Mauro Artemio Carrión Pachás

Análise Limite com Otimizador de Grande Escala e Análise de Confiabilidade

TESE DE DOUTORADO

Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil. Ênfase: Geotécnica

Orientador: Eurípedes do Amaral Vargas Júnior

Co-orientadores: Luíz Eloy Vaz

José Herskovits Norman

Rio de Janeiro, março de 2009

Mauro Artemio Carrión Pachás

Análise Limite com Otimizador de Grande Escala e Análise de Confiabilidade

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Júnior Presidente/Orientador

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Luiz Eloy Vaz Co-Orientador-UFRJ

Prof. José Herskovits Norman Co-Orientador-UFRJ

Prof. Luiz Fernando Marta Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Ivan Menezes PUC- Rio

Prof. Aldo Duran Farfán UENF

Prof. Silvia Almeida UFG

Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC–Rio

Rio de Janeiro, março de 2009

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.

Mauro Artemio Carrión Pachás Graduou-se em Engenharia Civil na Universidade Nacional de Engenharia (UNI-PERU) em 1996. Trabalhou como pesquisador no Centro Peruano Japonês de Investigações Sísmicas e Mitigação de Desastres CISMID em Lima-Perú no período de 1997 a 2002. Estudou mestrado na PUC-Rio, em Engenharia Civil, na área de Geotecnia, no período 2002.2-2004.1. Ingressou no curso de doutorado na PUC-Rio no período 2004.2, atuando na linha de Pesquisa Numérica. Análise Limite com Otimizador de Grande Escala e Análise de Confiabilidade.

Ficha Catalográfica

Carrión Pachás, Mauro Artemio

Análise Limite com Otimizador de Grande Escala e Análise de Confiabilidade / Mauro Artemio Carrión Pachás; orientador: Eurípedes do Amaral Vargas Júnior; co-orientadores: Luiz Eloy Vaz, José Herskovits Norman. - 2009.

188 f. : il. ; 30 cm

Tese (Doutorado em Engenharia Civil) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2009.

Incluí referências bibliográficas.

1. Engenharia civil – Teses. 2. Análise limite. 3. Métdo de elementos finito. 4. Otimização. 5. Escoamento. 6. GEOLIMA. 7. Confiabilidade. 8. Função de falha. 9. FORM. I. Vargas Júnior, Eurípedes do Amaral. II. Vaz, Luiz Eloy. III. Norman, José Herskovits. IV. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. V. Título.

CDD: 624

Para meus pais, Juan Carrión e Marina Pachás,

pelo grande amor, confiança e exemplo..

Agradecimentos

Desejo expressar minha gratidão ao professor Eurípedes do Amaral Vargas Júnior,

por ter-me convencido para fazer o curso de doutorado.

Aos professores Eurípedes do Amaral Vargas Júnior, Luíz Eloy Vaz e José

Herskovits Norman pela orientação durante a realização deste trabalho.

Ao Professor Luiz Fernando Martha pela confiança e apoio.

Aos professores dos departamentos de Civil, Informática e Elétrica, pelos

conhecimentos transmitidos em cada uma das disciplinas que cursei.

A meus pais, irmão, irmãs, meu primo Felix e a toda minha família, que sempre

me apoiaram e incentivaram para a realização deste curso de doutorado.

À Mishel, pelo grande amor e compreensão, muito obrigado.

À Rita, secretária da pós-graduação, por sua atenção e disponibilidade.

À PUC-Rio, CAPES e CNPq pelos auxílios financeiros concedidos e ao

TECGRAF/PUC-Rio pela oportunidade de poder trabalhar e estudar, sem a qual

não teria sido possível realizar este estudo.

A todos os colegas do trabalho, do estudo e das peladas, muito obrigado pela

convivência.

A Deus, porque sem a ajuda d’Ele nada acontece.

Resumo

Pachás, Mauro Artemio Carrión; Vargas Júnior, Eurípedes do Amaral; Vaz, Luíz Eloy e Herskovits, José Norman. Análise Limite com Otimizador de Grande Escala e Análise de Confiabilidade. Rio de Janeiro, 2008. 188p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

O presente trabalho tem por objetivo desenvolver um otimizador eficiente

de grande escala, que permita a aplicabilidade prática da Análise Limite Numérica

pelo MEF, para resolver problemas reais da Engenharia Geotécnica. Para isto, foi

desenvolvido um otimizador para o programa GEOLIMA (GEOtechnical LIMit

Analysis) (Carrión, 2004) baseado no algoritmo de Pontos Interiores,

computacionalmente mais eficiente que os otimizadores comerciais existentes.

Pelo fato das propriedades do solo serem de natureza aleatória, a possibilidade de

aplicar Análise de Confiabilidade com a Análise Limite pelo método FORM em

problemas geotécnicos é pesquisada também. Sendo a grande vantagem do

método FORM a possibilidade de se aplicar para funções de falha quaisquer e

variáveis com distribuição quaisquer. Inicialmente, são apresentados os

fundamentos da teoria de Análise Limite e sua formulação numérica pelo MEF

(Método dos Elementos Finitos). A seguir, é investigada a possibilidade de se usar

otimizadores comerciais para resolver o problema matemático resultante da

aplicação de Análise Limite com o MEF e são descritos os fundamentos teóricos

do otimizador implementado baseado no algoritmo de Pontos Interiores. Um

resumo dos fundamentos teóricos da Análise de Confiabilidade é apresentado. É

descrito o processo de cálculo pelo método FORM e dois exemplos de aplicação

são realizados. Finalmente, análises de diferentes problemas resolvidos com o

otimizador implementado são apresentados indicando o grande potencial da

Análise Limite Numérica, na solução de problemas reais da Engenharia

Geotécnica.

Palavras-chave Análise limite; método de elementos finitos; otimização; função de

escoamento; GEOLIMA; confiabilidade; função de falha; FORM.

Abstract

Pachás, Mauro Artemio Carrión; Vargas Júnior, Eurípedes do Amaral; Vaz, Luíz Eloy e Herskovits, José Norman (Advisors). Limit Analysis with Large Scale Optimizer and Reliability Analysis. Rio de Janeiro, 2008. 188p. DrSc. These - Department of Civil Engineering, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

This work has, as its main objective, the development of an efficient and

large scale optimizer, that allows the practical application of Numerical Limit

Analysis (NLA) with Finite Element Method (FEM) to solve real problems in

Geotechnical Engineering. For that purpose, an optimizer was developed for

GEOLIMA (GEOtechnical LIMit Analysis) program (Carrión, 2004), based on

Interior Points algorithm, computationally more efficient than the existing

commercial optimizers. Due to the fact that soils have random properties, the

possibility to apply Reliability Analysis with Limit Analysis using the FORM

method was also investigated. Initially, Limit Analysis theory was presented

together with its numerical formulation using the FEM. In sequence, the use of

commercial optimizers was investigated in order to solve the resulting

mathematical problem. Subsequently, the theorical foundations of the developed

optimizer, based on the Interior Points algorithm were described. A summary of

Reliability Analysis was also presented together with a description of

computational procedures using FORM and two examples were developed.

Finally, analyses of different problems solved with developed optimizer were

presented. The obtained results demonstrated the great potential of Numerical

Limit Analysis (NLA), in the solution of real problems in Geotechnical

Engineering.

Keywords Limit analysis; finite element method; optimization; yield function;

GEOLIMA; reliability; failure function; FORM.

Sumário

1 INTRODUÇÃO 21

2 ANÁLISE LIMITE NUMÉRICA 23

2.1. Teoremas da Análise Limite 24

2.1.1. Campos de Tensões Estaticamente Admissíveis 24

2.1.2. Campos de Velocidades Cinematicamente Admissíveis 24

2.1.3. Teorema de Limite Inferior 25

2.1.4. Teorema de Limite Superior 25

2.2. Considerações na Análise Limite 25

2.2.1. Consideração de Plasticidade Perfeita 25

2.2.2. Considerações sobre Escoamento 26

2.2.3. Considerações sobre a Lei de Fluxo 28

2.3. Principio dos Trabalhos Virtuais 30

2.4. Critérios de Escoamento 30

2.4.1. Critério de Mohr-Coulomb 31

2.4.2. Critério de Drucker-Prager 33

2.5. Formulação Numérica da Análise Limite pelo MEF 35

2.5.1. Condição de Equilíbrio 36

2.5.2. Condições de Contorno 38

2.5.3. Condição de Escoamento 38

2.5.4. Problema de Análise Limite 39

2.5.5. Elementos Finitos Implementados 39

3 SOLUÇÃO NUMÉRICA DA ANÁLISE LIMITE 41

3.1. Otimizadores Matemáticos Testados 42

3.1.1. Otimizador Lingo 43

3.1.2. Otimizador Minos 47

3.1.3. Otimizador Lancelot 50

3.1.4. Comparação de Desempenho de Otimizadores Testados 52

3.2. Otimizador Implementado 54

3.2.1. Condições de Otimalidade 54

3.2.2. Algoritmo de Pontos Interiores 55

3.2.3. Inicialização 55

3.2.4. Direção de Busca 56

3.2.4.1. Técnica de deflexão 57

3.2.4.2. Técnica de relaxação-contração 58

3.2.4.3. Técnica Vetorial - Proposto 59

3.2.5. Comprimento de Passo 60

3.2.6. Atualização das Variáveis 61

3.2.7. Teste de Desempenho dos Algoritmos 62

3.2.8. Manipulação de sistemas lineares a serem resolvidos 63

3.2.8.1. Manipulação matricial global 64

3.2.8.2. Manipulação matricial por elementos 65

3.2.8.3. Solução direta sem manipulação - proposta 67

3.2.8.4. Teste de Desempenho das Manipulações 68

3.2.9. Resolvedores Implementados 75

3.2.9.1. Método dos gradientes conjugados (CG) 76

3.2.9.2. Teste de desempenho de resolvedores implementados 78

3.2.10. Resolvedor SAMG Testado 80

3.3. Melhora do desempenho 80

3.3.1. Tratamento de Matriz Esparsa 80

3.3.1.1. Formato CSR(Compressed Sparse Row) 80

3.3.1.2. Teste de desempenho de CG com tratamento da matriz esparsa81

3.3.2. Precondicionamento 82

3.3.2.1. Escala Diagonal (DS) 83

3.3.2.2. Escala Simétrica (SS) 83

3.3.2.3. Fatoração Incompleta de Cholesky (ICF) 84

3.3.2.4. Pré-condicionadores mistos - proposto 85

3.3.2.5. Teste de Desempenho de Pré-condicionadores 85

3.4. Teste de desempenho do Otimizador Implementado 87

3.4.1. Teste com problema em 2D 87

3.4.2. Teste com problema em 3D 90

4 ANÁLISE DE CONFIABILIDADE COM ANÁLISE LIMITE 93

4.1. Conceitos Fundamentais da Análise de Confiabilidade 95

4.1.1. Incertezas 95

4.1.2. Função de Falha 95

4.1.3. Função Densidade de Probabilidade Conjunta 97

4.1.4. Probabilidade de Falha 99

4.1.5. Confiabilidade 100

4.1.6. Índice de Confiabilidade 101

4.1.7. Espaço Reduzido 103

4.1.8. Distribuição Normal Equivalente 105

4.2. Métodos de Cálculo 107

4.2.1. Método FORM (First-Order Reliability Method) 112

4.2.1.1. Transformação de Variáveis 112

4.2.1.2. Pesquisa de Ponto de Projeto 115

4.2.1.3. Processo de Cálculo 117

4.3. Exemplos de Aplicação 118

4.3.1. Talude 2D 118

4.3.2. Talude Confinado 3D 122

5 APLICAÇÕES 125

5.1. Análise 2D - Talude Infinito Homogêneo 126

5.2. Análise 2D - Talude Infinito Heterogêneo 134

5.3. Análise 2D - Talude com Percolação 142

5.4. Análise 2D - Barragem de Terra 146

5.5. Análise 3D - Talude Confinado 151

5.6. Análise 3D - Depósito de Rejeito 155

6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES 161

6.1. Conclusões 161

6.2. Sugestões para Futuras Pesquisas 165

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 166

A CONCEITOS ESTATÍSTICOS 171

A.1. Variáveis Determinísticas e Aleatórias 171

A.2. Espaço Amostral, Evento e Valor Observado 171

A.3. Medidas de Tendência Central 171

A.3.1. Momento estatístico de ordem m 172

A.3.2. Média aritmética 172

A.3.3. Características da média aritmética 173

A.4. Medidas de Dispersão da Variável Aleatória 173

A.4.1. Desvio 173

A.4.2. Momento estatístico central de ordem m 174

A.4.3. Desvio absoluto médio 174

A.4.4. Variância 174

A.4.5. Desvio padrão 175

A.4.6. Coeficiente de variação 176

A.5. Medidas de Correlação de Variáveis Aleatórias 177

A.5.1. Covariância 177

A.5.2. Coeficiente de correlação 178

A.6. Caracterização de Variáveis Aleatórias 180

A.6.1. Função Densidade de Probabilidade (PDF) 180

A.6.2. Função Distribuição de Probabilidade 182

A.6.3. Coeficiente de Inclinação de uma Distribuição 185

A.6.4. Coeficiente de Curtose 186

A.7. Esperança Matemática de uma Variável Aleatória 186

Lista de figuras

Figura 2.1 – Relação tensão deformação para solo real e ideal (Chen, 1975). 26

Figura 2.2 – Superfície de escoamento no espaço de tensões principais. 27

Figura 2.3 – Superfície de escoamento e vetor de deformação plástica. 29

Figura 2.4 – Superfície de escoamento, critério de Mohr-Coulomb. 32

Figura 2.5 – Critério de escoamento de Mohr-Coulomb 2D. 33

Figura 2.6 – Critério de escoamento de Drucker & Prager. 34

Figura 2.7 – Elemento finito: (a) quadrilateral (2D), (b) hexaédrico (3D). 40

Figura 3.1 – Problema para teste de otimizadores. 42

Figura 3.2 – Malhas: (a) 28, (b) 64, (c) 126, (d) 225, (e) 360, (f) 500 e (g) 750

elementos. 43

Figura 3.3a – Variação da memória usada pelo otimizador LINGO. 45

Figura 3.3b – Variação de número de iterações do otimizador LINGO. 45

Figura 3.3c – Desempenho do otimizador LINGO. 46

Figura 3.3d – Variação do fator de colapso obtido com LINGO. 46

Figura 3.4a – Variação da memória usada pelo otimizador MINOS. 48

Figura 3.4b – variação de número de iterações do otimizador MINOS. 48

Figura 3.4c – Desempenho do otimizador MINOS. 49

Figura 3.4d – Variação do fator de colapso obtido com MINOS. 49

Figura 3.5a – Comparação de uso da memória entre Lingo e Minos 52

Figura 3.5b – Comparação de número de Iterações entre Lingo e Minos 52

Figura 3.5c – Comparação de desempenho entre Lingo e Minos 53

Figura 3.5d – Comparação de variação de fator de colapso, obtidos com Lingo e

Minos. 53

Figura 3.6 – Técnica de deflexão. 57

Figura 3.7 – Técnica de Relaxação-Contração. 59

Figura 3.8– Técnica Vetorial - Proposta. 59

Figura 3.9 – Comprimento de passo s . 61

Figura 3.10 – Atualização da variável x . 61

Figura 3.11 Geometria do problema para teste de algoritmos (malha de 25

elementos). 62

Figura 3.12 – Memória requerida pela manipulação matricial global. 69

Figura 3.13 – Tempo empregado na manipulação e solução do sistema. 70

Figura 3.14 – Memória requerida para a solução do sistema. 71

Figura 3.15 - Tempo empregado na manipulação e solução do sistema. 71

Figura 3.16 - Memória requerida para a solução do sistema. 72

Figura 3.17 – Tempo empregado na solução do sistema. 73

Figura 3.18 – Memória usada pelas técnicas. 74

Figura 3.19 – Tempo empregado pelas técnicas. 75

Figura 3.20 – Algoritmo de Gradiente Conjugado pré-condicionado (Sandoval,

2006). 77

Figura 3.21 – Malhas: (a) 8, (b) 25, (c) 64, (d) 150, (e) 400 e (f) 676 elementos. 78

Figura 3.22 – Comparação do desempenho dos métodos implementados. 79

Figura 3.23a – Armazenamento da matriz esparsa (SMAILBEGOVIC et all,

2006). 81

Figura 3.23b – Produto de uma matriz esparsa A por um vetor d . 81

Figura 3.24 – Desempenho do método CG com tratamento da matriz esparsa CSR.

82

Figura 3.25 – Desempenho de CG com os pré-condicionadores implementados. 86

Figura 3.26 – Comparação de uso da memória pelos otimizadores. 88

Figura 3.27 – Comparação de número de iterações. 88

Figura 3.28 – Comparação do desempenho dos otimizadores. 89

Figura 3.29 – Variação de fator de colapso. 89

Figura 3.30 – Geometria da estrutura a ser analisada. 91

Figura 3.31 – Malha de elementos finitos (676 elementos e 945 nós). 91

Figura 3.32 – Mecanismo de colapso da estrutura obtido pelo programa

GEOLIMA 2.0. 92

Figura 3.33 – Mecanismo de ruptura obtido a partir de ensaios em modelo físico

em escala reduzida (Sterpi,1996) 92

Figura 4.1 – Função de falha. 96

Figura 4.2 – Função densidade de probabilidade conjunta (Melchers, 2002). 99

Figura 4.3 – Probabilidade de falha. 100

Figura 4.4 – Função densidade de probabilidade. 102

Figura 4.5 – Espaço original e espaço reduzido para uma variável. 104

Figura 4.6 – Espaço original e reduzido para duas variáveis. 105

Figura 4.7 – Funções densidade de probabilidade PDF. 105

Figura 4.8 – Funções distribuição de probabilidade CDF. 106

Figura 4.9 – Variáveis em coordenadas reduzidas: função de falha não linear. 110

Figura 4.10 – Espaço original e reduzido para duas variáveis. 116

Figura 4.11 – Fluxograma da Análise de Confiabilidade pelo método FORM. 117

Figura 4.12 – Malha de elementos finitos 2D (25 elementos com 36 nós). 119

Figura 4.13 – Zonas de plastificação no MPP(Most Probable Point). 120

Figura 4.14 – Superfície de falha no MPP. 120

Figura 4.15 – Malha de elementos finitos 3D (27 elementos com 64 nós). 123

Figura 4.16 – Zonas de plastificação no MPP. 123

Figura 4.17 – Superfície de falha no MPP. 124

Figura 5.1 – Talude Infinito homogêneo. 127

Figura 5.2 – Malha de elementos finitos (500 elementos e 561 nós). 127

Figura 5.3(a) – Zonas de plastificação (talude com material coesivo). 128

Figura 5.3(b) – Vetor de velocidades (material coesivo). 128

Figura 5.3(c) – Superfície de falha (talude com material coesivo). 129

Figura 5.3(d) – Mecanismo de colapso (talude com material coesivo). 129

Figura 5.4(a) – Zonas de plastificação (talude com material com atrito). 130

Figura 5.4(b) – Vetor de veolicidades (talude com material com atrito). 130

Figura 5.4(c) – Superfície de falha (talude com material com atrito). 131

Figura 5.4(d) – Mecanismo de colapso (talude com material com atrito). 131

Figura 5.5(a) – Zonas de plastificação (talude com material maciço rochoso). 132

Figura 5.5(b) – Vetor de velocidades (talude com material maciço rochoso). 132

Figura 5.5(b) – Superfície de falha (talude com material maciço rochoso). 133

Figura 5.5(c) – Mecanismo de colapso (talude com material maciço rochoso). 133

Figura 5.6 – Talude infinito heterogêneo. 136

Figura 5.7(a) – Malha de elementos finitos 1 (100 elementos e 126 nós) . 136

Figura 5.7(b) – Zonas de plastificação (malha: 100 elementos e 126 nós). 137

Figura 5.7(c) – Superfície de falha (malha: 100 elementos e 126 nós). 137

Figura 5.8(a) – Malha de elementos finitos 2 (500 elementos e 561 nós). 138

Figura 5.8(b) – Zonas de plstificação (malha: 500 elementos e 561 nós). 138

Figura 5.8(c) – Superfície de falha (malha: 500 elementos e 561 nós). 139

Figura 5.9(a) – Malha de elementos finitos 3 (4500 elementos e 4681 nós). 139

Figura 5.9(b) – Zonas de plastificação (malha: 4500 elementos e 4681 nós). 140

Figura 5.9(c) – Vetor de velocidades (malha: 4500 elementos e 4681 nós). 140

Figura 5.9(d) – Superfície de falha (malha: 4500 elementos e 4681 nós). 141

Figura 5.10 – Geometria de talude. 143

Figura 5.11 – Malha de elementos finitos (200 elementos e 231 nós). 143

Figura 5.12(a) – Zonas de plastificação, sem considerar percolação. 144

Figura 5.12(b) – Superfície de falha sem considerar percolação. 144

Figura 5.12(c) – Vetor de velocidades sem considerar percolação. 144

Figura 5.13(a) – Zonas de plastificação, considerando percolação. 145

Figura 5.13(b) – Superfície de falha, considerando percolação. 145

Figura 5.13(c) – Vetor de velocidades, considerando percolação. 145

Figura 5.14 – Plano em planta do projeto (CISMID, 2002). 147

Figura 5.15 – Secção 3-3 Barragem de Terra (CISMID, 2002). 148

Figura 5.16 – Malha de elementos finitos (624 elementos e 689 nós). 148

Figura 5.17(a) – Zonas de plastificação. 149

Figura 5.17(b) – Superfície de falha. 149

Figura 5.17(c) – Vetores de velocidade. 149

Figura 5.18(a) – Zonas de plastificação. 150

Figura 5.18(b) – Superfície de falha. 150

Figura 5.18(c) – Vetor de velocidade. 150

Figura 5.19 – Malha de elementos finitos (8000 elementos e 9261 nós). 152

Figura 5.20(a) – Zonas que plastificam. 152

Figura 5.20(b) – Vetor de veolocidades. 153

Figura 5.20(c) – Distribuição de campo de velocidades. 153

Figura 5.20(d) – Distribuição de campo de velocidades na seção longitudinal. 154

Figura 5.20 (e) – Mecanismo de colapso do talude. 154

Figura 5.21 – Topografia e limite do material de rejeito (CISMID, 1998). 156

Figura 5.22 – Modelo 3D da bacia sem material de rejeito. 157

Figura 5.23 – Material de rejeito. 158

Figura 5.24 – Malha de elementos finitos (2000 elementos e 2541 nós). 158

Figura 5.25(a) – Zonas de plastificação. 159

Figura 5.25(b) – Zonas de plastificação na seção longitudinal. 159

Figura 5.25(c) –Vetor de velocidades. 159

Figura 5.25(d) – Distribuição de velocidades. 160

Figura 5.25(e) – Distribuição de velocidades na seção longitudinal. 160

Figura A.1 – Interpretação gráfica de coeficiente de correlação. 179

Figura A.2 – Função densidade de probabilidade normal. 182

Figura A.3 – Função distribuição de probabilidade normal. 183

Figura A.4 – (a) Função de variável aleatória; (b) Função de ponderação; (c)

Esperança matemática da função de variável aleatória. 188

Lista de tabelas

Tabela 3.1 – Testes realizados com o programa Lingo. 44

Tabela 3.2 – Testes realizadas com o otimizador Minos. 47

Tabela 3.3 – Comparação da eficiência entre Lancelot e Minos (Bongartz et all,

1997). 51

Tabela 3.4 – Desempenho dos algoritmos implementados 63

Tabela 3.5 – Teste da manipulação matricial global. 69

Tabela 3.6 – Teste da manipulação matricial por elementos. 70

Tabela 3.7 – Teste da solução direta sem manipulação. 72

Tabela 3.8 – Comparação de resultados com as três técnicas de solução. 74

Tabela 3.9 – Comparação do desempenho dos métodos implementados. 79

Tabela 3.10 – Desempenho dos métodos com o tratamento da matriz esparsa. 82

Tabela 3.11 – Teste de pré-condicionadores implementados. 86

Tabela 3.12 – Resultados do teste em 2D do otimizador implementado. 87

Tabela 4.1 – Índice de confiabilidade e probabilidade de falha. 103

Tabela 4.2 – Coeficiente de correlação equivalente. 113

Tabela 5.1 – Propriedades de materiais e resultados da Análise Limite. 126

Tabela 5.2 – Problema de otimização e resultados da Análise Limite. 135

Tabela 5.3 – Propriedades de materiais e resultados da Análise Limite. 143

Tabela 5.4 – Propriedades dos materiais (CISMID, 2002). 148

Tabela 5.4 – Resultados da Análise Limite. 148

Tabela 5.5 – Propriedades dos materiais (CISMID, 1998). 157

Tabela A.1 – Grão de dependência das variáveis aleatórias. 179

Tabela A.2 – Funções densidade probabilidade (PDF) e de distribuição de

probabilidade (CDF) ( Lopes, 2007). 184

Lista de Símbolos

Na Análise Limite (AL) )(F ijσ Função de escoamento em termos de tensões

ijσ Campo de tensões

I1 Primeiro invariante de tensor de tensões

J2 Segundo invariante desviador

J3 Terceiro invariante desviador

ijε& Velocidade de deformação total eijε& Velocidade de deformação elástica

pijε& Velocidade de deformação plástica

λ& Fator de proporcionalidade (escalar).

