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MODELAO NUMRICA DO CHOQUE HIDRULICO

PAULO RICARDO DUARTE SILVA

Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAO EM HIDRULICA

Orientador: Professor Doutor Manuel Maria Pacheco Figueiredo

JUNHO DE 2014

MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2012/2013

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

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mencionado o Autor e feita referncia a Mestrado Integrado em Engenharia Civil -

2013/2014 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2014.

As opinies e informaes includas neste documento representam unicamente o

ponto de vista do respetivo Autor, no podendo o Editor aceitar qualquer

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Este documento foi produzido a partir de verso eletrnica fornecida pelo respetivo

Autor.

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Modelao Numrica do Choque Hidrulico

A meus Pais


i

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Doutor Manuel Maria Pacheco Figueiredo pelos conhecimentos transmitidos que

facilitaram a realizao deste trabalho, pela acessibilidade no decorrer de todo o projeto e pelas

sesses em ambiente menos formal que me propiciou, permitindo privar das suas estrias profissionais

e pessoais de aprecivel ndole irnica, que recordarei com agrado.

D. Esmeralda e D. Paula pela sua opo de integrar a estatstica dos profissionais que puderam

sorrir naturalmente demonstrando simpatia e prontido aliando o seu profissionalismo em resposta a

todos os meus pedidos de auxlio enquanto frequentei a FEUP.

Ao Ricardo Garcia que com seus sbios conhecimentos de programao, em escassos minutos pde

elucidar-me sobre solues de problemas para os quais tardaria horas a desvendar.

Aos amigos de Engenharia ou no que em todos os encontros tiveram capacidade espiritual para me

ouvir descrever as etapas deste projeto que fui vencendo, at ao resultado final.

Susana que alm de membro constituinte da plateia de amigos, ouviu diariamente a descrio das

etapas com pormenorizao extrema, ensinando-me at onde pode ir a pacincia humana. Por todas as

opinies e leituras a meu pedido e por todo o incentivo e apoio que dela recebi.

Aos meus pais e irmo pelo incentivo na progresso da formao acadmica, pelo desmesurado apoio

que deles recebo e pelo conforto das palavras exatas na hora certa mesmo nos momentos de privao

no decorrer da realizao deste projeto.


ii


iii

RESUMO

O fenmeno que ocorre num lquido sob presso em regime permanente e que caracterizado por

fortes variaes do caudal e da presso num reduzido intervalo de tempo, passando o regime a

transitrio, designa-se por choque hidrulico ou golpe de arete. Tal fenmeno pode ter origem

nomeadamente no fechamento rpido de uma vlvula instalada na fronteira de jusante de uma conduta

gravtica e na paragem ou arranque, quase instantneos, de uma bomba situada a montante de uma

conduta elevatria. O seu estudo permite compreender os efeitos provocados pelas referidas variaes,

acompanhadas pela mobilizao de foras elsticas, associadas compressibilidade do lquido e

deformabilidade do material constituinte da conduta.

A considerao do estudo do choque hidrulico no dimensionamento de uma conduta, previne a

ocorrncia de sub ou sobrepresses inesperadas, capazes de comprometer o funcionamento do sistema

no seu perodo de explorao.

Um dos mtodos numricos frequentemente utilizado nesta anlise, o Mtodo das Caractersticas

adotado no desenvolvimento deste trabalho por permitir o tratamento de condies fronteira mais

complexas e pela possibilidade de, em intervalos de tempo suficientemente reduzidos, monitorizar a

oscilao do caudal e da presso ao longo da conduta. Outra vantagem da aplicao de mtodos

evoludos, como o caso do Mtodo das Caractersticas, a possibilidade de considerar-se o efeito da

perda de carga e da inclinao da conduta, como parmetros que influenciam o desenvolvimento do

transitrio.

O resultado final da aplicao deste mtodo uma simulao grfica do fenmeno em tempo real, em

funo das limitaes introduzidas pelas condies de estabilidade que controlam os intervalos de

tempo discretos na aproximao integrao das equaes que regulam o fenmeno.

Este trabalho teve como base a conceo de um software em Visual Basic, que permite a modelao

do choque hidrulico em condutas gravticas e elevatrias, possibilitando o dimensionamento variado

de perfis, considerando, ou no, acessrios de proteo contra este fenmeno e acessrios que possam

induzir perdas de carga localizadas.

Finalmente so discutidos os resultados de cada layout, obtidos pelo referido software, observando e

comparando com resultados obtidos por mtodos expeditos, mais simplificados e que apenas

apresentam as envolventes da varivel em anlise.

PALAVRAS-CHAVE: choque hidrulico, regime transitrio, mtodo das caractersticas, Visual Basic.


iv


v

ABSTRACT

The phenomenon characterized by considerable variations of flow and pressure in short periods of time,

that converts the initially steady into unsteady flow condition, is called water hammer. Such

phenomenon can be originated by a rapid closure of a valve installed at the downstream open end of a

branch in the case of a gravity-flow system, or through the abrupt operation of a pump installed upstream

of the ducts of a pumping system. The study of the water hammer effect enables us to understand the

consequences of such variations in the presence of elastic forces associated to the fluids compressibility

and the pipe walls elasticity.

Considering the water hammer effect in the design of a pipeline can prevent unanticipated head pressure

occurrence, which may compromise the expected operation of the system.

One of the most frequently used numerical methods to analyse this phenomenon is the Characteristics

Method since it supports the study of complex boundary conditions, also allowing the evaluation of flow

and pressure fluctuations along the duct length in short enough periods of time. Another advantage of

using methods as advanced as the Characteristics Method, is the ability of considering the head loss and

the pipe slopes as parameters influencing the flow state.

The final result of this method is a real-time graphical simulation of the phenomena according to the

limitations imposed by the stability conditions that control the integration period.

This project focused on the development of a software in Visual Basic that enables the modulation of

the water hammer effect on gravity and pumping systems, compatible with multiple profile designs,

considering, or not, protection devices against the water hammer effect and accessories that introduce

local head losses.

Finally, the output of each layout provided by the software will be discussed. Comparative analysis with

the results obtained by expedite methods that only present the envelope of the analysed variable will

also be performed.

KEYWORDS: water hammer, transient state, characteristics method, Visual Basic.


vi


vii

NDICE GERAL

AGRADECIMENTOS ................................................................................................................................... i

RESUMO ................................................................................................................................. iii

ABSTRACT ............................................................................................................................................... v

1. INTRODUO .................................................................................................................... 1

2. ESCOAMENTOS VARIVEIS SOB PRESSO ................................. 5

2.1. TIPOS DE ESCOAMENTOS ................................................................................................................ 5

2.2. INTERPRETAO QUALITATIVA DO CHOQUE HIDRULICO ............................................................. 6

2.2.1. SISTEMAS GRAVTICOS ..................................................................................................................... 6

2.2.1.1. Representao grfica do fenmeno .......................................................................................... 6

2.2.1.2. Manobra na vlvula ................................................................................................................... 10

2.2.2. SISTEMAS ELEVATRIOS ................................................................................................................. 12

2.2.2.1. Representao grfica do fenmeno ........................................................................................ 12

2.2.2.2. Rotura da veia lquida ............................................................................................................... 13

2.3. INTERPRETAO QUANTITATIVA DO CHOQUE HIDRULICO ........................................................ 14

2.3.1. CONCEITOS DO MODELO MATEMTICO ............................................................................................ 14

2.3.1.1. Simplificaes referentes ao lquido e ao escoamento ............................................................. 14

2.3.1.2. Simplificaes referentes ao comportamento da conduta ........................................................ 14

2.3.2. PRINCPIO DE EQUILBRIO DINMICO ................................................................................................ 15

2.3.3. PRINCPIO DE CONSERVAO DA MASSA ......................................................................................... 18

3. MTODO DAS CARACTERSTICAS ......................................................... 23

3.1. CONDIES FRONTEIRA ................................................................................................................ 23

3.1.1. CONDIO FRONTEIRA NO RESERVATRIO ...................................................................................... 23

3.1.2. CONDIO FRONTEIRA NA BOMBA ................................................................................................... 24

3.1.2.1. Equao diferencial das massas girantes................................................................................. 24

