metodo de otimizac˘ ao para o problema de balanceamento...

METODO DE OTIMIZACAO PARA O PROBLEMA DE BALANCEAMENTO

DE TURBINAS

Bruno da Cunha Brandao Reis

Projeto de Graduacao apresentado ao Curso

de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessarios a obtencao do

tıtulo de Engenheiro.

Orientador: Fernando Pereira Duda

Rio de Janeiro

Setembro de 2018

Brandao Reis, Bruno da Cunha

Metodo de Otimizacao para o Problema de

Balanceamento de Turbinas/ Bruno da Cunha Brandao

Reis. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politecnica, 2018.

XI, 35 p.: il.; 29, 7cm.


Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/

Curso de Engenharia Mecanica, 2018.

Referencias Bibliograficas: p. 24 – 24.

1. Vibracao. 2. Turbinas. 3. Otimizacao

Combinatoria. 4. Balanceamento. I. Pereira Duda,

Fernando. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

UFRJ, Curso de Engenharia Mecanica. III. Metodo

de Otimizacao para o Problema de Balanceamento de

Turbinas.

iii

”Levantai os olhos e observai as

alturas: Quem criou tudo isso?

Foi aquele que coloca em mar-

cha cada estrela do seu incontavel

exercito celestial, e a todas chama

pelo nome. O seu poder e incal-

culavel; inextinguıvel a sua forca,

e, por isso, nenhum desses corpos

celestes deixa de atender pronta-

mente.”Isaıas 40:26

iv

Agradecimentos

Primeiramente, agradeco a Deus, por ter me trazido ate aqui. Sem ele nada disso

seria possıvel.

Agradeco a Bia, minha incrıvel namorada que sempre esteve ao meu lado por

toda a faculdade, me dando forcas para nao desistir quando estava difıcil continuar.

Agradeco aos meus pais, Fernando e Sonia, por todo amor, apoio e por terem

incentivado meu sonho de seguir pela area de exatas. E a Gabriela, por tornar meus

dias mais felizes.

Agradeco aos irmaos da igreja, que sempre perseveraram em oracao.

Aos amigos, em especial ao Eduardo Zilves, Rafael Huang e Raphael Costa, que

me acompanharam por toda a graduacao, e ao Valter Junior e Gabriel Valle. Juntos

mostramos como um trabalho em equipe pode fazer a diferenca.

Ao meu professor e orientador, Fernando Pereira Duda, pelos ensinos, paciencia,

disponibiliade e apoio mesmo quando tive a necessidade de trocar de tema de pes-

quisa.

A GE Celma pela oportunidade de estagiar em uma oficina de motores ae-

ronauticos e que me apresentou a necessidade de seguir nessa linha de pesquisa.

A Universidade Federal do Rio de Janeiro, que possibilitou a minha formacao,

aprendizado e desenvolvimento deste trabalho.

A todos que, de forma direta ou indireta, auxiliaram no desenvolvimento deste

trabalho. Muito obrigado!

v

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico

METODO DE OTIMIZACAO PARA O PROBLEMA DE BALANCEAMENTO

DE TURBINAS


Setembro/2018


Programa: Engenharia Mecanica

O controle das vibracoes em motores aeronauticos e turbinas a gas e de funda-

mental importancia para sua eficiencia. Irregularidades quanto a fabricacao de seus

componentes podem levar a variacoes de peso que, ao serem montados no rotor,

levam a desbalanceamentos. Neste trabalho sera discutido o problema de balance-

amento de turbinas, cujo objetivo e encontrar a melhor solucao para um problema

de otimizacao combinatoria dos diferentes pesos das pas, para os diversos estagios

de uma turbina a gas ou de um motor aeronautico. Atualmente sao feitas algu-

mas distribuicoes simples como pareamento decrescente ou quadrantes alternados.

Contudo, algoritmos heurısticos sao capazes de reduzir em cerca de 100 vezes o

desbalanceamento resultante quando comparado com as distribuicoes citadas ante-

riormente, reduzindo o tempo de balanceamento do modulo montado. A proposta

de um algoritmo de otimizacao baseado em busca exaustiva por meio de permutacao

foi analizada e comparada com as tecnicas aplicadas na industria, e obteve exito na

redistribuicao, com tempo computacional bem reduzido e proprio para aplicacao no

chao de fabrica.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Mechanical Engineer

OPTIMIZATION METHOD FOR THE TURBINE BALANCING PROBLEM


September/2018

Advisor: Fernando Pereira Duda

Department: Mechanical Engineering

The control of vibrations in aeronautical engines and gas turbines is of fundamen-

tal importance for its efficiency. Irregularities in the manufacture of its components

can lead to variations in weight that, when mounted on the rotor, lead to imbal-

ances. In this work we will discuss the turbine balancing problem, whose objective is

to find the best solution to a problem of combinatorial optimization of the different

weights of blades, for the various stages of a gas turbine or an aeronautical engine.

Some simple distributions are currently made such as decreased pairing or alter-

nate quadrants. However, heuristic algorithms are able to reduce by approximately

100 times the resulting imbalance as compared to the aforementioned distributions,

reducing the balancing time of the assembled module. The proposal of an optimiza-

tion algorithm based on exhaustive search by means of permutation was analyzed

and compared with the techniques applied in the industry, and was successful in the

redistribution, with very reduced computational time and suitable for application

on the shop floor.

vii

Sumario

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas xi

1 Introducao 1

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Revisao Bibliografica 5

2.1 Vibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Vibracao em Motores Aeronauticos e Turbinas a Gas . . . . . . . . . 6

2.3 Desbalanceamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Materiais e Metodos 10

3.1 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Algoritmo Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Testes Realizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Validacao do Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4.1 Verificacao Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4.2 Comparativo entre algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Resultados e Discussoes 20

5 Conclusoes e Trabalhos Futuros 23

Referencias Bibliograficas 24

A Codigo em Python 26

viii

Lista de Figuras

1.1 Esquema de motor aeronautico. Fonte: Quora. Disponıvel

em: https://www.quora.com/Do-the-fans-start-rotating-reverse-to-

stop-easily-when-an-airliner-lands. Acesso em: 16/05/2018. . . . . . . 1

1.2 Exemplo de pa do modulo do Fan. Fonte:

Lambda Novatronics. Disponıvel em

http://www.lambdanovatronics.com/commercial/engines/ge90/.

Acesso em 17/07/2018. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Ponte de Tacoma, destruıda apos vibracao induzida pelo vento.

