matrizes - transpostas e simetrias

Transposicao Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exercıcios

Matrizes - Transpostas e Simetrias

Marcio Nascimento

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatematicaDisciplina: Algebra Matricial - 2015.2

7 de janeiro de 2016

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Sumario

1 Transposicao

2 Matriz Conjugada

3 Conjugada Transposta

4 Simetrias

5 Exercıcios

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Sumario

1 Transposicao

2 Matriz Conjugada


4 Simetrias

5 Exercıcios

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Considere as matrizes

A =

[1 −i (2 + i)

(2− 2i) (1 + i) 4

]e B =

1 (2− 2i)−i (1 + i)

(2 + i) 4

Alguma semelhanca entre elas?

Foi feita a transposicao de cada linha de A para uma colunade B.

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Definicao (Transposta de uma Matriz)

Seja A = [ars ] uma matriz de ordem n ×m. Se reescrevermos oselementos de A de modo que cada linha seja disposta em forma decoluna, entao a nova matriz obtida tera ordem m × n e serachamada transposta de A, cuja notacao e AT .

A =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

AT =

a11 a21 . . . an1

a12 a22 . . . an2...

......

a1m a2m . . . anm

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Exemplos:

A =

1 2 . . . m1 22 . . . m2

......

...1 2n . . . mn

AT =

1 1 . . . 12 22 . . . 2n

......

...m m2 . . . mn

A =

1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1

AT =

1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1

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Sumario

1 Transposicao

2 Matriz Conjugada


4 Simetrias

5 Exercıcios

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Qual o conjugado do numero complexo z = 3− 2i?

z = 3 + 2i . (Conceito Algebrico)

Qual o significado geometrico para o conjugado de umnumero complexo?

Repare que z + z ∈ R.

Em geral: z = a + bi =⇒ z = a− bi

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Mas, e a conjugada de uma matriz?

Definicao (Matriz Conjugada)

Seja A = [ars ] uma matriz de ordem n ×m. A matriz conjugadade A e definida por:

A = [ars ]

onde ars e o conjugado do numero complexo ars para cadar ∈ {1, 2, . . . , n}, s ∈ {1, 2, . . . ,m}.

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

.

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.an1 an2 . . . anm

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

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.an1 an2 . . . anm

Qual a ordem da matriz conjugada A?

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Exemplos:

A =

1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1

A =

1 −i −1 i−i −1 i 1−1 i 1 −ii 1 −i −1

A =

1 3 21 17 34 2 0

A =

1 3 21 17 34 2 0

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Sumario

1 Transposicao

2 Matriz Conjugada


4 Simetrias

5 Exercıcios

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Podemos tomar a conjugada e a transposta de uma matriz A.

A =

[(3− i) (−2 + i) 4−i 2i (−1− i)

]

AT =

(3− i) −i(−2 + i) 2i

4 (−1− i)

AT =

(3 + i) i(−2− i) −2i

4 (−1 + i)

A =

[(3 + i) (−2− i) 4

i −2i (−1 + i)

]AT

=

(3 + i) i(−2− i) −2i

4 (−1 + i)

AT = A

T

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Em geral

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

.

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.an1 an2 . . . anm

AT =

a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2

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.a1m a2m . . . anm

AT =

a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2

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.a1m a2m . . . anm

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

.

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.an1 an2 . . . anm

AT

=

a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2

.

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.

.a1m a2m . . . anm

AT = AT

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Notacao

Quando quisermos denotar a matriz conjugada e transposta deuma matriz A, usaremos a notacao

A∗

Isto e,

A∗ = AT

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Propriedades

Dada uma matriz A de ordem n ×m, sao validas:

(A + B)T = AT + BT

(A + B)∗ = A∗ + B∗

(α.A)T = α.AT

(α.A)∗ = α.A∗

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Prova

Provemos a ultima igualdade: (α.A)∗ = α.A∗

(α.A)∗ = (α.A)T

= (α.[ars ]n×m)T

= ([α.ars ]n×m)T

= ([α.ars ]n×m)T

= [α.asr ]m×n

= [α.asr ]m×n

= α.[asr ]m×n

= α.[ars ]Tn×m

= α.A∗

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Sumario

1 Transposicao

2 Matriz Conjugada


4 Simetrias

5 Exercıcios

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A transposta ou conjugada transposta de matrizes quadradaspodem gerar matrizes com algumas peculiaridades, como veremosa seguir.

A =

1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1

AT =

1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1

Veja que A = AT

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Matriz Simetrica

Definicao (Matriz Simetrica)

Dizemos que uma matriz quadrada A e simetrica quando A = AT .

Observe que em uma matriz simetrica,

A∗1 = A1∗,A∗2 = A2∗, . . .A∗n = An∗

Consequentemente

ars = asr

para cada r ∈ {1, 2, ..., n}, s ∈ {1, 2, ..., n}.

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Exemplo

Seja A = [ars ]n×n a matriz tal que ars = (r − s)2. A e simetrica?

ars = asr?

(r − s)2 = (s − r)2?

Sim. Portanto, A e simetrica.

