Introdução a Grafos Aleatórios

Alexandre Duarte / Alisson Brito

Modelos de Rede

Por que modelos? Representação simples de redes complexas Pode derivar propriedades matemáticas Prever propriedades e consequências

Também: No que uma rede real é diferente de uma

hipotética? Que aprendizados podem ser obtidos

dessas redes?

Erdös e Rényi

Erdös-Renyi: o mais simples modelo de rede

Premissas vértices conectados aleatoriamente a rede é não-direcional

Parâmetro chave (número de nós vizinhos: N) : p ou M p = probablidade de dois nós

compartilharem uma aresta M = número total de arestas no grafo

Com o que elas se parecem

Re-arranjo de layout

Grau de distribuição

(N,p)-model: para cada aresta potencial, uma moeda desbalanceada é lançada

Com probabilidade p a aresta é adicionada Com probabilidade (1-p) a aresta não é

adicionada

http://ladamic.com/netlearn/NetLogo501/ErdosRenyiDegDist.html

Grau de distribuição

Qual a probabilidade de um nó ter 0,1,2,3,… arestas?

A soma das probabilidades é 1

Quantas arestas por nó?

Cada nó tem (N – 1) tentativas de ter arestas

Cada tentativa tem prob. p de sucesso

Probabilidade de um nó ter grau k:

Sobre distribuição binomial

Grafo de 8 nós, probabilidade p de 2 nós terem uma aresta

Qual a probabilidade de um dado nó ter grau 4?

A BC

D

EF

G

Coeficiente binomial: escolher 4 de 7

A B C D E F G

Sejam os 7 nós da rede com os quais nosso nó pode ter arestas. Azul são aqueles com aresta com nosso nó e branco aqueles sem.

ABC DE FG

Quantas amostras diferentes podemos ter contendo os mesmos nós, mas em ordens diferentes?

Coeficiente binomial

Se a ordem é importante, então há 7! Diferentes ordens:

Há 7 opções na primeira escolha, 6 para a segunda, 5 para terceira e assim em diante:

7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

ABC DE FG

A B CD

Suponha que a ordem dos nós que não são conectados (brancos) não importaTodas as possíveis combinações de nós brancos são a mesma coisa para mim.

A B CD EF G

A B CD EG F

A B CD FE G

A B CD FG E

A B CD GF E

A B CD GE F

Ao invés de 7! combinações, temos 7!/3! combinações

Coeficiente binomial

FE G

O Mesmo acontece para os azuis, se não importa a posição que ocupam, perdemos um fator de 4!

Coeficiente binomial

= -----------------------------------------------------------------formas de arranjar n-1 itens

(formas de arranjar k itens)*(formas de arranjar n-1-k itens)

= -----------------n-1!

k! (n-1-k)!

Note que o coeficiente binomial é simétrico – há um mesmo número de formas de escolher k ou n-1-k itens de um total de n-1

Coeficiente binomial

Números de formas de escolher k itens de (n-1)

Coeficiente binomial

De quantas formas podemos de escolher 2 de 5 itens? 10 120 6 5

… agora a distribuição

p = probabilidade de haver uma aresta (azul)

(1-p) = probabilidade de não haver aresta (branco)

Probabilidade de um nó se conectar a 4 de um total de 7 nós numa ordem particular (2 brancos seguidos por 3 azuis, um branco e um azul) é:

P(white)*P(white)*P(blue)*P(blue)*P(blue)*P(white)*P(blue)

= p4*(1-p)3

Distribuição binomial

Se a ordem não importa, precisamos multiplicar a ordem de um dado arranjo qualquer pela quantidade de arranjos:

+….

Se p = 0,5

p = 0,1

Qual a média?

Grau médio z = (n-1)*p

No geral: = E(X) = x p(x)

0 * + 1 * + 2 * + 3 * + 4 * + 5 * + 6 * + 7 *

0.0

00

.05

0.1

00

.15

0.2

00

.25

m = 3.5

Qual a variância?

Variância em graus2=(n-1)*p*(1-p)

No geral: s2 = E[(X-m)2] = (x-m)2 p(x)

(-3.5)2 *+ + + + + +

0.0

00

.05

0.1

00

.15

0.2

00

.25

(-2.5)2 *

+

(-1.5)2 *

(-0.5)2 * (0.5)2 *

(1.5)2 *

(2.5)2 *

(-3.5)2 *

Aproximações

knkk pp

k

np

1)1(

1Binomial

Poisson

Normal

Limite p pequeno

Limite n grande

!k

ezp

zk

k

Distribuição de Poisson

Distribuição de Poisson

O que se conclui de redes aleatórias?

Não esperamos encontrar nós concentrando um grande número de conexões