MEDIDAS DE HAUSDORFF E O TEOREMA

DE MORSE-SARD

Alexandre Miranda Alves

Orientador: Carlos Augusto Arteaga Mena

Departamento de Matematica-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais

Belo Horizonte - Marco de 2004

ii

Agradecimentos

Finalizar uma monografia de final de curso, neste caso mestrado emmatematica, e muito gratificante. A princıpio o trabalho e individual, maspara o exito do mesmo muitos contribuıram direta ou indiretamente, assimquero deixar registrado alguns agradecimentos, mesmo correndo o risco deomitir uma ou outra pessoa. Em primeiro lugar agradeco a Deus, criador esoberano de todo universo, o qual tem me sustentado e guiado em todos osmomentos. Agradeco ao professor Carlos A. A. Mena, meu orientador, pelapaciencia e apoio, com os quais foi possıvel terminar este trabalho. Tambemfoi de grande importancia o apoio e dedicacao de minha esposa Viviane, etambem de meus familiares, pais, irmaos e os pais de minha esposa, espe-cialmente minha mae pelo incentivo constante. Aos meus colegas e amigosdo curso, agradeco o apoio e a paciencia, que em muitos momentos foramde grande importancia. Tambem a varios professores do departamento dematematica, como Sarmiento e Ana Cristina dentre outros, agradeco o apoioe incentivo durante o curso. Nao poderia omitir os funcionarios da secre-taria, em especial a Sandra, que sempre foram atentos e prestativos durantetodo o curso.

iii

iv

Sumario

Agradecimentos iii

Introducao vii

1 Medida e dimensao de Hausdorff 11.1 Definicoes e alguns resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Medida e Dimensao de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Propriedades da Dimensao de Hausdorff . . . . . . . . 91.2.2 Relacao entre as Medidas de Hausdorff e de Lebesgue 10

1.3 exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Teorema classico de Morse-Sard 152.1 O caso n < m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 O caso n = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 O caso n > m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 O Teorema de Morse-Sard envolvendo medidas de Haus-dorff 273.1 Apresentacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 O resultado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

A 49

B 51

v

vi

Introducao

Nesta monografia descrevemos os resultados do artigo “Hausdorff Mea-sure and the Morse-Sard Theorem” de Carlos Gustavo T. A. Moreira [7].O teorema de Morse-Sard e um resultado classico em analise, importanteespecialmente na teoria da transversalidade e tambem em topologia diferen-cial. O teorema de Morse-Sard afirma que a imagem do conjunto dos pontoscrıticos de uma funcao F : IRn −→ IRm de classe Cn−m+1 tem medida deLebesgue zero em IRm. Este resultado foi provado por Morse no caso emque m = 1 e por Sard no caso geral.

Devido a sua importancia teorica, o teorema de Morse-Sard foi general-izado em varias direcoes. Varias destas generalizacoes sao relacionadas commedidas e dimensao de Hausdorff. O resultado de [7] fornece um refina-mento do teorema de Morse-Sard envolvendo medida de Hausdorff no lugarda medida de Lebesgue.

A prova do teorema classico de Morse-Sard baseia-se numa decomposicaoestrategica do conjunto dos pontos crıticos em subconjuntos cujas intersecoescom os hiperplanos de IRn possuem medida de Lebesgue nula. Isto permiteaplicar o teorema de Fubini e concluir que esses subconjuntos possuem me-dida de Lebesgue nula. No teorema 3.4 de [7] essa estrategia nao funcionapois em geral as medidas de Hausdorff nao coincidem com a medida deLebesgue e nem sao medidas produto, e portanto nao podemos aplicar oteorema de Fubini. Esta dificuldade e resolvida substituindo a aplicacaodo teorema de Fubini por uma decomposicao estrategica do conjunto dospontos crıticos.

No capıtulo 1, fazemos um breve relato da teoria da medida, onde defini-mos a medida e dimensao de Hausdorff e apresentamos algumas propriedadesque serao importantes no decorrer do texto. Um resultado importante ap-resentado neste capıtulo e uma relacao entre a medida de Hausdorff e amedida de Lebesgue em conjuntos de diemnsao inteira, e mostramos atravesde um exemplo que a medida de Hausdorff e mais fina do que a medidade Lebesgue, ou seja, calculamos a medida Hausdorff em conjuntos onde amedida de Lebesgue e nula, mas a medida de Hausdorff nao. Damos outrosexemplos onde calculamos a dimensao e tambem a medida de Hausdorff. Ocapıtulo 2 e dedicado a prova do teorema classico de Morse-Sard. No capıtulo3 provamos o resultado principal da monografia, o teorema de Morse-sard

vii

envolvendo medida de Hausdorff. Alguns resultados usados no decorrer dotexto, que sao bem conhecidos na matematica, sao enunciados no apendice,onde tambem apresentamos algumas demonstracoes muito extensas de al-guns resultados relacionadas com o exemplo 2 do capıtulo 1.

viii

Capıtulo 1

Medida e dimensao de

Hausdorff

1.1 Definicoes e alguns resultados

Nesta secao apresentamos um breve relato da teoria da medida que serausado ao longo do texto. Para mais detalhes consultar [3] ou [8].

Definicao 1.1 Seja X um conjunto qualquer. Uma colecao A de subcon-juntos de X e chamada uma algebra de conjuntos se:

(i) A ∪B ∈ A sempre que A,B ∈ A;

(ii) Ac ∈ A sempre que A ∈ A;Segue de (i) e (ii) que A ∩B ∈ A sempre que A,B ∈ A.

Definicao 1.2 Uma algebra A de conjuntos e chamada uma σ-algebra setoda uniao enumeravel de conjuntos de A esta em A, isto e, se a sequencia{Ai}i∈N e tal que, se Ai ∈ A, ∀ i, entao

⋃iAi ∈ A. Segue da definicao 1.1

item (ii) que se Ai ∈ A, ∀ i, entao⋂

iAi ∈ A.

Proposicao 1.1 Dada uma colecao C de subconjuntos de X, existe umamenor σ-algebra que contem C, isto e, existe uma σ-algebra A contendo C

tal que, se B e qualquer σ-algebra contendo C entao A ⊂ B.

Demonstracao: Suponha F a famılia de todas as σ-algebras de subconjuntosde X que contem C. Coloque A =

⋂{B; B ∈ F}, desta forma C ⊂ A jaque cada B contem C. Vamos verificar agora que A e uma σ-algebra. Se{Ai}i∈N ⊂ A ⇒ {Ai} ⊂ B para cada B ∈ F ⇒ ⋃

Ai ∈ B para cada B ∈ F ⇒⋃Ai ∈ A. Se A ∈ A ⇒ A ∈ B, ∀ B ∈ F ⇒ Ac ∈ B ∀ B ∈ F ⇒ Ac ∈ A.

Portanto, A e uma σ-algebra e por definicao e a menor σ-algebra contendoC.

1

Definicao 1.3 O limite superior e o limite inferior de uma sequencia deconjuntos {Ej}j∈N sao definidos como:

lim infj→∞

Ej =∞⋃

j=1

∞⋂

k=j

Ek

lim supj→∞

Ej =∞⋂

j=1

∞⋃

k=j

Ek.

Observe que lim supj→∞

Ej consiste dos pontos que estao numa quantidade in-

finita dos Ej e o lim infj→∞

Ej consiste dos pontos que nao pertencem apenas a

uma quantidade finita dos Ej.

Definicao 1.4 Uma medida m e uma funcao definida sobre uma σ-algebraA de subconjuntos de X e tomando valores em [0,+∞] tal que:

(i) m(∅) = 0;

(ii) m(∞⋃

j=1

Ej) =∞∑

j=1

m(Ej) para toda sequencia de conjuntos {Ej}j∈N em

A dois a dois disjuntos.

Observacao 1.1 Segue da definicao 1.4 que m e uma funcao nao decres-cente, ou seja, se E ⊂ E ′, E,E′ ∈ A, entao m(E) ≤ m(E ′).

Observacao 1.2 Por convencao estendemos o sistema de numeros reaisadicionando os elementos +∞ e −∞. Esse conjunto aumentado e chamadoreta real estendida. A relacao de ordem tambem e estendida postulando que−∞ < x < +∞ para todo x ∈ IR. Em relacao as operacoes de soma eproduto definimos:

• x+ ∞ = +∞, x−∞ = −∞

• x(+∞) = +∞ e x(−∞) = −∞ se x > 0, x(+∞) = −∞ ex(−∞) = +∞ se x > 0

• ∞ + ∞ = +∞, −∞−∞ = −∞, ∞(±∞) = ±∞, 0.∞ = 0A operacao ∞−∞ fica indefinida.

Teorema 1.1 Se m e uma medida sobre uma σ-algebra A de subconjuntosde X, entao:(a) Se E1 ⊂ E2 ⊂ . . . e uma sequencia crescente em A, entao

m

(lim

j→∞(Ej)

)= lim

j→∞m(Ej)

2

(b) Se F1 ⊃ F2 ⊃ . . . e uma sequencia decrescente em A e m(F1) < ∞,entao

m

(lim

j→∞(Fj)

)= lim

j→∞m(Fj)

(c) Para qualquer sequencia de conjuntos {Fj}j∈N em A temos que

m

(lim infj→∞

(Fj))≤ lim inf

j→∞m(Fj)

Demonstracao:(a) Podemos escrever

⋃∞j=1Ej = E1 ∪ (E2 \ E1) ∪ (E3 \ E2) . . .,

dessa igualdade obtemos que m

(lim

j→∞(Ej)

)= m

(∪j (Ej)

)= m(E1) +

∞∑

j=2

m(Ej \ Ej−1) = limj→∞

(m(E1) +

j∑

i=2

m(Ei \ Ei−1))

=

limj→∞

(m(E1 ∪ (∪j

i=2(Ei \ Ei−1)))) = limj→∞

m(Ej)

(b) Coloque Ej = F1 \ Fj , j ≥ 2, assim E1 ⊂ E2 ⊂ . . ., como em(a), por outro lado, m

(lim

j→∞(Fj)

)= m

(∩∞

j=1 Fj

)= m

(F1 \ ∪∞

j=1Ej

)=

m(F1) − m(∪jEj) = m(F1) − limj→∞

m(Ej) = limj→∞

(m(F1) − m(Ej)) =

limj→∞

(m(F1 \ Ej)) = limj→∞

m(Fj)

(c) Coloque Ek = ∩∞j=kFj , assim E1 ⊂ E2 ⊂ . . . . Por (a) temos que

m(lim infj→∞

Fj) = m(∪∞j=1 ∩∞

k=j Ej) = m(∪∞j=1Ej) = lim

j→∞m(Ej) =

limj→∞

m(∩∞k=jFj) ≤ lim inf

j→∞m(Fj)

Definicao 1.5 Uma medida exterior m∗ sobre um conjunto X e uma funcao

definida sobre todos os subconjuntos de X tomando valores em [0,+∞]tal que:

(i) m∗(∅) = 0

(ii) m∗(A) ≤ m

∗(B) se A ⊂ B

(iii) m∗(∪∞

i=1Ai) ≤∞∑

i=1

m∗(Ai) para quaisquer conjuntos Aj de X.

Definicao 1.6 Um subconjunto E ⊂ X e chamado m∗-mensuravel (ou men-

suravel com respeito a medida exterior m∗) se ele decompoe todo subconjunto

de X aditivamente, isto e,

m∗(A) = m

∗(A ∩ E) + m∗(A \ E) ∀ A ⊂ X (1)

3

Observacao 1.3 Note que para mostrar que um conjunto E e m∗-mensuravel

basta mostrar que m∗(A) ≥ m

∗(A ∩ E) + m∗(A \ E) ∀ A ⊂ X. Claramente

X e ∅ sao mensuraveis. Tambem e de facil verificacao que se m∗(E) = 0

entao E e m∗-mensuravel.

Teorema 1.2 Seja m∗ uma medida exterior. A colecao A de conjuntos

m∗-mensuraveis forma uma σ-algebra , e m

∗ |A e uma medida.

Demonstracao: Claramente ∅ ∈ A, logo A e nao vazio. E facil ver queA ∈ A ⇔ Ac ∈ A (isto devido a (1)), portanto A e fechado em relacao atomar o complementar. Falta mostrar que A e fechado em relacao a uniaoenumeravel.Suponha {Ei}i∈N uma sequencia de conjuntos tal que Ei ∈ A ∀ i e sejaA ⊂ X. Assim temos que

m∗(A) = m

∗(A ∩ E1) + m∗(A ∩ Ec

1)

= m∗(A ∩ E1) + m

∗((A ∩ Ec1) ∩ E2) + m

∗((A ∩ Ec1) ∩ Ec

2)

...

=( k∑

j=1

m∗((A ∩ (∪j−1

i=1Eci ) ∩ Ej)

)+ m

∗(A ∩ (∩kj=1E

cj )) ∀ k

⇒ m∗(A) ≥

( k∑

j=1

m∗((A ∩ (∪j−1

i=1Eci ) ∩ Ej)

)+ m

∗(A ∩ (∩∞j=1E

cj ))

⇒ m∗(A) ≥

( ∞∑

j=1

m∗((A ∩ (∪j−1

i=1Eci ) ∩ Ej)

)+ m

∗(A ∩ (∩∞j=1E

cj )) (2)

por outro lado, A∩ (∪∞j=1Ej) = ∪∞

j=1((A∩ (∩j−1i=1E

ci ))∩Ej) e pela definicao

de medida exterior temos que

m∗(A) ≤ m

∗(A ∩ (∪∞j=1Ej)) + m

∗(A ∩ (∩∞j=1E

cj ))

≤∞∑

j=1

m∗((A ∩ (∩j−1

i=1Eci ) ∩ Ej) + m

∗(A ∩ (∩∞j=1E

cj ))

≤ m∗(A)

⇒ ∪∞j=1Ej ∈ A e portanto A e uma σ-algebra.

Agora sejam E1, E2, . . . conjuntos dois a dois disjuntos de A. Tome

A = ∪∞j=1Ej , por (2) temos m

∗(A) = m∗(∪∞

j=1Ej) ≥∞∑

j=1

m∗(Ej),

isto implica que m e uma medida sobre A.

4

Definicao 1.7 Nos dizemos que uma medida exterior m∗ e regular se para

todo conjunto A existe um conjunto E m∗-mensuravel tal que

m∗(A) = m

∗(E).

Lema 1.1 Se m∗ e uma medida exterior regular e {Ai}i∈N uma sequencia

crescente de conjuntos, entao limi→∞

m∗(Ai) = m

∗( limi→∞

Ai).

Demonstracao: Podemos escolher um Ei mensuravel com Ei ⊃ Ai em

∗(Ei) = m∗(Ai) ∀ i (veja em [8]). Pela definicao 1.5 (ii) e pelo Teo-

rema 1.1 (c) temos que, m∗(limAi) = m

∗(lim inf Ai) ≤ m∗(lim inf Ei) ≤

lim inf m∗(Ei) = lim m

∗(Ai). Pela definicao 1.5, temos quelim m

∗(Ai) ≤ m∗(limAi) ja que Ai ⊂ Ei, assim esta provado o lema.

Definicao 1.8 Seja (X, d) um espaco metrico. Os conjuntos pertencentesa σ-algebra gerada pelos subconjuntos fechados de X sao chamados de con-juntos de Borel.

Observacao 1.4 Os conjuntos de Borel incluem os conjuntos abertos (comocomplemento dos fechados), os conjuntos Fσ (que sao as unioes enumeraveisde fechados) e os Gδ (que sao as unioes enumeraveis de abertos).

Definicao 1.9 Uma medida exterior m∗ sobre X e chamada medida exterior

metrica se m∗(E∪F ) = m

∗(E)+m∗(F ) sempre que E e F sao positivamente

separados, ou seja, d(E,F ) = inf{d(x, y);x ∈ E, y ∈ F} > 0.

Lema 1.2 Seja m∗ uma medida exterior metrica sobre (X, d). Seja {Ai}i∈N

uma sequencia crescente de subconjuntos de X, com A = limi→∞

Ai, e suponha

que d(Ai, A \Ai+1) > 0 ∀ i. Entao m∗(A) = lim

i→∞m

∗(Ai).

Demonstracao: Basta provarmos que m∗(A) ≤ lim

i→∞m

∗Ai ja que a outra

desigualdade segue da definicao 1.5 (ii). Coloque B1 = A1 e Bj = Aj \Aj−1

para j ≥ 2. Se j + 2 ≤ i ⇒ Bi ⊂ A \ Ai−1 ⊂ A \ Aj+1 e assim Bi e Bj saopositivamente separados ja que Bj ⊂ Aj . Temos pela definicao de m

∗ que

m∗(Bi ∪Bj) = m∗(Bi) +m∗(Bj) (?)

aplicando (?) (m− 1) vezes obtemos que

m∗(∪mk=1B2k−1) =

m∑

k=1

m∗(B2k−1) (1)

m∗(∪mk=1B2k) =

m∑

k=1

m∗(B2k) (2)

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Assim podemos assumir que (1) e (2) convergem quando m→ ∞, pois casocontrario terıamos lim

j→∞m∗(Aj) = ∞, ja que ∪m

k=1B2k−1 e ∪mk=1B2k estao am-

bas contidas em A2m. Portanto m∗(A) = m∗(∪∞j=1Aj) =

m∗(Aj∪(∪∞k=j+1Bk)) ≤ m∗(Aj)+

∞∑

k=j+1

m∗(Bk) ≤ limj→∞

m∗((Aj)+

∞∑

k=j+1

m∗(Bk))

⇒ m∗(A) ≤ limj→∞

m∗(Aj), ja que∞∑

k=j+1

m∗(Bk) → 0 quando j → ∞.

Teorema 1.3 Se m∗ e uma medida exterior metrica sobre (X, d), entaotodos os subconjuntos de Borel de X sao m∗-mensuraveis.

Demonstracao: Os conjuntos m∗-mensuraveis formam uma σ-algebra e ossubconjuntos de Borel formam a menor σ-algebra contendo os subconjuntosfechados de X, logo basta mostrarmos que m∗(A) = m∗(A∩E)+m∗(A∩Ec)para E fechado e A arbitrario. Sejam Aj = {x ∈ A \ E; d(x,E) ≥ 1

j }.Desta forma temos d(Aj , A ∩ E) ≥ 1

j para cada j, assim

m∗(A ∩ E) +m∗(Aj) = m∗((A ∩ E) ∪Aj) ≤ m∗(A) (?)

ja que m∗ e uma medida exterior metrica. A sequencia (Aj) e crescente e jaque E e fechado temos que A \ E = ∪∞

j=1Aj . Portanto, sed(Aj , (A \ E) \ Aj+1) > 0 ∀ j, pelo lema 1.2 temos quem∗(A \ E) ≤ lim

j→∞m∗(Aj) e desta forma por (?) temos que

m∗ (A) ≥ m∗(A ∩ E) + limj→∞

m∗(Aj) ≥ m∗(A ∩ E) +m∗(A \ E).

Encerramos a demonstracao provando que d(Aj , A \ (E \ Aj+1)) > 0 ∀ j.Se x ∈ A \ (E \ Aj+1) entao existe z ∈ E com d(x, z) < 1

j+1 , e assim se

y ∈ Aj ⇒ d(x, y) > d(y, z) − d(x, z) > 1j − 1

j+1 > 0, logod(Aj , A \ (E \Aj+1)) > 0.

A medida n-dimensional de Lebesgue e obtida como uma extensao da usualdefinicao do volume no IRn. Abaixo damos uma definicao formal.

