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MATEMÁTICA

Didatismo e Conhecimento 1

MATEMÁTICA

Professora Evelise AkashiGraduada em Engenharia de Alimentos pela Universidade Es-

tadual de Maringá e Pós-Graduanda em Engenharia de Produção Enxuta pela Pontifícia Universidade Católica.

Olá!

Apresento a matéria de Matemática.

Tenha certeza que com sua dedicação, todos seus objetivos se-rão alcançados, independente de vida profissional ou pessoal.

As dificuldades que você encontra se resolverão conforme você avançar. Prossiga, e a luz aparecerá, e brilhará com clareza cres-cente em seu caminho. (Jean le Rond D’Alembert)

Boa sorte e bons estudos!

CONJUNTOS;

Conjunto está presente em muitos aspectos da vida, sejam eles cotidianos, culturais ou científicos. Por exemplo, formamos conjun-tos ao organizar a lista de amigos para uma festa agrupar os dias da semana ou simplesmente fazer grupos.

Os componentes de um conjunto são chamados de elementos.Para enumerar um conjunto usamos geralmente uma letra

maiúscula.

RepresentaçõesPode ser definido por: -Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 3, 5, 7, 9}-Simbolicamente: B={x∈ N|x<8}, enumerando esses elemen-

tos temos:B={0,1,2,3,4,5,6,7}-Diagrama de Venn

Há também um conjunto que não contém elemento e é repre-sentado da seguinte forma: S=∅ ou S={ }.

Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem tam-bém a outro conjunto B, dizemos que:

• A é subconjunto de B• Ou A é parte de B• A está contido em B escrevemos:A⊂B Se existir pelo menos um elemento de A que não pertence a

B: A⊄B

Pertinência

O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de per-tinência representada pelo símbolo ∈. As letras minúsculas desig-nam os elementos de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é:

V={a,e,i,o,u}A relação de pertinência é expressa por: a∈VA relação de não-pertinência é expressa por:b∉V, pois o ele-

mento b não pertence ao conjunto V.

Inclusão

A Relação de inclusão possui 3 propriedades:Propriedade reflexiva: A⊂A, isto é, um conjunto sempre é

subconjunto dele mesmo.Propriedade antissimétrica: se A⊂B e B⊂A, então A=BPropriedade transitiva: se A⊂B e B⊂C, então, A⊂C.

Operações

UniãoDados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro forma-

do pelos elementos que pertencem pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: A∪B.

Formalmente temos: A∪B={x|x∈A ou x∈B}Exemplo:A={1,2,3,4} e B={5,6}A∪B={1,2,3,4,5,6}

InterseçãoA interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos ele-

mentos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por : A∩B. Simbolicamente: A∩B={x|x∈A e x∈B}

Exemplo:A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g}A∩B={d,e}

DiferençaUma outra operação entre conjuntos é a diferença, que a cada

par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto definido por: A – B ou A\B que se diz a diferença entre A e B ou o comple-

mentar de B em relação a A.


MATEMÁTICAA este conjunto pertencem os elementos de A que não perten-

cem a B. A\B = {x : x∈A e x∉B}.

Exemplo:A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7} Então os elementos de A – B serão os elementos do conjunto A

menos os elementos que pertencerem ao conjunto B.Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.

EXERCÍCIOS

1. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMI-NISTRATIVO – FCC/2014) Dos 43 vereadores de uma cidade, 13 dele não se inscreveram nas comissões de Educação, Saúde e Saneamento Básico. Sete dos vereadores se inscreveram nas três comissões citadas. Doze deles se inscreveram apenas nas comis-sões de Educação e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e Saneamento Básico. Nenhum dos vereado-res se inscreveu em apenas uma dessas comissões. O número de vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a

A) 15.B) 21.C) 18.D) 27.E) 16.

2. (TRT 19ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014) Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar documentos 15 de-les também estão aptos para classificar processos e os demais es-tão aptos para atender ao público. Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público, mas não são capazes de arquivar documentos. Dentre esses últimos técnicos mencionados, 4 deles também são capazes de classificar processos. Sabe-se que aqueles que classificam processos são, ao todo, 27 técnicos. Considerando que todos os técnicos que executam essas três tarefas foram cita-dos anteriormente, eles somam um total de

A) 58.B) 65.C) 76.D) 53.E) 95.

3. (EBSERH/HU-UFS/SE - TECNÓLOGO EM RA-DIOLOGIA - AOCP /2014) Em uma pequena cidade, circulam apenas dois jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. Uma pes-quisa realizada com os moradores dessa cidade mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o jornal B, e 7% leem os jornais A e B. Sendo assim, quantos porcentos não leem nenhum dos dois jornais?

A) 15%B) 25%C) 27%D) 29%E) 35%

4. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO - ÁREA JUDI-CIÁRIA E ADMINISTRATIVA – FAURGS/2012) Observando--se, durante certo período, o trabalho de 24 desenhistas do Tribunal de Justiça, verificou-se que 16 executaram desenhos arquitetôni-cos, 15 prepararam croquis e 3 realizaram outras atividades. O número de desenhistas que executaram desenho arquitetônico e prepararam croquis, nesse período, é de

A) 10.B) 11.C) 12.D) 13.E) 14.

5. (MPE/ES – AGENTE DE APOIO-ADMINISTRATI-VA – VUNESP/2013) No diagrama, observe os conjuntos A, B e C, as intersecções entre A e B e entre B e C, e a quantidade de elementos que pertencem a cada uma das intersecções.

Sabe-se que pertence apenas ao conjunto A o dobro do número de elementos que pertencem à intersecção entre A e B. Sabe-se que pertence, apenas ao conjunto C, o dobro do número de elementos que pertencem à intersecção entre B e C. Sabe-se que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto B é igual à metade da soma da quantidade de elementos que pertencem à intersecção de A e B, com a quantidade de elementos da intersecção entre B e C. Dessa maneira, pode-se afirmar corretamente que o número total de elementos dos conjuntos A, B e C é igual a

A) 90.B) 108.C) 126.D) 162.E) 180.F) 6. (CREMEGO – AGENTE ADMINISTRATIVO –

QUADRIX/2012) Considere os conjuntos:A={1,3,5,6,9,11,12} e B={2,6,8,10,13,25}Quantos são os elementos do conjunto A-B?A) 6B) 5C) 7D) 9E) 1

7. SECAD/TO – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO – AOCP/2012) Em um bairro da cidade, as famílias foram entrevis-tadas. Nesta entrevista, a primeira pergunta era “Sua família possui


MATEMÁTICAgatos?” e a segunda era “Sua família possui cachorros?”. Consta-tou-se que 218 famílias responderam “sim” na segunda pergunta, 307 responderam “não” na primeira pergunta e 74 responderam “sim” em ambas as perguntas. Sabendo que neste bairro 418 famí-lias foram entrevistadas, quantas famílias possuem apenas gatos?

A) 21 famílias. B) 28 famílias. C) 31 famílias. D) 37 famílias. E) 43 famílias.

8. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) Considere um conjunto A formado por todos os números naturais de 0 a 15, um conjunto B formado por todos os números pares de 1 a 10 e C um conjunto formado por todos os números naturais de 0 a 12 que são divisíveis por 3. Sobre esses três conjutos, podemos corretamente afirmar que:

A) 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐶 ⊃ 𝐵B) 𝐵 ∪ 𝐶 = 0,6,12 𝑒 𝐴 ⊃ 𝐶C) 𝐴 ∪𝐵 = 2, 4, 6, 8, 10 𝑒 𝐵 ⊂ 𝐶D) 𝐴 ⊃ 𝐵 𝑒 𝐴 ⊂ 𝐶E) 𝐵 ∩ 𝐶 = 6 𝑒 𝐴 ⊃ 𝐵

Respostas

1. RESPOSTA: “C”.

7 vereadores se inscreveram nas 3.APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não

deve ser tirado de 7 como costuma fazer nos conjuntos, pois ele já desconsidera os que se inscreveram nos três)

APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico.São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões,

pois 13 dos 43 não se inscreveram.Portanto, 30-7-12-8=3Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores.

Só em saneamento se inscreveram: 3+7+8=18

2. RESPOSTA: “B”.15 técnicos arquivam e classificam46-15=31 arquivam e atendem4 classificam e atendemClassificam:15+4=19 como são 27 faltam 8

15+8+4+31+7=65

3. RESPOSTA: “D”.

26+7+38+x=100x=100-71x=29%

4. RESPOSTA: “A”.

16-x+x+15-x+3=24-x=24-34X=10


MATEMÁTICA5. RESPOSTA: “C”.

A=2.16=32C=2.20=40B=(16+20)/2=18A+B+C=32+40+18=9090+16+20=126.

6.RESPOSTA: “A”.A-B ={1,3,5,9,11,12}

7.RESPOSTA: “D”.

163 são as pessoas que responderam não para as duas per-guntas

X+74+144+163=418X=418-381X=37

8. RESPOSTA: “E”.

A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}B={2, 4, 6, 8, 10}C={3, 6, 9, 12}

Lembrando que a “abertura” do sinal ⊃, sempre vai estar para o conjunto maior.

Alternativa A-errada ,pois está falando que o conjunto A está dentro do B

B-símbolo de união coloca todos os númerosC-mesma coisa que a alternativa BD- A⊃B, mas C⊂A

CONJUNTOS NUMÉRICOS;

Números Naturais

Os números naturais são o modelo matemático necessário para efetuar uma contagem.

Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos os elementos dos números naturais:

ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … .

Relação de ordem

- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos: Seja m um número natural.a) O sucessor de m é m+1.b) O sucessor de 0 é 1.c) O sucessor de 1 é 2.d) O sucessor de 19 é 20.

- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:a) 1 e 2 são números consecutivos.b) 5 e 6 são números consecutivos.c) 50 e 51 são números consecutivos.

- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.b) 5, 6 e 7 são consecutivos.c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.

a) O antecessor do número m é m-1.b) O antecessor de 2 é 1.c) O antecessor de 56 é 55.d) O antecessor de 10 é 9.

Subconjuntos de Vale lembrar que um asterisco, colocado junto à letra que

simboliza um conjunto, significa que o zero foi excluído de tal conjunto.

N^*={1,2,3,4,5,….}


MATEMÁTICANúmeros InteirosPodemos dizer que este conjunto é composto pelos números

naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto pode ser representado por:

= {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}Subconjuntos do conjunto :1) * = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} - Este é o conjunto dos

números inteiros, excluindo-se o 0 (zero). 2) + = {0, 1, 2, 3, 4, ...} - Este é o conjunto dos números

inteiros não negativos. 3) - = {..., -4, -3, -2, -1, 0} - Este é o conjunto dos números

inteiros não positivos.

Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |.

O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é

sempre positivo.

Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.

Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0

No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.

Números RacionaisChama-se de número racional a todo número que pode ser

expresso na forma , onde a e b são inteiros quaisquer, com b≠0Assim, os números são dois exemplos de números racionais.Representação Decimal das Frações

Tomemos um número racional qp

, tal que p não seja múltiplo

de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.

Nessa divisão podem ocorrer dois casos:

1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:

25

= 0,4

14

= 0,25

35 4

= 8,75

153 50

= 3,06

2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

31

= 0,333...

221

= 0,04545...

66167

= 2,53030...

Representação Fracionária dos Números Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:

1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

0,9 = 910

5,7 = 5710

0,76 = 76100

3,48 = 348100

0,005 = 51000

= 1200

2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:

Exemplo 1

Seja a dízima 0, 333... .

Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333

Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:

10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração93

.


MATEMÁTICAExemplo 2

Seja a dízima 5, 1717... .

Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 ⇒ x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 99512

.

Números ReaisA reunião do conjunto dos números irracionais com o dos

racionais é o conjunto dos números reais.

Operações

1. AdiçãoSeu objetivo é reunir em um só os valores de vários números.

Os números cujos valores devem ser reunidos são denominados parcelas.

Propriedades

ComutativaPermite comutar(mudar) a ordem das parcelas. Assim:a+b=b+a3+5=5+3-5+3=3+(-5)

Associativa Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas pri-

meiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas e posteriormente associar a primeira.

