matemÁtica - editorajuspodivm.com.br · 2019 alex lira | alexandre meirelles matemÁtica bÁsica...

2019

ALEX LIRA | ALEXANDRE MEIRELLES

MATEMÁTICA BÁSICA DEFINITIVA para concursos

• matematica_lira_meireles.indb 3 17/07/2019 22:48:07

CAPÍTULO 1

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS, FRACIONÁRIOS E DECIMAIS

1. INTRODUÇÃO

Neste capítulo, iniciamos a nossa jornada rumo ao conhecimento introdutório de uma das mais importantes ciências: a matemática.

Os tópicos que estudaremos a seguir constituem os alicerces fundamentais do conhecimento matemático. De fato, veremos como efetuar corretamente as principais operações algébricas no âmbito dos números inteiros, fracionários e decimais.

Bem, é claro que isso vai bem além do que saber a mera tabuada; aprende-remos como raciocinar logicamente as propriedades que os números possuem. Além disso, será possível observar várias situações cotidianas que são solucionadas por meio da compreensão adequada não só da teoria apresentada, como também da prática utilizada, por meio de exemplos didáticos e da resolução detalhada de diversas questões cobradas em concursos públicos.

2. NÚMEROS INTEIROS

O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros po-sitivos e negativos e o zero. Costumamos escrever:

Z = {... , – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, ...}

para denotar esse conjunto. As reticências (...) no início e no final da re-presentação indicam que é possível continuar a escrever tantos inteiros quanto desejarmos, para a esquerda ou para a direita.

Os números inteiros são importantes para o cotidiano, principalmente nas situações envolvendo valores negativos, como escalas de temperatura, saldos ban-cários, indicações de altitude em relação ao nível do mar, entre outras situações.


MATEMÁTICA BÁSICA DEFINITIVA PARA CONCURSOS • Alex Lira | Alexandre Meirelles36

2.1. A reta numérica

Podemos escrever os números inteiros geometricamente, por meio de uma reta r, orientada da esquerda para a direita, chamada reta numérica.

A reta numérica pode ser construída do seguinte modo: primeiro, escolhemos dois pontos da reta r, um ponto que representa o número 0, chamado de origem da reta numérica, e outro ponto que representa o número 1. Convencionalmente, o ponto que representa o número 0 é situado à esquerda do ponto que representa o número 1, a fim de determinar uma orientação, que é o sentido a ser percorrido para que os números apareçam em ordem crescente.

0 1

r

Em seguida tomamos a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e inserimos os demais números da seguinte maneira:

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3... ...

r

2.2. Ordem e simetria

No que se refere à ordem dos números inteiros, podemos identificar os se-guintes elementos:

• Sucessor: é o número que está imediatamente à sua direita na reta. Em outras palavras, é o inteiro que vem após o número dado. Por exemplo, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. Assim, o sucessor do número “n” é o número “n + 1”;

• Antecessor: é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta. Falando de outro modo, é o inteiro que vem antes do número dado. Por exemplo, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. Dessa forma, o antecessor do número “n” é o número “n – 1”.

Por sua vez, dois números inteiros são chamados simétricos quando a soma entre eles é zero. Por exemplo, 2 e −2 são simétricos um do outro. Também dize-mos que −2 é o simétrico de 2 e que 2 é o simétrico de −2.

Finalizando, é importante observar que o simétrico do simétrico de um nú-mero inteiro é o próprio número. De fato, considere os inteiros a e b. Se a + b = 0, escrevemos a = −b ou b = −a. Juntando essas duas últimas igualdades, vemos que:

a = −b = −(−a)


Cap. 1 • Operações com Números Inteiros, Fracionários e Decimais 37

UN

IDA

DE

1 –

MAT

EMÁT

ICA

DE

NÍV

EL F

UN

DAM

ENTA

L o Veja como esse assunto já foi cobrado!

QUESTÃO 01 (CONSESP/Pref Pres Venceslau/Fiscal/2011) Se p é o sucessor de q e, q = 10, então p =

a) 11 b) 20 c) 9 d) 100

^ RESOLUÇÃO:

Se p é sucessor de q, então p vem após q. Além disso, visto que q = 10, po-demos concluir que p = 11.

