângulo inicial de 15°.
Como pode ser observado nas FigurasFigura 31, Figura 32 e Figura 33, as
formulações exata e suas aproximações de segunda ordem são bastante similares,
apresentando pequenas diferenças para os ângulos maiores. Para o restante do
trabalho, a formulação adotada foi a n1.
6.2 Comparação entre Amplitude Média Aritmética e Geométrica.
A amplitude média foi calculada pela média geométrica e pela média aritmética. O
valor da média geométrica (Equação 49) é sempre menor do que o correspondente
aritmético (Equação 50) e quanto maior a diferença entre os dois valores que são
utilizados no cálculo, maior esse efeito. Pensou-se inicialmente que isso poderia ser
aplicado com os grandes ângulos do teste de decaimento, mantendo o aspecto linear
da curva de coeficiente de amortecimento conforme Figura 34.
Equação 49
𝐴𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑀é𝑑𝑖𝑎 = √𝑋𝑖+2 ∗ 𝑋𝑖
Equação 50
𝐴𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
1
2(𝑋𝑖+2 + 𝑋𝑖)
51
Figura 34 – Comparação entre uso de diferentes áreas, retirado de BUREAU VERITAS (2014).
Observou-se que essa abordagem aproxima melhor para a solução exata do fator de
amortecimento. Entretanto, essa abordagem pode não ser amplamente aceita pelo
motivo da amplitude média geométrica não ser isenta. Entre os dois valores de
amplitude que entram no cálculo da média, ela privilegia o menor valor, associando-o
a um valor de amortecimento que pode ser superestimado para aquela amplitude. A
Figura 35 – Comparação entre o uso de amplitudes médias aritmética e geométrica para bolina de
0,75 metros, calado de 7 metros e período de 15 segundos.ilustra a comparação que foi feita no
caso da bolina de 0,75 metros, calado de 7 metros e período de 15 segundos. Pelas
razões apresentadas, decidiu-se permanecer com o uso da média aritmética durante
o restante do trabalho.
52
Figura 35 – Comparação entre o uso de amplitudes médias aritmética e geométrica para bolina de 0,75 metros, calado de 7 metros e período de 15 segundos.
6.3 Resultados LOC
Os resultados dos testes em decaimento livre oscilação forçada são apresentados a
seguir.
6.3.1 Cálculo do Fator de Amortecimento devido Radiação
O amortecimento devido à radiação em ondas e a massa adicional em roll foram
calculados no programa HYDROSTAR. O fator de amortecimento correspondente foi
calculado segundo Equação 8.
6.3.2 Decaimento Livre – Comprimento da Bolina e Período Fixos x
Variação do Calado
Os gráficos ilustram o comportamento do fator de amortecimento para uma mesma
largura de bolina e mesmo período natural em função da variação do carregamento
(calado). Os dados são plotados incluindo o primeiro ciclo de oscilação e os
pequenos ângulos. Neles é possível concluir que quanto maior o calado da
embarcação, menor é o amortecimento, pra qualquer tamanho de bolina e período de
53
oscilação. Embora mais suscetível ao roll por conta da redução do período natural, os
menores calados apresentaram maior percentual de amortecimento. Quanto maior o
tamanho da bolina, maior o amortecimento.
6.3.2.1 Bolina de L = 0,75 m
Figura 36 – Valores do fator de amortecimento para bolina de 0.75m, período de 15s para calados de 7m, 14m e 21 m.
54
Figura 37 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 0.75m, período de 30s para calados de 14m e 21 m.
Figura 38 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 0.75m, período de 45s para calados de 14m e 21 m.
55
6.3.2.2 Bolina de L = 1,20 m
Figura 39 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.20 m, período de 15s e calados de 7m, 14m e 21 m.
Figura 40 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.20 m, período de 30s e calados de 14m e 21 m.
56
Figura 41 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.20 m, período de 45s e calados de 14m e 21 m.
6.3.2.3 Bolina de L = 1,80 m
Figura 42 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.80 m, período de 15s e calados de 7m, 14m e 21 m.
57
Figura 43 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.80 m, período de 30s e calados de 14m e 21 m.
Figura 44 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.80 m, período de 45s e calados de 14m e 21 m.
58
6.3.3 Decaimento Livre – Comprimento da Bolina e Calado Fixos x
Variação do Período Natural
6.3.3.1 Bolina de L = 0,75 m
Figura 45 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 0.75 m, calado de 7m e período de 15s.
