MÉTODO DE MOMENTOS APLICADO À SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE

ESPALHAMENTO ELETROMAGNÉTICO

por

Fábio Gonçalves Pereira

Dissertação submetida à Banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática Computacional do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, como requisito parcial à obtenção de título de mestre.

Orientador: Prof. Dr. Márcio Matias Afonso

Co-orientador: Prof. Dr. Marco Aurélio de Oliveira Schroeder

Belo Horizonte

2010

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Aos meus pais, irmãos e amigos.

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Agradecimentos

Gostaria de expressar, primeiramente, meus profundos agradecimentos ao Professor

Márcio Matias Afonso, meu orientador, pelos enriquecedores conselhos e sugestões,

pelo encorajamento, pelo apoio, pela paciência, pela infinita disponibilidade de

atendimento e, principalmente, pela competência com que conduziu este trabalho.

Agradeço ao Professor Marco Aurélio de Oliveira Schroeder, meu co-orientador, por

sua paciência, pelo encorajamento, pelas proveitosas discussões e por ter me

despertado, ainda na graduação, o interesse pelo maravilhoso mundo do

eletromagnetismo.

Agradeço aos professores, amigos e colegas do CEFET-MG pelas discussões

técnicas que muito contribuíram para este trabalho.

Agradeço também a SUDECAP, em nome de Maria Célia Lamounier de Oliveira e

Augusto César Santiago e Silva Pirassinunga, pela compreensão e apoio na

realização deste trabalho.

Agradeço minha família pelo auxílio e encorajamento durante esses anos de estudo.

Gostaria de expressar meus sinceros agradecimentos a Nicole Patricia Silva, minha

namorada, pela compreensão ao longo deste processo, pela cumplicidade, pelos

inúmeros e sábios conselhos e pelo companheirismo incondicional.

Gostaria de agradecer a todos os amigos que encontrei pela vida e que, de alguma

maneira, contribuíram na construção de mais uma etapa da minha vida.

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Resumo

Este trabalho trata da aplicação do Método de Momentos a problemas de

espalhamento eletromagnético. A solução desses problemas por meio de técnicas

numéricas é objeto de intensas pesquisas em diversas áreas de engenharia,

biomedicina, geofísica e outras. O Método de Momentos permite esses tratamentos

com robustez e baixo custo computacional. As formulações numéricas são

detalhadamente desenvolvidas e aplicadas a estruturas dielétricas e condutoras. As

singularidades são devidamente extraídas. Os resultados obtidos são validados

mediante comparação com a solução analítica. A análise de erro mostra que os

resultados são bastante precisos.

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Abstract

The Moment Method is applied for solving electromagnetic scattering problems. The

solution of these problems by numerical techniques is required in several areas of

engineering, biomedicine, geophysics and others. The Moment Method provides

reliable and accurate results with low computational effort. The numerical formulations

are thoroughly developed and applied to conductive and dielectric structures. The

extractions of the singularities are properly made. The results are validated by

comparison with the analytical solution. The error analysis shows that the results are

very accurate.

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Sumário LISTA DE FIGURAS LISTA DE SÍMBOLOS CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ................................................................................11

CAPÍTULO 2 – ESPALHAMENTO ELETROMAGNÉTICO .......................................13

2.1 Introdução .....................................................................................................13 2.2 Fenômenos de Espalhamento Eletromagnético............................................13 2.3 Equações de Maxwell....................................................................................15 2.3.1 Relações Constitutivas e Características do Meio..............................17 2.4 Equações de Onda Escalar...........................................................................18 2.4.1 Equação de Onda para o Campo Elétrico ..........................................19 2.4.2 Equação de Onda para o Campo Magnético .....................................19 2.5 Condições de Interface..................................................................................20 2.5.1 Interface entre Dois Meios Quaisquer ................................................20 2.5.2 Interface com Um Condutor Elétrico Perfeito .....................................21 2.5.3 Interface entre Dois Dielétricos...........................................................22 2.6 Técnicas Numéricas para Solução de Problemas de Espalhamento Eletromagnético .....................................................................22 2.6.1 Técnicas Numéricas Diferenciais .......................................................24 2.6.2 Técnicas Numéricas Integrais ............................................................25 2.7 Sumário .........................................................................................................26

CAPÍTULO 3 – FORMULAÇÃO MÉTODO DE MOMENTOS....................................28

3.1 Introdução .....................................................................................................28 3.2 Formulação para o Método de Momentos.....................................................29 3.2.1 Formulação Integral para a Equação de Helmholtz............................30 3.2.2 Discretização Nodal da Fronteira .......................................................32 3.3 Sumário .........................................................................................................41

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CAPÍTULO 4 – RESULTADOS .................................................................................42

4.1 Introdução .....................................................................................................42 4.2 Espalhamento Eletromagnético 2D ...............................................................42 4.2.1 Análise do Espalhador Condutor Elétrico Perfeito..............................43 4.2.2 Análise do Espalhador Dielétrico........................................................48 4.3 Sumário .........................................................................................................53

CAPÍTULO 5 – CONCLUSÃO...................................................................................55 Referências Bibliográficas.........................................................................................56 APÊNDICE A.............................................................................................................61 APÊNDICE B.............................................................................................................68

APÊNDICE C ............................................................................................................71

APÊNDICE D ............................................................................................................76

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LISTA DE FIGURAS

2.1 Espalhamento Eletromagnético: (a) Fontes (b) Espalhador .........................14 2.2 Interface de separação entre dois meios.......................................................20 2.3 Geometria de estudo para o problema de espalhamento..............................23 3.1 Simplificação do domínio (a) em três dimensões para o domínio (b) em duas dimensões........................................................28 3.2 Geometria de estudo para um espalhador bidimensional .............................29 3.3 Representação dos elementos de primeira ordem: linear, quadrático e cúbico ............................................................................33 3.4 Discretização da fronteira Γ (a) em N elementos (b)....................................33 3.5 Transformação geométrica de coordenadas .................................................34 4.1 Geometria do espalhador bidimensional .......................................................42 4.2 Espalhador bidimensional condutor elétrico perfeito iluminado por uma onda plana e uniforme zTM ............................................44

4.3 Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador condutor elétrico perfeito ...............................................................................45 4.4 Erro médio e Erro Médio Absoluto ................................................................46 4.5 Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador condutor elétrico perfeito ...............................................................................47 4.6 Erro médio e Erro Médio Absoluto ................................................................47 4.7 Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador condutor elétrico perfeito ...............................................................................49 4.8 Erro médio e Erro Médio Absoluto ................................................................49 4.9 Largura de Espalhamento .............................................................................51 4.10 Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador ..................................51 4.11 Erro Absoluto e Erro Médio Absoluto ............................................................52 4.12 Largura de Espalhamento .............................................................................53 A.1 Simplificação do domínio (a) em três dimensões para o domínio (b) em duas dimensões........................................................61

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LISTA DE SÍMBOLOS Símbolos Alfanuméricos

B = densidade de fluxo magnético (Wb/m²)

D = densidade de fluxo elétrico (C/m²)

E = intensidade de campo elétrico (V/m)

zE = componente na direção z do vetor E

i E = intensidade de campo elétrico incidente (V/m) s E = intensidade de campo elétrico espalhado (V/m)

0G = função escalar de Green

H = intensidade de campo magnético (A/m)

zH = componente na direção z do vetor H

i H = intensidade de campo magnético incidente(A/m) s H = intensidade de campo magnético espalhado (A/m)

J = densidade de corrente elétrica de condução (A/m²)

zJ = componente na direção z do vetor J

J = determinante da matriz Jacobiana

i J = densidade de corrente elétrica impressa (A/m²)

s J = densidade de corrente elétrica linear (A/m)

K = densidade de corrente magnética (A/m²)

zK = componente na direção z do vetor K

i K = densidade de corrente magnética impressa (A/m²)

s K = densidade de corrente magnética linear (A/m)

iN = função de forma escalar

n = vetor normal

ˆ n = vetor unitário normal

r = vetor de coordenadas no plano cartesiano

S = superfície para o domínio Ω em 3D

u = função escalar arbitrária

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Símbolos Gregos

β = número de onda para o espaço livre ( 1−m )

Γ = fronteira para o domínio Ω em 2D

ε = permissividade elétrica (F/m) iθ = ângulo de incidência

λ = comprimento de onda (m)

μ = permeabilidade magnética (H/m)

0μ = permeabilidade magnética no espaço livre (H/m)

ρ = raio no sistema de coordenadas cilíndricas

eρ = densidade volumétrica de carga elétrica (C/m³)

esρ = densidade superficial de carga elétrica (C/m²)

σ = condutividade elétrica (S/m)

φ = ângulo no sistema de coordenadas cilíndricas

ω = frequência angular (rad/s)

Ω = domínio finito

0Ω = domínio infinito

∞ = valor infinito

Operações Matemáticas = produto escalar

× = produto vetorial

Abreviações BEM = Método de equações integrais de fronteira

FDM = Método de diferenças finitas FTDT = Método de diferenças finitas no domínio do tempo FEM = Método de elementos finitos MoM = Método de Momentos RCS = Radar Cross Section

11

1 Introdução O fenômeno de espalhamento eletromagnético é, há mais de um século, objeto de

estudo com intensas pesquisas. Embora esse seja um domínio da ciência

relativamente amadurecido, existem muitos estudos desse tema em diversos ramos

do conhecimento, tais como: telecomunicações, indústria militar, engenharia,

biomedicina, navegação, aviação, geofísica etc. Dentre as aplicações do estudo de

espalhamento eletromagnético, pode-se citar: influências de campos

eletromagnéticos no corpo humano [1], [2]; detecção e tratamento de câncer [3];

identificação e reconstrução de geometria de objetos [4]; problemas de

compatibilidade eletromagnética [5], [6]; mineração [7] etc.

A solução para os problemas práticos de espalhamento eletromagnético pode ser

obtida por meio da solução numérica computacional de modelos matemáticos

construídos a partir das equações de Maxwell. Antes do desenvolvimento das

técnicas computacionais, as soluções propostas para os problemas de espalhamento

baseavam-se em técnicas analíticas, as quais permitem apenas a solução de

problemas relativamente simples.

Entre as décadas de 1930 e 1940 predominavam as técnicas analíticas, bem

representadas pelos métodos clássicos de separação de variáveis. Entretanto, para

os problemas práticos, as soluções alcançadas com essas técnicas não eram

satisfatórias por exigirem modificações drásticas dos problemas propostos [8]. Entre

as décadas de 1940 e 1950 os problemas práticos em eletromagnetismo puderam

ser mais bem tratados a partir de técnicas variacionais, as quais foram aplicadas,

primeiramente, a guias de onda e, posteriormente, a problemas de radiação [9]. As

restrições em geometria puderam ser parcialmente removidas, entretanto a solução

de alguns problemas eram inviáveis devido às múltiplas integrais envolvidas [8].

Entre as décadas de 1960 e 1970 surgiu um novo método numérico denominado

Método de Momentos (MoM). Esse método foi proposto por R. F. Harrington em

1968 e desde então tem sido utilizado como referência para solucionar equações

integrais [11]. O Método de Momentos fornece soluções precisas e é capaz de tratar

12

diversos tipos de problemas. Além do espalhamento eletromagnético, o Método de

Momentos é utilizado na solução de outros problemas de eletromagnetismo, tais

como: irradiação de antenas, descontinuidades em guias de onda, microondas e

armazenamento de energia em corpos biológicos [10]. Existem na literatura outras

técnicas, iterativas ou diretas, também identificadas por Método de Momentos [12],

[13]. Entretanto, neste trabalho, a metodologia utilizada pelo MoM na solução dos

problemas de espalhamento são originadas dos trabalhos de Harrington [14], [15].

