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A Relação Cartografia e Geometria Diferencial: da influência

grega às obras de Mercator, Lambert e Gauss

Antonio Noel Filho

Prof. Dr. Marcos Vieira Teixeira

Introdução

Nesta pesquisa que se inicia nossa proposta é estudar a relação entre a Cartografia e

a Geometria Diferencial, dando um enfoque principal às obras de Mercator, Lambert e

Gauss. Tomando como ponto de partida a influência grega no desenvolvimento da

Geometria e da Cartografia, faremos um estudo da evolução histórica destas áreas até

chegarmos às obras de Gerard Mercator, de Johann H. Lambert e Karl F. Gauss, que é o

foco principal de nossa pesquisa.

Para situarmos os princípios que levam à relação entre a Cartografia e a Geometria

Diferencial, precisamos acompanhar o desenvolvimento histórico destes dois campos do

conhecimento e para isto devemos recorrer à História.

As raízes históricas da Cartografia chegam até nós através de registros deixados

pelas grandes civilizações antigas, principalmente pelos seus navegantes e exploradores.

Embora a simplicidade dos mapas antigos, não exigisse tantos conhecimentos

matemáticos, desde a origem da Cartografia, a Matemática, em especial a Geometria,

constituiu a base para o desenvolvimento desse campo do saber, seja na representação da

forma da Terra imaginada pelos povos antigos, nos registros dos caminhos e itinerários,

nas rotas marítimas, etc.

Os sábios gregos, que já concebiam a Terra esférica, lançaram as bases para o

desenvolvimento deste campo científico. Como o trabalho do Cartógrafo ao elaborar cartas

e mapas, consiste em transportar dados esféricos existentes no mundo real para uma

superfície plana, os cartógrafos gregos embasados em conhecimentos sólidos matemáticos,

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criaram os sistemas de projeções. Estes sistemas foram sendo aperfeiçoados através dos

tempos, atingindo um grau científico considerável no século XVI com o matemático,

geógrafo e cartógrafo Gerard Mercator.

Após o século XVII os avanços obtidos no desenvolvimento da Geometria e do

Cálculo Diferencial e Integral principalmente com os estudos de Monge, Euler, Gauss e

Riemann fazem emergir um novo ramo da Matemática, a Geometria Diferencial, que

exerceria grandes influências no campo da Cartografia.

Os caminhos históricos da aventura cartográfica

A curiosidade do homem em conhecer os mistérios do universo, com as

particularidades de seus astros e em descobrir “novos mundos”, em especial, conhecer a

própria Terra, vem talvez desde a origem de sua existência.

Segundo Joly (1997), desde sua origem o homem procura conservar a memória dos

lugares e dos caminhos úteis às suas ocupações, bem como seus costumes e culturas e

também de outros povos. Aprenderam assim, a registrar fatos de sua existência através de

símbolos gravados em placas de argila, em peles de animais (pergaminhos), nos papiros

(primitivo do nosso papel, feitos de folhas vegetais), em madeira e em alguns metais.

Aparecem aí os primeiros registros cartográficos, os primitivos dos nossos mapas atuais.

Há indícios de que a história dos mapas é mais antiga que a própria história e a

construção de mapas precede a escrita. Viajantes e exploradores comprovaram a existência

de mapas em aldeias de povos primitivos que não conheciam a escrita.

Segundo Dreyer-Eimbcke (1992), os primeiros registros cartográficos de que se

tem notícia aparecem no Oriente, encontrados com maior freqüência no sul da

Mesopotâmia. O mapa antigo mais conhecido em nosso tempo foi descoberto nas

escavações das ruínas da cidade de Ga Sur, ao norte da Babilônia. Este mapa data de 2500

a.C e conserva-se atualmente na Universidade Harvard. Trata-se de uma placa de barro

cozido que representa o vale do rio Eufrates, com montanhas indicadas a cada lado por

escamas de peixe. Outro registro cartográfico antigo vem do reino acadiano antigo, cinco

séculos após a invenção da escrita cuneiforme (2350 a.C - 2150 a.C), descobriu-se um

mapa regional, além de sete plantas. Depois apareceram plantas da Babilônia antiga (2000

a.C - 1600 a.C), da cidade de Nipur (1600 a.C - 1000 a.C) e o único mapa - mundi

conservado da Antiguidade, um fragmento de argila com escrita cuneiforme do tempo do

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império babilônio (626 a.C - 593 a.C), que hoje é guardado no Museu Britânico, em

Londres.

