modelagens - bruno monteiro

8/16/2019 Modelagens - Bruno Monteiro

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MINISTÉRIO DA DEFESAEXÉRCITO BRASILEIRO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIAINSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

Real Academia de Artilharia Fortificaç˜ ao e Desenho - 1792

Modelagens de sistemas dinâmicos

Relatório referente à modelagem de meio carro

Bruno Monteiro Rocha Lima

Orientador: Professor Elias Rossi

Rio de JaneiroMaio 2016


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Modelagem de meio carro

A figura 1 é uma representação do problema.

Figura 1: Representação do meio carro

Para que seja desenvolvido o sistema de equações, deve-se olhar para o diagrama docorpo livre do chassi:

Figura 2: Diagrama do corpo livre do chassi após deslocamento de θ e z

Em que F el(1), F el(2), F am(1) e F am(2) são as forças das molas 1 e 2 e amortecedores1 e 2, respectivamente. Considerando que o ângulo de pitch se dá para ângulos muitopequenos,

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F el(1) = k1(z − u1 + aθ) (1)

F el(2) = k2(z − u2 − bθ) (2)

F am(1) = C 1(ż − u̇1 + aθ̇) (3)

F am(2) = C 2(ż − u̇2 − bθ̇) (4)

Com isso, aplicando a segunda lei de Newton e considerando que as posi ções iniciaissão no ponto de equiĺıbrio (o que significa que o peso do Chassi pode ser desconsideradodas equações),

M ̈z =

F z (5)

M ̈z = −k1(z − u1 + aθ) − C 1(ż − u̇1 + aθ̇) − k2(z − u2 − bθ) − C 2(ż − u̇2 − bθ̇) −M g

O que resulta em:

z̈ = −k1 + k2

M z −

C 1 + C 2M

ż +bk2 − ak1

M θ+

bC 2 − aC 1

M θ̇+

k1

M u1+

C 1

M u̇1+

k2

M u2+

C 2

M u̇2−g (6)

Por sua vez, aplicando a equação de Euler:

I θ̈ =

M (7)

I θ̈ = −ak1(z − u1 + aθ) − aC 1(ż − u̇1 + aθ̇) + bk2(z − u2 − bθ) + bC 2(ż − u̇2 − bθ̇)

O que resulta em:

θ̈ = bk2 − ak1

I z +

bC 2 − aC 1

I ż −

a2k1 + b2k2

I θ−

a2C 1 + b2C 2

I θ̇+

ak1

I u1+

aC 1

I u̇1−

bk2

I u2−

bC 2

I u̇2

(8)Escolhendo as variáveis de estado da seguinte forma:

x1 = z (9)

x2 = ż −C 1

M u1 −

C 2

M u2 (10)

x3 = θ (11)

x4 = θ̇ −aC 1

I u1 + bC 2

I u2 (12)

Derivando as equações (10) e (12) chega-se a:

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ẋ2 = z̈ −C 1

M u̇1 −

C 2

M u̇2 (13)

ẋ4 = θ̈ −aC 1

I

u̇1 + bC 2

I

u̇2 (14)

Substituindo as equações (9), (11), (13) e (14) nas equações (6) e (8), vem:

ẋ2 = −k1 + k2

M x1 −

C 1 + C 2M

x2 + bk2 − ak1

M x3 +

bC 2 − aC 1

M x4 +

−C 21 + C 1C 2

M 2 +

abC 1C 2 − a2C 21

M I +

k1

M

u1 +

−

C 1C 2 + C 22

M 2 +

abC 1C 2 − b2C 22

M I +

k2

M

u2 − g(15)

Com

ẋ1 = x2 + C 1

M u1 +

C 2

M u2 (16)

E

ẋ4 = −bk2 − ak1

I x1 +

bC 2 − aC 1

I x2 −

a2k1 + b2k2

I x3 −

a2C 1 + b2C 2

I x4 +

bC 1C 2 − aC 21

M I −

a3C 21 + ab2C 1C 2

I 2 +

ak1

I

u1 +

bC 22 − aC 1C 2

M I +

a2bC 1C 2 + b3C 22

I 2 −

bk2

I

u2(17)

Com

ẋ3 = x4 + aC 1

I u1 −

bC 2

I u2 (18)

Assim, as equações do espaço de estado ficam:

ẋ1ẋ2ẋ3ẋ4

=

0 1 0 0−

k1+k2M

−C 1+C 2M

bk2−ak1

M

bC 2−aC 1

M

0 0 0 1bk2−ak1

I

bC 2−aC 1

I −

a2k1+b2k2I

−a2C 1+b2C 2

I

x1x2x3x4

+

C 1

M

C 2

M 0

−C 21+C 1C 2M 2

+ abC 1C 2

−a2C 2

1

MI + k1

M −

C 1C 2+C 22M 2

+ abC 1C 2

−b2C 2

2

MI + k2

M −1

aC 1

I −

bC 2

I 0

bC 1C 2−aC 2

1

MI −

a3C 2

1+ab2C 1C 2I 2

+ ak1I

bC 2

2−aC 1C 2

MI +

a2bC 1C 2+b3C 22

I 2 −

bk2

I 0

u1u2

g

(19)