A possibilidade de se tratar problemas de espalhamento mediante técnicas

numéricas computacionais foi um avanço muito significativo para os problemas de

eletromagnetismo. Uma das vantagens da solução computacional é a eliminação da

construção de protótipos para testar novos dispositivos e consequente redução no

tempo e custos de projeto. Portanto, o estudo, o desenvolvimento e o

aperfeiçoamento de técnicas numéricas capazes de solucionar problemas de

espalhamento são fundamentais para o avanço científico e tecnológico.

O objetivo geral desta dissertação é a compreensão e aplicação do Método de

Momentos na solução de problemas de espalhamento eletromagnético. Neste

trabalho é desenvolvida uma ferramenta computacional para análise desse

fenômeno em duas dimensões. Há uma apresentação detalhada da formulação para

o problema de espalhamento devido a condutores elétricos perfeitos e também para

dielétricos. A solução apresentada pelo Método de Momentos (MoM) é validada e

discutida. As características e peculiaridades desse fenômeno são analisadas a fim

de se obter a formulação mais adequada para o problema proposto.

O trabalho está organizado da seguinte forma: No Capítulo 2 encontram-se uma

apresentação do problema de espalhamento abordado e as leis físicas que regem o

fenômeno de espalhamento eletromagnético. No Capítulo 3 encontra-se o

desenvolvimento da formulação do Método de Momentos. O Capítulo 4 apresenta os

resultados, os quais são criteriosamente discutidos e validados. No Capítulo 5

encontram-se as conclusões acerca desse trabalho, bem como as propostas de

continuidade de trabalhos. Nos apêndices se apresentam as principais formulações

utilizadas no desenvolvimento do Método de Momentos.

13

2 Espalhamento Eletromagnético 2.1 Introdução Neste capítulo, são apresentados os conceitos da Física e da Matemática

necessários à modelagem e análise dos problemas de espalhamento

eletromagnético. Para uma completa descrição de um problema de espalhamento

eletromagnético, são necessárias informações das equações diferenciais que regem

o comportamento dos campos no domínio, das condições de interface que modelam

o comportamento dos campos nas interfaces e das condições de contorno [16].

Introduz-se, assim, o conceito de espalhamento eletromagnético, a partir das

equações de Maxwell e, em seguida, são apresentadas as relações físicas

fundamentais utilizadas no estudo desse fenômeno. Por fim, há uma discussão sobre

as técnicas utilizadas para solução dos problemas aludidos.

2.2 Fenômeno de Espalhamento Eletromagnético

O fenômeno de espalhamento eletromagnético pode ser entendido como o campo

gerado a partir da interação entre uma onda eletromagnética viajante e um obstáculo

que a intercepta [11]. Caracteriza-se pela influência dos campos elétrico e magnético

incidentes ( , )i iE H em um corpo, designado objeto espalhador ou, simplesmente,

espalhador, nele induzindo correntes em sua superfície ou volume. As correntes no

espalhador variam no tempo e o faz, por sua vez, exercer o papel de uma antena

que irradia campos eletromagnéticos espalhados ( , )s sE H . Dessa forma, o campo

eletromagnético total ( , )t tE H se torna uma composição de campos espalhados e

campos incidentes, conforme mostrado a seguir:

t i s = + E E E (2.1)

t i s = + H H H (2.2)

14

A equação (2.1) mostra que o campo elétrico total é dado pela soma do campo

elétrico incidente com o campo elétrico espalhado. Da mesma forma, por meio da

equação (2.2), tem-se que o campo magnético total é a soma dos campos

magnéticos incidente e espalhado.

Em uma situação em que o espaço é destituído de corpos, tem-se que toda medida

de campo realizada, em qualquer que seja o ponto desse espaço, indica um valor de

campo igual ao campo original produzido pela antena [15]. Entretanto, em situações

em que um espalhador esteja presente, como no caso da figura 2.1, o objeto é

iluminado pelos campos eletromagnéticos incidentes e há interação entre estes

campos e os campos espalhados, caracterizando assim, o fenômeno do

espalhamento eletromagnético [15], [16]. Assim, tem-se que duas entidades distintas

estão envolvidas neste fenômeno: os campos eletromagnéticos e o espalhador.

A figura 2.1 auxilia a compreensão do problema de espalhamento eletromagnético.

Figura 2.1: Espalhamento eletromagnético. (a) Fontes (b) Espalhador

A região (a) da figura 2.1, representada pela antena, é designada região de fontes de

campo eletromagnético e na região (b) situa-se um objeto espalhador.

O fenômeno de espalhamento ocorre na região (b) e, neste trabalho, admite-se que

os campos incidentes que interceptam o espalhador sejam ondas planas e uniformes

conhecidas. As influências destes campos sobre o espalhador são computadas por

15

meio de expressões analíticas para os campos incidentes originais. Dessa maneira,

para o cálculo do campo eletromagnético total, é necessário somente encontrar a

parcela do campo espalhado. Tem-se, também, que as ondas eletromagnéticas

geradas pela fonte propagam-se pelo espaço livre Ω0 e que a geometria do

espalhador e seu material podem ser considerados arbitrários [14].

O espalhamento eletromagnético pode ser modelado matematicamente através das

equações de campo eletromagnético e das condições de contornos inerentes ao

problema tratado. As equações de campo, elétrico e magnético, são obtidas através

das equações de Maxwell [15],[16].

2.3 Equações de Maxwell O fenômeno de espalhamento é regido, fundamentalmente, pelas equações de

Maxwell [16]. Estas equações evidenciam as relações entre os campos elétricos e

magnéticos com suas fontes. Os campos elétricos e magnéticos são quantidades

vetoriais que possuem magnitude e direção [17],[18].

As equações de Maxwell são apresentadas a seguir na forma diferencial e em

regime harmônico:

i jω∇ × = − −E K B (Lei de Faraday); (2.3)

i jω∇ × = + + H J J D (Lei de Ampère); (2.4)

eρ∇ = D (Lei de Gauss elétrica); (2.5)

mρ∇ = B (Lei de Gauss magnética); (2.6) Onde:

E é o vetor intensidade de campo elétrico (V/m);

H é o vetor intensidade de campo magnético (A/m);

16

D é o vetor densidade de fluxo elétrico (C/m²);

B é o vetor densidade de fluxo magnético (Wb/m²);

J é o vetor densidade de corrente elétrica de condução (A/m²);

iJ é o vetor densidade de corrente elétrica impressa (A/m²);

iK é o vetor densidade de corrente magnética impressa (V/m²);

eρ é a densidade de carga elétrica (C/m³);

mρ é a densidade de carga magnética (Wb/m³). Estas equações são utilizadas para descrever e relacionar os campos vetoriais com

suas fontes. A escolha da representação das equações de Maxwell na forma fasorial

diferencial é feita pela facilidade de manipulação em problemas típicos de

espalhamento [16]. As entidades vetoriais são descritas em negrito e ω caracteriza a

frequência angular. As grandezas mρ e iK não são definidas fisicamente, porém são

normalmente introduzidas para tornar as equações simétricas [16], [18].

Tomando-se o divergente da equação (2.4) obtém-se a equação da continuidade,

fundamental na análise do eletromagnetismo por descrever a conservação da carga

elétrica [24]:

ejωρ∇ = −J (2.7)

Todos os campos e fontes envolvidos no problema proposto são funções das

coordenadas espaciais. Para que estas expressões sejam válidas, é necessário

assumir que os campos vetoriais sejam funções contínuas da posição e do tempo e

que também tenham derivadas contínuas. Algumas descontinuidades podem ocorrer

nas interfaces entre meios onde existem mudanças discretas nos parâmetros físicos

dos meios materiais [22]. Dessa maneira, a completa descrição dos campos vetoriais

em qualquer ponto no tempo requer não somente as equações de Maxwell na forma

17

diferencial, mas também um estudo das condições de interface associadas ao

material do espalhador e das condições de fronteira [16],[20].

2.3.1 Relações Constitutivas e Característica do Meio Os materiais contêm partículas carregadas e, quando estão sujeitas a um campo

eletromagnético, essas partículas interagem com os mesmos, produzindo correntes

e modificando a propagação da onda eletromagnética nesse meio. Portanto o

conhecimento das relações entre os campos e o meio físico torna-se essencial.

Numa escala macroscópica, considerando-se a presença e comportamento dessas

partículas carregadas, tem-se um conjunto de três expressões que relacionam os

vetores do campo com as características constitutivas dos materiais. Neste trabalho,

os meios são considerados isotrópicos, homogêneos, lineares e não-dispersivos e,

assim, essas relações são escalares:

ε=D E (2.8)

μ=B H (2.9)

σ= J E (2.10)

onde:

ε é a permissividade elétrica do meio (F/m);

μ é a permeabilidade magnética do meio (H/m);

σ é a condutividade elétrica do meio (S/m);

Os parâmetros constitutivos são usados para caracterizar as propriedades elétricas e

magnéticas dos materiais de acordo com o fenômeno predominante: polarização,

magnetização ou condução [16],[25].

Em relação às características constitutivas dos materiais, estes podem ser

classificados como lineares se as características do meio não dependerem da

intensidade do campo eletromagnético aplicado; são homogêneos se as

18

características do meio não variam com a posição; e são isotrópicos se as

características do meio não dependerem da polarização do campo. Além disso, um

material é considerado não-dispersivo quando as características do meio não variam

com a frequência de operação. Em casos em que essas características sejam

dependentes da frequência, a parcela complexa é então relacionada à dissipação de

potência de forma similar às perdas por efeito Joule [14],[32]. Na prática os materiais

utilizados nas composições de espalhamentos eletromagnéticos possuem algum

grau de dispersão [25].

As características do meio e do material do espalhador, assim como as leis de

Maxwell descritas anteriormente, são necessárias para a derivação das equações de

onda que, para o problema proposto, são escalares.

2.4 Equação de Onda Escalar Assume-se que a onda que intercepta o espalhador é uma onda plana e uniforme

ZTM (Transverso Magnético a z), ou seja, o seu campo elétrico só tem componente

na direção z e o campo magnético é nulo nesta direção [11]. Dessa forma, os

campos têm o mesmo comportamento em qualquer seção transversal ao eixo z.

Esta consideração é importante, pois simplifica a geometria do espalhador e reduz o

problema de três dimensões para apenas duas. Por se tratar de duas dimensões, as

equações de onda são escalares e não vetoriais, como seria no caso em três

dimensões. Considera-se também, para este trabalho, um meio linear, homogêneo e

isotrópico.

Para se obter as equações de onda escalar, é necessário manipularem-se as

equações de Maxwell convenientemente. As duas primeiras equações de Maxwell,

(2.3) e (2.4), são classificadas como equações diferenciais acopladas de primeira

ordem. Ou seja, os campos E e H aparecem em ambas equações [16]. Algumas

vezes, porém, é desejável encontrar a solução apenas para um dos dois campos, o

que requer o desacoplamento dessas equações. Entretanto, ao se desacoplarem as

equações de Maxwell, tem-se, como conseqüente desvantagem, o aumento no grau

19

de diferenciação [11], ou seja, a equação diferencial desacoplada possui, nesse

caso, diferenciação de ordem dois.