[a+b]+c=a+[b+c][2+3]+1=2+[3+1]

Elemento neutroa+0=0+a=a2. SubtraçãoA subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir al-

guma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-se diferença ou resto.

b+c=a, portanto, c=a-b

a é o minuendo; b o subtraendo

No entanto, devemos considerar que a subtração de números naturais nem sempre é possível. Quando o subtraendo é maior que o minuendo, não temos solução no conjunto dos naturais.

5-7∉N, mas5-7=-2∈

3. MultiplicaçãoPodemos interpretar a multiplicação como uma soma de par-

celas iguais.

PropriedadesComutativa axb= bxa3x5=5x3(-3)x(-5)=(-5)x(-3)=155x(-3)=(-3)x5=-15

Associativa [axb]xc=ax[bxc][3x2]x2=3x[2x2]

Elemento NeutroAx1=1xA

4. DivisãoOperação inversa à multiplicação.D=dxqOnde,D é o dividendo d é o divisor e q o quociente

5. PotenciaçãoOs números envolvidos em uma multiplicação são chamados

de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a re-presentação dessa multiplicação que é a potenciação.

2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais.

Casos1) Todo número elevado ao expoente 0 resulta em 1.

2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio número.

3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, resulta em um número positivo.


MATEMÁTICA4) Todo número negativo, elevado ao expoente ímpar, re-

sulta em um número negativo.

5) Se o sinal do expoente for negativo, devemos passar o sinal para positivo e inverter o número que está na base.

6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o valor do expoente, o resultado será igual a zero.

Propriedades

1) (am . an = am+n) Em uma multiplicação de potências de mesma base, repete-se a base e adicionar-se (soma) os expoentes.

Exemplos:54 . 53 = 54+3= 57

(5.5.5.5) .( 5.5.5)= 5.5.5.5.5.5.5 = 57

2) (am: an = am-n). Em uma divisão de potência de mesma base. Conserva-se a base e subtraem os expoentes.

Exemplos:96 : 92 = 96-2 = 94

3) (am)n Potência de potência. Repete-se a base e multiplica-se os expoentes.

Exemplos:(52)3 = 52.3 = 56

4) (a . b)n = an . bn Quando a base é um produto (multiplicação),ou quando (a : b)n = an : bn é um quociente (divisão).

Exemplos:(3.5)2 = 32 . 52 = (15)2

6. Radiciação

Radiciação é a operação inversa a potenciação

Casos1. Se m é par, todo número real positivo tem duas raízes:

2. Se m é ímpar, cada número tem apenas uma raiz:

3. n = 1Se n = 1, então 1 a = a

1 10 = 10, porque 101 = 10

4. n é par e a < 0

Considere como exemplo a raiz quadrada de -36, onde a = -36 (negativo) e n = 2 (par).

Não existe raiz quadrada real de -36, porque não existe número real que, elevado ao quadrado, dê -36.

Não existe a raiz real de índice par de um número real negativo.

Propriedade dos Radicais

1ª Propriedade:

Considere o radical 5555 133

3 3 ===

De modo geral, se ,, *NnRa ∈∈ + então:

aan n =

O radical de índice n de uma potência com expoente também igual a n dá como resultado a base daquela potência.

2ª Propriedade:

Observe: ( ) 5.35.35.35.3 21

21

21

===

De modo geral, se ,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++ então:

nnn baba .. =

Radical de um produto Produto dos radicais

O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do radicando.


MATEMÁTICA3ª Propriedade:

Observe: 32

3

232

32

21

21

21

==

=

De modo geral, se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈++ então:

n

nn

ba

ba=

Radical de um quociente Quociente dos radicais

O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indicado é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice dos termos do radicando.

4ª Propriedade:

Observe: 3 232

128

12 8 3333 ===

Então: 12 83 23 212 8 3333 == eDe modo geral, para ,,, *NnNmRa ∈∈∈ + se p *N∈

, temos:

pn pmn m aa . .=

Se p é divisor de m e n, temos:

pn pmn m aa : :=

Multiplicando-se ou dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural maior que zero, o valor do radical não se altera.

Simplificação de Radicais

1º Caso

O índice do radical e o expoente do radicando têm fator comum. De acordo com a 4ª propriedade dos radicais podemos dividir o índice e o expoente pelo fator comum.

Exemplo

Dividindo o índice 9 e o expoente 3 e 6 por 3, temos:

3 23:9 3:63:39 63 2.2.2 aaa ==

2º Caso

Os expoentes dos fatores do radicando são múltiplos do índice. Considere o radical ,.n pna com ,+∈ Ra *Nn∈ e

.Zp∈ Temos:

pnpn

n pn aaa ==.

.

Assim, podemos dizer que, num radical, os fatores do radicando cujos expoentes são múltiplos do índice podem ser colocados fora do radical, tendo como novo expoente o quociente entre o expoente e o índice.

Exemplo

44282482482 9..3..3..381 abbabababa ====

3º Caso

Os expoentes dos fatores do radicando são maiores que o índice, mas não múltiplos deste. Transforma-se o radicando num produto de potências de mesma base, sendo um dos expoentes múltiplos do índice;

Exemplo

ababababbaaba b2242435 ....... ===

EXERCÍCIOS

1. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 pessoas, verifi-cou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as mulheres abordadas, 1/8 foram detidas.

Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial?A) 145B) 185C) 220D) 260E) 120

2. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012) Uma operação λ é definida por: wλ = 1 − 6w, para todo inteiro w.

Com base nessa definição, é correto afirmar que a soma 2λ + (1λ) λ é igual a

A) −20. B) −15. C) −12. D) 15.E) 20.

3. (TRT 6ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO- ADMINISTRA-TIVA – FCC/2012) Em uma praia chamava a atenção um catador de cocos (a água do coco já havia sido retirada). Ele só pegava cocos inteiros e agia da seguinte maneira: o primeiro coco ele coloca inteiro de um lado; o segundo ele dividia ao meio e colocava as metades em outro lado; o terceiro coco ele dividia em três partes iguais e colocava os terços de coco em um terceiro lugar, diferente dos outros lugares; o quarto coco ele dividia em quatro partes iguais e colocava os quartos de coco em um quarto lugar diferente dos outros lugares. No quinto coco agia como se fosse o primeiro coco e colocava inteiro de um lado, o seguinte dividia ao meio, o seguinte em três partes iguais, o seguinte em quatro partes iguais e seguia na sequência: inteiro, meios, três partes iguais, quatro partes iguais. Fez isso com exatamente 59 cocos quando alguém disse ao catador: eu quero três quintos dos seus terços de coco e metade dos seus quartos de coco. O catador consentiu e deu para a pessoa


MATEMÁTICAA) 52 pedaços de coco.B) 55 pedaços de coco.C) 59 pedaços de coco.D) 98 pedaços de coco.E) 101 pedaços de coco.

4. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYA-MA/2013) Analise as operações a seguir:

I abac=ax

II 𝑎𝑏

𝑎𝑐 = 𝑎𝑦

III 𝑎𝑐 2 = 𝑎𝑧

De acordo com as propriedades da potenciação, temos que, respectivamente, nas operações I, II e III:

A) X=b-c, y=b+c e z=c/2.B) X=b+c, y=b-c e z=2c.C) X=2bc, y=-2bc e z=2c.D) X=c-b, y=b-c e z=c-2.E) X=2b, y=2c e z=c+2.

5. (PETROBRAS - TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE JÚNIOR – CESGRANRIO/2013) Ao comprar seis balas e um bombom, Júlio gastou R$1,70. Se o bombom custa R$0,80, qual é o preço de cada bala?

A) R$0,05 B) R$0,15 C) R$0,18 D) R$0,30 E) R$0,50

6. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CES-GRANRIO/2013) Parque Estadual Serra do Conduru, localizado no Sul da Bahia, ocupa uma área de aproximadamente 9.270 hec-tares. Dessa área, 7 em cada 9 hectares são ocupados por florestas.

Qual é, em hectares, a área desse Parque NÃO ocupada por florestas?

A) 2.060B) 2.640C) 3.210D) 5.100E) 7.210

7. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CES-GRANRIO/2013) Gilberto levava no bolso três moedas de R$ 0,50, cinco de R$ 0,10 e quatro de R$ 0,25. Gilberto retirou do bolso oito dessas moedas, dando quatro para cada filho.

A diferença entre as quantias recebidas pelos dois filhos de Gilberto é de, no máximo,

A) R$ 0,45B) R$ 0,90C) R$ 1,10D) R$ 1,15E) R$ 1,35

8. (SEPLAG - POLÍCIA MILITAR/MG - ASSISTEN-TE ADMINISTRATIVO - FCC/2012) Um atleta, participando de uma prova de triatlo, percorreu 120 km da seguinte maneira: 1/10 em corrida, 7/10 de bicicleta e o restante a nado. Esse atleta, para completar a prova, teve de nadar

A) 18 km. B) 20 km. C) 24 km. D) 26 km.

Respostas


Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres

Total de pessoas detidas: 120+25=145

2.RESPOSTA:“E”.Pela definição:Fazendo w=2

3.RESPOSTA:“B”.

14 vezes iguaisCoco inteiro: 14Metades:14.2=28Terça parte:14.3=42Quarta parte:14.4=56

3 cocos: 1 coco inteiro, metade dos cocos, terça parte


MATEMÁTICAQuantidade totalCoco inteiro: 15Metades: 30Terça parte: 45Quarta parte 56

4. RESPOSTA: “B”.

I da propriedade das potências, temos:

𝑎𝑥 = 𝑎𝑏+𝑐 ⇒ 𝑥 = 𝑏 + 𝑐II 𝑎𝑦 = 𝑎𝑏−𝑐 ⇒ 𝑦 = 𝑏 − 𝑐

III 𝑎2𝑐 = 𝑎𝑧 ⇒ 𝑧 = 2𝑐

5. RESPOSTA: “B”.1,70-0,80=0,90Ele gastou R$ 0,90 em balas.

Cada bala custa R$ 0,15.


hectares são ocupados por floresta

7. RESPOSTA: “E”.Supondo que as quatro primeiras moedas sejam as 3 de R$

0,50 e 1 de R$0,25(maiores valores).Um filho receberia: 1,50+0,25=R$1,75E as ouras quatro moedas sejam de menor valor: 4 de

R$0,10=R$0,40.A maior diferença seria de 1,75-0,40=1,35Dica: sempre que fala a maior diferença tem que o maior valor

possível – o menor valor.


FUNÇÕES; RELAÇÕES; FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º E 2º GRAU; FUNÇÃO

MODULAR; FUNÇÃO EXPONENCIAL; FUNÇÃO LOGARÍTMICA;

Conceito função do 1º grau

A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma ex-pressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1 x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, consti-tuídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordena-da x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja reali-zado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

Estudo dos Sinais

Definimos função como relação entre duas grandezas repre-sentadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de formação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do do-mínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente.

Função Crescente – a > 0


MATEMÁTICAFunção Decrescente – a < 0

Raiz da função

Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:

Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja:

y = ax + by = 0ax + b = 0ax = –bx = –b/a

Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 1º grau, basta utilizar a expressão x = –b/a.

Função Quadrática

Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau tem a seguinte forma:

f(x)=ax²+bx+c, onde a≠0É essencial que apareça ax² para ser uma função quadrática e

deve ser o maior termo.

Considerações

ConcavidadeA concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo se a<0

Relação do ∆= !! − 4!"! na função

Quando ∆> 0!, a parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos distintos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes da equa-ção ax²+bx+c=0

Quando ∆= 0!, a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, no ponto – !2! , 0 .!

Repare que, quando tivermos o discriminante , as duas raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais a −

!2!!

.

Raízes

! =−!± !! − !"#

!"

!! =−!+ !! − !"#

!"

!! =−!− !! − !"#

!" !Se, a parábola y=ax²+bx+c não intercepta o eixo.