Definicao 1.10 (Medida de Lebesgue) Seja C um cubo aberto em IRn

da forma, C = (a1, b1) × . . .× (an, bn), onde ai < bi. Defina o volume de Cpor: V (C) = (b1 − a1) . . . (bn − an). Se E ⊂ IRn definam

n(E) = inf∑

i V (Ci), onde o ınfimo e tomado sobre todas as coberturas deE formadas por sequencias Ci de cubos.

Nao e de difıcil verificacao que mn e uma medida exterior metrica, chamada

de medida exterior metrica n-dimensional de Lebesgue. Podemos verificarque o volume de um cubo aberto e igual ao volume do fecho do mesmo cubo

6

e que o volume de mn(E) = V (E) se E e um cubo qualquer (ver em [8]).

A restricao de mn para os conjuntos m

n-mensuraveis que incluem os conjun-tos de Borel e chamada de medida de Lebesgue n-dimensional.

1.2 Medida e Dimensao de Hausdorff

Definicao 1.11 Se E ⊂ ⋃iBri

e 0 < ri < ε para cada i, onde Brisao bolas

abertas em IRn, nos denotamos esta cobertura por {Bri,ε}i∈N e chamamos

de ε-cobertura de E.

Definicao 1.12 Dado ε > 0, α > 0 e E ⊂ X ⊂ IRn, defina

λ(ε)α (E) = inf

∞∑

i=1

rαi , onde o ınfimo e tomado sobre todas as ε-coberturas

{Bri,ε} de E.

Proposicao 1.2 λ(ε)α cresce quando ε decresce.

Demonstracao: Tome E ⊂ X e defina.

Aε = {{Bri,ε} ⊂ X; E ⊂ ∪iBri,ε

e ri,ε < ε}Aδ = {{Bri,δ

} ⊂ X; E ⊂ ∪iBri,δe ri,δ < δ}

Suponha δ < ε. Toda colecao (Bri,δ) ∈ Aδ pertence tambem a Aε

⇒ Aδ ⊂ Aε ⇒ inf∑∞

i=1 rαi,ε ≤ inf

∑∞i=1 r

αi,δ, ou seja, λ

(ε)α (E) ≤ λ

(δ)α (E)

Definicao 1.13 Defina (Hα)∗(E) = supε→0

λ(ε)α (E)

Observacao 1.5 supε→0

λ(ε)α (E) = lim

ε→0λ(ε)

α (E)

Proposicao 1.3 (Hα)∗ e uma medida exterior, chamada de medida exte-rior de Hausdorff α-dimensional.

Demonstracao: Seja ε > 0 dado. O item (i) da definicao 1.5 segue trivial-mente. Para (ii), suponha A ⊂ B ⊂ X. Para toda sequencia de bolas {Bri

}que cobrem B, temos que A ⊂ ∪Bri

, desta forma

7

{{Bri}; B ⊂ ∪Bri

} ⊂ {{Ari}; A ⊂ ∪Bri

}⇒ infA⊂∪Ari

∑rαi,ε ≤ infB⊂∪Bri

∑rαi,ε

⇒ supε→0

(infA⊂∪Ari

∑rαi,ε) ≤ sup

ε→0(infB⊂∪Bri

∑rαi,ε)

⇒ (Hα)∗(A) < (Hα)∗(B)

Para o item (iii) suponha E ⊂ ∪∞i=1Ei, onde Ei ⊂ X para cada i.

Se (Hα)∗(Ei) = ∞ para algum i, entao segue o resultado desejado. Casocontrario, dado ε > 0, para cada Ei ⊂ X existe uma sequencia de bolas{Bri,j

}j tal que Ei ⊂ ∪jBri,je ri,j < ε para todo j, tal que

∞∑

j=1

rαi,j < λ(ε)

α (Ei) +ε

2i(onde a ultima desigualdade e devido

a definicao de inf). Por (ii) temos que λ(ε)α (E) < λ

(ε)α (∪Ei) =

inf∪Ei⊂∪i(∪jBri,j)

∑

i

∑

j

rαi,j ≤

∑

i

∑

j

rαi,j <

∑

i

(λ(ε)

α (Ei) +ε

2i

)<

∑

i

λ(ε)α (Ei) + ε⇒ λ(ε)

α (E) ≤∑

i

λ(ε)α (Ei) ja que ε e arbitrario. Como a de-

sigualdade acima vale para cada ε > 0 segue que (Hα)∗(E) ≤∑

i

(Hα)∗(Ei).

Corolario 1.1 (Hα)∗ e uma medida exterior metrica.

Demonstracao: Suponha que E,F ⊂ IRn sao positivamente separados. Seδ e menor do que a distancia entre E e F , entao nenhum conjunto em umaδ-cobertura de E∪F pode interceptar ambos os conjuntos E e F . Portanto,

λ(δ)α (E ∪F ) = λ

(δ)α (E)+λ

(δ)α (F ) ⇒ (Hα)∗(E ∪F ) = (Hα)∗(E)+(Hα)∗(F )

Observacao 1.6 Na definicao 1.12 nos poderıamos ter usado colecoes enu-meraveis arbitrarias de abertos {Ui}i∈N no lugar das bolas Bri

, e o diametro|Ui| no lugar dos raios ri, e obterıamos a mesma medida exterior acima.Isto nos permite usar tanto bolas como conjuntos abertos arbitrarios emsituacoes em que um ou outro seja mais conveniente.

Pelo teorema 1.2 a restricao de (Hα)∗ para a σ-algebra dos conjuntos (Hα)∗-mensuraveis, que pelo teorema 1.3 incluem os conjuntos de Borel, e umamedida e e chamada medida α-dimensional de Hausdorff e denotadapor Hα.

Observacao 1.7 Pela Proposicao 1.2 temos que para qualquer conjunto E,(Hα)∗(E) decresce quando α cresce de 0 para ∞, ou seja, se α < β, entao

λ(ε)α (E) ≥ εα−βλ

(ε)β (E), de fato; basta notar que rα

i = rα−β+βi = rα−β

i rβi ≥

εα−βrβi ⇒ inf

∑rαi ≥ εα−βinf

∑rβi ⇒ inf

∑rαi → ∞ quando ε→ 0.

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Definicao 1.14 (Dimensao de Hausdorff) Pela observacao 1.7 existe umunico valor, HD(E), chamado de dimensao de Hausdorff de E, tal queHα(E) = ∞ se 0 ≤ α < HD(E) e Hα(E) = 0 se HD(E) < α <∞.

1.2.1 Propriedades da Dimensao de Hausdorff

1.2.1.1 Seja f : X −→ Y Lipschitziana, onde X e Y sao espacos metricosseparaveis. Se K ⊂ X entao HD(f(K)) ≤ HD(K).

Dem: Suponha HD(K) = β e tome α > β. Queremos mostrar queHα(f(K)) = 0.Como f e Lipschitziana, existe C > 0 tal que ‖f(x) − f(y)‖ ≤C‖x − y‖ para todos x, y ∈ X ⇒ |f(K)| ≤ C|K|, onde |.| denota odiametro do conjunto. Suponha que {Ui}i∈N seja uma δ-cobertura de f(K),assim {Vi}, onde Vi = f−1(Ui) e uma cobertura de K. Temos entao que∑

i |Ui|α ≤ C∑

i |Vi|α ⇒ λ(δ)α (f(K)) = infK⊂∪iUi

∑i |Ui|α ≤

infK⊂∪iVi

∑i |Vi|α = λ

(δ)α (K) ⇒ limδ→0 λ

(δ)α (f(K)) ≤

C limδ→0 λ(δ)α (K) = 0 ⇒ Hα(f(K)) = 0

1.2.1.2 Suponha que X e Y sao sao espacos metricos separaveis.Se f : X −→ Y e um difeomorfismo e K ⊂ X e compacto entaoHD(K) = HD(f(K)).

Dem: Suponha g a inversa de f. Temos que f e g sao Lipschitzianas,portanto aplicando a propriedade 1.2.1.1 obtemos HD(f(K)) ≤ HD(K)e HD(g(f(K))) ≤ HD(f(K)) ⇒ HD(K) ≤ HD(f(K)), ja queg(f(K)) = K. Portanto HD(K) = HD(f(K)).

1.2.1.3 Se K ⊂ IRn tem dimensao de Hausdorff menor do que n, entaotem medida de Lebesgue nula.

Dem: Suponha HD(K) = d < n e seja ε > 0 dado.Temos que Hn(K) = 0, portanto existe uma cobertura {Ui}i∈N de K talque

∑i |Ui|n < ε, . Para cada x ∈ Ui defina Ci

x um cubo centrado em xtal que Ci

x ⊂ Ui e |Cix| ≤ |Ui|n, assim

⋃i{Ci

x;x ∈ Ui} e uma cobertura deK. Pelo teorema de Lindelof essa cobertura possui subcobertura enumeravel{Cxi

}i∈N, e temos que⋃Cxi

⊂ ⋃Ui ⇒

∑V (Cxi

) ≤ ∑ |Cxi| ≤ ∑ |Ui|n < ε,

donde concluımos que mn(K) = 0.

1.2.1.4 Seja f : [a, b] → IR uma funcao contınua. Entao a HD(Γ) ≥ 1.(Aqui Γ = {(x, f(x));x ∈ [a, b]} denota o grafico de f)

9

Dem: Podemos escrever L(Γ) = supn∑

i=1

‖f(ti) − f(ti−1)‖, onde L denota

o comprimento e o sup e tomado sobre todas as particoesa = t0 < t1 < . . . < tn = b de [a, b]. Pela proposicao B.1 do apendiceB, temos que H1(Γ) = L(Γ). Entao, se L(Γ) < ∞ ⇒ 0 < H1(Γ) < ∞ ⇒HD(Γ) = 1, de outro lado se L(Γ) = ∞ ⇒ H1(Γ) = ∞ ⇒ HD(Γ) > 1.

1.2.2 Relacao entre as Medidas de Hausdorff e de Lebesgue

Abaixo nos enuciamos um teorema que fornece uma relacao direta entre amedida de Hausdorff e a medida de Lebesgue.

Teorema 1.4 Se E ⊂ IRn entao knHn(E) = m

n(E), onde kn e umaconstante que depende apenas de n.

Demonstracao: Suponha E ⊂ IRn e ε > 0.Seja (Bri

) uma cobertura para E tal que∑rni < Hn(E) + ε. Temos que

mn(Bri

) = V (Bri) = knr

ni , onde kn e uma constante de volume em IRn.

Temos tambem que mn(E) ≤ ∑

mn(Bri

) =∑knr

ni < knH

n(E) + ε ⇒m

n(E) ≤ knHn(E).

Por outro lado, suponha (Ri) uma colecao de cubos tal que E ⊂ ∪iRi e∑i V (Ri) < m

n(E) + ε (?)Para cada i, as bolas fechadas contidas em Ri de raio menor ou igual a ε for-mam uma classe de Vitali I (ver definicao A.1 no apendice) para Ri, ou seja,para cada x ∈ Ri e ε′ > 0 existe uma bola Bri

∈ I onde x ∈ Brie ri ∈ (0, ε′].

Pelo teorema de Vitali (teorema A.1 do apendice), existe uma sequencia dis-junta de bolas (Bri,j

)j em Ri com raio ri,j ≤ ε′, tal que Hn(Ri \ ∪jBri,j) =

0 ⇒ λ(ε′)n (Ri\∪jBri,j

) = 0. Ja que mn e tambem uma medida de Borel, temos

que∑

j mn(Bri,j

) = mn(∪jBri,j

) ≤ mn(Ri), assim temos que, λ

(ε′)n (E) ≤

∑i λ

(ε′)n (Ri) =

∑i

(λ

(ε′)n ((∪jBri,j

) ∪ Ri \ ∪jBri,j))≤ ∑

i

(λ

(ε′)n (∪jBri,j

) +

λ(ε′)n (Ri\∪jBri,j

))≤ ∑

i

∑j λ

(ε′)n (Bri,j

)+

=0︷ ︸︸ ︷∑

i

λ(ε′)n (Ri \ ∪jBri,j

) ≤ ∑i

∑j r

ni,j =

∑i

∑j k

−1n m

n(Bri,j) ≤ k−1

n

∑i

∑j m

n(Bri,j)

por (?)< k−1

n mn(E) + k−1

n ε ⇒knλ

(ε′)n (E) ≤ m

n(E) + ε ⇒ knλ(ε′)n (E) ≤ m

n(E) ⇒ knHn(E) ≤ m

n(E).Portanto concluımos que knH

n(E) = mn(E).

10

1.3 exemplos

Em geral e muito difıcil determinar a dimensao de Hausdorff de um conjuntoe tambem bastante difıcil encontrar a medida de Hausdorff deste conjunto.Nos encerraremos este capıtulo com dois exemplos onde determinamos adimensao e a medida de Haudorff no primeiro exemplo, e dado um numeros ∈ (0, 1), construımos um conjunto Γ com HD(Γ) = s no segundo.

Exemplo 1.1 . O conjunto de Cantor K do terco medio e construıdo daseguinte forma: considere o intervalo E0 = [0, 1] em IR, deste intervaloretire o seu terco medio (aberto). Daı obtemos E1 = [0, 1

3 ]⋃

[23 , 1] de onderetiramos o terco medio de cada um dos intervalos de E1, continuamosassim este processo e obtemos na i-esima etapa 2i intervalos fechados decomprimento 1

3i . O conjunto de Cantor e entao K =⋂∞

i=0Ei, (veja figuraabaixo).

Figura 1.1: Construcao do conjunto de Cantor K

O conjunto de Cantor K tem dimensao de Hausdorff α = HD(K) = log 2log 3

e Hα(K) = 1.

Dem: Seja α = log 2log 3 e K o conjunto de Cantor.

Suponha β > α. Considere a sequencia (Jn), onde Jn = {Jn1 , . . . , J

n2n} e os

Jnk , k = 1, . . . , 2n, sao os intervalos fechados restantes da n-esima etapa de

construcao do conjunto de Cantor. Para cada n temos que

λ(ε)β (

⋃2n

i Jni ) = inf

2n∑

i=1

(r(n)i )β = (

2

3β)n, onde ε = 1

3n . Temos que

23β < 1 (ja que log( 2

3α ) = 0) ⇒ λ(ε)β (

⋃2n

i Jni ) → 0 quando n → ∞, ou

seja, supε→0

λ(ε)β (∪2n

i Jni ) = 0. Portanto se β > α⇒ Hβ(K) = 0.

Suponhamos agora que β < α.Como K e compacto ele possui uma cobertura finita U = {U1, . . . , Ur},onde os Ui sao bolas abertas, e novamente pela compacidade de K, U pos-sui um numero de Lebesgue, digamos τ > 0. Considere a cobertura deK, Jn = {Jn

1 , . . . , Jn2n} da primeira parte da prova, com n suficientemente

grande tal que 13n < τ . Pela definicao de numero de Lebesgue Jn

i ⊂ Uj

para algum j, entao podemos supor que Jni , . . . , J

ni+p ⊂ Uj para algum

11

p ≥ 0. Desta forma

p∑

k=i

rJni≤ rUj

⇒ p1

3n≤ rUj

⇒ (p

3n)β ≤ rβ

Uj. Como

∪si=1J

ni ⊂ ∪r

i=1Ui ⇒s∑

i=1

rJni

≤r∑

i=1

rUi⇒ λ

(ε)β (∪s

iJni ) ≤ λ

(ε)β (∪r

iUi), onde

s ≥ r. Note que λ(ε)β (∪iJ

ni ) = 1

2( 23β )n e 2

3β > 1 ⇒ λ(ε)β (∪iJ

ni ) → ∞ quando

n→ ∞, ou seja, λ(ε)β (∪2n

i Ui) → ∞ quando ε→ 0, como U e arbitraria temos

que Hβ(K) = ∞, logo temos que α = log 2log 3 .

Falta mostrarmos que Hα(K) = 1. Para isto considere uma coberturaarbitraria finita de intervalos abertos U = U1, . . . , Um de K e considere-mos tambem a cobertura Jn = {Jn

1 , . . . , Jn2n} de K como acima.

Afirmacao: Hα(U) ≥ Hα(Jn) = 1.De fato; K ⊂ ∪m

i=1Ui e U possui numero de Lebesgue, digamos δ. Existe umn0 ∈ N, tal que |Jn

j | = 13n < δ se n ≥ n0. Assim cada Jn

i esta contido emalgum Uj para algum j. Portanto |Jn

1 |α+ . . .+ |Jn2n |α ≤ |U1|α+ . . .+ |Um|α ⇒

( 23α )n ≤ ∑m

i=1 |Ui|α ⇒ λ(ε)α (U) ≥ λ

(ε)α (Jn) ⇒ sup

ε→0λ(ε)

α (U) ≥ supε→0

λ(ε)α (Jn) =

limε→0

inf2n∑

i=1

(1

3n)α = 1 ⇒ Hα(U) ≥ Hα(Jn) = 1, o que prova a afirmacao.

Como a cobertura U foi tomada arbitraria e Hα(Jn) = 1, obtemos assim oresultado desejado, ou seja, Hα(K) = 1 .

Exemplo 1.2 Considere a funcao g (zig-zag) de perıodo 4 definida sobre IRpor

g(4k + x) =

x, se 0 ≤ x < 12 − x, se 1 ≤ x < 3x− 4, se 3 ≤ x < 4

, onde k ∈ Z, 0 ≤ x < 4.

Figura 1.2: Grafico da funcao g

12

Suponha que {λi}i∈N e uma sequencia de numeros positivos que satisfaz

λi+1

λi→ ∞ e log(λi+1)

log λi→ 1. Seja Γ o grafico da funcao f(x) =

∞∑

i=1

λs−2i g(λix)

para x ∈ [0, 1], onde 1 < s < 2. Entao HD(Γ) = s.Obs. A demonstracao e muito extensa e e apresentada no apendice B napagina 52.

13

14

Capıtulo 2

Teorema classico de

Morse-Sard

Neste capıtulo nos apresentamos o classico teorema de Morse-Sard paraaplicacoes em espacos euclidianos, o qual afirma que; dado uma funcao sobrealgum subconjunto aberto de IRn tomando valores em IRm, a imagem doconjunto de pontos que tem posto inferior ao min{m,n} tem medida deLebesgue nula.A demonstracao sera dividida em tres casos. O primeiro caso tratara asituacao mais simples,ou seja, quando n < m. O segundo caso, n = m, ea versao mais conhecida que aparece em grande parte dos livros de analise.Por fim trataremos o caso mais complicado quando n > m.

Definicao 2.1 O posto de uma aplicacao diferenciavel f : U ⊂ IRn → IRm

num ponto x ∈ U e a dimensao da imagem de sua derivadaf ′(x) : IRn → IRm.

Teorema 2.1 Seja f : U −→ IRm uma aplicacao de classe Ck, k ≥ 1 ,onde U e um aberto em IRn, e seja B = {x ∈ U ; posto(f(x)) < m}. Entaof(B) tem medida de Lebesgue zero se k − 1 ≥ max(n−m, 0).

2.1 O caso n < m

Demonstracao: Neste caso temos que B = U e o conjunto W = U × {0},onde 0 ∈ IRm−n, tem medida zero em IRm. Defina g : U × IRm−n −→ IRm

por g(x, y) = f(x), desta forma temos que g e de classe C1. Note que B×{0}tem medida nula em IRm ja que B × {0} = U × {0}. Nestas condicoes como seguinte lema terminamos prova deste caso.

15

Lema 2.1 Seja g : Z −→ IRm uma aplicacao de classe C1 no abertoZ ⊂ IRm. Se M ⊂ Z tem medida nula em IRm entao g(M) tambem temmedida nula.

