fundamentos de análise de sinais processos aleatórios estacionários
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Fundamentos de Análise de Sinais
Processos Aleatórios Estacionários
Conceitos Básicos
kx t t
- Conjunto de valores possíveis de um processo estacionário;
- t é o tempo em que se amostrou o a variável aleatória;
- k denota o número de ordem de um conjunto de N amostras visualizadas nos instantes de tempo t1,...,tN .
Conceitos Básicos
x k
y k
t E x t
t E y t
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
y y
t t se t t
t t se t t
Considerando t1=t e t2=t+t têm-se:
,
,
,
xx k x k x
yy k y k y
xy k x k y
C t t E x t t x t t
C t t E y t t y t t
C t t E x t t y t t
Conceitos Básicos
x k
y k
t E x t
t E y t
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
y y
t t se t t
t t se t t
Considerando Tau=0 têm-se:
2 2
2 2
,
,
,
xx k x x
yy k y y
xy k x k y xy
C t t E x t t t
C t t E y t t t
C t t E x t t y t t C t
Conceitos Básicos
Se somente os valores da média, da
variância e da covariância são invariantes
com o tempo os processos são ditos
fracamente estacionários.
Se todas as propriedades estatísticas são
invariantes com o tempo os processos são
ditos fortemente estacionários.
Funções de Correlação
,
,
,
xx k k
yy k k
xy k k
R t t E x t x t
R t t E y t y t
R t t E x t y t
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
, ,
, ,
, ,
xx
yy
xy
R t t x x p x x dx dx
R t t y y p y y dy dy
R t t x y p x y dx dy
2
2
xx xx x
yy yy y
xy xy x y
C R
C R
C R
Funções de Correlação
xx xx
yy yy
xy xy
R R
R R
R R
Função par
Ser uma função não negativa definida.
Funções Autocorrelações Especiais
Constante
Funções Autocorrelações Especiais
Harmônico
Funções Autocorrelações Especiais
Harmônico
0sin 2kx t X f t k 12p
0 1
0 2
sin 2
sin 2
k
k
x t X f t k x
x t X f t k x
1 2
22
0 00
2
0
sin 2 sin 22
cos 22
xx k k
xx
xx
R E x t x t E x x
XR f t f t d
XR f
Funções Autocorrelações Especiais
Ruído Branco
Funções Autocorrelações Especiais
Ruído com baixas freqüências
Funções Autocorrelações Especiais
Ruído de banda estreita
Funções Autocorrelações Especiais
Exponencial
Funções Autocorrelações Especiais
Harmônico* exponencial
Funções Autocorrelações Especiais
(Seno+Co-seno) * exponencial
Onda retangular
Funções Autocorrelações Especiais
O número de mudanças em
seg. é uma variável aleatória.k
cx t
c
22 2
1
1!
n
n
xxn
R c e c en
Soma de dois processos estacionários
Funções Autocorrelações Especiais
1 1, 2 2,
1 1,
2 2,
podem ser correlacionadas
k k k
k
k
y t a x t a x t
a x t
a x t
2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2yy x x x x x x x xR a R a a R R a R
Processos estatisticamente dependentes porém não correlacionados
Funções Autocorrelações Especiais
2cos1
sin
xy x
y
,p x y p x p y
Variável aleatória
x e y são estatisticamente dependentes
cos sin cos sin
1 1sin 2 sin 2 0
2 2
xyC E xy E x E y
E E E
E E
0, por que sin 0xE x E
Funções Coeficiente de Correlação
0 0xx xx xx xxR R C C
2 2
2 2
0
0
xx k x
yy k y
R E x t
R E y t
2 2 2xy x yC
2
2
0
0
xx x
yy y
C
C
1 1xyxy
x y
C
20 0xy xx yyR R R 2
0 0xy xx yyC C C
xyxy
x y
R
Função Correlação em Sinais com Atraso - Radares
0y t ax t t n t
0
0 0
xy
xy xx
R E x t y t E x t ax t t n t
R aE x t x t t aR t
20max
0xy xy xx xR R aR a
0d ct
Função Correlação em Sinais com Atraso - Radares
Se x(t) for uma onda com velocidade de propagação c tem-se:
Função Correlação em Sinais com Atraso - Radares
00
0
xy xxy
x y y
xy y x
R tt a
a t
2 2 2 2 2y x nE y t a
2 2 2 2
2 2 2
variância de devido a
1 variância de devido a
x xy y
n xy y
a y t x t
y t n t
yy xx nnR E x t y t aR R
Funções Densidade Espectrais
Via funções de correlação
Via transformada finita de Fourier
Via filtro passa-banda
Funções Densidade Espectrais
R d
2
2
2
i fxx xx
i fyy yy
i fxy xy
S f R e d
