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INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
MECÂNICA APLICADA II
Engenharia Civil – 2º ANO
EXERCICIOS PRÁTICOS
Ano lectivo 2005/2006
INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E DE GESTÃO
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA
Ano lectivo: 2005/20061.º semestre
Curso: Engenharia Civil
Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos 1
MECÂNICA APLICADA II
I - Teoria do estado de tensão I.1 - Uma barra, com a secção quadrada de 40x40 mm2, está submetida a uma força de tracção de
16 kN, conforme se representa na figura.
Nestas condições determine:
a) a orientação α a dar a uma junta de colagem de forma a que a tensão normal não exceda
2 N/mm2.
b) qual a tensão tangencial correspondente?
I.2 - O estado de tensão num ponto referido a um referencial [ ]1 2 3, ,x x x é dado pelo seguinte tensor
das tensões:
σ = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
04004012050050100
[MPa]
a) Represente um elemento de volume no ponto, orientado segundo os eixos, com as tensões que o
actuam.
b) Calcule as tensões principais e as direcções principais (sua orientação em relação aos eixos
[ ]1 2 3, ,x x x ).
c) Calcule a tensão normal e a tensão tangencial numa faceta cuja normal faz ângulos de 45º e 60º,
respectivamente, com os eixos x1 e x2.
d) Represente um elemento de volume tridimensional com as tensões que o actuam orientado
segundo os eixos ' ' '1 2 3, ,x x x⎡ ⎤⎣ ⎦ que se obtém de [ ]1 2 3, ,x x x por rotação de 30º no sentido directo
em torno do eixo x2.
Junta colada
Secção 40 x 40 mm
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2 Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos
I.3 - O tensor das tensões obtido num dado ponto de um corpo tem as seguintes componentes,
expressas em N/mm2.
σ = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0201020020102011σ
[N/mm2]
a) Determine a componente σ11 de modo que possa existir uma faceta, em torno do ponto,
relativamente à qual seja nulo o vector de tensão.
b) Determinar as componentes do vector normal unitário à referida faceta.
c) Determine as tensões principais e as direcções principais de tensão no ponto considerado.
I.4 - Considere o estado de tensão no ponto P definido no referencial [ ]1 2 3, ,x x x pelo seguinte
tensor:
[ ]MPab
aa
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00030090
σ
Sabendo que:
- O valor da maior tensão principal é 110 MPa e ocorre numa faceta caracterizada pelo versor
normal ( )0,0,1n =%
;
- O valor de a e de b são positivos;
- O valor da tensão tangencial máxima no plano definido por [ ]1 2,x x é 39 MPa;
a) Determine os valores das constantes a e b.
b) Qual o valor das tensões principais?
c) Determine o versor da normal a uma faceta em que a tensão normal vale 80 MPa.
d) Determine as componentes do vector tensão que actua na faceta definida pelo versor
( )31 2, ,3 3n n=
%.
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Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos 3
I.5 - Um cubo elementar destacado dum corpo, submetido a uma solicitação exterior, actuam as
tensões indicadas no esquema:
Determine:
a) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos
[ ]1 2,x x .
b) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos
principais de tensão.
b.1) analiticamente
b.2) graficamente
c) A orientação das normais às facetas onde actuam
as tensões principais.
d) As componentes da tensão numa faceta igualmente inclinada sobre as três faces do cubo, a
qual intersecta o cubo segundo as rectas a tracejado.
(Sol.: σN =16.7 MPa; τ =33.0 MPa)
e) As componentes isotrópica e tangencial do tensor das tensões. Qual destas componentes é
responsável pela variação de forma do corpo. Justifique.
I.6 - Num ponto de uma estrutura conhecem-se as seguintes condições relativamente ao estado de
tensão nas três facetas do elemento triangular infinitesimal representado na figura.
A tensão normal na faceta AB é nula.
A tensão tangencial na faceta BC é nula e a tensão
normal vale 10 N/mm2 com o sentido indicado.
Sabendo que se trata de um estado plano de tensão,
determine:
a) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos [ ]1 2,x x .
b) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos principais de tensão.
