métodos computacionais para geração de sinais aleatórios aplicados a sistemas de

ResumoCom a revoluo nas tecnologias de distribuio de sinais e o desenvolvimento dos processos de digitalizao, um dos

desafios da Transmisso Digital garantir a segurana e o

desempenho adequado das redes de comunicao sem fio, que,

passaram a exigir o aumento da capacidade dos equipamentos.

Dentro do contexto das engenharias, considerando o custo destes

equipamentos, um ambiente de simulao adequado de

essencial importncia. Na fase de simulao, sabe-se que,

confiabilidade, preciso e aleatoriedade so caractersticas

primordiais para a anlise de desempenho de qualquer produto.

objeto de estudo deste trabalho, compreender os vrios

mtodos computacionais para a gerao de sinais aleatrios, de

acordo com os diversos tipos de distribuies estatsticas

existentes e, desenvolver softwares que possam ser efetivamente

utilizados na simulao e anlise dos problemas envolvidos na

engenharia de telecomunicaes, visando assim, propor solues

para alcanar maior aproveitamento na transmisso dos sinais

nas redes de comunicao sem fio.

Palavras chaveTransmisso digital, sinais aleatrios, distribuies estatsticas e mtodos computacionais.

AbstractDue to the revolution in signal distribution technologies and the development of digitization process, one of

the challenges of digital transmission is to ensure the safety and

proper performance of wireless communication networks, which

required an increase of the equipment capacity. Within the

context of engineering, considering the high cost of such

equipment, an appropriate simulation environment is of

paramount importance. In the simulation phase, we know that

reliability, accuracy and "randomness" are crucial features for

the performance analysis of any product. Therefore it is the

subject of this work, understanding the several computational

methods for generating random signals, according to the several

types of statistical distributions that exists and developing

software that can be effectively used in the simulation and

analysis of the problems involved in telecommunications

engineering thus aiming at proposing solutions to achieve the

greater utilization in the transmission of signals in wireless

communication networks.

Las A. Moreira ([email protected]) e Rausley A. A. de Souza

([email protected]) pertencem ao Instituto Nacional de Telecomunicaes -

Inatel. Av. Joo de Camargo, 510, Santa Rita do Sapuca, MG, Brasil, 37540-

000. Parte deste artigo foi apresentado no 32 CILAMCE Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering. Ouro Preto.

Este projeto conta com o apoio financeiro da FAPEMIG.

KeywordsDigital Transmission, Random signals, Statistical Distributions and Computational Methods.

I. INTRODUO

A importncia da gerao dos chamados nmeros aleatrios

vem da multiplicidade das suas aplicaes, pois, utilizando a

aleatoriedade foi possvel desenvolver tcnicas mais simples

para resolver problemas numricos complexos.

Dentre as principais aplicaes onde se encontram a

utilidade dos nmeros aleatrios (ou sinais aleatrios)

destacam-se: simulao, amostragem, anlise numrica,

programao, criptografia, tomada de deciso entre outras.

Os nmeros aleatrios, na prtica, so muito difceis de

obter. Como tcnica alternativa utiliza-se os chamados

nmeros pseudo-aleatrios (gerados por algoritmos) para

simular os eventos aleatrios utilizados, por exemplo, na

segurana das redes de comunicaes sem fio. Um exemplo de

aplicao desta tcnica utilizado nos sistemas CDMA (Code

Division Multiple Access).

Na fase de simulao, sabe-se que confiabilidade, preciso e

aleatoriedade so caractersticas primordiais para os eventos aleatrios. Assim, um ambiente de simulao adequado de

essencial importncia.

Dentro do contexto apresentado, sero objetos de estudo

deste trabalho os mtodos de gerao de nmeros aleatrios

considerando-se os chamados ambientes no homogneos.

Nos modelos matemticos aplicveis nestes ambientes,

destacam-se as distribuies -, - e -, bem como uma anlise prtica destas distribuies atravs dos resultados

numricos obtidos.

II. MTODOS COMPUTACIONAIS DE GERAO DE SINAIS ALEATRIOS

A palavra aleatoriedade utilizada para exprimir quebra de

ordem ou imprevisibilidade, ou ainda um conjunto de eventos

que no descreve um padro determinstico, mas segue uma

distribuio de probabilidade.

