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Unidade 1 - Introdução

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UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE VIBRAÇÕES

1.1 - A Vibração e a História

A vibração está presente já nos primeiros tempos da História da Humanidade. Instrumentos rudimentares, como apitos e tambores, têm no seu princípio de funcionamento, um problema vibratório como essência. Estes instrumentos tiveram muita importância entre os povos primitivos como meios de comunicação. Mais tarde, vários instrumentos musicais (percussão, cordas, metais, etc.) foram concebidos, aproveitando movimentos vibratórios, geradores de ondas sonoras.

Figura 1.1 – Pitágoras observando os sons dos martelos (Hugo Sprechshart. 1488. Flores Musicae - reproduzido de Dimarogonas, A., Vibration for Engineers, Prentice Hall, 1995)..

O desenvolvimento da teoria da vibração resultou dos avanços das ciências básicas das quais deriva: matemática e mecânica geral. A origem, em termos históricos, encontra-se nos antigos filósofos gregos do primeiro milênio antes de Cristo. O primeiro interessante envolvimento de um filósofo grego com um problema de natureza vibratória é registrado em um incidente envolvendo Pitágoras de Samos (cerca de 570-497 AC): Pitágoras estava passando por uma espécie de fundição e/ou forjaria e percebeu uma certa harmonia entre os diversos sons produzidos pelos martelos. Entrando no local ele suspeitou que a diversidade de sons fosse originada pelas diferentes forças empregadas no uso dos martelos, concluindo, entretanto, que a causa era o peso dos martelos. A Fig. 1.1 ilustra este incidente legendário. Pitágoras, então, estabeleceu um método racional de medir freqüências sonoras (origem do diapasão) podendo ser considerado como o fundador da acústica. Ele realizou experiências com martelos, cordas, tubos e placas criando o primeiro laboratório de pesquisas em vibrações conhecido (Fig. 1.2). O fato que existem freqüências que podem produzir movimento harmônico já era conhecido por músicos quando foi estabelecido como uma lei natural por Pitágoras. Além disso, ele provou com suas experiências com martelos que as freqüências naturais são propriedades dos sistemas e não dependem da magnitude da força atuante. Ele provou ainda que:

1. A freqüência natural de uma corda é inversamente proporcional ao seu comprimento e diâmetro; ela cresce quando cresce a tensão “com outras proporções” (não especificadas). É bastante provável que Pitágoras tenha conhecido a regra correta de dependência da freqüência natural com a tensão.


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2. A freqüência natural da vibração longitudinal de uma coluna é inversamente proporcional ao comprimento da mesma.

3. A tese anterior também é válida para recipientes. Pitágoras mudava a freqüência natural colocando água dentro deles.

4. Pitágoras também testou discos, mas não existem registros de resultados. Existe um relato em Phaedon de Platão, que Hipasos (um discípulo de Pitágoras que diz-se tenha sido morto por revelar segredos pitagóricos) testou quatro discos de bronze e encontrou freqüências naturais inversamente proporcionais às espessuras.

Figura 1.2 – À esquerda experiências de Boécio com o monocórdio e à direita Pitágoras e suas experiências com martelos e sinos em seu laboratório (Reproduzido de Dimarogonas, A., Vibration for Engineers, Prentice Hall, 1995).

As pesquisas sobre o movimento do pêndulo se originaram nas culturas grega e chinesa, encontrando-se

indicações que tenha sido utilizado como medidor de tempo (portanto sendo conhecido o seu isocronismo – período constante) nos tempos de Aristófanes (450-388 AC).

O primeiro texto sobre acústica, On Acoustics, foi escrito por Aristóteles, tendo sido o termo utilizado pela primeira vez então.

Figura 1.3 – Sismógrafo chinês do segundo século (Reproduzido de Dimarogonas, A., Vibration for Engineers, Prentice Hall, 1995).


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Os instrumentos de medição de vibrações se originam na Grécia e China antigas. Heródoto (cerca de 484 a 425 a.C.) registra a existência de um transdutor de vibração (um escudo coberto com uma fina camada de bronze) que era encostado ao solo produzindo som quando este apresentava qualquer movimento vibratório. Era utilizado no sexto século a.C. para detectar a escavação de túneis subterrâneos em Barca, norte da África, atual Líbia, então sob dominação persa. Vários outros instrumentos podem ser citados, mas um merece especial atenção: um sismógrafo construído na China por volta do ano de 132 d.C. O governo imperial desejava detectar antecipadamente terremotos, para que pudessem se preparar. O cientista e matemático Zhang Heng inventou um instrumento que era constituído por um pêndulo de 3 m de comprimento, usando bolas para registrar a direção e, talvez, a magnitude. Com 2 metros de largura, parecia um jarro de bronze. Oito cabeças de dragão circundavam a parte superior. Debaixo de cada uma havia um sapo de bronze. Quando o jarro sentia um tremor de terra, mesmo ínfimo, uma bola caía de um dragão na boca de um sapo. A genialidade desse ancestral de todos os sismógrafos estava no fato de que a bola caía na direção de onde vinha o tremor graças a um mecanismo no interior do jarro. Alguns engenheiros supõem que se tratava de um pêndulo suspenso por um cabo com oito alavancas ligadas às oito bocas de dragão. Quando um tremor vinha do sul, por exemplo, fazia com que a parte inferior do pêndulo oscilasse para o norte. Assim a parte superior inclinava-se para o sul, acionando a alavanca ligada ao dragão do sul. Sua boca abria-se e a bola caía. Desse modo, Zhang Heng podia informar à corte quando ocorria um terremoto, indicando a direção da área atingida. Este instrumento instalado no Departamento de Astronomia e Calendário, da cidade de Luoyang, então capital da Dinastia Han (de 206 a.C. a 220 d.C.), registrou um terremoto ocorrido a cerca de 600 km de distância, não sensível ao ser humano o que convenceu a todos da utilidade do mesmo (National Geographic Brasil, fevereiro de 2004). A Fig. 1.3 mostra uma reprodução deste sismógrafo.

Já nos primórdios da era moderna Galileu estabeleceu formalmente a relação entre o comprimento do pêndulo e o seu período de oscilação e observou a ressonância entre dois corpos, conectados por algum meio de transferência de energia e sintonizados em uma mesma freqüência natural. Galileu também observou as relações entre densidade, tensão, comprimento e freqüência de uma corda vibratória. A relação entre o som e a vibração de um elemento mecânico já era conhecida no seu tempo, mas foi Galileu quem achou a relação entre a tonalidade sonora e a freqüência da vibração do elemento mecânico. Quase ao mesmo tempo, Hooke demonstrou as mesmas relações entre tonalidade e freqüência. Wallis e Sauveur observaram, independentemente, o fenômeno das formas modais (com pontos estacionários, chamados nós) ao estudarem cordas vibratórias. Também descobriram que a freqüência do segundo modo é o dobro da freqüência do primeiro, a do terceiro é o triplo, etc. A Sauveur são creditados os termos fundamental para a freqüência do primeiro modo e harmônicas para as outras. Bernoulli foi o primeiro a propor o princípio da superposição linear de harmônicas: qualquer configuração da vibração livre é construída a partir das configurações das harmônicas individuais, agindo independentemente, com pesos variados. Após o enunciado da Lei da Elasticidade por Hooke em 1676, Euler (1744) e Bernoulli (1751) determinaram a equação diferencial que governa a vibração lateral de barras prismáticas e investigaram a sua solução para o caso de pequenas deformações. Coulomb (1784) realizou estudos teóricos e experimentais sobre as oscilações torcionais de um cilindro metálico suspenso por um arame. Há uma história interessante relacionada ao desenvolvimento da teoria de vibração em placas: Em 1802, Chladni desenvolveu o método de espalhar areia sobre uma placa vibratória para encontrar as suas formas modais, observando a beleza e a complexidade dos desenhos que se formavam sobre as placas em vibração. Em 1809, a Academia Francesa convidou Chladni para dar uma demonstração de suas experiências. Napoleão Bonaparte, comparecendo ao encontro, ficou muito impressionado e destinou uma soma de 3000 francos para a Academia premiar a primeira pessoa que apresentasse uma teoria matemática satisfatória sobre vibração de placas. Na data da competição, outubro de 1811, somente Sophie Germain se apresentou. Mas Lagrange, que era um dos julgadores, observou um erro na determinação das equações diferenciais do movimento. A Academia, então determinou uma outra competição em outubro de 1813. Sophie Germain novamente se apresentou com a forma correta da equação diferencial. A Academia, entretanto, não concedeu o prêmio porque os juizes exigiram uma justificativa física para as hipóteses utilizadas na demonstração da equação. Apenas na terceira edição da competição, em 1816, Sophie Germain conseguiu ganhar o prêmio, apesar dos juizes não estarem completamente satisfeitos com a sua teoria. Realmente, mais tarde descobriu-se que a equação diferencial estava correta mas as condições de contorno estavam erradas. As condições de contorno corretas foram apresentadas apenas em 1850, por Kirchoff. (É possível ver a demonstração da placa de Chladni no site www.youtube.com). Em 1877, Lord Rayleigh publicou seu livro A Teoria do Som, até hoje considerado um clássico no assunto. Dentre várias outras contribuições de Rayleigh, merece destaque o método de determinação da freqüência fundamental de vibração de um sistema conservativo utilizando o princípio da conservação da energia, conhecido como Método de Rayleigh. Em 1902, Frahm investigou a importância do estudo da vibração torsional no projeto de eixos propulsores de barcos a vapor. O absorvedor dinâmico de vibração, que envolve a adição de um sistema massa-mola secundário para eliminar as vibrações de um sistema principal, foi também proposto por Frahm em 1909.


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Modernamente, muitos outros pesquisadores contribuíram com o estudo de vibrações. Stodola apresentou um método de análise de vibrações em vigas que também se aplica a vibrações de lâminas de turbinas. Timoshenko e Mindlin contribuíram marcadamente com a melhoria das teorias de vibração em vigas e placas. Em vibrações não lineares a teoria começou a se desenvolver no final do século passado com Poincaré e Lyapunov. Após 1920, Duffing e van der Pol realizaram estudos (suas equações são paradigmas de sistemas dinâmicos não-lineares) sobre a teoria de vibrações não lineares e concentraram atenção em sua aplicação a problemas de engenharia. Nos anos recentes, com o uso de computadores que permitem a realização de grandes quantidades de cálculos em tempos pequenos, cresceu muito o interesse por estudos em vibrações não-lineares, o que se reflete em uma grande quantidade de trabalhos publicados. O primeiro cientista a falar em vibrações aleatórias foi Einstein, em 1905, ao estudar o movimento Browniano (é o movimento aleatório de partículas macroscópicas num fluido como consequência dos choques das moléculas do

fluido nas partículas). A introdução da função de correlação em 1920, por Taylor, e da densidade espectral, no início da década de 30, por Wiener e Khinchin, abriram novas perspectivas para o progresso da teoria de vibrações aleatórias. Lin e Rice publicaram trabalhos entre 1943 e 1945, abrindo o caminho para aplicação de vibrações aleatórias a problemas de engenharia. Atualmente, o estudo de vibrações está sendo altamente influenciado pelo advento dos computadores digitais que proporcionaram a realização de grandes quantidades de cálculos em tempos pequenos. Isto permitiu o desenvolvimento de métodos numéricos de análise de sistemas de vários graus de liberdade, permitindo a criação de modelos matemáticos para representar o comportamento de sistemas de grande porte e com grande precisão. Instrumentos de medição de alta tecnologia (lasers, por exemplo) também permitiram o desenvolvimento de métodos experimentais que, associados aos métodos computacionais, proporcionaram extraordinários avanços no estudo de problemas vibratórios.