Demonstracao: Primeiro vejamos que g e localmente Lipschitziana.Seja x ∈ Z e Bx uma bola de centro em x tal que Bx ⊂ Z e sejaKx = sup{‖g′(y)‖; y ∈ Bx} (O sup existe por g ser de classe C1). Peladesigualdade do valor medio temos que ‖g(y) − g(z)‖ ≤ Kx‖y − z‖ (∗)∀ y, z ∈ Bx, ou seja, g e Lipschitziana em Bx. Consideremos em IRm anorma do maximo (‖x‖ = maxi=1,...,m{|xi|}). Seja {Bx}x∈M a colecao debolas fechadas, onde Bx e a bola centrada em x ∈ M e Bx ⊂ Z. PeloTeorema de Lindelof existe uma subcolecao enumeravel Bxi

cobrindo M, ouseja, M ⊂ ∪Bxi

. Defina Mi = M ∩Bxi. Note que Mi tambem tem medida

nula e isto implica que dado ε > 0, existe uma cobertura enumeravel por

cubos {Cj}j∈N de arestas aj , tal que Mi ⊂ ⋃{Cj} e∑

j

vol(Cj) <ε

Kmxi

,

onde Kxie a constante de Lipschitz de g em Bxi

. Se x, y ∈ Mi ∩ Cj ⇒‖x − y‖ ≤ 1aj ⇒ ‖g(x) − g(y)‖ ≤ Kxi

‖x − y‖ ≤ Kxiaj . Desta forma

g(Mi ∩Cj) esta contido num cubo Dj cujo volume e Kmxiam

j = Kmxivol(Cj).

Entao g(Mi) ⊂⋃

j

g(Mi ∩ Cj) ⊂⋃

j

Dj e∑

j

vol(Dj) =∑

j

Kmxivol(Cj) =

Kmxi

∑

j

vol(Cj) < Kmxi

ε

Kmxi

= ε concluimos que a medida de g(Mi) e nula.

Isto e o fato que g(M) ⊂⋃

i

g(Mi) implicam que g(M) tem medida nula,

isto conclui a prova do caso I.

2.2 O caso n = m

Demonstracao: Seja ε > 0 arbitrario.Considere C ⊂ U , onde C e um cubo fechado com lado de comprimento l.Divida C em pequenos cubos S de lado l

N , N ∈ N (veja figura 2.1).

Obtemos dessa forma Nn cubos do tipo de S. Como f e de classe C1, pelacompacidade de C existe δ > 0 tal que, se x, y ∈ C e ‖x − y‖ < δ entao‖f ′(x)(x− y) − f(y) − f(x)‖ < ε‖x− y‖.Escolhemos N suficientemente grande tal que l

N < δ. Se x ∈ S, entaotemos que

‖f ′(x)(x − y) − f(y) − f(x)‖ < ε‖x − y‖ < ε l√

nN para todo y ∈ S, onde

l√

nN e o diametro de S.

Se S ∩B 6= ∅ tome x ∈ S ∩B, entao o det(f ′(x)) = 0 portanto o conjunto

1A desigualdade vale pois estamos considerando a norma do maximo

16

Figura 2.1: Divisao de C em pequenos cubos

{f ′(x)(y−x); y ∈ S} esta contido num subespaco (n− 1)-dimensional V deIRn, logo o conjunto {f(x) − f(y); y ∈ S} esta a uma distancia menor do

que ε l√

nN de V, e portanto o conjunto {f(y); y ∈ S} esta a uma distancia

menor do que ε l√

nN de V + f(x) .

Seja M=sup{|f ′(x)|;x ∈ S}, temos entao que ‖f ′(x)(y− x)‖ ≤M‖y− x‖ ≤M l

√n

N para todo y ∈ S, logo o ponto f(x) + f ′(x)(y − x) pertence a um

cubo Q de aresta 2M l√

nN que esta contido no subespaco afim V + f(x).

Consideremos o cubo P em IRn que tem o cubo Q como secao media e

altura 2ε l√

nN (veja figura 2.2); temos que f(y) ∈ P ∀ y ∈ S.

vol(P ) = 2ε l√

nN .vol(Q) = 2ε l

√n

N 2n−1Mn−1(√n)n−1 ln−1

Nn−1 = Kε( lN )n, onde

K = (2√n)nMn−1

A imagem de B∩C por f esta contida no maximo em Nn desses cubos, ondea soma dos volumes dos cubos e menor ou igual NnKε ln

Nn = Kεln. Comoε e arbitrario, obtemos que f(B ∩ C) tem medida nula.

Figura 2.2:

17

2.3 O caso n > m

Consideremos a seguinte decomposicao de B, B =⋃m−1

r=0 Ar, onde Ar eo conjunto dos pontos onde f tem posto r. Com esta decomposicao emmaos, a prova se reduz a seguinte proposicao.

Proposicao 2.1 Seja f : U −→ IRm uma aplicacao de classe Cq, q ≥ 1 ,onde U e um aberto em IRn, n > m, e seja Ar = {x ∈ U ; posto(f(x)) = r},onde 0 ≤ r < m esta fixo. Entao f(Ar) tem medida nula se q ≥ n−r

m−r .

Observacao: A hipotese do teorema 2.1 , q − 1 ≥ n − m, implica queq ≥ n−r

m−r (0 ≤ r < m).De fato, coloque b = n − r e c = m − r, note que 0 ≤ (b − c)(c − 1) =bc− c2 + c− b = (b− c+ 1)c− b ≤ qc− b⇒ qc ≥ b⇒ q ≥ b

c = n−rm−r , ja que

q > n−m+ 1 = b− c+ 1.

Na demonstracao desta proposicao usaremos os seguintes lemas, que seraoprovados posteriormente.

Lema 2.2 Seja f : U −→ IRm de classe Cq, U aberto em IRn, sejaC ⊂ U o cubo unitario e A = {x ∈ C; posto(f(x)) = 0}. Entao f(A)tem medida nula se q ≥ n

m .

Lema 2.3 Seja B ⊂ IRn = IRk ⊕ IRn−k compacto cuja intersecao comcada (n-k)-plano P (x1, ..., xk), definido por x1 = x1 , ... , xk = xk, e(x1, ..., xk) ∈ IRk, k < n, tem medida nula em P (x1, ..., xk),∀ (x1, ..., xk, 0) ∈ IRk × {0}. Entao B tem medida nula em IRn.

Prova da proposicao 2.1

Se r = 0 a prova e o lema 2.2, podemos entao supor r ≥ 1.E suficiente mostrar que todo ponto de Ar tem uma vizinhanca Vx, tal que,f(Vx ∩Ar) tem medida nula.De fato; temos que {Vx ∩ Ar;x ∈ Ar} e uma cobertura para Ar. Como atopologia de IRn tem base enumeravel, nos podemos encontrar uma colecaoenumeravel {Vxi

∩Ar; i ∈ N} ⊂ {Vx∩Ar;x ∈ Ar} que tambem e uma cober-tura para Ar (ver em [4] pag 274). Temos entao que Ar =

⋃i(Vxi

∩ Ar),onde m(f(Vxi

∩ Ar)) = 0 ∀ i, logo m(f(Ar)) = 0. O trabalho entao emostrar que dado x ∈ Ar existe Vx ⊂ U tal que m(f(Vx ∩Ar)) = 0.Tome z◦ ∈ Ar. Coloque n = n − r e m = m − r.

18

Seja E = f ′(z◦)(IRr+n) ⊂ IRr+m, logo a dimensao de E e r. Existe umadecomposicao em soma direta IRr+m = IRr ⊕ IRm, tal que a projecaoπ : IRr+m −→ IRr aplica E isomorficamente sobre IRr (ver em [4], pag299). Assim (π◦f)′(z◦) = π◦f ′(z◦) : IRr+n −→ IRr e sobrejetiva. Pelaforma local das submersoes (ver apendice A, teorema A.5), existe um difeo-morfismo α : M ×N −→ Vz◦ , onde M ×N e um aberto em IRr × IRn e Vz◦

e uma vizinhanca aberta de z◦, tal que π◦f ◦α(x, y) = x ∀ (x, y) ∈ M ×N .Entao f ◦α(x, y) = (x, λ(x, y)), onde λ : M × N −→ IRm e de classe Cq,dependendo apenas de f.

Afirmacao: ∂2λ(x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ (M ×N) ∩ α−1(Ar).De fato, note que

(f ◦α)′(x, y) =

(I 0. . . B

), onde I =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

...0 . . . 0 1

e B=

∂λ1∂y1

. . . ∂λ1∂yn

......

...∂λm

∂y1. . . ∂λm

∂yn

O posto(f ◦α(x, y)) = r ∀ (x, y) ∈ (M × N) ∩ α−1(Ar) ⇒ B ≡ 0 em(M ×N) ∩ α−1(Ar) ⇒ ∂2λ(x, y) = 0.

Da afirmacao acima decorre que o posto(λ(x, y)) = 0∀ (x, y) ∈ (M ×N) ∩ α−1(Ar).Fixe x = x ∈ M, x = (x1, ..., xr). Defina λx : N ⊂ IRn −→ IRm porλx(y) = λ(x, y), dessa forma o posto(λx(y)) = 0 ∀ (x, y) ∈ (M×N)∩α−1(A).Temos por hipotese que q ≥ n

m , portanto podemos aplicar o lema 2.2, deonde obtemos m(λx(N ∩ π2(α

−1(A)))) = 0, onde π2 e a projecao deIRr × IRn em IRn. Isto implica que m(λ(x× (N ∩π2(α

−1(Ar))))) = 0, poisλ(x× (N ∩ π2(α

−1(Ar)))) = λx(N ∩ π2(α−1(A))).

Temos que f ◦α(x, y) = (x, λ(x, y)) logo f ◦α(x × (N ∩ π2(α−1(Ar)))) ⊂

P (x1, ..., xr), onde P (x1, ..., xr) e o plano de dimensao m, definido porx1 = x1, ..., xr = xr. Note que f ◦α(x× (N ∩ π2(α

−1(Ar)))) =W︷ ︸︸ ︷

f ◦α(M ∩ π1(α−1(Ar)) × (N ∩ π2(α

−1(Ar)))) ∩ P (x1, ..., xr) ⊂{x} × λx(N ∩ π2(α

−1(Ar))) ⊂ P (x1, ..., xr).

Afirmacao: A medida de (f(Vz◦∩A)∩P (x1, ..., xr)) e zero em P (x1, ..., xr) .De fato; P (x1, ..., xr) = x× IRm. Temos que λx(N ∩π2(α

−1(Ar))) tem me-dida nula em IRm, logo x×λx(N∩π2(α

−1(A))) tem medida nula em x×IRm.

19

Portanto m(f(Vz◦∩Ar)∩P (x1, ..., xr)) = m(x×λx(N ∩π2(α−1(Ar))) = 0 . 2

Afirmacao: Se f : U ⊂ IRn −→ IRm e de classe C1 e tem posto rem x ∈ U , entao existe uma vizinhanca aberta de x tal que, posto(f(y)) ≥ rpara todo y na vizinhanca de x.Com efeito, se f tem posto r em x, entao existe um determinante menorr × r da matriz jacobiana Jf(x) que e nao nulo. Por continuidade, estedeterminante menor e nao nulo em todos os pontos de uma vizinhanca dex, de modo que o posto(f(y)) ≥ r para todos os pontos dessa vizinhanca,provando a afirmacao .

Podemos encontrar uma vizinhanca compacta Vz◦ ⊂ Vz◦ de forma que sey ∈ Vz◦ ⇒ posto(f(y)) ≥ r.

Vz◦ ∩ Ar e compacto. De fato, se y ∈ (Vz◦ ∩ Ar)c ⇒ posto(f(y)) =

k > r, logo existe uma bola B(y, ε) ⊂ Vz◦ tal que, o posto(f(x)) ≥ k∀ x ∈ B(y, ε) ⇒ B(y, ε) ⊂ (Vz◦∩Ar)

c. Logo (Vz◦∩Ar)c e aberto ⇒ Vz◦∩Ar

e fechado e portanto compacto, logo f(Vz◦ ∩ Ar) e compacto. Podemosentao aplicar o lema 2.3, de onde obtemos o resultado desejado, ou seja,f(Vz◦ ∩Ar) tem medida nula.

Observacao 2.1 A condicao k − 1 ≥ max{0, n − m}(⇒ k ≤ n−rm−r ), onde

0 < r < min{m,n} e necessaria. Um contra-exemplo para o caso que naovale a desigualdade e dado por [9].

As provas dos lemas 2.2 e 2.3 se baseiam nos seguintes resultados.

Lema 2.4 Seja A um subconjunto de IRn e k ∈ N. Entao existe umasequencia de conjuntos Ai, i ≥ 0, tais que A0 e enumeravel,

A =⋃

i

Ai e para i ≥ 1, existem aplicacoes ϕi : Bmiεi

−→ IRn, onde

Bmiεi

= {x ∈ IRmi

i ; ‖x‖ < εi}, mi ≤ n, satisfazendo:(i) ϕi e um C1 homeomorfismo de Bmi

εisobre sua imagem em IRn com

Ai ⊂ ϕi(Bmiεi

), e ‖ϕi(x) − ϕi(y)‖ ≥ ‖x− y‖, ∀ x, y ∈ Bmiεi

;(ii)Para qualquer funcao f : IRn −→ IR de classe Ck, k ≥ 1, que anula-sesobre A, existem funcoes monotonas bi : IR −→ IR com lim

ε→0bi(ε) = 0, tais

que, |f(ϕi(x)) − f(ϕi(y))| < bi(‖x − y‖)‖x − y‖k, ∀ x, y ∈ Bmiεi

, tal queϕi(y) ∈ Ai.

2Nos poderıamos aplicar neste ponto o teorema de Fubini para obter o resultado dese-jado

20

Demonstracao:

Suponhamos primeiramente k=0 e n arbitrario;Defina Ai = A∩Ki, onde os Ki sao bolas fechadas que constituem uma baseenumeravel para IRn.Defina ϕi : Bεi

(0) −→ Ki como uma translacao da bola centrada emzero para a bola Ki, desta forma ϕi e um homeomorfismo C∞, tal que,Ai ⊂ ϕi(Bεi

(0)) e ‖ϕi(x) − ϕi(y)‖ = ‖x− y‖, satisfazendo (i).Suponha f ∈ Ck anulando-se sobre A. Temos que f e uniformemente contınuasobre ϕi(Bεi

(0)), pois ϕi(Bεi(0)) e compacto e f e de classe Ck, portanto

existe M > 0 tal que |f(ϕi(x))− f(ϕi(y))| < M‖x− y‖ ∀ x, y ∈ ϕi(Bεi(0)).

Defina bi(r) = Mr, desta forma |f(ϕi(x) − f(ϕi(y)| < bi(‖x− y‖)‖x− y‖k,onde k=0.

Consideremos agora o caso n = 1 e k > 0 arbitrario.Defina A0 como o conjunto dos pontos discretos de A. Tome ϕi para ser atranslacao I i

0ϕi−→ Ki, onde I i

0 e um intervalo fechado centrado em zero eraio εi e os Ki intervalos fechados que formam uma base enumeravel de IR.Defina Ai = (A \ A0) ∩ Ki. Desta forma ϕi e um C∞-homeomorfismo talque Ai ⊂ ϕi(I

i0) e tambem |ϕi(x) − ϕi(y)| = |x− y| sastifazendo (i).

Suponha f : IR −→ IR de classe Ck tal que f |A = 0 ; para i ≥ 1temos que se x ∈ Ai entao existe uma sequencia {xn} em Ai tal que

xn −→ x e f(xn) = 0 ∀ n, assim f ′(x) = limn→∞

f(xn) − f(x)

xn − x= 0 ja que

f(xn) = f(x) = 0, portanto f ′(x) = f ′′(x) = · · · = f (k)(x) = 0.Pelo teorema da formula integral de Taylor de ordem k − 1 temos que,para x, y ∈ Ki tal que x ∈ Ai,

f(y) = f(x)+ f ′(x)(y−x)+ · · · + f (k−1)(x)(y−x)k−1

(k−1)! +[ ∫ 1

0

(1 − t)k

k!f (k)(x+

t(y−x))dt](y−x)k =

[ ∫ 1

0

(1 − t)k

k!(f (k)(x+t(y−x))−f (k)(x))dt

](y−x)k ≤

[ ∫ 1

0

(1 − t)k

k!(M |x− y|)dt

](y − x)k 3.

⇒ |f(y)| <[ ∫ 1

0

(1 − t)k

k!(M |x − y|)dt

](y − x)k <

[ ∫ 1

0(1 − t)k(M |x −

y|)dt](y − x)k.

Defina bi(r) =

∫ 1

0(1− t)kMrdt, note que bi(r) −→ 0 se r → 0, desta forma

temos que |f(y)| < bi(|y−x|)|y−x|k, satisfazendo (ii) e provando assim estecaso.

3a desigualdade e devido a continuidade de fk no compacto Ki, existindo assim M > 0,tal que, ‖fk(z) − fk(y)‖ ≤ M‖z − y‖ para todo z, y ∈ Ki

21

O restante da prova sera feito por inducao sobre n+ k, n > 1, k > 0.

Seja A ⊂ IRn

Defina A1 = {x ∈ A;n∑

j=1

( ∂f∂xj

)2(x) = 0, ∀ f : IRn −→ IR ∈ Ck,

f |A≡ 0} e A2 = A \ A1. Primeiro mostraremos que o lema vale parao conjunto A1.Por hipotese de inducao para n + (k − 1), existe uma decomposicao de

A1 =∞⋃

r=0

A1r e aplicacoes ϕ1

r : Bmrε −→ IRn tal que A1

r ⊂ ϕ1r(B

mrε ) valendo

que ‖ϕ1r(x) − ϕ1

r(y)‖ ≥ ‖x− y‖, ∀ x, y ∈ Bmrε , e

(∗) ‖g(ϕ1r(x))‖ ≤ b1r(‖x−y‖)‖x−y‖k−1, ∀ g ∈ Ck−1 que anula-se sobre A1.

Em particular (∗) vale para g = ∂f∂xi

Afirmacao: A1r e ϕ

1r satisfazem (ii) para n+ k.

A prova desta afirmacao segue diretamente do lema abaixo.

Lema 2.5 Seja ϕ : Bm −→ IRn uma aplicacao de classe C1 ( ondeBm ⊂ IRm, m ≤ n, e uma bola fechada), satisfazendo:‖ϕ(x) − ϕ(y)‖ ≥ ‖x − y‖, ∀ x, y ∈ Bm. Se f : IRn −→ IR e de classeCq , q ≥ 1, e | ∂f

∂xj(ϕ(x))| ≤ b(‖x−y‖)‖x−y‖k−1, x 6= y, com b monotona e

limε→0

b(ε) = 0, j = 1, · · · , n, entao |f(ϕ(x))−f(ϕ(y))| < Kb(‖x−y‖)‖x−y‖k,

onde K depende apenas de ϕ.

Dem: Defina F (t) = f(ϕ(y + (x − y)t)). Desta forma temos queF (0) = f(ϕ(y)) e F (1) = f(ϕ(x)). Aplicando o teorema do valor medioa F no intervalo [0,1] obtemos t ∈ (0, 1) tal que F ′(t) = F (1) − F (0) =f(ϕ(y))−f(ϕ(x)). Derivando F obtemos, F ′(t) = f ′(ϕ(y+(x−y)t)).ϕ′(y+(x− y)t)(x− y). Ponha K1 = maxt∈[0,1]{‖ϕ′(y + (x− y)t)‖}.

|F ′(t)| < K1‖x−y‖‖f ′(ϕ(y+(x−y)t))‖ ≤ K1‖x−y‖n∑

j=1

| ∂f∂xj

(ϕ(y+(x−y)t))|

⇒ |F ′(t)| < K1nb(‖x− y‖)‖x− y‖k

⇒ |f(ϕ(x)) − f(ϕ(y))| < Kb(‖x− y‖)‖x− y‖k,onde K = K1n depende somente de ϕ.

