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XIX CONGRESSO BRASILEIRO MECÂNICA DOS SOLOS E ENGNHARIA GEOTÉCNICA – SALVADOR/BA MINICURSO: APLICAÇÃO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS EM FUNDAÇÕES

Prof. Nelson Aoki - EESC-USP 28 de agosto de 2018 Página 1

APLICAÇÃO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS EM FUNDAÇÕES Nelson Aoki Eng. Civil 1. Introdução

A missão primordial dos profissionais liberais que vivenciam a presente sociedade de risco é alertar seus semelhantes dos riscos que correm de perder bens de natureza intangível, como bem-estar, saúde, liberdade e direitos e demais bens materiais que incluem as obras da Engenharia Civil criados pelo homem para servir seus semelhantes. Na área de Construção Civil a determinação desse risco tem sofrido contínua evolução desde a abordagem tradicional em termos de fator de segurança até o presente estágio em que se avalia a probabilidade e risco associado de ruína da obra.

Neste contexto, no caso particular de uma fundação o risco de ruína é medido pelo risco geotécnico expresso em termos financeiros que a sociedade está disposta a assumir e que pode ser avaliado pela fórmula:

Risco geotécnico = pf x C x V

Onde pf = probabilidade de ruína da fundação; C = custo de reparação do dano causado pela ruína; V = vulnerabilidade

A avaliação deste risco depende da variabilidade dos eventos que podem levar a ruína mesmo que os fatores de segurança prescritos nas normas tenham sido obedecidos. Estes eventos podem ser classificados em previsíveis e imprevisíveis. No Brasil, os cenários de eventos adversos imprevisíveis encontram-se codificados no CODAR - Codificação de desastres, ameaças e riscos, publicados pela Secretaria Nacional de Defesa Civil e, os eventos considerados previsíveis pela sociedade encontram-se prescritos nas Normas Brasileiras da ABNT, e.g. NBR8681 e NBR6122.

O cenário de análise deste curso limita-se à determinação do risco da fundação de uma obra de Engenharia Civil a partir de uma abordagem estatística simples baseada na hipótese fundamental de distribuição normal gaussiana das variáveis envolvidas.

A obra de engenharia civil é formada pela superestrutura parte acima do nível do terreno e pela fundação parte enterrada no maciço geotécnico que é o suporte final do sistema. Neste cenário a fundação é o subsistema constituído pelo maciço geológico-geotécnico do local da obra mais os elementos estruturais de fundação nele imersos. A estrutura da obra submetida à ação das cargas ambientais e funcionais se deforma acumulando energia interna e apresenta uma reação denominada solicitação ou efeito das cargas.

Assim, em uma fundação, entende-se por solicitação ao tensor de tensão ou deformação que surge em pontos dos elementos contínuos de solos e rochas, que compõem o maciço geológico geotécnico e/ou, aos deslocamentos, rotações e esforços solicitantes, na direção dos diversos graus de liberdade de movimento de pontos e seções transversais dos elementos estruturais que compõem a fundação.

As cargas podem crescer indefinidamente, mas a reação é limitada e não pode ser maior que:

a) a resistência dos materiais que constituem o sistema ou,

b) os valores limites de deslocamentos e rotações que impedem o uso da obra.



No caso de uma fundação por estacas esta resistência é denominada capacidade de carga última (ou carga de ruptura da estaca) ou tensão de ruptura do solo no caso de uma fundação direta.

Para ambos os tipos de fundação existem valores limites de movimentos indesejados (recalque absoluto, recalque diferencial e rotações), derivados da experiência, que impedem o uso ou funcionalidade dos diferentes tipos de obras.

A determinação das curvas estatísticas de distribuição de solicitação e resistência que resultam da variabilidade de cargas, geometria e propriedades dos materiais da superestrutura são efetuadas pela projetista da estrutura considerando a interação solo-estrutura (Aoki, 1997) e os métodos utilizados não serão abordados no presente curso.

Por modelo geotécnico mental (Aoki, 2009) entende-se o modelo geométrico adotado na análise do conjunto de perfis de solos reais inferido nas sondagens e em outros ensaios disponíveis, mais o conjunto de perfis de solos extrapolados entre sondagens vizinhas.

O objeto de estudo da fundação analisada é a superfície resistente tridimensional, representada pelo lugar geométrico das superfícies das bases dos elementos estruturais de fundação, localizada no maciço de geológico-geotécnico idealizado (Aoki e Cintra, 1996).

No Brasil, até a década de 2010, o projeto e execução de fundações eram considerados atividades da área das ciências exatas por serem fundamentados em conceitos da matemática e no determinismo da física clássica newtoniana.

Entretanto, esta situação mudou com a publicação da Norma Brasileira NBR 6122:2010 de Projeto e Execução de Fundações. De fato, em seu escopo a atual Norma admite que:

“NOTA 1. Reconhecendo que a engenharia de fundações não é uma ciência exata e que riscos são inerentes a toda e qualquer atividade que envolva fenômenos ou materiais da natureza, os critérios e procedimentos constantes nesta Norma procuram traduzir o equilíbrio entre condicionantes técnicos, econômicos e de segurança usualmente aceitos pela sociedade na data da sua aplicação.”

