Minimização de custos

Roberto Guena de Oliveira

USP

9 de junho de 2015

Sumário

1 Conceitos básicos

2 A função de custoO caso de um único fator variávelCustos com um mais de um fator variável

3 Medidas de custo unitário

4 Curto e longo prazos

Sumário

1 Conceitos básicos

2 A função de custoO caso de um único fator variávelCustos com um mais de um fator variável

3 Medidas de custo unitário

4 Curto e longo prazos

Custos econômicos e custos contábeis

• Custos contábeis são os custos medidos em termos devalores pagos por uma firma na aquisição de seusinsumos de produção.

• Custos econômicos ou custos de oportunidade são oscustos medidos em termos do ganho advindo do melhoruso alternativo dos insumos de produção.

• As diferenças entre custos contábeis e econômicosenvolvem:

• Os custos contábeis são baseados em valores nomomento da aquisição dos bens, os custos econômicossão baseados nos valores atuais.

• Custos contábeis não incluem custos implícitos, custoseconômicos, sim. Talvez o mais importante dos custosimplícitos seja o custo de oportunidade do capital.

Sumário

1 Conceitos básicos

2 A função de custoO caso de um único fator variávelCustos com um mais de um fator variável

3 Medidas de custo unitário

4 Curto e longo prazos

A função de custo

A função de custo é uma função que associa a cada cadaquantidade de produto y , o custo total (CT ) mímimo no qual afirma deve incorrer para produzir essa quantidade.Evidentemente, esse custo depende, além da quantidadeproduzida, dos preços dos insumos de produção. Assim, nocaso em que há apenas dois insumos de produção, x1 e x2,com preços ω1 e ω2, a função de custo terá a forma

CT = c(ω1,ω2,y).

A função de custo de curto prazo

Caso um ou mais fatores de produção sejam fixos (curtoprazo), a função de custo também terá por argumento aquantidade do fator de produção que é mantido fixo. Porexemplo, caso x2 seja mantido fixo em x2, então a função decusto (de curto prazo) terá a forma

CT = c(ω1,ω2,y ,x2).

Custos fixo e variável

O csuto total (CT ) de uma empresa pode ser dividido em

Custo Variável (CV(ω1,ω2,y)) trata-se da parcela do custocorrespondente à contratação de fatoresvariáveis.

Custo Fixo (CF ) trata-se da parcela do custo correspondente àcontratação de fatores fixos. Caso todos osfatores de produção sejam variáveis, então ocusto fixo será nulo e o custo total coincidirá como custo variável.

Portanto temos,CT = CV +CF

A função de custo com apenas um fator variável

Suponha uma firma que produza empregando apenas doisinsumos de produção, x1 e x2, sendo que o segundo insumo éempregado em quantidade fixa x2 = x2. Seja y = f(x1,x2) a suafunção de produção. Então a função de custo de curto prazodessa empresa será dada por

c(ω1,ω2,y ,x2) = ω1x1(y ,x2)+ω2x2

na qual x1(y ,x2) é uma função definida por

f(x1(y ,x2),x2) = y .

ω1x1(y ,x2) é o custo variável. ω2x2 é o custo fixo.

Derivação da função de custo de curto prazo

1 Inverta a função deprodução f(x1,x2) paraencontrar a funçãox1(y ,x2).

2 CV = ω1x1(y ,x2).

3 CF = ω2x2.

4 CT = c(ω1,ω2,y ,x2)= ω2x2+ω1x1(y ,x2)

y

x1

f(x1,x2)

45◦

x1

y

f(x1,x2)

x1(y ,x2)x1(y ,x2)

CV = ω1x1(y ,x2)

Custos

y

CF = ω2x2

CT = CF +CV

Exemplo

Determine a função de custo de curto prazo de uma empresacuja função de produção é f(x1,x2) =

√x1x2, sabendo que o

fator de produção 2 é empregado em quantidade fixa x2 = x̄2.

Exercício

Determine a função de custo de curto prazo para as seguintesfunções de produção considerando o emprego fixo do fator deprodução 2 em x2 = x̄2.

1 f(x1,x2) =√x1+

√x2;

2 f(x1,x2) = x1+ x2;

3 f(x1,x2) = x1x2;

4 f(x1,x2) = ln(1+ x1)+ ln(1+ x2).