Figura 46 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 0.75 m, calado de 14m e período natural e 15s, 30s e 45s.
59
Figura 47 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 0.75 m, calado de 21 m e período natural e 15s, 30s e 45s.
6.3.3.2 Bolina de L = 1,20 m
Figura 48 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.20 m, calado de 7 m e período de 15s.
60
Figura 49 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.20 m, calado de 14 m para período de 15s, 30s e 45s.
Figura 50 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.20 m, calado de 21 m e período de 15s, 30s e 45s.
61
6.3.3.3 Bolina de L = 1,80 m
Figura 51 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.80 m, calado de 7 m e período natural de 15s.
Figura 52 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.80 m, calado de 14 m e período de 15s, 30s e 45s.
62
Figura 53 - Valores do fator de amortecimento para bolina de 1.80 m, calado de 21 m e período de 15s, 30s e 45s.
Quanto maior o período, maior o amortecimento. Porém, a influência do período
mostrou-se pouco significativa principalmente para os períodos de 45 e 30 segundos.
Para o calado cheio de 21 metros os valores são muito parecidos. Essa tendência é
confirmada pelo trabalho de OMMANI et al (2015), onde a diferença no valor de
amortecimento torna-se irrelevante quanto maior o período do movimento.
A partir dos resultados do LOC é possível observar que existe um fato curioso
referente aos primeiros ciclos de decaimento para cada ângulo inicial. Os primeiros
ciclos são subamortecidos, o que causa a impressão de um “plateau” conforme
descrito inicialmente na seção 1.
63
Figura 54 - Exemplo mostrando os primeiros ciclos em um teste de decaimento.
O que ocorre é que os testes se iniciam em águas calmas, com o modelo solto a
partir de um ângulo inicial, não havendo tempo suficiente para a separação do
escoamento devido a bolina. O amortecimento também depende da interação com
vórtices gerados anteriormente, o que também não ocorre quando o modelo é solto
de uma posição estática inicial. Por esses motivos relativos à configuração do
aparato experimental é que o amortecimento no primeiro ciclo é menor.
6.3.4 Oscilação Forçada
Os resultados em oscilação forçada foram obtidos segundo metodologia da Seção
415.1.5. Aqui os resultados serão plotados para o caso da bolina de comprimento de
1,20 metros, que é a bolina do caso “blind test”, o caso independente simulado em
CFD, e que permite a comparação direta. A questão do amortecimento no mancal de
suporte do eixo de oscilação foi preponderante ainda que o LOC tenha trabalhado na
redução do atrito advindo dessa fonte. Alguns testes apresentaram resultado
negativo, ou seja, amortecimento no ar maior do na água. Isso foi comum nos testes
do calado de 7 metros e período de 45 segundos. Alguns ensaios apresentaram
amortecimento maior do que o previsto no testes de decaimento. Tanto a autora
quanto o próprio LOC calcularam de forma independente os valores de
amortecimento final em roll forçado. Os valores obtidos constam na
64
Tabela 6.
Tabela 6 – Resultados de Amortecimento para o teste de oscilação forçada.
B44 B44 bear. B44 final (BV) B44 final (LOC)
L07_T15_02 55.68 35.33 20.35 21.87
L07_T15_05 31.25 15.23 16.02 15.31
L07_T15_10 30.78 10.07 20.72 20.38
L07_T15_15 29.92 7.11 22.80 21.77
L07_T30_02 85.57 93.33 -7.76 -12.75
L07_T30_05 36.75 42.06 -5.31 -0.60
L07_T30_10 23.56 17.74 5.83 4.59
L07_T30_15 26.05 12.41 13.64 11.76
L07_T45_02 123.56 148.24 -24.68 -25.22
L07_T45_05 55.02 57.74 -2.72 -3.03
L07_T45_10 29.83 32.00 -2.17 -5.10
L07_T45_15 14.62 21.53 -6.91 -3.09
L14_T15_02 58.84 39.27 19.57 20.70
L14_T15_05 38.34 15.36 22.98 20.87
L14_T15_10 29.13 7.83 21.30 23.63
L14_T15_15 23.66 3.92 19.73 13.02
L14_T30_02 119.50 113.73 5.76 8.58
L14_T30_05 43.24 38.41 4.83 10.45
L14_T30_10 28.64 12.90 15.74 14.55
L14_T30_15 29.65 13.48 16.17 15.46
L14_T45_02 143.60 98.82 44.78 31.95
L14_T45_05 64.47 51.26 13.21 15.40
L14_T45_10 49.78 17.55 32.23 49.94
L14_T45_15 29.57 20.58 8.99 6.83
L21_T15_02 68.30 100.47 -32.18 -28.14
L21_T15_05 34.52 27.74 6.77 8.11
L21_T15_10 22.65 13.37 9.28 9.21
L21_T15_15 26.43 5.98 20.45 21.42
L21_T30_02 116.46 88.53 27.93 42.42
L21_T30_05 50.44 39.39 11.05 11.83
L21_T30_10 17.51 24.03 -6.52 4.65
L21_T30_15 19.21 13.98 5.23 0.64
L21_T45_02 111.47 120.47 -9.00 23.89
L21_T45_05 56.15 38.92 17.23 20.80
L21_T45_10 32.36 20.22 12.14 -1.78
L21_T45_15 13.88 13.29 0.60 0.62
Resultados do B44 (BK=1.20m)
65
Figura 55 – Gráfico com os dados dos testes no LOC. Decaimento livre excluindo os primeiros ciclos e Teste de Oscilação Forçada em Roll. Bolina de 1,20m, calado de 7 metros, período de 15s.
