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Notação das Funções:
Imagem de um elemento:
Funções
𝑓: 𝑨 → 𝑩 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Domínio Contradomínio
𝒂; 𝒃 ∈ 𝑓 ⇔ 𝑓 𝒂 = 𝒃 Imagem
Domínio e Imagem de Funções:
Domínio é o conjunto dos elementos 𝑥 ∈ 𝐴 para os
quais existe 𝑦 ∈ 𝐵, tal que (𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓.
A Imagem de 𝑓 é o conjunto dos elementos 𝑦 ∈ 𝐵 que
estão relacionados com 𝑥 ∈ 𝐴
Funções
𝐼𝑚 𝑓 ⊂ 𝐶𝐷(𝑓)
Domínio e Imagem de Funções:
O Domínio é a projeção do gráfico sobre o eixo das
abscissas (eixo 𝑥).
A Imagem é a projeção do gráfico sobre o eixo das
ordenadas (eixo 𝑦).
Funções
𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 = ]𝑎; 𝑏[
𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 = 𝑐; 𝑑
Domínio de Funções Numéricas:
Funções Numéricas são conhecidas como “funções reais
de variável real”.
Quando não é dado o Domínio e o Contradomínio, mas
apenas a lei de formação 𝑦 = 𝑓(𝑥), o Domínio de 𝑓
deverá ser o maior subconjunto possível de ℝ, para os
quais a função poderá ser calculada.
Funções
Domínio de Funções Numéricas:
Exemplos:
Funções
Função Domínio
𝑓1 𝑥 = 2𝑥 𝐷 𝑓1 = ℝ
g 𝑥 = 𝑥2 𝐷 g = ℝ
ℎ 𝑥 =1
𝑥𝐷 ℎ = ℝ − 0 = ℝ∗
𝑓2 𝑥 = 𝑥 − 2 𝐷 𝑓2 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 2
Domínio de Funções Numéricas:
Exercício:
Determine os conjuntos domínio e imagem da função:
Funções
𝑓 𝑥 = 25 − 𝑥2
Domínio de Funções Numéricas:
Solução:
Funções
𝑓 𝑥 = 𝟐𝟓 − 𝒙𝟐
𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 ≥ 0
𝑫 𝒇 = −𝟓; 𝟓 𝑒 𝑰𝒎 𝒇 = 𝟎; 𝟓
Tipos de Função:
Função Constante:
Funções
∀ 𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2
Tipos de Função:
Função Estritamente Crescente:
Funções
S𝑒 𝑥1 > 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2
Tipos de Função:
Função Estritamente Decrescente:
Funções
S𝑒 𝑥1 > 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2
Tipos de Função:
Função Injetora:
Funções
𝑓: 𝐴 → 𝐵 é injetora ⇔ ∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2
Tipos de Função:
Função Injetora:
Funções
Não são Injetoras
Tipos de Função:
Função Sobrejetora:
Funções
𝐼𝑚 𝑓 = 𝐶𝐷(𝑓)
𝑓: 𝐴 → 𝐵 é sobrejetora ⇔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵, ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑓 𝑥 = 𝑦
Tipos de Função:
Função Sobrejetora:
Funções
𝑓: ℝ → ℝ+ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥2
Contradomínio
Imagem
Tipos de Função:
Função Bijetora:
Quando for injetora e sobrejetora, simultaneamente.
Funções
S𝑒 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇔ 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2
𝐼𝑚 𝑓 = 𝐶𝐷(𝑓)
Tipos de Função:
Função Par:
Possui simetria em relação ao eixo 𝑦.
Funções
𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥
Tipos de Função:
Função Ímpar:
Possui simetria em
relação à origem do
plano cartesiano.
Funções
𝑓 𝑥 = −𝑓 −𝑥
Tipos de Função:
Exercício:
Verifique a paridade das funções:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
b) g 𝑥 = 𝑥3 + 2x
Funções
Tipos de Função:
Solução:
a) 𝑓 −𝑥 = −𝑥 2 = 𝑥2 → 𝒇 −𝒙 = 𝒇 𝒙 (é par!)
b) g −𝑥 = −𝑥 3 + 2 −𝑥 = −𝑥3 − 2𝑥 =
= − 𝑥3 + 2𝑥 = −g 𝑥 → 𝐠 −𝒙 = −𝐠 𝒙 (é ímpar!)
Funções
Tipos de Função:
Função Periódica:
Funções
𝑓 𝒙 = 𝑓 𝒙 + 𝒑
Período de 𝑓
Aplicações:
Exercício 1: Qual dos gráficos representa uma função
injetora?
Funções
Aplicações:
Solução:
Funções
Aplicações:
Exercício 2: Qual a imagem de 𝑓 no intervalo −1; 2 ?
Funções
Aplicações:
Solução:
Funções
𝐼𝑚 𝑓 = −1;1
2∪ 1; 2
Conjuntos
Exercícios!