MÉTODO DA SECANTE

Este processo é semelhante ao método de Newton-Raphson.

Usa-se, no lugar equação da tangente, a equação da secante quecorta a curva da função em dois pontos cujas abscissas definem um intervalo onde está contida a raiz.

r

No gráfico, r é a raiz de f(x).

Tomemos os pontos de abscissas x = x0 e x = x1 e tracemos a secante S1.

S1

x0x1

f(x0)

f(x1)

A equação da secante que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)) é

Y – f(x0) = (x – x0)f(x1) – f(x0) x1 – x0

As ordenadas desses pontos são f(x0) e f(x1).

A secante intercepta o eixo dos y no ponto de abscissa x = x2.

x2 pode ser considerada a primeira aproximação da raiz.

x2

Calculando x2: 0 – f(x0) = (x2 – x0)f(x1) – f(x0) x1 – x0

x2 = x1 – f(x1). x1 – x0

f(x1) – f(x0)

Tomando os pontos de abscissas x1 e x2, traça-se a secante S2.

S2

Obtém-se então a abscissa x3, que é a segunda aproximação da raiz.

x3 = x2 – f(x2). x2 – x1

f(x2) – f(x1)

Continua o processo até obter a aproximaçãoDesejada. Em cada aproximação calcula-sef(xi) para conhecer o erro.

EXEMPLO

Resolver a equação 1,6x2 = 9,43x -10,362, com erro inferior a 0,001, usando o processo de truncamento.

1º passo: Escrever a equação na forma f(x) = 0.

f(x) = 1,6x2 – 9,43x + 10,362.

2º passo:Isto é importante pois, se a equação apresentar mais de uma raiz, não pode existir mais de uma raiz entre os pontos a serem escolhidos para a secante.

3º passo:

Para a menor raiz (r1), usaremos os pontosde abscissas x0 = 0 e x1 = 1.

x1 pode ser escolhido após r1. Não podeser escolhido após r2 (outra raiz).

Construir o gráfico

escolher dois pontos paraa secante.

4º passo: Determinar as ordenadas f(x0) e f(x1) relativas aos pontos escolhidos.

x0 = 0 f(x0) = f(0) = 1,6.02 – 9,43.0 + 10,362 = 10,362.

x1 = 1 f(x1) = f(1) = 1,6.12 – 9,43.1 + 10,362 = 2,532.

5º passo: Calcular x2 (interseção da secante com o eixo dos “x”).

x2 = x1 – f(x1). x1 – x0

f(x1) – f(x0)x2 = 1 – (2,532).(1 – 0)/(2,532 – 10,362)= 1,323372

6º passo: Calcular f(x2) para avaliar o erro.

f(x2) = f(1,323372) = 1,3133722 – 9,43. 1,313372 + 10,362 = 0,684705

Como x2 é uma suposta raiz, f(x2) deveria se igual a 0 (zero).

Portanto, o erro é maior que 0,001.

Devemos continuar o processo, calculando, xi, i = 3, 4, 5 e f(xi).

Vejamos então os cálculos.

x3 = x2 – f(x2). x2 – x1

f(x2) – f(x1)

x3 = 1,323372 – 0,684705(1,323372 – 1)/(0,684705 – 2,532) = 1,44323

f(x3) = 1,6.1,443232 – 9,43.1,44323 + 10,362 = 0,085.

O erro ainda é maior que 0,001.

Calculando x4. x4 = x3 – f(x3). x3 – x2

f(x3) – f(x2)

x4 = 1,44323 – 0,085.(1,44323 – 1,323372)/(0,085 – 0,68475) = 1,460219

f(x4) = 1,6.1,4602192 – 9,43. 1,460219 + 10,362 = 0,037.

Erro ainda maior que 0,001.

Calculando x5 x5 = x4 – f(x4). x4 – x3

f(x4) – f(x3)x5 = 1,460219 – 0,037.(1,460219 – 1,44323)/(0,037 – 0,085) = 1,460996

f(x5) = 1,6.1,4609962 – 9,43.1,460996 + 10,362 = 0,00022.

Como o erro é menor que 0,001 x5 = 1,460996 é a aproximação aceitável.

Resposta: 1,460.Como o erro deve ser menor que 0,001, a resposta deve ser dada com três casas decimais. Foi usado o processo de truncamento conforme enunciado.

USANDO O APLICATIVO CORRESPONDENTE

Intervalo estabelecido no gráfico

Função digitada: = 1,6.C8^2 – 9,43*C8 + 10,362

ERRO DIGITADO

Célula F8 copiada para G8 e H8.

Células F8, G8 e H8 copiadas para ascélulas abaixo delas.