Fonte: Mechanical Vibrations, RAO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Diagrama de resistencia a fadiga para aco UNS G41 300. Fonte:

Elementos de Maquinas de Shigley[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Tela do programa com algumas das distribuicoes. Fonte: SCHENCK.

Disponıvel em https://schenck-rotec.com/files/userImages/images-

katalog/products/WME/WME-3.jpg. Acesso em: 17/07/2018. . . . . 8

3.1 Esquema de disco com massa pontual causando desbalanceamento.

Fonte: Elaborado pelo autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Diagrama de corpo livre para o esquema de disco com massa pontual.


3.3 Exemplo de distribuicao das pas. Fonte: Elaborado pelo autor. . . . . 12

3.4 Medicao do Peso e Momento. Fonte: SCHENCK. Dis-

ponıvel em: ¡http://www.schenck-worldwide.com/images-

katalog/products/Baureihe-WM/R12-047-02.jpg¿. Acesso em:

17/07/2018. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

ix

3.5 Esquema representativo da medicao de Peso e Momento. Fonte: Ela-

borado pelo autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.6 12 componentes distribuidos. Fonte: Elaborado pelo autor. . . . . . . 14

3.7 Fluxograma do algoritmo. Fonte: Elaborado pelo autor. . . . . . . . . 15

3.8 Distribuicao inicial e final apos algoritmo. Fonte: Elaborado pelo autor. 15

3.9 Histograma comparativo entre todas as possibilidades de ditribuicao.


4.1 Resultados finais para as distribuicoes. Fonte: Elaborado pelo autor. 21

x

Lista de Tabelas

3.1 Resultados para os 10 componentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Resultados do algoritmo aleatorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Resultados dos desbalanceamentos para os 7 cenarios testados. . . . . 21

4.2 Media dos resultados obtidos para cada distribuicao . . . . . . . . . . 21

4.3 Melhora obtida para cada amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

xi

Capıtulo 1

Introducao

A aviacao moderna evoluiu muito desde seu inıcio, sendo hoje capaz de transpor-

tar pessoas ou cargas por milhares de quilometros sem precisar reabastecer e com

custo sendo reduzido cada vez mais pelo desenvolvimento de novas tecnologias e

aprimoramento das tecnicas de manutencao.

O principal responsavel por esses avancos sao os motores do tipo TurboFan, como

esquematizado na figura 1.1.

Figura 1.1: Esquema de motor aeronautico. Fonte: Quora. Dis-

ponıvel em: https://www.quora.com/Do-the-fans-start-rotating-reverse-to-stop-

easily-when-an-airliner-lands. Acesso em: 16/05/2018.

1

Devido as altas rotacoes a que esses motores sao submetidos, e tambem de sua

manutencao ser feita apos um tempo razoavelmente grande de operacao, os valores

permitidos de vibracao sao muito pequenos, o que evita o desgaste prematuro dos

componentes e sua baixa eficiencia. Para que essas vibracoes sejam controladas,

diversas tecnicas especiais sao utilizadas, tanto na fabricacao das pecas quanto na

montagem dos modulos, reduzindo o desbalanceamento em cada etapa. Alem disso,

tambem sao realizados balanceamentos dos modulos montados e, no final, o balance-

amento do motor em um banco de provas que simula as condicoes reais de operacao

[2].

Em diversos motores aeronauticos, como tambem em turbinas a gas, cada disco

possui pas, componentes responsaveis pela extracao de energia do ar, no caso dos

modulos de turbina, e tambem pela movimentacao do ar, no caso dos modulos de

compressao e do fan.

Figura 1.2: Exemplo de pa do modulo do Fan. Fonte: Lambda Novatronics.

Disponıvel em http://www.lambdanovatronics.com/commercial/engines/ge90/.

Acesso em 17/07/2018.

Por variacoes durante o processo de fabricacao, desgaste durante o funcionamento

e tambem reparos a que essas pas sao submetidas, a massa delas pode variar. Essas

massas podem variar ate ±5% [3], alterando nao so a massa do componente mas

tambem deslocando a posicao do centro de massa de todo o conjunto montado.

2

1.1 Motivacao

Um dos procedimentos utilizados para reducao do desbalanceamento e a pesagem

dos componentes que sao instalados no rotor, como por exemplo essas pas que ficam

encaixadas nos discos ao longo dos eixos do motor. Atualmente, a distribuicao

e realizada por uma tecnica bem aceita na industria, que consiste em realizar a

medicao do peso momento da pa e distribuir elas com um software da empresa

Schenck, especializada em balanceamento e pesagem desse tipo de componente.

Apesar da distribuicao estar sendo feita corretamente, varios motores vinham

apresentando vibracoes acima dos limites aceitaveis durante o teste final no banco

de provas. Isso motivou a investigacao de todos os procedimentos realizados que

estavam relacionados a vibracao.

Apos as analises dos principais procedimentos, como por exemplo o balancea-

mento de cada modulo e montagem do conjunto, foi questionado se algum outro

componente nao controlado poderia de alguma forma estar influenciando essas vi-

bracoes. A primeira hipotese foi de que os parafusos instalados no rotor poderiam

estar com massas diferentes. Sendo assim, foi requisitado que eles fossem pesados

e trocados caso o peso variasse muito. Nesse momento, surgiu a ideia de que uma

distribuicao poderia ser feita, de modo que a resultante de desbalanceamento ficasse

proximo de zero, e que, de alguma forma, isso seria obtido por meio de um algoritmo

de otimizacao.

Apos o desenvolvimento do algoritmo para a distribuicao dos parafusos, ele foi

testado com os dados das pas e comparado com o software Schenck utilizado para

distribuicao, obtendo resultados da ordem de 100 vezes melhor.

1.2 Objetivo

O objetivo deste trabalho e demonstrar um novo metodo para distribuicao de pas

e qualquer outro componente que seja instalado ao redor do rotor. Comparacoes

serao realizadas quanto a melhora em relacao as distribuicoes que sao realizadas pelo

software principal de distribuicao.

Primeiramente foi feita uma revisao bibliografica sobre o tema, abrangendo as

motivacoes por tras da necessidade de se balancear os rotores e os metodos utilizados

3

para distribuir massas ao redor de eixos. Em seguida sao explicados os metodos uti-

lizados pelo algoritmo e compara-se seus resultados com as distribuicoes fornecidas

pelo software Schenck.