3.1.2.2. Curva caracterstica da bomba ................................................................................................. 28

3.1.3. INTEGRAO DAS EQUAES DIFERENCIAIS .................................................................................... 28

3.2. INTEGRAO DAS PERDAS DE CARGA ......................................................................................... 34

3.3. CONDIO FRONTEIRA NO RESERVATRIO ................................................................................. 38


viii

3.4. CONDIO FRONTEIRA NO GRUPO ELEVATRIO ......................................................................... 40

3.5. SEQUNCIA DE CLCULO .............................................................................................................. 41

4. DISPOSITIVOS DE PROTEO .................................................................... 43

4.1. DISPOSITIVOS DE REDUO DA CELERIDADE .............................................................................. 44

4.1.1. VLVULA DE ADMISSO DE AR ......................................................................................................... 44

4.2. DISPOSITIVOS DE CONTROLO DO CAUDAL ................................................................................... 45

4.2.1. VLVULA REDUTORA DE PRESSO ................................................................................................... 45

4.2.2. VLVULA COM ATUADOR MECNICO ................................................................................................ 45

4.2.3. VLVULA DE RETENO .................................................................................................................. 46

4.2.4. VOLANTE DE INRCIA ...................................................................................................................... 47

4.3. DISPOSITIVOS DE AMORTECIMENTO DAS VARIAES DE PRESSO ........................................... 48

4.3.1. RESERVATRIO DE AR COMPRIMIDO ................................................................................................ 48

4.3.1.1. Aplicao do Mtodo das Caractersticas ................................................................................. 51

4.3.2. CHAMIN DE EQUILBRIO .................................................................................................................. 53

4.3.2.1. Chamin de equilbrio simples .................................................................................................. 53

4.3.2.2. Chamin de equilbrio com estrangulamento na base .............................................................. 53

4.3.2.3. Chamin de equilbrio diferencial .............................................................................................. 54

4.4. ALTERAO DO DIMENSIONAMENTO GEOMTRICO DO SISTEMA ............................................... 54

5. SOFTWARE PARA MODELAO NUMRICA DO

CHOQUE HIDRULICO ................................................................................................ 55

5.1. ESCALA .......................................................................................................................................... 56

5.2. TELA DE DESENHO ......................................................................................................................... 57

5.2.1. DESENHO LIVRE ............................................................................................................................. 57

5.2.2. DESENHO COM GRELHA .................................................................................................................. 58

5.2.3. DESENHO POR INTRODUO DE COORDENADAS............................................................................... 59

5.2.4. SALVAR O PROJETO ........................................................................................................................ 59

5.2.5. PARMETROS DO SISTEMA .............................................................................................................. 60

5.2.6. ACESSRIOS E DISPOSITIVOS DE PROTEO ................................................................................... 61

5.2.6.1. Reservatrio .............................................................................................................................. 61

5.2.6.2. Bomba ....................................................................................................................................... 62

5.2.6.3. Vlvula ....................................................................................................................................... 63


ix

5.2.6.4. RAC ........................................................................................................................................... 63

5.2.7. PERFIL ........................................................................................................................................... 64

5.2.8. ESCALA DA TELA DE DESENHO ......................................................................................................... 64

5.2.9. EXPORTAO DA TELA DE DESENHO ................................................................................................ 65

5.3. CONFIGURAO E INTRODUO DE DADOS ................................................................................ 65

5.3.1. COEFICIENTES ................................................................................................................................ 66

5.3.2. ESCOAMENTO ................................................................................................................................. 66

5.3.3. RESERVATRIO .............................................................................................................................. 67

5.3.4. SISTEMA GRAVTICO ....................................................................................................................... 67

5.3.4.1. Manobra .................................................................................................................................... 67

5.3.5. SISTEMA ELEVATRIO ..................................................................................................................... 68

5.3.5.1. Grupo elevatrio ........................................................................................................................ 68

5.3.5.2. Reservatrio(s) de ar comprimido ............................................................................................. 68

5.3.6. GRFICOS ...................................................................................................................................... 69

5.3.7. DADOS ........................................................................................................................................... 70

5.4. ANLISE DE RESULTADOS ............................................................................................................ 71

5.4.1. GRFICO DE CARGA HIDRULICA ..................................................................................................... 72

5.4.2. GRFICO DO RAC 1 E DO RAC 2 .................................................................................................... 73

5.4.3. GRFICO DO N ............................................................................................................................. 73

5.4.4. RELAO DE DADOS ....................................................................................................................... 74

5.4.4.1. Envolvente ................................................................................................................................. 74

5.4.4.2. Mtodo Expedito ....................................................................................................................... 75

5.5. ARQUIVO ........................................................................................................................................ 77

5.5.1. EXPORTAR DADOS .......................................................................................................................... 77

5.5.2. EXPORTAR GRFICO ....................................................................................................................... 77

5.5.2.1. Perfil .......................................................................................................................................... 77

5.5.2.2. N .............................................................................................................................................. 78

5.5.2.3. RAC 1 e RAC 2 ......................................................................................................................... 80

5.5.2.4. Grupo Elevatrio ....................................................................................................................... 81

5.5.2.5. Vlvula ....................................................................................................................................... 82

6. RESULTADOS ................................................................................................................. 83

6.1. SISTEMA GRAVTICO ...................................................................................................................... 84


x

6.1.1. MANOBRA DE FECHO TOTAL ............................................................................................................. 86

6.1.2. MANOBRA DE FECHO PARCIAL .......................................................................................................... 89

6.2. SISTEMA ELEVATRIO ................................................................................................................... 93

6.2.1. CELERIDADE ................................................................................................................................... 94

6.2.2. DIMENSIONAMENTO DO RAC ........................................................................................................... 95

6.2.3. SIMULAO NO CH-FEUP .............................................................................................................. 96

6.2.4. SIMULAO NA APLICAO MATLAB ............................................................................................. 103

6.3. TRATAMENTO DE DADOS ANLISE COMPARATIVA ................................................................ 104

6.3.1. CARGA HIDRULICA ...................................................................................................................... 104

6.3.2. PRESSO ..................................................................................................................................... 106

6.3.3. ROTAO NO GE .......................................................................................................................... 108

6.3.4. RAC ............................................................................................................................................ 110

6.3.4.1. Carga Hidrulica ...................................................................................................................... 110

6.3.4.2. Volume .................................................................................................................................... 112

6.3.4.3. Presso Absoluta .................................................................................................................... 113

7. DISCUSSO E CONCLUSES ..................................................................... 115

8. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................. 117

ANEXOS

DADOS NUMRICOS ...................................................................................................................... 119

A.1. CARGA HIDRULICA ................................................................................................................... 120

A.1.1. SISTEMA ELEVATRIO SEM RAC ................................................................................................... 120

A.1.2. SISTEMA ELEVATRIO COM RAC ................................................................................................... 122

A.2. PRESSO ..................................................................................................................................... 124



A.3. ROTAO NO GE ........................................................................................................................ 128



A.4. RAC ............................................................................................................................................. 133


xi

NDICE DE FIGURAS

Fig.2.1 Escoamento permanente num sistema gravtico ...................................................................... 6

Fig.2.2 Instante posterior obturao do escoamento ......................................................................... 6

Fig.2.3 Imobilizao total da veia lquida em sobrepresso ................................................................. 7

Fig.2.4 Escoamento em subpresso no sentido do reservatrio .......................................................... 7

Fig.2.5 Escoamento com a presso inicial no sentido da vlvula ......................................................... 8

Fig.2.6 Restabelecimento das condies iniciais.................................................................................. 8

Fig.2.7 Grfico da variao da presso em funo do tempo na seco A ......................................... 8

Fig.2.8 Grfico da variao da presso em funo do tempo na seco B ......................................... 8

Fig.2.9 Grfico da variao da presso em funo do tempo na seco C ......................................... 9

Fig.2.10 Variao da presso na seco da vlvula, considerando perda de energia e no

considerando perda de energia................................................................................................................ 9

Fig.2.11 Leis de Manobra de abertura e fechamento de vlvulas ...................................................... 10

Fig.2.12 Linha piezomtrica instantnea durante a manobra na vlvula ........................................... 10

