Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica

1º Semestre 2014/15 Exame de 1ª época, 16 de Janeiro de 2015 Nome : Hora : 18:30 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina

1ª Parte

Em cada alínea, assinale com verdadeiro (V) ou falso (F) cada um dos quadrados, sabendo que podem existir todas as combinações possíveis de verdadeiro e falso. A cotação das respostas é a seguinte: Quadrado correctamente preenchido 0,25 valores. Quadrado em branco 0 Quadrado incorrectamente preenchido -0,15 valores.

1. As equações de Navier-Stokes escritas em média de Reynolds

V

necessitam de um modelo de turbulência para terem o número de equações igual ao número de incógnitas.

V não permitem calcular a velocidade instantânea do escoamento.

V podem ser aplicadas em escoamentos com separação.

F só são aplicáveis a escoamentes estatisticamente permanentes (estacionários).

2. Numa camada limite, bi-dimensional, sobre uma placa plana

F a tensão de corte na parede é proporcional à derivada do perfil de velocidade na parede apenas em regime laminar.

V a linha y=δ (em que δ representa a espessura da camada limite) não é uma linha de corrente do escoamento.

F O factor de forma H é constante (independente da distância ao bordo de ataque) em regime laminar e turbulento.

V nunca ocorre separação da camada limite.

3. A figura em baixo apresenta a tensão de corte total (

camada limite turbulenta na vizinhança de uma parede (

distância à parede, ν a viscosidade cinemática e

V ν

ξ τ yu= .

V 2τρuA = .

V C uvρ= − .

F O gráfico é independente do

4. A figura em baixo apresenta o simétrico do coeficiente de pressão (corda (x/c) determinado relativa a dois ângulos de ataque distintosidêntico nos dois perfis.

F O perfil 1 é mais espesso que o perfil 2

V O ângulo de ataque αA1=αA2

V O coeficiente de sustentação mais baixo dos quatros casos corresponde ao perfil 1 ao ângulo de ataque αA1.

V O maior ângulo de ataque é o

x/c

-Cp

0 0.25 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

αA1, ExtrαA1, IntraαB1, ExtrαB1, Intra

A figura em baixo apresenta a tensão de corte total ( yutotal µτ ∂∂=

camada limite turbulenta na vizinhança de uma parede ( τu é a velocidade de fricção,

a viscosidade cinemática e ρ a massa específica do fluido).

é independente do gradiente de pressão imposto à camada limite

A figura em baixo apresenta o simétrico do coeficiente de pressão (– em fluido perfeito para dois perfis (1 e 2) com a mesma flecha

a dois ângulos de ataque distintos αA e αB. Apenas um dos ângulos de ataque é

O perfil 1 é mais espesso que o perfil 2.

A2.

O coeficiente de sustentação mais baixo dos quatros casos corresponde ao perfil 1 ao

maior ângulo de ataque é o αB2.

x/c

-Cp

0 0.25 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

αααα

0.75 1

radorsoadorsoradorsoadorso

1

uvy ρ− ) de uma

é a velocidade de fricção, y a

a massa específica do fluido).

camada limite.

–Cp) ao longo da (1 e 2) com a mesma flecha

ângulos de ataque é

O coeficiente de sustentação mais baixo dos quatros casos corresponde ao perfil 1 ao

c0.75 1

αA2, ExtradorsoαA2, IntradorsoαB2, ExtradorsoαB2, Intradorso

2

5. A figura em baixo apresenta o escoamento permanente, irrotacional e incompressível em torno de um cilindro circular e de um perfil alar. Os dois escoamentos estão relacionados por uma transformação conforme.

V O coeficiente de pressão mínimo no plano do cilindro está localizado no 2º quadrante.

F O ponto de estagnação no plano do perfil está localizado no bordo de ataque.

V Os dois escoamentos apresentam a mesma circulação negativa Γ.

F O coeficiente de resistência do escoamento em torno do cilindro é muito maior do que o coeficiente de resistência do escoamento em torno do perfil.

6. A figura em baixo apresenta a distribuição de circulação Γ, coeficiente de sustentação Cl, ângulo de ataque efectivo αe e ângulo de ataque induzido αi ao longo da semi-envergadura (raíz da asa em y=0) de duas asas finitas com o mesmo alongamento Λ=10 ao mesmo ângulo de ataque. Uma das asas tem uma secção simétrica e a outra tem uma secção com curvatura positiva. cr é a corda na raíz da asa.