σ
τ
τ
30 10
30 10
30
x1 x2
[Mpa]
x3
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4 Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos
c) Represente um elemento orientado segundo os eixos principais com as tensões que o
actuam.
d) Determine o versor da normal a uma das facetas em que a tensão tangencial é de 2 N/mm2.
I.7 - Num ponto de uma superficie de uma placa verifica-se devido à actuação independente de duas
solicitações (solicitação 1 e solicitação 2), os estados de tensão planos indicados na figura.
τ ττ
τ
a) Qual a razão física que permite concluir que as tensões τ, assinaladas na figura, tanto na
solicitação 1 como na solicitação 2, são iguais a 30 N/mm2? Justifique matematicamente a
resposta.
b) Calcule as tensões normais e tangenciais máximas que se geram no ponto da placa em
questão devido à actuação simultânea das duas solicitações, indicando a orientação das facetas
em que tais tensões ocorrem.
I.8 – Determine em cada uma das alíneas seguintes as direcções principais dos estados de tensão
resultantes da sobreposição dos estados planos indicados :
I.9 - Resolva as alíneas do problema I.1 recorrendo ao círculo de Mohr.
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Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos 5
I.10 - Numa chapa de aço que constitui a parede de uma caldeira (estado plano de tensão) verificou-
se num determinado ponto o seguinte estado de tensão:
σ11= 40 N/mm2 ; σ12= -20 N/mm2 ; σ22= 80 N/mm2
a) Qual o valor da tensão principal máxima? (R: 88.3 N/mm2)
b) Qual a máxima tensão tangencial a que pode ficar submetida uma faceta genérica centrada
no ponto ? Qual a tensão correspondente ? (R: τmáx=28.3 N/mm2 ; σ(n)=66.3 N/mm2)
I.11 - Um tubo oco de material isótropo está submetido simultaneamente, a uma tracção
longitudinal e a uma torção. As tensões produzidas por estes esforços nas facetas transversais (1) e
longitudinais (2) de um ponto na parede exterior do tubo são as seguintes :
Determine a orientação das facetas
submetidas à tracção pura.
I.12 - Determine e oriente as tensões principais dos estados planos de tensão indicados, conhecidas
as componentes de tensão normais em três direcções:
σ1= 60 N/mm2
σ2= -20 N/mm2
σ3= 0 N/mm2
a) α = β = 45º
b) α = β = 60º
I.13 - Determine e oriente as tensões principais do estado plano de tensão indicado, conhecidas as
componentes da tensão actuante em duas direcções.
Faceta 1: 1 36.33 MPaσ =
1 60ºα = 52.1ºθ =
Faceta 2:
43.66N MPaσ = 3.66 MPaτ =
2 30ºα = x
y
1σ
2Nσ2τ
1α
2α
θ
σ11= 60 N/mm2
σ12= -20 N/mm2
σ22= 0 N/mm2
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6 Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos
I.14 - A figura representa um provete da rocha de fundação duma barragem, o qual vai ser
submetido a um ensaio triaxial para determinação da sua resistência. A pressão lateral a aplicar ao
provete é de p = 10 N/mm2. Admita que o estado de tensão no provete é uniforme.
a) Determine a máxima tensão de compressão axial que pode ser aplicada ao provete de forma
que a tensão tangencial máxima não exceda 20 N/mm2. Em que faceta(s) se verifica esta
tensão.
b) Calcule a tensão normal e tangencial numa faceta octaédrica, nas condições da alínea a).
c) Mostre que a tensão normal em qualquer faceta perpendicular ao plano xy é independente de
σ e é igual à pressão lateral.
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Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos 7
II- Teoria do estado de deformação II.1 - Um elemento rectangular ABCD deforma-se ficando com a forma A’B’C’D’ como se indica
na figura. Admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos determine:
a) As componentes da deformação ε11,
ε12, ε22.
b) A extensão da diagonal AC em função
das componentes εij .
