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PROCESSAMENTO DE MATERIAIS METLICOS

TENSES E DEFORMAESTENSES E DEFORMAESTENSES E DEFORMAESTENSES E DEFORMAES

D t d bi iD t d bi i

TENSO EM UM PONTOTENSO EM UM PONTOO cilindro de rea A1 est mais solicitadoO cilindro de rea A1 est mais solicitado

Dentro do binmio Dentro do binmio SOLICITAO SOLICITAO RESPOSTA, RESPOSTA, analisaremos primeiramente analisaremos primeiramente

O cilindro de rea A1 est mais solicitado O cilindro de rea A1 est mais solicitado do que o de rea A2. Assim, para descrever do que o de rea A2. Assim, para descrever o nvel de solicitao de um o nvel de solicitao de um corpo, necessrio considerar corpo, necessrio considerar FT

rras as solicitaessolicitaes, que so , que so descritas por meio de foras.descritas por meio de foras.

p ,p ,a fora aplicada e a rea sobrea fora aplicada e a rea sobrea qual ela atua:a qual ela atua: A

FT =Fr

Fr

Tenso mdiaTenso mdiaA1 A2

F F

1Fr

Tenso mdiaTenso mdia

5Fr

r7Fr

2Fr

r

7

xP

Fr

Fr

3F

6Fr

4Fr

PROCESSAMENTO DE MATERIAIS METLICOS1Fr

5Fr

1

Fr

5Fr

2Fr7F

xPxP F

r3F

r

4Fr

6Fr 6F

rA

5Fr

F cosr

P nA

F

= cosxP

F rr

n

AF

= senr

6Fr A

FT =r A

Exerccio 1.1 (Ref. 3 - p.18)


VARIAO DA TENSO COM O PLANO DE CORTEVARIAO DA TENSO COM O PLANO DE CORTE

1Fr

5Fr

Fr

22 A

FT =rr

2Fr7F

xP xP

2A

3Fr

6Fr

4Fr

Fr 6F

r4F

rA2

5F 2

A tenso no ponto PA tenso no ponto PxP

11 A

FT =rr

A tenso no ponto P A tenso no ponto P dever ser avaliada para dever ser avaliada para

cada plano de corte.cada plano de corte.6F

rA1

1A cada plano de corte.cada plano de corte.


Fr

A10,

AF

, 0Para 11

1 ===r

Fr 0,0,

AF

111

===

1

n

Fr

P

cosAA,

AFT 1=

=rr

Exerccio 1 2 (Ref 3 p 18)

Para um plano genrico,

A

F Exerccio 1.2 (Ref. 3 - p.18)

cosAF

AcosF

AcosF

2=

==

rrr

A

PA

cosAA 11

( )+== 2cos1cos 12 ( )+== 2cos12

cos 1

FsenFsenF rrr

rr

cossenA

cosAA

11

===

Fr

11

1 TAF

T ==r

=1

1 AFTrr == 2sen

2cossen 11

Exerccios 1.3, 1.4 e 1.5 (Ref. 3 - p.18 e 19)


TENSES PRINCIPAISTENSES PRINCIPAISVerificouVerificou--se, na anlise do ensaio de trao, que existem planos de corte se, na anlise do ensaio de trao, que existem planos de corte

em que a tenso de cisalhamento nula Nesses planos que so ortogonais entreem que a tenso de cisalhamento nula Nesses planos que so ortogonais entreem que a tenso de cisalhamento nula. Nesses planos, que so ortogonais entre em que a tenso de cisalhamento nula. Nesses planos, que so ortogonais entre si, a tenso normal mxima ou mnima.si, a tenso normal mxima ou mnima.

Numa situao como a do corpo genrico submetido a esforos, podeNuma situao como a do corpo genrico submetido a esforos, pode--se se mostrar matematicamente que existem trs planos passando por P mutuamentemostrar matematicamente que existem trs planos passando por P mutuamentemostrar matematicamente que existem trs planos passando por P, mutuamente mostrar matematicamente que existem trs planos passando por P, mutuamente ortogonais, onde ortogonais, onde tautau nulo. Nesses planos agem somente tenses normais. nulo. Nesses planos agem somente tenses normais.

PodePode--se mostrar, tambm, que uma destas tenses normais o maior se mostrar, tambm, que uma destas tenses normais o maior valor devalor de sigmasigma agindo em P, uma outra d o menor valor e a terceira um valoragindo em P, uma outra d o menor valor e a terceira um valorvalor de valor de sigmasigma agindo em P, uma outra d o menor valor e a terceira um valor agindo em P, uma outra d o menor valor e a terceira um valor intermedirio.intermedirio.Planos de corte 1 Os planos onde recebem o Os planos onde recebem o

nome de Planos P incipais e asnome de Planos P incipais e as0 =

nome de Planos Principais e as nome de Planos Principais e as tenses tenses 11, , 22 e e 33 recebem o recebem o nome de Tenses Principais. nome de Tenses Principais.

xPpp

Por conveno, Por conveno, 11 22 33 ..32 > 0 > 0 traotrao < 0 < 0 compresso.compresso.