Vértices e Estudo do Sinal

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:


MATEMÁTICA

Função exponencial

A expressão matemática que define a função exponencial é uma potência. Nesta potência, a base é um número real positivo e dife-rente de 1 e o expoente é uma variável.

Função crescente

Se temos uma função exponencial crescente, qual-quer que seja o valor real de x.

No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da função é crescente.

Gráfico

Função decrescente

Se 0 < a < 1 temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função.

Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x au-menta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.

A Constante de EulerÉ definida por :e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e) = 1Este número é denotado por e em homenagem ao matemático

suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 10 dígitos decimais, é: e = 2,7182818284

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:

ex = exp(x)

Propriedades da função exponencial

Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então:

- ax ay= ax + y

- ax / ay= ax - y

- (ax) y= ax.y

- (a b)x = ax bx

- (a / b)x = ax / bx

- a-x = 1 / ax

Logaritmo

Considerando-se dois números N e a reais e positivos, com a ≠1, existe um número c tal que:

!! = ! !A esse expoente c damos o nome de logaritmo de N na base a

log! ! = ! ↔!! = ! !

Ainda com base na definição podemos estabelecer condições de existência:

log! ! = ! ,! > 0,! > 0!!!!! ≠ 1 !


MATEMÁTICAExemplo

log! 8 = ! 2! = 8 2! = 2! ! = 3 !Consequências da Definição

1.!! log! ! = 1 2.!! log! 1 = 0 3. log! !! = !

4. log!1! = −1

5.!!!!"#!! = ! !Propriedades

log! MN = log!! + log! !

log!!! = log!! − log! !

log!!! = ! ∙ log!!

log! !!! =!! log!! ! ≠ 0

!Mudança de Base

log! ! =log! !log! !

, (! > 0!!!! ≠ 1)!

!

Mudança de Base

Função Modular

Uma função f:R→R dada por f(x)=|x| denomina-se função mo-dular.

As principais características dessa função modular são:-domínio: R-imagem: R+

-

ExemploFaça o gráfico da função f(x)=|x²-5x+4|

SoluçãoPrimeiramente, fazemos o gráfico da função sem o módulo:

f(x)=x²-5x+4

O gráfico da função f(x)=|x²-5x+4| será

EXERCÍCIOS

1. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉR-CITO BRASILEIRO/2013) Uma epidemia ocorre, quando uma doença se desenvolve num local, de forma rápida, fazendo várias vítimas, num curto intervalo de tempo. Segundo uma pesquisa, após t meses da constatação da existência de uma epidemia, o nú-mero de pessoas por ela atingida é . Considerando que o mês tenha 30 dias, e , 2000 pessoas serão atingidas por essa epidemia, aproximadamente, em

A) 7 dias.B) 19 dias.C) 3 meses.D) 7 meses.E) 1 ano.

2. (SANEAGO – AGENTE DE INFORMÁTICA – IBEG/2013) Uma substância se decompõe aproximadamente se-gundo a lei Q(t)=a.2-0,5t, em que “a” é uma constante, “t” indica o tempo (em minutos) e Q(t) indica a quantidade de substância (em gramas) no instante “t”.


MATEMÁTICA

Considerando os dados desse processo de decomposição re-presentados no gráfico, a quantidade de substância (em gramas) no instante b+2 min é:

A) 256gB) 128gC) 64gD) 432gE) 326g

3. (LIQUIGÁS – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2012) Qual é o produto das raízes da equação [log(x)]²- log(x²) - 3 = 0 ?

A) - 3.000B) - 3C) 0,001D) 100E) 1.000

4. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) Em um laboratório de pesquisa descobriu-se que o crescimento da população de um determiado tipo de bactéria é descrito pela função , onde é o número de bactérias no instante t (t em horas) e a e b são constantes reais. No ínicio da observação havia 1500 bactérias e após duas horas de observação havia 4500. Com essas informações, concluímos que os valores de a e b, respectivamente são:

A) 3000 e 1.B) 4500 e 0,5.C) 1500 e 0,5.D) 1500 e 1.E) 3000 e 0,5.

5. (PM/SP – OFICIAL – VUNESP/2013) Na figura, tem--se o gráfico de uma parábola.

Os vértices do triângulo AVB estão sobre a parábola, sendo que os vértices A e B estão sobre o eixo das abscissas e o vértice V é o ponto máximo da parábola. A área do triângulo AVB, cujas medidas dos lados estão em centímetros, é, em centímetros qua-drados, igual a

A) 8.B) 9.C) 12.D) 14.E) 16.

6. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚ-NIOR – CESGRANRIO/2012) Sejam f(x)=-2x²+4x+16 e g(x)=ax²+bx+c funções quadráticas de domínio real, cujos grá-ficos estão representados acima. A função f(x) intercepta o eixo das abscissas nos pontos P(xP,0) e M(xM,0) e g(x), nos pontos (1,0) e Q(xQ,0).

Se g(x) assume valor máximo quando x=xM, conclui-se que xQ é igual a

A) 3B) 7C) 9D) 11E) 13

7. (SANEPAR – TÉCNICO AMBIENTAL – UEL/COPS/2013) Em determinada condição, a quantidade de cloro em uma piscina após t horas é dada por C(t)=1000x(0,9)t. Res-peitando as condições citadas, foram colocados 1000 gramas de cloro em uma piscina cheia de água.

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, após quantas horas esta quantidade de cloro na piscina se reduz à me-tade.

A) 3B) 4C) 5D) 6E) 7


MATEMÁTICARespostas


Aplicando log

-2tlog 2²=log 2³ –log 15

Substituindo:

1 mês----30 dias0,23----xX=6,9 dias, aproximadamente 7 dias


t=0, Q(t)=2048

2048=a

512=2048.2-0,5b

512/2048=2-0,5b

29/211=2-0,5b

29-11=2-0,5b

2-2=2-0,5b

-0,5b=-2b=2/0,5b=4

Queremos saber Q(t) em 4+2=6Q(t)=2048.2-0,5.6

Q(t)=2048.2-3

Q(t)=2048/8=256g


[log(x)]²- 2logx - 3 = 0

Fazendo logx=yy²-2y-3=0

∆=4+12=16

Substituindo:Log x=3X=10³=1000Log x=-1X=10-1=0,1Produto das raízes: 1000⋅0,1=100

4.RESPOSTA: “C”.N(t)=a.3bt

Início: t=01500=a.30

a=1500N(2)=1500.32b

4500=1500. 32b

3=32b

2b=1b=1/2


As raízes são -1 e 3 Sendo função do 2º grau: -(x²-Sx+P)=0(concavidade pra bai-

xo a<0)-x²+Sx-P=0S=-1+3=2P=-1⋅3=-3

-


MATEMÁTICABase: -1até 0 e 0 até 3Base: 1+3=4


A soma das raízes é –b/a

Se já sabemos que uma raiz é 1:


Aplicando log:

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS;

Progressão Aritmética

Denomina-se progressão aritmética (PA) a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da PA.

ExemploA sequência (2,7,12) é uma PA finita de razão 5:

ClassificaçãoAs progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo

com o valor da razão r.r<0, PA decrescenter>0, PA crescenter=0 PA constante

Propriedades das Progressões Aritméticas-Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média

aritmética entre o anterior e o posterior.

-A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Termo Geral da PAPodemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an,...) da

seguinte forma:

Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro número de razões r igual à posição do termo menos uma unidade.

Soma dos Termos de uma Progressão AritméticaConsiderando a PA finita (6,10, 14, 18, 22, 26, 30, 34).6 e 34 são extremos, cuja soma é 40


MATEMÁTICA

Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Soma dos TermosUsando essa propriedade, obtemos a fórmula que permite

calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética.

ExemploUma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é

igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o primeiro termo?SoluçãoComo esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o termo

central é o a20, que possui 19 termos à sua esquerda e mais 19 à sua direita. Então temos os seguintes dados para solucionar a questão:

Sabemos também que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente o valor de metade da soma dos extremos.

Em notação matemática temos:

Assim sendo:O primeiro termo desta sucessão é igual a -14.

Progressão GeométricaDenomina-se progressão geométrica(PG) a sequência em que

se obtém cada termo, a partir do segundo, multiplicando o anterior por uma constante q, chamada razão da PG.

ExemploDada a sequência: (4, 8, 16)

q=2

ClassificaçãoAs classificações geométricas são classificadas assim:

- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1.

- Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1.

- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.

- Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria.

- Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.

Termo Geral da PGPelo exemplo anterior, podemos perceber que cada termo é

obtido multiplicando-se o primeiro por uma potência cuja base é a razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade.

Portanto, o termo geral é:

Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica FinitaSeja a PG finita de razão q e de soma dos termos Sn:1º Caso: q=1

2º Caso: q≠1

ExemploDada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27,..) calcular:a) A soma dos 6 primeiros termosb) O valor de n para que a soma dos n primeiros termos seja

29524

Soluçãoa)


MATEMÁTICAb)

Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Infinita1º Caso:-1<q<1

Quando a PG infinita possui soma finita, dizemos que a série é convergente.

2º Caso:A PG infinita não possui soma finita, dizemos que a série é

divergente3º Caso: Também não possui soma finita, portanto divergente

Produto dos termos de uma PG finita

EXERCÍCIOS

1. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO AD-MINISTRATIVO – FCC/2014) Uma sequência inicia-se com o número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é

A) -6,7.B) 0,23.C) -3,1.D) -0,03.E) -0,23.

2. (MPE/AM – AGENTE DE APOIO- ADMINISTRA-TIVO – FCC/2013) Considere a sequência numérica formada pe-los números inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são dados a seguir.

(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...)O último algarismo do 234º elemento dessa sequência éA) 0B) 2C) 4D) 6E) 8

3. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SE-GURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN/2013) O pri-meiro e o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. A soma do segundo e quarto termos dessa sequência é igual a

A) 210. B) 250. C) 360. D) 480. E) 520.

4. PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SE-GURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN/2013) Jonas começou uma caminhada no quarteirão com a intenção de com-pletar 4 voltas em torno do mesmo. Se, a cada volta, ele demora 5 minutos a mais que o tempo gasto na volta anterior, gastando nas 4 voltas um total de 1 hora e 2 minutos, então o tempo gasto para completar a primeira volta foi de

A) 6 minutos. B) 7 minutos. C) 8 minutos. D) 9 minutos. E) 10 minutos. F) 5. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012)

Considere que os termos da sucessão seguinte foram obtidos se-gundo determinado padrão.

(20, 21, 19, 22, 18, 23, 17, ...) Se, de acordo com o padrão estabelecido, X e Y são o décimo

e o décimo terceiro termos dessa sucessão, então a razão Y/X é igual a

A) 44%. B) 48%. C) 56%. D) 58%. E) 64%.

6. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CES-GRANRIO/2013) Progressões aritméticas são sequências numé-ricas nas quais a diferença entre dois termos consecutivos é cons-tante.

A sequência (5, 8, 11, 14, 17, ..., 68, 71) é uma progressão aritmética finita que possui

A) 67 termosB) 33 termosC) 28 termosD) 23 termosE) 21 termos

7. (TJ/SP - AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO - AU-XILIAR EM SAÚDE BUCAL – VUNESP/2013) Em uma reu-nião de condomínio com 160 pessoas presentes, cada uma recebeu um número diferente, a partir de 1 até 160. Na reunião, foram fei-tas duas comissões (A e B) com os seguintes integrantes: na comis-são A, as pessoas portadoras de número ímpar e, na comissão B, as pessoas portadoras de número múltiplo de 3. Dentre as pessoas presentes na reunião, os participantes de ambas as comissões cor-respondem à

A) 16,875%.B) 16,250%.C) 17,500%.D) 18,750%.E) 18,125%.


MATEMÁTICA8. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚ-

NIOR – CESGRANRIO/2012) Álvaro, Bento, Carlos e Danilo trabalham em uma mesma empresa, e os valores de seus salários mensais formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Danilo ganha mensalmente R$ 1.200,00 a mais que Álvaro, enquanto Bento e Carlos recebem, juntos, R$ 3.400,00 por mês.

