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Universidade de São PauloEscola de Engenharia de São Carlos
Departamento de Engenharia Mecânica
SEM0533 - Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos II
Aula # 3
1
Varoto, P. S.
Modelagem e Análise de Sistemas EletromecânicosUsando Métodos Variacionais*
Prof. Tit. Paulo S. VarotoProf. Tit. Paulo S. VarotoProf. Tit. Paulo S. VarotoProf. Tit. Paulo S. Varoto*Material gentilmente cedido pela Profa. Dra. Maíra M. OliveiraAll rights reserved
Nessa aula ...
• Revisão• Objetivo dessa aula• Dinâmica Lagrangiana para sistemas mecânicos
•• Dinâmica Lagrangiana para sistemas elétricos• Dinâmica Lagrangiana para sistemas eletro-mecânicos• Conclusões• Próxima aula ...
2
Varoto, P. S.
• Próxima aula ...
Revisão
No curso Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos I, a modelagem de sistemas mecânicos, elétricos, térmicos
e fluídicos foi apresentada.
3
Varoto, P. S.
G(s): função de transferência no domínio de Laplace
Revisão
Sistemas Mecânicos
Utilizamos as Leis de Newton da mecânica para descrever o comportamento de sistemas mecânicos utilizando os elementos:
mola, amortecedor e inércia.mola, amortecedor e inércia.
Mola
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Varoto, P. S.
Revisão
Sistemas Mecânicos
Utilizamos as Leis de Newton da mecânica para descrever o comportamento de sistemas mecânicos utilizando os elementos:
mola, amortecedor e inércia.mola, amortecedor e inércia.
Amortecimento
5
Varoto, P. S.
Revisão
Sistemas Mecânicos
Utilizamos as Leis de Newton da mecânica para descrever o comportamento de sistemas mecânicos utilizando os elementos:
mola, amortecedor e inércia.mola, amortecedor e inércia.
Inércia
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Varoto, P. S.
Revisão
Sistemas Elétricos
As leis físicas básicas que regem o comportamento de circuitos elétricos As leis físicas básicas que regem o comportamento de circuitos elétricos são as Leis de Kirchhoff:
1. Lei das Correntes nos Nós afirma que: “A somatória das correntes que chegam em um nó de um circuito é igual à somatória das correntes que saem deste nó”.
2. Lei da Voltagem nas Malhas diz: “A somatória das quedas de voltagem ao longo de uma malha percorrida num mesmo sentido é igual a zero”.
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Varoto, P. S.
Aplicamos essas leis considerando os elementos de resistência, capacitância e indutância
Revisão
Sistemas Elétricos
ResistênciaResistência
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Varoto, P. S.
Revisão
Sistemas Elétricos
CapacitânciaCapacitância
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Varoto, P. S.
Revisão
Sistemas Elétricos
IndutânciaIndutância
10
Varoto, P. S.
Revisão
Sistemas Elétricos
ExemploE1 E2
+ - - +
R1 R2 R3
I1 I2 I3
1. Lei das Correntes nos Nós 231 iii =+
11
Varoto, P. S.
2. Lei da Voltagem nas Malhas
22332
33111
iRiRE
iRiRE
+=−
−=
Objetivo
O objetivo dessa aula é obter modelos desistemas eletro-mecânicos
através da dinâmica Lagrangiana
12
Varoto, P. S.
Alto-falante eletro-magnéticoMicrofone capacitivo
De acordo com a 2o. Lei de Newton, a resultante de forças agindo numa partícula é igual a taxa de variação do momento:
mvpdt
dpf ==
Mecânica Newtoniana e Energia Cinética
mvpdt
f ==
vdpvdtdt
dpdx
dt
dpfdx ===O incremento do trabalho em uma partícula:
m
pvdppT
p
2)(
2
0
== ∫A função de energia cinética é definido:
A função de co-energia cinética é definido:
2
2mv
=
13
Varoto, P. S.
2)(
2
00
* mvmvdvpdvpT
vv
=== ∫∫
Transformação de Legendre: )()(*
pTpvvT −=
Coordenadas generalizadas e vínculos cinemáticos
As coordenadas generalizadas, qi, são o cojunto de coordenadas que permitem a descrição geométria completa do sistema com respeito a um referencial.
Coordenadas relativas Coordenadas absolutas
θ1
Coordenadas relativas
θ2
θ1
Coordenadas absolutas
θ2
O número mínimo de coordenadas generalizadas é igual ao número de graus
de liberdade do sistema.