As muitas aplicaes da aleatoriedade levaram ao

desenvolvimento de diferentes mtodos para a gerao

aleatria de dados. A escolha de qualquer mtodo depende de

Mtodos Computacionais para Gerao de

Sinais Aleatrios Aplicados a Sistemas de

Transmisso Digital

Las Aparecida Moreira

Instituto Nacional de Telecomunicaes - Inatel

[email protected]

Rausley A. A. de Souza

Instituto Nacional de Telecomunicaes - Inatel

[email protected]

ANAIS DO CONGRESSO DE INICIAO CIENTFICA DO INATEL - INCITEL 2012188

sua eficincia e aplicabilidade para uma determinada

distribuio.

A seguir sero apresentados alguns dos mtodos e tcnicas

utilizados no processo de gerao de nmeros aleatrios.

A. Mtodo Box & Muller

O mtodo da transformao de Box & Muller proposto

inicialmente por [2] consiste da gerao de pares de amostras

aleatrias independentes com distribuio normal com mdia

zero e varincia unitria, a partir de uma fonte de nmeros

aleatrios distribudos uniformemente.

Considerando que U1 e U2 so variveis aleatrias

uniformemente distribudas no intervalo unitrio, e sero variveis aleatrias gaussianas de mdia e varincia , conforme descrito por

(1)

(2)

Dada a anlise acima, percebemos que o mtodo de Box &

Muller um mtodo estatstico muito simples, porm,

considerado ruim devido lentido de processamento, fato

que ocorre porque o mtodo requer a estimativa de uma raiz

quadrada e de duas funes trigonomtricas a cada par de

amostras gerado.

Embora atualmente existam recursos computacionais

disponveis para auxiliar em um processamento rpido, a

transformao de Box & Muller pode ser realizada com mais

eficincia utilizando um algoritmo de aceitao/rejeio

conforme segue:

1. Gere e independentemente conforme . 2. Faa . 3. Se ento, volte ao passo 1. 4. Caso contrrio, faa e

.

A validade deste mtodo, bem como exemplos de aplicao,

pode ser encontrada em [4].

B. Mtodo da Convoluo

Para vrias distribuies estatsticas importantes [6], uma

varivel aleatria desejada pode ser expressa como uma soma de outras variveis aleatrias que so IID (independente

e identicamente distribudas) e podem ser geradas mais

rapidamente do que a gerao direta de , ou seja,

(3)

importante ficar atento para no confundir o mtodo da

convoluo com o mtodo da composio [6]. Aqui

assumimos que a varivel aleatria pode ser representada como um somatrio de outras variveis aleatrias, o que difere

bastante da situao abordada pelo mtodo da composio. O

algoritmo geral para o mtodo da convoluo pode ser descrito

pelos seguintes passos:

1. Gerar IID cada um com funo de distribuio .

2. Retornar . O mtodo da convoluo, quando ele pode ser utilizado,

muito simples, pois, podemos gerar a sequncia de

facilmente.

C. Mtodo Congruencial Multiplicativo

O mtodo congruencial, tambm conhecido como mtodo

do Resduo da Potncia, tem este nome devido ao conceito de

congruncia, da teoria dos nmeros. A expresso matemtica

do mtodo dada por [4]

(4)

onde um inteiro entre 0 e M, e M um nmero primo ou uma potncia inteira de um nmero primo .

Exemplos e aplicaes deste mtodo podem ser encontrados

em podem ser encontradas em [6].

D. Mtodo da Transformada Inversa

Para a varivel aleatria X a funo distribuio cumulativa

(FDC) a funo definida por [4]

(5)

onde e representa a probabilidade do evento . Logo, se uma varivel aleatria com uma FDC contnua temos que

(6)

onde uniformemente distribuda no intervalo . Assim, podemos perceber uma relao simples entre a

varivel aleatria e a varivel aleatria com funo distribuio

(7)

O uso desta simples transformao denominado tcnica da

FDC inversa. Uma grande desvantagem deste mtodo o fato

de sua aplicao estar limitada a variveis que possuem FDC

inversvel. A validade do mtodo pode ser encontrada em [4].

E. Mtodo de Monte Carlo

O mtodo de Monte Carlo (MMC) um mtodo estatstico

simples e direto, utilizado como forma de obter aproximaes

numricas de funes complexas.

O mtodo tipicamente envolve a gerao de observaes

atravs de vrios experimentos de alguma distribuio de

probabilidade e o uso da amostra obtida para aproximar a

funo de interesse.

