PGMEC PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Tese de Doutorado

MODELAGEM DOS FENÔMENOS DE

LIBERAÇÃO E ABSORÇÃO DE GÁS EM

ESCOAMENTOS DE LÍQUIDO-GÁS NUM

CONTEXTO TERMODINAMICAMENTE

CONSISTENTE

AGNALDO BORGES DA SILVA

DEZEMBRO DE 2012

MODELAGEM DOS FENÔMENOS DE LIBERAÇÃO E ABSORÇÃO DE GÁS EM ESCOAMENTOS DE LÍQUIDO–

GÁS NUM CONTEXTO TERMODINAMICAMENTE CONSISTENTE

Tese de Doutorado apresentada ao Programa

de Pós-graduação em Engenharia Mecânica

da UFF como parte dos requisitos para a

obtenção do título de Doutor em Ciências em

Engenharia Mecânica

Orientador: Felipe Bastos de Freitas Rachid ( PGMEC/UFF )

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE NITERÓI, DEZEMBRO DE 2012

MODELAGEM DOS FENÔMENOS DE LIBERAÇÃO E ABSORÇÃO DE GÁS EM ESCOAMENTOS DE LÍQUIDO-

GÁS NUM CONTEXTO TERMODINAMICAMENTE CONSISTENTE

AGNALDO BORGES DA SILVA

Tese de Doutorado aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos

professores:

Prof. Felipe Bastos de Freitas Rachid (D.Sc.)

UFF - Universidade Federal Fluminense

(Orientador)

Profa Maria Laura Martins Costa(D.Sc.)

UFF - Universidade Federal Fluminense

Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (D.Sc.)

UFF - Universidade Federal Fluminense

Prof. Rogério Martins Saldanha da Gama (D.Sc.)

UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Prof. Luiz Nelio Henderson Guedes Oliveira (D.Sc.)

UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro – Instituto Politécnico

DEDICATÓRIA

Aos Meus queridos pais, Severina e João “ in memoriun” Ao Meu filho Hugo.

Agradecimentos

Inicialmente, ao Poder Superior “Deus”.

Ao amigo, professor e competente orientador Felipe Bastos de Freitas Rachid,

pelo constante estímulo, ensinamentos e orientação dedicada e incansável.

Agradeço, em especial, à coordenação do PGMEC da UFF pela confiança, apoio

e oportunidade para conclusão deste trabalho, bem como, a todo o corpo docente da

Universidade Federal Fluminense - PGMEC, seus dirigentes, professores e funcionários,

por propiciarem as condições e o ambiente para a minha formação.

Aos meus pais Severina e João “ in memoriun” pelo apoio e carinho.

Ao meu filho Hugo Picole pela motivação e estímulo.

Aos amigos incentivadores, Rogério, Alex, Simone, Tatiane, Sergio Souto, e

Eng. Raul pela valiosa colaboração e constante apoio.

Aos colegas alunos pelo constante estímulo.

A minha completa família pela paciência e incentivo.

A todos os amigos não citados aqui, o meu muito obrigado.

v

RESUMO

Este presente trabalho apresenta um modelo termodinamicamente consistente para

descrever o fenômeno de liberação e absorção de gás em escoamentos do tipo líquido-gás

homogêneos sujeitos à transformações isotérmicas. A mistura de líquido-gás é considerada

como um pseudofluido, cujo comportamento constitutivo é obtido a partir de dois

potenciais termodinâmicos – a energia livre de Helmholtz e um pseudo-potencial de

dissipação. Devido à inclusão da concentração de gás dissolvido no líquido na lista de

variáveis de estado e da massa específica dos constituintes do líquido e do gás, deriva-se

uma expressão simples e adequada para a taxa de transferência de massa de gás. Além de

satisfazer, incondicionalmente, a Segunda Lei da Termodinâmica, a expressão proposta é

capaz de descrever adequadamente os dados experimentais disponíveis na literatura com

grande precisão, para uma faixa relativamente grande de valores de pressão de saturação.

Simulações numéricas realizadas para misturas de ar-água, sujeitas a um ciclo simples de

expansão e a ciclos combinados com cargas cíclicas de expansão-contração, ilustram a

influência da liberação de gás na resposta mecânica da mistura, a qual exibe dispersão,

atenuação como também histerese.

Palavras-chave: Escoamentos de líquido-gás, liberação de gás, absorção de gás, gás livre, teoria das

variáveis internas da termodinâmica, processos irreversíveis.

vi

ABSTRACT

This work presents a consistent thermodynamic model to describe the gas release and gas

absorption phenomenon in homogeneous liquid-gas flows undergoing isothermal

transformations. The liquid-gas mixture is regarded as a pseudo-fluid whose constitutive

behavior is obtained from two thermodynamic potentials – the Helmholtz free energy and a

pseudo-potential of dissipation. Thanks to the inclusion of the concentration of dissolved

gas in the liquid in the list of state variables, along with the gas volume fraction and the

mass densities of the liquid and gas constituents, a suitable and simple expression for the

rate of mass transfer of gas release is derived. Besides of unconditionally satisfying the

Second Law of the Thermodynamics, the proposed expression is capable to properly

describe experimental data available in the literature with great accuracy for a relatively

wide range of saturation pressures. Numerical simulations carried out for an air-water

mixture, subjected to a single expansion and cyclic expansion-contraction loadings,

illustrate the influence of the gas release on the mechanical response of the fluid, which

exhibits dispersion and attenuation and also hysteresis.

Keywords: Liquid-gas flows, gas release, gas absorption, free gas, thermodynamics internal variables

theory, irreversible processes.

vii

LISTA DE SÍMBOLOS

A área da seção transversal do duto

a velocidade de propagação da onda

la velocidade de propagação de onda isotérmica no líquido

ga velocidade de propagação de onda isotérmica no gás

a velocidade sônica da mistura

lBρ força termodinâmica associada à massa específica do líquido

gBρ força termodinâmica associada à massa específica do gás

cB força termodinâmica associada à concentração de gás dissolvido no líquido

BΓ força termodinâmica associada à taxa de transferência de gás entre a fase líquida e

gasosa

cB& força termodinâmica irreversível

Bα& força termodinâmica irreversível

Bα força termodinâmica associada à fração de vazio

C concentração (em massa) do gás dissolvido no líquido por unidade de volume de

líquido

D diâmetro interno do duto

Cl calor específico do líquido à pressão constante

Cv calor específico do gás à volume constante

D taxa temporal de dissipação de energia

f fator de fricção de Darcy-Weisbach

G aceleração da gravidade considerada constante

lg energia específica de Gibbs do líquido

gg energia específica de Gibbs do gás

H elemento do conjunto subdiferencial ou derivada generalizada

I matriz identidade

K índice

L comprimento do duto

viii

N constante da equação

p pressão termodinâmica da mistura

sp pressão de saturação do gás dissolvido

mp pressão da mistura

0

p

p

razão entre a pressão e a pressão de estagnação

gp pressão do gás na mistura

lp pressão do líquido na mistura

Re número de Reynolds

s coordenada espacial

t tempo

T Temperatura da mistura

0

T

T

razão entre a temperatura e temperatura de estagnação

v

Z

Velocidade

elevação da linha de centro do duto com relação a um plano de referência arbitrário

ix

Letras Gregas

α fração volumétrica de gás na mistura (fração de vazio)

β constante material positiva

rβ coeficiente associado ao fenômeno de liberação de gás

aβ coeficiente associado ao fenômeno de absorção de gás

θ temperatura

l auto valor

m viscosidade absoluta da mistura

ρ massa específica do fluido

ρ massa específica da mistura homogênea

lρ massa específica do líquido

gρ massa específica do gás

Γ termo fonte, que representa a taxa de massa de gás liberado por unidade de volume

Y energia livre de Helmholtz por unidade de volume da mistura

′Ψ função diferenciável

cΨ energia livre por unidade de massa do gás dissolvido na fase líquida

gΨ energia livre por unidade de massa de gás

lΨ energia livre por unidade de massa do liquido

x

χ variável dependente relacionada ao tempo e espaço

⊗ produto tensorial

ε rugosidade do tubo

τ força reativa ( viscosa) por unidade de área da seção reta do duto e por unidade de

comprimento.

eη ξ multiplicadores de Lagrange

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 4.1: As normas 2L das funções f , g e f g− e o erro relativo da norma 2L

entre f e g como uma função da pressão de saturação sp 32

Figura 4.2: As funções f (experimental) e g (proposta) dadas pelas equações (4.2) e

(4.6) como uma função da pressão p para diferentes valores da pressão de saturação

42.48;52.48;125sp kPa= 34

Figura 5.1: A velocidade de frente de ondas a como uma função da fração volumétrica de

gás α para diferentes valores de pressão: 2.34;10;1.000;10.000p kPa= para uma mistura

de ar-água na temperatura ambiente 36

Figura 5.2: Função de entrada prescrita · ( ). . t∇ ∇v = v como uma função do tempo 38

Figura 5.3(a): Históricos da fração volumétrica de gás α para a Eq. experimental (Eq.

(4.1)) referente às expressões para a liberação de gás para diferentes pressões de saturação

42.48;52.48;125sp kPa= e para a não liberação de gás 40

Figura 5.3(b): Históricos da pressão normalizada 0p / p para a equação experimental (Eq.

(4.1)) e para a equação proposta (Eq. (4.5)) referente às expressões para a liberação de gás

para diferentes pressões de saturação 42.48;52.48;125sp kPa= e para a não liberação de

gás 41

xii

Figura 5.4(a): Históricos da massa específica normalizada 0ˆ /ρ ρ para a equação

experimental (Eq. (4.1)) referente às expressões para a liberação de gás para diferentes

pressões de saturação 42.48;52.48;125sp kPa= e para a não liberação de gás 42

Figura 5.4(b): Históricos da velocidade da frente de onda normalizada 0/a a para a equação

proposta (Eq. (4.5)) referente às expressões para a liberação de gás para diferentes pressões

de saturação 42.48;52.48;125sp kPa= e para a não liberação de gás 43

Figura 5.5: Históricos da taxa de liberação de gás para a equação experimental (Eq. (4.1)) e

a equação proposta (Eq. (4.5)) referente às expressões para a liberação de gás para

diferentes pressões de saturação 42.48;52.48;125sp kPa= 44

Figura 5.6: Históricos da fração volumétrica de gás α em função do tempo t computada

com a expressão de liberação de gás (Eq.(4.5)) para pressão de saturação de 125.0sp kPa=

e para diferentes velocidades: 0.8;1,6;3.2 /U m s= 46

Figura 5.7(a): Pressão normalizada 0/p p em função do tempo t para pressão de

saturação 125.0sp kPa= e diferentes velocidades 0.8;1,6;3.2 /U m s= 47

Figura 5.7 (b): Pressão normalizada 0/p p em função da fração volumétrica de gás α

computada com a expressão proposta (Eq. (4.5)) para pressão de saturação 125.0sp kPa=

e diferentes velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= 48

xiii

Figura 5.8(a): Históricos da massa específica normalizada 0ˆ /ρ ρ como uma função

do tempo t computada pela expressão proposta de liberação de gás (Eq. (4.5)) e pressão

de saturação 125.0sp kPa= para diferentes velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= 49

Figura 5.8 (b): Históricos da massa específica normalizada 0ˆ /ρ ρ computada pela

expressão proposta para liberação de gás (Eq. (4.5)) e pressão de saturação 125.0sp kPa=

para diferentes velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= 50

Figura 5.9(a) : Velocidade da frente de onda normalizada 0/a a em função do tempo t

computada com a expressão proposta de liberação de gás na (Eq. (4.5)) e para pressão de

saturação 125.0sp kPa= e diferentes velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= 51

Figura 5.9(b) : Velocidade da frente de onda normalizada 0/a a em função da fração

volumétrica de gás α computada com a expressão proposta de liberação de gás na (Eq.

(4.5)) e para pressão de saturação 125.0sp kPa= e diferentes velocidades

0.8;1.6;3.2 /U m s= 52

Figura 5.10 (a): Massa de gás liberada por unidade de volume em função do tempo t

computada com a expressão de liberação de gás proposta na Eq. (4.5) para pressão de

saturação 125.0sp kPa= e para diferentes velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= 54

Figura 5.10 (b): Massa de gás liberada por unidade de volume em função fração

volumétrica de gás α computada com a expressão de liberação de gás proposta na Eq.