4

Capıtulo 2

Revisao Bibliografica

2.1 Vibracao

As vibracoes estao presentes de diversas formas em nosso cotidiano. Por exemplo, o

som se propaga na forma de ondas mecanicas atraves do ar, causando vibracao nos

tımpanos e permitindo que nos escutemos[4]. Alem disso, vibracoes tambem estao

presentes nos movimentos de maquinas rotativas, pois imprecisoes na fabricacao e

montagem podem levar a desbalanceamentos que causam esse fenomeno. A presenca

dela geralmente leva a um desgaste excessivo dos componentes, podendo levar a

formacao de trincas, afrouxamento de fixadores e falhas estruturais e mecanicas[5].

Figura 2.1: Ponte de Tacoma, destruıda apos vibracao induzida pelo vento. Fonte:

Mechanical Vibrations, RAO.

Dados esses problemas, dependendo do projeto e importante se preocupar com

5

a reducao das vibracoes e investigar suas possıveis causas.

2.2 Vibracao em Motores Aeronauticos e Turbi-

nas a Gas

Para motores aeronauticos e turbinas a gas, e importante evitar os desgastes para

que o motor possa permanecer o maximo de tempo em funcionamento, maximizando

os ganhos do operador. Portanto, os nıveis de vibracao sao constantemente moni-

torados e devem permanecer dentro de valores permitidos para garantir seu correto

funcionamento.

Muitos motores possuem sensores instalados de modo que tos responsaveis pos-

sam acompanhar os nıveis de vibracao durante o funcionamento em voo, alem de

poder analisar o historico de vibracoes e acompanhar quaisquer mudancas em seu

comportamento[6]. Isso se assemelha a um metodo de manutencao preditiva, onde

instrumentos de sensoriamento ficam instalados no equipamento coletando dados

para o monitoramento de seu funcionamento e tambem de qualquer falha latente

que venha a aparecer[7].

As amplitudes das vibracoes devem permanecer dentro de limites especificados

no manual para garantir um correto funcionamento, alta eficiencia e baixo desgaste,

permitindo assim otimizacao da vida util das pecas, maior intervalo entre as manu-

tencoes e elevando os lucros das empresas[8].

Esses limites de vibracao sao definidos por testes de fadiga nos eixos. Eles sao

colocados para rodar com um desbalanceamento conhecido por mais de 10 milhoes

de ciclos. Caso o eixo seja capaz de aguentar os nıveis de vibracao por todos esses

ciclos, pode-se dizer que o material e forte o suficiente para operar por toda a sua

vida [1]. Mesmo assim, e colocado um limite de vida nesses componentes para

garantir que os motores nao venham a falhar durante operacao [8].

2.3 Desbalanceamento

Uma das principais causas de vibracao se deve ao desbalanceamento do rotor. As

principais origens desse desbalanceamento sao defeitos no design, baixa qualidade

6

Figura 2.2: Diagrama de resistencia a fadiga para aco UNS G41 300. Fonte: Ele-

mentos de Maquinas de Shigley[1].

durante a fabricacao e desgastes causados durante o funcionamento[5].

Ao realizar a montagem dos diversos componentes no eixo, qualquer diferenca

entre massas deles pode causar um desequilıbrio, deslocando o centro de massa da

montagem final. Um componente que possui grande efeito nisso e a pa, um dos

maiores componentes a serem montados no eixo e que possui papel fundamental em

seu funcionamento.

Atualmente, e pratica comum na industria realizar a distribuicao previa dessas

pas de modo a reduzir o desbalanceamento apos a montagem. Anteriormente a dis-

tribuicao era aleatoria, sendo requerida algumas horas de trabalho apos a montagem

para que o rotor fosse balanceado, e as vezes necessario a remocao e recolocacao das

pas, por ter sido atingido o numero maximo de pesos permitido para balanceamento

do disco. Posteriormente uma tecnica foi introduzida que consistia na ordenacao

das pas em ordem decrescente de peso. A pa mais pesada e colocada na posicao 1

enquanto que a segunda mais pesada na posicao n/2, a mais leve fica na posicao 2 e

a segunda pa mais leve na posicao (n/2) + 1. Esse processo entao era repetido com

a terceira pa mais pesada na posicao 3 em diante [9].

Hoje o metodo mais utilizado para realizar a distribuicao e por meio do software

BLADIS Net da Schenck [10], em que e possıvel escolher uma dentre as sete possibili-

7

dades de distribuicao. Todas essas distribuicoes consistem em combinacoes simples,

semelhante a descrita anteriormente mas com pequenas variacoes, nenhuma realiza

qualquer tipo de otimizacao para procurar uma solucao melhor. Algumas delas estao

na figura 2.3.

• Single Beam, heavy/ light adjacent, decreasing

• Double Beam, heavy/ light adjacent, decreasing

• Double Beam, heavy/ light adjacent, alternating

• Double Beam Decreasing

• Triple Beam, heavy/ light adjacent, decreasing

• Quadruple Beam, heavy/ light adjacent, decreasing

• Quadruple Beam, forward/ reverse, decreasing

Figura 2.3: Tela do programa com algumas das distribuicoes. Fonte:

SCHENCK. Disponıvel em https://schenck-rotec.com/files/userImages/images-

katalog/products/WME/WME-3.jpg. Acesso em: 17/07/2018.

O problema de distribuicao de pas se trata de um problema de analise combi-

natoria onde o objetivo e encontrar a distribuicao cuja resultante se encontra mais

proximo a zero. Esta situacao esta dentro da classe de problemas NP difıcil e possui

semelhanca com o problema do caixeiro-viajante, cujo objetivo era determinar a me-

nor rota para percorrer uma serie de cidades, de modo que o caminho realizado fosse

o menor possıvel [9]. Este conjunto de problemas ainda nao possui solucao, sendo

inclusive um dos problemas do milenio, definidos pelo Clay Mathematical Institute

[11].

8

Algoritmos heurısticos ja foram propostos para atacar esse problema. Andrew

Mason e Mikael Ronnqvist [9] investigaram a performance do algoritmo de busca na

vizinhanca com aplicacao de esquema duplo Lagrangeano e identificaram melhora

na convergencia para problemas grandes. Pisoulis, Pardalos e Hearn [3] trabalharam

na formulacao do problema de balanceamento de turbinas como um quadratic as-

signment problem (QAP) e aplicaram o algoritmo de greedy randomized adaptative

search procedure (GRASP). Tambem Amiouny, Bartholdi e Vate [12] analisaram

algumas tecnicas como o pareamento das pas, onde elas sao pareadas de acordo com

a diferenca entre as massas para assim serem distribuıdas, reduzindo o numero de

possibilidades que precisam ser testadas.