A equação diferencial desacoplada para o campo elétrico pode ser obtida da

equação (2.3) eliminando-se o campo magnético desta. Analogamente, a equação

para o campo magnético pode ser obtida de (2.4) eliminando-se o campo elétrico

dessa equação.

2.4.1 Equação de Onda para o Campo Elétrico

Para se obter a equação de onda para o campo elétrico do problema proposto deve-

se, primeiramente, tomar o rotacional da equação (2.3) e logo após aplicar uma

identidade vetorial ao resultado [Apêndice B]. Tem-se, assim, a equação de onda

para o campo elétrico:

2 2

z z i zj Jβ ωμ∇ + = − ∇× +E E K (2.11)

Onde o número de onda β é definido por 1/2( ) 2 /β ω με π λ= = e λ é o comprimento

de onda.

A equação (2.11) é obtida por meio das aplicações das condições de contorno para

a incidência de uma onda ZTM e é válida somente para propagação no espaço livre

Ω0.

2.4.2 Equação de Onda para o Campo Magnético

Similarmente ao tratamento anterior para campo elétrico, obtém-se a equação de

onda escalar para o campo magnético:

2 2

0z z i zj Kβ ωε μ∇ + = − ∇× +H H J (2.12)

Os detalhes completos da obtenção dessas equações se encontram no Apêndice B.

20

2.5 Condições de interface

As equações diferenciais de Maxwell descrevem corretamente o comportamento dos

campos nos pontos ordinários do domínio [11],[15]. Entretanto, pode haver variação

abrupta dos campos nas interfaces de separação entre dois meios. Nessas

interfaces as derivadas dos campos não fornecem informações válidas por descrever

variações discretas de seus valores na mudança entre os meios. Assim, o

comportamento dos campos deve ser modelado pelos próprios campos, e não por

suas derivadas [11]. A figura 2.2 mostra a seção transversal entre dois meios

distintos para o estudo do comportamento dos campos nas interfaces de separação

entre eles.

Figura 2.2: Interface de separação de dois meios

Na figura 2.2, o vetor unitário n̂ está direcionado do meio 2 para o meio 1. As

configurações possíveis para as condições de interface são: interface entre dois

meios quaisquer; interface com um condutor perfeito; e interface entre dois meios

dielétricos.

2.5.1 Interface entre Dois Meios Quaisquer

Na interface entre dois meios quaisquer 1 e 2, os campos no meio 1 relacionam-se

com os campos no meio 2 mediante as seguintes condições de interface

[11],[16],[20]:

1 2ˆ ( ) ;sn K − × − = E E (2.13)

1 2ˆ ( ) ;sn J × − = H H (2.14)

1 2ˆ ( ) ;esn ρ − = D D (2.15)

21

1 2ˆ ( ) msn ρ − = .B B (2.16)

Onde:

sK é a densidade de corrente magnética linear (V/m)

sJ é a densidade de corrente elétrica linear (A/m);

esρ é a densidade superficial de carga elétrica (C/m²);

msρ é a densidade superficial de carga magnética (Wb/m²).

2.5.2 Interface com Um Condutor Elétrico Perfeito

Um caso especial na análise das condições de interface ocorre quando um dos

meios é um condutor elétrico perfeito. Considerando o meio 2 da figura como

condutor elétrico perfeito e considerando-se que não existem campos no interior de

tal condutor, as condições de interface dadas pelas equações (2.13)-(2.16) reduzem-

se a [16]:

1ˆ ;sn K × = E (2.17)

1ˆ ;sn J × = H (2.18)

1ˆ ;esn ρ = D (2.19)

1ˆ ;msn ρ = B (2.20)

Para 2σ = ∞ , as equações (2.17) e (2.19) mostram que o campo elétrico possui

apenas o componente na direção normal e que todos os componentes nas direções

tangenciais são nulos. As equações (2.18) e (2.20) mostram que haverá circulação

de corrente na superfície dada pelo componente tangencial do campo magnético e

que o campo magnético normal à superfície é nulo.

22

2.5.3 Interface entre dois dielétricos

Para as interfaces em que os dois meios não são condutores perfeitos e que não há

fontes de corrente ou carga em suas interfaces, as condições de interface são

estabelecidas pelas seguintes equações [16]:

1 2ˆ ˆ ;n n × = × E E (2.21)

1 2ˆ ˆ ;n n × = × H H (2.22)

1 2ˆ ˆ ;n n = D D (2.23)

1 2ˆ ˆn n = B B . (2.24)

Nesta última situação, as equações (2.21)-(2.24) mostram que os componentes

tangenciais dos campos elétrico e magnético, bem como os componentes normais

das densidades de fluxo elétrico e magnético são contínuos através da interface de

separação entre os dois meios.

Dessa maneira, após o conhecimento das equações diferenciais que regem o

comportamento dos campos no domínio, das condições de interface que modelam o

comportamento dos campos nas interfaces e das condições de contorno, devem-se

conhecer as possíveis técnicas de solução do problema.

2.6 Técnicas Numéricas para Solução de Problemas de Espalhamento Eletromagnético

Para o problema de espalhamento, a região de fontes é retirada da análise do

problema. Feitas estas observações, conclui-se que o novo domínio de estudo dos

problemas de espalhamento pode ser simplificado, como mostrado pela figura 2.3.

Assim obtém-se uma nova configuração para o problema, no qual o novo domínio

restringe-se ao domínio do objeto espalhador Ω e ao espaço livre 0Ω .

23

Figura 2.3: Geometria de estudo para o problema de espalhamento

Alguns problemas de espalhamento eletromagnético possuem soluções analíticas.

Entretanto, estas soluções são limitadas pela geometria ou pelos materiais

constituintes do problema. A alternativa para preenchimento de tais lacunas está nos

métodos numéricos [26].

O objetivo deste trabalho é apresentar soluções de problemas de espalhamento

eletromagnético em duas dimensões por meio de um método numérico. Dessa

maneira, algumas informações pertinentes a tais problemas devem ser

cautelosamente analisadas para facilitar a compreensão.

A solução de um problema de espalhamento eletromagnético consiste em determinar

a solução para a equação 2.12, sujeita às condições de interface e contorno. Uma

vez conhecida a incógnita do problema, outros parâmetros de interesse, tal como a

seção transversal de radar (RCS), podem ser facilmente determinados [11].

É sempre desejável conhecer a solução analítica de um problema de contorno. Isso,

no entanto, não é sempre possível, pois a solução analítica pode ser obtida apenas

para um número muito reduzido de problemas. Em geral, os problemas que tem

solução analítica envolvem apenas objetos com geometria simples e preenchidos por

materiais homogêneos, lineares e isotrópicos [25]. Os problemas reais envolvem,

24

geralmente, geometrias e materiais complexos; logo, para solucioná-los, é

necessário recorrer às técnicas numéricas disponíveis [14].

Existem, na literatura, diversas técnicas numéricas capazes de solucionar os

problemas de espalhamento [11]. Considerando-se que a dimensão do espalhador é

da ordem do comprimento de onda, podem-se aplicar tanto técnicas integrais quanto

diferenciais. A seguir, são apresentados alguns métodos numéricos diferenciais e

integrais.

2.6.1 Técnicas Numéricas Diferenciais

As técnicas numéricas diferenciais, também conhecidas como métodos de domínio,

são eficazes na solução de problemas de contorno em domínios fechados,

preenchidos por materiais heterogêneos, não-lineares ou anisotrópicos. Os métodos

de diferenças finitas e elementos finitos constituem os maiores representantes desta

classe [34].

Método de Diferenças Finitas

O método de diferenças finitas (FDM) é mais comumente representado pelo eficiente

método de diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD). O FDTD é uma das

técnicas computacionais que se destacam na solução de problemas de

espalhamento por calcular dinamicamente campos eletromagnéticos, distribuições

de temperatura ou outros fenômenos descritos por equações diferenciais parciais

[35]. Este método tem sido aplicado a vários problemas de contorno no

eletromagnetismo, incluindo os de irradiação e espalhamento eletromagnético.

Baseia-se tal método na substituição da operação de diferenciação por uma simples

operação de subtração nos pontos de interesse, seguida de uma divisão pelo

intervalo entre os pontos considerados [36]. Dessa forma, é possível substituir uma

equação contínua, com infinitos graus de liberdade, por uma equação discretizada,

com número finito e regular de nós. Por meio desse processo, a equação diferencial

parcial original é transformada em um conjunto de equações algébricas, e a solução

simultânea desse sistema de equações fornece a solução aproximada da equação

original do problema de contorno [37].

25

O método de diferenças finitas é de simples implementação computacional. Além

disso, é capaz de tratar problemas não-lineares e anisotrópicos. Entretanto, este

método possui algumas limitações: (i) a obrigatoriedade de uma malha regular, o que

não permite uma boa modelagem dos campos cujos gradientes são intensos ou a

modelagem correta de problemas que possuem superfícies curvas; (ii) dificuldade

em representar campos na interface entre meios diferentes [34].

Método de Elementos Finitos

O método de elementos finitos (FEM) é uma técnica numérica de solução

aproximada para equações diferenciais [36]. Este método começou a ser utilizado

para solucionar problemas de mecânica de estruturas e expandiu-se rapidamente

para outras áreas. No domínio do eletromagnetismo, o FEM começou a ser utilizado

na década de 70 e, a partir de então, tornou-se referência [34]. O princípio do

método de elementos finitos consiste em dividir o domínio do problema em pequenos

subdomínios, com forma e comprimentos arbitrários, designados por elementos [34].

Este procedimento permite que o FEM modele, precisamente, objetos cuja geometria

seja complexa [38]. Além disso, a densidade de elementos pode ser ajustada de

acordo com a necessidade de cada problema. No interior de cada elemento, a

incógnita é aproximada por uma função de interpolação e, utilizando-se o método

dos erros ponderados ou o método variacional, a equação diferencial parcial é

transformada em um sistema algébrico de equações, em que a matriz de

coeficientes é esparsa e, em alguns casos, também simétrica [38]. A grande

vantagem do FEM reside na sua flexibilidade. Em particular, destacam-se sua

capacidade de modelar problemas com geometrias complexas e cujos domínios

estejam preenchidos por diferentes materiais [34].

2.6.2 Técnicas Numéricas Integrais

As técnicas numéricas integrais são utilizadas para solucionar problemas físicos a

partir de sua modelagem em termos de equações integrais [22]. Por causa da

complexidade de manipulação das equações integrais, estas são mais indicadas

para solucionar problemas cujo domínio seja composto por material linear,

homogêneo e isotrópico. As vantagens obtidas da formulação de um problema de

26

eletromagnetismo em termos de equações integrais estão no fato de que essa

formulação incorpora naturalmente a condição de radiação de Sommerfeld e reduz

em uma dimensão a geometria do problema [38]. Entre as técnicas aplicadas na

solução das equações integrais destacam-se o método de integrais de fronteira e o

método de momentos, este último escolhido na análise deste problema.

