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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA PONTA DA

TECNOLOGIA: GEOGEBRA E WINPLOT COMO RECURSO DE

ENSINO APRENDEIZAGEM

Priscla Pigatto Gasparin

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

[email protected]

Franciele Buss Frescki Kestring

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

[email protected]

1 CONHECENDO OS SOFTWARES

1.1 GeoGebra

1.1.1 Histórico

O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e

cálculo. É desenvolvido principalmente para o ensino e aprendizagem da matemática

nas escolas básicas e secundárias, por Markus Hohenwarter, na universidade americana

Florida Atlantic University.

Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite

construir vários objetos: pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas, gráficos

representativos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois ser

modificados dinamicamente.

Por outro lado, equações e coordenadas podem ser introduzidas diretamente com

o teclado. O GeoGebra tem a vantagem de trabalhar com variáveis vinculadas a

números, vetores e pontos. Permite determinar derivadas e integrais de funções e

oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para identificar

pontos singulares de uma função, como raizes ou extremos. Estas duas perspectivas

caracterizam o GeoGebra: a uma expressão na janela algébrica corresponde um objeto

na janela de desenho (ou zona gráfica) e vice-versa.

XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014

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1.1.2 Download do Programa

http://www.geogebra.org/cms

1.1.3 Interface

O GeoGebra fornece três diferentes vistas dos objetos matemáticos: a Zona

Gráfica, a Zona Algébrica, ou numérica, e a Folha de Cálculo. Elas permitem mostrar os

objetos matemáticos em três diferentes representaçãoes: graficamente (pontos, gráficos

de funções), algebricamente (coordenadas de pontos, equações) e nas células da folha de

cálculo. Assim, todas as representações do mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e

adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em qualquer delas,

independentemente da forma como esses objetos foram inicialmente criados.

Figura 1 Interface GeoGebra

1.1.4 Ferramentas Gerais

Cópia estilo visual: Esta ferramenta permite-lhe copiar propriedades visuais (cor,

tamanho, estilo da linha) de um objeto para outros. Para o fazer o primeiro selecionae o

Quer saber um pouco mais sobre a Zona Algébrica, Zona Gráfica e a Folha de

Cálculo acesse http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf

http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf


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objeto cujas propriedades pretende copiar. Depois, clique nos objetos que herdarão

essas propriedades.

Apagar: Clique em qualquer objeto que queira apagar. Observação: Pode usar o

botão “Desfazer” se apagar acidentalmente o objeto errado.

Veja mais em: http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf

1.1.5 Funções definidas no GeoGebra

http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf


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1.2 Winplot

1.2.1 Histórico

O Winplot é um software matemático de uso livre desenvolvido por Richard

Parris, da Philips Exeter Academy, em New Hampshire. É um programa gráfico muito

eficiente e versátil na plotagens de gráficos de funções (de uma ou duas variáveis) em

duas dimensões (2D) e em três dimensões (3D), além de fácil utilização ele poder ser

rodado em computadores menos modernos.

O Winplot é um software criado para ser rodado em plataforma Windows, mas

pode ser rodado em plataforma Linux com ajuda do wine (emulador para aplicativos

Windows no Linux).

1.2.2 Download

http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/winplot.html

1.2.3 Interface

Essa é a janela inicial do Winplot, e contém apenas duas opções:

2-dim F2 = Abrir uma nova janela para gráficos em 2D

3-dim F3 = Abrir uma nova janela para gráficos em 3D

Adivinhar = Uma espécie de jogo, onde o aluno deve tentar descobrir qual é a função,

da qual, o gráfico faz parte.

Mapeador = Basicamente funciona como uma transformação entre dois planos, onde

são pedidas as funçõesu(x,u) e v(x,y).

Abrir última = se esta opção estiver marcada, assim que o Winplot for aberto novamente

ele automaticamente abrirá o último arquivo utilizado.

http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/winplot.html


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Usar padrão = usar as configurações padronizadas do Winplot.

2 Conceitos de Cálculo Diferencial e Integral I a serem trabalhados com os

softwares

Função

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula

matemática". Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e

y=f(x). O objeto x é chamado o argumento ou domínio da função f e o objeto y que

depende de x é chamado imagem de xpela f. Intuitivamente, uma função é uma maneira

de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser

feito especificando através de uma fórmula, um relacionamento gráfico entre diagramas

representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação ou mesmo uma tabela de

correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum

representarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela

função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem

implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.

Este conceito é determinístico, sempre produz o mesmo resultado a partir de uma dada

entrada (a generalização aos valores aleatórios é chamada de função estocástica).

Uma função pode ser vista como uma "máquina" ou "caixa preta" que converte

entradas válidas em saídas de forma unívoca, por isso alguns autores chamam as

funções de relações unívocas. O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento

e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por

uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos.

Observação: Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem várias definições sobre

função.

Limite

O conceito de limite é apresentado por Guidorizzi (2001, p.72), o qual define limite

como:

“Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos

intervalos que compõem o domínio de f . Dizemos que f tem limite L , em p , se para

todo 0 dado, existir um 0 tal que, para todo fDx .