1.2 - A importância do estudo da vibração

A maioria das atividades humanas envolve alguma forma de vibração. Nós ouvimos porque o tímpano vibra, nós vemos porque ondas luminosas se propagam. A respiração está associada à vibração dos pulmões, os batimentos cardíacos são movimentos vibratórios, a fala se fundamenta na vibração das cordas vocais e os movimentos humanos envolvem oscilações de braços e pernas. Em muitos outros campos da atividade humana, fenômenos apresentam variáveis cujo comportamento é oscilatório (economia, biologia, química, física, etc.). No campo tecnológico, as aplicações de vibrações na engenharia são de grande importância nos tempos atuais. Projetos de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle, e outros, exigem que questões relacionadas a vibrações sejam levadas em conta. Os primeiros estudos de vibrações em engenharia mecânica foram motivados pelo problema de balanceamento em motores. O desbalanceamento pode ser tanto devido a problemas de projeto como fabricação e manutenção. O desbalanceamento em motores diesel, por exemplo, pode causar vibrações no solo de tal grandeza que criam desconforto ambiental em áreas urbanas. As rodas de locomotivas podem sair até um centímetro dos trilhos devido a desbalanceamento. Os engenheiros ainda não conseguem resolver uma grande parte dos problemas originados em pás e rotores de turbinas. As estruturas projetadas para suportar máquinas centrífugas pesadas (motores, turbinas, bombas, compressores, etc.) também estão sujeitas a vibração. É possível que partes destas estruturas sofram fadiga devido à variação cíclica de tensões induzidas. A vibração também causa desgaste mais rápido de mancais e engrenagens provocando ruído excessivo. Em máquinas, a vibração causa o afrouxamento de parafusos. Em processos de usinagem, a vibração pode causar trepidação, conduzindo a um pobre acabamento superficial, por exemplo. Sempre que a freqüência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com a freqüência da força externa atuante, ocorre um fenômeno conhecido como ressonância que ocasiona grandes deformações e falhas mecânicas. A literatura é rica de exemplos de falhas em sistemas causados por vibrações excessivas em virtude de ressonância. Um destes exemplos é o da ponte de Tacoma Narrows (Fig. 4), nos Estados Unidos, inaugurada em julho de 1940, colapsou em 7 de novembro do mesmo ano quando entrou em ressonância induzida pelo vento. De acordo com registro de câmeras de vídeo, a ponte Rio-Niterói também oscilou significativamente em algumas ocasiões. Quando o vento atinge determinada velocidade e direção, a estrutura começa a oscilar com maior amplitude. Em outubro de 1997, rajadas estimadas em 124 km/h fizeram o vão central oscilar com amplitudes de 30 cm. Embora estas oscilações não representem riscos à estrutura da ponte, o pânico causado pode ter conseqüências devastadoras. Nesse dia os motoristas saíram correndo dos carros e a ponte teve de ser fechada por duas horas. Hoje o trânsito é interrompido em caso de ventania forte. (National Geographic Brasil, abril de 2004). Em virtude dos efeitos devastadores que podem surgir em máquinas e estruturas, os testes vibratórios se tornaram um procedimento padrão no projeto e desenvolvimento da maioria dos sistemas em engenharia. Em muitos sistemas de engenharia, o ser humano atua como parte integrante do mesmo. A transmissão de vibração para o ser humano resulta em desconforto e perda de eficiência. Vibrações de painéis de instrumentos podem produzir mal funcionamento ou dificuldade de leitura de medidores. Portanto um dos propósitos importantes do estudo de vibração é a redução dos níveis vibratórios através de projeto e montagem adequados de máquinas. Nesta interface, o engenheiro mecânico tenta projetar a máquina para que a mesma apresente níveis vibratórios pequenos enquanto o engenheiro estrutural tenta projetar a base da máquina de forma a assegurar que o efeito da vibração não se transmita.


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Figura 1.4 – Ponte de Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento (Reproduzido de Rao, S., Mechanical Vibrations, Addison Wesley, 1990).

A vibração também pode ser utilizada com proveito em várias aplicações industriais. Esteiras transportadoras, peneiras, compactadores, misturadores, máquinas de lavar, utilizam vibração em seu princípio de funcionamento. Vibração também pode ser utilizada em testes de materiais, processos de usinagem, soldagem. Os ultra-sons são largamente utilizados também em medicina (obstetrícia, destruição de cálculos renais, etc.). Também é empregada para simular terremotos em pesquisas geológicas e para conduzir estudos no projeto de reatores nucleares.

1.3 – Conceitos Básicos de Vibrações

Vibração

É qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um intervalo de tempo. O movimento de um pêndulo e da corda de um violão são exemplos simples de vibrações no mundo real. Em engenharia estes movimentos ocorrem em elementos de máquinas e nas estruturas, quando estes estão submetidos a ações dinâmicas.

Vibrações Livre e Forçada

Vibração livre é aquela produzida por uma perturbação inicial que não persiste durante o movimento vibratório. Como exemplo tem-se a vibração do pêndulo simples. Depois de deslocado de sua posição de equilíbrio, o pêndulo simples permanece em movimento oscilatório sem que nenhum efeito externo intervenha.

Vibração forçada é provocada por um efeito externo que persiste durante o tempo em que o movimento vibratório existir. O movimento de um rotor desbalanceado é típico de uma vibração forçada.

Vibração Amortecida e Não Amortecida

Vibração amortecida é aquela em que a energia vibratória se dissipa com o transcorrer do tempo de forma que os níveis vibratórios diminuem progressivamente.

Vibração não amortecida é aquela em que a energia vibratória não se dissipa de forma que o movimento vibratório permanece imutável com o passar do tempo. Os sistemas em que ocorre a vibração não amortecida são sistemas ideais, pois sempre alguma energia será dissipada em um sistema físico. Entretanto, em muitos casos, o amortecimento é tão pequeno que é possível desprezá-lo, pois os níveis vibratórios diminuem muito pouco durante o tempo em que o movimento é observado e a análise do problema se torna matematicamente mais simples. Em se tratando de um sistema real, as resistências passivas estão sempre presentes fazendo com que a energia oscilatória se dissipe. Esta dissipação de energia é representada pela característica chamada amortecimento. A Fig. 1.5 ilustra uma vibração não amortecida e uma amortecida. Alguns modelos típicos de amortecimento como viscoso, atrito seco (Coulomb) e atrito interno serão estudados nas seções seguintes.


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O

x(t)

t

Amortecido

Não amortecido

x0

Figura 1.5 – Vibrações livres sem e com amortecimento.

Vibração Linear e Não Linear

Vibração linear é aquela que ocorre em um sistema cujos componentes atuam linearmente (a força de mola é proporcional ao deslocamento, a força de amortecimento é proporcional à velocidade e a força de inércia é proporcional à aceleração).

Vibração não linear é aquela em que um ou mais componentes do sistema não se comporta linearmente, ou seja a força produzida não apresenta uma relação linear com a variável cinemática a que se associa (relações quadráticas, cúbicas, logarítmicas, exponenciais, senoidais, etc.).

Vibração Determinística e Aleatória

Vibração determinística é aquela em que se pode prever todas as características do movimento vibratório em qualquer instante de tempo.

Vibração aleatória ou não determinística é aquela em que não é possível prever o que irá acontecer no movimento vibratório.

Graus de Liberdade

É o número mínimo de coordenadas independentes necessárias a descrever completamente o movimento de todas as partes que compõem um sistema vibratório. A Fig. 1.6 mostra exemplos esquemáticos de sistemas com um, dois e três graus de liberdade. Se um sistema possui pelo menos um grau de liberdade, os valores das variáveis que descrevem o estado do sistema (posição, velocidade, aceleração) devem ser especificados. Para isto é necessário que se escolha um sistema de coordenadas. Esta escolha é arbitrária: pode-se escolher qualquer sistema de coordenadas para descrever um movimento. Na Fig. 1.7 o movimento do pêndulo é representado por dois sistemas de coordenadas. No primeiro, são necessárias duas coordenadas para determinar exatamente a posição do pêndulo (x e y), sua velocidade ( x ) e sua

aceleração ( x ). No segundo sistema apenas a coordenada , representa completamente a posição do pêndulo, sua

velocidade e sua aceleração. Nada impede que o sistema xy seja utilizado. Apenas o mesmo apresentará um número de equações maior do que o necessário. Nele deve ser incluída a equação de restrição (condição de contorno) x2 + y2 = l2. Já com a utilização de , apenas uma equação descreverá o movimento do sistema. Este sistema apresenta um número mínimo de coordenadas, igual ao número de graus de liberdade, necessárias a representar completamente o movimento do sistema. É chamado de sistema de coordenadas generalizadas. O número de graus de liberdade é sempre igual ao número de coordenadas utilizado menos o numero de equações de restrição. Assim sendo, um movimento descrito em um sistema de coordenadas generalizadas não apresenta equações de restrição.

Sistemas Contínuos e Discretos

Sistemas que podem ser separados em partes de forma que cada uma delas possua um determinado número de graus de liberdade e o sistema global tenha um número finito de graus de liberdade são sistemas discretos, sendo também chamados de sistemas com parâmetros concentrados. Um sistema contínuo não pode ser dividido, possuindo um número infinito de graus de liberdade sendo também conhecidos como sistemas com parâmetros distribuídos.


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(a) Um grau de liberdade.

(b) Dois graus de liberdade.

(c) Três graus de liberdade

Figura 1.6 – Sistemas com um, dois e três graus de liberdade.

Figura 1.7 – Sistemas de coordenadas no movimento do pêndulo.


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1.4 - Movimento Harmônico

x = A sen tt

xA

4 tO

A

T

V

Figura 1.8 - Mecanismo de Scotch Yoke gerando um movimento harmônico

O movimento harmônico é a forma mais simples com que uma vibração se apresenta. A Fig. 1.8 ilustra a geração deste movimento, representado matematicamente pela equação

tAx sen (1.1a)

ou, se a origem do movimento não coincidir com 0sen t

tAx sen (1.1b)

A forma do movimento harmônico não muda se ao invés de seno se utilizar cosseno ou uma soma de seno e cosseno com o mesmo argumento. Estas formas apenas provocam um deslocamento da função no tempo, refletida no valor de .

As principais características do movimento harmônico são: Amplitude - A - é o máximo valor atingido por x. A unidade utilizada é a mesma da variável x. Na literatura,

muitas vezes encontra-se os termos “amplitude de pico” significando o que aqui se chama simplesmente de amplitude e “amplitude pico a pico” significando a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo de x, sendo, para o movimento harmônico, o dobro da amplitude A.