(4.5) para pressão de saturação 125.0sp kPa= e para diferentes velocidades

0.8;1.6;3.2 /U m s= 54

Figura 5.11 (a) : Taxa de dissipação de energia por unidade de volume ( )3/B W mΓΓ em

função do tempo t computada com a expressão de liberação de gás proposta na Eq. (4.5)

xiv

para pressão de saturação 125.0sp kPa= e para diferentes velocidades

0.8;1.6;3.2 /U m s= 56

Figura 5.11 (b): Taxa de dissipação de energia por unidade de volume ( )3/B W mΓΓ em

função fração volumétrica de gás α computada com a expressão de liberação de gás

proposta na (Eq. (4.5)) para pressão de saturação 125.0sp kPa= e para diferentes

velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= 58

LISTA DE TABELAS

1 - Tabela 4.1 – Resultados do problema de minimização para 2.34vp kPa= 32

SUMÁRIO

1. Introdução 1

1.1 Motivação e objetivo 1

1.2 Organização do trabalho 7

2. Equações de balanço e hipóteses fundamentais 9

3. Teoria constitutiva 16

3.1. Leis de estado e energia livre de Helmholtz 16 3.2. Pseudopotencial de dissipação e leis complementares 19 3.3. Equações constitutivas 22

4. Ajuste dos coeficientes constitutivos com os dados experimentais 27

5. Simulação numérica 35

5.1. Expansão simples 39 5.2. Ciclo de expansão – contração 45

6. Conclusões e sugestões 59

Referências Bibliográficas 61

1

Capítulo 1

Introdução

1.1 Motivação e objetivo

Líquidos são conhecidos por serem capazes de absorver certa quantidade de gás em

contato com sua superfície. Através de um processo difusivo, o gás se dissolve no líquido

permanecendo lá, a menos que sua temperatura seja elevada acima do ponto de ebulição ou

sua pressão diminuída para um valor abaixo da pressão de saturação do gás dissolvido.

Este último processo normalmente é conhecido como liberação de gás ou, alternativamente,

como cavitação gasosa. O gás sai da solução em forma de pequenas bolhas, que são

carregadas pela corrente do fluido como gás livre ou migram em direção à superfície livre

ou se dirigem para as partes superior do sistema onde o líquido é confinado formando

pequenas cavidades discretas. Escoamentos externos, bem como internos, podem estar

sujeitos à cavitação gasosa sob regimes permanentes ou transientes. Regiões de fronteira de

superfícies sólidas em contato com líquidos, vórtices, turbulência e ondas de expansão

transientes são alguns dos exemplos típicos de fontes responsáveis por provocar o

fenômeno de liberação de gás.

Quando fenômenos de propagação de ondas estão envolvidos, a presença de gás

livre em suspensão no líquido, mesmo que seja em pequenas quantidades, é responsável

pela redução da velocidade da frente de onda no meio e por também, atenuar os picos de

pressão devido à compressibilidade adicionada do gás. Fazendo o uso de aproximações

2

distintas, vários pesquisadores (Wood, 1930; Marchal, 1962; Semenov & Kosterin, 1964;

Drumheller et al. , 1982; Henry et al., 1971; Capriz & Cohen, 1983; Temkin, 1992; Wylie

& Streeter, 1993; Drew & Passman, 1999) mostraram que a velocidade da frente de onda

torna-se altamente dependente da pressão do fluido de forma não-linear. Dependendo da

quantidade de gás livre e dos níveis de pressão, a velocidade de onda pode alcançar valores

comparáveis à velocidade do fluido, dando margem a ocorrência de ondas de choques.

Adicionalmente, sempre que a pressão do fluido cai abaixo da pressão de saturação do gás,

gás dissolvido se desprende aumentando a quantidade de gás livre na mistura e

introduzindo efeitos adicionais relevantes de dispersão e atenuação (Wiggert & Sundquist,

1979; Baasiri & Tullis, 1983; Chaudry et al., 1990; Wylie & Streeter, 1993).

Com o foco nas aplicações práticas de engenharia, os problemas mais relevantes nos

quais a cavitação gasosa desempenha um papel importante são aqueles associados com

escoamentos transientes de fluidos em sistemas de tubulações. Exemplos típicos incluem

sistemas de distribuição de água, redes de esgotos, sistemas de tubulação de reatores

nucleares e tubulações de alimentação de aeronaves (Swaffield , 1972; Wylie & Streeter ,

1993; Bergant et al. , 2006). A relevância destas aplicações parece ser responsável por

concentrar a grande maioria dos trabalhos científicos relacionados à cavitação gasosa e ao

gás livre neste contexto específico (Swaffield, 1972; Kranenburg, 1974; Wiggert &

Sundquist, 1979; Baasiri & Tullis, 1983; Wylie, 1984; Chaudry et al., 1990; Hadj-Taieb &

Lili, 1998; Kessal & Bennacer, 2005; Cannizzaro &Pezzinga, 2005).

Uma vez que a cavitação gasosa, em geral, precede e influencia a cavitação

vaporosa (fenômeno no qual o líquido é transformado em vapor sempre que a pressão cai

abaixo da pressão de vapor saturado do líquido), muitos desses estudos abordam estes

3

fenômenos de formas simultâneas (Kranenburg, 1974; Wiggert & Sundquist, 1979; Baasiri

& Tullis, 1983; Wylie, 1984), apesar de terem escalas de tempo bastante distintas.

Enquanto que a liberação de gás acontece na escala da ordem de segundos, a cavitação

vaporosa é um processo mais rápido ocorrendo em alguns microssegundos. Da mesma

forma que o gás livre e cavitação gasosa, existem outros fenômenos responsáveis pela

atenuação de ondas em escoamentos de fluidos em regime transientes. (Bergan et al., 2008

a,b).

Em contraste com os problemas relacionados à influência do gás livre na

propagação de ondas em misturas de líquido-gás para o qual existe uma quantidade

significante de trabalhos experimentais e teóricos (Wood, 1930; Marchal, 1962; Semenov

& Kosterin, 1964; Swaffield , 1972; Drumheller et al., 1982; Capriz & Cohen, 1983;

Chaudry et al., 1990; Wylie & Streeter, 1993; Freitas Rachid, 2006), apenas alguns destes

são dedicados ao fenômeno da cavitação gasosa. Com relação aos trabalhos experimentais

relacionados com a medição de gás liberado, Schweitzer & Szebehely (1950), Wiggert

&Sundquist (1979), Baasiri & Tullis (1983) e Zielke et al. (1990) são os mais relevantes.

Enquanto que nos três primeiros trabalhos o gás liberado é monitorado fundamentalmente

durante a cavitação vaporosa, nos últimos, os autores se preocuparam apenas com o

processo de liberação de gás evitando pressões abaixo da pressão de vapor do líquido usado

em seus experimentos. Os trabalhos teóricos lidando com a liberação de gás dentro do

contexto da análise de transientes fluidos em sistemas de tubulações são restritos a poucos

números de estudos como (Kranenburg, 1974; Wiggert & Sundquist, 1979; Wylie &

Streeter, 1993; Kessal & Bennacer, 2005; Cannizzaro &Pezzinga, 2005).

4

Para acomodar os efeitos do gás livre na propagação de ondas, todos estes trabalhos

consideram como premissa básica a existência de pequenas quantidades de gás livre

distribuídas ao longo do escoamento, admitindo que estes escoamentos são homogêneas e

isotérmicos. Uma vez que o líquido e o gás livre compartilham da mesma velocidade e

temperatura, apenas as equações de balanço de massa e conservação de quantidade de

momento são necessárias para a mistura como um todo, junto com uma equação de balanço

de massa para o gás livre na fase gasosa. Complementadas com as equações constitutivas

para o líquido e para o gás livre (o qual é assumido ser um fluido barotrópico sob a mesma

pressão), estas equações formam um conjunto de três equações diferenciais parciais

hiperbólicas não lineares para os campos de pressão, velocidade e fração volumétrica de

gás.

A cavitação gasosa é normalmente levada em consideração como um termo fonte

não negativo na equação de balanço de massa para o gás livre. Isso é equivalente a assumir

um processo de única direção de liberação de gás, uma vez que o processo reverso (i. e., o

fenômeno de absorção de gás), acontece em escala de tempo maior que à associada à

liberação de gás (Baasiri & Tullis, 1983; Wylie & Streeter, 1993). Esta hipótese implica

que o gás liberado fica como gás livre, ou em cavidades, e não volta a se dissolver com um

subsequente aumento de pressão. Uma vez que somente uma pequena quantidade de gás

dissolvido, efetivamente se desprende durante a vida da maioria dos sistemas transientes

assume-se normalmente que a massa de gás dissolvida permaneça constante e igual ao

valor inicial durante um evento de transiente.

Uma das primeiras tentativas de se derivar uma expressão para a taxa de gás

liberado é dedicada a Van Wijngaarden (1967). Admitindo que a taxa de liberação de gás é

5

governada pela difusão convectiva do gás dissolvido no fluido em forma de bolhas, o autor

fez uso das equações da dinâmica para uma bolha esférica, considerando na hipótese um

grande número de Peclet para expressar a taxa de liberação de gás em termos de três

parâmetros: a diferença de concentração do gás dissolvido distante da bolha (concentração

da saturação do gás dissolvido) e da superfície da bolha, a velocidade relativa entre a bolha

e o fluido e, finalmente, o raio da bolha.

Sete anos mais tarde, extendendo implicitamente a lei de Henry para estados de não

equilíbrio, Kranenburg (1974) reescreveu a expressão de liberação de gás proposta

anteriormente por Van Wijngaarden (1967). O autor substituiu a diferença da concentração

de gás dissolvido pela diferença entre a pressão de saturação e a pressão instantânea do

fluido. Como consequência, surgiu na expressão proposta a constante de proporcionalidade

da lei de Henry. Fazendo uso dos valores disponíveis para o número de bolhas por unidade

de volume do fluido e da velocidade relativa entre a bolha e o fluido, Kranenburg (1974)

fez simulações numéricas envolvendo transientes de pressão na presença de cavitação

vaporosa e gasosa para investigar a influência do primeiro sobre o último.

Reconhecendo as incertezas envolvidas no modelo de Kranenburg (1974), e também

a necessidade de formulações com melhor fundamento físico e mais precisas, Wiggert &

Sundquist (1979) simplificaram a expressão proposta por Kranenburg (1974) admitindo

que a taxa de gás liberado depende, exclusivamente, da diferença de pressão anteriormente

mencionada, visto como uma medida do grau de supersaturação. Para completar sua

proposta de um modelo mais simples para a evolução da taxa de liberação de gás, Wiggert

& Sundquist (1979) introduziram um coeficiente de proporcionalidade, o qual foi ajustado

pelo uso de dados experimentais gerados em seus trabalhos.

6

Usando a expressão simplificada proposta por Wiggert & Sundquist (1979), outros

trabalhos teóricos surgiram com a introdução de novos variantes no modelo do contexto

teórico descrito nos parágrafos anteriores. Aplicando estratégias distintas, Wylie & Streeter

(1993) and Kessal & Bennacer (2005) reduziram o número de equações de governo de três

para duas equações, mantendo como variáveis dependentes a pressão e a velocidade,

enquanto retendo o fenômeno de liberação de gás. Ao invés de concentrar no

desenvolvimento de novas expressões para a taxa de liberação de gás, quase todos os

trabalhos teóricos conduzidos estão envolvidos com a proposição de técnicas numéricas de

simulação para obter soluções aproximadas para problemas de valor inicial e de

contorno.(Kranenburg, 1974; Wiggert & Sundquist, 1979; Wylie & Streeter, 1993; Kessal

& Bennacer, 2005).

Para investigar pela primeira vez a dissipação não viscosa em escoamentos

transientes, Cannizzaro &Pezzinga (2005) propuseram um modelo bidimensional levando

em consideração a troca térmica entre o gás livre e o líquido circundante, bem como, o

fenômeno de liberação e absorção de gás. Foram consideradas as trocas de massas e trocas

térmicas na equação de balanço de energia para o gás livre e uma expressão para a taxa de

transferência de massa com base na extensão da lei de Henry para estados de não

equilíbrio, respectivamente. Após o ajuste dos coeficientes do modelo os autores realizaram

simulações numéricas as quais foram comparadas com os dados experimentais. Eles

concluíram que os dois mecanismos dissipativos nem sempre eram capazes de esclarecer

como um todo a dissipação observada.

Com o intuito de avançar no conhecimento teórico no campo da cavitação gasosa,

um novo modelo, o qual leva em consideração não somente a liberação de gás mas,

7

também, o fenômeno da absorção de gás, é proposto neste trabalho. Ele é derivado no

contexto da teoria de variáveis internas tendo como hipóteses básicas misturas homogêneas

de líquido-gás, sob transformações isotérmicas, conforme assumidas nos modelos

existentes. Além da massa específica do líquido e do gás livre, a fração volumétrica do gás

e a concentração de gás dissolvido na mistura líquida são tratadas como variáveis de estado.

Em adição às equações de balanço de massa e momento para a mistura como um todo e a

equação de balanço de massa para o gás livre, uma outra equação de balanço de massa para

o gás dissolvido foi considerada também.