Desta forma esta provado o lema 2.4 para o conjunto A1.

22

Consideremos agora o conjunto A2.Tome z ∈ A2. Existe alguma funcao g de classe Ck que anula-se so-bre A, tal que ∂g

∂xj(z) 6= 0 para algum 1 ≤ j ≤ n, Suponha j = n.

Pelo teorema da funcao implıcita, podemos encontrar uma vizinhanca dez, Vz, e uma funcao ϕn : Bn−1 −→ J , onde J ⊂ IR e um intervaloaberto e Bn−1 ⊂ IRn−1 e uma bola aberta, tal que (Bn−1, ϕn(Bn−1)) =Vz e g(x1, ..., xn−1, ϕ

n(x1, ..., xn−1)) = 0, ∀ (x1, ..., xn−1) ∈ Bn−1.Defina ϕ : Bn−1 −→ IRn por ϕ = (ϕ1, ..., ϕn) ondeϕi(x1, ..., xn−1) = xi, i = 1, ..., n − 1, e ϕn(x1, ..., xn−1) =ϕn(x1, ..., xn−1). Desta forma ϕ ∈ Ck e ‖ϕ(x) − ϕ(y)‖ =‖(x1 − y1, ..., xn−1 − yn−1, ϕ

n(x1, ..., xn−1) − ϕn(y1, ..., yn−1)‖ ≥‖(x1 − y1, ..., xn−1 − yn−1)‖ com Vz ∩A ⊂ ϕ(Bn−1).Aplicando a hipotese de inducao para o conjunto ϕ−1(Vz∩A), temos que ex-iste uma colecao enumeravel de conjuntos {Dr}∞r=0, tal que D0 e enumeravel

e ϕ−1(Vz ∩A) ⊂⋃

r

Dr, e aplicacoes ψr : Bmrεr

−→ IRn−1 de classe Ck satis-

fazendo (i) e tambem (ii), onde |h(ψr(x))−h(ψr(y))| < br(‖x−y‖‖x−y‖k seψr(y) ∈ ϕ−1(Vz∩A) e h : IRn−1 −→ IR uma funcao de classe Ck que anula-se sobre ϕ−1(Vz ∩A).Se f e de classe Ck e anula-se sobre A, entao podemos escrever h = f ◦ ϕ,que anula-se sobre ϕ−1(Vz ∩ A), e definimos ϕr = ϕ ◦ ψr. Desta formaobtemos uma decomposicao {ϕ(Dr)}∞r=0 de Vz ∩ A que satisfaz (i) e(ii). Com efeito, as aplicacoes ϕr : Bmr

εr−→ IRn sao C1-homeomorfismos

sobre sua imagem com ϕ(Dr) ⊂ ϕr(Bmrεr

) e ‖ϕr(x) − ϕr(y)‖ =‖ϕ(ψr(x)) − ϕ(ψr(y))‖ ≥ ‖ψr(x) − ψr(y)‖ ≥ ‖x − y‖ e tambem|fϕr(x) − fϕr(y)| = |fϕψr(x) − fϕψr(y)| = |hψr(x) − hψr(y)| <br(‖x− y‖)‖x− y‖k, ∀ x, y ∈ Bmr

εrcom ϕψr(y) ∈ N ∩A.

Podemos cobrir A2 por vizinhancas Vz ∩A, z ∈ A2, da qual extraımos umasub-colecao enumeravel Vzi

∩ A tal que A2 ⊂ ⋃i(Vzi

∩ A). Deste modo,a uniao das decomposicoes dos conjuntos Vzi

∩ A juntamente com a de-composicao de A1(obtidas acima) formam uma decomposicao de A comodesejado, onde colocamos A◦ como a uniao dos conjuntos enumeraveis, eassim esta provado o lema.

Corolario 2.1 Seja A um subconjunto de IRn e q ∈ N. Entao A =∞⋃

i=0

Ai

onde A◦ e enumeravel e Ai, i ≥ 1, tem a seguinte propriedade:Seja f : U ⊂ IRn −→ IR de classe Cq onde A ⊂ U , tal que todo pontode A e um ponto crıtico de f. Entao existem funcoes bi : (−a, a) −→ IR(dependendo de f) tal que as bi sao monotonas com bi → 0 quando ε→ 0, e|f(x) − f(y)| < bi(‖x− y‖)‖x− y‖q ∀ x, y ∈ Ai.

Dem: Aplicamos primeiramente o lema 2.4 sobre a derivada de f e depoiso lema 2.5.

23

Prova do lema 2.2

Demonstracao: Usando o corolario 2.1 podemos decompor A, tal queA ⊂ ⋃

iAi. Nos queremos mostrar que f(Ai) tem medida nula ∀ i.Para i = 0 temos que Ai e enumeravel, portanto segue que f(A0) tem me-dida nula. Considere i ≥ 1.A funcao f = (f1, ..., fm) tem posto zero em x se, e so se, x e ponto crıtico defi ∀ i = 1, ...,m. Ainda pelo corolario 2.1, se x, y ∈ Ai, e ‖x−y‖ < ε entao|fi(x) − fi(y)| < b(ε)εq, onde b, que depende de f, e monotona. Portanto

‖f(x)− f(y)‖ =((f1(x)− f1(y))

2 + ...+(fm(x)− fm(y))2)1/2 ≤ √

m b(ε)εq.Dividimos C em pn cubos Ci de lado 1

p .

Se x, y ∈ Ai ∩Cj entao ‖x− y‖ <√

np , onde

√n

p e o diametro de Cj . Desta

forma, ‖f(x) − f(y)‖ ≤ √m b(

√n

p )(√

np

)q, portanto f(Ai ∩ Cj) esta con-

tido em uma bola de raio√m b(

√n

p )(√

np

)q. Assim o volume total de f(Ai) e

menor do que pn(√m b(

√n

p )(√

np

)q)mvm =

V (p)︷ ︸︸ ︷pn

(√m (

√n)q

)mvm (b(

√n

p))mp−qm,

onde vm e o volume total da bola unitaria em IRm. Portanto, se q ≥ nm

entao V (p) → 0 quando p→ ∞ e isto prova que f(Ai) tem medida nula. Consequentemente f(A) tem medida nula.

Prova do lema 2.3

Afirmacao: Para qualquer cobertura de [a, b] ⊂ IR por intervalos, pode-mos obter uma subcobertura cujo comprimento total dos intervalos e menorou igual a 2|b− a|.De fato; podemos escolher uma subcobertura minimal, ou seja, escolher in-

tervalos I1, ..., Is da cobertura tal que [a, b] ⊂s⋃

i=1

Ii mas

[a, b] 6⊂s⋃

i=1,i6=j

Ii. Coloque Ii = Ii∩[a, b]. Podemos renumerar essa subcober-

tura da seguinte forma, (ai, bi), (ai+1, bi+1), onde ai < ai+1 ≤ bi < bi+1,

note que

s⋃

i=1

|Ii| = |b−a|+s−1∑

i=1

|Ii∩ Ii+1| e

s−1⋃

i=1

(Ii∩ Ii+1) ⊂ [a, b], portanto

s⋃

i=1

|Ii| ≤ 2|b− a|, e a afirmacao esta provada.

24

Agora suponha B ⊂ IRn−1 × [a, b] compacto e a medida de B ∩ Pxn sejanula em Pxn , onde Pxn e o plano xn = xn. Dado ε > 0, podemos encontrarconjuntos abertos Ri

xnque cobrem B ∩ Pxn e m(

⋃Ri

xn) < ε, onde m e a

medida de Lebesgue . Pela compacidade de B, existe α > 0 suficientementepequeno tal que os conjuntos Ri

xn× Ixn

α cobrem B ∩ (⋃

z∈IxnαP (z)), onde

Ixnα e um intervalo de comprimento α centrado em xn e P (z) sao planos

definidos por xn = z. (Veja na figura 2.3)

Figura 2.3: B ∩ P (z), z ∈ Ixnα

De fato, B e compacto logo B ∩ Pxn e compacto e B ∩ Pxn ⊂ R =⋃

i

Rixn

onde R e aberto, logo existe c > 0 tal que d(x, y) ≥ c ∀ x ∈ B ∩ Pxn ey ∈ Pxn \R (onde d denota a funcao distancia ). Ver em [5].

D = Pxn \R e fechado. Defina D′ = D × Ixnc e D = D′ ∩B, desta forma

D e compacto e portanto existe α > 0 tal que d(Pxn , D) = 2α > 0, ja queD ∩ Pxn = ∅, logo B ∩ (

⋃z∈Ixn

αP (z)) ⊂ ⋃

i(Rixn

× Ixnα ).

Os intervalos Ixnα cobrem [a, b], logo existe uma subcobertura finita {Ij}s

j=1

com⋃s

j=1 |Ij | ≤ 2|b− a|. Suponha que Rij denota Ri

xnse Ij = Ixn

α , entao

os Rij × Ij formam uma cobertura de B cujo volume total ≤ ε2|b− a|, daı

segue que m(B) = 0.

Para o caso geral suponha que m(B ∩ P (x1, ..., xr)) = 0 em P (x1, ..., xr),onde 1 ≤ r < n. Coloque B1 = B ∩ P (x1, ..., xr−1).B ∩P (x1, ..., xr) = B1 ∩P (xr), logo m(B1 ∩P (xr)) = 0 e pelo caso anteriorm(B1) = 0. Defina B2 = B ∩ P (x1, ..., xr−2).B2 ∩ P (xr−1) = B ∩ P (x1, ..., xr−2) ∩ P (xr−1) = B ∩ P (x1, ..., xr−1) =B1 ⇒ m(B2 ∩ P (xr−1)) = 0 ⇒ m(B2) = 0.Prosseguindo dessa forma obtemos que m(Br ∩ P (x1)) = 0 em P (x1)⇒ m(B) = 0 em IRn.

25

26

Capıtulo 3

O Teorema de Morse-Sard

envolvendo medidas de

Hausdorff

3.1 Apresentacao

O objetivo deste capıtulo e provar uma versao geral do teorema de Morse-Sard usando medidas de Hausdorff.

Definicao 3.1 Seja k ≥ 1 inteiro e α ∈ [0, 1]. Dizemos queF : U ⊂ IRn −→ IRm e de classe Ck+(α) em um subconjuntoA ⊂ U se F e Ck em U e para cada x ∈ A existe εx > 0 e Kx > 0,tal que se ‖x − y‖ < εx ⇒ |DkF (y) − DkF (x)| ≤ Kx‖x − y‖α (Isso emenos restritivo do que supor F ∈ Ck+α, isto e, F ∈ Ck e DkF e α-Holder-contınua ).

O resultado central deste trabalho segue abaixo.

Teorema 3.1 Seja F : U ⊂ IRn −→ IRm uma funcao de classe Ck, k ≥ 1,e seja p < m um inteiro. Se B = {x ∈ U ; posto(F (x)) ≤ p} e F e de classeCk+(α) em B, onde α ∈ [0, 1], entao a (p + n−p

k+α)−medida de Hausdorff deF (B) e nula.

Observacao 3.1 Se k + α < n−pm−p ⇒ p + n−p

k+α < m, entao a (p + n−pk+α)-

medida de Haudorff nao e a medida de Lebesgue ou uma medida produto emIRm, e portanto nao podemos aplicar o teorema de Fubini. Esta dificuldadee resolvida substituindo a aplicacao do teorema de Fubini por uma cuidadosadecomposicao do conjunto dos pontos crıticos.

27

3.2 Resultados Preliminares

Para demonstrar o teorema principal (teorema 3.1), usaremos alguns resul-tados que demonstraremos nesta secao. O proximo teorema sera de grandeimportancia na demonstracao de resultados posteriores antes de atacarmoso Teorema 3.1 .

Teorema 3.2 Seja k ≥ 1, α ∈ [0, 1], n > p e A ⊂ U ⊂ IRn, onde U e umconjunto aberto. Entao existe uma colecao de conjuntos {Ai}∞i=0 contidosem A tal que A =

⋃∞i=0Ai, onde A0 e enumeravel e para cada i ≥ 1 temos

que;

(i) existem funcoes ψi : Bi×Vi −→ U de classe C1, onde Bi e uma bola emalgum espaco IRri , ri ≥ 0 e Vi e uma bola em IRp, tal que ψi(x, y) =(ψi(x, y), y), e ‖ψi(x1, y1) − ψi(x2, y2)‖ ≥ ‖(x1, y1) − (x2, y2)‖ paratodo (x1, y1), (x2, y2) ∈ Bi × Vi, e Ai ⊂ ψi(Bi × Vi) com a seguintepropriedade : Podemos escrever Ai = A′

i ∪A′′i , onde ψ−1

i (A′′i ) tem me-

dida nula em Bi × Vi, e

(ii) se f : U −→ IR anula-se em A e f e de classe Ck+(α) em A entaotemos que

• lim sup(x,y0)→(x0,y0)

|f(ψi(x, y0))|‖x− x0‖k+α

< +∞ para todo (x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que

ψi(x0, y0) ∈ Ai

• lim(x,y0)→(x0,y0)

f(ψi(x, y0))

‖x− x0‖k+α= 0 para todo (x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que

ψi(x0, y0) ∈ A′i.

Demonstracao:A prova sera feita por inducao sobre n e k.

Consideremos primeiramente o caso n = k = 1, onde A ⊂ U ⊂ IR(note que neste caso p = 0).Defina A0 = {x ∈ A; ∃ ε > 0 tal que (x− ε, x+ ε)∩A e enumeravel}. Sejam{Bi}i∈N as componentes conexas de U (caso sejam em numero finito entaoexiste um n0 tal que Bn0+r = ∅ para todo r ≥ 1).Defina Ai = (A \ A0) ∩ Bi e ψi = Id|Bi

, assim Ai ⊂ ψi(Bi). Coloque

Ai = A′i ∩A′′

i , onde A′i e o conjunto dos pontos de densidade de Ai, ou seja,

A′i = {x ∈ Ai; lim

ε→0

m1(Ai ∩ (x− ε, x+ ε))

2ε= 1} (onde m

1 denota a medida

1-dimensional de Lebesgue), e A′′i = Ai \A′

i.

28

Pelo teorema de densidade de Lebesgue (ver apendice A), temos que A′′i

tem medida de Lebesgue nula em Bi, logo ψ−1(A′′i ) tem medida nula, satis-

fazendo assim a condicao(i) do teorema 3.2.Se f : U −→ IR e de classe C1+(α) em A, com f |A≡ 0, entao f ′(x) = 0 paratodo x ∈ Ai, i ≥ 1. Com efeito, todo ponto de Ai e ponto de acumulacao,portanto se x ∈ Ai existe uma sequencia {xn} em Ai com xn → x tal

que limn→∞

f(xn) − f(x)

xn − x= 0.

Se x ∈ Ai e y ∈ Bi temos que f(y) = f(y) − f(x) = f ′(z)(y − x), ondea ultima desigualdade e devida ao teorema do valor medio, com z ∈ (x, y).Como f e de classe C1+(α) em A, por definicao existe εx > 0 e Kx > 0, talque, se |x− y| ≤ εx entao |f ′(y) − f ′(x)| ≤ Kx|y − x|α, desta forma

|f(y) − f(x)| = |f ′(z)||y − x| = |f ′(z) − f ′(x)||y − x| ≤ Kx|z − x|α|y − x| ≤Kx|y − x|1+α, pois |z − x| ≤ |y − x|.

⇒ lim supy→x

|f(y)||y − x|1+α

< +∞

Se x ∈ A′i tome y ∈ Bi tal que |y − x| < εx, logo se t ∈ (x, y) ⇒ |f ′(t)| ≤

Kx|t− x|α. Pelo Teorema Fundamental do Calculo temos que,

f(y) = f(y) − f(x) =

∫ y

xf ′(t)dt ≤

∫ y

xKx|y − x|αdt ≤ Kx|y − x|α

∫ y

xdt =

Kx|y − x|αm1({t ∈ (x, y); f ′(t) = 0}⋃{t ∈ (x, y); f ′(t) 6= 0}

).

Note que {t ∈ (x, y); f ′(t) = 0} ={{Ai ∩ (x, y)} ∪

({t ∈ (x, y); f ′(t) =

0} \ {Ai ∩ (x, y)})}

, portanto

limy→xm

1({t∈(x,y)})|y−x| =

limy→xm

1({t∈(x,y);f ′(t)6=0}∪

({t∈(x,y);f ′(t)=0}\{Ai∩(x,y)}

)∪{Ai∩(x,y)}

)

|y−x|

= 1 = limy→xm

1({t∈(x,y);f ′(t)6=0})|y−x| + limy→x

m1({t∈(x,y);f ′(t)=0}\{Ai∩(x,y)})

|y−x| +

limy→xm

1({Ai∩(x,y)})|y−x| ⇒ lim

y→x

m1({t ∈ (x, y); f ′(t) 6= 0})

|y − x| = 0,

pois limy→x

m1({Ai ∩ (x, y)})

|y − x| = 1 ja que x ∈ A′i

⇒ limy→x

|f(y)||y − x|1+α

= 0, isto prova a condicao (ii) do teorema.

Consideremos agora o caso k = 1, n arbitrario e df(x)v = 0 para todo

x ∈ A, v ∈ IRn−p × {0} , onde f : UC1

−→ IR cumpre que f |A ≡ 0.Coloque A2 = A \ A1, onde A1 e o conjunto dos pontos de densidade de A

29

na direcao de IRn−p × {0}, ou seja,

A1 ={(x, y) ∈ A; lim

ε→0

me(B(x, ε) × {y} ∩A

)

me(B(x, ε))

= 1},

onde e = n− p e me e a medida e−dimensional de Lebesgue e B(x, ε) e a

bola aberta de raio ε > 0 e centro x, em IRn−p. Pelo Teorema de Densidadede Lebesgue, A2∩P (y0) tem medida nula em cada plano IRn−p×{y0}, ondeP (y0) e o plano y = y0. Logo, pelo lema 2.3, A2 tem medida nula.Se (x0, y0) ∈ A e f e C1+(α) em A entao tomamos uma bolaB

((x0, y0), ε(x0,y0)

)

contida em U e definimos ψ = Id|B((x0,y0),ε(x0,y0)

). Pelo Teorema do Valor

Medio, existe t ∈ (0, 1) tal que,

f(x, y0) = f(x, y0) − f(x0, y0) = df((x0, y0) + t(x− x0, 0)

)(x− x0, 0), mas

df((x0, y0) + t(x− x0, 0)

)(x− x0, 0) = df

((x0, y0) + t(x− x0, 0)

)(x−

x0, 0) + df(x0, y0)(x− x0, 0) ⇒ |df((x0, y0) + t(x− x0, 0)

)| =

|df((x0, y0) + t(x− x0, 0)

)− df(x0, y0)| ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖α

⇒ lim sup(x,y0)→(x0,y0)

|f(x, y0)|‖x− x0‖1+α

< +∞

Afirmacao 1: Se (x0, y0) ∈ A1 temos que

limε→0

me((B(x0, ε) × {y0}) ∩A

)

me(B(x0, ε))

= 1

⇒ limε→0

1

vol(Sn−p−1)

∫

Sn−p−1

(1

ε

∫ ε

0χA(x0 + tv, y0)dt

)dv = 1.