Período - T - é o tempo transcorrido até que o movimento se repita (mesmos x, x e x ). O período é expresso

por uma unidade de tempo, normalmente o segundo. Freqüência - f - é o número de repetições que ocorrem em uma determinada unidade de tempo. É definida

como o inverso do período,

T

f 1 , (1.2)

normalmente medida em ciclos por segundo (Hertz - Hz). Uma outra unidade de freqüência bastante comum em engenharia mecânica é a RPM (rotações por minuto) ou CPM (ciclos por minuto), freqüentemente utilizada para medir velocidade de rotação em sistemas rotativos.

Freqüência angular - - é a velocidade angular com que um vetor de amplitude A gira (Fig. 1.9), de forma

que suas projeções horizontal e vertical são movimentos harmônicos. Relaciona-se com a freqüência f por

2 f , (1.3)


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uma vez que um período de oscilação corresponde a uma volta completa do vetor o que equivale a um ângulo de 2 rad. É, portanto, medida em rad/seg.

AA sen t

A cos t

t

Figura 1.9 – Vetor girante e freqüência angular. Ângulo de fase - - é o ângulo inicial do argumento da função senoidal que descreve o movimento

harmônico. Deve ser normalmente representado em radianos. O ângulo de fase começa a se tornar importante quando se compara dois movimentos harmônicos não coincidentes no tempo. Ao se estabelecer um movimento como básico, uma escolha adequada do início da observação do movimento fará com que o ângulo de fase represente o quanto um movimento está adiantado ou atrasado em relação ao outro. O ângulo de fase é normalmente medido em radianos (outra unidade que permite a medição de ângulo também é possível).

t

x(t) v(t)a(t)

Figura 1.10 – Deslocamento, velocidade e aceleração. A velocidade e a aceleração com que se movimenta verticalmente a haste do mecanismo de Scotch Yoke (Fig.

1.8) são obtidos derivando-se a expressão 1.1a, chegando-se a

tAxv cos (1.4a)

tAxa sen2 (1.4b)

A Fig. 1.10 mostra uma representação das três variáveis que descrevem o movimento vertical da haste do mecanismo da fig. 1.8.

Decibel

A unidade técnica decibel é utilizada para expressar valores relativos da amplitude do deslocamento, da velocidade e da aceleração. É definida como dB = 20 log10 (z/z0), onde z é a quantidade em consideração e z0 um valor de referência para a mesma quantidade. Alguns valores de referência em uso são v0 = 10-8 m/s para a velocidade e a0 = 9,81 x 10-6 m/s2 para a aceleração e p0 = 2 x 10-5 N/m2 para pressão acústica, I0 = 10-12 W/m2 para intensidade acústica e W0 = 10-12 W para potência acústica. Estes últimos valores correspondem aos limiares de percepção do ouvido humano.


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O significado do decibel é exemplificado observando alguns valores:

20 dB ==> a quantidade medida é igual a 10 vezes o valor de referência



Oitava

É a medida relativa geralmente utilizada para a freqüência: se duas freqüências possuem a relação 2:1 se diz que estão separadas por uma oitava.

Valor rms

Uma medida de vibração muito utilizada é o valor rms (root mean square = valor médio quadrático). É definido por

T

rms dttxT

X0

22 1

Para funções harmônicas tAx sen , AAXrms

707,02

2 .

O valor rms veio a ser utilizado porque os instrumentos que medem vibrações convertem o movimento vibratório x(t) em um sinal elétrico V(t) = cx(t) medindo a sua potência que é dada por

22

0

22

0

21rms

TT

XcdttxT

cdttV

T .

1.4.1 - Representações Vetorial e Complexa

A manivela do mecanismo de Scotch Yoke, pode ser interpretada como um vetor de módulo A cuja direção muda constantemente segundo o ângulo t. As projeções horizontal e vertical do vetor são movimentos harmônicos (Fig. 1.9), dados por

tAx cos (1.5a)

tAy sen (1.5b)

Se x e y são movimentos harmônicos, então suas derivadas também serão movimentos harmônicos, dados pelas expressões

tAx sen (1.6a)

tAx cos2 (1.6b)

tAy cos (1.6c)

tAy sen2 (1.6d)

A mesma representação vetorial pode ser expressa na forma de números complexos. O plano complexo é então utilizado para descrever o movimento. No mesmo movimento representado na Fig. 1.9 o vetor girante é representado por um fasor, que é uma quantidade complexa, com os eixos x e y sendo substituídos pelos eixos real e imaginário. O fasor que representa o movimento é expresso por

titAAe ti sencos X

(1.7a)

ttiAiAei ti sencos XX

(1.7b)

titAAe ti sencos22 2-XX

(1.7c)

onde as componentes real e imaginária são movimentos harmônicos na forma de seno e cosseno. A Fig. 1.11 ilustra o resultado das expressões (1.7). Observa-se que o vetor velocidade é ortogonal ao vetor deslocamento e seu módulo é igual a A, ou seja, a amplitude da velocidade de um movimento harmônico é igual à amplitude do deslocamento multiplicada pela freqüência angular. Pelas expressões 1.7 pode-se observar também que se os deslocamentos representam movimentos harmônicos, então a velocidade e a aceleração também são harmônicos. O módulo da aceleração é A e a mesma está em oposição de fase em relação ao deslocamento.

As representações vetoriais, seja na forma padrão ou na complexa, podem ser extremamente úteis quando se opera algebricamente com os movimentos harmônicos. Um dos casos em que isto é utilizado é no fenômeno do batimento, que é um típico caso de soma de movimentos harmônicos.


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Im

Re/2

/2

X i X

X

X X 2

t

Figura 1.11 - Representação complexa de deslocamento, velocidade e aceleração.

1.5 – Pêndulo Simples

O pêndulo simples, ou pêndulo matemático, constitui-se no exemplo mais simples de um sistema físico que exibe movimento harmônico quando oscila com pequenas amplitudes (até 30º). É formado por uma massa m, ligada à extremidade de uma haste de comprimento l de massa desprezível, que, em sua outra extremidade vincula-se a uma articulação de forma que seu movimento é uma oscilação no plano vertical. A Fig. 1.12a mostra o modelo de um pêndulo simples. A Fig. 1.12b apresenta um exemplo de um guindaste com uma carga pendurada que pode ser considerado como um pêndulo simples quando se estuda o movimento da carga. Em um determinado instante de tempo t, a haste forma um ângulo com a vertical. As forças que atuam sobre a massa m são o seu peso W e a tensão na haste T como ilustra a Fig. 1.12c. A massa apresenta uma aceleração com componentes radial ar e tangencial at e a haste possui

uma velocidade angular t

e uma aceleração angular 2

2

t .

Figura 1.12 – Pêndulo simples.

Aplicando a Lei de Euler (Segunda Lei de Newton para movimento de rotação) para o conjunto de forças mostrado no diagrama de corpo livre da Fig. 1.12c, na forma da soma de momentos em relação à articulação, obtém-se a seguinte relação

2sen mlJmgl

dividindo tudo por ml2 e arrumando os termos chega-se à conhecida equação do pêndulo simples

0sen l

g (1.8)


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Para pequenas oscilações pode-se linearizar a equação (1.8) fazendo sen . Assumindo-se que a amplitude é pequena, a equação (1.8) pode ser escrita na forma

02 (1.9)

onde 2 = g/l. Esta é uma equação diferencial, ordinária, de segunda ordem, de coeficientes constantes, homogênea, cuja solução é uma função harmônica como

tsenctct 21

cos (1.10)

onde c1 e c2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do movimento. O pêndulo, portanto, executa

uma oscilação harmônica com freqüência angular (ou circular) constante l

g . O período das pequenas oscilações

do pêndulo é g

lT 22 não dependendo da amplitude, sendo esta propriedade chamada de isocronismo.

Observa-se também que o período de oscilação não depende da massa do pêndulo.

Unidade 2 - Vibrações Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade

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UNIDADE 2 - VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE

2.1 - Introdução

A noção de vibração começa com a idéia do equilíbrio. Um sistema está em equilíbrio quando a resultante de todas as forças atuantes sobre o mesmo é nula. Qualquer sistema que esteja sob esta condição somente sairá dela quando ocorrer alguma perturbação externa. A oscilação irá ocorrer quando, após a perturbação atuar, o sistema apresentar a tendência a retornar à sua posição de equilíbrio. Ao se conceder ao pêndulo um ângulo inicial o mesmo entrará em movimento tendendo a retornar à sua posição de equilíbrio inicial. Ao passar por ela o movimento não se interrompe porque a massa do pêndulo adquiriu energia cinética. Enquanto esta energia permanecer presente no sistema o movimento oscilatório continuará. Se, entretanto, a energia inicial concedida for muito elevada, o pêndulo entrará em movimento rotativo. Situação semelhante ocorre com uma bola rolando dentro de uma superfície circular. Uma balança, com dois pesos iguais, apresentará comportamento equivalente (Fig. 2.1).

Figura 2.1 – Equilíbrio nos sistemas físicos.

O estudo de sistemas vibratórios deve começar por sistemas simples que apresentam características básicas capazes de permitir a análise de uma série de fenômenos presentes em sistemas mais complexos. Sistemas de um grau de liberdade são sistemas ideais, capazes de representar uma reduzida parte dos sistemas reais presentes no mundo físico, assim mesmo com grande simplificação. Por outro lado, estes mesmos sistemas apresentam características que fundamentam o entendimento da maioria dos aspectos básicos que estão presentes em sistemas mais complexos. Problemas como ressonância, transmissibilidade, balanceamento e isolamento podem ser devidamente estudados em sistemas de um grau de liberdade com posterior extensão dos conceitos para problemas de ordem maior. Por outro lado estimativas de comportamento podem ser estabelecidas com relativa facilidade e simplicidade matemática quando se cria um modelo simples para um sistema complexo. Razões como estas justificam a introdução do estudo de sistemas de um grau de liberdade em cursos de vibrações em engenharia. A vibração livre, como já foi conceituada no Capítulo 1, ocorre quando o movimento resulta apenas de condições iniciais, não havendo nenhuma causa externa atuando durante o mesmo. O movimento de um pêndulo é um exemplo de vibração livre. Ao ser abandonado, com uma determinada condição inicial (ângulo inicial, por exemplo), o mesmo oscilará livremente.

2.2 – Modelos de Análise de Vibrações

Um sistema vibratório é um sistema dinâmico para o qual as variáveis tais como as excitações (causas, entradas, inputs) e respostas (efeitos, saídas, outputs) são dependentes do tempo. A resposta de um sistema vibratório depende, geralmente, das condições iniciais e das ações externas. Isto faz com que seja necessário estabelecer um procedimento de análise que permita o entendimento das influências de cada um dos fatores. O procedimento geral é o que começa com o estabelecimento de um modelo físico, determinação das equações diferenciais que governam o movimento (modelo matemático), solução destas equações e interpretação dos resultados.

2.2.1 - Modelo Físico

O propósito da modelagem física é representar todos os aspectos importantes existentes no sistema para a determinação das equações matemáticas que governam o movimento do sistema. O modelo deve então traduzir as características físicas do sistema nos elementos vibratórios básicos, como ilustra a Fig. 2.2. O modelo pode ser mais ou menos complexo, de acordo com as necessidades e com a capacidade de solução das equações do movimento: modelos


14

mais complexos (com mais elementos) produzem um maior número de equações, cuja solução necessita do auxílio computacional. Outro fator é que muitas vezes a análise a se realizar não exige um refinamento muito elevado sendo possível conseguir boas interpretações em sistemas razoavelmente simples.