Para conferir uma base termodinâmica consistente ao modelo, as equações

constitutivas são derivadas à luz da termodinâmica dos processos irreversíveis. Além da

energia livre de Helmholtz, é assumida a existência de um pseudopotencial de dissipação

do qual são obtidas as relações constitutivas para os mecanismos dissipativos. A restrição

associada à fração de volume de gás é tratada como uma propriedade material, tornando-se

uma parte efetiva das leis constitutivas. O efeito macroscópico dissipativo do fenômeno de

liberação e absorção de gás está caracterizado de tal forma que satisfaz incondicionalmente

a SLT. Fazendo uso de uma forma mais simples da energia livre de Helmholtz com relação

a concentração de gás dissolvido, uma nova expressão para a taxa de liberação de gás , bem

como de absorção de gás é proposta, sem considerar a extensão da lei de Henry a estados

de não equilíbrio.

1.2 Organização do trabalho

No capítulo 2 as equações gerais de balanço para um meio contínuo são apresentadas em

um contexto tridimensional. Na sequência, as hipóteses fundamentais do modelo são

8

enumeradas e aplicadas de forma a obter as equações de balanço específicas para uma

mistura homogênea de líquido e gás como um todo. O capítulo 3 é dedicado à apresentação

da teoria constitutiva onde, inicialmente, as formas gerais de energia livre de Helmholtz e

do pseudopotencial de dissipação são postulados. Explorando consistentemente a

desigualdade da entropia usando a extensão do procedimento de Coleman-Noll (Coleman

& Noll, 1963; Eringen & Ingram, 1965; Green & Naghdi, 1965) são derivadas as leis de

estados. As hipóteses usuais associadas com o fenômeno de liberação e absorção de gás em

conjunto com evidências experimentais são adequadamente levadas em consideração,

conduzindo naturalmente a uma das mais simples formas do pseudopotencial de dissipação

para um pseudofluido Newtoniano. Um conjunto de equações constitutivas é em seguida

derivado no qual os processos dissipativos são somente devidos ao atrito viscoso e à

liberação e absorção de gás. Com a ajuda de uma técnica de otimização, os dados

experimentais de Zielke et al (1990) são usados no capítulo 4 para determinar os

coeficientes constitutivos da taxa de liberação de gás proposta derivada na Seção 3.3 deste

trabalho. Finalmente, deixando de lado os efeitos viscosos e o fenômeno de absorção,

simulações numéricas são realizadas e apresentadas no capítulo 5 para validar o modelo

proposto e destacar alguns efeitos importantes de liberação de gás no comportamento

mecânico do fluido.

Finalmente, são apresentadas no sexto capítulo as principais conclusões e algumas

sugestões para o desenvolvimento de futuros trabalhos.

9

Capítulo 2

Equações de Balanço e Hipóteses Fundamentais

Considere 3tB ⊂ ¡ conjunto aberto o qual representa a configuração atual de um

fluido contínuo no espaço vetorial euclidiano 3¡ e seja Ι ⊂ ¡ um subconjunto aberto dos

números reais , o qual representa um intervalo de observação. Para um dado referencial,

seja 3tB∈ ⊂x ¡ e t ∈ ΙΙΙΙ o vetor posição no instante de tempo respectivamente. A massa

específica e os campos de velocidade na descrição Euleriana são representados por

( )x tρ , e ( )tv x , , respectivamente. Se tBΩ ⊂ representa uma região regular e suave do

espaço representando um volume de controle e ∂Ω sua superfície cujo vetor normal

unitário exterior é representado por n , então a forma integral da equação de balanço de

massa é dada por:

v. n t

ddv da = 0 B

dtρ ρ

Ω ∂Ω+ ∀Ω ⊂∫ ∫ e t ∈ ΙΙΙΙ (2.1)

Agora, considere ( )tT x, o tensor de tensão de Cauchy (simétrico) e g o vetor a

aceleração da gravidade local. Assim, para qualquer referencial inercial a forma integral da

equação de balanço de quantidade de movimento é dada por:

( )v v v n T n g t

ddv da = da+ dv B

dtρ ρ ρ

Ω ∂Ω ∂Ω Ω+ ∀Ω ⊂∫ ∫ ∫ ∫.... e t ∈ ΙΙΙΙ (2.2)

10

Representando a energia interna por unidade de volume por ( )x,e t , o vetor fluxo de

calor como ( )q tx, e a geração e a absorção de energia por unidade de volume como

( )r tx, , a forma integral da equação de balanço de energia pode ser expressa como:

( ) ( )1 1

2 2

de dv e da + . da =

dtρ ρ

Ω ∂Ω ∂Ω

+

∫ ∫ ∫+ v.v + v.v v n Tv -q n....

( )rg . v + dvρΩ∫ tB∀Ω ⊂ e t ∈ ΙΙΙΙ (2.3)

Finalmente, denotando-se a entropia por unidade de volume como ( )s tx, e a

temperatura absoluta por ( )tθ x, , então a forma integral da SLT pode ser postulada como:

( ) t

d rsdv s da + da+ dv B

dt θ θΩ ∂Ω ∂Ω ∂Ω+ ≥ − ∀Ω ⊂∫ ∫ ∫ ∫

q.nv.n e t ∈ ΙΙΙΙ . (2.4)

Considerando que - pT = I + S , no qual ( )tp x, representa a pressão do

fluido, ( )S x,t é o tensor de tensão extra (simétrico) devido ao movimento é o tensor

identidade de segunda ordem e que nas expressões anteriores são todos regulares, as

seguintes formas locais das Eqs. (2.1-2.4) podem ser diretamente escritas como segue:

( ) 0. vt

ρ ρ∂ + ∇ =∂

(2.5)

( ) ( )v . v v + I .S + gpt

ρ ρ ρ ρ∂ + ∇ ⊗ = ∇∂

, (2.6)

( )1 1

2 2e + e r

t

ρ ρ ρ ρ∂ ∇ ∇ + ∂ + v.v + . + v.v + p v = . Sv -q g.v + , (2.7)

( ) q. Sv .

s r+

t θ θ∂ ∇ ≥ −∇ + ∂

, (2.8)

11

para todo ( )x, .tt B I∈ ×

Quando as seguintes identidades,

( ). v .v + v.χ χ χ∇ = ∇ ∇ para , ,s eχ ρ∈ (2.9)

( ) ( )( ). v v v .v + v v. vρ ρ ρ ρ∇ ⊗ = ∇ ∇ + ∇ para todo , ,s eχ ρ∈ (2.10)

( )Sv S.D + v. .S∇ = ∇ , (2.11)

( ) ( ) ( ) ( ). v.v v . ( v v) v = v. v v + v. . v vTρ ρ ρ ρ∇ = ∇ ⊗ ∇ ∇ ⊗ , (2.12)

2

q .q q..

θθ θ θ

∇ ∇ ∇ = −

, (2.13)

são consideradas, as Eqs. (2.5-2.8) podem ser reescritas alternativamente como:

0.vρ ρ+ ∇ =& , (2.14)

.S + gv pρ ρ= −∇ + ∇& , (2.15) r,.v .v S.D - .q +e e p+ ∇ = − ∇ + ∇& (2.16)

( ) q..v .q + s s r

θθθ∇+ ∇ ≥ − − ∇& , (2.17)

para todo ( )x, ,tt B I∈ × no qual D representa a parcela simétrica do gradiente de

velocidade ∇v e χ& representa a derivada material da propriedade χ .

Finalmente introduzindo a energia livre de Helmhotz por unidade de volume

: e sψ θ= − e substituindo a Eq. (2.16) na Eq. (2.17) a Segunda Lei da Termodinânica pode

ser reescrita como a desigualdade de Claussius-Duhen como:

( ) 0q.

: .v - S.D d p sθθ

θ∇= − + ψ ∇ Ψ − + − ≥&& (2.18)

12

A Equação. (2.18) define a taxa de energia dissipada por unidade de volume do

fluido d e faz distinção entre os processos possíveis

( )0d ≥ e impossíveis ( )0d < . Processos que não violam a SLT são chamados de

reversíveis quando ( )0d = e irreversíveis quando ( )0d > .

As equações de balanço anteriores são válidas para um meio contínuo, mas também

para uma mistura homogênea como um todo. No caso do presente estudo, a mistura é

formada por um fluido de dois componentes, cujos constituintes são um liquido e um gás.

O gás existe livremente disperso como pequenas bolhas em suspensão bem como

dissolvido no líquido.

Tendo em mente que o gás liberado e absorvido estão restritos a pequenos

subdomínios localizados no domínio do escoamento (como nos pontos mais elevados das

tubulações, por exemplo), o gás livre está altamente disperso na fase líquida e tem a massa

específica muito menor que a do líquido, a hipótese de escoamentos homogêneos constitui

uma boa aproximação. Escoamentos homogêneos formam uma subclasse do escoamento

bifásico no qual não existe velocidade relativa significativa entre os constituintes das fases,

o que é equivalente a considerar que o liquido e o gás livre têm aproximadamente a mesma

velocidade (Graham, 1969; Ishii, 1975). Adicionalmente, quando ambos constituintes são

assumidos ter a mesma temperatura θ e a mistura é suposta sofrer uma transformação

isotérmica, sendo ( ) ( )0 0eθ θ= ∇ =& conforme justificado por Hsieh & Plesset (1961), o

problema pode ser termomecanicamente descrito pelas equações de balanço de quantidade

de movimento, energia e a SLT para a mistura como um todo, ao invés de fazer para cada

fase separadamente como ocorre para os modelos de escoamento bifásicos e da teoria da

13

mistura (Rajagopal & Tao, 1995; Drew & Passman, 1999). Como consequência, a mistura

de gás-líquido pode ser considerada como um pseudofluido compartilhando as propriedades

médias termomecânicas das duas fases. A nível macroscópico, estes constituintes são

assumidos coexistirem em cada ponto material e tempo.

Para levar em consideração adequadamente a liberação e absorção de gás, a

concentração de gás dissolvido no liquido c e a fração de volume de gás são

consideradas como variáveis internas. A concentração de gás dissolvido no liquido é

definida como sendo a quantidade de massa de gás dissolvida por unidade de volume de

líquido. A fração volumétrica de gás é definida como sendo a razão entre o volume de gás

livre em suspensão e o volume total da mistura. Uma vez que, por hipótese o gás livre

sempre está presente no fluido a fração volumétrica de gás está sujeita a seguinte restrição

( )0 1,α ∈ . Conforme veremos mais tarde, esta restrição é considerada no presente modelo

como um comportamento constitutivo e é adequadamente considerada nas equações

constitutivas. Uma vez que, conforme implicitamente assumido anteriormente, não há

vapor junto com o gás livre em suspensão, a massa específica do fluido pode ser definida

como:

: (1 )( )l gcρ α ρ αρ= − + + , (2.19)

na qual lρ e gρ representam a massa específica do liquido e do gás, respectivamente,

sendo ambos assumidos como sendo fluidos compressíveis.

Com base nas hipóteses fundamentais anteriormente listadas, apenas as formas

clássicas das equações de balanço, dadas pelas Eqs. (2.14), (2.15) e (2.18) bastam para

descrever totalmente o comportamento termomecânico do fluido. Levando em consideração

14

a troca de massa de gás entre as fases líquido e gasosa em conjunto com a Eq. (2.19), estas

equações de balanço podem ser reescritas da seguinte forma:

(1 ) (1 ) .v =l l l 0α ρ ρ α α ρ− − + − ∇& & , (2.20)

(1 ) (1 ) .v + =c c c 0α α α− − + − ∇ Γ&& , (2.21) .v - =g g g 0αρ ρ α αρ+ + ∇ Γ& & , (2.22)

( )( )(1 ) .v S + gl gc pα ρ αρ ρ− + − + = −∇ + ∇& , (2.23)

( ): . . 0v - S Dd p= − + ψ ∇ ψ + ≥& , (2.24)

para todo (x, ) tt B I∈ × , no qual Γ representa a taxa de transferência de massa por unidade

de volume do fluido.

Quando Γ > 0, o gás dissolvido no liquido desprende-se do fluido na forma de gás

livre em suspensão. Por outro lado, quando Γ < 0 , o gás livre se dissolve no líquido.

Finalmente quando Γ = 0, então não há troca de massa entre as fases gasosa e líquida e,

consequentemente, a massa de gás dissolvido no liquido e a massa de gás livre são

conservadas independentemente uma da outra. Para completar a descrição do problema,

deve-se acrescentar às equações de balanço relações constitutivas para a mistura. Elas

englobam expressões para ,Sp e para Γ , as quais devem satisfazer integralmente a SLT

dada pela Eq. (2.24), independentemente das ações externas e das condições de contorno e

iniciais.