Fig.2.13 Fechamento total da vlvula e diagramas cronolgicos de presses na vlvula ................. 11

Fig.2.14 Linhas de cotas piezomtricas mximas conforme o tipo de manobra ................................ 11

Fig.2.15 Diagramas cronolgicos de presses junto bomba ........................................................... 12

Fig.2.16 Linhas de cotas piezomtricas mnimas conforme o tipo de manobra ................................. 13

Fig.2.17 Trecho elementar de conduta ............................................................................................... 15

Fig.2.18 Diferena de presses entre duas seces .......................................................................... 15

Fig.2.19 Decomposio vetorial do peso do fludo ............................................................................. 16

Fig.3.1 Conduta elevatria .................................................................................................................. 23

Fig.3.2 Curvas caractersticas de bombas .......................................................................................... 28

Fig.3.3 Linhas caractersticas no plano (x,t) ....................................................................................... 32

Fig.3.4 Mudana de inclinao da conduta ......................................................................................... 36

Fig.3.5 Fronteira a jusante em carga e em superfcie livre ................................................................. 38

Fig.3.6 Interseco da curva caracterstica da bomba com a reta no primeiro quadrante ................. 41

Fig.3.7 Interseco da curva caracterstica da bomba com a reta fora do primeiro quadrante ......... 41

Fig.3.8 Malha de ns do Mtodo das Caractersticas ......................................................................... 42


xii

Fig.4.1 Vlvula Duojet para admisso e expulso de ar ..................................................................... 44

Fig.4.2 Vlvula redutora de presso ................................................................................................... 45

Fig.4.3 Vlvula com atuador mecnico ............................................................................................... 45

Fig.4.4 Vlvula de reteno com atuador hidrulico e contrapeso ..................................................... 46

Fig.4.5 Volante de inrcia de disco slido ........................................................................................... 47

Fig.4.6 Reservatrio de ar comprimido ............................................................................................... 48

Fig.4.7 Conduta elevatria com RAC .................................................................................................. 48

Fig.4.8 Escoamento na tubeira para sada e para entrada ................................................................. 49

Fig.4.9 Variveis no n de ligao do RAC ........................................................................................ 50

Fig.4.10 Chamin de equilbrio simples .............................................................................................. 53

Fig.4.11 Chamin de equilbrio com estrangulamento na base .......................................................... 53

Fig.4.12 Chamin de equilbrio diferencial separada .......................................................................... 54

Fig.4.13 Chamin de equilbrio diferencial em conjunto ..................................................................... 54

Fig. 5.1 Imagem de apresentao do programa Modelao Numrica do Choque Hidrulico .......... 55

Fig. 5.2 Tela principal do programa CH-FEUP ................................................................................... 56

Fig. 5.3 Definio da escala do perfil .................................................................................................. 56

Fig. 5.4 Indicadores de coordenadas e do comprimento do trecho e total ......................................... 57

Fig. 5.5 Definio do espaamento da grelha ..................................................................................... 58

Fig. 5.6 Seleo de visualizao e ativao da grelha da tela ........................................................... 58

Fig. 5.7 Seleo do modo de introduo de coordenadas ................................................................. 59

Fig. 5.8 Concluso do perfil da conduta por introduo de coordenadas .......................................... 59

Fig. 5.9 Definio do local de armazenamento e nome do projeto..................................................... 60

Fig. 5.10 Atualizao do projeto armazenado ..................................................................................... 60

Fig. 5.11 Definio dos parmetros do sistema .................................................................................. 61

Fig. 5.12 Introduo de reservatrios no perfil.................................................................................... 62

Fig. 5.13 Introduo da bomba de elevao no perfil ......................................................................... 62

Fig. 5.14 Introduo da vlvula no perfil ............................................................................................. 63

Fig. 5.15 Introduo de RAC no perfil ................................................................................................. 63

Fig. 5.16 Configurao do perfil existente ........................................................................................... 64

Fig. 5.17 Alterao da escala de visualizao da tela de desenho .................................................... 64

Fig. 5.18 Exportao da tela de desenho para documento em formato BMP .................................... 65

Fig. 5.19 Janela de grficos com dados alterados para um sistema gravtico ................................... 65


xiii

Fig. 5.20 Definio dos coeficientes de ponderao .......................................................................... 66

Fig. 5.21 Configurao do tipo de escoamento .................................................................................. 66

Fig. 5.22 Definio do nvel da gua no(s) reservatrio(s) ................................................................. 67

Fig. 5.23 Configurao da manobra na vlvula .................................................................................. 67

Fig. 5.24 Definio do grupo elevatrio .............................................................................................. 68

Fig. 5.25 Configurao do(s) reservatrio(s) de ar comprimido ......................................................... 69

Fig. 5.26 Configurao dos grficos ................................................................................................... 69

Fig. 5.27 Janela de grficos e dados para um sistema gravtico ........................................................ 70

Fig. 5.28 Janela de grficos e dados para um sistema elevatrio ...................................................... 70

Fig. 5.29 Definio do tempo de simulao ........................................................................................ 71

Fig. 5.30 Incio da simulao ............................................................................................................... 71

Fig. 5.31 Pausa, arranque e fim da simulao .................................................................................... 72

Fig. 5.32 Grfico de carga hidrulica no perfil .................................................................................... 72

Fig. 5.33 Grfico do RAC 1 e do RAC 2 ............................................................................................. 73

Fig. 5.34 Grfico de um n especfico ................................................................................................ 74

Fig. 5.35 Grfico da envolvente .......................................................................................................... 75

Fig. 5.36 Configurar envolvente pelo mtodo expedito ...................................................................... 75

Fig. 5.37 Envolventes pelo mtodo expedito com tempo de paragem pela frmula de Rosich ......... 76

Fig. 5.38 Envolventes pelo mtodo expedito com tempo de paragem pela frmula de B. Almeida .. 76

Fig. 5.39 Exportao de dados ........................................................................................................... 77

Fig. 5.40 Grfico dos dados do perfil em formato BMP ...................................................................... 77

Fig. 5.41 Menu para exportao de dados de um n ......................................................................... 78

Fig. 5.42 Grfico da variao de H em funo do tempo decorrido num n ...................................... 78

Fig. 5.43 Resultado final da exportao de dados do grfico anterior................................................ 79

Fig. 5.44 Variao de Q em funo do tempo a montante do n de instalao do RAC aps o GE . 79

Fig. 5.45 Variao de Q em funo do tempo a jusante do n de instalao do RAC aps o GE .... 80

Fig. 5.46 Menu para exportao do grfico dos RAC ......................................................................... 80

Fig. 5.47 Menu para seleo da srie de dados do RAC 1 a exportar ............................................... 80

Fig. 5.48 Menu para exportao do grfico do GE ............................................................................. 81

Fig. 5.49 Variao do nmero de rotaes da bomba em funo do tempo ...................................... 81

Fig. 5.50 Menu para exportao do grfico da manobra na vlvula ................................................... 82

Fig. 5.51 Variao de B na vlvula em funo do tempo ................................................................... 82


xiv

Fig. 6.1 Sistema gravtico para anlise ............................................................................................... 84

Fig. 6.2 Sistema gravtico desenhado no software CH-FEUP para posterior simulao ................... 85

Fig. 6.3 Parmetros da conduta e do lquido de projeto ..................................................................... 85

Fig. 6.4 Coeficiente de perda de carga localizada R1, R2 e fator de ponderao da integrao do

mtodo .................................................................................................................................................... 86

Fig. 6.5 Nvel da gua nos reservatrios ............................................................................................ 86

Fig. 6.6 Caudal e manobra na vlvula para um perodo de 2s ........................................................... 87

Fig. 6.7 Caudal e manobra na vlvula para um perodo de 6s ........................................................... 87

Fig. 6.8 Configurao do escoamento ................................................................................................ 87

Fig. 6.9 Envolventes de H pelo Mtodo das Caractersticas (vermelho) e pelo mtodo expedito

(azul) e linha de H0 (verde), para manobra de fecho total em 2s simulada no CH-FEUP ..................... 88


(azul) e linha de H0 (verde), para manobra de fecho total em 6s simulada no CH-FEUP ..................... 88