V A asa com a secção com curvatura não tem torção.

V A distribuição de circulação da asa com secção simétrica é a linha B.

F A linha G corresponde ao αi da asa de secção simétrica.

V O ângulo de ataque é igual a 0º.

y/cr

-Γ cl

0 1 2 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5A

B

C

D

y/cr

α

0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3E

F

G

H

7. A figura em baixo ilustra o escoamento em torno de três corpos distintos.

V O corpo que exibe um coeficiente de resistência menosReynolds é o C.

F O caso A apresenta uma força de resistência atrito.

F O escoamento médio dos quatro

V O coeficiente de pressão de base

escoamento B1.

8. A figura em baixo apresenta as distribuições de pressão medidas no multimanómetro do Laboratório para ângulos de ataque de medem a pressão total e estática do escoamento à entrada do túnel e 34 pressões estáticas ao longo da secção central da asa incluindo o bordo de ataque e o bordo de fuga.

Ângulo A

F O ângulo de ataque A corresponde a

V O primeiro tubo do multimanómetro (tubo mais à esquerda nas imagens) mede a pressão total do escoamento de aproximação.

V Os tubos ímpares (5 a 35) medem a pressão estática no 34) medem a pressão estática no intradorso.

F A pressão estática no bordo de fuga (último tubo) é menor do que a pressão total do escoamento de aproximação porque o bordo de fuga não é um ponto de estagnação.

A figura em baixo ilustra o escoamento em torno de três corpos distintos.

coeficiente de resistência menos dependente do número de

apresenta uma força de resistência essencialmente dependente da resistência de

quatro casos deve ser obtido utilizando médias no tempo

O coeficiente de pressão de base bpC do escoamento B2 é maior do que o

A figura em baixo apresenta as distribuições de pressão medidas no multimanómetro do Laboratório para ângulos de ataque de -5º graus e 2º graus. As 36 tomadas de pressão

e estática do escoamento à entrada do túnel e 34 pressões estáticas ao longo da secção central da asa incluindo o bordo de ataque e o bordo de fuga.

Ângulo A Ângulo B

O ângulo de ataque A corresponde a -5º graus.

O primeiro tubo do multimanómetro (tubo mais à esquerda nas imagens) mede a pressão total do escoamento de aproximação.

Os tubos ímpares (5 a 35) medem a pressão estática no extradorso e os tubos pares (4 a 34) medem a pressão estática no intradorso.

A pressão estática no bordo de fuga (último tubo) é menor do que a pressão total do escoamento de aproximação porque o bordo de fuga não é um ponto de estagnação.

A figura em baixo ilustra o escoamento em torno de três corpos distintos.

dependente do número de

essencialmente dependente da resistência de

casos deve ser obtido utilizando médias no tempo.

do que o bpC do

A figura em baixo apresenta as distribuições de pressão medidas no multimanómetro do 5º graus e 2º graus. As 36 tomadas de pressão

e estática do escoamento à entrada do túnel e 34 pressões estáticas ao longo da secção central da asa incluindo o bordo de ataque e o bordo de fuga.

O primeiro tubo do multimanómetro (tubo mais à esquerda nas imagens) mede a pressão

extradorso e os tubos pares (4 a

A pressão estática no bordo de fuga (último tubo) é menor do que a pressão total do escoamento de aproximação porque o bordo de fuga não é um ponto de estagnação.

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica

1º Semestre 2014/15 Exame de 1ª época, 16 de Janeiro de 2015 Hora : 18:30 Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina

2ª Parte

1. A figura em baixo apresenta o domínio utilizado no cálculo do escoamento sobre uma placa plana com as equações de Navier-Stokes em média temporal de Reynolds

suplementadas por 3 modelos de viscosidade turbulenta: k-ω SST, k- k L (KSKL) e

Spalart & Allmaras (SPAL). 710 .LRe U L ν∞= =

Condições de Fronteira 1 Tudo imposto excepto a pressão 2 Derivada em ordem a x igual a

