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Metodos Matematicos em Financas I

Jorge P Zubelli

IMPA

5 de Setembro de 2017

MMF I ccopyZubelli (IMPA) 092017 1 93

Comportamento Estocastico dos MercadosExemplo

Figura Dados do IBOVESPA


Comportamento Estocastico dos MercadosDados de Alta Frequencia

Figura Dados de Alta Frequencia do IBOVESPA Ano 2006


Um dos problemas centrais

Como determinar o preco justo hoje de um contrato financeiro sobre um ativocujo o comportamento futuro e imprevisıvel e sujeito a flutuacoes aleatoriasIntimamente ligada a questao de aprecamento esta a questao de protecao ecobertura de riscosAlgumas perguntas naturais

Por que

Quando

Quem


Observacoes Historicas

Dois Mil BC - India

Thales de Mileto - Grecia

Pescadores holandeses de baleias do seculo XVI faziam contratos devenda forward antes de partirem nas suas viagens

Seculo XVII - Holanda - opcoes sobre precos de tulipas

Contratos a termo e opcoes foram negociados no seculo XVII emAmsterda e Osaka (mercado de arroz)


IntroducaoConceitos Iniciais

Figura Thales de Mileto

Historico - Grandes Contribuicoes

Thales de Mileto

L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura L Bachelier


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura R Merton


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura M Scholes


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton


Problemas centrais

PerguntaComo determinar o preco justo hoje de contratos financeiro sobre um ativocujo o comportamento futuro e imprevisıvel e sujeito a flutuacoes aleatorias

FatoIntimamente ligada a questao de aprecamento esta a questao de protecao ecobertura de riscos


EstrategiaPassos

Modelar o Mercado (ou os ativos subjacentes)

Modelar os Contratos

Calibrar os Modelos (do mercado e do contrato)

Desenvolver Metodos e Algoritmos de Calculo

Modelos

Contınuos

Discretos


ModelosContınuos times Discretos

ContınuosPROS

1 Teoria Solida Sofisticada2 Boas Propriedades3 Resultados Teoricos4 Independe de Escalas (logo

aplicavel em muitos contextos)

CONS1 Teoria Sofisticada2 Difıcil Intuicao3 Dificuldades de

Implementacao

DiscretosPROS

1 Teoria Simples2 Exemplos de Pequeno Porte

Faceis3 Facil Implementacao em

Maquinas Rapidas4 Em ultima analise temos

sempre que discretizar

CONS1 Depende de Escalas e

Discretizacoes2 Alta Complexidade

Computacional


Opcao de compra europeia (call)

Um contrato que da ao possuidor o direito mas nao a obrigacao de compraruma unidade de um ativo subjacente no instante futuro T por um preco (strike)K O chamado payoff F deste contrato e

F(ST ) =

ST minusK se ST gt K

0 se ST le K


Aprecamento da Call

C(tSt) = EQ[eminusr(Tminust)payoff|St ] = EQ[eminusr(Tminust)(ST minusK )+|St ]

Figura Preco de uma opcao de compra europeia (call) para diversos instantes t


Opcao de venda europeia (put)

Da o direito ao possuidor de vender uma unidade de um ativo subjacente noinstante futuro T por um preco (strike) KPayoff

F(XT ) =

K minusXT se XT lt K

0 se XT ge K

Fonte de Valor em uma Opcao Assimetria entre direito mas nao obrigacaoMMF I ccopyZubelli (IMPA) 092017 15 93

Aprecamento da Put

P(tSt) = EQ[eminusr(Tminust)payoff|St ] = EQ[eminusr(Tminust)(K minusST )+|St ]



Contratos e OpcoesExemplos

1 Opcoes AmericanasO contrato pode ser exercido a qualquer momento τ

ate a expiracao T 2 Opcoes Bermudianas O contrato pode ser exercido em qualquer

momento τ dentro de um conjunto de tempos [T1T2] [T3T4] [T2N+1TN ]

3 Opcoes Asiaticas O contrato depende de uma media (aritmetica ougeometrica) dos valores do ativo durante um perıodo antes dovencimento


Modelos (Contınuos) de Mercado

Contexto Probabilıstico

1 Espaco de Probabilidade (ΩF P)

2 Processos Estocasticos em Tempo Contınuo

S = St(ω)tisin[0T ]

Para cada t temos uma va Xt Ωrarr R3 Fluxo de Informacao Famılia de σ-algebras Ft tq o processo X e

adaptados a Ft4 Dinamica dos processos Tıpicamente EDE

dSt = g(tω)dt + ν(tω)dWt

ou mais geralmente processos de Levy


Modelo ClassicoBlack-Scholes-Merton

Movimento Browniano Geometrico

dSt

St= microdt + σdWt

com micro e σ constantesObs O que significa dW Consideramos

∆Wt =int t+∆t

tdWs

Aqui o sımbolo ∆W tem as seguintes caracterısticas∆W e uma variavel aleatoria normalA media de ∆W e zeroA variancia de ∆W e ∆t