Por outro lado, o Código de Defesa do Consumidor declara que o consumidor de produtos e serviços tem direito básico de tomar conhecimento de:

“... a informação adequada e clara sobre os diferentes produtos e serviços, com especificação correta de quantidade, características, composição, qualidade e preço, bem como sobre os riscos que apresentem...”.

Portanto, além da tradicional especificação de quantidade, características, composição, qualidade e preço dos produtos e serviços geotécnicos torna-se obrigatório determinar os riscos que a fundação apresenta. Este Código define ainda que:

“... § 1º - Produto é qualquer bem, móvel ou imóvel, material ou imaterial.”

Assim, para fins de aplicação deste código entende-se que a fundação é parte de um bem material imóvel sujeito ao risco de ruir conforme prescrito na NBR 6122:2010.

Pode-se traçar um paralelo com a atividade de médicos e advogados, profissionais liberais que se preocupam com os riscos de perda dos bens imateriais saúde e liberdade, enquanto engenheiros civis preocupam-se com a ruína de bens materiais e imóveis.



O valor do bem imóvel é medido por um determinado valor monetário e, portanto, para fins de tomada de decisão, o risco deve ser expresso em termos econômico-financeiro. Por ser leigo, o consumidor tem o direito de saber o risco financeiro de seu empreendimento.

Neste contexto, o engenheiro geotécnico deve determinar e informar ao consumidor o risco que o produto ou serviço de fundação apresenta, e não tentar apenas provar que ela é segura e não vai ruir porque atende aos fatores de segurança mínimos prescritos em normas.

Na prática, o valor do risco geotécnico deve ser adicionado ao custo de material e mão de obra e o valor total vai permitir a comparação entre duas soluções de fundações igualmente satisfatórias do ponto de vista de segurança.

O risco no estado limite geotécnico último é determinado a partir das solicitações devidas às cargas ambientais e funcionais e das resistências geotécnicas, comandadas pelo cenário geológico-geotécnico local, comprovadas nas provas de carga estáticas e dinâmicas.

Para cada tipo e profundidade da fundação, ou seja, para cada superfície resistente de assentamento das bases da fundação adotada corresponde um fator de segurança global e uma probabilidade de ruína que condicionam o risco geotécnico do estaqueamento analisado.

Assim, o risco geotécnico de uma dada fundação é condicionado por:

(a) Diferentes geometrias dos modelos estrutural e geotécnico e variadas propriedades dos materiais componentes;

(b) Diversas combinações e tempos de recorrência das cargas atuantes;

(c) Diferentes modelos de interação solo-estrutura que permitem determinar a solicitação decorrente da ação das cargas atuantes na fase de execução e durante a vida útil da obra;

(d) Diferentes equipamentos, procedimentos de instalação e controle da execução.

Sob a ação de cargas crescentes as solicitações crescem, mas são limitadas pela resistência e/ou rigidez limite dos materiais que compõem o sistema, e conduzem ás verificações do estado limite último (ELU) e do estado limite de serviço (ELS).

Denomina-se solicitação limite ao valor da resistência última ou da deformação limite e, a probabilidade de ocorrência desta solicitação denomina-se probabilidade de ruína. O risco de ocorrência evento é então determinado pelo produto da probabilidade de ruína vezes a vulnerabilidade vezes o custo de reparação dos danos materiais e pessoais ocasionados pela ruína.

A presente análise de risco não contempla a ocorrência imprevisível de erro humano que deve ser mitigado e tratado no âmbito legal jurídico como um evento fortuito decorrente de negligência, imperícia ou imprudência do profissional liberal. Note-se que a verificação da segurança aos estados limites que consta das normas é mandatória e seu não atendimento constitui erro atribuído à imperícia profissional.

Desta forma, para cada superfície resistente escolhida no projeto ou executada na realidade corresponde um risco que deve ser determinado pelo engenheiro e informado ao proprietário da obra que pode, então, decidir se aceita ou não o risco inerente ao seu investimento, independentemente do seu grau de conhecimento técnico de engenharia.

Conclui-se que compete ao engenheiro prever o risco geotécnico e à sociedade decidir sobre a aceitação ou não do risco que corre.



2 Breve história dos fatores de segurança

2.1 Fator de segurança global (Rankine, 1862)

Atualmente as Normas Brasileiras estruturais e geotécnicas exigem a adoção de um fator de segurança mínimo que supostamente evitaria a possibilidade de ocorrência dos eventos que denominamos estado limite último (ELU) e estado limite de serviço (ELS) no caso de não ocorrência eventos imprevisíveis como o erro humano nas fases de concepção, projeto e execução de uma fundação.

Os valores de fatores de segurança vigentes são o resultado de uma longa história de desenvolvimento que no final do século XIX culminava com a publicação do livro de Engenharia Civil de Rankine (1862), vide Figura 1, que especificava o uso desta noção tão relevante naqueles dias e que são vigentes até os dias de hoje.

Figura 1. Definição de fator de segurança (Rankine, 1862)

A definição de fator de segurança, quando não especificado de outro modo, seria a relação entre dois valores de carga: a de ruptura e a de trabalho.

Note-se que no caso de materiais e mão de obra perfeitos e cargas aplicadas de modo estático com potência nula na aplicação, o valor mínimo do fator de segurança deveria ser igual a 2.

