modelagem de linha de transmissão

VI - 1

Capítulo 77Modelagem de Linhas de

Transmissão

1. OBJETIVO

Este capítulo tem por objetivo apresentar a modelagem das linhas de

transmissão a ser empregada em estudos de regime permanente (fluxo de car-

ga) e de curto circuito em sistemas elétricos.

O principal aspecto a ser considerado na modelagem de uma linha de

transmissão é a dificuldade de se representa-la por um circuito equivalente a

parâmetros concentrados. Uma linha de transmissão é constituída por um

conjunto de parâmetros distribuídos, indutância, resistência, capacitância e

condutância de dispersão. Pela teoria de circuitos, para as linhas de

transmissão serem representadas por circuitos equivalentes com parâmetros

concentrados, elas devem ter as dimensões muito menores que ¼ do

comprimento de onda das tensões e correntes que circulam por ela em regime

permanente. No caso particular dos sistemas elétricos de potência em regime

permanente senoidal na freqüência de 60 Hz, o valor correspondente a ¼ do

comprimento de onda é 1250 km, portanto linhas de transmissão de algumas

dezenas de quilômetros ou mais merecem uma atenção especial.

2. INTRODUÇÃO

As linhas de transmissão são as “artérias” dos sistemas elétricos, elas

transportam toda a energia elétrica produzida nas centrais de geração até os

grandes pontos de consumo. A transmissão de energia em grandes blocos po-

dem ser feitas através de linhas aéreas, cabos subterrâneos e linhas isoladas

Capítulo 7 - Modelagem de Linhas de Transmissão

VII - 2

em gás comprimido, como a grande maioria dos casos de transporte de gran-

des blocos no mundo são de linhas aéreas, estas mereceram nossa atenção

neste capítulo.

O termo linhas de transmissão é genérico inclui linhas de todos os ní-

veis de tensão, desde o de 13,8 kV empregado na distribuição até os níveis de

EAT.

A escolha da tensão nominal de uma linha de transmissão depende

essencialmente de duas grandezas: da potência a ser transportada e da dis-

tância associada a este transporte. Existem diversos critérios para a determi-

nação preliminar do nível de tensão de uma linha de transmissão, a referência

[1] apresenta o de Still, cujos resultados são considerados satisfatórios para

linhas com comprimentos maiores que 30 km, neste critério o nível de tensão

preliminar em kV é obtido a partir da seguinte equação:

100.62,0.5,5

PLVnom +≅ [1]

onde:L - comprimento da linha em km

P – potência a ser transportada em kW

A escolha dos condutores para uma dada linha de transmissão

obedecem aspectos técnicos e aspectos econômicos. Dentre os aspectos

técnicos destacamos: os esforços mecânicos, aquecimento, queda de tensão e

efeito Corona. Os condutores empregados nas linhas de transmissão são na

sua grande maioria cabos formados pelo encordoamento dos fios elementares

em alumínio puro ( CA ou aluminum conductor AC ) ou de alumínio com alma

de aço ( CAA ou aluminum conductor steel reinforced ACSR ). Nos Estados

Unidos e Canadá são também adotados condutores de alumínio em ligas com

outros materiais como os cabos AAAC ( all aluminum alloy conductor ) e ACAR

( aluminum conductor alloy reinforced ) com alma de alumínio. O uso de cobre

ou ligas de cobre está restrito a um pequeno número de sistemas elétricos tais

como a rede aérea urbana da CELPE.


VII - 3

As características de desempenho e a própria operação das linhas

de transmissão estão relacionadas aos seus parâmetros, são eles:

a) resistência da linha, em ohms por metro;

b) indutância, em Henrys por metro;

c) capacitância em paralelo da linha, em Faraday por metro;

d) condutância em paralelo da linha, em mhos por metro.

3. RESISTÊNCIA ELÉTRICA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO

A resistência elétrica de um condutor empregado nas linhas de trans-

missão está associada a oposição do condutor a passagem da corrente elétri-

ca alternada. A resistência do condutor à corrente alternada, numa freqüência

f, é definida como sendo:

2correnteativa potência de perdas

=r [2]

Este valor varia com a temperatura e com a freqüência elétrica. A vari-

ação com a temperatura é matematicamente expressa pela seguinte equação:

)](1[ 12..12 TTRR tTT −α+= [3]

onde:

RT1 – resistência elétrica do condutor na temperatura T1

RT2 – resistência elétrica do condutor na temperatura T2

αt – coeficiente do aumento da resistência com a temperatura

T2 – temperatura do condutor onde se deseja obter a resistência

T1 – temperatura do condutor onde se conhece o valor da resis-

tência.