Para entender o mtodo, suponha que se deseja avaliar a

integral [6]

(8)

onde uma funo real que no analiticamente integrvel.

Seja Y a varivel aleatria onde uma varivel aleatria contnua distribuda uniformente no

intervalo , ento o valor esperado de

(9)

Atravs da anlise encontrada em [6] obtemos que

ANAIS DO CONGRESSO DE INICIAO CIENTFICA DO INATEL - INCITEL 2012 189

. (10)

Em particular, estimando pela mdia das amostras obtemos que

(11)

onde so variveis aleatrias IID . Alm disso, de acordo com [6] podemos mostrar que

, ou seja, que um estimador de I. A validade do mtodo, bem como exemplos de aplicao,


F. Mtodo da Aceitao-Rejeio

O mtodo da Aceitao-Rejeio [6] necessita que

especifiquemos uma funo , comumente chamada de hat function, que seja majoritria em relao funo densidade

de probabilidade (FDP) que se deseja gerar, ou seja, para todo . A funo no ser uma FDP j que

(12)

Mas a funo

(13)

claramente uma FDP. Este mtodo capaz de gerar uma

varivel aleatria com FDP . O algoritmo geral o seguinte:

1. Gerar tendo uma distribuio qualquer (Uniforme, gaussiana, exponencial ou outra).

2. Gerar uma distribuio uniforme , independente de .

3. Se retornar . Caso contrrio, retornar para o passo 1 e tentar novamente.

O algoritmo continua realizando o processamento at gerar

N nmeros aleatrios X distribudos de acordo com a

distribuio desejada. Como demonstrado em [6], a probabilidade de aceitao no passo 3 do algoritmo . A validade deste mtodo, bem como exemplos de aplicao,


III. AMBIENTES NO HOMOGNEOS

Em sistemas de comunicaes mveis pequenos

deslocamentos espaciais podem resultar em grandes variaes

no nvel do sinal recebido [9]. Como alternativa para avaliar

os efeitos desses pequenos deslocamentos so utilizados

modelos estatsticos.

Trs fatores bsicos so considerados em um modelo

estatstico de um sinal se propagando [3]: perdas de percurso,

efeitos de sombreamento e efeitos de mltiplo percurso.

Estes trs fatores influenciam diretamente nas variaes

sofridas pelo canal. Logo, um ambiente de propagao pode

ser descrito como a combinao desses trs fatores,

dependendo das caractersticas e finalidades de cada ambiente.

Por sua vez, cada ambiente de propagao est associado a

um mtodo estatstico. devido a este fato que os diversos

tipos de ambientes de propagao so descritos por

distribuies estatsticas de mesmo nome.

As distribuies mais conhecidas, tais como Rayleigh [7],

Rice [10] e Nakagami-m [8], consideram um ambiente de

propagao onde os mltiplos percursos refletem-se nas

superfcies de forma homognea. Esta certamente uma

aproximao, pois para que seja caracterizado um campo de

espalhamento homogneo fazem-se necessrias algumas

caractersticas conforme descrito por [3].

Com o objetivo de modelar o fenmeno de desvanecimento

em pequena escala em um ambiente no homogneo, foram

propostas recentemente as distribuies -, - e - que so brevemente demonstradas neste artigo seguidas de um

comparativo com as demais distribuies.

A. Distribuio -

A distribuio - [13] uma distribuio de desvanecimento geral que foi proposta com o objetivo de

explorar a no linearidade de um meio de propagao. Esta

distribuio , na verdade, uma verso reescrita da distribuio

Gama generalizada, a qual foi proposta pela primeira vez por

Stacy [12]. A densidade - dada por [13]

(14)

onde o parmetro de no linearidade, o valor eficaz de R, o nmero real de clusters (conjuntos de ondas

espalhadas) e a funo Gamma. Sendo , e o parmetro dado por

(15)

onde denota o operador esperana matemtica, representa a varincia e o parmetro correspondente ao

nmero real de clusters de mltiplos percursos.

A FDC da envoltria pode ser obtida como

(16)

sendo a funo Gamma incompleta. A distribuio - uma distribuio que inclui outras

distribuies conhecidas, tais como Gamma (e suas verses

discreta Erlang e central Chi-Quadrado), Nakagami- (e sua verso discreta Chi), Exponencial, Weibull, Semi Gaussiana e

Rayleigh. A Figura 1 mostra a relao entre as principais distribuies derivadas a partir da distribuio -.