Fig. 6.11 Configurao da manobra para fecho parcial reduzindo o caudal para metade ................. 89


(azul) e linha de H0 (verde), para manobra de fecho parcial em 2s simulada no CH-FEUP ................. 89


(azul) e linha de H0 (verde), para manobra de fecho parcial em 6s simulada no CH-FEUP ................. 90

Fig. 6.14 Variao de H para o n da vlvula para fecho total desta num perodo de 2s .................. 90

Fig. 6.15 Variao de H para o n da vlvula para fecho total desta num perodo de 6s .................. 91

Fig. 6.16 Variao de H para o n da vlvula para fecho parcial desta num perodo de 2s .............. 91

Fig. 6.17 Variao de H para o n da vlvula para fecho parcial desta num perodo de 6s .............. 91

Fig. 6.18 Variao de Q para o n da vlvula para fecho total desta num perodo de 2s .................. 92

Fig. 6.19 Variao de Q para o n da vlvula para fecho total desta num perodo de 6s .................. 92

Fig. 6.20 Variao de Q para o n da vlvula para fecho parcial desta num perodo de 2s .............. 92

Fig. 6.21 Variao de Q para o n da vlvula para fecho parcial desta num perodo de 6s .............. 93

Fig. 6.22 Sistema elevatrio para anlise ........................................................................................... 93

Fig. 6.23 Sistema elevatrio desenhado no software CH-FEUP para posterior simulao ............... 97

Fig. 6.24 Parmetros para a conduta elevatria de projeto ................................................................ 97

Fig. 6.25 Coeficiente de perda de carga localizada em R1 e R2 e fator de ponderao da integrao

numrica do mtodo e da Lei de Paragem do GE ................................................................................. 98

Fig. 6.26 Nvel da gua no reservatrio a montante e jusante da conduta ........................................ 98

Fig. 6.27 Configurao do escoamento .............................................................................................. 98

Fig. 6.28 Definio do ponto de funcionamento do GE ...................................................................... 99


xv


(azul) e linha de H0 (verde), para um escoamento turbulento liso e/ou rugoso pelo CH-FEUP ............ 99

Fig. 6.30 Variao de H para o n do GE em funo do tempo decorrido ....................................... 100

Fig. 6.31 Variao de Q para o n do GE em funo do tempo decorrido ....................................... 100

Fig. 6.32 Sistema elevatrio com RAC correspondente ao projeto em estudo ................................ 100

Fig. 6.33 Configurao do RAC ........................................................................................................ 101

Fig. 6.34 Envolventes de H na conduta com RAC pelo Mtodo das Caractersticas (vermelho) e

linha de H0 (verde), para um escoamento turbulento liso e/ou rugoso pelo CH-FEUP ....................... 101

Fig. 6.35 Variao de H para o n do RAC em funo do tempo decorrido .................................... 102

Fig. 6.36 Variao de Q para o n do RAC imediatamente a montante deste ................................. 102

Fig. 6.37 Variao de Q para o n do RAC imediatamente a jusante deste .................................... 102

Fig. 6.38 Envolvente de H na conduta sem RAC obtidas pelo MATLAB.......................................... 103

Fig. 6.39 Envolvente de H na conduta com RAC obtidas pelo MATLAB.......................................... 103

Fig. 6.40 Variao do volume do ar e do nvel do lquido contido no RAC obtidos pelo MATLAB .. 104

Fig. 6.41 Envolvente de H na conduta elevatria sem RAC em escoamento turbulento liso e/ou

rugoso simuladas na aplicao em MATLAB e no CH-FEUP, acompanhadas do respetivo perfil da

conduta ................................................................................................................................................. 104

Fig. 6.42 Envolvente de H na conduta elevatria sem RAC em escoamento turbulento rugoso

simuladas no software CH-FEUP, acompanhadas do respetivo perfil da conduta ............................. 105

Fig. 6.43 Envolvente de H na conduta elevatria com RAC em escoamento turbulento liso e/ou

rugoso simuladas na aplicao em MATLAB e no CH-FEUP, acompanhadas do respetivo perfil da

conduta ................................................................................................................................................. 105

Fig. 6.44 Envolvente de H na conduta elevatria com RAC em escoamento turbulento rugoso

simuladas no software CH-FEUP, acompanhadas do respetivo perfil da conduta ............................. 106

Fig. 6.45 Envolvente de p na conduta elevatria sem RAC em escoamento turbulento liso e/ou

rugoso simuladas na aplicao em MATLAB e no CH-FEUP ............................................................. 106

Fig. 6.46 Envolvente de p na conduta elevatria sem RAC em escoamento turbulento rugoso

simuladas no software CH-FEUP ......................................................................................................... 107

Fig. 6.47 Envolvente de p na conduta elevatria com RAC em escoamento turbulento liso e/ou

rugoso simuladas na aplicao em MATLAB e no CH-FEUP ............................................................. 107

Fig. 6.48 Envolvente de p na conduta elevatria com RAC em escoamento turbulento rugoso

simuladas no software CH-FEUP ......................................................................................................... 108

Fig. 6.49 Traado de N na conduta elevatria sem RAC em escoamento turbulento liso e/ou rugoso

simuladas na aplicao em MATLAB e no CH-FEUP, at ao instante 3,97s ...................................... 108

Fig. 6.50 Traado de N na conduta elevatria sem RAC em escoamento turbulento rugoso

simuladas no software CH-FEUP, at ao instante 3,97s ..................................................................... 109

Fig. 6.51 Traado de N na conduta elevatria com RAC em escoamento turbulento liso e/ou rugoso

simuladas na aplicao em MATLAB e no CH-FEUP, at ao instante 1,88s ...................................... 109


xvi

Fig. 6.52 Traado de N na conduta elevatria sem RAC em escoamento turbulento rugoso

simuladas no software CH-FEUP, at ao instante 1,88s ..................................................................... 110

Fig. 6.53 Variao de H no RAC ao longo do tempo em escoamento turbulento liso e/ou rugoso

simuladas na aplicao em MATLAB e no software CH-FEUP ........................................................... 111

Fig. 6.54 Variao de H no RAC ao longo do tempo em escoamento turbulento rugoso simuladas no

software CH-FEUP ............................................................................................................................... 111

Fig. 6.55 Variao de V no RAC ao longo do tempo em escoamento turbulento liso e/ou rugoso


Fig. 6.56 Variao de V no RAC ao longo do tempo em escoamento turbulento rugoso simuladas no

software CH-FEUP ............................................................................................................................... 112

Fig. 6.57 Variao de p/ no RAC ao longo do tempo em escoamento turbulento liso e/ou rugoso


Fig. 6.58 Variao de p/ no RAC ao longo do tempo em escoamento turbulento rugoso simuladas

no software CH-FEUP .......................................................................................................................... 113


xvii

NDICE DE TABELAS

Tabela 1 H obtido pela aplicao em MATLAB sem RAC ................................................................ 120

Tabela 2 - H obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento rugoso sem RAC ............................. 120

Tabela 3 - H obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento liso e/ou rugoso sem RAC ............... 121

Tabela 4 H obtido pelo MTLAB com RAC ......................................................................................... 122

Tabela 5 - H obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento rugoso com RAC ............................. 122

Tabela 6 - H obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento liso e/ou rugoso com RAC ............... 123

Tabela 7 p obtido pelo MTLAB sem RAC ......................................................................................... 124

Tabela 8 - p obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento rugoso sem RAC .............................. 124

Tabela 9 - p obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento liso e/ou rugoso sem RAC ............... 125

Tabela 10 p obtido pelo MTLAB com RAC ....................................................................................... 126

Tabela 11 - p obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento rugoso com RAC ............................ 126

Tabela 12 - p obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento liso e/ou rugoso com RAC ............. 127

Tabela 13 - N obtido pelo MATLAB sem RAC ..................................................................................... 128

Tabela 14 - N obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento rugoso sem RAC ........................... 129

Tabela 15 - N obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento liso e/ou rugoso sem RAC ............. 130

Tabela 16 - N obtido pelo MATLAB com RAC ..................................................................................... 132

Tabela 17 - N obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento rugoso com RAC ........................... 132