15

Capítulo 3

Teoria Constitutiva

As relações constitutivas que descrevem o comportamento mecânico macroscópico

do pseudofluido são derivadas no contexto da termodinâmica dos processos irreversíveis.

Nesta teoria, uma vez o estado local do material tenha sido caracterizado por meio de uma

escolha apropriada de um conjunto de variáveis de estado, dois potenciais termodinâmicos -

a energia livre de Helmhotz e o pseudo potencial de dissipação - são suficientes para

derivar um conjunto completo de equações constitutivas. Para este problema em particular,

são escolhidos como variáveis de estado a massa específica local do líquido lρ e do gás

gρ , a concentração de gás dissolvido como líquido c , a fração volumétrica de gás α e a

temperatura absoluta θ . Conforme será visto mais adiante, a restrição associada com α é

tratada nesse trabalho como uma propriedade física nas equações constitutivas. Esta

abordagem já foi usada por Fremond & Nicolas (1990) na modelagem de problemas de

absorção e adsorção em meios porosos saturados e mais recentemente por Freitas Rachid

(2003) e Freitas Rachid (2006) na modelagem de cavitação em escoamentos de fluidos

compressíveis e dos efeitos da tensão superficial em escoamentos de misturas homogêneas

líquido-gás, respectivamente.

16

3.1 Leis de estado e energia livre de Helmholtz

Seguindo-se a hipótese clássica da Termodinâmica dos Processos Irreversíveis, a

energia livre de Helmholtz por unidade de volume do fluido ψ é suposta ser uma função

das variáveis de estado , , , e l g cρ ρ α θ . Uma vez que a mistura é tratada como um

pseudofluido formado por dois constituintes, seu comportamento é suposto ser uma

combinação média das propriedades termomecânicas do líquido e gás, considerando α

como um fator de peso. Assim, a seguinte forma para Ψ é escolhida:

( , , , , ) : ( , , , , ) ( )l g l gc c Iρ ρ α θ ρ ρ α θ α′Ψ = Ψ = ψ + (3.1)

( , , , , ) : (1 ) ( , ) (1 ) ( ) ( , )l g l l l c g g gc cρ ρ α θ α ρ ρ θ α θ αρ ρ θ′Ψ = − Ψ + − Ψ + Ψ , (3.2)

0, se (0,1)( ) :

, caso contrário.I

αα

∈= +∞

(3.3)

Na expressão acima, ′Ψ é uma função suave a qual descreve as propriedades

termomecânicas do pseudofluido, enquanto que o termo ( )I α representa a função indicatriz

do conjunto convexo (0,1) (Moreau et al., 1988). O termo ( )I α é a parcela não suave da

energia livre e é incluída para levar em consideração a restrição (0,1)α ∈ considerada

como uma hipótese constitutiva. Em outras palavras, isto evita que assuma valores fora

do seu intervalo admissível, uma vez que seria necessário uma quantidade infinita de

energia para fazer isso.

Os termos lΨ e gΨ representam as energias livres por unidade de massa do líquido

e gás, respectivamente. Como sugerido por sua dependência funcional, estas energias livres

são supostas representar o comportamento termomecânico do líquido e do gás como se

17

fossem considerados constituintes isolados. Finalmente, o termo cΨ denota a energia livre

por unidade de massa de gás dissolvido, o qual é incorporado na energia livre da mistura

para levar em conta a liberação e absorção de gás. Por uma questão de simplicidade é

assumida como hipótese constitutiva que cΨ depende apenas da temperatura. As leis de

estado para o pseudofluido, relacionando as componentes reversíveis das forças

termodinâmicas com as variáveis de estado, são obtidas do potencial de energia livre e são

definidas como seguem:

: (1 ) (1 )l ll l

l l

pB gρ α α

ρ ρ ′∂Ψ= = − Ψ + = − ∂

, (3.4)

:g gg g

g g

pB gρ α α

ρ ρ ′∂Ψ= = Ψ + = ∂

, (3.5)

: (1 )ccB

cα

′∂Ψ= = − Ψ∂

, (3.6)

: , com ( )B h h Iαα α

α′∂Ψ= + ∈∂

∂, (3.7)

nas quais:

g g l l ccρ ρα

′∂Ψ = Ψ − Ψ − Ψ∂

, (3.8)

2 2: e : .gll l g g

l g

p pρ ρρ ρ

∂Ψ∂Ψ= =∂ ∂

(3.9)

Nas equações acima, lp e gp representam as pressões do líquido e do gás,

respectivamente. O termo h da Eq. (3.7) é um elemento do subdiferencial ( )Iα α∂

18

(também chamada derivada generalizada) com relação a α da função convexa ( )I α . A

subdiferencial da função indicatriz ( )I α em α é dada pelo conjunto (Ekeland & Teman,

1976; Moreau et al. , 1988);

* * *( ) : ( ) ( ) ( ); (0,1)I h I I hα α α α α α α∂ = ∈ − ≥ − ∀ ∈ , (3.10)

Um cálculo direto mostra que (0 1) 0Iα α∂ < < = e ( )Iα α∂ = ∅ se (0,1)α ∉ . É

importante notar que a restrição (0,1)α ∈ é de fato levada em consideração através da lei

constitutiva dada pela Eq. (3.7), uma vez que esta relação implica que a subdiferencial

( )Iα α∂ não seja um conjunto vazio.

Uma vez escolhida a forma de ′Ψ na Eq. (2.26), é possível computar sua derivada

material &ψψψψ a qual aparece na Eq. (2.24). Tendo em mente que as derivadas do tempo

devem ser derivadas à esquerda de forma a atender o princípio do determinismo, resulta

que:

0

( ( )) ( ( ))liml gt

l g

I t I t tc

c t

α αρ ρ αρ ρ α ∆ →

′ ′ ′ ′∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ − − ∆ψ = + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∆

& & & && , (3.11)

Ao se computar ψ& deve-se ter cuidado uma vez que Ψ não é uma função suave.

Pelo uso da definição de subdiferencial pode-se mostrar que:

0

( ( )) ( ( ))lim 0, ( ( ))t

I t I t th h I t

t αα α α α

∆ →

− − ∆ ≤ = ∀ ∈∂∆

& . (3.12)

Quando é usada a expressão acima na Eq. (3.11) com as leis de estado mostradas nas Eqs.

(3.4-3.7), a Eq. (2.24) pode ser reescrita da seguinte forma:

( ): . 0v + S . D - l c gl gd p B B c B Bρ ρ αρ ρ α= − + ψ ∇ − − − ≥& & && (3.13)

19

De forma a obter um conjunto completo de equações constitutivas, basta especificar

um pseudopotencial de dissipação do qual as leis complementares são derivadas de tal

forma que a versão local da SLT dada pela Eq. (2.24) ou (3.13), seja sempre satisfeita

independentemente das condições iniciais e de contorno.

3.2 Pseudopotencial de dissipação e leis complementares

Para introduzir o comportamento irreversível do pseudofluido e também assegurar

que a SLT seja sempre satisfeita, admite-se a existência de um pseudo potencial de

dissipação Φ o qual é uma função objetiva, diferenciável e convexa de c, ,D, eBα Γ& & . Além

disso, admite-se que o pseudopotencial ( )c, , ; , ,D, B cα α θΓΦ & & tem as seguintes

propriedades:

( ), , ; , , 0D,c B cα α θΓΦ ≥&& e ( )0,0 0; , , 00, , cα θΦ = (3.14)

qualquer que sejam os valores de , , ; , ,D,c B cα α θΓ&& .

As informações adicionais associadas com o comportamento dissipativo do

pseudofluido são obtidas de Φ através das seguintes leis complementares:

: , : , : , :D

cS B Bc B

α

α Γ

∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ= = = Γ =∂ ∂ ∂ ∂

&&

&& (3.15)

Além disso, se a taxa de dissipação de energia d é suposta ser da forma,

: ( ) .S . D + vcd B c+ B + B Iαα αΓ= Γ − ∇&&&& , (3.16)

então, obtém-se da propriedade de convexidade de Φ , para qualquer evolução real (Berger,

1977), que:

20

( ) ( ): , , ; , , 0,0 0; , , .S . D + D, 0,cd B c+ B + B c B c , cαα α α θ α θΓ Γ= Γ ≥ Φ − Φ&&& && & (3.17)

Em vista da Eq. (3.14), é fácil verificar que 0d ≥ para qualquer evolução real do

pseudofluido e, desta forma, a SLT dada pela Eq. (2.24) é sempre satisfeita. Do ponto de

vista mecânico, a Eq. (3.16) estabelece que a taxa de energia dissipada é de fato a soma de

quatro parcelas. A primeira parcela no lado direito da Eq. (3.16) é clássica e é devido aos

efeitos viscosos. As próximas três parcelas refletem a mudança de energia interna da

mistura. O quinto e o último termo não expressa nenhuma dissipação uma vez que

( ) 0I α = para (0,1)α ∈ . Este termo foi incorporado na dissipação para dar coerência ao

modelo. Isto significa que para forçar α sair do intervalo (0,1) seria necessário ou uma

quantidade infinita de energia ou então a SLT seria violada.

As hipóteses constitutivas assumidas até o momento são suficientes para

parcialmente caracterizar o comportamento mecânico do pseudofluido. Uma vez que as

equações de balanço de massa dadas pelas Eqs. (2.20) e (2.21), em conjunto com a Eq.

(2.22), definem subespaços do espaço linear definido por , ,v, l g cρ ρ& & & e α , então a fim de

que a Eq. (3.13) seja igual a Eq. (3.16) para qualquer evolução real , deve-se ter:

( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) . .

.

(1 ) (1 ) .

(1 ) (1 ) .

v S D S.D +

v +

v

v

gl cl g

c

l l l

g g g

p B B B c B

B B c B I

c c c

ρρ α

α

ρ ρ α

α α

η α ρ ρ α α ρ

ξ α αρ ρ α α αρ

Γ

− + Ψ ∇ + − − − − =

+ + Γ − ∇

− − + − ∇ +

− + + − + − + ∇

& &

& & &&

& &

& &

& &&

(3.18)

nas quais, η e ξ são multiplicadores de Lagrange. Uma vez que a Eq. (3.18) vale para

qualquer evolução independente de v, l gρ ,ρ ,c& & & e α& tem-se que:

21

( )(1 ) (1 ) ( )l g gp c B I 0η α ρ ξ αρ α αρ αΓ− − Ψ − − − + − − + = ,

(1 ) 0lB ρ η α− − − = ,

gB B 0ρ ξα α Γ− − − = ,

)g g lB B B c 0α α ξρ ρ ηρ ξΓ− − − − + + =& ,

(1 )c cB B 0ξ α− − − − =& (3.19)

Uma vez que (0,1)α ∈ por hipótese, η e ξ podem ser eliminadas das equações

anteriores, rendendo as seguintes relações entre as forças termodinâmicas:

(1 ) ,cl gp p p cBα α= − + + & (3.20)

,(1 )

c

g l

cBB p pα

α= − −

−

&& (3.21)

.(1 )

c

c g

BB g

αΓ = Ψ − +

−

&

(3.22)

A importância do uso da extensão do procedimento de Coleman-Noll (Coleman &

Noll, 1963; Eringen & Ingram, 1965; Green & Naghdi, 1965) torna-se claro uma vez que

este permite estabelecer relações intrínsicas não triviais entre as forças termodinâmicas

dadas pelas Eqs. (3.20-3.22).

Com exceção dos termos em que figuram a força termodinâmica cB&, no lado direito

das Eqs. (3.20-3.22), estas relações estabelecem que a pressão da mistura é a média

ponderada (pela fração volumétrica de gás) entre as pressões no líquido e gás livre , a força

termodinâmica associada à taxa de evolução da fração volumétrica de gás é igual a

22

diferença entre as pressões no líquido e no gás, e finalmente, que as forças termodinâmicas

associadas à taxa de transferência de massa de gás entre as fases líquida e gasosa é igual a

diferença de energia livre desse constituinte nas respectivas fases.

3.3 Equações constitutivas

As restrições impostas ao potencial de energia livre e ao pseudopotencial de

dissipação apresentado nas seções anteriores asseguram que a SLT será sempre satisfeita.

Embora tais condições sejam fundamentais para se obter coerência termodinâmica, elas não

são suficientes para garantir total fidelidade na reprodução do fenômeno de cavitação

gasosa. O sucesso desta etapa se baseia no conhecimento do problema físico, geralmente,

adquirido com base em descobertas experimentais.

Levando-se em consideração os resultados experimentais disponíveis na literatura,

formas específicas são prescritas para ambos potenciais termodinâmicos de forma a se obter

as equações constitutivas desejadas. Uma vez que as funções ( , )l lρ θΨ , ( , )g gρ θΨ , ( )c θΨ

e ( ), , ; , ,D,c B cα α θΓΦ && sejam especificadas as Eqs. (28-31), (39) e (44 a 46) formam um

conjunto completo de equações constitutivas.

