MEMBROS DA COMISSÃO JULGADORA DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO DE

Francisco de Assis Ribas Bosco APRESENTADA

AO INSTITUTO DE FíSICA E QUíMICA DE SÃO CARLOS, DA UNIVERSI

DADE DE SÃO PAULO, EM 21 DE

COMISSÃO JULGADORA:

~

novembro DE 198 8 •

Dr. Sy1vio G.Rosa Junior Orientador

Dr. Nestor Felipe Caticha Alfonso

AGRADECIMENTOS

Carolina, Krishna, Nilton, lucas, Estevão, Sra. Nazaré,

Maurício, pelo apoio imprescindível do amor.

Márcio, Márcia, lula, Chahine, Nestor, Clisthenis, zé

Fernando, Débora, Marco Antonio, Fernando,

Humberto, Odete, Alexandre .... , pelo apoio

da amizade e da alegria.

Abraham,

, .necessarl.O

Aos Samaritanos e às pessoas que precisaram de mim, por

tudo que me ensinaram sobre ml.m mesmo,

a qualquer realização.

fator necessário

Aos Profs. Nestor Caticha, Janey Daccach, Florêncio

Guimarães, Hans J. Hermann, pelas discussões proveitosas.

Ao Prof. Sylvio Goulart Rosa Jr., pela orientação segu-

ra, o apoio profissional e a amizade sempre presente.

À Irene, pela arte datilográfica.

Ao IFQSC-USP e ao DFQ-UFES, pelo apoio institucional.

Aos meus pais

eterna gratidão

StRVIÇO DE 8-i-8-LI·GT~E-~~~·~~I~-FO--RM:A:ÇAO-='FQSCl•. -....------ .

Ciência e religião

-razao e sentimento

~ I •o voo do esplrlto humano

só se completa com as

duas asas do conhecimento.

A pietro Ubaldi - admiração

profunda.

Na carícia do vento

Na força do sol

Na beleza da flor

Na paz da montanha

A certeza da minha transformação

permanente com voce.

À Carolina - amor e carinho.

Ou a ciência assume o seu

papel de transformação

moral do Homem, ou ela se

prostituirá como mera

reprodutora de confortos

materiais inúteis.

PIETRO UBMDI

O que é belo na ciência é o que também

é belo em Beethoven. Há

eventos e repentinamente

uma névoa de

voce ve uma

conexão. Isto expressa o complexo de

conceitos humanos que pen~tra profun-

damente em voêe,que conecta coisas que

sempre estiveram em voce e que nunca

haviam sido postas juntas antes.

v. F. WEISSKOPF

Este trabalho teve apoio financeiro da CAPES e do CNPq.

INTRODUÇÃO

CAPíTULO I

í N D I C E

.............................................

. SISTEMAS DINÂMICOS COMO MAPEAMENTOS NA ESFERA

DE RIEMANN

1

1.1 Definições e teoremas básicos 9

1.2 Propriedades dos conjuntos de Julia e

Fatou 16

CAPíTULO 11 . O MODELO DE POTTS P-ESTADOS NA

CAYLEY : TRATAMENTO CANÔNICO

ÁRVORE DE

11.1 A árovre de Cayley e o mapa de Bethe-

Peierls 25

11.2 Propriedades do mapa BP :propriedades

locais e globais do sistema de Potts. 36

11.3 A energia livre e a transição de ordem

c o n tínua 49

CAPíTULO 111 . PROPRIEDADES DO CONJUNTO DE JULIA DO MAPA DE

BETHE-PEIERLS

111.1 O conjunto de Julia e os zeros de Yang-

lee 63

111.2 O locus do conjunto de Julia e do

conjunto de zeros 65

111.3 A medida de probabilidade do conjunto

APÊNDICE

REFERÊNCIAS

111.4

111.5

111.6

de Julia

As dimensões do conjunto de Julia

A inclinação do conjunto de Julia

Coment~rios finais .

75

82

86

92

96

106

SERViÇO DE BiBLIOTECA E INFORMAÇ'&'O ..• IFOSeFISIC A

RESUMO

Neste trabalho estudamos o comportamento crítico do

modelo de Potts p-estados na árvore de Cayley, através das pro

priedades do conjunto de zeros de Yang-lee da função de parti­

ção. Tratando a transformação do grupo de renormalização como

um mapeamento racional na esfera de Riemann utiliza-se alguns

resultados da teoria de Julia e Fatou para obter-se uma des­

crição geométrica do comportamento crítico do modelo.Mostra-se

de que forma o conjunto de zeros de Yang-lee se relaciona com

o conjunto de Julia do mapa do grupo de renormalização, e cal­

cula-se alguns parâmetros geométricos desse conjunto que des­

crevem o comportamento não-universal do modelo.

ABSTRACT

We study the critical behaviour of the p-state Potts

model on a Cayley tree, looking for the properties of the

Yang-lee zeros set of the partition function. We treate the

renormalization group transformation as a rational mapping on

the Riemann sphere, and use some results from the Julia and

Fatou theory to obtain a geometrical description of the criti­

cal properties of the modelo We show how the Yang-lee zeros

set is associated with the Julia set of the renormalization

group map, and we also calculatesome geometricalparameters of this

set wich describes the non-universal behaviour of the modelo

1

INTRODUÇÃO

.. - (1-9)A teorla do grupo de renormallzaçao r~p~csentou um

dos maiores triunfos da física teórica da década passada. O,

me-

todo do GR tem sido aplicado desde então em uma variedade

grande de problemas físicos.

muito

Recentemente tem se intensificado o interesse pelo es-

tudo da dinâmica não linear e aqui novamente o GR tem mostrado

sua grande utilidade.

Quando Wilson(l)desenvolveu a teoria do GR, lançou mao

de técnicas da teoria quântica de campos. Essa abordagem foi

mais tarde ampliada por Brézin(S), utilizando todo o poder da

teoria de campos e da equação de Callan-Symanzik. Enquanto isso

as idéias básicas do grupo de renormalização se tornaram mais

claras, e foram feitas várias tentativas no sentido de se imple-

mentar as idéias do GR diretamente sem recorrer à teoria de cam-

pos.

(8 ­Desse esforço resultou o chamado GR no espaço real

16) . ' - .... Aqul os calculos sao feltos dlretamente no espaço das POS1-

çoes em contraposição à expansão € da teoria de campos no espaço

dos momentos.

A idéia básica de renormalização foi introduzida por

L. P. Kadanoff(7-9). Ele considerou como um magneto deveria par~

cer quando observado em diferentes escalas. Consideremos,p. ex.,

um sistema de Ising ferromagnético em uma rede regular. À tempe-

ratura zero todos os spins estão alinhados, e essa configuração

não muda quando o sistema é observado em diferentes escalas.

Esse comportamento é semelhante quando o sistema,e

observado a urna temperatura infinitamente alta. Os spins flutuam

totalmente independentes uns dos outros, em todas as escalas e-

xiste uma completa desordem e conseqüentemente o quadro, em dif~

2

rentes escalas, é sempre o mesmo.

A formalização dessas idéias pode ser posta da seguln-

te llianeira:agrupamos os spins da rede em blocos e substituímos

cada bloco por um spin de bloco, cujo valor é definidopelo valor maj~

ritário dos spins que formam o bloco, obtendo assim um novo sistema com pa­

râmetro de rede maior, como na figura abaixo

A T = O os spins r da rede renormalizada estarão no

meSffie estado dos spins (j da rede original, e a T = (X)a flutua-

çao independente dos spins r peTll/aneCecomo na rede dosG.

spins

Consideremos agora o sistema a uma temperatura inter-

mediária, porém baixa o suficiente para que ainda exista ordem.

A ordem não é completa devido às flutuações térmicas, porém a

medida em que se processa a renormalização, as flutuações vao

gradativamente desaparecendo, mostrando um quadro muito seme-

lhante ao que o sistema apresenta a T = O. A ~lta temperatura

(T ~oo) a desordem nio é completa. Existem açre9a~~~ que apre-

sentam alinhamento de spins. No entanto a mudança de escala faz

com que esses pequenos ag10merados coerentes gradativamente de-

sapareçam mostrando um quadro semelhante àquele do sistema a

T = CO •

A essência dessa idéia é associar transformações de

escala com mudanças na temperatura. Nessa visão qualitativa ~-

dentificamos os valores T = O e T =00 como atratores, pontos fi

xos de natureza estável, dessa transformação. Ch~mamos de dômí-

3

n~os de atraçao ou bacias atratores ao conjunto dos valores de

T que estão associados aos atratores pela transformação do GR.

Da mesma forma chamamos de fase do sistema ao conjunto dos esta

dos associados aos valores de T de uma bacia atratora.

A temperatura crítica T = T é a fronteira dos doisc

domínios de atração. Nessa temperatura o sistema possui flutua-

çoes de todas as ordens, em todas as escalas. Os spins estão to

dos correlacionados, e nessa temperatura o sistema apresenta

sempre o m~smo quadro após ser renormalizado. Consequentemente

a temperatura T é um ponto fixo da transformação, porém da na­. c

tureza instável. Resumidamente, o padrão de flutuações na temp~

ratura crítica é auto-similar.

No entanto, essa sugestiva descrição de flutuações ag

to-similares desapareceu à medida que a idéia de renormalização

evoluiu da visão inicial de Kadanoff à construção do método por

wilson.

Porém, recentemente a teoria do grupo de renormaliza-

çao revelou a existência de fronteiras de fase de natureza frac

1(17,18) o o o 1 - °d'ota , que sugerem ~ntu~t~vamente urna re açao com a ~ e~a

de auto-similaridade de Kadanoff.

Para se entender essa ligação é necessário extender-

se a noção de fronteira de fase para o plano complexo dos parâ-

metros do sistema.

Em 1952, Yang e 1ee(19) discutiram a questão de

o formalismo canônico da mecânica estatística formulado

corno

por

Boltzmann e Gibbs poderia descrever transições. O problema era

clarificar a natureza matemática das singularidades que deve-

riam apresentar as quantidades termodinâmicas para descrever as

transições de fase.

O problema foi abordado permitindo que a fugacidade a~

sumisse valores complexos. Embora somente valores reais da fuga

4

cidade tenham algum significado físico, o comportamento analíti

co das funções termodinâmicas só pode ser completamente revela-

do no plano complexo. Esse tratamento é de caráter La5~ante ge-

ral e pode ser aplicado a vários problemas como o gás na rede

com interação atrativa entre primeiros vizinhos, ferromagnetis-

mo, transição ordem desordem, etc ..

- , ..As conclusoes flslcas de Yang e lee derlvam de al-

guns resultados matemáticos que foram apresentados na forma de

três teoremas, cuja demonstração não apresentaremos aqui mas

que podem ser encontradas na referência (19).

Teorema 1 Para todo valor real positivo da fugacidade Y, o

limite lim ~ log 3 (V volume do sistema e 8 fun-

çao de grande partição ), existe e é independente da

forma de V. Além disso, esse limite é uma

contínua, monótona crescente de Y.

função

A função de grande partição de um sistema finito pode

ser escrita como um polinômio de grau M em Y, podendo ser fato-

rada na forma

= ir(~ = 1

~_L)'(o~

onde os Y.1 sao as raízes da,.-.

equaçao ~ (y) = o.

É claro que nenhuma dessas raízes pode ser real e po-

sitiva, pois todos os coeficientes uO polinômio acima são POS1-

tivos.

À medida que o tamanho do sistema (V) aumenta, essas

raízes se movem no plano da fugacidade complexa e o número (M)

de raízes aumenta. A distribuição das raízes no plano Y, no li-

SERViÇO DE BiBLIOTECA E INFORMAÇÃO _ IFQsrFIs IC A

5

mite termodin~mico fornece o ~omportamento analitico das fun-

ções terrnodinâmicas. Esse fato fica estabelecido no teorerna :

Teorema 2: Se no plano Y complexo urna região R que contém um

segmento do eixo real positivo, não contém

da função de grande partição, então nessa

,raJ.zes

. -regJ.ao,

no limite termodin~mico todas as grandezas:

possuem limites que são analíticos em Y. Assim as

operaçoes(ô~l

e limcomutam em R e portantoV-rD

~ ( Ô ) , to C"

(,) 'lo;1"m - - d.::J

=- LJWl - Ó ~

,,-'# l» 'dlo() Y "

'd,r ~_fX) V

Yang e lee mostraram que o problema do gás na rede,pa

ra o qual se aplicam os teoremas 1 e 2 com Y sendo o peso de

Boltzmann do potencial químico, é totalmente equivalente ao prQ

blema de Ising ferromagnético com campo magnético externo.A fun

çao de grande partição no problema do gás na rede é proporcio-

nal à função de partição do problema de Ising. O

Boltzmann do campo magnético externo

peso de

é proporcional à fugacidade Y. A função de partição do pro-

blema de Ising e proporcional a um polinômio em z

onde os coeficientes C são as contribuições a campo zero para a funn

6

ção de partição.

Portanto o problema de estudar a transiç~o de fase do

problema de Ising ferromagnético se resume em determinar a dis-

tribuição dos zeros da função de partição no plano z complexo.

Yang e Lee lograram demonstrar o seguinte teorema, que se tor-

nou conhecido corno teorema de Yang-Lee:

Teorema 3: Se a interação U entre dois átomos de um gás é tal

que

U = ():)

U f O

se os átomos ocupam o mesmo ponto

caso contrário

então todas as raízes do polinômio p(z) pertencem

, . , .ao c~rculo un~tar~o no plano z complexo.

Vol tando ao problema de Ising podemos dizer que

o conjunto dos zeros (na fugacidade z)da função de partição está

contido no círculo unitário do plano z complexo, iridependetlte-

mente da geometria da rede, do alcance da interação, e do ta-

manho do sistema.

