mecanica4

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS -MECÂNICA

Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e

Wagner Máximo de Oliveira

UFPB VIRTUAL

5 de setembro de 2012

Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de OliveiraFÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - MECÂNICA


Introdução

Estamos iniciando a Semana, e estudaremos os seguintesassuntos:

Equações do movimento uniformemente variado;Gráficos do movimento uniformemente variado;Queda de corpos.

Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre osassuntos descritos acima, porém, é interessante que vocêestude antes a teoria no Livro de FÍSICA., na primeira unidade.

BOM ESTUDO!



EQUAÇÕES DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Consideremos uma partícula em movimento uniformementevariado e suponhamos que, no instante inicial (t0 = 0), apartícula esteja passando pelo ponto de espaço s0, comvelocidade ν0. Depois de algum tempo, num instante qualquert , a partícula estará passando pelo ponto de espaço s, comvelocidade escalar ν.



EQUAÇÕES DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Sendo (a) a aceleração escalar, temos duas equaçõesimportantes:Equação horária do espaço

s = s0 + v0t +at2

2Equação horária da velocidade escalar

v = v0 + at

Chamamos s0 de espaço inicial e ν0 de velocidade inicial.A equação horária da velocidade escalar é facilmente obtida,basta simplesmente observar que:

a =∆v∆t

=v − v0

t − t0 = 0︸︷︷︸ =v − v0

t

Assim,v − v0 = at ⇐⇒ v = v0 + at



EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Na figura abaixo, uma partículatem movimento uniformemente variado, com aceleração escalara = 6 m/s2. No instante t0 = 0 a partícula passa pelo ponto deespaço 10 m com velocidade 4 m/s.

1 Determine o espaço e a velocidade escalar da partícula noinstante t = 5 s.

2 Calcule a velocidade escalar média da partícula entre osinstantes t0 = 0 e t = 5 s.



CONTINUAÇÃO

Resolução:1. Vamos primeiramente determinar as equações horárias,observando que s0 = 10 m, v0 = 4 m/s e a = 6 m/s2.

s = s0 + v0t +a2

t2

s = 10 + 4t + 3t2

v = v0 + atv = 4 + 6t

Com esssas equações podemos determinar o espaço e avelocidade escalar em qualquer instante t. Neste problema sãopedidos o espaço e a velocidade escalar no instante t = 5 s.Substituindo esse valor nas equações acima:s = s0 + v0t +

a2

t2

s = 10 + 4(5) + 3(5)2

s = 10 + 20 + 75s = 105 m

v = v0 + atv = 4 + 6(5)v = 4 + 30v = 34 m/s



CONTINUAÇÃO

2. Na figura ao lado marcamosas posições nos instantes t0 =0 e t = 5 s. Entre esses doisinstantes a variação de espaçoe o intervalo de tempo foram:

∆s = (105 m)− (10 m) = 95 m

∆t = (5 s)− (0) = 5 s

Assim, a velocidade escalar média nesse intervalo de tempofoi:

vm =∆s∆t

=95 m5 s

= 19 m/s



CONTINUAÇÃO DO ITEM 2

Há outro modo de calcular a velocidade escalar média.

Sendo movimento uniformemente variado, a velocidadeescalar média pode ser calculada fazendo-se a médiaaritmética simples entre as velocidades escalares no início eno fim do intervalo de tempo:

vm =v0 + v

2=

(4,0 m/s) + (34 m/s)

2=

38 m/s2

= 19 m/s

MAS, CUIDADO, ESSA PROPRIEDADE SÓ VALE PARA OMOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO!



EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Um automóvel movia-se sobreuma estrada com velocidade escalar constante e igual a 20 m/s.Num determinado instante o motorista pisa no freio, provocandouma desaceleração constante de 4,0 m/s2, até o automóvelparar. Calcule.1 O tempo gasto até parar;2 A distância percorrida durante a freada.

Resolução:1. No instante inicial temos v0 = 20 m/s. Considerando avelocidade escalar positiva e sendo o movimento retardado, ouseja a velocidade diminui, a aceleração escalar é negativa:a = −4,0 m/s2.



