modelagem matemática de predação com comportamento...

- 1 -

Revista Vozes dos Vales – UFVJM – MG – Brasil – Nº 11 – Ano VI – 05/2017 Reg.: 120.2.095–2011 – UFVJM – QUALIS/CAPES – LATINDEX – ISSN: 2238-6424 – www.ufvjm.edu.br/vozes

Ministério da Educação – Brasil

Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri – UFVJM

Minas Gerais – Brasil Revista Vozes dos Vales: Publicações Acadêmicas

Reg.: 120.2.095 – 2011 – UFVJM ISSN: 2238-6424

QUALIS/CAPES – LATINDEX Nº. 11 – Ano VI – 05/2017

http://www.ufvjm.edu.br/vozes

Modelagem matemática de predação com comportamento logístico

Profª. Drª. Jaqueline Maria da Silva Doutora em Modelagem Computacional pelo Laboratório

Nacional de Computação Científica - LNCC Docente do Instituto de Ciência, Engenharia e Tecnologia - ICET da

Universidade Federal Dos Vales Do Jequitinhonha e Mucuri - UFVJM Minas Gerais - BRASIL

http://lattes.cnpq.br/4343491423219191 E-mail: [email protected]

Adilson Pereira Andrade Júnior

Graduando em Ciência e Tecnologia - UFVJM - MG - BRASIL http://lattes.cnpq.br/1964882038588400

E-mail: [email protected]

Anna Karolina Guimarães Ataíde Graduando em Ciência e Tecnologia - UFVJM - MG - BRASIL


Mhaessa Batista Franco

Graduando em Ciência e Tecnologia - UFVJM - MG - BRASIL http://lattes.cnpq.br/5348224169754518

E-mail: [email protected]

Flávio Henrique dos Santos Graduado em Engenharia Mecânica - UFVJM - MG - BRASIL



http://lattes.cnpq.br/4343491423219191

mailto:[email protected]









- 2 -


Resumo: Este trabalho apresenta uma discussão sobre o comportamento do modelo matemático do tipo presa predador analisando o comportamento de cada espécie, a interação entre elas e a inclusão de uma nova fonte de alimento para a espécie predadora. O modelo apresentado está baseado no tradicional modelo de predação de Lotka-Volterra e o controle de natalidade será feito baseado no modelo de crescimento logístico de Verhulst.

Palavras-chave: Modelo Presa-predador, Modelagem Matemática, Modelagem Computacional, Estudos de Populações, Modelo Logístico.

Introdução

De uma forma geral, o estudo da dinâmica de populações em áreas urbanas, rurais ou até mesmo em ambientes florestais facilita a compreensão do crescimento populacional ao longo do tempo. Os biossistemas estão quase sempre constituídos de um grande número de populações inter-relacionadas. Assim, uma população raramente pode ser considerada isolada. Até mesmo quando se analisa uma população isoladamente, muitos fatores podem contribuir com sua dinâmica – fatores abióticos (temperatura, vento, umidade etc.) e fatores de autorregulação (espaço, alimento, idade, guerras etc), (BASSANEZI, 2009).

A proposta de utilizar a Matemática para estabelecer modelos de crescimento populacional humano começou com o economista inglês T. R. Malthus (MALTHUS, 1798). Ele se baseou nos postulados de que uma população humana necessita de alimento e interação entre seus indivíduos para crescer e evoluir. Além disso, Malthus afirmava que a população aumenta em razão geométrica e os meios de subsistência em razão aritmética. Atualmente, considera-se que o crescimento populacional é proporcional à população em cada instante, ou seja, na forma de crescimento exponencial ou de uma progressão geométrica.

Em 1925 Alfred J. Lotka e em 1926 Vito Volterra propuseram independentemente um par de equações diferenciais não lineares de primeira ordem que são frequentemente utilizadas para descrever a dinâmica de sistemas biológicos, particularmente quando duas espécies interagem, uma como presa e outra como predadora (CUNHA, 2008).

O modelo matemático de Vito Volterra pretendia descrever o observado aumento da população de uma espécie de peixe predador, e consequente diminuição da população uma espécie de peixe presa, no Mar Adriático durante a Primeira Guerra Mundial (VOLTERRA, 1926); (VOLTERRA, 1931). Simultaneamente, o químico e matemático Alfred Lotka desenvolveu um modelo para descrever reações químicas, nas quais as concentrações dos elementos químicos oscilavam, um processo semelhante àquele que ocorre com populações em competição (LOTKA, 1925); (LOTKA, 1956).