Qual é, em reais, o salário mensal de Carlos?A) 1.500,00B) 1.550,00C) 1.700,00D) 1.850,00E) 1.900,00

Respostas



r=4

Portanto, o último algarismo é 6.

3.RESPOSTA: “E”.

4.RESPOSTA: “C”.r=5 minutos1 hora e 2 minutos=62 minutos


Pensando no décimo termo da sequência como o 5º termo da sequência par (2º termo, 4º termo...):

Décimo terceiro termo é o 7º termo da sequência imparA sequência ímpar (1º termo, 3º termo...) a r=-1


an=71a1=5r=8-5=3


MATEMÁTICA7.RESPOSTA: “B”.O último número ímpar e múltiplo de 3 é o 159.

Sequência ímpar: 1,3,5,7,9 11,13,15,17,19,21....Sequência múltiplo: 3,6,9,12,15,18,21...

A cada 6 números (3,9,15..) o número estará nas duas comissões.

a1=3an=159r=6

Participarão de ambas as comissões 16,25%

8.RESPOSTA: “E”.Álvaro ganha: xDe Álvaro para Bento:rÁlvaro para Carlos: 2rÁlvaro para Danilo: 3r3r=1200r=400

x+r+x+2r=3400x+400+x+800=34002x=2200X=1100Portanto, o salário de Carlos é 1100+800=1900

MATRIZES; DETERMINANTES; SISTEMAS LINEARES;

Matriz

Chama-se matriz do tipo m x n, m ∈N* e n∈N*, a toda tabe-la de m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Indica-se a matriz por uma letra maiúscula e colocar seus ele-mentos entre parênteses ou entre colchetes como, por exemplo, a matriz A de ordem 2x3.

𝐴 = 1 2 57 5 8

Representação da matriz

Forma explicita (ou forma de tabela)A matriz A é representada indicando-se cada um de seus ele-

mentos por uma letra minúscula acompanhada de dois índices: o primeiro indica a linha a que pertence o elemento: o segundo indi-ca a coluna a que pertence o elemento, isto é, o elemento da linha i e da coluna j é indicado por ij.

Assim, a matriz A2 x 3 é representada por:

𝐴 =𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23

Forma abreviadaA matriz A é dada por (aij)m x n e por uma lei que fornece aij em

função de i e j.A=(aij)2 x 2, onde aij=2i+j

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

𝑎11 = 2.1 + 1 = 3𝑎21 = 2.2 + 1 = 5𝑎12 = 2.1 + 2 = 4𝑎22 = 2.2 + 2 = 6

Portanto, 𝐴 = 3 45 6

Tipos de Matriz

Matriz linha

Chama-se matriz linha a toda matriz que possui uma única linha.

Assim, [2 3 7] é uma matriz do tipo 1 x 3.

Matriz coluna

Chama-se matriz coluna a toda matriz que possui uma única coluna.

Assim, 13 é uma matriz coluna do tipo 2 x 1.

Matriz quadrada

Chama-se matriz quadrada a toda matriz que possui número de linhas igual ao número de colunas. Uma matriz quadrada A do tipo n x n é dita matriz quadrada de ordem n e indica-se por An. Exemplo:

𝐴 =5 7 87 4 69 1 2


MATEMÁTICAa) Diagonaisb) Diagonal principal é a sequência tais que i=j, ou seja,

(a11, a22, a33,..)c) Diagonal secundária é a sequência dos elementos tais

que i+j=n+1, ou seja, (a1n, a2 n-1,...)

Matriz diagonal

Uma matriz quadrada de ordem n(n>1) é chamada de matriz diagonal se, e somente se, todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.

𝐴 =1 0 00 3 00 0 5

Matriz identidade

Uma matriz quadrada de ordem n(n>1) é chamada de matriz identidade se, e somente se, os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais são iguais a zero.

𝐼2 = 1 00 1 𝐼3 =

1 0 00 1 00 0 1

Matriz nula

É chamada matriz nula se, e somente se, todos os elementos são iguais a zero.

𝐴 = 0 00 0

Matriz Transposta

Dada a matriz A=(aij) do tipo m x n, chama-se matriz transpos-ta de A a matriz do tipo n x m.

𝐴 = 2 1 3 0 4 5

𝐴𝑡 =2 01 43 5

Adição de Matrizes

Sejam A= (aij), B=(bij) e C=(cij) matrizes do mesmo tipo m x n. Diz-se que C é a soma de A com B, e indica-se por A+B.

Dada as matrizes:

𝐴 =3 − 11 24 0

𝐵 =2 30 11 2

𝐴 + 𝐵 = 𝐶 =3 + 2 − 1 + 31 + 0 2 + 14 + 1 0 + 2

, portanto 𝐶 =5 21 35 2

Propriedades da adiçãoComutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento neutro: A + O = O + A = A Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O Transposta da soma: (A + B)t = At + Bt

Subtração de matrizes

Sejam A=(aij), B=(bij) e C=(cij), matrizes do mesmo tipo m x n. Diz-se que C é a diferença A-B, se, e somente se, C=A+(-B).

𝐴 = 2 03 −1 𝐵 = 4 −1

2 0𝐴− 𝐵 = 𝐴+ −𝐵 = 2 0

3 −1 + −4 1−2 0

𝐴− 𝐵 = −2 11 −1

Multiplicação de um número por uma matriz

Considere:

𝐴 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

2𝐴 = 2𝑎 2𝑏2𝑐 2𝑑

Multiplicação de matrizes

O produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por uma matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elemen-tos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos.

Dada as matrizes:

A = 𝟎 13 0 B = 4

2𝐶 =

𝑐11𝑐21

𝑐11 = 0.4 + 1.2 = 2𝑐21 = 3.4 + 0.2 = 12

C = 212


MATEMÁTICAMatriz Inversa

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é cha-mada inversa de A se, e somente se,

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 = 𝐼𝑛𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐵 = 𝐴−1

Exemplo:Determine a matriz inversa de A.

𝐴 = 1 −2−1 3

SoluçãoSeja 𝐵 = 𝑥 𝑦

𝑧 𝑡𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐼2 ∴ 1 −2

−1 3 ∙ 𝑥 𝑦𝑧 𝑡 = 1 0

0 1𝑥 − 2𝑧 𝑦 − 2𝑡−𝑥 + 3𝑧 −𝑦 + 3𝑡 = 1 0

0 1Temos que x=3; y=2; z=1; t=1

Logo, 𝐴−1 = 𝐵 = 3 21 1

DeterminanteDada uma matriz quadrada, chama-se determinante o número

real a ela associado.

Cálculo do determinanteDeterminante de ordem 1

𝐴 = 𝑎𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎 = 𝑎

Determinante de ordem 2

Dada a matriz 𝐴 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

O determinante é dado por:

𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 = 𝑎.𝑑 − 𝑏. 𝑐

Determinante de ordem 3Regra 1:

Repete a primeira e a segunda coluna

Regra 2

detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a32 a21 a13 - a31 a22 a13 -a12 a21 a33 - a32 a23 a11

Sistemas de equações primeiro grau

Duas equações de 1º grau, com duas incógnitas formam um “sistema de equações”.

Para encontramos o par ordenado solução de um sistema pode-se utilizar dois métodos para a sua solução.

Esses dois métodos são: Substituição e Adição.

Método da substituição

Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como:

Dado o sistema �𝑥 + 𝑦 = 203𝑥 + 4𝑦 = 72 , enumeramos as equações.

Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: x + y = 20 x = 20 – y

Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 3x + 4 y = 72 3 (20 – y) + 4y = 72 60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 – 60y = 12

Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação

x = 20 – y. x = 20 – y x = 20 – 12 x = 8

Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)


MATEMÁTICAMétodo da adição Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal

forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.

Dado o sistema:

Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das in-cógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3.

Agora, o sistema fica assim:

Adicionando as duas equações: - 3x – 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12

Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado:

x + y = 20 x + 12 = 20 x = 20 – 12 x = 8 Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos

o valor da solução será sempre o mesmo.

Sistemas Simples do 2º Grau1)

�𝑦 − 𝑥2 = 2𝑦 − 2𝑥 = 0

y-2x=0y=2xSubstituindo na primeira equação:2x-x²-2=0x²-2x+2=0∆= 4− 8 = −4Nesse caso, a equação não possui raízes reais

2) Resolva o sistema:

�𝑦 − 3𝑥 = −1𝑥2 − 2𝑥𝑦 = −3

y=-1+3x

Substituindo na segunda equação:x²-2x(-1+3x)=-3x²+2x-6x²=-3-5x²+2x+3=0 (-1)5x²-2x-3=0

∆= 4 + 60 = 64

𝑥 =2 ± 8

10𝑥1 = 1 𝑒 𝑥2 = −

35

Obtendo y para cada x:y=3x-1

𝑦1 = 3 ∙ 1− 1 = 2

𝑦2 = 3 ∙ −35 − 1 = −

145

𝑆 = { 1,2 , −35 ,−

145 }

EXERCÍCIOS

1. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma das re-giões da cidade durante uma semana.

Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o núme-ro de ocorrência no turno i do dia j da semana.

O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia, somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno do 7º dia será:

A) 61B) 59C) 58D) 60E) 62


MATEMÁTICA2. ((PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) Consi-

dere a seguinte sentença envolvendo matrizes:

6 𝑦7 2 + 1 −3

8 5 = 7 715 7

Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira.

A) 4. B) 6. C) 8. D) 10.

3. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) É cor-

reto afirmar que o determinante 1 𝑥−2 4

é igual a zero para x igual a

A) 1. B) 2. C) -2. D) -1.

4. (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF/2012) Calcule o determinante da matriz:

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos𝑥

A) 1B) 0C) cos 2xD) sen 2xE) sen x/2

5. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) As-sinale a alternativa que apresente o resultado da multiplicação das matrizes A e B abaixo:

𝐴 = 2 13 −1 ∙ 𝐵 = 0 4 − 2

1 −3 5

a) −1 −5 11 15 11

b) 1 5 1−1 15 − 11

c) 1 5 − 11 −15 11

d) 1 5 11 15 11

e) −1 5 − 11 15 − 11

6. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCI-TO BRASILEIRO/2013) O elemento da segunda linha e terceira

coluna da matriz inversa da matriz 1 0 12 1 00 1 1

é:

A) 23

B) 32

C) 0

D) -2

E) −13

7. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Os cidadãos que aderem voluntariamente à Campanha Nacional de Desarmamento recebem valores de indenização entre R$150,00 e R$450,00 de acordo com o tipo e calibre do armamento. Em uma determinada semana, a campanha arrecadou 30 armas e pa-gou indenizações somente de R$150,00 e R$450,00, num total de R$7.500,00.

Determine o total de indenizações pagas no valor de R$150,00.A) 20B) 25C) 22D) 24E) 18

8. (PETROBRAS - TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE JÚNIOR – CESGRANRIO/2013) Maria vende salgados e doces. Cada salgado custa R$2,00, e cada doce, R$1,50. Ontem ela faturou R$95,00 vendendo doces e salgados, em um total de 55 unidades.

Quantos doces Maria vendeu? A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

9. (BANCO DO BRASIL – ESCRITURÁRIO – FCC/2013) Dos 56 funcionários de uma agência bancária, alguns decidiram contribuir com uma lista beneficente. Contribuíram 2 a cada 3 mulheres, e 1 a cada 4 homens, totalizando 24 pessoas.

A razão do número de funcionárias mulheres para o número de funcionários homens dessa agência é de

A) 3 para 4. B) 2 para 3. C) 1 para 2. D) 3 para 2. E) 4 para 5.

10. (TJ/SP – ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO – VUNESP/2013) Uma empresa comprou um determinado número de folhas de papel sulfite, embaladas em pacotes de mesma quan-tidade para facilitar a sua distribuição entre os diversos setores.


MATEMÁTICATodo o material deverá ser entregue pelo fornecedor acondi-

cionado em caixas, sem que haja sobras. Se o fornecedor colocar 25 pacotes por caixa, usará 16 caixas a mais do que se colocar 30 pacotes por caixa. O número total de pacotes comprados, nessa encomenda, foi

A) 2200.B) 2000.C) 1800.D) 2400.E) 2500.