O problema de minimização de custos mais de umfator variável

No caso geral com mais de um fator variável, a função decusto é obtida através da solução do seguinte problema:

minx1,...,xn

ω1x1+ω2x2+ . . .+ωnxn

tal que f(x1, . . . ,xn) ≥ y

notas

• As quantidades dos isumos que resolvem esse problemasão chamadas demandas condicionadas ou contingentesdesses insumos, sendo notadas por xci (ω1, . . . ,ωn ,y).

• A função de custo será dada porc(ω1, . . . ,ωn ,y) =

ω1xc1 (ω1, . . . ,ωn ,y)+ . . .+ωnx

cn (ω1, . . . ,ωn ,y)

Solução gráfica: dois insumos variáveis

Curvas de isocusto

x2

x1

ω1 x1 +

ω2 x2 =

c 0

tan= −ω1ω2

ω1 x1 +

ω2 x2 =

c 1

ω1 x1 +

ω2 x2 =

c 2

Solução

x2

x1

f(x1,x2) = yb

xc1

xc2

|TTS |= ω1ω2

Minimização de custos: solução matemática

O problema

minx1,...,xn

ω1x1+ω2x2+ . . .+ωnxn

tal que f(x1, . . . ,xn) ≥ y e x1, . . .xn ≥ 0

O lagrangeano

L = ω1x1+ω2x2+ . . .+ωnxn −λ(f(x1, . . . ,xn)− y)

Condições de 1ª ordem além de f(x1, . . . ,xn) = y

ωi ≥ λ∂f(x1, . . . ,xn)

∂xie x

(

ωi −λ∂f(x1, . . . ,xn)

∂xi

)

= 0

Exemplo: função de produção Cobb-Douglas

Função de produção:

f(x1,x2) = xα1 xβ2

Condições de primeira ordem:

f(x1,x2) = y ⇒ xα1 xβ2 = y

|TTS |= ω1

ω2⇒ α

β

x2x1

=ω1

ω2

Exemplo: função de produção Cobb-Douglas

As demandas condicionais:

x1(ω1,ω2,y) = y1

α+β

[

α

β

ω2

ω1

]β

α+β

x2(ω1,ω2,y) = y1

α+β

[

β

α

ω1

ω2

] αα+β

A função de custo:

c(ω1,ω2,y) = ω1x1(ω1,ω2,y)+ω2x2(ω1,ω2,y)

= y1

α+βωα

α+β

1 ωβ

α+β

2α+ β

αα

α+β ββ

α+β

Propriedades:

• Omultiplicador de Lagrange associado ao problema deminimização de custo pode ser interpretado como o customarginal, isto é

λ=∂c(ω1, . . . ,ω2,y)

∂y

• A função de custo é não decrescente em relação aospreços dos insumos e em relação ao produto.

• A função de custo é côncava em relação aos preços dosinsumos

• (Lema de Shephard) Caso a função de custo sejadiferenciável em relação ao preço do insumo i , teremos

∂c(ω1, . . . ,ω2,y)∂ωi

= xci (ω1, . . . ,ω2,y)

Exercício

Encontre as funções de custo associadas às seguintes funçõesde produção:

1 f(x1,x2) =√x1x2;

2 f(x1,x2) = ln(x1+1)+ ln(x2+1);

3 f(x1,x2) =min{x1,x2};4 f(x1,x2) = x1+ x2.

Nota:

Quando se supõe os preços dos fatores de produção sãomantidos inalterados, é comum notar a função de custosimplesmente por

c(y).

De modo análogo, as funções de demanda condicionais pelosinsumos de produção são notadas por

xc1 (y) e xc2 (y)

ou ainda, simplesmente,

x1(y) e x2(y)

Caminho de expansão e curva de custo

x2

x1

y = y

bx2(y)

x1(y)

y = 2y

bx2(2y)

x1(2y)

b

Caminho de expansão

yCusto

ω1x1(y)+ω2x2(y)

y

b

ω1x1(2y)+ω2x2(2y)

2y

b

b Curva de custo

Sumário

1 Conceitos básicos

2 A função de custoO caso de um único fator variávelCustos com um mais de um fator variável

3 Medidas de custo unitário

4 Curto e longo prazos

Custos unitários

Custo Médio (CM )