Fig. 1. Sumrio Matemtico Distribuio -


B. Distribuio -

A distribuio - [14] uma distribuio de desvanecimento geral que pode ser usada para representar as

variaes em pequena escala do sinal em desvanecimento em

uma condio de linha de visada direta (LOS, do ingls Line

of Sight).

A distribuio considera um sinal composto de vrios

clusters com ondas provenientes dos mltiplos percursos.

Dentro de cada cluster, as fases das ondas so aleatrias e tem

atrasos temporais semelhantes e, entre os vrios clusters, os

atrasos das ondas so relativamente grandes. Por hiptese,

considera-se que as ondas dos mltiplos percursos dos vrios

clusters possuem potncias idnticas, mas dentro de cada

cluster existe uma componente dominante de potncia

arbitrria [9]. A distribuio dada por

(17)

onde a razo entre a potncia total da componente dominante e a potncia total das componentes espalhadas, e

a funo de Bessel modificada de primeiro tipo de ordem arbitrria [1]. Sendo

(18)

A FDC da envoltria pode ser obtida como

(19)

onde a funo Marcum-Q generalizada [1]. Assim como a distribuio -, a distribuio - tambm

inclui outras distribuies conhecidas, tais como Nakagami-m,

Rayleigh, Rice e Semi Gaussiana. A Figura 2 mostra a relao

entre as distribuies citadas.

Fig. 2. Sumrio Matemtico Distribuio -.

C. Distribuio -

A distribuio - [14] uma distribuio de desvanecimento geral que pode ser usada para representar as

variaes em pequena escala do sinal em desvanecimento em

uma condio NLOS (Non Line-of-Sight).

Assim como nos ambientes - e k-, a modelagem a partir

da distribuio - considerada em um ambiente no homogneo, sendo o sinal tambm composto de vrios

clusters com ondas provenientes dos mltiplos percursos.

De forma geral, a Figura 3 mostra o mecanismo de

propagao em um ambiente no homogneo onde possvel

verificar vrios conjuntos de ondas espalhadas (ou clusters)

Fig. 3. Mecanismo de Propagao

De acordo com [9] dentro de cada cluster, as fases das

ondas so aleatrias e tem atrasos temporais semelhantes e,

entre os vrios clusters, os atrasos das ondas so relativamente

grandes.

A distribuio - pode aparecer em dois formatos diferentes. No Formato 1, as componentes em fase e em

quadratura do sinal em desvanecimento dentro de cada cluster

so consideradas gaussianas independentes de mdia nula e

possuem potncias diferentes (varincias distintas). No

Formato 2, as componente em fase e em quadratura do sinal

em desvanecimento dentro de cada cluster so consideradas

gaussianas correlacionadas de mdia nula e possuem potncias

idnticas (varincias idnticas). Sendo assim o parmetro a relao entre as varincias das componentes em fase e em

quadratura.

Em ambos os formatos, o parmetro uma extenso real do nmero de clusters e dado por

(20)

onde e so funes do parmetro e variam de um formato para outro.

A partir das concluses acima, a FDP da distribuio - para os dois formatos, dada por

(21)

onde a potncia mdia do sinal.

Assim, a FDC da distribuio - pode ser expressa como

(22)

onde

(23)


Como casos especiais da distribuio - so consideradas as distribuies Semi Gaussiana Positiva, Rayleigh, Hoyt e

Nakagami- . A Figura 4 descreve a relao entre as distribuies relacionadas com a densidade -.

Fig. 4. Sumrio Matemtico Distribuio -.

D. Mtodo da Convoluo aplicado s Distribuies em Estudo

Como descrito na Seo II.B deste trabalho o mtodo da

convoluo muito simples nos casos em que ele pode ser

aplicado, ou seja, nos casos em que a varivel aleatria

desejada pode ser expressa como uma soma de outras variveis aleatrias que so IID

Esta seo tem por objetivo demonstrar como algumas das

distribuies em estudo podem ser geradas a partir do

somatrio de variveis aleatrias gaussianas, dependendo das

caractersticas particulares e dos parmetros aplicados a cada

distribuio.

A distribuio - considerando o mtodo, pode ser descrita como

(24)

considerando mdia nula e varincia para cada varivel aleatria.