As formas de lΨ e gΨ são as responsáveis por descrever o comportamento

mecânico reversível do líquido e do gás livre como constituintes isolados e independentes.

Assumindo que o líquido e o gás livre são substâncias compressíveis simples, estas

energias livres podem ser postuladas como:

2( , ) : log logol

l l l l l ll

C aρρ θ θ θ ρρ

Ψ = Ψ = − + +

, (3.23)

23

2( , ) : log logg g g g g gC aρ θ θ θ ρΨ = Ψ = − + (3.24)

Nas expressões acima, lC e gC , são assumidos ser constantes. Eles representam os

calores específicos à volume constante do líquido e do gás livre, respectivamente. Os

parâmetros materiais, 2,ol laρ e 2

ga , são dependentes da temperatura, sendo os dois últimos o

quadrado da velocidade de propagação da onda isotérmica no meio líquido e no gás,

respectivamente.

Sem perda de generalidade, admitindo-se que ambos os constituintes se comportam

com fluidos Newtonianos, uma escolha simples e adequada para Φ é da forma:

( ) ( )( ) 2 22, , ; , , :

2 2 2D, D D.D +

r an nar

r a

c B c tr B Bn n

ββλα α θ µΓ Γ ΓΦ = + + −&& (3.25)

no qual ( ),k k cβ β θ= e ( )k kn n θ= , com ,k a r∈ , são constantes materiais positivas,

com 1/ 2kn > , associado com o fenômeno de liberação ( )k r= e absorção de gás ( )k a=

e ( )λ λ α= , ( )µ µ α= são propriedades médias entre respectivamente, lλ e gλ e entre lµ e

gµ tendo α como um fator de peso. Estes parâmetros materiais são tais que 0µ ≥ e

2 / 3 0λ µ+ ≥ . O termo χ representa o valor máximo entre zero e χ , i. e.,

: max 0,χ χ= . Uma vez que a Eq. (3.25) satisfaz o conjunto de condições impostas na

Seção 3.2 e na Eq. (3.14), a Segunda Lei da Termodinâmica dada pela Eq. (2.24) é

incondicionalmente satisfeita.

Os dois primeiros termos na Eq. (3.25) são clássicos e expressam o comportamento

do fluido Newtoniano, no qual, neste caso, é suposto ser uma mistura das propriedades do

gás livre e do líquido. O último termo é não usual e reflete as mudanças irreversíveis dentro

24

da estrutura interna do fluido associada com a liberação e absorção do gás. Uma vez que,

por hipótese, Φ dado pela Eq. (3.25) não depende de c& e α& tem-se pela Eq. (39) que

cB 0=& e B 0α =& . Esta hipótese tem como consequência a inexistência de leis de evolução

para c& e α&, resultando em modelos mais simples. Com o resultado, baseado nas Eqs.

(3.15) e (3.20-3.22), a escolha específica expressa pelas Eqs. (3.23-3.25) formam as

seguintes equações constitutivas:

l gp p p= = , (3.26)

( )S D Dtr 2λ µ= I + , (3.27)

2 1 2 1r an n

r c g a g cg gβ β− −

Γ = Ψ − − − Ψ (3.28)

na qual:

2( )ol l l lp a ρ ρ= − e 2

g g gp a ρ= . (3.29)

As Eqs. (3.29) expressam a pressão no gás livre e líquido respectivamente, as quais,

em virtude da Eq. (3.26), são iguais e caracterizam a pressão no fluido. Devido a natureza

da relação funcional empregada na Eq. (3.28) é fácil verificar que Γ pode ser tal que

0Γ ≥ ou 0Γ ≤ . Em outras palavras, o fenômeno de liberação de gás é considerado, bem

como o processo reverso de absorção de gás. A transferência de massa pode ocorrer do gás

dissolvido no líquido para o gás livre em suspensão no fluido e vice-versa. Embora a escala

de tempo do fenômeno de absorção de gás seja muito maior do que o de liberação, ambos

os processos podem ser representados pela teoria proposta dentro do mesmo contexto, ao

invés apenas um processo de via única de liberação de gás, conforme empregado em todos

25

os modelos existentes, (Kranenburg , 1974; Wiggert & Sundquist , 1979; Kessal &

Bennacer , 2005). Levando-se em consideração que o tempo característico do processo de

absorção de gás é muito mais longo, este fenômeno pode, para fins de aplicações práticas,

ser ignorado.

Conforme pode-se ver na Eq. (3.28), a liberação de gás é ativada sempre que a

energia livre do gás dissolvido no líquido for maior do que a energia livre de Gibbs do gás

livre, isto é, c ggΨ > . Por outro lado, se g cg > Ψ o fenômeno reverso de absorção de gás é

ativado. Não havendo nem a liberação nem a absorção de gás 0Γ = , e a pressão no fluido é

igual a pressão de saturação do gás dissolvido, ou seja, sp p= . Quando este resultado é

considerado na Eq. (3.28), junto com as Eqs. (2.29), (3.26) e (3.29), uma forma possível

para a energia livre do gás dissolvido surge naturalmente:

2 22

log log sc g g g

g

pC a a

aθ θΨ = − + + (3.30)

A forma específica da Eq. (3.30) é uma consequência de duas hipóteses básicas: o

gás livre se comporta como um gás perfeito e cΨ depende, exclusivamente, da

temperatura. Como resultado, a pressão de saturação, também, deverá depender apenas da

temperatura, isto é, ( )s sp p θ= .

Finalmente, a substituição da Eq. (3.30) na Eq. (3.28), permite reescrever a taxa de

transferência de gás dissolvido no líquido, para a fase gasosa e vice-versa em termos da

pressão de saturaçãosp e da pressão do fluido p como segue:

( ) ( )2 12 1

2 1 2 12 2log logar

r a

nnn n

sr g a g

s

p pa a

p pβ β

−−− −

Γ = − , (3.31)

26

no qual, ( )g ga a θ= , ( ),k k cβ β θ= e ( )k kn n θ= , com ,k a r∈ . A Eq. (3.31) indica que o

gás se desprenderá do líquido sempre que a pressão da mistura cair abaixo da pressão de

saturação ( sp p< ). Por outro lado, o gás se dissolverá no líquido sempre que a pressão da

mistura for maior que a pressão de saturação ( )sp p> , ambas as situações estão de acordo

com os resultados experimentais.

A pressão de saturação, a qual é um parâmetro constitutivo no modelo proposto

neste trabalho, está relacionada com a concentração de saturação do gás no líquido, através

da lei de Henry (Sander, 1999). Esta lei estabelece que a quantidade de gás dissolvido no

líquido é diretamente proporcional a pressão parcial do gás na fase gasosa em contato com

o líquido em equilíbrio termomecânico. Em termos matemáticos esta lei pode ser expressa

da seguinte forma:

, , , , ev = 0 0 =s H sp k c c 0 0 0 0α θ θ= ⇔ = = = ∇ = Γ&&& (3.32)

no qual, ( )H Hk k θ= é o coeficiente de proporcionalidade da Lei de Henry, o qual depende

da temperatura, para um par líquido-gás em consideração (Sander, 1999).

Resumindo, para descrever consistentemente o fenômeno de liberação e absorção de

gás em escoamentos homogêneos e isotérmicos de misturas de líquido-gás para fluidos

Newtonianos, as equações constitutivas dadas pelas Eqs. (3.26), (3.27), (3.29), (3.31) e

(3.32) devem ser acrescentadas às equações de balanço dadas pelas Eqs. (2.20-2.23). Uma

vez que a relação constitutiva para um fluido Newtoniano é bem conhecida, a partir de

agora ênfase será dada ao processo de liberação de gás.

27

Capítulo 4

Ajuste dos coeficientes constitutivos com os dados experimentais

As restrições e escolhas feitas até agora asseguram consistência do ponto de vista

termodinâmico, qualificando o modelo proposto às aplicações. Entretanto, elas não são

suficientes para garantir o sucesso na reprodução de resultados experimentais. Neste

capítulo apelar-se-á para dados experimentais disponíveis na literatura para verificar se a

escolha dos potenciais termodinâmicos são capazes de satisfazer o último requisito.

Para verificar a capacidade das expressões propostas para modelar a taxa de

liberação de gás, dada pela Eq. (3.31), na reprodução adequada do fenômeno físico,

recorrer-se-á ao uso dos dados experimentais de Zielke et al. (1990). Uma vez que a escala

de tempo do processo de liberação de gás é muito menor do que o de absorção, o primeiro é

considerado o processo de maior relevância em problemas de transientes hidráulicos. Os

autores realizaram estudos experimentais nos quais a liberação de gás em um tubo

conduzindo água foi induzida por uma rápida queda de pressão no sistema. A quantidade de

gás liberado foi determinada pela medição da concentração do teor de gás livre antes e

depois da queda de pressão em intervalos de tempos distintos.

Para obter uma boa precisão sobre a ampla faixa de valores de gás liberado, Zielke

et al. (1990) empregaram métodos acústicos e ópticos na medição do teor de gás livre. A

28

técnica óptica é baseada em uma técnica de contagem da luz dispersada e foi usada no

início da liberação de gás para pequenas quantidades de gás livre. O método acústico é

baseado na dependência da velocidade acústica dos pulsos de pressão sobre o teor de gás

livre e foi usado para teores maiores de gás livre. Pela medição da velocidade acústica dos

pulsos de pressão, através do tempo de trânsito, o teor de gás livre é determinado com a

ajuda das velocidades teóricas acústicas da mistura de bolhas de ar-água.

Os experimentos foram realizados na temperatura ambiente para diferentes pressões

de saturação, diferentes velocidades de escoamento e níveis distintos de pressões após a

queda de pressão. A queda das pressões foi alcançada em menos de um segundo pela

abertura de uma válvula conectando a seção de teste no túnel de cavitação a um tanque de

vácuo. Para assegurar que não haveria a formação de vapor durante o teste, Zielke et al.

(1990) trabalharam com níveis de pressões acima da pressão de vapor da água, que na

temperatura ambiente correspondente a uma pressão de 2.34kPa.

Admitindo como ponto de partida que a taxa de liberação de gás é proporcional ao

grau de supersaturaçãosp p− , a seguinte expressão para a transferência de massa de gás

foi proposta empiricamente por Zielke et al. (1990) usando ajuste de curva a partir de dados

experimentais:

( ) ( )0.86

ek R f pΓ = (4.1)

na qual:

( )2.59

exp 9.2s

r s

p p pf p

p p

− = −

(4.2)

29

11

2

7.1 10xk

D

−

= (4.3)

com k e Γ sendo expressos em kgm3/s. Na Eq. (4.1), sp representa a pressão de saturação

do gás dissolvido, sp é a pressão atual do fluido após a queda da pressão, rp é a pressão de

referência fixada ( )101 ,rp kPa D= é o diâmetro interno da tubulação em metros e eR é o

número de Reynolds ( )( )/e lR UD ν= , sendo U a velocidade característica do escoamento

e lν a viscosidade cinemática da água. De acordo com Zielke et al. (1990), a Eq. (4.1) é

válida no mínimo para as condições de teste, ou seja:

42.48 125.0 ,0.7 / 3.3 /skPa p kPa m s U m s≤ ≤ ≤ ≤ e 8 60kPa p kPa≤ ≤ . É importante notar

que a expressão experimental proposta por Zielke et al. (1990) para Γ independe de c

embora o modelo proposto neste trabalho (vide Eq. 3.31) seja capaz de levar em

consideração esta dependência. Como um primeiro passo para identificar os coeficientes rβ

e 2 1rn − da taxa de liberação de gás proposta Eq. (3.31), tomando como referência os

dados experimentais dados pela Eq. (4.1), escreve-se o coeficiente rβ em termos de um

novo coeficiente 'rβ de acordo com a seguinte expressão:

( )0.86

'12 r

ern

g

k R

aβ β−= (4.4)

Levando-se em consideração a Eq. (4.4), a Eq. (3.31) com aβ , assume agora a

seguinte forma:

( ) ( )0.86;uek R g pΓ = (4.5)

30

na qual:

( )2

1; : loguu

spg p u

p= (4.6)

21 2, ) ,Tu u ∈u = ( ¡ com '

1 0ru β= > e 2 2 1 0ru n= − > (4.7)

Uma vez que a pressão do fluido é tal que vp p≥ , no qual vp representa a pressão

de vapor do líquido, a função f , dada pela Eq. (4.2), é uma função de valor real quadrado

integrável no intervalo[ ],v sp p com v sp p< . Para 1 0u > e 2 0u > , a função g é também

de valor real quadrado integrável no intervalo [ ],v sp p . Em outras palavras, f e g

pertencem ao espaço de Hilbert ( )2 ,v sL p p , de tal forma que:

( ) ( )2 2

1 1

2 22 2

, ;s s

v v

p p

L Lp p

f f p dp g g p u dp

= < ∞ = < ∞ ∫ ∫ (4.8)

Motivado pela Eq. (4.8), define-se uma função vetorial ( ) :l l + + += × →¡ ¡ ¡u de

acordo com:

( ) ( ) ( )2

12

2: ;

s

v

p

Lp

l f g f p g p dp

= − = − ∫u u (4.9)

no qual também se verifica a condição ( )l < ∞u . Finalmente, para identificar os

coeficientes constitutivos '1 ru β= e 2 2 1ru n= − , os quais melhor aproximam g e f ,

resolve-se o seguinte problema de minimização:

( )2

minu

l u∈¡

, (4.10)

31

sujeito a 1 0u > e 2 0u > (4.11)

Este problema é resolvido numericamente usando um método de quasi-Newton,

com uma aproximação por diferenças finitas do gradiente de ( )ul , e uma busca de linha,

(Dennis & Schnabel, 1983), junto com uma estratégia proposta por Gill & Murray (1976)

de forma a incorporar a restrição da Eq.(4.11). Se n denota a enésima interação no

algoritmo usado para solução da Eq. (4.10), o critério de parada usado para descobrir uma

solução numérica ocorre quando as normas do gradiente escalar e a distância entre os dois

últimos passos são menores do que as tolerâncias dadas.