Fundação

Punção

Matriz

Estrutura

Solo

Solo

Massa da Fundação

Massa da Matriz

(a)

(b)

Amortecimentodo Solo

Rigidezdo Solo

Rigidez doElementoElástico

Amortecimentodo Elemento

Elástico

Força doPunção

ElementoElástico

Figura 2.2 - Modelo de uma prensa.

Os elementos que compõem um sistema vibratório são de três tipos, relacionando forças com deslocamentos, velocidades e acelerações, respectivamente.

2.2.1.1 - Elemento Mola

O elemento responsável por relacionar forças com deslocamentos é representado, nos sistemas vibratórios, pela mola, como mostra a Fig. 2.3a. Assume-se que a mola não possui massa, de forma que uma força Fm atuando em uma extremidade deve ser equilibrada por outra força de igual magnitude mas de sentido contrário, atuando na outra extremidade. Pela atuação da força Fm, a mola se deforma (alongamento ou contração). Esta deformação é igual à diferença entre os deslocamentos x2 e x1. A Fig. 2.3b mostra uma curva força/deformação típica de uma mola comum. Esta curva é não linear, entretanto, para pequenas deformações, pode-se considerar que existe uma proporcionalidade entre a força e a deformação, sendo k a constante de proporcionalidade, conhecida como constante de mola ou rigidez. As unidades de k no Sistema Internacional (SI), são N/m. Fm é uma força elástica, conhecida como força de restauração, porque uma mola alongada ou comprimida tende sempre retornar à sua posição não deformada.

Faixa linear

Fm

x2 - x

1

(b)

Fm

Fm

x2

(a)

x1

Figura 2.3 - Elemento mola.

A relação entre força e deslocamento é expressa por

F k x xm 2 1 (2.1)

O elemento mola representa a capacidade que o sistema físico tem em armazenar energia potencial. Esta capacidade é, muitas vezes, expressa pela elasticidade presente. Em analogia com um sistema elétrico, a mola pode ser


15

comparada a um capacitor sendo o elemento que armazena energia na forma de energia potencial em um determinado instante do movimento e depois a devolve para que o sistema vibratório a transforme em energia cinética ou a dissipe. A energia potencial armazenada pela mola é dada por

U kx1

22 (2.2)

Associação de molas em paralelo

As molas podem ser associadas de várias formas. As associações em paralelo e em série, mostradas na Fig. 2.4a e 2.4b, respectivamente, são as mais comuns.

Fm

Fm

x1

x2

k2

k1

(a)

Fm

Fm

x1

x2

k2k

1

x0

(b) Figura 2.4 - Associação de molas

Para as molas em paralelo (Fig. 2.4a) a força atuante na mola se divide em duas, de forma que

F F Fm m m 1 2

(2.3)

Cada uma das molas está submetida à relação

F k x x

F k x x

m

m

1

2

1 2 1

2 2 1

(2.4)

Uma mola equivalente ao conjunto deve possuir uma constante de forma que

F k x xm eq 2 1 (2.5)

Introduzindo (2.4) em (2.3) e considerando (2.5) chega-se a

k k keq

1 2

(2.6)

Generalizando, para um conjunto de n molas associadas em paralelo

k keq i

i

n

1

(2.7)

Associação de molas em série

Observando a Fig. 2.4b, as seguintes relações podem ser escritas para molas em série:

F k x x k x xm

1 0 1 2 2 0 (2.8)

que podem ser escritas na forma

x xF

kx x

F

km m

0 1

1

2 0

2

e (2.9)

Como para uma mola única vale a expressão (2.5), tem-se que

F

kx x x x x x

F

k

F

km

eq

m m 2 1 2 0 0 1

2 1

o que conduz a


16

k

k k

eq

1

1 1

1 2

(2.10)

Para um conjunto de n molas associadas em série

k

k

eq

ii

n

1

1

1

(2.11)

Sistemas elásticos Um elemento elástico pode ser deformado em várias direções. Cada relação entre uma força em uma direção e

uma deformação na mesma ou em outra direção produz uma diferente constante de mola. A equação (2.12) pode, portanto se apresentar na forma mais geral

jijixkF (2.12)

onde i e j podem indicar, por exemplo, translações e rotações ao longo ou em torno de três eixos de um sistema de coordenadas cartesianas. Portanto, i e j podem assumir seis valores diferentes. Globalmente, existirão 6x6 coeficientes independentes kij, relacionados com uma possível aplicação do esforço (força ou momento) e a direção do deslocamento produzido.

Figura 2.5 – Definição de constantes de mola para a viga engastada.

Considere-se, por exemplo, a viga engastada da Fig. 2.5, com o sistema de coordenadas xyz, como indicado. Se a viga possui uma seção transversal de área A e momentos de inércia Ix, Iy, Iz, comprimento L, módulo de elasticidade E, módulo de elasticidade transversal G, e se u, v, w, são as deflexões e , , as rotações da sua extremidade livre com relação ao sistema de coordenadas xyz, da Resistência dos Materiais, se tem

33

33

3,

3

3,

3

,

L

EIk

L

wEIF

L

EIk

L

uEIF

L

EAk

L

EAvF

x

ww

x

w

z

vv

z

u

vvv

(2.13a)

L

EIk

L

EIM

L

EIk

L

EIM

L

GIk

L

GIM

xx

zz

yy

,

,

,

(2.13b)

onde Ix = Iz = d4/64 e Iy = d4/32, para uma seção circular de diâmetro d. Sistemas com um grau de liberdade possuem i = j = 1 e o sufixo da constante k é omitido.

Exemplo 2.1 - Um tambor, com um cabo de aço, é montado na extremidade de uma viga em balanço como mostra a Fig. 2.6(a). Determinar a constante de mola equivalente do sistema quando o comprimento suspenso do cabo é l. São conhecidos o comprimento da viga b, sua largura a e sua espessura t. Assumir que o diâmetro do cabo é d e os módulos de elasticidade da viga e do cabo são iguais a E.

Solução: A constante de mola da viga em balanço é dada por (2.13a)


17

kEI

b

Eat

b

Eat

bb

3

312

43

3

3

3

3 (a)

A rigidez do cabo submetido a carregamento axial é

kEA

l

Ed

l

E d

lr

2

24

4 (b)

A viga em balanço e o cabo podem ser considerados como molas combinadas em série, cuja constante de mola equivalente é dada pela equação (2.10)

k

k k

b

Eat

l

E d

E d at

d b lateq

b r

1

1 1

1

4 4 43

3 2

2 3

2 3 3

(c)

Exemplo 2.2 - A lança AB do guindaste mostrado na Fig. 2.7 é uma barra de aço uniforme de comprimento 10 m e área da seção transversal 2,5 x 10-3 m2. A massa de 1000 kg, suspensa pelo guindaste está parada. O cabo CDEBF é de aço e tem área da seção transversal de 0,1 x 10-3 m2. Desprezando o efeito do segmento do cabo CDEB, determinar a constante de mola equivalente do sistema na direção vertical. O módulo de elasticidade do aço é 2,07 x 1011 N/m2.

Solução: A Fig. 2.7b mostra a combinação de molas, assumindo que tanto a lança quanto o cabo estão submetidos exclusivamente a carregamento axial, o que é válido uma vez que a lança é articulada na base do guindaste e o cabo trabalha sob tração. Como não está evidente a associação das molas em série ou em paralelo, deve-se usar a equivalência de energia potencial para determinar a constante de mola equivalente. Um deslocamento vertical x do ponto B causará uma deformação x2 = x cos 45o na lança (constante k2). O cabo se deformará x1 = x cos(90o-). Pela Lei dos Cossenos, o comprimento do cabo FB, l1 é obtido por

222

22

2

2

22

1m151135cos1032103 angulocos2 lFAlFAlFAl (a)

A mesma Lei dos Cossenos, aplicada para determinar o ângulo resultará em

819,0

3306,122

310306,12

2cos

cos2

222

1

21

2

2

1

1

22

1

2

2

FAl

FAll

FAlFAll

(b)

t

b

d

W

l a

W

(a)

(b)

W

keq

W

kb

kr

(c) Figura 2.6 - Sistema de elevação.

l1 = 12,306 m


18

Aenergia potencial total U armazenada nas molas é obtida por

U k x k x k x k x

U k k x

1

2

1

2

1

290

1

245

1

290

2

2

1 12

2 22

1

2

2

2

1

2

2

2

2

cos cos

cos

(c)

onde

kE A

l1

1 1

1

11 362 07 10 0 1 10

12 3061 682 10

, ,

,, N

m (d)

e

kE A

l2

2 2

2

11 362 07 10 2 5 10

1051 750 10

, ,, N

m (e)

Como a mola equivalente na direção vertical sofre uma deformação x, a energia potencial desta mola equivalente é dada por

U k xeq eq1

22 (f)

Fazendo U = Ueq, das expressões (c) e (f), utilizando os resultados de (d) e (e), obtém-se a constante de mola equivalente como

mN10430,26

10750,512

110682,1061,3590cos

2

290cos

6

662

2

2

1

2

eq

eq

k

kkk

1000 kg

1,5 m 1,5 m

45o

10 m

AF

B

ED

C

1000 kg

45o

l2 = 10 m, k

2

AF

B

l2,

k1

x

3 m

(a) (b)

keq

1000 kg

(c) Figura 2.7 - Guindaste com carga.

2.2.1.2 - Elemento amortecedor

O elemento que relaciona forças com velocidades é conhecido genericamente como amortecedor. O amortecedor é constituído por um pistão montado com folga dentro de um cilindro cheio de um líquido viscoso (óleo, água, etc.), de forma que o fluido possa passar através do pistão. A Fig. 2.8a apresenta um esquema deste elemento. Assume-se também que o amortecedor não possui massa, de forma que a força Fd, aplicada em uma de suas extremidades possa ser balanceada por uma outra força de mesma magnitude e sentido contrário, aplicada na outra extremidade. Se estas forças Fd, causam um cisalhamento suave no fluido viscoso, a curva Fd versus x x

2 1 será

aproximadamente linear, como mostra a Fig. 2.8b. A constante de proporcionalidade c, que é a inclinação da curva, é chamada de coeficiente de amortecimento viscoso. As unidades de c no SI são N.s/m.


19

Fd

v2 - v1

(b)

Fd Fd

v1 v2

(a) Figura 2.8 - Elemento amortecedor.

A relação entre força e velocidade é então, expressa por

F c v vd 2 1 (2.14)

O amortecedor tem como função física em um sistema vibratório, representar a capacidade que o sistema possui de dissipar energia.

2.2.1.3 - Elemento massa

O elemento que relaciona forças com acelerações é o que representa a inércia do sistema, sendo conhecido como massa. De acordo com o que estabelece a Segunda Lei do Movimento de Newton, a força Fi é proporcional à aceleração a quando medidos no mesmo referencial e a constante de proporcionalidade é m (Fig. 2.9). A unidade de massa é básica no SI: kg.

Fi

a

(b)

Fi

(a)

m

a

Figura 2.9 - Elemento massa.

O elemento massa é aquele que representa a capacidade física do sistema em armazenar energia cinética. A vibração é o fenômeno físico que ocorre com a troca sistemática de energias cinética e potencial entre a massa e mola. Neste processo o amortecimento responde pela energia que é dissipada.