CRCULOS DE MOHRCRCULOS DE MOHRChapa carregada em seu plano

CRCULOS DE MOHRCRCULOS DE MOHR A

x

D

2 Plano 22

m

a

x

( )sen221

21 =

11

12

00

Plano genrico A

Plano 1 2 E 1genrico A2

( )21 21 + ( )cos22

121

E erccio 1 6 (Ref 3 p 19)

( ) ( ) ++= 2cos21

21 2121

Exerccio 1.6 (Ref. 3 - p.19)

Se positivo, provoca giro no plano A em torno de O no sentido horrio.22

( ) = 2sen21 21

Os ngulos e 2 so contados sempre no mesmo sentido.

Exerccios 1.7 e 1.8 (Ref. 3 - p.19)

PROCESSAMENTO DE MATERIAIS METLICOSCRCULOS DE MOHR PARA TRS DIMENSESCRCULOS DE MOHR PARA TRS DIMENSESCRCULOS DE MOHR PARA TRS DIMENSESCRCULOS DE MOHR PARA TRS DIMENSES

Aplano21

plano1

l 2 ma

x

Aplano3

plano2

x

m2

P 13 0 22

3 3

plano3plano1

1

231

max= possvel demonstrar que os valores de e

2para um plano com inclinao qualquer passando por P correspondero sempre a pontos dentro

da regio sombreada do crculo de Mohr.


11

33 3

131 3 3

23=

21=

231 =

11


1

max

1 02 = 3 =

1

TRAO PURA


1

max

13 = 0 22 2

1

ESTADO PLANO DE TENSES


1

max3

13 0 22 23

1

DIMINUIO DA TENSO DE CISALHAMENTO MXIMA


1

max = 03

1 02 23

2 = 3 =

1

ESTADO HIDROSTTICO DE TENSES


1

max

3

13 0 22 23

1

AUMENTO DA TENSO DE CISALHAMENTO MXIMA Exerccios 1.9 e 1.10 (Ref. 3 - p.20)

PROCESSAMENTO DE MATERIAIS METLICOSA DEFORMAO LINEARA DEFORMAO LINEARA DEFORMAO LINEARA DEFORMAO LINEAR

Agora, dentro do binmioAgora, dentro do binmioSOLICITAOSOLICITAO--RESPOSTA, RESPOSTA,

Deformao convencionale l

l= %100e = ll

analisaremos a analisaremos a respostaresposta..

loconvencionalolol

lo2e l='

l 2lo

e l mais preciso dizer que a mais preciso dizer que a deformao total dada pordeformao total dada por

Alongamento

l 2l1lll

ll

++

deformao total dada pordeformao total dada por

1Ou, considerando incrementos infinitesimais de comprimento, porOu, considerando incrementos infinitesimais de comprimento, porlll +oo

= fll lllll ddddd =

++++++f

ofooo 2

ll

ll ll

lll

lll

lll

ll d

dd

dd

ddd


Tomando o limite da somatria, para infinitas etapas de alongamento, Tomando o limite da somatria, para infinitas etapas de alongamento, temos:temos:

l lld == fo o

fl

l ll

ll lnd

o

ComoComo e l= , bvio que, bvio que ( )e1+= lno

e l, q, q ( )

AA grandezagrandeza denominadadenominada deformaodeformao verdadeiraverdadeira ouou logartmicalogartmica eeseuseu valorvalor sempresempre menormenor queque oo dede e,, mas,mas, parapara pequenaspequenasdeformaes,deformaes, aa diferenadiferena pequenapequena.. UmaUma grandegrande vantagemvantagem dadadeformaes,deformaes, aa diferenadiferena pequenapequena.. UmaUma grandegrande vantagemvantagem dadadeformaodeformao verdadeiraverdadeira queque sese podempodem somarsomar osos incrementosincrementos dededeformaodeformao sofridossofridos pelopelo corpo,corpo, obtendoobtendo--sese nono finalfinal aa deformaodeformao total,total,oo queque nono verdadeverdade parapara oo casocaso dada deformaodeformao convencionalconvencionaloo queque nono verdadeverdade parapara oo casocaso dada deformaodeformao convencionalconvencional..