( )

( ) 1

3max ,1

max ,1

u

u

n ni

i

n

l u

lε

∇ ≤ para 1,2 ,i ∈ (4.12)

1 2

3

max ,1u

n ni i

n

u uε

−−≤ para 1,2 ,i ∈ (4.13)

No contexto, do problema de minimização, a integral da Eq. (4.9) é numericamente

aproximada usando um esquema globalmente adaptativo baseado nas regras de Gauss-

Kronrod (Piessens et al., 1983), com um erro relativo menor que ε .

Os resultados obtidos no problema de minimização, para 2.34vp kPa= , estão

apresentados na Tabela 1, para valor de 610ε −= . Adicionalmente, para os valores dos

coeficientes constitutivos de 'rβ e 2 1rn − para valores diferentes da pressão de saturação

no intervalo 42.84 125.0skPa p kPa≤ ≤ , a Tabela 4.1 apresenta as normas propostas 2L e

32

das funções proposta e experimental f e g , a norma 2L da diferença de f g− , bem como

o erro relativo dado por 2 2/L L

f g f− .

Tabela 4.1: Resultados do problema de minimização para 2.34kPa.

sp kPa= 2Lf g− 2L

f 2Lg ( )2

2

%L

L

f g

f

− '

rβ 2 1rn −

42,48 0,05757 0,19586 0,21593 29,4 0,001000 2,841

44,98 0,05168 0,28051 0,29503 18,4 0,001000 3,358 47,48 0,04259 0,39095 0,40127 10,9 0,001000 3,789 49,98 0,02942 0,53226 0,53806 5,53 0,001000 4,146 52,48 0,02116 0,70988 0,70979 2,98 0,001000 4,445 62,47 0,07042 0,19088 1,90750 3,69 0,001956 4,227 82,46 0,40870 8,2825 8,27242 4,93 0,005871 3,879 105,00 1,66900 27,273 27,2221 6,12 0,01539 3,602 125,00 4,36900 61,1499 61,9953 7,03 0,03088 3,420

Para se ter uma melhor visualização dos resultados do problema de minimização, as

normas 2L das funções f e g e f g− , listadas na Tabela 4.1 são apresentadas em um

gráfico na Figura 4.1 como uma função da pressão de saturação.

33

Figura 4.1: As normas 2L das funções f , g e f g− e o erro relativo da norma 2L entre

f e g como uma função da pressão de saturação sp .

Uma vez que os valores absolutos dos dados nas colunas de 2 a 5 da Tabela 4.1 são

bem diferentes, dos 2 eixos y foram usados no gráfico da Figura 4.1. Uma vez que f e g

são funções monótonas da pressão, quanto mais amplo o intervalo de [ ],v sp p maior se

torna a norma 2L . Devido à escala logarítmica usada no lado direito do eixo y, as

diferenças entre 2Lf e 2L

g são imperceptíveis. Em contraste ao comportamento

observado de 2Lf e 2L

g , 2Lf g− apresenta um mínimo local em 52sp kPa= ,

aproximadamente. À esquerda deste ponto, 2Lf g− diminui sempre que 2L

f aumenta

em relação a sp . Entretanto, os erros relativos de 2 2/L L

f g f− alcançam valores

significativos no intervalo de [ ]42.84,52.48kPa , variando no mínimo de 2.11% em

52sp kPa= para um máximo de 29.4% em 42.84sp = .

A qualidade dos resultados obtidos com a minimização do problema pode ser

visualizada na Figura 4.2, onde as funções f e g são plotadas em função de p para

valores diferentes da pressão de saturação 42.84,52.48;125.0sp kPa= . Para 52.48sp = , o

qual corresponde a um erro relativo mínimo 2 2/L L

f g f− de 2.98% (ver Tabela 4.1),

pode ser visto que as funções f e g estão que sobrepostas. Para valores intermediários de

erro relativo de 7.03% (o qual corresponde ao valor extremo da pressão de saturação

125.0sp kPa= ) a função g se ajusta bem a função experimental f sobre uma maior faixa

de pressão, exceto no pequeno intervalo de 32 44p kPa< < . Finalmente, até mesmo para o

34

erro relativo de 29.4%, o qual corresponde a pressão de saturação 42.48sp kPa= (ver

Tabela 4.1), o resultado obtido com o problema de minimização não é tão ruim, uma vez

que a discrepância entre f e g está também restrita a uma pequena faixa de pressões.

Conforme será visto no capítulo 5, as diferenças observadas em f e g não implicam em

erros significativos quando simulações numéricas são realizadas para problemas práticos.

Figura 4.2: As funções f (experimental) e g (proposta) dadas pelas Eqs. (4.2) e

(4.6) como uma função da pressão p para diferentes valores da pressão de saturação

42.48;52.48;125sp kPa=

Embora os dados experimentais tenham sidos usados para ajustar somente os

coeficientes materiais associados com o processo de liberação de gás, o mesmo

procedimento poderia ter sido empregado com relação ao processo de absorção de gás caso

os dados correspondentes estivessem disponíveis.

35

Capítulo 5

Simulação Numérica

Antes de apresentar os resultados de algumas simulações numéricas, é oportuno se

reportar as equações de governo, dadas pelas Eqs. (2.20-2.23) em conjunto com as Eqs.

(3.26), (3.27), (3.28), (3.31) e (3.32), de forma a identificar a velocidade de frente de onda

com a qual as perturbações se propagam no meio. Pela análise dos autovalores (Jeffrey,

1976), pode-se mostrar que a velocidade principal de frente de onda é dada pela seguinte

expressão:

( )

1/22 2

2 2 (1 )l l g

l l g g

a aa

a a

ρρ ρ α ρ α

=

+ −

, (5.1)

Conforme pode ser visto na Eq. (5.1), a velocidade da frente de onda a não

depende apenas da fração volumétrica de gás α , mas também da pressão p , através das

equações constitutivas para o líquido e o gás, dado pelas Eqs. (3.26) e (3.29). Neste novo

modelo, devido a presença da concentração de gás dissolvido c na massa específica da

mistura ρ Eq. (2.19), a velocidade de frente de onda a depende também de c , isto é,

( )ˆ , ,a a p cα= . Entretanto, embora na prática lc ρ? ( / lc ρ é da ordem de 510− ), a

dependência de α em c é insignificante e, desta forma, pode ser desconsiderada admitindo

que:

ˆ : (1 ) gρ ρ α α ρ≈ = − + (5.2)

36

Se ρ for usado na Eq. (5.1) no lugar de ρ , toma a forma da expressão clássica derivada no

trabalho pioneiro de Wood (1930).

A influência da fração de volumétrica de gás e da pressão na velocidade de frente da

onda pode ser visualizada no gráfico da Figura 5.1, na qual foi plotada usando a Eq. (5.1)

para uma mistura de ar-água na temperatura ambiente ( 0 31485 / , 997.98 /l la m s kg mρ= = e

290 /ga m s= ).

Figura 5.1: A velocidade de frente de ondas a como uma função da fração

volumétrica de gás α para diferentes valores de pressão:

2.34;10;1.000;10.000p kPa= para uma mistura de ar-água na temperatura ambiente

37

Pode ser visto que para até mesmo pequenos valores da fração volumétrica de gás,

a velocidade da frente de ondas é drasticamente reduzida ainda mais, uma vez que a pressão

na mistura cai abaixo de 100kPa até pressão de vapor de 2.334kPa. Conforme veremos

mais tarde, o processo de liberação de gás age pela redução ainda mais da velocidade da

frente de ondas, o que justifica sua inclusão na modelagem quando o fenômeno de

propagação de ondas torna-se uma característica relevante.

Para dar um melhor entendimento sobre a influência de liberação de gás no

comportamento mecânico da mistura de líquido-gás foram realizadas simulações numéricas

simples fazendo o uso de ambas as funções de liberação de gás dadas pelas Eqs. (4.1) e

(4.5). Para este propósito, consideramos um sistema constituído de pistão – cilindro cuja

área da seção transversal é dada por A e o volume inicial é dado por 0V . Ele é preenchido

por uma amostra de uma mistura de ar-água com gás dissolvido na temperatura ambiente.

A mistura tem seu volume inicial expandido e contraído ao longo do tempo por meio de

forças externas. Assume-se que, em qualquer instante de tempo, a mistura é homogênea,

através de todo o seu volume, de forma que os termos convectivos das equações de balanço

de massa são desprezíveis. Sob estas circunstâncias, a taxa de tempo de mudança de

volume por unidade de volume de toda a mistura dentro do sistema é descrita pelo termo

.v∇ , no qual assume-se ser uma função de entrada prescrita do tempo, isto é, · ( ).v = .v t∇ ∇ .

Uma vez que a taxa de liberação de gás Γ é dada ou pela Eq. (4.1) ou (4.5), não

depende de c , as equações de balanço de massa, dadas pelas Eqs. (2.20) e (2.22) podem ser

reduzidas ao seguinte conjunto de equações diferenciais ordinárias para a pressão p e para

a fração de volumétrica de gás α , com a ajuda das equações constitutivas para o líquido e

para o gás livre dada pela Eq. (3.29) junto com a Eq. (3.26):

38

( )( )2 ˆ.

g

dpa t

dt

ρρ

= + Γ − ∇ v (5.3)

( ) · ( )( ) ( )( )

2 2 2

2 2

1 . 1

1

v l l g g g

l l g g

t a a ad

dt a a

α ρ ρ ααα ρ α ρ

− ∇ − + Γ −=

+ − (5.4)

Em seguida, investigamos a resposta mecânica da mistura governada pelas Eqs.

(5.3) e (5.4) para a função de entrada · ( ).v t∇ plotada na Figura 5.2.

Figura 5.2: Função de entrada prescrita · ( ).v = .v t∇ ∇ como uma função do tempo

Este problema de valor inicial é numericamente aproximado pelo uso do método

clássico de Adams-Moulton, o qual vai até a ordem de 12, com passos de tempo inicial da

ordem de 0,05 sµ e erro relativo de 10-6.

39

Dentro do contexto do problema, o valor máximo em termos absolutos alcançados

por · ( ).v t∇ pode ser expresso por 0/AU V , no qual U representa a velocidade máxima do

pistão durante seu curso. Na Figura 5.2, a função de entrada, que não está mostrada em

escala, está caracterizada por dois cursos: Um curso de expansão de tempo transcorrido de

12 t∆ seguido de um período de repouso de 22 t∆ e um curso de contração, tendo um tempo

transcorrido de 12 t∆ , também seguido de um tempo de repouso de 22 t∆ . O pistão tem uma

área de secção transversal 21t A mπ∆ = e um volume inicial de 3

1 0 2t V mπ∆ = . A mistura

tem uma fração volumétrica de gás inicial ( ) 80 10tα −= = e está sujeito a uma pressão

inicial de ( )0 0 30p p t patm= = = , no qual a 101,325atmp kPa= representa o valor da

pressão atmosférica padrão absoluta. As duas simulações foram realizadas para valores

diferentes da pressão de saturação sp e a máxima velocidade do pistão sendo U ,

auxiliando a analisar diferentes características associadas com apenas com o fenômeno de

liberação de gás.