II.2 - Num ponto de um corpo deformado determinaram-se no plano [OXY] as seguintes
componentes de deformação :
εxx = 4 x 10-5 εyy = -2 x 10-5 εxy = 2 x 10-5
a) Traçe o círculo de Mohr correspondente a este estado de deformação e determine as
extensões principais e a sua orientação.
b) Quais as orientações em que é nula a extensão e qual o valor da distorção.
II.3 - Um estado de deformação na vizinhança de um ponto P é caracterizado por:
εI = 4 x 10-3 εII = 12 x 10-4 εIII = -3.5 x 10-4
Determine:
a) A extensão na direcção definida pelo vector ( )0.2, 0.3, 0.5a =%
.
b) Os invariantes de deformação.
c) A extensão volumétrica exata e na hipótese dos pequenos deslocamentos.
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8 Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos
II.4 - No interior do maciço de amarração de uma ponte colocou-se a roseta espacial de
extensómetros esquematizada na figura. Sabe-se que a direcção em que está colocado o
extensómetro 3 é uma direcção principal de deformação. As medidas registadas nos extensómetros
foram:
ε1 = 200 x 10-8
ε2 = 113.397 x 10-8
ε3 = 200 x 10-8
ε4 = 286.603 x 10-8
a) Determine os valores das extensões principais.
b) Determine o valor da extensão no plano I-II numa direcção que faz com a parte positiva do
eixo I um ângulo de 30º no sentido dos ponteiros do relógio.
c) Qual a distorção máxima no plano I-II e entre que direcções se verifica ?
II.5 - A placa representada na figura (ν=0.2, E=200 GPa) está sujeita ao seguinte estado homogéneo
de deformação.
ε11=0.001
ε12=0.001
ε22=0.002
a) Qual o comprimento do lado AC após a deformação?
b) Qual o comprimento do lado DC após a deformação?
c) Determine as direcções entre as quais não existem variações angulares. Para essas direcções
qual o valor das extensões.
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Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos 9
II.6 - A placa de dimensões 1x1 representada na figura (a) é sujeita a um campo de deformações
homogéneo ficando com a forma indicada na fig. (b).
(0.001;1.002)
(1.001;0.002)
Determine:
a) As componentes do tensor das deformações infinitésimais εij.
b) A distorção entre as fibras A e B, inicialmente ortogonais, após a deformação.
II.7 - A placa de aço (ν=0.3 , E=200 GPa) esquematizada na figura está sujeita a um estado de
deformação homogéneo plano. As variações de comprimento sofridas pelas arestas AB, AC e AD
são: ΔLAB= +(4x10-1) mm , ΔLAC= +(2√3x10-1) mm e ΔLAD= +(8x10-1) mm.
a) Determine o tensor das extensões no ponto A.
b) Em que direcção da placa se regista a máxima extensão? Qual o valor dessa extensão?
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10 Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos
II.8 - No interior de uma estrutura submetida a um estado de deformação plano (no plano 1-2) está
colocada uma roseta de extensómetros conforme indicado na figura, tendo-se medido as seguintes
extensões:
εa = 100x10-6
εb = 200x10-6
εc = 100x10-6
εd = 10x10-6
a) Verifique se existe erro nas medições efectuadas. Justifique.
b) Considerando correctas as medições efectuadas nos extensómetros a, b e c, determine o
valor da extensão máxima que se verifica em torno do ponto P. Qual a direcção em que
ocorre?
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Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos 11
III- Relações constitutivas para materiais elásticos lineares. Lei de Hooke.
III.1 - Uma placa de aço (E=210 GPa, ν=0.30), solicitada no seu plano, está submetida ao seguinte
estado plano de tensões:
σx= 91 MPa
σy= -49 MPa
σxy= 56 MPa
Calcule o valor das deformações principais e a orientação das respectivas fibras:
a) analiticamente;
b) graficamente.