O coeficiente de aumento da resistência com a temperatura tem um

valor relacionado ao material utilizado no condutor, para o cobre duro tomando


VII - 4

a temperatura de 20o C como referência ele vale 0,00385 (1/0C), para os cabos

de alumínio pode-se adotar o valor de 0,00403 (1/0C).

A variação da resistência com a freqüência está relacionada ao efeito

skin ou pelicular. Este efeito faz com que um condutor cilíndrico ao ser percor-

rido longitudinalmente por uma corrente alternada, a densidade de corrente no

seu interior seja menor junto ao seu eixo longitudinal e máxima junto à sua su-

perfície.

O efeito skin ou pelicular pode ser facilmente entendido imaginando-se

o condutor composto de um número infinito de fibras longitudinais, paralelas

entre si e ao eixo longitudinal, cada qual representando um condutor infinite-

simal. Admitindo duas seções transversais, a uma certa distância entre si, a

queda de tensão em qualquer das fibras deve ser a mesma. Em corrente alter-

nada, em cada fio a não somente uma queda de tensão ôhmica, como também

uma tensão ou fem induzida pelo fluxo magnético alternado. A fem junto à su-

perfície do condutor será menor do que aquela induzida em uma fibra junto a

uma fibra mais próxima ao eixo do condutor, pois a fibra externa é enlaçada

por um fluxo magnético menor do que aquele que enlaça as fibras mais inter-

nas. Então para que as quedas de tensão sejam iguais nas fibras de menor

reatância indutiva que naquelas de maior reatância indutiva, é necessário que

as correntes nas primeiras sejam maiores do que nas segundas, logo a densi-

dade de corrente será maior na periferia dos condutores.

A resistência série de uma linha de transmissão pode ser decomposta

em três parcelas:

adrrrr acc ++= [4]

onde:

rcc (ohm/km) - resistência que o condutor apresenta à circulação

da corrente contínua;

ra (ohms/km) - resistência aparente que é provocada pela exis-

tência de fluxos magnéticos no interior dos con-

dutores;

rad (ohms/km) - resistência aparente adicional.


VII - 5

A resistência à corrente contínua depende dos seguintes fatores:

a) natureza do material do condutor, caracterizada pela sua re-

sistividade ρ. A resistividade é afetada pelos seguintes fatores:

têmpera do material, pureza do material, temperatura e encor-

doamento. Quanto maior a têmpera do material, maior é a re-

sistividade e quanto mais puro for o material condutor menor

será a resistividade.

b) suas dimensões, a resistência elétrica é diretamente proporci-

onal à área de sua seção transversal.

S

lrcc ρ= [5]

onde:

l - comprimento do condutor;

S - área da seção transversal do condutor.

O termo rad da resistência elétrica apresentado na equação [2] está

relacionada aos cabos pára-raios multi-aterrados que em regime permanente

constituem fontes adicionais de perdas de energia. Devido ao acoplamento

magnético com os condutores de fase , tensões são induzidas em regime per-

manente nos cabos pára-raios multi-aterrados, produzindo correntes e obvia-

mente perdas e aquecimento pelo efeito Joule. Essas perdas de energia são

incluídas nos cálculos do desempenho das linhas de transmissão.

4. INDUTÂNCIA DAS LINHA DE TRANSMISSÃO

A indutância é de longe o mais importante parâmetro para a análise do

desempenho de uma linha de transmissão. Nos projetos de linhas de

transmissão usualmente a indutância domina a impedância série e

consequentemente a intensidade da queda de tensão e da capacidade de

transmissão.

A circulação de corrente alternada pelos condutores das linhas de

transmissão geram fluxos magnéticos alternados internos e externos, estes


VII - 6

fluxos enlaçam os próprios condutores como também os condutores vizinhos

produzindo um acoplamento magnético e essencialmente um efeito indutivo,

como pode ser visto na Figura 1.

Figura 1 - Acoplamento magnético numa LT

A maneira mais usual de se calcular a indutância de uma linha de

transmissão é a partir da obtenção do fluxo enlaçado em um dado condutor

utilizando a seguinte equação:

iL

λ=

[6]

Na obtenção das formulas para a indutância de uma linha de

transmissão é necessário conhecer acuradamente a geometria do campo

magnético. Considerando que os cabos condutores formam entre torres

adjacentes uma flecha em relação ao solo, bem como as linhas podem

atravessar terrenos com uma topografia bastante irregular cujas características

magnéticas não são bem conhecidas, qualquer expressão obtida será

aproximada. A partir desses fatos as seguintes hipóteses são razoáveis e os

resultados de testes confirmam que elas proporcionam aceitáveis resultados:


VII - 7

• Os condutores devem ser assumidos retos , paralelos e de comprimento

infinito

• Os condutores são cilíndricos e suas densidades de corrente são uniforme.