Figura 56 – Gráfico com os dados dos testes no LOC. Decaimento livre excluindo os primeiros ciclos e Teste de Oscilação Forçada em Roll. Bolina de 1,20m, calado de 14 metros, período de 15s.
66
Figura 57 - Gráfico com os dados dos testes no LOC. Decaimento livre excluindo os primeiros ciclos e Teste de Oscilação Forçada em Roll. Bolina de 1,20m, calado de 14 metros, período de 30s.
Figura 58 - Gráfico com os dados dos testes no LOC. Decaimento livre excluindo os primeiros ciclos e Teste de Oscilação Forçada em Roll. Bolina de 1,20m, calado de 14 metros, período de 45s.
67
Figura 59 - Gráfico com os dados dos testes no LOC. Decaimento livre excluindo os primeiros ciclos e Teste de Oscilação Forçada em Roll. Bolina de 1,20m, calado de 21 metros, período de 15s.
Figura 60 - Gráfico com os dados dos testes no LOC. Decaimento livre excluindo os primeiros ciclos e Teste de Oscilação Forçada em Roll. Bolina de 1,20m, calado de 21 metros, período de 30s.
68
Figura 61 - Bolina de 1,20m, calado de 21 metros, período de 45s.
6.4 Resultados LABOCEANO
Para o resultado do LABOCEANO, 10 repetições foram realizadas para cada ângulo
inicial e com base nos resultados anteriores do LOC, os primeiros ciclos de
decaimento foram excluídos da análise, assim como os ângulos menores que 1 grau,
que apresentam grande dispersão. Com a exclusão dos primeiros ciclos a diferença
entre o uso da média geométrica ou aritmética é desprezível. Com isso, o resultado
fica bastante satisfatório, principalmente se considerarmos no gráfico da Figura 63 -
Resultados do LABOCEANO, utilizando valor médio das repetições, sem primeiros ciclos e excluindo
ângulos menores que 1 grau. As retas coloridas representam os ajustes lineares para cada um dos
ângulos, enquanto a reta pontilhada representa o ajuste com a média de todos os dados. Bolina de
1,20m, calado 21m e período 30s. onde a média das repetições em cada ciclo foi calculada
e um ajuste linear foi aplicado considerando o resultado com ângulos iniciais de 5º
(verde), 10º (azul) e 15º (vermelha). Na Figura 63, o ajuste foi mais detalhado
mostrando os valores médios das repetições dos testes. Cada reta é um ajuste linear
com dados referentes à um ângulo inicial indicado pela cor. A reta pontilhada
representa o ajuste com todos os ângulos. É possível observar que as retas são bem
69
próximas, exceto por uma leve divergência da reta referente aos dados do teste com
ângulo inicial de 15° (vermelho).
Figura 62 – Resultados do LABOCEANO, sem primeiros ciclos e excluindo ângulos menores que 1 grau. Bolina de 1,20m, calado 21m e período 30s.
Figura 63 - Resultados do LABOCEANO, utilizando valor médio das repetições, sem primeiros ciclos e excluindo ângulos menores que 1 grau. As retas coloridas representam os ajustes lineares para cada
70
um dos ângulos, enquanto a reta pontilhada representa o ajuste com a média de todos os dados. Bolina de 1,20m, calado 21m e período 30s.