E

y =

1 0 0 00 0 1 0

x1x2x3x4

(20)

Considerando os valores do problema, de acordo com a tabela 1:Sabendo que as equações do espaço de estado são da forma

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Tabela 1: Valores das constantes

Parâmetro Valor

Rigidez dianteira (k1) 7000 N

m

Amortecimento dianteiro (C 1) 1340 Nsm

Rigidez traseira (k2) 10000 N

m

Amortecimento traseiro (C 2) 1600 Ns

m

Massa suspensa (M) 800 kg

Momento de inércia do chassi (I) 624 N m2

Distância entre CG e o eixo dianteiro (a) 1,2 m

Distância entre o CG e o eixo traseiro (b) 1,8 m

Altura do CG 0,5 m

−→ẋ = A−→x + B−→u (21)

−→y = C −→x + D−→u (22)

Então,

A =

0 1 0 0

−21, 25 −3, 675 12 1, 590 0 0 1

15, 3846 2, 0385 −68, 0769 −11, 4

B =

1, 675 2 06, 6917 −2, 1884 −12, 5769 −4, 6154 0

−12, 5010 27, 8461 0

C =

1 0 0 00 0 1 0

D =

0 0 00 0 0

A partir das equações do espaço de estados é posśıvel desenvolver um código emMATLAB para gerar gráficos do Pitch e Bounce em função do tempo com as entradas:degrau de 0,10 m de altura, a 30 km/h; quebra mola a 50 km/h (para tal, deve-se utilizaruma função cossenoidal, com amplitude de 0,15 m e 1 m de comprimento); imperfei çãona estrada (”costelas”) a 80 km/h (para tal, utilizar uma função senoidal, com amplitudede 0,04 m, com 15 picos e 6 m de comprimento).

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Figura 5: Bounce para véıculo passando por um degrau de 0,10 m de altura positiva, a30 km/h

O Pitch e o Bounce começam no zero e depois de aproximadamente 3,8 segundos elesestabilizaram em -0,12 rad e -0,53 m, respectivamente. Isso significa que na posição deequiĺıbrio do carro, ele tende para frente, em um ângulo de 6,87o (0,12 rad) e seu centrode massa cai em 0,53 m. Como o centro de massa está deslocado para frente (pois a < b)

e, consequentemente, a distribuição de peso é maior na parte dianteira, e, além disso, aconstante de mola é menor na parte dianteira (k1 < k2), era de se esperar que houvesseuma angulação negativa.

Uma análise a ser feita é com a altura do centro de gravidade. Essa altura é de 0,5m e o valor do Bounce no equiĺıbrio é maior que isso em módulo. Ademais, antes deestabilizar, o Bounce passa por um pico de aproximadamente -0,67 m. Considerandoessas informações, o Chassi bateria no chão enquanto o carro estivesse estabilizando e iriaandar arrastando sua carroceria no mesmo. A análise daqui para frente será feita comose o chassi do carro estivesse condições de não manter contato com o chão.

Em 5 segundos a roda dianteira passa pelo degrau e o Pitch aumenta o seu valor, apesar

de continuar negativo. Isso acontece porque o carro fica inclinado para cima, já que subiuno degrau. O sistema de suspensão estava começando a estabilizar o carro, por isso dacurvatura. Entretanto, antes de estabilizar, a roda traseira passa pelo degrau, tendo umadiminuição do Pitch e, logo após, a estabilização do ângulo. Depois de aproximadamente8 segundos o carro estabiliza no mesmo valor do ponto de equiĺıbrio (-6,87o). Isso era dese esperar, já que o carro não tem mais inclinação quando a dianteira e traseira do véıculopassa pelo degrau.

No tempo igual a 5 segundos a roda dianteira passa pelo degrau e o Bounce aumentaaproximadamente linear porque o tempo entre a roda dianteira e traseira passando pelodegrau é muito pequeno e, portanto, esse é muito pequeno para que o sistema de sus-

pensões atue para estabilizá-lo. Depois da roda traseira passar pelo degrau, o sistema desuspensões atua no carro, estabilizando o Bounce e fazendo-o convergir para um valor de-0,43 m ( o que era de se esperar, visto que o degrau tem uma altura de 0,1 m).

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Para um degrau de 0,10 m de altura negativa, a 30 km/h, foi posśıvel chegar aoseguinte gráfico:

Figura 6: Véıculo passando por um degrau de 0,10 m de altura negativa, a 30 km/h

A análise é análoga ao caso anterior, mas ”espelhado”no momento em que o véıculo

passa pelo degrau. Além disso, o Bounce estabiliza num valor de -0,63 m, já que o degraué para baixo.

