Matrizes Aleatórias: Passeio por Fundamentos e

Aplicações

Marcel Novaes

Universidade Federal de São Carlos

Departamento de Física

Sumário

Surgimento com Wigner e Dyson

Ensembles Gaussianos

Outros Ensembles (Wishart-Laguerre, Circular, Jacobi)

Aplicação em Caos Quântico

Aplicações: Topologia, Combinatória, Teoria de Grupos

Conexão com polinômios ortogonais clássicos

Introdução

Anos 50: Wigner Anos 60: Dyson

Ideia inicial: Hamiltoniana de um núcleo grande é muito complexa

Pode ser trocada por uma matriz aleatória análise estatística do espectro

Os elementos da matriz são sorteados aleatoriamente

Autovalores e autovetores se tornam variáveis aleatórias

Autovalores formam um conjunto de variáveis correlacionadas

Novas distribuições universais = para além da distribuição normal (TCL)

Ensembles Gaussianos

Primeira escolha: Espaço amostral dos elementos

Número reais? Complexos? Quatérnios?

Índice de Dyson: , respectivamente (dimensão do espaço amostral)

Segunda escolha: Distribuição dos elementos

Caso mais simples: variáveis Gaussianas independentes

Formam os famosos GOE, GUE e GSE

(a letra do meio se refere ao grupo de simetria)

Ensembles Gaussianos

Para os três, a densidade é dada por

Grupo de simetria:

Grupos Ortogonal, Unitário e Simplético para GOE, GUE e GSE

Distribuição dos autovalores:

Diagonalização + Integração sobre os autovetores

Resultado:

O Jacobiano é chamado de Vandermonde

Dá origem a uma repulsão entre autovalores próximos

Ensembles Gaussianos

Quantidades derivadas (assintóticas):

Densidade de estados: (Lei do Semicírculo)

Função de correlação:

Espaçamento entre vizinhos: ,..., 232121 EEsEEs ( )

Distribuição do maior autovalor:

(Lei de Tracy-Widom)então

onde q(x) satisfaz uma EDO não-linear (Painlevé II)

Primeira aplicação: Caos Quântico

Exemplo mais simples: partícula na caixa bidimensional

Sistemas regulares:

Sistemas caóticos:

Sistemas dinâmicos clássicos são em geral caóticos

Separação exponencial de condições iniciais (Hiperbolicidade)

Trajetórias longas “cobrem” todo o espaço (Ergodicidade)

Quais as consequências do caos para o problema quântico?

Matrizes Aleatórias em Caos Quântico

Experimento com vibrações de um bloco de quartzo

Experimento com hidrogênio em campo magnético intenso

Simulação numérica para bilhar caótico

1984: Bohigas, Giannoni, Schmit

Mesmo um sistema de poucos graus de liberdade pode ser descrito por matrizes aleatórias, se sua dinâmica clássica for caótica

Evidências sólidas, tanto experimentais quanto numéricas. Por exemplo, P(s):

(Depois disso, explosão: matrizes aleatórias por toda parte)

Simetria ortogonal = Simetria de reversão temporal

Outros Ensembles

Ensemble de Wishart-Laguerre. Matrizes , com H NxM Gaussiana

Usado para modelar: matrizes de covariância, comunicação wireless, econofísica, transporte eletrônico, dinâmica de populações, emaranhamento, etc.

densidade reduzida

Distribuição autovalores:

Densidade de níveis:

(Lei de Marchenko-Pastur)

Maior autovalor: Também Tracy-Widom

Distribuição matrizes:

Outros Ensembles

Ensembles Circulares

Circular Unitary Ensemble, CUE: Grupo Unitário U(N) com medida de Haar

COE: Matrizes Unitárias Simétricas. Isomorfo ao quociente U(N)/O(N)

Usados para modelar matrizes de espalhamento, propagadores

Distribuição autovalores:

Espectro sobre o círculo unitário

Densidade de níveis: constante

Se a função f(H) depende apenas dos autovalores de H, é natural tomar a média sobre os autovetores

Outros Ensembles

Ensembles de Jacobi: JUE, JOE

Em uma situação de espalhamento como esta,

a matriz de espalhamento tem quatro blocos

A matriz é chamada matriz de transmissão

Se ou , então ou

Densidade de níveis: onde

Distribuição de matrizes:

Distribuição de autovalores:

Polinômios ortogonais

Distribuição Polinômios

Hermite

Laguerre

Jacobi

Ortogonalidade

Propriedade do Vandermonde:

Existem muitas matrizes M possíveis. Por exemplo:

Uma consequência: em média, níveis de energia = zeros dos polinômios

Outras Aplicações

Vimos algumas aplicações (Caos Quântico, Espalhamento, Emaranhamento), em que aparecem de fato matrizes que são praticamente aleatórias

Mas a estatística subjacente aparece em situações sem matriz nenhuma

Exemplo 1: Zeros da função de Riemann

Hipótese de Riemann:

Os números tn parecem ter estatística GUE

Exemplo 2: Maior subsequência crescente de permutações

tem L=4

A estatística de L satisfaz Tracy-Widom

(Montgomery ’73, Odlyzko ’92, Keating & Snaith ’01, etc.)

(Baik, Deift & Johansson ‘99)

Aplicação em Topologia

Lei de Wick: Valor médio de produto = produto de valores médios aos pares

Seja o GUE(N) e

Covariância:

Consideremos

Polígono de 2k lados, arestas coladas aos pares

Característica de Euler:

Expansão topológica: (Harer-Zagier, ’86)

Aplicação em Combinatória

Seja o GUE(N) e com

entãoComo

Formulação diagramática: Cada traço vira um vértice

Lei de Wick: Todas as conexões possíveis

Exemplo: Cálculo de discutido anteriormente:

Conclusão: é o número de diagramas com A arestas,

Aplicação em Combinatória

No novo modelo,

Um dado valor de m em produz m vértices

Ao final, teremos para um gráfico com A arestas, m vértices e F faces

Em geral, coisas complicadas

(`t Hooft, ’74)

(Brézin, Itzykson, Parisi, Zuber, ’78)

genus g e kn vértices de grau n

Aplicação em Teoria de Grupos

Seja Então

Prova: Teoria de funções simétricas + Teoria de caracteres

Função de potência

Função de Schur (caracter do grupo unitário)

Caracteres do grupo de permutações

Classe de conjugação

Tamanho do centralizador da classe

Aplicação em Teoria de Grupos

Integral de Itzykson-Zuber:

Pode ser provado de várias formas que

Recentemente,

onde

é função geratriz para certa classe de fatoração de permutações

(Goulden, Guay-Paquet & Novak ’12)

Estreitamente relacionada a uma generalização dos números de Hurwitz

Fornece estatística da condutância de pontos quânticos caóticos

Aplicação em Teoria de Grupos

Produto de elementos de matriz

É preciso que ao final haja apenas módulos quadrados

Os índices k/m devem ser alguma permutação dos i/j

W é chamada função de Weingarten