Isto ficar completamente esclarecido aps a 1. Lista de Exerccios. Isto ficar completamente esclarecido aps a 1. Lista de Exerccios.


A DEFORMAO POR CISALHAMENTOA DEFORMAO POR CISALHAMENTO

A B

A DEFORMAO POR CISALHAMENTOA DEFORMAO POR CISALHAMENTO

a B DA = DA DC = DCA B1

A

ADC ADC +

h1

1 = 1 + 21 e 2 so positivos nossentidos indicados.h1

b

OC

sentidos indicados.Para 1 e 2 pequenos,pode-se escrever:

D Ch

b2 2121

tgtghb

ha +=+=

h221

Para excluir o efeito de uma eventual rotao rgida (quando 1 2), qual no est associada uma deformao do corpo, deve-se tomarq p ,

2

2 21 += e considerar os ngulos ADA CDC e iguais a /2.


VARIAO DA DEFORMAO COM A DIREOVARIAO DA DEFORMAO COM A DIREO


DEFORMAES PRINCIPAISDEFORMAES PRINCIPAISDEFORMAES PRINCIPAISDEFORMAES PRINCIPAISNo estudo realizado com os quadrados desenhados nas folhas de borracha,verificamos que existem duas direes onde no ocorrem deformaes porverificamos que existem duas direes onde no ocorrem deformaes porcisalhamento, mas somente deformaes lineares.H uma semelhana formal com o caso das tenses e aqui tambm pode-semostrar por meio de uma anlise rigorosa do problema que sempre possvelmostrar, por meio de uma anlise rigorosa do problema, que sempre possvelencontrar, para cada ponto de um corpo carregado, trs direes mutuamenteperpendiculares, para as quais as deformaes angulares so nulas. Ainda em ana-l i d t d t d f lilogia com o caso de tenses, pode-se mostrar que as deformaes lineares queocorrem normalmente aos planos em questo correspondem a extremos, ou seja,uma delas (e1) a maior de todas as deformaes lineares, outra (e3) a menor, ea terceira apresenta um valor intermedirio.Podem ser construdos crculos de Mohr tambm para deformaes: locam-sena abcissa as deformaes lineares (e) e, na ordenada, a deformao por( ) pcisalhamento (/2); assim, conhecidos os valores de e1, e2 e e3, possvelconhecer e e /2 para qualquer plano com uma certa inclinao em relao aosplanos onde agem e1, e2 e e3 .As deformaes e1, e2 e e3 chamam-se deformaes principais e so respecti-vamente colineares com 1, 2 e 3 para materiais isotrpicos.planos onde agem e1, e2 e e3 .

PROCESSAMENTO DE MATERIAIS METLICOSDEFORMAO VOLUMTRICADEFORMAO VOLUMTRICADEFORMAO VOLUMTRICADEFORMAO VOLUMTRICA

3 e3

lVo = l1 l2 l3

1e1l1

l2l1 = l1 (1+e1)

Aps a aplicao de 1, 2 e 3 ,2e2

2e2l3

l 1 l1 (1+e1)l2 = l2 (1+e2)l = l (1+e )1

e1

l 3 = l3 (1+e3)Vf = l1 l2 l3(1+e1)(1+e2)(1+e3) =

l l l3 e3 = l1l2l3(1+e1+e2+e3+e1e2+e1e3+e2e3+e1e2e3)Se as deformaes e1, e2 e e3 forem pequenas, pode-se escrever:

Vf = l1 l2 l3 (1+e1+e2+e3)A deformao volumtrica definida como .of VV =

oVAssim, . 321 eee ++=


PRIMEIRA LISTA DE EXERCCIOSPRIMEIRA LISTA DE EXERCCIOS

1. Entregue as respostas aos exerccios 1.5 e 1.6 (Ref. 3 pgina 19).22. Analise cuidadosamente as trs aplicaes apresentadas no item 1.6

da Ref. 3 (pginas 11 a 13) e proponha mais uma outra aplicaodif t D t d d t d t d hdiferente. Descreva os estados de tenso correspondentes e desenheos respectivos crculos de Mohr.

3. Analise a demonstrao apresentada no final do item 1.7 da Ref. 3(pgina 15) e resolva o exerccio 1.11 (pgina 20).

4. Resolva os exerccios 1.12 e 1.13 da Ref. 3 (pgina 20).

Fim deste tpicoFim deste tpico


Fr

E i 1 15F Exerccio 1.1Em P age uma fora

k f li dFr

xP n

= 1500 kgf, aplicada uniformemente em uma rea de 2 cm2 contida num

F

FT =rr

rea de 2 cm , contida num plano cuja normal faz um ngulo = 30 com a fora.

6Fr AT =

g Calcule e .

