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TutorialMT-m4

Matemática 2006 Tutorial Nivel Medio

Función exponencial y logarítmica I

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CEPECH Preuniversitario, Edición 20062


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Función exponencial y logarítmicaMarco Teórico

1. Función exponencial. 1.1 Definición: la función exponencial f con base a, se define como:

f(x) = ax , si a > 0, x ∈ IR

1.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial:

a) Si a >1, f(x) es creciente en todo IR.

f (x)

x

b) Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR.

f (x)

x





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2. Función logarítmica. La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se

representa por loga .

2.1 Definición:

y = loga x ⇔ x = ay

2.2 Crecimiento y decrecimiento logarítmico:

a) Si a >1, f(x) = loga x es creciente para x > 0

f (x)

x

b) Si 0 < a < 1, f(x) = loga x es decreciente para x > 0

f (x)

x



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2.3 Logaritmos.

2.3.1 Definición:

c = loga b ⇔ ac = b c es el logaritmo de b en base a,

b>0, a>0 , a≠ 1

2.3.2 Propiedades:

a) Logaritmo de la base: loga a = 1

b) Logaritmo de la unidad: loga 1 = 0

c) Logaritmo del producto: loga (b ⋅ c) = loga b + loga c

d) Logaritmo del cuociente: logabc

= loga b – loga c

e) Logaritmo de una potencia: loga (bc) = c ⋅ loga b

f) Logaritmo de una raíz: log logan

abn

b= ⋅1

g) Cambio de base: loglogloga

c

c

b ba

=

2.3.3 Notación:

log10 a = log a, loge a = Ln a , con e = 2,718281828......





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3. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales:

3.1 Ecuación exponencial: es aquella en que la incógnita se encuentra en el exponente.

a) Bases iguales: Si ax = ay ⇒ x = y

b) Bases distintas: ax = by (Se aplica logaritmos a ambos lados de la ecuación)

log ax = log by (Aplicando propiedad de logaritmos)

x ⋅ log a = y ⋅ log b (Despejando la incógnita, que en este caso será x)

x = y ba

⋅ loglog

3.2 Ecuación logarítmica:

loga x = loga y ∀ a>0, x>0, y>0, a≠1 ⇒ x = y

Ejercicios

1. Al aplicar la definición de logaritmo a la expresión log5 3 = b , resulta:

A) b5 = 3

B) b3 = 5

C) 35 = b

D) 53 = b

E) 5b = 3

2. Si log 2 = 0,3010 y log 3 = 0,4771, entonces log 12 =

A) 0,1761

B) 0,2872

C) 0,7781

D) 1,0791

E) Otro valor



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3. Si h(x) = logx 9 - logx 27, entonces, h(3) =

A) - 3

B) - 1

C) 0

D) 1

E) 5

4. Si log 12

= x, entonces, log 16 =

A) 5x

B) 4x

C) x2

D) - 4x

E) - 5x

5. Si c > 1, log 8 (logc c 8) =

A) 0

B) 1

C) 8

D) c

E) c 8

6. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdaderas?

I) log 1 ⋅ log 40 = log 40

II) log 14

⋅ log 50 < 0

III) log 6 ⋅ log 10 = log 6





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A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

7. Si log 1

1- y

= 3, entonces, y =

A) −10011000

B) −9991000

C) 999

1000

D) 10011000

2 2a b+

E) Otro valor

8. Si log logc cx+ =4 3 , entonces, x =

A) - 1

B) 0

C) 1

D) 2

E) Otro valor

9. Si 9P + 9P + 9P = 399 , entonces, p =

A) 113

B) 11

C) 49

D) 98

E) 99



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10. Si 52x = 125 , ¿cuántas veces x es igual a 12?

A) 8

B) 6

C) 4

D) 32

E) Ninguna de las anteriores

11. Si f(x) = x y + 1 y f(2) = 17, entonces, y =

A) 17

B) 9

C) 8

D) 4

E) 2

12. Si una colonia de bacterias se cuadruplica cada 1 hora e inicialmente hay 3.000 de

ellas, el número de bacterias que hay al término de 5 horas es:

A) 3.0005

B) 3.000 ⋅ 45

C) 3.000 ⋅ 4

D) 45

E) 4 ⋅ 5

13. Si una población de algas se duplica cada 10 minutos y se sabe que inicialmente hay 5.000 de ellas, ¿cuántas habrá al término de 3 horas?

A) 5.000 ⋅ 23

B) 5.000 ⋅ 29

C) 5.000 ⋅ 218

D) 5.000 ⋅ 230

E) 5.000 ⋅ 2180





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14.Una población de bacterias crece triplicándose cada 1 minuto. ¿Cuántas habrá después

de 4 minutos, si había inicialmente 2 bacterias?

A) 4

B) 48

C) 81

D) 162

E) Otro valor

15. Se puede determinar el número de bacterias presentes en un cultivo después de 8

horas si:

1)Se duplican cada 6 horas.

2)El cultivo está en óptimas condiciones.

A) 1) por sí sola.

B) 2) por sí sola.