Tabela 18 - N obtido pelo CH-FEUP em escoamento turbulento liso e/ou rugoso com RAC ............. 132

Tabela 19 - RAC parmetros obtidos pelo MATLAB ........................................................................... 133

Tabela 20 - RAC parmetros obtidos pelo CH-FEUP em escoamento turbulento rugoso .................. 140

Tabela 21 - RAC parmetros obtidos pelo CH-FEUP em escoamento turbulento liso e/ou rugoso ... 148


xviii


xix

SMBOLOS, ACRNIMOS E ABREVIATURAS

a celeridade [ms-2]

A parmetro da curva caracterstica da bomba

B parmetro da curva caracterstica da bomba

B coeficiente de rea ou coeficiente de abertura da vlvula [m1/2s-1]

c celeridade [ms-1]

Cc coeficiente de contrao na tubeira

C parmetro da curva caracterstica da bomba

d dimetro da tubeira [m]

D parmetro da curva caracterstica da bomba

D dimetro da conduta [m]

Dl dimetro do tubo de ligao [m]

E mdulo de elasticidade de Young [GPa]

g acelerao da gravidade [ms-2]

H carga hidrulica [m]

H0 carga hidrulica inicial [m]

Hb carga hidrulica na bomba [m]

Hc carga hidrulica na conduta [m]

Hr carga hidrulica no RAC [m]

I0 momento de inrcia das massas girantes da bomba [kgm2]

J perda de carga unitria [m/m]

K fator de ponderao da integrao numrica

K rugosidade equivalente [m]

KL coeficiente de perda de carga no reservatrio

Ktb coeficiente de perda de carga na tubeira

L comprimento [m]

M0 momento atuante sobre as massas girantes da bomba [kNm]

Mm momento motor [kNm]

Mr momento resistente [kNm]

Me massa que entra no volume de controle [kg]

Mi massa no interior do volume de controle [kg]

Ms massa que sai do volume de controle [kg]


xx

n expoente politrpico

N nmero de rotaes das massas girantes da bomba [r.p.m.]

p presso [Nm-2]

P peso [N]

Pb potncia da bomba [w]

Pr altura piezomtrica absoluta do ar no RAC [m.c.a.]

Q caudal [m3h-1]

Qb caudal na bomba [m3h-1]

Qc caudal a jusante do RAC [m3h-1]

Qp caudal no ponto P [m3h-1]

Qr caudal no tubo de ligao [m3h-1]

U velocidade na conduta [ms-1]

Ur velocidade no tubo de ligao [ms-1]

S rea da seco [m2]

Sc rea da seco contrada na tubeira [m2]

Sr rea da seco do tubo de ligao [m2]

t instante [s]

T tempo de manobra na vlvula [s]

Tpd valor de T direita do ponto P

Tpe valor de T esquerda do ponto P

V volume [m3]

x abcissa segundo o eixo [m]

y0 cota em relao superfcie livre [m]

Zr cota topogrfica da superfcie livre da gua no RAC [m]

ZR cota topogrfica na seco do reservatrio [m]

b acelerao angular das massas girantes da bomba [rad.s-1]

coeficiente de combinao linear das equaes lineares

rendimento [%]

mdulo de elasticidade de volume [Nm-2]

peso volmico [Nm-3]

fase [s]


xxi

massa volmica [kgm-3]

b velocidade angular da bomba [rads-1]

ngulo do eixo da conduta com a horizontal []

fator de resistncia

tenso de corte superficial [Pa]

m binrio motor [Nm]

r binrio resistente [Nm]

GE Grupo Elevatrio

RAC Reservatrio de Ar Comprimido

VR Vlvula de Retorno


xxii


1

1 INTRODUO

O estudo do choque hidrulico teve incio com a investigao da propagao de ondas no ar e em

guas profundas, a par do estudo do fluxo sanguneo nas artrias. Contudo, nenhum destes problemas

teve soluo rigorosa sem o desenvolvimento de teorias de elasticidades, clculos e solues para

equaes com derivadas parciais. Newton apresentou no seu Principia resultados das suas

investigaes na propagao de ondas do som no ar e na propagao de ondas em canais de gua.

Tanto Newton como Lagrange obtiveram um valor terico para a velocidade do som no ar de 298,4

m.s-1 e um valor experimental de 348 m.s-1. De forma equvoca Lagrange atribuiu esta diferena a

erros experimentais, enquanto Newton explicou que o valor terico estava incorreto e que esta

discrepncia se devia ao espaamento das partculas slidas do ar e da presena de vapores neste. Por

comparao das oscilaes de um lquido num tubo em U ao de um pndulo, Newton derivou

expresses incorretas para a celeridade das ondas na gua em canais.

Euler desenvolveu uma teoria detalhada da propagao de ondas elsticas, tendo tambm tentado, mas

sem sucesso, obter a soluo para o fluxo sanguneo nas artrias.

Lagrange analisou fluxos de fluidos compressveis e incompressveis. Com este propsito desenvolveu

o conceito de velocidade potencial, deduzindo ainda a expresso correta para a celeridade das ondas

em canais. Em 1789, Monge desenvolveu um mtodo grfico para integrao de equaes com

derivadas parciais e introduziu o termo Mtodo das Caractersticas. Cerca de 1808, Laplace

evidenciou a razo para as diferenas entre os valores tericos e os medidos da velocidade do som no

ar. Explicou que por relaes derivadas de Newton e Lagrange se baseavam na lei de Boyle e que esta

lei no vlida em variaes de presses, sendo que a temperatura do ar no se mantm constante.

Props, ento, que o valor terico da velocidade seria incrementado em 20% se condies adiabticas

fossem consideradas em vez das isotrmicas.

Young investigou o fluxo no sistema circulatrio, perdas por frico, perdas localizadas em curvas e a

propagao das ondas de presso em tubos. Helmholtz parece ser o primeiro a evidenciar que a

velocidade das ondas de presso da gua contida num tubo era inferior no confinada, atribuindo

corretamente a diferena elasticidade das paredes dos tubos. Em 1869, Riemman desenvolveu e

aplicou uma equao tridimensional do movimento e a sua forma simplificada numa dimenso para

tais campos como hastes oscilantes e ondas do som. Weber estudou o fluxo de um fluido

incompressvel num tubo elstico e conduziu experincias para a velocidade de ondas de presso.,

desenvolvendo tambm as equaes dinmicas e de continuidade que so a base dos nossos estudos.

Marey conduziu sries extensas de testes para determinar a velocidade de ondas de presso na gua e

no mercrio e concluiu que a velocidade das ondas era: i) independente da amplitude das ondas de

presso; ii) trs vezes superior no mercrio que na gua; iii) proporcional elasticidade do tubo.


2

Resal desenvolveu as equaes dinmicas e de continuidade e uma equao de onda de segunda

ordem, utilizando os resultados experimentais de Marey para verificao dos seus estudos analticos.

Em 1877, Lord Rayleigh publicou o seu livro da teoria do som que sumariava estudos anteriores e as

suas prprias investigaes.

Contrariamente aos seus antecessores que apenas consideravam uma hiptese de cada vez, Korteweg

foi o primeiro a determinar a velocidade do som considerando a elasticidade do tubo e do lquido.

Embora Wood refira Michaud como o primeiro a lidar com o problema do choque hidrulico,

investigadores recentes como Anderson demonstraram que na realidade Menabrea foi o primeiro a

estudar este problema. Michaud estudou o problema do choque hidrulico e projetou o uso de

reservatrios de ar e de vlvulas de segurana. Gromeka incluiu pela primeira vez as perdas por

frico na anlise do choque hidrulico, assumindo, porm, o lquido como incompressvel e as perdas

por frico diretamente proporcionais velocidade do escoamento.