Dessa forma a teoria de Yang e lee fornece uma descri

çao da transição de fase do modelo de Ising ferromagnético: a

alta temperatura o conjunto de zeros nao toca

. --. ~. - , .o e~xo real, e portanto as funçoes termod~nam~cas sao anal~t~-

cas para todo valor do campo externo. A partir da temperatura

crí tica, o conjuntode zeros se aproximaarbitrariamentedo ponto z = I(campo externo nulo), e portanto temos dois domínios de ~naliti

cidade para as funções termodinâmicas separados pelo círculo u-

nitário.

Embora o teorema de Yang-Lee não se aplique ao plano

da temperatura complexa, pode-se imaginar a existência de uma

fronteira complexa nesse plano, que no eixo real positivo é a

temperatura crítica Tc' e que delimita dois domínios de analiti

7

cidade em T(20) •

A maior dificuldade no tratamento de Yang-Lee é a de

terminação da distribuição do conjunto de zeros da função de

partição. O problema da localização dos zeros de um polinômio

não é um problema simples de ser atacado.

No entanto, para modelos definidos em redes hierárqui

cas é possível se determinar o locus do conjunto de zeros gra-

ças ao fato de ser a transformação do GR desses problemas um ma

pa racional ou polinomial que fornece de forma recursiva os

d f -'d . - (17-21) . , .' . A •zeros a unçao e part~çao assoc~ados a var~avel d~nam~-

ca (grandeza renormalizada) do mapa ou transformação do GR.

Extendido ao plano complexo, os mapas do GR dos pro-

blemas definidos em redes hierárquicas se tornam mapeamentos da

esfera de Riemann na esfera de Riemann.

Esses mapeamentos foram primeiramente estudados por

1· (22). ,. d ' 1G. Ju ~a e P. Fatou no ~n~c~o o secu o, e recentemente B.

B. Mandelbrot(23) extendeu o estudo do mapa logístico ao plano

complexo.

Julia e Fatou mostraram que os mapeamentos racionais

e polinomiais de grau maior ou igual a dois separam a esfera de

Riemann em dois conjuntos disjuntos com propriedades matemáti-

cas distintas. Um desses subconjuntos da esfera de Riemann, co-

nhecido corno conjunto de Julia, está associado ao ponto fixo

instável do mapa e mantém estreita relação com o conjunto dos

zeros da função de partição de modelos definidos em redes hie-

, .rarqu~cas.

Esse fato sugere a seguinte questão: De que forma as

propriedades geométricas dos conjuntos de Julia e consequente-

mente dos conjuntos de zeros da função de partição, descrevem o

comportamento dos modelos em redes hierárquicas?

A resposta a essa pergunta exige o estudo do mapa do

8

GR e das suas propriedades geométricas usando a teoria de Julia

e Fatou. Assim esse formalismo permite, no caso das redes hie-

rárquicas, evidenciar a equivalência de dois tratamentos para u

fenômeno de transição de fase: O grupo de renormalização,e a teQ

rla de Yang-Lee, através da teoria de Julia e Fatou.

Neste trabalho estuda-se o modelo de Potts p-estados

na árvore de Cayley fechada assimétrica, no formalismo de Yang-

lee tratando o mapa do GR como um mapeamento na esfera de

Riemann. A implementação do grupo de renormalização no espaço

real fornece um mapa, conhecido como mapa de Bethe-Peierls(BP),

cujas propriedades locais (na rede de Bethe), associadas aos

atratores do mapa, descrevem a aproximação de Bethe-Peierls(cam

po médio) para o modelo(24). Os conjuntos de Julia

geometricamente as propriedades globais(2S) (na árvore

do sistema.

descrevem

de Cayley')

No capítulo I são apresentados vários resultados da

teoria de Julia e Fatou que serão utilizados no capítulo III.No

capitulo 11 o modelo de Potts p-estadosna árvore de Cayley é tratado canon~

camente e mostra-se que o sistema apresenta uma transição de or

dem contínua no campo magnético. Finalmente no capítulo III,de~

creve-se geometricamente, através das propriedades dos conjun-

tos de Julia, a transição de ordem contínua do sistema. Ainda

nesse capítulo mostra-se que para p > 2 o modelo não obedece ao

Teorema de Yang-Lee. No apêndice descreve-se de forma resumida

alguns resultados recentes para determinação do espectro de di-

mensoes de conjuntos, baseados no estudo das singularidades nas

medidas desses conjuntos.

9

CAP!TUI.O I

SISTEMAS DINÂMICOS COMO MAPEAMENTOS NA ESFERA DE RIEMANN

Neste capítulo apresentamos as noções básicas e os

principais resultados sobre os mapeamentos racionais e polinomi

ais na esfera de Riemann. A teoria desses mapeamentos foi deseg

I . d .. G J I' P (22). ,. dVO Vl a prlmelramente por . u la e . Fatou no lnlClO o

século. Mais recentemente novos resultados foram obtidos por

J.H. Hubbard, A. Douady e D. Sullivan(30).

Para alguns dos teoremas apresentados aqui as respe~

tivas demonstrações foram omitidas por envolve.rem uma quantida-

de excessiva de conceitos adicionais fugindo ao objetivo prlnCl

paI deste trabalho. Essas demonstrações, bem como um estudo

mais aprofundado dos mapeamentos na esfera de Riemann podem ser

A • (22 29,30)encontrados nas referenclas' .

1.1 - Definições e Teoremas básicos

Um sistema dinâmico discreto é basicamente uma trans-

formação que associa a um valor inicial, uma sequência de valo-

res

A tim de incluir os mapeamentos no ponto infinito e

como o plano complexo não é compacto, definimos a transformação

(1.1) na esfera de Riemann C = eU {m~ (projeção esterlográfica

entre o plano e e a esfera complexa),

c - C (::.2.)

10

Estamos interessados particularmente em estudar a di-

nâmica de um sistema dinâmico discreto analítico em C do tipo

onde p(z) e Q(z) são polinômios com coeficientes complexos e

sem fatores comuns. Os pólos da transformação (I.3) são os pon-

tos de C que são mapeados no infinito (pólo norte da esfera de

Riemann) .

Definimos o grau gr(R) do mapa R corno

(I.4)

O grau de R é o número (contado corno multiplicidade

das imagens inversas de qualquer ponto em e. A teoriade Fatou e

Julia se aplica a mapas racionais de grau maior ou igual a~.

Definição 1.1: Seja Zo € C. A sequência indutivamente defini

da pelo mapa (I.l) é chamada órbita direta do

Definição 1.2 : Se z = z para algum n, então z é um ponton o o

periódico e &+(zo) é urna órbita periódica ou

ciclo periódico. Se n é o primeiro número natu

ral tal que z = z , então n é o período da órn o -

bita. Se n = 1 z é chamado ponto fixo.o

n ' .. -Denotamos por R a n-eSlma compOSlçao

. o R.

da função R. Nesse sentido R2(z) não é quadrado de R

11

mas Slm

Definição 1.3 Seja z um ponto periódico de período n. Entãoo,

o n~mero t= (Rn) (z) é o autovalor da órbi­o

ta periódica.

o autovalor t é o coeficiente da expansao de Taylor

em torno do ciclo periódico do mapa. O seu módulo fornece por-

tanto um critério de estabilidade para o ciclo periódico.

Definição 1.4 : Uma órbita periódica

- atratora (estável)

(ciclo) &+(z ) é:o

se O < 10'1 <. I

- superatratora (superestável) se f= O

- repulsora (instável) se Itl > I

- neutra (indiferente) se Itl = I

Da mesma forma que temos órbitas diretas &+(zo)' pode

mos também considerar as pré-imagens obtidas da inversa de R,

-1xn = R (xn+1). No caso

aplicação 1 ~ gr(R). O

da equação (I.3), a inversa será uma

conjunto das pré-imagens formam a órbi-

ta inversa ~ (z ) de um ponto z em C.o o

Definição 1.5 Um ponto C é chamado ponto crítico do mapa

I ( ,se R Cj = O.

R

Definição 1.6 Seja Zo um ponto fixo estável de R. Então a ba

cia atratora de z é o conjuntoo

w (~.) " { } I R" (~) - ~. I n - 00 J

Como exemplo tomamos o mapa R(z) = z2. Esse mapa pos-

12

SUl três pontos fixos,. z = O e z=00estaveis e z=1 lns-. o o o

tável.Consideremos um ponto z =p

e. 19.Se f =1 e óbvio que

R(z)

gera um outro ponto com f =l.

Porém se p < 1,entãosua

órbita direta é atraída ao ponto fixo z = O,

e portanto o ln-o

terior do círculo unitário é a bacia atratora do ponto

z = o.o

fixo

Por outro lado se f ) 1 então as interadas de R levam

ao pomto z = 00, e portanto o exterior do círculo' unitário é ao

bacia atratora do ponto z =CO. O círculo unitário é afronteio -

ra das duas bacias atratoras.

tas como

As n interadas de um ponto z , Rn(z ), podem ser V1So o -- , . - n

transformaçao do ponto z pela fam111a de funçoes R .o

Portanto o estudo da "dinâmica do mapa R(z) se relaciona ao es­

tudo das propriedades da família de funções Rn.

Nas definições a seguir utiliza-se a métrica esféri-

ca em C.

Definição 1.7: Seja U um subconjunto aberto de ~ e F={fi/i€1}

(I um conjunto indexador) uma família de fun-

ções meromórficas (funções cujas singularida­

des são pólos). A família F é dita uma famí-

lia normal se toda sequência f contém uman

subsequência f , que converge uniformementen·J

nas partes compactas de U.

Definição 1.8 Seja X um espaço métrico

família de funções {fi :lia equicontínua se, dado

com métrica d. Uma

X-i""X}

,famí-e uma

E '/ o,

existeum

~ > O tal que d(xl,x2) < ~ implica d ( fi(Xl),

fi(X2))(E , para todo i.

Como exemplo seja R(z) = az com lal < 1 e

13

tomemos

nR (z) = R (z).n

domínio de C

Então {Rnt forma urna família normal em qualquer

pois Rn converge uniformemente pala a função con~

tante O em subconjuntos compactos. No caso lal > 1 a família

Rn, , . - ..e normal em todo domlnlo que nao lnclua o ponto O, p01S em

qualquer vizinhança de O existe um ponto z para o qual IRn(z)

é arbitrariamente grande para algum n.

Os conceitos de normalidade e equicontinuidade estão

ligados no teorema de Arzela.

Teorema 1.1 (ARZELA)A família F: 1fi : u~ c} de funçõesmeromórficas é urna família normal se e

somente se F é urna família equi~ontínua

em toda parte compacta de U.

Portanto as famílias normais assumem valores que nao

divergem por iteração.

Com o conceito de normalidade definimos bacia imedia-

ta de um atrator.

Definição 1.9 Chama-se bacia imediata A(z ) de um ponto fixoo

estável ao máximo domínio contendo z onde ao

f ". { nl 'amllla R ~ e normal.

A teoria de Julia e Fatou é voltada para a decomposi-

çao disjunta e invariante da esfera de Riemann em dois conjun-

tos, que ficaram conheciãos corno o conjunto de Julia e o con-

junto de Fatou.

Definição 1.9 Um ponto z ~ C é um elemento do conjunto de

Fatou, F(R), de R se existe urna vizinhança U

14

de z em C tal que a família de iteradas IRn/Ujé urna família normal. O conjunto de Julia

J(R) é o ~omplementar do conjunto de Fatou.

Consideremos novamente corno exemplo o mapa R(z)=z2 .

Primeiro observamos que o mapa H (z) = 1/z é um mapa um por um,anali

tico fora da origem,eque H o R o H-1=R, isto é, o mapa H conjuga o

mapa R ao próprio mapa R. Como H(z) leva o ponto O no infinito

e vice-versa, então o comportamento local de R no infinito

levado ao ponto O, ou seja, o comportamento analítico de R

,eno

infinito e no O é idêntico. Munido da métrica usual, e tendo

em vista a conjugação de R(z) por H(z), é simples mostrar que

a família {Rn(Z)\ é equicontínua no interior e no exterior do

círculo unitário.

Pelo teorema de Arzela (1.1) a família {Rn} é normalnesse domínio.

Por outro lado o mapa R(z) no círculo unitário se

torna um mapa do tipo e~2e, e portanto nesse domínio a famí­

lia \Rni não é equicontínua e consequentemente não é normal.

Portanto o conjunto de Fatou do mapa R(z) = z2 tem

duas componentes, o interior e o exterior do círculo unitário,

e o conjunto de Julia é o círculo unitário.

o conjunto de Julia é a fronteira das duas bacias a-

tratoras do mapa. Observamos que os pontos fixos estáveis per-

tencem ao conjunto de Fatou e que o ponto fixo instável perten

ce ao conjunto de Julia.

Devido ao fato de ser a transformação inversa R-l(z)

pluvíroca, não se pode afirmar que o ponto fixo instável é um

atrator do mapa inverso mas sim que o conjunto das pré-imagens

do ponto fixo instável é um atrator para R-l(z).

Embora no caso R(z) = z2 o conjunto de Julia tenha

urna forma bastante simples e de fácil determinação, são

os exemplos em que isto ocorre.

Em muitos casos os conjuntos de Julia sao

15

raros

fractais

(sua dimensão de Hausdorff é maior que sua dimensão topológica).

o exemplo talvez mais estudado seja o do mapa logístico extendi

2do ao plano complexo, R(z) = z + c, c complexo .

. . " . , .Quando c = O o conJunto de Ju11a e o c1rculo un1tar10.

Porém para Icl ~ O o conjunto J(R) é urna linha conexa não reti-

ficável, corno mostra a figura (1.1) abaixo.

o mapa ainda possui dois atratores e um repulsor e o

conjunto de Fatou possui duas componentes. Porém a fronteira ~

.' ( 3 )bac1as atratoras e um fractal. u. Ruelle mostrou que para

leI rv O a dimensão de Hausdorff é dada por

1 +- + ( I. 5)

16

o teorema seguinte, conhecido como teorema de MonteI

é fundamental para se obter várias propriedades dos con-

juntos de Julia e Fatou.