Todas as tecnicas apresentadas acima obtiveram melhores resultados em com-

paracao ao que e feito usualmente na industria. No capıtulo a seguir sera tratado um

novo algoritmo para obtencao de uma distribuicao e os resultados serao comparados

com as distribuicoes fornecidas pelo software Schenck.

9

Capıtulo 3

Materiais e Metodos

O objetivo deste capıtulo e apresentar o algoritmo desenvolvido para tratar o pro-

blema de balanceamento de turbinas. O codigo foi todo desenvolvido pelo autor

e colaboradores na linguagem de programacao Python, e sua versao completa e

apresentada no Apendice A.

3.1 Conceitos Basicos

O desbalanceamento e causado pela presenca de uma resultante de massa ou um

centro de massa deslocado do eixo de rotacao ou pela ma distribuicao da massa ao

longo do componente. Ele pode ser representado como uma massa pontual localizada

em alguma posicao do corpo, como apresentado na figura 3.1.

Figura 3.1: Esquema de disco com massa pontual causando desbalanceamento.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Para que a massa pontual que representa o desbalanceamento fique em movi-

10

mento de rotacao, e preciso que haja uma forca centrıpeta no disco, calculado pela

equacao 3.1.

F = mrω2 (3.1)

Ao realizar o diagrama de corpo livre para o disco, pode-se observar que a forca

centrıpeta para o movimento do desbalanceamento e realizado pelo mancal, unica

fixacao do disco.

Figura 3.2: Diagrama de corpo livre para o esquema de disco com massa pontual.


Sendo assim, quanto maior a forca, maior sera o desgaste nele. Alem disso, como

essa forca possui a mesma direcao em que estiver a massa, ela realiza um movimento

harmonico com a mesma frequencia de rotacao do disco.

Vale lembrar que, numa situacao em que a frequencia de rotacao chegue a uma

das frequencias naturais de vibracao do rotor, ocorre o fenomeno de ressonancia,

gerando grandes amplitudes de vibracao e risco para a sua operacao.

No caso dos rotores de motores aeronauticos ou turbinas a gas, as pas sao ins-

taladas ao redor do rotor, formando o conjunto de cada disco. Sendo estas pas de

pesos diferentes, o centro de massa dessa montagem sera a resultante do somatorio

dessa distribuicao. Na figura 3.3 esta esquematizada uma distribuicao de pas. O

comprimento de cada setor circular representa a massa e a distancia do centro de

massa de cada pa, enquanto que o ponto em laranja e a resultante do centro de

massa, que foi amplificado para melhor visualizacao.

Para que as pas e quaisquer outros componentes possam ser distribuıdos ao redor

do rotor e o desbalanceamento ser calculado, e necessario que eles sejam correta-

11

Figura 3.3: Exemplo de distribuicao das pas. Fonte: Elaborado pelo autor.

mente pesados. Para pecas pequenas, como parafusos, precisa realizar a medicao da

massa de cada unidade e listar os valores. Para pecas maiores, com maiores razao

de aspecto, relacao entre a altura e largura, e necessario medir tanto o peso quanto

o momento a partir de sua base.

Na figura 3.5 esta exemplificado a medicao de peso e momento para uma pa.

Figura 3.4: Medicao do Peso e Momento. Fonte: SCHENCK. Disponıvel

em: ¡http://www.schenck-worldwide.com/images-katalog/products/Baureihe-

WM/R12-047-02.jpg¿. Acesso em: 17/07/2018.

Ao medir-se o peso e o momento, e possıvel calcular a massa da pa e a posicao

do centro de massa pelas equacoes 3.3 e 3.5 respectivamente.

F = mg (3.2)

12

Figura 3.5: Esquema representativo da medicao de Peso e Momento. Fonte: Elabo-

rado pelo autor.

m =F

g(3.3)

M = mgl (3.4)

l =M

F(3.5)

De posse desses dois valores, calcula-se a resultante do centro de massa a partir

do somatorio de todas as pas que compoem o disco pelas equacoes 3.6 e 3.7.

mx =Σmilicos(θi)

Σmi

(3.6)

my =Σmilisen(θi)

Σmi

(3.7)

Os valores encontrados na medicao entram no termo limi, sendo, portanto, mais

acurado do que apenas pesar a massa das pas e assumir que o centro de massa esta

localizado na mesma posicao para todas as pas.

Para questoes de otimizacao, nao e necessario calcular o dividendo de somatorio

de massa Σmi pois o objetivo e encontrar o menor desbalanceamento e, para isso,

basta minimizar o raio do centro de massa dado pela equacao 3.8

raio ∗massa =√

(Σmilicos(θi))2 + (Σmilisen(θi))2 (3.8)

13

3.2 Algoritmo Principal

O algoritmo principal desenvolvido neste trabalho consiste numa tecnica de busca

exaustiva por meio de permutacao da distribuicao, onde sao alteradas as posicoes

das pas e verifica-se se o resultado melhorou ou nao.

A tecnica de permutacao utilizada funciona da seguinte maneira: a partir da lista

inicial, faz-se a troca das posicoes dos ultimos dois elementos da lista. No momento

seguinte, os ultimos tres elementos sao trocados, consistindo portanto de 6 iteracoes

e assim por diante. Desse modo, o numero total de iteracoes possıveis e de n!. Com

isso, pode-se observar que o numero de tentativas torna proibitivo o teste de todas

para situacoes onde o numero de componentes e muito grande. Como exemplo, para

um conjunto de 38 pas, como encontrado no CF680-C2 da GE, seriam 5.23 ∗ 1044

possibilidades a serem testadas.

De posse dos valores medidos para os componentes, colocam-se eles em uma lista,

onde cada posicao ja representa uma das posicoes de instalacao como apresentado

na figura 3.6 para uma amostra de 12 componentes com valores aleatorios.

Figura 3.6: 12 componentes distribuidos. Fonte: Elaborado pelo autor.

Essas posicoes sao definidas de acordo com o numero de componentes a serem

instalados ao redor do motor. Isso e porque o angulo entre cada um deles e constante

sendo portanto definido por ∆θ = 2π/n.

Para iniciar a otimizacao, uma distribuicao inicial e escolhida baseada na veri-

ficacao das distribuicoes utilizadas descritas na Revisao Bibliografica. Apos calcular

14

qual o desbalanceamento das distribuicoes mais utilizadas, define-se como inicial

a que obtiver menor resultado para desbalanceamento. Assim garante-se que nao

sera gasto tempo computacional otimizando uma distribuicao que ja nao e boa. Na

figura 3.7 esta descrito o fluxograma de como o algoritmo trabalha.

