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Aula 04Parte I

CURSO ON-LINE – MICROECONOMIA E FINANÇAS PÚBLICASFISCAL DE RENDAS DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO (ICMS/RJ)

PROFESSORES HEBER CARVALHO E SÉRGIO MENDES

Profs. Heber e Sérgio www.pontodosconcursos.com.br 1 de 62

AULA 04: PARTE I

Olá caros(as) amigos(as),

Dando prosseguimento ao nosso curso, hoje, daremos início à

teoria da firma. Estudar o comportamento da firma pressupõe estudar ocomportamento da produção e dos custos. Assim, é muito comum vermos

em muitos livros didáticos as terminologias teoria da produção e teoria

dos custos, sendo que estas duas, juntas, formam uma parte da teoriada firma. O restante seria composto pelo estudo da produção e custos nas

diversas estruturas de mercados (assunto da aula 05).

O arquivo desta aula será dividido em duas partes (partes I e II).Na parte I, estudaremos a produção. Na parte II, os custos. Acredito que

essa divisão facilitará o seu trabalho de organização do material.

E aí, prontos? Então, vamos lá!

1. TEORIA DA PRODUÇÃO

Nesta nossa primeira parte da aula, estudaremos a teoria daprodução em três etapas. Primeiro, teremos algumas noções básicas

sobre fatores de produção, função de produção e a diferenciação de curtoe longo prazo (itens 1.1, 1.2 e 1.3). Passadas tais noções, dividiremos o

estudo da produção em curto prazo (item 1.4) e longo prazo (1.5).

1.1. FATORES DE PRODUÇÃO

Para produzir os bens e serviços de que a sociedade dispõe para oseu consumo, as firmas utilizam vários recursos ou insumos. Elas utilizam

matéria-prima, mão-de-obra, máquinas, ferramentas, tecnologia, etc. Oconjunto destes recursos que as empresas utilizam na produção é

chamado de fatores de produção. Dentro do nosso estudo, temos,principalmente, três destes fatores de produção:

Capital;

Mão-de-obra e Tecnologia.

Capital, em Economia, tem o conceito um pouco diferente do que estamos acostumados em nosso dia-a-dia. Nas nossas vidas, quando

ouvimos a palavra capital, quase que imediatamente fazemos aassociação a dinheiro. No entanto, economicamente, Capital quer dizer,

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além de dinheiro, o conjunto de bens de que as empresas dispõem para

produzir. Assim, o estoque de capital de uma fábrica de automóveis seráo conjunto das instalações, máquinas, ferramentas, computadores,

material de escritório, enfim, tudo o que é utilizado na produção. Oestoque de capital de um curso para concursos públicos compreende as

salas de aula, as carteiras, mesas, quadro-negro, projetor multimídia,sistema de som, etc. Quanto mais estoque de capital (ou bens de capital)

tiver a economia, maior será a sua produção. O capital é representado

pela letra (K).

Mão-de-obra é o próprio trabalho. É representada pela letra (L),devido ao termo em inglês: Labour.

Tecnologia significa o estudo da técnica. Em Economia, ela

representa a forma como a sociedade vai utilizar os recursos existentes(capital e mão-de-obra) na produção de bens e serviços. Dependendo da

tecnologia, sociedades com pouca mão-de-obra e capital podem, de fato,ser mais produtivas e gerar mais bem-estar à sua população que outras

com mais mão-de-obra e capital disponíveis. Em nosso curso, seguindo oque é utilizado nos manuais de Economia, utilizaremos o fator de

produção tecnologia como uma variável constante, ou seja, que nãomuda.

1.2. A FUNÇÃO DE PRODUÇÃO1

No item anterior, vimos que, para produzir os bens e serviços que

são ofertados à sociedade, as firmas utilizam os chamados fatores deprodução. Dentre estes fatores de produção, aqueles mais relevantes

para o estudo econômico são: a mão-de-obra (L) e o capital (K). Sãoestes dois fatores que utilizaremos em nossas análises da teoria.

Em grande parte dos livros e questões de prova, as funções de

produção também são representadas pelas variáveis L e K (trabalho e

capital). No entanto, é importante que fique claro que isto é apenas umaconvenção. Assim, caso você encontre uma questão de prova que fale

que a produção é função dos fatores de produção 1 e 2, ou A e B; istonão deve ser motivo para que você se confunda. As mesmas conclusões

que serão observadas para L e K valem também para A e B, 1 e 2, X1 e X2, etc.

Outra observação que temos a fazer se refere ao fato de os fatores

de produção também podem ser chamados de insumos de produção, em

1 Neste item, veremos somente a principal função de produção (Cobb-Douglas) utilizada emconcursos. Depois, no item 1.6, estudaremos outros casos menos comuns.

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alusão ao fato de que é a partir deles que se origina a produção, como se

fossem insumos (e, na verdade, são!). Assim: fatores de produção =insumos de produção.

Desta forma, a produção da firma é função da mão-de-obra e do

capital existentes. Algebricamente, isto que eu acabei de dizer érepresentado desta maneira:

Q = f (L, K) ou

Y = f (L, K)

(Q) é a quantidade de produção e muitas vezes também pode serrepresentado por (Y). (L) é a quantidade de mão-de-obra. (K) é a

quantidade de capital. f significa “uma função de” e é empregado para

representar que há uma relação de dependência entre a produção (Q) e

os fatores de produção (L) e (K). Nota se eu dissesse que a produção (Q) é função dos fatores X1 e X2,

teríamos, algebricamente: Q = f (X1, X2).

Se a firma deseja alterar a sua produção (Q), ela terá que, oualterar o estoque de capital (K), ou alterar a quantidade de mão-de-obra

(L), ou alterar os dois, (K) e (L). Obviamente, isto tudo porque (Q) éfunção de (K) e (L): Q = f (K, L)

Aqui, lembro-lhes que estamos desconsiderando a tecnologia. Ou

melhor: estamos, na verdade, supondo que ela seja constante. Casocontrário, poderíamos, por exemplo, aumentar a produção (Q) com o

desenvolvimento de novas tecnologias, sem precisar alterar o capital ou a

mão-de-obra. A partir de agora, quando falarmos em mudanças, ora nocapital, ora na mão-de-obra, lembre sempre que estamos considerando a

tecnologia constante.

Apesar de sabermos que a produção (Q) é função do capital (K) eda mão-de-obra (L), ainda falta uma equação que nos mostre esta

relação de forma algébrica, matemática. Existe uma função que expressamatematicamente esta relação de dependência entre produção e os

fatores de produção mão-de-obra e capital. Esta função é conhecida comofunção de produção Cobb-Douglas e tem o formato abaixo:

Q = A.Kα.Lβ

Q é a produção. A é o parâmetro que mede a tecnologia,

considerada por nós como sendo constante. K é o capital. L é a mão-de-obra. α e β são números positivos.

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Na aula passada, em teoria do consumidor, nós vimos que, emquestões de prova, a função Cobb-Douglas era amplamente utilizada

pelos livros e pelas bancas de concurso para retratar a utilidade dosconsumidores. Aqui, na teoria da produção, a mesma situação é válida.

As bancas de concurso e livros em geral utilizam a função Cobb-Douglaspara descrever como se dá a produção das firmas.

Aqui no nosso estudo, como estamos supondo uma tecnologiaconstante, veremos somente as consequências de alterações no K e no L

para a produção. De fato, a maioria dos textos e questões de prova,utilizam o parâmetro tecnológico sendo igual a 1, de forma que a função

de produção Cobb-Douglas será Q=Ka.Lb.

Vejamos, agora, um pouco mais sobre esta função de produçãoCobb-Douglas, ora apresentada:

Paul Douglas foi professor de Economia e senador nos EUA entre as

décadas de 40 a 60. Em seus estudos, Douglas notou que, à medida quea produção da economia crescia, a renda dos trabalhadores (proprietários

do “L”) e a renda dos proprietários do capital (proprietários do “K”) cresciam na mesma proporção. Em outras palavras, se a produção da

economia, digamos, dobrasse, a remuneração dos trabalhadores e dos

proprietários do capital também dobrava.

Assim, Douglas perguntou a Charles Cobb, um matemático, sehaveria alguma equação ou função de produção capaz de garantir esta

propriedade ora descoberta. Daí, surgiu a função de produção Cobb-Douglas, em homenagem ao matemático e ao economista,

respectivamente.

No entanto, para que a propriedade descoberta por Douglas fosse

respeitada, seria necessário que (α+β), a soma dos expoentes, fosse igual a 1.

Veja, como exemplo, a função de produção abaixo, em que temos

(α + β)=1:

Q = 2. (K)0,5. (L)0,5

Agora, vamos calcular a produção considerando um estoque de

capital (K) de 9 máquinas e uma quantidade de mão-de-obra (L) de 4trabalhadores:

Q = 2. (9)0,5. (4)0,5 Não esqueça que X0,5 é o mesmo que ⁄ ou √

Q = 2. 3. 2 = 12 Produção = 12

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Vamos, agora, quadruplicar o estoque de capital e a quantidade detrabalhadores:

Q = 2. (4.9)0,5.(4.4)0,5

Q = 2. √ . √ Q = 2. 6. 4 = 48 Veja que 48 é o quádruplo de 12

Note que, ao quadruplicarmos o capital e a mão-de-obra, também

quadruplicamos a produção. Isto só foi possível porque (α+β)=1.

Nota: para que a produção quadruplique, é necessário que

quadrupliquemos os dois fatores de produção: a mão-de-obra e o capital.Se quadruplicarmos somente um dos fatores, a alteração na produção

não será na mesma proporção.

Em Economia, quando há esta situação, dizemos que a função deprodução apresenta rendimentos constantes de escala. Em outras

palavras, se capital e mão-de-obra forem aumentados na mesmaproporção, então a produção também aumenta nessa mesma proporção.

Algebricamente, isto é traduzido da seguinte maneira:

z.Q = A. (z.K)α. (z.L)β

ou

F(z.K, z.L) = A. (z.K)α. (z.L)β

Agora, o que aconteceria caso (α + β)≠1? Teríamos duas situações:

(α + β)<1 ou (α + β)>1

Veja as duas funções de produção abaixo:

Q1 = 2. (K)1. (L)1 (α + β) = 2 > 1 Q2 = 2. (K0,5). (L0,25) (α + β) = 0,75 < 1

Considerando um estoque de capital de 4 máquinas e 81trabalhadores, calculemos as respectivas produções:

Q1 = 2. (K). (L) = 2. 4. 81 = 648

Q2 = 2. (K0,5). (L0,25) = 2. √ . √

= 2. 2. 3 = 12

Vamos, agora, dobrar o estoque de capital e trabalhadores nas duas funções de produção:

Q1 = 2. (2.K). (2.L) = 2. 8. 162 = 2592

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Veja que 2592 é mais que o dobro de 648.

Q2 = 2. (2.K)0,5. (2.L)0,25 = 2. √ . √

= 20

Veja que 20 é menos que o dobro de 12.

Em Q1, onde (α + β)>1, quando dobramos o capital e a mão-de-obra, a produção quadruplicou (2592 / 648 = 4). Em Q2, onde (α + β)<1,

quando dobramos o capital e a mão-de-obra, a produção menos quedobrou (20 / 12 = 1,67).

A partir destes dados, podemos tirar as seguintes conclusões acercadeste da função de produção Cobb-Douglas:

Se (α+β)=1, temos rendimentos constante de escala. Isto significa

que se aumentarmos K e L em determinada proporção, Q aumentaránesta mesma proporção.

Se (α+β)>1, temos rendimentos crescentes de escala (ou

economias de escala). Neste caso, aumentos de K e L em determinadaproporção provocam aumentos de Q numa proporção maior.

Se (α+β)<1, temos rendimentos decrescentes de escala (oudeseconomias de escala). Aqui, aumentos de K e L em determinada

proporção provocam aumentos de Q numa proporção menor.

Nota: tais observações do quadro acima, só valem para funções dotipo Cobb-Douglas, com o formato: Q = A. Kα. Lβ. Observe que a

função Cobb-Douglas é multiplicativa, não há soma nem subtração.Veja, abaixo, alguns exemplos de funções do tipo Cobb-Douglas:

Q = 2.K (aqui L=1)

Q = 4.L (aqui K=1) Q = ½.K1/2.L3

Veja, agora, exemplos de funções que não são do tipo Cobb-Douglas:

Q = K + L

Q = K1/3 – K1/2 + L.K

Aqui na nossa abordagem da função de produção foi dada especial

atenção à função do tipo Cobb-Douglas. Devemos isto ao fato de ela sercondizente com dados reais de várias economias e ser um bom começo

acerca de como ocorre a produção de bens e serviços da economia ou adistribuição da produção entre capital e mão-de-obra. Além disto, e, é

claro, principalmente, muitas questões de prova em seus enunciadosapresentam esta função como representativa da produção, seja de uma

firma individual ou da economia de um país.

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1.3. CURTO PRAZO x LONGO PRAZO

Direto ao ponto, seguem as definições:

O curto prazo é definido como um período de tempo em queum dos fatores de produção (capital ou mão-de-obra) permanece

fixo, constante, inalterado. Por exemplo, uma situação em que o fator de

produção capital seja fixo e o fator de produção mão-de-obra sejavariável será considerada curto prazo.

O longo prazo é o período de tempo em que os dois fatores

de produção são variáveis.

Observe que esta distinção é meramente conceitual e não guardaqualquer relação com o tempo transcorrido no calendário. Por exemplo, o

dono de uma fábrica de sapatos pode demorar 10 anos até renovar o seucapital (estoque de máquinas). Deste modo, este período de 10 anos

significa curto prazo para esta fábrica.

Em contraste, para um banco comercial que, diariamente, aumentao seu estoque de capital (abertura de agências, caixas eletrônicos, etc) e

varia o seu estoque de mão-de-obra (contrata e demite trabalhadores),

dois dias já podem significar longo prazo, pois ele provavelmente varia ocapital e a mão-de-obra neste período.

Veja que, no economês, curto prazo pode significar bastante tempo

e longo prazo pode significar pouco tempo. Isto é, o tempo não importa, oimportante é saber se apenas um ou os dois fatores de produção variam.

Nota estes conceitos de curto e longo prazo se aplicam somente à

microeconomia (nosso curso!). Em macroeconomia, o referencial édiferente: curto prazo é quando os preços e/ou salários são rígidos; longo

prazo, quando os preços e/ou salários são variáveis.

1.4. PRODUÇÃO NO CURTO PRAZO (apenas um insumovariável)

Falar em produção no curto prazo significa falar em produção com

apenas um fator de produção variável.