Teorema 1.2 (MONTEL) : Seja F uma família de funções meromór-

ficas definidas em um domínio U. Su-

ponha que existam pontos a,b,c em C

tal que [l~t(1A)] n {a.,b,cl '" ~Então F é uma família normal em U.

Corolário Seja z ~ J(R). Se U é uma vizinhança de z então o

conjunto EU = C - LJ Rn(U) contém~)ono

, .max~mo

dois pontos. Tais pontos sao chamados pontos' ex-

cepcionais.

Com esse conjunto básico de definições e mais o teo-

rema de MonteI e seu corolário, várias propriedades dos conjun

tos de Julia e Fatou podem ser derivadas. Essas propriedades

serão utilizadas no capítulo IIIpara os conjuntos de Julia do

mapa de Bethe-Peierls para o problema de Potts.

1.2 - Propriedades dos conjuntos de Julia e Fatou

De acordo com a definição (1.7) o conjunto de FQtou

F(R) é aberto, e consequentemente o conjunto de Julia J(R),e

fechado. Como o mapa R é um mapeamento aberto e contínuo então

-1 'z ~ F(R) ~ R(z) E: F(R) e ainda R (z) C F(R). Portanto F(R) e

completamente invariante, e J(R) é invariante e compacto.

Outra propriedade que decorre da definição dos con-

juntos J(R) e F(R) é :

Teorema 1.3 o conjunto J(R), -e nao vaz~o.

17

Prova Suponhamos J(R) = ~. Então F(R) = C e pG~tanto a

família {Rn} é normal em C. Assim urna sUbsequên­n'c~a convergente R ~ converge uniformemente ( na

métrica eSférica) para urna função meromórfica R,

nie devemos ter gr (R ) --+ gr (R). Mas por outro

n·

lado gr(R ~)_ CO se ni ~ 00, e como gr(R) é fi

nito, então devemos ter J(R) ~ ~.

Do teorema (1.1) e lembrando que se uma sequência Rn

de funções analíticas converge uniformemente em um domínio U pa

- , , . n(k) ( ) (k) ( )ra um mapa R entao R e anal~t~ca em U, e R z ~ R z

(R(k) a derivada k-ésima de R), temos

Teorema I. 4 : Se &+(z ) é uma órbita periódica atratora ou su­o

peratratora, então ela está totalmente contida

Prova

em F(R). Se a órbita é repulsora então ela está

totalmente contida em J(R) .

: Apresentamos a prova para um ponto fixo. Para o

ciclo periódico a prova é apenas um pouco

complicada.

mais

normal e o

Consideremos um ponto fixo z instável e digamoso

que {Rn} ê normal em uma vizinhança U de Zoen n

Como R (z ) = z para todo n segue que R (z) naoo o

converge para 00em U. Portanto uma sequência{Rni

tem uma subsequência {Rni~ que converge uniform~

mente para R em U~n. ' ,

Portanto I (R ~) (z )\_ IR (z )I.Maso o

I n l - ,~ 00 . Consequentemente IR J nao e

18

ponto fixo instável 20 pertence a J(R). A prova pª

ra o caso em que 2 é estável ou superestávelo

análoga.

,e

Corno consequência do corolário do teorema (1.2) pode-

se mostrar que o conjunto J(R) não possui pontos interiores, 1~

to é, se o interior int J(R) ~ 0 então J(R) = C. Isto significa

que J(R) é uma linha conexa, um conjunto totalmente desconexo,

ou J(R) = C .

Outra consequência importante do teorema (1.2) é:

Teorema 1.5 : Seja E(R) o conjunto dos pontos excepcionais de

R. Se z ê (C - E) então J(R) está contido no

conjunto dos pontos de acumulação da órbita in-

versa completa de z,

J c:

{pontos de acumulação de LJ R-n(z) ~~~o j

Prova

e consequentemente, se z ~ J(R)

U -nJ = fecho ( R (z) ).,~O

Da definição do conjunto E(R), como J(R) e F(R)

sao disjuntos, e como as iteradas de qualquer vi

zinhança de um ponto de J(R) atinge um ponto não

excepcional, segue a primeira afirmação do teor~

ma.

Se z f J(R) então U R-n(z) C J(R) pois J(R )1')),0

é invariante. Como J(R) é fechado, então

J :::> fecho ( U R-n (z ))'1>/0

19

Mas,da primeira afirmação do teorema segue que

J c fecho R -n (z) ) •

o teorema (1.5) sugere um a1gorítmo para gerar numeri

camente uma figura do conjunto de Julia.

o conjunto das iteradas inversas de um ponto não ex-

cepcional do conjunto de Fatou se aproxima assintoticamente do

conjunto de ..Julia. Ou ainda, se conhecermos um ponto do conjun

to de Julia, a sua órbita inversa é densa em J(R).

o teorema (1.5) sugere uma visualização do

de Julia que às vezes é usada como definição de J(R):

conjunto

seja z

€ (C - E) e U uma vizinhança de z que não intercepta o conjunto

J(R). O conjunto das iteradas de U/ LJ R-n(U) gera a bacia atran~o

tora de um ciclo estável, e assim o conjunto de Julia é a fron-

teira da bacia atratora. A fronteira da bacia imediata de um

atrator é um subconjunto de J(R).

Nas figuras (1.2) e(I.3) mostramos dois conjuntos de

Julia do mapa R(z) 2 d .,= z + C quan o o mapa possu~ um c~clo atra-

tor do período 2 e 3 respectivamente. A parte hachureada,e a

bacia imediata. Observamos que nesses casos o conjunto de Fatou

possui uma infinidade de componentes.

20

o teorema seguinte é muito útil para se testar numerl

camente a conectividade de J(R).

Teorema 1.6: A bacia imediata A(z ) de um atrator zo o

no mínimo um valor crítico do mapa.

contém

Em virtude do teorema (1.6) o teste sobre a conectivi

dade dos conjuntos de Julia de mapas pOlinomiais ~ imediato: se

a órbita direta do ponto crítico atingir uma órbita estável en-

tão a fronteira da bacia atratora é conexa; se a órbita do pon-

to crítico divergir então o infinito é o único atrator, e aqui

temos duas possibilidades: a fronteira ~ um conjunto desconexo

ou então uma linha não fechada, e em ambos casos o conjunto de

Fatou possui uma única componente.

Outras duas propriedades importantes dos conjuntos de

Julia sao:

Teorema 1.7: O conjunto de Julia é perfeito (todos os pontos

de J(R) são pontos de acumulação de pontos em

J(R) ).

Como consequência do teorema (1.7) o conjunto de

Ju~ia ~ um conjunto não contável.

Teorema 1.8

Prova

o conjunto J(R) é o fecho dos pontos periódicos

repulsores.

Como J(R) é invariante, dos teoremas (1.4)

(1.5) segue o teorema (1.8).

e

Como consequência o conjunto das pré-imagens do ponto

21

fixo instável do mapa R(z) é denso em J(R).

o teorema (1.8), conhecido como teorema fundamental da

decomposição, permite obter dois resultados notáveis sobre as

componentes do conjunto de Fatou.

Teorema 1.9 : Se o número de componentes de F(R) é finito, en

tão F(R) tem no máximo duas componentes.

Como o conjunto de Fatou é controlado pelos atratores

do mapa então podemos ter as seguintes possibilidades:

1. O mapa possui dois pontos fixos estáveis e F(R) possui duas

componentes.

2. O mapa possui um ciclo atrator e o conjunto F(R) tem infini

tas componentes.

3. O mapa possui apenas um ponto fixo estável e portanto F( R)

possui uma única componente.

Exemplos dos casos (1) e (2) já foram apresentados nas

figuras (1.1), (1.2) e(I.3). Para o caso (3) as figuras (1.4) e

(1.5), conjuntos de Julia do mapa quadrático, são exemplos de

um conjunto desconexo e uma linha conexa não fechada respectiva

mente.

Com relação à bacia imediata de um atrator os

(1),(2) e (3) acima se relacionam no teorema seguinte.

22

casos

Teorema 1.10 Seja z um ponto fixo estável do mapa. Então ao

sua bacia imediata A(z ) é simplesmente conexao

ou tem conectividade infinita.

Assim, se o mapa possuir apenas um ponto fixo estável

então: o conjunto de Fatou é simplesmente conexo no caso do con

junto de Julia ser uma linha não fechada, e F(R) tem conectivi-

dade infinita no caso do conjunto de Julia ser desconexo .

. , .Para conclu1r este cap1tulo, apresentamos de forma

suscinta o conjunto que ficou conhecido corno conjunto de

Mandelbrot definido no espaço dos parâmetros do mapa •

. .() 2Cons1deremos o mapa R z = z + C, C complexo. Para

cada valor de C o mapa possui um conjunto de Julia Jc(R),que co

mo vimos pode ser conexo ou desconexo. O conjunto de Mandelbrot

M do mapa R(z) é definido como o conjunto dos valores de C € C

tal que o conjunto de Júlia Jc(R) é conexo,

O teorema (1.6) estabelece um critério que fornece um

algorítmo para se obter uma imagem do conjunto de Mandelbrot.No

caso dos mapas polinomiais, como o infinito é um atrator, a sua

fronteira é o conjunto de Julia J (R). Se a bacia imediata con­e

tém pelo menos um ponto crítico do mapa então se a sua órbita

direta divergir, o conjunto J (R) é desconexo, e caso contrárioc

o conjunto de Julia é conexo.

Uma imagem do conjunto de Mandelbrot é mostrada na fi

gura 1.6.

23

~

1<e.(c)

10tJ'r0 f\~OI

e~TA~eL

ICiCL.O I

'll.l.l'u) II I IteST4V61.1I I, III

No cardióide principal o mapa possui um ponto fixo

estável, além do infinito que é sempre superestável, o conjun-

to de Fatou possui duas componentes e os conjuntos de Julia

são deformações do círculo unitário (figura I.I). Nos domínios

formados pelos "botões" o mapa possui ciclos atratores, o con-

junto de Fatou possui infinitas componentes (figuras I.2 e

I.3). No eixo real para valores de c < O, o mapa apresenta a

rota caótica conhecida, e os "botões" contíguos são os domíni-

. '. nos dos c1clos estave1S 2 .

(30)Recentemente, A. Douady e J.H. Hubbard mostraram

que o conjunto de Mandelbrot é conexo, isto é, M não está con-

tido na união de dois conjuntos abertos disjuntos e nao va-

Z10S. A questão se M é localmente conexo (se qualquer pedaço

u n M de M (U C C aberto) tem a propriedade de para qualquer

z € U n M existe uma vizinhança V C U, z € V, tal que V n M,e

conexo) ainda está em aberto.

Outra caracterização de M foi recentemente obtida por

F.v. Haeseler(31), tendo mostrado que

\ C E C

24

Cada mapa R(z,t) possui o seu conjunto de Mandelbrot

no espaço do parâmetro complexo. Um estudo mais detalhado des­

ses conjuntos certamente revelará propriedades interessantes

dos mapeamentos na esfera de Riemann.

25

CAPíTULO 11

O MODELO DE POTTS P-ESTADOS NA ÁRVORE DE CAYIEY

CANÔNICO.

11.1 - A árvore de Cayley e o mapa de Bethe-Peierls

TRATAMENTO

A árvore de Cayley aberta possui urna prescriçao de

construção bastante simples :

1. A um sítio conectam-se ~ outros sítios

através de ~ ligações.

2. A cada um dos ~ sítios conectam-se ou-

tros (~- 1) sítios através de (~- 1)

ligações, e assim sucessivamente.

Denominamos geração ou camada da árvore de Cayley ao

conjunto de sítios que são adicionados à árvore a cada passo no

seu processo de construção. A última camada denomina-se superfí

cie da árvore de Cayley. Chamaremos de ramificação (r) ao núme-

ro de sítios adicionados a cada sítio de uma dada camada.

Dessa forma construímos uma estrutura ramificada onde

cada sítio, à excessão daqueles pertencentes à superfície, pos-

SUl ~ = r +1 primeiros vizinhos, e que não- apresenta "loops" fe

chados. (fig. 11.1)

Essa estrutura confere à árvore de Cayley uma caracte

rística fundamental que a diferencia das redes de Bravais:( 24-

26)a razão entre o número de sítios na superfíc~e e o número tQ

tal de sítios é diferente de zero no limite de número de sítios

infinito (limite termodinâmico).

A não existência de loops mostra que a árvore de

Cayley aberta possui uma propriedade topológica análoga à da cª

Fig. 11.1

26

Árvore de Cayley com razão de ramificação r = 2 e

n~mero de coordenação ~= 3.

27

.deia de sítios, urna vez que o caminho que une dois sítios atra-

vés de sítios distintos é único. Essa relação também fica eVl-

denciada termodinamicamente pela igualdade das energias livres

da cadeia de spins clássicos, e da árvore de Cayley aberta com

splns clássicos colocados em seus sítios.

Para tornar não trivial a função de partição de um mo

delo de spins clássicos na árvore de Cayley aberta, é,

necessa-

. d' . 1 d (24)rlO lntro UZlr-se um mecanlsmo que construa oops na re e .

, .'. - , .Um posslvel mecanlsmo e a adlçao de um Sltl0 externo

à rede com um spin que acopla com todos os s.pins da árvore com

um acoplamento distinto daquele existente entre os spins da pró

pria árvore. A essa árvore chamaremos árvore de Cayley assirné-

trica fechada (fig. 11.2).

Sem perda de generalidade, e para efeito de estúdo

das propriedades de um sistema de spins no limite termodinâmico

na árvore de Cayley fechada, podemos considerar apenas um ramo

da árvore corno na figo 11.2.

Dessa forma indexamos as camadas da árvore com um ín-

dice n = 1, ...., N da superfície para o interior e um índice

S = 0, ... , N-l do interior para a superfície, de tal forma que

em qualquer geração teremos sempre n+s = N, onde N é o

de geraçoes da árvore.

,numero

Denominaremos por J o acoplamento entre spins na árvo

re propriamente dita, h o acoplamento entre os spins interiores

da árvore e o spin adicional (g), e h(s) o acoplamento entre os

spins da superfície da árvore e o spin (g).