Weston e Carpenter, ambos engenheiros americanos, realizaram ensaios para desenvolver uma relao

terica entre a reduo da velocidade num tubo e ao correspondente aumento da presso. Contudo, em

nenhuma obtiveram sucesso devido ao reduzido comprimento dos tubos utilizado. Frizzel apresentou

uma anlise do choque hidrulico baseada nos estudos levados a cabo enquanto engenheiro consultor

para o desenvolvimento hidroeltrico Ogden no Utah. Este projeto tinha uma conduta de 9449m de

comprimento. Frizzel desenvolveu expresses para a velocidade do choque hidrulico e para o

aumento da presso devido reduo instantnea do caudal. Ele declarou que a velocidade das ondas

seria a mesma que a do som na gua no confinada se o mdulo de elasticidade das paredes do tubo

fosse considerado infinito. Discutiu ainda o efeito das linhas principais, a reflexo de ondas e das

ondas sucessivas na regulao de velocidades. Infelizmente o trabalho de Frizzel no foi apreciado

como o de seus contemporneos como Joukowski e Allievi.

Em 1897 Joukowski conduziu extensas experincias, em Moscovo, em tubos com as seguintes

dimenses (expressas em comprimento e dimetro respetivamente): 7620m, 50mm; 305m, 101,5mm;

305m, 152,5mm. Baseado nos seus estudos experimentais e tericos, publicou o seu relatrio de

pesquisa clssico na teoria bsica do choque hidrulico. Desenvolveu a frmula para a velocidade das

ondas, considerando a elasticidade da gua e das paredes do tubo. Tambm desenvolveu a relao

entre a reduo de velocidade com o resultante aumento da presso utilizando dois mtodos: a

conservao da energia e a condio de continuidade. Discutiu a propagao de uma onda de presso

ao longo do tubo e a reflexo das ondas de presso desde uma extremidade aberta de uma seco.

Estudou os efeitos dos reservatrios de ar, das cmaras de alvio e vlvulas de segurana de mola nas

presses do choque hidrulico. Tambm estudou o efeito da variao do tempo de fechamento de

vlvulas e concluiu que o aumento da presso superior para tempos de manobra inferiores razo de

duas vezes o comprimento do tubo pela velocidade da onda.

Allievi desenvolveu a teoria geral do choque hidrulico, desde os princpios bsicos que publicou em

1902. A equao dinmica que derivou era mais precisa que a de Korteweg. Demonstrou que a relao

da variao do volume com a variao do comprimento na equao dinmica no importante quando

comparada a outros termos e por isso poderia ser retirada. Introduziu dois parmetros adimensionais:

, metade da razo da energia cintica do fluido com a energia potencial armazenada neste e nas

paredes do tubo, , caractersticas de fechamento da vlvula. Para um determinado tempo de

fechamento da vlvula, Allievi obteve a expresso para o aumento de presso na vlvula e apresentou

um grfico do aumento e reduo da presso em funo do tempo de fechamento uniforme desta.

Braun apresentou equaes similares s apresentadas por Allievi na sua segunda publicao. Numa

publicao posterior, Braun alegou prioridade sobre Allievi e parecendo que a conhecida constante de


3

Allievi, , foi na verdade introduzida por Braun. Contudo, Allievi ainda considerado o criador da

teoria bsica do choque hidrulico. Allievi tambm estudou o movimento rtmico da vlvula e provou

que a presso no pode exceder duas vezes a coluna esttica.

As teorias de Joukowski e Allievi foram amplamente usadas nas primeiras duas dcadas do sculo

XX. Camichel et al. demonstrou que apenas possvel duplicar a presso mxima caso H0 >aV0

.

Constantinescu descreveu um mecanismo para transmitir energia mecnica utilizando as ondas do

choque hidrulico. Na 1 Guerra Mundial, avies de combate Britnicos estavam equipados com a

engrenagem de Constantinescu para disparar as metralhadoras. Baseado na teoria de Joukowski,

Gibson apresentou um documento que inclua pela primeira vez perdas por frico no lineares na

anlise, tendo ainda desenvolvido um dispositivo capaz de medir a descarga de uma turbina utilizando

a histria da presso em funo do tempo seguindo uma rejeio de carga.

Strowger ans Kerr apresentaram um procedimento computacional faseado para determinar a variao

de velocidade de uma turbina hidrulica provocada pela variao de carga. Presses do choque

hidrulico, variaes na eficincia das turbinas a vrias aberturas das comportas e os movimentos

uniformes e no uniformes destas, foram considerados na anlise.

Na sua discusso da anlise feita por Strowger e Kerr, Wood introduziu o mtodo grfico para anlise

do choque hidrulico. Lwy desenvolveu e apresentou um mtodo grfico independente em 1928.

Tambm estudou a ressonncia causada pelo movimento peridico de vlvulas e a queda de presso

devida abertura gradual de comportas. Considerou as perdas por frico na sua anlise, introduzindo

nos termos da frico equaes diferenciais parciais bsicas. Schnyder incluiu as caractersticas

completas da bomba na sua anlise do choque hidrulico em condutas ligadas a bombas centrfugas.

Bergeron estendeu o mtodo grfico para determinar as condies nas seces intermdias da conduta

e Schnyder foi o primeiro a introduzir as perdas por frico na anlise grfica. Num simpsio

patrocinado pela American Society of Civil Engineers e a American Society of Mechanical Engineers

em 1933 em Chicago, vrios documentos foram apresentados com anlises ao choque hidrulico em

condutas e linhas de descarga.

Angus delineou uma teoria bsica e algumas aplicaes do mtodo grfico incluindo aglomerados

de perdas por frico e Bergeron a teoria das ondas elsticas planas em vrios meios. Outro simpsio

sobre choque hidrulico decorreu em 1937 durante o encontro anual da American Society of

Mechanical Engineers. Neste simpsio foram apresentados documentos sobre a anlise de

reservatrios de ar e vlvulas, incluindo as caractersticas de bombas, sendo ainda comparados

resultados calculados e medidos. Pela linearidade do termo da frico, Wood usou o Heaviside

Operational Calculus e, mais tarde, Rich usou as transformadas de Laplace para anlise do choque

hidrulico em condutas. Angus apresentou em 1938 a anlise de condutas compostas e ramificadas e

da separao da coluna de gua. Outros documentos sobre separao da veia lquida foram publicados

por Lupton, Richard e Duc.

De 1940 a 1960, em adio s publicaes feitas por Rich, Jaeger e Parmakian, numerosos

documentos foram publicados relativos ao estudo do choque hidrulico.

Ruus foi o primeiro a apresentar o procedimento que determina a sequncia do fechamento de

vlvulas, designado por fechamento timo da vlvula, para que os limites de presso se mantenham

abaixo dos limites prescritos.

Gray introduziu o Mtodo das Caractersticas para uma anlise da determinao orientada do choque

hidrulico. Lai fez uso dessa anlise para a sua dissertao de doutoramento e um artigo conjunto com


4

Streeter constituiu a publicao pioneira que fez deste mtodo e da utilizao de computadores para

anlise de transientes hidrulicos um procedimento de estudo amplamente conhecido e utilizado.

Outros artigos europeus foram publicados relativamente utilizao de chamins de equilbrio, como

o caso das chamins de equilbrio diferenciais que permitem variaes rpidas de carga hidrulica.

Nas ltimas dcadas, o uso de sistemas digitais para analisar transitrios hidrulicos tem crescido de

forma clere e os mtodos aritmticos e grficos para tal anlise foram substitudos por sofisticadas

tcnicas numricas. Esta alterao no s reduziu a quantidade de trabalhosos clculos, mas tambm

originou resultados mais precisos, possibilitando a anlise de sistemas hidrulicos mais complexos. [1]

Numa modesta contribuio, pretende a presente tese de mestrado desenvolver um software de

modelao numrica de choque hidrulico, capaz de conciliar a robustez do Mtodo das

Caractersticas com as novas plataformas de anlise informtica. Aqui apresentado numa perspetiva

histrica, o choque hidrulico ser detalhadamente discutido nos captulos seguintes, acompanhado

pela clarificao dos conceitos tericos subjacentes mais pertinentes. Seguir-se- a apresentao da

ferramenta informtica desenvolvida e a anlise dos resultados por ela veiculados, devidamente

discutidos no ltimo captulo deste trabalho.


5

2 ESCOAMENTOS

VARIVEIS SOB PRESSO

2.1. TIPOS DE ESCOAMENTOS

Se a um escoamento inicialmente com velocidade e caudal constantes no tempo (designado como

permanente), forem induzidas alteraes da velocidade mdia, presso e, por consequncia, do caudal,

variveis que definem o regime de escoamento na seco de uma conduta num intervalo de tempo

considerado, define-se como um regime varivel o escoamento compreendido neste troo e neste

intervalo de tempo.