F r k fA

F

= cos 2cm20cos.kgf1500 3= 2cmkgf650

F = senr

0sen . kgf1500 3= 2cmkgf375=A 2cm2 cmkgf375


FrExerccio 1.2 Demonstrar que

cosAA 1=

A1

0,0,AF

111

===

P

d/cos = eixo maior da elipse de rea A(o eixo menor d)

n

Fr

P

d = dimetro do crculo de rea A1

A

F

4 cos

dd. A =

4d A

2

1 =P 4 4

cosdd.

cos1

4d 4

cos

AA

21

== cos

AA 1=

Fr

4c.q.d.


Exerccio 1.3Traciono um cilindro de rea da seo transversal unitria e seo circular

graus radianos sigma tau0 0 20000 0

10 0,174533 19396,93 3420,20120 0,349066 17660,44 6427,876

transversal unitria e seo circular.A fora aplicada 20.000 kgf. Calcular e em planos que fazem

30 0,523599 15000 8660,25440 0,698132 11736,48 9848,07845 0,785398 10000 1000050 0,872665 8263,518 9848,07860 1 047198 5000 8660 254Calcular e em planos que fazem

ngulo de 10 a 90 (de 10 em 10) com a seo transversal do cilindro.

60 1,047198 5000 8660,25470 1,22173 2339,556 6427,87680 1,396263 603,0738 3420,20190 1,570796 0 0

Exerccio 1.4Considerando um sistema de eixos 10000

15000

cartesianos , ( na abcissa e na ordenada), usando a mesma escala

d i i f0

5000

0 5000 10000 15000 20000 25000

t

a

u

para e nos dois eixos, fazer uma curva de para os pontos do exerccio 1 3; completar o exerccio -10000

-5000

0 5000 10000 15000 20000 25000

exerccio 1.3; completar o exerccio para ngulos at 360. -15000

sigma


E i 1 5Exerccio 1.5Considerando o desenho ao lado,

mostrar que as coordenadas do

( )+ 2112 12mostrar que as coordenadas doponto P so dadas pelas equaes:

( )+== 2cos12

cos 121

== 2sencossen 11P

2sen2

cossen 1

Exerccio 1.6Exerccio 1.6A partir do equilbrio do tringulo, demonstrar que

A

1

( ) ( ) ++= 2cos21

21 2121

BC

( ) = 2sen21 21 2e que

PROCESSAMENTO DE MATERIAIS METLICOSExerccio 1 7Exerccio 1.7

Dado um quadrado onde agem 1 = 20 kgf/mm2 e 2 = 4 kgf/mm2, calcular e em planos cujas normais fazem 30 45 e 80 com acalcular e em planos cujas normais fazem 30 , 45 e 80 com a direo de 1. alfa radianos sigma tau

30 0,523599 16 6,92820345 0 785398 12 845 0,785398 12 880 1,396263 4,482459 2,736161

E i 1 8Exerccio 1.8Para o estado de tenses ao lado, calcular

l l dy

y

1, 2, max e o ngulo que o plano onde atua 1 faz com Ox, empregando crculos de Mohr Dados: = 1 000 psi x0

de Mohr. Dados: x 1.000 psiy = 4.000 psi = 2.000 psi0 x


y

2000

m

a

x

2

40001000 12

1 = 5000 psi = 02000 x

2 = 0max = 2500 psi

2000

+=150020001802 arctg = 116,57


Calcule max para os estados de tenso a seguir:a) 1 = 10.000 psi ; 2 = 4.000 psi ; 3 = 1.000 psi

psi5004000.1000.1031 ===

b) 10 k f/ 2 2 k f/ 2 8 k f/ 2

psi500.422

3max ===

b) 1 = 10 kgf/mm2 ; 2 = 2 kgf/mm2 ; 3 = 8 kgf/mm2( ) 231 kgf/mm9810 ===c) = 80 MPa ; = 150 MPa ; = 200 MPa

max kgf/mm922===

c) 1 = 80 MPa ; 2 = 150 MPa ; 3 = 200 MPa( ) MPa602008031 === MPa6022max

===


Para cada caso a seguir, desenhe crculos de Mohr e determine maxe no plano onde atua max (tenses no fornecidas so nulas)

b) 3 = 60 psi c) 1 = 10 kgf/mm22 = 10 kgf/mm2a) 1 = 20 Mpa3 = 60 MPa

p max ( )

2 10 kgf/mm3 = 50 kgf/mm23

m

a

x

m

a

x

m

a

x

13 213 213 2

max = 40 Mpa max = 30 psi max = 30 kgf/mm2 = 20 MPa

max p

= 30 psimax p

= 20 kgf/mm2max g

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