Figura 3.7: Fluxograma do algoritmo. Fonte: Elaborado pelo autor.

Na figura 3.8 pode-se ver o resultado da distribuicao apos ser otimizada. Para

facilitar a visualizacao, foi utilizada uma distribuicao aleatoria como inicial. Cada

ponto laranja representa uma nova solucao que era melhor que a anterior, sendo

possıvel ver que ela converge para o centro.

Sao definidos dois criterios de parada para o algoritmo. O primeiro consiste

em atingir o valor de desbalanceamento desejado, geralmente valores proximos de

zero, enquanto que o segundo consiste em restringir o numero de iteracoes para

que nao demore muito a gerar os resultados e, assim, o programa possa ser utilizado

dentro do ambiente de fabrica. No computador utilizado para o estudo, com Intel(R)

Core(TM) i7-3630QM CPU @ 2.40 GHz e 8 Gb de memoria ram de 1600 MHz, foi

15

Figura 3.8: Distribuicao inicial e final apos algoritmo. Fonte: Elaborado pelo autor.

obtido uma media de 2000 iteracoes por segundo, rodando Python a partir de um

notebook Jupyter.

Sabe-se que e inapropriado dizer que se pode obter um resultado exato para essa

otimizacao, principalmente devido a nao exatidao dos dados. Estima-se que o erro

humano e variacoes causadas durante as medicoes podem representar cerca de 0.2%

dos valores encontrados [12].

3.3 Testes Realizados

Para comprovacao da eficiencia do algoritmo aqui descrito, foram realizados alguns

testes com o que e utilizado por algumas empresas de manutencao de motores ae-

ronauticos e por companhias aereas. A solucao dessas empresas consiste na utilizacao

do software de balanceamento da SCHENCK, o BladisNet.

O software funciona da seguinte maneira: com os valores das medicoes de peso

momento, ele distribui as pas de acordo com uma das distribuicoes ja apresentadas

na Revisao Bibliografica e calcula o desbalanceamento resultante. O programa avisa

se o resultado esta dentro ou fora dos padroes do manual e e gerado um documento

que vai anexado com o motor para o operador.

Contudo, o limite que o manual permite para esse resultado e de uma ordem

de grandeza tal que ainda sera necessario alguma correcao do balanceamento pos-

teriormente, sendo requerido mais horas de trabalho. E aı que entra a aplicacao de

algoritmos heurısticos, para melhorar o resultado da distribuicao e reduzir o tempo

16

gasto com balanceamento.

Por questoes de confidencialidade, nao foi possıvel utilizar os dados reais de

medicao dos componentes. Portanto, assim como feito por Amiouny, Bartholdi e

Vate [12], foram geradas 10 amostras com media de 100 unidades e variacao de 5%

desses valores por meio das funcoes np.random.normal, que, a partir de uma media

e de um desvio padrao, cria uma amostra com o numero de elementos desejados,

no caso 38, de modo que a distribuicao seja normal. Para verificacao, foi calculada

a media e o desvio padrao de cada uma das amostras e os valores obtidos ficaram

proximos de 100 unidades, com desvio de aproximadamente 5.

Sete cenarios foram analisados:

0 - Distribuicao aleatoria;

1 - Single Beam, heavy/light adjacent, decreasing;

2 - Double Beam decreasing;

3 - Double Beam, heavy/light adjacent, alternating;

4 - Quadruple Beam, heavy/light adjacent, decreasing;

5 - Quadruple Beam, forward/reverse, decreasing;

6 - Otimizacao pelo algoritmo de permutacao.

O primeiro cenario representa uma distribuicao nao realizada, ou seja, sem re-

alizar medicao dos pesos dos componentes, apenas colocando-os aleatoriamente no

disco. De 1 a 5 sao as distribuicoes mais utilizadas dentro do software BladisNet

enquanto que a 6 e o resultado da otimizacao do algoritmo de permutacao realizado

no presente trabalho.

3.4 Validacao do Algoritmo

3.4.1 Verificacao Global

Antes de apresentar os resultados, foi feita uma pequena comparacao para uma

amostra de 10 componentes, quantidade que permite calcular todas as distribuicoes

possıveis e assim ter uma ideia do comportamento de cada uma perante as outras.

Seguindo a mesma metodologia dos testes realizados, os 10 coomponentes foram

gerados aleatoriamente, com media de 100 unidades e desvio padrao de 5. Foram

gerados todas as distribuicoes possıveis e calculado o desbalanceamento resultante

17

de cada uma, sendo que foram desconsideradas as que variavam a posicao inicial,

reduzindo em 10 vezes o numero total de distribuicoes, pois elas sao apenas repeticoes

de outras.

Em seguida foi calculado os desbalanceamentos resultantes de cada distribuicao

e tambem foi calculado uma utilizando o algoritmo proposto neste trabalho, como

pode ser visto na tabela 3.1.

Tabela 3.1: Resultados para os 10 componentes.

Dist1 Dist2 Dist3 Dist4 Dist5 Otimizacao

Desbalanceamento 3.8466599 4.178370 1.046535 3.749977 1.153652 0.036364

Melhora 106 115 29 103 32

Para resumir os resultados acima esta o grafico 3.9, onde pode ser visualizado a

distribuicao dos valores de desbalanceamentos e onde esta localizado cada uma das

resultantes obtidas por cada distribuicao.

Figura 3.9: Histograma comparativo entre todas as possibilidades de ditribuicao.


Como pode ser observado, todas as distribuicoes obtiveram sucesso em perma-

necer abaixo da media, que para esse teste foi de 9 unidades, contudo, e possıvel

reduzir ainda mais os valores obtidos com a utilizacao de algoritmos para otimizacao.

A resultante do centro de massa para a distribuicao otimizada esta dentro da menor

faixa de valores, enquanto que as outras ficaram na segunda, quarta e quinta faixas.

18

Isso representa uma melhora de pelo menos 29 vezes com relacao ao melhor dos

valores obtido.

3.4.2 Comparativo entre algoritmos

Como pode ser observado, as tecnicas utilizadas atualmente nao sao capazes de

alcancar os menores valores de desbalanceamento, como a tecnica de otimizacao

consegue. Para demonstrar que o algoritmo aqui proposto nao e a unica opcao para

a resolucao deste problema, foi testado um algoritmo de busca aleatoria (Random

Search - RS), que e um metodo de busca direta, ja que nao depende de derivadas

para a otimizacao [13]. A desvantagem desse metodo e que existe a probabilidade

de que distribuicoes se repitam, perdendo assim eficiencia.