A distribuio - pode ser descrita como

(25)

onde e so processos gaussianos independentes com mdia nula e varincia ; e representam respectivamente os valores mdios das componentes em fase e

em quadratura do sinal composto de clusters com ondas provenientes dos mltiplos percursos; e o nmero de clusters de mltiplo percurso.

A distribuio - pode ser descrita como

(26)

onde e so processos gaussianos independentes com mdia nula e varincias distintas.

A distribuio Nakagami-m pode ser descrita como

(27)

onde , , so variveis com mdia nula e

varincia . A distribuio Rayleigh pode ser descrita como

. (28)

A distribuio Hoyt pode ser descrita como

(29)

considerando mdia nula e varincias e

distintas para as

variveis Y1 e Y2.

A distribuio Gaussiana unilateral pode ser descrita como

(30)

considerando mdia nula e varincia para a varivel aleatria Y1.

IV. RESULTADOS NUMRICOS Para facilitar o entendimento deste trabalho e ainda, como

forma de avaliar o comportamento dos ambientes de

propagao mencionados, a seguir so apresentados alguns

grficos gerados com o auxlio dos softwares de simulao

Matlab e Mathematica.

A. Ambiente Nakami-m

A Figura 5 ilustra o comportamento do ambiente de

propagao Nakagami-m. Nesta simulao fixou-se o fator de

desvanecimento m dado na Equao (15) para , e tornamos varivel o parmetro , que refere-se potncia mdia do sinal.

Fig. 5: Comportamento do ambiente de propagao Nakagami-m.

A Figura 6 tambm ilustra o comportamento do ambiente

de propagao Nakagami-m. Neste caso, foi alterado o fator de

desvanecimento.

Fig. 6: Comportamento do ambiente de propagao Nakagami-m.

B. Ambiente Hoyt

A Figura 7 ilustra o comportamento do ambiente de


propagao Hoyt (Nakagami-q). Na figura possvel perceber

as variaes sofridas pela envoltria da distribuio atravs da

alterao dos valores de (relao entre as varincias das componentes em fase e em quadratura) e da potncia mdia do

sinal, denotada por .

Fig. 7: Comportamento do ambiente de propagao Hoyt.

C. Ambiente -

O comportamento do ambiente de propagao - ilustrado na Figura. 8. Quando considera-se o nmero real de

clusters igual a 2 e, tornam-se variveis os valores do

parmetro de no linearidade e do valor eficaz de R ( ).

Fig. 8: Comportamento do ambiente de propagao -.

A Figura 9 tambm ilustra o comportamento do ambiente de

propagao -, contudo, neste caso, consideramos o valor

eficaz de R, aqui denotado por , igual a 1. O nmero real de clusters () se mantm igual a 2 e, tornamos varivel apenas

os valores do parmetro de no linearidade ().


D. Ambiente -

O comportamento do ambiente de propagao - ilustrado na Figura 10, onde possvel perceber as variaes

sofridas pela envoltria da distribuio atravs da alterao

dos valores de e de .


Para a gerao destas amostras foi utilizado o mtodo da

aceitao-rejeio, conforme descrito na Seo II.F. Como

pode ser observado, a aplicao do mtodo da Aceitao-

Rejeio mostrou-se eficiente no objetivo de gerar amostras

com amplitudes distribudas de acordo com a distribuio -. importante ressaltar que foi utilizada uma funo t(x)

constante o que produz uma FDP r(x) uniformemente

distribuda. A Tabela I mostra os dados considerados na

simulao e a porcentagem das amostras aceitas usando o

mtodo da aceitao-rejeio. Para aumentar a porcentagem

das amostras aceitas, possvel utilizar vrias funes

uniformemente distribudas, ou mesmo outro tipo de FDP,

com o objetivo de diminuir a rea abaixo de t(x). Aumentando

assim a probabilidade de aceitao de amostras e, portanto,

aumentando a eficincia do mtodo em termos de aceitao

das amostras.

TABELA I

RESULTADOS MTODO ACEITAO-REJEIO

Amostras geradas

Amostras

aceitas

Aproveitamento

%

0 2 2 100000 9553 9,55 1 1,5 2 100000 10018 10,02

2,41 1 2 100000 10067 10,07

V. TESTES DE ADERNCIA A fim de se verificar se os nmeros aleatrios gerados esto

distribudos conforme a distribuio de interesse, pode-se

fazer uso de algum teste estatstico de aderncia, cuja

finalidade averiguar se uma amostra pode ser considerada

como proveniente de uma populao com uma determinada

distribuio.