,ma e

~ara tornar não triviql a função de partição do siste

suficiente que tenhamos h = ° e h(s) ~ O.

Assim, quando o spin (g) assume um valor fixo, os aCQ

plamehtos entre os spins da árvore e o spin (g) representam um

campo magnético externo não homogêneo.

Fig. 11.2 Ramo da árvore de Cayley assimétrica fechada, com

o spin adicional (g) acoplando com os spins da ár­

vore.

28

29

As~ociando a cada sítio da árvore uma variável (spin)

de Potts, que pode assumir p valores Ú = 0,1, ...,(p-l) , ap

Hamiltoniana do sistema de Potts na árvore de Cayley

assimétrica pode ser escrita corno

fechada

(n.1)

Os pares de primeiros vizinhos no interior da árvore,

vizinhos do spin (g) com a superfície e do spin (g) com o inte-

rior da árvore são representados por (i,j), (S,g~ e (i,g) res­

pectivamente. O acoplamento do spin (g) com os spins interiores

e com os spins superficiais é denotado por h e h(s) respectiva­

mente, e b é a função delta de Kronecker (fig. 11.3 a,b).

A árvore de Cayley assimétrica fechada é portanto,uma

rede hierárquica(24) cujo processo de decoração é mostrado na

figo 11.3 c. Nesse processo são formados

perfície.

sr aglomerados na su-

Os spins da superfície podem ser decimados através do

cálculo do traço da função de partição de cada cluster elemen-

tar da camada n, o que introduz um acoplamento efetivo entre o

spin (g) e os spins da camada n+l (fig. 11.4).

Assim, a decimação dos spins da superfície, com a ~m-

posição de que as funções de partição do cluster e do par de

spins por (g) e um spin da camada n+l sejam proporcionais, for-

- . - (9 27)nece a transformaçao do grupo de renormal~zaçao' .

Em outras palavras, o campo efetivo (indexado por n)

que atua em uma certa camada, é renormalizado pela transforma-

çao R e teremos de maneira geral

0,"""I,,

"5 ,," ,

'N-I

30

=>

Fig. 11.3 (a) Ramo da árvore de Cayley com o spin (g) com

31

acoplamentos diferenciados com os spins inte­

rlores (h), superficiais (h(s)), e os acopla­

mentos internos da árvore (J).

(b) Ramo com o acoplamento h = O, e com as cama-

das indexadas.

(c) O processo de decoração do ramo da árvore as-

simétrica de ramificação 2

nos spins de superfície.

com acoplamento

Fig. 11.4

3 33

;f\ TJ

/ h\ h( s)2~

3

\ 1/h(S)

\ /h(S)\ / h(S)

I 2 \ / 2I'9

OO

Processo de decimação dos aglomerados de superfí-

cie, gerando um acoplamento efetivo entre o spln

(g) e os spins de superfície.

33

( s )

A transformação R pode ser visualizada esquematicamen

te na forma

.c. ~

I-x.

(:[.'5 )M4

o]

1

onde:

i - spin da camada n+l

j - spin adicional (g)

k - spins da camada n (superfície)

t = exp (-p~j)- peso de Boltzmann dos acoplamentosinter

nos da árvore, ~ =

l/K T.B

x

=exp(-P~h)- peso de Bolzmann dosacoplamentos da ár-o

vore com o campo

externo

xn = exp (-p~hn) - peso de BoI tz'.,anndos acoplamentos

spin (g) com a superfície.

do

Para a obtenção da transformação do grupo de renormali

zaçao, calculamos o traço sobre os spins k do lado esquerdo da

eq.(II.3), que fornece a relação

/Y1 (

34

( JL4)

onde exp (C ) é um fator de proporcional idade entre as funçõesn

de partição do cluster e do par (i,j) na equação (II.3).

Considerando as duas possiblidades, i = j ou

temos da equação (II.4)

i f: j

se i f: j

C"í

- ~ r -4 -t J-1-L ~ llr\ t ( f -1) '")(.0

11 ti

c..,

;

l _I 1 ]

e.

- i + ~~ ~ ( f - 2.)-

Substituindo-se (II.6) em (II.S) obtem-se

(JL. ,)

t + ~Y1 ••• t 1Ln ( ~:.. 2. )

~ -t t ')l." ( f - 4 )

(11:.1- )

que é a transformação do GR para o acoplamento do spin(g) com

a superfície da árvore de Cayley. Essa transformação será deno

minada mapa de Bethe-Peierls (BP).

Definindo

("[.8 )

35

temos da eq. (II.6)

J =f\

-i -4

i 1")(.(1 + (r - 2 ) ([.9)

que na eq. (11.7) fornece o mapa

f-que denominamos mapa global, por razões que ficarão claras mais

adiante.

o mapa BP (eq. 11.7) é um mapa racional de grau r, pa

rametrizado por t e p que pode ser visto como um mapeamento da

esfera de Riemann R c --. C , se sua variável dinâmica X pu­nder assumir valores em C.

Dessa forma, a órbita direta de um valor inicial X I

corresponde aos valores do campo efetivo nas camadas internas

da árvore de Cayley quando se implementa o processo de decima-

ção dos clusters da superfície. Em outras palavras, isso corre~

ponde à determinação do campo efetivo em spins no interior da

árvore de Cayley, afastados da sua superfície.

No limite termodinâmico (n~), o processo de renorma

lização dos acoplamentos é representado pelo ciclo atrator do

mapa BP. Como esse limite corresponde a um afastamento infinito

da superfície da rede o atrator do mapa BP descreve as proprie­I

dades locais no interior do sistema, isto é, as propriedades li

vres dos efeitos que possam ser introduzidos pela superfície da

árvore de Cayley. É um resultado já bastante conhecido que as

propriedades do ciclo atrator do mapa BP reproduzem,no limite termodin~

co, a aproximação de Bethe-Peierls de sistemas definidos em re-

36

des de Bravais, isto é, a aproximação de Bethe-Peierls é exata

, (24 28)na arvore de Cayley , .

Por outro lado, a órbita invêrõa de uma dada condição

inicial gera um conjunto no limite termodinâmico que POSSUl e~

, 1 - . d l' d (17)trelta re açao com os conJuntos e Ju 1a o mapa BP . Essa

órbita inversa está associada ao processo de decoração da re-

de, do interior para a superfície da árvore de Cayley. Assim,

os conjuntos de Julia do mapa BP possuem uma relação com as

propriedades globais do sistema, isto é, da árvore de Cayley

incluindo sua superfície.

o mapa global (eq. II.IO) determina, como veremos

adiante, a função energia livre global, quando incorporam-se

às propriedades termodinâmicas do sistema as contribuições dos

spins da superfície.

Daqui em diante passaremos a denominar o sistema de

árvore de Cayley quando se inclui efeitos de superfície, e de

rede de Bethe quando se desprezam esses efeitos.

II.2 - Propriedades do mapa BP: propriedades locais e globais

do sistema de Potts

A partir deste ponto vamos considerar o sistema de

potts na árvore de Cayley sem campo externo, somente com campo

na superfície. Portanto o mapa BP fica

t + 1(.. Yl + t ~Yl ( .p - 2. )

Do exame do gráfico do mapa podemos inferir' a

existência de pontos fixos e ciclos e a sua natureza quanto,a

estabilidade. Nas figuras II.S a-c e II.6 a-e são mostrados os

37

Fig. 11.5

38

Gráfico·x 1 = R(X ) para o caso p = 2.n+ n

(a) O ponto*

fixo X = 1 é o único atrator do ma

pa. A partir de t = 1 a derivada do mapa no

ponto fixo aumenta com o decréscimo do parâm~

tro t.

(b)*

A derivada do mapa em X = 1 é unitária e

ponto fixo se torna indiferente.

o

Nessa situação se define o valor crítico tBP

do parâmetro t.

*(c) Abaixo do valor crítico tBP' o ponto fixo X =1

é instável e o mapa apresenta dois atratores

não triviais.

Xn

39

Fig. 11.6 Gráfico X I = R(X ) para o case ~n+ n 2.

40

(a)* ,

Somente o ponto fixo X = I e atrator.

(b) No valor crítico tI o mapa apresenta uma bi-

furcação tangente.

(c) O mapa possui dois pontos não triviais, um

(d)

estável e outro instável, e o ponto

* ,X = I continua estavel.

*No valor crítico tBP' o ponto fixo X =1

fixo

se

tOLna indiferente. O ponto fixo instável da

- *situaçao (c) colapsa no atrator X = 1.

*(e) O ponto fixo X = 1 se torna instável entre

dois atratores não triviais.

41

gráficos para os casos p = 2 e p > 2 respectivamente.

o gráfico do mapa para p = 2 (Ising) mostra apenas um

ponto fixo estável no intervalo t, [tBP,I]. Esse ponto se torna

indiferente para o valor crítico de t = tBP(fig. II.5b), a par-

tir do qual apresenta uma bifurcação tipo pitchfork.

Já os casos p ) 2 apresentam essencialmente o mesmo

comportamento : um ponto fixo real estável num intervalo do pa-

râmetro t (fig. lI.6a), até um valor critico (tI) onde ocorre uma bi

furcação tangente (fig. II.6b), apresentando dois pontos fixos

estáveis e um instável, todos reais (fig. 11.6c). A natureza

dos pontos fixos se altera novamente quando o ponto fixo instá-*

vel colapsa no ponto fixo estável x = 1 (fig. 11.6d), e que se

torna instável para valores t < tBP (fig. 11.6e).

Essas propriedades do ponto fixo podem ser determina-

d.~s analiticamente através da equação do ponto fixo, obtida a

partir do mapa BP ít '*

t+1(.+1:1(.(+-2)

1 + 1. ~* ( f - ( )

(:[./2)

Pode-se, sem perda de generalidade, efetuar os cálcu-

* , -los analiticamente para r = 2. Observando que x = 1 e soluçao

da equação (11.12) para todo valor de t, temos

.2. 2. 2 .•.[ '2. 2.X. 1: (f - I) +">t t (2 + - 3) ~ 2 t - 1] + t :: O

Portanto as soluções da equação 11.12 são dadas por

* '1

X. = _~r·.3}+lt-t t-tT '1 2 +

42

2. t. (+ _ I) 2.t 1(~.()1-fI.

( 5 _4 P ) ( ~ _ \ 'I ). ( * _ \ ) \ 2.

(li.14). 2.(p.') ~+i i- 2. (~. ct1..

.• _ t1(2f·3)+2t-~ _ t - 1X -- ~ t'2.-l~ (t-t)2. 2t (~-4)

I/,

~(5 - 4 ~) ( !_ I '1')' ( t _ i 1/1)] 2. (1I. . 15 )l 2(1'-1) + 1 1-2.(~-1)

cujo gráfico é mostrado nas figuras II.7a,b para os casos p =2*

e p ) 2. O ponto fixo x = 1 chamaremos ponto fixo paramagnéti-

co e os pontos fixos (II.14) e (II.15),

fixos não triviais.

chamaremos pontos

Para os acoplamentos internos ferromagnéticos na árvQ

re de Cayley, e consequentemente na rede de Bethe, o parâmetro

t assume valores te (0,1).

No intervalo O < t ( t'

os três pontos fixos do mapa são reais, e no intervalo t'( t (1. * - * ( *)0S pontos f~xos x± sao complexos, x+ = C.C. x_ .

43

•X

I, EIIIIIIIII

0-1

.-' I I1/3

It

•X

I \E

•/X_I

\EE

r.....

I IIIII/p-I L____ l. ___ J

III

X·

II+

I

Õl~I I

tsp

tI t

Çl·~. jL.t b-

Fig. 11.7

44

Os pontos fixos do mapa BP em funç~o da temperatu-

ra.

*= 1 é estável para t> tBP e instª

(a) p = 2. X*

-vel para t <tBp. Os pontos fixos X+sao

estáveis para t <

,tBP e instaveis

para

tBp· G~UL

It > t:~ = X!~ 3

(b) p > 2. x* = 1 estável no intervalo [tBP' 1J .*

Os pontos fixos x± são ambos instáveis para*" *, ,

t > t' , X+ e estavel e X e instavel no in-

tervalo [tBP,t']

t < tBp•

*, e x+ sao estáveis para

i, SERViÇO [\E BIBlICTÉC.'\ E It;JFOI<MAÇAO _ IFOS'" ,I rlSICA1, ...

* *Observando que Re(x ) = Re(x )+

alguma manipulação algébrica obtemos

*Im(x) =

+

45

* ,Im(xJ apos

*{t

* *As figuras II.8a,b mostram o diagrama (x ,t) x € (

em todo o intervalo t G: (0,1] .

A estabilidade dos pontos fixos do mapa é deterrninadã

pela análise do comportamento do autovalorr<t) do mapa BP

t (t) --

- 2.x.* [ \ + ~ ( r - 2.) ]

t to : ~ 1 t t (r -2)]

••

"ti:ct-t)~

~t~t(f-l)

(1i:..19)

o ponto fixo paramagnético merece especial interesse*

por ser comum para todos os valores de p. Para x = I temos

-- 2..

A condição I((t) 1<1 ()l) de (in) estabilidade determi

na que o pon~o f~xo trivial é (in) estável para t € [tBP , 1]

(t ~ [o,tBP])' A condição It(t) I = 1 determina o valor de t que

torna o ponto fixo trivial indiferente. Esse valor é

temperatura de Bethe-Peierls (tBP)'

chamado

-I

46

t

//,/,/,/"";•...

..••...•­.,.,.•...."".I

-l/p-1 IIp-1

t

E

Fig. 11.8

47

Pontos fixos do mapa BP em funçRo da temperatura.

*(a) p = 2, mostrando os pontos fixos X+ instáveis

a alta temperatura com módulo unitário.

(b) p > 2. A alta temperatura os pontos fixos 1n~

, * , 1/taveis X+ possuem modulo ( p-l).