O modelo Lotka-Volterra é dado na forma:

- 3 -


(1)

No modelo 1, e representam, respectivamente, a população de presa e de

predador;

e

são as taxas de variação da presa e do predador, respectivamente;

o parâmetro a representa a taxa de reprodução da presa; b representa a taxa de mortalidade natural do predador; e são os parâmetros que representam as interações entre presa e predador (SILVA, 2011; MOREIRA e SILVA, 2012). Segundo (BOYCE e DIPRIMA, 2006), este modelo possui quatro pontos de equilíbrio:

O ponto =(0, 0) representa a extinção de ambas espécies; =(

, 0)

representa a extinção apenas das presas; =(0,

) representa a extinção apenas

dos predadores e =(

) que representa a coexistência entre ambas espécies,

conforme mostra o campo de direções da Figura 1.

Figura 1: Diagrama de fases do modelo de predação

Aa Figura 1 também mostra que as trajetórias do modelo de competição são curvas fechadas elípticas, centradas no ponto de equilíbrio. Inicialmente, a população de presas cresce e, com a maior disponibilidade de alimento, a população de predadores também cresce. Ao longo do tempo, devido à maior predação, a população de presas diminui, enquanto a população de predadores atinge o máximo suportado pelo sistema e, posteriormente, por falta de alimento, começa a diminuir. Enfim, com a diminuição da população de predadores, a população de presas volta a crescer e ciclo repete-se. Dessa forma o sistema oscila de forma indefinida.

Por outro lado, o modelo logístico foi inicialmente proposto por Pierre F. Verhulst em 1837 (BASSANEZI, 2006) tem sido utilizado para modelar distintas situações. Por exemplo, em (SILVA et all, 2013), o modelo foi aplicado para analisar o crescimento de populações de municípios mineiros, crescimento de tilápias (Pseudocrenilabrinae) e propagação de podridão de maçãs, (BASSANEZI e

- 4 -


POMPEU JUNIOR, 2005); (BASSANEZI, 2012). O modelo logístico é convencionalmente dado por:

(2)

No modelo 2,

representa a taxa de variação de indivíduos na população, r

representa a constante de crescimento máximo e representa a capacidade suporte de indivíduos na população. A Figura 2 apresenta o comportamento do modelo 2 considerando diferentes valores para a população inicial e mostra que, ao longo do tempo, a população tende a alcançar sua capacidade suporte.

Figura 2: Modelo logístico com capacidade suporte K para diferentes valores

iniciais de .

De uma forma geral, os estudos de modelos matemáticos propõem um crescimento populacional otimizado, permitindo ações diversas tais como evitar a proliferação de doenças infectocontagiosas, equilibrar a competição por espaço físico e/ou recursos naturais, evitar guerras, propor planos de manutenção da fome e da pobreza, praticar a prevenção e até mesmo da contenção do crescimento de uma população ao longo de períodos pré-determinados, quando for necessário, considerando os indivíduos idênticos e que adotam o mesmo comportamento.

Quando estuda-se o crescimento de populações, sempre é possível adotar a modelagem matemático-computacional como ferramenta de estudo e investigação. Tais estudos consistem na utilização gradativa de cada fator que interfere na dinâmica de crescimento da população, dependendo do seu grau de importância. Como ferramenta de trabalho, de uma forma geral, a modelagem é capaz de auxiliar na predição do comportamento das gerações futuras de uma sociedade, considerando o ponto de vista socioeconômico, ambiental e até mesmo cultural.

Na literatura há diversos textos científicos que abordam a interação entre duas espécies de peixes e que consideram o esforço da pesca, em que o peso da variação do nível da água e esse esforço de pesca influenciam o comportamento do modelo inversamente. Sendo assim, quanto maior o valor de tais parâmetros, menor é a interação entre as espécies e a densidade das populações de peixes (NASCIMENTO et all, 2015). Há também, modelos que consideram a interação de

- 5 -


multi-espécies (NASCIMENTO e SILVA, 2016) e que se mostram extremamente sensíveis à variação de parâmetros populacionais. Por outro lado, em (BRUNET et all, 2012) os autores usam o mesmo modelo para analisar o comportamento da interação competitiva entre a joaninhas e pulgões e (ODUM, 2007) apresenta a modelagem representativa da competição entre lebres e linces.