5.1 Expansão simples

Na primeira simulação, a mistura de gás-líquido está sujeita a um curso de expansão

somente com uma velocidade 3,2 /U m s= e um tempo de 1 1.9155mst∆ = . A

representação deste curso é alcançada com a função de entrada mostrada na Figura 4 pela

atribuição de valores arbitrários para 2t∆ maior do que o tempo de simulação, o qual neste

caso, é de 10segundos. Estes valores adotados são equivalentes ao imposto a deformação

volumétrica ( )0 1 0/ /AV V AU t V= ∆ da ordem de 0,31%. Os objetivos destas simulações

são dois, a saber:

40

a) Comparar a resposta mecânica da mistura entre os valores experimentais mostrados

na Eq. (4.1) e os valores propostos na Eq. (4.5) para as expressões que representam

o fenômeno de liberação de gás em diferentes valores da pressão de saturação

42.48;52.48;125sp kPa= .

b) Destacar os efeitos do fenômeno de liberação de gás pela comparação das respostas

associadas com aquelas quando não há liberação de gás.

As Figuras 5.3(a) e 5.3(b) mostram as respostas ao longo do tempo da fração

volumétrica de gás α (Figura (5.3a) e a pressão normalizada 0/p p (Figura (5.3b) para os

resultados experimentais na Eq. (4.1) e o proposto na Eq. (4.5), onde mostram as

expressões propostas para a liberação de gás para diferentes pressões de saturação

42.48;52.48;125sp kPa= e para a não liberação de gás.

41

figura 5.3(a): Históricos da fração volumétrica de gás α para a Eq. experimental (Eq. (4.1))

referente às expressões para a liberação de gás para diferentes pressões de saturação

42.48;52.48;125sp kPa= e para a não liberação de gás.

Figura 5.3(b): Históricos pressão normalizada 0p / p para a equação experimental (Eq.

(4.1)) para a equação proposta (Eq. (4.5)) referente às expressões para a liberação de gás

para diferentes pressões de saturação 42.48;52.48;125sp kPa= e para a não liberação de

gás.

Como resultado da expansão rápida, a pressão cai abruptamente mais do que 100 vezes

forçando o gás livre se expandir e a fração de volume de gás saltar de 10-8 para 5.0 x 10-6

aproximadamente. Quando não ocorre a liberação de gás ambas as pressões e a fração

volumétrica de gás permanecem constantes após a expansão rápida. Entretanto, se isso

ocorre, em seguida, ambas a pressão e a fração volumétrica de gás aumentam como

42

consequência da transferência de massa do líquido para a fase gasosa. Conforme pode ser

visto na Figura 5.3(b), quanto maior a pressão de saturação, mais forte é a recuperação da

pressão. Para pressão de saturação 125 ,22%sp kPa= da pressão mínima foi recuperada

após 10 segundos.

Os históricos da massa específica normalizada 0ˆ /ρ ρ e da velocidade da frente de

onda 0/a a estão ilustrados nas Figuras 5.4(a) e 5.4(b), respectivamente. Uma vez que as

variações na fração volumétrica de gás induzidas pela liberação de gás são muito pequenas

e g lρ ρ? , não há diferenças visíveis observadas ao longo do tempo entre a massa

normalizada para os três diferentes níveis de pressão de saturação. Por outro lado, enquanto

a velocidade da frente de ondas é reduzida em 87% de 0a quando não há liberação de gás,

esta propriedade da mistura é reduzida até mesmo quando acontece a liberação de gás,

alcançando valores de 75% de 0a para a pressão de saturação 125.0sp kPa= .

43

Figura 5.4(a): Históricos da massa específica normalizada 0ˆ /ρ ρ para a equação

experimental (Eq. (4.1)) referente às expressões para a liberação de gás para diferentes

pressões de saturação 42.48;52.48;125sp kPa= e para a não liberação de gás.

Figura 5.4(b): Históricos da velocidade da frente de onda normalizada 0/a a para a

equação proposta (Eq. (4.5)) referente às expressões para a liberação de gás para diferentes

pressões de saturação 42.48;52.48;125sp kPa= e para a não liberação de gás.

Conforme pode ser visto, quanto maior a pressão de saturação, mais significativo se

torna a redução da velocidade da frente de onda. As variações da velocidade da frente de

onda, aqui observadas, podem induzir mudanças significativas em problemas de

hidrodinâmica instáveis, o que justifica o fato de levar em consideração a liberação de gás

em simulações numéricas. Com relação ao grande erro relativo da ordem de 29.4%

observados entre as funções f (experimental e dado pela Eq. (4.1) e g (proposta, dado

44

pela Eq. (4.4) para 42.48kPa, isto pode ser visto na Figura 5.4(b) que não há diferença

visível entre as correspondentes respostas da velocidade da frente de onda. Tal evidência

demonstra, para fins práticos, que teoricamente a função propostag é capaz de predizer

muito bem a influência da liberação de gás na velocidade da frente de onda sobre o toda a

faixa de pressão de saturação pertencente ao intervalo de 42.48 125 .sp kPa≥ ≥

Finalmente, está mostrado na Figura 5.5, o histórico da taxa de gás liberado dada pelas

Eqs. (4.1) e (4.5) para diferentes valores de 42.48;52.48;125sp kPa= . Para 52.48sp kPa= ,

no qual corresponde ao erro relativo mínimo (Tabela 4.1), não há diferença visível entre as

respostas baseadas nas funções f e g . Para outras pressões de saturação, embora exista

uma notória diferença entre estas respostas, isto pode ser visto como não significativo sobre

toda a faixa de tempo transcorrido.

45

Figura 5.5: Históricos da taxa de liberação de gás para a equação experimental (Eq. (4.1))

e a equação proposta (Eq. (4.5)) referente às expressões para a liberação de gás para

diferentes pressões de saturação 42.48;52.48;125sp kPa=

5.2 Ciclo de expansão - contração

Com o intuito de investigar a influência de cargas cíclicas na resposta da mistura na

presença de liberação de gás, foram realizadas um segundo conjunto de simulações

considerando novamente a expressão · ( ).v t∇ , Figura 5.2, como uma função de entrada.

Para este propósito, a mesma mistura descrita nas seções anteriores é assumida existir

dentro de um sistema de pistão-cilindro sujeita a quatro ciclos sucessivos. O período de

repouso após o tempo do curso do pistão durante a expansão e contração mostrado no

primeiro ciclo da Figura 5.2 foi escolhido ser constante e igual a 2 1t s∆ = . Para tornar mais

fácil a compreensão das análises posteriores, as letras de A a E, foram inseridas em

posições diferentes no (primeiro) ciclo ilustrado na Figura 5.2.

São impostas à mistura três taxas de diferentes valores de deformação volumétrica,

determinando valores diferentes para a velocidade máxima do pistão, sendo

0.8;1.6;3.32 /U m s= . Para isolar a influência da taxa de deformação volumétrica na

resposta da mistura foi assumida ( )0 1 0/ / 0.31%V V AU t V∆ = ∆ = , assumidas para as três

simulações durante os cursos de expansão e contração. Para isso, o produto 1U t∆ é

considerado constante, rendendo 1 7.6621;3.8311;1.9155mst∆ = para

0.8;1.6;3.32 /U m s= , respectivamente. Nestas simulações assumimos que a pressão de

46

saturação é igual a 125sp kPa= e que a liberação de gás está computada considerando a

expressão dada pela Eq. (4.5). As respostas obtidas estão ilustradas graficamente nas

Figuras de 5.6 a 5.11(b). Em todos os gráficos as letras de A a E, anteriormente mostradas

na Figura 5.2 ), também foram marcadas como uma referência ao primeiro ciclo para uma

velocidade de 3.2 /U m s= .

Todo o histórico do tempo de resposta da fração volumétrica de gás para os quatro

ciclos estão apresentados na Figura 5.6 para 0.8;1.6;3.2 /U m s= . Uma vez que 1 2t t∆ ∆= ,

os cursos de contração e expansão representados na Figura 5.2 são visualizados na Figura

5.6 como linhas diretamente verticais, as quais são intercaladas pelos períodos de repouso

de tempo igual a 2t∆ de um segundo. Devido a liberação de gás, é observado um contínuo

aumento da resposta da fração volumétrica de gás durante o período de repouso após os

cursos de expansão do pistão. Assim, após o curso de contração a pressão permanece acima

da pressão de saturação, e não acontece liberação de gás durante os períodos de repouso

subsequentes mostrados, rendendo respostas planas às respostas da fração volumétrica de

gás. O ciclo após ciclo desprende-se pequena quantidade gás dissolvido no líquido,

aumentando os valores máximos e mínimos retidos pela fração volumétrica de gás.

47

Figura 5.6: Históricos da fração volumétrica de gás α em função do tempo t computada

com a expressão de liberação de gás (Eq.(4.5)) para pressão de saturação de 125.0sp kPa=

e para diferentes velocidades: 0.8;1.6;3.2 /U m s= .

A pressão normalizada 0/p p como uma função do tempo t está plotada na Figura

5.7(a) para 0.8;1.6;3.2 /U m s= . A recuperação da pressão observada após cada ciclo de

expansão aumenta continuamente ciclo após ciclo, sendo mais marcante para maiores taxas

de deformação volumétrica. Após completar cada ciclo, a pressão retorna ao seu valor

inicial 0p . Uma vez que a fração volumétrica de gás está relacionada com o estado de

deformação da mistura, a pressão normalizada pode ser plotada contra a fração volumétrica

de gás como mostrada na Figura 9(b) para 0.8;1.6;3.2 /U m s= para descrever os caminhos

dos ciclos de carga e descarga experimentado pela mistura. Estes processos de carga e

descarga estão associados aos cursos de expansão e contração respectivamente.

48

Figura 5.7(a): Pressão normalizada 0/p p em função do tempo t para pressão de

saturação 125.0sp kPa= e diferentes velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s=

49

Figura 5.7 (b): Pressão normalizada 0/p p em função da fração volumétrica de gás

α computada com a expressão proposta (Eq. (4.5)) para pressão de saturação

125.0sp kPa= e diferentes velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s=

Peculiaridades dos líquidos e sólidos à parte, a Figura 5.7b, assemelha-se com o

mesmo modelo (em posição de cabeça para baixo) observado nos testes dos ciclos de carga-

descarga realizado em materiais metálicos os quais exibem o comportamento mecânico

elasto-plástico. Mais especificamente, pode ser visto na Figura 5.7(b) caminhos paralelos

de carregamento (caminho A-B) e descarregamento (caminho C-D), intercalado pela

deformação viscosa dependente do tempo (caminho B-C), com a presença da deformação

residual (caminho A-E).

50

Com base nas respostas da pressão e da fração volumétrica de gás, a resposta da

massa específica e da velocidade de frente de onda podem ser prontamente computadas. As

Figuras 5.8(a) e 5.8(b) ilustram a massa específica normalizada 0ˆ /ρ ρ como uma função do

tempo (Figura 5.8(a)) e como uma função da fração volumétrica de gás (Figura 5.6(b))

para diferentes valores de velocidade 0.8;1.6;3.2 /U m s= . Devido prevalecer as condições

g lρ ρ≤ e 1α ≤ a variação da fração volumétrica de gás induzida pela liberação de gás, não

é suficiente para introduzir mudanças significativas na massa específica da mistura para as

três taxas de deformação volumétrica imposta.

51

Figura 5.8(a): Históricos da massa específica normalizada 0ˆ /ρ ρ como uma função

do tempo t computada pela expressão proposta de liberação de gás (Eq. (4.5)) e pressão

de saturação 125.0sp kPa= para diferentes velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= .

Figura 5.8 (b): Históricos da massa específica normalizada 0ˆ /ρ ρ computada pela

expressão proposta para liberação de gás (Eq. (4.5)) e pressão de saturação 125.0sp kPa=

para diferentes velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= .

Como resultado, as respostas para as velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= estão

superimpostas na Figura 5.8(a), bem como os caminhos de expansão e contração de um

mesmo ciclo, conforme pode ser visto na Figura 5.8(b). O efeito líquido da taxa de

deformação volumétrica no gráfico de 0ˆ /ρ ρ versus α , é para deslocar o segundo e os

caminhos subsequentes de contração-expansão para a direita conforme U está aumentado.

52

Ao contrário do que é observado para a massa específica, a velocidade da frente de

onda é muito sensível a evolução da fração volumétrica de gás e a taxa de evolução da

deformação volumétrica induzida pelo mecanismo de transferência de massa. Esta

afirmativa é corroborada pelas figuras 5.9(a) e 5.9(b), as quais apresentam a velocidade da

frente de onda 0/a a como uma função do tempo, Figura 5.9(a) e a fração volumétrica de

gás, Figura 5.9(b), para diferentes valores de velocidades do pistão 0.8;1.6;3.2 /U m s= .