Método de Momentos

O Método de Momentos, proposto por Harrington, transforma uma equação

diferencial em um sistema de equações algébricas mediante a aproximação de uma

incógnita por funções de base ponderadas, escalarmente, por funções de teste [14].

Este método é bastante utilizado para solucionar problemas de antenas e de

espalhamento eletromagnético [15].

O Método de Momentos baseia-se em formulações integrais e é capaz de fornecer

soluções precisas, além de permitir o tratamento de problemas abertos. Entretanto

apresenta alguns inconvenientes, tais como elevado esforço computacional em

formulações complexas e singularidades numéricas. Apesar de todos estes

obstáculos, esta técnica integral é amplamente empregada na solução de problemas

de espalhamento com excelentes resultados.

2.7 Sumário

Neste capítulo, foi visto que uma onda eletromagnética viajante, ao ser interceptada

por um objeto, produz correntes sobre a superfície do mesmo. O objeto passa,

então, a funcionar como uma antena ao irradiar campos eletromagnéticos

espalhados. O campo total é modificado pela presença dos campos espalhados. Os

conceitos fundamentais à análise desses campos foram apresentados.

A equação de onda apresentada descreve o comportamento dos campos em meio

homogêneo, linear e isotrópico. Nas fronteiras desse meio, o comportamento dos

campos é descrito pelas condições de interface. Conhecidas a equação de onda que

27

rege o comportamento dos campos no interior do domínio, as condições de interface

e as condições de contorno sobre a fronteira, o problema está bem definido e possui

solução única [15]. A fim de determinar a solução numérica para esta equação de

onda no próximo capítulo há um desenvolvimento com as formulações definidas em

duas dimensões.

Neste trabalho o método escolhido para a solução do problema descrito é o Método

de Momentos devido à sua capacidade de tratar tal problema com robustez e com

possibilidade de baixo custo computacional. Seus resultados mostram que a solução

encontrada é bastante precisa.

28

3 Formulação Método de Momentos 3.1 Introdução Neste capítulo são desenvolvidas as formulações necessárias à modelagem do

problema de espalhamento eletromagnético em duas dimensões pelo Método de

Momentos (MoM). O problema de espalhamento em duas dimensões é uma

aproximação para o problema de espalhamento em três dimensões. Para realização

dessa aproximação, considera-se que os campos e as propriedades dos materiais

que preenchem o domínio têm um mesmo comportamento em qualquer seção

transversal tomada ao longo da direção z. Considera-se também que o domínio Ω ,

apresentado na figura 3.1(a), seja um espalhador de seção transversal arbitrária e

comprimento infinito ao longo da mesma direção z, imerso no espaço livre 0Ω .

Portanto, ao interceptar esse espalhador, esses campos têm variação apenas nas

direções x e y, ou seja, a avaliação dos campos no domínio pode ser simplificada

para uma avaliação em uma seção transversal qualquer do mesmo.

Figura 3.1: Simplificação do domínio (a) em três dimensões

para o domínio (b) em duas dimensões.

29

A figura 3.1 mostra o domínio original (a) em três dimensões e sua respectiva seção

transversal (b), em duas dimensões.

Dessa maneira, tem-se um novo domínio de estudo a ser considerado na análise do

problema de espalhamento em duas dimensões, mostrado na figura 3.2.

Figura 3.2: Geometria de estudo para um espalhador bidimensional.

A figura 3.2 ilustra a geometria bidimensional do problema. O domínio Ω é uma

seção transversal do espalhador original, interceptada pelos campos incidentes

elétrico e magnético. Essas considerações são essenciais no desenvolvimento da

formulação para o Método de Momentos.

3.2 Formulação para o Método de Momentos

Na figura 3.2, o domínio 0Ω representa o espaço livre em duas dimensões. Nesse

domínio os campos elétrico e magnético são regidos pelas equações escalares de

Helmholtz (2.11) e (2.12). Para obtenção da formulação para o Método de

Momentos, essas equações diferenciais devem ser transformadas em equações

integrais.

30

3.2.1 Formulação Integral para a Equação de Helmholtz

No espaço livre, os campos são regidos pela equação de Helmholtz [38]:

2 ( ) ² ( ) ( )u u fβ∇ + =r r r 0∀ ∈Ωr (3.1)

A solução do problema de espalhamento é alcançada ao se determinar a solução u

na equação (3.1), onde u representa o campo elétrico ou magnético. No espaço

livre, os parâmetros rμ e rε são ambos iguais a 1,0.

Para a formulação integral dos campos no espaço livre é necessário introduzir a

função de Green 0G que satisfaz a equação (3.1), definida para o espaço livre [33]:

2

0 0( , ') ² ( , ') ( , ')G Gβ δ∇ + = − r r r r r r ' ∞∀ ∈ Ωr (3.2)

Nas equações (3.1) e (3.2), r e 'r representam, respectivamente, os vetores

posição do observador e posição da fonte. O símbolo δ representa a função delta de

Dirac [16].

A função de Green que satisfaz a equação (3.2) e sua correspondente derivada

normal são dadas pelas seguintes expressões [11]:

20 0

1( , ') ( )4

G Hj

β =r r R (3.3)

20 01

( , ') ˆ ˆ( )' 4

G k Hn j

β∂ =

∂r r R R n (3.4)

Nas equações (3.3) e (3.4), 20H e 2

1H representam, respectivamente, as funções de

Hankel de segundo tipo e ordem zero e de segundo tipo e ordem um [11]. O vetor R

31

representa a distância entre o ponto de observação e o ponto de integração. O vetor

R , o seu módulo R e seu unitário R̂ são definidos através das expressões:

ˆ ˆ' ' 'x x y y = − = ( − ) + ( − ) R r r x y ; (3.5)

2 2' 'R x x y y = = ( − ) + ( − ) R ; (3.6)

ˆR

= RR . (3.7)

Para obter a equação integral no espaço livre, multiplica-se a equação (3.1) por 0G e

a equação (3.2) por u . Em seguida, subtraem-se os resultados. Integra-se o

resultado dessa subtração no domínio e aplica-se o segundo teorema escalar de

Green (detalhes no Apêndice B), juntamente com as propriedades do delta de Dirac

[39]. Por meio deste processo, obtém-se a seguinte equação integral sobre a

superfície Γ :

00' '

( , ')1 ( ) ( ) ( , ') ( ) ' ( ) '2 'i

Gu u G d u dn

ψΓ Γ

∂ = − Γ − Γ

∂∫ ∫r rr r r r r r (3.8)

Na equação (3.8), ( )ψ r representa a derivada normal do campo ( )u r . De acordo

com essa equação, o campo em qualquer ponto do domínio é dado pela contribuição

do campo incidente somada às contribuições referentes a todos os outros pontos da

superfície [14]. O campo eletromagnético incidente iu em Γ é representado pela

seguinte integral, avaliada sobre a região de fontes SΩ :

0( ) ( , ') ( )S

i Su G f dΩ

= − Ω∫r r r r (3.9)

Entretanto, por se tratar de um problema de espalhamento, assume-se que a região

de fontes está localizada distante do espalhador e que, na região de campo distante,

a onda eletromagnética é uma onda plana e uniforme dada pela expressão [16]:

32

0 ( )( )i ijk xcos ysen

iu e θ θ + = r (3.10) Onde iθ representa o ângulo de incidência da onda sobre o espalhador. A partir da equação (3.8), com as devidas considerações para ( )u r e ( )ψ r ,

encontram-se as equações de onda para os campos elétrico e magnético, conforme

mostram as expressões a seguir.

Equação de onda para o campo elétrico De acordo com as equações (2.12) e (3.8), obtém-se para zE :

00' '

( , ')( , ')1 ( ) ( ) ( , ') ' ( ') '2 ' '

i zz z z

GG d dn nΓ Γ

∂∂= − Γ − Γ

∂ ∂∫ ∫r rE r rE r E r r r E r (3.11)

Equação de onda para o campo magnético De forma análoga ao item anterior, com as equações (2.13) e (3.8), obtém-se para

zH :

00' '

( , ')( , ')1 ( ) ( ) ( , ') ' ( ') '2 ' '

i zz z z

GG d dn nΓ Γ

∂∂= − Γ − Γ

∂ ∂∫ ∫r rH r rH r H r r r H r (3.12)

As equações (3.11) e (3.12) estão na forma analítica. Entretanto, para a solução

numérica faz-se necessária a discretização de suas grandezas geométricas e físicas.

3.2.2 Discretização Nodal da Fronteira

Para obter a solução numérica do problema é necessário, inicialmente, discretizar a

fronteira do espalhador em vários subdomínios denominados “elementos” [20]. Um

elemento é caracterizado por seu número de nós e sua dimensão [11]. Eles não

precisam ser necessariamente iguais em tamanho ou tipo, mas é necessário que

representem da melhor maneira possível a geometria do domínio analisado. Nas

regiões onde se tenha um maior interesse ou se espera uma maior variação da

grandeza analisada, deve-se concentrar um maior número de elementos. O tipo de

33

elemento depende da geometria da região e do número de coordenadas espaciais

independentes, necessárias para descrever o sistema. Nesse problema de

espalhamento, a geometria simples permite que os elementos sejam de primeira

ordem [40]. Os elementos de primeira ordem podem ser lineares, quadráticos ou

cúbicos, conforme mostra a figura 3.3.

Figura 3.3: Representação dos elementos de primeira ordem: linear, quadrático e cúbico.

Para a solução desse problema, os elementos utilizados na discretização do

espalhador são do tipo linear. Essa escolha é feita porque todas as análises

numéricas acontecem na fronteira Γ , a qual possui geometria relativamente simples.

Para se solucionar numericamente a equação (3.8), a fronteira Γ mostrada na figura

3.2, é dividida em N elementos lineares e obtém-se um conjunto desses, conforme

mostrados na figura 3.4.

Figura 3.4: Discretizacão da fronteira Γ (a) em N elementos (b).

O conjunto de elementos mostrados na figura 3.4 (b) pode ser expresso pela

equação 3.13.

34

1

N

ee=

Γ = Γ∑ (3.13)

Na equação (3.13), N é o número total de elementos em que se divide a superfície Γ

e eΓ é o N-ésimo elemento dessa fronteira.

Após a discretização da fronteira dada pela equação (3.13), a equação (3.8) pode

ser reescrita como:

00

1

( , ')1 ( ) ( ) ( , ') ( ) ( )2 e e

N

i e ee

Gu u G d u dn

ψ Γ Γ

=

∂⎧ ⎫ = − Γ + Γ⎨ ⎬∂⎩ ⎭∑ ∫ ∫

r rr r r r r r (3.14)

As quantidades isoparamétricas são aproximadas por meio de seus valores nodais

por funções de interpolação definidas no interior de cada elemento. Para avaliação

das funções geométricas, é necessária uma aproximação das coordenadas do ponto

de integração mediante as seguintes expressões [11]:

1'( ) ( ) '

p

i ii

x N xζ ζ=

= ∑ (3.15)

1'( ) ( ) '

p

i ii

y N yζ ζ=

= ∑ (3.16)

Nas equações (3.15) e (3.16), iN é a função de aproximação definida sobre cada nó

do elemento, p representa o número de nós do elemento e ζ é a coordenada

curvilínea local [20]. A transformação de coordenadas reais em coordenadas locais é

mostrada pela figura 3.5.