De fato; coloque n − p = s. A funcao σ : Ss−1 × (0, ε) −→ B(x0, ε) \ {0}definida por σ(t, v) = x0 + tv e um difeomorfismo e induz uma medidaµ sobre Ss−1 × (0, ε) atraves da medida de Lebesgue da seguinte forma:µ(E) = m

e(σ(E)), E ⊂ Ss−1 × (0, ε).Defina a medida ρ sobre (0, ε) por ρ(D) =

∫D t

s−1dt. Entao existeuma unica medida γ sobre Ss−1 tal que µ = ρ × γ (ver [3], pag

243). Desta forma temos que

∫

Ss−1

∫ ε

0ts−1χA(x0 + tv, y0)dtdv = ρ× γ(C),

onde C = {(t, v) ∈ Ss−1 × (0, ε); (x0 + tv, y0) ∈ B((x0, y0), ε) ∩ A},assim ρ × γ(C) = m

e(σ(C)) =ρ× γ(Ss−1 × (0, ε))

me(B(x0, ε))

me(σ(C)) =

εs

s

vol(Ss−1)

me(B(x0, ε))

me(σ(C))

⇒ 1

vol(Ss−1)

∫

Ss−1

∫ ε

0ts−1χA(x0 + tv, y0)dtdv =

εs

s

me(σ(C))

me(B(x0, ε))

⇒ 1

vol(Ss−1)

∫

Ss−1

εs−1

s

∫ ε

0χA(x0 + tv, y0)dtdv =

εs

s

me(σ(C))

me(B(x0, ε))

30

⇒ 1

vol(Ss−1)

∫

Ss−1

1

ε

∫ ε

0χA(x0 + tv, y0)dtdv =

me(σ(C))

me(B(x0, ε))

.

⇒ limε→0

1

vol(Ss−1)

∫

Ss−1

1

ε

∫ ε

0χA(x0 + tv, y0)dtdv = 1

Afirmacao 2: Para todo ε > 0 dado existe δ > 0 tal que,se ‖x − x0‖ < δ existe v ∈ Ss−1 com ‖v − x−x0

‖x−x0‖‖ < ε e

‖ 1‖x−x0‖

∫ ‖x−x0‖

0χA(x0 + tv, y0)dt− 1‖ < ε.

De fato, pela afirmacao 1 existe δ > 0 tal que, se ‖(x, y0)− (x0, y0)‖ < δ ⇒

‖ 1

vol(Ss−1)

∫

Ss−1

( 1

‖x− x0‖

∫ ‖x−x0‖

0χA(x0 + tv, y0)dt

)dv − 1‖ < ε

vol(Ss−1)

⇒ ‖ 1

vol(Ss−1)

∫

Ss−1

( 1

‖x− x0‖

∫ ‖x−x0‖

0(χA(x0+tv, y0)−1)dt

)dv‖ < ε

vol(Ss−1).

Coloque M ={u ∈ Ss−1; ‖u− x−x0

‖x−x0‖‖ < ε}, deste modo temos que,

‖ 1

vol(M)

∫

M

( 1

‖x− x0‖

∫ ‖x−x0‖

0(χA(x0 + tv, y0) − 1)dt

)dv‖ < ε

vol(M), e

pelo Teorema do Valor Medio para integrais (ver [4], pag 370), existe v0 ∈M

tal que

∫

M

( 1

‖x− x0‖

∫ ‖x−x0‖

0(χA(x0 + tv, y0) − 1)dt

)dv =

1

‖x− x0‖

∫ ‖x−x0‖

0(χA(x0+tv0, y0)−1)dt, daı seguindo o resultado desejado.

Por outro lado, coloque z = v0‖x− x0‖+ x0. Note que ‖z− x0‖ = ‖x− x0‖‖f(x, y0), f(x0, y0) ≤ ‖f(x, y0)−f(z, y0)‖+‖f(z, y0)−f(x0, y0)‖ e pelo Teo-rema do Valor Medio existe w ∈ ((x, y0), (z, y0)) tal que f(x, y0)−f(z, y0) =df(w)(x− z, 0).Observe que ‖w − (x, y0)‖ ≤ ‖(x, y0) − (z, y0)‖ (Veja figura abaixo)

Figura 3.1:

31

Se ε < ε(x0,y0) ⇒ ‖w − (x0, y0)‖ < ε(x0,y0) ⇒ |df(w) − df(x0, y0)| ≤K(x0,y0)‖w − (x0, y0)‖α ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖α

⇒ |f(x, y0) − f(z, y0)| ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖α‖x− z‖ =

K(x0,y0)‖x− x0‖α∥∥∥x− v0‖x− x0‖ − x0

∥∥∥ =

K(x0,y0)‖x− x0‖α∥∥∥ x−x0‖x−x0‖‖x− x0‖ − v0‖x− x0‖

∥∥∥ =

K(x0,y0)‖x− x0‖α∥∥∥‖x− x0‖( x−x0

‖x−x0‖ − v0)∥∥∥ =

K(x0,y0)‖x− x0‖α‖x− x0‖‖ x−x0‖x−x0‖ − v0‖ ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖1+αε.

Restringindo f ao segmento [(x0, y0), (z, y0)], temos pelo Teorema Funda-mental do Calculo que

f(z, y0) − f(x0, y0) =

∫ ‖z−x0‖

0df(x0 + tv, y0)vdt ≤

∫

C

∣∣(df(x0 + t(z − x0), 0) − df(x0, y0)

)v∣∣dt,

onde C = {t ∈ [0, ‖z − x0‖];∂f(x0 + tv, y0)

∂x6= 0}

⇒ |f(z, y0) − f(x0, y0)| ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖αm

1(C) ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖1+αε

pois m1([0, ‖z − x0‖]) = m

1(([0, ‖z − x0‖] \ C) ∪ C

)=

m1([0, ‖z − x0‖] \ C) + m

1(C) = ‖z − x0‖ ⇒ m1(C) =

‖z − x0‖ −∫

‖z−x0‖\Cdt ≤ ‖z − x0‖ −

∫ ‖z−x0‖

0χA(x0 + tv, y0)dt, pois

{t ∈ [0, ‖z−x0‖]; (x0+tv, y0) ∈ A} ⊂ ‖z−x0‖\C, pela afirmacao 2 segue que

m1(C) ≤

∣∣‖z − x0‖ −∫ ‖z−x0‖

0χA(x0 + tv, y0)dt

∣∣ < ε‖z − x0‖ = ε‖x− x0‖,portanto |f(x, y0) − f(x0, y0)| ≤ 2K(x0,y0)‖x− x0‖1+αε

⇒ lim(x,y0)→(x0,y0)

|f(x, y0)|‖x− x0‖1+α

= 0.

Para cada (x0, y0) ∈ A escolhemos uma bola aberta B((x0, y0), ε(x0,y0)

)

tal que B((x0, y0), ε(x0,y0)

)⊂ U , e desta colecao de bolas podemos extrair

uma sub-colecao enumeravel {B((xi, yi), ε(xi,yi)

)} que cobre o conjunto A.

Colocamos Ai = A∩B((xi, yi), ε(xi,yi)

)e ψi = Id|Bi

, desta forma obtemoso resultado desejado e terminamos a prova para este caso.

Consideremos o caso k ≥ 1, n arbitrario.

Coloque A = A1 ∪ A2, onde A1 = {w ∈ A; ∃ g : UCk

−→ IR, g|A ≡ 0,

32

∃v ∈ IRn−p×{0}, dg(w)v 6= 0}, e A2 = A\A1. Se (x0, y0) ∈ A1 entao existe

g : UCk

−→ IR tal que g|A ≡ 0 e ∃v ∈ IRn−p ×{0} tal que dg(x0, y0)v 6= 0,

e pelo Teorema da Funcao Implıcita existe ψn : B × VCk

−→ J , onde B euma bola aberta contida em IRn−p−1, V um aberto em IRp e J um in-tervalo aberto em IR, tal que g(x1, ..., xn−1, ψ

n(x1, ..., xn−1) = 0, para todo(x1, ..., xn−1) ∈ B × V .Defina ϕ : B × V → U por ϕi(x1, ..., xn−1) = xi, i = 1, ..., n − 1,e ϕn(x1, ..., xn−1) = ψn(x1, ..., xn−1). Deste modo ϕ e de classe Ck,‖ϕ( z1) − ϕ(z2)‖ ≥ ‖z1 − z2‖ e

((B × V × J) ∩ A1

)⊂ ϕ(B × V ). Por

hipotese de inducao, o resultado vale para k ≥ 1 e n − 1, para o conjuntoϕ−1(W ) ⊂ IRn−1, onde W = (B × V × J)∩A1. Existem, portanto, conjun-

tos D0, D1, ..., onde ϕ−1(W ) =∞⋃

r=0

Dr e funcoes ψr : Br × Vr −→ B × V ,

de classe C1, onde Br e uma bola aberta em algum IRsr , sr ≥ 0, e Vr euma bola aberta em IRp tal que ‖ψr(z1) − ψr(z2)‖ ≥ ‖z1 − z2‖, para todoz1, z2 ∈ Br × Vr, Dr ⊂ ψr(Br × Vr), onde Dr = D′

r ∪D′′r tal que ψ−1

r (D′′r )

tem medida nula em Br × Vr. Se h : B × V −→ IR e uma funcao de classe

Ck+(α) em W e h|W ≡ 0 entao lim sup(u,u0)→(u,u0)

h(ψr(u, u0))

‖u− u‖k+α< +∞ para todo

(u, u0) ∈ Br × Vr tal que ψr(u, u0) ∈ Dr e lim(u,u0)→(u,u0)

h(ψr(u, u0))

‖u− u‖k+α= 0

para todo (u, u0) ∈ Br × Vr tal que ψr(u, u0) ∈ D′r.

Defina ϕr = ϕ ◦ ψr e Wr = ϕ(Dr), assim obtemos uma decomposicaopara W e aplicacoes ϕr que satisfazem (i) e (ii). De fato, claramenteW ⊂ ⋃

r Wr, onde ϕr sao aplicacoes de classe Cr tal que Wr ⊂ ϕr(Br ×Vr)e ‖ϕr(z1)−ϕr(z2)‖ = ‖ϕψr(z1)−ϕψr(z2)‖ ≥ ‖ψr(z1)−ψr(z1)‖ ≥ ‖z1−z2‖,e mais, Wr = W ′

r ∪ W ′′r , onde ϕ−1

r (W ′′r ) tem medida nula em Br × Vr

pois ϕ−1r (ϕ(D′′

r ) = ψ−1r (ϕ−1(ϕ(D′′

r ))) = ψ−1r (D′′

r ) que tem medida nula emBr × Vr por hipotese de inducao.Se f : U −→ IR e de classe Ck+(α) em A e f|A ≡ 0, entao f ◦ ϕanula-se sobre ϕ−1(W ) e temos que lim sup

(u,u0)→(u,u0)

f(ϕr(u, u0))

‖u− u‖k+α=

lim sup(u,u0)→(u,u0)

f ◦ ϕ(ψr(u, u0))

‖u− u‖k+α< +∞ para todo (u, u0) ∈ Br × Vr tal que

ψr(u, uo) ∈Wr. Analogamente obtemos lim(u,u0)→(u,u0)

f(ϕr(u, u0))

‖u− u‖k+α= 0 para

todo (u, u0) ∈ Br × Vr tal que ϕr(u, u0) ∈W ′r.

Considere agora o conjunto A2.Se k = 1, o resultado ja foi provado, portanto consideremos k > 1.Se f : U −→ IR e Ck+(α) em A e f|A ≡ 0 entao df|

A2≡ 0. Assumimos

33

por inducao que o resultado vale para k − 1, n arbitrario. Suponha que{A2

i }∞i=0 seja uma decomposicao para o conjunto A2, tal que A2 =⋃

iA2i ,

onde A20 e enumeravel e para i ≥ 1 existem aplicacoes ψi : Bi × Vi

C1

−→ Utal que A2

i ⊂ ψi(Bi × Vi) e A2i = (A2

i )′ ∪ (A2

i )′′ onde ψ−1

i

((A2

i )′′) tem

medida nula. Temos tambem que lim sup(x,y0)→(x0,y0)

df(ψi(x, y0))

‖x− x0‖k−1+α< +∞ para

todo (x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que ψi(x0, y0) ∈ A2i

⇒ |df(ψi(x, y0))| < K(x0,y0)‖x− x0‖K−1+α

Aplicando o Teorema do Valor Medio e usando o fato que ψi e local-mente lipschitziana, obtemos

|f(ψi(x, y0)−f(ψi(x0, y0)| ≤ K(x0,y0)‖x−x0‖K−1+α‖ψi(x, y0)−ψi(x0, y0)‖ ≤

MK(x0,y0)‖x − x0‖K−1+α‖x − x0‖ ⇒ lim sup(x,y0)→(x0,y0)

f(ψi(x, y0))

‖x− x0‖k+α< +∞,

onde M e a constante de lipschitz.

Analogamente, por hipotese temos que lim(x,y0)→(x0,y0)

|df(ψi(x, y0))|‖x− x0‖k−1+α

= 0

para todo (x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que ψi(x) ∈ (A2i )

′.

Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que, ‖(x, y0) − (x0, y0)‖ < δ ⇒

|df(ψi(x, y0)−df(ψi(x0, y0)| ≤ ε‖(x, y0)−(x0, y0)‖k−1+α‖ψi(x, y0−psii(x0, y0‖

< εM‖x − x0‖k−1+α. Novamente aplicando o Teorema do Valor Medio

obtemos, |f(ψi(x, y0)−f(ψi(x0, y0)| ≤ ε‖x−x0‖k−1+α‖ψi(x, y0)−ψi(x0, y0)‖ ≤

εM‖x− x0‖k+α ⇒ lim(x,y0)→(x0,y0)

|f(ψi(x, y0))|‖x− x0‖k+α

= 0.

Corolario 3.1 Seja k ≥ 1, α ∈ [0, 1], n > p e A ⊂ U ⊂ IRn, onde U e umconjunto aberto. Entao existe uma colecao de conjuntos {Ai}∞i=0 contidosem A tal que A =

⋃∞i=0Ai, onde A0 e enumeravel e para cada i ≥ 1 temos

que;

(i) existem funcoes ψi : Bi × Vi −→ U de classe C1, onde Bi e umabola em algum espaco IRri , ri ≥ 0 e Vi e uma bola em IRp, tal queψi(x, y) = (ψi(x, y), y), e ‖ψi(x1, y1) − ψi(x2, y2)‖ ≥‖(x1, y1) − (x2, y2)‖ para todo (x1, y1), (x2, y2) ∈ Bi × Vi, eAi ⊂ ψi(Bi × Vi) com a seguinte propriedade : Podemos escrever

34

Ai = A′i ∪A′′

i , onde ψ−1i (A′′

i ) tem medida nula em Bi × Vi, e

(ii) se f : U −→ IR e de classe Ck+(α) em A e Dxf = 0 em A, entaotemos que

• lim sup(x,y0)→(x0,y0)

|f(ψi(x, y0)) − f(ψi(x0, y0))|‖x− x0‖k+α

< +∞ para todo

(x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que ψi(x0, y0) ∈ Ai

• lim(x,y0)→(x0,y0)

|f(ψi(x, y0)) − f(ψi(x0, y0))|‖x− x0‖k+α

= 0 para todo

(x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que ψi(x0, y0) ∈ A′i.

Demonstracao: Se k = 1, entao estamos exatamente no caso k = 1 nademonstracao do teorema 3.2, logo a prova e a mesma. Se k ≥ 2, entaoa prova segue do teorema 3.2 aplicado a Dxf e da desigualdade do valormedio.

Corolario 3.2 Nas hipoteses do corolario 3.1, para qualquer z ∈ Bi × Vi

tal que ψi(z) ∈ Ai, existem εz > 0 e Kz > 0 tal que ‖w − z‖ <εz ⇒ |f(ψi(w)) − f(ψi(z))| ≤ Kz‖w − z‖k+α, e para qualquer ε > 0 dado,

existe um δ > 0 tal quem

(ri+p)(ψ−1i (Ai) ∩B(z, r))

m(ri+p)(B(z, r))

> 1 − δ ⇒

|f(ψi(w)) − f(ψi(z))| ≤ εKzrk+α, se r ≤ εz e ‖w − z‖ ≤ r. (Aqui δ

depende somente de ε e n)

Demonstracao: A primeira parte segue diretamente docorolario 3.1. A segunda parte tambem, basta notar que sem

(ri+p)(ψ−1i (Ai) ∩B(z, r))

m(ri+p)(B(z, r))

> 1 − δ para todo δ > 0 entao z e ponto de

densidade de ψ−1i (Ai), e entao o resultado segue novamente do corolario 3.1.

Observacao 3.2 Se k = 0 entao nos ainda temos os mesmos resultados

do teorema 3.2, exceto que limw→z

f(ψi(w))

‖w − z‖k+α= 0 para cada z ∈ Bi × Vi tal

que ψi(z) ∈ A′i

3.3 O resultado principal

Os seguintes resultados serao necessarios na demonstracao do teorema prin-cipal deste trabalho.

35

Lema 3.1 Seja A ⊂ IRm com mm(A) < ∞, onde m

m denota a medidade Lebesgue m-dimensional, e seja Γ uma familia de bolas abertas B(x, r),x ∈ A e r > 0, tal que para cada x ∈ A existe um εx > 0 tal quer ≤ εx ⇒ B(x, r) ∈ Γ. Entao para cada ε > 0 existem sequencias {xn} e {rn},onde xn ∈ A e rn > 0 com B(xn, rn) ∈ Γ e A ⊂ ⋃∞

n=1B(xn, rn), tal que∞∑

n=1

mm(B(xn, rn)) < m

m(A) + ε.

Demonstracao: Seja ε > 0 dado.Tome um aberto U contendo A tal que m

m(U) < mm(A)+ ε

2 . Escolhemos asbolas abertas e disjuntas B(x1, r1), ..., B(xn, rn) em U , onde xi ∈ A e ri > 0.Defina sn = sup{r > 0; ∃ x ∈ A tal que r < εx

5 , B(x, r) ⊂ U eB(x, r) ∩ (B(x1, r1) ∪ ... ∪B(xn, rn)) = ∅}.Escolha B(xn+1, rn+1) tal que xn+1 ∈ A e sn

2 < rn+1 <εxn+1

5 ,B(xn+1, rn+1) ⊂ U e B(xn+1, rn+1) ∩ (B(x1, r1) ∪ ... ∪ B(xn, rn) = ∅.Da mesma forma escolhemos B(xn+2, rn+2) e assim por diante.Ja que as B(xi, ri) sao disjuntas e estao contidas em U , temos que∞∑

i=1

mm(B(xi, ri)) < m

m(A) +ε

2, portanto existe um n0 ∈ N tal que

∞∑

i=n0

mm(B(xi, 5ri)) <

ε

2(∗).

Coloque B(xi, ri) = B(xi, ri) se i < n0 e B(xi, ri) = B(xi, 5ri) se i ≥ n0.

Por (∗) temos que∞∑

i=1

mm(B(xi, ri)) < m

m(A) + ε.

Queremos mostrar agora que A ⊂ ⋃∞i=1B(xi, ri), para isto primeiro

mostraremos que A ⊂ ⋃∞i=1B(xi, ri). Tome x ∈ A e coloque

r = min{rn0 ,εx

5 , d(x, Uc ∪ (∪i<n0B(xi, ri)))} (aqui, d denota a funcao

distancia).Se r = 0 entao d(x, U c ∪ (∪i<n0B(xi, ri))) = 0 ja que rn0 > 0, εx > 0 etemos tambem que d(x, U c) > 0 ja que U e aberto, logo x ∈ B(xi, ri) paraalgum i < n0.Se r > 0, escolha o menor inteiro positivo k tal que sk < r, este k existeja que sn → 0 quando n → ∞, e escolha o menor inteiro positivo l tal quer ≤ sl, tambem existe tal l ja que r ≤ rn0 ≤ sn0−1.Se sk < r ⇒ B(x, r) ∩ (B(x1, r1), ..., B(xk, rk)) 6= ∅, e portanto existe j ≤ ktal que B(x, r)∩B(xj , rj) 6= ∅. Note que devemos ter k ≥ n0, pois r ≤ sn0−1

e tambem temos que l ≤ k−1, e se l < k−1 entao sl = ... = sk−1, desta formaconcluımos que rj >

sk−1

2 ≥ r2 , pois j ≤ k ⇒ r < 2rj ⇒ x ∈ B(xj , 5rj) =

B(xj , rj). Isto prova que A ⊂ ⋃∞n=1B(xn, rn).