14
Varoto, P. S.
Sistemas com mais coordenadas generalizadas que o mínimo necessitam de vínculos cinemáticos para a correta descrição do problema.
Coordenadas generalizadas e vínculos cinemáticos
Vínculos holônomicos Vínculos não-holônomicos
0),,( 21 =tqqqf nK 0=+∑ dtadqa oii
i
Exemplo de vínculo não-holônomico: disco rolando sem deslizar no plano
θ
θ
vx
rv
=
=
&
&
cos
15
Varoto, P. S.
θ
θ
vseny
vx
=
=
&
& cos
Deslocamentos Virtuais
Os deslocamentos virtuais são mudanças infinetesimais na configuração do sistema. Considerando uma partícula se movendo numa superfície:
0),,( =zyxf
Os deslocamentos virtuais devem satisfazer: 0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂z
z
fy
y
fx
x
fδδδ
( )TT
zyxXz
f
y
f
x
ff δδδδ ,,,, =
∂
∂
∂
∂
∂
∂=∇Definindo e , a equação fica:
0)( =∇ XfT δ
Normal a 0=XF
Tδ
Assim como as forças de vínculo
16
Varoto, P. S.
Normal a superfície 0=XF
Tδ
O trabalho virtual das forças de vínculo sobre qualquerdeslocamento virtual é NULO.
Princípio dos Trabalhos Virtuais
O Princípio dos trabalhos virtuais é a formulação variacional do equilíbrio estático de um sistema mecânico sem atrito.
Para um sistema com N partículas com posições vetoriais xi:
Forças externas
Forças dos vínculos
0)(111
=⋅=⋅′
+=⋅ ∑∑∑===
i
N
iii
N
iii
N
iii xFxFFxR δδδ
17
Varoto, P. S.
O trabalho virtual das forças externas sobre deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos é NULO.
Princípio dos Trabalhos Virtuais
O trabalho virtual das forças externas sobre deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos é NULO.
Exemplo:Exemplo:
18
Varoto, P. S.
δθθθδδ
θδθδθδθδ
θθ
θ
)2cos5(
2cos5
cos2sin5
tan5
2
444 3444 21
wf
asenwafywxf
asenyax
ayax
=
−=+
−==
==
Princípio de D’Alembert
O Princípio de D’Alembert estende o Princípio dos Trabalhos Virtuais para a dinâmica:
′NNN
0)()(111
=⋅−=⋅−′
+=⋅ ∑∑∑===
iii
N
iii
N
iiiii
N
iii xxmFxxmFFxR δδδ &&&&
Forças externas
Forças dos vínculos
Forças inerciais
19
Varoto, P. S.
O trabalho virtual das forças efetivas sobre deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos é NULO.
Se o tempo não aparece explicitamente nos vínculos, pode-se aplicar os deslocamentos reais:
{0)( =⋅−⋅ ∑∑ iiiii dtxxmdxF &&& ( ) xxm
xdxmx
xdmxxm
d&&&
&&&
&&& ⋅=⋅+⋅=⋅ 2
Princípio de D’Alembert
{0)(
11
=⋅−⋅ ∑∑== i
ix
iiiii
i dtxxmdxF
δ
&&& ( ) xxmdt
xmxdt
mxxmdt
&&&&&&& ⋅=⋅+⋅=⋅ 2
{*
1 2
1dTdtxxm
dt
ddtxxm
iiii
iix
iii =
⋅=⋅ ∑∑
=
&&&&&
δ
dV−
Energia Potencial
Diferencial
Energia Cinemática Diferencial 0)(
* =+VTd
20
Varoto, P. S.
Diferencial 0)( =+VTd
cteVT =+* Conservação da energia total
Trabalho virtual das forças externas
0)( =⋅−∑=
iii
N
i xxmF δ&&
i
N
ii xFW δδ ⋅= ∑
=1
1d NNN
Princípio de Hamilton
1
∑=
iiii
i
( ) ( )
( ) *
1
111 2
1
Txxdt
dm
xxmxxdt
dmxxm
N
iiii
N
iiii
N
iiiii
N
iii
δδ
δδδ
∑
∑∑∑
=
===
−⋅=
⋅−⋅=⋅
&
&&&&&
( )
( ) xxxxd
xxd
xxxdt
xdxx
dt
d
&&&&
&&&
&
δδδ
δδδ
⋅−⋅=⋅
⋅+⋅=⋅
( ) xxxxxxxx &&&&&&&& δδδδ ⋅=⋅+⋅=⋅ 2
21
Varoto, P. S.