Para materiais e mão de obra correntes, este valor que passaremos a denominar FS, seria variável e dependente do material utilizado no intervalo entre:

3< FS < 5

Assim, a definição de fator de segurança era centrada nas cargas de trabalho e de ruptura.

Neste caso é razoável supor que o fator de segurança seria o valor médio mais provável

relacionando a resistência média R com a solicitação média S, valores esperados mais prováveis destas variáveis. Note-se que a palavra carga de trabalho significa o efeito da carga de trabalho, ou seja, a solicitação que surge nas seções transversais das peças estruturais.

1st



A Figura 2 apresenta um gráfico que mostra o afastamento entre os pontos

representativos da carga de trabalho S e a carga de ruptura R e, a tabela de valores recomendados do fator de segurança FS para materiais e mão de obra da época.

Figura 2. Fator de segurança médio esperado (Rankine, 1862)

Note-se que no caso de cargas aplicadas de modo dinâmico (live load) os fatores de segurança deveriam ser o dobro dos aplicados de modo estático (dead load).

2.2 Paradigma do fator de segurança

A Figura 3 sugere que a carga de ruptura e a carga de trabalho são variáveis. A variabilidade da

resistência e da solicitação são representadas por curvas normais com pontos médios R e S e pontos

de mudança de curvatura das curvas definidos pelos desvios padrões R e S.

Figura 3. Paradigma do fator de segurança



Neste caso as formas das curvas R e S são determinadas pelos coeficientes de variação vR e vS números que passam a representar as formas das duas curvas.

De modo geral, a cada par de pontos Ri e Si das curvas corresponde um valor de fator de segurança Fi,j e a ruptura não ocorre se a resistência Rj for maior que a solicitação Si:

Rj > Si

Dividindo-se ambos os termos desta inequação por Si temos:

Rj/Si > Si/Si

Denominando-se Rj/Si = Fij resulta a inequação:

Fij > 1

Portanto, pode-se afirmar que não ocorre ruptura se o fator de segurança Fij for maior que um (1,0), paradigma que aceitamos como dogma na Engenharia.

A Figura 3 mostra que, em particular, esta inequação aplica-se aos pontos médios representativos das curvas e neste caso:

FS >1

Considerando o infinito número de pontos das curvas R e S pode-se afirmar que a quantidade de fatores de segurança de uma obra é infinitamente grande.

2.3 Método dos valores admissíveis (Estádio II, 1960)

A evolução que ocorreu entre o final do século 19 e o início do século 20 foi silenciosa e afetou

a noção de carga de trabalho que na época de Rankine era o valor esperado ou esperança (S) com probabilidade de ser ultrapassado em 50% dos casos.

A evolução ocorrida até a década de 1960 foi a consideração de ocorrência de uma carga máxima esperada com probabilidade inferior a 50% de ser ultrapassada, indicada pela área desconhecida hachurada da figura 4. O efeito desta carga máxima é, nos dias atuais, denominado solicitação característica Sk.

Figura 4. Método dos valores admissíveis (estádio II)



A análise de segurança pelo método dos valores admissíveis apresentado na Figura 4 foi

introduzida na prática brasileira a partir dos anos 1960 e é muito utilizada até os dias de hoje.

Neste método definia-se a carga ou tensão admissível pela relação:

Padm ≤ R/FS,trad

O dimensionamento era satisfatório se:

Padm ≥ Sk

O fator de segurança tradicional era dado pela relação:

FS,trad = R/Padm

Os fatores de segurança recomendados para diferentes materiais encontram-se na Tabela 1.

Tabela 1. Comparação fatores de segurança 1862 e 1960

O coeficiente de variação da solicitação implícita nos fatores de segurança tradicionais pode ser determinada analisando-se a evolução dos fatores de segurança FS e FS,trad da tabela 1.

A figura 4 mostra que o fator que relaciona os pontos Sk e S da curva de solicitação implica

na existência de um fator parcial S:

S = Sk/S

Para uma área hachurada de 5% verifica-se que:

Sk = S (1+1,645. vS)

Resultando:

vS = (S-1)/(1,645)

Por outro lado, a figura 4 mostra que:

FS = FS,trad . S

Dessa forma é possível determinar o valor do fator S implícito nesta fase de evolução:

S = FS/FS,trad

As colunas 6 e 7 da tabela 1 apresenta os valores S e vS para metal (aço), alvenaria (concreto) e madeira que resultam dos fatores de segurança de 1862 e 1960.

Nos anos 1960 existia uma grande preocupação com a normatização do dimensionamento de estruturas de concreto, aço e madeira.

FATORES DE SEGURANÇARankine

(1862)Materiais e mão de obra FS

Boa qualidade

Aço 3Concreto 4Madeira 5

ABNT Tensões (kgf/cm2)(1960) Admissível RupturaFS,trad adm e

2 1200 24003 60 1805 50 250

EVOLUÇÃO

S vS vR

1,50 0,30 ?

1,33 0,20 ?

1,00 0,00 ?



No caso do concreto, a padronização da mistura de pedra, areia, água e cimento foi sistematizada pelo engenheiro Caldas Branco que, após a realização de um sem número de ensaios à compressão de misturas experimentais, patenteou um calculador de uso muito difundido na época e que se encontra ilustrado na Figura 5.