σ1 Tensão principal maior

σ2 Tensão principal intermédia

σ3 Tensão principal menor

θ Ângulo de Lode

φ Ângulo de atrito do material

C Coesão do material

α,k Parâmetros do material (critério de Drucker-Prager)

oc Resistência à compressão uniaxial

No MEF

Ni Função de interpolação

r,s,t Coordenadas locais

ri,si,ti Coordenadas locais nodais

σ Vetor campo de tensões

σ Vetor campo de tensões nodais

u& Vetor campo de velocidades

u& Vetor campo de velocidades nodais

ε& Vetor campo de velocidades de deformação

0F Força de volume inicial

0T Força de superfície inicial

a Fator de colapso

B Matriz de equilíbrio

b Vetor de carregamentos nodais

Otimização x Vetor das variáveis

µλ, Multiplicadores de Lagrange

n Número de variáveis

m Número de restrições de desigualdade

p Número de restrições de igualdade

)(αf Função objetivo

)( xg Restrições de desigualdade

G Matriz de escoamento (diagonal)

S Matriz gradiente

H Matriz Hessiana

θ Ângulo de deflexão

Confiabilidade Xi Variável aleatória i

ij x j-ésimo valor observado da variável aleatória Xi

mi

s X Momento estatístico de ordem m da amostra

is X Média da amostra da variável aleatória Xi

mi

s X Momento estatístico central de ordem m da amostra

is X Desvio absoluto médio da amostra

)x(Var is Variância da variável aleatória Xi

ixσ Desvio padrão da variável aleatória Xi

σ Matriz desvio padrão

ixδ Coeficiente de variação da variável aleatória Xi

Cov(X1,X2) Covariância das variáveis aleatórias X1 e X2

S Matriz covariância

kj x,xρ Coeficiente de correlação das variáveis aleatórias Xj e Xk

ρ Matriz coeficiente de correlação p(x) Função densidade de probabilidade

)( axP Função distribuição de probabilidade

]Pr[ axX ≤

Probabilidade de que a variável X seja menor ou igual a xa

X Vetor de variáveis aleatórias

)(XF Função de falha

F Média da função de falha

Fσ Desvio padrão da função de falha

fP Probabilidade de falha

C Confiabilidade

β Índice de confiabilidade

Y Variável aleatória reduzida

φ Função distribuição de probabilidade normal padrão

Φ Função cumulativa normal padrão

J Jacobiano

L Matriz triangular inferior

∇ Operador diferencial *y Ponto de pesquisa

1 INTRODUÇÃO

A avaliação de segurança ou estabilidade de Estruturas Geotécnicas é

resolvida, na prática, por métodos simples como Equilíbrio Limite, que é um

método de tentativas e erros, baseado na comparação de forças atuantes e

resistentes sobre uma superfície de ruptura predeterminada pelo usuário ou por

algum programa de computador. Tais métodos se resumem a encontrar uma

superfície com menor fator de segurança, definida normalmente como o quociente

entre a força atuante e a força resistente.

Por outro lado existem na teoria de plasticidade, métodos como a Análise

Limite, baseados nos teoremas do limite inferior e superior. Esses métodos, apesar

de oferecerem boas perspectivas para a análise de estabilidade de problemas

Geotécnicos, encontram-se atualmente em nível de pesquisa no âmbito

acadêmico, não sendo aplicados na prática, por falta de algoritmos ou métodos

eficientes para resolver o problema matemático resultante da aplicação da teoria

de Análise Limite (AL) e do Método de Elementos Finitos (MEF). Na formulação

mista fraca, empregada no presente trabalho, o problema consiste em encontrar

um campo de tensões correspondente à carga que leva ao colapso uma estrutura

(carga de colapso). Este problema pode ser resolvido por alguma técnica de

otimização, onde a função objetivo é o fator de carga e as restrições do problema

são expressas na forma de um sistema de equações que correspondem às equações

de equilíbrio com número de variáveis muito maior que o número de equações e

um outro sistema de inequações desacopladas não lineares que satisfazem um

critério de escoamento do material.

O objetivo principal do presente trabalho é aplicar a Análise Limite na

análise de problemas reais de Geotecnia de maneira computacionalmente

eficiente, e pelo fato de testes realizados com otimizadores comerciais existentes

ter-se mostrado ineficientes, o grande desafio é desenvolver um otimizador

eficiente para resolver o problema descrito no parágrafo anterior.

22

Este trabalho é uma continuação da pesquisa realizada na dissertação de

mestrado do autor, onde foi desenvolvido o programa computacional GEOLIMA

(GEOtechnical LIMit Analysis), versão 1.0, e foi feita também a validação do

algoritmo da Análise Limite implementado. Naquela versão, o programa fazia uso

do otimizador Minos 5.5 para resolver o problema de otimização, onde somente

pequenos problemas puderam ser analisados. Neste trabalho, apresenta-se

GEOLIMA versão 2.0 com algumas melhoras, mas com um otimizador próprio,

mais eficiente, baseado no algoritmo de Pontos Interiores. A validação do

otimizador implementado é feita comparando-se os resultados obtidos com os

otimizadores comerciais LINGO(Lindo system inc., 1997) e MINOS (Murtagh e

Saunders, 1998).

Muitas pesquisas e publicações já foram realizadas na área da Análise

Limite Numérica, a grande maioria usando otimizadores comerciais como LINGO

(Lindo system inc., 1997), MINOS (Murtagh e Saunders, 1998) e LANCELOT

(Conn, Gould e Toin, 1992). Existem também vários trabalhos sobre Análise

Limite com uso do algoritmo de Pontos Interiores como Borges (1991), Zouain

(1993), Lyamin e Sloan (1993) e Farfan (2000); mas não se encontraram

aplicações com malhas suficientemente refinadas ou aplicações reais. Neste

trabalho propõe-se uma implementação alternativa do algoritmo de Pontos

Interiores, computacionalmente mais eficiente.

Sendo as propriedades dos materiais geotécnicos de natureza aleatória,

como complemento ao objetivo principal, neste trabalho aplica-se a Análise de

Confiabilidade com a Análise Limite pelo método FORM (First Order Reliability

Method).

Não sendo o objetivo deste trabalho expor as teorias da Análise Limite

(AL), Método de Elementos Finitos (MEF), Programação Matemática (PM) e da

Confiabilidade, no Capítulo 2, é apresentado somente um resumo de alguns

conceitos sobre a Análise Limite e sua formulação pelo MEF. No Capítulo 3, é

apresentada a solução numérica do problema da Análise Limite. No Capítulo 4,

são apresentados os fundamentos da Análise de Confiabilidade. No Capítulo 5,

são apresentados exemplos de aplicação da Análise Limite, realizados com o

programa GEOLIMA 2.0 e finalmente, no Capítulo 6, são apresentadas as

conclusões e sugestões do presente trabalho.

2 ANÁLISE LIMITE NUMÉRICA

O objetivo principal da Análise Limite é determinar a carga que leva uma

estrutura ao colapso (carga de colapso). As formulações existentes na Análise

Limite para o cálculo da carga de colapso são baseadas nos teoremas de Análise

Limite (inferior ou superior). A formulação pelo limite inferior (formulação

estática) deve satisfazer as condições de admissibilidade estática dos campos de

tensões; a formulação pelo limite superior (formulação cinemática) deve satisfazer

as condições de admissibilidade cinemática dos campos de velocidades; e,

finalmente, a formulação mista tem a forma da formulação pelo limite inferior,

com variáveis em tensões, mas o campo de tensões não é estaticamente

admissível, a não ser de forma aproximada.

A solução de problemas geotécnicos, então, pode ser feita por meio da

aplicação de qualquer uma das formulações estática, cinemática ou mista. Estas

formulações podem também ser classificadas em formulação forte e formulação

fraca. A formulação é forte quando satisfaz explicitamente as condições dos

teoremas da Análise Limite, e é fraca quando as condições são satisfeitas por meio

do princípio dos trabalhos virtuais.

No presente trabalho é usada a formulação mista fraca baseada no princípio

dos trabalhos virtuais para representar as equações de equilíbrio do sistema, o qual

estabelece que, para qualquer pequeno movimento cinematicamente admissível, o

trabalho das forças externas será igual ao trabalho das forças internas.

Não é o propósito deste trabalho descrever em detalhe toda a teoria da

Análise Limite, portanto, neste Capítulo é apresentado somente um resumo de

alguns conceitos importantes que permitem a compreensão das formulações

estabelecidas no Capítulo seguinte.

24

2.1. Teoremas da Análise Limite

Os teoremas fundamentais da Análise Limite foram apresentados por

Gvosdev (1960); Drucker et. al. (1952); Drucker, Greenberg and Prager (1952).

Chen (1975) apresentou estes teoremas para materiais com comportamento

plástico perfeito (Figura 2.1). Neste tipo de comportamento, as deformações

plásticas ocorrem sem que haja mudança nas tensões. Apesar de representar

apenas uma aproximação do comportamento real dos materiais, a hipótese pode

ser utilizada com segurança porque as deformações elásticas são desprezíveis em

relação às plásticas.

Os teoremas da Análise Limite são formulados em termos de

admissibilidade dos campos, conforme descrito a seguir.

2.1.1. Campos de Tensões Estaticamente Admissíveis

Define-se que um campo de tensões em um corpo tridimensional é

estaticamente admissível quando satisfaz as seguintes condições:

• Equilíbrio no volume.

• Condições de contorno.

• Critério de escoamento.

2.1.2. Campos de Velocidades Cinematicamente Admissíveis

Define-se que um campo de velocidades é cinematicamente admissível ou

geometricamente compatível quando:

• Satisfaz as condições de contorno em termos de velocidades.

• Satisfaz as condições de compatibilidade cinemática em termos de

deformações.

• Trabalho externo é igual à dissipação de energia interna.

25

2.1.3. Teorema de Limite Inferior

Se um campo de tensões correspondente a uma carga atuante (ou externa) é

estaticamente admissível, então a carga atuante é menor ou igual à carga de

colapso. A carga ou fator de colapso assim obtido será um limite inferior do fator

de colapso real.

2.1.4. Teorema de Limite Superior

Se um campo de velocidades é cinematicamente admissível, o colapso

ocorre quando o trabalho externo (forças externas) for igual ou maior ao trabalho

interno (forças internas). A carga ou fator de colapso assim obtido será um limite

superior ao fator de colapso real.

2.2. Considerações na Análise Limite

Algumas considerações importantes são apresentadas a seguir, para um

melhor entendimento dos conceitos utilizados na formulação pelo MEF.

2.2.1. Consideração de Plasticidade Perfeita

O solo exibe comportamento elástico para pequenas deformações.

Evidências de experimentos em laboratório mostram que deformações

permanentes ou irrecuperáveis ocorrem quando elas ultrapassam uma deformação

de tolerância. Este tipo de comportamento pode ser descrito por meio da Teoria da

Plasticidade.

A Análise Limite faz a consideração de que o material, no colapso,

comporta-se como perfeitamente plástico (Figura 2.1). Neste tipo de

comportamento, as características de endurecimento e amolecimento são

ignoradas.

26

σ

ε

Perfeitamente Plástico (Ideal)

Real

σ

ε

Perfeitamente Plástico (Ideal)

Real

Figura 2.1 – Relação tensão deformação para solo real e ideal (Chen, 1975).

2.2.2. Considerações sobre Escoamento

Para se caracterizar o comportamento de um material submetido a um

estado de tensões complexo, a Teoria de Plasticidade define uma superfície de

escoamento (Figura 2.2), caracterizada por uma função de escoamento. A

superfície de escoamento pode ser interpretada como: para um estado de tensões

dentro da superfície, só acontecem deformações elásticas; se o estado de tensões

alcança a superfície, ocorrem deformações plásticas e finalmente, os estados de

tensões acima da superfície de escoamento são excluídos.

Assim, os estados de tensões para o qual 0)( >ijF σ são excluídos,

enquanto que, 0)( <ijF σ implica em comportamento elástico e 0)( =ijF σ indica

que ocorre fluxo plástico.

27

Figura 2.2 – Superfície de escoamento no espaço de tensões principais.

Para um material perfeitamente plástico, a função de escoamento F

depende somente do conjunto de componentes de tensões σij e não de

componentes de deformação εij. Portanto, a função de escoamento é fixa no espaço

de tensões e o fluxo plástico ocorre quando a função de escoamento é igual a zero,

ou seja:

0)(F ij =σ (2.1)

Se o material é isotrópico, o escoamento plástico depende apenas da

magnitude das três tensões principais e não de suas direções. Neste caso, de uma

maneira geral, a superfície de escoamento pode ser expressa matematicamente em

função dos invariantes de tensões, ou seja:

0321 =)J,J,I(F (2.2)

onde:

I1 Primeiro invariante do tensor de tensões

J2 Segundo invariante do tensor desviador

J3 Terceiro invariante desviador

28

2.2.3. Considerações sobre a Lei de Fluxo

Diz-se que um fluxo plástico acontece quando o estado de tensões no espaço

das tensões (Figura 2.3) alcança a superfície de escoamento. A magnitude do

fluxo plástico total ( pijε ) nestas condições é ilimitado. Portanto é evidente que não

se pode falar nada sobre a deformação plástica total e por isso a descrição do

processo de fluxo plástico é feita pela cinemática de fluxo plástico, ou seja, por

meio das velocidades de deformação plástica ( pijε& ) em vez da deformação plástica

total ( pijε ). A velocidade de deformação total ( ijε& ) é composta por uma parte

elástica e outra plástica, que pode ser expressa da seguinte forma (Chen, 1975):

pij

eijij εεε &&& += (2.3)

onde:

ijε& Velocidade de deformação total

eijε& Velocidade de deformação elástica

pijε& Velocidade de deformação plástica

As velocidades de deformação elástica e as tensões estão relacionadas por

meio da lei de Hooke. Mas, como as velocidades de deformação elástica são

pequenas em relação às plásticas, elas são consideradas desprezíveis. Não entanto,

as velocidades de deformação plástica dependem do estado de tensões (Chen e

Liu, 1990).

Para a discussão sobre as velocidades de deformação plástica, é necessário

definir suas direções. Os eixos das coordenadas no espaço de tensões já

mencionados para a superfície de escoamento podem também ser usados para

representar simultaneamente velocidades de deformação plástica. Sendo assim,

cada eixo de tensões representará também um eixo de velocidades de deformação

plástica (Figura 2.3).

29

Figura 2.3 – Superfície de escoamento e vetor de deformação plástica.

Para materiais estáveis, nos quais o incremento de tensões e deformações

realiza um trabalho positivo, o vetor de velocidades de deformação plástica tem

direção e sentido das normais à superfície de escoamento (Figura 2.3). Portanto, a

velocidade de deformação plástica pode ser expressa por (Lancellotta, 1995):

ij

ijpij

)(Fσσ

λε∂

∂= && (2.4)

onde:

σij Campo de tensões

F(σij) Função de escoamento

λ& Fator de proporcionalidade (escalar) p

ijε& Velocidade de deformação plástica

A Equação 2.4 representa a lei de fluxo associada ou lei da normalidade, por

ser associada com a normal à superfície de escoamento do material.

30

2.3. Principio dos Trabalhos Virtuais

O princípio dos trabalhos virtuais pode ser usado para tratar problemas de

colapso de estruturas em materiais geotécnicos. Este princípio é uma expressão de

trabalho equilibrado e pode ser aplicado para materiais deformáveis como o solo.

Para a análise limite, o princípio dos trabalhos virtuais deve ser escrito em termos

do campo de velocidades virtuais e campo de tensões reais:

“se uma estrutura está em equilíbrio, o trabalho das forças externas sobre

um campo de velocidades virtuais dado, compatível com as condições de

fronteira, deve ser igual ao trabalho interno realizado pelas tensões sobre as

velocidades de deformações virtuais, compatíveis com o campo de velocidades

virtuais dado” (Lancellotta, 1995).

2.4. Critérios de Escoamento

Sendo de interesse conhecer as tensões de escoamento para definir um

campo de tensões estaticamente admissível (condição do teorema de limite

inferior da Análise Limite), neste trabalho são mostrados dois critérios de

escoamento que, mediante equações matemáticas, definem o lugar geométrico

onde se dá o escoamento do material. De uma forma geral estas funções de

escoamento podem ser definidas em termos dos invariantes de tensões, ou seja:

3211 σσσ ++=I (2.5)

[ ])()()(61

1332212 σσσσσσ −+−+−=J (2.6)

[ ] 321212331

2232

213213 9

4)()()(91)(

272 σσσσσσσσσσσσσσσ ++++++−++=J (2.7)

onde:

I1 Primeiro invariante de tensor de tensões

J2 Segundo invariante do tensor de tensões desviador

J3 Terceiro invariante desviador

σ1 Tensão principal maior

31

σ2 Tensão principal intermediaria

σ3 Tensão principal menor

2.4.1. Critério de Mohr-Coulomb

De acordo com o critério de ruptura de Mohr-Coulomb, a função de

escoamento F que define a superfície de escoamento é expressa em sua forma

mais geral pela Equação 2.8 (Chen e Liu, 1990).

)cos()sin()3

cos(3

131)

3sin(),,( 21221 φφπθπθθ CJIJJIF +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++−+= (2.8)

e

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

2/32

31

233sin

31

JJ

θ (2.9)

onde:

θ Ângulo de Lode

φ Ângulo de atrito

C Coesão

No espaço de tensões principais, o critério de escoamento de Mohr-

Coulomb é representado por uma pirâmide hexagonal irregular (Fig. 2.4).

32

Figura 2.4 – Superfície de escoamento, critério de Mohr-Coulomb.

Este critério apresenta algumas deficiências, como por exemplo:

• Em 2D, a envoltória no diagrama de Mohr-Coulomb é composta de linhas

retas, o que indica que o parâmetro φ (ângulo de atrito) não muda com a

pressão de confinamento. Esta aproximação é razoável somente para um

intervalo limitado de pressões de confinamento.

• Em 3D, a superfície de escoamento tem descontinuidades, as quais dificultam

seu uso em análise numérica. É, portanto, inadequada matematicamente para

seu uso na análise tridimensional de problemas geotécnicos (Chen e Liu,

1990).

Pela deficiência descrita no parágrafo anterior, no presente trabalho, este

critério é somente usado para análise de problemas em 2D.

Para o caso bidimensional (2D), a Equação 2.8 fica simplificada para:

)cos()sin(21),( 1221 φφ CIJJIF −−= (2.12)

O caso bidimensional (2D) do criterio de Mohr-Coulomb é representado no

espaço de tensões principais pela Figura 2.5.

33

ψ

3σ

1σ

0c )sin(1)cos(2

0 φφ

−= Cc

)sin(1)sin(1)tan( φ

φψ −+=

ψ

3σ

1σ

0c )sin(1)cos(2

0 φφ

−= Cc

)sin(1)sin(1)tan( φ

φψ −+=

Figura 2.5 – Critério de escoamento de Mohr-Coulomb 2D.

2.4.2. Critério de Drucker-Prager

Drucker e Prager (1952) propuseram uma extensão do critério de Von

Mises. Este critério é muito usado em inúmeras aplicações práticas. Em termos

dos invariantes das tensões, a função de escoamento F que define a superfície de

escoamento (Figura 2.6) é expressa por:

kIJkJIF −−= 1221 ),,,( αα (2.11)

onde:

1I Primeiro invariante do tensor de tensões

2J Segundo invariante do tensor de tensões desviador

k,α Parâmetros do material

34

Figura 2.6 – Critério de escoamento de Drucker & Prager.

As principais características deste critério são:

• O critério de ruptura é relativamente simples.

• Possui somente dois parâmetros, k e α . Estes parâmetros podem ser

facilmente aproximados a partir dos parâmetros de resistência (C e φ ) no caso

de materiais geotécnicos.

• A superfície é contínua e, por isso, matematicamente apropiada para uso em

aplicações tridimensionais (3D).

Os parâmetros k e α podem ser obtidos a partir de uma aproximação do

critério de Mohr-Coulomb para o qual são ajustados dois círculos diferentes, um

deles passando pelos vértices de compressão e outro passando pelos vértices de

tração.

A primeira aproximação é obtida fazendo o ângulo de Lode de °= 0θ no

critério de escoamento geral de Mohr-Coublomb (Equação 2.8), obtendo-se os

parâmetros k e α do círculo superior ou de compressão como mostradas pelas

seguintes expressões (Chen e Liu, 1990):

35

))sin((

)sin(φ

φα−

=33

2 (2.12)

))sin((

)cos(Ckφ

φ−

=33

6 (2.13)

A segunda aproximação é obtida para um valor de ângulo de Lode de

°= 60θ no critério de escoamento geral de Mohr-Coulomb, obtendo-se os

parâmetros k e α do círculo inferior ou de tração, ou seja (Chen e Liu, 1990):

))sin((

)sin(φ

φα+

=332 (2.14)

))sin((

)cos(Ckφ

φ+

=33

6 (2.15)

onde:

C,φ Parâmetros de resistência do material

No caso 2D, para os problemas em estado plano de deformação, os

parâmetros k e α do critério de Drucker-Prager podem ser aproximados pelas

seguintes Equações (Chen e Liu, 1990):

)(tan

)tan(

φ

φα2129 +

= (2.16)

)(tan

Ckφ2129

3

+= (2.17)

2.5. Formulação Numérica da Análise Limite pelo MEF

O objetivo principal da Análise Limite é determinar a carga que leva uma

estrutura ao colapso (carga de colapso), onde a carga de colapso é determinada

como produto da carga inicial por um fator de colapso. As formulações existentes

na Análise Limite para o cálculo da carga de colapso são baseadas nos teoremas

de Análise Limite (inferior ou superior). A formulação pelo limite inferior

36

(formulação estática) deve satisfazer as condições de admissibilidade estática dos

campos de tensões; a formulação pelo limite superior (formulação cinemática)

deve satisfazer as condições de admissibilidade cinemática do campo de

velocidades; e, finalmente, a formulação mista tem a forma da formulação pelo

limite inferior, com variáveis em tensões, mas o campo de tensões não é

estaticamente admissível a não ser de forma aproximada.

A solução de problemas geotécnicos pode então ser feita através da

aplicação de qualquer uma das formulações estática, cinemática ou mista. Estas

formulações, podem também ser classificadas em formulação forte e formulação

fraca. A formulação é forte quando satisfaz explicitamente as condições dos

teoremas da Análise Limite, e é fraca quando as condições são satisfeitas através

do princípio dos trabalhos virtuais.

No presente trabalho é usada a formulação mista fraca com o uso do

princípio dos trabalhos virtuais para representar as equações de equilíbrio estático.