(Solução: εI = 625E-6; εII = -60E-6; εIII = -485E-6)
III.2 - Devido a uma determinada solicitação instala-se numa barragem de gravidade um estado de
deformação plano (no plano transversal 1-2) de que se conhecem as seguintes componentes do
campo de deslocamentos (em centímetros):
u (x,y) = 62
212
22
11 10. x. xu x. xu −
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==
( E= 26 GPa; ν= 0.20 )
a) Determine os valores das tensões principais no ponto (x1 = 10 cm; x2 = 20 cm) e a orientação
das facetas onde actuam. Oriente as tensões principais nas facetas onde actuam.
b) Devido a uma solicitação mediram-se, junto ao ponto P (no plano 1-2), extensões em 3
direcções fazendo ângulos de 45º, 90º e 135º com a direcção 1, como se ilustra na figura.
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12 Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos
ε’1 = 100E-6
ε’2 = 50E-6
ε’3 = -100E-6
Determine, quando actuarem simultaneamente as duas solicitações, a orientação das direcções
entre as quais se observa a máxima distorção.
III.3 - A circunferência de Mohr da figura representa o estado de tensão no plano X-Y num corpo
constituído por um material isotrópico e submetido a um estado plano de deformação em que εZ=0.
Considerando para características do
material, E= 30 GPa e υ= 0.3, determine:
a) O tensor das tensões principais;
b) O tensor das extensões principais.
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Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos 13
III.4 - A placa quadrada ABCD transformou-se no losango A’B’C’D’ após ter sido submetida a um
campo de deformações homogéneo e plano (ver figura abaixo).
Características do material da placa:
E = 30 GPa
υ = 0,2
a) Sabendo que 316 102πθ −⎛ ⎞= + ×⎜ ⎟
⎝ ⎠rad, determine as componentes do tensor das deformações.
A mesma placa foi submetida a outra solicitação de que se conhecem as componentes do tensor das
tensões referidas a um outro sistema de eixos rodado relativamente ao primeiro do ângulo de 30º
como mostra a figura:
?
200400400
'33
'12
'22
'11
=
−=
=
=
σ
σ
σ
σ
MPaMPaMPa
Sabendo que a este estado de tensão corresponde um estado plano de deformação em que a
deformação nula ocorre segundo a direcção 3, determine:
b) O valor de σ’33.
Nas questões seguintes considere a actuação simultânea das duas solicitações.
c) Qual o valor das extensões principais no plano [ ]1 2,x x ?
d) Qual a orientação das facetas em que a distorção é máxima?
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14 Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos
IV- Critérios de segurança. Critérios de cedência e critérios de rotura. IV.1 – Considere, num ponto de uma peça de aço macio (Fe360), instalado o seguinte estado de
tensão:
σ =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000014030030110
[MPa]
Admita que a tensão limite de elasticidade (ou tensão de cedência) é σced =235 MPa.
a) Utilizando um critério de cedência, apropriado ao material, averigue a sua segurança
relativamente à cedência. Justifique a resposta.
IV.2 – O estado plano de tensão representado na figura ocorre num ponto crítico dum pilar de aço
Fe360 (σced=235 Mpa) de um edificio.
a) Determinar o factor de segurança relativamente à cedência usando:
a.1) o critério de Tresca
a.2) o critério de Von-Mises
b) Represente gráficamente a superficie de cedência, em ambos os casos, e represente aí o ponto
correspondente ao estado de tensão. Compare os resultados.
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Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos 15
IV.3 – Na secção crítica de uma viga metálica (Fe360, σced=235 MPa ), submetida a um
carregamento uniforme p (kN/m), determinaram-se os seguintes campos de tensões:
Determine o máximo valor da carga p que pode ser aplicada à viga de modo que a tensão de
cedência não seja ultrapassada. Utilize o critério de Von-Mises.