Exemplo 2.3 - Um mecanismo came-seguidor, mostrado na Fig. 2.10, é utilizado para converter movimento de rotação de um eixo no movimento alternativo de uma válvula. O sistema consiste de uma haste de massa mp, um balancim de massa mr e momento de inércia Jr em relação ao seu centro de gravidade C.G., uma válvula de massa mv, e uma mola de massa desprezível. Determinar a massa equivalente meq deste sistema came-seguidor assumindo a localização de meq como (a) ponto A, (b) ponto B. O deslocamento linear da haste é xp e da válvula é xv.

Solução: Devido ao deslocamento vertical da haste, xp, o balancim gira um ângulo r

pxl

1em relação ao ponto de

pivotamento, a válvula se move para baixo x lx l

lv r

p 2

2

1e o C.G. do balancim se move para baixo

x lx l

lr rp 3

3

1. A energia cinética do sistema é igual à soma das energias cinéticas de cada elemento

T m x m x m x Jp p v v r r r r

1

2

1

2

1

2

1

22 2 2 2 (a)

onde xp

, xr e x

vsão as velocidades lineares da haste, C.G. do balancim e da válvula, respectivamente, e

r é a

velocidade angular do balancim.


20

Came

Eixo

Seguidor derolamento

Haste

Balancim

Mola daVálvula

Válvula

l3

l1 l2

GOAB

xp xr xvr

Figura 2.10 - Sistema came-seguidor

(a) Se meq é a massa equivalente do sistema, localizada no ponto A, com x xeq p , a energia cinética total do sistema

equivalente Teq é dada por

22

2

1

2

1peqeqeqeq xmxmT (b)

Como

,

,

,

x x xx l

lx

x l

l

x

lp eq v

eq

r

eq

r

eq

2

1

3

1 1

e (c)

igualando as expressões (a) e (b) resulta

m mJ

lm

l

lm

l

leq p

r

v r

1

2

2

2

1

2

3

2

1

2 (d)

(b) Da mesma forma, se a massa equivalente está localizada no ponto B, x xeq v

, e a expressão (b) se transforma em

T m xeq eq v1

22 (e)

e igualando (a) com (e) resulta

m mJ

lm

l

lm

l

leq v

r

p r

2

2

1

2

2

2

3

2

2

2 (f)

Exemplo 2.4 - Determinar a massa efetiva de uma mola de massa total ms. Solução: Sendo x a velocidade da massa concentrada m, a velocidade de um elemento da mola, localizado a uma distância y de sua extremidade fixa, varia com y. Supondo que esta variação é linear, a mesma pode ser expressa na forma

y xy

l (a)

Se a massa de um elemento de comprimento dy é dmm

ldyx , a energia cinética total da mola pode ser obtida

por integração


21

T xy

l

m

ldy

mxmola

s sl

1

2

1

2 3

2

2

0

(b)

kdy

y

l

xm

Figura 2.11 - Massa efetiva da mola.

Se a energia cinética equivalente é dada pela expressão (b) do exemplo 2.3, e x xeq

, comparando com a

expressão (b) deste exemplo, a massa efetiva (ou equivalente) da mola é

mm

eff

s3

(c)

Muitas vezes, quando existem molas de massa considerável no sistema mecânico estudado, utiliza-se a expressão (c) para incluir o efeito da massa da mola.

2.2.2 - Modelo Matemático

A partir do estabelecimento do modelo físico, são utilizados os princípios da dinâmica para determinar as equações diferenciais do movimento. Estas são geralmente na forma de um conjunto de equações diferenciais ordinárias para sistemas discretos e equações diferenciais parciais para sistemas contínuos. As equações podem ser lineares ou não lineares, dependendo do comportamento dos componentes do sistema. Entre os métodos utilizados para determinar as equações do movimento, os mais freqüentemente encontrados são a 2a Lei de Newton, o Princípio de d’Alembert e as Equações de Lagrange (Princípio da Conservação da Energia).

Dependendo da natureza do problema, uma determinada técnica deverá ser usada para resolver as equações do movimento. As técnicas mais freqüentemente utilizadas são as seguintes: métodos de solução de equações diferenciais, método da Transformada de Laplace, métodos matriciais e métodos numéricos.

A solução das equações do movimento apresenta os deslocamentos, velocidades e acelerações das várias massas do sistema. Estes resultados devem ser interpretados segundo o propósito da análise que está sendo realizada e as possíveis implicações dos resultados. É nesta etapa que se inclui, por exemplo, o diagnóstico de vibrações em máquinas ou equipamentos industriais. A comparação entre as características das vibrações medidas com as soluções das equações diferenciais permite importantes conclusões sobre as causas das vibrações. Nesta etapa a utilização das Transformadas de Fourier é fundamental para a identificação de características nas vibrações medidas.

2.3 - Vibrações livres de sistemas não amortecidos

2.3.1 – Equações de movimento

A Fig. 2.12a mostra um modelo simples de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento, o conhecido sistema massa-mola. Aplicando a Segunda Lei de Newton, pode-se construir o diagrama de corpo livre da massa m, mostrado na Fig. 2.12b. A equação do movimento é então

mx k x mgest

pela condição de equilíbrio estático quando o movimento não existe, sabe-se que mg kest

, podendo-se escrever a

equação diferencial do movimento em sua forma conhecida

mx kx 0 (2.15)

A mesma equação pode ser obtida utilizando o Princípio da Conservação da Energia. Como o sistema não possui amortecimento, toda a energia concedida inicialmente permanece invariável durante o tempo em que acontece o movimento. Isto é expresso por T + U = E = constante onde T é a energia cinética e U é a energia potencial associadas ao movimento. A conseqüência matemática da conservação da energia é


22

dE

dt

d

dtT U 0 (2.16)

A energia cinética é armazenada pela massa, dependendo da velocidade, sendo dada por T mx1

22 , enquanto

que a energia potencial é armazenada pela mola, na forma de deformação, sendo U kx1

22 . Introduzindo estes termos

na equação 2.16 tem-se

d

dtT U

d

dtmx kx mxx kxx

1

2

1

202 2

resultando na mesma equação 2.15.

posição deequilíbrio estático

posição finalx

mg + kx

(b)

m

k(st

+ x)

mg

(c)

st

x

kxEnergia

Potencial

Posição de equilíbrioestático

Força demola

O

(d)

m

k L0 +

st

(a)

m

kst

mg

Figura 2.12 - Sistema massa-mola em posição vertical

A equação 2.15 é uma equação diferencial ordinária, de segunda ordem (derivada de maior ordem), linear (todos os termos estão linearmente relacionados com x e suas derivadas), de coeficientes constantes (m e k não variam com o tempo) e homogênea (o termo independente é igual a 0). A solução desta equação é

x t A t A tn n 1 2sen cos (2.17)

onde A1 e A2 são constantes de integração. Derivando duas vezes (2.17) e substituindo em (2.15) encontra-se

0)cossen(21

2 tAtAmknnn

(2.18)

Para que a equação (2.18) seja satisfeita, é necessário que

k mk

mn n 2 20 ou (2.19)

A solução (2.17) tem as mesmas características daquela obtida em Resistência dos Materiais, para a equação da linha elástica. Lá o problema é espacial (variável independente é a posição) conhecido como problema do contorno, e as constantes A1 e A2 são obtidas através de equações auxiliares geradas pelas condições de contorno associadas ao problema em estudo. No caso presente o problema se apresenta no domínio do tempo e é conhecido como problema do valor inicial e as constantes A1 e A2 dependem das condições iniciais do movimento. Se os valores iniciais do deslocamento e da velocidade (que representam a energia total introduzida para gerar o movimento livre), são conhecidos e dados por x0 e v0 tem-se


23

x t x A

x t v An

0

0

0 1

0 2

de forma que a solução da equação diferencial do movimento se torna

x t x tv

tn

n

n 00cos sen

(2.20)

O movimento representado em (2.20) é um movimento harmônico de freqüência igual a n. Esta é a freqüência com que o sistema oscila quando está livre, sem amortecimento. Por este motivo é chamada de freqüência natural de oscilação. Esta freqüência natural terá muita importância quando se estudar a vibração forçada sendo uma das principais características de um sistema dinâmico. Tratando-se de uma oscilação harmônica, é importante representar a expressão (2.20) em uma forma mais simples. Com o auxílio de relações trigonométricas (2.20) pode ser escrita como

x t X tn 0 cos (2.21)

onde

X xv

v

x

n

n

0 0

2 0

2

0

0

e

=tan -1

X

O

T

t

Figura 2.13 - Vibração livre sem amortecimento (movimento harmônico)

Exemplo 2.5 - Encontrar a freqüência natural de vibração na direção vertical do sistema de elevação mostrado na Fig. 2.6a

Solução: O sistema de elevação pode ser idealizado como um sistema de um grau de liberdade com duas molas associadas em série (viga em balanço e corda, são os elementos elásticos), cuja rigidez equivalente é dada por

kk k

k keq

b r

b r

(a)

onde kb é a rigidez da viga em balanço sob flexão e kr é a rigidez do cabo de aço sob tração.

kEI

b

E

b

at Eat

b

kEA

l

E

l

d E d

l

b

r

3 3

12 4

4 4

3 3

3 3

3

2 2

e

resultando em uma rigidez equivalente

kE d at

d b lateq

4

2 3

2 3 3

e a freqüência natural é dada por


24

n

eq eqk

m

k g

P

Eg

P

d at

d b lat

4

2 3

2 3 3 (b)

Exemplo 2.6 - Determinar a freqüência natural do sistema de polias mostrado na Fig. 2.14. Assumir que não há atrito entre cabo e polias e as massas das polias e do cabo são desprezíveis.

Polia 1

Polia 2

m

x

k1

k2

Figura 2.14 - Sistema de elevação com polias.

Solução: Idealizando novamente o sistema como um sistema de um grau de liberdade, a freqüência natural também pode ser obtida usando o conceito de rigidez equivalente. Como não há atrito entre polias e cabo e as polias não possuem massa, a tensão na corda é constante e igual ao peso P da massa m. Então a força que atua na polia 1, puxando-a para cima é 2P, e a força que atua na polia 2, puxando-a para baixo também é 2P. O centro da polia 1 se desloca 2P/k1 para cima, e o centro da polia 2 se desloca 2P/k2, para baixo. O deslocamento total da massa m é

22 2

1 2

P

k

P

k

A constante de mola equivalente do sistema é obtida considerando eequivalent mola de constante

massa da peso=

deslocamento da massa, portanto

P

kP

k k

P k k

k k

k k

k k

eq

41 1 4

4

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

e

keq

Se a equação do movimento da massa é escrita como

mx k xeq 0

então a freqüência natural é dada por

n

eq

nn

k

m

k k

m k kf

k k

m k k

1 2

1 2

1 2

1 24 2

1

4 rad / seg ou Hz (ciclos / seg)

Exemplo 2.7 – Um rolo compactador de solo consiste de um cilindro de massa m e raio r, que está conectado a um trator por uma mola de constante k como mostra a Fig. 2.15. Encontrar a equação diferencial do movimento. Assumir que o rolo está livre para rolar sobre a superfície horizontal, sem deslizamento.