CONTINUAÇÃO

1. O tempo gasto até parar

A equação horária da velocidade escalar é:

v = v0 + at =⇒ v = 20− (4,0) · t

Qunado o automóvel parar, v será zero. Substituindo naequação acima, temos:

0 = 20− (4,0)t =⇒ t = 5,0 s

t = 5,0 s



CONTINUAÇÃO

2. A distância percorrida durante a freada

Vamos adotar a origem da trajetória no ponto em que o veículoestava no início da freada, isto é, vamos adotar s0 = 0, comoilustra a figura acima. A equação horária do espaço é:

s = s0 + v0t +at2

2=⇒ s = 0 + (20) · t − (2,0) · t2

Para t = 5,0 s, temos: s = 0 + 20 · (5,0)− (2,0) · (5,0)2

Daí,

s = 50 mProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de OliveiraFÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - MECÂNICA


EQUAÇÃO DE TORRICELLI

Qualquer problema de MUV pode ser resolvido com asequações horárias que vimos anteriormente. No entanto, háproblemas que podem ser resolvidos mais facilmente usandooutra equação, conhecida pelo nome de Equação de Torricelli

v2 = v20 + 2a(s − s0)

Exercício resolvidoUm automóvel move-se sobre uma estrada com velocidadeescalar constante 30 m/s. Num determinado instante omotorista pisa no freio, provocando uma desaceleraçãoconstante de 3,0 m/s2, até o automóvel parar. Calcule adistância percorrida durante a freagem.Resolução:



EQUAÇÃO DE TORRICELLI

Resolução:Considerando a velocidade es-calar positiva e observando queo movimento é retardado, aaceleração escalar é negativa:a = −3,0 m/s2. A velocidadeinicial é v0 = 30 m/s, e a veloci-dade final é nula (v = 0).Observe que não há nenhuma referência ao tempo; essa éuma pista que nos indica que, provavelmente, a melhorequação a ser usada é a de Torricelli:

v2 = v20 + 2a s − s0 = ∆s︸︷︷︸

0 = (30)2 + 2(−3) ·∆s

Daí tiramos:

∆s = 150 mProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de OliveiraFÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - MECÂNICA


GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Gráfico da aceleração escalar em função do tempoNum MUV, a aceleração é constante e não nula. Portanto ográfico de a× t é uma reta paralela ao eixo dos tempos




Gráfico da velocidade escalar em função do tempoA equação horária da velocidade (v) é do primeiro grau(v = v0 + at). Portanto, o gráfico v × t deve ser retilíneo




Gráfico do espaço em função do tempoA equação horária do espaço do MUV é do segundo grau(s = s0 + v0t + at2

2 ). Portanto, o gráfico v × t deve ser um arcode parábola, que pode ter concavidade para cima ou parabaixo. A concavidade é determinada pelo sinal da aceleraçãoescalar:

O ponto A é o vértice da parábola e o instante tA correspondeao vértice. No instante tA, v = 0.



QUEDA DE CORPOS

Suponhamos que um corpo tenha sido abandonado nasproximidades da Terra, a certa distância do solo, numa regiãoonde há vácuo (ou onde a resitência do ar possa serdesprezada). O corpo irá cair, sendo seu movimento chamadode queda livre, ou seja, livre da resistência do ar.



QUEDA DE CORPOS

A experiência mostra que, nesse caso, o corpo cai com MUVcuja aceleração não depende da massa do corpo. O módulodessa aceleração é chamado de aceleração da gravidade erepresentado por g.O valor de g varia de ponto a ponto da Terra, sendoaproximadamente igual a 9,8 m/s2.Nos problemas, vamosconsiderar sempre g ∼= 10 m/s2. Quando resolvemos umproblema de queda de corpos, usamos as equações do MUV,fazendo a± p. Se a trajetória for orientada para baixo,teremos a = +g. Se a trajetória for orientada para cima,teremos a = −g.



EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um corpo é abandonado em umponto situado 80 metros da superfície da Terra, numa região emque a aceleração da gravidade é g = 10 m/s2. Despreze aresistência do ar.1 Quanto tempo o corpo gasta até atingir o solo?2 Com que velocidade o corpo atinge o solo?3 Qual a altura do corpo, 2,0 segundos após ter sido

abandonado?