Figura 5. Calculadora Caldas Branco (1967)

Neste período o dimensionamento de um pilar de concreto era feito no chamado estádio II pelo método das tensões admissíveis.

Assim, o dimensionamento da área de um pilar de concreto era obtido dividindo-se a carga de trabalho Sk pela tensão admissível do concreto:

Área pilar = Sk / adm

adm = tensão admissível no concreto

adm = e /FS,adm

e = fcm = resistência média à compressão de corpos de prova de concreto

A Tabela 1 indica que para a tensão admissível de adm= 60 kgf/cm2 a resistência do concreto devia ser dosada para uma resistência média à compressão de:

e = 60 x 3 = 180 kgf/cm2.

O dimensionamento de estruturas de aço e madeira obedecia a esta mesma lógica.

A comparação das Tabelas de fatores de segurança da época de Rankine e da Tabela da ABNT da década de 1960 permite avaliar a variação de valores pertinentes à curva de solicitação implícitos nos fatores de segurança adotados na época:

- Fator parcial devido à forma da curva: 1,00 < S < 1,50;

- Coeficientes de variação da solicitação: 0,00 < vS < 0,30

A última coluna da Tabela 1 evidencia que no método dos valores admissíveis não havia preocupação em se conhecer a variabilidade da curva de resistência representada pelo coeficiente de variação vR .

Resistência concreto estrutural (1967) fc28



2.4 Método de ruptura (Estádio III, EB3/67)

A Figura 6 apresenta as curvas de solicitação e resistência que serviram de base para o método de dimensionamento na ruptura.

Figura 6. Método da carga de ruptura (estádio III)

No método da ruptura devia-se comprovar que a tensão na ruptura devia ser maior que a solicitação na ruptura:

R > .Sk

= fator de segurança na ruptura.

A Figura 7 apresenta os fatores de segurança para peças de concreto calculadas em função da carga de ruptura (estádio III) para peças solicitadas basicamente à flexão e à compressão.

Figura 7. Coeficientes de segurança (estádio III)



A Tabela 2 resume os coeficientes de segurança para peças de concreto calculadas no chamado estádio III em função da carga de ruptura:

Tabela 2. Coeficientes segurança na ruptura.

O fator variava porque na flexão a ruptura era comandada pela resistência do aço, que apresenta menor variabilidade e nos pilares comprimidos a ruptura era comandada pela resistência do concreto, com maior variabilidade.

A evolução que ocorreu nesta década de 1960/1970 deve ser creditada, entre outros, às pesquisas do Professor Lobo Carneiro no INT do Rio de Janeiro e do Professor Telêmaco Van Langendonck da USP em São Paulo.

A atenção dos pesquisadores concentrou-se na variabilidade da resistência do concreto uma vez que no método dos valores admissíveis havia a perigosa probabilidade de 50% de ocorrência de resistências menores que o valor médio de resistência aos 28 dias.

A intervenção na confecção do concreto permitiu evidenciar a importância de controlar a medida do cimento, agregado e água em massa ou volume, a correção do teor de umidade, etc.

A Tabela 3, apresenta a forma de se quantificar a resistência característica R com 5% de probabilidade de ocorrência de valor menor, em função da resistência média fcm aos 28 dias e do procedimento de controle adotado na obra.

Tabela 3. Controle para garantir resistência característica mínima R

A Tabela 3 apresenta o fator de segurança parcial R que define o ponto de resistência R valor

mínimo com 5% de probabilidade de ocorrência de valor menor. A tabela mostra que para os três tipos de controle do concreto resultam as seguintes faixas de variabilidades da curva de resistência:

- Fator parcial forma da curva: 1,33 < R < 1,67 - Coeficiente variação resistência: 0,15 < vR < 0,24

A tabela 4 compara o fator de segurança na ruptura com os valores calculados indiretamente pela variabilidade dos três tipos de controle do concreto:

COEFICIENTE SEGURANÇA RUPTURA: = 1,65 (concreto flexão) = 2,00 (concreto compressão)



Tabela 4. Comparação NB51 e EB3/67

A tabela 4 mostra que o antigo fator de segurança na ruptura =2,0 para concreto na compressão da EB3/67 correspondia a um concreto de controle razoável.

Considerando os diferentes graus de controle de variabilidade da EB3/67 o fator de segurança na ruptura variaria entre:

1,80 < < 2,26

Para o aço ao fator =1,65 corresponderia um coeficiente de variação da resistência vR = 0,11

e um fator parcial R = 1,21 para a curva de resistência.

2.5 Método dos valores de projeto (fatores de segurança parciais)

A Figura 8 apresenta as curvas de S e R que definem os fatores de segurança parcial de

majoração da carga f e minoração de resistência m do método de valores de projeto.

Figura 8. Método valores de projeto (fatores parciais de segurança)



Esta metodologia de dimensionamento geotécnico foi inicialmente introduzida na Dinamarca

por Brinch Hansen (!965) e posteriormente foi adotada pelo Eurocode.

Neste caso a forma das curvas S e R já se encontram definidas e o fator de segurança na

ruptura foi subdividido em dois fatores parciais: um fator de majoração da carga f e um fator de

minoração de resistência m.