• A presença da terra não afeta o campo magnético portanto não afeta as

formulas da indutância.

• A presença da terra afeta o campo elétrico portanto afeta as formulas da

capacitância.

Figura 2 - Condutor retilíneo, infinito percorrido por uma corrente I

Consideremos um condutor cilíndrico, retilíneo, de comprimento

infinito, maciço, homogêneo e isolado, suficientemente afastado do solo e de

qualquer outros condutores que conduzam correntes, de forma que não seja

influenciado pelos mesmos como está apresentado na Figura 2. Este condutor

é percorrido por uma corrente I, que produz um campo magnético concêntrico

com o condutor. Esse campo magnético existe tanto no interior como no

exterior do condutor, no espaço que o envolve. O fluxo magnético total

será igual à soma dos fluxos internos e externos.

O fluxo magnético externo a um condutor num ponto afastado do

centro do condutor pode ser calculado a partir da aplicação da Lei de Ampère,

que relaciona a corrente elétrica que circula num condutor com o campo

magnético gerado por esta corrente. Matematicamente a lei de Ampère é

expressa pela seguinte equação:


VII - 8

∫ = TidlH. [7]

onde :

H – vetor campo magnético

IT – corrente total envolvida pelo percurso fechado

Assumindo um percurso circular de raio y, como está apresentado na

Figura 3 onde o campo magnético é constante, aplicando a Lei de Ampère

resulta em:

y

iH

π=

2 [8]

Figura 3 - Campo magnético externo ao condutor

A densidade de fluxo magnético numa determinada região do espaço

está relacionada com o campo magnético pela seguinte equação:

HB R .. 0µµ= [9]

onde:

H - vetor intensidade de campo;

B – vetor densidade de fluxo magnético

µ0 - permeabilidade magnética do vácuo ( 4π x 10-7 );

µR - permeabilidade magnética relativa do meio


VII - 9

Como a permeabilidade magnética do ar é muito próxima da do vácuo,

admite-se µR = 1.

O fluxo magnético que circula por uma região do espaço S, com uma

densidade de fluxo magnético B, é determinado pela seguinte equação:

∫=φS

dsB. [10]

Aplicando a equação [10] para determinar o fluxo magnético externo a

um condutor, percorrido por uma corrente i desde a sua superfície num raio R

até um ponto muito distante D, obtemos:

R

DLn

idy

y

idsB

Dy

Ry

Dy

Ry

..2.

...2.

.00

πµ

=π

µ==φ ∫∫

=

=

=

=

[11]

Substituindo na equação [6] a equação [11] podemos então obter a in-

dutância externa deste condutor LE

πµµ

=R

DLnL

RE .

. 0 [12]

Figura 4 – Campo magnético interno a um condutor

O fluxo magnético interno a um condutor é calculado considerando

uma seção transversal A do condutor de raio R, percorrido por uma corrente i,

que admitimos como uniformemente distribuída em seu interior produzindo

linhas de fluxo magnético como pode ser visto na Figura 4. Num círculo de raio


VII - 10

x interno ao condutor, a corrente no interior é (x/R)2.i e utilizando a lei de Am-

père aplicada a este círculo obtemos:

2

00

..2

.....

R

ixHB

RR

πµµ

=µµ= [13]

O elemento de volume mostrado na figura tem um volume 2π.x.dx e a

energia total armazenada no campo magnético dentro do condutor é:

20

0

2

2

0.

.8

...2.

..2

..

2.

idxxR

ixw

RRx

x

Rmf

πµµ

=π

πµµ

= ∫=

=

[14]

A mesma energia armazenada no interior do condutor pode também

ser determinada a partir da seguinte equação:

2..21

iLw Imf = [15]

Igualando a equação [11] com equação [12], obtemos a expressão

para a indutância interna do condutor, um valor constante dado por:

πµµ

=.8. 0R

IL [16]

Finalmente a indutância total de um condutor cilíndrico infinito

percorrido por uma corrente i é a soma da indutância externa com a interna,

isto é:

πµµ

=

+

πµµ

=

πµµ

+πµµ

=−

4

1

04

1000

.

ln..

lnln..

ln..