48

{ - ~

f + 1- 1

No caso particular de r = 2

(1.22)

Uma análise numérica do auto-valor (eq.II.19) para os*

pontos fixos x± mostra que:*

- para p = 2}x± são estáveis para t < tBP e instáveis para

* - ,- para p ) 2 x± sao estaveis para t < tBP ;

* - , *, ,xo x = I sao estaveis e x e instavel no

*x e o ponto fi+ -

intervalo tBP <* .'. * , ,

t < ti ; X sao ~nstave~s e x = I e estavel para ti <±

t<l.

A estabilidade dos pontos fixos como função do param~

tro t define as fases do modelo de Potts p-estados na rede de

Bethe

- para p = 2 temos uma fase paramagnética se t > tBP' Nó

ponto t = tBP o modelo apresenta uma transição de 2ª or­*

dem com os expoentes clássicos. Os ramos estáveis x pa-±

ra t < tBP representam uma fase ferromagnética < t> ou < .•).

Os dois pontos fixos estáveis a baixa temperatura pódem

ser atingidos pela órbita direta do mapa BP dependendo das

condições iniciais. (campo na sUDe~fície da arvore de

Cayley positivo ou negativo) .

- para p > 2 no intervalo ti < t < I o modelo é paramagnéti*

co; no intervalo tBP< t < tI onde os pontos fixos x = I*

e x são estáveis temos coexistência de fases, o que ca-+

49

racteriza urna transição de lª ordem para o modelo. Nessa

região·se a condição inicial para a órbita direta do ma-

*pa BP for menor que o ponto fixo instável x_, então na

* -rede de Bethe temos a solução x+ ; se a condiçao inicial

for maior que o ponto fixo instável então ternos a solu-

- * ,çao x = 1 na rede de Bethe. Porem independentemente das

condições iniciais do mapa BP, a dúvida sobre qual dos

dois pontos fixos é mais estável só pode ser resolvida

comparando-se os valores da energia livre na rede de

Bethe para os dois pontos fixos. Todavia, sabe-se,por ou

tros métodos diferentes dos utilizados aqui, que o ponto

fixo paramagnético corresponde ao mínimo absoluto da

energ1a livre do modelo na rede de Bethe no intervalo

tBP < t < tI. Finalmente a baixa temperatura O ( t < tBP

o sistema é ferromagnético.

o mapa global (eq. II.lO) possui propriedades muito

semelhantes às do mapa BP, modificando-se somente os valores

dos pontos fixos (figuras II.9 a-c e figuras II.lO a-e).

o grande interesse neste mapa associado ao mapa BP é

que a energia livre do sistema na árvore de Cayley é uma sorna

de funções na variável dinâmica Y do mapa global.n

11.3 - A energia livre e a transição de ordem contínua

Nesta seçao analisaremos o comportamento global do

sistema de Potts através do c~lculo direto de sua energia li-

vre. Dessa forma mostra-se o comportamento não universal do mQ

delo, resul tado obtido originalmente de outra forma por Müller-

Hartmann e Zittartz ( 25 ) para o modelo de Ising na árvore de

Cayley.

Consideremos urna árvore com N gerações e de ramificª

-Itt-p-I

FIG.n9a

-It+ p-I

-tt+p-I

50

FIG.II 9 b

Yn+1

-It+ p-I

FIG.lI 9c

-It + p-I

-It+p-I

-It+p-I

FIG. II 100

Yn+1

-It+p-I

FIG.II 10b

Yn +1

-It+ p-I

-It+p-I

.•• -It+2p -3 t+p-I

Yn

52

FIG. II 10 c-It+ p-I

-tt+p-I

FIG. II 10 d t+P-1 Yn

53

Yn+1

-It+ p-I

FIG.II 10e-lt+p-I

Fig. 11.10 Gráfico do mapa global Y 1 = T(Y ) para p > 2.n+ n

54

(a) t .. -+-,~ '"' .*

o ponto Ypar

, '.e o unJ.co atrator.

(b) t = ti. O mapa apresenta uma bifurcação tan­

gente no ponto y* = t-1 + 2p - 3.

(c) tBP < t < ti. O mapa possui um repulsor não

trivial entre dois

tor.

*atratores. Y

par

,e atra-

(d)*

t = tBp. O ponto Yparé indiferente.

(e) < * ,t tBp. O ponto Y e repulsor entre doispar

atratores não triviais.

55

- -, ,. '.' ,çao r. Entao o numero de SltlOS na superfIcIe da arvore e o nu-

, I - •

mero total de SltlOS sao respectIvamente

--í - 1

(J[ .24)

(lL.25)

o cálculo do traço sobre os spins de superfície da ár

vore com N gerações gera a árvore com (N-l) geraçoes com um aCQ

plamento renormalizado na superfície. Denotamos ZN(t,xl) e

ZN_I(t'~2) as funções de partição das duas redes com N e (N-I)

gerações respectivamente. Considerando exp(C ) o fator de pro­n

porcionalidade entre as funções 'de partição, teremos

N-2, , , .onde r e o numero de clusters na superflcle.

o uso dessa relação de recorrência fornece

=(li..2+)

onde ZI(t,xN) é a função de partição do par de spins com acopl~

mento renormalizado N veze~.

por

Portanto a energia livre total do sistema será dada

( TI .1.B)

onde F1(t,xN ) é a energia livre do par com acoplamento efetivo

56

XN' dado pela órbita direta da condição inicial xl' do mapa de

Bethe-Peierls (equações II.7 e II.ll).

No 1imite termodinâmico (N-. r:tJ ), a energia 1ivre por

sítio será dada por

(-r-I)í

ro[Y1: 4

-Y)

-( Cft

(lL2.9)

que pode ser reescrita como (veja equação II.8 - 10)

(i·t) (E .30)

Desta forma a energia livre do sistema de Potts na

árvore de Cayley depende somente da órbita direta completa de

uma dada condição inicial para o mapa global (equação II.ll).

No caso de campo superficial nulo (árvore de Cayley

aberta), a condição inicial do mapa global coincide com o pon-

to fixo paramagnético

~

j - J1 - 10'.

Portanto a energia livre será dada por

(

_ 4

~ + (IL..32)

que é idêntica à energia livre do modelo na cadeia de sítios.

Para efeito de análise, consideramos o sistema com

um campo superficial inicial suficientemente pequeno para ga-

rantir a existência de loops na rede. Portanto tomaremos

eYl'::' i + p - 1.

Nesse caso consideramos a expansão da energ~a

57

livre

(equação 11.30) em torno do ponto fixo trivial. Cnmo no interva

• I - ••••• - " •

10 de def~n~çao do parametro t a funçao log Y e anal~t~ca, te­n

mos que -. Ij .

'X.:11

)(~ -i)

1

e substituindo na equaçao II.30 temos que

que pode ser reescrita como

(J)

- (í-I) I)-:0

1

a..(t) ()(..-I))

onde

( 1L.35 6 )

o ponto crucial na análise da equação 11.35 está na

58

equaç~o 11.35 b, cujo comportamento dominante pode ser· obtido

indutivamente.

Para j = 1 temos

mas

1\. ; II

=

"X. ; II

e portanto

~\d")C..j

1l ~ I1

=(Yl-I)

O' (-l:)

o termo j = 2 é dado por

Considerando a equação II.9, então o termo dominante

na equaçao II.39 pode ser obtido de

;/ .•..~+, \d'1-.1 1.. ~lI

( 1.40)

onde

59

e portanto

ou ainda

r< (t) -

~ ':II

=

( li. 40 Q )

C!L.41 )

1.. = II

(1L.42. )

Das relações recursivas 11.37 e 11.40 observamos que

as derivadas de ordem j > 2 possuem o termo dominante com um

grau a malS em t (t), ou seja

)l = I~

Portanto a equação 11.35-b seri um pOlin5mio em(t)

F'

'1 t (t)j .(li. 44)

e consequentemente a equaçao 11.35-a nessa aproximação fica

jl [ (Y\ : l

( "li..45 )

60

Portanto a energia livre equação 11.35 terá não anali

ticidade de ordem j nos valores de t dados por

(1L.4b)

Considerando a equação II.21, o comportamento não anª

lítico da energia livre está no intervalo t € [o,tBP). Para j=l

ternos t=O e quando j ~ Q) ternos t ~ tBp. Este resultado já reve-

Ia o comportamento não universal do sistema de Potts na,arvore

de Cayley que se deve a efeitos de superfície, isto é, à geome-

tria da árvore de Cayley.

A imposição de que a implementação do grupo de renor-

malização não altere as propriedades físicas do sistema ( equa­

ção II.26), implica que a função energia livre por sítio do si2

tema, f(xl,t) e f(x2,t), antes e após uma renormalização da re­

de estejam relacionadas como

{

-r(1i:.4.f-)

( , - -1 ' (onde g xl,t) e uma funçao regular e r e o fator de escala rª

zão entre o número total de sítios da árvore de Cayley antes e

após uma renormalização).

A repetição desse procedimento fornece a seguinte re-

lação

( 1L.48)

V\ ::. I

No limite termodinâmico (N - ()J ) temos que

If)

th..,~)= í L f-rló(1l.n)

V\ ~ (

Comparando as equações II.49 e II.30 obtem-se

61

(n:.4~)

f -I(~. 5 o)

Se a função energia livre tiver um comportamento sin-(9)

guIar, sabemos que

~\i"a L ~(1l."). t]

(~. 52 )

na vizinhança do,.pontp fixo instável do mapa x I=R(X) ondeKéum expoentee a funçaoH e uma amplitude. n+ n '

Expandindo-se o mapa BP em torno do ponto fixo para-

magnético, que é instável em t G lO,tBP] temos

(1L.S?')

Das equações II.5l e II.52 temos

62

e portanto teremos

~d(1\.1- 11

Lo"d l t(~}l

.. ~ "; f t (q l ~I" ti 1 + ~d !ltt-l\

~6 I t(t) I

'('lI.55)

Portanto ternos

1. lk,~ I X" 1 •. (y 1a função H / L.:.d I tlUI

de período 1 .

, ,.e perl.odl.ca

•• 4 I<.

2. i 'ô (~) =

e portanto o expoente crítico K será dada por

I(.(t) =

que varla continuamente com a temperatura na fase de baixa tem-

peratura, isto é t ~ [o, tBP]' caracterizando o que Muller-

Hartmann e Zittartz classificaram corno transição de fase de or-

dem contínua.

63

CAPÍTULO 111

PROPRIEDADES DO CONJUNTO DE JUlIA DO MAPA DE BETHE-PEIERlS

Neste capítulo utilizamos as propriedades do conjunto

de Julia apresentadas no capítulo l, aplicadas ao mapa de Bethe

Peierls (equação 11.11), identificando de que forma esse conjug

to reflete o comportamento termodinâmico do sistema de

,p-estados na arvore de Cayley.

111.1 - O conjunto de Julia e os zeros de Yang-Lee

Potts

Observando o caráter hierárquico da árvore de Cayley

fechada assimétrica, consideramos inicialmente um par de splns

cujo peso de Boltzmann do acoplamento é Xl'

A função de partição do par será dada por

(li.i)

O passo seguinte no processo de decoração é conside-

rar a árvore com duas gerações, cuja função de partição é dada

por

2.

j

2 2

t ~- 1) + t q-I) ( ~ t ~ • t - 1) :

64

l.

com x2 = R(X1).

Para a árvore de três gerações

(€.2.)

Indutivamente, para a árvore de N gerações temos

~-I 2

t} '.~,)= t( -t t ~- \) II(T t :: t r' 2 ) ::t'\ : I

J-vr2.

jV1

( ~. 4)

65

onde y é dado pelo mapa global (equação 11.10).n

- , ~ N-l-lA equaçao (111.4) e um polinomio de grau 2 em xl

N -1e grau (2 -2) em t .

Portanto da equação (111.4), os zeros da fugacidade

da função de partição são soluções da equação

C1E.s)

t - ?

onde xN = RN(xl) é o peso de Boltzmann do acoplamento do sp~n

(g) com a superfície da árvore de Cayley renormalizado N ve­

zes e p é número de estados. Portanto os zeros da função de

partição para a árvore de N gerações são dados por

Ou seja, os zeros da função de partição ZN(t,xl) sao

as 2N-l

(111.1)

, .pre-~magens

verifica-se

do ponto (l/l_p). Observando

que (l/l_p) é o zero da função

a equaçao

de partição

do par Zl(t,xl).

A equação (111.6) mostra que o conjunto de zeros po-

de ser gerado recursivamente através do mapa BP, e que esse

conjunto guarda estreita relação com o conjunto de Julia do ma

pa BP.

111.2 - O locus do conjunto de Julia e do conjunto de zeros

Para se determinar a localização do conjunto J(R) do

mapa BP e do conjunto de zeros devemos considerar as

inversas do mapa.

órbitas

66

Invertendo o mapa BP (equação 11.11), as pré-imagens

do ponto x 1 são dadas pela equaçãon+

'X..

V\

(ii.t)

onde

~ - +~O~'H - -~ 1l~+1

para razão de ramificação r = 2.

Portanto o módul0 das pré-imagens é dado por

'2.

1L I -V\

1 •. 2-

t - t ( ~~.I + d)\.~ I) + I ~~+I \

Cq -11' I 3,,+1 1\ [ H~-2) + 1] [ t q-2) +1- t( f - t) ( ~ " •• + ~ :+.)

Consideremos primeiramente o caso p = 2 (Ising). Ne~

se caso a equaç~o (111.9) fica

'l

')(. V\ \ =

Como neste caso o zero do par (xl = -1) tem módul0

unitário, ent~o da eq~3çdo (111.10) temos Ix21 = 1 e portanto

(iil.H)

Assim os zeros da funç~o de partição estão distribuí

dos no círculo unitário, verificando o teorema de Yang-Lee.