Geralmente o estudo do curto prazo é considerado levando-se em

conta que apenas o fator de produção mão-de-obra seja variável,enquanto o fator de produção capital será fixo. Desta forma,

conseguiremos analisar as implicações de mudanças na produção

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provocadas somente por alterações em somente um dos insumos de

produção, no caso, o insumo mão-de-obra.

Quando o capital (K) é fixo, mas o trabalho (L) é variável, a únicamaneira de a empresa aumentar a produção é aumentando o insumo

trabalho (considerando a tecnologia constante). Em outras palavras, paraproduzir mais é condição obrigatória adquirir mais quantidades do insumo

mão-de-obra (ou seja, adquirir mais trabalhadores).

Ao decidir adquirir mais trabalhadores, a firma tem de comparar o

benefício que obterá em relação ao custo. Às vezes, ela olhará para obenefício e o custo em perspectiva incremental. Isto é, ela procurará

saber o quanto de produção adicional ela ganhará com a contratação deum trabalhador adicional.

Às vezes, ela fará comparações na média. Isto é, ela tentará

observar se a contratação de um trabalhador adicional aumenta, porexemplo, a produção média por trabalhador.

A partir das duas perspectivas apresentadas acima, devemos, neste

momento, apresentar dois conceitos muito importantes:

Produto marginal da mão-de-obra (PmgL): é o volume de

produção adicional gerado (ΔQ) ao se acrescentar 1 trabalhador(quando ΔL=1). A palavra “marginal” em Economês pode ser

pensada como “incremental”, “à margem de” e sempre significa o volume adicional sobre alguma coisa gerada pelo acréscimo de uma

outra coisa. Algebricamente, este conceito é representado assim:

Percebe-se que, dada uma função de produção qualquer, o produto

marginal da mão-de-obra será a derivada da produção em relação àvariável L.

Produto médio da mão-de-obra (PmeL): o PmeL é a produção

por trabalhador. Basta dividir a produção total pela quantidade detrabalhadores. Algebricamente, temos:

A fim de facilitar a visualização do nosso estudo, veja a tabela 1,abaixo, para uma determinada firma:

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Produção no curto prazo (só um insumo variável: a mão-de-obra)

Quantidade de

trabalhadores

(L)

Quantidade

de capital

(K)

Produção

(Q)

Produto

médio

(Q/L)

Produto

Marginal

(ΔQ/ΔL)

0 10 0 0 -

1 10 10 10 10

2 10 30 15 20

3 10 60 20 30

4 10 80 20 20

5 10 95 19 15

6 10 108 18 13

7 10 112 16 4

8 10 112 14 0

9 10 108 12 -4

10 10 100 10 -8 Tabela retirada da obra “Microeconomia”, Pindyck & Rubinfeld, 6ª. Edição.

Na primeira coluna, temos o número de trabalhadores, que varia de

unidade em unidade. Na segunda coluna, temos o estoque de capital queé fixo, já que estamos trabalhando no curto prazo (apenas o insumo

trabalho varia). Na terceira coluna temos a produção total. Esta produçãototal é apresentada em forma de unidades produzidas. Veja que não

estamos falando em Receita (a receita é o número de unidades

produzidas multiplicado pelo preço. Esqueça o preço, por enquanto). Aquarta coluna apresenta os produtos médios, que é a produção total

dividida pelo número de trabalhadores empregados. Por último, a quintacoluna apresenta a produção adicional em virtude da contratação de 1

trabalhador adicional, o produto marginal da mão-de-obra.

Analisando os dados fornecidos pela tabela, observa-se que aintrodução do 1º trabalhador na produção fez com que esta aumentasse

de 0 para 10, portanto, um acréscimo de 10. Com a utilização de 2trabalhadores, a produção muda de 10 para 30, um acréscimo de 20

unidades na produção. Com 3 trabalhadores, o acréscimo é de 30 (aprodução passa de 30 para 60). O acréscimo na produção pode ser

acompanhado na quinta coluna, pelo produto marginal da mão-de-obra.

Até esse momento, em que proporção capital/trabalhador era

grande, os acréscimos na produção eram crescentes. A partir do 4ºtrabalhador, a produção aumenta a taxas decrescentes (ou seja, a

produção continua aumentando, porém os acréscimos na produção sãodecrescentes), porque a quantidade de capital (máquinas, terra,

ferramentas, etc) que cada trabalhador tem para trabalhar é cada vezmenor. Esta redução relativa da proporção do capital em relação à mão-

de-obra atinge seu ápice quando é contratado o 9º trabalhador, que

Aula 04Parte I




passa a atrapalhar os outros em vez de ajudar, devido à limitação da

quantidade de capital existente. Em decorrência, a partir do 9ºtrabalhador (inclusive), contratações adicionais terão o efeito de diminuir

a produção em vez de aumentar.

Mas... Por que isto ocorre?

Isto ocorre devido à lei dos rendimentos marginais

decrescentes, que estatui: à medida que aumentamos o uso dedeterminado fator de produção, mantendo-se os outros insumos de

produção constantes, chegamos a um ponto em que a produção adicionalresultante começa a decrescer.

Nota 1: a lei dos rendimentos marginais decrescentes também pode

ser chamada de lei da produtividade marginal decrescente ou aindalei das proporções variáveis. Veja que a análise aqui é bastante

semelhante àquela realizada no item 1.2 da aula 02, ondeestatuímos a lei da utilidade marginal decrescente (à medida que se

aumenta o consumo, a utilidade adicional ou a utilidade marginalcomeça a decrescer, indicando que a utilidade marginal é

decrescente).

A lógica desta lei é a seguinte: quando há poucos trabalhadores,

dada uma quantidade de capital existente, pequenos incrementos naquantidade de mão-de-obra geram substanciais aumentos no volume de

produção. Entretanto, quando mais e mais trabalhadores são contratados,entra em cena a lei dos rendimentos marginais decrescentes. Quando

houver funcionários em demasia, alguns se tornarão menos eficientes e oproduto marginal da mão-de-obra apresentará uma queda. Dito de outra

maneira: à medida que aumentamos a quantidade de trabalhadores, enão aumentamos o capital (máquinas, espaço físico, instalações, etc),

aqueles começam a “bater cabeça” entre si e a atrapalhar uns aos outros.

Nota 2: é importante não confundir a lei dos rendimentos marginaisdecrescentes com alterações na qualidade da mão-de-obra. Em

nossa análise, presumimos que as unidades do insumo trabalho sãohomogêneas, possuem a mesma qualidade; assim, os rendimentos

decrescentes resultam de limitações no uso do capital, que se

mantém inalterado, e não do fato de que os últimos trabalhadorescontratados são piores que os primeiros. Também não confunda

rendimentos decrescentes com retornos negativos. A lei dosrendimentos decrescentes descreve um produto marginal

declinante, mas não necessariamente um produto marginalnegativo.

Aula 04Parte I




A

Quantidade detrabalhadores

(L)

Produção (Q)

60 Fig. 1

3

Produção total

0

B

8

112

Vejamos abaixo o gráfico da produção em função da quantidade de

trabalhadores, de acordo com os dados da tabela 1:

Até a utilização do 3º trabalhador (inclusive), a produção aumenta ataxas crescentes. Quando isto acontece, a concavidade da curva é voltada

para dentro (para a esquerda), conforme vemos no segmento que vai doponto 0 ao ponto A da curva. Isto porque neste trecho (de 0 a 3

trabalhadores) o produto marginal da mão-de-obra é crescente, comovimos na tabela 1. Uma vez que a inclinação da curva de produção é dada

pela sua derivada (inclinação=dQ/dL=PmgL), nós sabemos que se ainclinação é crescente de L=0 até L=3, isto só é possível porque o PmgL

(inclinação da curva de produção) é crescente de L=0 até L=3, uma vezque a inclinação da curva de produção é dada pelo produto marginal do

fator de produção variável.

A partir do ponto A, à medida que aumentamos o número de

trabalhadores, entra em ação a lei dos rendimentos marginaisdecrescentes. Assim, a produção continua a aumentar, porém a taxas

decrescentes entre os pontos A e B. Como ela aumenta a taxasdecrescentes neste trecho, a concavidade é voltada para fora (para a

direita). Isto acontece porque, do ponto A ao B, o produto marginal damão-de-obra é decrescente, porém, preste bem atenção, apesar do PmgL

(produto marginal da mão-de-obra) ser decrescente, ele ainda é positivo.Ou seja, aumentos na quantidade de trabalhadores ainda geram aumento

da produção.

A contratação do 8º trabalhador (ponto B) não gera nenhumacréscimo na produção. O produto marginal da mão-de-obra neste trecho

é nulo, é igual a 0. Desta forma, concluímos que quando o PmgL=0, aprodução é máxima. Isto é facilmente visualizável através do cotejo

entre a tabela e a figura.

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Nota 3: na aula 01, nós aprendemos que o máximo de uma funçãopode ser descoberto quando derivamos esta função e igualamos o

seu resultado a ZERO. Na aula 02, por meio dessa conclusão, vimosque a utilidade do consumidor é máxima quando a utilidade

marginal é igual a ZERO (item 1.2, aula 02). Aqui, o raciocínio ésemelhante: como o PmgL é a derivada da produção em relação a L

(PmgL=dQ/dL), então, a produção (Q) será máxima quando a sua

derivada em relação a L é igual a ZERO. Em outras palavras:

QMÁX quando PmgL=0

A partir do 8º trabalhador, ao aumentarmos a quantidade detrabalhadores, caminhamos para a direita do ponto B. O PmgL continua

decrescendo devido a lei dos rendimentos marginais decrescentes.

Como no ponto B o produto marginal da mão-de-obra é igual aZERO e, a partir deste, ele continua decrescendo quando se contrata mais

trabalhadores, o PmgL começará a assumir valores negativos. Destaforma, a partir do 8º trabalhador (linha tracejada do gráfico), se a firma

continuar contratando mão-de-obra, a produção irá cair, pois cada

trabalhador adicional causa diminuição na produção.

Isto tudo acontece, vou repetir, porque o fator de produção capitalé considerado fixo, estamos, portanto, no curto prazo. Desta forma, vale

a lei dos rendimentos marginais decrescentes. À medida que aumentamosa quantidade de mão-de-obra, o capital permanecendo fixo, cada

trabalhador adicional tende a contribuir cada vez menos para a produçãototal. Isto (o outro fator de produção permanecer fixo) é a condição

fundamental para tudo o que foi dito acima.

Vejamos agora outro gráfico. Desta vez, vamos representar osprodutos médio e marginal da mão-de-obra em função da quantidade de

trabalhadores. O gráfico está de acordo com os dados da tabela 1:

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A


(L)

Produção portrabalhador

10

Fig. 2

3 0 8

30

20

10

B

C

Produto Marginal (PmgL)

Produto Médio (PmeL)

4

Tanto a curva do produto marginal da mão-de-obra como a curva

do produto médio da mão-de-obra são crescentes no início, atingem ummáximo e, em seguida, passam a decrescer. O valor máximo de PmgL é

de 30 unidades, quando são empregados 3 trabalhadores. O valor

máximo de PmeL é de 20 unidades, quando 4 trabalhadores sãoutilizados. Confira também na tabela 1.

Diante da tabela, dos conceitos e dos dois gráficos apresentados

podemos apresentar como válidas as seguintes relações:

a) A produção total cresce enquanto o PmgL é positivo vejana tabela 1: o PmgL é positivo até L=8, no trecho de L=0 a L=8,

a produção total cresce. A partir de L=9, o PmgL é negativo, e aprodução total começa a decair.

b) A produção total decresce enquanto o PmgL é negativo

é a negação da afirmativa a).

c) Quanto o PmgL=0, a produção total é máxima veja na

tabela 1 e no gráfico da figura 1: o PmgL é nulo quando L=8.Exatamente para esta quantidade de trabalhadores temos a

produção máxima.

d) O PmgL atinge o seu máximo para o mesmo número detrabalhadores em que a produção total muda a direção da

concavidade da curva o PmgL atinge o seu valor máximo,

que é de 30 unidades, exatamente quando ele deixa de sercrescente e passa a ser decrescente. Isto ocorre no ponto A das

figuras 1 e 2, a uma quantidade de trabalhadores L=3. O pontoA da figura 1 também é o ponto em que a produção total muda a

A

Quantidade de trabalhadores

(L)

Produção por trabalhador

10

Fig. 2

30 8

30

20

10

B

C

Produto Marginal (PmgL)

Produto Médio (PmeL)

4

Aula 04Parte I




concavidade da curva, deixando de ser crescente e passando a

ser decrescente. Também veremos a razão mais à frente.

e) Enquanto o PmgL for maior que PmeL, este último écrescente isto acontece pois a produção adicional gerada por

um trabalhador causa alterações na produção média. Assim, se a

produção adicional de um novo trabalhador é maior que aprodução média, ela vai puxar a produção média para cima. Esta

relação pode ser visualizada na figura 2. Observe que até oponto B, o PmgL é maior que PmeL. Neste trecho, o PmeL é

crescente, até o ponto em que PmgL e PmeL se igualam.

f) Quando PmgL e PmeL forem iguais, PmeL é máximo ponto B da figura 2.

g) Enquanto o PmgL for menor que PmeL, este último é

decrescente isto acontece pois, neste caso, a produção

adicional gerada por um trabalhador adicional é menor que aprodução média. Logo, a produção adicional deste novo

trabalhador vai puxar a produção média para baixo. Isto podeser visualizado na figura 2. Observe que, caminhando para a

direita a partir do ponto B, o PmgL é sempre menor que o PmeL.Da mesma forma, PmeL é decrescente.

Bem pessoal, tentem fazer um esforço para entender o formato das

curvas apresentadas nas figuras 1 e 2, de modo que o entendimento dasrelações acima apresentadas irá se tornar mais fácil (ou menos difícil).

Creio que a melhor forma de assimilar este assunto é através da

visualização mental dos gráficos. Guardando-os na cabeça tudo fica mais

fácil. Assim, aconselho a ler as relações várias vezes, sempreacompanhando nas figuras, de forma que aquelas “entrem” na cabeça

através da imagem dos gráficos.

É muito importante ressaltar que este processo de produção nocurto prazo é a regra geral: inicialmente, temos um produto marginal

crescente para pequenas quantidades de emprego do fator variável;depois, na faixa relevante de emprego do fator variável, temos um

produto marginal decrescente. Assim, mesmo que uma tecnologia deprodução obedeça à lei dos rendimentos marginais decrescentes, nós

podemos entender que isso não será válido para qualquer quantidade deemprego (qualquer valor de L) do fator variável. Em algum nível de L,

teremos rendimento marginal crescente.