.4

.

eR

D

R

De

R

DL

RRRRT [17]

Analisando a equação [17] verificamos que substituindo o raio do con-

dutor por um raio equivalente esta equação se torna idêntica a da indutância

externa do condutor. Este raio equivalente pode ser interpretado como sen-

do o raio de um condutor fictício, teórico, que, não possuindo fluxo in-


VII - 11

terno, produz, no entanto, o mesmo fluxo total φ que seria produzido

pela corrente i ao percorrer o condutor sólido real examinado.

Portanto, nos cálculos do fluxo produzido por condutores

cilíndricos maciços, devemos substituir seus raios externos reais por:

rerr .7788,0.' 4

1

==−

[18]

O termo r’ é denominado de raio médio geométrico ( RMG ) e é defini-

do como sendo o raio de um condutor fictício cilíndrico e maciço que produz

um campo magnético igual ao campo magnético do condutor real.

5. CAPACITÂNCIA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO

Uma linha de transmissão ao ser energizada, absorve da fonte cargas

elétricas necessárias ao seu carregamento, da mesma maneira que um capa-

citor.

Aplicando-se uma tensão alternada senoidal a uma linha de transmis-

são, a carga elétrica dos condutores em um ponto qualquer varia de acordo

com valores instantâneos das diferenças de potencial aí existentes entre os

condutores ou entre o condutor e o solo. O fluxo das cargas elétricas constitu-

em uma corrente, corrente de carga da linha.

A carga elétrica de um condutor cilíndrico retilíneo, longo, isolado e

suficientemente longe do solo e de outros condutores carregados, distribuem-

se uniformemente sobre a sua superfície, formando ao seu redor um campo

elétrico, homogêneo, cujas superfícies equipotenciais são também cilíndricas,

e concêntricas com o condutor.

Seja q o valor instantâneo da carga em um metro linear de condutor,

distribuída uniformemente sobre a superfície. Por convenção, é igual a q o

número de linhas de força que emanam radialmente de sua superfície, em um

metro de condutor.


VII - 12

Consideremos uma superfície cilíndrica de raio x[m] concêntrica com o

condutor. Essa superfície é equipotencial. A densidade de carga elétrica é ex-

pressa por:

x

q

s

qD

π==

2 [19]

onde:

2πx - área por metro linear do condutor.

q - número de linhas que atravessam essa superfície.

O campo elétrico é definido como

ξπ=

ξ=

x

qDE

2 [20]

rξξ=ξ0

[21]

onde:

ξ - é a permessividade elétrica do ar.

Considere um condutor longo, retilíneo, possuindo uma carga positiva

de q [coulomb/m]. Os pontos P1 e P2 estão colocados, respectivamente, a dis-

tância D1 e D2 do centro do condutor. A carga positiva no condutor exercerá

uma força sobre a carga positiva colocada no campo. O valor instantâneo da

diferença de potencial entre P1 e P2 será

1

212 ln

2

2

1D

DqEdxv

D

D∫ πξ

== [22]

A diferença de potencial entre dois condutores a e b carregados de

raio R com uma mesma carga q, afastados de uma distância D utilizando a

equação [22] é


VII - 13

R

Dqdx

x

qv

D

R

ab ln.2

.1

.2 πξ

=πξ

= ∫ [23]

E a capacitância desses dois condutores é calculada a partir da carga

por unidade de potencial, isto é:

R

DU

qC

abab

ln

πξ== [ 24]

6. CONDUTÂNCIA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO

A condutância de dispersão (g) é o parâmetro da linha que modela as

perdas por dispersão. Nestas perdas estão incluídas as perdas devido ao

efeito corona geradas pela ionização do ar em volta do condutor e as perdas

dielétricas nos isoladores. As perdas devido ao efeito corona são distribuídas

ao longo da linha, e as perdas dielétricas nos isoladores se concentram nos

mesmos, porém como as distâncias entre estruturas suportes é relativamente

pequena é usual considerá-las também uniformemente distribuídas.

Da teoria dos materiais elétricos é um fato conhecido que nenhum di-

elétrico é perfeito, isto é todo ele tem correntes de fuga. Assim, os isoladores

das linhas de transmissão, na própria freqüência industrial, estão sujeitos a

essas correntes de fuga que provocam perdas de energia. Essas perdas vari-

am com a qualidade do material do isolador, com as condições superficiais (

poluição, salinidade ), geometria do isolador, freqüência da tensão aplicada,

condições meteorológicas ...

O termo corona é utilizado para descrever fenômenos de descargas

elétricas que ocorrem internamente ou externamente a equipamentos ou com-

ponentes elétricos. O corona pode ser definido como uma descarga localizada,

resultante da ionização transitória de gases em um sistema de isolamento

quando a tensão aplicada excede o valor crítico.


