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  • Equaes Integrais de Volterra em Escalas

    Temporais

    Iguer Luis Domini dos Santos

    Symposium in Real Analysis XXXVII

    Junho de 2013

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Introduo

    I Clculo em escalas temporais: introduzido por (Hilger, 1988) paraunicar o clculo de diferena e o clculo diferencial.

    I Aplicaes em modelagem matemtica: (Agarwal et al., 2002);(Bohner and Peterson, 2003).

    I Incluses Dinmicas: (Akin-Bohner and Sun, 2011); (Frigon andGilbert, 2011); (Santos and Silva, 2013).

    I Clculo das Variaes: (Bohner, 2004); (Hilscher and Zeidan,2004); (Malinowska et al., 2011).

    I Teoria do Controle: (Hilscher and Zeidan, 2011); (Liu et al., 2011);(Peng et al., 2011).

    I Programao Dinmica: (Hilscher and Zeidan, 2012); (Zhan et al.,2009).

    I Equaes Integrais de Volterra: (Adivar and Raoul, 2010); (Kulikand Tisdell, 2008); (Pachpatte, 2009).

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Equaes delta integrais

    Com base em (Burton, 2005), (Kulik and Tisdell, 2008) estudam

    x(t) = f (t) +

    [a,t)T

    k(t, s, x(s))s (1)

    x(t) = f (t) +

    [a,t)T

    k(t, s, x((s))s (2)

    onde t T.Existncia de solues supondo:

    I k : [a,)2T Rn Rn contnua na primeira e terceira varivel erd-contnua na segunda varivel.

    Ik(t, s, p) k(t, s, q) Lp q

    (t, s) [a,)2T, (p, q) R2n.

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Preliminares

    Usamos as convenes:

    I se x Rn denotamos a norma euclidiana de x por x.

    I se A,T R, tem-se AT := A T.

    I Uma escala temporal T R um conjunto no-vazio e fechado.

    I Usaremos uma escala temporal T compacta, sendo a = minT eb = maxT.

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Denio

    Dene-se : T T como

    (t) = inf{s T : s > t}.

    Estamos supondo que inf = supT.

    Lema (Cabada and Vivero, 2006)

    Existem I N e {ti}iI T tal que

    RS := {t T : t < (t)} = {ti}iI .

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Integrao em escalas temporais

    I A -lgebra de subconjuntos de T ser denotada por .

    I constituda de conjuntos -mensurveis.

    I Para funes f : T R a noo de integrao pode ser encontradaem (Bartle, 1995), (Royden, 1968) e (Rudin, 1987).

    Denotamos a integral de uma funo f : T R sobre E porE

    f (s)s.

    I Chamamos essa integral de -integral de Lebesgue de f sobre E .

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Integrao

    I Denotaremos por L1(E ,Rn) o conjunto das funes f : T Rn-integrveis sobre E .

    I Dada uma funo f : T Rn dena f : [a, b] Rn por

    f (t) =

    {f (t), t Tf (ti ), t (ti , (ti )) para algum i I ,

    onde I N e {ti}iI = RS .I Seja E T e dena

    E = E iIE

    (ti , (ti ))

    ondeIE := {i I : ti E RS} .

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Teorema (Cabada and Vivero, 2006)

    Seja E tal que b 6 E. Ento, f L1(E ,Rn) se, e somente se,f L1(E ,Rn) . Neste caso,

    E

    f (s)s =

    E

    f (s)ds.

    Teorema

    Sejam : [t0, t1] [0,+) Lebesgue integrvel e : [t0, t1] [0,+)contnua. Suponha que

    (t) K + L tt0

    (s)(s)ds

    para todo t [t0, t1], com K 0 e L 0. Ento

    (t) K exp L tt0

    (s)ds

    para todo t [t0, t1].Santos, I. L. D. FEIS/UNESPEquaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Existncia de solues

    I g : T T Rn Rn e f : T Rn.Consideramos

    x(t) = f (t) +

    [a,t)T

    g(t, s, x(s))s (3)

    x(t) = f (t) +

    [a,t)T

    g(t, s, x((s))s (4)

    onde t T e x : T Rn a funo incgnita.

    I A existncia de solues contnuas para (4) pode ser encontrada em(Kulik and Tisdell, 2008).

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Existncia

    Teorema

    Sejam L e k nmeros positivos. Suponha que

    a) f uma funo contnua.

    b) g contnua em

    U = {(t, s, x) : s, t T e |x f (s)| k}

    c) g satisfaz a condio de Lipschitz com relao a x

    |g(t, s, x) g(t, s, y)| L|x y |

    em {(t, s, x) : a s t b e |x f (s)| k}.Se M = maxU |g(t, s, x)|, ento existe b1 T \ {a} tal que a equaointegral (3) tem uma nica soluo contnua no intervalo [a, b1]T.

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Demonstrao.

    Se (a) > a tome b1 = (a). Logo a funo x : [a, b1]T Rn dada porx(a) = f (a) e x(b1) = (b1 a)g(b1, a, f (a)) + f (b1) uma soluo paraa equao ??.Se (a) = a seja b1 T tal que b1 > a, (b1 a)L < 1 e (b1 a) kM .Se C ([a, b1]T,Rn) o conjunto de todas as funes contnuas comdomnio [a, b1]T e contradomnio Rn munido da norma do mximo, sejaF dado por

    F = { C ([a, b1]T,Rn) : f k}.