Alem disso incrementos ∆W em intervalos que nao se intersectam saoindependentesO valor de σ chamado de volatividade esta relacionado com a incerteza dofenomeno e de uma certa forma controla a presenca de risco Quanto maior avolatividade maior a incerteza e consequentemente maior o riscoMMF I ccopyZubelli (IMPA) 092017 19 93

ExemploMovimento Browniano

Figura Exemplo de realizacoes do movimento Browniano no intervalo [015] e adistribuicao em t = 15 dos valores


Modelos de Reversao a MediaOrnstein-Uhlembek

Na modelagem de taxas de juros de volatilidade e de commodities surgemprocessos que revertem a valores historicos

dXt = θ(microminusXt)dt + σdWt

Figura Exemplo de realizacoes de processos do tipo OUMMF I ccopyZubelli (IMPA) 092017 21 93

Extensoes

Modelo de Volatilidade Local de Dupire

dSt = microtStdt + σ(tSt)StdWt

Modelo de Volatilidade Estocastica

dSt = microtdt + σtStdWt

com σt = f (Yt) e Yt processo estocasticoModelos com Saltos

dSt = microtdt + σtStdWt + dqt


Princıpios Basicos no Aprecamento

Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao

Hedging (cobertura de risco)

Medida Neutra ao Risco

Algumas Aplicacoes

Nocao de Valor Justo (que evita arbitragem)

Paridade Call-Put

Valor Presente Lıquido


Princıpio de Nao Arbitragem

Arbitragem pode ser entendida intuitivamente como a possibilidade de fazerdinheiro do nada sem riscoUm dos princıpios basicos de aprecamento (justo) e que em um mercado emequilıbrio nao existem oportunidades de arbitragem

DefinicaoUma arbitragem e uma posicao no mercado satisfazendo

1 custo inicial zero2 impossibilidade de prejuızo no futuro3 probabilidade nao-nula de lucro no futuro


Exemplo

Considere uma roleta que paga 21 quando sai vermelho e nada quando saipreto e cujas probabilidades sao

Vermelho 70Preto 30

Se jogarmos muitas vezes esperamos receber em media

2times07 + 0times03 = R$140

por real apostadoUm negociante local oferece um bilhete que vale

R$10000 se sair vermelho na roleta

R$000 se sair preto

O bilhete e vendido a R$6000 Voce compra ou voce vende


Valor esperado R$7000 para o bilhete Portanto o bilhete barato e vale apena compra-lo Entretanto

1 Ele guarda os R$6000Se sair preto ele fica com R$6000 de lucroSe sair vermelho ele tem um prejuızo de R$4000

2 Ele aposta os R$6000 na roletaSe sair preto ele perde tudo mas tambem nao tem que pagar nadaSe sair vermelho ele recebe R$12000 paga R$10000 e lucra R$2000

3 Ele aposta R$ 5000 na roletaSe sair preto ele perde os R$5000 nao precisa pagar nada e fica com umlucro de R$1000Se sair vermelho ele recebe R$10000 com os quais paga o prometidopelo bilhete e lucra R$1000

A simples estrategia 2 ja garante que ele nao tera prejuızo e ainda podera terlucro A estrategia 3 entretanto ainda e mais eficiente Independente doresultado da roleta ele lucra R$1000


Exemplo

Considere uma moeda cujas probabilidades saoCara 3

4Coroa 1

4

Suponha tambem que voce receba R$050 quando sai coroa e R$200 quandosai cara para cada real apostado Em media esperamos acumular um valor de

12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625

Quanto vale um bilhete que retorna R$1200 se der cara e nada se der coroanuma cidade com emprestimo sem juros


Almoco de graca

Se cobrarmos R$900 como seria o esperado podemos proceder da seguinteforma

Apostamos R$600 na moeda

Se der cara recebemos R$1200 pagamos o valor do bilhete e lucramosR$300

Se der coroa recebemos R$300 e lucramos R$600

Nesse caso o preco justo seria R$400 Hedging Considere a seguinteestrategia ao vender um bilhete por R$400

Tomamos R$400 emprestado

Apostamos na moeda R$800

Se der cara ganhamos R$1600 pagamos R$1200 ao comprador dobilhete e usamos os R$400 restantes para quitar o emprestimo

Se der coroa ganhamos R$400 e quitamos o emprestimo


Mais Hedging

Se o bilhete fosse vendido por R$300 em vez poderıamos nos aproveitar dasituacao usando a seguinte estrategia

Tomamos R$700 de um terceiro nos comprometendo a pagar o retornode uma aposta desse valor na moeda

Compramos o bilhete do vendedor por R$300

Esperamos o resultado da moeda

Se der cara ganhamos R$1200 juntamos mais R$200 e pagamos oterceiro lucramos R$200

Se der coroa ficamos com R$400 pagamos R$350 ao terceiro eembolsamos R$050


Mas

Algumas objecoes podem aparecer

Isso deve ser uma consequencia de se ter a possibilidade de ganho nulo

Emprestimos sem juros nem nos contos de fada

Tomar dinheiro com um terceiro e aplicar no ativo com risco nao parecealgo factıvel