Estas variaes podem ocorrer devido a aes to simples como o fecho de uma vlvula colocada na

extremidade de jusante de uma conduta gravtica, num intervalo de tempo reduzido, ou ainda

paragem e arranque quase instantneo de bombas e de turbinas.

Um regime varivel pode ainda ser definido como gradualmente varivel (ou quase permanente),

quando as condies de compatibilidade interna so reestabelecidas sem atraso considervel, como o

caso de uma variao lenta dos parmetros j referidos, e o rapidamente varivel tambm designado

como transitrio, no qual se mobilizam foras elsticas de compressibilidade do lquido e de

deformao do material da conduta, devidas acentuada variao da presso e do caudal que

caracterstica neste regime. O fenmeno que ocorre num regime transitrio designado por choque

hidrulico ou golpe de arete e contrariamente ao primeiro caso, num regime transitrio as condies

de compatibilidade interna so atingidas aps intervalos de tempo extensos.

Supondo que num escoamento em regime permanente considerada a no compressibilidade do

lquido e a rigidez absoluta das paredes da conduta. Numa eventual manobra de fecho total e

instantneo de uma vlvula colocada na extremidade de jusante desta conduta, passaria a nulo o caudal

imediatamente a montante deste elemento obturador. Seria por isso considerada a imobilizao

instantnea de toda a veia lquida a contida o que, na realidade no possvel j que uma das

propriedades dos lquidos justamente a sua compressibilidade.

Pelos motivos apresentados possvel um diagnstico por representao grfica dos valores dos

caudais e presses ao longo da conduta no decorrer de intervalos de tempo adaptveis ao mtodo

numrico utilizado. [2, 3]


6

2.2. INTERPRETAO QUALITATIVA DO CHOQUE HIDRULICO

2.2.1. SISTEMAS GRAVTICOS

2.2.1.1. Representao grfica do fenmeno

Para entender o desenvolvimento do processo de passagem de um regime permanente para transitrio

atravs do modelo mais simplificado atente-se Fig.2.1, onde se esquematiza um sistema de

escoamento por gravidade constitudo por um reservatrio, uma conduta e uma vlvula de

seccionamento, com caudal e presso constantes (regime permanente).

Fig.2.1 Escoamento permanente num sistema gravtico. Adaptado de [3, 2].

Se este escoamento for interrompido na vlvula situada na extremidade a jusante da conduta,

conforme a Fig.2.2, no instante imediatamente aps a manobra de fechamento da vlvula, o

escoamento mantm-se permanente, com exceo da camada que fica imvel junto vlvula. Esta

camada sofre compresso da restante massa lquida, associada continuidade do seu movimento no

sentido inicial. Neste ponto a presso aumentar, originando uma sobrepresso.

Fig.2.2 Instante posterior obturao do escoamento. Adaptado de [2].

Relativamente zona a montante ainda no perturbada, o escoamento mantm as caractersticas de um

regime permanente, continuando a verificar-se a compresso do lquido a jusante at sua capacidade

mxima e deformabilidade admissvel pela conduta nesse ponto. Desta forma, acumulam-se novas

camadas de lquido com velocidade nula, aumentando sucessivamente o comprimento da veia lquida

agora em repouso e em sobrepresso. Este efeito propagar-se- desde o elemento perturbador para o

elemento estvel


7

Se for considerada constante a velocidade de propagao desta onda de sobrepresso, que se designa

por celeridade a, ser ento necessrio o tempo igual razo do comprimento da conduta L por a, para

que seja percorrida toda a conduta pela mesma onda de sobrepresso. Quando tal suceder, toda a

massa lquida estar realmente em repouso conforme a Fig.2.3.

Fig.2.3 Imobilizao total da veia lquida em sobrepresso. Adaptado de [2].

Como se compreender, o que permite a entrada de lquido na conduta aps o instante do

seccionamento do caudal (t = 0) e o instante em que toda a massa lquida se encontra em repouso e em

sobrepresso (t = L/a), a capacidade de compresso do lquido aliada deformabilidade da conduta.

Por este motivo o valor de a ser tanto maior quanto menor o valor destes parmetros, j que obrigar

a uma propagao mais rpida da onda. Em todos os casos ser sempre muito superior ao valor da

velocidade do escoamento inicial.

Quando a onda atinge o reservatrio a montante, onde a distribuio das presses hidrosttica com

0 = 0, passar a haver um desequilbrio de presses na seco da conduta do lado da

propagao da onda com uma sobrepresso 1 = 0 + com a do lado do reservatrio, 0.

Para que se dissipe, ser provocado um escoamento da conduta para o reservatrio, at que a

presso nesta seja 2 = 0. Devido perda de presso da massa lquida na conduta, este escoamento

ter incio nesta fronteira e propagar-se- agora no sentido do elemento obturador. Se no forem

consideradas perdas de energia neste processo, a velocidade deste escoamento igual, em mdulo,

velocidade inicial 0 verificada no escoamento em regime permanente.

Assim sendo, atingido o instante 2

, tambm designado de fase , verifica-se a descompresso at

ao valor de 0 na totalidade da veia lquida contida na conduta. No entanto, a velocidade do

escoamento mantm-se 2 = 0, exceto na camada junto vlvula de seccionamento, que continua

em repouso.

Quando esta massa lquida descomprime, a sua presso ser 3 = 0 , iniciando-se ento o

escoamento representado na Fig.2.4, com uma nova onda de descompresso 3 que percorre a conduta

no sentido do reservatrio, at que neste se verifique 3 = 0.

Fig.2.4 Escoamento em subpresso no sentido do reservatrio. Adaptado de [2].


8

Quando atingida a seco do reservatrio, a presso do lquido a montante igual a 2 = 0. No

instante 3

ocorre novamente o desequilbrio de presses na seco junto ao reservatrio que

provoca novo escoamento no sentido da vlvula, Fig.2.5, com 4 = 0 e 4 = 0.

Fig.2.5 Escoamento com a presso inicial no sentido da vlvula. Adaptado de [2].

Para concluso deste ciclo, no instante 4

esta onda de presso far que todo o lquido estabelea as

condies da Fig.2.6, em que a presso e velocidade do lquido so as encontradas no momento do

fecho da vlvula, terminando assim a primeira fase deste fenmeno. O processo repetir-se- nas fases

posteriores.

Fig.2.6 Restabelecimento das condies iniciais. Adaptado de [2].

Idealiza-se que o choque hidrulico ter um comportamento peridico semelhante ao representado nas

Fig.2.7, Fig.2.8 e Fig.2.9 caso no se considerem perdas de energia no decorrer do processo.

Fig.2.7 Grfico da variao da presso em funo do tempo na seco A. Adaptado de [3].

Fig.2.8 Grfico da variao da presso em funo do tempo na seco B. Adaptado de [3].


9

Fig.2.9 Grfico da variao da presso em funo do tempo na seco C. Adaptado de [3].

Na realidade tal no se verifica, assistindo-se a uma diminuio progressiva da amplitude dos

intervalos de presso registados em relao ao diagrama apresentado, at que se estabeleam as

condies de equilbrio anteriormente referidas.

Surpreendentemente constata-se que devido aos efeitos por perdas de atrito, pode haver uma maior

elevao de presso quando este considerado. Tal acontece porque quando reduzida a velocidade

do lquido, o mesmo sucede relativamente perda de carga associada ao atrito; a carga total disponvel

na extremidade de jusante da conduta sofre ligeiro aumento na sequncia do progressivo acumular de

camadas de lquido em repouso. Este efeito secundrio igualmente propagado na veia lquida a partir

de cada camada, com velocidade igual a a. Cada ciclo de aumento deste efeito corresponde a cada fase

decorrida aps o fecho da vlvula, que est representado pela reta bc na Fig.2.10, para o caso das fases

mpares.

Fig.2.10 Variao da presso na seco da vlvula, considerando perda de energia (trao cheio) e no

considerando perda de energia (trao interrompido). Adaptado de [3].