σ33 [kN/m2]
300
τT [kN/m2]
τ = 1847.6 p
τV [kN/m2]
307.5 p
230.8 p
230.8 p
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MECÂNICA APLICADA II
Engenharia Civil – 2º ANO
APONTAMENTOS PARA AS AULAS PRÁTICAS
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Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II – 2º Ano de Eng. Civil 1
CAPÍTULO 1 – Teoria do Estado de Tensão Tensor das tensões:
σ11, σ22, σ33 – TENSÕES NORMAIS σij, i ≠ j – TENSÕES TANGENCIAIS
Convenção de sinais: Tensões em determinada faceta são positivas se orientadas para a parte positiva dos eixos coordenados. Equação fundamental da análise de tensões (Fórmula de Cauchy):
( ) ( ) ( )n n nj ij in n nσ σ σ σ σ σ= ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅
r r
% %
)( nσr - vector tensão na faceta identificada pela normal nr ;
σ - tensor das tensões; nr - co-senos directores da normal à faceta;
( )
( )
( )
1 111 12 13
2 21 22 23 2
31 32 33 33
n
n
n
nnn
σ σ σ σσ σ σ σ
σ σ σσ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
σij – componentes do tensor das tensões; i – eixo normal à faceta em que actua a componente de tensão; j – direcção segundo a qual actua a componente de tensão;
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Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II – 2º Ano de Eng. Civil 2
Tensões e direcções principais - Via Analítica: As componentes principais do tensor das tensões (tensões principais) são os valores próprios da matriz do tensor e as direcções principais obtêm-se dos correspondentes vectors próprios. Da resolução da equação característica do tensor:
0=⋅− ijij δσσ
ou 032
2
1
3 =−⋅+⋅− III σσσ obtêm-se as 3 raízes (tensões principais):
IIIIII σσσσ ,,= em que:
σI > σII > σIII Invariantes da equação característica:
• 3322111 σσσ ++=I (traço ou 1ºinvariante ou invariante linear)
• 3331
1311
3332
2322
2221
1211
2 σσσσ
σσσσ
σσσσ
++=I
(2º invariante ou invariante quadrático)
•
333231
232221
131211
3
σσσσσσσσσ
=I (3º invariante ou invariante cúbico)
NOTA: um invariante é uma grandeza que não depende do sistema de eixos, isto é, não varia perante uma mudança de coordenadas. O sistema homogéneo de equações lineares:
( ) 0=⋅⋅− iijij nδσσ
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Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II – 2º Ano de Eng. Civil 3
fornecerá, para σ = σI, σ = σII e σ = σIII, os vectores ( ) ( ) ( )IIIIII nenn rrr , que definem os eixos principais de tensão. Mudança do sistema de eixos:
AAT ⋅⋅= σσ ' A – matriz de transformação (mudança de eixos);
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3'33
'23
'1
2'32
'22
'1
1'31
'21
'1
^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos
nnnnnnnnnnnnnnnnnn
A
Outras expressões importantes:
• nn
N ⊥= )(σσ •
2)(22 n
N σστ =+
• 2
IIIImáx
σστ −=
Circunferência de Mohr:
- Estado Plano de Tensão:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
σσσσ
σ , referido aos eixos X1 e X2.
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Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II – 2º Ano de Eng. Civil 4
• Determinação das tensões principais:
1) Marca-se num diagrama σN, τ o ponto representativo do eixo X1, que é o ponto de coordenadas σ11 e σ12 (σ12 marcado com o verdadeiro sinal). O ponto representativo do eixo X2 seria marcado com σ21 com o sinal trocado.
2) Define-se a posição do centro C da circunferência através da expressão:
22211 σσ +
=OC
e faz-se passar uma circunferência de centro em C pelo ponto representativo do eixo X1.
3) As tensões principais correspondem aos valores extremos das tens~es
normais, isto é, correspondem aos pontos em que a circunferência de Mohr intersepta o eixo das tensões normais.
2
12
2
22112211
2
12
2
22112211
22
22
σσσσσσ
σσσσσσ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−+
=−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++
=+=
ROC
ROC
II
I
NOTA: Nestas expressões para o cálculo das tensões principais é necessário ter cuidado com os sinais! O ângulo θ que os eixos principais XI e XII estão rodados relativamente aos eixos X1 e X2 é metade do ângulo formado por [CX1] e o eixo σN, e o sentido de rotação na circunferência é o oposto ao real.