Se nós tivermos uma tecnologia de produção em que o produto

marginal do fator variável seja decrescente para toda a faixa de

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(L)

Fig. 3

Produção total

0

Produção (Q)

produção, nós dizemos que essa produção apresenta rendimento marginal

estritamente decrescente, ou ainda, que o produto marginal deste fatorde produção variável é estritamente decrescente. O uso da palavra

“estritamente” nos sugere que, em nenhum trecho ou nível de produçãopositivo (que seja acima de zero), teremos produto marginal crescente.

Ou seja, supondo K fixo e L variável, se L tem rendimento marginalestritamente decrescente, isto significa que o produto marginal da mão-

de-obra será estritamente decrescente (sempre decrescente). Veja um

exemplo:

O produto marginal da mão-de-obra da tecnologia2 de produção

acima retratada é estritamente decrescente. Veja que em qualquer trechoda curva de produção, a inclinação (que é o próprio PmgL) é decrescente.

Se nos aventurarmos a fazer um gráfico do PmgL, como fizemos na figura02, sua curva será decrescente em toda a extensão (não será um “U”

invertido como está na figura 02, mas sim uma curva negativamente

inclinada em toda a sua extensão de emprego, sendo similar a uma curvade demanda, por exemplo).

Nota 4: Da mesma maneira que foram conceituados o produto

marginal da mão-de-obra (PmgL) e o produto médio da mão-de-obra (PmeL), podemos derivar, usando o mesmo raciocínio, dois

conceitos semelhantes, desta vez, envolvendo o insumo Capital (K):

Produto marginal do capital (PmgK): é o acréscimo na produção(ΔQ) ocasionado pelo acréscimo de uma unidade de capital (quando

ΔK=1). Algebricamente:

2 Quando falamos tecnologia de produção, entenda que estamos falando de um determinado tipode produção, de modo bastante genérico. Em muitos livros acadêmicos, a teoria da produção éencontrada em capítulos com o título “Tecnologia”.

Aula 04Parte I




A

Qtde de trab (L)

Produção (Q)

60

Fig. 4

3

Produção total

0

B

8

112

PmgL PmeL

4

ESTÁGIO I ESTÁGIO II ESTÁGIO III

ESTÁGIO I ESTÁGIO II ESTÁGIO III

Limite do intensivo(PmgL=0)

Limite do extensivo(PmgL=PmeL) e(PmeL é máx)

Produto médio do capital (PmeK): é a produção total dividida

pelo estoque de capital. Algebricamente:

PmeK = Q.K-1

Finalizando este tópico, ressalto que as conclusões observadas paraL e K são também válidas para outras representações dos fatores de

produção. Assim, se tivermos uma função de produção (Q) com os

insumos/fatores de produção X1 e X2 (em vez de K e L), logicamente,teremos também que: PmgX1=dQ/dX1, PmgX2=dQ/dX2, PmeX1=Q/X1,

PmeX2=Q/X2. Considerando, por exemplo, que X1 seja fixo e X2 sejavariável, QMÁX quando PmgX2=0. Note que as conclusões são

rigorosamente as mesmas vistas para os fatores K e L, mudamos apenasas nomenclaturas das variáveis. Portanto, não se assuste ao se deparar

com questões que tragam outras variáveis que não sejam K e L.

1.4.1. Os três estágios de produção

As relações entre produto total, médio e marginal são usadas para

definir os três estágios da produção, conforme vemos na figura 04 (os

dados são referentes à mesma tecnologia de produção da tabela 01 dapágina 09):

Aula 04Parte I




Estágio I:

O estágio I compreende o conjunto de valores do fator de produção

variável no qual o seu produto médio é crescente. Ou seja, é o trecho emque os rendimentos médios do insumo variável são crescentes. À medida

que o empresário aumenta a quantidade de mão-de-obra (que é o fatorvariável no nosso exemplo da tabela 01), sua produtividade média

aumenta. Veja que no estágio I, de L=0 a L=4, a curva do PmeL é

crescente, indicando que o PmeL também é crescente.

Neste estágio, o produtor sempre terá incentivos a aumentar aquantidade do fator de produção variável, tendo em vista que sua

produtividade média aumenta. Isto significa dizer que o produtor racionaljamais operaria neste estágio, pois se é possível aumentar a

produtividade média contratando mais trabalhadores, isto significa que ofator de produção fixo não está sendo utilizado em sua plenitude, pois se

o estivesse, o aumento da quantidade de trabalhadores provocariaredução da produtividade média por trabalhador. Sei que isso parece

confuso, e realmente é...rs! Mas entenda que se a firma pode aumentar aprodutividade média contratando mais trabalhadores, isto significa que

não está sendo extraído o máximo possível dos fatores de produção queestão disponíveis. Se tivéssemos na melhor situação possível (com todos

os fatores sendo plenamente utilizados), a contratação de mais

trabalhadores teria que reduzir a produtividade média.

Suponha uma fábrica que esteja contratando mais trabalhadorespara a sua linha de produção. Seus fatores de produção são mão-de-obra

e capital (máquinas) e este último é o fator fixo. Se o aumento donúmero de trabalhadores fizer aumentar a produtividade média da mão-

de-obra, isto significa que as máquinas não estão/estavam sendoplenamente utilizadas. Se a firma estivesse operando em uma situação

“ótima”, com todo o fator de produção fixo sendo utilizado ao máximo,não seria possível aumentar a produtividade média da mão-de-obra,

mantendo o fator capital fixo.

Estágio III:

O estágio III compreende o conjunto de valores de produto

marginal negativo, ou de declínio no produto total. No estágio III, oprodutor também não operaria, pois as unidades adicionais do fator de

produção variável (o PmgL) causam um declínio no produto total. Logicamente, o produtor não vai operar onde o acréscimo de

trabalhadores gera decréscimo de produção total (PmgL<0).

Nós dizemos que, no estágio III, o fator variável é combinado como fator fixo em proporções não econômicas. Por exemplo, se uma fazenda

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possui muitos trabalhadores para um pequeno pedaço de terreno, as

unidades adicionais de produto de cada trabalhador (PmgL) podem sernegativas. Neste caso, isto significa que o fator de produção fixo (a terra)

é utilizado intensivamente. O ponto de produto marginal zero (é o pontoque marca o início do estágio III) para o fator variável é chamado de

limite do intensivo. Em contrapartida, de forma análoga, o ponto quemarca o fim do estágio I é chamado de limite do extensivo.

Estágio II:

Já sabemos que a produção não ocorre nos estágios I e III, então,logicamente, ela só poderá ocorrer no estágio II, entre os limites do

extensivo e intensivo, ou entre o ponto de máximo do produto médio atéo ponto de produto marginal nulo.

1.5. PRODUÇÃO NO LONGO PRAZO (dois insumos variáveis)

Até o presente momento em nosso estudo, trabalhamos com ahipótese do curto prazo (apenas um dos insumos varia). A partir de

agora, levaremos em conta também a variação do insumo capital.

Conforme sabemos, a produção da firma (Q) é função dos fatores

de produção capital (K) e mão-de-obra (L). Neste tópico, analisaremosalguns importantes aspectos levando em conta mudanças nestes dois

fatores de produção e, para isto, teremos de aprender alguns novosconceitos bem como recorrer à análise gráfica.

1.5.1. Isoquantas

Na figura 5, temos um diagrama (espaço dos insumos) que contém

os dois fatores de produção que determinam a produção: capital e mão-de-obra. No eixo das abscissas (eixo horizontal) temos a quantidade de

mão-de-obra expressa em quantidade de trabalhadores. No eixo dasordenadas, temos a quantidade de capital expressa em unidades físicas

(número de máquinas).

Considere a curva convexa Q1=100. Ao longo desta curva, cada

combinação de mão-de-obra (L) e capital (K) produz 100 unidades de

produção. Em outras palavras, as combinações de capital e mão-de-obranos pontos A (LA, KA), ponto B (LB, KB) e ponto C (LC, KC) geram as

mesmas 100 unidades de produção. Como todos os pontos ao longo dacurva Q1=100 geram a mesma produção, essa curva é chamada de

isoquanta (iso=igual; quanta=quantidade).

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Mão-de-obra(trabalhadores)

Capital(unidades físicas)

Figura 5

Q1=100

Q2=150

Q3=200

A

B

C

D

E

LA LB LC

KA

KB

KC

Além da isoquanta Q1=100, são mostradas na figura as isoquantas

Q2=150 e Q3=200. Por estarem mais altas que a isoquanta Q1, estasisoquantas representam níveis mais altos de produção. Logo, isoquantas

mais altas indicam níveis maiores de produção. Isto pode ser comprovadoquando mantemos, por exemplo, a mão-de-obra constante em LC. Ao

mesmo nível de mão-de-obra (LC), isoquantas mais altas estão

relacionadas a maiores quantidades de capital, indicando assim maiorprodução à mesma quantidade de mão-de-obra.

As isoquantas são bastante semelhantes às curvas de indiferença.

Como vimos no nosso último encontro, a curva de indiferença descreve asdiferentes cestas de consumo exatamente suficientes para produzir um

determinado nível de utilidade. As isoquantas, por outro lado, mostram ascestas de quantidades de fatores de produção suficientes para produzir

um determinado nível de produção.

Como já sabemos bastante sobre as curvas de indiferença, não serádifícil entender como funcionam as isoquantas.

1.5.1.1. Inclinação, convexidade e a taxa marginal desubstituição técnica (TMgST) das isoquantas

Vejamos agora o que determina a inclinação e a convexidade destas

isoquantas. Observe a figura 6:

Mão-de-obra (trabalhadores)


Figura 5

Q1=100

Q2=150

Q3=200

A

B

C

D

E

LA LBLC

KA

KB

KC

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Capital(unidades físicas) Figura 6

A

B

C

D

E

LA LB LC

KA

KB

KC

KD

KE

LD LE

ΔK

ΔL

ΔL

ΔL

ΔL

ΔK

ΔK

ΔK

A inclinação da isoquantaem todos os pontos é dadapor ΔK/ΔL.

Em primeiro lugar, fazendo uma breve revisão de álgebra, devemoster em mente que a inclinação de uma curva em gráfico é variável, isto é,

muda ao longo da curva. A inclinação será dada pela tangente à curva emcada ponto designado. Por exemplo, no ponto A, a inclinação é dada pela

tangente exatamente naquele ponto. A tangente (cateto oposto/catetoadjacente), por sua vez, em cada ponto, é igual ΔK/ΔL.

Observe que quando nos movemos do ponto A para o ponto B, a

diminuição do capital (ΔK=KB-KA) foi compensada por um aumento namão-de-obra (ΔL=LB-LA), para que nos mantivéssemos no mesmo nível

de produção (mesma isoquanta). Quando nos movemos do ponto B parao C, ocorre a mesma coisa, só que, desta vez, precisamos de mais mão-

de-obra (ΔL=LC-LB) para compensar uma perda até menor de capital

(ΔK=KC-KB). Do ponto C para o D, ocorre o mesmo fenômeno. Do ponto Dpara o ponto E, precisamos de um grande aumento de mão-de-obra para

compensar uma pequena perda de capital, de forma que ΔK/ΔL será um número bem pequeno (veja que do ponto A ao B, ΔK/ΔL é um número

mais alto que o ΔK/ΔL do ponto D ao E).

No ponto A da isoquanta, onde a curva é bastante acentuada ou

vertical (inclinação elevada; ΔK/ΔL elevado), um declínio dado no capital pode ser acompanhado por um modesto aumento na mão-de-obra. No

ponto E, a curva da isoquanta é relativamente plana (inclinação baixa;ΔK/ΔL baixo). Essa inclinação mais plana significa que um mesmo declínio

no capital requer um aumento bem maior na mão-de-obra para que aprodução fique constante. O declínio no capital permitido por um aumento

dado na mão-de-obra a fim de que a produção mantenha-se constante é

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chamado de taxa marginal de substituição técnica3 (TMgST) entre

mão-de-obra e capital. Algebricamente, a TMgST pode ser definidacomo:

TMgSTL,K = ΔK com a produção (Q) constante

ΔL

A TMgST mede o intercâmbio entre dois fatores de produção (no

nosso caso ou exemplo, ela mede o intercâmbio entre o capital e a mão-

de-obra). Ela mede a taxa à qual as empresas devem substituir uminsumo (fator de produção) por outro para manter constante a produção.

A TMgST será sempre negativa. Isto porque o numerador ΔK (KFINAL

– KINICIAL) é sempre negativo quando caminhamos da esquerda para a direita na curva. Se caminharmos da direita para a esquerda, o ΔL (LFINAL

– LINICIAL) será sempre negativo. Assim, a TMgST é negativa.

Perceba também que a TMgST é decrescente. Do ponto A ao B,

temos uma TMgST certamente maior, em valor absoluto, que 1 (ΔK > ΔL). Do ponto D ao E, entretanto, temos um TMgST certamente menor,

em valor absoluto, que 1 (ΔK < ΔL).

Isto acontece porque, quando o capital é intensivamente

empregado (ponto A), os poucos trabalhadores remanescentes efetuamtrabalhos mais difíceis e importantes. Neste ponto é necessário muito

capital para substituir um trabalhador. Quando a mão-de-obra éintensiva, e o capital não é muito prevalecente (ponto E), qualquer capital

adicional substituirá muita mão-de-obra. A regra é a seguinte: o quetemos em muita quantidade será pouco valorizado e o que temos em

pouca quantidade será mais valorizado. Desta feita, quando temos muitocapital e pouca mão-de-obra, é normal que demos mais valor à mão-de-

obra (entregamos bastante capital em troca de pouca mão-de-obra –

ponto A da figura 06). Quando temos muita mão-de-obra e pouco capital,ocorrerá o contrário (entregamos bastante mão-de-obra em troca de

pouco capital – ponto E da figura 06).

Outro ponto não menos importante é notarmos que a TMgST

(ΔK/ΔL) é o termo que define a inclinação da isoquanta (veja oapontamento na figura 6). Assim, como TMgST é decrescente, a

inclinação também será. Veja que, no ponto A, a inclinação da isoquanta

3 Aqui, a única diferença de nomenclatura para o que define a inclinação das curvas de indiferença,estudadas na teoria do consumidor, é a palavra técnica ao final do termo. Assim, na teoria doconsumidor, temos a taxa marginal de substituição definindo a inclinação da curva de indiferença.Na teoria da produção, temos a taxa marginal de substituição técnica definindo a inclinação daisoquanta.

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Mão-de-obra

Capital

Figura 7

a) Produção com usointensivo de mão-de-obra

Mão-de-obra

ΔL=1

ΔK ΔL=1

b) Produção com usointensivo de capital

ΔK

O insumo mão-de-obra é muitoimportante: 01 unidade de mão-de-obra custa bastante ΔK

O insumo mão-de-obra é poucoimportante: 01 unidade de mão-de-obra custa pouco ΔK

é bastante alta (mais vertical), já no ponto E, a inclinação é bastante

baixa (mais horizontal). Assim, por conseguinte, em A, a TMgST é alta, e,em B, a TMgST é baixa, indicando que ela decresce ao caminharmos para

a direita (ela decresce em valores absolutos, isto é, se não considerarmoso sinal negativo que a TmgST possui).