35

Figura 3.5 Transformação geométrica de coordenadas

A figura 3.5 mostra um elemento real (a), no plano (x,y), sendo mapeado em um

elemento linear padrão no plano ζ (b). O elemento padrão está associado a variável

ζ que varia de -1 a 1.

A função de aproximação iN é utilizada para interpolação das variáveis físicas e

geométricas. Para o elemento linear, iN é definida por:

11

2N ζ −

= (3.17)

21

2N ζ +

= (3.18)

Para que a transformação de coordenadas mostrada na figura 3.5 seja possível, é

necessário calcular-se o Jacobiano dessa transformação [40]. Para o elemento linear

escolhido, o Jacobiano é dado por:

2 2

2 1 2 1( ) ( )( )

x x y yJ ζ

ζ − + −

= Δ

(3.19)

Onde ζΔ é o comprimento do elemento padrão em ζ .

36

Além disso, considera-se que em cada elemento eΓ o elemento de integração edΓ

seja substituído por Jdζ , onde J é o Jacobiano para transformação das variáveis

globais em locais. Dessa forma, a equação (3.14) é reescrita como:

{ 1

011

1 ( ) ( ) ( , ') ( ) ( )2

N

ie

u r u r G r r r Jdψ ζ

−=

= − +∑ ∫r r r r r

1 01

( , ')( ) ( )G r ru r Jdn

ζ

−

∂ ⎫+ ⎬∂ ⎭∫r r

r (3.20)

Além da discretização da fronteira Γ , para se obter a solução numérica, faz-se

necessário também a discretização das grandezas físicas.

Discretização das Grandezas Físicas

As grandezas físicas são aproximadas por meio de uma função de base, conforme

mostrado a seguir:

1( )

N

t tt

u g uζ=

= ∑ (3.21)

1( )

N

t tt

gψ ζ ψ=

= ∑ (3.22)

Nas equações (3.21) e (3.22), u e ψ correspondem, respectivamente, ao valor do

campo e de sua derivada normal sobre o nó t do elemento e tg é a função de base

local.

As funções de base devem ter a habilidade de representar precisamente as

grandezas físicas. Além disso, a escolha dessas funções deve ser feita de maneira a

minimizar o esforço computacional [16],[29]. Existem vários conjuntos de funções de

base possíveis. Esses conjuntos podem ser divididos em duas classes gerais; as

funções de base locais e as funções de base globais [25].

37

Em problemas de espalhamento, utilizam-se geralmente as funções de base locais,

as quais são diferentes de zero em apenas uma parte do domínio. Essa escolha

favorece os domínios segmentados por elementos [16]. Dentre as funções de base

locais, destacam-se a funções de pulso e a triangular. Por representar precisamente

as grandezas físicas e favorecer a viabilidade computacional, a função de base

utilizada neste trabalho é o pulso, assim definido:

1, ( 1)0,t

para N t Ng

para todos os outros casos − < <⎧

= ⎨ ⎩ (3.23)

Para a solução MoM, os elementos são todos analisados, porém um a cada

momento. Essa coordenação é feita pela função de base, o pulso. No primeiro

elemento, fixa-se um ponto de observação no ponto médio do elemento e nesse

calcula-se o valor de campo. Todos os outros elementos são considerados como

fontes de campo para esse elemento e, dessa maneira, ao valor de campo calculado

nesse primeiro elemento, são adicionados os valores de campo das contribuições de

todos os outros elementos.

Mediante a discretização das grandezas físicas dada pelas equações (3.21) e (3.22),

obtém-se a equação discretizada para um elemento padrão no espaço ζ :

{ 1

011 1

1 ( ) ( ) ( , ')2

N N

i t te t

u u G g Jd uζ

−= =

⎡ ⎤ = − + ⎢ ⎥⎣ ⎦∑∑ ∫r r r r

1 01

( , ')' t t

G g Jdn

ζ ψ

−

⎫∂ ⎡ ⎤+ ⎬⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎭∫

r r (3.24)

Na equação (3.24) a integração numérica em cada elemento é realizada utilizando-

se a quadratura de Gauss [30].

Para obtenção de todos os valores do campo, o ponto de observação, que se

encontra no primeiro elemento, move-se para o segundo elemento e calcula-se o

campo nesse, juntamente com as contribuições de campo de todos os outros

38

elementos. Esse procedimento é feito até o N-ésimo elemento do domínio,

finalizando uma análise completa da fronteira do espalhador.

A equação (3.24), escrita para todos os nós da fronteira, é dada pela seguinte

expressão matricial:

[ ] { } [ ] { } { }iA u B uψ + = (3.25)

De acordo com a equação (3.24), os argumentos para as matrizes A e B são dados

pelas contribuições elementares:

1

1 'o

ij tGa g J dn

ζ

−

∂ =

∂∫ (3.26)

1

1ij t ob g G J dζ

− = ∫ (3.27)

A equação matricial (3.25) ilustra uma análise feita na fronteira do espalhador com o

espaço livre 0Ω . O sistema matricial representado pela equação (3.25) possui

apenas uma equação, mas possui duas incógnitas, o que impossibilita sua solução

direta. Uma alternativa para a solução desse problema é aplicar outras condições de

contorno para a dada superfície, mas desta vez pela fronteira da superfície Γ com o

domínio Ω . Faz-se, assim, uma segunda análise da superfície do espalhador.

Dessa forma, têm-se duas equações para as duas incógnitas existentes, sendo

possível então a obtenção dos campos e suas derivadas.

A análise dos campos no interior do espalhador é feita de forma semelhante à obtida

pela fronteira externa, exceto pelo fato de não existir a parcela do campo incidente iu

no interior do espalhador. A obtenção dos campos no interior do espalhador é

realizada por meio dos mesmos procedimentos adotados na obtenção da equação

(3.24). Assim, tem-se que:

39

{ 1

211 1

1 ( ) ( , ')2

N N

t te t

u r G r r g Jd uζ

−= =

⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥⎣ ⎦∑∑ ∫r r r

1 21

( , ')' t t

G r r g Jdn

ζ ψ

−

⎫∂ ⎡ ⎤+ ⎬⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎭∫

r r (3.28)

Onde:

22 0 2

1( , ') ( ' )4

G r r H r rj

β= −r urr r ;

22 20 2

( , ') ˆ ˆ( ' )' 4

G r r k H r rn j

β∂= −

∂

r r r urR n ;

2 2 2β ω ε μ = .

Por meio do mesmo processo desenvolvido para obter a equação (3.25), obtém-se

uma segunda equação matricial:

[ ] { } [ ] { } { }0D u C ψ + = (3.29)

De acordo com a equação (3.28), os argumentos para as matrizes C e D são dados

pelas contribuições elementares:

1 21 'ij t

Gd g J dn

ζ

−

∂ =

∂∫ (3.30)

1

21ij tc g G J dζ

− = ∫ (3.31)

O acoplamento entre as formulações MoM para as fronteiras interna e externa do

domínio é possível devido à aplicação das condições de interface na fronteira Γ . No

problema de espalhamento em duas dimensões, essas condições são de

continuidade do campo e de sua derivada. As incógnitas que aparecem na equação

(3.25), originada da aplicação do método do MoM na fronteira externa do domínio,

são as mesmas que aparecem na equação (3.29), gerada pela formulação MoM da

fronteira interna do domínio. Assim, as equações (3.25) e (3.29) podem ser

agrupadas para dar origem ao sistema matricial a seguir:

40

{ } { }0

iuA Bu

D Cψ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + = ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(3.32)

Este sistema matricial pode ser reescrito, agrupando-se as matrizes de coeficientes e

também as matrizes de termos independentes:

0iuA B u

D C ψ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫

= ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (3.33)

A equação (3.33) pode ser solucionada, pelo Método de Momentos, por meio de

métodos iterativos ou métodos diretos [33]. Nesse trabalho, o método utilizado para

obtenção dos resultados, é dito direto, proposto por Harrington [14].

Na equação (3.33), tem-se que a matriz A , de dimensão n x n , é obtida por meio da

formulação numérica MoM para a fronteira externa do domínio e contribui com os

coeficientes do campo u . A matriz B , de dimensão n x n , é obtida por meio da

formulação MoM para a fronteira externa do domínio e contribui com os coeficientes

para a derivada do campo ψ . A formulação para a fronteira externa ao domínio

contribui também com o vetor iu , o qual possui n posições em que estão

armazenados os valores de campo incidente sobre os n elementos da fronteira. A

matriz C , de dimensão n x n , é obtida por meio da formulação numérica MoM para a

fronteira interna do domínio e contribui com os coeficientes para a derivada do

campo ψ . A matriz D , de dimensão n x n , é obtida por meio da formulação MoM

para a fronteira interna do domínio e contribui com os coeficientes para o campo u .

O vetor nulo de n posições, pertencente à matriz do segundo membro, é devido à

ausência de campos incidentes no interior do domínio. Os detalhes da obtenção do

sistema matricial expandido em termos de todos os seus elementos encontram-se no

Apêndice C.

Na avaliação numérica das equações (3.24) e (3.28), o ponto de observação pode

pertencer ao elemento que está sendo integrado. Nesse caso, a distância entre o

ponto de integração e o ponto de observação torna-se muito pequena e a função de

41

Green e sua derivada apresentam singularidade. A conseqüência da presença de

singularidade é a impossibilidade de avaliação direta das equações (3.24) e (3.28).

Para que se tenha uma integração correta faz-se necessário extrair a singularidade

dessas equações [11],[28]. A extração dessa singularidade é feita, nas situações em

que o observador está no elemento analisado, por meio da substituição da solução

numérica pela solução analítica. Essa solução analítica está descrita no apêndice A.

3.3 Sumário

Nesse capítulo foram apresentadas as formulações para o Método de Momentos em

duas dimensões. Mostrou-se que o problema de espalhamento eletromagnético em

duas dimensões é um caso particular para o problema tridimensional em que se

considera que os materiais e a seção transversal do domínio de estudo não variam

ao longo de uma determinada direção. Foram derivadas as formulações para o

Método de Momentos nas fronteiras interna e externa ao domínio. Mostrou-se que

existem incógnitas comuns nessas formulações e que, devido à continuidade dos

campos e suas derivadas na fronteira do domínio, essas formulações podem ser

acopladas. A solução do sistema de equações fornece os valores de campos na

fronteira do domínio. Finalmente, foi mostrado e discutido o sistema matricial

originado.

42

4 Resultados 4.1 Introdução Este capítulo tem por objetivo mostrar e discutir os resultados obtidos durante o

desenvolvimento desta dissertação. A metodologia adotada para a validação do

Método de Momentos consiste em comparar a solução analítica com a solução

numérica para o espalhamento bidimensional de um espalhador condutor elétrico

perfeito e de um espalhador dielétrico. 4.2 Espalhamento Eletromagnético 2D A solução analítica para os problemas de espalhamento eletromagnético somente é

possível para casos relativamente simples. Desta forma, para a validação da

formulação numérica desenvolvida, tornam-se necessárias algumas simplificações

para o problema. A seção transversal do domínio, utilizada para se obter as soluções

analítica e numérica, é circular. A figura 4.1 ilustra a geometria do espalhador

bidimensional a ser analisado.

Figura 4.1: Geometria do espalhador bidimensional.

43

Por meio da figura 4.1 pode-se observar que o domínio Ω , interceptado por uma

onda plana e uniforme zTM , se encontra imerso no espaço livre 0Ω .