O dimensionamento é feito de tal modo que:

Rd > Ad

Rd = Rk/m

Sd = Sk. f

A Tabela 5 apresenta alguns valores de fatores parciais:

Tabela 5. Fatores parciais de segurança

A comparação de fatores de segurança de 1862 até a data presente encontra-se na Tabela 6:

Tabela 6. Comparação fatores de segurança Rankine, ABNT 1960, EB3/67 e ABNT 2010

No caso do concreto e do aço manteve-se total coerência na evolução dos fatores de segurança ao longo do tempo, ou seja, o fator de segurança global médio dos dias de hoje é igual ao valor que se encontra no livro de Rankine (1862).

Os coeficientes de variação da solicitação foram de 20% no concreto e 30% no aço. Os coeficientes de variação de resistência do concreto foram de 20% e do aço de 11%.



A Figura 9 apresenta resume as filosofias de dimensionamento neste período de tempo.

Figura 9. Método valores de projeto (fatores parciais de segurança)

Conclui-se que fatores de segurança relacionam pontos das curvas de S e R e não medem a probabilidade de ruína que exige a completa definição das duas curvas.

3. Aplicação de métodos probabilísticos em fundações

3.1 Probabilidade de ruína método (Cornell, 1971)

O fator de segurança de segurança relaciona o afastamento entre dois pontos das curvas de solicitação S e de resistência R da obra.

Entretanto, a confiabilidade da fundação exige a análise do afastamento entre as curvas R e S cujas formas são representadas por seus coeficientes de variação vR e vS.

No caso da análise de segurança analisa-se este afastamento entre os pontos notáveis das curvas R e S pelo fator de segurança médio FS = R/S:

FS = R / S

No caso da análise de confiabilidade analisa-se o afastamento entre as curvas R e S definido

pela margem de segurança média M, pelo desvio padrão da curva M = R-S e pela correlação :

M = (R - S)

M

= √ R

2

+

S

2

- 2..R.S



A Figura 10 apresenta o cálculo da probabilidade de ruína pelo método de de Cornell (1971):

Figura 10. Determinação probabilidade ruína método de Cornell (1971)

Conhecidas a média e o desvio padrão da curva da margem de segurança a probabilidade de ruína pf, área negativa da curva margem de segurança, é determinada pelo comando EXCELL:

3.2 Definição de probabilidade de ruína (Freudenthal,1947,1956,1974)

A Figura 11 apresenta a dedução teórica da probabilidade de ruína pf para quaisquer formas de curvas S e R conforme Freudenthal (1947):

Figura 11. Determinação probabilidade ruína Freudenthal (1947, 1956,1974)

pf = área = DIST.NORM (0 ;

M ;

M ; verdadeiro)



Inicialmente determina-se a probabilidade de ruptura para um valor (x) qualquer de solicitação. A quantidade total de ruínas ocorridas de menos infinito até o valor (x) é igual à área hachurada sob a curva de resistência FR(x). A probabilidade de ocorrência de uma solicitação de valor (x) é igual à ordenada fS(x) da curva de solicitação S. Portanto a probabilidade de ocorrer ruptura para um valor (x) vale F

R (x). f

S(x) que é o ponto (A) sobre a curva de probabilidade de ruina pf.

A probabilidade de ocorrer ruína para todos os valores de (x) no intervalo ∞ < (x) < +∞, vale:

A esta expressão denomina-se convolução das curvas S e R que define a probabilidade de ruína.

A Tabela 7 apresenta diversas formas de distribuição da função fx(x) previstos pelo Eurocode (2001). Tabela 7. Funções estatísticas EUROCODE (2001)



3.3 Interrelação entre fator de segurança e probabilidade de ruína

A Figura 12 apresenta a interrelação entre o fator de segurança FS e o fator de confiabilidade

no caso de distribuição normal das funções R e S.

Figura 12. Interrelação fator de segurança FS e fator de confiabilidade (EESC, 2002).

Prova-se que, uma vez conhecidas as formas das curvas R e S definidas pelos respectivos coeficientes de variação vR e vS , existe uma interrelação entre o fator de segurança FS e o fator de

confiabilidade dada pela equação de segundo grau:

FS

2

. ( 2

. vR

2

- 1 ) + 2 . FS+

2

. vS

2

- 1 = 0

As raízes desta equação conduzem à expressões de interdependência entre as quatro

variáveis FS, , vR e vS que se encontram relacionadas na Tabela 8.

Tabela 8. Interrelação entre variáveis FS, , vR e vS.



A Tabela 8 ressalta que a crença comum de que fator de segurança infinitamente grande conduz a uma probabilidade de ruína igual a zero não é real.

De fato, para uma obra com vR =0,50 e FS = ∞ resultaria:

= 1/0,5 = 2,0

pf =0,02275 → 1 ruina em 44 eventos.

A Figura 13 apresenta a interrelação entre o fator de segurança FS e o fator de confiabilidade

no caso de distribuição normal das funções R e S.

Figura 13. Variação fator segurança na ruptura para FS=3 e vR=vS

Conclui-se que o fator parcial de minoração m torna-se menor que 1,0 para o caso

particular de se adotar FS=3,0, f=1,40 e valores vS = vR > 30%.



4. Interpretação do valor da probabilidade de ruína

De acordo com Vick (2002) existem três tipos de interpretações do valor da probabilidade de ruína: a freqüencista, a subjetiva (ou bayesiana) e a motivacional.