zero para todas as variáveis 3 Pressão imposta e derivadas em

ordem a y nulas para as restantes variáveis

Figura 1

0,25L 0,25L

0,25L

L

1

3

2

x

y

hi/h

1

CF×

10

3

0 1 2 3 42.6

2.65

2.7

2.75

2.8

2.85

2.9

SSTp= 1.40KSKLp= 1.95SPALα1h+α2h

2

Rex

Cf×

10

3

103 104 105 106 1070

5

10

15

20

SSTKSKLSPAL

hi/h

1

θ/L

×1

03

0 1 2 3 41.1

1.12

1.14

1.16

1.18

1.2

Model Aαh2

Model Bp= 1.32Model Cαh2

Os cálculos foram efectuados em 9 malhas geometricamente semelhantes. A figura 1 apresenta a variação do coeficiente de resistência da placa CF e da espessura de quantidade de movimento θ para uma estação localizada em x=0.75L em função do grau de refinamento da malha hi/h1 (os modelos de turbulência no gráfico que apresenta θ estão identificados pelas letras A, B e C). A figura contém ainda o coeficiente de tensão de corte superficial 22 ewf UC ρτ= em função de /

x eRe U x ν= (obtidos na malha mais

refinada) e as condições de fronteira aplicadas nas fronteiras de entrada 1, saída 2 e exterior 3. As condições de fronteira aplicadas na fronteira inferior (superfície da placa e linhas de simetria a montante e juzante da placa) são idênticas em todos os cálculos. A velocidade de referência é ,∞U o comprimento de referência é L e a pressão de

referência é 22/1 ∞Uρ .

a) Como foi determinada a tensão de corte wτ na superfície da placa? Justifique a sua

resposta.

As três linhas de Cf em função de Rex são coincidentes para Rex<104 e apresentam valores semelhantes à solução de Blasius pelo que o escoamento é laminar nessa região.

O modelo k-ω SST apresenta também “transição” perto de Rex≃105, pelo que a tensão de

corte teve de ser calculada a partir da sua definição ( )2

20

xxw

y

UU

y yτ µ µ

=

∂= ∂

� . Se

tivessem sido utilizadas leis da parede o escoamento seria totalmente turbulento desde o bordo de ataque.

b) Identifique as linhas correspondentes a cada um dos modelos de turbulência (A, B e C) no gráfico que apresenta a espessura de quantidade de movimento θ. Justifique a sua resposta.

No escoamento sobre uma placa plana temos 0

1

2

x

fC dx

L L

θ= ∫ e

0

1 L

F fC C dx

L= ∫

pelo que o comportamento da espessura de quantidade de movimento θ em x=0.75L com hi/h1 tem de ser equivalente ao comportamento de F

C . De acordo com as designações

adoptadas temos A=KSKL, B=SST e C=SPAL.

c) Sabendo que a distância adimensional do primeiro ponto interior da malha mais refinada à parede é de 2 0,06y

+ = em 0,75x L= estime o valor de 2

y / L na malha mais refinada

e na malha mais esparsa utilizadas nos cálculos.

A coordenada 2y+

pode ser calculada a partir de 22 2

f

L

C yy Re

L

+ = . O valor de fC

pode ser lido do gráfico da figura 1 ou estimado a partir de 0,20,0576f xC Re−= com

0,75x L

Re Re= , pelo que 32,43 10fC−= × . Para a malha mais refinada temos

72 1,72 10y L

−= × . A malha mais esparsa tem hi/h1=4 pelo que 72 6,88 10y L

−= × .

d) Estime a incerteza numérica do coeficiente de resistência da placa CF obtido com o

modelo k-ω SST.

A incerteza de uma solução é obtida a partir de uma estimativa do erro numérico e de um factor de segurança. Apesar de não ser referido no enunciado, vamos adimitir que o erros iterativos e de arredondamento são desprezáveis. O erro de discretização é estimado através da diferença entre a solução obtida na malha mais fina

32,862 10FC−= × (Finest grid na figura) e a solução extrapolada para a malha de

“dimensão nula” 32,878 10FC−= × (Extrapolated solution na figura). Como a ordem de

convergência é 1,4 o que está de acordo com o expectável, o factor de segurança é igual a 1,25

SF = . A incerteza estimada é igual a ( ) 52 10FU C

−= × o que equivale a 0,7% da

solução obtida na malha mais refinada.

hi/h

1

CF×

10

3

0 1 2 3 42.6

2.65

2.7

2.75

2.8

2.85

2.9

SSTp= 1.40Finest grid solutionExtrapolated solution

Figura 2

2. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em

torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto

( )0;i 1a do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α,

(|α|<π/4), com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U∞. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ=b, seja um ponto de estagnação.

a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de

ataque α e de 1a indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.