( ) xxxxdt
xdt
&&& δδδ ⋅−⋅=⋅ ( ) xxxxxxxx &&&&&&&& δδδδ ⋅=⋅+⋅=⋅ 2
( )∑=
⋅=+N
iiii xx
dt
dmTW
1
* δδδ &
Princípio de Hamilton
( ) [ ] 022
* =⋅=+ ∑∫tNt
xxmdtTW δδδ &
Integrando no intervalo [t1,t2] e assumindo que as configurações no t1 e no t2 são conhecidas ( ):0)()( 21 == txtx ii δδ
( ) [ ] 0
111
* =⋅=+ ∑∫= ti
iii
t
xxmdtTW δδδ &
ncWVW δδδ +−=
Energia Potencial
Virtual
Trabalho virtual das forças não-
conservativas
22
Varoto, P. S.
( )[ ] 0..2
1
* =+−= ∫ dtWVTIV
t
t
ncδδ
LagrangeanoL
Equações de Lagrange
( )tqqxx nii ,,1 K=
Se as coordenadas generalizadas forem independentes, o V.I. pode ser transformado em um conjunto de equações diferenciais:
t
xq
q
xx i
jj j
ii
∂
∂+
∂
∂= ∑ &&
t: importante para efeitos giroscópios
tqj
j ji
∂∂
( )tqqqqTT nn ,,,,11
** &K&K=Forma geral da coenergia cinética :
( )tqqVV n ,,1K=Forma geral da energia potencial :
23
Varoto, P. S.
( )tqqVV n ,,1K=Forma geral da energia potencial :
( )tqqqqLVTL nn ,,,,11
* &K&K=−=Forma geral do Lagrangeano :
Equações de Lagrange
∑∑∑∑ =⋅∂
∂=⋅=
k
kk
i k
k
k
ii
i
iinc qQqq
xFxFW δδδδ
Trabalho virtual das forças não conservativas :
Forcas generalizadas associadas a coordenada generalizada qk
Aplicando o Princípio de Hamilton :
( ) dtqQtqqqqLIV
t
∫ ∑
+=2
,,,,,,.. δδ &K&K
24
Varoto, P. S.
( )
dtqQqq
Lq
q
L
dtqQtqqqqLIV
t
t
i
i
i
i
i
i
i
i
t
i
i
inn
∫ ∑∑
∫ ∑
+
∂
∂+
∂
∂=
+=
2
1
1
,,,,,,.. 11
δδδ
δδ
&&
&K&K
Equações de Lagrange
Usando:
i
i
i
i
i
i
L
dt
dq
q
L
dt
dq
q
Lδδδ
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂
&&&
&
0..2
1
2
1
=
−
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂= ∫∑∑ dtqQ
q
L
q
L
dt
dq
q
LIV
t
t
i
i
i
iii
t
t
i
i
δδ&&
Integrando por partes para eliminar : iq&δ
0)()( == txtx δδ
00
25
Varoto, P. S.
0)()( 21 == txtx ii δδ
i
ii
L
q
L
dt
d=
∂
∂−
∂
∂
&
0
Equações de Lagrange:
Equações de Lagrange com vínculos
Vínculos:
Resolvido pela inclusão de multiplicadores de Lagrange
mlqa k
k
lk K,10 ==∑ δ
0=
∑∑ k
k
lk
l
l qa δλ
0..2
11
=
−−
∂
∂−
∂
∂= ∫∑ ∑
=
dtqaQq
L
q
L
dt
dIV
t
t
i
i
m
l
lkli
ii
δλ&
0
kl
Combinação linear
Para vínculos holonômicos, esse método resulta em um sistema de equações
26
Varoto, P. S.