A inclinação da isoquanta nos dá ideia do modo de produção da

firma. Dependendo de como for a isoquanta, podemos saber se a firma

utiliza, preponderantemente, capital ou mão-de-obra. Veja a figura:

No gráfico da esquerda, em que a isoquanta é mais inclinada ou

vertical, percebemos que a firma pode abrir mão de grande quantidade decapital (ΔK grande) em troca do acréscimo de pouca quantidade de mão-

de-obra (ΔL pequeno) e, mesmo assim, manter a produção no mesmo nível (mesma isoquanta). Isso indica que a produção baseia-se na

utilização intensiva de mão-de-obra. Temos como exemplo desse tipo de

firma os cursinhos para concurso, onde a utilização do insumo mão-de-obra (professor) é mais importante e crucial que a utilização de capital.

No gráfico da direita, em que a isoquanta é mais horizontal ou

menos inclinada, percebemos que a firma, para abrir mão de pequenaquantidade de capital (ΔK pequeno), exige grande quantidade de mão-de-

obra (ΔL grande) para compensar a perda. Isto significa que a produção baseia-se na utilização intensiva de capital. Temos como exemplo a

produção de alimentos em grandes fazendas de agricultura mecanizada,que envolve substanciais investimentos de capital, tais como prédios,

armazéns, máquinas, com relativamente pouco emprego do trabalho.

Assim como a curva de indiferença, a isoquanta é uma curvaconvexa, mas fique atento: quando falamos que a isoquanta ou a curva

de indiferença é convexa, estamos falando que a convexidade é voltada

Mão-de-obra

Capitala) Produção com uso intensivo de mão-de-obra

Mão-de-obra

ΔL=1

ΔKΔL=1

b) Produção com uso intensivo de capital

ΔK

O insumo mão-de-obra é muito : 01 unidade de mão-de-

O insumo mão-de-obra é pouco : 01 unidade de mão-de-

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100 150 200

50

75

100 Custos=$2000

Custos=$1500

Custos=$1000

A’

A

B

C

B’ C’

X

Y

L X L Y

K X

K Y

Figura 8

Linhas de isocustos (W=10 por trabalhador; preço do capital (C)=20).

para a origem do gráfico. Caso você se depare com alguma questão de

prova falando que as isoquantas são côncavas para cima, você deveconsiderar tal assertiva correta. Na verdade, a questão está falando que a

concavidade (buraco) da curva é para cima. Ora, se a concavidade é paracima, obrigatoriamente, a convexidade será voltada para baixo, indicando

que a afirmação é correta. Só houve mudança do referencial adotado.

Por fim, é bom que você saiba que, em algumas obras, é usado

também outro termo para se referir à taxa marginal de substituiçãotécnica: taxa técnica de substituição (TTN).

1.5.2. Linhas de isocustos

A linha de isocustos é uma reta sobre a qual os custos da firma são

constantes para diversas combinações de capital e mão-de-obra. Suponha

uma firma que pague aos seus funcionários o salário de $10 e tenhaunidades de capital no valor de $20. O custo do trabalhador é, portanto,

W=10 (usa-se W devido ao termo em inglês Wage=salário) e o custo docapital é C=20. Veja as linhas de isocustos abaixo, supondo custos totais

da firma nos valores de $1000, $1500 e $2000:

A linha AA’ representa custos totais de $1000. Isto significa que qualquer combinação de capital e mão-de-obra que esteja sob esta linha

representará custos totais de $1000 para a firma. No ponto A’, a firma

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poderia contratar 100 trabalhadores ($1000/10) e incorrer em custos

totais de $1000 se não utilizasse capital. No ponto A, a firma pode utilizar50 unidades de capital ($1000/20) a custo total de $1000 se não utilizar

mão-de-obra. Nos pontos X e Y temos outras combinações de mão-de-obra e capital que geram os mesmos $1000 de custos totais.

Da mesma forma, a linha BB’ representa todas as combinações de capital e mão-de-obra que geram custos totais de $1500. A linha CC’,

todas as combinações de capital e mão-de-obra que geram custos totaisde $2000. Veja que quanto mais alta a linha de isocustos, mais altos

serão os custos totais da firma. Quanto mais baixa, menores serão oscustos totais.

Bem, acredito que já tenha ficado claro o conceito de linhas deisocustos, certo?! Agora vamos nos ater à sua inclinação. Como ela é

determinada? Todas as linhas de isocustos possuem uma equação que as

representa. Esta equação possui o seguinte formato:

CT = W.L + C.K

CT é o custo total. L é quantidade de trabalhadores (quantidade doinsumo/fator mão-de-obra). W é o salário (preço/custo do fator/insumo

mão-de-obra). C é o custo da unidade do fator/insumo capital. K é aquantidade de capital. Vejamos quais as equações das linhas de isocustos

AA’, BB’, CC’:

Isocustos AA’: 1000 = 10L + 20K 20k = 1000 – 10L K = 50 – ½.L

Isocustos BB’: 1500 = 10L + 20K 20K = 1500 – 10L K = 75 – ½.L

Isocustos CC’: 2000 = 10L + 20K 20K = 2000 – 10L K = 100 – ½.L

Veja que a única diferença entre as equações são os termos 50, 75e 100. Estes termos são chamados de interceptos da linha de isocustos.

São nestes pontos que a linha de isocustos intercepta o gráfico no eixo Y(eixo onde está o capital), daí o nome “intercepto”. Veja que as linhas

AA’, BB’ e CC’ interceptam o eixo do capital em 50, 75 e 100, respectivamente.

Observe que, em todas as equações das linhas de isocustos, otermo que multiplica a variável L (variável do eixo X) é -½ ou -0,5. Este

termo, -½, significa a inclinação da linha de isocustos. Observe que todasas linhas de isocustos do nosso gráfico possuem a mesma inclinação.

Desta forma, o termo que multiplica o L nas equações deve ser igual paratodas elas. Assim, vem o mais importante: é este termo que determina a

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Mão-de-obra(horas)

100 150 200

50

75

100 Custos=$2000

Custos=$1500

Custos=$1000

A’

A

B

C

B’ C’

X

Y

Figura 9

Linhas de isocustos (W=10; preço do capital (C)=20) e isoquanta Q 1.

Z

ISOQUANTA Q 1

Q 1

Q 1

inclinação da linha de isocustos e ele é igual à divisão do custo da mão-

de-obra (W) pelo custo do capital (C).

Daí, podemos concluir que a inclinação da linha de isocustos é

dada por -W/C (é a razão entre os preços dos fatores deprodução). Como em nosso exemplo, os fatores de produção são mão-

de-obra e capital, e o preço da mão-de-obra é $10 e o preço do capital é$20, a inclinação será -$10/$20 = -½.

1.5.3. Ótimo (equilíbrio) da firma no longo prazo

Supondo um nível de produção Q1 da firma, ela maximizará seuslucros quando, a este nível de produção, minimizar os custos totais.

Assim, a condição de maximização de lucros, a este nível de produçãoque está sendo suposto, acontecerá quando a isoquanta que contém este

nível de produção Q1 tocar a linha de isocustos mais baixa possível. Vejaa figura 9:

Ao nível de produção Q1, a firma maximizará os lucros no ponto X,que é o ponto em que a isoquanta Q1 raspa, toca ou tangencia a linha de

isocustos BB’. Veja que nos pontos Y e Z, ao mesmo nível de produção

(mesma isoquanta), os custos totais são de $2000. Por outro lado,mantendo o nível de produção, não é possível produzir Q1 a custos totais

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Ao invés de multiplicarmos,invertemos a fração e a operação(multiplicação por divisão).

PmgL

PmgK

Inclinação da ISOQUANTA

Inclinação da LINHA DE ISOCUSTOS

de $1000, pois a isoquanta Q1 não toca a linha de isocustos de $1000,

sendo impossível produzir Q1 a custos de $1000.

Isso quer dizer que, dada uma isoquanta Q1, a firma atinge seu

ótimo ou ponto de equilíbrio quando esta isoquanta tangencia a linha deisocustos mais baixa (menores custos totais). Ao mesmo tempo, dada

uma linha de isocustos qualquer, a firma atinge seu ótimo ou ponto deequilíbrio quando esta linha de isocustos tangencia a isoquanta mais alta

possível (maior produção).

Bem, já entendemos que o ponto X é o ponto onde a firma produzQ1 ao menor custo possível, certo?! Agora, precisamos determinar esta

condição de forma algébrica, matemática, pois é assim que é cobrada em

provas.

No ponto X, a inclinação da isoquanta é igual à inclinação da linha

de isocustos. Assim, basta igualarmos os termos que determinam ainclinação de ambas. Esta igualdade nos dará o ótimo da firma supondo o

nível de produção Q1 e os preços da mão-de-obra e capital $10 e $20,respectivamente:

TMgSTL,K = ΔK = W ótimo da firma ΔL C

Mas veja que podemos manipular o ΔK/ΔL, de forma que, ainda assim, manteremos a igualdade:

ΔK = ΔK/ΔQ = ΔK . ΔQ = ΔQ . ΔK = ΔQ / ΔQ

ΔL ΔL/ΔQ ΔQ ΔL ΔL ΔQ ΔL ΔK

Concluímos então que TMgST (ΔK/ΔL) é a razão entre as

produtividades marginais dos fatores de produção (no nosso caso, éa razão entre a produtividade marginal da mão-de-obra e do capital,

PmgL=PmgK). Isto porque ΔQ/ΔL é o produto marginal da mão-de-obra(PmgL) e ΔQ/ΔK é o produto marginal do capital (PmgK).

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Custo marginal da mão-de-obra ousimplesmente: preço da mão-de-obra

Custo marginal do capital ousimplesmente: preço do capital

Podemos reescrever assim a condição de equilíbrio (ótimo), dadauma produção Q1 e os preços do capital e mão-de-obra C e W:

PmgL = W

PmgK C

Nota: fique atento, pois temos os produtos marginais e preços deum fator de produção na mesma linha. Por exemplo, observe que nos

numeradores, temos produto marginal e preço da mão-de-obra. Nodenominador, o mesmo, só que em relação ao capital. Isto porque

ΔK/ΔL=PmgL/PmgK. Ou seja, na hora que nós manipulamos algebricamente a TmgST (ΔK/ΔL), ocorre a mesma mudança que nós

vimos na estudo da teoria do consumidor. No lado esquerdo da equação,temos K do lado de cima. No lado direito da equação da TmgST, temos o

L do lado de cima (PmgL/PmgK).

W é o preço do insumo mão-de-obra ou, ainda, pode ser

denominado o custo marginal4 da mão-de-obra (acréscimo no custo totaldecorrente da aquisição de mais uma unidade de mão-de-obra), enquanto

C é o preço do capital ou, ainda, o custo marginal do capital (acréscimono custo total decorrente da aquisição de mais uma unidade de capital).

Assim, temos que, dada uma produção Q1 e os preços da mão-de-

obra (W) e do capital (C), a firma minimizará o custo de produçãoquando ela utilizar capital e mão-de-obra até o ponto em que seus

custos marginais relativos5 sejam apenas iguais às suasprodutividades marginais relativas. Ou ainda, de modo mais

simples, podemos dizer que a firma atinge o equilíbrio quando arazão entre as produtividades marginais de mão-de-obra e capital

seja igual à razão de seus preços.

4 Próxima aula, veremos de forma mais apropriada o conceito de custo marginal, mas, pelo menosagora, atenha-se somente ao conceito que está dentro dos parênteses: custo marginal é o acréscimono custo total decorrente da aquisição de mais uma unidade de mão-de-obra. Por exemplo, qual ocusto marginal (custo adicional) da contratação de um 01 trabalhador? Seu custo adicional(marginal) será o seu próprio salário (W). O mesmo se aplica ao fator de produção capital. O seucusto marginal será o seu preço (C). As ideias aqui estão bastante simplificadas, mas nos servemneste momento.

5 Custos marginais relativos significam a relação (fração) entre os custos marginais: CmgX1/CmgX2.

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ATENÇÃO: a condição acima exposta é a condição de equilíbrio (ótimo)

da firma no longo prazo para uma restrição de custo que nos é imposta.Isto não quer dizer que a firma obrigatoriamente maximiza o lucro

quando PmgL/PmgK=W/C. Então, não confunda o que foi explicado nesteitem com maximização de lucros, pois são coisas diferentes. Esse

assunto, a maximização de lucros, será visto na aula 05.

1.5.3.1. Calculando o ótimo da firma

Para calcularmos o ótimo da firma, podemos utilizar o método dolagrangiano ou a própria condição de equilíbrio da firma, de modo

semelhante ao que fizemos na teoria do consumidor. Vejamos esteexercício, (quase) igual ao resolvido na aula passada:

(AFC-STN-2005-ESAF-Adapatda) Considere o seguinte

problema de otimização da firma em Teoria da Produção:Maximizar Q = X.Y

Sujeito ao custo 2.X + 4.Y = 10 Onde Q = função de produção;

X = quantidade do fator de produção X; Y = quantidade do fator de produção Y.

Com base nessas informações, as quantidades dos insumos

X e Y que maximizam a produção da firma são,respectivamente:

a) 8 e 0,5 b) 1 e 2

c) 2 e 1 d) 1,25 e 2,0

e) 2,5 e 1,25

Resolução:

A questão nos deu uma função de produção do tipo Cobb-Douglas(função mais utilizada em provas de concursos). Observe que a questão

também não usou K e L como variáveis dos fatores de produção, mas simX e Y. Isso não muda em nada a resolução da questão. Basta aplicar o

que foi aprendido para K e L, só que agora usando para X e Y.

Na função de produção da questão, temos X (que é a quantidade do

fator X) e Y (que é a quantidade do fator Y). Na equação do custo,podemos identificar que PX=2 e PY=4, enquanto o custo total CT=10.

Veja que o formato da equação do custo total para o nosso problema éeste: PX.X + PY.Y = CT

Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange:

Aula 04Parte I




A primeira maneira de resolvermos o problema é através do uso domultiplicador de Lagrange. Faremos igual ao que fizemos na aula

passada.