Para o problema dado temos:

( ) ( )1 1, cosi arcsen eo a a bζ β β= = =

Introduzindo o referencial auxiliar ( ) αζζζ i* −−= eo ou oe ζζζ α += i*

(representado na figura em cima) temos:

( ) ( )**

** ln2

i1ζ

πζζζ

Γ−

+= ∞UW

em que

( )βαπ +−=Γ ∞ sen4 U.

b) Determine a gama de valores de 1a para a qual o valor absoluto da coordenada real do(s)

ponto(s) de coeficiente de pressão mínimo é sempre menor ou igual do que 0,025

( )min

0,025pC

ξ ≤

.

As figuras em cima ilustram as duas situações limite em que o valor máximo da coordenada real do coeficiente de pressão mínimo é igual a 0,025. É fácil de ver que o

valor de 1a é igual ao valor máximo de ( )

minpCξ , o que equivale a 0,025 0,025

1a− ≤ ≤ para

satisfazer ( )min

0,025pC

ξ < . No entanto, para a gama de ângulos de ataque dada é impossível

garantir ( )min

0,025pC

ξ > − pelo que não há nenhum valor de 1a que satisfaça

( )min

0,025pC

ξ ≤ .

Considere a transformação conforme de Joukowski que

transforma o cilindro num perfil sustentador.

c) Determine a gama de valores de 1a e o(s) ângulo(s) de ataque α que conduzem a uma

solução no plano transformado em que o coeficiente de pressão Cp<0,1 em todo o escoamento.

A transformação de Joukowski para cilindros centrados no eixo imaginário gera

perfis sem espessura, pelo que todos os ângulos de ataque diferentes de zero conduzem a

2

com ib

z z x yζζ

= + = +

1pC = no ponto de estagnação junto ao bordo de ataque. Para ângulo de ataque igual a

zero graus, o escoamento não tem pontos de estagnação e os valores máximo e mínimo do coeficiente de pressão estão localizados no eixo imaginário y. O problema é simétrico para curvaturas positivas e negativas, pelo que se pode resolver o probema para valores de 1a positivos sendo a solução para valores negativos simétrica.

A figura em cima identifica o ponto P em que está localizado o ponto de

coeficiente de pressão máximo no plano do perfil e o ponto do plano do cilindro que o

origina é Pc. Cp<0,1 é equivalente a 0,9U U∞>� �

, pela que a solução equivale a

determinar 1a para que a velocidade no ponto P do plano do perfil seja igual a

0,9P

U U∞=� �

. Utilizando a transformação conforme temos

( ) ( )*

2

2

2 sen sen

1

dW

UddWU

bdz dz

d

θ βζ

ζζ

∞ += = =

−

�

�

Como ( ) ( )*1 1

3, sen , cos , i(1 )

2C cP Pa b aπ

θ β β ζ= = = = − − temos

( )( )( )

( )( )

( )

( )

( )21

12 21

221

2 1 12 1

cos 111

11

c

c

P

PP

P

dW

d U sen adWU U U a

adz dz

d asen

ζ

ζ

ζ

ζ β

β

ζ β

∞=

∞ ∞

=

=

− −= = = = = −

−++

−−

�

� � �

Para 0,9P

U U∞=� �

obtemos 1 0,026a = , o que equivale a 10,026 0,026a− < < para

satisfazer Cp<0,1.

d) Determine a variação do coeficiente de pressão mínimo ( )minpC no plano transformado

em função da flecha relativa do perfil f/c e do ângulo de ataque α.

O coeficiente de pressão mínimo é igual a -∞ (no bordo de ataque) para ângulos de ataque diferentes de zero para qualquer valor de 1a , porque os perfis gerados não têm

espessura. Para o ângulo de ataque nulo e 1a positivo, o ponto de coeficiente de pressão

mínimo está localizado em Q no plano do perfil e o ponto do plano do cilindro que o origina é Qc. A solução para 1a negativo é simétrica pelo que podemos determinar apenas

o caso representado na figura em baixo.