Respostas


Turno i –linha da matrizTurno j- coluna da matriz

2º turno do 2º dia – a22=183º turno do 6º dia-a36=251º turno do 7º dia-a17=19

Somando:18+25+19=62


6 + 1 = 7 𝑦 − 3 = 77 + 8 = 15 2 + 5 = 7

y=10


D=4-(-2x)0=4+2xX=-2


det=cos²x-sen²xdet=cos 2x

5. RESPOSTA: “B𝐴 ∙ 𝐵

= 2 ∙ 0 + 1 ∙ 1 2 ∙ 4 + 1 ∙ (−3 ) 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 53 ∙ 0 + (−1) ∙ 1 3 ∙ 4 + −1 ∙ −3 3 ∙ −2 + (−1) ∙ 5

𝐴 ∙ 𝐵 = 1 5 1−1 15 − 11

6. RESPOSTA: “A”.A.B=I

Como queremos saber o elemento da segunda linha e terceira coluna(f):

Da primeira equação temos:c=-isubstituindo na terceira:f-c=1

�2𝑐 + 𝑓 = 0 𝑥 − 1𝑓 − 𝑐 = 1

�−2𝑐 − 𝑓 = 0𝑓 − 𝑐 = 1

Somando as equações:-3c=1C=-1/3f=2/3

7. RESPOSTA: “A”.Armas de R$150,00: xArmas de R$450,00: y

x=30-y

Substituindo na 1ªequação:

O total de indenizações foi de 20.


Doces: xSalgados: y


MATEMÁTICASomando as duas equações:

Ela vendeu 30 doces


Mulheres: xHomens: y

Somando as duas equações:

Mmc(3,4)=12

-5y=-160y=32x=24

Razão de mulheres pra homens:

10.RESPOSTA: “D”.Total de pacotes: xCaixas y

Substituindo:

ANÁLISE COMBINATÓRIA; BINÔMIO DE NEWTON;

A Análise Combinatória é a área da Matemática que trata dos problemas de contagem.

Princípio Fundamental da Contagem

Estabelece o número de maneiras distintas de ocorrência de um evento composto de duas ou mais etapas.

Se uma decisão E1 pode ser tomada de n1 modos e, a decisão E2 pode ser tomada de n2 modos, então o número de maneiras de se tomarem as decisões E1 e E2 é n1.n2.

Exemplo

O número de maneiras diferentes de se vestir é:2(calças). 3(blusas)=6 maneiras


MATEMÁTICAFatorialÉ comum nos problemas de contagem, calcularmos o

produto de uma multiplicação cujos fatores são números naturais consecutivos. Para facilitar adotamos o fatorial.

Arranjo SimplesDenomina-se arranjo simples dos n elementos de E, p a p, toda

sequência de p elementos distintos de E.

ExemploUsando somente algarismos 5, 6 e 7. Quantos números de 2

algarismos distintos podemos formar?

Observe que os números obtidos diferem entre si:Pela ordem dos elementos: 56 e 65Pelos elementos componentes:56 e 67Cada número assim obtido é denominado arranjo simples dos

3 elementos tomados 2 a 2.Indica-se

!!,! =!!

! − ! !

!Permutação SimplesChama-se permutação simples dos n elementos, qualquer

agrupamento(sequência) de n elementos distintos de E.O número de permutações simples de n elementos é indicado

por Pn.

!! = !! !

ExemploQuantos anagramas tem a palavra MITO?SoluçãoA palavra mito tem 4 letras, portanto:

!! = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24!

Permutação com elementos repetidosDe modo geral, o número de permutações de n objetos, dos

quais n1 são iguais a A, n2 são iguais a B, n3 são iguais a C etc.

!!!!,!!,!!,..,!! =

!!!!!!!!!!!…!! !

!!!! ∈ !!!!!! ,!! , . .!! ∈ !∗!

!!!!,!!,!!,..,!! =

!!!!!!!!!!!…!! !

!!!! ∈ !!!!!! ,!! , . .!! ∈ !∗!

ExemploQuantos anagramas tem a palavra NATA?SoluçãoSe todos as letras fossem distintas, teríamos 4! Permutações.

Como temos uma letra repetida, esse número será menor.

!!! =4!2! =

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 12 = 12!

Combinação SimplesDado o conjunto {a1, a2, ..., an} com n objetos distintos, po-

demos formar subconjuntos com p elementos. Cada subconjunto com i elementos é chamado combinação simples.

ExemploCalcule o número de comissões compostas de 3 alunos que

podemos formar a partir de um grupo de 5 alunos.Solução

Números BinomiaisO número de combinações de n elementos, tomados p a p,

também é representado pelo número binomial .

Binomiais ComplementaresDois binomiais de mesmo numerador em que a soma dos de-

nominadores é igual ao numerador são iguais:

Relação de Stifel


MATEMÁTICATriângulo de Pascal

Binômio de Newton

Denomina-se binômio de Newton todo binômio da forma , com n∈N. Vamos desenvolver alguns binômios:

Observe que os coeficientes dos termos formam o triângulo de Pascal.

EXERCÍCIOS

1. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYA-MA/2013) Dentre os nove competidores de um campeonato mu-nicipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do campeonato estadual. Sendo assim, quantas com-binações são possíveis de serem formadas com quatro desses nove competidores?

A) 126 B) 120 C) 224 D) 212 E) 156

2. (PREF. NEPOMUCENO/MG – PORTEIRO – CON-SULPLAN/2013) Uma dona de casa troca a toalha de rosto do banheiro diariamente e só volta a repeti-la depois que já tiver uti-lizado todas as toalhas. Sabe-se que a dona de casa dispõe de 8 toalhas diferentes. De quantas maneiras ela pode ter utilizado as toalhas nos primeiros 5 dias de um mês?

A) 4650. B) 5180. C) 5460. D) 6720. E) 7260.

3. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) Leia o trecho abaixo e, em seguida, assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna.

Com a palavra PERMUTA é possível formar ____ anagramas começados por consoante e terminados por vogal.

A) 120 B) 480 C) 1.440 D) 5.040

4. (PM/SP – CABO – CETRO/2012) Assinale a alterna-tiva que apresenta o número de anagramas da palavra QUARTEL que começam com AR.

A) 80. B) 120. C) 240. D) 720.

5. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMI-NISTRATIVO – FCC/2014) São lançados dois dados e multipli-cados os números de pontos obtidos em cada um deles. A quantida-de de produtos distintos que se pode obter nesse processo é

A) 36. B) 27. C) 30. D) 21. E) 18.

6. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) Analise as sentenças abaixo.

I. 4! + 3! = 7! II. 4! ⋅3! = 12! III. 5! + 5! = 2⋅5! É correto o que se apresenta em A) I, apenas. B) II, apenas. C) III, apenas. D) I, II e III.

7. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CES-GRANRIO/2013) Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco.


MATEMÁTICADe quantos modos distintos é possível escolher uma cor para

o fundo e uma cor para o texto se, por uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais?

A) 13B) 14C) 16D) 17E) 18

8. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SE-GURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN/2013) Numa sala há 3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interrupto-res independentes. De quantas maneiras é possível ventilar e ilu-minar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 lâmpadas acesas?

A) 12.B) 18. C) 20. D) 24. E) 36.

Respostas

Respostas


!!,! =9!5!4! =

9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!5! ∙ 24 = 126

!


_ _ _ _ _8.7.6.5.4=67203. RESPOSTA: “C”.

_ _ _ _ _ _ _P5.4.3.2.1 A=120 120.2(letras E e U)=240

120+240=360 anagramas com a letra P

360.4=1440 (serão 4 tipos por ter 4 consoantes)


AR_ _ _ _ _ 5⋅4⋅3⋅2⋅1=120


_ _6.6=36Mas, como pode haver o mesmo produto por ser dois dados,

36/2=18

6.RESPOSTA: “C”.

I falsa4!=243!=67!=5040II falsa 4! ⋅3! ≠12!III verdadeira5!=1205!+5!=2402⋅5!=2407. RESPOSTA: “C”.

_ _6.3=18

Tirando as possibilidades de papel e texto iguais:

P P e V V=2 possibilidades18-2=16 possiblidades


1ª possibilidade:2 ventiladores e 3 lâmpadas

!!,! =!!!!!!

= 3 !!!,! =

!!!!!!

= 4 !!,! ∙ !!,! = 3 ∙ 4 = 12

!2ª possibilidade:2 ventiladores e 4 lâmpadas

!!,! =!!!!!!

= 3 !!,! =

!!!!!!

= 1 !!,! ∙ !!,! = 3 ∙ 1 = 3

!3ª possibilidade:3 ventiladores e 3 lâmpadas

!!,! =!!!!!!

= 1 !!,! =

!!!!!!

= 4 !!,! ∙ !!,! = 1 ∙ 4 = 4

!


MATEMÁTICA4ª possibilidade:3 ventiladores e 4 lâmpadas

!!,! =!!!!!!

= 1 !!,! =

!!!!!!

= 1 !!,! ∙ !!,! = 1 ∙ 1 = 1

!Somando as possibilidades:12+3+4+1=20

CONJUNTOS DE NÚMEROS COMPLEXOS; POLINÔMIOS;

Números complexos

Algumas equações não tem solução no conjunto dos números reais.Exemplo

Mas, se tivermos um conjunto para o qual admita a existência de, a equação passará a ter solução não-vazia.Esse conjunto é o dos números complexos e convenciona-se que .

Solucionando então, o exemplo acima:

O número , foi denominado unidade imaginária, devido à desconfiança que os matemáticos tinham dessa nova criação.

Para simplificar a notação:

Assim, no conjunto dos números complexos, as equações do 2º grau com possuem solução não-vazia.


MATEMÁTICAConjunto dos números complexos

O conjunto C dos números complexos é aquele formado pelos números que podem ser expressos na forma:

A forma z=a+ bi é denominada forma algébrica de um número complexo em que a é a parte real e b a parte imaginária.Se a parte imaginária do número complexo é nula, então o número é real.

Se a parte real do número complexo é nula e a parte imaginária é diferente de zero, então o número é imaginário puro.

Igualdade de números complexos

Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias forem respectivamente iguais.

Conjugado de um número complexo

Sendo z=a+ bi, chama-se conjugado de z o número complexo que se obtém trocando o sinal da parte imaginária de z.

Exemplo

Operações com números complexos

1. Adição Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se

z=a+bi e z2=c+di, temos que:z1+z2=(a+c) + (b+d)i

2. SubtraçãoPara subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se

z=a+bi e z2=c+di, temos que:z1-z2=(a-c) + (b-d)i

3. MultiplicaçãoPara multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicação de dois binômios, observando os valores das potências

de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2

z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bciz1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)iObservar que: i2= -1


MATEMÁTICA4. DivisãoPara dividirmos dois números complexos basta multiplicar-

mos o numerador e o denominador pelo conjugado do denomina-dor. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:

5. PotenciaçãoEfetuando algumas potências de in, com n∈N, podemos obter

um critério para determinar uma potência genérica de i:

i0 = 1i1 = ii2 = -1i3 = i2.i = -1.i = -ii4 = i2.i2=-1.-1=1i5 = i4. 1=1.i= ii6 = i5. i =i.i=i2=-1i7 = i6. i =(-1).i=-i ......

Assim, para obter a potência in, basta calcular ir em que r é o resto da divisão de n por 4.

Exemplo

i 23⇒23/4=5 e resto 3 então:i23=i3=-i

Módulo e Argumento de um Número Complexo

Módulo e Argumento de um Número Complexo

Do triângulo retângulo, temos:

A distância de ρ de P até a origem O é denominada módulo de z, e indicamos:

Denomina-se argumento do complexo z não-nulo, a medida do ângulo formado por com o semi-eixo real Ox.

O argumento que pertence ao intervalo [0,2π[ é denominado argumento principal e é representado por :

Observe que:

Os números ρ e θ são as coordenadas polares do ponto P(a,b).