O algoritmo foi setado para 100000 iteracoes para a mesma amostra testada

na secao anterior e, devido ao seu carater aleatorio, foram feitos 10 testes que se

encontram na tabela 3.2.

Tabela 3.2: Resultados do algoritmo aleatorio.

Desbalanceamento Numero de vezes

0.036364 1

0.036926 3

0.041263 3

0.066789 2

0.072190 1

Em uma das iteracoes foi obtido o melhor resultado possıvel, assim como en-

contrado pelo algoritmo proposto pelo trabalho. Nas outras iteracoes foram obtidos

valores bem pequenos, dentro da primeira faixa apresentada no histograma anterior.

Isso demonstra que nao apenas o algoritmo aqui proposto mas outros tambem

sao capazes de encontrar distribuicoes com menores valores para o centro de massa

quando comparado com as distribuicoes utilizadas atualmente.

19

Capıtulo 4

Resultados e Discussoes

Os resultados aqui apresentados foram obtidos a partir de 10 amostras com 38

valores cada, representando um conjunto de pas para o motor CF6 80-C2 da GE

[14]. Para os criterios de parada foram considerados um desbalanceamento de 0.001

e um numero total de 10 milhoes de iteracoes.

Os resultados mostram que a utilizacao de tecnicas heurısticas podem melhorar

muito o resultado do desbalanceamento da distribuicao. Assim como os metodos de

Pitsoulis, Mason e V. Amiouny, o algoritmo aqui apresentado tambem obteve bons

retultados.

A tabela 4.1 apresenta os resultados de desbalanceamento para os 7 casos estu-

dados.

Fazendo a media dessas 10 amostras, e possıvel comparar a diferenca entre cada

uma das distribuicoes. A tabela 4.2 e a figura 4.1 resumem os resultados. Como

pode ser observado, ha uma melhora significativa quando comparado com qualquer

uma das outras distribuicoes.

Isso pode ser explicado pelo fato do algoritmo iniciar a partir de uma das distri-

buicoes a qual ele esta sendo comparado e, a partir daı, ele comeca a procurar por

melhorias.

Contudo, deve-se lembrar que o fato do problema aqui tratado ser NP-difıcil

torna sua solucao muito problematica e, por isso, nao e possivel garantir que o

algoritmo sempre encontrara solucoes melhores que a inicial. Inclusive existe uma

pequena probabilidade de que a distriubuicao aleatoria seja a melhor possıvel, sendo

assim o algoritmo nao conseguira obter nenhuma melhora e qualquer uma das outras

20

Tabela 4.1: Resultados dos desbalanceamentos para os 7 cenarios testados.

Amostra Aleatoria Dist 1 Dist 2 Dist 3 Dist 4 Dist 5 Dist 6

1 42.1848 7.4261 6.0145 2.1402 9.963 2.355 0.0016

2 21.2967 20.8137 10.4724 8.3911 13.9626 5.9861 0.0026

3 39.8172 7.3486 8.7135 5.9461 12.2314 7.2604 2.1618

4 30.3562 7.4657 5.283 1.3479 10.5958 1.6878 0.0021

5 9.8804 22.276 5.5835 0.8846 8.8643 1.7069 0.0015

6 13.2441 11.7021 5.8072 2.0825 10.8711 4.5599 0.0013

7 4.5324 13.8116 6.1399 2.6468 14.8842 5.966 0.3227

8 33.2728 10.0131 5.3891 2.1593 12.3501 1.0105 0.0009

9 27.5695 13.1222 5.7968 5.0669 10.5278 3.169 0.002

10 10.0043 8.9318 8.5755 5.985 15.2751 5.5369 0.0012

Tabela 4.2: Media dos resultados obtidos para cada distribuicao

Aleatoria Dist 1 Dist 2 Dist 3 Dist 4 Dist 5 Dist 6

Media 23.216 12.291 6.778 3.665 11.953 3.924 0.25

Figura 4.1: Resultados finais para as distribuicoes. Fonte: Elaborado pelo autor.

21

distribuicoes obtera um resultado pior que a inicial.

Analisando e comparando cada um dos resultados, pode-se perceber que o algo-

ritmo de permutacao obteve valores muito expressivos de melhora em comparacao

aos demais, da ordem de 1000 vezes, como exemplificado na tabela 4.3.

Tabela 4.3: Melhora obtida para cada amostra

Amostra Melhor Valor Dist 6 Melhora

1 2.1402 0.0016 1337.6276

2 5.9861 0.0026 2335.5127

3 5.9461 2.1618 2.7505

4 1.3479 0.0021 641.4457

5 0.8846 0.0015 602.9733

6 2.0825 0.0013 1598.8157

7 2.6468 0.3227 8.2013

8 1.0105 0.0009 1153.0026

9 3.169 0.002 1600.4285

10 5.5369 0.0012 4702.7466

Em media, a melhora obtida em todas as amostras foi de aproximadamente 1400

vezes. Contudo, nas amostras 3 e 7 os resultados melhoram apenas 2.7 e 8.2 vezes.

Apesar desse resultado ser bem inferior ao observado nas outras amostras, ainda e

um resultado expressivo, visto que ainda assim foi possıvel reduzir o desbalancea-

mento a menos da metade no obtido pelas tecnicas convencionais.

Como falado anteriormente, os criterios de parada utilizados permitiram que

de 9 das 10 amostras atingissem o numero maximo de iteracoes, de 10 milhoes de

tentativas. Mesmo com esse numero de tentativas, nao e garantido que sera obtido

uma melhora para o resultado de desbalanceamento.

Na amostra 8, foi possıvel atingir o criterio de valor de desbalanceamento na

iteracao de numero 9.171.233. Essa falta de padrao com relacao as melhorias obtidas

se deve pelo fato do problema ser NP difıcil.

22

Capıtulo 5

Conclusoes e Trabalhos Futuros

O problema de balanceamento de turbinas consiste na otimizacao de uma analise

combinatoria do tipo NP difıcil. A nao existencia de solucao ate o momento se

comprova com as dificuldades encontradas ao tentar-se obter melhorias com relacao a

distribuicao. Como foi observado, apesar de terem sido feitas 10 milhoes de iteracoes,

nao ha garantia de que havera reducao na resultante de centro de massa. Sempre

existira a probabilidade de que uma das distribuicoes previamente testadas ja seja

a melhor possıvel ou uma das melhores, dificultando ou impossibilitando encontrar

uma distribuicao otimizada.