Para vínculos holonômicos, esse método resulta em um sistema de equações algebrico-diferenciais
( )
niq
fQ
q
L
q
L
dt
d
mltqqqf
m
l i
lli
ii
nl
K&
KK
1
10,,
1
21
=∂
∂−=
∂
∂−
∂
∂
==
∑=
λ
DINÂMICA DEMULTICORPOS
Equações de Lagrange com elemento dissipador
Forças dissipativas:
i
iq
DQ
&∂
∂−=
Amortecedor viscoso pode ser representado por uma função de dissipação quadrática:
i
iii
L
q
D
q
L
dt
d=
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂
&&Equações de Lagrange:
27
Varoto, P. S.
xCxDT &&
2
1=
Equações de Lagrange
Exemplo 1: Vibração de um sistema discreto linear, sem efeito giroscópico
xMxTT
112
1*
= &&Co-energia cinética
0)()( == txtx δδ
KxxxMxVTL
KxxV
xMxTTT
T 2
1
2
1
2
12 * −=−=
=
=&&
&&Co-energia cinética
Energia Potencial
Energia Dissipada
Trabalho virtual das forças não-conservativas xfW
xCxD
T
T
δ=
= &&2
1i
iii
L
q
D
q
L
dt
d=
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂
&&
28
Varoto, P. S.
0)()( 21 == txtx ii δδdas forças não-conservativas xfWnc δ=
fKxCxxM =++&&
Equações de Lagrange
Exemplo 2:
22* 11θθ && IIT +=
222111 θθ LXLX ==
0)()( == txtx δδ
2
22
2
11
*
2
1
2
1θθ && IIT +=
( )
( ) ( )2
11222
2
111
2
122
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
θθθ LLKLK
XXKXKV
−+=
−+=
29
Varoto, P. S.
0)()( 21 == txtx ii δδ2
112
1θ&CD =
Equações de Lagrange
Exemplo 2: ( ) ( )
( )2
11211222
2
222
2
111
2
22
2
11
*
2
12
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
θθθ
θθθθ
LKLLK
LKLKIIVTL
−+
+−−+=−= &&
0)()( == txtx δδ
22
{ {{
0
1
)(
111
11221212
111111
QLDL
dt
d
LLLKLKCI
=∂
∂−
∂
∂+
∂
∂
−+− θθθθθ
θθθ&&&
&43421&
i
iii
L
q
D
q
L
dt
d=
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂
&&
{ {{2
222 FL
QLDL
dt
d=
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂
θθθ &43421&
30
Varoto, P. S.
0)()( 21 == txtx ii δδ { { 2
11221222
)(
2
0
22 FL
LLLKI
dt ∂∂ ∂
−− θθθ
θθθ43421
&&
0)(1122121
2
111111=−−++ θθθθθ LLLKLKCI &&&
211221222)( FLLLLKI =−+ θθθ&&
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Elétricos
CAPACITOR
carga
corrente[Farads]
Energia elétrica é o trabalho de carregar o capacitor até a carga q:
31
Varoto, P. S.
A co-energia elétrica pode ser calculada através da transformação de Legendre:
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Elétricos
INDUTOR
fluxo
voltagem[Weber]
Energia magnética é calculado pela integração da potência descarregada no sistema:
32
Varoto, P. S.
A co-energia magnética pode ser calculada através da transformação de Legendre:
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Elétricos
FONTES DE VOLTAGEM E CORRENTE
Uma fonte real apresenta voltagem máxima
quando os terminais quando os terminais estão abertos e corrente máxima se os terminais
estão conectados
Fonte reais podem ser modeladas combinando fontes ideais e resistores:
33
Varoto, P. S.
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Elétricos
EQUAÇÕES DE LAGRANGE, FORMULAÇÃO DE FLUXO
Coordenadas generalizadas de fluxo
Voltagens que satisfazem a Regra da Malha de Kirchhoff
Lagrangiano
Fonte de correntes
34
Varoto, P. S.
correntes generalizadas associadas as
fluxo λk
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Elétricos
Exemplo:
35
Varoto, P. S.
Elemento dissipativo: Resistor
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Elétricos
Exemplo:Formulação de fluxo
36
Varoto, P. S.
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Elétricos
EQUAÇÕES DE LAGRANGE, FORMULAÇÃO DE CARGA
Coordenadas generalizadas de carga
Correntes que satisfazem a Regra dos Nós de Kirchhoff
Lagrangiano
Fonte de voltagem
37
Varoto, P. S.
voltagem generalizadas associadas as
cargas qk
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Elétricos
Exemplo:Formulação de carga
Cte, dado do sistema
Portanto o sistema pode ser modelado com 1 coordenada generalizada q1
38
Varoto, P. S.
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
Transdutores eletromecânicos
Energia Mecânica
Energia Elétrica
A teoria de parâmetros concentrados é baseada na teoria quasi-estática do eletromagnetismo. Essa teoria assume que a dimensão do
componente é menor que o comprimento de onda eletromagnético.