Forma Trigonométrica

Todo número complexo z=a+bi, não0nulo, pode sr expresso em função do módulo, do seno e do cosseno do argumento z:

Substituindo, temos:

z=a+bi

Operações com Complexos na Forma Trigonométrica

Dados os complexos:

Multiplicação

Divisão


MATEMÁTICAPotenciação

Sendo:z=ρ(cos θ+i∙sen θ) e n um número inteiro maior que 1, temos:

z^n=ρ^n (cos nθ+i∙sen nθ)

Radiciação

Denomina-se raiz enésima do número complexo z=ρ(cosθ+i∙senθ) a todo número complexo w, tal que wn=z, para n=1, 2, 3,...

Para k=0,1, 2, 3,...temos:

w! = z! = p! (cosθ+ 2kπ

n + i ∙ sen!θ+ 2kπ

n ) !

Polinômios

Denomina-se polinômio a função:

Grau de um polinômio

Se an ≠0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio. In-dicamos: gr(P)=n

ExemploP(x)=7 gr(P)=0P(x)=7x+1 gr(P)=1Valor NuméricoO valor numérico de um polinômio P(x), para x=a, é o número

que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações.ExemploP(x)=x³+x²+1 , o valor numérico para P(x), para x=2 é:P(2)=2³+2²+1=13O número a é denominado raiz de P(x).

Igualdade de polinômiosOs polinômios p e q em P(x), definidos por:P(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anx

n

Q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn

São iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n:ak = bk

Redução de Termos SemelhantesAssim como fizemos no caso dos monômios, também pode-

mos fazer a redução de polinômios através da adição algébrica dos seus termos semelhantes.

No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro com o terceiro termo, e do segundo com o quarto termo, reduzindo um polinômio de quatro termos a um outro de apenas dois.

3xy+2a²-xy+3a²=2xy+5a²Polinômios reduzidos de dois termos também são denomina-

dos binômios. Polinômios reduzidos de três termos, também são denominados trinômios.

Ordenação de um polinômioA ordem de um polinômio deve ser do maior para o menor

expoente.4x4+2x³-x²+5x-1Este polinômio não está ordenado:3x³+4x5-x²

Operações

Adição e Subtração de PolinômiosPara somar dois polinômios, adicionamos os termos com ex-

poentes de mesmo grau. Da mesma forma, para obter a diferença de dois polinômios, subtraímos os termos com expoentes de mes-mo grau.

Exemplo

Multiplicação de PolinômiosPara obter o produto de dois polinômios, multiplicamos cada

termo de um deles por todos os termos do outro, somando os coe-ficientes.

Exemplo

Propriedades

AssociativaQuaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:(p · q) · r = p · (q · r)

ComutativaQuaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:p · q = q · p

Elemento nuloExiste um polinômio po(x) = 0 tal quepo · p = po, qualquer que seja p em P[x].


MATEMÁTICAElemento Identidade

Existe um polinômio p1(x) = 1 tal quepo · p = po, qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial

é simplesmente denotada por p1 = 1.

Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios:

Distributiva

Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:p · (q + r) = p · q + p · r

Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.

Divisão de Polinômios

Considere P(x) e D(x), não-nulos, tais que o grau de P(x) seja maior ou igual ao grau de D(x). Nessas condições, podemos efe-tuar a divisão de P(x) por D(x), encontrando o polinômio Q(x) e R(x):

P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x)P(x)=dividendoQ(x)=quocienteD(x)=divisorR(x)=resto

Método da Chave

Passos

1. Ordenamos os polinômios segundo as potências decres-centes de x.

2. Dividimos o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x), obtendo o primeiro termo de Q(x).

3. Multiplicamos o termo obtido pelo divisor D(x) e sub-traímos de P(x).

4. Continuamos até obter um resto de grau menor que o de D(x), ou resto nulo.

ExemploDivida os polinômios P(x)=6x³-13x²+x+3 por D(x)=2x³-3x-1

Método de Descartes

Consiste basicamente na determinação dos coeficientes do quociente e do resto a partir da identidade:

ExemploDivida P(x)=x³-4x²+7x-3 por D(x)=x²-3x+2

SoluçãoDevemos encontrar Q(x) e R(x) tais que:

Vamos analisar os graus:

Como Gr( R) < Gr(D), devemos impor Gr(R )=Gr(D)-1=2-1=1

Para que haja igualdade:

Algoritmo de Briot-Ruffini

Consiste em um dispositivo prático para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio D(x)=x-a

ExemploDivida P(x)=3x³-5x+x-2 por D(x)=x-2


MATEMÁTICASoluçãoPassos-Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) na chave-Colocar a esquerda a raiz de D(x)=x-a=0. -Abaixar o primeiro coeficiente. Em seguida multiplica-se pela raiz a e soma-se o resultado ao segundo coeficiente de P(x), obtendo o

segundo coeficiente. E assim sucessivamente.

Portanto, Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4

Teorema do RestoUm polinômio P(x) é divisível por (x – a) se e somente se P(a) = 0.

Teorema de D’AlembertO teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio

do tipo (x – a). O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será

divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a). Dessa forma não há necessidade de resolver toda a divisão

para saber se o resto é igual ou diferente de zero.

Exemplo 1 Calcule o resto da divisão (x² + 3x – 10) : (x – 3).

Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:

P(3) = R 32 + 3 * 3 – 10 = R 9 + 9 – 10 = R 18 – 10 = R R = 8 Portanto, o resto dessa divisão será 8.

Relação de GirardDada uma equação polinomial de grau n, podemos estabelecer n relações entre seus coeficientes e as raízes, denominadas relações de

Girard.Equação de grau nao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anx

n=0, com an≠0 de raízes valem as n relações:


MATEMÁTICARaízes complexas e reais

“Toda equação polinomial, de grau n, com n ≥ 1 possui pelo menos 1 raiz complexa (real ou imaginário)”.Obs.: Lembrar que os números complexos englobam os números reais, ou seja, um número real é também um número complexo.“Toda equação polinomial que possua uma raiz imaginária possuirá também o conjugado dessa raiz como raiz”.Ou seja, se z=a+bi é raiz de uma equação polinomial z=a−bi também será raiz. Sendo a,b∈? e i2=−1 .

Exemplo: Sabendo-se que a equação polinomial x3−2x2+x−2=0 possui uma raiz imaginária igual a i, com i2=−1 encontrar as outras raízes.

Se i é uma raiz então -i, seu conjugado, é outra e consegue-se encontrar a terceira raiz que é 2.

Raízes racionais

“Se um número racional p/q , com p e q primos entre si, é raiz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros do tipo P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0então p é divisor de a0 e q é divisor de an “.

Teorema da Decomposição

Todo o polinômio de grau n tem exatamente n raízes reais e complexas.DemonstraçãoPelo teorema fundamental, P(x) tem pelo menos uma raiz. Seja ela r1. Logo:P(x) = (x - r1) . Q(x)Q(x) é um novo polinômio de grau n-1, que possui, também, pelo menos uma raiz. Seja ela r2. Logo:Q(x) = (x - r2) . Q1(x)Fazendo o mesmo procedimento com q1(x) e continuando até a n-ésima expressão temosQn-1(x) = (x - rn) . Qn(x)Em Qn o grau do polinômio será zero e Qn será igual a uma constante que chamamos de anSubstituindo todas as equações obtidas na decomposição de P(x), teremos:P(x) = an.(x-r1).(x-r2). ... (x-rn)Exemplo:Compor o polinômio, sabendo que suas raízes são 1, 2 e 4Como existem 3 raízes, n=3, então o polinômio é da forma:P(x) = an.(x-r1).(x-r2).(x-r3)Fazendo an = 1, temos que:P(x) = 1. (x-1).(x-2).(x-4)P(x) = x3 - 7x2 + 14x – 8

Teorema de Bolzano

Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais x∈[a,b]. Se p(a)⋅ p(b) < 0 → ∃ um número impar de raízes reais em [a,b]. Se p(a)⋅ p(b) > 0 → ∃ um número par ou não existe raízes reais em [a,b].Produtos Notáveis

1. O quadrado da soma de dois termosVerifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.

(a + b)2 = (a + b) . (a + b)Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:


MATEMÁTICAExemplos

2. O quadrado da diferença de dois termosSeguindo o critério do item anterior, temos:

(a - b)2 = (a - b) . (a - b)Onde a é o primeiro termo e b é o segundo. Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

Exemplos:

3. O produto da soma pela diferença de dois termosSe tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.

Exemplos• (4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)2 – (3d)2 = 16c2 – 9d2

• (x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)2 – y2 = x2/4 – y2

• (m + n).(m – n) = m2 – n2

4. O cubo da soma de dois termosConsideremos o caso a seguir:(a + b)3 = (a + b).(a + b)2 → potência de mesma base.(a + b).(a2 + 2ab + b2) → (a + b)2

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplos:• (2x + 2y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.(2y) + 3.(2x).(2y)2 + (2y)3 = 8x3 + 24x2y + 24xy2 + 8y3

• (w + 3z)3 = w3 + 3.(w2).(3z) + 3.w.(3z)2 + (3z)3 = w3 + 9w2z + 27wz2 + 27z3

• (m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3

5. O cubo da diferença de dois termosAcompanhem o caso seguinte:(a – b)3 = (a - b).(a – b)2 → potência de mesma base. (a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Exemplos• (2 – y)3 = 23 – 3.(22).y + 3.2.y2 – y3 = 8 – 12y + 6y2 – y3 ou y3– 6y2 + 12y – 8• (2w – z)3 = (2w)3 – 3.(2w)2.z + 3.(2w).z2 – z3 = 8w3 – 12w2z + 6wz2 – z3

• (c – d)3 = c3 – 3c2d + 3cd2 – d3


MATEMÁTICAMMC e MDC

Mínimo Múltiplo Comum entre polinômios, é formado pelo produto dos fatores com os maiores expoentes.

Máximo Divisor Comum é o produto dos fatores primos com o menor expoente.

ExemploX²+7x+10 e 3x²+12x+12Primeiro passo é fatorar as expressões:X²+7x+10=(x+2)(x+5)3x²+12x+12=3(x²+4x+4)=3(x+2)²Mmc=3(x+2)²(x+5)Mdc=x+2

EXERCÍCIOS

1. (PM/SP – CABO – CETRO/2012) Assinale a alternativa que apresenta o módulo do número complexo abaixo.

A) 36. B) 25. C) 5. D) 6.

2. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012) Consi-dere a igualdade x + (4 + y) . i = (6 − x) + 2yi , em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z = x + yi, é um número

A) maior que 10. B) quadrado perfeito. C) irracional. D) racional não inteiro. E) primo.

3. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) Assina-le a alternativa correspondente à forma trigonométrica do número complexo z=1+i:

A)

B)

C)

D)

E)

4. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) O valor do módulo do número complexo (i62+i123) é:

A) Um número natural.B) Um número irracional maior que 5.C) Um número racional menor que 2.D) Um número irracional maior que 3.E) Um número irracional menor que 2.

5. (PM/SP – CABO – CETRO/2012) Se 1 é raiz da equação ,3x³-15x²-3x+m=0 então as outras duas raízes são

A) -1 e 5. B) -2 e 3. C) -1 e -5. D) -2 e -3.

6. (SAMU/SC – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO – SPDM/2012) Sabendo que x=-2 e y=3, o valor numérico da ex-pressão com b≠-2ª, é igual a:

A) 0,2B) -5C) ½D) -0,2

7. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCITO BRASILEIRO/2013) Sabendo que 2 é uma raiz do polinômio

, então o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão está definida é:

8. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCITO BRASILEIRO/2013) Dado o polinômio que satisfaz a equação

e sabendo que 1 e 2 são raízes da equação , determine o intervalo no qual :

A) [-5,-4]B) [-3,-2]C) [-1,2]D) [3,5]E) [6,7]


MATEMÁTICARespostas


2. RESPOSTA “E”.

x=6-xx=34+y=2yy=4



62/4=15 e resto 2 então i62=i2=-1123/4=30 e resto 3 então i123=i3=-i

Módulo


X=13-15-3+m=0m=15Dividindo por 3:x³-5x²-x+5=0

x²-4x-5=0


Substituindo os valores de x e y:


2x²-x-1=0∆=1+8=9

P(x) ≥0


MATEMÁTICA8.RESPOSTA: “C”.