    Dena o operador T : F F por

    T ()(t) = f (t) +

    [a,t)T

    g(t, s, (s))s.

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Continuidade de solues

    Sejam x(t) e y(t) solues das equaes

    x(t) = f1(t) +

    [a,t)T

    g(t, s, x(s))s (5)

    e

    y(t) = f2(t) +

    [a,t)T

    g(t, s, y(s))s (6)

    em T, com f1 f2 , ento para g de Lipschitz devemos terx y .

    Hipteses:

    I f1, f2 : T Rn e g : U Rn funes contnuas, com

    U = {(t, s, x) : a s t b, x Rn}.

    I Existe L > 0 tal que |g(t, s, x) g(t, s, y)| L|x y | em U.Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Teorema

    Sejam x(t) e y(t) solues de (5) e (6), respectivamente, em T. Se = f1 f2 ento

    x(t) y(t) eL(ta)

    para todo t T.

    Prova: Temosx(t) y(t)

    + L[a,t)T

    x(s) y(s)s.

    Seja h : T Rn dada por h(s) = x(s) y(s). Para todo t [a, b]tem-se

    h(t) + L[a,t)

    h(s)ds

    Do Lema de Gronwall temos

    h(t) eL(ta)Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Sejam x(t) e y(t) solues das equaes

    x(t) = f1(t) +

    [a,t)T

    g(t, s, x((s)))s (7)

    e

    y(t) = f2(t) +

    [a,t)T

    g(t, s, y((s)))s (8)

    em T, com f1 f2 , ento para g de Lipschitz devemos terx y .

    Teorema

    Sejam x(t) e y(t) solues de (7) e (8), respectivamente, em T. Se = f1 f2 e L(b a) < 1 ento

    x(t) y(t) + L(b a)MeML(ta)

    para todo t T, onde M = 11(ba)L .

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Convergncia de solues

    Hipteses:

    I {gk} uma sequncia de funes contnuas,

    gk(t, s, x) C (1 + x)

    para todo (t, s, x) T T Rn.I {fk} uma sequncia de funes fk : T Rn uniformemente limitadae equicontnua tal que fk f .

    I Para cada compacto B Rn, gk(t, s, x) g(t, s, x) em T T B.I |gk(t, s, x) gk(t, s, y)| L|x y | para todo k.

    I para cada > 0 e M > 0, existe > 0 tal que [k um inteiro, s T,| t t1 |< , t, t1 T, x M] implicagk(t, s, x) gk(t1, s, x) | t t1 | .

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Teorema

    Para cada k, k(t) uma soluo contnua de

    k(t) = fk(t) +

    [a,t)T

    gk(t, s, k(s))s,

    t T.Ento existe uma subsequncia {kj } {k} e uma funo : T Rntal que kj , e satisfaz

    (t) = f (t) +

    [a,t)T

    g(t, s, (s))s

    em T.

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Teorema

    Para cada k, k(t) uma soluo contnua de

    k(t) = fk(t) +

    [a,t)T

    gk(t, s, k((s)))s,

    t T.Se C (b a) < 1, ento existe uma subsequncia {kj } {k} e umafuno : T Rn tal que kj , e satisfaz

    (t) = f (t) +

    [a,t)T

    g(t, s, ((s)))s

    em T.

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    R. Agarwal, M. Bohner, D. O'Regan, A. Peterson, Dynamicequations on time scales: a survey, J. Comput. Appl. Math., 141(2002) 1-26.

    Akin-Bohner, E., Sun, S., Existence of solutions for second-orderdynamic inclusions, Int. J. Dynamical Systems and DierentialEquations, Vol. 3, No.1-2, pp. 24-37, 2011.

    Atici, F.M., Biles, D.C., First order dynamic inclusions on timescales, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 292,No.1, pp. 222-237, 2004.

    Bartle, R.G., The Elements of Integration and Lebesgue Measure,John Wiley and Sons, New York, 1995.

    Belarbi, A., Benchohra, M., Ouahab, A., Existence results forimpulsive dynamic inclusions on time scales, Electronic Journal ofQualitative Theory of Dierential Equations, No. 12, 22 pp., 2005.

    Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

    Equaes Integrais de Volterra em Escalas Temporais

  • Introduo

    Bohner, M., Calculus of variations on time scales, Dynamic Systemsand Applications, Vol. 13, No.3-4, pp. 339-349, 2004.

    Bohner, M., Peterson, A., Dynamic Equations on Time Scales,Birkhauser, Boston, 2001.

    Bohner, M., Tisdell, C.C., Second order dynamic inclusions, Journalof Nonlinear Mathematical Physics, Vol. 12, No.2, pp. 36-45, 2005.

    Cabada, A., Vivero, D.R., Criterions for absolute continuity on timescales, Journal of Dierence Equations and Applications, Vol. 11,No. 11, pp. 1013-1028, 2005.

    Ca