Entretanto

De fato nao Se o bilhete pagasse R$300 no caso de coroa e R$1200 sefor cara o preco justo e R$600 e nao R$975 como poderia parecer aprimeira vista Note que o bilhete esta na mesma proporcao da moedaagora

Juros nao mudam a conclusao embora mudem os valores

Ficar vendido e uma operacao comum no mercado


No exemplo acima a probabilidade neutra ao risco e 13 para cara e 23 paracoroa Assim nos dois casos mencionados no exemplo temos

13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600

Note que um bilhete que paga R reais no caso da moeda dar cara custamenos que um bilhete que para R reais no caso da moeda dar coroa Nessesentido o bilhete pode ser interpretado com uma especie de seguro que cobramais no caso adverso


Replicacao e cobertura de risco (Hedging)

Princıpio Basico Para aprecar opcoes construimos uma carteiraautofinanciada que replica o derivativo no vencimento

Definicao

Dizemos que um portfolio (θ1 θK )t de ativos S1 SK replica o ativo Sse o fluxo de caixa do portfolio e do ativo S sao os mesmos qualquer que sejao estado da economia

Proposicao (Lei do Preco Unico)Em um mercado sem oportunidade de arbitragem se um ativo admite umportfolio replicador entao o preco justo do ativo e o mesmo do seu portfolioreplicador


Cobertura de Risco - Hedging

Um investidos adquire um contrato do tipo call para se proteger contrasubidas excessivas do ativo EG pagamento de uma dıvida em dolar

Um especulador pode usar opcoes para multiplicar seus ganhos(alavancagem) - com risco

Um market maker ou um vendedor de uma opcao se protege construindoum portfolio replicador dinamico de forma que no vencimento ele possaentregar (ou nao) o payoff

De forma geral O objetivo do investidor e reducao do risco (em algumsentido) e a maximizacao do retorno (em algum sentido)

ObsEm mercados incompletos a minimizacao de risco se torna fundamental parao aprecamento Isto pode ser feito por diversas tecnicas (indiferenca medidamartingal mınima etc)


Aprecamento em Mercados Completos

Seja XT o valor do ativo subjacente no instante T XT e uma variavel aleatoria XT = X(ω) com ω isin ΩSuponha que h e o valor do payoff associado ao derivativoEntao o preco do derivativo Pt no instante t e dado por

Pt = EQ[eminusr(Tminust)h(XT )

∣∣Ft

]aonde Q e a medida neutra ao risco


Modelo de Arrow-Debreu

Economia com N ativos s1s2 sN e M possıveis estadosEspecificado a partir de

p = (p1 pN)t isin R e D = (dij)

p e o vetor de precosD e a matriz de fluxos de caixaD e conhecida por todosEstado final da economia nao e conhecido a priori Um portfolio (ou carteira)de ativos e um vetor

θ = (θ1 θN)t isin RN

Riqueza da carteira V = θtp


Arbitragem

Intuitivamente possibilidade de fazer dinheiro do nada sem risco

Definicao (Intuitiva)Uma arbitragem e uma posicao no mercado satisfazendo


DefinicaoUm portfolio de arbitragem e um portfolio θ satisfazendo uma das duascondicoes abaixo

1

θ middotp = 0 θtD ge 0 e para algum j θ middotDmiddotj gt 0

2

θ middotp lt 0 e θtD ge 0


Nao-Arbitragem

TeoremaExiste um vetor de numeros positivos π tal que

p = Dπ (1)

se e somente se nao existem portfolios de arbitragem

Consequencia Lei do preco unicoAlem disso vale

CorolarioSe 6 exist portfolios de arbitragem e exist emprestimo sem risco a taxa R =rArr exist umamedida de probabilidade no conjunto de estados tq o valor justo do ativo e ovalor esperado dos seus fluxos de caixa descontado pela taxa R

Valor = Eπ[(1 + R)minus1Fluxos

]MMF I ccopyZubelli (IMPA) 092017 37 93

Replicacao

Definicao

Um portfolio (θ1 θK )t de ativos S1 SK replica o ativo S se o fluxo decaixa do portfolio e do ativo S sao os mesmos qualquer que seja o estado daeconomia


Aplicacao Precificacao de Derivativos - Preco de uma call e obtidoconstruindo um portfolio que replica


Aplicacao Paridade Call-Put

Proposicao (Paridade Put-Call)Numa economia sem arbitragem seja S o preco de um ativo e R a taxa livrede risco

P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)


Medida Neutra ao Risco(Medida Martingal Equivalente)

A existencia da medida π na qual podemos calcular o preco dos nossos ativose fundamentalEsta medida NAO e a medida obtida observando a serie historica de precosVeremos que mais geralmente (para multiplos perıodos) temos que

Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n

]ou no caso contınuo

Preco = Eπ

[eminusr(Tminust)Payoff

]


Descricao do Modelo de 1 Perıodo

Figura Ilustracao do Modelo de 1 Perıodo


Hedging e replicacao

Considere um portfolio θ = (θ1θ2)t com θ1 unidades do ativo de risco a umpreco S e θ2 unidades em deposito remuneradomdasha um preco de 1(1 + R)O valor do portfolio vai ser entao