C) Ambas juntas, 1) y 2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

Respuestas Preg. Respuesta1 E2 D3 B4 D5 B6 D7 C8 A9 C10 A11 D12 B13 C14 D15 E



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Solucionario:

1. La alternativa correcta es la letra E)

log 5 3 = b (Aplicando definición de logaritmo)

5b = 3

2. La alternativa correcta es la letra D)

log 2 = 0,3010 y log 3 = 0,4771

log 12 = (Descomponiendo 12)

log (3 ⋅ 4) = (Aplicando propiedad de logaritmos)

log 3 + log 4 = (Descomponiendo 4)

log 3 + log 22 = (Aplicando propiedad de logaritmos)

log 3 + 2 ⋅ log 2 = (Reemplazando)

0,4771 + 2 ⋅ 0,3010 (Multiplicando)

0,4771 + 0,602 = (Sumando)

1,0791

3. La alternativa correcta es la letra B)

h(x) = log x 9 - log x 27 (Evaluando la función en 3)

h(3) = log 3 9 - log 3 27 (Aplicando definición de logaritmos)

log 3 9 = a ⇒ 3a = 9

a = 2

∴ log 3 9 = 2

log 3 27 = b ⇒ 3b = 27

b = 3

∴ log 3 27 = 3 (Reemplazando en la función)

h(3) = 2 – 3 (Restando)

h(3) = - 1





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log 12 = x (Aplicando propiedad de potencias)

log 2-1 = x (Aplicando propiedad de logaritmos)

- log 2 = x (Multiplicando por – 1)

log 2 = - x

log 16 = (Expresando 16 como potencia de 2)

log 24 = (Aplicando propiedad de logaritmos)

4 ⋅ log 2 = (Reemplazando log 2)

4 ⋅ - x (Multiplicando)

- 4x

∴ log 16 = - 4x


Si c > 1, log 8 ( log c c 8 ) = (Aplicando propiedad de logaritmos)

log 8 ( 8 ⋅ log c c ) = (Aplicando propiedad de logaritmos)

log 8 (8 ⋅ 1) = (Multiplicando)

log 8 8 = (Aplicando propiedad de logaritmos)

1

∴ log 8 ( log c c 8 ) = 1


I) log 1 ⋅ log 40 = log 40 (Aplicando propiedad de logaritmos)

0 ⋅ log 40 = log 40

0 ≠ log 40

Por lo tanto, I no es verdadera.



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II) log 14

⋅ log 50 < 0 (Aplicando propiedad de logaritmos)

(log 1 – log 4) ⋅ log 50 < 0 (Aplicando propiedad de logaritmos)

(0 – log 4) ⋅ log 50 < 0 (Restando)

- log 4 ⋅ log 50 < 0

Por lo tanto, II es verdadera.

III) log 6 ⋅ log 10 = log 6 (Aplicando propiedad de logaritmos)

log 6 ⋅ 1 = log 6 (Multiplicando)

log 6 = log 6

Por lo tanto, III es verdadera.

Entonces, II y III son verdaderas.

7. La alternativa correcta es la letra C)

log 11- y

= 3 (Aplicando propiedad de logaritmos)

log 1 – log ( 1 - y) = 3 (Despejando log (y-1) )

log 1 – 3 = log (1 - y) (Aplicando propiedad de logaritmos)

0 – 3 = log (1 - y) (Restando)

- 3 = log (1 - y) (Aplicando definición de logaritmos)

10-3= 1 – y (Despejando y)

y = 1 - 1

1000 (Restando)

y = 999

1000





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8. La alternativa correcta es la letra A)

log c x+4 = log c 3 (Aplicando propiedad de logaritmos)

(x + 4) ⋅ log c = 3 ⋅ log c (Simplificando por log c)

x + 4 = 3 (Despejando x)

x = - 1


9P + 9P + 9P = 399 (Sumando)

3 ⋅ 9P = 399 (Expresando 9 en potencia de 3)

3⋅ ( 32)P = 399 (Aplicando propiedad de potencias)

3⋅ 32P = 399 (Aplicando propiedad de potencias)

32P+1 = 399 (Aplicando ecuación exponencial de igual base)

2p + 1 = 99 (Despejando 2p)

2p = 99 – 1 (Restando)

2p = 98 (Despejando p)

p = 982

(Simplificando)

p = 49

10. La alternativa correcta es la letra A)

52x = 125 (Expresando 125 como potencia de 5)

52x = 53 (Aplicando ecuación exponencial de igual base)

2x = 3 (Despejando x)

x = 32



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Debemos determinar cuántas veces x es igual a 12, es decir,

y ⋅ x = 12 (Reemplazando x)

y ⋅ 32

= 12 (Despejando y)

y = 12 23⋅ (Simplificando y multiplicando)

y = 8

∴ 8 veces 32

es igual a 12


f(x) = xy + 1 , f(2) = 17 (Evaluando la función en 2)

f(2) = 2y + 1 (Reemplazando f(2))

17 = 2y + 1 (Despejando 2y)

17 – 1 = 2y (Restando)

16 = 2y (Expresando 16 como potencia de 2)

24 = 2y (Aplicando ecuación exponencial de igual base)

y = 4


Si la cantidad inicial de bacterias es 3.000 y se cuadruplican cada 1 hora, entonces,

al término de 5 horas habrá:

3.000 ⋅ 45 bacterias.





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Las algas se duplican cada 10 minutos, por lo tanto, las 3 horas hay que transformarlas a

minutos.

3 horas = 60 ⋅ 3 = 180 minutos

Como se duplican cada 10 minutos en 180 minutos será 18010

= 18 minutos

Por lo tanto, habrá 5.000 ⋅ 218 algas.


Si hay 2 bacterias inicialmente y se triplican cada 1 minuto, entonces en 4 minutos habrá:

2 ⋅ 34= (Desarrollando la potencia)

2 ⋅ 81 = (Multiplicando)

162

∴ Después de 4 minutos habrá 162 bacterias.

15. La alternativa correcta es la letra E)

De 1) Para determinar la cantidad de bacterias después de 8 horas si se duplican cada 6

horas, se necesita saber la cantidad inicial de bacterias.

Por lo tanto, no se puede determinar.

De 2) No se sabe qué ocurre con las bacterias ni cuántas hay inicialmente.

Por lo tanto, no se puede determinar.

De 1) y 2) no se puede determinar.

Por lo tanto, se requiere información adicional.

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