VII - 14

Há uma distinção entre o termo corona e descargas parciais. O termo

corona é associado ao fenômeno visual, as descargas parciais são fenômenos

não visíveis, por ser interno ao material ou componente.

O efeito corona pode produzir luz, ruído audível e ozônio, podendo ser

detectado pelas nossas capacidades sensoriais convencionais de visão, audi-

ção e olfato.

A seleção dos condutores é uma das decisões mais importantes a se-

rem tomadas pelo projetista das linhas de transmissão. Nas linhas em média e

altas tensões, a escolha das seções dos condutores geralmente está relacio-

nado a um equacionamento econômico envolvendo perdas por efeito Joule,

capacidade de transporte e os investimentos necessários. Nas linhas em ten-

sões de EHV e UHV , o controle das manifestações do efeito Corona pode ser

o elemento dominante para orientar essa escolha.

O efeito corona aparece na superfície dos condutores de uma linha aé-

rea de transmissão quando o valor do gradiente de potencial aí existente ex-

cede o valor do gradiente crítico disruptivo do ar. No campo não uniforme em

torno de um condutor, a divergência do campo exerce influência adicional, e

qualquer partícula contaminadora, como poeira, por exemplo, transforma-se

em fonte punctual de descargas.

Descargas elétricas em gases são geralmente iniciadas por um campo

elétrico que acelera elétrons livres aí existentes. Quando esses elétrons adqui-

rem energia suficiente do campo elétrico, podem produzir novos elétrons por

choque com outros átomos. É o processo de ionização por impacto. Durante a

aceleração no campo elétrico, cada elétron livre colide com átomos de oxigê-

nio, nitrogênio e outros gases presentes, perdendo, nessa colisão, parte de

sua energia cinética. Ocasionalmente um elétron pode atingir um átomo com

força suficiente, de forma a excita-lo. Nessas condições, o átomo atingido pas-

sa a um estado inicial, liberando o excesso de energia em forma de calor, luz,

energia acústica e radiações eletromagnéticas. Um elétron pode igualmente

colidir com um íon positivo, convertendo-o em um átomo neutro.


VII - 15

Toda a energia liberada deve provir do campo elétrico da linha, por-

tanto, do sistema alimentador, para o qual representa perda de energia, por

conseguinte, prejuízo. As perdas relacionam-se com a geometria dos conduto-

res, tensões de operação, gradientes de potencial nas superfícies dos condu-

tores e com as condições meteorológicas locais.

Descargas individuais de corona provocam pulsos de tensão e cor-

rente de curta duração que se propagam ao longo das linhas, resultando em

campos eletromagnéticos em suas imediações. Essas descargas ocorrem du-

rante ambos os semiciclos da tensão aplicada, porém aquelas que ocorrerem

durante os semiciclos positivos é que irradiam ruídos capazes de interferir na

radio-recepção nas faixas de freqüência das transmissões em amplitudes mo-

duladas.

7. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO

Como foi descrito no início deste capítulo, devido a extensão das li-

nhas de transmissão, modelar uma linha utilizando seus parâmetros concen-

trados pode conduzir a erros significativos nas análises envolvendo o com-

portamento dela em regime permanente. Da teoria dos circuitos elétricos é co-

nhecido que, para que possamos modelar um componente por um circuito à

parâmetros concentrados é necessário que suas dimensões sejam muito me-

nores que 1/4 de seu comprimento de onda, isto é:

Km 125060.4

000.300

.44===

f

cλ

onde:

c - velocidade de propagação da luz;

f - freqüência em Hz

Assim para estudar uma linha de transmissão em regime permanente,

deve-se considerar um trecho muito pequeno elemento de extensão ∆x desta

linha de transmissão onde: l é a indutância por unidade de comprimento, c é a


VII - 16

capacitância por unidade de comprimento, r é a resistência por unidade de

comprimento e g a condutância de dispersão por unidade de comprimento,

conforme é apresentado na figura 5.

v(x,t)

i(x,t)

v(x+∆x,t)

i(x+∆x,t)

r.∆x l.∆x

g.∆xc.∆x

Figura 5 - Trecho de extensão ∆∆x da linha de transmissão

Aplicando as leis de Kirchhoff da tensão e corrente no trecho da linha

de comprimento ∆x mostrado na figura, mostra-se que:

t

vxcxgtxxvtxxitxi

∂∂

∆+∆∆++∆+= ...).,(),(),( [25]

t

ixlxrtxitxxvtxv

∂∂

∆+∆+∆+= ...).,(),(),( [26]

reorganizando-se as equações [25] e [26],

t

ilir

x

txvtxxv

∂∂

−−=∆

−∆+..