Coloque rn =( m

m(A) + ε∑∞i=1 m

m(B(xi, ri))

) 12m rn, assim temos queA ⊂ ⋃∞

n=1B(xn, rn)

36

e∑∞

n=1 mm(B(xn, rn)) =

∑∞i=1C

( mm(A) + ε

mm(B(xn, rn))

) 12 rm

n , onde C e a

constante de volume da bola em IRm, isto implica que,∑∞

n=1 mm(B(xn, rn)) = (mm(A) + ε)

12∑∞

n=1

( Crmn

(mm(B(xn, rn)))12

)=

(mm(A) + ε)12

∞∑

n=1

mm(B(xn, rn))

(mm(B(xn, rn))12

=

(mm(A) + ε)12

( ∑∞n=1 m

m(B(xn, rn)) 1

2 < mm(A) + ε.

Observacao 3.3 No lema 3.1, nos podemos trocar a familia de bolas B(x, r)por uma familia de cubos C(x, r) =

∏mi=1[xi−r, xi+r], onde x = (x1, ..., xm),

usando a mesma prova.

Lema 3.2 Seja F : U −→ IRm uma funcao definida no aberto U ⊂ IRn, A ⊂U e d > 0 tal que para qualquer x ∈ A existem εx > 0, Kx > 0 tal queHd(F (B(x, ε) ∩ A)) ≤ Kxm

n(B(x, ε)) ∀ ε < εx, onde B(x, ε) e uma bolaaberta centrada em x e Hd e a medida de Hausdorff de dimensao d, e existe

A′ ⊂ A tal que mn(A \ A′) = 0 e lim

ε→0

Hd(F (B(x, ε) ∩A))

mn(B(x, ε))

= 0 ∀ x ∈ A′i.

Entao Hd(F (A)) = 0.

Demonstracao: Podemos supor que A tem medida de Lebesgue finita, poisA pode ser escrito como uma uniao enumeravel de conjuntos com medidade Lebesgue finita . Nos podemos tambem decompor A da seguinte forma:A =

⋃∞k=1Ak onde Ak = {x ∈ A; Kx ≤ k}, e assim podemos supor que

Kx ≤ K ∀ x ∈ A. A justificativa aqui e a mesma dada no caso onde afir-mamos que podemos supor que A tem medida de Lebesgue finita. Seja C amedida de Lebesgue de A.Dado ε > 0, para cada x ∈ A′ tome δx > 0 tal que B(x, δx) ⊂ U e ser < δx

⇒ Hd(F (B(x, r) ∩A))

mn(B(x, r))

≤ ε

2(C − 1). Pelo lema 3.1, nos podemos cobrir A′

com uma colecao de bolas

B(xn, rn), onde xn ∈ A′, e∑∞

n=1 mn(B(xn, rn) < C + 1 e rn < δxn ∀n

⇒ ∑∞n=1H

d(F (B(xn, rn) ∩A)) ≤ ε2(C+1)

∑∞n=1 m

n(B(xn, rn))

⇒ ∑∞n=1H

d(F (B(xn, rn) ∩A)) ≤ ε2(C+1)(C + 1) = ε

2

⇒ Hd(F (A′)) ≤ Hd(F (⋃∞

n=1B(xn, rn) ∩A)) ≤

Hd(⋃∞

n=1(F (B(xn, rn) ∩A))) ≤ ∑∞n=1H

d(F (B(xn, rn) ∩A)) ≤ ε2 .

Novamente pelo lema 3.1, nos podemos cobrir A \ A′ com uma colecao

37

enumeravel de bolas B(xn, rn), onde xn ∈ A \ A′ tal que B(xn, rn) ⊂ U ,

rn < εxn ∀ n ∈ N e∑∞

n=1 mn(B(xn, rn) <

ε

2K, ja que m

n(A \A′) = 0

⇒ ∑∞n=1H

d(F (B(xn, rn)) ∩A) ≤ K∑∞

n=1 mn(B(xn, rn) ∩A) = ε

2

⇒ Hd(F (A \ A′)) ≤ ε2 ⇒ Hd(F (A)) < ε. Ja que ε e arbitrario, nos temos

que Hd(F (A)) = 0.

Observacao 3.4 O mesmo resultado do lema 3.2 ainda vale se trocarmosas bolas B(x, ε) pelos cubos C(x, ε).

Observacao 3.5 No lema 3.2, nos podemos mudar a condicao“Hd(F (B(x, ε) ∩ A)) ≤ kxm

n(B(x, ε)), ∀ ε ≤ εx” por “F (B(x, ε) ∩ A))

pode ser coberto por bolas abertas B(yi, δ(ε)i ), i ∈ N, yi ∈ F (B(x, ε) ∩ A)

com∑∞

i=1(δ(ε)i )d ≤ kxm

n(B(x, ε)), ∀ ε ≤ εx”, e a condicao

“limε→0

Hd(F (B(x, ε) ∩A)

mn(B(x, ε))

= 0, ∀ x ∈ A′” por “F (B(x, ε) ∩ A) pode ser

coberto por bolas B(yi, δ(ε)i ), i ∈ N, com lim

ε→0

∑∞i=1(δ

(ε)i )d

mn(B(x, ε))

= 0, ∀ x ∈ A′”, e

a prova permanece essencialmente a mesma.

Dem: Seja ε > 0 dado. Lancando mao das observacoes iniciais da demon-stracao do lema 3.2, seja C = m

n(A). Para cada x ∈ A′ tome ηx > 0 tal que

B(x, ηx) ⊂ U , e se r < ηx ⇒∑∞

i=1(δ(r)i )d

mn(B(x, r))

<ε

2(C + 1).

Pelo lema 3.1 existem bolas abertas B(xn, rn), onde xn ∈ A′, tal queA′ ⊂ ⋃

nB(xn, rn) e∑

n mn(B(xn, rn)) < C + 1 e

rn < ηxn⇒

∑

n

( ∑

i

(δ(ε)i )d

)≤ ε

2(C + 1)

∑

n

mn(B(xn, rn)) ≤ ε

2⇒

∑

n

( ∑

i

(δ(ε)i )d

)≤ ε

2. Novamente pelo lema 3.1 , existem bolas B(xn, rn),

xn ∈ A\A′, tal que A\A′ ⊂ ⋃nB(xn, rn), com

∑n m

n(B(xn, rn)) ≤ ε2K , e

B(xn, rn) ⊂ U para rn < ε ∀ n ⇒∑

i

(δ(rn)i )d < Km

n(B(xn, rn)) ⇒∑

n

( ∑

i

(δ(rn)i )d

)< K

∑

n

mn(B(xn, rn)) ≤ ε

2⇒

∑

n

( ∑

i

(δ(rn)i )d

)<

ε

2.

Coloque⋃

mB(xm, rm) =( ⋃

nB(xn, rn)) ⋃ ( ⋃

nB(xn, rn)). Temos que

F (A) = F (∪mB(xm, rm) ∩ A) ⊂ ⋃n

((∪iB(yi, δ

rn

i )) ∪ (∪jB(yj , δrn

j ))).

Coloque ∪iδni = (∪j δ

(rn)j ) ∪ (∪kδ

(rn)k ). Tomando a medida de Hausdorff

obtemos Hd(F (A)) ≤ Hd( ⋃

n

[(∪iB(yi, δ

rn

i )) ∪ (∪jB(yj , δrn

j ))])

≤

38

∑

n

∑

i

(δni )d ≤ ε

2+ε

2= ε, e como ε e arbitrario segue que Hd(F (A)) = 0.

Observacao 3.6 Se mudarmos as condicoes do lema 3.2 por“F (B(x, ε) ∩ A)) pode ser coberto por bolas B(yi, δi), ondeyi ∈ F (B(x, ε) ∩ A) e i ∈ N, com

∑∞i=1 δ

di ≤ kmn(B(x, ε)), ∀ ε ≤ εx

(onde k nao depende de x), e mn(A) < ∞”, entao nos podemos concluir,

usando a mesma prova, que Hd(F (A)) ≤ kmn(A).

Teorema 3.3 Seja F : X ⊂ IRn −→ IRn uma funcao e sejaA = {x ∈ X; DF (x) existe e nao e sobrejetiva}. Entao m

n(F (A)) = 0.

Demonstracao: Seja ε > 0 dado. Podemos supor que mn(A) = C < ∞,

pois podemos escrever A =⋃Ak, onde m

n(Ak) < ∞ ∀ k, e a uniao enu-meravel de conjuntos de medida nula tem medida nula. Tome x ∈ A, pordefinicao do conjunto A temos que, F (x+h)−F (x) = DF (x)h+r(h), onde

limh→0

r(h)

‖h‖ = 0. Seja K = ‖DF (x)‖. Existe δx > 0 tal que se ‖h‖ < δx ⇒‖r(h)‖‖h‖ <

ε

2(K + 1)n−1.

Seja M um subespaco (n-1)-dimensional em IRn que contem a imagem deDF (x). Note que a imagem do conjunto {h; ‖h‖ ≤ δx} por DF (x) estacontida em uma bola de raio K‖h‖ no subespaco M . Assim para todo h,onde ‖h‖ < δx, temos que

‖F (x+ h) − F (x)‖ ≤ K‖h‖ +ε‖h‖

2(K + 1)n−1,

logo F (x+ h)− F (x) pertence a um cilindro em IRn que e o produto carte-siano de uma bola de raio (K + 1)‖h‖ no subespaco M por um intervalo de

raioε‖h‖

2(K + 1)n−1(veja figura 3.2).

Deste modo, se r < δx ⇒ mn(F (B(x, r)) ≤ εr

2(K + 1)n−1(K+1)n−1rn−1vn−1 =

εrnvn−1, onde vn−1 e o volume da bola unitaria em IRn−1, logo

mn((F (B(x, r)))

mn(B(x, r))

≤ εrnvn−1

rnvn≤ ε

⇒ limr→0

mn((F (B(x, r)))

mn(B(x, r))

= 0

⇒ limr→0

mn((F (B(x, r) ∩A))

mn(B(x, r))

= 0.

39

Figura 3.2:

Escolha δ′x ≤ δx tal que se r ≤ δ′x ⇒ mn((F (B(x, r) ∩A))

mn(B(x, r))

≤ ε

C + 1.

Pelo lema 3.1, nos podemos cobrir o conjunto A por bolas abertas B(xn, rn),onde xn ∈ A,

∑n m

n(B(xn, rn)) ≤ C + 1 e rn < δ′xn∀ n, desta forma

temos∑

n mn(F (B(xn, rn)∩A)) ≤ ε

C+1

∑n m

n(B(xn, rn)) ≤ εC+1(C+1) = ε

⇒ mn(F (A)) ≤ m

n(F (⋃

n(B(xn, rn) ∩A))) = mn(

⋃n F (B(xn, rn) ∩A)) =

∑n m

n(F (B(xn, rn) ∩A)) ≤ ε.

Portanto, como ε e arbitrario, temos que mn(F (A)) = 0

Finalmente abordaremos o resultado principal deste trabalho , o Teoremade Morse-Sard envolvendo a medida de Hausdorff. (teorema 3.1)

Seja F : U ⊂ IRn −→ IRm de classe Ck e seja p < m um inteiro.Se B = {x ∈ U ; posto(F (x)) ≤ p} e F de classe Ck+(α) em B, entao a(p+ n−p

k+α)−medida de Hausdorff de F (B) e nula.

Demonstracao: Para demonstrarmos o teorema 3.1, basta provarmos que oconjunto Bp = {x ∈ U ; posto(DF (x)) = p} tem medida de Hausdorff dedimensao (p+ n−p

k+α) nula.De fato, note que podemos escrever B =

⋃pr=0{x ∈ U ; posto(F (x)) = r} e

40

que, para 0 ≤ r ≤ p, r +n− r

k + α≤ p+

n− p

k + α, pois 0 ≥ (k + α− 1)(r − p) =

(k + α)(r − p) − (r − p) = (k + α)(r − p) + (n− r) − (n− p) ⇒0 ≥ (k + α)(r − p) + (n− r) − (n− p)

k + α= r − p +

n− r

k + α− n− p

k + α

⇒ r +n− r

k + α≤ p+

n− p

k + α.

Pela definicao de dimensao de Haudorff, temos que se a (r + n−rk+α)-medida

de Hausdorff e zero entao a (p+ n−pk+α)-medida de Hausdorff tambem e zero.

Se x0 ∈ Bp, seja E = F ′(x0)(IRn) ⊂ IRm, onde a dimensao de E e p.

Existe uma decomposicao em soma direta IRp+(m−p) = IRp ⊕ IRm−p, talque a projecao πp : IRp+(m−p) → IRp aplica E isomorficamente sobre IRp

(ver em [4], pag 299). Assim (πp◦F )′(x0) = πp◦F ′(x0) : IRp×IRn−p −→ IRp

e sobrejetiva, e pelo Teorema da forma local das submersoes, existe umdifeomorfismo α de classe Ck, de um aberto Z × Y ⊂ IRp × IRn−p, sobreuma vizinhanca aberta V de x0, tal que F ◦ α(z, y) = (z,G(z, y)), ondeG : V ⊂ IRp × IRn−p −→ IRm−p e uma funcao de classe Ck. Sem perda degeneralidade consideraremos F (z, y) = (z,G(z, y)).

Afirmacao 1: (z, y) ∈ V ∩Bp ⇐⇒ DyG(z, y) = 0De fato: basta olharmos para a matriz Jacobiana de F em (z, y)

J(F )(z, y) =

(I 0. . . DyG(z, y)

), note que a dim(I)=p

Agora podemos aplicar os resultados, Teorema 3.2, Corolario 3.2 eObservacao 3.2 para a funcao DyG e obter uma decomposicao A =

⋃∞i=1Ai,

Ai ⊂ ψi(Vi ×Bi), onde A = {(z, y) ∈ V ; DyG(z, y) = 0}.Fixemos Ai para algum i.

Afirmacao 2: ψ−1i (Ai) =

⋃

m∈N

{x ∈ ψ−1i (Ai); εx ≥ 1

me Kx ≤ m}, onde

εx e Kx sao do corolario 3.2.De fato: se x ∈ ψ−1

i (Ai), claramente existem ∈ N, tal quem ≥ max{ 1εx,Kx}

⇒ x ∈⋃

m∈N

{x ∈ ψ−1(Ai); εx ≥ 1

me Kx ≤ m}, o que prova a afirmacao.

Ja que ψ−1i (Ai) =

⋃m∈N

{x ∈ ψ−1i (Ai); εx ≥ 1

m , Kx ≤ m}, nos pode-mos supor que V tem medida de Lebesgue finita m

n(V ), e que existe M talque εx ≥ 1

M e Kx ≤M para todo x ∈ ψ−1(Ai). (*)

Afirmacao 3: Com essas hipoteses em maos, provaremos que existe umaconstante K0, tal que, para qualquer conjunto X ⊂ V, η > 0, nos podemos

41

cobrir F (Ai ∩X) por bolas B(pi, δi), tal que∑

i δdi ≤ K0(m

n(X) + η).Com efeito; dado x = (z, y) ∈ Ai ∩ X, seja ε < 1

2√

nM. Dividimos o cubo

Cε(x) =n∏

i=1

[xi − ε, xi + ε] = Cε(z) × Cε(y) em ([ε1−(k+α)] + 1)p caixas

Cδ(zi) ×Cε(y) ([ ] denota o menor inteiro), i = 1, ..., ([ε1−(k+α)] + 1)p, ondeδ < εk+α (ver figura 3.3).

Figura 3.3: Divisao do cubo Cε(x) em caixas Cδ(zi) × Cε(y)

Se existe algum ponto (zi, yi) ∈ (Cδ(zi) × Cε(y)) ∩ (Ai ∩ X), entao paraqualquer ponto (z′i, y

′i) ∈ Cδ(zi) × Cε(y) nos temos que

‖F (z′i, y′i) − F (zi, yi)‖ ≤ ‖F (z′i, y

′i) − F (zi, y

′i)‖ + ‖F (zi, y

′i) − F (zi, yi)‖ ≤

K ′δ + ‖F (zi, y′i) − F (zi, yi)‖ = K ′δ + ‖(zi, G(zi, y

′i)) − (zi, G(zi, yi))‖,

onde K ′ =√pK, e K e a constante de Lipschitz de F restrito a V que

podemos supor que existe. Note que (zi, yi) = (zi, ψi(p1)) e (zi, y′i) =

(zi, ψi(p2)) para algum p1, p2 ∈ {zi}×Bi com ‖p1−p2‖ ≤ ‖ψi(p1)−ψi(p2)‖ =‖yi − y′i‖ ≤ 2ε

√n, pois yi, y

′i ∈ Cε(x).

Defina γ : [0, 1] −→ Vi ×Bi o caminho reto ligando p1 a p2. Pelo Teorema

Fundamental do calculo temos, G(zi, y′i) − G(zi, yi) =

∫ 1

0

∂G

∂y(γ(t))γ′(t)dt,

onde γ = ψi ◦ γ.

∂G

∂y(γ(0)) =

∂G

∂y(ψi(p1)) =

∂G

∂y(zi, yi) = 0 ja que (zi, yi) ∈ Ai

⇒ ‖∂G∂y

(γ(t))‖ = ‖∂G∂y

(γ(t))−∂G∂y

(γ(0))‖ ≤M‖p1−p2‖k+α−1 ≤M(2ε√n)k+α−1,

onde a ultima desigualdade e devida a (*) e ao corolario 3.2.Temos que o segmento [p1, p2] e compacto e portanto ‖γ ′(t)‖ e limitadapor uma constante multipla de ‖p1 − p2‖ ≤ 2ε

√n, assim temos que

42

‖∂G∂y

(γ(t))‖ ‖γ′(t)‖ ≤ K ′′εk+α para alguma constante K ′′

⇒ ‖G(zi, y′i) −G(zi, yi)‖ ≤

∫ 1

0‖∂G∂y

(γ(t))‖ ‖γ′(t)‖dt ≤ K ′′εk+α

⇒ ‖F (z′i, y′i)− F (zi, yi)‖ ≤ K ′δ +K ′′εk+α ≤ K ′

0εk+α, onde K ′

0 = K ′ +K ′′

Desta forma F (Cδ(zi) × Cε(y)) esta contido em uma bola B(qi, δi), comδi ≤ K ′

0εk+α, e portanto

∑i δ

di ≤ ((ε1−(k+α)) + 1)p(K ′

0εk+α)d =

(K ′0)

d(ε1−(k+α) + 1)p(εk+α)p+ n−pk+α =

(K ′0)

d(ε1−(k+α) + 1)p(εk+α)pεn−p =(K ′

0)d(ε+ εk+α)p εn

εp = (K ′0)

d(1 + εk+α−1)p

︸ ︷︷ ︸K0

εn = K0εn.

Assim F (Cε(x)) pode ser coberto por bolas B(qi, δi), com∑

i δdi ≤ K0ε

n =K0m

n(Cε(x))2n , pelo lema 3.2 e observacoes 3.4 e 3.6, nos concluımos que

Hd(F (Ai ∩ X)) ≤ K0mn(X), onde K0 = 2nK0, assim podemos cobrir

F (Ai ∩X) por bolas B(pi, δi) tal que∑

i δdi ≤ K0(m

n(X) + η) e assim ficademonstrada a afirmacao 3.