Resolução:1. Quando dizemos que ocorpo é abandonado (ou lar-gado), isso significa que v0 = 0.Vamos adotar um trajetória ori-entada para baixo, como mos-tar a figura ao lado. Com issotemos g = 10 m/s2.



CONTINUAÇÃO

Vamos também escolher a origem da trajetória no ponto emque o corpo foi abandonado. Assim, temos s0 = 0, e o espaçono solo é s = 80 m. A equação horária é:

s = s0 + v0t +at2

2

s = 0 + 0 · t + 5 · t2 =⇒ s = 5t2

Quando o corpo atingir o solo, teremos s = 80 m.

80 = 5t2 ∴ t = 4,0 s

2. v = v0 + at = 0 + 10t = 10tFazendo t = 4,0 s, temos:

v = 10 · 4,0 ∴ v = 40 m/s

Essa velocidade poderia ser calculada usando-se a equaçãode Torricelli: v2 = v2

0 + 2a(s − s0) (VERIFIQUE!)Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de OliveiraFÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - MECÂNICA


CONTINUAÇÃO

3. No item 1, vimos que a equação horária do espaço é:

s = 5t2

t = 2,0 s =⇒ s = 5 · (2,0)2 = 5 · 4,0s = 20 m

Nesse instante, a altura do corpo é:

h = 80 m − 20 m = 60 m

h = 60 m.



EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um corpo é lançado para cima, apartir do solo, com velocidade cujo módulo é 30 m/s, numaregião em que g = 10 m/s2. Despreze a resistência do ar.1 Quanto tempo o corpo gasta para atingir a altura máxima?2 Qual o valor da altura máxima?3 Quanto tempo é gasto na descida?4 Qual a velocidade do corpo ao atingir o solo?

Resolução:1. Vamos adotar uma trajetória ori-entada para cima, com origem nosolo. Com isso, temos s0 = 0 ea = −g = −10 m/s2. Além disso,a velocidade inicial tem o mesmosentido da trajetória, sendo, por-tanto, positiva: v0 = 30 m/s.



CONTINUAÇÃO

1.

A equação horária da velocidade escalar é:

v = v0 + at

v = 30− 10t

No ponto mais alto, temos v = 0:

0 = 30− 10t ∴ t = 3,0 s



CONTINUAÇÃO

2. A equação horária do espaço é:

s = s0 + v0t +a2

t2

s = 0 + 30 · t − (5,0) · t2 =⇒ s = 30t − (5,0)t2

A altura máxima se dá quando t = 3 s, portanto:

t = 3,0 s =⇒ s = 30 · (3,0)− (5,0) · (3,0)2 ∴ s = 45 m

s = 45 m

Essa altura máxima poderia ser calculada usando-se aequação de Torricelli. (VERIFIQUE!)



CONTINUAÇÃO

3. O tempo de subidado corpo é igual ao tempo que ele gastapara voltar ao ponto de lançamento. Assim, o tempo gasto paravoltar ao solo é: 3,0 s .

4. A equação horária da veloci-dade escalar é: v = 30 − 10t .Essa equação vale tanto para asubida como para a descida.O corpo voltou ao solo 6,0 se-gundos após o lançamento (3,0segundos usados para a subidae 3,0 segundos para a descida).

Substituindo esse valor na equação da velocidade:

v = 30− 10 · (6,0) ∴ v = −30 m/s

A velocidade é negativa, pois na descida o movimento temsentido oposto ao da trajetória.



BIBLIOGRAFIA UTILIZADA

Curso de Física básica - vol 1. Nussenzveig, HerchMoysés - 4. ed. - São Paulo: Blucher, 2002.Física básica: Mecânica. Chaves, Alaor, Sampaio, J.F. -Rio de Janeiro: LTC, 2007.Física 1: mecânica. Luiz, Adir M. - São Paulo: EditoraLivraria da Física, 2006.Física: volume único. Calçada, Caio Sérgio, Smpaio,José Luiz - 2. ed. - São Paulo: Atual, 2008.



OBSERVAÇÕES:

Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.Sugerimos que estudem os conteúdos apresentadosnesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem nofórum da semana, para que possamos esclarecê-las.O assunto exposto acima servirá de suporte durante todoo curso. Portanto aproveitem este material!

ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO!


mecanica4

Documents