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Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II – 2º Ano de Eng. Civil 5
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Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II – 2º Ano de Eng. Civil 6
CAPÍTULO 2 – Teoria do Estado de Deformação Vector Deslocamento: Admitindo deformações homogéneas, o vector deslocamento é uma função linear de x e y.
( ) ( )( )yxvyxud ,;,= ,sólido contínuo e homogéneo
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
++=
++==
FEyDxyxv
CByAxyxud
,
,
Extensão:
( )AB
AB
ABBA
ABAB
ε
ε
+⋅=
⇓
Δ=
1''
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Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II – 2º Ano de Eng. Civil 7
Componentes de deformação: Elementos do tensor das deformações.
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211,, εε
εεε YXO
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⋅===
dxdv
dydu
dydv
dxdu
21,, 122211 εεε
DISTORÇÃO:
1212 2 εγ ⋅= Extensão numa direcção d:
αεααεαεε 2
2212
2
11 ..cos..2cos. sensend ++= Extensão volumétrica: Valor exacto:
zyxzyzxyxzyxv εεεεεεεεεεεεε ..... ++++++= Na hipótese de pequenos deslocamentos:
1
0
0 IV
VVzyxv =++≈
−= εεεε
Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança
Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II – 2º Ano de Eng. Civil 8
CAPÍTULO 3 – Relações constitutivas: Lei de Hooke generalizada
Relações deformação – tensão:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅−+⋅=
⋅−+⋅=
⋅−+⋅=
θνσνε
θνσνε
θνσνε
zz
yy
xx
E
E
E
11
11
11
em que: zyx σσσθ ++=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
G
G
G
yz
yz
xzxz
xy
xy
2
2
2
σε
σε
σε
Relações tensão - deformação:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+⋅=
+⋅=+⋅=
zz
yy
xx
GeGeGe
ελσελσελσ
222
em que: ( ) ( )
( )ν
νννλ
εεε
+=
−⋅+⋅
=
++=
12
211EG
ee zyx
λ - constante de Lamé
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅⋅=⋅⋅=
⋅⋅=
222
yzyz
xzxz
xyxy
GGG
εσεσεσ
Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança
O FORMULÁRIO SERÁ FORNECIDO NO DIA DO EXAME! Exemplo do Formulário para Exames de Mecânica Aplicada II – 2º Ano de Eng. Civil
( ) nn n
iij
n
j
rr ⋅=⇔⋅= σσσσ )( 032
2
1
3 =−⋅+⋅− III σσσ
3322111σσσ ++=I
3331
1311
3332
2322
2221
1211
2 σσσσ
σσσσ
σσσσ
++=I
333231
232221
131211
3
σσσσσσσσσ
=I ( ) 0ij ij iI nσ σ− ⋅ ⋅ =
AAT ⋅⋅= σσ '
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
=
3'33
'23
'1
2'32
'22
'1
1'31
'21
'1
^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos
nnnnnnnnnnnnnnnnnn
A
( )( )
,
,
u x y Ax By Cd
v x y Dx Ey F
= + += = + +
ur AB
ABAB
ε∆
= 12
jiij
j i
dududx dx
ε
= ⋅ +
αεααεαεε 2
2212
2
11..cos..2cos. sensen
d++=
1
0
0 IV
VVzyxv
=++≈−
= εεεε
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
⋅−+⋅=
⋅−+⋅=
⋅−+⋅=
θνσνε
θνσνε
θνσνε
zz
yy
xx
E
E
E
11
11
11
em que: zyx
σσσθ ++=
=
=
=
G
G
G
yz
yz
xz
xz
xy
xy
2
2
2
σε
σε
σε
+⋅=
+⋅=+⋅=
zz
yy
xx
Ge
Ge
Ge
ελσ
ελσελσ
2
2
2
em que : ( ) ( )
( )
1 1 2
2 1
x y ze
E
EG
ε ε ε
νλ
ν ν
ν
= + +
⋅=
+ ⋅ − ⋅
=+
⋅⋅=⋅⋅=
⋅⋅=
22
2
yzyz
xzxz
xyxy
GG
G
εσεσ
εσ