Nos queremos mostrar agora que existe um conjunto A′i ⊂ Ai com

mn(Ai\A′

i) = 0, tal que, F (Cε(x)∩Ai) pode ser coberto por bolas B(wi, δ(ε)i ),

i ∈ N, com limε→0

∑i(δ

(ε)i )d

mn(Cε(x))

= 0, ∀ x ∈ A′i. Isto feito, usando o lema 3.2

e observacoes 3.4, 3.5 e 3.6, o teorema estara provado, ja que verificamosacima que Hd(F (Cε(x) ∩ Ai)) ≤ K0m

n(Cε(x)), ∀ ε < 12√

nM. Nos temos

Ai ⊂ ψi(Vi ×Bi), onde Bi ⊂ IRri , ri ≤ n− p.Se ri < n − p ⇒ a dimensao(Vi × Bi) < dimensao(U) = n ⇒ m

n(Ai) = 0e neste caso tomamos A′

i = Ai, portanto podemos supor que ri = n− p.Escolha A′

i igual ao conjunto dos pontos de densidade de Ai e consideremosψi = Id.Dados x ∈ A′

i e η′ > 0, nos queremos encontrar um ε0 > 0 tal que ,

ε < ε0 ⇒ F (Cε(x) ∩ Ai) pode ser coberto por bolas B(wi, δ(ε)i ), i ∈ N, tal

que∑

i(δ(ε)i )d ≤ η′mn(Cε(x)).

Sejam η, η > 0, ε < 12√

nMtal que

mn(Cε(x) ∩Ai)

mn(Cε(x))

> 1 − η2 ∀ ε < ε.

(Existe tal ε pois x e um ponto de densidade de Ai). Divida o cuboCε(x) = Cε(z) ×Cε(y) em N = ([ε1−(k+α)η−1] + 1)p caixas Cδ(zi) ×Cε(y),δ < ηεk+α, i = 1, ..., N . Entao, para pelo menos (1 − η)N valores de i,

existe um zi ∈ Cδ(zi), tal que,m

n−p({y ∈ Cε(y); (zi, y) ∈ Ai})m

n−p(Cε(y))> 1 − η,

43

pois mn(Cε(x) ∩ Ai) > (1 − η2)mn(Cε(x)). Para um tal i, tome yi tal

que (zi, yi) ∈ Ai. Entao aplicando o teorema 3.2 e os corolarios 3.1 e3.2, dado η, nos podemos escolher η tal que, se ‖F (zi, y) − F (zi, yi)‖ ≤ηεk+α ⇒ ‖F (z, y)−F (zi, yi)‖ ≤ ‖F (z, y)−F (zi, y)‖+‖F (zi, y)−F (zi, yi)‖ ≤K ′‖(z, y) − (zi, yi)‖ + ηεk+α, onde K ′ e a constante de Lipschitz de F |V e(z, y) ∈ Cδ(zi) × Cε(y).Temos que ‖(z, y) − (zi, yi)‖ ≤ 2

√nδ, ja que (z, y), (zi, yi) ∈ Cδ(zi) × Cε(y)

que e uma caixa n-dimensional, assim ‖F (zi, y) − F (zi, yi)‖ ≤2K ′√nηεk+α + ηεk+α = K ′′ηεk+α, onde K ′′ = 2K ′√n+ 1.Portanto F (Cδ(zi) × Cε(y)) esta contido em uma bola B(qi, δi),onde i percorre os valores de 1 ate pelo menos (1 − η)N , e∑

i

δdi ≤ ((ε1−(k+α)η−1) + 1)p(K ′′ηεk+α)d =

(K ′′)d((ε1−(k+α)η−1) + 1)p(ηεk+α)p−n−pk+α ≤

(K ′′)d((ε1−(k+α)η−1) + 1)p(ηεk+α)p(ηεk+α)n−pk+α =

(K ′′)d(ε+ ηεk+α)pηn−pk+α

εn

εp=

(K ′′)d(1 + εk+α−1)pηn−pk+α εn ≤

(K ′′)d(1 + η)p

︸ ︷︷ ︸K0

ηn−pk+α εn = K0η

n−pk+α εn.

A uniao das caixas restantes (que sao no maximo ηN) tem volume, nomaximo, 2nηεn, ja que o volume do cubo Cε(x) e 2nεn ⇒ a uniao da imagemda intersecao de Ai com a uniao dessas caixas por F, esta contida em umauniao de bolas B(qi, δi) com

∑i δ

di ≤ 2K0ηε

n, onde

K0 = K02n. Portanto F (Cε(x)) pode ser coberto por bolas B(Qi, δi), tal

que,∑

i δdi ≤ (2K0η+K0η

n−pk+α )εn. Escolhemos η, η suficientemente pequenos

tal que K0ηn−pk+α +2K0η < η′ e assim nos obtemos o resultado desejado, colo-

cando ε0 = ε.

3.4 Exemplos

Nesta secao daremos alguns exemplos que mostram que as hipoteses doteorema principal nao podem ser enfraquecidas. Usaremos alguns tipos defuncoes sobre a reta real e tambem conjuntos de Cantor centrais, que seraodescritos abaixo, na construcao dos exemplos.

Definicao 3.2 Seja (λn)n∈N uma sequencia de numeros reais, com0 < λi <

12 ∀ i ∈ N. O conjunto de Cantor central Kλ e construıdo

da seguinte maneira: removemos do intervalo [0, 1] o intervalo aberto cen-tral U1,1 de proporcao 1−2λ1. Dos dois intervalos restantes nos removemosos intervalos centrais abertos U2,1 e U2,2 de proporcao 1 − 2λ2, ou seja,

44

U2,1 e U2,2 tem comprimento |U2,1| = [1−(1−2λ1)]2 (1 − 2λ2) = λ1(1 − 2λ2).

Apos o r-esimo passo dessa construcao, restam 2r intervalos de comprimentoλ1λ2...λr. A intersecao de todos esses conjuntos e o Kλ conjunto de Cantorcentral. Os intervalos abertos removidos no r-esimo passo da construcaotem comprimento λ1λ2...λr−1(1 − 2λr).

Observacao 3.7 Seja ψ : IRC∞

−→ IR uma funcao fixada tal queψ(IR) ⊂ [0, 1], ψ(x) = 0 se x ≤ 0, ψ(x) = 1 se x ≥ 1. Um exemploe a funcao, ξ : IR −→ IR que e dada por

ξ(x) =

0, se x ≤ 0

δ(x), se 0 < x < 11, se x ≥ 1

onde a funcao δ e construida como segue; defina α : IR −→ IR por α(t) =0 se t ≤ 0 e α(t) = exp(−1

t ) se t > 0. Defina β : IR −→ IR pondoβ(t) = α(t + 2)α(−1 − t) ∀ t ∈ IR. Note que α e de classe C∞ logo β

tambem e de classe C∞. Coloque b =

∫ +∞

−∞β(t)dt =

∫ −1

−2β(t)dt, (b 6= 0).

Defina agora γ : IR −→ IR por γ(t) = β(t)b se t ≤ 0 e γ(t) = −β(−t)

b se t > 0.

Defina δ : IR −→ IR por δ(t) =

∫ t

−∞γ(s)ds + 2 =

∫ t

−2γ(s)ds + 2, note que

δ tambem e de classe C∞. Finalmente defina δ(t) = δ(t+ 2), onde δ e C∞

e δ(0) = 0 e δ(1) = 1.

Observacao 3.8 Seja ψ : IR −→ IR como a funcao da observacao 3.7.Dados dois conjuntos de Cantor centrais Kλ e Kµ, nos construimos a funcaofλ,µ : IR −→ IR como segue: fλ,µ(x) = 0 ∀ x ≤ 0, fλ,µ(x) = 1 ∀ x ≥ 1,se Ui,j = (a, b) e Vi,j = (c, d) sao os correspondentes intervalos removi-dos no r-esimo passo da construcao de Kλ e Kµ respectivamente, entaonos definimos fλ,µ(x) = c + (d − c)ψ(x−a

b−a ) ∀ x ∈ (a, b). Nos esten-demos fλ,µ para Kλ por continuidade, ou seja, se x → x entao temos

que limx→x

fλ,µ(x) = limx→x

(c + (d − c)ψ(x− a

b− a))

(∗)= c + (d − c)ψ(0) = c ∈ Kλ,

onde (*) e devido a continuidade de ψ.

Se k ≥ 1 e inteiro e limr→∞

gr

gkr

= 0 onde gr = λ1λ2...λr−1(1 − 2λr) e

gr = µ1µ2...µr−1(1 − 2µr), entao fλ,µ e de classe Ck. De fato; suponhaε > 0 arbitrario. A derivada k-esima de fλ,µ no intervalo do r-esimo passoda construcao de Kλ e dada por:

f(k)λ,µ(x) =

(d− c)

(b− a)kψk(

x− a

b− a)

Existe r0 ∈ N tal que, se r ≥ r0 ⇒ gr

gkr

<ε

M⇒ (d(r) − c(r))

(b(r) − a(r))kψk(

x(r) − a(r)

b(r) − a(r)) ≤

45

gr

gkr

M < ε, onde M = sup{ψk(x);x ∈ [0, 1]} e (a(r), b(r)), (c(r), d(r)) sao os

intervalos retirados no r-esimo passo da construcao de Kλ e Kµ. Portanto

f(k)λ,µ converge uniformemente para zero quando r → ∞ ⇒ f

(k)λ,µ ∈ Ck.

Exemplo 3.1 Seja λn = 12 − 1

2n e µn ≡ a (n ≥ 2).

Temos que,gn

gqn

=a.a...a(1 − 2a)

[(12 − 1

2.2)...(12 − 1

2(n−1))(1 − 2(12 − 1

2n))]q

=an−2(1 − 2a)

[(12)n−2(1 − 1

2)...(1 − 1n−1)( 1

n)]q

=(1 − 2a)(a2q)n−2

[(1 − 12)(1 − 1

3)...(1 − 1n−1)]q( 1

n)q

⇒ gn

gqn→ 0 quando n→ ∞ e a2q < 1.

Portanto, para todo q < − log alog 2 temos que

gn

gqn

→ 0 quando n → ∞.

De outro lado, a medida de Haudorff de dimensao d = − log 2log a de Kµ e igual

a 1 (ver em [2], pag 14-17). Mais ainda, ja que a ∈ (0, 12) e lim

n→∞gn

gqn

= 0

entao f ′λ,µ(x) = 0 para todo x ∈ Kλ. Se F : IRn+p −→ IRn+p e dadopor F (x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xn+p) = (fλ,µ(x1), . . . , fλ,µ(xn), xn+1, . . . , xn+p)e Bp = {x ∈ IRn+p; posto(DF (x)) ≤ p}, entao F (Bp) =F (Kλ × Kλ × . . .Kλ × IRp) = Kµ × . . .Kµ × IRp que e um conjunto com(nd+p)-medida de Haudorff positiva.De fato, a derivada de fλ,µ se anula em Kλ e e nao nula em IR \ Kλ.Portanto DF (x) tem posto p para todo x ∈ Kµ × . . .Kµ × IRp e tem posto

maior que p em IRn+p \ Kµ × . . .Kµ × IRp. Para d = − log alog 2 temos

Hd(Kλ) = 1, portanto o conjunto Kµ × . . .Kµ × IRp tem (nd+ p)-medida deHaudorff positiva.Isto mostra que dado q > 1 e 0 < p < n inteiro, existe uma funcaoF : IRn −→ IRn tal que Hd(F (Bp)) > 0, onde d = p + n−p

q e F e de classe

Cq′ para cada q′ < q .

Exemplo 3.2 Seja λn = 12 − 1

3n2 e µn = a − 2an se n ≥ 3 e µn = a se

n = 1 ou n = 2 onde a ∈ (0, 12 ], entao lim

n→∞gn

gqn

= 0 onde q = − log alog 2 ,

portanto fλ,µ e de classe Cq. De outro lado temos que HD(Kµ) ≥ − log 2log a .

Com efeito, se b < a e θn ≡ b entao fµ,θ e de classe C1 e fµ,θ(Kµ) = Kθ ⇒HD(Kµ) ≥ HD(Kθ) = − log 2

log a , ∀ b < a, onde a ultima

46

desigualdade decorre do fato que f e Lipschitziana em [0, 1] (ver propriedade1.2.1.1 na pagina 9). Se F : IRn+p −→ IRn+p e dada porF (x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xn+p) = (fλ,µ(x1), . . . , fλ,µ(xn), xn+1, . . . , xn+p) eBp e como no exemplo 3.1, entao F (Bp) = Kµ × . . .Kµ × IRp, ou seja, e um

conjunto com dimensao de Hausdorff nd + p, onde d = − log 2log a . Isto mostra

que dado q ≥ 1 e 0 < p < n inteiros, existe uma funcao F : IRn −→ IRn

tal que HD(F (Bp)) = p+ n−pq , e F e de classe Cq.

47

48

Apendice A

Os resultados que enunciaremos abaixo nao serao demonstrados por seremamplamente conhecidos, ja que constam em grande parte da literaturamatematica basica.

Definicao A.1 (Classe de Vitali) Uma colecao de conjuntos I e chamadauma classe de Vitali para um conjunto E ⊂ X, onde (X, d) e um espacometrico, se para cada x ∈ E e δ > 0 existem U ∈ I com x ∈ U e 0 < |U | ≤ δ.(Aqui |.| representa o diametro de U)

Teorema A.1 (Vitali) (a) Seja E um subconjunto Hα-mensuravel de IRn

e seja I uma classe de Vitali de conjuntos fechados para E. Entao podemosselecionar uma sequencia disjunta finita ou enumeravel Ui de I tal que ou∑ |Ui|α = ∞ ou Hα(E \ ∪iUi) = 0.(b) Se Hα(E) < ∞, entao, dado ε > 0, nos podemos obterHα(E) <

∑ |Ui|α + ε.

Teorema A.2 (Lindelof) Seja X ⊂ IRn um conjunto arbitrario. Todacobertura aberta de X, X ⊂ ∪λ∈ΛAλ, admite uma subcobertura enumeravel,X ⊂ Aλ1 ∪ . . . ∪Aλn

∪ . . ..

Teorema A.3 (Densidade de Lebesgue) Seja E um subconjunto Hα-mensuravel de IRn. Entao a densidade de Lebesgue de E em x,

limδ→0

mn(E ∩Bδ(x))

mn(Bδ(x))

, existe e e igual a 1 se x ∈ E e e 0 se x /∈ E,

exceto para um conjunto de x ∈ E de medida de Lebesgue nula. (Aqui Bδ(x)denota as bolas fechadas de raio δ e centro x).

Teorema A.4 (Fubini) Sejam (X,A, µ) e (Y,B, γ) espacos completos demedida e f uma funcao integravel sobre X × Y . Entao(i) para quase todo x a funcao fx definida por fx(y) = f(x, y) e uma funcaointegravel sobre X (analogo para fy);

49

(ii)

∫

Yf(x, y)dγ(y) e uma funcao integravel sobre X (analogo

para

∫

Xf(x, y)dµ(x));

(iii)

∫

X

[ ∫

Yfdγ

]dµ =

∫

X×Yfd(µ× γ) =

∫

Y

[ ∫

Xfdµ

]dγ.

Definicao A.2 Uma funcao diferenciavel f : U −→ IRn, definida no abertoU ⊂ IRm, chama-se uma submersao quando, para todo x ∈ U , sua derivadaf ′ : IRm −→ IRn e uma transformacao linear sobrejetiva. Para que istoocorra, e necessario que se tenha m ≥ n.

Teorema A.5 (Forma Local das Submersoes) Seja f : U −→ IRn

definida no abertu U ⊂ IRm+n e fortemente diferenciavel no ponto a ∈ U .Se f ′(a) : IRm+n −→ IRn e sobrejetiva, ou mais precisamente, se e dada umadecomposicao em soma direta do tipo IRm+n ⊕ IRn tal que a = (a1, a2) e aderivada parcial ∂2f(a) = f ′(a) |IRn : IRn −→ IRn e um isomorfismo, entaoexistem abertos V,W e Z com a ∈ Z, a1 ∈ V ⊂ IRm, f(a) ∈ W ⊂ IRn,e um homeomorfismo h : V ×W −→ Z, fortemente diferenciavel no ponto(a1, f(a)), tal que fh(x,w) = w para todo (x,w) ∈ V ×W . Se f e de classeCk em U (k ≥ 1), podemos restringir V,W,Z, se necessario, de modo que hseja um difeomorfismo de classe Ck.

50

Apendice B

Definicao B.1 A imagem Γ de uma funcao contınua e injetivaψ : [a, b] −→ IRn e chamada uma curva de Jordan. Se L(Γ) < ∞ entaoΓ e dita ser retificavel. Obs. L denota o comprimento da curva.

Proposicao B.1 Se Γ e uma curva de Jordan, entao L(Γ) = H1(Γ).

Usaremos o seguinte lema na demonstracao da proposicao B.1.

Lema B.1 Seja ψ : E ⊂ IRn −→ F ⊂ IRn uma funcao sobrejetiva, tal que,|ψ(x) − ψ(y)| ≤ C‖x − y‖ para todo x, y ∈ E, onde C e alguma constantepositiva. Entao Hs(F ) ≤ CsHs(E).

Demonstracao: Seja {Ui}i∈N uma δ-cobertura de E arbitraria.Como ψ e sobrejetiva segue que {ψ(Ui ∩ E)} e uma cδ-cobertura de F,ja que |ψ(Ui ∩ E)| ≤ C‖Ui‖. Assim

∑i ‖ψ(Ui ∩ E)‖s ≤ ∑

iCs‖Ui‖s

⇒ inf{ϕ(Ui∩E)}∑

i ‖ψ(Ui ∩ E)‖s ≤ inf{Ui}∑

iCs‖Ui‖s

⇒ limδ→0

λscδ(F ) ≤ lim

δ→0Csλs

δ(E) ⇒ Hs(F ) ≤ CsHs(E).

Demonstracao: (proposicao B.1)Suponha ψ : [a, b] ⊂ IR → IRn seja uma funcao contınua e injetiva eΓ = {(x, ψ(x)); x ∈ [a, b]}. Note que Γ e uma curva ligando ψ(a) a ψ(b).Suponha que proj denota a projecao ortogonal de IRn sobre a reta quepassa pelos pontos ψ(a) e ψ(b). Assim ‖proj(x) − proj(y)‖ ≤ ‖x− y‖ paratodo x, y ∈ IRn. Note que a igualdade vale somente se a reta que passa porx e y e paralela a reta que passa por ψ(a) e ψ(b). Pelo lema B.1 temosH1(proj(Γ)) = H1(‖proj(ψ(a)) − proj(ψ(b)‖) ≤ H1(Γ)⇒ m([ψ(a), ψ(b)]) = H1([ψ(a), ψ(b)]) ≤ H1(Γ)⇒ H1(ψ([t, u])) ≥ ‖ψ(t) − ψ(u)‖ para quaisquer t, u ∈ [a, b].Suponha a = t0 < t1 < . . . < tn = b uma particao arbitraria de [a, b], destaforma

∑i ‖ψ(ti − ψ(ti−1‖ ≤ ∑

iH1(ψ([ti−1, ti]) = H1(Γ) ja que

ψ((ti−1, ti)) ∩ ψ((tj−1, tj)) = ∅ para i 6= j ⇒ m(Γ) ≤ H1(Γ).