2.5.1. Condição de Equilíbrio

Na formulação mista fraca a condição de equilíbrio é garantida pelo

princípio dos trabalhos virtuais. Este princípio estabelece que, para qualquer

campo de velocidades cinematicamente admissível, o trabalho das forças internas

é igual ao trabalho das forças externas, como mostra a Equação 2.19.

dSdVdVS

T

VV

T ∫∫∫ += 00 TuFuσε αδαδδ &&& (2.19)

onde:

0F Força de volume inicial

0T Força de superfície inicial

α Fator (escalar) que multiplica as forças iniciais

u&δ Campo de velocidades virtuais

ε&δ Campo de velocidades de deformação virtuais

σ Campo de tensões

37

Pela teoria de elementos finitos, os campos são interpolados a partir de valores

nodais:

Tu

TT Nuu && δδ = (2.20)

TTT Buε)

&& ˆδδ = (2.21)

σNσ ˆσ= (2.22)

onde:

σ Campo de tensões

σ Campo de tensões nodais

u& Campo de velocidades

u& Campo de velocidades nodais

ε& Campo de velocidades de deformação

uN Matriz de interpolação de velocidades

σN Matriz de interpolação de tensões

B)

Matriz de compatibilidade cinemática obtida de uN

Substituindo-se as equações (2.20), (2.21) e (2.22) em (2.19), tem-se que:

∫ ∫∫ +=V S

Tu

TTu

T

V

TT dSdVdV 00ˆˆˆˆ TNuFNuσNBu &&

)& δαδαδ σ (2.23)

Fatorizando:

0ˆˆ00 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫ ∫∫V S

Tu

Tu

V

TT dSdVdV TNFNNBu ασδ σ

)& (2.24)

Como 0ˆ ≠Tu&δ , deslocamentos virtuais arbitrários, a Eq. 2.24 fica como:

0ˆ 00 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫ ∫∫V S

Tu

Tu

V

T dSdVdV TNFNσNB ασ

) (2.25)

38

Fazendo:

dVV

TσNBB ∫=

) (2.26)

∫ ∫+=V S

Tu

Tu dSdV 00 TNFNb (2.27)

A Equação 2.25 pode ser escrita como:

bσB α=ˆ (2.28)

Note-se que, na Equação 2.28, as variáveis do problema a serem

determinadas são as tensões nodais e o fator de colapso. Quando os elementos são

considerados de tensão constante, a matriz σN é igual à matriz identidade I , o

que conduz a:

dVV

T∫= BB)

(2.29)

2.5.2. Condições de Contorno

As condições de contorno precisam ser fornecidas para a solução do

problema. Para nós com campos de velocidades prescritos 0ˆ == uu && δδ , então,

deve-se eliminar de B e b (Equação 2.28) as linhas correspondentes às

velocidades prescritas.

2.5.3. Condição de Escoamento

Uma das condições para que o campo de tensões seja estaticamente

admissível (requisito do teorema de limite inferior) é que ele satisfaça um critério

de escoamento (Equação 2.30).

0)( ≤σg (2.30)

39

2.5.4. Problema de Análise Limite

Das Equações 2.28 e 2.30, a solução do problema pela Análise Limite (AL)

consiste em determinar o campo de tensões correspondentes a um fator α, que

maximiza a carga que a estrutura pode suportar sem violar a condição de

escoamento do material. O problema a ser resolvido consiste em um problema de

otimização como é apresentado a seguir e cuja solução será mostrada no Capítulo

3 deste trabalho.

max. αα =)(f (2.31)

0)(. ≤σgst (2.32)

bBσ α= (2.33)

2.5.5. Elementos Finitos Implementados

No presente trabalho foram implementados dois tipos de elementos finitos:

o elemento quadrilateral de 4 nós em 2D e o elemento hexaédrico de 8 nós em 3D.

Estes elementos são mostrados nas Figuras 2.7 (a) e (b). As funções de

interpolação uN utilizadas para interpolar as velocidades são as mesmas funções

de interpolação utilizadas para interpolar deslocamentos na formulação

convencional do MEF em deslocamentos.

40

(a) (b)(a) (b) Figura 2.7 – Elemento finito: (a) quadrilateral (2D), (b) hexaédrico (3D).

)1)(1(41 ssrrN iiiu ++= i=1,..,4 (2.34)

)1)(1)(1(81 ttssrrN iiiiu +++= i=1,..,8 (2.35)

onde:

uiN Funções de interpolação de velocidades

r,s,t Coordenadas paramétricas

ri,si,ti Coordenadas nos pontos nodais paramétricas

Para se interpolar os campos de tensões usa-se uma matriz identidade

(Equação 2.36) que corresponde a se adotar um campo de tensões constante

dentro do elemento.

IN =σ (2.36)

A escolha desses campos de tensões foi baseada em estudos feitos em

trabalhos anteriores (Gonzaga, 1997) (Farfan, 2000) e (Carrión, 2004).

3 SOLUÇÃO NUMÉRICA DA ANÁLISE LIMITE

O problema matemático resultante da aplicação de teoria da Análise Limite (AL)

associado ao Método dos Elementos Finitos (MEF) Equações (2.28) e (2.30),

pode ser representado pelas Equações 3.1-3.3. Estas equações configuram um

problema de otimização e que pode ser resolvido usando técnicas de otimização.

Max αα =)(f (3.1)

0)(.. ≤xgts (3.2)

0=− αbxB (3.3)

onde:

ℜ∈α Fator de colapso nℜ∈x Campo de tensões

mℜ∈)(xg Função de escoamento pxnℜ∈B Matriz de equilíbrio

pℜ∈b Vetor de cargas nodais iniciais

Na tentativa de resolver eficientemente o problema da Análise Limite

expresso pelas Equações (3.1), (3.2) e (3.3), foram pesquisados e testados vários

otimizadores comerciais existentes baseados nas técnicas de programação

matemática e otimizadores baseados em algoritmos genéticos. O uso de

otimizadores baseados em algoritmos genéticos para resolver o problema expresso

pelas Equações (3.1), (3.2) e (3.3) não foi bem sucedido e os otimizadores

comerciais baseados nas técnicas de programação matemática mostraram ser

ineficientes para problemas de grande escala como mostram os resultados de

testes apresentados na seção 3.1. Finalmente, foi implementado um otimizador

específico para o tipo de problema da análise limite baseado em técnicas de

programação matemática (PM).

42

3.1. Otimizadores Matemáticos Testados

Os otimizadores baseados em técnicas de programação matemática que

foram pesquisados e testados são LINGO (Lindo system inc., 1997), MINOS

(Murtagh e Saunders, 1998) e LANCELOT (Conn, Gould e Toin, 1992).

Os problemas de otimização podem ser classificados como de pequena,

média e de grande escala. Segundo Murtagh e Saunders (1998) os problemas são

considerados de “pequena escala” quando o número de restrições lineares mais o

número de restrições não lineares são menores que 100, de “média escala” quando

o número de restrições são aproximadamente 1000 ou 2000 e de “grande escala”

quando o número de restrições são maiores que 5000. O objetivo deste trabalho é

resolver problemas da Análise Limite de grande escala, para os quais os

otimizadores comerciais são testados.

Para testar a eficiência dos otimizadores indicados, um problema geotécnico

de estabilidade de talude em 2D é formulado. A Figura 3.1 mostra a geometria, as

condições de contorno e as propriedades do material do problema a ser analisado.

Figura 3.1 – Problema para teste de otimizadores.

Para se ter uma idéia comparativa do desempenho dos otimizadores, sete

análises foram feitas mantendo constantes os seguintes parâmetros: geometria do

problema, condições de contorno, propriedades do material (Figura 3.1) e os

mesmos recursos de hardware (Pentium IV com processador Intel de 3.07 GHz e

memória RAM de 1.4 Gb).

43

Para aumentar a complexidade do problema de otimização, a geometria do

problema (Figura 3.1) foi modelada com malhas de Elementos Finitos com

número de elementos variáveis, como mostrado pela Figura 3.2.

Figura 3.2 – Malhas: (a) 28, (b) 64, (c) 126, (d) 225, (e) 360, (f) 500 e (g) 750 elementos.

3.1.1. Otimizador Lingo

O programa LINGO desenvolvido pelo Lindo System Inc. (Lindo system

inc., 1997) é um otimizador para resolver problemas de otimização não lineares.

A grande vantagem deste otimizador é a sua facilidade de uso já que o

problema pode ser formulado facilmente no seu editor de texto ou ser importado a

partir de um arquivo de texto. O uso do programa é fácil porque tanto a função

objetivo, as restrições lineares e não lineares são escritas em forma de equações

44

explícitas. Uma outra vantagem deste programa é o pouco número de parâmetros

a serem controlados pelo usuário.

Na Tabela 3.1 apresentam-se os resultados obtidos a partir dos testes

realizados para o problema da Figura 3.1 com malhas da Figura 3.2, onde C é a

coesão, φ ângulo de atrito e γ peso especifico do material; n é o número de

variáveis do problema, m é número de restrições não lineares e p número de

restrições lineares; Mem é a quantidade de memória usada pelo otimizador, iter é

o número de iterações, t é o tempo requerido para otimizar e α é o fator de

colapso obtido.

Análise C φ γ Elem. Nós n m p m+p Mem.(MB) α iter. t(seg)1 25 5 17 28 40 85 28 56 84 0.200 3.76732 93 02 25 5 17 64 81 193 64 128 192 0.450 3.58688 245 23 25 5 17 126 150 379 126 252 378 0.875 3.52012 482 134 25 5 17 225 256 676 225 450 675 1.674 3.49650 857 1105 25 5 17 360 399 1081 360 720 1080 2.790 3.47713 1492 7756 25 5 17 500 546 1501 500 1000 1500 3.906 3.46887 3524 23057 25 5 17 750 806 2251 750 1500 2250 5.668 0.027280 43 2453

MalhaMaterial LingoProblema

Tabela 3.1 – Testes realizados com o programa Lingo.

Nas Figuras 3.3a, 3.3b, 3.3c e 3.3d ilustram-se os resultados obtidos com o

otimizador LINGO, onde, a Figura 3.3(b) indica a variação do número de

iterações requeridas pelo otimizador com o incremento de complexidade do

problema (número de elementos da malha). A Figura 3.3(c) indica o desempenho

do otimizador em termos de tempo em segundos com o incremento de

complexidade do problema. A Figura 3.3(a) indica a memória requerida pelo

otimizador com o incremento de complexidade do problema. A Figura 3.3(d)

indica o fator de colapso obtido com o refinamento da malha.

Os resultados indicam que o uso da memória cresce linearmente com a

complexidade do problema, enquanto que o número de iterações tem uma

variação quase linear até malhas com 35 elementos aproximadamente e logo

aumenta fortemente. O resultado mais importante é o desempenho do otimizador

em termos de tempo, a Figura 3.3c indica que o tempo de otimização cresce

exponencialmente com o número de elementos da malha. A Figura 3.3d mostra a

variação do fator de colapso com o refinamento da malha, este comportamento era

de se esperar, porque equações de equilíbrio obtidas por malhas menos refinadas

45

obtidas por elementos finitos tendem a fornecer modelos mais rígidos e

resistentes, superestimando as cargas de colapso. Isso explica porque o fator de

colapso se aproxima pelo limite superior ao fator de colapso real como acontece

na formulação pelo limite superior.

Uso da Memória - LINGO

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

0 100 200 300 400 500 600

Elementos da Malha

Série1

Mem

oria

(MB

)

Figura 3.3a – Variação da memória usada pelo otimizador LINGO.

Iterações - LINGO

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 100 200 300 400 500 600

Elementos da Malha

Série1

Itera

ções

Figura 3.3b – Variação de número de iterações do otimizador LINGO.

46

Desempenho - LINGO

0

500

1000

1500

2000

2500

0 100 200 300 400 500 600

Elementos da Malha

Série1

Tem

po(s

eg)

Figura 3.3c – Desempenho do otimizador LINGO.

Fator de Colapso - LINGO

3.45

3.50

3.55

3.60

3.65

3.70

3.75

3.80

0 100 200 300 400 500 600

Elementos da Malha

Série1

Fato

r de

Col

apso

Figura 3.3d – Variação do fator de colapso obtido com LINGO.

Dos testes realizados com otimizador LINGO conclui-se que, para

problemas pequenos com malhas de elementos finitos com número de elementos

de ate 200, a eficiência deste otimizador é aceitável como pode ser observado

pelas análises 1, 2, 3 e 4 da Tabela 3.1, mas, para malhas com número de

elementos maiores de 200, o tempo de otimização cresce exponencialmente

(Figura 3.3c). Da Tabela 3.1, pode-se observar que para malha com 750 elementos

este otimizador converge a uma solução não ótima, portanto, é de se esperar que o

número de iterações e o tempo empregado não sejam reais e por isso a análise 7

não é usada para comparações.

47

3.1.2. Otimizador Minos

MINOS é um programa de otimização para resolver problemas de

otimização lineares e não-lineares, desenvolvido na universidade de Stanford por

Bruce A. Murtagh e Michael A. Saunders (Murtagh e Saunders, 1998).

O programa MINOS apresenta uma maior dificuldade para seu uso em

comparação ao programa LINGO. Entre as dificuldades que apresenta MINOS

estão a quantidade de parâmetros, 94 no total, que o usuário precisa controlar, uso

de arquivo com formato MPS (Mathematical Programming System) para a

entrada de dados das restrições lineares e um arquivo com formato SPECS

(Specification) para especificar a configuração dos parâmetros.

O teste com este otimizador foi feito para o problema apresentado pela

Figura 3.1, com malhas de Elementos Finitos apresentadas na Figura 3.2 e nas

mesmas condições que os testes realizados com o otimizador LINGO.

Os resultados dos testes realizados com o otimizador MINOS são

apresentados na Tabela 3.2 e nas Figuras 3.4a, 3.4b, 3.4c e 3.4d são ilustrados

graficamente estes resultados.

Análise C φ γ Elem. Nós n m p m+p Mem(MB) α iter. t(seg)1 25 5 17 28 40 85 28 56 84 253 3.767329 225 12 25 5 17 64 81 193 64 128 192 253 3.586883 599 43 25 5 17 126 150 379 126 252 378 253 3.566153 1602 64 25 5 17 225 256 676 225 450 675 253 3.497155 3556 165 25 5 17 360 399 1081 360 720 1080 253 3.478615 6561 726 25 5 17 500 546 1501 500 1000 1500 253 3.470797 10182 2027 25 5 17 750 806 2251 750 1500 2250 295 3.453981 18067 671

MalhaMaterial MinosProblema

Tabela 3.2 – Testes realizadas com o otimizador Minos.

48

Uso da Memória - MINOS

250255260265270275

280285290295300

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Série1

Mem

ória

(MB

)

Figura 3.4a – Variação da memória usada pelo otimizador MINOS.

Número de Iterações - MINOS

02000400060008000

10000

1200014000160001800020000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Série1

Itera

ções

Figura 3.4b – variação de número de iterações do otimizador MINOS.

49

Desempenho - MINOS

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Série1

Tem

po(s

eg)

Figura 3.4c – Desempenho do otimizador MINOS.

Fator de Colapso - MINOS

3.40

3.45

3.50

3.55

3.60

3.65

3.70

3.75

3.80

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Série1

Fato

r de

Col

apso

Figura 3.4d – Variação do fator de colapso obtido com MINOS.

Os resultados dos testes realizados mostram que este otimizador faz uma

alocação prévia de 253 MB de memória como apresentado nas análises 1, 2, 3, 4,

5 e 6 da Tabela 3.2 e somente quando a aplicação precisa de mais memória, o

programa faz uma realocação de memória como mostrado na análise 7 da Tabela

3.2.

Este otimizador apresenta um melhor desempenho que o otimizador

LINGO, mas para malhas com mais 300 elementos o tempo de desempenho

também cresce quase exponencialmente (Figura 3.4c).

50

O teste também mostra a mesma variação do fator de colapso com o

incremento de número de elementos da malha obtidos com o otimizador LINGO

(Figura 3.4d).

3.1.3. Otimizador Lancelot

O otimizador LANCELOT (Linear And Nonlinear Constrained Extended

Lagrangian Otimization Techniques), segundo o manual do usuário (Conn, Gould

e Toin, 1992) é um programa para resolver problemas de otimização não linear de

grande escala.

Este programa foi desenvolvido pelos seguintes institutos de pesquisa:

Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix, Namur – Bélgica; Harwell

Laboratory, UK; IBM, USA; Rutherford Appleton Laboratory, UK e a University

of Waterloo, Canada.

Este programa tem muitos parâmetros a serem controlados pelo usuário e

para a especificação de dados utiliza arquivos com formato SIF (Standard Input

Format). Este programa apesar de ser multi-plataforma não apresenta suporte ou

não tem uma versão para o sistema operacional Windows. Os sistemas

operacionais para os quais este programa apresenta suporte são:

CRAY Unicos

DEC OSF1

DEC Ultrix

DEC VMS

HP HP-UX

IBM AIX

IBM CMS

IBM DOS (Salford and Waterloo Fortran)

Linux g77

Silicon Graphics IRIX

Sun SunOS and Solaris

51

No processo a pesquisa e adequação do código de LANCELOT para rodar

no sistema operacional Windows, encontrou-se um trabalho de testes de eficiência

e comparação realizados entre o programa LANCELOT e MINOS. O trabalho é

denominado “A Numerical Comparison Between the LANCELOT and MINOS

Package for Large-Scale Nonlinear Optimization” (Bongartz et all., 1997).

Na Tabela 3.3 apresentam-se os resultados de testes realizadas por Bongartz

e outros (Bongartz et all., 1997), onde LP indica problemas lineares, QP

problemas quadráticos, BC problemas sem restrição ou com restrições de

contorno simplesmente, LC problemas com restrições lineares e NC problemas

com restrições não lineares. A primeira coluna indica número total de problemas

testados e as colunas LANCELOT e MINOS indicam o tempo total acumulado

em segundos empregados pelos otimizadores.

Tabela 3.3 – Comparação da eficiência entre Lancelot e Minos (Bongartz et all, 1997).

Para os objetivos do presente trabalho de resolver eficientemente o

problema da Análise Limite com restrições lineares e não lineares, os resultados

mais importantes da Tabela 3.3 são as duas últimas linhas, onde se mostra que

para problemas com restrições lineares (LC) o programa MINOS tem uma melhor

eficiência com um tempo acumulado de 219 segundos contra 1526 segundos do

programa LANCELOT e para problemas com restrições não lineares (NC) o

programa MINOS também tem uma melhor eficiência com um tempo acumulado

de 1093 segundos contra 15754 segundos de LANCELOT.

Pelos resultados apresentados no trabalho citado era de se esperar que não

seria obtida nenhuma melhora em termos da eficiência (tempo de otimização) com

o uso do programa LANCELOT e se decidiu não seguir com a pesquisa sobre o

uso deste otimizador.

52

3.1.4. Comparação de Desempenho de Otimizadores Testados

Na Figura 3.5, apresenta-se uma comparação do desempenho dos

otimizadores pesquisados e testados. A Figura 3.5a mostra que o otimizador

LINGO faz um melhor uso da memória do computador, mas o resultado mais

importante é que MINOS tem um melhor desempenho em termos de tempo

empregado para otimizar o problema (Figura 3.5c). Ambos os otimizadores

mostraram a mesma variação do fator de colapso com o número de elementos da

malha (Figura 3.5d).

Uso da Memória

0

50

100

150

200

250

300

350

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

LingoMinos

Mem

ória

(MB

)

Figura 3.5a – Comparação de uso da memória entre Lingo e Minos

Número de Iterações

02000400060008000

100001200014000160001800020000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

LingoMinos

Itera

ções

Figura 3.5b – Comparação de número de Iterações entre Lingo e Minos

53

Desempenho

0

500

1000

1500

2000

2500

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Lingo

Minos

Tem

po(s

eg)

Figura 3.5c – Comparação de desempenho entre Lingo e Minos

Fator de Colapso

3.40

3.45

3.50

3.55

3.60

3.65

3.70

3.75

3.80

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

LingoMinos

Fato

r de

Col

apso

Figura 3.5d – Comparação de variação de fator de colapso, obtidos com Lingo e Minos.

Da pesquisa e dos testes realizados com os otimizadores comerciais

existentes conclui-se que o otimizador LINGO pode ser usado eficientemente para

problemas da Análise Limite de pequena escala e o otimizadores MINOS poderia

ser usado eficientemente para problemas da Análise Limite de até média escala.

A Análise Limite de problemas em 3D tem uma complexidade maior se

comparada com problemas em 2D porque o número de variáveis e o número de

restrições é muito maior. Portanto, o uso destes otimizadores pesquisados é quase

inviável. Em geral para problemas de Análise Limite de grande escala o uso

destes otimizadores não é recomendável.

54

3.2. Otimizador Implementado

Após a tentativa de usar otimizadores comerciais como Lingo e Minos e

sendo o desempenho alcançado não satisfatório para resolver problemas

geotécnicos pela Análise Limite com malhas suficientemente refinadas ou

problemas de grande escala, optou-se neste trabalho por desenvolver um

otimizador exclusivo para o tipo de problema da Análise Limite. Assim, nesta

pesquisa, implementou-se o algoritmo de Pontos Interiores. Sendo o objetivo da

tese a aplicabilidade prática da Programação Matemática para resolver

eficientemente o problema da análise limite, neste trabalho são expostos apenas

alguns conceitos que permitem o entendimento do algoritmo implementado.

3.2.1. Condições de Otimalidade

As condições de otimalidade, conhecidas também como as condições de

Karush, Kuhn e Tucker (Condições KKT), são o resultado teórico mais importante

no campo da programação não linear. Estas condições devem de ser satisfeitas

para a solução ótima de qualquer problema. Estas condições são as bases para o

desenvolvimento de muitos algoritmos computacionais e proporciona um critério

de parada para muitos outros (Castillo et all, 2002).

Para )(xgS ∇= , as condições de otimalidade para o problema de

otimização expresso pelas equações (3.1), (3.2) e (3.3), são escritas como segue:

0BµSλ =+ tt (3.4)

1−=bµ t (3.5)

0bxB =− α (3.6)

0)( =xgλ t (3.7)

0≥jλ (3.8)

0)( ≤xg (3.9)

55

onde: mℜ∈λ e pℜ∈µ são os multiplicadores de Lagrange associados

respectivamente às restrições (3.3) e (3.2). As condições (3.6) e (3.9) são

conhecidas como condições de factibilidade primal, a condição (3.7) é conhecida

como condição de complementaridade e a condição (3.8) indica a não

negatividade do multiplicador de Lagrange e é conhecida como condição de

factibilidade dual.

3.2.2. Algoritmo de Pontos Interiores

Este algoritmo foi proposto por Herskovits (1986 e 1989) (Farfan, 2000).

Ele já foi usado em vários trabalhos para resolver problemas da Análise Limite

como em Borges (1991), Zouain e outros (1993), Lyamin e Sloan (1997), e Farfan

(2000).

Os algoritmos são chamados de Pontos Interiores por que todo ponto gerado

deve de estar na região viável, ou seja, para cada iteração deve ser preservada a

factibilidade das restrições de desigualdade 0)( ≤xg e 0≥λ . A condição 0≥λ é

garantida pelo critério de atualização utilizado ao final de cada iteração. Portanto,

deve-se garantir a admissibilidade plástica 0)( ≤xg .

Na literatura pesquisada encontraram-se dois algoritmos de pontos

interiores; o primeiro, conhecido como Newton e Técnica de Deflexão e o

segundo conhecido como Newton e Técnica de relaxação-contração. Neste

trabalho, propõe-se uma outra técnica, denominada Vetorial.

Como discutido na seção 3.2.4 os três algoritmos se diferenciam na técnica

utilizada para garantir a factibilidade das desigualdades. Sendo o objetivo deste

trabalho implementar um otimizador eficiente, os três algoritmos foram

implementados e testados.

3.2.3. Inicialização

A inicialização das variáveis primárias (Equações 3.10 e 3.11) é feita

considerando que o ponto inicial deve satisfazer as equações de equilíbrio e a

admissibilidade plástica do material. Para satisfazer a condição de otimalidade

56

(Equação 3.8) a variável dual λ deve ser positiva, portanto, esta variável é

iniciada conforme sugerido por Borges (1991).

00 =x (3.10)

00 =α (3.11)

)(1

00 xλ

g−= (3.12)

3.2.4. Direção de Busca

Para o cálculo da direção de busca, o algoritmo de Newton-Rapson é

aplicado nas equações de otimalidade (3.4-3.7) e para )]([ 2 kk xgλH ∇= , ki

ki λxgG /)(= (matriz diagonal), kkk

x xxd −= +1 e kkkd ααα −= +1 são obtidas as

equações incrementais:

0µBλSdH =++ ++ 11 kkkx (3.13)

11 −=+kt µb (3.14)

0=− kkx dαbdB (3.15)

0λGdS =+ +1kkx (3.16)

As Equações (3.13)-(3.16) formam um sistema de quatro blocos de

equações com quatro grupos de incógnitas onde as variáveis ou incógnitas a serem

determinadas são kxd , 1+kλ , 1+kµ e kdα . A solução deste sistema de equações é

discutida na seção 3.2.8

Para o cálculo da direção de busca encontraram-se na literatura duas

técnicas e uma terceira técnica é proposta neste trabalho.