Desta forma, este trabalho apresenta uma discussão mais detalhada sobre o comportamento do modelo inicialmente proposto em (SANTOS et all, 2012) de forma o modelo matemático de competição de Lotka-Volterra para crescimento populacional seja analisado juntamente com o modelo de crescimento logístico. Além disso, o trabalho propõe uma análise do comportamento de suas soluções e propõe a prática de simulações computacionais dos modelos matemáticos usando a interação entre o peixe lebiste e a larva do mosquito da dengue como um estudo de caso para discutir o comportamento do modelo matemático, assim como os resultados encontrados.

O modelo matemático

O modelo matemático proposto aborda os conceitos do modelo logístico de Verhulst e do modelo de competição Lotka-Volterra. Foi adicionado uma fonte extra de

alimentação para os predadores . Esta estratégia se justifica em função da inibição da população de predadores que ocorre quando há insuficiência de presas. Considerando este novo parâmetro, o modelo matemático proposto é então dado por:

(3)

Os termos e do modelo (3) representam os controladores de natalidade das presas e predadores respectivamente; é a

quantidade de presas que passam por um limiar de fome; é o correspondente dessa para a população de predadores.

Um estudo de caso

Uma abordagem consistente na avaliação dos processos interativos dentro das comunidades aquáticas é o conhecimento da dieta de peixes, cujo espectro alimentar pode ser influenciado tanto pelas condições ambientais como pela biologia de cada espécie (WINEMILLER, 1989).

Em muitas populações de peixes, os indivíduos podem apresentar preferências alimentares conduzindo a um forrageamento específico. Porém, alterações na dieta de peixes podem ser regidas por modificações espaciais e sazonais do habitat (SILVA et all, 2015), se levado em conta que locais e períodos distintos dispõem de diferentes condições abióticas e de ofertas de alimento

http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Cleft%20(1-%20%5Cfrac%7Bx%7D%7BK%7D%20%20%5Cright%20)

http://api.gmath.guru/cgi-bin/gmath?%5Cdpi%7B480%7D%5Cleft%20(1-%20%5Cfrac%7Bx%7D%7BK%7D%20%20%5Cright%20)

- 6 -


(NASCIMENTO e SILVA, 2016). Segundo (AGOSTINHO, 1999), a maioria dos peixes pode mudar de um alimento para outro, tão logo ocorram alterações na abundância relativa do recurso alimentar em uso, (DILL, 1983; KIEFFER e COLGAN, 1992).

Na seção a seguir, apresentam-se alguns resultados obtidos e também uma análise crítica deste modelo matemático considerando a influência de uma fonte de alimentação extra para um predador na dinâmica da população, que é considerada constante em relação ao tempo. Analisa-se a interação entre duas populações, considerando que a população de presas poderá ser extinta e o ambiente deverá ser capaz de sustentar a população de predadores sem deixar que essa chegue a zero, mantendo o ambiente sem a presa.

Como hipótese para verificar o comportamento do modelo, tentou-se simular a extinção da larva do mosquito da dengue (Aedes aegypti) ao ser predada pelo peixe lebiste da espécie Poecilia reticulata, também conhecido como “barrigudinho”, originária da América Central e que é apresentado na Figura 1 e é conhecido por ser um predador natural da larva do mosquito da dengue e chegou a ser inserido na comunidade rural de Dracena/SP para controlar as larvas do Aedes aegypti em bebedouros de animais (FERREIRA E SAMPAIO, 1996); (ANDRADE E SANTOS, 2004).

Figura 3: Peixe Lebiste (Poecilia reticulata).

Imagem retirada de www.google.com.br.

É importante ressaltar que, embora bastante utilizado para representar interações entre indivíduos em populações, o tradicional modelo matemático proposto por Lotka-Volterra infelizmente não é capaz de representar a sobrevivência da população de predadores caso as presas sejam extintas por qualquer motivo externo.

Discussão dos Resultados

Nesta seção apresenta-se os resultados obtidos com a simulação computacional do modelo matemático proposto, assim como uma discussão dos mesmos. Dividiu-se a apresentação dos resultados em três subseções que descrevem o comportamento do modelo em relação ao tempo, em relação aos diagramas de fase e em relação aos campos de direção, respectivamente.

- 7 -


Variação no Tempo

Nesta subseção apresentamos uma discussão dos resultados obtidos com a variação do parâmetro em relação ao tempo t. As Figuras 4, 5, 6 e 7 apresentadas a seguir mostram os resultados obtidos utilizando dados iniciais das populações

x=12 e y=16 e os parâmetros , , , .. Para analisar o comportamento do modelo em relação à presença de outra

fonte de alimento para o predador, variou-se os valores de = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 e 100.