A interpretação freqüencista é determinista e considera que se a probabilidade de ruína é pf então 1/pf estacas da população analisada estão sujeitas a entrar em ruína.

A interpretação subjetiva leva em conta experiência anterior do julgador com o evento que está sendo analisado.

Neste caso aplica-se o teorema de Bayes que permite determinar a probabilidade a posteriori P(A/B) de ocorrência de um evento, a partir da probabilidade a priori P(A) de ocorrência do evento, condicionado à probabilidade P(B/A) de esta ser verdadeira:

No exemplo clássico do problema da cor de um táxi de uma cidade em que a cor dos táxis é azul ou verde sabe-se a priori que a probabilidade de a cor ser azul vale:

P(A) = Probabilidade de um táxi ser azul – probabilidade a priori (0,15)

Portanto, a probabilidade de a cor ser verde será o complemento para 100%:

P(NãoA) = Probabilidade de um táxi ser verde (0,85)

Conhecida a probabilidade de ser verdadeira a informação adicional de uma testemunha que viu a cor do táxi vale:

P(B|A) = Probabilidade de a testemunha dizer que o táxi é azul, dado que o táxi é de fato azul (Likelihood) (0,80)

Portanto, a probabilidade de o táxi ser verde apesar da testemunha dizer que ele é azul vale:

P(B|NãoA) = Probabilidade de um táxi ser verde (0,85) x Probabilidade da testemunha dizer que o táxi é azul, dado que o táxi é de fato verde (0,20)

Portanto, a probabilidade de o táxi ser azul, dado que a testemunha disse que ele é azul é:

P(A|B) = Probabilidade de o táxi ser azul, dado que a testemunha disse que ele é azul – probabilidade a posteriori.

Neste exemplo tem-se:



Portanto, a probabilidade de o táxi ser azul dado que a testemunha disse que ele é azul é de:

P(A/B) = 41%

Note-se que, sem a informação da testemunha a probabilidade de ser azul era:

P(A) = 15%

A principal dificuldade de se aplicar esta metodologia subjetiva ou bayesiana é a determinação do valor a priori da probabilidade de ocorrência do evento analisado.

Uma vez determinado o valor desta probabilidade pode-se aplicar o teorema de Bayes.

No exemplo que se segue o cenário de análise de risco pressupõe que:

- Solicitação média S = 1000;

- Fator de segurança médio F = 2,00;

- Coeficiente variação da solicitação vS = 0,10;

- Coeficiente de variação da resistência vR = 0,10;

- Grau de certeza desejada no valor de probabilidade de ruína → P(B/A) = 95%.

A Tabela 9 apresenta os resultados obtidos aplicando-se o método FOSM:

Tabela 9. Determinação direta (FOSM) da probabilidade de ruína

Verifica-se que no cenário de análise pelo FOSM tem-se:

- Fator de segurança médio FS = 2,00;

- Fator de confiabilidade = 4,47;

- Inverso da probabilidade de ruína 1/pf = 258.257;

- Fator de segurança tradicional = 1,72.

Se quem julga o valor de probabilidade de ruína não se contenta com a certeza P(B/A)=50% implícito no cálculo pelo método direto do FOSM e pode aplicar o teorema de Bayes que permite estabelecer valores de fator de segurança e probabilidade de ruína para qualquer grau de (in)certeza P(B/A) que se deseje adotar.

A Tabela 10 apresenta a análise de probabilidade de ruína considerando certo grau P(B/A) de (in)certeza subjetiva nos cálculos.

Por exemplo, a última coluna da Tabela 10 apresenta os resultados para P(B/A) = 95%:

- Fator de segurança médio F = 1,77;

- Fator de confiabilidade = 3,80;

- Inverso da probabilidade de ruína 1/pf = 13.593;

CURVAS S F R M

1000 2,00 2000 1000 1,72

100 0,28 200 224 4,47

v 0,10 0,14 0,10 0,22 pf 3,87211E-06

Característico k 1165 1,53 1671 1368 1/pf 258.257

DETERMINISTA



Tabela 10. Probabilidade de ruína considerando certo grau de (in)certeza subjetiva no cálculo.

Conclui-se que graus de certeza maiores que 50% no cálculo implicam em menores valores de fator de confiabilidade e de segurança e de maiores riscos.

A interpretação motivacional leva em conta as conveniências pessoais do julgador ao julgar a probabilidade de ruína calculada convencionalmente.

FATOR SEGURANÇA OBJETIVO PARA P(B/A) = 50% 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00

FATOR CONFIABILIDADE FREQUENCISTA 4,47 4,47 4,47 4,47 4,47 4,47 4,47 4,47 4,47

PROBABILIDADE RUINA OBJETIVA (1/...) 258.257 258.257 258.257 258.257 258.257 258.257 258.257 258.257 258.257

P(A) = Probabilidade de ruina calculada 0,000004 0,000004 0,000004 0,000004 0,000004 0,000004 0,000004 0,000004 0,000004

P(AC) = Probabilidade de sucesso calculado 0,999996 0,999996 0,999996 0,999996 0,999996 0,999996 0,999996 0,999996 0,999996

P(B/A) = Probabilidade de certeza (% ou mais) 5% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 95%

P(B/AC) = Probabilidade de incerteza 95% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 5%