Nas fases pares, as amplitudes das variaes de velocidade e presso mudam de sinal, por isso a reta

de ser inclinada mas no sentido descendente. A dissipao da energia fortemente influenciada pelas

foras de viscosidade do lquido. Esta dissipao designa-se por amortecimento e tende a reduzir a

amplitude das ondas de presso, fazendo com que bc e de passem a convergir para a linha de presso

de equilbrio. Estas foras tambm se opem ao escoamento do lquido no sentido do reservatrio, o

que far diminuir progressivamente a velocidade. Desta forma a amplitude da onda gradualmente

reduzida em cada reflexo, at que se encontre a referida presso. A dissipao viscosa no afeta

significativamente a celeridade exceto em tubos de dimetro reduzido no sendo por isso

usualmente considerada, dada a sua grandeza relativamente carga originada pelo choque hidrulico.

Assim, sempre admitida carga hidrulica na vlvula igual carga no reservatrio, desprezando os

efeitos subsequentes de dissipao viscosa. Esta suposio conservativa obtendo-se sempre

estimativas pelo lado da segurana. De forma mais minuciosa, podero ainda considerar-se as perdas

de carga associadas a variaes da seco da conduta, como no caso de junes. [2, 3]


10

2.2.1.2. Manobra na vlvula

O intervalo de tempo T necessrio para o fecho ou abertura de uma vlvula e a obturao com reduo

parcial ou total da seco, so os fatores que condicionam a Lei de Manobra da vlvula, que pode ter

tradues grficas como as representadas na Fig.2.11.

(a) (b)

Fig.2.11 Leis de Manobra de abertura (a) e fechamento (b) de vlvulas. Adaptado de [10].

Nas Fig.2.11 (a) est representada a manobra de abertura total de uma vlvula onde o coeficiente de

abertura da vlvula ou coeficiente de rea B, varia linearmente no tempo. O mesmo acontece na

Fig.2.11 (b) mas para o caso de fechamento parcial desta.

O coeficiente de abertura da vlvula obedece lei de vazo de orifcios

= =

(2.1.)

Para a anlise qualitativa da influncia deste intervalo de tempo, consideram-se vrias manobras

elementares que levam sucessiva reduo da seco da vlvula, como se estas fossem realizadas

instantaneamente. Seguindo esta analogia, quando sucede a primeira reduo da seco diminuda a

velocidade de 0 para 0 ; logo, conforme abordado no subcaptulo anterior, ocorre uma

sobrepresso junto da seco que ser propagada ao longo da veia lquida no sentido do reservatrio.

Esta ao far alterar a linha piezomtrica com incrementos semelhantes aos representados na

Fig.2.12.

Fig.2.12 Linha piezomtrica instantnea durante a manobra na vlvula. Adaptado de [2].

Deste modo, de acordo com o ilustrado, a cada instante de reduo da rea da seco, provocada uma

sobrepresso do instante anterior propagando-se esta pela veia lquida. Este processo repete-se at ao

ltimo instante de ao na vlvula. Nesse instante, verificar-se- o somatrio de todos os acrscimos

de presso ocorridos e das depresses que, no decorrer da reduo da seco, possam ter sido

refletidas no reservatrio e alcanado novamente a vlvula, antes que a manobra estivesse concluda.


11

Interessa por isso distinguir duas variantes de manobra da vlvula: i) o caso da manobra rpida, em

que T inferior a e apenas ocorrem sucessivos acrscimos de presso, como em T1 Fig.2.13 e ii) o

caso da manobra lenta quando T superior a , como em T2 Fig.2.13, permitindo que antes de

concluda a manobra, outras ondas de subpresso devidas aos primeiros instantes desta, possam j

situar-se na vlvula.

(a) (b)

Fig.2.13 Fechamento total da vlvula (a) e diagramas cronolgicos de presses na vlvula (b). Adaptado de [2].

Compreende-se que imediatamente a montante da seco obturada, no caso da manobra rpida, a

sobrepresso mxima ter igual valor que teria se fosse uma manobra instantnea, mas esta afirmao

no verdadeira para os restantes pontos da conduta. Tal como representado na Fig.2.14, esta

igualdade de sobrepresses estende-se desde a vlvula, at seco da conduta onde chegam

simultaneamente a onda de acrscimo de presso do ltimo instante da manobra e a subpresso que foi

refletida no reservatrio, provocada pelo primeiro instante da manobra.

Fig.2.14 Linhas de cotas piezomtricas mximas conforme o tipo de manobra. Adaptado de [2].

possvel obter a abcissa da referida seco em relao vlvula pela expresso

+

=

2

(2.2.)

ou

=

2 (2.3.)


12

considerando-se um decrscimo linear deste ponto at ao reservatrio conforme o diagrama da

Fig.2.14.

Est ainda exemplificado um modelo terico supondo = 0 e pode tambm verificar-se que o

instante limite entre os dois tipos de manobra anteriormente discutidos, equivale ao = 2

. Esta

figura a base da representao grfica do choque hidrulico que, conforme ser demonstrado, tem

origem nos mtodos numricos utilizados para o efeito. [2, 3]

2.2.2. SISTEMAS ELEVATRIOS

2.2.2.1. Representao grfica do fenmeno

Entendido o fenmeno nas condutas gravticas, passa a ser intuitivo o caso das condutas elevatrias.

Enquanto nas primeiras o elemento estvel est situado a montante da conduta e o perturbador na

fronteira oposta, no caso agora em estudo inverte-se a localizao destes elementos. Passa assim a

ocorrer perturbao do escoamento na entrada da conduta que alimentada por uma bomba, acionada

atravs de um motor eltrico, podendo ser tambm designado este conjunto por grupo elevatrio.

So vrios os motivos que podem provocar a paragem da bomba mas os mais frequentes so a falta de

alimentao eltrica, provocada por comando de um operador ou por falha na rede de abastecimento

eltrico. Em qualquer dos casos a consequncia a reduo da velocidade de rotao dos impulsores

da bomba, que implica uma reduo drstica do caudal impulsionado.

Ser considerado neste estudo e tambm como geralmente acontece na realidade, que colocada uma

vlvula de reteno a jusante do grupo elevatrio para garantir que o sentido do caudal no sofre

inverso, protegendo desta forma a bomba.

Fig.2.15 Diagramas cronolgicos de presses junto bomba. Adaptado de [2].

A varivel T agora o tempo necessrio para que o caudal bombado Qb passe a nulo, aps paragem da

bomba ou o tempo necessrio para que se estabelea um regime permanente, no caso de arranque da

bomba.

Quando uma destas situaes ocorre, o diagrama de presses passa a ser simtrico em relao ao caso

da conduta gravtica conforme a Fig.2.15. Tal acontece porque no instante de paragem do grupo

elevatrio, surge agora uma depresso com origem neste ponto que se propaga at fronteira de

jusante. Neste caso, relativamente comparao de T com o valor 2

, para caracterizao do tipo

de manobra, as depresses desenvolvem igual comportamento ao que era esperado das sobrepresses

em condutas gravticas, resultando nas linhas de cotas piezomtricas da Fig.2.16. [2, 3]


13

Fig.2.16 Linhas de cotas piezomtricas mnimas conforme o tipo de manobra. Adaptado de [2].

2.2.2.2. Rotura da veia lquida

Quando a paragem de um grupo elevatrio origina subpresses capazes de provocarem uma tenso to

baixa no lquido que iguale o seu valor da tenso de saturao, pode criar-se uma cavidade na veia

lquida. Esta preenchida por vapor do lquido e gases do ar atmosfrico que naquela se encontravam

dissolvidos. Posteriormente a seco onde se encontra a depresso, ser alcanada pela sobrepresso

refletida no elemento a jusante da conduta (por exemplo num reservatrio). Esta sobrepresso ir

absorver quase instantaneamente o vapor contido na cavidade provocando o colapso desta. Neste

momento, ou ocorre nova ligao da veia lquida, ou caso a cavidade se situe na extremidade da

conduta, ser impelida a veia lquida contra o elemento que a estiver instalado (um grupo elevatrio

ou uma vlvula de reteno). Esta ao provoca sobrepresses elevadas que devem ser consideradas

no dimensionamento da conduta pela express

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