A Figura 4(a), sugere que na ausência de alimento extra, a característica periódica do modelo de predação é atenuada ao longo do tempo, passando a ter características logísticas. As Figuras 4(b) e (c) indicam que o fornecimento de alimento φ eleva a população de equilíbrio final dos predadores. Já as Figuras 4(d) e (e) apresentam que, mesmo havendo alimento extra suficiente aos predadores, os mesmos interagirão (por instinto) com as presas e eliminarão a população de presas.

(a) (b) (c)

Figura 4: Variação no tempo para os valores de , e .

(d) (e) (f)


- 8 -


(g) (h) (i)


(j) (k)

Figura 7: Variação no tempo para os valores de e .

Este tipo de modelagem, que associa matemática e simulação computacional, tem se mostrado extremamente útil pois os modelos matemáticos utilizados podem descrever vários fenômenos, inclusive a dificuldade que determinados sistema predador-presa têm para atingir situações estacionárias, necessitando de grandes intervalos de tempo.

Diagramas de Fase

Nesta subseção apresenta-se uma discussão dos resultados obtidos considerando os diagramas de fase do modelo proposto. As Figuras 8, 9, 10 e 11 a seguir

apresentam os resultados considerando a variação do parâmetro que assume os mesmos valores que na subseção anterior.

(a) (b) (c)

Figura 8: Diagrama de fases para os valores de , e .

- 9 -


(d) (e) (f)

Figura 9: Diagrama de fases para os valores de , e .

(g) (h) (i)

Figura 10: Diagrama de fases para os valores de , e

(j) (k)

Figura 11: Diagrama de fases para os valores de e .

Campos de Direção

Nesta subseção apresenta-se uma discussão dos resultados obtidos considerando os campos de direção do modelo proposto. Os campos de direção apresentados nas Figura 12, 13, 14 e 15 abaixo mostram como um valor inicial tende a converter a trajetória do sistema

- 10 -


(a) (b) (c)

Figura 12: Campos de direção para os valores de , e .

(d) (e) (f)


(g) (h) (i)


- 11 -


(j) (k)

Figura 15: Campos de direção para os valores de e .

Observa-se que, diferentemente do modelo de competição de Lotka-Volterra, o modelo matemático proposto prevê o valor de equilíbrio que reflete a coexistência entre as duas populações.

Considerações Finais

Com o modelo matemático proposto foi possível analisar e compreender a interação entre duas espécies de forma dinâmica e, com isso, auxiliar na elaboração de propostas de manejo de espécies presa-predador que habitam parques de preservação, onde o fornecimento de alimento extra aos predadores de grande porte é relativamente regular.

Pode-se verificar com os resultados que o fornecimento de alimento ajuda na manutenção da população de predadores, o que é bom para o caso da interação entre lebiste e as larvas do mosquito da dengue. Entretanto o uso indiscriminado deste recurso em parques ecológicos pode influenciar negativamente na manutenção da população de presas.

- 12 -


Referências

AGOSTINHO, A. A.; JÚLIO JÚNIOR, H. F. Peixes da bacia do alto rio Paraná. In: LOWE-McCONNELL, R. H. Estudos ecológicos de comunidades de peixes tropicais. Tradução de Anna Emília A.M. Vazzoler; Angelo Antonio Agostinho; Patrícia T. M. Cunningham. São Paulo: EDUSP, 1999. p. 374-399. Título original: Ecological studies in tropical fish communities.

ANDRADE, C. F. S; SANTOS, L. U. O uso de predadores no controle biológico de mosquitos, com destaque aos Aedes. Departamento de Zoologia. Instituto de Biologia. Universidade Estadual de Campinas - Unicamp. Disponível em www2.ib.unicamp.br/profs/eco_aplicada/arquivos/artigos_tecnicos

BASSANEZI, R. C.; POMPEU JUNIOR, G. Um estudo de modelagens alternativas: Podridão da Maçã. Biomatemática. N. 15. p. 97-118, 2005.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. Editora Contexto, 2009.

BASSANEZI, R. C. Temas & Modelos. Universidade Federal do ABC, 2012.

BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. LTC. 2006

BRUNET, A. R. G.; PROENÇA, M. S.; GELLER, M.; PRESTES, R. F., NINOW, V. Dinâmica de Populações, Modelo de Lotka-Volterra e Tecnologias: Análise de um Projeto Interdisciplinar. Novas Tecnologias na Educação. CINTED-UFRGS. V. 10, N. 3, 2012.