Conforme pode ser visto na Figura 5.9(a), a liberação de gás em cada ciclo reduz

progressivamente a intensidade da velocidade da frente de onda, a qual retorna ao seu valor

inicial 0a após cada curso de contração. No final do quarto curso de expansão, a velocidade

da frente de ondas foi reduzida para aproximadamente 77% e 75% de 0a para

0.8 /U m s= e 3.2 /U m s= respectivamente.

53

Figura 5.9(a) : Velocidade da frente de onda normalizada 0/a a em função do tempo t

computada com a expressão proposta de liberação de gás na (Eq. (4.5)) e para pressão de

saturação 125.0sp kPa= e diferentes velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= .

Figura 5.9(b) : Velocidade da frente de onda normalizada 0/a a em função da fração

volumétrica de gás α computada com a expressão proposta de liberação de gás na (Eq.

(4.5)) e para pressão de saturação 125.0sp kPa= e diferentes velocidades

0.8;1.6;3.2 /U m s= .

Os efeitos do ciclo de carga e descarga na velocidade da frente de onda estão

melhores visualizados na Figura 5.9(b). Para cada valor de U , pode ser visto a formação de

sucessivos loops de histerese, os quais movem-se para a esquerda com área fechada

54

decrescente. O caminho de contração de um ciclo é praticamente o caminho de expansão

do ciclo subsequente, como pode ser visto com a ajuda das letras de A a E para o primeiro

ciclo com uma velocidade de 3.2 /U m s= . A medida que a taxa de deformação

volumétrica diminui, mais gás desprende-se do líquido, aumentando a fração volumétrica

de gás e desta forma reduzindo a velocidade da frente de ondas.

Para acessar a quantidade de gás dissolvido que sai da solução durante o processo

de liberação de gás, a integral de Γ ao longo do tempo, desde o tempo inicial até o tempo

corrente, isto é:

( )0

t

t d t′ ′Θ = Γ∫ , (5.5)

está plotada versus o tempo na Figura 5.10(a) e versus a fração volumétrica de gás na

Figura 5.10(b), para diferentes valores da velocidade do pistão, sendo

0.8;1.6;3.2 /U m s= . A evolução do gás acontece durante os cursos de expansão e

contração (de duração de 12 t∆ de alguns milissegundos) bem como durante os períodos de

repouso subsequentes ( duração de 2 1t s∆ = ) após os cursos de expansão, quando a pressão

permanece abaixo da pressão de saturação 125sp kPa= . Uma vez que o período total de

tempo durante o qual o fenômeno de liberação de gás permanece ativo é muito curto,

apenas uma pequena quantidade de gás dissolvido da ordem de 6 310 /kg m sai da solução.

O fato de ser uma quantidade muito pequena em termos absolutos, a quantidade de gás

liberado, a qual passa a residir no fluido como gás livre, é capaz de induzir mudanças de

uma ordem de magnitude na fração volumétrica de gás, alterando seu valor original de 810−

para 710− (letras A e E nas Figuras 5.6 e 5.10(b) após a pressão ser restaurada para a

55

pressão inicial de 0p . Qualquer que seja a taxa de deformação volumétrica, a quantidade de

gás liberado na primeira metade de cada ciclo decresce progressivamente nos ciclos

subsequentes conforme pode ser visto nos gráficos das Figuras 5.10(a) e 5.10(b). Com uma

maior quantidade de gás livre na mistura, os cursos de expansão subsequentes não mais são

capazes de reduzir a pressão ao nível em que estava anterior. O grau reduzido de

supersaturação faz a quantidade de gás liberado decrescer ciclo após ciclo.

Figura 5.10 (a): Massa de gás liberada por unidade de volume em função do tempo t

computada com a expressão de liberação de gás proposta na Eq. (4.5) para pressão de

saturação 125.0sp kPa= e para diferentes velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= .

56

Figura 5.10 (b): Massa de gás liberada por unidade de volume em função fração

volumétrica de gás α computada com a expressão de liberação de gás proposta na Eq.

(4.5) para pressão de saturação 125.0sp kPa= e para diferentes velocidades

0.8;1.6;3.2 /U m s= .

O relacionamento entre o gás liberado e a taxa de deformação volumétrica é

tipicamente não linear. Enquanto que para 3.2 /U m s= a quantidade de gás liberado no fim

de 10 segundos é de 38.7 /mg m , a quantidade é quase a metade deste valor quando a

velocidade U é dividida por 4. Conforme destacado anteriormente, em equilíbrio, a

concentração de gás dissolvido está relacionada com a pressão de saturação através da lei

de Henry dada pela Eq. (3.32). Para misturas de ar-água na temperatura ambiente

( )32499 / /Hk kPa kg m= . Uma vez que a pressão de saturação 125.0sp kPa= , a

concentração inicial de gás dissolvido é ( ) 30 0.050 /sc t c kg m= = = . Então, para uma

velocidade 3.2 /U m s= apenas um percentual inicial de 0,0174% de massa de ar

dissolvida na água sai da solução após o quarto ciclo. Este valor é particularmente pequeno

57

devido ao pequeno período tempo (da ordem de 1s) durante o qual o fenômeno de liberação

de gás torna-se ativo, ou seja, sp p< . Entretanto, para tempos maiores de duração (da

ordem de 10 s) evidências experimentais mostram que somente um máximo de 10% de sc

sai da solução (Wiggert & Sundquist, 1979; Wylie & Streeter, 1993). Esta particularidade é

usada para justificar o fato de não ser levada em consideração a dependência de c , quando

do desenvolvimento das correlações experimentais para a transferência de massa de gás

Γ . Esta hipótese simplifica o modelo, uma vez que não é necessário seguir o trajeto da

evolução da concentração c . Entretanto, pode não se aplicar em qualquer circunstância.

Uma vez que c é considerada como uma variável de estado a qual está associada à equação

de balanço de massa no modelo proposto nesse presente trabalho, Γ pode depender de c

através do coeficiente constitutivo ( ), ,k k cβ β θ= com ,k a r∈ (ver Eq. (3.31)). Esta

característica não dá apenas um caráter geral ao modelo mas também permite uma

proposição de expressões mais coerentes e confiáveis fisicamente para a taxa de liberação

e absorção de gás.

A fim de destacar uma das principais vantagens e características distinguíveis em se

ter uma teoria termomecânica consistente suportando a expressão para a evolução de gás,

são apresentadas nas Figuras 5.11(a) e 5.11(b) as taxas de energia dissipada por volume

como uma função do tempo (Figura 5.11(a) e como uma função da fração volumétrica de

gás (Figura 13(b), para diferentes valores de 0.8;1.6;3.2 /U m s= .

58

Figura 5.11 (a) : Taxa de dissipação de energia por unidade de volume ( )3/B W mΓΓ em

função do tempo t computada com a expressão de liberação de gás proposta na Eq. (4.5)

para pressão de saturação 125.0sp kPa= e para diferentes velocidades

0.8;1.6;3.2 /U m s= .

A taxa de energia dissipada associada com a liberação de gás é acessada

computando-se a produto entre a taxa de liberação de gás pela força termodinâmica

associada, isto é, BΓΓ , o qual é o único processo dissipativo ativo conforme na Eq. (4.16),

por exemplo. Este termo não negativo é não nulo conquanto que a pressão seja menor que a

pressão de saturação do gás dissolvido.

A área delimitada entre a curva e o eixo x na Figura 5.11(a) fornece a quantidade de

energia dissipada por unidade de volume em cada ciclo. Quanto maior for a taxa de

59

deformação volumétrica (caracterizada por valores de U ) maior é a quantidade de energia

dissipada em um ciclo. Para os primeiros ciclos, a energia dissipada por unidade de volume

é 30.65 /J m para 3.2 /U m s= , 30.46 /J m para 1.6 /U m s= e 30.32 /J m para

0.8 /U m s= . Conforme esperado devido aos resultados apresentados anteriormente, ciclo

após ciclo, a quantidade de energia dissipada por ciclo diminui e assim faz a diferença entre

eles. Para o quarto ciclo, a quantidade de energia dissipada por unidade de volume é de

30.15 /J m para 3.2 /U m s= , 30.13 /J m para 0.8 /U m s= e 30.10 /J m para

0.8 /U m s= . A quantidade total de energia dissipada por unidade de volume no final do

quarto ciclo para 0.8;1.6;3.2 /U m s= são, aproximadamente, 31.27 /J m , 30.97 /J m e

30.72 /J m e as quantidades correspondentes de gás liberado são 3 38.70 / ,6.24 /mg m mg me

34.38 /mg m respectivamente. Tomando a razão entre estes valores correspondentes,

obtém-se a quantidade de energia dissipada para liberar 1mmg de gás dissolvido que

corresponde aproximadamente a 3 30.146 / ,0.155 /J m J me 30.164 /J m para

0.8;1.6;3.2 /U m s= , respectivamente. Além de permitir um maior conhecimento

científico e percepção física a respeito do fenômeno de liberação de gás, a possibilidade de

computar-se a energia dissipada neste processo irreversível abre um caminho para melhor

explorar e controlar sua ocorrência para tirar proveito nas aplicações da engenharia.

60

Figura 5.11 (b): Taxa de dissipação de energia por unidade de volume ( )3/B W mΓΓ em

função fração volumétrica de gás α computada com a expressão de liberação de gás

proposta na (Eq. (4.5)) para pressão de saturação 125.0sp kPa= e para diferentes

velocidades 0.8;1.6;3.2 /U m s= .

Finalmente, quando a taxa de energia dissipada é plotada versus a fração

volumétrica de gás, a influência da taxa de deformação volumétrica na formação de loops

de histeresis é evidenciada na Figura 5.11(b). Embora a dissipação da energia aconteça

principalmente ao longo do curso de expansão (caminho A-B) e seu período subsequente de

repouso (caminho B-C), é também observada durante uma parte do curso de contração

(caminho C-D) durante o qual a pressão permanece abaixo da pressão de saturação.

61

Capítulo 6

Conclusões e Sugestões

Um novo modelo para a liberação e absorção de gás em escoamentos de líquido-gás

homogêneos sob transformações isotérmicas, foi apresentado no contexto da

termodinâmica dos processos irreversíveis. Para isso, a fração volumétrica de gás e a

concentração de gás dissolvido foram correspondentes consideradas como variáveis de

estado. O fato de não ter influência nas propriedades mecânicas da mistura de líquido-gás

ou, até mesmo, tendo necessariamente que figurar na lista de variáveis dependentes das

equações de governo, a concentração de gás dissolvido no líquido é de crucial importância

para se derivar uma expressão termodinamicamente consistente para a taxa de transferência

massa de gás, sem recorrer a extensão da lei de Henry a estados de não equilíbrio. Baseado

em evidências experimentais, mostra-se que a escolha de uma das formas mais simples para

o pseudopotencial de dissipação conduz a uma expressão para a taxa de transferência de gás

que é capaz de representar adequadamente os dados experimentais existentes na literatura

sobre o fenômeno. As simulações numéricas apresentadas neste presente trabalho para o

processo de liberação de gás demonstraram claramente que este processo pode induzir

comportamentos mecânicos incomuns de misturas de líquido-gás, tais como dispersão,

atenuação e histerese. Além de satisfazer incondicionalmente a Segunda Lei da

Termodinâmica e ser bastante geral, o modelo proposto permite quantificar a taxa de

energia dissipada devido à liberação de gás bem como a absorção de gás. Esta característica

62

é de grande improtância, uma vez que não apenas oferece uma oportunidade para aumentar

a compreensão dos fenômenos físicos, mas também abre o caminho para o

desenvolvimento de projetos de engenharia mais seguros e confiáveis, nos quais estes

processos tem relevância significativa.

Como sugestões ao desenvolvimento de futuros relaciona-se abaixo, as seguintes ações não

necessariamente ordenadas em ordem de relevância ou dificuldade:

a) Conduzir uma pesquisa bibliográfica em busca de dados experimentais confiáveis

que retratem o processo de absorção de gás, com vistas a verificar a capacidade da

equação proposta em representar tal fenômeno coerentemente conforme foi feito

para a liberação de gás.

b) Conduzir simulações numéricas referentes à propagação de ondas em meios

unidimensionais (tubulação) levando-se em consideração a liberação de gás,

conforme realizado nos trabalhos de Wiggert &Sundquist (1979) e Kessal

&Bennacer (2005). Para isso será necessário lançar mão de técnicas numéricas de

solução de problemas não-lineares hiperbólicos, como por exemplo, método de

Glimm, Godunov entre outros.

c) Incorporar á modelagem o fenômeno de cavitação vapososa.

d) Desenvolver uma teoria mais abrangente do que a apresentada neste trabalho,

levando-se em consideração o processo de difusão do gás dissolvido no líquido, nos

moldes de teorias com microestrutura. Esse fato poderia levar em consideração a

possibilidade de a pressão de saturação variar no tempo e no espaço, permitindo

representar com maior fidelidade uma gama muito maior de problemas relevantes.

63

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