Primeiro, escrevemos o lagrangiano do problema. O lagrangiano é afunção a ser maximizada (neste caso, queremos maximizar a produção Q)

mais uma variável (que chamaremos de λ lê-se lambda) multiplicada

pela restrição (aqui, o custo total). Então, o lagrangiano será:

L = Q(X,Y) – λ.(PX.X + PY.Y – CT)

Nota a equação do custo total é PX.X + PY.Y = CT. Se colocarmostodas as variáveis do mesmo lado, temos PX.X + PY.Y – CT = 0 (é a parte

esquerda da equação que irá para a fórmula do lagrangiano)

Assim, para a nossa questão, teremos que maximizar L. Segue o

nosso lagrangiano (L) já com os dados da questão:

L = XY - λ.(2X + 4Y - 10)

Segundo, para resolver, devemos derivar L em função de X, derivarL em função de Y e derivar L em função de λ. Devemos igualar todas

essas derivadas a 0. Assim:

( ) ( )

( )

( )

( )

Se simplificarmos as equações (2), (3) e (4), teremos:

Terceiro, substituímos os valores de X e Y na equação 4 para

acharmos o valor de λ:

( ) ( )

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Quarto, substituímos o valor de λ nas equações (2) e (3), achando,

assim, finalmente, as quantidades de X e Y que representam asquantidades ótimas dos insumos X e Y:

Assim, as quantidades dos insumos X e Y são, respectivamente, 2,5e 1,25.

Utilizando a condição de equilíbrio da firma:

Outra maneira de resolvermos a questão é através da condição deequilíbrio da firma, onde sabemos que a inclinação da isoquanta é igual à

inclinação da linha de isocustos. Assim:

( )

Nota alerto novamente: ao montar a condição de equilíbrio

(expressão em negrito), tenha em mente que teremos, na mesma linhada fórmula, o produto marginal e o preço do mesmo fator de produção.

Por exemplo, na linha de cima (nos numeradores), colocamos tudo emrelação ao X. Na linha de baixo (nos denominadores), colocamos tudo em

relação ao Y.

Façamos os cálculos para calcular os produtos marginas de X e Y

(lembre que Q=XY):

Substituindo os valores dos produtos marginais e os preços em (1),

teremos:

Substituindo o valor de X na equação do custo total, teremos:

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( )

Como X=2Y, então X=2,5. Assim, as quantidades de X e Y são 2,5 e

1,25.

Ou seja, encontramos a mesma cesta de fatores de produçãoencontrada utilizando o método do lagrangiano.

Utilizando o bizú para as funções de produção Cobb-Douglas:

Na aula 02, nós vimos que, quando a função utilidade era do tipo

Cobb-Douglas, havia um bizú para se chegar rapidamente ao resultadoótimo do consumidor. No caso de funções de produção Cobb-Douglas,

podemos aplicar a mesma regra.

A quantidade ótima de uso do fator de produção X será o expoentede X sobre a soma dos expoentes de X e Y multiplicado pelo custo total

dividida pelo preço de X. O mesmo raciocínio se aplica ao Y. A quantidade

ótima de Y será o expoente de Y sobre a soma dos expoentes de X e Ymultiplicado pelo custo total dividido pelo preço de Y. Veja

Sabemos, pelos dados da questão, que PX=2, PY=4, CT=10, a=1 eb=1 (a é o expoente de X e b é o expoente de Y). Vejamos:

Para funções de produção Cobb-Douglas (que é a maioria dos

casos), esse método é o melhor e o mais rápido.

1.6. FUNÇÕES DE PRODUÇÃO E ISOQUANTAS NOS CASOSESPECIAIS

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No item 1.2, nós estudamos o principal tipo de função de produção:

a função Cobb-Douglas. Já no item 1.5.1, nós vimos como são asisoquantas. No entanto, as isoquantas que nós estudamos (inclinação

decrescente, determinada pela TMgST, convexa, etc) representam o casogeral, o caso comum.

Da mesma maneira que ocorre na teoria do consumidor, o caso

geral destas isoquantas comuns (convexas, inclinação

negativa/decrescente, etc) acontece quando elas são oriundas de funçõesde produção Cobb-Douglas. Assim, quando temos funções de produção

Cobb-Douglas, as isoquantas serão obrigatoriamente naquele formatoconvencional que aprendemos.

Entretanto, nós temos dois casos especiais em que o caso geral não

se aplica: função de produção de proporções fixas e de insumossubstitutos perfeitos.

1.6.1. Proporções fixas (fatores de produção sãocomplementos perfeitos)

Suponha que uma firma funerária que presta serviços a um

cemitério tenha como produto a “fabricação” de buracos, sendo que a

única forma de produzir um buraco é com o emprego de dois insumos deprodução: homem (mão-de-obra) e pá (capital). Para produzir (fazer um

buraco), é necessário um homem e uma pá. Pás extras não têmserventia, já que o homem só usa uma pá para cavar o buraco. Ao

mesmo tempo, homens extras também não têm serventia, uma vez queeles só podem cavar se houver pás suficientes (uma para cada homem).

Deste modo, o número de buracos que se pode obter será o valor

mínimo entre o total de homens e o total de pás. Neste caso, a função deprodução será:

Q (K, L) = mín {K, L}

Esta função de produção se aplica no caso dos insumos de produção

serem complementos perfeitos (também é conhecida por função de

produção de Leontief). Isto é, quando, para produzir, a firma devecombinar os insumos em proporções fixas (ressalto que não necessita ser

na proporção de 1 para 1).

Outro exemplo: um show de televisão envolve determinadaquantidade de capital (máquinas, câmeras, etc) e de mão-de-obra

(atores, diretores, cinegrafistas). Para aumentar o número de shows, afirma deve aumentar proporcionalmente todos os insumos de produção.

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Mão-de-obra

capital

Fig. 10

Quando os dois fatores deprodução são complementosperfeitos, a firma deveráaumentar a quantidade dosinsumos em proporçõesfixas, caso queira aumentar aprodução. Neste caso, asisoquantas terão o formatode um L.

Não adiantará nada construir novos estúdios e comprar equipamento se

não houver contratação de mais mão-de-obra. Ao mesmo tempo, nãoadiantará contratar mais mão-de-obra, se não houver ampliação da

quantidade de capital.

Segue o formato das isoquantas quando os fatores de produção sãocomplementos perfeitos (temos a função de produção de proporções

fixas, onde acréscimos apenas de trabalho, ou apenas de capital, não

aumentam a produção):

Nota se os insumos não forem complementares perfeitos (forem,por exemplo, complementares imperfeitos, onde a complementaridade

não é perfeita), as isoquantas tenderão ao formato convencional(convexas, inclinação decrescente).

Se uma questão de prova lhe der uma situação em que você tenha

que montar uma função de produção de Leontief, tenha em mente que,dentro das “{ }”, você deve colocar o valor unitário de cada fator de

produção citado pela questão.

Por exemplo, se uma questão de prova falar que, para produzir um

show musical, a firma necessita utilizar conjuntamente os seguintesfatores de produção: 06 caixas de som acústicas, 03 DJs e 02 cantores.

Esse show musical pode ser representado pela seguinte função deprodução de proporções fixas:

Q = mín {Cx/6, DJ/3, Ct/2}

Onde Cx é o número de caixas de som, DJ é o número de DJs e Ct é

o número de cantores. Veja que nós dividimos (não se deve multiplicar!)os insumos de produção pelos números mínimos de quantidades de que

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trabalho

capital

Fig. 11

Quando os dois fatores de produçãosão substitutos perfeitos, a TMgST éconstante e as isoquantas serãolinhas retas.

necessitamos. Por exemplo, se você tiver 24 caixas de som, 06 DJs e 02

cantores, quantos shows musicais poderá fazer? Há caixas de somsuficientes para 4 shows (4=24/6), DJs suficientes para 2 shows (2=6/3)

e cantores suficientes para 1 show (1=2/2), portanto, você poderia fazer01 show, que foi o valor mínimo encontrado.

1.6.2. Fatores de produção substitutos perfeitos

Suponha que uma firma de venda de tickets (ingressos) em

estádios de futebol tenha a possibilidade de usar guichês convencionaiscom atendentes (mão-de-obra) recebendo o dinheiro e entregando o

ingresso, ou ainda utilizar máquinas (capital) que façam a mesma coisa(recebam o dinheiro e entreguem o ingresso).

Neste caso, os insumos de produção são perfeitamente substituíveis

dentro do processo de produção da firma. Para vender os ingressos, essafirma poderá contratar vários trabalhadores (adquirir o fator de produção

mão-de-obra) ou ainda comprar várias máquinas de venda (adquirir ofator de produção capital). Neste caso, a produção desta firma dependerá

da quantidade total dos fatores de produção, não importando se haverámais capital ou mais mão-de-obra. Assim, a função de produção terá o

seguinte formato:

Q (K, L) = a.K + b.L

Onde K e L são os fatores de produção e a e b são constantes

positivas. Para este tipo de função de produção, a TMgST será constante.Como a TMgST é a própria inclinação da isoquanta, então, temos,

obrigatoriamente, que a inclinação da isoquanta será constante. Ou seja,a isoquanta será uma reta:

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Nota se os insumos não forem substitutos perfeitos (forem, porexemplo, substitutos imperfeitos, onde a substituição não é perfeita), as

isoquantas tenderão ao formato convencional (convexas, inclinaçãodecrescente).

1.7. RENDIMENTOS DE ESCALA

No item 1.2, nós tivemos alguma noção sobre o que são

rendimentos de escala. Agora é hora de melhorarmos esse entendimento:

Rendimentos de escala: referem-se à proporção de aumento doproduto quando os insumos aumentam proporcionalmente entre si.

Pode haver três casos (em todos eles, vamos supor que estamos

dobrando ao mesmo tempo todos os fatores de produção):

Rendimentos crescentes de escala (ou economias de escala):se a produção cresce mais do que o dobro quando se dobram todos

os insumos, então há rendimentos crescentes de escala. Neste

caso, vale a pena aumentar a quantidade dos fatores de produção eoperar em escala maior (isto é, operar com grande quantidade de

fatores de produção – grandes empresas). Quando temosrendimentos crescentes de escala, é mais vantajoso ter uma grande

empresa produzindo do que ter muitas empresas pequenas. É ocaso da prestação de serviços de utilidade pública, por exemplo

(companhias de energia elétrica, gás, saneamento, etc).

Rendimentos constantes de escala (ou retornos constantesde escala): se a produção dobra quando se dobram todos os

insumos, então há rendimentos constantes de escala. Neste caso, éindiferente aumentar a quantidade dos fatores de produção e operar

em escala maior ou aumentar o número de empresas operando emescala menor. Ou seja, o tamanho da empresa não influencia a

produtividade dos insumos. É o caso das agências de viagem, por

exemplo.

Rendimentos decrescentes de escala (ou deseconomias deescala): se a produção aumenta em menos que o dobro quando se

dobram os insumos, então há rendimentos decrescentes de escala.A existência de rendimentos decrescentes está ligada a problemas

de administração e coordenação das tarefas dentro de umaempresa. É uma situação em que há alguma falha na coordenação

das atividades de produção, caso contrário não teríamos essasituação em que aumentamos proporcionalmente todos os insumos,

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capital

Figura 10

Se, à medida que aumentamos aprodução em proporções iguais, oespaço entre as isoquantas é igual,então, temos rendimentos constantesde escala. No caso acima,aumentamos a produção de 10 em 10e o espaço entre as isoquantas éigual, indicando que o aumento dosinsumos trabalho e capital também foiproporcional.

20

10

Se, à medida que aumentamos aprodução em proporções iguais, oespaço entre as isoquantas diminui,então, temos rendimentos crescentesde escala. No caso acima,aumentamos a produção de 10 em 10e o espaço entre as isoquantasdiminuiu, indicando que estaprodução aumentou por intermédiode um aumento em menor proporçãodos insumos capital e trabalho.

trabalho

30

10

20 30

mas a produção aumenta em proporção menor. Como a existência

de rendimentos decrescentes está ligada a problemas deadministração e coordenação, é mais comum que ocorra em

empresas com operações em grande escala, onde é mais provávelque ocorram tais problemas.

Os rendimentos de escala variam substancialmente entre as

empresas e até mesmo entre os setores de produção. Por exemplo,

empresas do tipo indústria têm maior probabilidade de apresentarrendimentos crescentes de escala (economias de escala) do que empresas

do setor de serviços, pois a atividade industrial exige vultososinvestimentos em equipamentos (capital). Assim, na indústria, a compra

de uma máquina moderna (aumento do fator de produção capital) juntocom o aumento de mão-de-obra pode aumentar bastante a produção da

firma.

Por outro lado, as empresas do setor de serviços geralmenteoperam com rendimentos de escala menores que as indústrias. Assim,

para aquelas, trabalhar com poucos insumos de produção (poucostrabalhadores e máquinas) pode ser tão eficiente quanto trabalhar com

muitos fatores de produção.

Podemos inferir algumas conclusões a partir da disposição das

isoquantas:

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trabalho

capital Se, à medida que aumentamos aprodução em proporções iguais, oespaço entre as isoquantasaumenta, então temos rendimentosdecrescentes de escala. Ao lado,aumentamos a produção de 10 em10 e o espaço entre as isoquantasaumentou, indicando que aprodução aumentou por intermédiode um aumento em maior nível dosinsumos capital e trabalho.

30

20

10

1.8. O GRAU DE HOMOGENEIDADE DAS FUNÇÕES DE

PRODUÇÃO

Em primeiro lugar, não vou me ater ao fato do que é ou não é, doponto de vista matemático, uma função homogênea. Apenas tenha em

mente que as funções de produção abarcadas nas questões de concurso

são homogêneas, ok?! Mesma que a questão não diga nada, as funçõesde produção são sempre homogêneas. Aliás, de fato, tal informação não

muda em nada a nossa análise.

Apenas estou trazendo à luz tal fato para que você não estranhecaso apareça algum enunciado de questão dizendo que a função é

homogênea. Muitos podem se assustar e achar que isso (a função serhomogênea) é uma exceção ou um caso diferente. Fique tranquilo, isso

não muda em nada o que estudamos nesta aula.

Este item consta de nossa aula porque algumas bancas, às vezes,nos pedem para informar, a partir da função de produção, se a produção

apresenta rendimentos constantes, crescentes ou decrescentes de escala.Para tirarmos alguma conclusão sobre os rendimentos de escala,

devemos saber o grau de homogeneidade da função de produção.