6.5 Comparação LOC x LABOCEANO
Os resultados do teste de decaimentos 2D (LOC) e 3D (LABOCEANO) estão
ilustrados na Figura 64 –. Eles foram comparados com o modelo de previsão semi
empírica de IKEDA obtido a partir dos coeficientes linear e quadrático fornecidos pelo
HYDROSTAR. Conforme é possível observar, após a exclusão dos primeiros ciclos, a
abrangência da amplitude dos resultados diminui bastante. Apesar de iniciarmos com
um ângulo de inclinação inicial de 15 graus, o maior ângulo que temos informação
após processamento dos resultados é menor do que 6 graus. Isso é um indício de
que os testes de decaimento livre são limitados em termos de fornecer informação
para grandes ângulos de inclinação porque quanto maior o ângulo que se deseja
conhecer o valor de amortecimento respectivo, maior necessita ser o ângulo inicial do
teste e maior o costado do modelo, o que representa uma limitação de ordem física.
Com isso, é possível concluir que o modelo de previsão semi empírica de IKEDA
continua válido para ângulos aproximadamente menores que 6 graus.
Outra conclusão interessante é que, para o caso do FPSO que foi considerado nesse
estudo, FPSO casco construído (“New Build”) e com corpo paralelo extenso, os
resultados 2D e 3D sendo similares indicam um redução grande nos custos
experimentais. Para esse caso em específico, é possível realizar os testes de
decaimento sem ondas apenas com um modelo seção 2D.
71
Figura 64 – Valor do fator de amortecimento para os testes de decaimento do LABOCEANO e LOC, comparados com o modelo e IKEDA. Bolina de 1.20m, calado de 21m e período de 30s.
6.6 Comparação com Resultados CFD
A autora não realizou análises em CFD por conta própria, porém aproveitou os
resultados de testes independentes realizados por diferentes empresas dentro do JIP
Non Linear Roll. O “Blind Test” ou teste independente foi proposto a fim de verificar o
impacto de diferentes softwares e metodologias no resultado das análises em CFD.
Por razões de confidencialidade, os resultados serão referenciados por “A”, “B”, “C”,
“D” e “E”. O caso “Blind Test” foi feito para o caso o da bolina de 1,20 metros de
comprimento, com calado do modelo de 14 metros e período de oscilação em roll de
15 segundos.
As simulações numéricas foram realizadas considerando oscilação forçada do
modelo 2D em águas calmas e os resultados são semelhantes entre si. É importante
ressaltar que na comparação os centros de roll devem ser os mesmos, porque o
amortecimento viscoso varia significativamente com o centro de roll, conforme
OMMANI et al (2015) . Incluindo os resultados em grandes ângulos advindos da
simulação, observa-se que uma equação cúbica ajusta melhor os resultados. Dessa
forma, é sugerido que o momento de amortecimento na forma cúbica, Equação 51,
seja utilizado nos casos em que a tradicional forma quadrática não for coerente com
os resultados.
72
Equação 51
𝑀𝐵 = 𝐵𝐿𝐼𝑁�̇� + 𝐵𝑄𝑈𝐴𝐷�̇�|�̇�| − 𝑎𝜙3̇
Ou na forma linearizada:
Equação 52
𝐵(𝝓) = 𝑝1 + 𝑝2𝝓 + 𝑝3𝝓𝟐 = 𝐵𝐿𝐼𝑁 +8
3𝜋𝜔𝐸𝝓𝒎𝐵𝑄𝑈𝐴𝐷 − 𝑎
3
4𝜔𝐸
2𝝓𝒎𝟐
Onde 𝑎 contabiliza o efeito de redução do amortecimento que ocorre devido aos
efeitos de superfície livre e redução do amortecimento devido à separação do
escoamento no regime diferenciado de geração de vórtices em grandes ângulos. Os
coeficientes p1, p2 e p3 podem ser obtidos através de um ajuste pelo método dos
mínimos quadráticos usando os dados de amortecimento em função da amplitude
média.
Figura 65 – Comparação Dados Decaimento Livre LOC e Dados CFD LABOCEANO. A linha vermelha tracejada é o polinômio que representa a tendência do conjunto de dados. A linha azul tracejada é o ajuste linear-quadrático
com p2. A linha preta cheia é o ajuste cúbico incluindo p3.