),(),( [27]

t

vcvg

x

txitxxi

∂∂

−−=∆

−∆+..

),(),( [28]

tomando o limite quando ∆x tende para zero nas equações [27] e [28],

t

ilir

x

v

∂∂

−−=∂∂

.. [29]


VII - 17

t

vcvg

x

i

∂∂

−−=∂∂

.. [30]

diferenciando com relação x as equações [29] e [30],

tx

il

x

ir

x

v

∂∂∂

−∂∂

−=∂∂

...

2

2

2

[31]

tx

vc

x

vg

x

i

∂∂∂

−∂∂

−=∂∂

...

2

2

2

[32]

diferenciando com relação t as equações [29] e [30],

t

il

t

ir

xt

v2

22

...

. ∂∂

−∂∂

−=∂∂

∂ [33]

t

vc

t

vg

tx

i2

22

... ∂

∂−

∂∂

−=∂∂

∂ [34]

Finalmente, substituindo as equações [29], [30], [33] e [34] nas equa-

ções [31] e [32], obtém-se:

∂∂

−∂∂

−−

∂∂

−−−=∂∂

t

vc

t

vgl

t

vcgvr

x

v2

2

2

2

... [35]

∂∂

−∂∂

−−

∂∂

−−−=∂∂

t

il

t

irc

t

ilrig

x

i2

2

2

2

... [36]

Rearrumando as equações [35] e [36],

( )t

vlc

t

vcrvgr

x

v2

2

2

2

lg..∂∂

+∂∂

++=∂∂

[37]

( )t

ilc

t

icrigr

x

i2

2

2

2

lg..∂∂

+∂∂

++=∂∂

[38]


VII - 18

As equações [37] e [38] formam um sistema de equações diferenciais

que permitem quando resolvidos, obter a tensão e a corrente em qualquer

ponto da linha e em qualquer instante de tempo t.

Para os objetivos deste texto, estamos apenas interessados em estudar

os casos em que as tensões e correntes ao longo da linha de transmissão es-

tão em regime permanente senoidal. Nesta situação, é possível aplicar o mé-

todo fasorial, que permite representar as tensões e correntes em regime per-

manente por fasores que variam com o ponto x da linha. Assumindo a linha de

transmissão operando em regime permanente senoidal a tensão

Vm.senwtv(t) = e a corrente )-Im.sen(wti(t) φ= podem ser representadas pelos

fasores V e I, bem como suas derivadas.

Aplicando o método fasorial nas equações diferenciais [37] e [38], obte-

mos:

Vyzx

V..

2

2

=∂∂

[39]

Iyzx

I..

2

2

=∂∂

[40]

cujas soluções são:

xx BeAeV γγ −+= [41]

x

c

x

c

eZ

Be

Z

AI γγ −+−= [42]

onde γ é denominada constante de propagação e ZC a impedância caracterís-

tica de uma dada linha de transmissão, pelas seguintes equações:

βαγ jyz +== . [43]

y

ZZc = [44]


VII - 19

A constante de propagação γ está relacionada a forma como os faso-

res tensão e corrente variam ao longo da linha, a variação dos módulos com a

constante de atenuação α e as variações das fases das tensões com a cons-

tante de fase β.

Analisando as equações [41] e [42], pode-se ver que o fasor tensão e

o fasor corrente consistem ambos da soma de suas senóides moduladas a

medida que se propagam ao longo do eixo “x” pelas exponenciais:

xjxeee βαγ ±±± = .

Logo cada senóide “sofre”:

a) um amortecimento provocado pelo termo eαx que dependendo do sinal do

expoente é positivo ou negativo, isto pode aumentar a amplitude das se-

nóides a medida que varia a distância x ou diminui as amplitudes das se-

nóides, caso seja α positivo ou negativo respectivamente.

b) Ocorre ao mesmo tempo, um avanço de eβx na fase da onda à qual é apli-

cado.

Assim concluímos que “γ” comanda a forma pela qual as tensões e cor-

rentes se propagam ao longo da linha, daí a denominação de função de pro-

pagação ou constante de propagação.