Para Joly (1997), aparecem no Egito, na Assíria, na Fenícia e na China os primeiros

esboços da aventura cartográfica.

Os mapas primitivos eram simples, quase sempre retratavam fatos culturais de

alguns povos, caminhos, itinerários e pontos notáveis necessários aos caçadores e

aventureiros. Algumas civilizações antigas costumavam retratar seus mapas com certo

exagero em relação à grandeza de seus territórios imperiais, colocando-os sempre como

centro do Mundo conhecido por eles, tal como os egípcios, os chineses e os romanos.

Muitos mapas antigos eram construídos sob mitos e lendas contados por alguns

aventureiros e outros baseados em princípios religiosos.

Embora seja notável que os primeiros cartógrafos construíam seus mapas

utilizando-se de conceitos matemáticas, principalmente geométricos, nesta época não havia

grande preocupação com o rigor e com a relação entre as grandezas reais e as apresentadas

nos seus mapas. O importante era registrar as novas descobertas e os fatos do mundo até

então conhecido.

Os gregos, fortemente influenciados pelas descobertas dos babilônios, atingiram na

Antiguidade um grau inigualável de conhecimento, que permanece até início do século

XVI. Admitiram a esfericidade da Terra, com seus pólos, seu equador e seus trópicos;

introduziram o sistema de latitudes e longitudes, construíram as primeiras projeções e

calcularam o “tamanho” do nosso planeta. Os gregos construíram os primeiros

fundamentos da Geografia e das normas cartográficas, e ainda hoje os alicerces do sistema

cartográfico repousam na contribuição que nos deixaram. Começa, então, uma nova era da

aventura cartográfica, a chamada Cartografia Matemática, que passa a ser construída com

base em princípios matemáticos.

Segundo Dreyer-Eimbcke, (1992) os gregos gostavam de descrever as formas

geográficas de um país por meios geométricos, entre outros. Nos escritos de Estrabão

( 63 a.C e 26 d.C) e em outros escritores antigos, encontramos algumas dessas descrições

como por exemplo, o Peloponesco, que é comparado com uma folha de plátano e a Sicília,

com a um triângulo, tais como comparamos hoje a Itália a uma “bota”.

Grandes nomes merecem destaque nesta época, como: Anaximandro de Mileto

(século VI a.C.), que construiu um quadrante solar e possuía um mapa-múndi gravado em

pedra, Hecateu de Mileto, que representou a Terra sobre um disco metálico, Hiparco de

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Nicéia propôs um sistema de meridianos e paralelos com intervalos iguais, Êudoxo de

Cnido, que construiu um globo e Dicearco de Messênia, que desenhou um mapa mundi em

projeção plana-quadrada. No século III a.C., Eratóstenes de Cirene, que dirigiu a célebre

biblioteca de Alexandria, desenhou um mapa-múndi com paralelos e meridianos, tendo

ainda calculado, com impressionante precisão, em vista da precariedade dos recursos da

época, a circunferência da Terra. Porém o apogeu da cartografia grega é atribuído a

Claudio Ptolomeu de Alexandria, que viveu no século II de nossa era. Astrônomo,

geógrafo e cartógrafo, ele lançou as bases da Geografia Matemática e da Cartografia em

sua famosa obra a Geografia. Além da sua grande obra, a Sintaxe Matemática, chamada

mais tarde pelos árabes de Almagesto, um verdadeiro manual destinada à Astronomia.

A partir desta era, a Cartografia como as outras ciências, passa por um longo

período de estabilidade, sem grandes avanços, que dura quase um milênio. Um período de

dominação do Ocidente por parte da igreja católica romana, onde não se aceitava novos

avanços e descobertas científicas se não fossem baseados em princípios religiosos. Neste

período foi proibido, pela igreja, o uso da Geografia de Ptolomeu. Assim os mapas

produzidos eram rudimentares e os mais comuns produzidos nesta época, foram os

conhecidos como “Orbis Terrarum” ou mapas em forma de “T” no “O”. Estes mapas

retratavam o mundo conhecido, o “ecúmeno”, chamado pelos gregos. Neles admitiam a

forma circular da Terra, simbolicamente dividido em três partes, como a Trindade, com

dois braços de mar em T com a Europa à esquerda, a África à direita e a Ásia acima,

considerada a sede do paraíso terrestre. Merecendo destaque apenas “os portulanos” ou

cartas portulanas; mapas com caráter mais cientifico e utilitário, considerados verdadeiros

guias de navegação para a época. Somente no período dos grandes descobrimentos,

impulsionados pelas viagens de exploração de novas terras, onde os navegadores sentiam

necessidade de mapas cada vez mais atualizados e aperfeiçoados, que em fins século XV e

princípios do século XVI reaparecem grandes avanços científicos no campo da Cartografia.