25

Solução: Aplicando a 2ª Lei de Newton ao movimento do cilindro, usando como coordenada o movimento do centro de massa do mesmo,

F mx (a)

ou

fmx kx F (b)

onde Ff é a força de atrito, ainda desconhecida.

Figura 2.15 – Rolo compactador de solo.

Usando a equação, OM J

O fJ F r (c)

ou

21

2f

xmr F r

r

(d)

e, portando, 12fF mx . Substitui-se esta expressão para Ff na equação das forças para obter

1

2mx kx mx (e)

ou

30

2mx kx (f)

2.3.2 - Método da energia de Rayleigh

Conforme foi dito no capítulo introdutório, uma das mais importantes contribuições de Lord Rayleigh no campo das vibrações foi o método apresentado para determinação da freqüência natural do sistema de um grau de liberdade. Mais tarde Ritz estendeu o método para determinação da primeira freqüência natural de um sistema de mais de um grau de liberdade. O Método de Rayleigh se fundamenta no Princípio da Conservação da Energia, se aplicando, portanto, apenas a sistemas conservativos (sem amortecimento). Como a energia total E é constante, a soma das energias cinética e potencial em dois instantes de tempo quaisquer são iguais

T1 + U1 = T2 + U2 = E (2.22)

onde T1 e U1 são as energias cinética e potencial no tempo 1 e T2 e U2 são as energias cinética e potencial no tempo 2. Estabelecendo-se a posição de equilíbrio estático como a posição referencial de energia potencial (a energia potencial depende do referencial, que pode ser escolhido arbitrariamente) e o tempo 1 for o tempo em que o sistema passa por esta posição, então U1 = 0 e, como a energia total é constante e igual à soma das energias cinética e potencial, a energia cinética neste tempo deve ser máxima, ou T1 = Tmax . Por outro lado, ao se escolher o tempo 2 como o tempo em que o sistema atinge seu máximo deslocamento, isto produz uma energia potencial máxima U2 = Umax e, como o movimento é oscilatório, a velocidade neste mesmo tempo é nula e T2 = 0 . Utilizando a expressão (2.22), isto se traduz em

Tmax = Umax (2.23)


26

que é a expressão fundamental do Método de Rayleigh.

Exemplo 2.8 – Resolver o problema do exemplo 2.7 utilizando o Método de Energia.

Solução: Energia cinética do movimento de translação do centro de massa do rolo

21

2tT mx (a)

Energia cinética do movimento de rotação do rolo

21

2r OT J (b)

onde o momento de inércia do rolo é

21

2OJ mr (c)

Pela condição de rolamento sem deslizamento

ou r x r x (d)

de forma que a energia cinética total é

2

2 2 21 1 1 3

2 2 2 4

xT mx mr mx

r

(e)

A energia potencial se concentra na mola, sendo

21

2U kx (f)

Aplicando o Princípio da Conservação da Energia

02

3

kxxmUT

dt

d (g)

Simplificando, chega-se à equação

30

2mx kx (h)

que é idêntica à eq. (f) do Exemplo 2.7.

Exemplo 2.9 – Estruturas compostas. Determinar a freqüência natural da vibração vertical de uma massa ligada a uma estrutura flexível como mostrado na Fig. 2.16. Solução: A estrutura da Fig. 2.16 é considerada como duas molas associadas em série. O modelo é mostrado na Fig. 2.16a. Para uma viga bi-apoiadaa constante de mola para a deflexão lateral no meio é

3

48EIk

L (a)

Passo 1: O sistema possui um grau de liberdade. Seleciona-se a coordenada x.

Passo 2: Assume-se que a massa é deslocada x. As forças aplicadas são mostradas na Fig. 2.16d. F é ainda desconhecida. A compatibilidade dos deslocamentos exige que

1 212 1 2 3

1 2 3

1 212 3 3

1 2 3 1 2 3

2 2, , ,2

1 1 1

2 4 4 4 4

F FF

k k k

F F Fx F

k k k k k k

(b)

Então

1 2 31 4 1 4 1

xF

k k k

(c)


27

Passo 3: A 2ª Lei de Newton estabelece

1 2 3

1 2 3

1 4 1 4 1

10

1 4 1 4 1

xmx F

k k k

mx xk k k

(d)

Figura 2.16 – Estrutura composta.

Passo 4: A freqüência natural é

1 2 3

1

1 4 1 4 1n

k k k

m

(e)

Exemplo 2.10 – Uma viga engastada, de aço, com comprimento igual a 1 m possui uma seção transversal retangular de 0,01 x 0,12 m2. Uma massa de 100 kg é anexada à sua extremidade livre como mostra a Fig. 2.17. Determinar a freqüência natural do sistema para vibração vertical.

Figura 2.17 – Viga engastada.

Solução: Assume-se que a massa da viga é pequena. mviga = 7800 x 1 x 0,01 x 0,12 = 9,36 kg, mas se sabe que a sua massa efetiva é cerca de 1/3 deste valor, 3,12 kg, o que representa 3,12 % da massa colocada na extremidade. A deflexão na extremidade livre da viga engastada, devida a uma força lateral P ali aplicada é = PL3/3EI. Portanto, para pequenas oscilações, a constante de mola é k = P/ = 3EI/L3.

O momento de inércia da viga é I = bh3/12 = 0,12 x 0,013/12 = 10-8 m4, e o módulo de elasticidade do aço é E = 2,1 x 1011 N/m2. Portanto, k = 3 x 2,1 x 1011 x 10-8/13 = 6300 N/m.

A equação do movimento livre não amortecido é

0mx kx (a)

Se a massa da viga não for considerada a freqüência natural será

63007,94 rad/s

100n

k

m (b)


28

Se a massa efetiva da viga (1/3) for acrescida, a freqüência natural torna-se

rad/s82,712,3100

6300

eq

nm

k (c)

A diferença de 0,12 rad/s equivale a 1,51 % da freqüência natural, correspondendo a uma diferença de 9,36 % na massa total. Isto demonstra a importância em se considerar a massa efetiva da mola.

Exemplo 2.11 – A corda mostrada na Figura 2.18 está sob uma tensão T, que permanece constante para pequenos deslocamentos. Determinar a freqüência natural da vibração vertical da massa m considerando pequenas oscilações. Despreze os efeitos da gravidade e a massa da mola.

Figura 2.18 – Massa suportada por uma corda tensionada.

Solução: Assumir que a massa está deslocada x na direção vertical. A tensão na corda é a força de restauração. Como a tensão é constante, as componentes verticais da tensão sobre a massa resultam em aLxaxT . Aplicando a 2ª

Lei de Newton, a equação do movimento é

0

aL

x

a

xTxm ou

0

x

aLa

TLxm (a)

e

aLma

TLn

(b)

Exemplo 2.12 – Um cilindro sólido de raio r está imerso parcialmente em água destilada como ilustra a Fig. 2.19. Determinar a freqüência natural de oscilação do cilindro na direção vertical, assumindo que permanece na posição vertical. As densidades do cilindro e da água são c e w.

Figura 2.19 – Vibração de corpos flutuantes.

Solução: O deslocamento vertical do cilindro medido a partir de sua posição de equilíbrio é x. O peso da água deslocada (empuxo) é Agwx. Esta é força restauradora, de acordo com o Princípio de Arquimedes. A massa do cilindro é Ahc. Da 2ª Lei de Newton, a equação do movimento é

0c wAhx Ag x (a)

ou


29

0w

c

gx x

h

(b)

portanto

wn

c

g

h

(c)

Como parte da água se move junto com o cilindro, a freqüência natural real será um pouco menor. A massa de água acrescida é:

allongitudin eixoseu ao larmenteperpendicu se-movendo cilindro4

plana superfície à larmenteperpendicu se-movendo

retangular forma com placa4

disco3

esfera12

2

2

3

3

Ld

wLLw

d

d

Exemplo 2.13– Um corpo de massa m1 está suportado por uma mola de rigidez k (Fig. 2.20). Uma massa m cai de um altura h sobre o corpo ocorrendo um impacto perfeitamente plástico. Determinar a expressão da vibração resultante e a freqüência natural do sistema após o impacto.

equilíbrio

m

m1

k

x0

m1

h

mm

x

ghu 2

u0

Figura 2.20 – Vibração devida ao impacto.

Solução: Em primeiro lugar determina-se a velocidade da massa m no momento do impacto. A seguir, utilizando o princípio da conservação da quantidade de movimento, calcula-se a velocidade do conjunto após o impacto, que é a velocidade inicial do movimento das duas massas se vibrando como um corpo rígido.

Quando a massa m atinge o corpo m1, possui velocidade 2u gh . O princípio da conservação da quantidade

de movimento estabelece que 1 0mu m m u onde u0 é a velocidade das duas massas após o impacto.

Neste instante o sistema não estará na sua posição de equilíbrio estático. Se a massa m1 for carregada com uma carga adicional mg, a posição de equilíbrio estático estaria 0 mg k abaixo da posição do impacto. Se o movimento é

medido a partir desta posição (impacto), as condições iniciais são

0 0

1

, 2mg m

x u ghk m m

(a)

A equação do movimento é similar à Eq. (2.15)

1 0m m x kx (b)

com

1

n

k

m m

(c)


30

A solução, em função das condições iniciais, é dada pela Eq. (2.20), resultando em

tk

mgt

mmk

ghmt

utxtx

nnn

n

n

cossin

2sincos

1

0

0

2.4 - Vibração Livre de Sistemas com Amortecimento Viscoso

O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia. Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a força dissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta força tem como característica principal ser proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento quando existe um fluido separando-as. Esta proporcionalidade garante que a equação diferencial do movimento não perderá nenhuma de suas características enunciadas na seção 2.3.1. A força de amortecimento viscoso Fa tem como expressão

F cxa (2.24)

onde c é a chamada constante de amortecimento.

2.4.1 - Equação do movimento

k

(a)

kx

m m

.cxc

x

Sistema Diagrama de corpo livre

(b)

Figura 2.21 - Sistema de um grau de liberdade com amortecedor viscoso

A Fig. 2.21a mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento. Se a força de amortecimento for de natureza viscosa, é igual à expressão (2.24), o diagrama de corpo livre da Fig. 2.21b, ao se aplicar a 2ª Lei de Newton, permite que se escreva a equação

mx cx kx

que pode ser escrita na forma

mx cx kx 0 (2.25)

A solução da equação (2.25) tem forma x t Cest que, introduzida na equação, resulta em

ms cs k Cest2 0

que tem solução não trivial quando a equação característica

ms cs k2 0 (2.26)

for satisfeita. Isto só é possível se as raízes forem

sc c mk

m

c

m

c

m

k

m1,2

2 24

2 2 2

(2.27)

Como as duas raízes satisfazem a equação diferencial (2.25), a solução resultante será uma combinação linear das mesmas na forma

x t C e C es t s t 1 2

1 2 (2.28)


31

2.4.2 - Sistemas sub-amortecido, criticamente amortecido e super-amortecido.

A forma funcional de (2.28) depende fundamentalmente da natureza das raízes (2.27): complexas ou reais. Para facilitar a notação, antes de estudar a influência da natureza das raízes na forma funcional, deve-se definir alguns parâmetros auxiliares.