Assim, teremos o seguinte:

GRAU DE HOMOGENEIDADE SITUAÇÃO

ENTRE GRAU 0 E 1 Rendimentos DECRESCENTES

GRAU 1 Rendimentos CONSTANTES

GRAU MAIOR QUE 1 Rendimentos CRESCENTES

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Tão importante quanto conhecer isso aí acima é saber como

descobrir o grau de homogeneidade das funções de produção. Quandotivermos funções Cobb-Douglas (Q=Ka.Lb), é bastante fácil; basta

somarmos os expoentes a e b. Por exemplo, veja os graus dehomogeneidade das funções homogêneas de produção abaixo:

Q=3KL2 grau 3 (a=1 e b=2) rendimentos crescentes (economias

de escala)

Q=K1/2L1/2 grau 1 (a=½ e b=½) rendimentos constantes

Q=K1/3L1/3 grau 0,66 (a=0,33 e b=0,33) rendimentos

decrescentes (deseconomias de escala)

Quando a função é do tipo Cobb-Douglas, portanto, tudo é muitotranquilo. O maior problema reside quando a função não é do tipo Cobb-

Douglas. Nestes casos, existe um bizú. Os retornos de escala estãorelacionados com o aumento da produção em virtude do aumento da

quantidade de insumos. Se dobrarmos a quantidade de insumos e aprodução mais que dobrar, teremos retornos crescentes de escala. Se, em

vez de dobrarmos a quantidade de insumos, triplicarmos,quadriplicarmos, ou multiplicarmos por uma constante λ (λ pode assumir

qualquer valor) e a produção (Q) aumentar mais que λ multiplicada por

Q, teremos retornos crescentes. Se a produção aumentar menos que λ multiplicada Q, teremos retornos decrescentes; se a produção aumentar

no mesmo valor que λ.Q, há rendimentos constantes. Ao mesmo tempo, ao terminarmos o procedimento, o expoente de λ será o grau de

homogeneidade da função de produção.

Tentemos descobrir o grau de homogeneidade das seguintesfunções:

a) Q=3L + 2K (multiplicaremos todos os insumos por λ)

Q’=3(λL) + 2(λK) Q’=λ(3L + 2K)

Q’=λQ

A nova produção (Q’) é exatamente a antiga multiplicada por λ.

Logo, conclui-se que há rendimentos constantes de escala, poismultiplicaram-se os insumos por λ e a produção resultante foi

Qλ. Como o expoente de λ, ao final do procedimento, é igual a 1, podemos também afirmar que a referida função de produção

possui grau de homogeneidade igual a 01.

b) Q=(2L + 2K)1/2 Q’=[2.(λL) + 2.(λK)]1/2

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Q’=[λ.(2L + 2K)]1/2

Q’=[λ1/2.(2L + 2K)1/2] Q’=λ1/2.(2L + 2K)1/2

Q’=λ1/2.Q

A nova produção (Q’) é exatamente a antiga multiplicada porλ1/2. Logo, conclui-se que o grau de homogeneidade da função

de produção é ½ (expoente de λ) e temos rendimentos

decrescentes de escala (deseconomias de escala).

c) Q=K2 + L2

Q’=(λK)2 + (λL)2

Q’=λ2(K2 + L2) Q’=λ2.Q

A nova produção Q’ é exatamente a antiga multiplicada por λ2. O

grau da função é 2 (expoente de λ) e temos rendimentos crescentes de escala (economias de escala).

d) Q=K2/L2

Q’=(λK)2/(λL)2

Q’=λ2K2/λ2L2

Q’=λ2-2.K2/L2

Q’=λ0Q Q’=Q

A nova produção Q’, mesmo após multiplicarmos todos os

insumos por λ, não mudou de valor (Q=Q’). Isto acontece por que o expoente de λ é igual a 0, ou seja, a função é homogênea

de grau 0. Também, como o grau é menor que 1, temosrendimentos decrescentes de escala (deseconomias de escala).

Os casos acima, repito, são de funções que não são do tipo Cobb-

Douglas. Se tivermos funções Cobb-Douglas, o procedimento é somar osexpoentes dos insumos e verificar se é igual, menor ou maior que 01.

Caso apareça alguma função que não seja Cobb-Douglas, aí, o melhor éfazer como postado acima.

Nota: as funções de produção de Leontief, do tipo Q=min{K, L}, deproporções fixas, são homogêneas de grau um, sempre. Isto quer dizer

que se dobrarmos os fatores de produção, a produção também dobrará.Logo, todas as funções de produção de Leontief, para insumos

complementos perfeitos, possuem rendimentos constantes de escala.

1.9. ELASTICIDADE DE SUBSTITUIÇÃO

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Q1=100

A

B

C

5 10 20

20

10

5

Conforme sabemos, elasticidade significa “sensibilidade”. A elasticidade de substituição mede a sensibilidade com que com que a taxa

marginal de substituição técnica de capital por trabalho varia ao nosmovermos ao longo de uma isoquanta. É uma medida numérica que pode

nos ajudar a descrever a oportunidade de substituição entre os fatores deprodução da empresa.

O movimento ao longo da isoquanta é dado pelas mudanças narelação capital-trabalho, K/L. Por exemplo, na figura 11, ponto A, a

relação capital-trabalho é alta. Já no ponto B, esta relação é mais baixa,no ponto C, K/L é menor ainda.

Algebricamente, a elasticidade de substituição, em geralrepresentada por σ (lê-se “sigma”), mede a variação percentual na

relação capital-trabalho para cada variação de um ponto percentual naTmgST, conforme nos movemos ao longo de uma isoquanta.

Matematicamente,

(

)

Em geral, a elasticidade de substituição pode variar de 0 ao infinito.Nós podemos inferir algumas conclusões a partir do valor de σ.

Se σ=0, por exemplo, nós sabemos que não há qualqueroportunidade de substituição entre os fatores de produção da empresa, e

Mão-de-obra (trabalhadores)


Q1=100

A

B

C

5 10 20

20

10

5

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isto ocorre quando eles são complementos perfeitos e a função de

produção de Leontief (a isoquanta é um “L”).

Se σ=∞, nós sabemos que as oportunidades de substituição entreos fatores de produção são infinitas, ou seja, a possibilidade de

substituição é total. Neste caso, em que σ=∞, nós sabemos que os fatores são substitutos perfeitos e a função de produção é linear (a

isoquanta é uma reta).

Em relação à elasticidade de substituição, há ainda um caso

especial que merece ser comentado. É o caso das funções de produçãoCobb-Douglas (Q=A.Ka.Lb). Esse tipo de tecnologia de produção apresenta

elasticidade de substituição constante e igual a uma unidade (σ=1).

Nota: não faremos a demonstração algébrica de por que todafunção de produção Cobb-Douglas apresenta σ=1. Esse assunto, apesar

de constar no edital, nunca vi ser cobrado em prova de concurso. Assim,acredito que não valeria a pena gastarmos mais de uma folha com

algebrismos desnecessários, apenas para concluir que a elasticidade desubstituição das funções Cobb-Douglas é igual a 1.

Resumindo, então, sobre a elasticidade de substituição:

Tecnologia de produção Elasticidade de substituição

Proporções fixas σ=0

Substitutos perfeitos σ=∞

Cobb-Douglas σ=1

Por fim, ressalto que, em qualquer dos casos acima, a elasticidade

de substituição será constante. Ou seja, não mudará qualquer que seja acombinação de insumos utilizada.

Bem pessoal, com isso, terminamos a primeira parte desta aula.

Abraços e até a próxima!

Heber [email protected]

mailto:[email protected]

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EXERCÍCIOS COMENTADOS

01. (FGV - ICMS/RJ – 2010) A função de produção Q=f(l, k)=(la+ka)b é tal que:

(A) exibe retornos decrescentes de escala se α + β < 1. (B) exibe retornos crescentes de escala se αβ > 1.

(C) o produto marginal de l é αβQlα–1. (D) o produto médio de l é Qlα–1.

(E) exibe retornos crescentes de escala se β/α > 1.

COMENTÁRIOS: Temos três alternativas que tratam dos retornos de escala. Tentemos,

então, verificar se a função possui retornos constantes, crescentes oudecrescentes de escala. Para isso, temos que verificar o grau de

homogeneidade da função (bizú do item 1.8 da aula). Multiplicando osfatores de produção por uma variável t qualquer, temos:

Q’=[(t.l)a + (t.k)a]b

Q’=[ta.la + ta.ka]b

Q’=[ta.(la + ka)]bQ’=[tab.(la + ka)b]

Q’=tab.Q

Após multiplicarmos os fatores de produção por t, a nova produção (Q’) será a produção antiga (Q) multiplicada por tab. Conforme vimos no item

1.8, o expoente de t nos dá o grau de homogeneidade da função. Assim,esta função de produção é homogênea de grau ab. Se ab=1, teremos

rendimentos constantes de escala, se ab<1, rendimentos decrescentes deescala, se ab>1, rendimentos crescentes de escala. Portanto, correta a

alternativa B.

O produto médio de l é Q/l. Ou seja, é Ql-1 (incorreta alternativa D).

Em relação ao cálculo do produto marginal desta função de produção, já

adianto que não é algo com que você deva se preocupar, até porque oacerto/erro da questão não depende deste resultado. O PmgL é a

derivada de Q em relação a L (PmgL=dQ/dL). Entretanto, devemosutilizar uma regra muito específica de cálculo de derivadas (pois a FGV

deu uma função de produção bem incomum) para chegar ao valor doPmgL.

Nota o cálculo é apenas um esclarecimento. Não recomendo, de forma

alguma, aprofundar o nível de cálculo visando a estas provas de economia

da área fiscal e de gestão. Nem em provas para economista, eu vi algumaquestão que cobrasse esse nível matemático. Mesmo nessa prova da FGV,

tal conhecimento não era decisivo para acertar a questão.

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(fg)' = g.fg–1.f' + fg.log f.g' (onde f’ e g’ são as derivadas das funções f e g)

Na nossa questão, f=(la+ka) e g=b, f’=df/dl e g’=dg/dl. Assim:

PmgL=dQ/dl=[(la+ka)b]’

PmgL=b.(la+ka)b-1.a.la-1 + 0

PmgL= [b.(la+ka)b.a.la-1]/(la+ka) PmgL= abQla-1/(la+ka) (incorreta a assertiva C)

GABARITO: B

02. (FGV - ECONOMISTA Jr. - POTIGÁS - 2006) - Os fatores de

produção são constituídos por dádivas da natureza, pelapopulação economicamente mobilizável, pelas diferentes

categorias de capital e pelas capacidades tecnológica eempresarial. Assinale a alternativa que exemplifica o fator de

produção capital. a) sistemas instalados de saúde, inovações

b) sistemas de distribuição de energia, clima c) aeroportos, edifícios de uso militar

d) capacitação para pesquisa e desenvolvimento, invenções

e) máquinas utilizadas em atividades extrativas, flora

COMENTÁRIOS: a) Sistemas instalados de saúde capital

Inovações tecnologia

b) Sistemas de distribuição de energia capital

Clima não é fator de produção

c) Os dois são “capital”.

d) Capacitação para pesquisa e desenvolvimento tecnologiaInvenções tecnologia

e) Máquinas capital Flora em muitos livros, seria conceituado como sendo o fator “recursos

naturais”.

GABARITO: C

03. (FGV – ECONOMISTA – BADESC – 2010) - A fabricação de umdeterminado suco tropical é composta de duas partes de goiaba

(g), três partes de caju (c), uma parte de maracujá (m) e quatro

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partes de abacaxi (a). Assim, a função de produção y que

representa a produção desse suco é dada por: (A) y = 2g + 3c + m + 4a

(B) y = g/2 + c/3 + m + a/4 (C) y = max (2g, 3c, m, 4a)

(D) y = max (g/2, c/3, m, a/4) (E) y = min (g/2, c/3, m, a/4)

COMENTÁRIOS: Em primeiro lugar, devemos ter ciência que se trata de uma tecnologia de

produção de proporções fixas, onde os insumos devem ser combinadosconjuntamente para que seja possível produzir. Neste tipo de produção, a

função de produção usada é a de Leontief.

Conforme visto no item 1.6.1, nós devemos dividir os insumos deprodução de forma que tenhamos somente os valores unitários de cada

insumo na função de produção. Assim, devemos dividir g por 2 (g/2), cajupor 3 (c/3), maracujá por 1 (m/1) e abacaxi por 4 (a/4). A função de

produção será:

y = min (g/2, c/3, m, a/4)

GABARITO: E

ANPEC/2011 - Sobre a Teoria da Produção analise as afirmativas

abaixo:

04. A função de produção que exibe retornos constantes de escalaé uma função homogênea do grau 0.

COMENTÁRIOS:

Para exibir retornos constantes de escala, o grau de homogeneidade deveser igual a 1, e não igual a 0.

GABARITO: FALSO

05. Suponha uma função de produção do tipo Cobb-Douglas,

sendo os coeficientes técnicos a e b, tal que a+b>1. A elasticidade

de substituição desta função de produção também é superior àunidade.

COMENTÁRIOS:

Se a função de produção é Cobb-Douglas, então, a elasticidade desubstituição será igual a 1, independentemente dos valores dos

coeficientes técnicos a e b (são os expoentes de K e L).

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GABARITO: FALSO

ANPEC/2010 - Uma empresa produzindo bolas de futebol possui

função de produção Q = 2(KL)½. Suponha que no curto prazo aquantidade de capital é fixa em K = 100, e seja L a quantidade de

trabalho. Responda V ou F às seguintes alternativas:

06. Esta função de produção possui produto marginal decrescente

para o trabalho;

COMENTÁRIOS: Nós sabemos que, regra geral, o produto marginal do insumo variável (no

caso, o insumo variável é o trabalho, já que o K é fixo, em 100 unidades)é decrescente. Para conferir e ter a certeza, podemos calculá-lo

matematicamente e verificar:

Pelo resultado do PmgL (10/L½), percebe-se que sempre que

aumentarmos o emprego de L, mantendo o capital fixo em 100 unidades,haverá redução de PmgL. Ou seja, o PmgL é decrescente.

GABARITO: VERDADEIRO

07. Esta função de produção possui retornos constantes de escala.

COMENTÁRIOS: Esta função de produção é Cobb-Douglas. Então, o seu grau de

homogeneidade é dado pela soma dos expoentes de K e L, que é½+½=1. Logo, ela possui retornos constantes de escala (= rendimentos

constantes de escala).


ANPEC/2008 - Considere a tecnologia representada pela função

de produção ( ) (

)

em que p ≥ −1 e K, L>0.

Julgue as afirmações:

08. Essa tecnologia possui retornos constantes de escala.

COMENTÁRIOS:

Para sabermos se a função possui retornos constantes de escala(rendimentos constantes de escala), devemos saber seu grau de

homogeneidade. Para isso, vamos multiplicar os insumos K e L por t:

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(

)

(

( )

( ) )

(

)

[ (

)]

( ) (

)

(

)

A nova produção, Q´, é igual à antiga multiplicada por t1 (Q´=Q.t1). Ouseja, o grau de homogeneidade é igual a 1, e a produção possui retornos

constantes de escala.