A primeira técnica implica o cálculo de ângulo de deflexão e o sistema de

equações é resolvido duas vezes (Zouain e outros, 1993). Na segunda técnica,

fatores de relaxação-contração são usados para determinar a direção viável e o

sistema de equações é resolvido somente uma vez (Borges, 1991). Uma terceira

técnica vetorial é proposta neste trabalho, onde a direção viável é determinada

mediante álgebra vetorial a partir do cálculo do ângulo de deflexão e o sistema de

equações é resolvido uma única vez.

57

3.2.4.1. Técnica de deflexão

Nesta técnica, um ângulo de deflexão θ é calculado a partir da solução do

sistema de equações (3.13-3.16). O ângulo de deflexão é calculado de tal forma a

garantir uma direção viável para kdα e kxd como mostrada pela Equação 3.17,

onde ]1,0[∈β é um parâmetro prefixado (Zouain et al,1993). Uma demonstração

completa para o cálculo de θ é apresentada por Borges (1991) e Zouain e outros

(1993).

∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=+

ki

ki

kd

λλ 1

)1( αβθ (3.17)

O sub-índice i indica que o somatório é calculado para todos os elementos

da malha.

Na Figura 3.6 o ângulo de deflexão θ é ilustrado graficamente para uma

restrição )(xg , onde a direção 0d é uma direção não viável calculada a partir da

solução do sistema de equações 3.13-3.17.

Figura 3.6 – Técnica de deflexão.

Após o cálculo do ângulo de deflexão θ , a direção de busca viável 1d é

calculada. Para isso o sistema de equações (3.13-3.16) é resolvido novamente mas

desta vez considerando o ângulo de deflexão como mostrado pelas Equações

(3.18-3.21).

0µBλSdH =++ ++ 11 kkkx (3.18)

11 −=+kt µb (3.19)

58

0=− kkx dαbdB (3.20)

eλGdS θ−=+ +1kkx (3.21)

onde e é um vetor com todos os componentes unitários.

3.2.4.2. Técnica de relaxação-contração

Neste algoritmo, a factibilidade das tensões é garantida propondo-se uma

contração uniforme para as tensões e o fator de colapso. O procedimento consiste

em incrementar as tensões e o fator de colapso a partir da solução das Equações

(3.13-3.16), relaxada de um fator r . Em seguida calcula-se um fator de contração

c para garantir a factibilidade das tensões. A contração do fator de colapso pelo

mesmo fator c garante que a condição de equilíbrio (3.15) seja preservada ao

final da iteração, enquanto o fator de relaxação r é calculado para garantir a

condição de factibilidade na iteração.

Nesta técnica o novo ponto é calculado como mostrado na Equação 3.22

sem calcular direção de busca viável nem o comprimento de passo.

)(1 dxx rc kk +=+ (3.22)

Para ilustrar esta técnica apresenta-se a Figura 3.7, onde a direção 0d é

calculada a partir da solução das Equações (3.13-3.16) e kx são as variáveis da

iteração anterior. Esta técnica consiste em que para um fator de relaxação r o

vetor 0dAM r= é calculado, a seguir o vetor AMOAOM += é calculado e

finalmente o vetor OMON c= é calculado. Este processo é realizado para

diferentes valores do fator de relaxação r até que se cumpra a seguinte condição

de acréscimo kk αα >+1 . O fator de contração c neste processo é determinado

pela busca linear na direção do vetor OM .

59

Figura 3.7 – Técnica de Relaxação-Contração.

3.2.4.3. Técnica Vetorial - Proposto

Pelo fato de que, resolver duas vezes o sistemas de equações como proposto

pela primeira técnica (de deflexão) é computacionalmente custoso e isto afeta

diretamente o desempenho do otimizador implementado, neste trabalho propõe-se

uma técnica vetorial para o cálculo da direção de busca viável. Esta técnica é

descrita a seguir.

Da solução do sistema de Equações (3.13-3.16) a direção tangente não

viável kxdd =0 é determinada como mostra a Figura 3.8, a seguir um ângulo de

deflexão é calculado como expresso pela Equação 3.17 e finalmente a direção

viável 1d é calculada vetorialmente mediante álgebra vetorial, como a soma de

dois vetores (Figura 3.8), onde um vetor unitário na direção negativa do gradiente

é determinado pela Equação 3.23, a seguir a norma euclidiana do vetor oposto ao

ângulo de deflexão é calculada pela Equação 3.24 e logo a direção de busca viável

1d é obtida como a soma de dois vetores conforme Equação 3.25.

g(x)

=0

Região

viáve

l

g(x)<

0

g(x)

>0

1+kx

kx

0d

1d

)(xg∇−

tû

θ

g(x)

=0

Região

viáve

l

g(x)<

0

g(x)

>0

1+kx

kx

0d

1d

)(xg∇−

tû

θ

Figura 3.8– Técnica Vetorial - Proposta.

60

)()(ˆ

xgxgu

∇∇−

= (3.23)

)tan(0 θd=t (3.24)

udd ˆ01 t+= (3.25)

onde )(xg∇ , é o vetor gradiente com n elementos formados pelos gradientes das

restrições )(xig de cada elemento, u é um vetor unitário no sentido oposto ao

vetor gradiente e t é o módulo do vetor oposto ao ângulo de deflexão θ .

3.2.5. Comprimento de Passo

O comprimento de passo indicado na Figura 3.9 é determinado somente

para a primeira e a terceira técnica.

Determinada a direção de busca viável 1d na etapa anterior, é necessário

determinar o comprimento de passo. As restrições não lineares neste trabalho são

apresentadas pelos critérios de escoamento (Equações 2.8 e 2.9). Por sugestão de

Herskovits (2008), estas equações foram transformadas na sua forma quadrática

equivalente e substituindo na Equação 3.26 é obtida uma equação quadrática em

função de s como expresso na Equação 3.27, onde ),( 1 φdfa = ,

),,,( 1 φCfc k dx= e ),,,( fk Cfq γφx= . Finalmente, o comprimento de passo s

é obtido resolvendo a equação quadrática 3.27.

0)(.)( 1 =−+ kf

k gsg xdx γ (3.26)

02 =++ qscsa (3.27)

onde fγ é um parâmetro (Borges, 1991), C e φ são as propriedades do material.

61

Figura 3.9 – Comprimento de passo s .

3.2.6. Atualização das Variáveis

Calculada a direção viável e o comprimento de passo nas etapas anteriores

as variáveis x e α são atualizadas conforme Equações 3.28 e 3.29.

Graficamente, este processo de atualização é ilustrado na Figura 3.10, onde se vê

que o 1+kx é atualizado como a soma dos vetores kx e 1ds .

kx

kk sdxx +=+1 (3.28)

kkk ds ααα +=+1 (3.29)

Figura 3.10 – Atualização da variável x .

Pela condição de Karush-Kuhn-Tucker (Equação 3.8) a variável dual λ tem

que ser sempre positiva. A atualização desta variável é feita da seguinte forma:

62

),max(1∞

+ = λγλλ λki

ki (3.30)

onde },...,,max{ 21km

kk λλλλ =∞ e λγ é um parâmetro (Borges, 1991).

3.2.7. Teste de Desempenho dos Algoritmos

Para ilustrar o desempenho dos algoritmos, um talude 2D como indicado na

Figura 3.11 é analisado. As análises são feitas para as mesmas condições, ou seja,

considerando-se as mesmas propriedades do material coesão (C=25 kN/m²),

ângulo de atrito (φ = 5°) e peso específico (γ = 17 kN/m³); a mesma geometria

com o mesmo número de elementos da malha; o mesmo critério de escoamento,

Mohr-Coulomb; e usando o mesmo computador (Pentium IV com processador de

3.07 GHz e memória RAM de 1.4 Gb).

Na Tabela 3.4, apresentam-se as comparações de fator de colapso, número

de iterações, tempo de otimização e o mecanismo de ruptura obtido com cada um

dos algoritmos.

Figura 3.11 Geometria do problema para teste de algoritmos (malha de 25 elementos).

63

Algoritmo α Iter t(seg) Superficie de Falha

Deflexão 3.717250 13 1.040

Relax.-Cont. 3.717627 18 2.250

Vetorial 3.668298 13 0.687

Tabela 3.4 – Desempenho dos algoritmos implementados

3.2.8. Manipulação de sistemas lineares a serem resolvidos

Para resolver os sistemas de Equações (3.13-3.16) e (3.18-3.21), na

literatura pesquisada foram encontradas duas formas de reduzir estes sistemas

para logo serem resolvidos por algum método direto ou indireto, onde o sistema a

ser resolvido tem a mesma ordem que o número de restrições lineares do

problema. A primeira, é uma manipulação matricial global como mostrado por

Lyamin & Sloan (1997) ou por Farfan (2002). A segunda é uma manipulação

matricial por elementos como mostrado por Borges (1991) ou Zouain e outros

(1993). Neste trabalho, é proposta uma terceira forma de resolver estes sistemas

mediante uma solução direta sem manipulação prévia.

Para 0λλ =k , 0xx =k e 0λλ =k , as equações (3.13), (3.14), (3.15) e (3.16)

podem ser re-escritas como as Equações (3.31), (3.32), (3.33) e (3.34)

representado um sistema de 4 blocos de equações com 4 grupos variáveis ( kxd ,

1+kλ , 1+kµ e kαd ).

0µBλSHd =++ ++ 11 kkTkx (3.31)

01 =+ +kkx λGdS (3.32)

64

0=− kkx dαbdB (3.33)

11 −=+kt µb (3.34)

Neste trabalho foram implementadas e testadas as três formas de resolver o

sistema de Equações 3.31-3.34 descritas acima, tendo como objetivo a busca de

um melhor desempenho do otimizador implementado. As vantagens e

desvantagens de cada uma das formas de resolver são descritas a seguir e

finalmente é apresentada uma comparação de desempenho testado.

3.2.8.1. Manipulação matricial global

Nesta forma de manipulação as matrizes H , S , G e B são calculadas

para todo o sistema, onde nxnℜ∈H , nxmℜ∈S , mxmℜ∈G e nxpℜ∈B ; n é o

número de variáveis do problema, m é o número de restrições não lineares e p é

o número de restrições lineares. O vetor kxd pode ser explicitado na Equação 3.31

gerando a Equação 3.35. Substituindo-se em seguida kxd da Equação 3.35 na

Equação 3.32 e considerando que 1−= HSQ e GSQW −= T a Equação 3.36 é

obtida.

)( 111 ++− +−= kkTkx µBλSHd (3.35)

111 +−+ −= kTk uQBWλ (3.36)

Para QWQHD 11 −− −= T e substituindo a Equação 3.36 em 3.35, a Equação

3.37 é obtida. Substituindo a Equação 3.37 na Equação 3.33, e para TBDBK = e 11 )( −+= kk dαuv , a Equação 3.38 é obtida.

1+−= kTkx uDBd (3.37)

bKv −= (3.38)

A matriz K pode ser chamado de uma pseudo matriz de rigidez já que ela

relaciona forças aplicadas e velocidades.

A Equação 3.38 é um sistema de equações lineares de ordem igual ao

número de restrições lineares ( p ) e pode ser resolvido por qualquer dos métodos

discutidos na seção 3.2.9.

65

Conhecido o vetor v e substituindo kk dαvu =+1 na Equação 3.34, a variável

kdα é determinada e, logo, 1+ku é conhecido também. Substituindo 1+ku nas

Equações 3.37 e 3.36 as variáveis kxd e 1+kλ são calculados.

O processo de solução do sistema de Equações 3.18, 3.19, 3.20 e 3.21

considerando o ângulo de deflexão θ são similares e pode ser encontrado em

Lyamin e Sloan (1997) ou Farfan (2000).

Observa-se que o uso deste processo implica realizar operações como a

obtenção da inversa de matriz de ordem n (número de variáveis do problema),

assim como o produto de matrizes e produto de matrizes por vetores. Sendo estas

operações computacionalmente caras é de se esperar que esta implementação seja

ineficiente como ilustrado com os testes realizados.

3.2.8.2. Manipulação matricial por elementos

Uma segunda forma de manipulação na solução de sistema de Equações

(3.31), (3.32), (3.33) e (3.34) é apresentada por Borges (1991) e por Zouain e

outros em (1993). Nesta forma, a matriz K da Equação 3.38 é obtida pela

montagem de matrizes de rigidez elástico-plástica de cada elemento finito.

Nesta forma de manipulação as variáveis H , S , Q , W , epD e eK são

calculadas para cada elemento finito como indicado nas equações a seguir:

)]([ 2 xgλH ∇= (3.39)

)(xgS ∇= (3.40)

kλxgG /)(= (3.41)

1−= HSQ (3.42)

GSQW −= T (3.43)

QWQHD 11 −− −= Tep (3.44)

BDBK epTe = (3.45)

onde, para os elementos finitos implementados, quadrilateral em 2D e hexaédrico

em 3D, H é uma matriz de 3x3 para problemas em 2D e de 6x6 para problemas

em 3D, S e Q são vetores de 3 elementos para problemas em 2D e de 6

66

elementos para problemas em 3D, G e W são matrizes de 1x1, epD é a matriz

conhecida como módulo elástico-plástico de 3x3 para problemas em 2D e de 6x6

para problemas em 3D, B é a matriz de equilíbrio para cada elemento finito

obtido pelo MEF com dimensões de 8x3 para problemas 2D e de 24x6 para

problemas em 3D e eK é a matriz de rigidez elástico-plástica de 8x8 para

problemas em 2D e de 24x24 para problemas em 3D.

Da Equação 3.31, a variável kxd para cada elemento pode ser expressa como

mostra a Equação 3.46. Substituindo (3.46) em (3.32), a Equação 3.47 é obtida.

)( 111 ++− +−= kkTkx µBλSHd (3.46)

111 +−+ −= kTk uQBWλ (3.47)

Substituindo a Equação 3.47 em 3.46 e para módulo elástico-plástico epD

expresso pela Equação 3.44 a Equação 3.48 é obtida. Substituindo a Equação 3.48

na Equação 3.33, para epK expresso pela Equação 3.45 e para kekαdvu =+1 a

Equação 3.49 é obtida.

1+−= kTepkx uBDd (3.48)

eee bvK = (3.49)

A partir da matriz de rigidez elástico-plástica eK de cada elemento (Equação

3.49), a matriz de rigidez elástico-plástico K para todo o sistema é montada. Esta

montagem é similar à montagem de matriz de rigidez global da análise

convencional por Elementos Finitos. Uma vez montada a matriz K e sendo b

vetor dos carregamentos nodais montado também a partir dos carregamentos de

cada elemento, a Equação 3.49 é escrita para todo o sistema como indicado em

Equação 3.50.

bKv = (3.50)

A Equação 3.50 é similar à Equação 3.38 e pode ser resolvida por algum

dos métodos discutidos na seção 3.2.9. Determinado o vetor v as variáveis kdα e

1+ku são determinadas como expressas pelas equações 3.51 e 3.52.

67

1).( −= vbd kα (3.51)

vu kk dα=+1 (3.52)

Sendo o vetor 1+ku um vetor global para todo o sistema, este vetor é

decomposto facilmente para cada um dos elementos e logo os vetores kxd e 1+kλ

para cada elemento são calculados pelas Equações 3.48 e 3.47. Este mesmo

processo também é seguido para resolver as Equações de 3.31 a 3.34, mas

considerando o ângulo de deflexão θ . Uma abordagem completa pode ser

encontrada em Borges (1991) e Zouain e outros (993).

Esta forma de manipulação para resolver o sistema de Equações (3.31-3.34)

é mais eficiente que o primeiro porque faz um melhor uso da memória do

computador e os cálculos como a inversa da matriz, o produto de matrizes e o

produto de matrizes por vetores são feitos no nível de cada elemento e não para

todo o sistema.

3.2.8.3. Solução direta sem manipulação - proposta

Como uma alternativa às duas formas anteriores de resolver o sistema de

Equações (3.31-3.34), neste trabalho propõe-se resolver diretamente este sistema

de equações como mostra a Equação 3.53.

O sistema de Equações (3.18-3.21) ou (3.31-3.34) considerando o ângulo de

deflexão θ pode ser resolvido também como indicado na Equação 3.54.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−− +

+

10

1

1

000

µλd

b00b00B

00GS0BSH

k

k

k

kx

t

tt

dα

(3.53)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−− +

+

10

1

1

0e

0

µλd

b00b00B

00GS0BSH

θ

αk

k

k

kx

t

tt

d

(3.54)

68

Esta forma de resolver os sistemas de Equações (3.31-3.34) tem vantagens e

desvantagens. A vantagem é que não é necessário realizar nenhum tipo de cálculo

ou manipulação prévia à solução do sistema. A desvantagem é que o sistema de

equações a ser resolvido é de ordem de )1( +++ pmn , onde ( n +1) é o número

de variáveis, m é o número de restrições não lineares de desigualdade e p é o

número de restrições lineares de igualdade; isso indicaria que é necessário realizar

mais esforço computacional em termos de FLOPS (FLoating-point OPerationS) e

também uso de mais recursos do computador como a memória para armazenar a

matriz de coeficientes.

Sendo a matriz dos coeficientes uma matriz esparsa, as desvantagens

indicadas no parágrafo anterior como número de FLOPS e requerimento de mais

memória para armazenar a matriz de coeficientes são resolvidas neste trabalho

mediante o uso de uma técnica de tratamento de matrizes esparsas como vetores,

como discutido na seção 3.3.1.

3.2.8.4. Teste de Desempenho das Manipulações

Neste trabalho, as três formas de manipular e resolver o sistema de

Equações (3.31-3.34) foram implementadas e testadas. A eficiência das formas de

manipular e resolver os sistemas de equações é medida em termos de quantidade

de memória requerida e de tempo empregado na manipulação e solução do

sistema.

Os testes foram feitos utilizando cada uma das manipulações para o

problema apresentado na Figura 3.1 com malhas apresentadas na Figura 3.2. Nos

testes, para facilitar a identificação de cada método, a manipulação matricial

global é simplesmente denominada como “Matriz”, a manipulação matricial por

elementos é denominada como “Elementos” e a solução direta sem manipulação é

denominada como “Direta”.

a) Teste de manipulação matricial global

A Tabela 3.5 apresenta os resultados dos testes realizados com a

implementação mediante a manipulação matricial global. Nas Figuras 3.12 e 3.13

estes resultados são apresentados graficamente para uma melhor interpretação.

69

Como se pode verificar nas Figuras 3.12 e 3.13 tanto a quantidade de

memória requerida como o tempo empregado para resolver o sistema cresce

exponencialmente neste método. Devido ao fato de que estes valores têm um

crescimento exponencial os testes somente foram feitos para malhas de 28, 64 e

126 elementos.

Da Figura 3.13 pode-se observar também que entre 80 a 90 % de tempo

total é empregado na manipulação do sistema e de 10 a 20 % de tempo é

empregado na solução do sistema resultante.

Mem.Elem. Nós n m p m+p (MB) Manip. Resolv. total

28 40 85 28 56 84 0.54 0.125 0.015 0.14064 81 193 64 128 192 1.50 0.750 0.250 1.000126 150 379 126 252 378 47.00 6.844 1.172 8.016225 256 676 225 450 675360 399 1081 360 720 1080500 546 1501 500 1000 1500750 806 2251 750 1500 2250

Matriz

Tempo(seg)MalhaManipulação Problema

Tabela 3.5 – Teste da manipulação matricial global.

Uso da Memória

05

101520253035404550

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Matriz

Mem

ória

(MB

)

Figura 3.12 – Memória requerida pela manipulação matricial global.

70

Desempenho

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Manip.

Resolv.

Total

Tem

po(s

eg)

Figura 3.13 – Tempo empregado na manipulação e solução do sistema.

b) Teste de manipulação matricial por elementos

A Tabela 3.6 apresenta os resultados dos testes realizados com a

implementação mediante a manipulação matricial por elementos. Nas Figuras 3.14

e 3.15 estes resultados são apresentados graficamente para uma melhor

interpretação.

Como se pode observar nas Figuras 3.14 e 3.15, esta forma de resolver o

sistema de equações tem um melhor desempenho que a técnica anterior.

A Figura 3.14 mostra que o uso de memória tem um crescimento

exponencial suave, mas a Figura 3.15 mostra um crescimento exponencial em

relação ao tempo requerido para resolver o sistema.

A Figura 3.15 mostra também que 90 % do tempo é empregado na

manipulação, sendo o restante do tempo empregado na solução do sistema

resultante.

Mem.Elem. Nós n m p m+p (MB) Manip. Resolv. total

28 40 85 28 56 84 0.45 0.000 0.015 0.01564 81 193 64 128 192 0.81 0.078 0.031 0.109

126 150 379 126 252 378 2.00 0.547 0.140 0.687225 256 676 225 450 675 7.00 3.044 0.438 3.482360 399 1081 360 720 1080 16.00 13.828 1.125 14.953500 546 1501 500 1000 1500 29.00 50.281 4.812 55.093750 806 2251 750 1500 2250

Elementos

Tempo(seg)MalhaManipulação Problema

Tabela 3.6 – Teste da manipulação matricial por elementos.

71

Uso da Memória

0

5

10

15

20

25

30

35

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Elementos

Mem

ória

(MB

)

Figura 3.14 – Memória requerida para a solução do sistema.

Desempenho

0

10

20

30

40

50

60

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Manip.

Resolv.

Total

Tem

po(s

eg)

Figura 3.15 - Tempo empregado na manipulação e solução do sistema.

c) Teste de solução direta sem manipulação - proposta

Os resultados dos testes realizados com esta forma de resolver os sistemas

de equações são apresentados na Tabela 3.7 e nas Figuras 3.16 e 3.17 estes

resultados são apresentados graficamente.

Como esta forma de resolver o sistema de equações não tem manipulação, a

coluna Manip da Tabela 3.7 tem todos os valores iguais a zero, sendo portanto o

tempo total igual ao tempo empregado pelo resolvedor.

72

A Figura 3.16 indica que o requerimento de memória tem um crescimento

linear com o número de elementos da malha. A Figura 3.17 mostra que o

desempenho em termos de tempo requerido para resolver o sistema tem uma

tendência quase linear com pequenas oscilações.

Estes resultados indicam que esta técnica tem muito melhor desempenho,

tanto em relação ao uso da memória quanto em relação ao tempo requerido para

resolver o sistema.

Mem.Elem. Nós n m p m+p (MB) Manip. Resolv. total

28 40 85 28 56 84 0.45 0 0.0930 0.09364 81 193 64 128 192 0.60 0 0.1250 0.125

126 150 379 126 252 378 0.90 0 0.2340 0.234225 256 676 225 450 675 1.40 0 0.3750 0.375360 399 1081 360 720 1080 2.00 0 0.6870 0.687500 546 1501 500 1000 1500 2.70 0 0.9370 0.937750 806 2251 750 1500 2250 4.00 0 1.5620 1.562

Direta

Tempo(seg)Malha ProblemaManipulação

Tabela 3.7 – Teste da solução direta sem manipulação.

Uso da Memória

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Direta

Mem

ória

(MB

)

Figura 3.16 - Memória requerida para a solução do sistema.

73

Desempenho

0.0

0.2

0.40.6

0.8

1.0

1.21.4

1.6

1.8

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Manip.

Resolv.

Total

Tem

po(s

eg)

Figura 3.17 – Tempo empregado na solução do sistema.

d) Comparação das técnicas de solução

Nesta seção apresenta-se uma comparação dos testes realizados com as três

técnicas implementadas para resolver sistemas de equações. A Tabela 3.8

apresenta um resumo dos testes realizados com cada uma das técnicas e as Figuras

3.18 e 3.19 apresentam as comparações do desempenho em termos de uso da

memória e de tempo total requerido para manipular e resolver o sistema de

equações.

A Figura 3.18 mostra que a solução direta proposta neste trabalho é muito

mais eficiente em relação ao uso da memória do computador. A Figura 3.19

mostra também que a solução direta proposta neste trabalho é muito mais eficiente

em comparação às duas técnicas encontradas na literatura pesquisada. O resultado

mais importante mostrado pela Figura 3.19 é que o desempenho (em tempo) com

a solução direta proposta, cresce quase linearmente com o refinamento da malha,

este fato influencia diretamente no desempenho do otimizador implementado.