Constante de Amortecimento Crítico

A constante de amortecimento crítico cc é definida como o valor de c que faz com que o discriminante da expressão (2.27) se anule. Isto porque, é do sinal deste discriminante que depende a natureza das raízes: 0 implica em raízes reais enquanto que para 0 as raízes formarão um par complexo. 0, se apresenta como o limite entre estas duas situações distintas. Tem-se então

c

m

k

mc

20

2

de forma que

c mk

mm

c n 2 2 (2.29)

Fator de Amortecimento

A constante de amortecimento c dá uma indicação da relação entre a força de amortecimento e a velocidade relativa entre as partes em movimento. Ela, porém não proporciona uma visão da quantidade de amortecimento que atua sobre o sistema real, uma vez que uma força de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena para outro, dependendo, fundamentalmente das massas envolvidas e da rigidez. Define-se, então o fator de amortecimento que é uma quantidade adimensional e não depende da ordem de grandeza dos parâmetros do sistema, indicando expressamente o quanto o sistema está sendo amortecido. O fator de amortecimento é definido como a relação entre a constante de amortecimento do sistema e a constante de amortecimento crítica

c

cc

(2.30)

Com o valor de cc dado na expressão (2.29) tem-se que

c

mn

2 (2.31)

Considerando que mkn2 , com a expressão (2.31), as raízes (2.27) podem ser escritas na forma

sn n n n1,2

22 2 1 (2.32)

Introduzindo (2.32) em (2.28), chega-se a

x t C e C en nt t

1

1

2

12 2 (2.33)

A expressão (2.33) pode ser considerada como a expressão geral para o movimento vibratório de um sistema de um grau de liberdade. Pode-se se mostrar facilmente que, para = 0 esta expressão se transforma em (2.17), que representa o movimento de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento. A forma do movimento representado por (2.33) depende expressamente dos expoentes presentes (ou da natureza das raízes (2.32) como já foi dito antes). A seguir serão apresentadas as possibilidades de movimento em função da natureza destes expoentes (reais, complexos ou nulos). E, como pode ser facilmente averiguado em (2.33), a natureza dos expoentes depende do fator de amortecimento .

Caso 1: Sistema sub-amortecido -

No primeiro caso analisado o sistema possui um fator de amortecimento menor que a unidade, o que significa que sua constante de amortecimento é menor que a constante de amortecimento crítico, como pode ser observado em (2.30). Como conseqüência tem-se que

1 0

Então (2.33) pode ser escrita na forma

x t C e C ei t i tn n

1

1

2

12 2 (2.34)


32

que, considerando as fórmulas de Euler, e ii cos sen , pode ser modificada para

x t e C C t i C C tnt

n n

1 2

2

1 2

21 1cos sen (2.35)

e, através das relações trigonométricas cos cos cos sen sena b a b a b , chega-se a

x t Xe tnt

n cos 1 2 (2.36)

com

X C C C C C Ci C C

C C

1 2

2

1 2

2

1 21 1 2

1 2

2 e tan .

X

O

x1

d

d

2

x2

t1

t2

Xe nt

x(t)

d

t

Figura 2.22 - Solução sub-amortecida.

As constantes de integração X e , são obtidas aplicando-se as condições iniciais x t x x t v 0 00 0 e

diretamente à expressão (2.36), resultando em

Xv x

xn

n

0 0

2

2

0

2

1

(2.37a)

e

tan 1 0 0

021

v x

x

n

n

(2.37b)

O

(d/n)

1

1

Figura 2.23 - Variação de d com o amortecimento.

A forma do movimento representado pela expressão (2.36) é mostrada na Fig. 2.22. Trata-se de um movimento

harmônico com forma cos 1 2 n t , e amplitude decrescente exponencialmente segundo a relação Xe nt .

Observa-se que o efeito do amortecimento está presente na amplitude decrescente, representando a dissipação da

energia vibratória. Para grandes valores de t o termo Xe nt 0 . O movimento continua sendo harmônico pois apenas uma freqüência está presente. A freqüência de oscilação

agora não é mais a freqüência natural e sim a chamada freqüência da vibração livre amortecida, dada por

d n 1 2 (2.38)

d se aproxima de n para pequenos valores de . A variação de d com está mostrada na Fig. 2.23.


33

Caso 2 - Sistema Criticamente Amortecido -

Quando a constante de amortecimento c é igual à constante de amortecimento crítico cc, implicando que as raízes dadas em (2.32) são reais e iguais, a saber

s sn1 2

(2.39)

Para o caso de raízes reais repetidas, a solução da equação diferencial (2.25) assume a forma

x t C C t e C C t est tn

1 2 1 2

(2.40)

Aplicando-se as condições iniciais x t x x t v 0 00 0 e diretamente à expressão (2.40), as

constantes de integração são obtidas como C x C v xn1 0 2 0 0 e , resultando em

x t x v x t en

tn

0 0 0 (2.41)

A Fig. 2.24 mostra o movimento criticamente amortecido, juntamente com os outros tipos de movimentos amortecidos. Em função do termo exponencial negativo o movimento tende a zero com o crescimento do tempo. Como o movimento não é mais harmônico, neste tipo de sistema não ocorrem oscilações completas: a massa retorna rapidamente à sua posição de equilíbrio.

Caso 3 - Sistema Super-Amortecido -

Quando 1 a constante de amortecimento c é maior que a constante de amortecimento crítico cc, implicando que as raízes dadas em (2.32) são reais e diferentes, a saber

sn1,2

2 1 0 (2.42)

e a solução da equação diferencial retorna à forma dada em (2.33).

Introduzindo-se as condições iniciais x t x x t v 0 00 0 e , em (2.33), determinam-se as

constantes de integração, que se tornam

Cx v

Cx v

n

n

n

n

1

0

2

0

2

2

0

2

0

2

1

2 1

1

2 1

O

d

d

2

x(t)

d

t

Superamortecido > 1

Subamortecido < 1

Não amortecido = 0

Criticamenteamortecido

= 1

n

n

2

x0

Figura 2.24 - Comparação entre movimentos com diferentes tipos de amortecimento.

O movimento super-amortecido também está mostrado na Fig. 2.24 e se pode ver que não é oscilatório. Se pode comparar os três casos descritos acima e concluir que movimento oscilatório só acontece em sistemas sub-amortecidos (< 1). Sistemas criticamente amortecidos e super-amortecidos apresentam como característica principal, o fato de que toda a energia vibratória inicial se dissipa antes que ocorra um ciclo vibratório. Conseqüência: não há vibração. Uma conclusão que se tira da observação da Fig. 2.24 é que o sistema retorna mais rapidamente à posição de equilíbrio quando está criticamente amortecido do que quando está super-amortecido. Portanto, quando se desejar fazer com que um sistema retorne rapidamente, sem vibrar, à sua posição inicial depois de deslocado dela, se deve escolher uma quantidade de amortecimento que torne o sistema criticamente amortecido. Na prática, como vai ser visto mais


34

adiante, valores menores do que o amortecimento crítico ( = 0.7) permitem o retorno à posição de equilíbrio mais rapidamente ainda, permitindo-se que ocorra apenas uma oscilação. Este valor é usado em amortecedores de veículos, pois os mesmos, quando submetidos às irregularidades de ruas e estradas, devem retornar o mais rapidamente à sua posição original.

2.4.3 - Decremento Logarítmico

Um problema que se apresenta normalmente para quem estuda sistemas vibratórios é estimar o fator de amortecimento . Quando se possui um registro, resultado de uma medição, de um movimento vibratório, é possível observar a queda exponencial da amplitude de vibração com o tempo. O método do decremento logarítmico se fundamenta na comparação entre dois deslocamentos medidos de um movimento vibratório livre amortecido.

A Fig. 2.22 mostra o registro de um movimento vibratório livre de um sistema de um grau de liberdade. Em se tratando de movimento oscilatório, então o sistema é sub-amortecido, e a expressão que descreve o movimento é a (2.36). Se x1 é o deslocamento medido no tempo t1 e x2 é o deslocamento medido no tempo t2, a relação entre x1 e x2 é

x

x

Xe t

Xe t

n

n

t

d

t

d

1

2

1

2

1

2

cos

cos (2.43)

Se os dois deslocamentos são medidos em tempos separados por um período inteiro, então t2=t1+d com

d

d

2 , de forma que

cos cos cos d d dt t t

2 1 12

o que torna (2.43)

x

x

e

e ee e e

n

n dn d

n d

n

n

t

t

1

2

2

11

1

2

2

1 21

e o decremento logarítmico é definido então como

ln

x

x1

22

2

1 (2.44)

Para sistemas com amortecimento muito baixo (<<1), a expressão (2.44) pode ser aproximada para

2 (2.45)

A Fig. 2.25 mostra graficamente a relação entre e de onde se pode ver que a curva (2.44) se aproxima da reta descrita por (2.45) quando < 0.3.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

2

4

6

8

10

12

14

c

cc

ln

x

x1

2

Eq. (2.44)

Eq. (2.45)

Figura 2.25 - Variação do decremento logarítmico com o amortecimento.

Basicamente, então, o método funciona a partir de duas medidas do movimento, x1 e x2 seguindo-se o cálculo do decremento logarítmico por (2.44), e a seguir, o fator de amortecimento é calculado por


35

22 2

(2.46)

Como, em uma grande quantidade de casos, é difícil distinguir entre dois deslocamentos separados por um único período, o decremento logarítmico, seguindo o mesmo raciocínio apresentado acima pode ser obtido a partir de duas medidas x1 e xm+1 . Tem-se

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xe

m

m

m

m

m

mn d

1

1

1

2

2

3

3

4

1

1

de onde se obtém o decremento logarítmico

1 1

1m

x

xm

ln (2.47)

2.4.4 - Energia Dissipada no Amortecimento Viscoso

Como o amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia, é útil se estabelecer uma relação entre a energia dissipada e a constante de amortecimento (ou o fator de amortecimento) do sistema. Em se tratando de vibração livre, toda a variação de energia resulta da dissipação: o movimento possui inicialmente uma quantidade de energia que vai diminuindo progressivamente. A taxa de variação da energia com o tempo é dada por

dW

dtFv cv v c

dx

dt

força velocidade =

2

(2.48)

onde assumiu-se que a força responsável pela variação é a força de amortecimento viscoso. O sinal negativo representa a variação negativa da energia, em virtude do sistema ser dissipativo. Quando o fator de amortecimento é pequeno, pode-se considerar que a amplitude permanece constante em um ciclo da vibração sendo x(t) = X cos dt. A energia dissipada no ciclo de vibração é, portanto

W cdx

dtdt c X t dt c X td t

d d d d d

dd

22

2 2

0

2

0

2

0

sen sen

resultando em

2XcWd

(2.49)

Da expressão (2.49) se conclui que a energia dissipada depende, além da constante de amortecimento c, também da freqüência da vibração livre amortecida d, e do quadrado da amplitude do movimento vibratório X. A capacidade específica de amortecimento do sistema é definida como a relação entre a energia que é dissipada durante um ciclo e a energia total que estava presente no início do referido ciclo. Escolhendo-se o início do ciclo, o instante de tempo em que o sistema possui a máxima energia cinética (também poderia ser potencial), esta pode ser dada por

W mv m Xmax d

1

2

1

22

2

(2.50)

A capacidade específica de amortecimento é dada relacionando-se (2.49) e (2.50)

W

W

c X

m X

c

m

c

md

dd n

2

2 22 21

2

2 4

1 2

4

12 (2.51)

O coeficiente de perda também é utilizado para representar a capacidade de amortecimento de materiais. É obtido a partir de (2.51) como

coeficiente de perda

W

W

2

(2.52)

Exemplo 2.14 - Um absorvedor de choque é projetado para uma moto de massa igual a 200 kg (Fig. 2.26a). Quando o absorvedor é submetido a uma velocidade inicial devido a uma irregularidade no caminho, a curva resultante deslocamento x tempo é como a mostrada na Fig. 2.26b. Determinar as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o absorvedor se o período de vibração amortecida é 2 seg e a amplitude x1 deve ser reduzida para ¼ em


36

meio ciclo (x1,5=x1/4). Determinar também a velocidade inicial mínima que produz um deslocamento máximo de 250 mm.

