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Microondas I

Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php

Sala 5017 [email protected]

Aula 16

2.4 – Carta de Smith

Microondas I

* Utilizada na solução gráfica de problemas de impedância em linhas de transmissão

* 1939 – Laboratórios Bell (Philip Smith) → Durante o desenvolvimento de tecnologia radar.→ Estabelece graficamente a correlação entre a impedância normalizada da carga (zL)

e o coef de reflexão (Γ).

* Correlação gráfica de três circulos:

1. →

2. → Circulos de resistência constante ‘rL’

3. → Circulos de reatância constante ‘xL’

zIN = Z IN

Z0

= 1+Γe−2 jβ ŀ

1−Γe−2 jβ ŀΓL =

Z L−Z 0

ZL+Z0

= zL−1

zL+1

Em l = 0 ⇒ Z IN = ZL ⇒ zIN = 1+|Γ|e jθ

1−|Γ|e jθ = (1+Γr )+ j Γi

(1−Γr )− jΓi

= rL+ jxL

Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ → raio Raio = (1

1+r L

)

Raio = (1x L

)

Revisão

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* Correlação gráfica de três circulos:

1. →

2. → Circulo de res. const. ‘rL’

3. → Circulo de reat. const. ‘xL’

Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ

Raio = (1

1+r L

)

Raio = (1x L

)

zIN = 1+|Γ|e jθ

1−|Γ|e jθ = r L+ jx L

Revisão

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Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθRaio = (

11+r L

) Raio = (1x L

)

zIN = 1+|Γ|e jθ

1−|Γ|e jθ = (1+Γr )+ j Γi

(1−Γr )− jΓi

= rL+ jxL

Revisão


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* Linha de comprimento l

ΓIN = Γ(l) = ΓL .e−2 jβ l

ΓL = V 0

-

V 0+

= Z L−Z 0

ZL+Z 0

= |ΓL|e jθ

∓180o≡(Δ l = λ/4 = 0,25 λ)

∓360o≡(Δ l = λ /2 = 0,50 λ)

SWR = V Max

V Min

= 1+|Γ|

1−|Γ|

Γ IN = |ΓL|e j(θ−2βl)

Um incremento Δl no comprimento da linha provoca uma rotação -Δθ (na carta de Smith) na direção do gerador.

Inversamente, um decréscimo de Δl no comprimento da linha provoca uma rotação +Δθ (na carta de Smith) na direção da carga.

Revisão


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Exemplo 2.2 – Operações básicas na carta de Smith

Uma linha de transmissão de comprimento l = 0.3λ e impedância 100Ω é terminada em um circuito com impedância ZL = 40 + j70 Ω.i) ΓL = ?ii) ΓIN = ?iii) ZIN = ?iv) SWR = ?v) RL = ?

Revisão


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Exemplo 2.2 – Operações básicas na carta de Smith

Uma linha de transmissão de comprimento l = 0.3λ e impedância 100Ω é terminada em um circuito com impedância ZL = 40 + j70 Ω.i) ΓL = ?ii) ΓIN = ?iii) ZIN = ?iv) SWR = ?v) RL = ?

* Giro na direção do gerador.

Revisão


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* Giro na direção do gerador.

Revisão


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* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.

https://en.wikipedia.org/wiki/Slotted_line#/media/File:Waveguide_slotted_line.jpg

λ (β) ΓL = |ΓL|ej θ ZL =

1+ΓL

1−ΓL

.Z0Determinação experimental →

Revisão


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V max ≡ exp [ i(θ−2β lmax)] = 1

V min ≡ exp [ i(θ−2β lmin)] = −1

Posição dos Vmax e Vmin

i)A escala é posicionada arbitrariamente ao longo da linha e um curto circuito é conectado na extremidade;

Da distância entre dois mínimos lmin1 e lmin2 determino λ (β) → (Δlmin = λ/2, período de oscilação)

→ “Essas distâncias servirão como ponto de referência”

Revisão


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ii) Com a carga (L) conectada na extremidade;

Da posição dos mínimos lminL1 e lminL2 (com a linha carregada) determino a fase θ de ΓL → θ = π + 2β(lminL1 - lmin1)

Da razão Vmax / Vmin determino o módulo de ΓL

→

V max ≡ exp [ i(θ−2β lmax )] = 1


→ Deslocamento de fase

Revisão


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iii) Dos valores determinados para a fase θ e para o módulo de ΓL, finalmente obtemos ΓL e ZL.

→ θ = π + 2β(lminL1 - lmin1)

→

ZL = 1+ΓL

1−ΓL

.Z0ΓL = |ΓL|ej θ

V max ≡ exp [ i(θ−2β lmax )] = 1


Revisão

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

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* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.

→ Com o acoplador ideal devemos obter Γin = 0!