74

Mem.Elem. Nós n m p m+p (MB) Manip. Resolv. total

28 40 85 28 56 84 0.54 0.125 0.015 0.14064 81 193 64 128 192 1.5 0.750 0.250 1.000126 150 379 126 252 378 47.00 6.844 1.172 8.016225 256 676 225 450 675360 399 1081 360 720 1080500 546 1501 500 1000 1500750 806 2251 750 1500 225028 40 85 28 56 84 0.45 0.000 0.015 0.01564 81 193 64 128 192 0.81 0.078 0.031 0.109126 150 379 126 252 378 2.00 0.547 0.140 0.687225 256 676 225 450 675 7.00 3.044 0.438 3.482360 399 1081 360 720 1080 16.00 13.828 1.125 14.953500 546 1501 500 1000 1500 29.00 50.281 4.812 55.093750 806 2251 750 1500 225028 40 85 28 56 84 0.45 0 0.093 0.09364 81 193 64 128 192 0.60 0 0.125 0.125126 150 379 126 252 378 0.90 0 0.234 0.234225 256 676 225 450 675 1.40 0 0.375 0.375360 399 1081 360 720 1080 2.00 0 0.687 0.687500 546 1501 500 1000 1500 2.70 0 0.937 0.937750 806 2251 750 1500 2250 4.00 0 1.562 1.562

Elementos

Direta

Matriz

Tempo(seg)MalhaManipulação Problema

Tabela 3.8 – Comparação de resultados com as três técnicas de solução.

Uso da Memória

05

101520253035404550

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Matriz

Elementos

Direta

Mem

ória

(MB

)

Figura 3.18 – Memória usada pelas técnicas.

75

Desempenho

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Matriz

Elementos

Direta

Tem

po(s

eg)

Figura 3.19 – Tempo empregado pelas técnicas.

3.2.9. Resolvedores Implementados

A eficiência do otimizador implementado depende muito da solução

eficiente de sistema de equações lineares, por isso neste trabalho foram

implementados e testados diferentes algoritmos diretos e indiretos que permitem

resolver sistemas lineares da forma bAx = .

Os primeiros testes do otimizador implementado foram feitos para resolver

problemas pequenos com malha de 8 e 25 elementos usando o algoritmo de Gauss

Jordan (GJ) (Hoffman, 1992 e Tsao, 1989). Nos testes para aplicações com

malhas refinadas, o otimizador implementado usando Gauss-Jordan mostrou-se

ineficiente, por isso, foram implementados e testados outros métodos de solução

de sistemas lineares.

Entre os métodos diretos, o algoritmo de fatoração tLL. de Cholesky (Ames,

2000 e Alkire, 2002) e fatoração LU de Doolittle (Gómez e Burguest, 2004)

foram implementados e testados. Entre os métodos indiretos o método Quase

Newton BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) QN-BFGS (Bathe, 1996) e o

método dos Gradientes Conjugados (CG) (Sandoval, 2006), foram implementados

e testados também.

Uma das vantagens dos métodos indiretos é que são adequados para aplicar

técnicas como tratamento da matriz esparsa e pré-condicionadores. Por isso,

76

foram implementados também o algoritmo dos Gradientes Conjugados com

tratamento da matriz esparsa (CSR-CG) e o método Quase Newton BFGS com

tratamento da matriz esparsa (CSR-QN-BFGS).

Dos testes realizados com os métodos implementados, o método dos

Gradientes Conjugados com tratamento da matriz esparsa apresentou melhor

desempenho, portanto neste trabalho somente é descrito o algoritmo dos

Gradientes Conjugados. Os métodos diretos e o método BFGS foram

implementados com base nas referências indicadas e pelo fato desses métodos

serem amplamente conhecidos e difundidos na literatura, eles não foram

apresentados no presente trabalho.

3.2.9.1. Método dos gradientes conjugados (CG)

O método dos Gradientes Conjugados, introduzido pela primeira vez por

(Hestenes e Stifel, 1952), é uma técnica de otimização e tornou-se um dos mais

populares métodos para a solução de sistemas lineares da forma bAx = , onde o

problema é resolvido como um problema de minimização de uma função objetiva

quadrática )(xf (Equação 3.55). A condição de primeira ordem para o mínimo de

uma função )(xf impõe que o gradiente da função objetivo bAxxf −=∇ )( seja

igual a zero, como mostra a Equação (3.56). Este método minimiza a função

)(xf , onde o valor de x que minimiza a função é a solução do sistema bAx = .

xbAxxxf tt −=21)( (3.55)

0)( =−=∇ bAxxf (3.56)

O algoritmo de Gradiente Conjugado pré-condicionado (Figura 3.20),

implementado no presente trabalho é a apresentado no trabalho de Sandoval em

2006 (Sandoval, 2006), onde M é a matriz pré-condicionadora.

77

Figura 3.20 – Algoritmo de Gradiente Conjugado pré-condicionado (Sandoval, 2006).

78

3.2.9.2. Teste de desempenho de resolvedores implementados

Os testes de eficiência dos métodos implementados foram feitos para os

problemas mostrados pela Figura 3.21. Na Tabela 3.9 são apresentados os

resultados dos testes dos métodos com melhor desempenho. Estes resultados são

mostrados graficamente na Figura 3.22. Da Tabela 3.9 pode-se observar que o

método Quase Newton BFGS mostra-se ineficiente. Por isso não foram realizados

mais testes e não foram apresentados resultados com esse algoritmo na Figura

3.22.

(b)

(d)

(f)

(a)

(c)

(e)

(b)

(d)

(f)

(b)

(d)

(f)

(a)

(c)

(e)

(a)

(c)

(e) Figura 3.21 – Malhas: (a) 8, (b) 25, (c) 64, (d) 150, (e) 400 e (f) 676 elementos.

79

A Figura 3.22 mostra que o método baseado na decomposição LU tem um

melhor desempenho para sistemas com número de variáveis N menores que 2400

(aproximadamente), mas para N maiores que 2400 o método de eliminação de

Gauss-Jordan (GJ) tem melhor eficiência.

Técnica de tratamento de matriz esparsa foi aplicada aos métodos indiretos,

para o qual o método de Gradiente Conjugado (CG) apresenta um ganho de

eficiência como discutido na seção 3.3.1. Pré-condicionadores também foram

implementados e aplicados no método de Gradiente Conjugado para melhorar a

eficiência como descrito na seção 3.3.2.

Malha N GJ LU QN_BFGS CG

a 47 0.000 0.000 0.0 0.0b 151 0.063 0.032 1.0 0.0c 385 0.829 0.547 5.0 5.0d 901 10.219 9.656 55.0 9.0e 2381 284.672 185.984 994.0f 6460 4854.000 6492.000 5958.0

Tempo (seg)

Tabela 3.9 – Comparação do desempenho dos métodos implementados.

Desempenho dos Métodos

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

N (No de variaveis do sistema)

GJ

LU

CG

T(seg)

Figura 3.22 – Comparação do desempenho dos métodos implementados.

80

3.2.10. Resolvedor SAMG Testado

Na procura por encontrar um método eficiente para resolver os sistemas

lineares na implementação do otimizador, neste trabalho tentou-se usar o

resolvedor comercial SAMG(Algebraic Multigrid Methods for System)

desenvolvido pelo Institute of Algorithms and Scientific Computation (Klaus &

Tonja, 2005). Este programa usa o Método Multigrid para resolver sistema

lineares.

A tentativa de resolver o problema expresso pelas Equações 3.53 e 3.54

usando este programa não foi bem sucedida.

3.3. Melhora do desempenho

Como o desempenho do otimizador implementado depende do desempenho

dos algoritmos que servem para resolver o sistema de equações lineares, neste

trabalho foram pesquisadas, implementadas e testadas técnicas como tratamento

da matriz esparsa e uso de pré-condicionadores. Estas técnicas são descritas a

seguir.

3.3.1. Tratamento de Matriz Esparsa

Uma matriz esparsa é aquela que apresenta muitos elementos iguais a zero,

e elementos diferentes de zero podem ser armazenados em uma estrutura de dados

especial ou em vetores (Tsal, 1998).

Existem várias técnicas ou formatos para tratamento de uma matriz esparsa

com vetores, neste trabalho usou-se o formato CSR (Compressed Sparse Row)

para armazenar a matriz de coeficientes em vetores.

3.3.1.1. Formato CSR(Compressed Sparse Row)

Neste formato, uma matriz esparsa é representada por 3 vetores como é

mostrado na Figura 3.23a (SMAILBEGOVIC et all, 2006), onde AN é um vetor

com os valores diferentes de zero da matriz A , AJ é um vetor com os índices das

81

colunas da matriz A e AI são os limites dos índices de colunas do vetor AN

para cada fila de A .

Neste trabalho, a matriz de coeficientes das Equações (3.53) e (3.54) são

armazenados em vetores no formato CSR. A escolha de este formato foi porque é

adequado para realizar o produto de uma matriz por um vetor e sua

implementação é simples demais como mostrado pelo código na Figura 3.23b.

Figura 3.23a – Armazenamento da matriz esparsa (SMAILBEGOVIC et all, 2006).

Figura 3.23b – Produto de uma matriz esparsa A por um vetor d .

3.3.1.2. Teste de desempenho de CG com tratamento da matriz esparsa

A Tabela 3.10 apresenta os resultados dos testes feitos com os métodos de

Gradiente conjugado CG e o método Quase-Newton BFGS com tratamento da

matriz esparsa pelo formato CSR. Observa-se que com o método Quase Newton

BFGS obteve-se uma melhora na eficiência de 50% aproximadamente e com o

método de Gradiente Conjugado CG a melhora de eficiência foi ainda maior.

Na Figura 3.24 são apresentados graficamente os resultados dos testes, onde

se pode visualizar o ganho obtido pelo método de Gradiente Conjugado com

tratamento da matriz esparsa CSR-CG. É de se esperar que este ganho influencie

diretamente na eficiência do otimizador implementado.

82

Malha N GJ LU QN_BFGS CSR+QN_BFGS CG CSR_CG

a 47 0.000 0.000 0.0 0.00 0.0 0.000b 151 0.063 0.032 1.0 0.00 0.0 0.000c 385 0.829 0.547 5.0 3.00 5.0 0.600d 901 10.219 9.656 55.0 27.00 9.0 1.400e 2381 284.672 185.984 994.0 12.000f 6460 4854.000 6492.000 5958.0 359.000

Tempo (seg)

Tabela 3.10 – Desempenho dos métodos com o tratamento da matriz esparsa.

Desempenho de CG com CSR

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

N (No de variaveis do sistema)

GJ

LU

CG

CSR_CG

T(seg)

Figura 3.24 – Desempenho do método CG com tratamento da matriz esparsa CSR.

3.3.2. Precondicionamento

A idéia do precondicionamento é transformar um sistema linear bAx = em

outro equivalente com condições espectrais mais favoráveis, onde o número de

iterações requeridas para a convergência é reduzido (Cervantes & Mejía, 2004).

Pré-condicionadores são técnicas utilizadas para acelerar a convergência da

solução de sistemas lineares (Equação 3.57) pelo método de Gradiente Conjugado

(CG) e, portanto aumenta o desempenho deste método em termos de tempo.

bAx = (3.57)

83

Neste trabalho foram implementados e testados três pré-condicionadores

encontrados na literatura e o uso de pré-condicionadores mistos proposto neste

trabalho.

Os pré-condicionadores implementados e testados são Escala Diagonal(DS)

(Pini e Gambolati, 1990), Escala Simétrica (SS) (Jennings e Malik, 1978) e

Fatoração Incompleta de Cholesky (ICF) (Meijerink e Van der Vorst, 1977). Os

seguintes pré-condicionadores mistos são propostos neste trabalho DS+SS e

ICF+SS. É importante mencionar que os pré-condicionadores mistos não

aparecem na literatura e foi uma tentativa deste trabalho de encontrar um pré-

condicionador eficiente.

Campos (1999) indica que, “o precondicionamento implica em alterar a

matriz de coeficientes do sistema, fazendo com que os autovalores desta matriz

sejam mais próximos e, logo, o sistema mais estável, reduzindo o número de

iterações necessárias para a solução do mesmo.

3.3.2.1. Escala Diagonal (DS)

A escala diagonal é um pré-condicionador muito simples, fácil de ser obtido

e implementado. A matriz pré-condicionadora M apresentada no algoritmo da

Figura 3.20 é uma matriz diagonal cujos elementos são formados pela diagonal da

matriz de coeficientes, como mostrado na Equação 3.58 (Pini e Gambolati, 1990).

)(AdiagM = (3.58)

3.3.2.2. Escala Simétrica (SS)

Este pré-condicionador foi apresentado por Jennings e Malik (1978) e

consiste em escalonar o sistema linear apresentado pela Equação 3.57 como

mostra a Equação 3.59. A matriz pré-condicionadora D é uma matriz diagonal

cujos elementos são obtidos como indicado na Equação 3.60.

DbxDADD =−1 (3.59)

84

5.0)( −= iiii ad (3.60)

Da Equação 3.59 para DADB = , xDy 1−= e Dbc = a Equação 3.52 é

transformada para a Equação 3.61. A Equação 3.61 é resolvida pelo método do

Gradiente Conjugado (Figura 3.20) com a matriz IM = .

cBy = (3.61)

Conhecido o vetor y , o vetor x é facilmente determinado pela relação

Dyx = .

3.3.2.3. Fatoração Incompleta de Cholesky (ICF)

A fatoração incompleta de Cholesky foi proposta por Meijerink e Van der

Vorst (1977). Este pré-condicionador basea-se na decomposição de Cholesky para

resolver sistemas lineares (Equação 3.57), onde a matriz de coeficientes A é

decomposta como o indicado na Equação 3.62.

LLA T= (3.62)

onde L é uma matriz triangular inferior. Esta decomposição na sua forma

original, requer do cálculo da raiz quadrada e dos elementos da diagonal, para

evitar esse cálculo, Meijerink e Van der Vorst (1977) apresentam o algoritmo de

Cholesky modificado como mostra a Equação 3.63.

DLLA T= (3.63)

onde D é uma matriz diagonal e as matrizes L e D são obtidas como mostrado

nas expressões:

iiii

i

k kkikjkjiii

LD

NijDLLAL

1

,/)1(

=

=−= ∑ −

(3.64)

85

No processo de decomposição, a matriz A perde o padrão de distribuição de

zeros, ou seja, elementos nulos podem tornar-se não nulos após a decomposição.

Para que a fatoração seja incompleta deve-se manter a mesma distribuição de

zeros da matriz original. Isto é conseguido fazendo-se com que os elementos nulos

na matriz original permaneçam nulos na matriz fatorizada.

Benzi & Tuma em 2001 indicam que uma fatoração incompleta pode falhar

para uma matriz geral de tipo esparsa positiva e definida (SPD) devido à

ocorrência de pivôs não positivos (Benzi & Tuma, 2001).

Na literatura pesquisada encontraram-se trabalhos indicando que o pré-

condicionador ICF tem o melhor desempenho, entre eles Pinheiro (1998), Campos

(1999).

3.3.2.4. Pré-condicionadores mistos - proposto

Neste trabalho propõe-se o uso de pré-condicionadores mistos para melhorar

o desempenho do método do gradiente conjugado na solução de sistemas lineares.

Na tentativa de encontrar um pré-condicionador eficiente para os tipos de

problema a serem resolvidos neste trabalho, foram implementados e testados dois

tipos de pré-condicionadores mistos. A escala diagonal misturada com escala

simétrica (DS+SS) e a escala diagonal misturada com fatoração incompleta de

Cholesky (DS+ICF).

Os pré-condicionadores mistos são fáceis de ser implementados. Para o pré-

condiconador DS+SS, primeiro é aplicado o pré-condicionador SS e logo o DS.

Similarmente para o pré-condicionador DS+ICF, primeiro aplica-se o ICF e logo

o DS.

Para o tipo de problema deste trabalho, o tipo de pré-condicionador que

mostrou o melhor desempenho é o pré-condicionador misto proposto DS+SS

como indicam os resultados dos testes realizados (Figura 3.25).

3.3.2.5. Teste de Desempenho de Pré-condicionadores

A Tabela 3.11 apresenta os resultados obtidos com os pré-condicionadores

implementados. Na Figura 3.25 estes resultados são ilustrados graficamente, onde

86

pode-se observar que o método do gradiente conjugado com pré-condicionador

misto DS+SS teve melhor desempenho para nosso tipo de problema.

Malha N CSR+CG DS+CSR+CG SS+CSR+CG ICF +CSR+CG DS+SS+SCR+CG ICF+SS+SCR+CG

a 47 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000b 151 0.0 0.016 0.016 0.046 0.015 0.047c 385 0.6 0.063 0.063 0.437 0.063 0.375d 901 1.4 0.188 0.109 0.297 0.157 0.281e 2381 12.0 4.781 3.109 1.719 2.172 1.407f 6460 359.0 101.607 104.297 444.734 82.266 409.437

Temp(seg)

Tabela 3.11 – Teste de pré-condicionadores implementados.

Desempenho dos Precondicionadores

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

N (No de variaveis do sistema)

CSR+CG

DS+CSR+CG

SS+CSR+CG

ICF +CSR+CG

DS+SS+SCR+CG

ICF+SS+SCR+CG

T(seg)

Figura 3.25 – Desempenho de CG com os pré-condicionadores implementados.

87

3.4. Teste de desempenho do Otimizador Implementado

Com o objetivo de ter uma idéia comparativa do desempenho do otimizador

implementado, o mesmo problema em 2D da Figura 3.1 com malhas da Figura 3.2

foi analisado usando o otimizador implementado e os resultados são comparados

com os otimizadores Lingo e Minos. Outro problema em 3D com resultados da

análise já conhecidos (obtidos usando o otimizador MINOS 5.5) é analisado e a

solução é obtida com o otimizador implementado.

3.4.1. Teste com problema em 2D

O problema da Figura 3.1 com malhas da Figura 3.2 que com o qual os

programas Lingo e Minos foram testados, foi analisado utilizando o otimizador

implementado.

Os resultados obtidos com o programa Geolima versão 2.0 cujo otimizador

foi implementado neste trabalho são apresentados na Tabela 3.12. Para fim de

comparação, estes resultados são apresentados graficamente nas Figuras 3.26,

3.27, 3.28 e 3.29, onde se observa que o programa Geolima com otimizador

implementado é mais eficiente tanto no uso de memória quanto no tempo de

otimização.

Elem. Nós Mem α iter. t(seg) Mem α iter. t(seg) Mem α iter. t(seg)28 40 0.20 3.76732 93 0 253 3.767329 225 1 0.45 3.766621 23 2.42264 81 0.45 3.58688 245 2 253 3.586883 599 4 0.60 3.584825 24 5.484

126 150 0.88 3.56612 482 13 253 3.566153 1602 6 0.90 3.560147 31 11.92225 256 1.67 3.49650 857 110 253 3.497155 3556 16 1.40 3.492299 39 27.48360 399 2.79 3.47713 1492 775 253 3.478615 6561 72 2.00 3.471841 27 27.97500 546 3.91 3.46887 3524 2305 253 3.470797 10182 202 2.70 3.463164 28 62.67750 806 5.67 0.027280 43 2453 295 3.453981 18067 671 4.00 3.447660 22 92.72

GeolimaMinosMalha Lingo

Tabela 3.12 – Resultados do teste em 2D do otimizador implementado.

88

Uso da Memória

0

50

100

150

200

250

300

350

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elem entos da Malha

Lingo

Minos

Geolima

Mem

ória

(MB)

Figura 3.26 – Comparação de uso da memória pelos otimizadores.

Número de Iterações

02000400060008000

100001200014000160001800020000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Lingo

Minos

GeolimaItera

çõe

s

Figura 3.27 – Comparação de número de iterações.

89

Desempenho

0

500

1000

1500

2000

2500

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Lingo

Minos

Geolima

Tem

po(s

eg)

Figura 3.28 – Comparação do desempenho dos otimizadores.

Fator de Colapso

3.40

3.45

3.50

3.55

3.60

3.65

3.70

3.75

3.80

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Elementos da Malha

Lingo

Minos

Geolima

Fat

or d

e C

olap

so

Figura 3.29 – Variação de fator de colapso.

90

3.4.2. Teste com problema em 3D

Com a finalidade de validar o otimizador implementado, um problema 3D

de frente de escavação de túneis (Figura 3.30) é analisado pelo programa

GEOLIMA 2.0 com seu próprio otimizador implementado. Este problema é

interessante, porque se tem resultados da simulação física do comportamento de

frente de escavação, feitas mediante ensaios de laboratório em modelos 3D em

escala reduzida. A simulação física foi feita no Laboratório da Mitsubishi Heavy

Industries Ltda., Japão (Sterpi et al., 1996). Este problema foi usado também para

validar os resultados da Análise Limite com GEOLIMA 1.0 implementada na

dissertação de mestrado e que usava o otimizador Minos 5.5.

Neste trabalho, a análise deste problema é feita com GEOLIMA 2.0 e os

resultados são comparados com os obtidos com o otimizador MINOS.

A análise foi feita mantendo todas as condições, ou seja para a mesma

geometria (Figura 3.30), a mesma malha (Figura 3.31) (676 elementos com 945

nós), as mesmas condições de contorno, as mesmas propriedades do material

coesão (C=50 kN/m²), ângulo de atrito (φ = 5°) e peso especifico (γ = 19.5

kN/m³); o mesmo critério de escoamento Drucker-Prager (parâmetros de

aproximação do círculo superior); com um carregamento inicial de oγ =1.0 kN/m³

e usando o mesmo computador (Pentium IV com dois processadores de 3.07 GHz

e memória RAM de 1.4 Gb).

O problema a ser resolvido pelo otimizador tem um total de 4057 variáveis,

1727 restrições lineares e 676 restrições não lineares. A ordem do sistema de

equações lineares a ser resolvido em cada iteração é de 6460.

O tempo requerido pelo Minos foi de 16 horas 43 minutos e o fator de

colapso obtido foi de 25.012=α .

O tempo requerido pelo otimizador implementado foi de 17 minutos com 49

seg. e o fator de colapso obtido foi de 24.6685=α . A Figura 3.32 apresenta o

mecanismo de ruptura do problema obtido pela Análise Limite com GEOLIMA

2.0 e é muito similar à obtida com Minos e também à obtida ao modelo físico

(Figura 3.33).

91

Figura 3.30 – Geometria da estrutura a ser analisada.

Figura 3.31 – Malha de elementos finitos (676 elementos e 945 nós).

92

Figura 3.32 – Mecanismo de colapso da estrutura obtido pelo programa GEOLIMA 2.0.

Figura 3.33 – Mecanismo de ruptura obtido a partir de ensaios em modelo físico em

escala reduzida (Sterpi,1996)

4 ANÁLISE DE CONFIABILIDADE COM ANÁLISE LIMITE

A avaliação da segurança das estruturas geotécnicas tem sido sempre um

dos objetivos da Engenharia Geotécnica. A forma convencional de quantificar a

segurança de uma estrutura foi e é feita ainda pela análise determinística, baseado

no conceito de fator de segurança. No entanto, o cálculo de fator de segurança

pela análise determinística pode ser muito conservador, pelo fato de que no seu

cálculo não são levadas em consideração as incertezas das variáveis como

carregamentos e propriedades do material.

Por outra parte, a confiabilidade é uma medida do nível de segurança de

uma estrutura que leva em consideração as incertezas das variáveis envolvidas

considerando-as como variáveis aleatórias.

Para materiais fabricados artificialmente como aço ou concreto é

perfeitamente possível estimar os parâmetros estatísticos de suas propriedades, a

partir de uma base de dados de experiências anteriores. No entanto, para materiais

de origem natural como o solo e rocha, cuja formação obedece a diferentes

processos físicos e químicos em diferentes condições de pressão e temperatura,

não é possível ter uma base de dados confiável, já que em cada lugar as

propriedades do material são completamente diferentes ou aleatórias.

Pelo fato de que as propriedades de solo são obtidas mediante ensaios de

campo ou de laboratório, incertezas de diferentes origens estão presentes nas

propriedades dos materiais assim obtidas o que torna a realização de uma análise

de confiabilidade necessária na análise de estruturas geotécnicas. Por outra parte,

conhecer os parâmetros estatísticos das propriedades dos materiais requer realizar

vários ou muitos ensaios de campo ou de laboratório, o qual inviabiliza o uso da

análise de confiabilidade em estruturas de pequeno porte, pelo custo econômico

que implica realizar estes ensaios. No entanto, para estruturas de grande porte e

importância, onde, uma possível falha ou colapso possa causar grandes perdas

econômicas, de vidas humanas, danos ecológicos e sociais, realizar a análise de

confiabilidade é perfeitamente possível, necessária e viável.