As formulações numéricas para esse problema foram desenvolvidas no capítulo três

para um campo escalar arbitrário. Por meio da equação (3.24), a expressão para o

campo elétrico na fronteira exterior do espalhador, é dada por:

{ 1

011 1

1 ( ) ( ) ( , ')2

N Ni

t te t

G g Jdζ−

= =

⎡ ⎤ = − + ⎢ ⎥⎣ ⎦∑∑ ∫E r E r r r E

1 01

( , ')' '

tt

G g Jdn n

ζ−

⎫∂ ∂⎡ ⎤+ ⎬⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎭∫

r r E (4.1)

Tem-se também, a partir da equação (3.28), a expressão para o campo elétrico na

fronteira interior do espalhador:

{ 1

211 1

1 ( ) ( , ')2

N N

t te t

r G r r g Jdζ−

= =

⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥⎣ ⎦∑∑ ∫r r rE E

1 21

( , ')' '

tt

G r r g Jdn n

ζ−

⎫∂∂ ⎡ ⎤+ ⎬⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎭∫

r r E (4.2)

A solução numérica para o campo elétrico é dada pelo acoplamento das expressões

(4.1) e (4.2). Esse acoplamento é obtido através da equação matricial (3.33),

utilizado para os dois tipos de espalhadores analisados.

4.2.1 Análise do Espalhador Condutor Elétrico Perfeito

A solução do problema para o espalhador condutor elétrico perfeito é de grande

interesse para a engenharia, pois proporciona o conhecimento da distribuição de

correntes em um condutor elétrico. Por meio dessa corrente é possível, por exemplo,

determinar a distribuição de cargas, o padrão de espalhamento e o RCS de um

objeto [11].

44

O diâmetro da seção circular transversal desse espalhador é de 0,6 λ , conforme

mostrado na figura 4.2:

Figura 4.2: Espalhador bidimensional condutor elétrico perfeito

iluminado por uma onda plana e uniforme zTM .

A figura 4.2 mostra que a permissividade elétrica relativa ( rε ) do material do

espalhador condutor elétrico perfeito é rε = 1,0 e sua permeabilidade magnética

relativa é considerada rμ = 1,0.

A fronteira do espalhador é discretizada em 40 elementos lineares de primeira

ordem. Portanto, existem 40 nós dispostos nos 360 graus desse contorno. Esse

espalhador é iluminado por uma onda plana e uniforme com ângulo de incidência de

180º. O valor do módulo do campo elétrico incidente é de 1V/m. A onda zTM

incidente possui frequência de 0,3GHz e comprimento λ = 1m.

A figura 4.3 mostra os valores do módulo do campo elétrico espalhado obtidos pela

formulação MoM e também os valores do módulo do campo elétrico espalhado

obtido pela solução analítica.

45

Figura 4.3: Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador condutor elétrico perfeito.

Observa-se que, apesar de uma discretização relativamente pequena, o campo

calculado através do Método de Momentos é uma excelente aproximação para a

solução analítica. Isso demonstra a robustez desse método, o qual possui uma

rápida convergência dos resultados. O tempo de processamento foi de 0,664s com

hardware Intel Core 2 Duo T5800 2GHz com 2Gb de RAM em sistema operacional

Windows XP Pro Versão 2002 Service Pack 3.

O erro numérico absoluto, em cada nó da fronteira, é avaliado mediante a seguinte

expressão:

e cErro E E = − (4.3)

Na equação (4.3), eE representa o valor exato obtido por meio da expressão

analítica para o campo elétrico e cE , o valor calculado através do MoM. A figura 4.4

mostra os erros absoluto e erro absoluto médio sobre os nós da fronteira.

46

Figura 4.4: Erro Absoluto e Erro Absoluto Médio.

O valor do erro médio, para esse caso, é de 46,931 x 10− . Observa-se então que,

mesmo com a discretização da fronteira em apenas 40 nós, o resultado obtido pelo

Método de Momentos é muito eficiente e preciso.

A solução numérica para esse mesmo problema é também aplicada a uma outra

discretização da geometria. Nessa próxima análise, a fronteira do espalhador

condutor elétrico perfeito é discretizada em 360 nós. Os valores de campo elétrico,

obtidos pelo Método de Momentos e pela solução analítica, são mostrados pela

figura 4.5.

_____ Erro Absoluto

. . . . Erro Absoluto Médio

47

Figura 4.5: Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador condutor elétrico perfeito.

Observa-se, mediante a figura 4.5, que há uma excelente concordância entre os

campos elétricos espalhados obtidos pela solução numérica e pela solução analítica.

A precisão dos resultados é maior quando a discretização é feita com maior número

de nós. Entretanto, a eficiência diminui neste caso. A figura 4.6 mostra os erros

absolutos e absoluto médio para a discretização do espalhador condutor elétrico

perfeito em 360 nós. O tempo de processamento foi de 4,5117s com hardware Intel

Core 2 Duo T5800 2GHz com 2Gb de RAM em sistema operacional Windows XP Pro

Versão 2002 Service Pack 3.

Figura 4.6: Erro Absoluto e Erro Absoluto Médio.

_____ Erro Absoluto

. . . . Erro Absoluto Médio

48

O erro absoluto médio mostrado pela figura 4.6 é de -47,224 x 10 . Nesse caso, a

discretização da fronteira do espalhador em 360 elementos implica em um esforço

computacional muito maior comparado à discretização em apenas 40 elementos,

mostrada anteriormente. O erro encontrado para discretização em 360 elementos é

praticamente a mesma comparada ao erro encontrado pela discretização em 40

elementos. Isso mostra que os resultados obtidos pelo MoM tiveram uma

convergência muito rápida de seus valores em relação aos valores reais e que o

esforço computacional requerido pelas discretizações com grande quantidade de nós

deve ser sempre considerado.

4.2.2 Análise do Espalhador Dielétrico O problema de espalhamento eletromagnético é também analisado para o caso de

um espalhador cujo material constituinte é um dielétrico. O diâmetro da seção

circular transversal desse espalhador é de 0,6 λ . Esse espalhador é iluminado por

uma onda zTM de frequência igual a 0,3GHz e comprimento de onda λ = 1m. O

ângulo de incidência dessa onda é 180º e o valor do módulo do campo elétrico

incidente é de 1V/m. O problema é o mesmo ilustrado pela figura 4.2, porém nesta

análise o material do espalhador possui permissividade relativa rε = 3,0 (material

dielétrico). A permeabilidade magnética relativa é rμ = 1,0.

A figura 4.7 mostra os valores de campo elétrico calculados pelo Método de

Momentos e os valores de campo elétrico obtidos pela solução analítica. Esses

campos são avaliados sobre a fronteira do espalhador dielétrico discretizada em 40

nós.

49

Figura 4.7: Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador dielétrico

Por meio da figura 4.7, observa-se que os valores de campo espalhado obtidos

mediante a formulação MoM constituem uma ótima aproximação para a solução

analítica. Apesar da discretização com poucos elementos, observa-se que a solução

MoM possui uma boa convergência. Isso demonstra a precisão do método obtido

com baixo esforço computacional. O tempo de processamento foi de 3,2875s com

hardware Intel Core 2 Duo T5800 2GHz com 2Gb de RAM em sistema operacional

Windows XP Pro Versão 2002 Service Pack 3.

A figura 4.8 mostra os erros absoluto e absoluto médio sobre a fronteira Γ no caso

da discretização do espalhador dielétrico em 40 elementos.

Figura 4.8: Erro Absoluto e Erro Absoluto Médio.

_____ Erro Absoluto

. . . . Erro Absoluto Médio

50

O erro absoluto médio, devido à discretização da fronteira em 40 nós, é de -24,81 x 10 . Por meio da análise da figuras 4.7 e 4.8 observa-se a robustez numérica

do Método de Momentos que, mesmo em discretizações com poucos elementos,

possui uma excelente fidelidade dos resultados quando comparados aos resultados

obtidos pela solução analítica.

Um parâmetro de grande interesse em problemas de espalhamento é a seção

transversal de radar, ou mesmo, Radar Cross Section (RCS). Este parâmetro é

geralmente desejável nesses problemas, especialmente quando envolvem

navegação aeroespacial. O RCS é definido como a área que intercepta uma

quantidade de potência tal que, quando espalhada isotropicamente, produz no

receptor uma densidade de potência igual à densidade de potência espalhada pelo

objeto original [16]. O RCS em duas dimensões é designado por largura de

espalhamento. A largura de espalhamento pode ser matematicamente definida pela

expressão:

2

2 2lim 2S

D r irσ π

→∞ =

E

E (4.4)

Na equação (4.4), SE representa o campo elétrico espalhado, iE o campo elétrico

incidente e r , a distância do objeto espalhador ao ponto onde os campos estão

sendo avaliados. A figura 4.9 mostra a largura de espalhamento para o caso do

cilindro dielétrico discretizado em 40 nós.

51

Figura 4.9: Largura de espalhamento.

A figura 4.9 permite compreender que existe uma maior concentração de energia

próxima a 0º. Essa energia decai com o aumento do ângulo e é praticamente igual à

energia incidente para 180º.

Este espalhador dielétrico é também avaliado através de uma discretização de sua

fronteira em 360 nós. A figura 4.10 mostra o campo elétrico espalhado obtido

mediante aplicação da formulação MoM e também por meio da solução analítica.

Figura 4.10: Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador dielétrico.

52

Observa-se, por meio da figura 4.10, que há uma excelente concordância entre os

campos elétricos obtidos pela solução numérica e a solução analítica. A precisão

dos resultados torna-se maior quando a discretização é feita com maior número de

nós. Entretanto, a eficiência computacional diminui neste caso. O tempo de

processamento foi de 199,4818s com hardware Intel Core 2 Duo T5800 2GHz com

2Gb de RAM em sistema operacional Windows XP Pro Versão 2002 Service Pack 3.

A figura 4.11 mostra os erros absolutos e médios para a discretização do espalhador

condutor dielétrico em 360 nós.

Figura 4.11: Erro Absoluto e Erro Médio Absoluto.

O erro médio, mostrado pela figura 4.11, é de 21,139 x10− . Esse erro encontrado para

discretização em 360 elementos é de aproximadamente 4 vezes menor em relação

ao erro encontrado pela discretização em 40 elementos, no caso do espalhador

dielétrico. Dessa maneira, o aumento da discretização aumentou a precisão dos

resultados, elevou o esforço computacional requerido e, consequentemente, diminuiu

a eficiência. Ao se comparar os resultados obtidos pelo MoM para as duas diferentes

discretizações, observa-se uma convergência muito rápida de seus valores em

relação aos valores reais.

A figura 4.12 mostra a largura de espalhamento para o caso do cilindro dielétrico

discretizado em 360 nós.

_____ Erro Absoluto

. . . . Erro Médio Absoluto

53

Figura 4.12: Largura de espalhamento.

Observa-se, na figura 4.12, que a maior concentração de energia está em 0º. A

energia é mínima próximo a 120º e praticamente igual à energia incidente em 180º.

A largura de espalhamento para o espalhador dielétrico proposto mostra-se em

concordância com os resultados encontrados na literatura [11],[26].

