Método de Acesso Dinâmico: B-Tree - Busca e InserçãoChaves de busca sem duplicatas

AULA 12Profa. Sandra de Amo

GBC053 – BCC

B-Trees : Método de Acesso Dinâmico Nós internos da árvore são alterados à medida que novos registros são

inseridos nas folhas, ou quando registros são deletados.

Quando tais nós são alterados ? Operações de inserção e deleção são balanceadas de modo a que cada

nó interno tenha uma ocupação mínima e máxima. Uma ocupação mínima de 50% é garantida em cada nó (exceto a raiz)

Arvore é Balanceada Todos os caminhos da raiz até a folha têm o mesmo comprimento. Cada nó (exceptuando a raiz) contém m entradas, onde d ≤ m ≤ 2d, d = ordem da B-tree A raiz contém m entradas onde 1 ≤ m ≤ 2d

Páginas das folhas são ligadas em sequência através de ponteiros – podem ser percorridas em sequência nas duas direções.

Altura da árvore : Devido ao grande espalhamento da árvore, sua altura é raramente maior do que 4

Formato de um nó interno

P0 P1 P2 Pi Pi+1 PmK1 ... ...K2 K3 Ki+1 Km

Pi = ponteiros que apontam para um núm. de página no nível imediatamente inferior

Ki = valor do atributo chave do índice. Exemplo: se o atributo chave é idade então Ki é um valor de idade.

K < Ki+1 K ≥ Ki+1

Valores K da chave nesta página são < Ki+1

Valores K da chave nesta página são ≥ Ki+1

Busca (entradas sem duplicatas)

13 17 24 30

Ordem = 2 : cada nó interno contém K entradas, 2 K 4Chave de busca contém chave candidata (não há duplicatas)

2* 3* 7*5* 14*16* 19*20* 22* 24*27*29* 33*34* 39*38*

15 ?5 ?

Inserção

13 17 24 30

2* 3* 7*5* 14*16* 19*20* 22* 24*27*29* 33*34* 39*38*

Se nó onde deve ocorrer a inserção não está cheio

Exemplo inserindo 23 *

23*

Inserção: se nó onde deveria ocorrer a inserção já está cheio Opção 1 : Se nó está cheio divida e ajuste os nós

ancestrais. Opção 2 : Testa primeiro se pode redistrisbuir num

nó vizinho. Em caso negativo, divide.

Ideal Nós intermediários: sempre dividir, não redistribuir Nós Folha: procure redistribuir entre os vizinhos

Se tiver espaço no vizinho direito, redistribua. Caso contrário, verifica se tem espaço no

vizinho esquerdo, e redistribua Caso contrário: divida a folha cheia.

Inserção : Testando vizinho à direita

13 17 24 30

7*5* 14*16* 19*20* 22* 24*27*29* 33*34* 39*38*

Inserindo 6*

6*

14* 16*2* 3*

CHEIA !!

Inserção : Testando vizinho à direita

13 17 24 30

7*5* 14*16* 19*20* 22* 24*27*29* 33*34* 39*38*

Inserindo 6*

14*16*2* 3*

7*5*2* 3* 6*

Inserção : Testando vizinho à direita

13 17 24 30

5* 14*16* 19*20* 22* 24*27*29* 33*34* 39*38*

Inserindo 6*

14*16*2* 3*

7*5*2* 3* 6*

7*

7*

6*

Resumo:

Inserção da chave X na folha P P está cheia Vizinho à direita VD tem espaço e pai(VD) = pai(P)

Insere X em P Obtém página P’ com 2d+1 elementos Transfere último elemento Y de P’ para primeira posição de VD Seja Pai = pai(VD) = pai(P)

Pti = ponteiro de Pai apontando para VD

Ki = chave em Pai antes de Pti

Substitui Ki por Y

Exercicio

Inserir a chave 30*

13 17 24 32

7*5* 14*16* 19*20* 22* 24*27* 28* 33*34* 38*2* 3* 29*14*16*

Inserção : Testando vizinho à esquerda

8 17 24 30

7*5* 14*16* 19*20* 22* 24*27*29* 33*34* 39*38*

Inserindo 35*

8* 14* 16*2* 3*

33*34* 39*38*35*

Inserção : Testando vizinho à esquerda

8 17 24

7*5* 14*16* 19*20* 22* 24*27*29* 33* 35* 39*38*

Inserindo 35*

8* 14* 16*2* 3* 34*

34

Resumo:

Inserção da chave X na folha P P está cheia Vizinho à direita VD

não tem espaço ou não existe ou pai(VD) ≠ pai(P)

Vizinho à esquerda VE tem espaço e pai(VE) = pai(P) Insere X em P Obtém página P’ com 2d+1 elementos Transfere primeiro elemento Y de P’ para última posição de VE Seja Pai = pai(P) = pai(VE) Pti = ponteiro de Pai apontando para P

Ki = chave em Pai antes de Pti

Substitui Ki por Y

Exercicio

Inserir a chave 25*

13 17 24 32

7*5* 14*16* 19*20* 22* 24*27* 28* 33*34* 38*14*16*2* 3* 29* 39*

Discussão

Distribuição nas folhas vizinhas não acarreta mudança aumento de ocupação dos nós pais

Portanto: Nós pais não ultrapassam ocupação máxima Não precisam ser divididos nem redistribuídos

entre seus vizinhos Não há crescimento da altura da árvore Modificações não se propagam para nós

acima do nó-pai

Inserção : Vizinhos estão cheios Divisão da Folha

13 17 24 30

2* 3* 7*5* 13*14* 19*20* 22* 24*27*29* 33*34* 39*38*

Inserindo 8*

Cheia !

7* 8*55*

Cheia !

15*16*

2* 3* 7*5* 8*

Divisão de nós intermediários

13 17 24 305

2* 3* 7*5* 13*14* 19*20* 22* 24*27*29* 33*34* 39*38*7* 8*55* 15*16*

Divisão de nó intermediário

13 24 305

17

2* 3* 7*5* 14*16* 19*20* 22* 24*27*29* 33*34* 39*38*7* 8*55*

Resumo: Divisão de Folha

Inserção da chave X na folha P P está cheia Vizinho à direita VD não tem espaço ou não existe ou pai(VD) ≠

pai(P) Vizinho à esquerda VE não tem espaço ou não existe ou pai(VE)

≠ pai(P) Insere X em P Obtém página P’ com 2d+1 elementos Divide página P em duas páginas P1 e P2

P1 tem d elementos P2 tem d+1 elementos

Pai = pai(P) Elimina ponteiro de Pai que aponta para P Y = primeiro elemento de P2 Insere novo nó Y em Pai Insere dois novos ponteiros em Pai

à esquerda de Y apontando para P1 à direita de Y apontando para P2

Se Pai ultrapassar tamanho máximo : Divide(Pai)

Resumo: Divisão de nó intermediário

Divide(P), P = nó intermediário, P ≠ raiz

Tamanho(P) = 2d+1 X = chave do meio de P Divide P em P1 e P2

P1 contém os d primeiros elementos de P P2 contém os d últimos elementos de P

Seja Pai = pai(P) Insere X em Pai Elimina ponteiro de Pai que apontava para P Insere dois novos ponteiros em Pai

à esquerda de X apontando para P1 à direita de X apontando para P2

Se Pai ultrapassar tamanho máximo : Divide(Pai)

Resumo: Divisão de Raiz

Divide(P), P = nó intermediário, P = raiz

Tamanho(P) = 2d+1 X = chave do meio de P Divide P em P1 e P2

P1 contém os d primeiros elementos de P P1 contém os d últimos elementos de P

Cria novo nó raiz R com única chave X, em nível acima do nível dos nós P1 e P1

Insere dois ponteiros em Rà esquerda de X apontando para P1 à direita de X apontando para P2

Exercicio: Insira (49,*)

25 34 45 55

17*19* 24*23* 26* 28* 35*37* 38* 46*47* 54* 56*58* 65*60*40* 48*

8 11

12* 15*14*

16

8* 10*9*

2* 6*5*