67

Para a determinação dos conjuntos de Julia J(R) deve-

mos considerar duas possibilidades distintas, a baixa e a alta-

temperatura:

1. Na fase de baixa temperatura (t E (o,tBP] ), o mapa BP

possui dois atratores (equações 11.14 e 11.15), e o ponto

fixo paramagnético é instável com módulo unitário. Portan

to dos teoremas (1.8) e (1.9) do capítulo I pode-se afir-

mar que o conjunto de Fatou tem duas componentes, o exte-

rior e o interior do círculo unitário que representam as

fases < t') e < ~ > (fig. IILla), e o conjunto de Julia

o círculo unitário.

,e

2. Na fase de alta temperatura (t € (tBP,l]) os pontos fixos*

x complexo conjugados são instáveis e possuem módulo+

unitário (equação II.18).*

O ponto fixo paramagnético x = 1 é o único atrator do ma

pa. O zero do par xl = -1 (uma das pré-imagens do ponto*

fixo x = 1) pertence ao conjunto de Fatou. Dessa forma,

devido à simetria de J(R) em relação ao eixo real, o con

junto de Julia está contido em dois arcos do círculo uni-

tário separados pelo ponto xl = -1. Portanto se o conjun-

to J(R) for formado por dois arcos conexos,

F(R) não é simplesmente conexo, uma vez que

o conjunto

o teorema

(1.9) garante que F(R) tem apenas uma componente neste ca

SOe Portanto o teorema (1.10) assegura que o conjunto de

Fatou tem conectividade infinita e J(R) é desconexo (fig.

III.lb).

Considerando as conclusões acima e o teorema (1.5) po

demos identificar a ligação entre o conjunto de Julia do mapa

BP para p = 2, e o conjunto de zeros da função de partição no

;'1"

,.--"

--,,-

---.;..-..---

(13.,4.)

--

..•..

"-"

"

..\.'-

68

•

(-4.,0.)

,«(" o.)

-....,,---

~(D. O.)I

fi Cl' Iii . l b

--f(1.,0.)

Fig. 111.1

69

o conjunto de Julia no semi plano Im(x1) > O pa­

ra o caso p = 2 obtido numericamente através da

órbita inversa de repulsor do mapa BP. Os dois

conjuntos foram gerados para urna árvore com 10

gerações e à temperatura (a) t = 0.01 e (b) t =

0.4. Na figura

(a) O conjunto de Julia é o círculo unitário co

nexo, e o conjunto de Fatou possui duas com

ponentes simplesmente conexas que correspon*

dem aos pontos fixos estáveis X+. Na figura

(b), o conjunto de Julia é desconexo e está

contido no círculo unitário. O conjunto de

Fatou possui uma componente com conectivid~

de infinita, dominada pelo ponto fixo para-

magnético ,único atrator do mapa.

I S_livçn f'r 8'i:!L i "rECI\ E IHFORMAÇAO _ IFQSCFfSICA

70

limite termodinâmico como:

1.A baixa temperatura, como o zero do par (xl = -1) pertence

ao conjunto de Julia, então o conjunto de zeros é denso em

J(R).

2. A condição que um ponto excepcional seja sua única pré-ima

gem mostra através da (equação II.II) que a alta temperatg

ra o mapa BP não possui pontos excepcionais. Dessa forma,

como o zero do par pertence ao conjunto F(R), então os ze

ros para redes finitas de N gerações pertencem a F(R) e no

limite termodinâmico o conjunto de zeros é idêntico ao con

junto de Julia.

Para o caso p > 2, o teorema de Yang-lee só é válido

quando t = O no limite termodinâmico, e a determinação do con-

junto de Julia não é tão simples corno no modelo de 1sing.

A iteração numérica da órbita inversa do repulsor

fornece urna imagem dos conjuntos de Julia para diferentes valê

res de parâmetro t que são mostrados nas figuras (111.2 a-d).

Considerando o comportamento dos pontos fixos (equa-

çoes 11.14-16) e os teoremas (1.8) e (1.9) podemos

que:

1. Para t = O e p~ra todo valor de p o mapa BP fica

afirmar

2)\.

'1 (lli...12)

e portanto o conjunto de Julia é o círculo unitário.

2. Na fase de baixa temperatura, t e [o,tBJ,

Julia é interior ao círculo unitário 51 e

o conjunto de

71

i•(-'/3,0. )

~~L~,.

,. ~'

.. , ..•... , '.

"

.- ..."'" . ~,. -'.,

-~.-.i

(1.10.)

.---' ----. - ----- --'-.~-

(- t,O.) (_I/~),D.)

72

........·1..

"\( I. ,o.)

-~- -~--- --...•.

..;.- -...•.•. -...,1- -•••.

,"

i!!,

(-I/~/. )

/j

i;'

..

-

-~--~

+

(O. tO. )

+-i9' ]I. 2 d.

Fig. 111.2

73

O conjunto de Julia no semi plano Im(xl) / O pa-

ra o caso p ) 2 (p = 4), com os círculos unitá­

rio e de raio (l/p_l). As figuras foram geradas

privilegiando-se determinadas pré-imagens alte-

rando assim a visitação do mapa BP com o objeti-

vo de preencher as regiões menos visitadas.

(a)*

t = 0.05. O mapa possui dois atratores X+ e

o ponto fixo paramagnético é instável.O con

junto de Julia é conexo, está compreendido

entre o círculo unitário e o deraio(l/3) e o

ponto (1,0) é comum a J(R) e ao círculo uni

tário. O conjunto de Fatou possui duas com-

ponentes simplesmente conexas.

*(b) t = tBP = 0.2. O mapa possui um atrator (X+)

e o ponto (1,0) é indiferente para os po!!.

tos pertencentes à componente do conjunto de*

Fatou dominada pelo atrator X+' o ponto

(1,0) é um repulsor, e para os pontos da

componente externa ao conjunto de Julia, o

ponto (1,0) é um atrator.

(c) t = 0.212 (tBP ~ t < tI). O mapa POSSUl um* *

repulsor (X_) entre dois atratores (X+ e*

X = 1). O conjunto de Julia é conexo e o

conjunto de Fatou possui duas

simplesmente conexas.

componentes

(d) t = 0.35. O mapa BP possui um único atrator*

(x = 1). O conjunto de Ju1ia é desconexo,e

o conjunto de Fatou possui conectividade 1~

finita.

74

po~s o ponto fixo paramagnético pertence ao conjunto de Julia

*(figura III.2a). O mapa BP possui dois atratores, x+, e por-

tanto o conjunto de Julia é conexo, e o conjunto de Fatou po~

sui duas componentes.

3. Na região de coexistência de fase na rede de Bethe,t€[tBP,t],

ponto fixo instável do mapa BP es-ternos

tá no

SIn J (R ) = 0 pois o

intervalo ]1, l/P_l[

*. Os pontos fixos x+ e xp sao

es-

táveis e portanto o conjunto de Julia continua conexo, e o

conjunto de Fatou possui duas componentes (figura III.2c).

4. Na fase de aIta temperatura, t € (t I , 1] os pontos fixos

são instáveis com módulo (l/p_l), e o ponto fixo paramagnéti­*

co é o único atrator do mapa. Como os pontos fixos x+ são com

plexos, as suas duas primeiras pré-imagens não são reais, e

consequentemente o conjunto de Fatou não é simplesmente cone-

xo, de maneira análogo ao caso p = 2 na fase de alta tempera-

tura. Portanto o teorema (1.10) garante que o conjunto F(R)

tem conectividade infinita e J(R) é desconexo (figura III.2d).

Considerando, a) os resultados acima, b) o teorema (1.

5), c) o zero do par, xl = l/l_p, pertence ao conjunto de Fatou,

d) o mapa BP não possui pontos excepcionais para t~O,podemos afir-

mar que o conjunto de zerose o conjunto de Julia são iguais no

limite termcdinâm~co, para todo valor de t.

Naspróximas seções passamos a estudar algumas proprie-

dades do conjunto de Jul~a do mapa BP que revelam o comportamen-

to crítico não universal (equação II.56) do modelo de Potts p-

estados na árvore de Cayley.

75

III.3 A medida de probabilidade do conjunto de Ju11a

A equação (III.4) que fornece a função de partição pª

, -'. A • N-I .ra a arvore de N geraçoes e um pollnomlo de grau 2 na fugacl

dade, e portanto pode ser escrita em função dos zeros corno

l ( JiI.,f3)

onde wi: )f~li são os zeros deYang-lee da função ZN'

Da equação (III.I3) a energia livre por sítio, no li-

mite termodinâmico é dada por",,-I

1-

~ (w )

~l.;\N\..

1

LLo~ ( ~ - ~i. )

(E,l4-)-- "'~ll)

,..,.,

2- \.:{

A fim de descrever a distribuição de zeros gerada pe­

la órbita inversa do ponto (l/l_p) (equação 111.6), definimos a

função

,Js

~ f'- 2Ns LJ: 1

UÃ.. 16 )

uma contagem de pon

da

degrau.gerações e S (W - ""'j ) é a função

A função GN(W) assim definida faz

onde N (equação 11.24) é o número de sítios na superfíciesárvore de N

~os sobre o conjunto de zeros associando a cada ponto do conjun

to um número no intervalo (O,lJ . Dessa forma a equação (111.15)

é urna medida da frequência com que o mapa visita cada região do

conjunto de zeros. Existindo uma função G(w) no limite N~ ~ ,

a sua derivada expressa uma densidade sobre o conjunto de zeros.

76

Considerando as equações (111.14) e (111.15), a ener-

gla livre pode ser escrita como

~"'- r Lvd ( w - w ,) cl~ (lJ')~~t.O J tJ

IV'

A existência de uma medida de probabilidade G(W) no

limite N --., rI)

,e garantida pelo fato de existir

uma medida invariante de Borel com suporte em

J(R)(33). O gráfico da função G(w) no intervalo [o,~] foi gera

do numericamente e pode ser visto nas figuras rrr.3.

Dessa forma integrando por partes a equação (rrr.16 )

ternos

dw'

11,)'

A equaçao (rrr.17) define urna função do campo na su-

perfície da árvore de Cayley, analítica a menos possivelmente no

ponto de campo nulo (w = 1), que é o ponto fixo instável do ma

pa BP no intervalo [o,tBP] para p ~ 2.

Considerando o comportamento da energia livre na v~z~

nhança do ponto fixo instável a baixa temperatura (equação rI.

52), teremos nessa vizinb.3nça

I(

9(W) -' \ 1-w\

onde K e dado pela equação (rr.56).

(JIL.18)

A equação (rrr.18) fornece urna medida r que é invari­

ante pelo mapa BP nas proximidades do repulsor do mapa a baixa

S.:.RY,ÇO DE BIBLIOTECA E INFORMAÇÃO _ IFaseFISICA

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_______~>eit

V, _

o.--

Fig. III.379

A medida de probabilidade G(w), gerada numerica­

mente através da órbita inversa do repulsor do ma

pa BP. Os dados foram obtidos para uma árvore de

12 gerações.

(a) p = 2, t = O. A distribuição das pré-imagens

é uniforme no círculo unitário. A medida de

probabil idade é G (9) = (1 •

(b) p = 2, t = 0.15 < tBP' A distribuição das

pré-imagens é não uniforme. Nas proximidades

da origem a medida de probabilidade é gover­

nada por uma lei de potência G<e)-{a}K, con-

firmada numericamente, onde K é o

crítico da energia livre do modelo.

expoente

(c) p = 2, t = tBP' O decréscimo da visitação

nas proximidades das pré-imagens do repulsor

com o aumento da temperatura revela a tendên

c~a do aparecimento de patamares na

de probabilidade.

medida

(d) p = 2, t ) tBp. O conjunto de Julia é descQ

80

nexo e a medida de probabilidade é formada

por degraus. As singularidades na medida se

relaciona diretamente com a dimensão do con-

junto J(R) (veja apêndice).

(e) p = 4 , t < tBp. A medida de probabilidade em

função do argumento (e) das pré-imagens.Obser

vamos numericamente o me5mo comportamento do

caso p = 2 na origem, G (e)- (8JK.

(f) p = 4, t < tBp. A medida de probabilidade

em função do módulo <e) das pré-imagens.

Confirmamos numericamente na origem do ei­

Kxo ('1- e) como G<e)-<l-p) , o comportame!2,

to da medida de probabilidade.

81

temperatura.

De fato, consideremos o espaço de medida (J(R) ,A, r ), onde A é

uma ú -álgebra em J(R) e r: A ~ [9,00] uma medida sobre A. A

transformação R:J ~ J preserva a medida r (f é R-invariante) ,

-1 [-1] (32)se X € A implica R (X) t: A e r R (X) = r (X) .

Uma vez que a invariança do conjunto de Julia pelo ma

pa BP está garantida, e lembrando que a baixa temperatura o con

junto J (R) é conexo, definimos a medida do intervalo [tJ 4 I W2.J

, *com l.J ~ t \J 2. € J(R), proximos ao ponto x = 1-

A partir do mapa BP expandido em torno do repulsor a

baixa temperatura (equação II.53), consideremos ~ das pré-im-ª.

gens do intervalo [w, ,w~l. Das equações (III.18) e (III.19 )

ternos

(1!L . 2.0 )

Mas da equaçao (II.56) que fornece o expoente crítico

K ternos

Corno o mapa inverso é urna aplicação 1 --> r, então a

medida (equação III.19) é a medida preservada pelo mapa BP

nas proximidades do repulsor a baixa temperatura.

Observamos que em virtude da equação (II.46), nas tem

ex-

82

peraturas onde as derivadas da energia livre em relação ao cam

po divergem, a medida r obedece a uma lei de potência com

poentes inteiros.

Para o caso p = 2(25) o teorema de Yang-lee permite

escrever os zeros como W. = exp(ie.), e] ]repulsor a equação(íII.18) se simplificaI

mo

como e.- O próximo ao]podendo ser escrita co

(![.22)

A equação (III.18) mostra que a visitação da região

próxima ao repulsor no conjunto J(R) decresce com o aumento da

temperatura uma vez que o expoente K é uma função crescente de

t e maior ou igual a um no intervalo [0,tBP1.