Gabarito: A.

QUESTÃO 02 (ADVISE/Pref Jaboticabal/Educ Inf/2012) O sucessor do anteces-sor do sucessor de 37 equivale a:

a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40

^ RESOLUÇÃO:

Concorda que o enunciado da questão é um pouco confuso? Bem, na verdade, é bem tranquilo; basta seguir a ordem da frase!

Primeiro, devemos saber quem é o sucessor de 37. Ora, sabemos que é o número que vem após ele. Então é o 38. Em seguida, precisamos determinar o antecessor de 38. Ah, aprendemos que, nesse caso, é o número inteiro que vem antes do número dado. Logo, é o 37. Finalizando, quem é o sucessor de 37? Isso mesmo, é 38.

Gabarito: C.

2.3. Módulo de um número inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número inteiro corresponde à distância que o número está do zero, e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |.

– 6 0 6 ℤ

valor absoluto = 6 valor absoluto = 6



2.4.4. Divisão

A divisão é a operação matemática que tem por objetivo repartir um valor em partes iguais, correspondendo ao inverso da multiplicação.

Assim, na divisão de um número n por outro d (d ≠ 0), existirá um único par de números q e r, tais que:

I) q x d + r = nII) 0 ≤ r < dOs quatro números envolvidos na divisão são:n = dividendo; d = divisor; q = quociente; r = resto.

Você não pode esquecer que:

Dividendo = Divisor x Quociente + Resto

Na realidade, meu caro aluno, quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Veja um exemplo disso. Ao dividirmos 20 (dividendo) por 4 (divisor), queremos dividir 20 em 4 partes de mesmo valor, em que o resultado é 20 ÷ 4 = 5 (quociente). Nesse caso, temos uma divisão exata, visto que o resto é igual a zero (r = 0).

Agora chegou o momento de relembrarmos como efetuar a operação de divisão, com o seguinte caso: 715 dividido por 18.

715 18

Neste caso, como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18 x 4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18 x 3 = 54. Assim, temos:

715 18

3

Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração:

715 18

– 54 3

17



UN

IDA

DE

1 –

MAT

EMÁT

ICA

DE

NÍV

EL F

UN

DAM

ENTA

L

Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5):

715 18

– 54 3

175

Ao dividir 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resul-tado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração:

715 18

– 54 39

175

-162

13

Nesse momento, temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto.

Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é:

715 = 18 x 39 + 13

o Veja como esse assunto já foi cobrado!

QUESTÃO 13 (CESPE/SEFAZ-RS/Auditor-Fiscal/2019) Uma repartição com 6 auditores fiscais responsabilizou-se por fiscalizar 18 empresas. Cada empresa foi fiscalizada por exatamente 4 auditores, e cada auditor fiscalizou exatamente a mesma quantidade de empresas. Nessa situação, cada auditor fiscalizou

a) 8 empresas.

b) 10 empresas.

c) 12 empresas.

d) 14 empresas.

e) 16 empresas.



UN

IDA

DE

1 –

MAT

EMÁT

ICA

DE

NÍV

EL F

UN

DAM

ENTA

L

3.1. Classificação

As frações podem ser classificadas em:a) Frações próprias: São aquelas em que o valor absoluto do numerador é

menor que o denominador. Nesse caso, a divisão é menor que 1.

Exemplos: 3

4 ; 2

5 ; 5

27.

b) Frações impróprias: São aquelas em que o numerador é maior que o denominador. Nesse caso, a divisão é maior que 1.

Exemplos: 4

3 ; 5

2 ; 9

7 .c) Frações aparentes: São aquelas em que o numerador é igual ou múltiplo

do denominador. Nesse caso, a divisão tem como resultado um número inteiro.

Exemplos: 4

4 ; 10

5 ; 8

2 .d) Frações equivalentes: São aquelas que representam a mesma parte do

inteiro entre si.Exemplos: 1

2 ; 2

4 ; 4

8.

→ 4

8

→ 1

2

→ 2

4

IMPORTANTE!

Duas frações ab

e cd

serão equivalentes se, e somente se, o produto dos seus

extremos (compõem a primeira diagonal) for igual ao produto dos seus termos médios (compõem a segunda diagonal) .