CM =CTy

Custo Variável Médio (CVM)

CVM =CVy

Custo Fixo Médio (CFM )

CFM =CFy

Custo Marginal (CMg)

CMg =∂CT∂y

=∂CV∂y

A geometria dos custos: inclinações

y

CT

c(y)

y

CF(y)

CV(y)CMg(y)

CM(y)

CVM(y)

As curvas de custo marginal e médio

y

CT

c(y)

b

y0 y1y

CVM,CMg

y0 y1

CM(y) CMg(y)

As curvas de custo marginal e variável médio

y

CT

c(y)

b

y0 y2y

CVM,CMg

y0 y2

CVM(y)

CMg(y)

As curvas de custo unitário

y

Custosunitários

CMg(y)CM(y)

CVM(y)

CFM(y)

Relações entre custos médios e custo marginal

Custo médio e custo marginal

Inclinação da curva de custo médio:

dCM(y)dy

=d CT(y)

y

dy=

yCMg −CTy2

=CMg(y)−CM(y)

y

Custo variável médio e custo marginal

Inclinação da curva de custo variável médio:

dCVM(y)dy

=d CV(y)

y

dy=

yCMg −CVy2

=CMg(y)−CVM(y)

y.

Valor do custo variável médio quando produção é nula:

limy→0

CVM = limy→0

CV(y)y

= limy→0

CV(y)−CV(0)y −0 = CMg

Geometria dos custos:áreas

y

Custosunitários

CMg(y)CM(y)

CVM(y)

CFM(y)

y

CT(y)

Geometria dos custos:áreas

y

Custosunitários

CMg(y)CM(y)

CVM(y)

CFM(y)

y

CV(y)

Geometria dos custos:áreas

y

Custosunitários

CMg(y)CM(y)

CVM(y)

CFM(y)

y

CV(y)

Geometria dos custos:áreas

y

Custosunitários

CMg(y)CM(y)

CVM(y)

CFM(y)

y

CV(y)

Propriedades da função de custo

1 A função de custo é não decrescente em relação aoproduto:

y∗ > y ′⇒ c(w1,w2,y∗) ≥ c(w1,w2,y

′)

2 A função de custo é não crescente em relação aos preçosdos insumos:

w∗1 ≥ w ′1 e w∗2 ≥ w ′2⇒ c(w∗1,w∗2,y) ≥ c(w ′1,w

′2,y)

3 A função de custo é côncava em relação aos preços dosinsumos.

4 Lema de Shephard:

∂c(w1,w2,y)∂wi

= xi (w1,w2,y), i = 1,2

Sumário

1 Conceitos básicos

2 A função de custoO caso de um único fator variávelCustos com um mais de um fator variável

3 Medidas de custo unitário

4 Curto e longo prazos

Curto e longo prazos

Curto prazo

• Um ou mais fatores são fixos e, portanto, parte do custo éfixa.

• Custo total e custo variável são diferentes, mesmoocorrendo com os custos médio e variável médio.

Longo prazo

• Não há fatores fixos: todos os custos são variáveis.

• Custo total e custo variável são iguais, mesmo ocorrendocom os custos médio e variável médio.

Economias de escala

Diz-se que uma função decusto de longo prazoapresenta economias deescala caso o custo médioseja decrescente em relaçãoà produção.

y

Custosunitários

CMg(y)

Economiasde escala

Desecono-mias deescala

CM(y)

Elasticidade produto do custo ǫc ,y

Trata-se de uma medida pontual para economias de escaladefinida por

ǫc ,y =dc(y)dy

yc(y)

=CMg(y)CM(y)

.

É possível mostrar que

ǫc ,y =1

PMg1PM1

+ PMg2PM2

Portanto, economias de escala e deseconomias de escalaocorrem quando há, respectivamente, rendimentos crescentesde escala e rendimentos decrescentes de escala.

As curvas de custo de longo e de curto prazos

y

Custos

cℓ(y)

y0

cc(y ,x2(y0))

y1

cc(y ,x2(y1))

y2

cc(y ,x2(y2))

y

CustosMéd

ios

y2y1

CM ℓ

CMgℓ

CMc CMgc

y0