Dessa maneira, o campo de força é elétrico ou magnético. Dessa maneira, é possível separar a analise da:
39
Varoto, P. S.
maneira, é possível separar a analise da:
1. força elétrica em transdutores capacitivos
2. força magnética em transdutores indutivos
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
TRANSDUTOR: Capacitor com placas móvel
Equilibra a força de atração eletrostática
A potência total é a soma da potência elétrica e mecânica:elétrica e mecânica:
40
Varoto, P. S.
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
TRANSDUTOR: Capacitor com placas móvel
Sendo um sistema conservativo, a integral não depende do caminho :
( ) ( ) ( )∫∫∫ +==
),(
)0,(
0
)0,(
)0,0(
),(
)0,0(
,,),(,
qx
x
e
x
e
qx
ee dqqxWdxqxWqxdqxWW
4434421
0)0,( =xfForça nula, quando carga é nula
41
Varoto, P. S.
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
TRANSDUTOR: Capacitor com placas móvel
42
Varoto, P. S.
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
TRANSDUTOR: Indutor com núcle móvel
Mantém o núcleo em equilíbrio
Da mesma maneira que o caso anterior:
43
Varoto, P. S.
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
TRANSDUTOR: Indutor com núcle móvel
Considerando um indutor linear:
44
Varoto, P. S.
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
TRANSDUTOR: Bobina móvelImã permanente
Fluxo magnético devido ao imã
A lei de Faraday afirma que o incremento da voltagem de em um comprimento elementar dl na direção da
corrente induzida pelo movimento da bobina é:
Uma partícula de carga em movimento em um campo magnético fica sujeita a força de Lorentz:
45
Varoto, P. S.
Macroscopicamente, a contribuição da força magnética é maior. Para um comprimento elementar, definimos:
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
TRANSDUTOR: Bobina móvel
Integrando sobre dθ, a queda de voltagem na bobina é
E a força f é:
Constante do transdutor
46
Varoto, P. S.
A potência total é igual a potência elétrica, ei, somada com a potência mecânica, fv:
E a energia magnética se mantém constante
Wm=0 (referência)
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
TRANSDUTOR: Bobina móvelRepresentação simbólica
0
47
Varoto, P. S.
0
Da mesma maneira que nos casos anteriores:
EQUAÇÕES DE LAGRANGE, FORMULAÇÃO DE FLUXO
Lagrangiano
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
Trabalho Virtual dos componentes não
conservativos
48
Varoto, P. S.
EQUAÇÕES DE LAGRANGE, FORMULAÇÃO DE CARGA
Lagrangiano
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
Trabalho Virtual dos componentes não
conservativos
49
Varoto, P. S.
ELEMENTOS DISSIPATIVOS
Formulação de fluxo
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
Formulação de carga
Parte Mecânica
50
Varoto, P. S.
EXEMPLO 1: Alto-falante eletromagnético
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
Formulação de carga
51
Varoto, P. S.
EXEMPLO 1: Alto-falante eletromagnético
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
52
Varoto, P. S.
EXEMPLO 2: Microfone Capacitivo
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
No equilíbrio, a carga q0 no capacitor produz uma força de atração entre as placas que é
balanceada pela ação da mola.balanceada pela ação da mola.
x0: distância entre os terminais X1: alongamento da mola no equilíbrio
Força eletrostática:
53
Varoto, P. S.
No equilíbrio:
EXEMPLO 2: Microfone Capacitivo
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
54
Varoto, P. S.
EXEMPLO 2: Microfone Capacitivo
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
55
Varoto, P. S.
EXEMPLO 2: Excitador – eletrodinâmico
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
56
Varoto, P. S.
EXEMPLO 2: Excitador – eletrodinâmico
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
Modo de corrente: q não é uma coordenada generalizada, pois é dado
No domínio de Laplace:
57
Varoto, P. S.
EXEMPLO 2: Excitador – eletrodinâmico
Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos
58
Varoto, P. S.
Gerador de força ideal
ωc~2ωp
Próxima aula ...
• Aspectos relevantes na função de transferência para a avaliação e projeto de sistemas mecatrônicos:avaliação e projeto de sistemas mecatrônicos:
• Relacionar parâmetros físicos do sistemas com pólos e zeros• Controle Colocado X Não-colocado• Lugar das raízes (Root-locus)• Funções de transferência de malha aberta (Sensitividade, Sensitividade complementar, etc.)
59
Varoto, P. S.
(Sensitividade, Sensitividade complementar, etc.)