→ Assumindo impedância real na carga (RL)

Z in = RL+ j Z1 tan (β l)

Z1+ j RL tan (β l). Z 1

Quando l = λ/4 ⤇ βl = π/2 ⤇ tan(βl ) → ∞

Z in = Z1

2

RL

Γ in = Z in−Z0

Z in+Z 0

= 0 ⇒Z in = Z0 ⇒ Z1 = √Z0 . RL

“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”

Γ in = Z in−Z0

Z in+Z 0

Para que

Revisão


Microondas I

* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.

→ Sempre que introduzir a fase βl = π/2 + nπ (n = 1,2,3,...)

→ O acoplador funcionara para múltiplos imparesda frequência fundamental (f0 = vp / λ0):

Z1 = √Z0 . RL


Γ in = 0

f = f0f = 3.f0f = 5.f0f = 7.f0...

Revisão


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* O transformador quarto-de-onda assume que ZL é real (ZL = RL).

→ Mas posso tornar qualquer valor ZL em real por meio da inclusão de um certo incrementono comprimento da linha de transmissão.

→ Na carta de Smith, ZL = rL + ixL

“Giro Δθ = Δl na direção do geradoraté que a componente complexa seja nula (Im(z) =0)

ZL→ RL

ZL

Δl

Revisão


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* Exemplo em uma rede de microfita:

ZL

Ramzan, Mehrab & Topalli, Kagan. (2015). International Journal of Antennas and Propagation. 1-9. 10.1155/2015/495629.

Z1 > Z0

Z1 = √Z0 . RLZ1 = √Z0 . RL


Revisão

Microondas IExercício Proposto

Considere uma linha de transmissão que deve operar com frequência de 150MHz.

A linha é formada pelo cabo coaxial flexível LMR-195.

(Dados do fabricante: Z0 = 50Ω ; C0 = 83,3 pF/m ; α = 14,6 dB/100m)

a) Determine a velocidade de fase vf (m/s) da onda que se propaga na linha.

b) Determine o comprimento de onda do sinal nessa frequência.

c) Determine a distância que o sinal deve percorrer no cabo para que a potência sofra uma atenuação de 50% (3dB).

d) Qual deve ser o comprimento mínimo da linha para que a impedância vista na sua entrada seja igual a impedância da carga ZL acoplada na extremidade oposta ?

e) Indique, em ordem crescente, os três valores seguintes das frequências para as quais a condição do ítem (d) se repete.

Revisão

Zin =>

Rth

C0

Microondas IExercício Proposto

Considere um sistema VHF com um receptor conectado a uma linha de 50 Ω. A impedância de entrada do receptor (Zin) pode ser representada pelo circuito Thévenin ao lado.Na frequência de 150MHz temos Zin = 100 – i 60 Ω.

a) Na carta de Smith, desenhe a curva que representa a impedância da entrada do receptor na banda entre 50MHz e 300MHz.

b) Na frequência de 150MHz, utilizando a carta de Smith, determine o comprimento mínimo de linha (Δl) que deve ser acoplado ao receptor para tornar a impedância Zin real quando vista na direção do receptor. Qual será o comprimento em centímetros se for utilizado o cabo LMR-195 da questão anterior?

c) Qual a impedância característica que deverá ser utilizada na fabricação de um transformador de quarto-de-onda para acoplamento de impedância com a linha de 50 Ω?

Z in=Rth − i

ωC0

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2.6 – Descasamento entre gerador e carga (sem perdas)

Microondas I

* Modelo geral:

Casos em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:

→ Duas reflexões

Solução geral é válida ao longo da linha:

V (z)=V 0+(e−i β z

+Γl eiβ z

)

I (z)=V 0

+

Z0

(e−iβ z−Γl e

iβ z) I (−l)=I in=

V 0+

Z0

(eiβl−Γl e

−iβ l)

V (−l)=V in=V 0+(eiβl

+Γ l e−iβ l

)

Solução geral na entrada da linha:

Zg→ Impedância série (Impedância de saída)do gerador

2.6 – Descasamento entre gerador e carga

Microondas I

* Modelo geral (sem perdas) Casos em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:→ Duas reflexões (Γ e Γl)

→ solução geral da tensão na linha

→ Da corrente na linha Iin

Zg → Impedância série do gerador

⇒V g

Z g+Z in

= V in

Z in

V in = V (−l)

⇒ ⇒

V 0+=?


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* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:→ Duas reflexões (Γ e Γl)

→ Da corrente na linha Iin

Vg → Impedância série do gerador

⇒V g

Z g+Z in

= V in

Z inV in = V (−l)

⇒

Substituindo Γl pela expressão em Zl e Z0

Substituindo Zin pela expressão em Zl e Z0

Obtemos

⇒

→ Amplitude da onda progressiva na posição da carga.


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* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:→ Duas reflexões (Γ e Γl)

→ Sendo

o coeficiente de reflexão olhando na direção do gerador.