A determinação das tensões e correntes ao longo de uma linha de

transmissão de comprimento l0 em regime permanente senoidal é obtida atra-

vés das expressões [41] e [42]. Na grande maioria das situações práticas não

se está interessado em calcular a tensão num dado ponto qualquer x da linha

e sim em pontos específicos como início da linha de transmissão ( x=0 ) e final

( x = l0 ). Em x=0 o fasor tensão é V1 e o fasor corrente é I1, em x = l0 e o fasor

tensão é V2 e o fasor corrente é I2, assim::

202

011 I)I(l e

V)V(l, II(0) , VV(0) ==== [45]

A partir dos valores conhecidos da tensão e da corrente no início e

final da linha de transmissão se pode obter expressões para as constantes A e

B das equações [41] e [42]:


VII - 20

( )1

222 γ−−

= eIZV

A c [46]

1

222 γe

IZVB c

−

= [47]

Utilizando as equações [41] e [42] para obter os valores do fasor ten-

são e do fasor corrente em x=0, substituindo nas equações os valores de A e B

das equações [46] e [47], obtemos:

−+

+=

−−

22

1122

221

yy

c

yy eeIZ

eeVV [48]

−+

+=

−−

22

11222

21

yy

c

yy ee

Z

VeeII [49]

como 2

cosh11

1

yy ee −+=γ e

2senh

11

1

yy ee −−=γ finalmente obtemos uma

equação geral que permite obter a tensão e a corrente no início de uma linha

de transmissão em regime permnanete quando a tensão e a corrente no final

da linha de transmissão são conhecidos, então:

).lsenh(IZ).l cosh(VV 02c021 γγ += [50]

).lsenh().lcosh(II 02

021 γγcZ

V+= [51]

8. LINHAS CURTAS:

São aquelas linhas de transmissão que podemos desprezar inteira-

mente os efeitos da capacitância e da condutância de dispersão. São linhas

cujo desempenho em regime permanente pode ser determinado substituindo


VII - 21

nas equações [50] e [51], os termos hiperbólicos (coseno hiperbólico e seno

hiperbólico) pelos primeiros termos da série de potência, sem incorrer em erros

maiores que 1%. Assim, fazendo: 00 .).senh( ll γγ ≅ e 1).cosh( 0 ≅lγ , encontra-se:

02c21 .lIZVV γ+= [52]

21 II ≅ [53]

A equação [52] pode ser desenvolvida utilizando as definições de im-

pedância característica e constante de propagação, zzyy

zZc == ...γ , de

modo que:

2LT22021 I.ZVI.l.zVV +=+= [54]

Onde ZLT é a impedância concentrada da linha de transmissão, obtida

a partir da resistência do cabo e da reatância da linha em ohms por quilometro

multiplicada pelo comprimento l0. A partir da equação [54] podemos concluir

que para modelar linhas curtas devemos adotar o modelo apresentado na figu-

ra.

V V1 2

XLT

RRLT

Figura 6 - Modelo de linhas curtas

Do ponto de vista prático, linhas curtas são que se enquadram nas se-

guintes condições:

• São linhas até 150kV, com comprimentos máximos de 80km


VII - 22

• São linhas com tensões maiores ou iguais a 150kV, mas menores

que 400kV com comprimentos máximos de 40km.

• São linhas com tensões maiores ou iguais a 500kV com comprimento

máximo de 20km.

9. LINHAS MÉDIAS

São linhas de transmissão cujo desempenho em regime permanente

pode ser determinado substituindo nas equações [50] e [51], os termos hiper-

bólicos (coseno hiperbólico e seno hiperbólico) pelos dois primeiros termos da

série de potência, sem incorrer em erros maiores que 1%.

São linhas que podem ser caracterizadas por:

a) apresentam comprimento de 200km com tensões nominais mai-

ores que150kv e menores que 400kV.

b) Apresentam comprimento máximo de 100km com tensões nomi-

nais maiores que 400kV.

A capacitância é incluída no cálculo das linhas médias e os termos hi-

perbólicos são substituídos empregando as seguintes equações:

( )!2

)l.(1)l.cosh( e

!3

l.)l.()l.senh(

20

0

30

00γ

γγ

γγ +≅+≅

Substituindo estas nas equações gerais de análise do desempenho em

regime permanente da linha de transmissão ( equações [41] e [42] ) encontra-

se:

++

+=

6

YZ1.ZI

2

YZ1.VV

LTLTLT.2

LTLT

21 [55]

++

+=

6

YZ1YV

2

YZ1II

LTLT.LT.2

LTLT.

21 [56]

Embora as equações [55] e [56] possam ser utilizadas diretamente,

para estudar as linhas médias em regime permanente, é conveniente ainda

realizar algumas simplificações adicionais que não irão afetar a própria defini-

ção de linhas médias, isto é incorrendo em erros maiores que 1%.