P(B/A) = Probabilidade de certeza 0,0000002 0,0000010 0,0000017 0,0000026 0,0000039 0,0000058 0,0000090 0,0000155 0,0000736

FATOR SEGURANÇA SUBJETIVO PARA P(B/A) 2,24 2,11 2,07 2,03 2,00 1,97 1,93 1,89 1,77

FATOR CONFIABILIDADE BAYESIANO 5,07 4,76 4,65 4,56 4,47 4,38 4,29 4,17 3,80

PROBABILIDADE RUINA SUBJETIVA (1/....) 4.906.870 1.033.026 602.599 387.385 258.257 172.172 110.682 64.565 13.593

TEOREMA DE BAYES NO CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE RUÍNA (considerando o grau de confiança no cálculo)

VALORES ESTATÍSTICOS CORRESPONDENTES À ANÁLISE DETERMINISTA P(B/A) = 50%

VALORES ESTATÍSTICOS CORRESPONDENTES À PROBABILIDADE P(B/A) DE CERTEZA DESEJADA



7. Conclusão

A causa fundamental da variabilidade da resistência de fundações rasas e profundas é a geometria da superfície resistente que se origina na longa história da formação geológica das camadas de solos. Como resultado desse processo essa geometria e a curva de resistência de solos sedimentares tendem a apresentar menor variabilidade que a de solos saprolíticos.

Fato relevante é que o fator de segurança não mede o risco geotécnico de uma obra de fundação porque relaciona pontos das curvas de solicitação e resistência e, a probabilidade de ruína depende da forma representada pelos coeficientes de variação vS e vR.

A interrelação entre os fatores de segurança, a probabilidade de ruína e os coeficientes de variação vS e vR facilita a verificação dos valores mínimos de fatores de segurança tradicional e dos fatores de segurança parciais exigidos pelas normas da ABNT.

Verificou-se que os atuais fatores parciais de segurança são coerentes com os fatores de segurança do método de ruptura (estádio III), do método da carga admissível (estádio II) e com os fatores globais de segurança recomendados em Rankine (1862).

A análise desta evolução mostrou que o coeficiente de variação máximo da solicitação foi de 30%. Os coeficientes máximos de variação de resistência do concreto foram de 24% e do aço de 11%.

Conclui-se que a análise de risco de uma fundação é comandada pela superfície resistente e sua análise exige a descrição precisa do cenário correspondente à:

- Geometria das estruturas e maciço geotécnico, as propriedades dos materiais componentes, as combinações e tempos de recorrência das cargas atuantes, os modelos de interação solo-estrutura, os equipamentos e procedimentos de instalação e controle do projeto e execução;

- Procedimento de determinação das superfícies resistentes nas fases de concepção, projeto e execução e verificação do desempenho;

- Comprovação de adequação dos fatores de segurança tradicional, global e parciais e eventual necessidade de adoção de valores maiores que os mínimos das normas;

- Procedimento de interpretação subjetiva da probabilidade de ruína e do risco inerente.

Finalmente, de acordo com o Código de Defesa do Consumidor o risco geotécnico deve ser informado ao proprietário da obra.

Salvador, 28 de agosto de 2018.

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REFERÊNCIAS

ABNT – NBR 8681 – Ações e segurança em estruturas: Procedimento.

ABNT – NBR 6122:2010 – Projeto e execução de fundações: Procedimento.

Rankine, W.J.M. (1877) – A Manual of Civil Engineering, London, Charles Griffin and Company, London, 12th Edition, 786 pp.

Beck, Ulrich. Sociedade de Risco: Rumo a uma outra modernidade. 2. Ed. São Paulo: 34, 2011.

Aoki, N. (2008). Dogma do fator de segurança. Anais do SEFE VI, São Paulo, 2008, V.1, p. 9 – 42.

Aoki, N. (2009). Desafios da Geotecnia em momentos de crise. 1º. Geocentro. ABMS- Núcleo Regional Centro-Oeste, Goiânia 18 e 19/06/20012.

Aoki, N e Cintra, J. C. (1996). Influência da variabilidade do maciço de solos no comprimento de estacas. in SEFE III.- 3º. Seminário Engenharia Fundações. Especiais. e Geotecnia, vol.1, São Paulo, p.173-184.

Melchers, R. E. (1999). Structural Reliability Analysis and Prediction. John Wiley & Sons, Singapore.

Freudenthal, A. M. (1947). The Safety of Structures. Transactions, American Society of Civil Engineers, Paper No. 2296, Vol.112, 125-180.

Phoon, K. K. (2004). Towards Reliability-based Design for Geotechnical Engineering. Special Lecture for Korean Geotechnical Society. Seoul, 9 July 2004.

Hansen, J. B. (1965) – The Philosophy of Foundation Design: design criteria, safety factors and settlements limits. Proceedings of Symposium on Bearing Capacity and Settlement of Foundations. Duke University, North Carolina, 9-13.

Shigley, J. E. & Mischke, C. R. (1989) - Mechanical Engineering Design. 5th ed., McGraw Hill, Inc. New York. (ISBN: 0-07-056899-5, Library of Congress: TJ 320.S5 1989).

Eurocode EN 1990. Eurocode – Basis of Strucutual Design. CEN 2002. SEFE VI – Seminário Engenharia Fundações Especiais e Geotecnia.