θ1SU + θ2 = D1 no estado I

θ1SD + θ2 = D2 no estado II

Resolvendo para θ1 e θ2 temos

θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD

Logo o valor do portfolio sera

V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2


Moral Em alguns mercadosexist probabilidade neutra ao risco lArrrArr forall ativo exist portfolio replicadorNesse caso podemos precificar ativos atraves da Lei do Preco UnicoNo que se segue vamos estudar um pouco mais sobre esses mercados


Mercados Completos e Incompletos

DefinicaoUm mercado com N ativos e M estados e dito completo se forall vetor de fluxo decaixa (D1 DM)t exist portfolio θ = (θ1 θN)t cujo fluxo de caixa no estadoj e Dj

Em outras palavrasθ

tD = Et

tem sempre solucao para E isin RM Da algebra linear este e o caso sss

posto(Dt)= M

TeoremaSuponha uma economia sem arbitragemO mercado e completo lArrrArr exist vetor de precos π de estado satisfazendo

p = Dπ (3)MMF I ccopyZubelli (IMPA) 092017 44 93

RecapitulandoTeorema Fundamental do Aprecamento

Lembrando Medida Martingal Equivalente (ou medida neutra ao risco) eaquela nas quais os precos dos ativos descontados pela taxa de juros saomartingais

EQ[eminusr(Tminust)XT |Ft ] = Xt t lt T

TeoremaSob hipoteses razoaveis Existencia de uma medida martingal equivalentelArrrArr Nao existem oportunidades de arbitragem

TeoremaA medida martingal equivalente e unica lArrrArr O mercado e completo (ietodo contrato contingenciado pode ser replicado)


Modelo Binomial

Vamos considerar uma economia com dois ativos e dois possıveis estados ieN = M = 2 no modelo de Arrow-DebreuVamos supor que haja emprestimo a uma taxa R ie um ativo sem riscoO ativo c risco tem preco S e fluxos de caixa SU no estado I e SD no estadoII com D lt U



S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1

Que pode ser rescrito como

π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD

Note que temos solucoes positivas se e somente se

D lt 1 + R lt U

Essa condicao esta diretamente relacionada com nao-arbitragem


Pagamento contigenciado ao estado

Considere um ativo que tem fluxo de caixa D1 no estado I e D2 no estado IITemos entao que o preco justo desse ativo seria

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2

Exemplo Considere uma Call no ativo de risco com SD lt K lt SU Nessecaso os possıveis fluxos de caixa sao

D1 = SUminusK e D2 = 0

Portanto o valor justo desta call Vcall e dado por

Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )



Portfolio θ = (θ1θ2)t c

1 θ1 unidades do ativo de risco a um preco P2 θ2 unidades em deposito remuneradomdasha um preco de 1(1 + R)


O valor do portfolio




θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R


O Modelo Binomial p Descrever o Mercado

Figura Esquerda Valores do ındice IBOVESPA Direita Simulacao numerica de umındice fictıcio seguindo o modelo binomial



DefinicaoUm mercado com N ativos e M estados e dito completo se para todo vetor defluxo de caixa (D1 DM)t existe um portfolio θ = (θ1 θN)t cujo fluxo decaixa no estado j e Dj


tD = Et E isin RM

tem sempre solucao Este sera o caso quando

posto(Dt)= M

TeoremaSuponha uma economia sem arbitragem O mercado e completo se esomente se existe um unico vetor de precos de estado satisfazendo (1)


O Modelo Basico

Dois ativos e dois estados Entretanto temos agora N + 1 datas de negocio

Ω = UD

satisfazendoP[U] = p e P[D] = q

com p + q = 1Vamos denotar por Sn o preco do ativo de risco em t = tn A dinamica deprecos do ativo e dada por

Sn+1 = Hn+1Sn 0le n le Nminus1

onde

Hn =

U com probabilidade pD com probabilidade q


S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal

Existe uma medida de probabilidade para Hn tal que

Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]

A afirmativa acima pode ser escrita como

1 =1

1 + RUPU + DPD PU + PD = 1

A unica solucao do sistema acima e dada por

PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)

UminusD D lt 1 + R lt U


Unicidade

ProposicaoDado parametros U D e R satisfazendo D lt 1 + R lt U existe uma unicamedida de probabilidade neutra ao risco para Hn e consequentemente para aos espaco de caminhos de preco do ativo de risco


Precificacao via Recursao

Suponha um payoff F(S) cujo vencimento ocorre em t = tN Vamos denotar por Sj

n o preco do ativo no tempo t = tn que teve j choques depreco dados por U Vamos escrever tambem V j

n = V (Sjn) onde Vn(Sn) denota

o preco do contrato no tempo t = tn com o ativo custando Sn Sob a medidaneutra ao risco temos entao

V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1

Temos que ter tambem a condicao terminal ie

V jN = F(Sj

N)


Para resolver a recursao acima em forma fechada escrevemos

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)