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Figura 9: Bounce para véıculo passando por um quebra mola positivo a 50 km/h

O estado de equiĺıbrio do véıculo é análogo ao caso anterior, ou seja, o Pitch estabilizaem -6,87o e o Bounce em -0,53 m. A explicação é a mesma que no caso anterior.

Quando a roda dianteira, no tempo de 5 segundos, começa a passar pelo quebra molae chega ao pico dela, o Pitch aumenta de valor porque o carro fica inclinado para cima e

o chassi adquire uma velocidade para cima. Quando a roda começa a descer pelo pico dalombada, o valor do Pitch deveria começar a diminuir, entretanto ele aumenta um poucomais. Isso acontece porque a roda acompanha a lombada, mas a carroceria já tinha umavelocidade para cima, fazendo com que, mesmo que a roda desça, o Pitch aumente umpouco e sendo amortecido pela suspensão. Após a lombada, o Pitch tende a voltar aoponto de equiĺıbrio, pela ação da suspensão. Entretanto, antes de voltar ao equiĺıbrio eapós a roda traseira começar a passar pelo quebra mola, o Pitch diminui. Isso aconteceporque desde o momento que a roda traseira toca a lombada até o pico dela, o carroinclina para baixo. Logo após o carro passar pela lombada, o Pitch volta ao estado deequiĺıbrio (-6,87o), o que era de se esperar.

Quando a roda dianteira começa a passar pela lombada, o Chassi adquire velocidade

para cima e o Bounce sobe porque o centro de gravidade também sobe por passar pelalombada. Antes do véıculo voltar ao estado de equiĺıbrio, ou seja, o Bounce começar adiminuir, a roda traseira passa pela lombada, aumentando a energia cinética do Chassi eaumentando ainda mais o Bounce. Após esse evento, o carro volta ao estado de equiĺıbrioe o Bounce volta para o valor de -0,53 m, o que era de se esperar.

Para o véıculo passando por um quebra mola negativo a 50 km/h, foi obtido o seguintegráfico:

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Figura 10: Véıculo passando por um quebra mola negativo a 50 km/h

Como era de se esperar, o gráfico tem um aspecto ”espelhado”em relação ao anteriorno momento em que o véıculo passa pela lombada. As análises são análogas a anterior.

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Resposta à imperfeição na estrada (”costelas”) a 80 km/h

A análise foi considerada apenas para imperfeições positivas porque é o mais comumem estradas.

Após a programação em MATLAB, foi posśıvel chegar ao seguinte gráfico para um

véıculo passando por imperfeições na estrada (”costelas”) a 80 km/h:

Figura 11: Véıculo passando por imperfeições na estrada (”costelas”) a 80 km/h

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Figura 12: Pitch para véıculo passando por imperfeições na estrada (”costelas”) a 80km/h

Figura 13: Bounce para véıculo passando por imperfeições na estrada (”costelas”) a 80km/h

O estado de equiĺıbrio do véıculo é análogo ao caso anterior, ou seja, o Pitch estabiliza

em -6,87o

e o Bounce em -0,53 m. A explicação é a mesma que nos casos anteriores.Quando a roda dianteira começa a passar pelas imperfeições, o Pitch adquire umaconfiguração oscilatória e aumenta. Isso acontece porque a cada vez que a roda passa por

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uma imperfeição, o carro aumenta a velocidade do Chassi para cima e também inclinao carro para cima. A oscilação acontece porque há a passagem de uma imperfeição aoutra pela roda. Quando a roda traseira começa a passar pela imperfeição, o Pitch, aindaoscilando, começa a diminuir. Isso acontece porque o carro inclina para baixo cada vez quea roda traseira passa pelas costelas. Nota-se que, mesmo com a roda dianteira passando

pelas imperfeições, o que é mais pronunciado é a passagem da roda traseira, porque oPitch diminui. Essa diminuição é mais pronunciada ainda quando as rodas dianteiras nãopassam mais nas imperfeições. Depois das rodas passarem das imperfeições, o Pitch voltaao estado de equiĺıbrio, como o esperado.

O Bounce, após o tempo de acomodação, só aumenta quando tanto a roda dianteirae/ou traseira passam pelas imperfeições. Isso acontece justamente porque o Chassi, acada vez que a roda passa por uma costela, ganha energia cinética e a velocidade paracima. A perda de energia proveniente dos amortecedores é menor que o ganho de energiaao se passar pelas lombadas. Por isso, o Chassi aumenta sua velocidade para cima e,consequentemente, o Bounce aumenta. Depois das rodas passarem das imperfei̧cões, o

Bounce volta ao estado de equiĺıbrio, como o esperado.

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Conclus̃ao

A modelagem matemática do meio carro foi satisfatória. De acordo com os gráficosanalisados e associando com a f́ısica do problema, os resultados fazem sentido. O únicoproblema é o estado de equiĺıbrio do Bounce que é maior em valor absoluto que o centro

de gravidade, fazendo com que o carro arrastasse no chão, o que não é o ideal.

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