Aoki, N. (2002). Probabilidade de falha e carga admissível de fundação por estacas. Revista Militar de Ciência e Tecnologia. Rio de Janeiro. Vol. XIX – No.3, 48-64.

Freudenthal, A. M., Garrelts, J. M. and Shinozuka, M. (1966). The Analysis of Structural Safety. Journal of the Structural Division, ASCES, 92( STI), 267-325.



Lawrence, L.S. (1954). Discussion on Freudenthal, A. M. Safety and the Probability of Structural Failure. Proceedings - Separate No. 468, Transactions, American Society of Civil Engineers, Paper No. 2843, 1377-1381.

Hasofer, A. M.& Lind, N.C. (1974). Exact and Invariant Second Moment Code Format. J. Engineering Mechanics, ASCE, 100(1), 111-121

Phoon, K. K., Becker, D. E., Kulhawy, F. H., Honjo,Y., Ovesen, N. K., Lo, S. R. (2003). Why consider Relaibility Analysis for Geotechnical Limit State Design?. LSD2003: International Workshop on Limit State Design in Geotechnical Engineering Practice. Phoon, Honjo & Gilbert (eds) 2003. World Scientific Publishing Company.

Cardoso, A. S.; Fernandes, M. M. (2001). Characteristic Values of Ground Parameters and Probability of Failure in Design according to Eurocode 7. Geotechnique 51, August 2001, No. 6, 519-531.

Ang, A. H. S. & Cornell, C.A. (1974). Reliability Bases of Structural Safety and Design. Journal of the Structural Division. Proceedings of the American Society of Civil Engineers, Vol. 100, ST9, September, 1974, 1755-1768.

Ang, A. H. S. & Tang, W. H. (1984). Probability Concepts in Engineering Planning and Design: decision, risk and reliability. New York: John Wiley. vol. 2.

Vick, S. G. (2002). Degrees of Belief: subjective probability and engineering judgment. American Society of Civil Engineers, ASCE Press, Reston, VA, 455 p. ISBN 0-7844-0598-0.

AS/NZS 4360: 1999. Australian Standard. Risk management. ISBN 07337 2647 X.

Rackwitz, R. & Fiessler, B. (1978). Structural Reliability under Combined Random Load Sequences, Computers & Structures, 9, Mar 1978, 489-494.

CODAR - Codificação de desastres, ameaças e riscos publicados pela Secretaria Nacional de Defesa Civil.



Figura 12. Determinação risco sapatas método Hasofer – Lind (1974)

Risco geotécnico = pf x C x V

Onde pf = probabilidade de ruína da fundação; C = custo de reparação do dano causado pela ruína; V = vulnerabilidade



POTENCIAL VULNERABILIDADE FINANCEIRA E CUSTO OBRA (Prof. Eduardo Dell’Avanzi - UFPR)



Variável n≥2

Resistência média (kN) Rcm 2648

Resistência mínima (kN) Rmin 1800

Número sondagens NBR 6122 5

Coeficiente 3 norma x1 1,29

Coeficiente 4 norma x2 1,15

Resistência característica (kN) Rck 1565

Desvio padrão (kN) R 658

Coeficiente variação vR 0,25

Solic.caract.(carga admissível) (kN) Sk 1300

Coeficiente variação vS 0,10

Solicitação média (kN) S 1116

Desvio padrão (kN) S 112

Fator segurança global FS 2,37

Fator segurança tradicional FS,trad 2,04

Fator parcial resistência R 1,69

Fator parcial solicitação S 1,16

Fator parcial majoração carga f 1,40

Fator parcial minoração resistencia m 0,86

Margem segurança média(kN) M 1531

Desvio padrão (kN) M 667

Coeficiente variação vM 0,436

Fator de confiabilidade 2,294

Probabilidade ruína pf 0,010886

Inverso probabilidade ruína (dias) 1/pf 92

Custo obra (R$) 50.000.000Probabilidade ruína pf 0,010886

Vulnerabilidade v 0,70

Custo risco geotécnico (R$) 381.023

Relação 1,007620

Numero estacas Numero estacas 36

Custo unitario fundação (R$/estaca) 8.346

Custo fundação (R$) 6.309.576

Relação custo/invest ( % ) 12,6

Risco aceitavel (consultar investidor ) ( ‰ ) 1,0

Valor risco aceitavel (R$) 50.000

Ocorrência de ruína

Tempo recorrência meses 3

ARRISCADO

CUSTO RISCO = probabilidade ruina x custo construção x vulnerabilidade

ANÁLISE RISCO ECONOMICO-FINANCEIRO

RIS

CO

GE

OT

ÉC

NIC

O

CONCLUSÃO

Provável

SE

GU

RA

NÇ

A

CO

NF

IAB

ILID

AD

E Rck= Min[ (Rc,cal)med / x1 : (Rc,cal)min / x2 ]

CENÁRIO ANÁLISE: MÉTODO AOKI-VELLOSO →

RISCO DE PROJETO DE ESTAQUEAMENTO CONFORME NBR 6122:2010R

ES

IST

EN

CIA

SO

LIC

ITA

ÇÃ

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minicurso: aplicaÇÃo de mÉtodos probabilÍsticos em … · aplicaÇÃo de mÉtodos...

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