94

A confiabilidade é o complemento da probabilidade de falha e é avaliada,

então, a partir do cálculo da probabilidade de falha. Para problemas com função

de falha linear e dependente de poucas variáveis aleatórias com distribuição

normal, a probabilidade de falha pode ser calculada pelo método de integração

direta, como mostrado no trabalho de mestrado (Carrión, 2004). Mas, na prática, a

função de falha pode não ser linear e as variáveis aleatórias podem não ter uma

distribuição normal, como mostrado por Baecher & Christian em 2003, onde a

partir de dados de laboratório, verifica que o ângulo de atrito φ para alguns tipos

de solo tem uma distribuição Beta (Baecher & Christian, 2003). Sendo assim, são

necessários métodos alternativos que permitam o cálculo de confiabilidade para

uma função de falha qualquer dependente de variáveis aleatórias com distribuição

qualquer.

Para a análise de confiabilidade considerando variáveis aleatórias com

distribuição qualquer, algumas técnicas já foram desenvolvidas, tais como o

método FORM (First Order Reliability Method) e o método SORM (Second

Order Reliability Method) (Melchers, 2002). Estes métodos já foram amplamente

pesquisados, testados em diferentes trabalhos como (Kiureghian, 1994), (Wang e

Grandhi, 1994), (Val et all, 1995), (Imai e Frangopol, 1999), (Lee, 2000), (Pereira,

2007), (Lopes, 2007) e (Almeida, 2008).

O objetivo deste capítulo é descrever os conceitos fundamentais de

confiabilidade, apresentar um resumo dos diferentes métodos de cálculo,

apresentar um resumo do processo de cálculo pelo método FORM usado neste

trabalho e finalmente a Análise de Confiabilidade com a Análise Limite é

ilustrada com dois exemplos de aplicação. Um primeiro exemplo é aplicado para

um problema de talude 2D e o segundo exemplo para um problema de talude

confinado 3D. Para complementar o entendimento deste capítulo, no Apêndice A,

são apresentados os conceitos básicos da estatística.

O método FORM usado no presente trabalho, foi implementado, testado e

aplicado em várias pesquisas do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio,

entre eles (Pereira, 2007), (Lopes, 2007) e (Almeida, 2008). No presente trabalho

usa-se este algoritmo simplesmente como usuário para a função de falha dada pela

Equação 4.4 e a gradiente da função de falha dada pelas equações (4.39-4.42).

95

4.1. Conceitos Fundamentais da Análise de Confiabilidade

Sendo o objetivo do presente trabalho a aplicabilidade prática da

confiabilidade em estruturas geotécnicas, nesta seção são apresentados somente

alguns conceitos de interesse para o presente trabalho.

4.1.1. Incertezas

A incerteza é a falta de conhecimento a priori de forma exata do resultado

de uma medição ou previsão da segurança no caso de uma estrutura. É dizer

aplica-se para prever ou quantificar a influência da não exatidão das medidas

físicas realizadas (como na medição das propriedades dos materiais) e na previsão

de eventos (como a segurança ou falha de uma estrutura). Este termo é utilizado

em um vasto número de campos, como a filosofia, estatística, economia, ciência,

engenharia, etc.

Na engenharia geotécnica, pelo fato que as propriedades de solo são obtidas

mediante ensaios de campo ou de laboratório, as incertezas nas medições podem

ser devido a diferentes fatores como erros humanos, má calibração dos

equipamentos de laboratório, alteração dos estados das amostras, etc. Estas

incertezas impossibilitam que uma estrutura apresente uma segurança absoluta ou

que a medida de algum nível de segurança seja calculada de forma absoluta ou

determinística.

Para levar em conta estas incertezas, as propriedades do material são

consideradas como variáveis aleatórias (ver seção A.1), e a análise de

confiabilidade pode ser realizada para conhecer o nível de segurança da estrutura,

dependente destas variáveis.

4.1.2. Função de Falha

A falha de uma estrutura é um estado que significa que a estrutura atingiu

condições indesejáveis, podendo ocasionar colapso total ou parcial (estado limite

último) ou então, interrupção do seu uso normal (estado limite de serviço). A

96

função matemática que representa este estado é conhecida como a função de falha.

Esta função, é também conhecida na literatura como a função de estado limite, de

performance ou de margem de segurança.

Para um conjunto de variáveis aleatórias iX com ni ,...2,1= expressa pelo

vetor X (Equação 4.1). Pode-se dizer que, a função de falha é uma função

matemática dependente das variáveis aleatórias (Equação 4.2). Esta função, define

a região segura e a região de falha (não segura) de uma estrutura em função das

variáveis aleatórias envolvidas com a estrutura (Figura 4.1)

TnXXX },...,,{ 21=X (4.1)

),...,,()( 21 nXXXFF =X (4.2)

Na Figura 4.1, este conceito é ilustrado graficamente para uma função de

falha )(XF dependente de duas variáveis aleatórias 1X e 2X . Esta função é

construída de tal forma que 0)( <XF representa a região de falha, 0)( >XF

representa a região segura, e 0)( =XF representa a superfície de falha, ou seja

uma superfície de separação entre os estados de falha e de segurança da estrutura.

1X

2X0)( <XF

0)( >XFRegião segura

0)( =XF

Região de falha

1X

2X0)( <XF

0)( >XFRegião segura

0)( =XF

Região de falha

Figura 4.1 – Função de falha.

97

Para a análise de confiabilidade de estruturas geotécnicas, o vetor das

variáveis aleatórias está em função dos parâmetros dos materiais e dos

carregamentos atuantes sobre a estrutura como expresso pela seguinte equação.

T

nmmmCCC },...,,,,...,,,,...,,,,...,,{ 21212121 ωωωγγγϕϕϕ=X (4.3)

onde m é o número de materiais da estrutura, n é o número de carregamentos

atuantes; iC (coesão), iϕ (ângulo de atrito) e iγ (peso específico) são as

propriedades do material para mi ,...,2,1= ; e jω são os carregamentos externos

para nj ,...,2,1= .

A função de falha usada para a Análise de Confiabilidade com a Análise

Limite é expressa pela seguinte equação:

cbwCaF jiii −−= ),(),()( ωγϕαX (4.4)

onde α é o fator de colapso determinado pela Análise Limite que depende dos

parâmetros de resistência iC e iϕ dos materiais, w representa o carregamento

aleatório que pode estar em função de cargas de gravidade iγ ou cargas externas

iω , a é uma constante que representa o carregamento inicial na Análise Limite,

b é um fator constante que multiplica aos carregamentos aleatórios, e c é uma

constante que representa aos carregamentos não aleatórios.

4.1.3. Função Densidade de Probabilidade Conjunta

Quando se trabalha com mais de uma variável aleatória, então, a função

densidade de probabilidade conjunta ),...,,( 21 nxxxp é usada para descrever as

variáveis aleatórias. Assim, a função densidade de probabilidade conjunta das

variáveis aleatórias nXXX ,...,, 21 , deve satisfazer as seguintes condições:

0),...,,( 21 ≥nxxxp (4.5)

98

1...),...,,(... 2121 =∫ ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−nn dxdxdxxxxp (4.6)

nnn

b

a

b

a

b

ann bXabXadxdxdxxxxp

n

n

≤≤≤≤=∫ ∫ ∫ ,...,Pr[...),...,,(... 1112121

1

1

2

2

] (4.7)

onde ],...,,Pr[ 222111 nnn bXabXabXa ≤≤≤≤≤≤ é probabilidade que as

variáveis iX sejam maiores que ia e menores que ib para ni ,...,2,1= ; onde ia e

ib são constantes.

A função densidade de probabilidade conjunta de várias variáveis aleatórias,

fornece uma completa informação de probabilidade sobre a função densidade

probabilidade de quaisquer das variáveis aleatórias. Assim, a função densidade de

probabilidade (PDF) de cada uma das variáveis aleatórias é chamada de função

densidade de probabilidade marginal.

Duas ou mais variáveis aleatórias são estatisticamente independentes

quando a função densidade de probabilidade conjunta é igual ao produto das

funções densidade de probabilidade marginal de cada uma das variáveis aleatórias

(Equação 4.8).

)()...()(),...,,( 2121 nn xpxpxpxxxp = (4.8)

Para o caso de duas variáveis aleatórias a função densidade de probabilidade

conjunta e as funções densidade de probabilidade marginal são ilustradas na

Figura 4.2 (Melchers, 2002).

99

1x

2x

),( 21 xxp

0=F

0<F0>F

)( 2xp

)( 1xp

),( 21 xxp

1X

2X

1x

2x

),( 21 xxp

0=F

0<F0>F

)( 2xp

)( 1xp

),( 21 xxp

1X

2X

Figura 4.2 – Função densidade de probabilidade conjunta (Melchers, 2002).

4.1.4. Probabilidade de Falha

De uma forma geral pode-se dizer que a probabilidade de falha é uma

integral n-dimensional da função densidade probabilidade conjunta, como

expressa pela seguinte equação:

∫∫∫∫<

=0

2121 ...),...,,(...F

nnf dxdxdxxxxpP (4.9)

onde ),...,,( 21 nxxxp é a função densidade de probabilidade conjunta da variável

aleatória X e 0<F representa a região de falha.

100

Quando os parâmetros estatísticos ou a função densidade de probabilidade

da função de falha são conhecidos ou podem ser determinados, a probabilidade de

falha é como ilustrada pela Figura 4.3, e calculada pela Equação 4.10.

f

)( fpF

F

fPÁrea =

f

)( fpF

F

fPÁrea = fPÁrea =

Figura 4.3 – Probabilidade de falha.

∫∞−

=0

)( dffpPf (4.10)

onde fP é a probabilidade de falha e )( fp é a função densidade de probabilidade

da função de falha F .

A probabilidade de falha também pode ser avaliada a partir do cálculo do

índice de confiabilidade β (Seção 4.1.6). Desde logo, existem métodos que

avaliam a probabilidade de falha em função de índice do confiabilidade, como

mostra a Seção (4.2).

4.1.5. Confiabilidade

A confiabilidade é uma metodologia científica aplicada para conhecer a

estimativa da segurança associada a uma estrutura, de forma a assegurar que esta

cumpra sua função sem falhar durante sua vida útil. Esta metodologia, leva em

101

consideração as incertezas associadas às variáveis envolvidas com a estrutura,

considerando estas como variáveis aleatórias. Portanto, a confiabilidade é a

probabilidade de uma estrutura desempenhar sua função, sem falhar por um

determinado período de tempo e dentro das condições de uso especificado. Deve-

se ter em conta que, para uma estrutura operar com um nível especificado (alvo)

de confiabilidade, é necessário que ele tenha sido adequadamente projetada,

construída e operada.

Matematicamente, a confiabilidade de uma estrutura é definida como o

complemento da probabilidade de falha, como expressa pela seguinte equação:

fPC −= 1 (4.11)

onde C é a confiabilidade e fP é a probabilidade de falha (seção 4.1.4).

Da Equação 4.11, pode-se observar que o cálculo de confiabilidade depende

diretamente do cálculo da probabilidade de falha (Seção 4.1.4). Pelo que, o

cálculo de probabilidade de falha torna-se fundamental no cálculo de

confiabilidade.

4.1.6. Índice de Confiabilidade

Pelas dificuldades apresentadas no cálculo de probabilidade de falha pela

integração n-dimensional (Equação 4.9), alguns métodos fazem o cálculo de

probabilidade de falha a partir da avaliação de índice de confiabilidade. O índice

de confiabilidade é definido como a relação entre o valor esperado e o desvio

padrão da função de falha (Equação 4.12). Esta relação, é definida apenas para

funções de falha lineares e para variáveis com distribuição normal e não considera

outro tipo de distribuição, pelo que métodos que calculam a probabilidade de falha

a partir de índice de confiabilidade considerando outros tipos de distribuições,

precisam transformar para uma distribuição normal equivalente (seção 4.1.8).

102

))(()(XFVar

FE ><=

Xβ (4.12)

onde, β é o índice de confiabilidade, >< )(XFE é o valor esperado da função

de falha e ))(( XFVar é a variância da função de falha.

A interpretação gráfica do índice de confiabilidade β é apresentada na

Figura 4.4, onde se observa que este índice é um fator que multiplicado ao desvio

padrão, mede a distancia entre a origem e o valor médio da função de falha.

Fβσ

)0( >Fseguro)0( <Ffalha

F f

)( fpF

o

AreaPf =

Fβσ

)0( >Fseguro)0( <Ffalha

F f

)( fpF

o

AreaPf = AreaPf =

Figura 4.4 – Função densidade de probabilidade.

Da Figura 4.4, pode-se observar também que existe uma relação entre a

probabilidade de falha fP e o índice de confiabilidade β . Esta relação é

apresentada na Tabela 4.1, onde, podem-se observar os valores de probabilidade

de falha para diferentes valores de índice de confiabilidade.

Em métodos baseados no índice de confiabilidade, a probabilidade de falha

pode ser estimada a partir da Tabela 4.9, ou então, pode ser calculada como

expressa pela seguinte equação.

)( β−Φ=fP (4.13)

onde, Φ é função cumulativa normal padrão (Equação 4.16).

103

β Pf

5.200 1.00E-074.750 1.00E-064.270 1.00E-053.720 1.00E-043.090 1.00E-032.320 1.00E-021.280 1.00E-010.841 2.00E-010.524 3.00E-010.253 4.00E-010.000 5.00E-01-0.254 6.00E-01-0.525 7.00E-01-0.842 8.00E-01-1.286 9.00E-01-1.645 9.50E-01-2.327 9.90E-01

Tabela 4.1 – Índice de confiabilidade e probabilidade de falha.

4.1.7. Espaço Reduzido

Espaço reduzido é um espaço onde as variáveis aleatórias com média

diferente de zero )0( ≠X e desvio padrão diferente de um ( )1≠Xσ , são

transformados para um espaço equivalente onde a média é igual a zero )0( =Y e

o desvio padrão é igual a um )1( =Yσ . Esta transformação é feita pela seguinte

equação.

X

XXYσ−

= (4.14)

onde Y é a variável aleatória no espaço reduzido e X é a variável aleatória no

espaço original com média X e desvio padrão Xσ .

A Figuras 4.5, mostra a transformação de uma variável aleatória normal de

espaço original ( 0≠X e 1≠Xσ ) para espaço reduzido ( 0=Y e 1=Yσ ). A

distribuição normal no espaço reduzido é conhecida como distribuição normal

104

padrão, onde, sua função densidade de probabilidade e sua função distribuição de

probabilidade são dadas pelas equações que seguem:

2

2

21)(

y

ey−

=π

φ (4.15)

dzeyy z

∫∞−

−=Φ 2

2

21)(π

(4.16)

A Figura 4.6, ilustra a transformação de duas variáveis aleatórias com

distribuição quaisquer ( 0≠X e 1≠Xσ ) para o espaço reduzido com

distribuição normal padrão ( 0=Y e 1=Yσ ).

)(xp

xX

baX

x ==

σ

0Espaço original

)(yp

y0=Y

10==

y

Yσ

Espaço reduzido (normal padrão)

)(xTy =

)(xp

xX

baX

x ==

σ

0Espaço original

)(yp

y0=Y

10==

y

Yσ

Espaço reduzido (normal padrão)

)(xTy = )(xTy =

Figura 4.5 – Espaço original e espaço reduzido para uma variável.

105

1x

2x

Espaço original

1y

2y

Espaço reduzido (normal padrão)

)(xy T=

1x

2x

Espaço original

1y

2y

Espaço reduzido (normal padrão)

)(xy T= )(xy T=

Figura 4.6 – Espaço original e reduzido para duas variáveis.

4.1.8. Distribuição Normal Equivalente

Uma variável aleatória X com distribuição diferente da normal, pode ser

transformada para uma distribuição normal equivalente no ponto de pesquisa *x

como é ilustrada pelas Figuras 4.7 e 4.8.

*x x

)(xp

normalPDF

)( *xpXdePDF

*x x

)(xp

normalPDF

)( *xpXdePDF

Figura 4.7 – Funções densidade de probabilidade PDF.

106

*x x

)(xP

0.1normalCDF

XdeCDF)( *xP

*x x

)(xP

0.1normalCDF

XdeCDF)( *xP

Figura 4.8 – Funções distribuição de probabilidade CDF.

Obter uma distribuição normal equivalente implica obter a média e o desvio

padrão desta distribuição. Estas grandezas, são calculadas igualando-se as funções

densidade de probabilidade PDF e de distribuição CDF da distribuição real de X

e da distribuição normal equivalente no ponto de pesquisa *x , como expressa

pelas seguintes equações.

)(1 **

xpx

Nx

Nx

Nx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −σµ

φσ

(4.17)

)( **

xPx

Nx

Nx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ

σµ

(4.18)

onde, (.)φ e (.)Φ correspondem às funções PDF e CDF da distribuição normal

padrão respectivamente, (.)p e (.)P correspondem, respectivamente, às funções

PDF e CDF da distribuição não normal da variável X e Nxσ e N

xµ são,

respectivamente, a média e desvio padrão da normal equivalente no ponto *x .

As variáveis Nxσ e N

xµ , são calculadas através da resolução das Equações

4.17 e 4.18 e são expressas como:

[ ]{ }

)()(

*

*1

xpxPN

x

−Φ=φσ (4.19)

107

[ ])( *1* xPx Nx

Nx

−Φ−= σµ (4.20)

onde, (.)1−Φ corresponde a inversa da distribuição cumulativa normal padrão.

4.2. Métodos de Cálculo

Segundo a Equação 4.13, a confiabilidade é avaliada a partir do cálculo da

probabilidade de falha. Para o cálculo da probabilidade de falha existem diferentes

métodos desenvolvidos que a seguir são descritos brevemente.

Para os casos onde é conhecida a função densidade de probabilidade

conjunta(seção 4.1.3) ou a função densidade de probabilidade marginal de cada

variável aleatória (variáveis estatisticamente independentes), a probabilidade de

falha pode ser determinada pela avaliação da integral n -dimensional (Equação

4.9). Este método é conhecido como método de integração direta e pode ser

aplicado para problemas com poucas variáveis aleatórias e com a mesma

distribuição.

Sagrilo em 2003, indica que a avaliação da Equação 4.9, não é muito

simples, uma vez que ela envolve a avaliação de uma integral n -dimensional num

domínio complexo, onde n é o número de variáveis aleatórias. Mesmo com

desenvolvimento de técnicas modernas de integração numérica e com

computadores cada vez mais eficientes, na prática, a avaliação da Equação 4.9 por

integração, tem se restringido a variáveis com 5 ou 6 variáveis aleatórias no

máximo(Sagrilo, 2003).

Método de Montecarlo, é um método de simulação que também pode ser

usado para o cálculo da probabilidade de falha, como mostrado na dissertação de

mestrado (Carrion, 2004). A característica fundamental deste método é a geração

de dados amostrais para as variáveis aleatórias num experimento computacional.

Conjuntos de valores aleatórios são gerados para as variáveis aleatórias e a

resposta da estrutura é então avaliada para cada um dos dados aleatórios gerados.

O grande inconveniente deste método é a grande quantidade de avaliação da

resposta da estrutura, o que torna este método computacionalmente caro, quando a

108

avaliação da resposta da estrutura, tem custo computacional alto, como é o caso da

Análise Limite Numérica pelo MEF.

A probabilidade de falha também pode ser avaliada pelo método Estatístico

Linear como mostrado na dissertação de mestrado (Carrión, 2004). Este método

baseia-se simplesmente na média, desvio padrão e coeficiente de correlação das

variáveis aleatórias, onde os parâmetros estatísticos da função de falha (Equações

4.22 e 4.23) são aproximados a partir da aproximação da função de falha pela

serie de Taylor de primeira ordem (Equação 4.21).

...)()()(1

+−∂∂

+= ∑=

n

iii

i

XXXFXFXF (4.21)

)()( XFXFEF >≈<= (4.22)

TXF XXFVar )(.).()(2 FSF ∇∇≈=σ (4.23)

onde, F e Fσ são a média e o desvio padrão da função de falha )(XF , )(XF∇

é a gradiente da função de falha avaliado na média e XS é a matriz covariância

das variáveis aleatórias (Equação A.14).

Calculado os parâmetros estatísticos da função de falha, neste método, a

probabilidade de falha é determinada pela Equação 4.12.

Método MVFOSM (Mean Value First Order Second Moment). Este

método também é baseado na aproximação de primeira ordem por série de Taylor

da função de falha na media das variáveis aleatórias (Equação 4.21) (Cornell,

1969). É dizer, os parâmetros estatísticos são calculados do mesmo modo que para

o método Estatístico Linear, mas a probabilidade de falha é calculada a partir da

avaliação do índice de confiabilidade β , onde, este índice, é determinado pela

seguinte equação:

F

Fσ

β = (4.24)

109

Logo, a probabilidade de falha pode ser aproximada a partir da Tabela 4.1

ou calculada como )( β−Φ=fP , onde Φ é a função cumulativa normal padrão.

Ditlevesen (1973) e Veziano (1974) indicam que, o método MVFOSM dá

uma idéia tosca do nível de confiabilidade, isso pode não ser aceito como uma

aproximação válida devido à falta de formulação invariante e sua falha para

incorporar a informação da distribuição das variáveis aleatórias (Ditlevesen, 1973

e Veziano, 1974). Lee em 2000, indica que o índice de confiabilidade definido

pela Equação (4.24) falha ao não ser constante para uma função de performance

formulada de forma diferente mas mecanicamente equivalente(Lee, 2000).

O problema descrito no parágrafo anterior, foi superado pelo método

AFOSM (advanced first-order second moment), transformando as variáveis

aleatórias de espaço original para espaço reduzido (Hasofer and Lind, 1974).

O método AFOSM proposto por Hasofer e Lind é aplicável para variáveis

aleatórias com distribuição normal. Neste método, o índice de confiabilidade para

o cálculo de probabilidade de falha é definido como a mínima distância da origem

à superfície de falha no espaço reduzido, como ilustrado na Figura 4.9, para uma

função de falha não linear. Como primeiro passo, a variável em coordenadas reais

deveria de ser transformada para coordenadas reduzidas (seção 4.1.7). Logo a

função de falha no sistema de coordenadas originais é transformada também para

sistema de coordenadas reduzidas como:

),...,,()( 21 nYYYFYF = (4.25)

onde, iY são as variáveis aleatórias e )(YF a função de falha, ambos no espaço

reduzido.

110

1Y

2Y

β

0

*y

0)( <YFRegião não segura

0)( >YF

Região segura

0)( =YFFunção de falha

1Y

2Y

β

0

*y

0)( <YFRegião não segura

0)( >YF

Região segura

0)( =YFFunção de falha

0)( =YFFunção de falha

Figura 4.9 – Variáveis em coordenadas reduzidas: função de falha não linear.

Na Figura 4.9, o ponto *y que representa a distância mínima da origem à

função de falha é nomeado como ponto de projeto ou ponto mais provável de

falha MPP(most probable point). Para a função de falha não linear, o cálculo da

mínima distância torna-se um problema de otimização, e é formulado como segue:

0)(...

=

=

YFtsMinimize t yyβ (4.26)

O problema de otimização (Equação 4.26) foi resolvido por Shinozuka

(1983), usando o método de multiplicadores de Lagrange, de onde, a mínima

distância no espaço reduzido que representa o índice de confiabilidade é avaliada

pela seguinte equação.

∑

∑

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=n

i i

i

n

ii

YF

YFy

1

2

1

*

β (4.27)

onde as derivadas ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

iYF são avaliadas no ponto de projeto, ),...,,( **

2*1 nyyy .

111

O índice de confiabilidade de Hasofer-Lind para o cálculo de probabilidade

de falha é avaliado de forma exata, somente, quando todas as variáveis aleatórias

têm uma distribuição normal.

A grande desvantagem dos métodos anteriormente descritos é que eles não

consideram a informação referente ao tipo de distribuição das variáveis aleatórias

e que a avaliação da probabilidade de falha fP pode ser exata só para variáveis

aleatórias com distribuição normal.

Métodos baseados no ponto de projeto foram desenvolvidos como

alternativa aos métodos anteriormente descritos, entre estes métodos tem-se o

método FORM (first-order reliability method) e o método SORM(second-order

reliability method). A idéia do método SORM é a mesma que do método FORM,

a diferença entre estes dois métodos está na aproximação feita para a superfície de

falha no espaço reduzido. No método FORM a função de falha é aproximada no

ponto de projeto *y como superfície de falha linear pela série de Taylor de até

primeira ordem (Equação 4.21). No caso do método SORM, a função de falha é

aproximada como superfície quadrática pela série de Taylor de até segunda

ordem. Vários trabalhos ou pesquisas já foram realizados usando estes métodos,

entre eles Lee (2000), Lopez (2007), Pereira (2007) e Almeida (2008).