09. (ESAF - ANALISTA – ECONOMIA - MPU – 2004) - Considere a

função de produção dada pela expressão a seguir: Y = k.Ka.L1-a , onde Y = produção; K = capital; L = trabalho; k e a

constantes e 0 < a < 1. A produtividade média do capital serádada por

a) k.(K/L)1-a

b) k.(L/K)

c) k.(K/L) d) k.(L/K)1-a

e) k.(L/K)a

COMENTÁRIOS: A produtividade média é Y/K (ou Y.K-1) . Assim,

(

)

Aula 04Parte I




La-1 =La .L-1 L-1 =1/L Q

(

)

GABARITO: D

10. (ESAF - ANALISTA – ECONOMIA - MPU – 2004) - Considere a

função de produção dada pela expressão a seguir Y = k.Ka.Lb

onde Y = produção; K = capital; L = trabalho; k e a e b constantes.Essa função é homogênea de grau

a) a. b) a + b.

c) b. d) k + b.

e) a + k.

COMENTÁRIOS:

A função dada é do tipo Cobb-Douglas, então, o grau de homogeneidadeé dado pela soma dos expoentes dos fatores de produção (a+b).

GABARITO: B

11. (AFC-STN/ESAF–2005-adaptada)- Seja a função de produção

dada pela seguinte expressão: Q = A.Lα.K1-a

Onde, Q = produção;

A e α constantes positivas; K = capital; L = trabalho.

Considerando esta função de produção, os produtos marginal emédio da mão-de-obra serão, respectivamente:

a) α.(Q/L) e A.(L/K)-(1-α)

b) α.K.L e A. (L/K)-1 c) α.(Q/L) e A.(L/K)-α

d) α.Q e A e) α.(Q/L) e A.(L/K)

COMENTÁRIOS:

PmgL=dQ/dL=a.A.La-1.K1-a=a.A.La.L-1.K1-a=A.La.K1-a.a.L-1=a.Q.L-1=a.Q/L

PmeL=Q/L=(A.Lα. K1-a)/L=A.La-1.K1-a=A.La-1/Ka-1=A.(L/K)a-1=A.(L/K)-(1-a)

Aula 04Parte I




Nota: uma observação interessante a se fazer quando temos funções de

produção Cobb-Douglas com retornos constantes de escala(homogeneidade de grau 01) é relacionada ao fato de que o produto

marginal do fator variável será estritamente decrescente. Se você analisara expressão do PmgL que foi encontrada, verá que sempre que

aumentarmos o valor de L, haverá redução do valor de PmgL. Ou seja, oPmgL será sempre decrescente, ou estritamente decrescente. Neste caso,

sua curva não terá a forma de um “U” invertido (inicialmente crescente e

depois decrescente). Ela será inclinada para baixo em toda a suaextensão.

GABARITO: A

12. (ESAF - AFTM - RECIFE – 2003) - Considere o gráfico a seguir:

onde:

PT = produto total e

N = quantidade de mão-de-obra utilizada. Com base nessas informações, é correto afirmar que:

a) a produtividade marginal da mão-de-obra é maior do que aprodutividade média da mão-de-obra para N > N*.

b) quando N = N*, a produtividade média da mão-de-obra é máxima. c) quando PT é máximo, a produtividade marginal da mão-de-obra é igual

a zero. d) quando N > N*, a produtividade média da mão-de-obra é negativa.

e) quando PT é máximo, a produtividade marginal da mão-de-obra é igualà produtividade média da mão-de-obra.

COMENTÁRIOS:

A questão cobra conhecimentos acerca das relações entre produção total,

produto marginal da mão-de-obra e produto médio da mão-de-obra. Tais

relações estão apresentadas nas figuras 01 e 02. Antes de irmos à análise

Aula 04Parte I




por alternativas é importante notar que, em N*, a produção total é

máxima, ou seja, o PmgL=0. Veja os erros das alternativas:

a) para N > N*, o produto marginal da mão-de-obra é negativo, de formaque é impossível que seja menor que a produtividade média.

b) quando N = N*, a produção total é máxima.

c) Correta.

d) Quando N>N*, o produto marginal da mão-de-obra é negativo. Ainclinação da curva de produção é dada pela sua derivada, que no caso é

o PmgL (o PmgL é a derivada da função de produção em relação àvariável L, que é a quantidade de trabalhadores). De 0 até N*, o PmgL é

positivo (inclinação ascendente da curva de produção). Quando N > N*, oPmgL é negativo (inclinação descendente da curva de produção).

e) quando PT é máximo, PmgL = 0. Neste ponto (PmgL=0), este é bem

menor que a produtividade média da mão-de-obra (PT/L).

GABARITO: C

13. (ESAF - CONTADOR PREFEITURA DO RECIFE - 2003) Na Teoria

da Produção, tem-se o conceito denominado de "lei dosrendimentos marginais decrescentes". Considerando que num

processo produtivo são utilizados apenas dois fatores deprodução, essa lei significa que:

a) a produção total será sempre decrescente, independentemente dasquantidades utilizadas dos dois fatores de produção.

b) a elevação da quantidade dos dois fatores de produção resulta naredução da produção total.

c) mantendo-se fixa a quantidade de um fator, a elevação da quantidadedo fator variável resulta, a partir de um determinado ponto, na

diminuição da produtividade marginal desse fator variável. d) a produção total será nula, independentemente das quantidades

utilizadas dos dois fatores de produção. e) a elasticidade-preço de oferta será sempre negativa,

independentemente das quantidades utilizadas dos dois fatores de

produção.

COMENTÁRIOS: Vamos às assertivas,

a) Incorreta. A produção total poderá trechos crescentes e decrescentes.Por exemplo, na figura 01 da aula, até o ponto A, onde utilizamos entre 0

e 3 trabalhadores, a produção era crescente. Após o ponto A, passou aser decrescente.

Aula 04Parte I




b) Incorreta. A elevação da quantidade dos dois fatores de produçãoresultará na elevação da produção total. A situação em que elevamos a

quantidade de um fator de produção e a produção total diminui é umaexceção e, para isto, devemos considerar que estamos no curto prazo

(apenas um fator de produção varia) e o produto marginal do outro fatoré negativo.

c) Correta. É a lei dos rendimentos marginais decrescentes.

d) Incorreta. Absurda.

e) Incorreta. A elasticidade preço da oferta é positiva.

GABARITO: E

14. (ESAF - AFC – STN – 2002) No que se refere à função deprodução de uma empresa, é correto afirmar que:

a) a existência de rendimentos crescentes de escala não é incompatívelcom a lei dos rendimentos marginais decrescentes.

b) não é possível que uma função de produção apresentesimultaneamente rendimentos crescentes de escala e rendimentos

marginais decrescentes para cada um de seus fatores de produção.

c) caso a função de produção apresente rendimentos constantes deescala, então as curvas de isoquantas terão formato de linhas retas.

d) caso a função de produção seja uma função de produção do tipoLeontief, as curvas de isoquantas terão o formato de uma linha reta.

e) curvas de isoquantas convexas em relação à origem são incompatíveiscom rendimentos marginais crescentes dos fatores de produção.

COMENTÁRIOS: Vamos às alternativas,

a) Correta. Não há relação de incompatibilidade entre os rendimentos de

escala (grau de homogeneidade da função de produção) e a lei dosrendimentos marginais decrescentes.

b) Incorreta. Idem letra A. Isso é perfeitamente possível.

c) Incorreta. Também não há relação entre o grau de homogeneidade(que diz se os rendimentos de escala serão constantes, crescentes ou

decrescentes) e o formato das isoquantas, que será definido pela funçãode produção, e não por seu grau de homogeneidade.

d) Incorreta. Função de produção do tipo Leontief é aquela do formato Y

(K, L) = min {K, L}. Esta função se aplica quando os insumos são

Aula 04Parte I




complementos perfeitos e são utilizados em proporções fixas. Logo, as

isoquantas, neste caso, serão em formato de L e não em linha reta.

e) Incorreta. Não há esta relação de incompatibilidade entre aconvexidade das isoquantas e os rendimentos marginais serem crescentes

ou decrescentes (é possível termos curvas convexas e rendimentosmarginais crescentes ou decrescentes, apesar de a regra geral indicar que

os rendimentos serão decrescentes).

GABARITO: A

15. (ESAF - Fiscal de Tributos Estaduais- SEFAZ/PA -2002) -

Considere a seguinte função de produção Y = Ka.L[1-a], onde Y =produção; K = capital; e L = trabalho. Considerando que 0 < a < 1,

é correto afirmar que: a) esta função não é homogênea, uma vez que 0<a< 1.

b) esta função é homogênea de grau zero, significando que se dobrarmosa quantidade de capital e trabalho, o produto permanecerá inalterado.

c) esta função de produção é conhecida como de "Cobb-Douglas" e éhomogênea de grau a.

d) fazendo a=1/2 e dividindo Y por L encontraremos o produto per capitacom rendimentos crescentes de escala.

e) esta função é homogênea de grau 1, significando que se dobrarmos a

quantidade de capital e trabalho, o produto dobrará.

COMENTÁRIOS: A função apresentada é do tipo Cobb-Douglas. Seu grau de

homogeneidade é dado pela soma dos expoentes dos fatores deprodução, assim esta função possui grau: (a) + (1-a) = 1. Possuindo grau

01 de homogeneidade, ela apresenta rendimentos constantes de escala,indicando que se dobrarmos a quantidade de capital e trabalho, o produto

também dobrará.

GABARITO: E

16. (CESGRANRIO - ECONOMISTA JR. PETROBRAS – 2010) - Umafunção de produção é dada pela expressão Y = A(aK + bL), onde Y

é a quantidade do produto,

K e L são as quantidades dos dois fatores de produção, e A, a e bsão parâmetros com as unidades apropriadas. Essa função de

produção (A) é homogênea do grau 1, se a+b = 1.

(B) é conhecida como função Cobb-Douglas. (C) apresenta isoquantas não retilíneas.

(D) apresenta economias de escala, se A>1. (E) não permite substituição entre os fatores de produção.

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COMENTÁRIOS: Em primeiro lugar, observamos que a função não é do tipo Cobb-Douglas

(incorreta a letra B).

Em segundo lugar, observamos que a função obedece ao formato defunções de produção6 onde os fatores de produção são substitutos

perfeitos. Logo, suas isoquantas serão linhas retas (incorreta as letras C e

E).

Por fim, devemos agora verificar o grau de homogeneidade da função.Para isso, utilizemos o bizú dado no item 1.8 da aula. Multiplicamos os

dois insumos por uma variável qualquer. Utilizemos t:

Y = A[a.(tK) + b.(tL)] Y’= A[t(aK + bL)]

Y’= t.[A.(aK + bL)]Y’= t.Y

Como o expoente de t, ao final, é 1, então, a função de produção é

homogênea de grau 01. Sendo homogênea de grau 01, apresentarárendimentos constantes de escala (incorreta a letra D).

Só nos sobrou a letra A, que é menor ruim para se marcar. Como nósvimos, a função é homogênea de grau 01, independentemente dos

valores de a e b. Mas, como eu disse, é alternativa a menos ruim, atéporque se a+b=1 (aliás, a+b pode ser qualquer valor que não alterará em

nada), o grau de homogeneidade será 01.

GABARITO: A

17. (CESGRANRIO - ECONOMISTA - BNDES – 2009) - O gráficoabaixo mostra as isoquantas entre capital e trabalho para uma

determinada empresa, onde q1, q2 e q3 são produções por mês.

6 Formato de funções de produção onde os fatores de produção são substitutos perfeitos: Y = a.K +b.L. Na questão, a função é Y = A.a.K + A.b.L (como A, a, b são constantes, o formato é igual àqueleonde os fatores são substitutos perfeitos).

Aula 04Parte I




Considerando o gráfico apresentado, pode-se concluir que a) há rendimentos crescentes de escala.

b) capital e trabalho são substitutos perfeitos nas faixas de quantidademostradas no gráfico.

c) a empresa é intensiva em capital. d) a inclinação das isoquantas sugere que o capital é mais produtivo.

e) a função de produção da empresa é de proporções fixas.

COMENTÁRIOS:

Conforme comprovamos no item 1.6.2, figura 11, quando os fatores deprodução são substitutos perfeitos, as isoquantas são linhas retas.

GABARITO: B

18. (CESGRANRIO - ECONOMISTA Jr. - TERMORIO SA - 2009) -

Considere a função de produção Y=Ka.L1-a, onde Y é a produção, Ke L são os fatores de produção, A e são parâmetros, sendo 0<a<1.

Pode-se afirmar, corretamente, que a) é uma função homogênea do grau zero.

b) o uso ótimo de K e L se dá em proporção fixa, quaisquer que sejam ospreços dos fatores.

c) o fator de produção L não é substituível pelo fator K.

d) o valor de Y também dobra, dobrando-se os valores de K e L. e) a função apresenta retornos crescentes de escala, se A > 1.

COMENTÁRIOS:

A função de produção dada é do tipo Cobb-Douglas. Logo, o seu grau éproveniente da soma dos expoentes de K e L, que é igual a 1 (a + 1 – a =

1). Ou seja, a função apresenta rendimentos constantes (ao dobrarmos Ke L, Y também dobra).

GABARITO: D

Aula 04Parte I




19. (FCC - ANALISTA TRAINEE – ECONOMIA – METRO/SP - 2008) -

Assumindo que a função de produção seja contínua e que existemapenas dois fatores de produção, segundo a lei dos rendimentos

decrescentes (ou lei das proporções variáveis), é correto afirmar: a) No longo prazo, se as quantidades dos fatores de produção dobrarem,

o aumento da produção será menor que 100%. b) A produtividade média do fator de produção variável começa a diminuir

quando sua produtividade marginal passa a ser decrescente.

c) A produção atinge um máximo quando a produtividade marginal dofator de produção variável for igual a zero.

d) A produtividade marginal do fator de produção variável écontinuamente decrescente.

e) A produtividade média do fator de produção variável é inicialmentedecrescente, atinge um máximo e depois tende a aumentar.

COMENTÁRIOS: Vamos às alternativas,

a) Incorreta. Isto só acontecerá se os rendimentos de escala forem

decrescentes (não confundir rendimentos de escala decrescentes com leidos rendimentos marginais decrescentes).

b) Incorreta. No ponto em que a produtividade marginal passa a ser

decrescente (ponto A da figura 2), o produto médio ainda é crescente.

c) Correta. Produção é máxima quando produto marginal é nulo.

d) Incorreta. Pode haver trechos (especialmente quando utilizamos muito

pouco do fator de produção) em que o produto marginal é crescente. É otrecho que vai do ponto 0 ao ponto A do gráfico da figura 2.

e) Incorreta. É inicialmente crescente e depois decrescente.