Contudo, observou-se que os avancos obtidos com o algoritmo de otimizacao

para a distribuicao das pas afetou grandemente o valor da resultante. No pior dos

casos, foi possıvel reduzir para menos da metade do valor obtido anteriormente e no

melhor, a melhora foi de 4700 vezes o valor inicial.

Como explicado anteriormente, esse aprimoramento afeta diretamente a vibracao

durante o funcionamento do motor, pois a resultante e diretamente proporcional a

forca exercida no eixo, que por sua vez, afeta a amplitude de vibracao. A aplicacao

da otimizacao, portanto, pode nao so reduzir o tempo para balanceamento, como

ajudar a reduzir os nıveis de vibracao para valores mais baixos do que os requeridos

como limites do manual.

Para trabalhos futuros, esta o estudo mais aprofundado dos outros algorim-

tos propostos na literatura e a comparacao entre eles quanto a sua performance.

Tambem pode ser investigado a influencia da geometria das pas, nao apenas num

plano 2D mas tambem no 3D e como isso afeta o desbalanceamento.

23

Referencias Bibliograficas

[1] BUDYNAS, R., NISBETH, J., Elementos de Maquinas de Shigley - 10a Edicao.

2016.

[2] GE CELMA, “Revisao de Motores Aeronauticos GE Celma”, 2018.

[3] PITSOULIS, L., PARDALOS, P., HEARN, D., “Approximate solutions to the

turbine balancing problem”, v. 130, pp. 147–155, 02 2001.

[4] FUNDACAO DE OTORRINOLARINGOLOGIA - USP, “Como escutamos”,

2018.

[5] RAO, S., Mechanical Vibrations . Prentice Hall, 2011.

[6] GE AVIATION, “GE Aviation Customer Support”, 2018.

[7] ALVAREZ, O., MANUAL DE MANUTENCAO PLANEJADA. 1988.

[8] GE AVIATION, “CF34-8E Fan Vibration Podcast”, 2018.

[9] MASON, A., RONNQVIST, M., “Solution methods for the balancing of jet

turbines”, v. 24, pp. 153–167, 02 1997.

[10] SCHENCK, “BLADIS Net”, 2018.

[11] CLAY MATHEMATICAL INSTITUTE, “Millenium Problems”, 2018.

[12] V. AMIOUNY, S., J. BARTHOLDI, J., VANDE VATE, J., “Heuristics for

Balancing Turbine Fans”, v. 48, 05 1999.

[13] JASON BROWNLEE PHD, “Clever Algorithms: Nature-Inspired Program-

ming Recipes”, 2018.

[14] GKN AEROSPACE, “GE CF6-80C2 Stage 1 Fan Blade”, 2018.

24

[15] SCIPY.ORG, “numpy.random.normal”, 2018.

25

Apendice A

Codigo em Python

26

Balanceamento_Estatico-TestsAndResults

July 26, 2018

1 Otimização de Balanceamento Estático

Código para otimização de distribuição de componentes ao redor do rotor.

Bibliotecas

In [1]: import mathimport itertoolsimport matplotlib.pyplot as pltimport pylab as plfrom operator import itemgetter, attrgetter

Funções básicas

In [2]: def desbalanceamento(centro_de_massa):d = (centro_de_massa[0]**2+centro_de_massa[1]**2)**0.5 # Módulo do vetorif (centro_de_massa[0]**2)**0.5 < 0.00000001:

centro_de_massa[0] = 0.00000001angulo = math.atan2(centro_de_massa[1],centro_de_massa[0]) # Direção do vetorangulo = math.degrees(angulo)if (angulo**2)**0.5 < 0.0001:

angulo = 0if angulo < 0:

angulo = 360 + anguloreturn [round(d,15),round(angulo,3)]

In [3]: def centro_de_massa(componentes): # Cálcula o CM para a distribuiçãoX_CM = 0Y_CM = 0pos_angular = 0for i in range(len(componentes)):

pos_angular = (2*math.pi*i)/len(componentes) # Posição angularX_CM += componentes[i][0]*componentes[i][1]*math.cos(pos_angular)Y_CM += componentes[i][0]*componentes[i][1]*math.sin(pos_angular)

return [X_CM, Y_CM]

In [4]: def distInicial(componentes): # Distrbuição inicial utilizada na indústriacomponentes = sorted(componentes, key=itemgetter(1),reverse=True)

1

leste = []oeste = []for i in range(len(componentes)):

if i%2 == 0:leste += [componentes[i]]

else:oeste += [componentes[i]]

componentes = leste + oestereturn componentes

Funções de apoio

In [5]: def polar_plot(components,displacements,desb_parada): # polar plotfig = plt.figure(figsize=(4,4))ax = fig.add_axes([0.1, 0.1, 0.8, 0.8], polar=True)width = 5/len(components)theta = []radius = []amplifier = 5for i in range(len(components)):

theta += [2*math.pi*i/len(components)]radius += [components[i][1]]

ax.bar(theta, radius, width=width, bottom=0.0,color="B0",zorder=0)for i in range(len(displacements)):

ax.scatter(displacements[i][1],displacements[i][0]*amplifier,color="C1",zorder=10)circle = pl.Circle((0,0),desb_parada*amplifier, transform=ax.transData._b,color="red",alpha=1)ax.add_artist(circle)plt.show()

In [6]: def txtToMatriz(txt): #Converte txt para matrizmatriz = txt.split("\n")for i in range(len(matriz)):

matriz[i] = matriz[i].split("\t")return matriz

Funções de distribuição

In [7]: # Single Beam, heavy/light adjacent, decreasing - SCHENCKdef Distribution1(componentes):

componentes = sorted(componentes, key=itemgetter(1), reverse =True)count = 0dist = []while len(componentes)>0:

dist += [componentes[0]]componentes.remove(componentes[0])componentes.reverse()

componentes = distreturn componentes

2

# Testecomponentes = [[1,1],[1,2],[1,3],[1,4],[1,5],[1,6],[1,7],[1,8],[1,9],[1,10],[1,11],[1,12],[1,13],[1,14],[1,15],[1,16],[1,17],[1,18],[1,19],[1,20],[1,21],[1,22],[1,23],[1,24]]dist_Final=Distribution1(componentes)polar_plot(dist_Final,[[0,0],[0,0]],0)