Os testes de aderncia mais utilizados so o teste de

Kolmogorov-Smirnov e o teste do Qui-Quadrado. Ambos

medem o grau de aderncia entre a distribuio de uma

amostra de nmeros aleatrios gerados e a correspondente

distribuio terica, e ambos tambm so baseados na hiptese

nula de que nenhuma diferena significante existe entre a

amostra e a distribuio terica. No presente artigo, dar-se-

maior ateno ao teste de Kolmogorov-Smirnov. Para maiores

informaes sobre este e outros testes para diferentes

propsitos, consultar [4].

O teste de Kolmogorov-Smirnov compara a FDC da

distribuio de interesse com a FDC da amostra, e pode ser

aplicado a qualquer distribuio contnua. Sendo SN(x) a FDC


emprica do conjunto de dados gerado, e F(x) a FDC da

distribuio de interesse, o teste Kolmogorov-Smirnov baseia-

se no maior desvio absoluto entre F(x) e SN(x) expresso por

(31)

(32)

Essas estatsticas medem as distncias (vertical) entre os

grficos das duas funes, terica e emprica, nos pontos

e . Com isso, utiliza-se como estatstica de teste

(33)

Como se trata de um teste de hipteses, estipula-se um

limiar de probabilidade a partir do qual possvel aceitar ou

rejeitar a hiptese nula, ou seja, aceitar ou no a sequncia de

dados gerada como aderente quela distribuio. Esse limiar

de probabilidade chamado de nvel de significncia, e

estipulado de acordo com o pesquisador. Em geral, estipula-se

um nvel de 5%. Este valor ser adotado neste artigo.

O valor da probabilidade de se obter o efeito observado,

dado que a hiptese nula verdadeira, chamado de p-valor.

Se o p-valor for menor que o nvel de significncia estipulado,

rejeita-se a hiptese nula, ou seja, o conjunto de dados no

aderente quela distribuio. Caso contrrio, se o p-valor for

maior, aceita-se a hiptese nula e os dados so considerados

aderentes quela distribuio. A Tabela II mostra o resultado

dos testes de aderncia para cada um dos conjuntos de dados

gerados nas sees anteriores. Pode-se concluir que todos os

conjuntos de dados gerados possuem p-valor maiores do que o

nvel de significncia adotado, 5%, e, portanto, todos so

considerados aderentes s suas respectivas distribuies.

TABELA II TESTE DE ADERNCIA.

Ambiente

(Distribuio)

Parmetros p-

Valor

Nakagami-m

=1 , m=2 0,5094

=2 , m=2 0,2023

=3 , m=2 0,0696

=1, m=0,5 0,6927

=1, m=1 0,4707

=1, m=2,5 0,9183

=1, m=3 0,3284

Hoyt

=2, =1 0,4806

=3, =2 0,6132

=4,5, =3,5 0,4222

-

=1, =2, =4 0,7657 =2, =2, =2 0,6462

=3, =2, =

0,7641

=1, =2, =1 0,1830 =2, =2, =1 0,3615 =3, =2, =1 0,0741

-

=0, =2 0,4207

=1, =1,5 0,8929

=2,4, =1 0,9621

VI. CONCLUSES Este trabalho foi elaborado a partir do estudo e

compreenso da gerao de sinais aleatrios dada a sua

importncia para a anlise e simulao de sistemas reais de

transmisso digital.

Foram abordados alguns dos principais mtodos

computacionais de gerao de nmeros aleatrios e, descritas

as distribuies -, - e - que consideram um ambiente de propagao no homogneo. Estas distribuies surgiram

como uma alternativa para avaliar os efeitos do

desvanecimento em pequena escala e, por isso vm se

tornando uma importante ferramenta aplicvel na modelagem

de sistemas de comunicaes mveis.

Por fim, foram demonstrados os resultados numricos

obtidos a partir da simulao das distribuies estudadas, onde

o comportamento de cada ambiente de propagao foi

ilustrado por grficos comparativos assim como os principais

testes de aderncia.

REFERNCIAS

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métodos computacionais para geração de sinais aleatórios aplicados a sistemas de

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