. .= ↔ =a c a d c bb d



REGRA PRÁTICA

Existe um método ainda mais simplificado para a soma e subtração de frações sem o uso do MMC. Nesse caso, seguiremos os seguintes passos:

1º passo: multiplicar os denominadores, formando o novo denominador;

2º passo: multiplicar o numerador da primeira pelo denominador da segunda e multiplicar o numerador da

3º passo: efetuar a soma entre os dois produtos no numerador, obtidos no passo anterior;

4º passo: Realizar a simplificação da fração resultante, caso necessário.

Para exemplificar, vamos realizar a soma da mesma fração:

1 3

6 8+

Aplicando os passos contido na regra prática, teremos:

( ) ( )1 8 3 61 3 8 18 26

6 8 6 8 48 48

× + × ++ = = =×

Por fim, de acordo com o quarto passo, precisamos analisar se é necessário simplificar a fração resultante.

Bem, o processo de simplificação de frações consiste em dividir seus termos por um mesmo número de forma a conseguir termos menores que os iniciais. Esse é o chamado método das divisões sucessivas.

Fica claro, portanto, que o processo de simplificação de frações corresponde a encontrar uma fração que seja, ao mesmo tempo, irredutível e equivalente à primeira!

No nosso caso, vamos dividir numerador e denominador por 2:

26 2 1348 2 24

÷ =÷



o Veja como esse assunto já foi cobrado!

QUESTÃO 01 (CESPE – Soldado/CBM-CE/2014) Nas armas de fogo, calibre é o diâmetro do projétil ou do cano da arma. Nos sistemas americano e inglês, o calibre é expresso em polegadas — por exemplo, para uma pistola calibre .38, o diâmetro do projétil mede 0,38 polegada. Já no sistema europeu, essa medição é feita em milímetros: o calibre de uma pistola .38 — nos sistemas americano e inglês — é igual a 9,65mm.

Superinteressante. Julho/2008 (com adaptações).

Tendo como referência o texto acima, julgue o item seguinte.

Se o comprimento de um objeto for igual a 40% de uma polegada, então esse objeto medirá menos de 1cm de comprimento.

^ RESOLUÇÃO:

O enunciado informa que 0,38 polegadas correspondem a 9,65mm. Daí, basta resolver a seguinte regra de três para determinarmos quantos milímetros correspondem a 40% (= 0,4) de uma polegada:

0,38 polegadas ________ 9,65 mm

0,4 polegadas ________ x mm

Multiplicando as diagonais, obtemos:

0,38x = 0,4 × 9,65

x ≈ 10,15mm

Portanto, o objeto mede aproximadamente 10,15mm. Mas queremos saber essa medida em centímetros. Para isso, deslocamos a vírgula apenas uma casa para a esquerda:

x ≈ 1,015cm

Gabarito: Errado.



BIZU

Para converter uma unidade de medida

com expoente 1

Multiplicamos ou dividimos por 10


com expoente 2

Multiplicamos ou dividimos por 100


com expoente 3

Multiplicamos ou dividimos por 1.000

4.2. Conversões de metro cúbico para litroEmbora de naturezas diferentes, o metro cúbico (medida de volume) e o litro

(medida de capacidade) podem sofrer conversões entre si.Inicialmente, é necessário conhecermos os múltiplos e submúltiplos do litro:

MúltiplosUnidade

fundamental de capacidade

Submúltiplos

Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro

kl hl dal l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

As relações fundamentais que precisamos ter em mente para as conversões são:

1l = 1dm3 1l = 0,001m3 1kl = 1.000l = 1m3

Portanto, a cada metro cúbico temos 1.000 litros! Sabendo disso agora fica tudo mais fácil, pois, para realizar a conversão entre elas, basta contar de três em três casas.

Para exemplificar, vamos calcular quantos litros de gasolina entram em um tanque que possui 50m³.

Sabemos que 1m³ corresponde a 1.000 litros. Então, para sair de metros cú-bicos para obter litros, basta deslocar a vírgula para a direita três casas:

50 x 1.000 = 50.000

Agora suponha que uma caixa de água possui uma capacidade de armazenar 400l de água. Quantos metros cúbicos podem ser colocados nessa caixa de água?