Como 1 e 2 são raízes

Somando:3a=-6a=-2b=2

Substituindo no primeiro algoritmo de briot-ruffini:X²+(1-2)x-2=0X²-x-2=0∆=1+8=9

Q(x)<0[-1,2]

TRIGONOMETRIA – APLICAÇÃO NO TRIÂNGULO RETÂNGULO,

FUNÇÕES CIRCULARES, RELAÇÕES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS,

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS; EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS;

INEQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICAS; RELAÇÕES DE TRIÂNGULOS QUAISQUER;

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Considerando o triângulo retângulo ABC.

𝐴𝐵: ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝐵𝐶: 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝐴� 𝑒 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝐵� = 𝑎𝐴𝐶: 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝐴� 𝑒 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝐵� = 𝑏

Temos:

sen!α =cateto!oposto!a!!hipotenusa =

!!

cos! =cateto!adjacente!a!!

hipotenusa =!!

tg!α =cateto!oposto!a!!

!"#$#%!!"#!$%&'%!!!!=!!

!


MATEMÁTICA

!"#$!! =1

!"!! =!"#$#%!!"#!$%&'%!!!!!"#$#%!!"!#$!!!!!

=!!

sec! =1

cos! =ℎ!"#$%&'()

!"#$#%!!"#!$%&'%!!!!=!!

!"#$!!! =1

!"#$ =ℎ!"#$%&'()

!"#$#%!!"!#$!!!!!=!!!

!

Fórmulas Trigonométricas

Relação Fundamental

Existe uma outra importante relação entre seno e cosseno de um ângulo. Considere o triângulo retângulo ABC.

Neste triângulo, temos que: c²=a²+b²

Dividindo os membros por c²

𝑐2

𝑐2 =𝑎2

𝑐2 +𝑏2

𝑐2

1 =𝑎2

𝑐2 +𝑏2

𝑐2

Como

𝑠𝑒𝑛 Â =𝑎𝑐 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝐴� =

𝑏𝑐 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑛2𝛼+ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1

Considerados dois arcos quaisquer de medidas a e b, as ope-rações da soma e da diferença entre esses arcos será dada pelas seguintes identidades:

𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos𝑏 + cos𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝑎− 𝑏 = 𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏 − cos𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏

cos 𝑎+ 𝑏 = cos𝑎 ∙ cos𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏

cos 𝑎 − 𝑏 = cos𝑎 ∙ cos𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏

𝑡𝑔 𝑎 + 𝑏 =𝑡𝑔 𝑎 + 𝑡𝑔 𝑏

1− 𝑡𝑔 𝑎 ∙ 𝑡𝑔 𝑏

𝑡𝑔 𝑎 − 𝑏 =𝑡𝑔 𝑎 − 𝑡𝑔 𝑏

1 + 𝑡𝑔 𝑎 ∙ 𝑡𝑔 𝑏

Equações Trigonométricas

Chamam-se equações trigonométricas igualdades que podem ser escritas como, por exemplo, as indicadas abaixo:

Exemplo

Resolva a equação cos x=1/2 para x∈R.


MATEMÁTICAInequações Trigonométricas

Resolva a equação cos x<1/2 para 0<x<2π.

Cos x< ½ em todo o resto da circunferência que não está mar-cado de vermelho.

Lei dos CossenosA lei dos cossenos é uma importante ferramenta matemática

para o cálculo de medidas dos lados e dos ângulos de triângulos quaisquer.

Lei dos Senos

Exercícios

1. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITEN-CIÁRIA DE CLASSE I – VUNESP/2013) Roberto irá cercar uma parte de seu terreno para fazer um canil. Como ele tem um alambrado de 10 metros, decidiu aproveitar o canto murado de seu terreno (em ângulo reto) e fechar essa área triangular esticando todo o alambrado, sem sobra. Se ele utilizou 6 metros de um muro, do outro muro ele irá utilizar, em metros,

A) 7.B) 5.C) 8.D) 6.E) 9.

2. (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP/2012) No clube, há um campo de futebol cujas traves retangulares têm 6 m de largura e 2 m de altura. Logo, a medida da diagonal da trave é

A) menor que 6 metros.B) maior que 6 metros e menor que 7 metros.C) maior que 7 metros e menor que 8 metros.D) maior que 8 metros e menor que 9 metros.E) maior que 9 metros.

3. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Uma tela de projeção tem o formato retangular com 100 polegadas de diagonal, e cada polegada equivalente a 2,54cm.

As dimensões da base da altura são proporcionais a 8 e 6 res-pectivamente.


MATEMÁTICADetermine o valor da área total dessa tela de projeção, em

centímetros quadrados.A) 24.916,34B) 10.000,58C) 12.192,32D) 30.967,68E) 11.451,60

4. (PM/SP – OFICIAL – VUNESP/2013) Em um deter-minando momento, duas viaturas da PM encontram-se estaciona-das nos pontos A e B separados por uma distância de 12km em linha reta. Acionadas via rádio, ambas partem simultaneamente e se deslocam na direção do ponto C, seguindo o trajeto mostrado na figura.

Admita que, nesses trajetos, as velocidades médias desenvol-vidas pelas viaturas que estavam nos pontos A e B tenham sido de 60 km/h e 50km/h, respectivamente. Nesse caso, pode-se afirmar que o intervalo de tempo, em minutos, decorrido entre os momen-tos de chegada de ambas no ponto C foi, aproximadamente,

A) 9,6.B) 7,2.C) 5,4.D) 4,5.E) 2,6.

5. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) Assinale a alternativa que apresenta a medida do lado AC da figura abaixo.

(Dados: sen 30°=0,5 e senx= A) 5 metros. B) 6 metros. C) 9 metros. D) 10 metros.

6. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) Assina-le a alternativa que apresenta o valor da medida do lado AB do triângulo abaixo.

A) 20. B) 28. C) 30. D) 32.

7. (IAMSPE – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VU-NESP/2012) Observe o desenho

Todos os pontos do desenho representam as portarias de vários prédios de um complexo hospitalar. Os segmentos repre-sentados, cujas medidas estão em cm, são as ruas internas desse complexo e representam as distâncias entre uma portaria e outra, podendo-se circular entre duas portarias quaisquer a pé. Cada 1 cm do desenho corresponde a uma distância real de 50 metros. Para ir de B a D, a menor distância que uma pessoa pode per-correr é

A) 650 m.B) 600m.C) 500m.D) 400m.E) 350m.


MATEMÁTICA8. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) Du-

rante a aula, uma professora pede que os alunos façam recortes de papel em formatos triangulares. Os triângulos devem ser triân-gulos retângulos pitangóricos, a hipotenusa deve medir 13 cm, e um dos catetos deve medir 12 cm. Dessa forma, qual será a área desses recortes triangulares?

A) 30 mm2

B) 30 cm2

C) 30 m2

D) 17 cm2

E) 25 cm2

Respostas



x²=6²+2²x²=36+4x²=40

Portanto, é maior que 6 e menor que 7.

3. RESPOSTA: “D”.Diagonal: 100.2,54=254cm

Pelo teorema de Pitágoras:

Área da projeção: Substituindo x²:Área da projeção:


km

60km----60 minutos16,92---xX=16,92 minutos

50km---60 minutos12------xX=14,4 minutos

Diferença: 16,92-14,4=2,52≅2,6



MATEMÁTICA6.RESPOSTA: “A”.

7.RESPOSTA: “A”.

A menor distância de B a D é:X²=12²+5²X²=144+25X²=169X=131cm---50m13 cm---yY=650m


13²=12²+x²169=144+x²25=x²X=5

GEOMETRIA – SEMELHANÇA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS,

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO, POLÍGONOS REGULARES

INSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA, RELAÇÕES MÉTRICAS, ÁREA DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS, POLIEDROS, PRISMAS, PIRÂMIDE,

CILINDRO, CONE, ESFERA;

Semelhança de Figuras GeométricasDois polígonos são semelhantes quando tem os ângulos inter-

nos correspondentes de mesma medida e os lados correspondentes proporcionais.

ABCD~A’B’C’D’(semelhança)

Os ângulos correspondentes são congruentes:A≡A’ B≡B’ C≡C’ D≡D’

Os lados correspondentes são proporcionais:

Congruência de Figuras GeométricasDois polígonos semelhantes são ditos congruentes quando a

constante de proporcionalidade é igual a 1 (k = 1), isto é, seus ângulos e lados correspondentes são congruentes.

Se os polígonos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, escreve-mos ABCD ≡ A’B’D’C’.

PropriedadesA razão entre os perímetros de dois polígonos semelhantes é

igual à constante de proporcionalidade k.

!" + !" + !" + !"!!!! + !!!! + !!!! + !!!! =

!!′ = !

Á!"#Á!"!!

= !² !


MATEMÁTICASemelhança de TriângulosDois triângulos são semelhantes se, e somente se, os seus ân-

gulos internos tiverem, respectivamente, as mesmas medidas, e os lados correspondentes forem proporcionais.

Casos de Semelhança

1º Caso:AA(ângulo-ângulo)Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes de vértices

correspondentes, então esses triângulos são congruentes.

! = !!!!!!!! = !′ !

2º Caso: LAL(lado-ângulo-lado)Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcio-

nais e os ângulos compreendidos entre eles congruentes, então es-ses dois triângulos são semelhantes.

!"!!!! =

!"!!!! !!!!!! = !′

!

3º Caso: LLL(lado-lado-lado)Se dois triângulos têm os três lado correspondentes propor-

cionais, então esses dois triângulos são semelhantes.

!"!!!! =

!"!!!! =

!"!!!!

!

Triângulo Retângulo

Todo triângulo que tem um ângulo reto é denominado trian-gulo retângulo.

O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

a: hipotenusab e c: catetosh:altura relativa à hipotenusam e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Chamamos relações métricas as relações existentes entre os di-versos segmentos desse triângulo. Assim:

1. O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

2. O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.

3. O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

4. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (Teorema de Pitágoras).

Apótema do Quadrado

O apótema , sendo mediana do triângulo isósceles COD, rela-tiva à hipotenusa , é igual à metade da hipotenusa, isto é, OL=CD/2


MATEMÁTICASendo R=ODEntão:

𝑎 =𝑅 2

2𝑙 = 𝑅 2

Apótema do Triângulo equilátero

𝑎 =𝑟2

𝑙 = 𝑟 3

Apótema do hexágono

𝑎 =𝑅 3

2

Área de uma figura plana fechada é a extensão que essa figura ocupa.


MATEMÁTICA

Poliedro é a reunião de um número finito de polígonos planos chamados faces em que:

-Cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono

-a interseção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice, ou é vazia.

Poliedros de Platão

Chamamos de poliedros de Platão, quando todas as faces têm o mesmo número de lados, quando em todos os vértices coincidem o número de arestas e quando segue a relação de Euler (V – A + F =2).

Poliedros Regulares

Um poliedro convexo é denominado poliedro regular quando todas as faces são polígonos regulares iguais e em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas.

Tetraedro Regular

Hexaedro

Fórmula de Euler

Estabelece que, para todo poliedro convexo com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação:

V-A+F=2


MATEMÁTICAPrismas

Considere dois planos α e β paralelos, um polígono R contido em α e uma reta r concorrente aos dois.

Chamamos prisma o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a r, com extremidades no polígono R e no plano β.

Assim, um prisma é um poliedro com duas faces congruen-tes e paralelas cujas outras faces são paralelogramos obtidos ligando-se os vértices correspondentes das duas faces paralelas.

Classificação

Reto: Quando as arestas laterais são perpendiculares às bases

Oblíquo: quando as faces laterais são oblíquas à base.

Classificação pelo polígono da base

-Triangular

-Quadrangular

E assim por diante...