CUNHA, A. R. Não Localidade e Formação de Padrão na Equação de Fisher Kolmogorov. Tese de Doutorado. UnB. Brasília, 2008.

DILL, L.M. Adaptive flexibility in the foraging behavior of fishes. Can. J. Fish. Aquat. Sci., Ottawa, v. 40, p. 398- 408, 1983.

FERREIRA, L. F. H.; SAMPAIO, S. M. Proposta de territorialização das ações municipais de controle dos vetores da dengue e febre amarela no município de Dracena. Relato de experiência. XI Jornada Paulista de Parasitologia. Faculdade de Saúde Pública U.S.P., 25 e 26 de Outubro, resumo pág. 2. 1996.

KIEFFER, J. D., COLGAN, P. W. The role of learning in fish behaviour. Reviews in Fish Biology and Fisheries, 2, 125-143. 1992.

LOTKA, A. J. Elements of Physical Biology. William and Wilkins, Baltimore, 1925.

LOTKA, A. J. Elements of Mathematical Biology. Dover, New York, 1956.

MALTHUS, T. R. An Essay on the principle of population. J. Johnson, London, 1798.

- 13 -


MOREIRA, M.; SILVA, J. M. Estudo da interação entre peixes presas e predadores no Vale do Mucuri. Anais do Congresso de Matemática Aplicada e Computacional. CMAC Nordeste, 2012.

NASCIMENTO, T. S.; OLIVEIRA, A. P.; SANTOS, J. K. R.; SILVA, J. M. Estudo Analítico de um Modelo de Competição para a Interação entre Espécies de Peixes. Proceedings Series of de Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics, Vol 3, N. 2, 2015.

ODUM, E. P.; BARRET, G. W. Fundamentos de ecologia. Thomson Pioneira, São Paulo, 2007.

SANTOS, F. H.; COUTO, S. H.; WELTER, C.; SILVA, J. M. Análise de um sistema de predação com controle logístico de natalidade. Anais do Congresso de Matemática Aplicada e Computacional. CMAC Nordeste, 2p. 450-452. 012.

SILVA, J. M. Modelos para a Dinâmica da Vegetação em Areas Alagáveis Amazônicas, Tese de Doutorado. Petrópolis. LNCC, 2011.

SILVA, J. M.; GOMES, J. L.; MOREIRA, M. A.; SANTOS, F. H. Análise dos parâmetros populacionais de municípios do nordeste mineiro. Revista Científica Vozes dos Vales. Ano II, N. 3, 2013.

SILVA, J. M.; NASCIMENTO, T. S., Modelagem da interação Presa-Predador para Multi-espécies, Revista Científica Vozes dos Vales. Ano V, N. 10, 2016.

SILVA, J. M.; OLIVEIRA, A. P.; SANTOS, J. K. R.; NASCIMENTO, T. S. Modelagem dos efeitos da variação do nível hidrométrico na interação de peixes. Revista Científica Vozes dos Vales. V. 8, p. 1-12, 2015.

VOLTERRA, V. Fluctuations in the abundance of a species considered mathematically, Nature, 118, 558, 1926.

VOLTERRA, V. Variations and fluctuations of the number of individuals in animal species living together, In: R.N. Chapman, Animal Ecology, McGraw–Hill, New York, 1931.

WINEMILLER, K.O. Ontogenetic diet shifts and resource partitioning among piscivorous fishes in the Venezuelan llanos. Environ. Biol. Fishes, Dordrecht, v. 26, p. 177-199, 1989.

- 14 -


Processo de Avaliação por Pares: (Blind Review - Análise do Texto Anônimo)

Publicado na Revista Vozes dos Vales - www.ufvjm.edu.br/vozes em: 05/2017

Revista Científica Vozes dos Vales - UFVJM - Minas Gerais - Brasil

www.ufvjm.edu.br/vozes

www.facebook.com/revistavozesdosvales

UFVJM: 120.2.095-2011 - QUALIS/CAPES - LATINDEX: 22524 - ISSN: 2238-6424

Periódico Científico Eletrônico divulgado nos programas brasileiros Stricto Sensu

(Mestrados e Doutorados) e em universidades de 38 países,

em diversas áreas do conhecimento.



http://www.facebook.com/revistavozesdosvales

modelagem matemática de predação com comportamento...

Documents