Como temos a medida em litros, que é 400, basta deslocar a vírgula para a esquerda, para chegarmos ao resultado em metros cúbicos:

400 ÷ 1.000 = 0,4



múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por, respectivamente, 1, 2, 3, 4 e 5.

Quando temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12:

• Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. • Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 48,

72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor deles, neste caso o 24, é chamado de Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 8 e 12.

ANOTE!!!

Denominamos Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números inteiros e não nulos ao menor número positivo que seja múltiplo de todos os números dados.

2.1. Métodos para determinar o MMC

Existem basicamente dois métodos para se calcular o MMC entre n números.

1º Método: decomposição isolada em fatores primos

Neste método, cumpriremos basicamente duas etapas:

2º) Multiplicar os fatores comuns e não comuns de maior expoente

1º) Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos

Por exemplo, vamos encontrar o MMC entre 36, 45 e 60.Para determinar o MMC entre dois ou mais números por meio do método

da decomposição isolada em fatores primos cumprimos as seguintes etapas:1º passo: Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos.


Cap. 4 • MMC e MDC 145

UN

IDA

DE

1 –

MAT

EMÁT

ICA

DE

NÍV

EL F

UN

DAM

ENTA

L

36 2 60 2

18 2 45 3 30 2

9 3 15 3 15 3

3 3 5 5 5 5

1 1 1

36= 22 x 32 45= 32 x 5 60 = 22 x 3 x 5

2º passo: O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos números, de maior expoente.

• 36 = 22 x 32

• 45 = 32 x 5• 60 = 22 x 3 x 5

Assim, temos que o MMC (36, 45, 60) = 22 x 32 x 5 = 180.

BIZU!

Lembre-se de que no MMC não tem conversa: Todo mundo entra e com o maior expoente!

Agora, vamos encontrar o MMC entre 16.500, 368.550, 3.583.125.Inicialmente fazemos a decomposição de cada número:

368550 2 3583125 3

184275 3 1194375 3

16500 2 61425 3 398125 5

8250 2 20475 3 79625 5

4125 3 6825 3 15925 5

1375 5 2275 5 3185 5

275 5 455 5 637 7

55 5 91 7 91 7

11 11 13 13 13 13

1 1 1

= 22 x 32 x 53 x 11 2 x 34 x 52 x 7 x 13 32 x 54 x 72 x 13


Cap. 6 • Potenciação 213

UN

IDA

DE

1 –

MAT

EMÁT

ICA

DE

NÍV

EL F

UN

DAM

ENTA

L

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

a .10b

Em que o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e menor que 10 e o expoente b, que corresponde à ordem de grandeza, é um número inteiro.

TRANSFORMAÇÃO DE UM NÚMERO REAL EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA

2) Utilizar esse valor como expoente

1) Contar o nº de casas decimais deslocadas até obter um dígito antes da virgula

3) Caso o deslocamento seja para a direita, o expoente será positivo; caso seja para a esquerda, o expoente será negativo

TRANSFORMAÇÃO DE UMA NOTAÇÃO CIENTÍFICA EM NÚMERO REAL

Deslocar a vírgula da mantissa para a direita, caso a ordem de grandeza seja positiva, ou para a esquerda, caso a ordem de grandeza seja negativa.

4. MAIS QUESTÕES COMENTADASQUESTÃO 11 (COPEVE-UFAL/Pref de Feira Grande/Prof/2014) Potenciação de números naturais é uma operação comutativa.

^ RESOLUÇÃO:

A comutatividade é uma propriedade em que a ordem dos fatores não altera o produto. Na verdade, isso não ocorre com a potenciação, já que, por exemplo:

32 ≠ 23

Gabarito: Errado.



d) R(−1, 1); S(0, −1)

Certo. Nesse caso, as ordenadas de R (y = 1) e S (y = -1) estão na ordem decrescente, logo a g(x) seria decrescente, também.

e) P(2, 2); Q(4, 1)

Errado. Nesse caso, as ordenadas de P (y = 2) e Q (y = 1) estão na ordem decrescente, logo a f(x) seria decrescente, também.

Gabarito: D.