GABARITO: C

20. (FCC - AUDITOR – TCE/SP - 2008) Assinale a alternativa

correta. a) Supondo-se uma função de produção do tipo Cobb-Douglas

homogênea de grau 1, a produtividade marginal do fator variável é

estritamente decrescente no curto prazo. b) Ocorrem economias de escala no curto prazo, quando o aumento da

produção é mais que proporcional ao aumento da quantidade dos fatoresde produção fixos.

c) A reta de isocusto corresponde ao lugar geométrico das combinaçõesde quantidades de dois fatores fixos que implicam o mesmo volume de

produção.

Aula 04Parte I




d) Ocorrem deseconomias de escala quando, dada uma proporção de

aumento da quantidade dos fatores de produção variáveis, a quantidadeproduzida do bem X se eleva na mesma proporção.

e) No longo prazo, a combinação ótima de fatores de produção é obtidaquando a taxa marginal de substituição técnica for superior à razão entre

seus preços relativos.

COMENTÁRIOS:

a) Correta. Ver a nota dos comentários da questão 11.

b) Incorreta. A verificação da ocorrência de economias/deseconomias de

escala é verificada somente no longo prazo, pois temos que variar todosos fatores de produção ao mesmo tempo, ao passo que o curto prazo é a

situação em que somente um fator de produção varia.

c) Incorreta. A reta de isocusto é o lugar geométrico que implica o mesmovolume de custo. Ademais, as quantidades dos dois fatores são variáveis

(análise de longo prazo) e não fixas.

d) Incorreta. Ocorrem deseconomias de escala quando, dada umaproporção de aumento da quantidade dos fatores de produção variáveis, a

quantidade produzida do bem X se eleva EM MENOR proporção.

e) Incorreta. No longo prazo, a combinação ótima de fatores de produção

é obtida quando a taxa marginal de substituição técnica for IGUAL à razãoentre seus preços relativos.

GABARITO: A

21. (FCC - TÉCNICO DE CONTROLE EXTERNO – ECONOMIA –

TCE/MG - 2007) Considere a seguinte função de produção do tipoCobb - Douglas, a seguir: Y = K1/2.L1/2 onde: Y = volume total de

produção K = quantidade do fator de produção capital L =quantidade do fator de produção trabalho É correto concluir que a

especificação dessa função de produção implica onde: Y = volume total de produção K = quantidade do fator de

produção capital L = quantidade do fator de produção trabalho

É correto concluir que a especificação dessa função de produção implica a) economias crescentes de escala no longo prazo.

b) produtividade marginal crescente dos fatores de produção no curtoprazo.

c) rendimentos constantes de escala no longo prazo. d) custos de produção decrescentes no longo prazo.

e) produtividade marginal constante dos fatores de produção no curtoprazo.

Aula 04Parte I




COMENTÁRIOS: A função de produção apresentada possui grau 1 (a soma dos expoentes

de K e L é ½ + ½ =1). Logo, possui rendimentos constantes de escala nolongo prazo (é longo prazo, pois variamos os dois fatores de produção ao

mesmo tempo na verificação sobre o fato dos rendimentos de escalaserem constantes, crescentes ou decrescentes).

GABARITO: C

Aula 04Parte I




LISTA DE QUESTÕES

01. (FGV - ICMS/RJ – 2010) A função de produção Q=f(l, k)=(la+ka)b é tal que:

(A) exibe retornos decrescentes de escala se α + β < 1. (B) exibe retornos crescentes de escala se αβ > 1.

(C) o produto marginal de l é αβQlα–1. (D) o produto médio de l é Qlα–1.

(E) exibe retornos crescentes de escala se β/α > 1.

02. (FGV - ECONOMISTA Jr. - POTIGÁS - 2006) - Os fatores deprodução são constituídos por dádivas da natureza, pela

população economicamente mobilizável, pelas diferentescategorias de capital e pelas capacidades tecnológica e

empresarial. Assinale a alternativa que exemplifica o fator deprodução capital.

a) sistemas instalados de saúde, inovações

b) sistemas de distribuição de energia, clima c) aeroportos, edifícios de uso militar

d) capacitação para pesquisa e desenvolvimento, invenções e) máquinas utilizadas em atividades extrativas, flora

03. (FGV – ECONOMISTA – BADESC – 2010) - A fabricação de um

determinado suco tropical é composta de duas partes de goiaba (g), três partes de caju (c), uma parte de maracujá (m) e quatro

partes de abacaxi (a). Assim, a função de produção y querepresenta a produção desse suco é dada por:

(A) y = 2g + 3c + m + 4a (B) y = g/2 + c/3 + m + a/4

(C) y = max (2g, 3c, m, 4a) (D) y = max (g/2, c/3, m, a/4)

(E) y = min (g/2, c/3, m, a/4)

ANPEC/2011 - Sobre a Teoria da Produção analise as afirmativas

abaixo:

04. A função de produção que exibe retornos constantes de escalaé uma função homogênea do grau 0.

05. Suponha uma função de produção do tipo Cobb-Douglas,

sendo os coeficientes técnicos a e b, tal que a+b>1. A elasticidadede substituição desta função de produção também é superior à

unidade.

ANPEC/2010 - Uma empresa produzindo bolas de futebol possuifunção de produção Q = 2(KL)½. Suponha que no curto prazo a

Aula 04Parte I




quantidade de capital é fixa em K = 100, e seja L a quantidade de

trabalho. Responda V ou F às seguintes alternativas:

06. Esta função de produção possui produto marginal decrescentepara o trabalho;

07. Esta função de produção possui retornos constantes de escala.

ANPEC/2008 - Considere a tecnologia representada pela função

de produção ( ) (

)

em que p ≥ −1 e K, L>0.

Julgue as afirmações:

08. Essa tecnologia possui retornos constantes de escala.

09. (ESAF - ANALISTA – ECONOMIA - MPU – 2004) - Considere afunção de produção dada pela expressão a seguir:

Y = k.Ka.L1-a , onde Y = produção; K = capital; L = trabalho; k e aconstantes e 0 < a < 1. A produtividade média do capital será

dada por a) k.(K/L)1-a

b) k.(L/K)

c) k.(K/L) d) k.(L/K)1-a

e) k.(L/K)a

10. (ESAF - ANALISTA – ECONOMIA - MPU – 2004) - Considere afunção de produção dada pela expressão a seguir

Y = k.Ka.Lb onde Y = produção; K = capital; L = trabalho; k e a e b constantes.

Essa função é homogênea de grau a) a.

b) a + b. c) b.

d) k + b. e) a + k.

11. (AFC-STN/ESAF–2005-adaptada)- Seja a função de produçãodada pela seguinte expressão:

Q = A.Lα.K1-a Onde,

Q = produção; A e α constantes positivas;

K = capital; L = trabalho. Considerando esta função de produção, os produtos marginal e

médio da mão-de-obra serão, respectivamente: a) α.(Q/L) e A.(L/K)-(1-α)

Aula 04Parte I




b) α.K.L e A. (L/K)-1

c) α.(Q/L) e A.(L/K)-α d) α.Q e A

e) α.(Q/L) e A.(L/K)

12. (ESAF - AFTM - RECIFE – 2003) - Considere o gráfico a seguir:

onde:

PT = produto total e N = quantidade de mão-de-obra utilizada.

Com base nessas informações, é correto afirmar que: a) a produtividade marginal da mão-de-obra é maior do que a

produtividade média da mão-de-obra para N > N*. b) quando N = N*, a produtividade média da mão-de-obra é máxima.

c) quando PT é máximo, a produtividade marginal da mão-de-obra é iguala zero.

d) quando N > N*, a produtividade média da mão-de-obra é negativa.

e) quando PT é máximo, a produtividade marginal da mão-de-obra é igualà produtividade média da mão-de-obra.

13. (ESAF - CONTADOR PREFEITURA DO RECIFE - 2003) Na Teoria

da Produção, tem-se o conceito denominado de "lei dosrendimentos marginais decrescentes". Considerando que num

processo produtivo são utilizados apenas dois fatores deprodução, essa lei significa que:

a) a produção total será sempre decrescente, independentemente dasquantidades utilizadas dos dois fatores de produção.

b) a elevação da quantidade dos dois fatores de produção resulta naredução da produção total.

c) mantendo-se fixa a quantidade de um fator, a elevação da quantidadedo fator variável resulta, a partir de um determinado ponto, na

diminuição da produtividade marginal desse fator variável.

d) a produção total será nula, independentemente das quantidadesutilizadas dos dois fatores de produção.

Aula 04Parte I




e) a elasticidade-preço de oferta será sempre negativa,

independentemente das quantidades utilizadas dos dois fatores deprodução.

14. (ESAF - AFC – STN – 2002) No que se refere à função de

produção de uma empresa, é correto afirmar que: a) a existência de rendimentos crescentes de escala não é incompatível

com a lei dos rendimentos marginais decrescentes.

b) não é possível que uma função de produção apresentesimultaneamente rendimentos crescentes de escala e rendimentos

marginais decrescentes para cada um de seus fatores de produção. c) caso a função de produção apresente rendimentos constantes de

escala, então as curvas de isoquantas terão formato de linhas retas. d) caso a função de produção seja uma função de produção do tipo

Leontief, as curvas de isoquantas terão o formato de uma linha reta. e) curvas de isoquantas convexas em relação à origem são incompatíveis

com rendimentos marginais crescentes dos fatores de produção.

15. (ESAF - Fiscal de Tributos Estaduais- SEFAZ/PA -2002) -Considere a seguinte função de produção Y = Ka.L[1-a], onde Y =

produção; K = capital; e L = trabalho. Considerando que 0 < a < 1,é correto afirmar que:

a) esta função não é homogênea, uma vez que 0<a< 1.

b) esta função é homogênea de grau zero, significando que se dobrarmosa quantidade de capital e trabalho, o produto permanecerá inalterado.

c) esta função de produção é conhecida como de "Cobb-Douglas" e éhomogênea de grau a.

d) fazendo a=1/2 e dividindo Y por L encontraremos o produto per capitacom rendimentos crescentes de escala.

e) esta função é homogênea de grau 1, significando que se dobrarmos aquantidade de capital e trabalho, o produto dobrará.

16. (CESGRANRIO - ECONOMISTA JR. PETROBRAS – 2010) - Uma

função de produção é dada pela expressão Y = A(aK + bL), onde Yé a quantidade do produto,

K e L são as quantidades dos dois fatores de produção, e A, a e bsão parâmetros com as unidades apropriadas. Essa função de

produção

(A) é homogênea do grau 1, se a+b = 1. (B) é conhecida como função Cobb-Douglas.

(C) apresenta isoquantas não retilíneas. (D) apresenta economias de escala, se A>1.

(E) não permite substituição entre os fatores de produção.

Aula 04Parte I




17. (CESGRANRIO - ECONOMISTA - BNDES – 2009) - O gráfico

abaixo mostra as isoquantas entre capital e trabalho para umadeterminada empresa, onde q1, q2 e q3 são produções por mês.

Considerando o gráfico apresentado, pode-se concluir que a) há rendimentos crescentes de escala.

b) capital e trabalho são substitutos perfeitos nas faixas de quantidade

mostradas no gráfico. c) a empresa é intensiva em capital.

d) a inclinação das isoquantas sugere que o capital é mais produtivo. e) a função de produção da empresa é de proporções fixas.

18. (CESGRANRIO - ECONOMISTA Jr. - TERMORIO SA - 2009) -

Considere a função de produção Y=Ka.L1-a, onde Y é a produção, Ke L são os fatores de produção, A e são parâmetros, sendo 0<a<1.

Pode-se afirmar, corretamente, que a) é uma função homogênea do grau zero.

b) o uso ótimo de K e L se dá em proporção fixa, quaisquer que sejam ospreços dos fatores.

c) o fator de produção L não é substituível pelo fator K. d) o valor de Y também dobra, dobrando-se os valores de K e L.

e) a função apresenta retornos crescentes de escala, se A > 1.

19. (FCC - ANALISTA TRAINEE – ECONOMIA – METRO/SP - 2008) -

Assumindo que a função de produção seja contínua e que existemapenas dois fatores de produção, segundo a lei dos rendimentos

decrescentes (ou lei das proporções variáveis), é correto afirmar: a) No longo prazo, se as quantidades dos fatores de produção dobrarem,

o aumento da produção será menor que 100%. b) A produtividade média do fator de produção variável começa a diminuir

quando sua produtividade marginal passa a ser decrescente. c) A produção atinge um máximo quando a produtividade marginal do

fator de produção variável for igual a zero.

Aula 04Parte I




d) A produtividade marginal do fator de produção variável é

continuamente decrescente. e) A produtividade média do fator de produção variável é inicialmente

decrescente, atinge um máximo e depois tende a aumentar.

20. (FCC - AUDITOR – TCE/SP - 2008) Assinale a alternativacorreta.

a) Supondo-se uma função de produção do tipo Cobb-Douglas

homogênea de grau 1, a produtividade marginal do fator variável éestritamente decrescente no curto prazo.

b) Ocorrem economias de escala no curto prazo, quando o aumento daprodução é mais que proporcional ao aumento da quantidade dos fatores

de produção fixos. c) A reta de isocusto corresponde ao lugar geométrico das combinações

de quantidades de dois fatores fixos que implicam o mesmo volume deprodução.

d) Ocorrem deseconomias de escala quando, dada uma proporção deaumento da quantidade dos fatores de produção variáveis, a quantidade

produzida do bem X se eleva na mesma proporção. e) No longo prazo, a combinação ótima de fatores de produção é obtida

quando a taxa marginal de substituição técnica for superior à razão entreseus preços relativos.

21. (FCC - TÉCNICO DE CONTROLE EXTERNO – ECONOMIA –TCE/MG - 2007) Considere a seguinte função de produção do tipo

Cobb - Douglas, a seguir: Y = K1/2.L1/2 onde: Y = volume total deprodução K = quantidade do fator de produção capital L =

quantidade do fator de produção trabalho É correto concluir que aespecificação dessa função de produção implica

onde: Y = volume total de produção K = quantidade do fator deprodução capital L = quantidade do fator de produção trabalho

É correto concluir que a especificação dessa função de produção implica a) economias crescentes de escala no longo prazo.

b) produtividade marginal crescente dos fatores de produção no curtoprazo.

c) rendimentos constantes de escala no longo prazo. d) custos de produção decrescentes no longo prazo.

e) produtividade marginal constante dos fatores de produção no curto

prazo.

GABARITO

01 B 02 C 03 E 04 F 05 F 06 V 07 V

08 V 09 D 10 B 11 A 12 C 13 E 14 A

15 E 16 A 17 B 18 D 19 C 20 A 21 C

microeconomia_e_fin_públicas_icms_rj_2011_aula_04_parte_i_depois_edital.pdf

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