Lee(2000) indica que apesar do SORM poder prover melhores resultados

que FORM no mesmo problema, a necessidade de usar aproximação pelo método

SORM parece não ser significante. Chega a esta conclusão principalmente da

comparação do esforço computacional requerido e da melhora nos resultados

obtidos. O método SORM requer das derivadas parciais de segunda ordem da

função de falha que pode ser difícil de avaliar para estruturas complexas e requer

tempos de cálculo não necessários. Por outra parte, não é evidentemente óbvio

que os resultados podem ser mais próximos que os obtidos pelo método FORM.

Portanto, FORM pode ser um método mais prático que SORM para problemas de

engenharia, considerando a simplicidade conceitual e eficiência(Lee, 2000).

Segundo Almeida (2008) indica que o método FORM propicia, na maioria

dos problemas, uma precisão satisfatória com um tempo da análise computacional

reduzido quando comparado a outros métodos, o que justifica sua larga utilização

nas diversas análises de confiabilidade (Almeida, 2008).

112

Pelo indicado nos parágrafos anteriores, neste trabalho tenta-se aplicar o

método FORM, para avaliar a confiabilidade de Estruturas Geotécnicas.

4.2.1. Método FORM (First-Order Reliability Method)

O método de confiabilidade de primeira ordem FORM, é também conhecido

na literatura como a aproximação de Rackwitz-Fissler (Rackwitz e Fiessler,

1978). A grande vantagem deste método é que considera o tipo de distribuição das

variáveis aleatórias.

Rackwitz e Fiessler (1978) sugerem que, quando o problema envolve

variáveis aleatórias com distribuição não normal, eles podem ser resolvidos pela

transformação das variáveis não normais em variáveis normais equivalentes

(Seção 4.1.8).

Este método, é usado extensamente em muitos trabalhos de pesquisa. No

entanto, o cálculo só pode dar resultados aproximados para o caso de função de

falha com alta não linearidade. Não obstante, esta aproximação tem sido

considerada como um método efetivo na Análise de Confiabilidade por causa de

sua simplicidade e versatilidade.

4.2.1.1. Transformação de Variáveis

Para problemas de confiabilidade, onde, a função de falha depende de

variáveis aleatórias X com distribuição não normal e são estatisticamente

dependentes ou correlacionadas, existem métodos para transformar estas variáveis

em variáveis aleatórias Y com distribuições normais estatisticamente

independentes ou não correlacionadas.

As variáveis aleatórias estatisticamente independentes (não correlacionados)

com distribuição diferente da normal, podem ser transformadas para distribuição

normal equivalente no ponto de pesquisa como mostrado na Seção 4.1.8, e quando

as variáveis são estatisticamente dependentes (correlacionados) também é possível

usar a mesma transformação para obter as normais equivalentes, mas neste caso,

os coeficientes de correlação entre as variáveis originais devem também ser

113

corrigidos para coeficientes de correlação equivalentes. A correção dos

coeficientes de correlação é apresentada na Tabela 4.2. Uma referência completa

sobre a correção de coeficiente de correlação pode ser encontrada em Kiureghian

e Liu (Kiureghian e Liu, 1986) ou Lopes (Lopes, 2007).

Tipo III (min.)(Weibull)

Tipo II(máximos)

Tipo I(mínimo)

Tipo I (Max)(Gumbel)

Uniforme

Rayleigh

Lognormal

Normal

Normal

Var. ( j )Var. ( i )Coeficiente de Correlação Equivalente

Distribuição

Tipo III (min.)(Weibull)

Tipo II(máximos)

Tipo I(mínimo)

Tipo I (Max)(Gumbel)

Uniforme

Rayleigh

Lognormal

Normal

Normal

Var. ( j )Var. ( i )Coeficiente de Correlação Equivalente

Distribuição

ijEij ρρ =

ij

i

iEij ρ

δδρ

)1ln( 2+=

ijEij ρρ 014.1=

ijEij ρρ 023.1=

ijEij ρρ 031.1=

ijEij ρρ 031.1=

ijjjEij ρδδρ )364.0238.0030.1( 2++=

ijjjEij ρδδρ )328.0195.0031.1( 2++=

Tabela 4.2 – Coeficiente de correlação equivalente.

Na Tabela 4.2, jδ é o coeficiente de variação (ver seção A.4.6) e pode-se

observar que o coeficiente de correlação equivalente Eijρ não depende do ponto

*x onde a transformação está sendo realizada.

Para transformar variáveis normais correlacionadas em variáveis normais

estatisticamente independentes (não correlacionadas), o método amplamente

usado na análise de confiabilidade é o método conhecido como a Transformação

de Nataf (Kiureghian and Liu, 1986).

A transformação de Nataf indica que para um vetor X de variáveis

aleatórias normais correlacionadas entre si, um outro vetor Y de variáveis

114

aleatórias normais padrão estatisticamente independentes pode ser obtido pela

seguinte equação de transformação:

)( mXJY −= (4.28)

11 −−=∂∂

= σLJXY (4.29)

onde, m é o vetor com as médias das normais equivalentes e J é o Jacobiano da

transformação, L é uma matriz triangular inferior obtida pela fatoração de

Choleski (Equações 4.30-4.32) da matriz coeficiente de correlação ρ (Equação

A.16) e σ é a matriz do desvio padrão (Equação A.10), das normais equivalentes.

TLLρ .= (4.30)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn LLL

LLL

L

MOMM

21

2221

11

00000

L (4.31)

11

11

,...,10.1

1

1

2

1

1

11

11

>−=

<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

===

∑

∑−

=

−

=

iLL

ikLLL

L

niLL

i

jijii

k

jkjijik

kkik

ii

ρ

ρ

(4.32)

onde ikρ é o coeficiente de correlação entre as variáveis iX e kX .

115

4.2.1.2. Pesquisa de Ponto de Projeto

O objetivo no cálculo de probabilidade de falha pelo método FORM é

calcular o índice de confiabilidade β . Segundo a Figura 4.10, o índice de

confiabilidade é a distância entre a origem no espaço reduzido e o ponto mais

provável de falha ( *y ), sendo que, o ponto mais provável se encontra na menor

distância da origem do espaço reduzido à superfície de falha. Este problema é

formulado como um problema de minimização da distância entre o origem e a

superfície de falha com uma restrição. Este problema é formulado então como

segue:

0)(..||min=YFts

Y (4.33)

O problema expresso pela Equação 4.33, pode ser resolvido por qualquer

algoritmo de otimização, mas o algoritmo mais usado na análise de confiabilidade

é aquele desenvolvido por Hasofer and Lind (1974) e melhorado por Rackwitz e

Fiessler (1978). Este algoritmo, comumente conhecido como HL-RF, apresenta a

seguinte expressão de recorrência.

[ ] TkkkTkk

k YFYFVYFYF

Y )()()(|)(|

12

1 ∇−∇∇

=+ (4.34)

onde )( kYF∇ é a gradiente da função de falha no espaço reduzido e )( kYF é o

valor da função de falha, ambos avaliados no ponto kY .

As seguintes relações são necessárias no processo de cálculo pelo método

HL-RF:

11 −−= σLJ (4.35)

)()( XY FF = (4.36)

)( mXJY −= (4.37)

116

)()()( 1 XJY FF T ∇=∇ − (4.38)

onde )(XF∇ é a gradiente da função de falha no espaço original avaliado no

ponto X .

Para a Análise de Confiabilidade com Análise Limite, onde as variáveis

aleatórias são expressas pela Equação 4.3 e a função de falha pela Equação 4.4, a

gradiente da função de falha )(XF∇ é calculada por diferenças finitas como

segue:

[ ]i

iiiii

i CCCCa

CF

ηφαφηα ),(),( −+

=∂∂ (4.39)

[ ]i

iiiii

i

CCaFηφ

φαηφφαφ

),(),( −+=

∂∂ (4.40)

bF

i

−=∂∂γ

(4.41)

bF

j

−=∂∂ϖ

(4.42)

onde, η é o fator de perturbação.

Segundo a literatura o fator de perturbação pode estar entre 212 1010 −− ≤≤η . No presente trabalho usou-se 410−=η .

1x

Espaço original -

2x0)( <XF

0)( =XF

0)( >XF

x

1y

Espaço reduzido -

2y

β

0)( <YF0)( >YF

0)( =YF

FORM

y

1x

Espaço original -

2x0)( <XF

0)( =XF

0)( >XF

x

1x

Espaço original -

2x0)( <XF

0)( =XF

0)( >XF

x

1y

Espaço reduzido -

2y

β

0)( <YF0)( >YF

0)( =YF

FORM

y

1y

Espaço reduzido -

2y

β

0)( <YF0)( >YF

0)( =YF

FORM

y Figura 4.10 – Espaço original e reduzido para duas variáveis.

117

4.2.1.3. Processo de Cálculo

O processo de cálculo da Análise de Confiabilidade pelo método FORM é

resumido pelo seguinte fluxograma.

Inicio

ãodistribuiçX iijXi i,,,, δρσ

Dados

ijEij ψρρ =

0=k iki XX =

[ ]{ })(

)(*

*1

i

iNX xp

xPi

−Φ=φσ

[ ])( *1*i

NXi

NX xPX

i

−Φ−= σµ

m σ ρLLL =← T

)()( XFYF =

)()( 1 XFJYF ∇=∇ −

)( kkk mXJY −=

[ ] TkkkTk

k

k YFYFYYFYF

)()(.)()(

12

1 ∇−∇∇

=+Y

|||||||| 1

k

kk

YYYerro −

=+

tolerro >

|| 1+= kYβ

)(1 β−Φ= −fP

fPC −=1

Fim

1+= kk

1−= LJ 1−σ

sim

não

Calcular

Inicializar

Calcular

Montar

Calcular

Calcular

Incremento

Calcular

Inicio

ãodistribuiçX iijXi i,,,, δρσ

Dados

ijEij ψρρ =

0=k iki XX =

[ ]{ })(

)(*

*1

i

iNX xp

xPi

−Φ=φσ

[ ])( *1*i

NXi

NX xPX

i

−Φ−= σµ

m σ ρLLL =← T

)()( XFYF =

)()( 1 XFJYF ∇=∇ −

)( kkk mXJY −=

[ ] TkkkTk

k

k YFYFYYFYF

)()(.)()(

12

1 ∇−∇∇

=+Y

|||||||| 1

k

kk

YYYerro −

=+

tolerro >

|| 1+= kYβ

)(1 β−Φ= −fP

fPC −=1

Fim

1+= kk

1−= LJ 1−σ1−= LJ 1−σ

sim

não

Calcular

Inicializar

Calcular

Montar

Calcular

Calcular

Incremento

Calcular

Figura 4.11 – Fluxograma da Análise de Confiabilidade pelo método FORM.

118

4.3. Exemplos de Aplicação

Com a finalidade de ilustrar a aplicabilidade da Análise de Confiabilidade

com a Análise Limite, dois exemplos de aplicação são apresentados a seguir. No

primeiro e segundo exemplo são apresentados os resultados do cálculo de

confiabilidade.

Para o cálculo da função de falha (Equação 4.4) o programa GEOLIMA é

chamado desde o algoritmo do método FORM e para o cálculo da gradiente da

função de falha por diferenças finitas (Equações 4.39 e 4.40) o programa

GEOLIMA é chamado também mais duas vezes. É dizer, para estruturas formadas

somente por um tipo de material, para cada iteração do método FORM o

programa GEOLIMA é chamado 3 vezes e para estruturas formados por dois

materiais diferentes o programa GEOLIMA seria chamado cinco vezes.

4.3.1. Talude 2D

Este exemplo tenta mostrar a aplicabilidade da Análise de Confiabilidade

com a Análise Limite em uma aplicação 2D. A malha do problema a ser analisada

é apresentada na Figura 4.12. Os dados do problema considerados como variáveis

aleatórias são: Coesão média de 151 =X kN/m2, ângulo de atrito médio

5.222 =X ° e peso especifico médio 163 =X kN/m3; considerou-se coeficiente

de variação de 5% para as três variáveis e o coeficiente de correlação entre a

coesão e ângulo de atrito de 5%. O tipo de distribuição considerado para as

variáveis são Normal para coesão, Lognormal para ângulo de atrito e Gumbel

Tipo I para o peso específico.

Como se pode observar nos resultados da Análise de Confiabilidade, a

convergência pelo método FORM alcançada na iteração 208. O índice de

confiabilidade calculado pelo método é 1.575045=β , a probabilidade de falha

calculada é 5.76%=fP e a confiabilidade é %26.94=C .

O ponto mais provável de falha MPP determinado pelo método FORM é

15.0421 =X , 24.3122 =X e 15.8843 =X . A visualização gráfica das zonas de

119

plastificação, assim como a superfície de falha, para o ponto mais provável de

falha são apresentadas nas Figuras 4.13 e 4.14.

Esta análise foi feita apenas com uma malha de 25 elementos, que gera um

problema de otimização de pequena escala, com 75 restrições no total. O tempo

requerido pelo programa GEOLIMA para resolver o problema em cada chamada

foi de 1 seg, fazendo um total de 3 seg para cada iteração do método FORM. O

tempo total requerido ate alcançar a convergência foi de 624 seg.

Figura 4.12 – Malha de elementos finitos 2D (25 elementos com 36 nós).

RELIABILITY ANALISYS REPORT

Method : FORM

Project : These

Structure: Slop 2D

User : mcp

DATA

| Var. | Mean | Desv.Std. |Distribution | Xo |

| X1 | 15.0 | 0.75 | Normal | 15.0 |

| X2 | 22.5 | 1.12 | LogNormal | 22.5 |

| X3 | 16.0 | 0.80 | Gumbel Tipo I | 16.0 |

120

Correlation Matrix

1.00 0.05 0.00

1.00 0.00

1.00

Iterations = 208

Most Probable Point

X1 = 15.042

X2 = 24.312

X3 = 15.884

Failure Function: F(X) = 4.203146e-02

Reliability Index: beta = 1.575045

Failure Probability: Pf = PHI(-beta ) = 5.76%

Reliability: C = 94.24%

Figura 4.13 – Zonas de plastificação no MPP(Most Probable Point).

Figura 4.14 – Superfície de falha no MPP.

121

Para se ter uma idéia da importância dos valores iniciais das variáveis, uma

nova análise é feita, mas desta vez os valores iniciais das variáveis já não são as

médias como na análise anterior, os valores iniciais correspondem a os valores da

iteração 190 da primeira análise ( 041285.151 =oX , 291812.242 =oX ,

883648.153 =oX ). Para este caso, o número de iterações necessárias para a

convergência foi de 18 e os resultados foram as mesmas da primeira análise. Isso

indica a importância do ponto de início para acelerar a convergência da análise, o

qual indica que a estimativa de ponto de início diferente das médias, deve ser

pesquisada em futuros trabalhos.

RELIABILITY ANALISYS REPORT

Method : FORM

Project : These

Structure: Slop 2D

User : mcp

DATA

| Var. | Mean | Desv.Std. |Distribution | Xo |

| X1 | 15.0 | 0.75 | Normal | 15.041285 |

| X2 | 22.5 | 1.12 | LogNormal | 24.291812 |

| X3 | 16.0 | 0.80 | Gumbel Tipo I | 15.883648 |

Correlation Matrix

1.00 0.05 0.00

1.00 0.00

1.00

Iterations = 18

Most Probable Point

X1 = 15.042

X2 = 24.312

X3 = 15.884

Failure Function: F(X) = 4.203146e-02

Reliability Index: beta = 1.575045

Failure Probability: Pf = PHI(-beta ) = 5.76%

Reliability: C = 94.24%

122

4.3.2. Talude Confinado 3D

Este segundo exemplo mostra a aplicabilidade da Análise de Confiabilidade

com a Análise Limite em um problema 3D. A malha do problema de talude

confinado a ser analisada é apresentada na Figura 4.15. Os dados do problema

considerados como variáveis aleatórias são: Coesão média de 251 =X kN/m2,

ângulo de atrito médio 52 =X ° e peso especifico médio 193 =X kN/m3;

considerou-se coeficiente de variação de 5% para as três variáveis e coeficiente de

correlação para coesão e ângulo de atrito de 5%. O tipo de distribuição

considerado para as variáveis são Normal para coesão, Lognormal para ângulo de

atrito e Gumbel Tipo I para o peso específico.

O método FORM alcança a convergência na iteração 241. O índice de

confiabilidade calculado pelo método é 1.7801=β , a probabilidade de falha

calculada é .75%3=fP e a confiabilidade é %25.96=C .

O ponto mais provável de falha MPP determinado pelo método FORM é

25.1101 =X , 5.4582 =X e 18.8443 =X . As zonas de plastificação e a

superfície de falha para o ponto mais provável de falha são apresentadas nas

Figuras 4.16 e 4.17.

Esta análise foi feita apenas com uma malha de 27 elementos, que gera um

problema um problema de otimização de pequena escala, com 81 restrições em

total. O tempo requerido pelo programa GEOLIMA para resolver o problema em

cada chamada foi de 3 seg, fazendo um total de 9 seg para cada iteração do

método FORM. O tempo total requerido ate alcançar a convergência foi de 2169

seg.

123

Figura 4.15 – Malha de elementos finitos 3D (27 elementos com 64 nós).

Figura 4.16 – Zonas de plastificação no MPP.

124

Figura 4.17 – Superfície de falha no MPP.

Dos exemplos apresentados no presente Capítulo, pode-se concluir que a

convergência pelo método FORM é alcançada em número de iterações maior que

200, o qual implica um custo computacional muito grande, porque para cada

iteração é necessário fazer três Análises Limite. Este fato inviabiliza o uso da

Análise de Confiabilidade pelo método FORM com a Análise Limite para

problemas com malhas muito refinadas.

O método requer de mais esforço computacional, que o requerido pelo

método de Monte Carlo. Pelo método de Monte Carlo é necessário avaliar entre

200 a 400 vezes a resposta da estrutura pela Análise Limite. Pelo método FORM

seria necessário avaliar mais de 600 vezes a resposta da estrutura, isso porque para

cada iteração é necessário avaliar 3 vezes a resposta da estrutura, uma para o

cálculo da função de falha (Equação 4.4) e duas para o cálculo da gradiente da

função de falha(Equações 4.39 e 4.40).

Em geral, para estruturas formadas por mais de um tipo de material o

número de avaliações necessárias da resposta da estrutura seria duas vezes o

número de materiais mais um, para cada iteração do método FORM; para

estruturas formados por cinco materiais, como é o caso da aplicação 4 do seguinte

Capítulo, seriam necessárias 11 avaliações da resposta da estrutura pela Análise

Limite, para cada iteração do método FORM.

6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES

6.1. Conclusões

Neste trabalho foi realizado o desenvolvimento e a implementação de

algoritmos em conjunto com o programa GEOLIMA (Carrión, 2004) para realizar

a Análise Limite de problemas de gerande porte. Otimizadores comerciais como

LINGO, MINOS foram também utilizadas na pesquisa para efeitos de comparação

com os resultados obtidos com o otimizador desenvolvido.

Da pesquisa e dos testes realizados com os otimizadores comerciais,

conclui-se que o otimizador LINGO pode ser usado somente para resolver

problemas da Análise Limite de pequena escala e o otimizador MINOS pode ser

usado para resolver problemas de até média escala.

O resultados de testes realizados com os programas LINGO e MINOS

indicam que o tempo de otimização aumenta exponencialmente com o incremento

de número de elementos da malha, tornando inviável seu uso para a solução de

problemas de grande escala.

Dos testes realizados conclui-se que o fator de colapso diminui com o

refinamento da malha (Figuras 3.29). Esta diminuição é não linear e bastante

pronunciada até malhas com 150 elementos (aproximadamente) e logo a

diminuição tem uma tendência quase linear suave. Pelo fato que a formulação

implementada no presente trabalho é a formulação mista fraca, onde o campo de

tensões não é estaticamente admissível (a não ser de forma aproximada) e a

condição de equilíbrio é garantida pelo principio dos trabalhos virtuais, é de se

esperar que o fator de colapso se aproxime pelo limite superior ao fator de colapso

real com o refinamento da malha.

Pelo fato de os otimizadores comerciais pesquisados não apresentarem bom

desempenho para resolver problemas da Análise Limite de grande escala, neste

trabalho foi implementado um otimizador especifico para problemas da Análise

Limite, baseado no método de pontos interiores. O método de pontos interiores

162

pode ser aplicado para resolver problemas de otimização em geral, mas o

otimizador implementado neste trabalho é específico para resolver problemas da

Análise Limite.

Com o objetivo de melhorar a eficiência do otimizador implementado,

foram implementadas e testadas diferentes alternativas ou técnicas descritas na

literatura pesquisada e algumas alternativas são propostas neste trabalho para a

melhora da eficiência do otimizador implementado.

Na literatura pesquisada, foram encontrados dois algoritmos de pontos

interiores, o primeiro baseado em cálculo de ângulo de deflexão, e que precisa

resolver duas vezes o sistema de equações lineares para cada iteração e o segundo,

baseado no cálculo de fatores de relaxação e contração. Este segundo algoritmo

precisa resolver uma só vez o sistema de equações lineares mas se torna

ineficiente por que a convergência é alcançada em maior número de iterações.

Neste trabalho foi proposto e implementado um terceiro algoritmo, onde o sistema

de equações lineares é resolvido uma só vez e a direção de busca viável é

calculada por álgebra vetorial. Testes realizados com os três algoritmos mostram

que o algoritmo proposto fornece valores de fator de colapso ligeiramente

menores, mas que tem um ganho em desempenho (tempo de otimização).

Um ponto crítico encontrado na implementação do otimizador foi a solução

de sistemas lineares em cada iteração. Na literatura pesquisada foram encontradas

duas formas de manipular e resolver o sistema de equações resultantes. A primeira

é uma manipulação matricial global e a segunda uma manipulação matricial por

elementos. Neste trabalho propõe-se a solução direta sem manipulação de sistema

de equações lineares. Dos testes realizados (Tabela 3.8 e Figuras 3.18 e 3.19)

conclui-se que a solução direta com tratamento da matriz esparsa proposta neste

trabalho é muito mais eficiente tanto em uso de memória quanto em desempenho

em termos de tempo.

Para a solução de sistemas lineares foram implementados diferentes

métodos diretos e indiretos. Dentre os métodos testados, o dos gradientes

conjugados (CG) com tratamento da matriz esparsa e uso de pré-condicionador

misto (DS+SS) foi o mais eficiente.

Para melhorar a eficiência na solução de sistemas lineares, foram

implementados e testados os seguintes pré-condicionadores encontrados na

literatura, escala diagonal (DS), escala simétrica (SS) e fatoração incompleta de

163

Cholesky (ICF). Neste trabalho propõe-se também o uso de pré-condicionadores

mistos DS+SS e DS+FIC. Dos testes realizados conclui-se que o pré-

condicionador misto proposto DS+SS teve melhor desempenho.

Da comparação dos testes realizados em problema 2D, onde o problema é

resolvido usando otimizadores Lingo, Minos e Geolima com otimizador próprio,

conclui-se que o otimizador implementado faz melhor uso da memória como

também tem melhor desempenho em termos de tempo e o mais importante e que o

diferencia dos outros otimizadores é que o desempenho de GEOLIMA cresce

quase linearmente com o refinamento da malha.

Com o objetivo de validar e comparar a eficiência do otimizador

implementado, um problema 3D de frente de escavação de túneis é analisado. Este

problema tem seu comportamento conhecido a partir de uma simulação com um

modelo físico 3D em escala reduzida feito no Laboratório da Mitsubishi em Japão

e também da análise com o otimizador Minos apresentado em Carrión (2004). O

fator de colapso obtido com o otimizador Mino foi 012.25=α e com o

otimizador implementado foi 6685.24=α . O tempo empregado por Minos foi de

16 horas 43 min. e com o otimizador implementado foi de 17 min 49 seg. O

mecanismo de colapso obtido foi semelhante aquele obtido com Minos e muito

similar aquele obtido no modelo físico.

Propriedades de solo são obtidas mediante ensaios de campo ou de

laboratório, incertezas de diferente origem estão presentes nas propriedades dos

materiais assim obtidas. Assim, torna-se relevante a incorporação de estudos de

confiabilidade na análise de estruturas geotécnicas.

