média, mediana e distância entre dois...

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Média, Mediana e Distância entre dois pontos

1. (Pucrj 2013) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é a) 1 b) 2 c) 4

d) 2

e) 3 2. (Ufrgs 2012) Os pontos A(1, 2), B(6, 2) e C são os vértices de um triângulo equilátero,

sendo o segmento AB a base deste. O seno do ângulo formado pela o eixo das abscissas e a reta suporte do lado BC no sentido anti-horário é

a) 1

.2

b) 3

.2

c) 1

.2

d) 2

.2

e) 3

.2

3. (Fgv 2012) No plano cartesiano, M(3, 3), N(7, 3) e P(4, 0) são os pontos médios

respectivamente dos lados AB , BC , e AC de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C é:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 4. (Fgv 2012) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são,

respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12


5. (Ita 2012) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do

baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a

a) 5

3

b) 97

3

c) 109

3

d) 5

3

e) 10

3

6. (Ufba 2011) Considere, no plano cartesiano, os pontos A(0, 2), B(−2, 4), C(0, 6), A’(0, 0), B’

6 2,0 e um ponto C’ que tem coordenadas positivas.

Sabendo que e , determine o produto das coordenadas do ponto C’.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.

7. (Unicamp 2011) Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é de a) 1500 m.

b) 500 5 m.

c) 1000 2 m.

d) 500 + 500 2 m.


8. (Ufmg 2010) Os pontos A = (0, 3), B = (4, 0) e C = (a, b) são vértices de um triângulo

equilátero no plano cartesiano.

Considerando-se essa situação, é CORRETO afirmar que

a) 4

b a.3

b) 4 7

b a .3 6

c) 4

b a 3.3

d) 4 3

b a .3 2

9. (Uff 2010) A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro,

perí, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”.

O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (−1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5)

a) 10 + 29 26

b) 16 + 29 26

c) 22 + 26

d) 17 + 2 26

e) 17 + 29 26 10. (Ufba 2010) Na figura, considere os pontos A(4, 0), B(4, 2), C(4, 3) e D(3, 3) e a reta r que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto B.

Com base nessa informação, pode-se afirmar: 01) O triângulo BCD é equilátero.

02) A área do setor circular hachurado é igual a u.a.4

04) A equaçãox

y2

representa a reta r.

08) O ângulo entre o eixo Ox, no sentido positivo, e a reta r mede 30º. 16) A imagem do ponto C pela reflexão em relação à reta r é o ponto de coordenadas (4, 1).

32) A imagem do triângulo OAB pela homotetia de razão 1

3é um triângulo de área

4u.a.

3

64) A imagem do ponto D pela rotação de 45º em torno da origem do sistema, no sentido positivo, é o ponto de coordenadas (0, 3).


11. (Ibmecrj 2009) Considere o triângulo ABC, onde A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam

as coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB,

então, a medida de MC vale:

a) 2 3

b) 3 c) 5

d) 3 2

e) 6 12. (Ufrgs 2008) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (2, 1) vértices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é a) 2.

b) 22 .

c) 23 . d) 5.

e) 25 . 13. (Puc-rio 2007) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o

ponto B é:

a) (3, 1). b) (3, 6). c) (3, 3). d) (3, 2). e) (3, 0). 14. (G1 - cftmg 2005) Os pontos A(- 5, 2) e C(3, - 4) são extremidades de uma diagonal de um

quadrado. O perímetro desse quadrado é

15. (Puc-rio 2004) Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento

AB é:

a) (3, 4) b) (4, 6) c) (-4, -6) d) (1, 7) e) (2, 3)


Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Como o triângulo ABC é equilátero, segue que

2 2AC AB ( 1 1) (0 0) 2.

Resposta da questão 2:

[E]

3sen60 .

2


[C]

D é ponto médio de PN, logo:

D7 4 11

x .2 2

D é ponto médio de CM, logo:

CC

x 3 11x 8.

2 2



[B]

M é o ponto médio das diagonais do paralelogramo da figura. Na diagonal AC, temos:

M

M

1 0 1x

2 2

4 8 12y 6

2 2

Logo, M(1/2, 6) Na diagonal BD, temos:

DD

DD

x 2 1x 3

2 2

y 66 y 6

2

Logo, temos D(3, 6) e 3 + 6 = 9.



[B]

Determinando o ponto G (baricentro do triângulo ABC), temos:

G0 4 0 4

x3 3

G0 3 6

y 33

Logo, 4

G ,33

Calculando a distância do ponto G ao ponto A.

224 16 97

d 0 3 93 9 3

Resposta da questão 6: Pelas informações do enunciado, os dois triângulos são retângulos e isósceles, portanto B’C’

deverá ser igual a 6 2 e C’ será dado por: ( 6 2 . 6 2 ). Logo, o produto das coordenadas de

C’ será 6 2 . 6 2 = 72.



[B]

Sejam A(1,1) e B(5, 3), respectivamente, as coordenadas da catedral e da câmara de

vereadores. Assim, a distância entre os pontos A e B é

2 2ABd (5 1) (3 1) 20 2 5.

Como a catedral dista 2 unidades da prefeitura, segue que a escala do gráfico é 2 1

.500 250

Portanto, a distância real entre a catedral e a câmara é 250 2 5 500 5 m.


[B]

6

7 -

3

a4b

6

78ab76ba816896bba0)(b4)(a)3()0(

22222222 ,,

baabadd BACA


[E]

2925 222 xx

2615222

yy

Logo

P = 2629107

P = 17 + 2629

-1 9

5

1 8

x y

7

10

5 5

y

x

Resposta da questão 10: 02 + 04 = 06 01) Falsa, o triângulo é retângulo.

02) Verdadeira, A = 2.1

4 4

.

04) Verdadeira. Observe que a imagem de zero é zero e que a imagem de quatro é 2.

08) Falso, é um ângulo cuja tangente é 1

.2


16) Não o ponto simétrico fica numa reta perpendicular á reta dada como referência. 32) Falso, a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados. Logo a área deveria

ser 4

.9

64) Falso, o ponto correto é )23,0( .


[C]

)6,6(2

93,2

102

2

yy,

2

xxM BABA

.525)63()610(MC 22


[E]

.252

5)4(3 22

ABd

AB

Resposta da questão 13: [C] Resposta da questão 14: [B] Resposta da questão 15: [A]

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