Vamos precisar do seguinte resultado

Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao

Um caminho ate SkN comecando em Sj

n pode ser pensando com uma palavrade Nminusn letras com kminus j letras U e Nminusnminus k + j letras S Se a probabilidadede termos uma letra U for PU e de termos uma letra D for PD entao aprobabilidade de termos uma certa palavra com Nminusn letras das quais kminus jsao U e Pkminusj

U PNminusnminusk+jD Logo

P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j

NnPkminusjU PNminusnminusk+j

D

onde Ck jNn denota o numero de caminhos comecando em Sj

n e terminando emSk

N ou equivalentemente o numero de palavras e Nminusn letras com kminus j letrasU e Nminusnminus k + j letras SPor outro lado temos Nminusn lugares vazios onde podemos colocar kminus j letrasU e as restantes terao quer ser preenchidas com D Mas combinatoria basicanos diz que

Ck jNn =

(Nminusnkminus j

)Isto conclui a demonstracao


Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD F(Sk

N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao

O preco de uma opcao com payoff F(S) vencimento em T = N unidades detempo a partir do instante atual e dado por

V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]


O valor esperado na proposicao anterior e definido pela probabilidade de seestar na folha k no tempo N No caso de uma arvore com PU = PD = 12 adistribuicao de probabilidade pode ser vista abaixo

Figura Grafico de P[SN = U jDNminusj

∣∣S0 = S]


Precificacao via Hedging

Considere um portfolio θjn = (∆j

nBjn)t O valor do portfolio sera

V jn = ∆j

nSjn + Bj

n

Dependendo do estado teremos

∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1

Resolvendo para ∆jn e Bj

n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]

Levando em conta que V jN = F(Sj

N) temos a mesma recursao anteriorTemos entao a seguinte estrategia

1 No tempo t = tn montamos um portfolio θjn = (∆j

nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N

3 Claramente teremosBj

k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls

Neste caso temosF(SN) = max(SN minusK 0)

Escrevendo S00 = S temos que

C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk

UPNminuskD (SN minusK )

Como SkN = SUk DNminusk temos que

S

(UD

)k

DN gt K rArr k gtln( K

SDN )

ln( UD )


Assim se escrevermos

k0 = dln(KSDn) ln(UD)e

onde dxe denota o menor inteiro maior ou igual a x observamos que(1 + R)N = (1 + R)k (1 + R)Nminusk obtemos

C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD

podemos entao escrever

C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)

Observe que QU + QD=1 Aplicando a formula de precificacao dada por (6)temos o seguinte graficos normalizados


Figura Precos de opcoes de compras com maturidades de 1 mes 6 meses e um anocomparados com o payoff


Construcao do Portfolio Replicador

Vamos agora construir explicitamente o portfolio equivalente que um emissorde uma Call deve montar para se proteger de um eventual pagamentoVamos denotar por E j

n o valor de um portfolio por unidade do ativo no tempot = tn e Sn = Sj

n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1

]satisfazendo as seguintes condicoes

E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K

Analogamente se Bjn denota o valor no ativo sem risco que devemos ter no

portfolio no tempo t = tn com o ativo Sn = Sjn temos entao que

Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K


Assim observamos que o portfolio replicador e basicamente

Ficar comprado no ativo de risco

Ficar vendido em dinheiromdashou seja contrair uma dıvida

Note tambem que

∆rarr 1 quando S K


Isso reflete um fato natural quando o ativo se valoriza muito o unico jeito dese proteger contra uma obrigacao de fornecer uma certa quantidade e ficandocomprado neste ativo Por outro lado quando um ativo se desvaloriza muitoinveste-se num deposito remunerado sem risco


Puts

No caso da Put podemos usar a paridade Put-Call para N perıodos ie

P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD


Plano Passagem ao Limite

Assumiremos como antes que estamos na medida neutra ao risco

Fixaremos um perıodo de tempo T

Tomaremos dt minusrarr 0 e N minusrarr infin de modo que

T = Ndt


Estatıstica dos Precos do Modelo

Seja

dt =TN R = erdt minus1asymp rdt

Seja Y o processo de crescimento dado por

Y =1T

ln

(SN

S0

)OBS Se SN fosse o ativo sem risco teriamos Y equiv r ) De fato

Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r


Por outro lado no caso do ativo de risco temos

ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1

E[ln(Hn)] =1dtlnUPU + lnDPD

FatoUm calculo tedioso mas direto nos da que

ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)


Quanto a variancia temos por conta da independencia dos Hnrsquos que

Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt

ln2 UPU + ln2 DPDminus [lnUPU + lnDPD]2

=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD


Fazendo T = 1 na expressao acima nos da uma quantidade que e conhecidacomo a volatilidade do ativo de risco

σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD

A volatilidade mede como o proprio nome sugere o grau de incertezaassociada ao valor do ativo de risco Note que se σ2 = 0 entaoU = D = 1 + R e o ativo de risco e equivalente financeiramente ao ativo semriscoNesse contexto um investidor que aplique no ativo de risco espera ter umganho medio ν que pode variar dentro de um intervalo de incertezaproporcional a σ