Existem vários métodos para avaliar a confiabilidade, mas a grande maioria

é desenvolvida para funções de falha lineares e considerando simplesmente uma

distribuição normal para as variáveis aleatórias. Neste trabalho, tentou-se aplicar

o método FORM(First Order Reliability Method) cuja formulação considera uma

função de falha qualquer e distribuições quaisquer das variáveis aleatórias, mas

resultados obtidos indicam que o método alcança a convergência em um número

muito alto de iterações (maior que 200), o qual resulta em custo computacional

maior ainda que o método de Monte Carlo, inviabilizando o uso deste método par

a cálculo de confiabilidade com a Análise Limite.

164

Dos resultados da primeira aplicação (talude infinito homogêneo), conclui-

se que o fator de colapso, o número de iterações e o tempo empregado pelo

programa em resolver o problema variam com o tipo de material da estrutura.

Além disso, zonas de plastifição, a localização e forma da superfície de ruptura e

o mecanismo de colapso variam com tipo de material.

Dos resultados da segunda aplicação (talude infinito heterogêneo), conclui-

se que o fator de colapso, número de iterações e o tempo requerido para a análise

variam com o refinamento da malha. Sendo o refinamento da malha importante

para identificar as zonas de plastifição e a superfície de ruptura.

Dos resultados da terceira análise (talude com percolação), pode-se concluir

que a presença de percolação de água no talude influencia na redução de fator de

colapso em um 23%, assim como o programa precisou de maior número de

iterações para resolver o problema e por conseguinte maior tempo de análise

também. E quanto às zonas de plastificação e superfície de falha, pode-se observar

das figuras 5.12(a,b) e 5.13(a,b) que a presença da percolação faz que tanto as

zonas de plastificação como a superfície de falha sejam mais superficiais.

Dos resultados da Análise Limite da barragem de terra(quarta aplicação),

conclui-se que, no caso da análise 1, a estrutura entraria em colapso somente no

caso em que o carregamento ( gravitacional ) fosse 2.46 vezes maior. No caso da

análise 2, a estrutura entraria em colapso se a pressão da água for maior em 5.24

vezes, o que indica que a barragem projetada é bastante conservadora em relação

à segurança.

Da quinta aplicação (talude confinado 3D) se pode concluir que, com o

programa implementado pode-se resolver problemas com malhas suficientemente

refinadas que geram problemas de otimização de grande escala, o qual já

possibilita a aplicabilidade da Análise Limite na solução de problemas reais.

A sexta aplicação se refere à análise de um depósito de rejeito em 3D.

Sendo o fator de colapso obtido para esta estrutura próximo a 1, não se pode

afirmar que a estabilidade do depósito está garantida, porque, efeito de algum

outro fenômeno como movimento sísmico na direção WE poderia desestabilizar o

depósito de rejeito. Assim, é recomendável diminuir a inclinação de talude com a

finalidade de garantir sua estabilidade para fins de abandono definitivo.

165

6.2. Sugestões para Futuras Pesquisas

A implementação da Análise Limite Numérica mediante processamento

paralelo devem de ser considerados nas futuras pesquisas, para a análise de

problemas de maior porte.

Refinamento da malha implica em custos computacionais na Análise

Limite, nas futuras pesquisas devem-se implementar o refinamento automático da

malha (autoadaptativo) nas zonas de maior plastificação.

Para garantir a estabilidade de estruturas geotécnicas são usadas reforços

(como geosintéticos e ancoragens). Em trabalhos futuros deve-se considerar estes

reforços na formulação de Análise Limite, assim como o uso de elementos de

contato para a represetação de meios fraturados.

Para modelar problemas com geometria complexa, em trabalhos futuros

devem-se incorporar outros tipos de elementos finitos como triangulares em 2D e

tetraédricos em 3D, assim como elementos de interface.

Exemplos de aplicação da Análise de Confiabilidade associada à Análise

Limite mostram que o algoritmo de otimização HL-RF (Hasofer and Lind –

Rackwitz and Fiessler) usado pelo método FORM, tem uma convergência pobre.

Assim, devem-se considerar a implementação de algoritmos mais efetivos para a

Análise de Confiabilidade pelo método FORM.

Um dos fatores para a uma convergência pobre do algorimo HL-LR pode

ser o cálculo aproximado da gradiente da função de falha por diferencias finitas,

portanto, em pesquisas futuras devem-se considerar o uso de superfícies de

resposta, geradas das soluções do problema pela Análise Limite. Outras técnicas

como o uso de ponto de partida diferente das médias das variáveis devem de ser

pesquisado, como o objetivo de acelerar a convergência.

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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A CONCEITOS ESTATÍSTICOS

A.1. Variáveis Determinísticas e Aleatórias

Se uma medição ou um experimento é feito repetidamente, mantendo todas

as condições possíveis, e os resultados obtidos são os mesmos, então a variável é

conhecida como determinística. Todavia, se os resultados obtidos nas medições

variam ou são diferentes, então as variáveis são conhecidas como aleatórias.

Na Engenharia Geotécnica, os parâmetros dos materiais geológicos são

obtidos mediante ensaios de laboratório ou de campo. Sendo os valores obtidos

diferentes para cada ensaio, estes parâmetros são de natureza aleatória.

A.2. Espaço Amostral, Evento e Valor Observado

O espaço amostral é o conjunto formado por todos os possíveis e diferentes

resultados observados de uma variável aleatória. Um evento é um subconjunto

formado por uma ou mais observações do espaço amostral. O valor numérico de

cada medição de uma variável aleatória é conhecido como valor observado e é

parte de seu espaço amostral.

A.3. Medidas de Tendência Central

Na Estatística existem diferentes medidas de tendência central, como a

mediana, a moda e diferentes tipos de médias. Esta pesquisa refere-se só à média

aritmética, por ser de interesse para os objetivos deste trabalho.

172

A.3.1. Momento estatístico de ordem m

Matematicamente o momento estatístico de ordem m é definido como a

somatória da potência m dos valores observados do espaço amostral dividida pelo

número de valores observados da variável aleatória.

∑=

=n

j

mi

jmi

s xn

X1

1 (A.1)

onde:

ij x j-ésimo valor observado da variável aleatória Xi

m Potência à qual estão elevados os valores da variável

n Número de valores observados da variável aleatória mi

s X Momento estatístico de ordem m da amostra

A.3.2. Média aritmética

A média aritmética é um momento estatístico de primeira ordem (m=1) e é

talvez a medida de tendência central mais usada.

∑=

=n

ji

ji

s xn

X1

1 (A.2)

onde:

ij x j-ésimo valor observado da variável aleatória Xi

n Número de valores observados da variável aleatória

is X Média da amostra da variável aleatória Xi

173

A.3.3. Características da média aritmética

• A unidade de medida da média aritmética é a mesma que a unidade dos

valores observados da variável aleatória.

• É um valor único.

• É fácil de compreender e aplicar.

• Utiliza todos os valores da variável em seu cálculo.

• É afetada pela mudança de algum valor da variável.

A.4. Medidas de Dispersão da Variável Aleatória

A.4.1. Desvio

O desvio é a diferença entre o valor observado de uma variável aleatória e a

média aritmética da amostra.

XxDesvio i−= (A.3)

A medida dos desvios das variáveis aleatórias tem duas características muito

importantes:

• A somatória de todos os desvios dos valores da variável aleatória é sempre

igual a zero.

01

=−∑=

]Xx[ is

n

ji

j (A.4)

• A somatória dos quadrados dos desvios dos valores da variável aleatória é

sempre um valor mínimo.

mínimo]Xx[ is

n

ji

j =−∑=

2

1

(A.5)

174

A.4.2. Momento estatístico central de ordem m

É definido como a somatória da mma potência dos desvios dos valores

observados da variável aleatória dividida pelo número de valores observados.

mi

sn

ji

jmi

s ]Xx[n

X −= ∑=1

1 (A.6)

onde: mi

s X Momento estatístico central de ordem m

ij x j-ésimo valor observado da variável aleatória Xi

is X Média da amostra da variável aleatória Xi

m Ordem a variável aleatória

n Número de valores observados da variável aleatória

A.4.3. Desvio absoluto médio

É um momento estatístico central de ordem um ( m=1 )

]Xx[n

X is

n

ji

ji

s −= ∑=1

1 (A.7)

onde:

is X Desvio absoluto médio

A.4.4. Variância

A variância da mostra é o momento estatístico central de ordem dois (m=2)

2

1

1 ]Xx[n

)x(Var is

n

ji

ji

s −= ∑=

(A.8)

175

Características da variância:

• A variância é sempre um valor positivo.

• Se todos os valores de uma variável forem iguais então a variância é zero.

A.4.5. Desvio padrão

Uma desvantagem da variância é sua unidade de medida, o quadrado da

unidade de medida dos valores da variável. Como essa unidade não explica nada

sobre as características dos valores da amostra, é definido o desvio padrão, que

mantém a unidade de medida da variável.

O desvio padrão da amostra é definido como a raiz quadrada da variância da

amostra.

2

1

1 ]Xx[n i

sn

ji

jxi

−= ∑=

σ (A.9)

onde:

ixσ Desvio padrão da variável aleatória Xi

Características do desvio padrão:

• O desvio padrão é sempre um número positivo.

• Se os valores de uma variável forem iguais, o desvio padrão é zero.

• O desvio padrão depende da soma dos quadrados dos desvios da variável;

portanto, quanto menor o desvio padrão, mais os valores da variável

aproximam-se da sua média.

• Se o desvio de um valor da variável for menor que o desvio padrão da

amostra, então esse valor estará mais próximo da média do que outro valor

com desvio maior.

• Quanto mais os valores da variável se afastarem de sua média, maior serão os

desvios e, conseqüentemente, maior será o desvio padrão e mais aberta será a

distribuição de freqüências da variável.

176

• Se duas variáveis tiverem a mesma média e desvios padrões diferentes, a

distribuição da variável com maior desvio padrão será mais aberta que a de

variável com menor desvio padrão.

• Para n variáveis aleatórias a matriz do desvio padrão é expressa pela seguinte

equação.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

x

x

σ

σσ

L

MOMM

00

000000

2

1

σ (A.10)

A.4.6. Coeficiente de variação

A comparação da dispersão de duas ou mais distribuições pelo simples

confronto de seus desvios padrões nem sempre é suficiente, pois as amostras

podem ter unidades diferentes ou, tendo a mesma unidade, seus valores de média

podem estar bastante afastados.

O coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão que permite a

comparação de distribuições, pois é definido como a relação do desvio padrão por

unidade de média. Na comparação de duas variáveis, a variável que tiver menor

coeficiente de variação tem menor dispersão, variabilidade ou incerteza.

i

s

xx X

i

i

σδ = (A.11)

onde:

ixδ Coeficiente de variação da variável aleatória Xi

177

A.5. Medidas de Correlação de Variáveis Aleatórias

As medidas estatísticas que medem a tendência e a relação linear entre as

variáveis aleatórias são a covariância e o coeficiente de correlação.

A.5.1. Covariância

A covariância resume em um único número a tendência e a relação linear

entre duas variáveis e é definida como a média dos produtos dos desvios das

variáveis.

]Xx[]Xx[n

)X,X(Cov sjn

j

sj22

11121

1−−= ∑

=

(A.12)

onde:

Cov(X1,X2) Covariância das variáveis aleatórias X1 e X2

1xj , 2xj Valores observados das variáveis aleatórias X1 e X2

1X , 2X Média dos valores observados das variáveis aleatórias X1 e X2

n Número de valores observados das variáveis aleatórias X1 e X2

Características da covariância:

• As duas variáveis devem ter o mesmo número de valores observados.

• O valor da covariância pode ser qualquer valor real, pois ela pode ser negativa,

positiva ou zero.

• A unidade de medida é o resultado do produto das unidades dos valores das

variáveis aleatórias.

• A covariância de uma variável e ela mesma é a própria variância da variável.

• A permutação das variáveis não altera o resultado da covariância, se os

mesmos pares de valores forem mantidos: )X,X(Cov)X,X(Cov 1221 = .

178

• Se as variáveis X1 e X2 forem estatisticamente independentes, então a

covariância destas variáveis será igual a zero.

• Se o resultado da covariância das variáveis X1 e X2 for igual a zero, não se

pode afirmar que as duas variáveis sejam estatisticamente independentes.

• Para a, b, c e d constantes e X, Y e Z variáveis aleatórias, então sempre se

cumpre que:

)Y,Z(Cov)Y,X(Cov)Y,ZX(Cov)Y,X(acCov)dcY,baX(Cov

)Y,X(aCov)Y,aX(Cov)Y,X(Cov)Y,X(Cov

)a,X(Cov

+=+=++

=−=−

= 0

(A.13)

• Para n variáveis aleatórias dependentes entre si, a matriz covariância XS de

estas variáveis é expressa pela seguinte equação:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(),(),(

)(),()(

21

221

1

nmm

X

XVarXXCovXXCov

XVarXXCovSimétricoXVar

L

MOMMS (A.14)

A.5.2. Coeficiente de correlação

O coeficiente de correlação permite a comparação de duas variáveis, por ser

independente das unidades de medida.

O coeficiente de correlação de duas variáveis aleatórias é definido como a

covariância das amostras dividida pelo desvio padrão de cada amostra

kj

kjxx

kjXX

XXCovσσ

ρ),(

, = (A.15)

onde:

kj XX ,ρ Coeficiente de correlação das variáveis aleatórias Xj e Xk

179

O coeficiente de correlação entre duas variáveis aleatórias varia no intervalo

de 11 +<≤− ijρ . Uma interpretação gráfica deste conceito é apresentada na

Figura A.1, e o grado de dependência entre variáveis aleatórias é classificada

segundo o valor de coeficiente de correlação como mostrada na Tabela A.1.

Por questão prática, a notação formal de coeficiente de correlação entre duas

variáveis ji XX ,ρ é escrita em alguns casos simplesmente como ijρ .

ix ixix

ix

jx

jx jx jx

0=ijρ 0=ijρ 0=ijρ

ix

jx

1+=ijρix

jx

1−=ijρ 10 << ijρ

ix ixix

ix

jx

jx jx jx

0=ijρ 0=ijρ 0=ijρ 0=ijρ 0=ijρ 0=ijρ

ix

jx

1+=ijρix

jx

1+=ijρix

jx

1−=ijρ ix

jx

1−=ijρ 10 << ijρ 10 << ijρ

Figura A.1 – Interpretação gráfica de coeficiente de correlação.

Intervalo de ρ Grau de dependência

0.0 - 0.3 Baixo

0.3 - 0.5 Médio

0.5 - 0.7 Importante

0.7 - 0.9 Forte

0.9 - 1.0 Muito Forte

Tabela A.1 – Grão de dependência das variáveis aleatórias.

180

Características do coeficiente de correlação:

• Os valores do coeficiente de correlação estão limitados entre -1 e +1.

• O coeficiente de correlação é um valor único para o espaço amostral.

• O coeficiente de correlação de uma variável e ela mesma é igual a um 1, =xxρ

• A permutação de variáveis não altera o resultado de coeficiente de correlação

se os mesmos pares de valores forem mantidos: xyyx ,, ρρ = .

• Se as variáveis X e Y forem estatisticamente independentes, então o

coeficiente de correlação destas variáveis será igual a zero.

• Se o resultado do coeficiente de correlação das variáveis X e Y for igual a zero,

não se pode afirmar que as duas variáveis sejam estatisticamente

independentes.

• Para n variáveis aleatórias dependentes entre si, a matriz coeficiente de

correlação ρ é expressa pela seguinte equação:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn XXXXXX

XXXX

XX Simétrico

,,,

,,

,

21

2212

11

ρρρ

ρρρ

L

MOMMρ (A.16)

A.6. Caracterização de Variáveis Aleatórias

A caracterização de variáveis aleatórias é feita por intermédio de funções

que usam as distribuições de probabilidade sobre o espaço amostral. Estas funções

são basicamente duas, a função densidade de probabilidade e a função distribuição

de probabilidade.

A.6.1. Função Densidade de Probabilidade (PDF)

181

A função densidade de probabilidade é uma função matemática contínua

que permite descrever as variáveis aleatórias. Esta função satisfaz as seguintes

condições:

• A função densidade de probabilidade é sempre maior ou igual a zero.

0≥)x(p (A.17)

• A área abaixo da função densidade de probabilidade é igual a um.

∫+∞

∞−

=1dx)x(p (A.18)

• A probabilidade de que um valor da variável aleatória observada esteja entre

dois valores numéricos xa e xb é denotada por ]xXxPr[ ba ≤≤ e é expressa

como:

∫=≤≤b

a

x

xba dx)x(p]xXxPr[ (A.19)

Qualquer função matemática que satisfaça as 3 condições anteriores pode

ser considerada uma função densidade de probabilidade (PDF).

Existem várias funções que são usadas freqüentemente como função

densidade de probabilidade, como exemplo, a função densidade de probabilidade

normal é apresentada nesta seção e na Tabela A.1, são apresentados as funções

mais usadas.

A função matemática da função densidade probabilidade normal é expressa

pela Equação (A.20) e sua representação gráfica é mostrada na Figura A.2.

⎩⎨⎧

−∞>>∞≤≤∞−

=−

−

bcx

cxp e c

bx

,021)(

2)(21

π (A.20)

onde:

bX = Média

182

c=σ Desvio padrão

)(xp

xa

)(ap

AreaaP =)(

b

)(xp

xa

)(ap

AreaaP =)(

b Figura A.2 – Função densidade de probabilidade normal.

A.6.2. Função Distribuição de Probabilidade

A função distribuição de probabilidade é conhecida também na literatura

como função de distribuição cumulativa CDF (Cumulative Distribution Function),

esta função é definida como a integral da função densidade de probabilidade(PDF)

e indica a probabilidade de que uma variável aleatória X tenha um valor menor

ou igual que a (Equação A.21).

∫∞−

=≤=a

dxxpaXaP )(]Pr[)( (A.21)

onde:

)(aP Função distribuição de probabilidade

Pr[X ≤ a] Probabilidade de que a variável X seja menor ou igual que a

p(x) Função densidade de probabilidade

183

Uma função distribuição de probabilidades deve de satisfazer as seguintes

condições:

0.0)( =−∞P (A.22)

1)(0 ≤≤ XP (A.23)

1)( =∞P (A.24)

Para o caso da função densidade de probabilidade normal da Figura A.2, sua

função distribuição de probabilidade é expressa pela Equação A.25, e sua

representação gráfica é mostrada pela Figura A.3.

∫∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

xc

bz

dzec

xP2

21

21)(π

(A.25)

x

)(xP

0.1

a

)(aP

x

)(xP

0.1

a

)(aP

Figura A.3 – Função distribuição de probabilidade normal.

Na Tabela A.2, apresenta-se um resumo das funções densidade

probabilidade (PDF) e as funções distribuição de probabilidade (CDF) mais

usadas.

Tipo III (min.)(Weibull)

Tipo II(máximos)

Tipo I(mínimo)

Tipo I (Max)(Gumbel)

Uniforme

Rayleigh

Exponencial

Lognormal

Normal

E(X)P(X)p(x)

Desvio PadrãoMédiaCDFPDFTipo de

Distribuição

Tipo III (min.)(Weibull)

Tipo II(máximos)

Tipo I(mínimo)

Tipo I (Max)(Gumbel)

Uniforme

Rayleigh

Exponencial

Lognormal

Normal

E(X)P(X)p(x)

Desvio PadrãoMédiaCDFPDFTipo de

Distribuição

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−2

21exp

21

σµ

πσx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φσµx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

21exp ξλ

)( XVar

µ σ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

2)ln(

21exp

21

ξλ

πξx

x ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ

ξλ)ln( x

1)exp()( 2 −ξXE

)exp( xλλ − )exp(1 xλ−−λ1

λ1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2

2 21exp

RR

xxσσ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

2

21exp1

R

xσ Rσπ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2 Rσπ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

22

ab −1

abax

−−

2ba +

12ab −

( )( ))(exp)(exp uxux −−−−− ααα ( )( ))(expexp ux −−− αα5772.0

+uα

π6

( )( ))(exp)(exp uxux −−− ααα ( )( ))(expexp1 ux −−− αα5772.0

−uα

π6

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+ kk

xv

xv

vk exp

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

k

xvexp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −Γ

kv 11

21

1121 2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Γ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −Γ

kkv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+ kk

vx

vx

vk exp

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

k

vxexp1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

kv 11

21

1121 2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

kkv

Tabela A.2 – Funções densidade probabilidade (PDF) e de distribuição de probabilidade (CDF) ( Lopes, 2007).

Na Tabela A.2, os valores de k e a função Gamma )(kΓ nas distribuições

tipo II e tipo III, são avaliadas pelas seguintes equações:

09.1−= ik δ (A.26)

∫∞

−−=Γ0

1)( dxxek kx (A.27)

onde iδ , é o coeficiente variação (seção A.4.6)

A.6.3. Coeficiente de Inclinação de uma Distribuição

O coeficiente de inclinação de uma amostra indica a inclinação de sua

distribuição de freqüências. Matematicamente, é definido como a relação entre o

momento estatístico central de terceira ordem dividido pelo cubo do desvio

padrão.

3

3

ix

iXInclinaçãode.Coef

σ= (A.28)

Interpretação:

• Se o coeficiente de inclinação for igual a zero, a distribuição de freqüências

será simétrica.

• Se o coeficiente de inclinação for negativo, a distribuição de freqüências terá

inclinação esquerda ou negativa.

• Se o coeficiente de inclinação for positivo, a distribuição de freqüências terá

inclinação direita ou positiva.

186

A.6.4. Coeficiente de Curtose

O coeficiente de curtose de uma amostra permite comparar a distribuição de

freqüências da amostra com a distribuição normal. Este coeficiente é definido

como o momento estatístico central de quarta ordem, dividido pela quarta

potência do desvio padrão.

4x

4i

i

XCurtosede.Coef

σ= (A.29)

Se duas distribuições de freqüências têm a mesma dispersão e inclinação,

isso não será suficiente para supor que as duas distribuições têm a mesma forma.

Interpretação:

• Se o coeficiente de curtose for igual a zero, então a distribuição de freqüências

será a própria distribuição normal.

• Se o coeficiente de curtose for negativo, então a distribuição será achatada,

plana.

• Se o coeficiente de curtose for positivo, então a distribuição de freqüências

será concentrada ao redor da média, distribuição com pico.

A.7. Esperança Matemática de uma Variável Aleatória

A esperança matemática é uma operação que consiste na integração

ponderada de uma função de variável aleatória.

∫+∞

∞−

>=< dx)x(p)x(g)X(gE (A.30)

onde:

g(X) Função da variável aleatória

187

p(x) Função de ponderação

E<g(X)> Esperança matemática da função de variável aleatória

Esta operação pode ser visualizada na Figura A.4, que mostra que a

esperança de uma função de variável aleatória é igual a área abaixo da curva

definida por g(x) vezes p(x).

Casos especiais da esperança matemática:

• A esperança da variável aleatória é sua média aritmética.

Xdx)x(xpXE =>=< ∫+∞

∞−

(A.31)

• A esperança matemática de uma variável aleatória multiplicada por uma

constante é a média multiplicada pela constante.

XCXCE >=< (A.32)

• A esperança do quadrado da variável aleatória é igual ao quadrado da média

da amostra.

222 Xdx)x(pxXEa

=>=< ∫+

∞−

(A.33)

• A variância da variável aleatória é definida como:

2222 )X(xEdx)x(p)Xx()XX(E)X(Vara

−><=−>=−<= ∫+

∞−

(A.34)

• O momento estatístico central de ordem m é definido como:

∫+∞

∞−

−>=−< dx)x(p)Xx()XX(E mm (A.35)

188

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c) Figura A.4 – (a) Função de variável aleatória; (b) Função de ponderação; (c) Esperança

matemática da função de variável aleatória.

A esperança matemática para uma função geral g dependente de n variáveis

aleatórias X1, X2,...Xn e sua correspondente função densidade de probabilidade

p(x1,x2,...,xn) é definida como:

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

>=< nnnn dx...dx)x,...,x,x(p)x,...,x,x(g...)X,...,X,X(gE 1212121 (A.36)

Casos especiais mais usados:

• Covariância:

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−>=−−<= kjkjkkjjkkjjkj dxdx)x,x(p)Xx)(Xx(.)XX)(XX(E)X,X(Cov (A.37)

• Coeficiente de correlação:

>−<>−<

>−−<=

22 )()(

))((

kkjj

kkjjjk

XXEXXE

XXXXEρ (A.38)