III.4 - As dimensões do conjunto de Julia

Nesta seçao utilizamos os resultados descritos no

apêndice para obter informações a respeito das dimensões do

conjunto de Julia do mapa BP.

Consideremos primeiramente o caso p = 2. Como foi

visto na seção III.2, na fase de baixa temperatura o conjunto

de Julia é o círculo unitário, e a alta temperatura é um

conjunto desconexo do círculo unitário.

sub-

A medida de probabilidade a t = O, G(~) = e ( figura

III ..3) mostra que o mapa preenche o círculo unitário de manei

ra uniforme. Para O < t < tBP a densidade em um

[o,e] diminui com a temperatura.

intervalo

A uniformidade na distribuição das pré-imagens a

t = O significa que o intervalo (o,TI] é subdividido pelas ite­

radas inversas do repulsor em intervalos iguais. Para t ~ O a

83

subdivisão em setores do intervalo [o,n] é desigual, e as pro-

priedades de escala desses setores são determinadas pela,

pre-

imagem (S2) do ponto xl = -1, que divide 6 intervalo [O,i] em

dois intervalos [o,e2] e [Q2,TI] . Em seguida estes intervalos

são subdivididos em outros dois intervalos que guardam a mesma

relação de proporcionalidade dos dois primeiros, e assim su-

cessivamente. Observamos que o fato de o intervalo [o,e2] ser

maior que o intervalo [e2,rr] e 92 crescer com a temperatura,

é um reflexo do decréscimo da medida de probabilidade com a

temperatura, comentado na seção anterior.

Dessa forma a dimensão de Hausdorff será

o < t < t-,~

e as restantes dimensões do espectro serão soluções da equaçao

( A .2.6 ) dada por

!(%) = (t-I) :v~

:D<1: d.i"! e.., só/!.s ~t.rt~ra.k~aJ~s (li. 24):D : d.'W! L1\ ~ cio de ~a~~dor~~o

onde as probabilidades das duas caixas (arcos) são Pl=P2=1/2.Os diferentes valores do parâmetro q fornecemo valor das

dimensões obtido numericamente, cujo gráfico é mostrado na fi-

gura III.4.

Na fõse de alta temperatura mostramos que o conjunto

J(R) é desconexo, e uma vez que J(R) é não contável teorema

1.7), então sua dimensão de Bausdorff O < DH < 1.

A partir da temperatura crítica tBP' o ffiódulodo ar­

gumento do ponto fixo instável (ei)é maior que zero e o inte~

vaIo do círculo unitário [-ei,ei1 é vazio. Uma vez que a al­

ta temperatura o ponto xl = -1 pertence ao conjunto de Fatou,

84

o. i~3 ..................................•...l 'T\ •.... ,O. ~o, .Y 2.

o.O.

Fig. 111.4 Espectro de dimensões do conjunto de Julia para o

modelo p = 2, como função da temperatura.

Na fase de baixa temperatura (O < t < 1/3) o

conjunto de Julia tem dimensão de Hausdorff D = 1o

e as demais dimensões do espectro são diferentes

refletindo dessa forma a não homogeneidade no

preenchimento do círculo unitário pelo mapa BP. A

alta temperatura todas as dimensões do espectro

são iguais o que mostra o cara ter auto-similar do

conjunto de Julia nessa fase. Par3 t ~ tBP as di­

mensoes do conjunto de Julia possuem um expoente

crítico ~D = 1/2. Cumpre notar que no cálculo ny

mérico das dimensões Dq(q ~ O) para t ~< tBP notª

mos que a derivada Dq'~ O quando t ~ tBP'

85

então as propriedades de escala do conjunto de Julia são deter-

minadas por dois arcos de tamanhos iguais a (IT -leil ~dentro

da precisãonumérica dos nossos cálculos,onde o conjunto J(R) fica confinadc.

Portanto as dimensões são soluções da equaçao ( veja

apêndice

2.. = 1

Q '[ ~ ~ G\ ~or de Flor",! Q LJa ç ciodas C~xo.5 (~"'LO~).

7; ( ~) ': (~- t) 1)~

]c.} : d-Lrflet'lsõà.s ~t~(:("a.L·âad~s

(1[.25)

A equaçao (111.25) mostra que todas dimensões do es-

- .. (34)pector sao 19uals a

:. ~.... -

onde o valor de e. pode ser obtido diretamente das equações (11.114,15); U e V são as dimensões de informação e correlação.

A expressão (111.26) mostra que o conjunto de Julia é

um conjunto tipo Cantor e um fractal auto-similar.

Da equação (111.26), expandindo em torno da temperatu

ra tBP ternos

~ d g. \J) (t) "-' 1 - t. ( t - t~?) (~.2t)

li: lo~2 d -t

t 1: t ~í>

Após o cálculo da derivada na equação (111.27) obtemos

1 - ](t) r..J ( Ii.1.B)

r S~RY'CrJ DE B'GLié-T'ÊCAE'-li~'FÔR'MÃÇ)'O - IFQSC- ~t FfSICA

86

Portanto o comportamento singular das dimensões do

conjunto de Julia em tBP é caracterizado pelo expoente rD =1/2.

A não validade do te0rema de Yang-Lee para p > 2 faz

com que o cálculo das dimensões não seja tão simples como no mo

delo de Ising.

o cálculo numérico da capacidade que acredita-se seja

. '. - (18,35 36) . ( )19ual a dlmensao de Hausdorff " do conJunto J R no ca

so p > 2, se mostrou impraticável dentro de uma precisão míni-

ma aceitável, devido a limitações computacionais.

No entanto o fato de que a medida de probabilidade,e

caracterizada por uma lei de potência nas proximidades do repu1.

sor a baixa temperatura (equação rrr.18), mostra que nessa re-

gião a dimensão de Hausdorff de J(R) é DH = 1, (veja apêndice).

De fato, a figura (rrr.5) mostra um detalhe do conjun

to de Julia a baixa temperatura para p > 2 próximo ao repul-

sor, que sugere um comportamento linear do conjunto J(R).

o ajuste desses pontos para vários valores de t por

uma reta se mostrou excelente com um desvio da ordem de 0,01%

para o seu coeficiente angular.

Esse fato sugeriu um estudo numérico da inclinação do

conjunto de Julia em relação ao eixo real no caso p > 2, na fa-

se de baixa temperatura quando o conjunto é conexo.

111.5 - A inclinação do conjunto de Julia

Para a determinação da inclinação de J(R), ,e necessa-

rio um cuidado especial devido à não homogeneidade e ao decrés-

cimo da visitação com a temperatura na região em torno do repu1.

sor do mapa.

Para evitar esse problema é necessário, durante o cá~

culo das pré-imagens, previlegiar determinadas raízes para que

87

o

o

o

o

o-

O.I~2. o. .00 ~t (---.)-L-~.49 ()..->.. ( _li)fi".1!L.5 • \0

Fig. 111.5 Detalhe do conjunto de Julia para p = 3 na fase

de baixa temperatura (t < tBP) em uma vizinhança-13 ' *

Im(X1)- 10 proxima ao repulsor do mapa (X =1).

o ajuste dos pontos por uma reta se mostrou bas­

tante satisfatório.

88

o mapa visite com uma maior frequência as proximidades do repul

*sor x = 1.

Dessa forma selecionamos pontos de J(R) p~óximos ao

-13 'repulsor de tal forma que Im(xl)-lO . Um exemplo e mostrado na

figura (III.5).

Assim a inclinação (j+~~I) foi obtida para vários vaIo

res da temperatura para o caso p = 3 (figura I11.6).

A t = O a inclinação evidentemente é l~fl: ro . Com

o aumento da temperatura a inclinação diminui até chegar a zero

*na temperatura tBp. Nessa temperatura os pontos fixos x e o pa

ramagnético coincidem e são indiferentes. Aqui a componente do

conjunto de Fatou externa ao conjunto de Julia forma a chamada

pétala(29), (figura rrr.~.Na região de coexistência de fase na rede de Bethe a

inclinação aumenta, atinge o valor I,il =00 e volta a dimi­*nuir até l~il:O na temperatura t = ti quando os pontos fixos x+

coincidem e são indiferentes .. Nessa temperatura a componente do

conjunto de Fatou interna ao conjunto de Julia se torna uma pé-

tala (figura rrr. 7b) •

Próximo à temperatura tBP o ajuste dos valores da in

clinação por uma lei de potênci~ fornecem o comportamento críti

co da inclinação como

I t - t~p

0.118

t - t ~1> \

Cumpre observar que o ajuste se mostrou muito melhor

para t f tBP que para t >,.., tBP .

Embora a inclinação parece ser um parâmetro relevante

na descrição do comportamento crítico do modelo para p ) 2,não

1.04 t \"+; ~\i

:I-

O

I IOi

! O

I

~

O

\

O

oo

•

89

o.0.22

oO

O

OO •

+l

taP

oo

••Itt'

Fig. 111.6 o módulo da inclinação do conjunto de Julia em re

lação ao eixo real do plano da fugacidade comple-

xa para o caso p = 3. Na temperatura critica· tBP

a inclinação tende a zero com o expoente "1 = 1

quando t ,$ tBP e com o expoente 7 ~ O .118 quan-

do t /,; tBP'

90

\

c.~i"c.u.lo '.uf\;Mrlo~'

\I\

\,I

J

IIII

I)

I

Fig. 111.7 (a) A t = tBP a inclinação do conjunto de Julia, * ,

para p > 2 e nula e o ponto fixo X = 1 e

indiferente. A componente do conjunto de

Fatou externa ao conjunto de Julia forma a

chamada pétala (parte hachureada da figura).

(b) A t = tI o ponto fixo (l/p_l) é atrator pa-

,ra os pontos pertencentes a componente do

conjunto de Fatou interior ao conjunto de

Julia e repulsor para os pontos da componen

te externa ao conjunto de Julia. A componeg

te interna ao conjunto de Julia forma a pé-

tala.

91

92

consegulmos identificar nenhuma analogia termodinâmica satisfa

tória para o parâmetro.

III.6 - comentários finais

o modelo de

, .comportamento cr1t1co

Potts p-estados ferromagnético possui um

. (24)na rede de Bethe caracterizado pelas

propriedades do atrator do mapa do grupo de renormalização. O

caso p = 2 (Ising) apresenta uma transição de 2ª ordem, enquan-

to o caso p ) 2 apresenta uma transição de lª ordem, onde o dia

grama de fase apresenta uma região de coexistência de fase com

os pontos fixos ferromagnético e paramagnético estáveis.

No entanto o comportamento crítico do modelo na árvo-

re de Cayley é bastante distinto.

Mostramos que para todos os valores de p o modelo po~

sui uma transição que foi classificada como transição de fase

de ordem contínua por Müller-Hartmann e Zittartz para o caso

2(25) ~ f d b .. I' .P = . ~a ase e a1xa temperatura a energ1a 1vre POSSU1

uma não analiticidade de ordem j no campo magnético, de j = 1 à

temperatura zero até j =~ na temperatura de Bethe-Peierls (tem

peratura crítica do modelo na rede de Bethe).

Observando o caráter hierárquico da árvore de Cayley

fechada assimétrica, a implementação do grupo de renormalização

no espaço real fornece uma transformação para o campo magnético

efetivo na superfície da árvore.

Mostramos que o mapa do grupo de renormalização de-

termina os zeros de Yang-Lee da função de partição de forma re-

cursiva através da órbita inversa do zero da rede completamente

renormalizada.

Tratando o mapa do GR como um mapeamento na esféra de

Riemann, utilizamos os resultados da teoria de Julia e

s .• v ÇO DEBIBl..IGTECA É li'nORMAçAO _ IFQ~.'· rFlSICA

93

(22 29 30) - .Fatou ' , , mostrando a relaçao entre o conJunto de ze-

ros de Yang-lee e o conjunto de Julia do mapa do GR (mapa de

Bethe-Peierls) .

No caso p = 2 o teorema de Yang-lee se verifica e e~

tá associado à propriedade de invariância do conjunto de Julia

pelo mapa BP. A baixa temperatura o conjunto de zeros é denso

no conjunto de Julia e a alta temperatura os dois conjuntos

sao iguais. As fases ferromagnética e paramagnética do modelo

sao caracterizadas pela conectividade e desconectividade do

conjunto de Julia respectivamente.

No caso p ) 2 o teorema de Yang-lee nao se verifica.

A baixa temperatura o conjunto de Julia é conexo e POSSU1 um

, . , .. - . """"

ponto em comum com o c1rculo un1tar10. Na reg1ao de coex1sten-

cia de fase na rede de Bethe o conjunto de Julia permanece co-

. - , . '.' .nexo mas sua 1ntersecçao com o c1rculo un1tar10 e vaZ1a, e a

alta temperatura o conjunto é desconexo. Aqui o conjunto de z~

ros e o de Julia são iguais para todos os valores da temperatu

ra.

Mostramos que a medida de probabilidade do conjunto

de Julia possui um comportamento crítico análogo ao da energia

livre do sistema, sendo a grandeza associada ao conjunto de

Julia que reflete o comportamento não universal do modelo. De-

vido à lei de potência que regula o comportamento crítico da

medida de probabilidade a baixa temperatura, concluímos que Pª

ra p ) 2 a dimensão de Hausdorff do conjunto de Julia é unitª

ria nas proximidades do repulsor do mapa.

Mostramos ainda que a dimen~ão Je Hausdorff do con-

junto de Julia pode ser determinada no caso p = 2.

Na fase ferromagnética o conjunto de Julia tem dimensão unitá-

ria e na fase paramagnética do modelo o conjunto é um fractal

auto-similar e sua dimensão possui um comportamento crítico c~

L:.. :J

94

jo expoente é ~D = 1/2.

o fato de o conjunto de Julia não ser um fractal nas

proximidades do repulsor a baixa temperatura sugere que a incli

nação do conjunto de Julia em relação ao eixo real no plano da

fugacidade complexa seja um parâmetro geométrico relevante para

o caso p > 2.