In [8]: # Double Beam decreasing - SCHENCKdef Distribution2(componentes): # Distrbuição inicial utilizada na indústria

componentes = sorted(componentes, key=itemgetter(1),reverse=True)leste = []oeste = []for i in range(len(componentes)):

if i%2 == 0:leste += [componentes[i]]

else:oeste += [componentes[i]]

componentes = leste + oestereturn componentes


3

In [9]: # Double Beam, heavy/light adjacent, alternating - SCHENCKdef Distribution3(componentes):

componentes = sorted(componentes, key=itemgetter(1), reverse =True)leste = []oeste = []count = 0while len(componentes)>0:

if count%2 == 0:leste += [componentes[0]]componentes.remove(componentes[0])

else:oeste += [componentes[0]]componentes.remove(componentes[0])componentes.reverse()

count += 1componentes = leste+oestereturn componentes


4

In [10]: # Quadruple Beam, heavy/light adjacent, decreasing - SCHENCKdef Distribution4(componentes):

componentes = sorted(componentes, key=itemgetter(1), reverse =True)quad1 = []quad2 = []quad3 = []quad4 = []count = 0while len(componentes)>0:

if count%4 == 0:quad1 += [componentes[0]]componentes.remove(componentes[0])

elif count%4 == 1:quad2 += [componentes[0]]componentes.remove(componentes[0])



count += 1componentes = quad1+quad2+quad3+quad4

5

return componentes


In [11]: # Quadruple Beam, forward/reverse, decreasing - SCHENCKdef Distribution5(componentes):

componentes = sorted(componentes, key=itemgetter(1), reverse =True)quad1 = []quad2 = []quad3 = []quad4 = []count = 0while len(componentes)>0:

if count%4 == 0:quad1 += [componentes[0]]componentes.remove(componentes[0])


elif count%4 == 2:

6

quad3 += [componentes[0]]componentes.remove(componentes[0])

elif count%4 == 3:quad4 += [componentes[0]]componentes.remove(componentes[0])componentes.reverse()

count += 1componentes = quad1+quad2+quad3+quad4return componentes


Algoritmo Principal

In [12]: def otimizar_Distribuicao(componentes,desb_parada):# Algoritmo de busca exaustiva baseado em listagem de permutaçãoi = componentes# Distribuiçõesrand = desbalanceamento(centro_de_massa(i))dist1 = Distribution1(i)desb1 = desbalanceamento(centro_de_massa(dist1))

7

dist2 = Distribution2(i)desb2 = desbalanceamento(centro_de_massa(dist2))dist3 = Distribution3(i)desb3 = desbalanceamento(centro_de_massa(dist3))dist4 = Distribution4(i)desb4 = desbalanceamento(centro_de_massa(dist4))dist5 = Distribution5(i)desb5 = desbalanceamento(centro_de_massa(dist5))result = [rand, desb1, desb2, desb3, desb4, desb5]dists = [componentes, dist1, dist2, dist3, dist4, dist5]menor = 0for i in range(1,len(result)):

if result[menor][0] > result[i][0]:menor = i

componentes = dists[menor] # Selecionar melhor distribuiçãod_0 = desbalanceamento(centro_de_massa(componentes))d = [d_0]cont = 0dist_i = componentesfor i in itertools.permutations(componentes): # Permutação

cont += 1CM_i = centro_de_massa(i)d_i = desbalanceamento(CM_i)if d_i[0] < d[-1][0]:

d += [d_i]dist_i = i

if d[-1][0] < desb_parada or cont > 10000000: #Critérios de paradadist_Final = dist_ibreak

return dist_Final

Simulação

In [13]: arquivo = open("Dados2.txt","r")arquivo = arquivo.read()Matriz = txtToMatriz(arquivo)#Matriz = TransporMatriz(Matriz)for i in range(len(Matriz)):

for j in range(len(Matriz[0])):Matriz[i][j] = float(Matriz[i][j])

Matriz2 = []for i in range(len(Matriz)):

Matriz2 += [[]]for j in range(len(Matriz[0])):

Matriz2[-1] += [[1,Matriz[i][j]]]results = []#dist_Final=Distribution4(Matriz2[0])#polar_plot(dist_Final,[[0,0],[0,0]],0)

8

for i in Matriz2:rand = desbalanceamento(centro_de_massa(i))dist1 = Distribution1(i)desb1 = desbalanceamento(centro_de_massa(dist1))dist2 = Distribution2(i)desb2 = desbalanceamento(centro_de_massa(dist2))dist3 = Distribution3(i)desb3 = desbalanceamento(centro_de_massa(dist3))dist4 = Distribution4(i)desb4 = desbalanceamento(centro_de_massa(dist4))dist5 = Distribution5(i)desb5 = desbalanceamento(centro_de_massa(dist5))dist6 = otimizar_Distribuicao(i,0.001)desb6 = desbalanceamento(centro_de_massa(dist6))result = [rand[0], desb1[0], desb2[0], desb3[0], desb4[0], desb5[0], desb6[0]]results += [result]print(result)

[42.184776770715665, 7.426068977061151, 6.014533260851003, 2.140199972674708, 9.96301524544277, 2.354987249127839, 0.001599996810316][21.2967336255815, 20.813673812187368, 10.472411608316376, 8.391063144490532, 13.96261541398699, 5.98605073664049, 0.002563056402961][39.81716263689009, 7.348628388389095, 8.713537853273387, 5.946077588227692, 12.231383592305049, 7.260413800547422, 2.161808783834066][30.356166150200572, 7.465698803155322, 5.282989260216404, 1.347934557226927, 10.595817121325279, 1.687841241278773, 0.002101400935686][9.880424217063863, 22.276035473536734, 5.583483640358841, 0.884625208692966, 8.864315726654356, 1.706877765302284, 0.001467105156768][13.244142275399378, 11.70208838091792, 5.80721018641899, 2.082521090762507, 10.87105857657643, 4.559922857082801, 0.001302539785443][4.532383883854641, 13.81161720723839, 6.139938148794993, 2.64682002741434, 14.884151372533445, 5.966031773096919, 0.322732566095499][33.27275541819786, 10.013075510048822, 5.389141703339329, 2.15933998428894, 12.350061970560834, 1.010491778578443, 0.000876400251767][27.569547979788624, 13.122224693726418, 5.796792307412827, 5.066873522836283, 10.527750404965891, 3.16901800110624, 0.001980105984169][10.004333388216306, 8.931800385884584, 8.575469854998833, 5.985024653230465, 15.275107706823166, 5.536908031146468, 0.001177377495889]

9

metodo de otimizac˘ ao para o problema de balanceamento...

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