14. QUESTÕES-DESAFIO

QUESTÃO 28 (FCC – TGP/SPPREV/2011) Em um lago, a pressão P, na unidade de medida atmosferas (atm), varia com a profundidade h, em metros, de acordo com a fórmula P = 0,1h + 1, com h positivo. De acordo com essa fórmula, é correto afirmar que, a cada

a) 1 metro de profundidade a pressão aumenta 1 atm.

b) 0,1 metro de profundidade a pressão aumenta 1 atm.

c) 10 atm de aumento da pressão, descemos 1 m.

d) 1 atm de diminuição da pressão, subimos 1 m.

e) 1 atm de diminuição da pressão, subimos 10 m.

^ RESOLUÇÃO:

Se estivermos na superfície, ou seja, h = 0, teremos:P = 0,1 × 0 + 1 → P = 1 atm

Agora, se submergimos 1 metro, ou seja, h = 1 m, teremos:P = 0,1 × 1 + 1 → P = 1,1 atm

Se com 1 metro de profundidade a pressão aumenta em 0,1 atm, então as letras a e b estão erradas.

Com P = 10 atm, teremos:10 = 0,1 . h + 1

0,1h = 9 → h = 90 mVeja que a letra c fica errada. Sabemos que quando h = 0 m (superfície), a pressão vale 1 atm. Agora, se a

P = 2 atm, teremos uma profundidade de:


Cap. 23 • Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares 999

UN

IDA

DE

3 –

MAT

EMÁT

ICA

DE

NÍV

EL M

ÉDIO

•O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos deuma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Teorema de Laplace

3º passoO determinante será a SOMA dos valores encontrados no 2º passo.

2º passoMultiplicar cada elemento dessa fila pelo seu respectivo cofator.

1º passoEscolher uma fila, de preferência a que tiver mais zeros.

Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial, bastando separar seus componentes por matriz. De fato, sejam:

• A: matriz dos coeficientes;• X: matriz das incógnitas;• B: matriz dos termos independentes.Daí, teremos:

. =A X B

… … … … …

.

… …

Matriz dos Coeficientes

Matriz das Incógnitas

Matriz dos Termos Independentes


APÊNDICE

DICAS PARA AGILIZAR OS CÁLCULOS MATEMÁTICOS

Neste apêndice aprenderemos alguns macetes que agilizam diversos tipos de cálculo. Alguns talvez você já saiba, mas dos que ainda não sabe, perceberá que uns serão fáceis de memorizar e outros que vão requerer uma prática maior para memorizá-los.

Sabemos que muitas provas possuem tempo exíguo para realizá-la, ainda mais quando envolvem disciplinas de exatas. Por isso, recomendamos que memorize algumas dessas dicas e que acostume-se a treinar a realização de cálculos diversos em suas horas vagas. Ter uma agilidade maior na hora de efetuar os cálculos poderá render pontos preciosos em sua prova.

Alguns desses macetes você poderá dispensar por achar complicados, mas tenha por meta saber o máximo possível deles, pois poderá ser relevante em sua nota final do concurso.

SUMÁRIO1. Multiplicação ou divisão por 10, 100, 1.000 etc. ................................................. 1374

2. Multiplicar um número por 11 .............................................................................. 1374

3. Multiplicar um número por 9, 99, 999 etc. .......................................................... 1375

4. Multiplicar um número por 0,15, 1,5 e 15 ........................................................... 1375

5. Dividir qualquer número por 5, 50, 500 etc. ........................................................ 1375

6. Multiplicar qualquer número por 5, 50, 500 etc. ................................................. 1376

7. Multiplicação por números terminados em 0 ...................................................... 1376

8. Subtrações de 100 ou 1.000 por qualquer número ............................................. 1377

9. Multiplicar números de um algarismo por 9 ........................................................ 1377

10. Elevar um número do tipo 1,0X ao quadrado .................................................... 1377

11. Elevar ao quadrado números que terminem em 5 ............................................ 1378

12. Dividir qualquer número por 0,25 ...................................................................... 1378

13. Multiplicar qualquer número por 0,25 ............................................................... 1379


matemÁtica - editorajuspodivm.com.br · 2019 alex lira | alexandre meirelles matemÁtica bÁsica...

Documents