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Matriz Antissimetrica

Considere o seguinte caso:

A =

0 −2 12 0 −1−1 1 0

AT =

0 2 −1−2 0 11 −1 0

Observe que AT = −A.

Definicao (Matriz Antissimetrica)

Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A e antissimetrica

quando AT = −A.

Tem-se A∗1 = −A1∗,A∗2 = −A2∗, . . . ,A∗n = −An∗.

Consequentemente, ars = −asr

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Verdadeiro ou falso?

Se A e uma matriz antissimetrica entao sua diagonalprincipal e nula.

Verdadeiro!

ars = −ars =⇒ a11 = −a11, a22 = −a22, ..., ann = −annDaı, 2a11 = 0, 2a22 = 0, ..., 2ann = 0

Ou seja, a11 = 0, a22 = 0, ..., ann = 0

Observacao

ANTISSIMETRICA NAO E OCONTRARIO DE SIMETRICA

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Exemplo

A =

4 2 1 5−3 2 1 78−13 −45 −22 −15

9 11 8 7

AT =

4 −3 −13 92 2 −45 111 1 −22 85 78 −15 7

Claramente nao ocorre AT = A nem AT = −A. Portanto Anao e simetrica, nem antissimetrica.

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Existem matrizes que sao, ao mesmo tempo, simetrica eantissimetrica?

Dada A = [ars ]n×n, e possıvel: ars = asr e ars = −asr , paracada r , s ∈ {1, 2..., n}?Se ars = asr e ars = −asr , entao asr = −ars , isto e, asr = 0.Portanto ars = 0.

Conclusao: A = 0.

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Matriz Hermitiana

Quando consideramos a matriz conjugada transposta, temosconceitos analogos para simetria e antissimetria.

Seja A =

2 1− i −2 + 2i1 + i 5 3i−2− 2i −3i −4

Entao Se A∗ =

2 1− i −2 + 2i1 + i 5 3i−2− 2i −3i −4

Conclusao: A∗ = A.

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Definicao (Matriz Hermitiana)

Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A e hermitiana1

quando A∗ = A.

A∗1 = A1∗, A∗2 = A2∗, ..., A∗n = An∗

Isto e, ars = asr

1Termo em homenagem ao matematico frances Charles Hermite(1822-1901).

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Matriz Hermitiana

Verdadeiro ou falso?

Se A e uma matriz hermitiana, entao sua diagonalprincipal e formada por numeros reais puros.

Verdadeiro!

Sendo A hermitiana, entao A∗ = A. Isto e, ars = asr

Em particular, a11 = a11, a22 = a22, ..., ann = ann

Para a11 = a11, temos que a1 + ib1 = a1 − ib1, ou seja,b1 = −b1.

Portanto b1 = 0 e a11 = a1 + i .0 = a1 ∈ R.

Da mesma forma, a22, a33, ..., ann ∈ R.

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Matriz Anti-hermitiana

Seja A =

2i 3 + 5i 2− 7i−3 + 5i 0 9−2− 7i −9 −3i

Entao Se A∗ =

−2i −3− 5i −2 + 7i3− 5i 0 −92 + 7i 9 3i

Conclusao: A∗ = −A.

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Definicao (Matriz Anti-hermitiana)

Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A e anti-hermitianaquando A∗ = −A.

A∗1 = −A1∗, A∗2 = −A2∗, ..., A∗n = −An∗

Daı, ars = −asrO que acontece com a diagonal principal de uma matrizanti-hermitiana?

Sao elementos na forma i .b com b ∈ R.

Observacao

ANTI-HERMITIANA NAO E OCONTRARIO DE HERMITIANA

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Sumario

1 Transposicao

2 Matriz Conjugada


4 Simetrias

5 Exercıcios

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Exercıcio

Mostre que (AT )T = A

Solucao

A =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

AT =

a11 a21 . . . an1

a12 a22 . . . an2...

......

a1m a2m . . . anm

(AT )T =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

= A

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Exercıcio

O que ocorre com (A∗)∗?

Solucao

A =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

......

...an1 an2 . . . anm

A∗ =

a11 a21 . . . an1

a12 a22 . . . an2

......

...a1m a2m . . . anm

(A∗)∗ =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

......

...an1 an2 . . . anm

(A∗)∗ =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

......

...an1 an2 . . . anm

= A

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Exercıcio

Qual a solucao para X ∗ = XT ?

Solucao

X =

x11 x12 . . . x1m

x21 x22 . . . x2m

......

...xn1 xn2 . . . xnm

X ∗ =

x11 x21 . . . xn1

x12 x22 . . . xn2

......

...x1m x2m . . . xnm

m×n

XT =

x11 x21 . . . xn1

x12 x22 . . . xn2

......

...x1m x2m . . . xnm

m×n

xrs = xrs

xrs ∈ RX ∈ Rn×m

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Exercıcio

Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz B = A + AT esimetrica.

Devemos mostrar que BT = B

B = A + AT

=⇒ BT = (A + AT )T

=⇒ BT = AT + (AT )T

=⇒ BT = AT + A

=⇒ BT = B

Exercıcio

Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz C = A− AT eantissimetrica.

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