VII - 23

Zπ

Yπ

2

Yπ

2

Figura 7 - Circuito Pi

Para o circuito pi mostrado na Figura 7, pode-se obter as seguintes

equações:

2ððð

21 IZ2

YZ1VV +

+= [57]

++

+=

4

YZ1YV

2

YZ1II ðð

ð2ðð

21 [58]

Ao se comparar as equações [57] e [58] com as equações [55] e [56]

verifica-se que as diferenças estào apenas nos últimos termos, que para linhas

médias tem valores relativamente pequenos. Diante deste fato, e da facilidade

de visualização que um circuito equivalente agrega a um modelo, é muito

usual se representar as linhas médias pelo circuito pi nominal como pode ser

visto na Figura 8.

ZLT

YLT

2

YLT

2

Figura 8 - Modelo pi nominal das linhas médias


VII - 24

Uma outra forma de apresentar o modelo de uma linha de transmissão

média é o circuito T nominal (Figura 9), que embora seja bem menos empre-

gado que o modelo pi, em alguns casos facilita a solução de problemas.

ZLT/2

YLT

ZLT/2

Figura 9 - Modelo T nominal para linhas médias

Em ambos circuitos equivalentes ZLT e YLT são os parâmetros concen-

trados da linha de transmissão, de tal forma que, ainda nas linhas médias o

efeito da distribuição dos parâmetros não tem considerável influência na análi-

se do comportamento destas linhas de transmissão em regime permanente.

10. LINHAS LONGAS

São aquelas em cujo cálculo das tensões e correntes em regime perma-

nente é necessário empregar as equações [50] e [51] completas, na forma ex-

ponencial ou na forma hiperbólica.

Para a modelagem destas linhas de transmissão em regime permanente

é usualmente empregado os circuitos pi e T equivalentes, cujos parâmetros

são obtidos comparando os coeficientes dos termos hiperbólicos das equações

[50] e [51] com as equações do circuito pi [57] e [58]. Desta comparação pode-

se obter que:

).lsenh(ZZ 0c γπ =

multiplicando-se e dividindo-se o segundo termo por γ.l0 obtém-se:

0

0LT

0

0c0.

.l

).lsenh(Z

.l

).lsenh(Z.lZ

γγ

γγγ

π ==


VII - 25

finalmente:

FCI.Z.l

).lsenh(ZZ LT

0

0

LT ==γ

γπ [59]

O termo FCI é o denominado fator de correção de impedância, é um

fator que aplicado a impedância concentrada da linha de transmissão, permite

representar através dos circuito pi e T o efeito da distribuição dos parâmetros.

Procendo de forma similar comparando os coeficientes de V2 nas

equações [57] e [58] com o mesmo coeficiente nas equações [55] e [56], pode-

se obter que:

2

YZ1).l(cosh ðð

0 +=γ

ou,

ð

0ð

Z

1-).l(cosh

2

Y γ=

como ).lsenh(ZZ 0c γπ = :

==

2

.ltanh.

Z

1

).lsenh(.Z

1-).l(cosh

2

Y 0

C0C

0ð γγ

γ

multiplicando-se e dividindo-se o segundo termo por (γ.l0)/2 obtém-se:

=

=

2

.l2

.ltanh

.2

Y

2

.l2

.ltanh

.Z2

.l

2

Y

0

0

LT

0

0

C

0

ð

γ

γ

γ

γγ

e finalmente:

.FCA2

Y

2

Y LTð = [60]


VII - 26

O fator de correção de admitância FCA é o fator que aplicado a

admitância concentrada da linha de transmissão, permite representar através

dos circuito pi e T o efeito da distribuição dos parâmetros.

Nas linhas de transmissão que o parâmetro capacitância não pode ser

considerado desprezível, a identificação de que se trata de uma linha média ou

longa é realizada após se calcular o FCI e o FCA. Numa linha média o fator de

correção de impedância e de admitância são aproximadamente iguais a unida-

de.

11. BIBLIOGRAFIA

[1] Weedy, B.M. – Sistemas Elétricos de Potência;

[2] Stevenson, W. D. – Elementos de Analise de Sistemas de Potência ;

[3] Fuchs, Rubens D. – Transmissão de Energia Elétrica;

[4] Elgerd, Olle – Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica ;

[5] Beeman - Industrial Power Systems Handbook;

[6] Stagg - Computação Aplicada a Sistemas Elétricos de Potência;

[7] Neuenswander - Modern Power System;

[8] Camargo, Celso – Transmissão de Energia Elétrica

[9] Zaborsky, J e Rittenhouse, J. W. – Electric Power Transmission

[10] Projeto EHV, Transmission Line Reference Book

modelagem de linha de transmissão

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