Modelação de sistema Marinho.

O caso Geral e Simplificações para Estuários

BEST – IST, 2006

Ecossistemas marinhos

Referencial

Superfície livre

H=+h

z

xiZero Hidrográfico

h

c

Princípio de Conservação

• “A taxa de acumulação é igual ao que entra, menos o que sai mais o que se produz, menos o que se consome”!

=

=Ou, em notação tensorial:

=

Conservação da Massa

• A massa conserva-se, não tem fontes nem poços!• A massa volúmica não se difunde pois a

velocidade é o saldo do movimento das moléculas. Fazendo = vem:

=

Conservação da massa (2)• Se o fluido for incompressível e a massa volúmica pudesse

ser considerada constante na equação da continuidade:

=

𝜕𝑉𝑜𝑙𝜕𝑡 =−∬ (𝑢 . �⃗�)𝑑𝐴

𝜕𝜀𝜕𝑡 =− 𝜕

𝜕 𝑥𝑖∫−h

𝜀

𝑢𝑖𝑑𝑧

Em coordenadas cartesianas:

𝜕𝜀𝜕𝑡 +

𝜕 (𝐻𝑈 𝑖 )𝜕 𝑥𝑖

=0ou:

Propriedade genérica

=

Superfície livre

𝑉𝑜𝑙d

𝑑𝑥1

𝑑𝑥2

Caso 2D (aplicável em muitos estuários)

=

𝑈 𝑖=1

(𝜀+h ) ∫−h𝜀

𝑢𝑖𝑑𝑧

=-- +

sbxCH

xxCH

xxCHU

xCHU

tHC

22112

2

1

1

Caso 3D

33

33332211

332

2

1

1

xzxxzx x

cxc

xCz

xxCz

xcUcU

xczU

xczU

tzc

Superfície livre

d

𝑑𝑥1

𝑑𝑥2

∆ 𝑧

Num modelo 3D temos que integrar na vertical para resolvermos a coluna de água.

3322113

3

2

2

1

1

xc

xcz

xCz

xxCz

xxcUz

xczU

xczU

tzc

Se o volume fosse um paralelepípedo

3322113

3

2

2

1

1

xC

xxC

xxC

xxcU

xcU

xcU

tc

Quantidade de Movimento=

ijj

ijjii FdAn

xudAnuudVu

t

∫∫∫∫∫∫∫

Coriolis

dVxpdAn

xudAnuudVu

t ij

j

ijjii

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

Força de Pressão

iz izii

z

xgdx

xggdx

xxp

gdxp

∫∫

∫

33

3

A força de pressão tem uma componente baroclínica e uma componente barotrópica.

Assumindo que as propriedades são uniformes no interior do volume

• Em 3D temos que integrar os fluxos na vertical.• A pressão baroclínica é tanto mais importante quanto

maior for a profundidade (essencial no oceano).

dVxpdAn

xudAnuudVu

t ij

j

ijjii ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

31

.....

dxx

gx

gdAnxudAnuu

Voltu

tVolu

tuVol

VolxpdAn

xudAnuu

tVolu

z iij

j

ijji

i

ii

ij

j

ijji

i

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

Aproximação de Boussinesq

• A densidade é constante excepto se multiplicada pela aceleração da gravidade. Com esta aproximação a densidade só tem que ser considerada na pressão baroclínica.

• Sendo o termo de pressão baroclínica um gradiente, a densidade de referência é irrelevante.

Modelo 2D

sbxCH

xxCH

xxCHU

xCHU

tHC

22112

2

1

1

𝜕𝜀𝜕𝑡 +

𝜕 (𝐻𝑈 𝑖 )𝜕 𝑥𝑖

=0

𝑈 𝑖=1

(𝜀+h ) ∫−h𝜀

𝑢𝑖𝑑𝑧

sbii

i

iii

xUH

xxUH

xxg

xUHU

xUHU

tHU

22112

2

1

1

Mais coriolis