73
Figura 66 – Comparação Decaimento Livre do LOC e CFD ”A”. A linha vermelha tracejada é o polinômio que representa a tendência do conjunto de dados. A linha azul tracejada é o ajuste linear-quadrático com p2. A
linha preta cheia é o ajuste cúbico incluindo p3
Figura 67 – Comparação Decaimento Livre do LOC e CFD “B”. A linha vermelha tracejada é o polinômio que representa a tendência do conjunto de dados. A linha azul tracejada é o ajuste linear-quadrático com p2. A
linha preta cheia é o ajuste cúbico incluindo p3
74
Figura 68 – Comparação decaimento livre do LOC e CFD “C”. A linha vermelha tracejada é o polinômio que representa a tendência do conjunto de dados. A linha azul tracejada é o ajuste linear-quadrático com p2. A
linha preta cheia é o ajuste cúbico incluindo p3.
Figura 69 - Comparação LOC e CFD “D”. A linha vermelha tracejada é o polinômio que representa a tendência do conjunto de dados. A linha azul tracejada é o ajuste linear-quadrático com p2. A linha preta cheia
é o ajuste cúbico incluindo p3.
75
Figura 70 – Comparação do decaimento livre do LOC e CFD “E”. A linha vermelha tracejada é o polinômio que representa a tendência do conjunto de dados. A linha azul tracejada é o ajuste linear-quadrático com p2. A
linha preta cheia é o ajuste cúbico incluindo p3.
6.7 Comparação das Curvas de Decaimento
As curvas de decaimento obtidas conforme os modelos quadrático e cúbico foram
comparadas com a curva original. É possível observar que para os ângulos iniciais,
que são os ângulos maiores, a curva referente ao modelo cúbico aproxima melhor. A
curva do modelo quadrático tende a superestimar o amortecimento, conforme já tinha
sido alertado na Seção 1.1. Entretanto, os ângulos iniciais sofrem ação do efeito
memória e o primeiro ciclo não deve ser considerado. Para ângulos menores que 3
graus, o resultado é indiferente. Após 15 segundos, o resultado das curvas do
modelo quadrático e cúbico divergem do original devido à incerteza associada aos
ângulos menores que 0,5 grau.
76
Figura 71 – Comparação da curva de decaimento. A curva pontilhada vermelha corresponde aos dados originais, e curva tracejada verde corresponde ao ajuste com o modelo quadrático e a curva
azul contínua refere-se ao ajuste com modelo cúbico.
7 Conclusão
Alguns esclarecimentos importantes foram obtidos ao longo do presente trabalho com
relação ao movimento em roll com presença de bolinas estendidas. A campanha de
testes no LOC confirmou que quanto maior a bolina, maior o amortecimento. Fixado o
tamanho de uma bolina e o período de oscilação considerado, para a variação do
carregamento, quanto menor o calado maior o amortecimento. Isso é interessante
porque os calados menores também são os mais suscetíveis ao roll por conta da
proximidade do período natural com o período da incidência ambiental. E quando o
tamanho da bolina e o calado são considerados fixos, a influência do período mostra-
se praticamente desprezível para os períodos maiores (30 e 45 segundos) e para o
calado de 21 metros.
77
Com relação aos testes de oscilação forçada, o procedimento de definição do centro
de roll foi fundamental para a compatibilidade desses resultados com os resultados
de decaimento. Infelizmente nem todos os resultados foram satisfatórios. Alguns
resultados para o calado de 7 metros e período de 45 segundos, assim como alguns
resultados para o calado de 21 metros apresentaram valor de amortecimento
negativo. Possivelmente isso ocorreu por causa do amortecimento devido ao atrito no
mancal de suporte do eixo do modelo, desafio a ser enfrentado nos próximos testes
de oscilação forçada.
Uma boa notícia é que os resultados dos testes dos modelos 2D e 3D no LOC e
LABOCEANO foram bem semelhantes. Isso indica que para o caso específico de
FPSOs “new build” com corpo paralelo considerável, a campanha com modelo em
seção 2D seria suficiente para obter os coeficientes de amortecimento em
decaimento livre . Isso reduz os custos dos testes experimentais e facilita um estudo
paramétrico.