Começa, nesta época, a considerada era de ouro da Cartografia.

A Cartografia Matemática e sua relação com a Geometria Diferencial

Desde a origem da Cartografia e fortemente influenciada pelos gregos, a

Matemática, especialmente a Geometria, constitui a base para a construção desse campo do

conhecimento. O cartógrafo para elaborar um mapa ou carta, seus produtos mais

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significativos, precisa dos conhecimentos matemáticos, já que a representação gráfica

constitui uma transposição de dados esféricos existentes no mundo real para um plano.

Admitindo a esfericidade da Terra, que mais tarde chegar-se-ia a conclusão de que se

tratava da forma de um elipsóide, com pequena diferença entre seus semi-eixos, para

eliminar as deformações geradas pelas transformações dela no plano, os cartógrafos a

partir do século XVI, vão em busca de novos conhecimentos matemáticos de modo a

encontrar uma projeção ideal. Uma projeção que conservasse ângulos, proporcionalidade

entre as distâncias e superfícies, ou que se aproximasse o máximo possível da realidade.

Surge nesta época um dos cartógrafos mais importantes da Europa; Gerhard

Mercator (1512-1594), que pela sua genialidade como matemático, geógrafo e cartógrafo,

contribuiu com grandes avanços no campo da Cartografia, destacando a reformulação que

fez em relação à Geografia de Ptolomeu. Um dos seus trabalhos mais conhecidos é a

projeção cartográfica, que recebe o seu nome, que consiste em projetar a superfície

esférica (a Terra, que até então era considerada uma esfera perfeita) num cilindro ilimitado,

com meridianos retos e eqüidistantes e paralelos também retos, porém cada vez mais

espaçados entre si na direção dos pólos. Circundando a esfera terrestre por um cilindro

tangente na direção do equador, e em seguida desenvolvendo-o, o equador é representado

em verdadeira grandeza na escala e o exagero da extensão das paralelas em latitude é

compensado por um exagero proporcional das distâncias meridianas, segundo uma fração

chamada “variável de Mercator” ou “variável das latitudes crescentes”. Embora exista a

variável de Mercator, sua projeção é mais utilizada para mapas marítimos por preservar os

meridianos e paralelos retilíneos e ortogonais e para mapas de regiões intertropicais, onde

as deformações são mínimas. Devido a sua genialidade no campo da Cartografia,

Mercator, embora tenha contestado algumas idéias de Ptolomeu, foi considerado o

Ptolomeu de sua época e mesmo com seus erros, sua obra é utilizada em navegação até os

dias atuais.

Mais tarde, no século XVIII aparecem os trabalhos cartográficos de Johann H.

Lambert. Sua projeção cônica é uma quadrícula analítica bem adaptada para regiões de

médias latitudes. Nela os meridianos retilíneos e os paralelos curvos cortam-se de maneira

a assegurar a semelhança. Desta forma para mapas de grandes escalas sugere utilizar um

cone secante ou recortar a região a cartografar em zonas troncônicas compreendidas entre

dois paralelos extremos, fazendo-se corresponder a cada uma delas um cone tangente ao

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paralelo médio (projeção policônica). Além de criar uma projeção cônica equivalente,

intermediária entre as projeções equivalente azimutal e cilíndrica.

Outros fatores que exerceram grandes influências nos avanços cartográficos a partir

do século XVII foram os estudos proferidos ao Cálculo Diferencial e Integral por Fermat,

Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Cauchy, entre outros e o surgimento das geometrias

não - euclidianas, no final do século XVIII, com Lobachevsky e Bolyai.

Os avanços obtidos no desenvolvimento da Geometria e do Cálculo Diferencial e

Integral principalmente com os estudos de Monge, Euler, Gauss e Riemann fazem emergir

nesta época, um novo ramo da Matemática, a Geometria Diferencial, que exerceria

grandes influências no campo da Cartografia.

Com base num levantamento bibliográfico preliminar que fizemos, a respeito da

origem da Geometria Diferencial, encontramos dois aspectos: o primeiro é que a sua

origem está relacionada à necessidade de resolver problemas de construção de mapas

planos, com as grandes investigações de propriedades locais de curvas e superfícies e o

segundo é que surgiu de problemas de aplicação da Análise à Geometria. Porém, noções

como retas tangentes a curvas já eram encontradas entre os gregos Euclides, Arquimedes e

Apolônio.