O coeficiente de pressão mínimo é dado por:

( )

2

min1 Q

p

UC

U∞

= −

�

�

( )( )( )

( )( )

( )

( )

( )21

12 21

221

2 1 12 1

cos 111

11

c

c

Q

QQ

Q

dW

d U sen adWU U U a

adz dz

d asen

ζ

ζ

ζ

ζ β

β

ζ β

∞=

∞ ∞

=

=

+ += = = = = +

−++

++

�

� � �

pelo que

( ) ( )4

1min1 1pC a= − +

como ( )tan 2f

cβ = e ( ) 1sen aβ = podemos obter para pequenos valores de 1a a

relação 1 2f

ac

= , donde ( )4

min1 1 2p

fC

c

= − +

.

Λ=∞ corresponde a 2D (secção da asa) e ( )D i

C é o coeficiente de resistência induzida da

asa com Λ=8. Figura 3

αo

CL

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Λ=8

Λ=∞

CL

CD

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05C

D

(CD)

i

3. Uma pequena aeronave que pesa 3,2kN tem uma asa rectangular de alongamento Λ=8

cujos coeficientes de força aerodinâmica a pequenos ângulos são apresentados na figura 3.

Admita em primeira aproximação que a força de resistência da aeronave se deve apenas à asa. .2,11051,1 5 3

ar

2

ar kg/m/s,m =×= − ρν

a) Indique quais as características geométricas da asa da aeronave, i.e. torção (positiva ou

negativa se existir) e tipo de secção. Justifique a sua resposta.

O gráfico da figura 3 mostra que a secção da asa é simétrica porque Cl=0 para α=0º. Como o ângulo de sustentação nula da asa finita é negativo (CL>0 para α=0º) a asa tem torção positiva. A diferença entre as curvas da figura 3 que definem DC e ( )D i

C é igual

ao coeficiente de resistência de perfil. O gráfico mostra uma diferença igual a 0,006 para CL=0 que cresce gradualmente com o aumento do coeficiente de sustentação. Adimtindo que 0,038DC � e ( ) 0,028D i

C � para 0,8LC � temos 20,006 0,05D LC C+� e

( ) 20,04375D LiC C� temos ( ) 20,006 0.00625D Lperfil

C C+� . Este comportamento

corresponde a um perfil convencional. Conclusão: a asa tem torção positiva e um perfil convencional simétrico como secção.

b) A que ângulo de ataque deve funcionar a asa para que a voar a altitude e velocidade constante numa zona sem vento se obtenha a força de propulsão mínima.

Para uma asa a voar a altitude e velocidade constante temos ,L W D T= = ou seja

21

2DT C U Sρ ∞= e 21

2LW C U Sρ ∞= , pelo que podemos determinar a força de propulsão a

partir de D

L

CT W

C= . Logicamente a força de propulsão mínima é obtida para

min

D

L

C

C

.

De acordo os com os gráficos da figura 3 temos 0,006

0,05DL

L L

CC

C C

= +

pelo que

2

0,0060 0,05 0 0,346D

L

L L L

d CC

dC C C

= ⇒ − = ⇒ =

. Dos gráficos apresentados na figura 3

também podemos obter ( )0,08 1L

C α= + com α em graus pelo que se obtem

3,325ºα = .

O mesmo resultado pode ser obtido a partir da recta respresentada na figura acima que é tangente à curva DC em função de LC e passa na origem do sistema de eixos.

c) Determine a velocidade nas condições da alínea b) para uma área de asa de S=8m2.

Como 21

2LW C U Sρ ∞= e todas as variáveis estão determinadas excepto a velocidade

obtem-se 43,9 158m/s= km/hU∞ = .

d) Admitindo que existe vento horizontal frontal à velocidade de 10m/s, qual a velocidade a

que se passa a deslocar a aeronave para manter altitude e velocidade constante sem utilizar apêndices aerodinâmicos.

Se a aeronave não utilizar apêndices aerodinâmicos os coeficientes de sustentação e resistência mantêm-se idênticos aos da alínea b). Para que o equilíbrio entre peso e sustentação se mantenha a velocidade relativa à aeronave tem de permanecer constante, pelo que 43,9 33,9m/s m/saeronave vento aeronaveU U U U∞ = + = ⇒ = .

CL

CD

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05C

D

(CD)

i