51

Se m(Γ) = ∞ ⇒ m(Γ) = H1(Γ). Vejamos o caso m(Γ) <∞. Podemos suporψ parametrizada pelo comprimento do arco. (Isto e sempre possıvel para cur-vas retificaveis. De fato, basta definir ψ0 : [0,m(Γ)] → IRn por ψ0(t) = ψ(u),onde m(ψ([a, u])) = t). ψ e sobrejetiva e vale que ‖ψ(t1)−ψ(t2)‖ ≤ ‖t1− t2‖e pelo lema B.1 temos que H1(Γ) ≤ H1([0,m(Γ)]) = m(Γ).

Proposicao B.2 Suponha que {λi}i∈N e uma sequencia de numeros posi-

tivos que satisfaz λi+1

λi→ ∞ e log(λi+1)

log λi→ 1. Seja Γ o grafico da funcao

f(x) =∞∑

i=1

λs−2i g(λix) para x ∈ [0, 1], onde 1 < s < 2. Entao HD(Γ) = s.

Obs. Um exemplo que satisfaz as condicoes da sequencia {λi}i∈N acima eλi = i!.

O seguinte lema sera util na demonstracao da proposicao.

Lema B.2 Suponha f : [0, 1] −→ IR satisfazendo |f(x+h)−f(x)| ≤ ch2−s

(*) para todo x ∈ (0, 1) e para todo h com 0 < h ≤ h0 e 1 ≤ s < 2,onde c e h0 sao constantes positivas e Γ = {(x, f(x));x ∈ [0, 1]}. EntaoHs(Γ) <∞.

Demonstracao: Seja I um intervalo qualquer de IR tal que |I| = h < h0 eseja ΓI = {(x, f(x);x ∈ I}.

Afirmacao: ΓI pode ser coberto por, no maximo, h−1ch2−s +1 quadradosde lado h.Com efeito, por (*) a variacao maxima de f em I e ch2−s. Sejam x1, x2 ∈ Icom x1 < x2 e coloque h = x2−x1, entao |f(x1+h)−f(x1)| ≤ ch2−s ≤ ch2−s.Assim dividindo ch2−s por h temos h−1ch2−s + 1 quadrados que cobrem ΓI

provando a afirmacao.

Figura B.1: Cobertura de Γ por quadrados

52

Dividindo [0,1] em m partes iguais de comprimento h = 1m tal que

h < min{h0, c} temos que Γ ⊂ ∪iQi onde os Qi sao os quadrados que

cobrem Γ e entao Hs

212 h

(Γ) = inf{Ui}

∞∑

i=1

|Ui|s ≤ m(h−1ch2−s + 1)|Qi|s =

m(h−1ch2−s + 1)(212h)s = m(ch1−s + 1)(2

12h)s = m(2

s2 ch + 2

s2hs) =

hm(2s2ch

h+ 2

s2hs

h) = 2

s2 c+ 2

s2hs−1 = 2

s2 (c+ hs−1)

se s = 1 ⇒ H1

212 h

(Γ) ≤ 212 (c+ 1)

se s > 1 ⇒ hs−1 < c para m suficientemente grande, logoHs

212 h

(Γ) ≤ 2s2 (c+ hs−1) ≤ 2

s2 2c = 21+ s

2 c.

Em ambos os casos, fazendo m → ∞ obtemos h → 0, logoHs(Γ) = lim

h→0Hs

212 h

(Γ) ≤ 21+ s2 c.

Passamos agora para a demonstracao da proposicao B.2.Demonstracao: A funcao g acima e uma funcao tipo zig-zag de perıodo 4definida sobre IR por

g(4k + x) =

x, se 0 ≤ x < 12 − x, se 1 ≤ x < 3x− 4, se 3 ≤ x < 4

, onde k ∈ Z, 0 ≤ x < 4.

Observe que |g′(4k + x)| = 1 para x nao inteiro e |g(4K + x)| = |x| .Suponha 1

λk+1≤ h < 1

λkpara algum k ∈ Z+, assim temos que

|f(x+ h) − f(x)| = |∞∑

i=1

λs−2i g(λi(x+ h)) −

∞∑

i=1

λs−2i g(λix)|

= |k∑

i=1

λs−2i [g(λi(x+ h)) − g(λix)] +

+( ∞∑

i=k+1

λs−2i g(λi(x+ h)) −

∞∑

i=k+1

λs−2i g(λi(x))

)|

≤k∑

i=1

λs−2i |g(λi(x+ h)) − g(λix)| +

+∞∑

i=k+1

λs−2i |g(λi(x+ h))| +

∞∑

i=k+1

λs−2i |g(λix)|

≤k∑

i=1

λs−2i λih+ 2

∞∑

i=k+1

λs−2i

= hk∑

i=1

λs−1i + 2

∞∑

i=k+1

λs−2i

53

Afirmacao:

k∑

i=1

λs−1i ≤ 2λs−1

k para algum k suficientemente grande.

A prova sera feita por inducao sobre k.

Para k = 1 temos claramente que λs−11 ≤ 2λs−1

1 .Suponha ser verdadeiro para k, ou seja, suponha valer a desigualdade

k∑

i=1

λs−1i ≤ 2λs−1

k .

Para k+1 temos quek+1∑

i=1

λs−1i = λs−1

1 + . . . λs−1k + λs−1

k+1 ≤ 2λs−1k + λs−1

k+1

Como o λi+1

λi→ ∞ a partir de um determinado i0 suficientemente grande,

temos queλi0+1

λi≥ 2 ⇒ λi0+1 ≥ 2λi0 ⇒ λs−1

i0+1 ≥ 2λs−1i0

, portanto, para

k ≥ i0 ⇒ λs−1k+1 ≥ 2λs−1

k , assim 2λs−1k + λs−1

k+1 ≤ λs−1k+1 + λs−1

k+1 = 2λs−1k+1,

assim esta provada a afirmacao.

Obtemos entao h

k∑

i=1

λs−1i ≤ h2λs−1

k ≤ 2h(1

h)s−1 ≤ 2hh1−s = 2h2−s, ja que

h < 1λk

. Por outro lado temos que∞∑

i=k+1

λs−2i = λs−2

k+1 + λs−2k+2 + λs−2

k+3 . . . ≤

λs−2k+1 +

1

2λs−2

k+1 +1

4λs−2

k+1 + . . . pois para i1 suficientemente grande temos

que 12λ

s−2k+1 > λs−2

k+2 ⇒ 12λ

s−2k+2 > λs−2

k+3 ⇒ . . . (isto devido a λi+1

λi→ ∞).

Assim∞∑

i=k+1

λs−2i ≤ λs−2

k+1(

=2︷ ︸︸ ︷1 +

1

2+

1

4+ . . .) = 2λs−2

k+1, k ≥ max{i0, i1}. (*)

Portanto |f(x+h)+f(x)| ≤ hk∑

i=1

λs−1i +2

∞∑

i=k+1

λs−2i ≤ 2h2−s +2(2λs−2

k+1) =

2h2−s + 4( 1

λk+1

)2−s ≤ 2h2−s + 4h2−s = 6h2−s, entao, pelo lema B.2, temos

que Hs(Γ) <∞.

Vamos provar agora que Hs(Γ) > 0Seja S um quadrado com lado de comprimento h e paralelo com os eixos coor-denados. Seja I o intervalo de projecao de S sobre o eixo-x. Nos mostraremosque medida de Lebesgue do conjunto E = {x; (x, f(x)) ∈ S} nao pode serarbitrariamente grande.

54

Defina a soma parcial fk =k∑

i=1

λs−2i g(λix). Escolha k suficientemente

grande tal que λk+1 ≥ λk ≥ 4 eλ

k+1

λk> λ1. Para k ≥ k, |f(x) − fk(x)| =

|∞∑

i=k+1

λs−2i g(λix)| ≤

∞∑

k+1

λs−2k

por (∗)≤ 2λs−2

k+1 (1)

Se x ∈ [0, 1] tal que |g(λix)| 6= 1 entao |f ′k(x)| = |k∑

i=1

λs−1i g′(λix)| =

|k∑

i=1

λs−1i | ≥ λs−1

k −k−1∑

i=1

λs−1i ≥ 1

2λs−1

k (2)

Suponha que o lado de S, h = λ−1k , para algum k ≥ k. Suponha m (m ≥ 1)

o menor inteiro positivo tal que λk ≤ λ2−sk+m ⇒ λ2−s

k+m−1 < λk, portanto

1λ2−s

k+m

≤ 1λk< 1

λ2−sk+m−1

⇒ λs−2k+m ≤ λ−1

k < λs−2k+m−1 (3)

Por outro lado, ja que λi+1

λie estritamente crescente, temos que

(λk+1

λk

)(m−1)(2−s)λ2−s

k =(

λk+1

λk. . .

λk+1

λkλk

)2−s<

(λk+m−1

λk+m−2. . .

λk+1

λkλk

)2−s=

λ2−sk+m−1 < λk. Entao

(λk+1

λk

)(m−1)(2−s)λ2−s

k < λk ⇒(

λk+1

λk

)(m−1)(2−s)<

λs−1k =

(λk

λk−1. . . λ2

λ1λ1

)s−1<

(λk+1

λk

)(k−1)(s−1)λs−1

k ⇒ log(

λk+1

λk

)(m−1)(2−s)<

log[(

λk+1

λk

)(k−1)(s−1)λs−1

1

]⇒ (m− 1)(2 − s) log

λk+1

λk<

(s− 1)(k − 1) logλk+1

λk+ (s− 1)

λk+1

λk⇒ (m− 1) < k s−1

2−s

⇒ (m − 1) < kb + 1 < k(

a︷ ︸︸ ︷b+ 1) ⇒ m < ka, onde a nao depende de k.

Assim temos que 1 ≤ m < ka.

Se m = 1.Por (1) temos que (x, f(x)) esta em S somente se (x, f(x)) esta em S1, ondeS1 e um retangulo obtido por extender S a uma distancia 2λs−2

k+1 que e menordo que 2h (por (2)) para cima e para baixo.

Afirmacao: f ′k(x) muda de sinal, no maximo, uma vez no intervalo I.

De fato, f ′k(x) = λs−11 g′(λ1x) + . . . + λs−1

k g′(λkx), de (1) temos quek−1∑

i=1

λs−1i < λs−1

k , portanto |λs−1k g′(λkx)| > |

k−1∑

i=1

λs−1i g′(λix)|, logo f ′k muda

de sinal quando g′(λkx) muda de sinal.Em I g′(λkx) muda de sinal, no maximo, uma vez. Com efeito, I =[x0, x0 + λ−1

k ], onde x0 ∈ [0, 1]. Temos que g′(λkx) esta sendo avaliada em

55

Figura B.2: Extensao de S

[x0λk, x0λk + 1]. Pela definicao da funcao g, g’ muda de sinal, no maximo,uma vez em cada intervalo de comprimento 1, tal como [x0λk, x0λk + 1],o que prova a afirmacao.

Sobre cada subintervalo no qual, f ′k tem sinal constante, temos que

|f ′k| ≥1

2λs−1

k , assim (x, fk(x)) pode estar em S1 somente para x em um

intervalo de comprimento, no maximo, 2λ1−sk vezes a altura de S1. De fato,

suponha f ′k(x) > 0 para todo x ∈ I0 = (a, c) ⊂ I (f ′k(x) < 0 para x ∈ I \I0).Seja r a reta que passa pelos vertices superiores de S1 e b = {eixo-y} ∩ r.Seja b = max{x ∈ I0; f(x) ≤ b}. Temos que (a, b) ⊂ I0 e pelo Teoremado Valor Medio segue que b − a ≤ 2λ1−s

k (f(b) − f(a)) ≤ 2λ1−sk l, onde

l = altura de S1. Note que 2λ1−sk l ≤ (h + 4λs−2

k+1) ≤ 5h. Deste modo

temos que m(E) ≤ 2(2λ1−sk 5h) = 20hs (4)

Se m > 1Podemos dividir I em, no maximo duas partes, onde f ′k(x) tem sinal con-stante. Por (3) temos que a altura de S1 e h+4λs−2

k+1 ≤ 5λs−2k+1. Entao em cada

parte nos necessitamos apenas considerar x pertencente a um subintervalode comprimento 2λ1−s

k 5λs−2k+1 quando procuramos pontos de E. Dividindo

cada um destes subintervalos em partes onde f ′k+1(x) tem sinal constante,obtemos no maximo

2λ1−sk 5λs−2

k+1λk+1 + 1 ≤ 11(λk+1

λk

)s−1(5)

novos intervalos de cada um dos anteriores. De fato, note que seI1 = [x0, x0 + 2λ1−s

k 5λs−2k+1] ⇒ |I| = 2λ1−s

k 5λs−2k+1, dividimos entao o inter-

valo I1 porλk+1

2 .

Se m > 2Repetimos o processo para obter de cada um dos ultimos intervalos, no

56

maximo, 11(

λk+2

λk+1

)s−1intervalos sobre os quais f ′k+2(x) tem sinal constante.

Procedendo desta maneira, nos vemos que E e coberto por no maximo

2(11m−1

(λk+1

λk

λk+2

λk+1. . .

λk+m−1

λk+m−2

)s−1)

= 2(11m−1

(λk+m−1

λk

s−1))intervalos

sobre cada qual f ′k+m−1(x) tem sinal constante.

De fato: para m > 1, temos 2(6(λk+1

λk

)s−1)

para m > 2, temos 2(6(λk+1

λk

)s−1)6(λk+2

λk+1

)s−1= 2

(62

(λk+2

λk

)s−1)

para m > 3, temos 2(6(λk+1

λk

)s−1)6(λk+2

λk+1

)s−16(λk+3

λk+2

)s−1= . . .

Segue por (1) que sobre cada tal subintervalo (x, f(x)) ∈ S, somente se(x, fk+m−1(x)) ∈ S2, onde S2 e o retangulo obtido pela extensao de S poruma distancia 2λs−2

k+m acima e abaixo. A altura de S2 e h + 4λs−2k+m ≤ 5h.

Considerando o sinal de fk+m−1 sobre cada subintervalo e usando (2) e (3),obtemos:

m(E) ≤ 2(11m−1

(λk+m−1

λk

)s−1

altura de S2︷ ︸︸ ︷5h2λ1−s

k+m−1 ≤ 20(11m−1hs) ≤ 20(11akhs)

Portanto existem constantes b e c tais que m(E) ≤ cbkhs se h = λ−1k .

Suponha agora que S tem lado h, onde λ−1k+1 < h ≤ λ−1

k .

Se t < s⇒ m(E) ≤ cbkhs ≤ cbkλ−sk = cλ−t

k+1

λtk+1

λs+t2

k

bk

λs−t2

k

.

Afirmacao: (a)λt

k+1

λs+t2

k

< 1 para k suficientemente grande;

(b)bk

λs−t2

k

para k suficientemente grande;

De fato:

(a) Temos quelog λk+1

log λk→ 1 e alem disto

log λk+1

log λk> 1 e

s+ t

2> t.

Suponhas+ t

2− t = α > 0, entao

t log λk+1

(t+ α) logk

− t

t+ α> 0, mas

t

t+ α< 1,

entao escolhemos k suficientemente grande tal que,( t

t+ α

) log λk+1

log λk< 1 ⇒

log(λk+1)t <

(log λk

)t+α ⇒ λtk+1 < λt+α

k = λs+t2

k .

57

(b) bk = 11ak. Escolha k suficientemente grande tal que λk+1 > λk.

Comoλk+1

λk→ ∞ segue que

λk+2 > (b+ ε2)λk+1 > (b+ ε2)bλk

λk+3 > (b+ ε3)λk+2 > (b = ε3)(b+ ε2)bλk

...

λk+s > (b+ εs)(b+ εs−1) . . . (b+ ε2)bλk

Escolha s suficientemente grande tal que (b+ εs)(b+ εs−1) . . . (b+ ε2)bλk >bsbk = bs+k ⇒ λk+s > bk+s.Agora seja α > 0 e kα tal que λα

k+1 > bλαk+1, da mesma forma temos que

λαk+1 > (b+εs)(b+εs−1) . . . (b+ε2)bλk > bk+s, para s suficientemente grande.

Alem disso,bk

λαk+s

→ 0. De fato, se M > o, escolhemos s suficientemente

grande tal que (b + εs)(b + εs−1) . . . (b + ε2)bλk > Mbk+s ⇒ bk+s

λαk+s

< M .

Portanto m(E) ≤ c1ht, onde c1 = c

λtk+1

λs+t2

k

bk

λs−t2

k

.

Seja {Ui} uma cobertura qualquer de Γ, e para cada Ui seja Si um quadradode lado |Ui| contendo Ui. Defina Ei = {x; (x, f(x)) ∈ Si}, temos assim que[0, 1] ⊂ ∪iEi.∑

i

|Ui|t =∑

i

(1√2)t|Si|t ja que |Si| =

√2|Ui| ⇒

∑

i

(√

2)−t|Si|t ≥

c−11

∑

i

m(Ei) ≥ c−11 > 0 pois [0, 1] ⊂ ∪iEi. Como a cobertura

{Ui} e arbitraria, temos que infΓ⊂∪Ui

∑

i

|Ui|t ≥ c−11 > 0

⇒ lim|Ui|→0

infΓ⊂∪Ui

∑

i

|Ui|t > c−11 > 0 ⇒ H t(Γ) > c−1

1 > 0 ∀ t < s.

Quando |Ui| → 0 ⇒ lado(Si) → 0 ⇒ λ−1k+1 → 0, ou seja,

k → ∞ ⇒ c−11 → 0 ⇒ H t(Γ) = ∞ ∀t < s. Como Hs(Γ) < ∞ concluimos

que HD(Γ) = s..

58

Referencias Bibliograficas

[1] BAMON, R., MOREIRA, Carlos Gustavo T. A., PLAZA, S. andVERA, J.. “Diferentiable Structures of Central Cantor Sets”, ErgodicTheory Dynamic Systems. Publ. Mat. 17(5) (1997),1027-1042.

[2] FALCONER, K. J.. “The Geometry of Fractal Sets”. Cambridge Tractsin Mathematics. Cambridge University Press, 1985.

[3] FOLLAND, Gerald B. Real Analysis: Modern Techniques and TheirAplications. Wiley-Interscience Publication. New York, 1984.

[4] LIMA, Elon Lages. Curso de Analise vol II, sexta edicao. IMPA. Riode Janeiro.

[5] LIMA, Elon Lages. Espacos Metricos. IMPA .Rio de Janeiro, 1977.

[6] MOREIRA, Carlos Gustavo T. A.. Conjuntos de Cantor, Dinamica earitmetica. Publicacoes Matematicas-IMPA. Rio de Janeioro, 1999.

[7] MOREIRA, Carlos Gustavo T. A.. “Haudorff Measure and the Morse-Sard Theorem”. Publ. Mat. vol 45(1) (2001), 149-162.

[8] ROYDEN,H. L., Real Analysis. New York : Macmillan, c1968

[9] WHITNEY, H.,“A function not constant on a conected set of criticalpoints”. Duke Math. J., vol 1 (1935) pg. 544-517

59

Indice Remissivo

algebrade conjuntos, 1sigma, 1

coberturaε-cobertura, 7

conjuntoBorel, 5Cantor, 11Cantor central, 44mensuravel, 3

dimensao de Haudorff, 9

funcaoCk+(α), 27Curva de Jordan, 51submersao, 50

lemaMorse, 28

liminf, 2limsup, 2

medida, 2, 15exterior, 3

Hausdorff, 7metrica, 5regular, 5

Hausdorff, 8Lebesgue, 15, 25

n-dimensional, 6

norma, 16maximo, 16

posto, 15

proposicaoCurva de Jordan, 51

teorema, 15Densidade de Lebesgue, 49Forma Local das Submersoes,

50forma local das submersoes, 19Fubini, 49Lidelof, 49Morse-Sard, 15Morse-Sard envolvendo medida

de Haudorff, 27Vitali, 49

Vitaliclasse, 49

60