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Lxfpx )(0

Tal número L , que quando existe é único, será indicado por )(lim xfpx

Assim, fpx

DxoLxf

todopara que, tal0 )(lim

Lxfpx )(0

Observação: Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem várias notações para se

calcular o limite de uma função

Derivada de uma função

O conceito de derivada é apresentado por Guidorizzi (2001, p. 137), que define derivada

como: “Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite

px

pfxf

px

)()(lim

Quando existe é único e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se por )(' pf

(leia f linha de p). Assim,

px

pfxfpf

px

)()(lim)('

Se f admite derivada em p , então dizemos que f é derivável ou diferenciável em p

Observação: Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem várias definições e

modos de calcular a derivada de uma função.

Integral de uma função

O conceito de integral é apresentado a seguir e definido como:

“Se f é uma função contínua em ],[ ba e tal que 0)( xf para todo ],[ bax então a

área da região compreendida entre o eixo x e o gráfico f , para x variando em ],[ ba , é

dada por:

n

i

ii

b

an

xxfdxxfA1

)(lim)(

Observação: Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem várias definições e

modos de calcular a integral de uma função.


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3 ATIVIDADES COM O GEOGEBRA

1) Com o auxílio do software Geogebra encontre a inclinação da reta tangente em um

ponto qualquer da curva , que determina a taxa de variação instantânea em um

ponto fixo:

Procedimento de construção:

(i) No campo de entrada do software digite a equação e pressione Enter;

(ii) Na barra de ferramentas selecione a opção Novo ponto, deslize sobre a curva até

encontrar o ponto (2,4) e marque o ponto, renomeie como M;

(iii) Na barra de ferramentas selecione a opção Tangentes, clique sobre a parábola e

em seguida sobre o ponto M e denomine-a por A, obtendo assim a reta tangente a curva

passando por M;

(iv) Digite no campo de entrada m = inclinação [a] e pressione Enter, obtendo assim

o coeficiente angular da reta tangente:

Lembrando que: Deste modo, perceba que a inclinação da reta tangente ou o valor do

coeficiente angular da reta a é 4, neste caso como a taxa de variação instantânea é

positiva, y é crescente no ponto x2 a uma taxa de 4 unidades de acréscimo em relação

a x.

Assim, podemos dizer que o limite existe e a parábola é diferenciável no ponto

M e esse limite é chamado de Derivada, interpretamos a derivada f ' de uma função

como o valor M que é dado pela inclinação da reta tangente em relação ao gráfico dado

ou a taxa de variação instantânea no ponto M.

Se optarmos por mover o ponto M, recurso encontrado na primeira caixa da

barra de ferramentas, percebe-se que ocorrerão mudanças nos objetos dependentes que

aparecem na janela de álgebra, ou seja, mudará o ponto, a reta tangente e a inclinação da

reta tangente;


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Fonte: Dissertação – Utilização do Software Geogebra no Ensino da Derivada – Lorens

Estevan Buriol Siguenãs

4 ATIVIDADES COM O WINPLOT

1) Seja uma função real dada por Esboce o gráfico da função e

verifique se possui assíntotas horizontais ou verticais.

Lembrando que:

A reta é uma assíntota vertical do gráfico de se ao menos um dos limites a

seguir acontece:


(i) Selecione a opção 2-Dim, Equação Explícita e digite a função na janela do

inventário;

(ii) Verifique através do gráfico, os limites, e verifique se possui assíntotas;

Solução:

Como ou podemos

concluir que y = 3 é a única assíntota horizontal de f.


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Além disso, verificamos que ou que para

concluir que a reta vertical x = 1 é assíntota vertical.

Fonte: Assintotas horizontais, verticais e oblíquas – Méricles Thadeu Moretti – MTM

PPGECT/UFSC.

2) Utilizando o Winplot encontre a área entre as funções: e entre 0 e 1;


(i) No Winplot faça o gráfico das funções e

(ii) Clique na opção “Dois” e depois em “Integrações”;

(iii) Abrirá uma janela e devem-se escolher os limites de integração;

(iv) Para isso clique em “Dois” e depois em “Intersecções”, para encontrar os

intervalos de integração;

(v) No lim superior coloque 0, no lim inferior coloque 1 e em sub- intervalos

coloque 1000;

(vi) Selecione “ponto à esquerda”;

(vii) Selecione “Visualizar”;

Solução:

O valor da integral entre as duas curvas é 0,16667:


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Fonte: Tutorial Winplot – Gregory Baldasso Gianeri.

Referências

GIANERI, Gregory, Baldasso. Tutorial Winplot. Disponível em:

<http://www.ime.unicamp.br/~marcio/tut2005/winplot/043808Gregory.pdf>. Acesso

em: 05 fev 2014.

MORETTI, Méricles Thadeu. Assintoras Horizontais, Verticais e Obliquas.

MTM/PPGECT/UFSC. Disponível em: <

http://mtm.ufsc.br/~mericles/arquivos/Assintota.PDF>. Acesso em 10 fev 2014.

SIGUENÃS, Lorens Estevan Buriol. Utilização do Software GeoGebra no Ensino da

Derivada. 2009. 35f. Dissertação (Licenciatura em Matemática) – Área de Ciências

Tecnológicas, UNIFRA, Centro Universitário Franciscando, Santa Maria, 2009.

http://mtm.ufsc.br/~mericles/arquivos/Assintota.PDF

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