Paralelepípedos

Os prismas cujas bases são paralelogramos denominam-se paralelepípedos.

Cubo é todo paralelepípedo retângulo com seis faces qua-dradas.


MATEMÁTICAPrisma Regular

Se o prisma for reto e as bases forem polígonos regulares, o prisma é dito regular.

As faces laterais são retângulos congruentes e as bases são congruentes (triângulo equilátero, hexágono regular,...)

ÁreaÁrea cubo: Área paralelepípedo:A área de um prisma:

Onde: St=área totalSb=área da baseSl=área lateral, soma-se todas as áreas das faces laterais.

Volume

Paralelepípedo:V=a.b.c

Cubo:V=a³

Demais:Pirâmides

As pirâmides são também classificadas quanto ao número de lados da base.

Área e Volume

Área lateral:

Onde n= quantidade de lados

Cilindros

Considere dois planos, α e β, paralelos, um círculo de centro O contido num deles, e uma reta s concorrente com os dois.

Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião de to-dos os segmentos paralelos a s, com extremidades no círculo e no outro plano.

Classificação

Reto: Um cilindro se diz reto ou de revolução quando as gera-trizes são perpendiculares às bases.

Quando a altura é igual a 2R(raio da base) o cilindro é equi-látero.

Oblíquo: faces laterais oblíquas ao plano da base.

Área

Volume

Cones

Na figura, temos um plano α, um círculo contido em α, um ponto V que não pertence ao plano.

A figura geométrica formada pela reunião de todos os seg-mentos de reta que tem uma extremidade no ponto V e a outra num ponto do círculo denomina-se cone circular.


MATEMÁTICAClassificação

-Reto:eixo VO perpendicular à base;Pode ser obtido pela rotação de um triângulo retângulo em tor-

no de um de seus catetos. Por isso o cone reto é também chamado de cone de revolução.

Quando a geratriz de um cone reto é 2R, esse cone é denomi-nado cone equilátero.

!! = ℎ! + !² !-Oblíquo: eixo não é perpendicular

Volume

Esferas

Superfície esférica de centro O é o conjunto de pontos do es-paço cuja distância a O é igual a R.

Esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.

Calotas esféricas

É a parte da esfera cortada por um plano.

Áreas

!! = 4!"² !!"#$%" = !ℎ(4! − ℎ) !Volumes

!!"#!$% =43!!

!

!!"#$%" =!ℎ! 3! − ℎ

3 !


MATEMÁTICAExercícios

1. Sabemos que os triângulos abaixo são semelhantes, nessas condições calcule os valores de x e y:

2. Determine as medidas do lado e do apótema de cada um dos polígonos regulares abaixo:

a)

1,5 cm•

O

b)

8 cmO•

c)

•O4

3. Numa circunferência está inscrito um triângulo equilátero cujo apótema mede 3 cm. A medida do diâmetro dessa circun-ferência é:

a) 6 cm.b) 10 cm.c) 12 cm.d) 42 cm.e) 36 cm.

4. O apótema de um triângulo equilátero inscrito numa cir-cunferência mede 8 cm. O lado do hexágono regular inscrito nessa circunferência mede:

a) 8 cm.

b) 28 cm.

c) 16 cm.

d) 216 cm.

5. (PREF. AMPARO/SP – AGENTE ESCOLAR – CON-RIO/2014) A área do terreno é de 60 m². Ele mede (X+4) metros de comprimento por X metros de largura. Descubra qual é a medida do comprimento desse terreno.

a) 4 metros. b) 6 metros. c) 8 metros. d) 10 metros

6. ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/PB – ASSESSOR TÉC-NICO LEGISLATIVO – FCC/2013) Uma chapa metálica retan-gular é formada por três retângulos idênticos e seis quadrados idênticos. Um dos lados dessa chapa mede x metros, conforme indica a Figura 1. Dos “cantos” da chapa foram retirados quatro dos seis quadrados, conforme indica a Figura 2. Em seguida, a chapa foi dobrada nas indicações tracejadas formando uma caixa com a forma de paralelepípedo reto retangular com uma aresta medindo 4 m, conforme indica a Figura 3.

Sabendo que o volume da caixa obtida é 25 m³, então, x é igual a

A) 8. B) 9,5. C) 8,5. D) 10,5. E) 9.


MATEMÁTICA7. (CREA/PR – AGENTE ADMINISTRATIVO – FUNDA-

TEC/2013) Para responder a questão, observe a figura a seguir:

A figura acima apresenta um porta-lápis que é formado por um cubo, com aresta de 12cm, do qual foi retirado uma parte cônica. Nesse sentido, o volume do porta-lápis é

1728π cm³1588π cm³(1728-432π) cm³1548π cm³(1728-144π) cm³

8. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO/2012) Uma fita retangular de 2 cm de largura foi colocada em torno de uma pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e 192 π cm3 de volume, dando uma volta completa em torno da lata, como ilustra o modelo abaixo.

A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em cm², igual a

A) 8 π B) 12 πC) 16 πD) 24 πE) 32 π

Respostas1.

x=12

y=10

2.

a)

b)

c)


R=6D=12 cm


R=8.2=16


MATEMÁTICA5. RESPOSTA: “D”.

Comprimento:x+4=6+4=10

6.RESPOSTA: “E”.(x-4)/2 é o comprimento do quadrado sem o retângulo.Como o volume vai usar o comprimento do retângulo e o

comprimento de dois quadrados:

Então valor de x=9.

7. RESPOSTA “E”.


GEOMETRIA ANALÍTICA – INTRODUÇÃO À GEOMETRIA

ANALÍTICA PLANA, ESTUDO DA RETA NO PLANO, CARTESIANO, ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO

CARTESIANO.

Estudo da Reta

Cálculo do coeficiente angular

Consideremos a reta que passa pelos pontos !(!! ,!!)! e !(!! ,!!)!, com !! ≠ !! ! , e que forma com o eixo um ângulo de medida !!.

1º caso: 0! < ! < 90! !


MATEMÁTICASendo o triângulo ABC retângulo ( é reto), temos:

2º caso: 90! < ! < 180! !

Do triângulo retângulo ABC, vem:

Portanto, para os dois casos, temos:

Coeficiente angular

Coeficiente angular de uma reta não perpendicular ao eixo é o valor da tangente do ângulo de inclinação dessa reta.

O valor do coeficiente angular varia em função de .


MATEMÁTICA

A equação fundamental de é dada por:

Equação Geral da Reta

Ax+by+c=0

Equação Segmentária

!! +

!! = 1!

Equação reduzida da reta

Vamos determinar a equação da reta que passa por e tem coe-ficiente angular ! = tan!! :

! − ! = ! ! − 0 ! − ! = !" ! = !" + !

!

Toda equação na forma é chamada equação reduzida da reta, em que é o coeficiente.

Posições relativas de duas retas

Considere duas retas distintas do plano cartesiano:

Podemos classifica-las como paralelas ou concorrentes.

! !!! + !!! + !! = 0! !!! + !!! + !! = 0!

Retas paralelas

As retas e têm o mesmo coeficiente angular.

!! = !! ↔ !! = !! !

Assim, para , temos:

!! = !! ↔ −!!!!= −

!!!!↔!!!!=!!!!↔ !! !!

!! !!= 0!


MATEMÁTICARetas concorrentes

As retas e têm coeficientes angulares diferentes.

!! ≠ !! ↔ !! ≠ !! !

Assim, para e concorrentes, temos:

!! ≠ !! ↔ −!!!!≠ −

!!!!↔!!!!≠!!!!

!Retas perpendiculares

Duas retas, r e , não-verticais são perpendiculares se, e somente se, os seus coeficientes angulares são tais que

!! = −1!!!!

.

De fato: ! ⊥ ! ↔ !! = !! +!2!

sen!! = cos!!cos!! = −sen!! → tan!! = − cotg!! !

Como

cotg!! =1

tan!!:

tan!! =1

tan!!→ !! =

1!!

Então:

!! ⊥ ! → !! = −1!!

E, reciprocamente, se

!! = −1!!

→ !! ⊥ !

Logo,

!! ⊥ ! ↔ !! = −1!!

!

Distância de ponto a reta

Considere uma reta , de equação , e um ponto não pertencente a . Pode-se demonstrar que a distância entre e é dada por:

!!" =!!! + !!! + !

!! + !!!

Ângulo entre duas retas

Conhecendo os coeficientes angulares e de duas retas, e , não paralelas aos eixos e , podemos determinar o ângulo agudo formado entre elas:


MATEMÁTICA

Se uma das retas for vertical, teremos:

Área de um triânguloNa geometria plana encontramos a área de um triângulo fa-

zendo uma relação com o valor de suas dimensões, e na trigono-metria, com o valor do seno de um ângulo interno relacionado com os lados do triângulo é possível também encontrar a sua área.

A geometria analítica também possui seus artifícios para o cálculo da área de um triângulo, nesse caso é necessário que sai-bamos as coordenadas de seus três vértices para que o triângulo possa ser representado em um plano cartesiano.

Considere o triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), veja a sua representação em um plano cartesiano:

A partir dessa representação podemos dizer que o cálculo da área (A) de um triângulo através dos conhecimentos da geometria analítica é dado pelo determinante dos vértices dividido por dois.

Onde D = .

Aplicação

Exemplos: A área de um triângulo é 25/2 e seus vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). Nesse caso qual será o possível valor de k?

Sabemos que a área A =, portanto é preciso que encontremos o valor de D.

D =

D = -7 + 2k + 28 -2 D = 2k + 19

Substituindo a fórmula teremos: 25= 2k + 19 2 2 25 = 2k + 1925 – 19 = 2k 6 = 2k 6:3 = k k = 3


MATEMÁTICACircunferência

Equações da circunferência

Equação reduzida

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.


MATEMÁTICAEquação Geral

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.

Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:- Os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; - Não deve existir o termo xy.

Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.

Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições.

Assim:

1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente

x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6

2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16


MATEMÁTICA4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

a) P é exterior à circunferência

b) P pertence à circunferência

c) P é interior à circunferência


MATEMÁTICAAssim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expres-

são (x - a)2 + (y - b)2 - r2:- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência; - se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 = 0, então P pertence à circunferência; - se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.

Posição de uma reta em relação a uma circunferência

Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :

Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circun-ferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :

(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:

Assim:


MATEMÁTICA

EXERCÍCIOS

1. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCI-TO BRASILEIRO/2013) Sejam dados a circunferência e o pon-to P, que é simétrico de (-1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da circunferência concêntrica à λ e que passa pelo ponto P.

2. As retas 2x - y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Então:

a) a = -1b) a = 1c) a = -4d) a = 4e) n.d.a.

3. Escreva a equação 2x +3y- 5 =0 na forma reduzida e segmentária.

4. O valor de k para que a equação kx-y-3k+6=0 represente a reta que passa pelo ponto (5,0) é?

Respostas1. RESPOSTA: “B”.(x+2)²-4+(y+5)²-25+25=0(x+2)²+(y+5)²=25

C(-2,-5).Se o ponto P é simétrico em relação ao eixo x: (-1,1).

Distância PC:

Circunferência concêntrica:(x+2)²+(y+5)²=17X²+4x+4+y²+10y+25=17X²+y²+4x+10y+12=0

2. RESPOSTA: “D”.–y=3-2x (-1)Y=-3+2xy=2x-3 m1=2m1=-1/m22=-1/m2M2=-1/2Segunda retaay=5-2xy=-2x/a+5/a

-2/a=-1/2a=4

3. 3y=-2x+5

4. k.5-0-3k+6=05k-3k+6=02k+6=0k=3

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

PAIVA, Manuel. Matemática. São Paulo: Moderna, 1995 (En-sino Médio, vol. 1)

YOUSSEF, Nicolau, Elizabeth Soares, Vicente Paz Fernan-dez. Editora Scipione, 2005(Ensino Médio, Volume único)

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto, Jr. Gio-vanni, José Ruy. Matemática Fundamental - uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2009. (Ensino Médio -Vol. único)


MATEMÁTICA

ANOTAÇÕES

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