Vg → Impedância série do gerador

→ Na linha


Microondas I

* Modelo geral:

Casos em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:

→ Duas reflexões

Zg→ Impedância série (Impedância de saída)do gerador

Tensão na entrada da linha:

V (−l)=V in=V g

Z in

Z in+Zg

I (−l)=I in=V 0

+

Z0

(eiβl−Γl e

−iβ l)

V (−l)=V in=V 0+(eiβl

+Γ l e−iβ l

)

Solução geral na entrada da linha:

Tensão da onda incidente na carga:

V 0+=V g

Z0

Z0+Zg

e−iβ l

(1−Γl Γg e−2 iβ l)


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* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:

→ Potência transferida para a linha

P = 12

ℜ(V in I in*) I in =

V in

Z in

P =12|V in|

2ℜ(

1Z in

)

V in = V g

Z in

Z in+Z g

** Como Zg é fixa (gerador), devemos encontrar o valor de Zin que maximiza a potencia entregue pelo gerador.

P =12|V g|

2|Z in

Z in+Z g|2

ℜ(1

Z in

)


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→ Potência entregue na carga

** Como Zg é fixa (gerador), devemos encontrar o valor de Zin que maximiza a potencia entregue pelo gerador.

P =12|V g|

2|Z in

Z in+Z g|2

ℜ(1

Z in

)

Z in = R in+ jX in

Zg = Rg+ jXg P = 12|V g|

2 R in

(R in+Rg)2+(X in+ Xg)

2


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Casos especiais:

→ Carga acoplada a linha (ZL = Z0) => (Zin = Z0)

→ Gerador acoplado a linha carregada (Zg = Zin)

R in = Z0 X in = 0

P = 12|V g|

2 R in


2

P = 12|V g|

2 Z0

(Z0+Rg)2+ Xg

2

R in = Rg X in = X g

P = 12|V g|

2 Rg

4 (Rg2+X g

2)


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Casos especiais:

→ Acoplamento conjugado ( Zin = Zg* )

P = 12|V g|

2 R in


2

Potência entregue máxima (ideal) →

R in = Rg X in = −Xg

P = 18|V g|

2

Rg

“Quanto menor o valor de Rg do gerador melhor será a eficiência”

5.2 – Casamento de impedância – Stub único

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* Técnica popular→ Assim como o transformador λ/4.

* Stub – comprimento de linha em circuito aberto ou em curto-curcuito.

→ Conveniente, pois pode ser fabricado como parte do meio de transmissão.

→ Circuito aberto – Linhas de microfita→ Curto-circuito – Coaxial e guia de onda

* Os parâmetros de ajuste são

→ A distância d, da carga até a posição do stub.→ O valor de reatância (susceptância) proporcionado pelo stub.


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y0=1

y L→1± jxd

Admitância normalizada (carta de Smith)

Transformação da impedância da carga

y s→∓ jxd

Susceptância (xd = -xd) no stub

* Técnica popular→ Assim como o transformador λ/4.

* Stub – comprimento de linha em circuito aberto ou em curto-curcuito.

→ Conveniente, pois pode ser fabricado como parte do meio de transmissão.

→ Circuito aberto – Linhas de microfita→ Curto-circuito – Coaxial e guia de onda

* Os parâmetros de ajuste são

→ A distância d, da carga até a posição do stub.→ O valor de reatância (susceptância) proporcionado pelo stub.

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y0=1

y L→1± jxd

Admitância normalizada (carta de Smith)

Transformação da impedância da carga

y s→∓ jxd

Susceptância (xd = -xd) no stub

Carta de admitância

=> Giro a impedância ZL de 180 ° na carta de Smith.

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Exemplo 5.2 (Livro): Acoplamento de impedância utilizando um stub-único de derivação.

Para uma carga com impedância ZL = 60 – i80 Ω faça o projeto de acoplamento de impedância utilizando um stub de derivação (paralelo em curto-circuito) para uma rede de casamento entre a carga e uma linha de 50 Ω. Obtenha duas soluções equivalentes.


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Exemplo 5.2 (Livro): Acoplamento de impedância utilizando um stub-único de derivação.

Para uma carga com impedância ZL = 60 – i80 Ω faça o projeto de acoplamento de impedância utilizando um stub de derivação (paralelo em curto-circuito) para uma rede de casamento entre a carga e uma linha de 50 Ω. Obtenha duas soluções equivalentes.


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Exercício proposto: Um amplificador de circuito integrado de micro-ondas apresenta impedância de saída ZA = 150 – i 375 Ω, na frequência 1 GHz.

a) Determine a resistência Rth e a capacitância C0 para o circuito equivalente de Thévenin da saída do amplificador.

b) Na carta de Smith, desenhe a curva que representa a impedância da saída do amplificador na banda entre 1GHz e 2GHz, quando este é conectado a uma linha com impedância característica Z0 = 75Ω.

c) Utilizando a carta de Smith, faça o projeto do acoplamento de impedância entre a saída do amplificador e a linha de 75Ω, para máxima eficiência em 2 GHz. Utilize um stub-único de derivação em circuito aberto e escolha a solução que proporciona a menor distância entre o amplificador e a linha.


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