Teorema do Limite Central

Teorema

Sejam X1 middot middot middot Xn middot middot middot uma sequencia de v a independentes identicamentedistribuidas (vaiid) com media micro e variancia σ2 gt 0 ambas finitas Entao avariavel aletoria

ZN =N

sumn=1

(Xnminusmicro)(radic

Nσ)

converge em distribuicao para a normal padrao N(01) ou seja

limNrarrinfin

P [ale ZN le b] =int b

a

eminusx22radic

2πdx (5)



Podemos reescrever ZN na forma

ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N

ou se definirmos a media amostral

X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N

O Teorema do Limite Central nos diz que a media X N se aproxima de micro nosentido que

P[|X N minusmicro|gt ε

]rarr 0 qdo Nrarr infin


Teorema do Limite CentralIlustracao


∣∣S0 = S]



Figura histfit(mean(rand(1000010000)))

Veja tambem o sitehttpsenwikipediaorgwikiIllustration_of_the_central_limit_theorem


O Limite do Modelo Binomial quando Nrarr infinAssumindo que estamos na medida neutra ao risco

Conclusao

Pelo TLC a va 1T ln(SNS0) converge para uma variavel normal com media

r minus 12 σ2 e variancia σ2

Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds


O Limite do Modelo Binomial quando Nrarr infin

Assumindo que estamos na medida neutra ao risco

Opcao europeia de compra (call) No caso binomial

C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)

ficaraC(SK T ) = SΦ(d1)minusKeminusrT Φ(d2)

com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T

d2 =ln(SK ) + (r minus 1

2 σ2)T

σradic

T




Opcao europeia de venda (put) temos

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara

P(SK T ) = KeminusrT Φ(minusd2)minusSΦ(minusd1)

com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T


Calibragem com Dados de Mercado no Modelo Binomial

Obs Mais de uma maneira de calibrar modelos binomiaisNO QUADRO


CalibragemModelo Binomial

D = 1U

ProposicaoPara calibrarmos o modelo binomial podemos escolher partindo de r e σ

dados

A =12

(eminusr∆t + e(r+σ2)∆t

)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao

d = er∆t(1minusradic

eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12


Calculo via Arvores Binomiais

Passos1 Definir o contrato e seus parametros2 Obter dados historicos do ativo subjacente EG

httpfinanceyahoocomqhps=ˆGSPC+Historical+Prices

3 Salvar usando a funcao Download to Spreadsheet4 Importar os dados para o matlab5 Calibrar o valor de σ a partir da serie historica6 Aplicar o algoritmo de calculo


Exemplo 1

Problema calcular o preco de uma call europeia no modelo deBlack-Scholes

Parametros

Maturidade (T) 1 anoPreco de Exercıcio (K) 500Preco Inicial do Ativo (S0) 1000Taxa de Juros (r) 005 contınua e anualVolatilidade (σ) 030 anual

Tecnica Arvore Binomial

Codigo(s) preco call arvore binomial 1m epreco call arvore binomial 2m


Exemplo 1


Parametros





Pequena Intro as Opcoes AmericanasNo Quadro

1 Motivacao2 Tempo de Parada (fazer exemplo binomial)3 Hedging e Replicacao

X θ(t)gepayoff(t)

4 Condicoes de Exercıcio5 Propriedades e Geometria6 Problemas de Fronteira Livre7 Recursao e Metodo SOR projetado


Calculo via Arvores Binomiais (Opcoes Americanas)

Algoritmo1 Calcular disc = exp(minusr∆t)2 Construir Arvore3 V M

n = h(SMn ) para n = 0 middot middot middot M

4 Para n = (Mminus1) minus1 0 calcular

V mn = max

(payoff(Sm

n )exp(minusr∆t)(pV m+1n+1 + (1minusp)V m+1

n ))

para n = 0 middot middot middot M


Calculo via Arvores Binomiais (Opcoes Bermudianas)



4 Para n = (Mminus1) minus1 0 se estivermos em perıodo permitido deexercıcio calcular

V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario

V mn = exp(minusr∆t)(pV m+1

n+1 + (1minusp)V m+1n ) para n = 0 middot middot middot M


Exemplo 2

Problema calcular o preco de uma call bermudiana no modelo deBlack-Scholes

Parametros

Maturidade (T) 1 anoPreco de Exercıcio (K) 500Preco Inicial do Ativo (S0) 1000Taxa de Juros (r) 005 contınua e anualVolatilidade (σ) 030 anualDatas de Exercıcios dia primeiro de cada mes