Através de um estudo numérico verificamos que o con-

junto de Julia nessa região do plano complexo se comporta como

uma reta, cuja inclinaçãopara p=3 possui um comportamentocritico domi-

nado pelos expoentes l'l = 1 para t -6 tBP e 7 ~ 0.118 para t ~ tBp·

Esses fatos fornecem uma descrição geométrica do com-

portamento crítico do modelo de Potts p-estados na árvore de

Cayley. Aqui a teoria de Julia e Fatou desempenha o papel de

ponte entre a teoria do grupo de renormalização e a teoria de

Yang-lee.

Com este trabalho identificamos várias questões que

deixamos em aberto para investigações futuras, algumas das

quais já vem merecendo a nossa atenção presentemente.

Embora tenhamos determinado numericamente o comporta-

mento da inclinação do conjunto de Julia com a temperatura no

> 2, não identificamos o seu análogo termodinâmico.Exi~caso

tem

p

. (17) -'. dconJecturas de que esse parametro esta relaClona o,a

amplitude crítica da energia livre.

No entanto, não existem até hoje evidências que

tentem essa coajectura.

,sus-

A determinação da dimensão de Hausdorff do conjunto de

Julia para o caso p '­, 2 através de outros métodos que não o de

contagem de caixas (que apresenta obstáculos computacionais,

so

superáveis com máquinas velozes), deve revelar propriedades geo

métricas importantes que se relacionam com o comportamento crí-

tico do modelo como mostramos neste trabalho para o caso p = 2.

95

o fato de o conjunto de Julia para p = 2 ser descone-

xo somente na fase onde o ponto fixo paramagnético é, .

o un~co

atrator do mapa ~ostra que a temperatura crítica é a fronteira

do conjunto de Mandelbrot no eixo real do plano da temperatura

, . ~ . -complexa. Isso sugere a posslvel eXlstencla de urna relaçao en-

tre a fronteira do conjunto de Mandelbrot e o conjunto de zeros

da temperatura da função de partição.

A ramificação da árvore de Cayley não altera os expo-

entes críticos do modelo. Esse fato sugere um possível comporta

mento crítico universal dos mapas em relação ao seu grau e a

universalidade do conjunto de Mandelbrot desses mapas em sua

fronteira no eixo real.

o caso p = I merece especial interesse. Nesse caso o

mapa do GR se torna polinomial de grau r. Dessa forma quando

r = 2 o mapa é quadrático e está conjugado analiticamente ao ma

'.' - ...pa 10glStlCO atraves de urna transformaçao de MoblUS que relaclo

na os parâmetros dos dois mapas. Quando o acoplamento na rede

de Bethe é ferromagnético o atrator do mapa fornece o resultado

de campo médio do problema de percolação. No entanto, no caso

do acoplamento antiferromagnético o atrator exibe a rota de bi-

furcação para os caos.

A existência de uma fase caótica no modelo p = I colo

ca a questão de qual o valor do parâmetro p para o qual o mapa

do GR possui um atrator estranho.

Sem dúvida, todas essas questões merecem um estudo de

talhado que pretendemos desenvolver futuramente.

96

APÊNDICE

Dimensões Generalizadas de Fractais e Atratores Estranhos

Apresentamos aqui um resumo do procedimento desenvol

vido inicialmente por P. Grassberger, I. Procaccia e H. G.

h 1(36,38) I' d' 1Hentsc e , amp ~a o poster~ormente por T. C. Ha sey et.

(37), ,-,aI , atraves do qual a caracter~zaçao dos conJuntos chama-

dos "estranhos" é feita através do estudo das

nas medidas desses conjuntos.

singularidades

Esse procedimento fornece uma maneira para se calcu-

lar a dimensão desses conjuntos, se conhecidas as propriedades

de escala dos conjuntos, tornando-se uma alternativa ao método

de contagem de caixas.

Muitos são os exemplos de objetos fractais e conjun-

tos estranhos que a física não-linear apresenta. Os atratores

estranhos de sistemas dinâmicos caóticos, as configurações de

spins de Ising em pontos críticos, os aglomerados de percola-

çao, as regiões de alta vorticidade em sistemas com turbulên-

c~a, sao alguns exemplos.

Em todos os casos o interesse reside em caracteri-

zar o objeto, e determinar com que freqüência as suas diferen-

tes regiões são visitadas, isto é, localizar e caracterizar um

evento deste objeto.

De maneira genérica os eventos podem ser descritos

dividindo-se o objeto em pedaços indexados por i = 1, . . ., N .

O tamanho do i-ésimo pedaço é li e o evento desse pedaço é de~

crito por um número M,. No contexto dos fenômenos críticos~M.

J.

pode ser a magnetização de uma região de um magneto indexada

por i. Dessa forma se a região i tem um tamanho! , a sua magn~

tização assume um valor da ordem de

97

onde Y é um dos expoentes críticos.

Se imaginarmos que os magnetos elementares do siste-

ma preenchem todo o espaço, então sua densidade será

(A.'l)

onde d é a dimensão Euclideana do espaço onde o sistema está

definido. Pode-se definir uma seqüência de expoentes Yq que r~

guIam o comportamento de (Mi)q com o tamanhot.

De maneira geral o número M. tem o significado de1uma probabilidade de ocorrência de um evento na i-ésima parte

de um objeto. No caso de um sistema dinâmico dispomos de uma

trajetória {x.l gerada pelo sistema em um espaço de fa­1Ji=I,N

se d-dimensional. Pode-se perguntar, por exemplo, quantas ve-

zes N.~trajetória visita a i-ésima região do objeto. Quando o1tamanho da trajetória N-lX)

,o numero

(A.3)

define tipicamente uma medida de probabilidade. Quando a se­

quência 1 xit. é um atrator de um sistema dinâmico a exis­I J1=IN

tência do limite (A.3) está garantida pelo teorema de

. kh ff(32), .Blr o e o numero p. gera urna medlda1atrator

com suporte no

(A.4)

,Os objetos observados em problemas nao lineares po~

98

suem visitações que variam ao longo do objeto e esse fato faz

,com que o seu posslvel comportamento de escala tenha uma rl-

queza especial. Dessa forma o número p. terá um conjunto de1expoentes de escala~ correspondendo a diferentes regiões da

medida que caracterizam o seu comportamento, e teremos

( A.S)

Motivados pela relação (A.2), com o sistema dividi-

do em pedaços de tamanho J ' o número de vezes que o( assume va

lores entre,

o( eI ,

D( +d D( terá a forma

(A.b)

onde f(~I) é uma função contínua. A diferença entre as expre~

soes (A.2) e (A.6) é que agora não temos mais a dimensão d do

espaço que é ocupado pelos eventos nas sim uma dimensão frac-I

tal f(~ ). Em outras palavras a medida possui singularidades

de intensidade ~ caracterizadas por suas dimensões f(~).

A determinação de f(~) depende de se estabelecer urna

relação entre a função f(~) e propriedades observáveis da me-

dida.

Consideremos um conjunto de dimensões definido cQ

mo(38)

'j) :::

0.J_~n_.lo~~(~)

~f..-) O I 1- ~Lo~ t

ondex.l~) :

[~?i~

(A. f)

99

Com a definição (A.7) D é a dimensão fractal do su­o

porte da medida, DI = (j é a dimensão de informação e Dz =y é a

. - - (36)d1mensao de correlaça0 .

Substituindo (A.S) e (A.6) em (A.8)'temos

•

Desde que e (~ ) F o, urna vez que ~ é muito pequeno

o valor da integral em (A.9) é dominado pelo valor de ~' que

minimiza o expoenteI ,

(q~ -f(~ ». Assim teremos um valor o( (q)

determinado pela condição

': O (A.IV)

f[~i-'(1)1\. )0o( -:. q'(~)

que fornece

Portanto das equaçoes (A.7) e (A.9) temos

A equação (A.12) fornece ainda a relação

(A.I1.)

( A .13)

(A ./4)

o( ( ~) =

100

(A./S)

Portanto sabendo-se f(~) e o espectro o< (q), determi-

na-se da equação (A.14) as dimensões D . Ou ainda, dado D de-q q

terminá-se da equação (A.15) o espectro ~(q), e a função f (~)

é obtida da equação (A.14).

No entanto, pode-se definir as dimensões Dq de manei

ra mais geral. Seja S um conjunto definido em um espaço Eucli­

deano d-dimensional, e lSiJ. urna partição disjunta de S e\ \~=l,N

Pi a medida de probabilidade da partição. Suponhamos urna cober

tura com bolas de raio j. i de tal forma que ~ i ( J. . Assim defi­

nimos urna função de partição sobre o conjunto S corno

~

r ( t't I ~s, L J.) ~ I"':I

(A.IC,)

No limite N grande, para se determinar a relação en-

tre os índices ~ e q que mantém a função de partição (A.16)da,

ordem da unidade, consideremos duas regiões dos índices :

região A

região B

q ~ 1

q " 1

Nessas duas regiões, ajustamos a partição {Sif de

tal forma a maximizar a função de partição (A.16) na região A

e minimizar (A.16) na região B. Assim definimos

r (~ I ~ I l) ': S1A? r (~I~, t 5 i r , 1.)

r ( ~11:, 1.) ~ 1"'-~r (~,~, 1S d ' J.)

A

101

o supremo de (A,16) existe se a probabilidade Pi for

limitada por ti' isto é, se existirem constantes a > O e ~ > Oo

para toda partição \Sit de S,

(A.rt)

Ou seja, na região A teremos

L ~ I L ~ I

(A .lt)

Como nessa região q >, 1 e ~ ~ O então

~o (~ •• l) > rc. (A.19)

para que a função de partição exista e seja menor que infini-

to.

Tornando o limite ~~ O, definimos

r(1,'t) o L;", (r(~,'t,.Q.)]9. -)0

A função (A.20) é monótona não decrescente de ~ e

nao crescente de q. Assim pode-se afirmar que existe urna fun-

çao ~ (q) de tal forma que

Dessa forma definimos a dimensão generalizada Dq co-

102

mo

( A.ll)

de tal forma que Do coincida com a dimensão de Hausdorff (veja

equaçoes A.16 e A.7).

A seguir consideramos alguns exemplos corno aplicação

do formalismo,

Exemplo 1: Conjuntos de Cantor

Consideremos o conjunto de Cantor tradicional cons­

truído a partir do intervalo unitário. Substitui-se o interva­

lo por dois segmentos de tamanho 1 = 1/3, [0,1/3] e [2/3,1].

Cada intervalo recebe a medida p = 1/2. Esse processo é repeti

da

­.2.

do sucessivamente, e portanto para essa medida devemos ter

equação A.16.

Portanto

e conseqüentemente da equação (A.21)

(A.24)

que mostra que o conjunto é auto-similar.

Podemos generalizar a construção tornando os dois ~n-

tamanho

103

tervalos com comprimentos t 1 e t 2 com medidas Pl e P2'Dessa

forma da equação A.16 temos

~~

tt~(

(A. 1S)-t

•..-

~tt /..'t

~

t

que com o auxílio da equação (A.2l) permite determinar as di

mensoes Dq' Aqui as dimensões são distintas e a medida é nao

homogênea ao longo do conjunto.

No capítulo 111 mostramos que o conjunto de Julia do

mapa BP para o modelo de Ising na fase paramagnética é um con

junto desconexo contido em dois arcos do círculo unitário de

(SLli] <Bi é o argumento do repulsor a alta tempe­

ratura). Aqui o tamanho das duas caixas varia com a temperaty

ra e a medida associada às caixas é Pi = 1/2 uma vez que o mª

pa inverso é 1 ~ 2 para ramificação 2.

Exemplo 2: Intervalo com densidade não homogênea

Consideremos o preenchimento do intervalo unitário.

Observando um comportamento de escala no preenchimento, someQ

te no caso em que os sub-intervalos e suas medidas forem homo

gêneos é que teremos todas as dimensões Dq = 1. De maneira ge

ral então para scaling de dois intervalos teremos

(A.1..b)

Esse é o caso do conjunto de Julia do mapa BP do mQ

delo de Ising a baixa temperatura. O conjunto é o círculo un~

104

tário mas a densidade de pontos não é homogênea. A sua dimensão

de Hausdorff é unitária mas as demais dimensões do espectro sao

diferen~es de um.

Exemplo 3: Medida com lei de potência

Consideremos uma medida p(x) = ~~ , com ~ ê (O ,1J .

Subdividimos o intervalo em N segmentos [Xi' xi+4xJcom

Âx = l/N0 A medida de probabilidade total sobre todos os inte~

valos pode ser aproximada por P (xi )6.••( exceto para o

com o ponto zero quando O < ~ < 1), onde f (xi) é a

de probabilidade.

intervalo

densidade

(Ax )0(

o intervalo com o ponto zero tem probabilidade

A equaçao (A.16) será então

fo =

[-o{-t ~

~(-t.J (A~)

(à ~)~

(A.2-l)

A -1 -Observando que a soma possui (~x) termos, entao

Portanto, para que a função de partição nao seja zero

nem infinito, devemos ter da equação (A.21)

Conseqüentemente as dimensões serão Dq = O ou Dq = 1.

No capítulo 111 mostramos que a medida de probabi1id~

de do conjunto de Ju1ia do mapa BP para o caso p) 2 nas proximi

105

dades do repulsor a baixa temperatura apresenta um comportamen

to de potência. Corno nesse caso mostramos que o conjunto de

Julia é conexo, então a sua dimensão é Dq = 1 nessa região.

Esse formalismo pode ser aplicado a vários outros cª

sos corno o atrator de Feigenbaum e a transformação de Baker

1 d . f '. (37, 38) O ..com resu ta os sat1s ator10S . ponto pr1nc1pal para a

implementação deste formalismo é identificar a lei de escala

que obedece o conjunto no seu processo de construção determinan

do assim o tamanho das caixas J. i e suas respectivas probabili

dades associadas.

SâV'ÇO DE BiBLlCTECA E H~FORMAÇÃO - IFaseFISICA

106

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