Segundo Pogorélov (1984), a Geometria Diferencial teria surgido na primeira

metade do século XVIII, com os trabalhos de Euler e Monge. A primeira exposição da

teoria de superfícies pertence a Monge (Aplicações de Análise à Geometria - 1795) e em

1827, Gauss publicou sua obra (Estudo geral sobre superfícies curvas), que passou a ser a

base para a teoria de superfícies. Considera-se que este trabalho de Gauss marca o

nascimento da Geometria Diferencial como disciplina autônoma e o estudo da esfera

marcou o início do desenvolvimento da teoria geral das superfícies, que atingiria seu auge

com a generalização de Riemann ao caso de variedades n dimensionais.

As projeções cartográficas

É notável que representar a Terra em uma superfície plana é uma tarefa muito

difícil e sujeita a erros. Desde a antiguidade a curiosidade em conhecer as formas e

dimensões da Terra, bem como sua representação plana, vem ocupando os cartógrafos de

todos os tempos. Na elaboração de um mapa o ideal seria que cada ponto da superfície da

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Terra, correspondesse a um ponto do mapa. Para obter tal correspondência foram criados

os sistemas de projeções cartográficas.

Para Libault (1975) projeção seria “uma correspondência matemática entre as

coordenadas plano-retangulares da carta e as coordenadas esféricas da Terra”.

Fundamentar tal projeção corresponde a cálculos matemáticos muito complicados, porém a

idéia geral de sua construção é fácil. Imagine uma esfera oca que sobre sua superfície

foram desenhados os meridianos e os paralelos; coloque uma luz no seu interior e situe

uma folha de papel junto à esfera. Sobre o papel se projetarão as linhas dos meridianos e

paralelos. Segundo a forma em que se situe o papel, variará a disposição das linhas.

Assim, se o papel formar um cilindro, teremos a projeção cilíndrica; se o papel tiver a

forma de um cone, teremos a projeção cônica; e se o papel for colocado como um plano

teremos a projeção plana. Os princípios das projeções cilíndricas, cônicas e planas são

mostrados na figura seguinte.

(Fonte: BAKKER, 1965)

Da mesma maneira que não se pode tornar plana a casca de uma laranja, sem esticá-

la e rasgá-la em certos lugares, tampouco se pode construir uma carta ou um mapa sem se

deformar as características da superfície da Terra, como por exemplo: o tamanho relativo

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das regiões (equivalência), as formas das regiões (conformidade) e a proporcionalidade

entre as distâncias do mapa as distâncias contadas sobre a esfera (eqüidistância). A posição

da superfície de projeção com relação à esfera deve ser escolhida de maneira tal que as

deformações sejam mínimas para cada região considerada. Quando a superfície de

projeção está centrada no pólo ou é paralela ao plano equatorial, diz-se que a projeção é

polar, ou equatorial, ou direta. Se ela está centrada num ponto do equador ou é paralela a

um meridiano, ela é transversa ou meridiana. Se ela está centrada num ponto ou círculo

qualquer da esfera, ela é oblíqua. Ver figura seguinte.

(Fonte: JOLY, 1997)

Segundo Joly (1997) existem mais de duzentos tipos de soluções para o problema

das projeções, mas não há mais que trinta delas que sejam corretamente empregadas. As

mais utilizadas são as projeções semelhantes ou conformes, que respeitam a relação das

formas da superfície de projeção e a esfera e as projeções equivalentes, que conservam a

relação entre as superfícies.

Os principais sistemas de projeção são os seguintes:

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- As projeções azimutais, ou zenitais, num plano tangente ou secante em relação à esfera.

As mais utilizadas são: a projeção central, ou gnomônica, a partir de um ponto de vista

situado no centro da Terra; a projeção estereográfica, a partir de um ponto de vista nos

antípodas do ponto central e a projeção ortográfica, quando o ponto de vista se acha no

infinito.

(Fonte: BAKKER, 1965)

- As projeções cilíndricas, que consistem em projetar os meridianos e paralelos da Terra

num cilindro tangente. As mais utilizadas são a Projeção de Mercator, já comentada acima

(figura abaixo), e a projeção de Mercator transversa, que consiste em projetar o elipsóide

em uma esfera e em seguida no cilindro.

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- As projeções cônicas, que consistem em projetar a Terra num cone secante ou

tangente. As mais utilizadas são a projeção cônica perspectiva ou central, construída a

partir do centro da esfera e a projeção cônica de Lambert, já comentada acima.

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