Codigo(s) preco berm call arvore binomial 2m


Exemplo 3

Problema calcular o preco de uma put americana no modelo deBlack-Scholes

Parametros



Codigo(s) preco amer put arvore binomial 2m


Comportamento Estocastico dos MercadosExemplo

Figura Dados do IBOVESPA







Por que

Quando

Quem



Dois Mil BC - India









Thales de Mileto

L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura L Bachelier


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura R Merton


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura M Scholes


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton


Problemas centrais




EstrategiaPassos





Modelos

Contınuos

Discretos



ContınuosPROS




Implementacao

DiscretosPROS







Computacional




F(ST ) =


0 se ST le K


Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros










Por que

Quando

Quem



Dois Mil BC - India









Thales de Mileto

L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura L Bachelier


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura R Merton


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura M Scholes


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton


Problemas centrais




EstrategiaPassos





Modelos

Contınuos

Discretos



ContınuosPROS




Implementacao

DiscretosPROS







Computacional




F(ST ) =


0 se ST le K


Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






Dois Mil BC - India









Thales de Mileto

L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura L Bachelier


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura R Merton


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura M Scholes


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton


Problemas centrais




EstrategiaPassos





Modelos

Contınuos

Discretos



ContınuosPROS




Implementacao

DiscretosPROS







Computacional




F(ST ) =


0 se ST le K


Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros








Thales de Mileto

L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura L Bachelier


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura R Merton


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura M Scholes


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton


Problemas centrais




EstrategiaPassos





Modelos

Contınuos

Discretos



ContınuosPROS




Implementacao

DiscretosPROS







Computacional




F(ST ) =


0 se ST le K


Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






Figura L Bachelier


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura R Merton


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura M Scholes


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton


Problemas centrais




EstrategiaPassos





Modelos

Contınuos

Discretos



ContınuosPROS




Implementacao

DiscretosPROS







Computacional




F(ST ) =


0 se ST le K


Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






Figura R Merton


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton



Figura M Scholes


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton


Problemas centrais




EstrategiaPassos





Modelos

Contınuos

Discretos



ContınuosPROS




Implementacao

DiscretosPROS







Computacional




F(ST ) =


0 se ST le K


Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






Figura M Scholes


L Bachelier (Paris)

P Samuelson

F Black

M Scholes

R Merton


Problemas centrais




EstrategiaPassos





Modelos

Contınuos

Discretos



ContınuosPROS




Implementacao

DiscretosPROS







Computacional




F(ST ) =


0 se ST le K


Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Problemas centrais




EstrategiaPassos





Modelos

Contınuos

Discretos



ContınuosPROS




Implementacao

DiscretosPROS







Computacional




F(ST ) =


0 se ST le K


Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





EstrategiaPassos





Modelos

Contınuos

Discretos



ContınuosPROS




Implementacao

DiscretosPROS







Computacional




F(ST ) =


0 se ST le K


Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






ContınuosPROS




Implementacao

DiscretosPROS







Computacional




F(ST ) =


0 se ST le K


Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros







F(ST ) =


0 se ST le K


Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Aprecamento da Call






F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros







F(XT ) =


0 se XT ge K


Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Aprecamento da Put






















dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros























dSt

St= microdt + σdWt


∆Wt =int t+∆t

tdWs










Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros












Extensoes









Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






Princıpios

Nao arbitragem

Replicacao



Algumas Aplicacoes


Paridade Call-Put








Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros










Exemplo


Vermelho 70Preto 30





R$000 se sair preto









Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros











Exemplo


4Coroa 1

4


12times 1

4+ 2times 3

4=

138

= 1625



Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Almoco de graca











Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Mais Hedging








Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Mas





Entretanto






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






13timesR$1200 +

23timesR$000 = R$400

13timesR$1200 +

23timesR$300 = R$600





Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros







Definicao














∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros















∣∣Ft










Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros












Arbitragem





1


2



Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Nao-Arbitragem


p = Dπ (1)






Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Replicacao

Definicao







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros







P = preco da put

C = preco da call

Entao

P = CminusS +K

1 + R (2)




Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros







Preco = Eπ

[Payoff

(1 + R)n


Preco = Eπ


]










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros













θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R

ie

V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2







tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros










tD = Et


posto(Dt)= M









Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros











Modelo Binomial




S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





S =1

1 + Rπ1SU + π2SD

π1 + π2 = 1


π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + RminusD

UminusDe π2 =

Uminus (1 + R)

UminusD


D lt 1 + R lt U





V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros







V =1

1 + Rπ1D1 + π2D2




Vcall =1

1 + R1 + RminusD

UminusD(SUminusK )










θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros













θ1 =D1minusD2

SUminusSDe θ2 =

UD2minusDD1

UminusD


V = θ1S +θ2

1 + R








tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros











tD = Et E isin RM


posto(Dt)= M



O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





O Modelo Basico


Ω = UD




onde

Hn =



S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





S00

S11

S01

S22

S12

S02

S33

S23

S13

S03


Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Hipotese Martingal


Sn =1

1 + RE[Sn+1|Sn]


1 =1



PU =1 + RminusD

UminusD PD =

Uminus (1 + R)



Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Unicidade








V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros










V jn =

11 + R

EVn+1|Sn = Sjn

V jn =

11 + R

PUV j+1n+1 + PDV j

n+1


V jN = F(Sj

N)



V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






V jn =

(1

1 + R

)Nminusn

EF(SN)|Sn = Sjn

=

(1

1 + R

)Nminusn N

sumk=0

P[SN = SkN |Sn = Sj

n]F(SkN)