S f R e d
S f R e d
Condição para existência da função densidade espectral
2
2
2
i fxx xx
i fyy yy
i fxy xy
R S f e df
R S f e df
R S f e df
Transformada de Fourier direta
Transformada de Fourier inversa
Isto é sempre verdade para amostras finitas
Funções Densidade Espectrais
Propriedades de simetria
*
*
*
xx xx xx
yy yy yy
xy xy yx
S f S f S f
S f S f S f
S f S f S f
2
* 2
2
i fxy xy
i fxy xy
i fyx yx
S f R e d
S f R e d
S f R e d
u
d du
2
2
i fuxy xy
i fuyx yx
xy yx
S f R u e du
S f R u e du
S f S f
Prova
Funções Densidade Espectrais
0
0
cos 2 2 cos 2
cos 2 2 cos 2
xx xx xx
yy yy yy
S f R f d R f d
S f R f d R f d
Função auto densidade
0
0
2 cos 2
2 cos 2
xx xx
yy yy
R S f f df
R S f f df
2 0
2 0
xx xx
yy yy
G f S f f
G f S f f
Funções Densidade Espectrais
Função auto densidade
Funções Densidade Espectrais
0
0
0
0
4 cos 2
4 cos 2
2 cos 2
2 cos 2
xx xx
yy yy
xx xx
yy yy
G f R f d
G f R f d
R G f f df
R G f f df
Função auto densidade
Funções Densidade Espectrais
Função auto densidade
2 2
0
2 2
0
0
0
xx x xx
yy y yy
R E x t G f df
R E y t G f df
0
Funções Densidade Espectrais
Função densidade cruzada
2 0xy xyG f S f f
Co-espectro
Quad-espectro
xy
xy
C f
Q f
22 i fxy xy xy xyG f R e d C f jQ f
2 2
1tan
xy
xy xy xy
xyxy
xy
j f
xy xy
G f C f Q f
Q ff
C f
G G f e
Funções Densidade Espectrais
Função densidade cruzada
xy xy
xy xy
C f C f
Q f Q f
cos
sin
xy xy xy
xy xy xy
C f G f f
Q f G f f
1
2não muda
xy xy
xy
S f G f
f
Funções Densidade Espectrais
Função densidade cruzada
y(t) está em atraso em relação a x(t)
x(t) está em atraso em relação a y(t)
Funções Densidade Espectrais
Constante
Funções Densidade Espectrais
Harmônico
Funções Densidade Espectrais
Ruído Branco
Funções Densidade Espectrais
Ruído com baixas freqüências
Funções Densidade Espectrais
Ruído de banda estreita
Funções Densidade Espectrais
Exponencial
Funções Densidade Espectrais
Exponencial*co-seno
Funções Densidade Espectrais
Exponencial*co-seno + Exponencial*seno
Funções Densidade Espectrais
Ruído de Banda Estreita
0 00 2 2
0 outros valores de xx
a f B f f BG f
f
0
0
2
02
sincos 2 cos 2
f B
xx f B
BR a f df aB f
B
Funções Densidade Espectrais
Ruído de baixa frequências
0
0 outros valores de xx
a f BG f
f
sin 2
2xx
BR aB
B
0 2f B
0
0xx xxG f df aB R
Funções Densidade Espectrais
Ruído de Branco
0xxG f a f 2xxS f a f
0 2f B
0
0xx xxG f df R
2xxR a
Fisicamente Impossível
Funções Densidade Espectrais
Sinal harmônico
2
02xx
XG f f f
2
0 04xx
XS f f f f f
2
00
2xx xx
XG f df R
2
0cos 22xx
XR f
Funções Densidade Espectrais
Soma de dois processos
2 21 1 1 1 2 1 2 2 2 22yy x x x x x xG f a G f a a C f a G f
2 21 1 1 1 2 1 2 2 2 2yy x x x x x xS f a S f a a C f a S f
2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2yy x x x x x x x xR a R a a R R a R
Funções Densidade Espectrais
Espectro Via Transformada de Fourier de Curta Duração
*
2*
2*
12 lim , ,
1 12 lim , , 2 lim ,
1 12 lim , , 2 lim ,
xy k kT
xx k k kT T
yy k k kT T
G f E X f T Y f TT
G f E X f T X f T E X f TT T
G f E Y f T Y f T E Y f TT T
*
2
0
2
0
1, , , ,
,
,
xy k k
T j ftk k
T j ftk k
S f T k X f T Y f TT
X f T x t e dt
Y f T y t e dt
Funções Densidade Espectrais
Espectro através de filtros
20 00
1ˆ , ,T
xxG f x f B t dtBT
Funções Densidade Espectrais
0 0 0ˆ ˆ ˆxy xy xyG f C f jQ f
Espectro através de filtros
Funções Densidade Espectrais
2
xy xx yyG f G f G f
Função Coerência
2 2
2 xy xy
xyxx yy xx yy
G f S f
G f G f S f S f
20 1xy
Funções Densidade Espectrais
Sistema com Atraso
0xy xxR aR
0
0
2
2
02
j fxy xx
j fxy xx
xy xx
xy
S f aS f e
G f aG f e
G f aG f
f f
2
2
2 2
xy xx
yy xx nn
xy xxxy
xx yy yy
a G f G f
G f a G f G f
G f G fa
G f G f G f
Funções Densidade Espectrais
Sistema com Atraso
00 2
0
00 2
0
ˆ ˆ2
ˆ2
ˆ ˆ2
ˆ2
xy xy
xy
xy xy
xy
f S f f df
f S f df
f G f f df
f G f df