4.3 Sumário Nesse capítulo foram validadas as formulações numéricas para o problema de

espalhamento eletromagnético bidimensional. Inicialmente, aplicou-se o Método de

Momentos para solucionar o problema de espalhamento devido ao espalhador

condutor elétrico perfeito e ao espalhador dielétrico para duas diferentes

discretizações: 40 e 360 nós. Os resultados obtidos pelo Método de Momentos

mostraram-se muito precisos mesmo com a menor discretização e verificou-se uma

rápida convergência dos resultados em relação aos valores reais.

As formulações desenvolvidas foram validadas mediante comparações dos valores

de campo obtidos por meio da solução analítica com os resultados numéricos, nas

54

diferentes configurações do problema. O padrão de espalhamento mostrou-se em

conformidade com os valores obtidos com a solução analítica e também com os

resultados previamente publicados na literatura, obtidos por diferentes métodos

numéricos [11], [20], [26].

55

5 Conclusão A formulação para o Método de Momentos desenvolvida neste trabalho foi validada e

mostrou-se eficiente e robusta ao tratar problemas abertos de espalhamento

eletromagnético. Esta formulação foi aplicada, inicialmente, para o espalhador

condutor elétrico perfeito e os resultados obtidos foram muito precisos, mesmo no

caso aplicado à discretização da fronteira com pequeno número de nós. Essa

solução motivou a busca por diferentes desafios e, dessa maneira, a mesma

metodologia foi proposta para um espalhador dielétrico. Os resultados obtidos para o

espalhador dielétrico também se mostraram bem precisos para as diferentes

discretizações propostas, evidenciadas pela rápida convergência. No caso do

espalhador dielétrico, foi obtida também a largura de espalhamento, parâmetro que

fornece a relação entre os campos incidentes e espalhados, e seus resultados se

mostraram em conformidade com os previamente publicados na literatura. Dessa

forma, a formulação desenvolvida foi validada e está apta a tratar novos problemas

com diferentes geometrias e materiais, sendo esta uma das propostas de

continuidade deste trabalho.

O sistema matricial originado pela formulação desenvolvida é cheio. Dessa forma, a

solução de problema com elevado número de nós em sua discretização pode

demandar um elevado esforço computacional e assim, para se ganhar em precisão

nos resultados, a eficiência pode ser comprometida. Essa perda em eficiência é

devida ao custo computacional no cálculo das contribuições elementares e na

solução do sistema matricial resultante. Embora não seja objeto deste trabalho, esta

eficiência pode ser melhorada por meio da utilização de técnicas para o

aprimoramento da formulação, bem como o uso de diferentes técnicas, iterativas ou

diretas, para o cálculo das contribuições elementares. A utilização destas técnicas

torna-se assim outra sugestão de continuidade deste trabalho.

56

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61

APÊNDICE A Espalhamento Eletromagnético – Solução Analítica Assume-se que uma onda plana e uniforme ZTM incide em direção normal a um

espalhador cilíndrico infinito na direção z imerso no espaço livre, conforme mostra a

figura A.1. Essa consideração reduz o problema de três dimensões para apenas

duas. O espalhador cilíndrico condutor perfeito é constituído por um meio linear,

homogêneo e isotrópico e sua seção transversal é circular de raio a.

Figura A.1: Simplificação do domínio (a) em três dimensões

para o domínio (b) em duas dimensões.

O campo elétrico incidente iE pode ser escrito por:

cos

0 0i i j x j

z z z zâ E â E e â E eβ βρ φ− −= = =E (a.1)

Esse campo pode ser escrito também em coordenadas cilíndricas e através de

funções de Hankel:

0 00

( ) ( ) ( ) cos( )i i n jn nz z z n z n n

n nâ E â E j J e â E j J nφβρ ε βρ φ

+∞ +∞− −

=−∞ =

= = = −∑ ∑E (a.2)

62

Onde

(a.3)

e ρ é a distância do centro da seção circular do cilindro ao ponto de observação.

Os correspondentes componentes do campo magnético podem ser obtidos pela

manipulação das equações de Maxwell:

101 1 1 ( )i

i n jnzn

n

EEH nj J ej j

φρ βρ

ωμ ρ φ ωμ ρ

+∞− +

=−∞

∂= − = −

∂ ∑ (a.4)

O campo magnético incidente pode ser expressado também por:

0 ( )1( )

ii n jnnz

n

E JEH j ej j

φφ

β βρωμ ρ ωμ βρ

+∞−

=−∞

∂∂= =

∂ ∂∑ (a.5)

Na presença de um cilindro condutor o campo elétrico total tE pode ser escrito como

a soma do campo elétrico incidente com o campo elétrico espalhado:

t i s = + E E E (a.6)

Onde sE é o campo espalhado.

Esse campo sE pode ser representado por:

(2)0 ( )s s

z z z n nn

â E â E c H βρ+∞

=−∞

= = ∑E (a.7)

Onde nc representa os coeficientes de amplitude a serem determinados. A equação

(a.7) é escolhida propositalmente e similar à equação (a.2). As duas equações são

utilizadas para representar o campo total. Isto se torna conveniente devido ao cálculo

dos coeficientes de amplitude nc .

1, 02,n

para npara n

ε = ⎧

= ⎨ ≠ 0⎩

63

Os coeficientes de amplitudes desconhecidos nc podem ser obtidos aplicando-se a

condição de contorno a seguir:

( ,0 2 , ) 0t tz zâ E a zρ φ π= = ≤ ≤ =E (a.8)

Usando as equações (a.2), (a.7) e (a.8) tem-se:

20 2

( ) ( )( )

s n jnnz n

n n

J aE j H eH a

φβ βρβ

∞−

=−∞

= − ∑E (a.9)

Tem-se também que nc descrito pela equação (a.7) é dado por:

2

( )( )

n jnnn

n

J ac j eH a

φββ

− −= − (a.10)

De maneira similar, pode-se obter a equação de campo magnético espalhado:

1 202

( )1 1 1 ( )( )

ss n jnnz

nn n

E J aEH nj H ej j H a

φρ

β βρωμ ρ φ ωμ ρ β

+∞− +

=−∞

∂= − = −

∂ ∑ (a.11)

A expressão para o campo elétrico espalhado, obtido analiticamente, para um

cilindro condutor elétrico perfeito, utilizado nesse trabalho para validar o Método de

Momentos, é mostrada a seguir:

20 2

( ) ( ) cos( )( )

s n nn n

n n

J aE j H nH a

βε βρ φβ

∞−

=−∞

= − ∑E (a.12)

Onde nε é definido pela equação (a.3).

Os componentes correspondentes do campo magnético espalhado pode ser obtido

pelas equações de Maxwell como segue:

64

1 202

( )1 1 1 ( )( )

ss n jnnz

nn n

E J aEH nj H ej j H a

φρ

β βρωμ ρ φ ωμ ρ β

+∞− +

=−∞

∂= − = −

∂ ∑ (a.11)

E também:

2

02

( ) ( )1 ( )( ) ( )

ss n jnn nz

n n

E J a HEH j ej j H a

φφ

β βρβ βρωμ ρ ωμ β βρ

+∞−

=−∞

∂∂= = −

∂ ∂∑ (a.12)

Portanto os componentes totais dos campos elétricos e magnéticos podem ser

escritos como

0t t tzE E Hρ φ= = = (a.13)

Dessa maneira, o campo elétrico total expandido pelas funções de Hankel é dado

por:

2

0 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

t n jnn n nz

n n n

J a J a HE E j J eH a H a

φβ β βρ βρβ β βρ

+∞−

=−∞

⎡ ⎤∂= ⎢ ⎥∂⎣ ⎦

∑ (a.14)

O campo magnético total é encontrado de maneira similar à realizada para o campo

elétrico, descrito na equação (a.11):

1 202

( )1 ( ) ( )( )

t n jnnn n

n n

E J aH nj J H ej H a

φρ

ββρ βρωμ ρ β

+∞− +

=−∞

⎡ ⎤−= −⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (a.15)

E assim tem-se que:

2

02

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

t n jnn n n

n n

E J J a HH j ej H a

φφ

βρ β βρβωμ βρ β βρ

+∞−

=−∞

⎡ ⎤∂ ∂= −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∑ (a.16)

65

Na superfície do cilindro (ρ = a), o campo magnético tangencial total pode ser escrito

como:

20

2

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

t n jnn n n

n na a

E J J a HH a j ej H a

φφ

ρ ρ

βρ β βρρ βωμ βρ β βρ

+∞−

=−∞ = =

⎡ ⎤∂ ∂= = −⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∑ (a.17)

A equação (a.17) pode ser reescrita através da expressão:

02

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

n nn

a at n jn

n n

Y JJ a Yn aEH a j e

H aρ ρ φ

φ

βρ βρβ ββρ βρ

ρ βωμ β

+∞= =−

=−∞

⎡ ⎤∂ ∂−⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥= = ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ (a.18)

Usando o wronskiano de funções de Bessel:

( ) ( ) 2( ) ( )( ) ( )n n

n nY JJ Yαρ αραρ αρ

αρ αρ παρ∂ ∂

− =∂ ∂

(a.19)

Dessa maneira, a equação (a.18) pode ser reduzida a:

02

2( )( )

jnt n

n n

E eH a ja H a

φ

φ ρπ ωμ β

+∞−

=−∞

= = ∑ (a.20)

A corrente induzida na superfície do cilindro pelo campo magnético tangencial pode

ser escrita como:

^

02

( ) ( )

2 ( )( )

t t ts za a

jnn

zn n

J n H â â H â H â H a

E eâ ja H a

ρ ρ ρ φ φ φρ ρ

φ

ρ

π ωμ β

= =

+∞−

=−∞

= × = × + = =

= ∑ (a.21)

66

Aproximação para pequenos raios Com o aumento do raio do cilindro, mais termos na série infinita descrita pela

equação (a.19) são necessários para obter uma boa convergência. Entretanto, para

pequenos raios, como um fio muito fino ( a λ ), o primeiro termo equação (a.19),

isto é para n=0, é dominante e quase sempre suficiente para representar a corrente

induzida. Portanto para um fio bem fino, a equação (a.19) pode ser aproximada por:

02

2 1( )s z

n

EJ âa H aπ ωμ β

= para a λ (a.22)

Onde:

20 0 0

2( ) ( ) ( ) 1 ln( )2aH a J a jY a j ββ β β γ

π= − ≅ − (a.23)

Dessa forma, para um fio muito fino, a densidade de corrente pode ser calculada

aproximadamente através de:

0 11,781ln

2

z zEJâ â j

aa βωμ≅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

para a λ (a.24)

Campo Espalhado em Regiões Distantes Um dos mais importantes parâmetros no espalhamento é a largura de espalhamento

(scattering width) que é obtido conhecendo-se o campo espalhado numa zona

distante. Para tanto, é necessário se reduzir os campos espalhados para uma zona

mais distante de observação ( )βρ → ∞ . Na equação (a.12), a função de Hankel pode

ser aproximada para observações feitas a grandes distâncias através da expressão:

2 2( ) n jn

jH j e βρβρπβρ

≅ para βρ → ∞ (a.25)

67

Assim a equação (a.12) pode ser reescrita como:

0 2

( )2( )

js jnnz

n n

J aj eE E eH a

βρφβ

πβ βρ

− ∞−

=−∞

≅ − ∑ para βρ → ∞ (a.26)

A razão do campo elétrico espalhado distante para o campo incidente pode ser

assim escrito como:

0 2

0

( )2( )

jjnn

sz n n

j xìz

J aj eE eE H aE eE

βρφ

β

βπβ βρ

− ∞−

=−∞−

−=

∑ (a.27)

E assim, tem-se:

2

( )2( )

sz jnnì

n nz

E J a eH aE

φβπβρ β

∞

=−∞

= ∑ (a.28)

A largura de espalhamento pode ser expresso por:

2

2 2lim 2S

D r irσ π

→∞ =

E

E (a.29)

Substituindo (a.26) em (a.27), tem-se que a largura de espalhamento é dada por:

2

2 20

( )2 cos( )( )

nD n

n n

J a nH a

βλσ ε φπ β

∞

=

= ∑ (a.30)

68

APÊNDICE B Equação de Onda Escalar – Desenvolvimento Completo

B.1 Equação de Onda para o campo elétrico As equações de onda são aqui obtidas a partir das leis de Maxwell na forma fasorial

e também através das equações de contorno. A primeira Lei de Maxwell é

apresentada:

jω∇ × = −E B (b.1)

Sabe-se que:

μ = B H (b.2)

Substitui-se (b.2) em (b.1):

jωμ∇ × = −E H (b.3)

Toma-se o rotacional dos dois membros da equação (b.3):

( )j j jωμ ωμ ωε∇×∇× = − ∇× = − +E H J E (b.4)

Sabe-se que o rotacional é independente da variação no tempo e o meio foi

assumido linear. Apresenta-se assim a seguinte identidade vetorial:

2( )∇×∇× = ∇ ∇ • − ∇A A A (b.5)

A equação (b.4) pode ser reescrita por:

69

20 0( ) ( )j jωε ωμ∇ ∇ • − ∇ = ∇× + −H H J H (b.6)

Assim, tem-se que a equação (b.6) é dada por:

2 2( ) jω με ωμ∇ + =E J (b.7)

Ou simplesmente:

2 2 jβ ωμ∇ + =E E J (b.8)

Onde 1/2( ) 2 /β ω με π λ= =

Acima β e λ são respectivamente o número e o comprimento de onda. A equação

(b.8) é a forma vetorial da equação de onda de Helmholtz. Considerando-se uma

onda zTM ( 0)z =H com o campo elétrico ( , )z zx y a=E E , a equação vetorial torna-se

uma equação escalar:

2 2

z z zjβ ωμ∇ + =E E J (b.9)

B.2 Equação de Onda para o Campo Magnético

De maneira análoga ao tratamento anterior para campo elétrico, apresenta-se agora

a segunda Lei de Maxwell:

jω∇ × = + H J D (b.10)

Sabe-se que:

ε = D E (b.11)

Substitui-se (b.11) em (b.10):

70

jωε∇ × = + H J E (b.12)

Toma-se o rotacional dos dois membros da equação (b.12):

( )jωε∇×∇× = ∇× + ∇×H J E (b.13)

Utilizando a identidade vetorial (b.3), a equação (b.13) pode ser reescrita:

2

0 0( ) ( )j jωε ωμ∇ ∇ • − ∇ = ∇× + −H H J H (b.14)

Ou simplesmente

2 2

0jβ ωε μ∇ + = −∇× +H H J (b.15)

onde 1/2( ) 2 /β ω με π λ= =

Dessa forma, a equação de onda para o campo magnético, para uma onda incidente

zTM , é expressa por:

2 2

0z z i zj Kβ ωε μ∇ + = − ∇× +H H J (b.16)

71

APÊNDICE C Solução Método de Momentos Para iniciar o estudo sobre MOM é pertinente a definição de uma equação integral,

que é aquela onde o integrando é desconhecido. A sua forma geral dada por:

( )L f g = (c.1)

Onde L é um operador qualquer (conhecido), g é a fonte ou excitação (conhecida)

e f é o campo ou resposta (função desconhecida).

Considera-se o problema a ser examinado como determinístico, ou seja, a solução

da equação é única e existe apenas uma função f associada a cada excitação dada

g . Sendo assim, tem-se o problema da determinação da função f quando L e g

são dados. Para solução do problema proposto se desenvolvem técnicas

matemáticas onde equações funcionais são reduzidas em equações matriciais.

Para a utilização do Método de Momentos é adequado que sejam utilizadas

notações de espaços e operações lineares. Dessa forma, os problemas específicos

utilizam essa notação. Ao se analisar um problema determinístico genérico na forma

da equação anterior onde o operador L , tal como seu domínio e a resposta g são

conhecidos, se ( )L f g = existe e é única para todo g , então o operador inverso 1L −

existe e a função desconhecida é calculada como 1 ( )f L g −= . Com L e g

conhecidos, o problema proposto pode ser solucionado.

C.1 Formulação Integral para a equação de Helmholtz

No espaço livre 0Ω os campos são regidos pela equação de Helmholtz:

2 ( ) ² ( ) ( )u u fβ∇ + =r r r 0∀ ∈Ωr (c.2)

72

A função de Green que descreve o fenômeno é dada:

2

0 0( , ') ² ( , ') ( , ')G Gβ δ∇ + = −r r r r r r 0∀ ∈Ωr (c.3)

ondeδ é a função delta de Dirac.

Sabe-se que 20 0

1( , ') ( )4

G Hj

β=r r R (c.4)

Multiplica-se a equação (c.2) por 0 ( , ')G r r :

2

0 0 0( ) ² ( ) ( )G u G u G fβ∇ + =r r r (c.5)

E também, multiplica-se a equação (c.3) por ( )u r :

2

0 0( ') ( ) ² ( ') ( ) ( ') ( )G u G u uβ δ∇ − + − = − −r r r r r r r r r (c.6)

Subtrai-se (c.5) de (c.6):

2 2

0 0 0( ') ( ) ( ') ( ) ( ') ( ) ( ') ( )G u G u G f uδ− ∇ − ∇ − = − + −r r r r r r r r r r r r (c.7)

E integra-se os dois membros em 0Ω :

0 0

2 20 0 0 0 0[ ( , ') ( ) ( , ') ( )] [ ( , ') ( ) ( , ') ( )]G u G u d G f u dδ

Ω Ω

∇ − ∇ Ω = + Ω∫ ∫r r r r r r r r r r r r (c.8)

Apresenta-se o 2º teorema de Green:

2 2[ ] [ ]' '

b aa b b a d a b dn nΓ

Ω

∂ ∂∇ − ∇ Ω = − Γ

∂ ∂∫ ∫ (c.9)

73

A partir do 2º teorema de Green, tem-se:

0

00 0 0

( , ')( )[ ( , ') ( ) ] [ ( , ') ( ) ( , ) ( )]GuG u d G f u dn n

δΓ Ω

∂∂− + Γ = + Ω

∂ ∂∫ ∫r rrr r r r r r r r' r (c.10)

Através das propriedades do delta de Dirac, ao se trabalhar na superfície, tem-se

que:

0

00 0 0

( , ') ( ) 1[ ( ) ( , ') ] [ ( , ') ( )] ( )2

G uu G d G f d un nΓ Ω

∂ ∂− Γ = Ω +

∂ ∂∫ ∫r r rr r r r r r r (c.11)

Troca-se r por 'r (o sinal inverte):

00 0

'

( , ')1 ( ')( ) ( , ') ( ') [ ( ') ( , ) ] '2 s

G uu G f d s u G dn nΩ Γ

∂ ∂= − Ω + − Γ

∂ ∂∫ ∫r r rr r r r r r r (c.12)

Onde 0[ ( , ') ( ')]s

G f d sΩ

Ω∫ r r r é o campo incidente ( )iu r .

Assim tem-se que:

00

'

( , ')1 ( ')( ) ( ) [ ( ') ( , ') ] '2 i

G uu u u G dn nΓ

∂ ∂= + − Γ

∂ ∂∫r r rr r r r r (c.13)

Onde 200 0( , ') ( )

4kG H

jβ=r r R

74

C.2 Solução da Equação Matricial - MoM

A solução discretizada para o campo u na fronteira externa do espalhador é dada

pela equação (3.24):

{ 1

011 1

1 ( ) ( ) ( , ')2

N N

i t te t

u u G g Jd uζ

−= =

⎡ ⎤ = − + ⎢ ⎥⎣ ⎦∑∑ ∫r r r r

1 01

( , ')' t t

G g Jdn

ζ ψ

−

⎫∂ ⎡ ⎤+ ⎬⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎭∫

r r (c.14)

A solução discretizada para o campo u na fronteira interna do espalhador é dada

pela equação (3.28):

{ 1

211 1

1 ( ) ( , ')2

N N

t te t

u G g Jd uζ

−= =

⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥⎣ ⎦∑∑ ∫r r r

1 21

( , ')' t t

G g Jdn

ζ ψ

−

⎫∂ ⎡ ⎤+ ⎬⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎭∫

r r (c.15)

Os argumentos das contribuições de cada elemento da matriz global são mostrados

a seguir:

1

1 'o

ij tGa g J dn

ζ

−

∂ =

∂∫ (c.16)

1

1ij t ob g G J dζ

− = ∫ (c.17)

1

21ij tc g G J dζ

− = ∫ (c.18)

1 21 'ij t

Gd g J dn

ζ

−

∂ =

∂∫ (c.19)

75

Dessa forma, obtém-se o sistema matricial acoplado expresso pela equação (3.33).

O sistema matricial expandido, obtido pelo Método de Momentos, é mostrado a

seguir:

11 12 13 1 11 12 13 1

21 22 23 2 21 22 23 2

1 2 3

... ...... ...

...

N N

N N

N N N

a a a a b b b ba a a a b b b b

a a a

... ...

M M M M M M M M

1 2 3

11 12 13 1 11 12 13 1

21 22 23 2 21 22 23 2

...

... ...... ...

NN N N N NN

N N

N N

a b b b b

d d d d c c c cd d d d c c c c

... ..M M M M M M M

( 1)11

21 ( 2)

1 ( )

11

21

11 2 3 1 2 3

00

... ...

N

i r

i r

N i r

NN N N NN N N N NN

uuuu

u u

d d d d c c c c

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ Ψ ⎢ ⎥⎢ ⎥Ψ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥. ⎢ ⎥Ψ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

uur

uur

uur

M M

MM

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

M

(c.20)

76

APÊNDICE D Solução Método de Momentos – Pseudocódigo Apresenta-se o pseudocódigo geral utilizado na solução numérica MoM para o

espalhamento eletromagnético bidimensional:

Para m = 1 até N // Varrer os observadores ● Obter coordenadas do observador;

Para n = 1 até N // Varrer os elementos

● Obter coordenadas do elemento;

● Calcular contribuição**;

● Assemblar a contribuição na matriz global;

Fim Para

Fim Para

● Solucionar o sistema matricial;

** O pseudocódigo para o cálculo da contribuição de cada elemento é mostrado a

seguir:

● Receber coordenadas do observador;

● Receber coordenadas do elemento; ● Definir vetor com pontos e pesos de Gauss;

● Calcular o Jacobiano;

Para p = 1 até NPG // NPG é o número de pontos de Gauss

● Avaliar as funções 1N e 2N ;

● Calcular ( )x ζ e ( )y ζ ;

● Avaliar ( , ')G r r ;

● Avaliar ( , ')Gn

∂ ∂r r ;

Fim Para

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