Lema

P[SN = SkN |Sn = Sj

n] =

(Nminusnkminus j

)Pkminusj

U PNminusnminusk+jD


Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Demonstracao




P[SN = Sk

N |Sn = Sjn

]= Ck j


D


n e terminando emSk


Ck jNn =

(Nminusnkminus j



Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Portanto

V jn =

(1

1 + R

)Nminusn Nminusn+j

sumk=j

(Nminusnkminus j

)Pkminusj


N)

Se n = j = 0 temos

V 00 =

(1

1 + R

)N N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD F(Sk

N)

Proposicao


V0 =

(1

1 + R

)N

E[F(SN)

∣∣S0]




∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros







∣∣S0 = S]





V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros








V jn = ∆j

nSjn + Bj

n


∆jnSj+1

n + Bjn(1 + R) = V j+1

n+1

∆jnSj

n + Bjn(1 + R) = V j

n+1


n obtemos

∆jn =

V j+1n+1minusV j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

e Bjn =minus 1

1 + R

Sjn+1V j+1

n+1minusSj+1n+1V j

n+1

Sj+1n+1minusSj

n+1


Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Portanto

V jn =

11 + R

[Sj

n(1 + R)minusSjn+1

Sj+1n+1minusSj

n+1

V j+1n+1 +

Sj+1n+1minusSj

n(1 + R)

Sj+1n+1minusSj

n+1

V jn+1

]=

11 + R

[PUV j+1n+1 + PDV j

n+1]




nBjn)t

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1minusV j

k+1

Sj+1k+1minusSj

k+1

n le k le N


k = V jk minus∆j

k Sjk


Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Calls



C(SK N) =1

(1 + R)N

N

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD max(Sk

N minusK 0)

=1

(1 + R)N

N

sumSk

NgeK

(Nk

)Pk



S

(UD

)k


SDN )

ln( UD )





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros








C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)(U

1 + RPU

)k ( D1 + R

PD

)Nminusk

minus

minus K(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD


Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Sejam

QU =U

1 + RPU e QD =

D1 + R

PD


C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (4)








n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros










n Temos entao que

E jn =

11 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1


E jN = Sj

N SjN ge K e E j

N = 0 SjN lt K



Bjn =

11 + R

[PUBj+1

n+1 + PDBjn+1

]

satisfazendo

BjN =minusK Sj

N ge K e BjN = 0 Sj

N lt K





Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros








Note tambem que





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Puts


P = CminusS +K

(1 + R)N

ComoN

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD =

N

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD = 1

Obtemos que

P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD






T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros









T = Ndt



Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






Seja



Y =1T

ln

(SN

S0


Y =1T

ln

((1 + R)NS0

S0

)=

1T

lnerNdt

= r



ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






ln

(SN

S0

)=

N

sumn=1

ln

(Sn

Snminus1

)=

N

sumn=1

ln(Hn)

Vamos escrever

ν = E[Y ] =1T

N

sumn=1



ν = r minus 12

σ2 + O(dt12)



Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






Var [Y ] =1

T 2

(N

sumn=1

Var [ln(Hn)]

)=

NT 2 Var [ln(H1)]

Portanto

Var [Y ] =1

Tdt


=

=1

Tdt

[ln

(UD

)]2

PUPD



σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






σ2 =

1dt

[ln

(UD

)]2

PUPD




Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






Teorema


ZN =N

sumn=1


Nσ)


limNrarrinfin


a

eminusx22radic

2πdx (5)




ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros







ZN =1N

(sum

Nn=1 Xn

)minusmicro

σradic

N


X N =1N

(N

sumn=1

Xn

)

entao

ZN =

(X N minusmicro

)σradic

N







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros







∣∣S0 = S]







Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros










Conclusao



Lembrando

Φ(x) =1radic2π

int x

minusinfin

eminuss22ds





C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros








C(SK N) = SN

sumkgtk0

(Nk

)Qk

UQNminuskD minus K

(1 + R)N

N

sumkgtk0

(Nk

)Pk

UPNminuskD (6)


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T





P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros








P(SK N) =K

(1 + R)N

kltk0

sumk=0

(Nk

)Pk

UPNminuskD minusS

kltk0

sumk=0

(Nk

)Qk

UQNminuskD

ficara


com

d1 =ln(SK ) + (r + 1

2 σ2)T

σradic

T


2 σ2)T

σradic

T






D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros









D = 1U


dados

A =12


)Tome

U = A +radic

A2minus1

D = 1U e

P =er∆t minusD

UminusD



p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros






p = 12

U + D = 2er∆t

U2 + D2 = 2e(2r+σ2)∆t

Proposicao


eσ2∆t minus1)

u = er∆t(1 +radic

eσ2∆t minus1)

p = 12







Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros










Exemplo 1


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Exemplo 1


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros







X θ(t)gepayoff(t)







V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros









V mn = max

(payoff(Sm


n ))







V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros









V mn = max

(payoff(Sm


n ))


caso contrario




Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Exemplo 2


Parametros





Exemplo 3


Parametros





Exemplo 3


Parametros





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