Sobre o processamento dos dados dos testes de decaimento foi atestada a
importância da realização de repetições do teste para as mesmas condições a fim de
obter uma “nuvem” de pontos e reduzir a incerteza na obtenção dos coeficientes de
amortecimento. Pelo menos 3 repetições são suficientes para um bom resultado. No
caso dos testes no LOC, as repetições com diferentes ângulos iniciais permitiu a
observação de que os primeiros ciclos não são representativos da física do
movimento real porque a separação do escoamento provocada pela bolina não
evoluiu o suficiente e não há presença de vórtices anteriores (o “colchão de
vorticidade” de SOARES (2013)). É sabido de trabalhos anteriores, como OLIVEIRA
(2003), a interação existente entre os vórtices gerados no passado que podem
influenciar no amortecimento presente. Portanto, quando o teste inicia a partir do
fluido em repouso, o resultado do primeiro ciclo não corresponde à condição real da
plataforma que inicia o movimento em roll em um escoamento perturbado por ação
de ondas e swell. A Figura 72 – Ilustração do procedimento de análise da curva de decaimento
excluindo o primeiro ciclo. ilustra o procedimento de retirada do primeiro ciclo da análise.
78
Figura 72 – Ilustração do procedimento de análise da curva de decaimento excluindo o primeiro ciclo.
Ocorre que com a exclusão do primeiro ciclo diminui-se a amplitude máxima dos
dados finais. Essa foi uma limitação observada no teste de decaimento: o fato de que
através desse tipo de teste só é possível conhecer o amortecimento para ângulos de
até 6 graus aproximadamente. Por isso, no presente trabalho,
Ainda com relação ao processamento dos dados, foi possível concluir que a exclusão
dos ângulos menores que 1 grau diminuiu as incertezas e produziu um resultado final
bastante satisfatório para o ajuste dos testes de decaimento.
Para conhecer os valores de amortecimento acima dos 6 graus, os testes de
oscilação forçada e as simulações em CFD foram a melhor alternativa. Através dos
mesmos é possível inferir que a curva de amortecimento, incluindo grandes ângulos
(𝝓>6º), para FPSOs com bolinas estendidas (h>0,9m) é mais bem ajustada pela
adição de um termo cúbico na consideração do amortecimento, conforme equações
Equação 51 e Equação 52. Para os demais casos, o ajuste tradicional quadrático,
assim como o modelo de previsão semi empírica de IKEDA permanecem aplicáveis.
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84
9 Apêndice
9.1 Amortecimento em Função do Número de Keulegan-Carpenter
Figura 73
Figura 74
85
Figura 75
Figura 76
86
Figura 77
Figura 78
87
Figura 79
Figura 80
88
Figura 81
Figura 82
89
Figura 83
Figura 84
90
Figura 85
Figura 86
91
Figura 87
Figura 88
92
Figura 89
Figura 90
93
Figura 91
Figura 92
94
9.2 Curvas de Histerese para Bolina de 1,20m
Figura 93 - B120_L07_T15_02
Figura 94 - B120_L07_T15_05
Figura 95 - B120_L07_T15_10
95
Figura 96 - B120_L07_T15_15
Figura 97 - B120_L07_T30_02
Figura 98 - B120_L07_T30_05
96
Figura 99 - B120_L07_T30_10
Figura 100 - B120_L07_T30_15
Figura 101 - B120_L07_T45_02
97
Figura 102 - B120_L07_T45_05
Figura 103 - B120_L07_T45_10
Figura 104 - B120_L07_T45_15
98
Figura 105 - B120_L14_T15_02
Figura 106 - B120_L14_T15_05
Figura 107 - B120_L14_T15_10
99
Figura 108 - B120_L14_T15_15
Figura 109 - B120_L14_T30_02
Figura 110 - B120_L14_T30_05
100
Figura 111 - B120_L14_T30_10
Figura 112 - B120_L14_T30_15
Figura 113 - B120_L14_T45_02
101
Figura 114 - B120_L14_T45_05
Figura 115 - B120_L14_T45_10
Figura 116 - B120_L14_T45_15
102
Figura 117 - B120_L21_T15_02
Figura 118 - B120_L21_T15_05
Figura 119 - B120_L21_T15_10
103
Figura 120 - B120_L21_T15_15
Figura 121 - B120_L21_T30_02
Figura 122 - B120_L21_T30_05
104
Figura 123 - B120_L21_T30_10
Figura 124 - B120_L21_T30_15
Figura 125 - B120_L21_T45_02
105
Figura 126 - B120_L21_T45_05
Figura 127 - B120_L21_T45_10
Figura 128 - B120_L21_T45_15