matrizes - osmatematicos.com.br · 3 x 2 em que aij = 3i – j. 2. escreva os elementos da matriz a...
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MATRIZES
Conceitos e Operações
As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia.
Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas.
Nome Peso(kg) Idade(anos) Altura(m)
Ricardo 70 23 1,70
José 60 42 1,60
João 55 21 1,65
Pedro 50 18 1,72
Augusto 66 30 1,68
O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz.
68,13066
72,11850
65,12155
60,14260
70,12370
68,13066
72,11850
65,12155
60,14260
70,12370
ou
Conceito
Uma matriz Amxn pode ser entendida como um conjunto de mxn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas
e n colunas.
• As Matrizes são representadas por letras maiúsculas e devem ser escritas com parênteses ou colchetes à esquerda e à direita.
• Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento na 2ª linha e da 3ª coluna da matriz A será a23.
• Assim, na matriz abaixo, de 2 linhas e 3 colunas, temos:
8
1
6
3
7
2A
314B
5
3
4,0
C
Exemplos:
matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)
matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)
matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)
Representação Algébrica
*
21
22221
11211
...
nemcom
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n
Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m
aij = i linha j coluna
Exemplos:
1. Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j.
2. Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por .
7
4
1
8
5
2
A
jise
jisea
ji
ij,0
,1
011
101
110
A
Tipos de Matrizes Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual
ao de colunas.
Matriz Transposta: É a matriz que se obtém trocando
ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada. Se B = (bij)mxn é transposta de A = (aij)mxn, então bij = aij.
632
420
531
A
645
323
201TA
tt BABA
AAtt
ttAKAK ..
tttBABA
tttABBA ..
Propriedades da Transposta:
(K real)
( no produto de A.B, inverte a ordem)
Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos
da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.
Ex: matriz identidade matriz identidade
de 2ª ordem de 3ª ordem
1 0 01 0
0 1 00 1
0 0 1
A B
diagonal principal
2531A
Matriz Linha:
Matriz Coluna:
5
0
1
2
B
Matriz Nula: é a matriz que tem todos os elementos iguais a zero.
000
000
000
Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da
diagonal principal são iguais a zero.
Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
613
025
004
300
050
002
600
120
354Matriz Triangular Inferior
Matriz Triangular Superior
Igualdade de Matrizes • Devem ter a mesma ordem: mesmo número de
linhas e o mesmo número de colunas.
• Os elementos devem ser iguais aos seus correspondentes.
A matriz A2x2 é igual a matriz B se, somente se, a matriz B tiver também a ordem 2x2 e os elementos a11 = b11, a21 = b21, a12 = b12 e a22 = b22.
Adição e subtração de Matrizes A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn tal que C = aij+ bij. A subtração de matrizes é dada pela sentença: A – B = A + (– B )
Propriedades da adição de Matrizes
a) A + B = B + A (COMUTATIVA)
b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA)
c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO)
d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO OPOSTO
Para multiplicar um número real por uma matriz basta multiplicar esse
número por cada elemento da matriz.
Formalmente: .,,.;. jiakbBAk ijij
Exemplo:
1228
062
62242
023212
64
0312
xxx
Observação:
35
12
5
610
25
2
12
2
1
610
252 XXX
Produto de uma matriz por um escalar
Exemplos:
1)Considere as matrizes e
.
Calcular:
a)A - 3B b) A + B
312
021A
131
213B
2
1
450
123A
113
024B
02BAX
Dadas as matrizes e
, determine X tal que
.
2/532/3
2/122/1X
Exemplo:
Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998 (França), o grupo
do Brasil era formado também pela escócia, Marrocos e Noruega.
Os resultados estão registrados abaixo em uma matriz A, de
ordem 4 x 3.
País Vitória Empate Derrota
Brasil 2 0 1
Escócia 0 1 2
Marrocos 1 1 1
Noruega 1 2 0
Multiplicação de Matrizes
Então:
0
1
2
1
2
1
1
0
1
1
0
2
A
A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1
Número de Pontos
Vitória 3
Empate 1
Derrota 0
Então:
0
1
3
B
5001231:
4011131:cos
1021130:
6011032:
Noruega
Marro
Escócia
Brasil
5
4
1
6
AB
141334 xxx ABBA
Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos
feitos por cada país. Essa pontuação pode ser registrada numa matriz
que é representada por AB (produto de A por ).
Veja como é obtida a classificação:
Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes.
Observe a relação que existe entre as ordens das matrizes:
Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando
o número de colunas de A for igual ao de linhas de B; além
disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas
de A e o número de colunas de B.
pmpnnm ABBA
32232
121
x
A
2312
41
32
x
B
Exemplo:
e
Calcular: a) AB b) BA 22
203
102
x
Resp. a)
Observações: - Propriedade Comutativa A.B = B.A, não é válida na multiplicação de matrizes.
- Se ocorrer AB = BA, dizemos que as matrizes se comutam. Se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja nula.
11
11A
11
11B
Exemplo: e
A.B =
00
00
1111
1111
11
11.11
11
1212
13
32122
50
968574
938271
9
8
7
654
321
EXERCÍCIOS
1. Efetue as multiplicações: Idéia básica:
Linha vezes coluna!!!
(1)
(2)
615
103
23405310
21425112
25
41
30
12
(3)
12711
171121
233213221342
213511251145
211
324
32
15