Solução: Inicialmente deve ser determinado o fator de amortecimento, que pode ser obtido a partir do decremento logarítmico . A constante de amortecimento pode então ser obtida. A rigidez é determinada através da freqüência da vibração livre amortecida. A velocidade inicial é obtida a partir da determinação do tempo correspondente ao máximo deslocamento.

k/2

k/2c

m

(a)

O

x(t)

x1

x1,5

x2

x2,5

t

(b) Figura 2.26 - Absorvedor de choque para uma moto.

Se x1,5 = x1/4, então o deslocamento x2, correspondente a um período após x1 será x2 = x1,5/4 = x1/16. O decremento logarítmico é então

ln ln ,

x

x1

2

16 2 773

Através da expressão (2.46) determina-se o fator de amortecimento por

20 404

2 2,

A freqüência natural é obtida a partir do período da oscilação amortecida d = 2 seg.

n

d d

1

2

13 434

2 2, rad / seg

Sendo m = 200 kg constante de amortecimento crítico é obtida por

c mc n

2 1 374 103 , N seg

m

A constante de rigidez é dada por

k m n 2 32 358 10, N

m

O tempo em que ocorre o máximo deslocamento é o mesmo tempo em que a velocidade se anula. A equação da velocidade é obtida diferenciando-se a expressão (2.36) em relação ao tempo, resultando

cos senx t Xe t tnt

n d d d

que será nula se o termo entre colchetes se anular. Considerando as expressões (2.37), sendo o deslocamento inicial nulo, com, consequentemente, e X = v0/d e as relações trigonométricas

sinsincoscoscos

sincoscossinsin

ttt

ttt

ddd

ddd

chega-se a


37

td

11

21 1

tan 0,368 seg

A expressão (2.36), para o presente caso torna-se

x tv

e td

t

dn 0

sen

Como este valor máximo é 0,25 m tem-se

1

0

maxsen1 te

vx

d

t

d

n

e, substituindo os respectivos valores, chega-se a

v0 = 1,429 m/s

Exemplo 2.15 - O diagrama esquemático de um canhão é mostrado na Fig. 2.27. Quando a arma é disparada, gases a alta pressão aceleram o projétil dentro do cano até o mesmo atingir uma alta velocidade. A força de reação empurra o corpo do canhão na direção oposta à do projétil. Como é desejável trazer o corpo do canhão para a posição original no menor tempo possível, sem oscilar, coloca-se um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido no mecanismo de recuo. Em um caso particular o mecanismo de recuo e o corpo do canhão possuem uma massa de 500 kg com uma mola de rigidez 10000 N/m. O canhão recua 0,4 m após o tiro. Determinar: 1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor; 2) a velocidade inicial de recuo do canhão; 3) o tempo gasto pela arma para retornar à posição situada a 0,1 m de sua posição inicial. Solução: 1) A constante de amortecimento crítico é obtida pela expressão (2.29). Para tanto é necessário, inicialmente, determinar a freqüência natural

N

k

m

10000

5004 472, rad / seg

Projétil

Mecanismode recuo

Figura 2.27 - Canhão.

A constante de amortecimento crítico será, então

c mc n

2 2 500 4 4721 4 472 103 , , N seg

m

2) Para determinar a velocidade inicial de recuo é necessário recorrer à resposta do sistema criticamente amortecido, dada em (2.41). Se o sistema parte da posição de equilíbrio, x0 = 0, e (2.41) transforma-se em

x t v te nt

0

que deve ser derivada para se terminar o tempo em que ocorre o máximo deslocamento

dx t

dtv e v t e t v en n nt

n

t

n

t

0 0 1 1 01 1 11 0

que se verifica quando


38

t

x v t ev

e

n

max

t

n

n

1

0 1

0

1

0 4 1

e

,

de onde se chega a

v0 = 0,4 e n = 4,863 m/seg

3) O tempo gasto para o canhão voltar à posição original é determinado usando a expressão do deslocamento

0 1 0 22, v t e nt

resultando em

t2 = 0,826 seg

2.5 - Vibração Livre com Amortecimento de Coulomb

O amortecimento de Coulomb aparece quando corpos deslizam em superfícies secas. Em muitos sistemas mecânicos, são utilizados elementos que provocam amortecimento por atrito seco. Também em estruturas, componentes frequentemente deslizam um em relação ao outro e o atrito seco aparece internamente. A Lei de Coulomb para o atrito seco estabelece que quando dois corpos estão em contato, a força requerida para produzir deslizamento é proporcional à força normal atuante no plano do contato. A força de atrito F

F N (2.53)

onde N é a força normal e é o coeficiente de atrito. A força de atrito atua em sentido oposto ao da velocidade. O amortecimento de Coulomb é, algumas vezes, chamado de amortecimento constante, uma vez que a força de amortecimento é independente do deslocamento e da velocidade, dependendo somente da força normal atuante entre as superfícies em deslizamento. A Fig. 2.28a, mostra um sistema de um grau de liberdade com amortecimento de Coulomb. A Fig. 2.28b apresenta os diagramas de corpo livre para as duas possíveis orientações do movimento. Em cada uma destas orientações a equação do movimento tomará uma forma diferente. O movimento se dá oscilatoriamente, portanto o sistema está ora em uma situação, ora em outra.

m

x

k

m

m

mg

.x

.x

mg

N

kx

N

kx

N

N

(a)

(b)

(c) Figura 2.28 - Sistema com amortecimento de Coulomb.

Primeira fase do movimento: Quando a velocidade tiver sentido positivo (segundo o referencial adotado), a força de atrito será negativa e a Segunda Lei de Newton aplicada resultará

mx kx N ,

ou então

mx kx N (2.54)

que é uma equação diferencial ordinária, linear, de segunda ordem, coeficientes constantes, não homogênea. A solução geral desta equação compõe-se de duas partes, uma chamada homogênea, que é a solução da equação (2.15),dada em (2.19a), e a outra chamada particular, que inclui o termo do lado direito da equação, resultando


39

x t A t A tN

kn n

1 2cos sen

(2.55)

A equação (2.54) e, conseqüentemente, sua solução (2.55), valem somente enquanto a velocidade permanecer com o sinal positivo.

Segunda fase do movimento: Quando a velocidade troca de sinal, a força de atrito também muda de sinal resultando na equação

mx kx N (2.56)

que tem solução análoga a (2.40), apenas com o sinal da solução particular invertido, resultando

x t A t A tN

kn n

3 4cos sen

(2.57)

Em (2.55) e (2.57), o termo N/k representa o deslocamento da mola devido à força de atrito estabelecendo uma nova posição de equilíbrio. Como a força de atrito muda de sentido a cada meio ciclo (período em que a velocidade permanece com sinal inalterado), esta posição de equilíbrio também muda a cada meio ciclo como pode ilustrar a Fig. 2.29. Solução: Para complementar a solução das equações (2.54) e (2.56), deve-se analisar o movimento a partir de condições iniciais. O sistema inicia o seu movimento a partir de um deslocamento inicial, com velocidade inicial nula, para caracterizar a inversão do sentido do movimento em cada meio ciclo. São, então, as condições iniciais

x t x

x t

0

0 0

0

(2.58)

2

N

kn

N

k

x(t)

xN

k0

4

xN

k0

2

N

k

n

2

n

3

n

4

n

5

n

6

n

x0

t

Figura 2.29 - Movimento do sistema com amortecimento de Coulomb.

Se o movimento começa com um deslocamento inicial positivo e velocidade nula, o primeiro meio ciclo ocorrerá com velocidade negativa. A equação que descreve esta fase do movimento é (2.56), cuja solução é dada em (2.57). Introduzindo as condições iniciais (2.58) em (2.57), as constantes podem ser determinadas por

x t x AN

k

x t An

0

0 0

0 3

4

resultando em

A xN

k3 0

e A4 = 0

A equação (2.43) se torna, portanto

x t xN

kt

N

kn

0

cos (2.59)

Esta solução é válida apenas para o primeiro meio ciclo, ou seja 0 tn

. Quando t = n, a massa está

em sua posição extrema e a velocidade troca de sentido, e a equação que descreve o movimento é agora (2.54) cuja


40

solução é (2.55). Para que ocorra a continuidade do movimento as condições finais (deslocamento e velocidade) em t = n, calculadas com (2.54), devem ser as condições iniciais para (2.55)

x t xN

k

N

kx

N

k

x t xN

k

n

nn

0 0

0

2

0

cos

sen

(2.60)

Aplicando as condições iniciais (2.60) em (2.54), resulta

A xN

k

A

1 0

2

3

0

O deslocamento, neste segundo meio ciclo do movimento, é regido então por

x t xN

kt

N

kn

0

3

cos (2.61)

Ao final do segundo meio ciclo t2 = 2n, quando a velocidade novamente mudará seu sinal, o deslocamento e a velocidade atingirão os seguintes valores

x t xN

k

x t

n

n

2 0

2

2 4

2 0

(2.62)

Os valores de (2.62) serão as condições iniciais do terceiro meio ciclo, quando, novamente, passa a valer a equação (2.56) e sua solução (2.57). O movimento prosseguirá desta forma, mudando de equação a cada meio ciclo até que no final de um determinado meio ciclo, o deslocamento seja tão pequeno que a força de mola seja incapaz de vencer a força de atrito estático. Isto acontecerá no final do meio ciclo de ordem r que pode ser determinado por

x rN

k

N

k

xN

kN

k

0

0

2

2

ou

r

(2.63)

A característica principal do amortecimento causado por atrito seco, como já foi dito acima, é que a amplitude diminui sempre uma quantidade constante a cada ciclo (ou meio ciclo). Observando (2.59) e (2.61), ambas representam

movimentos harmônicos na freqüência n, com a amplitude caindo 2N

k a cada meio ciclo e com a posição de

equilíbrio variando N

k também a cada meio ciclo.

Como o movimento cessa quando a força de mola não mais superar a força de atrito, esta posição normalmente não coincide com a posição de equilíbrio, resultando que, por causa da força de atrito, geralmente a mola ficará com uma deformação residual no final do movimento. Outra característica do sistema com amortecimento provocado por atrito seco é que o mesmo oscila na freqüência natural, ao contrário do sistema com amortecimento viscoso, cuja oscilação ocorre em uma freqüência que pode ser muito diferente da freqüência natural, dependendo do fator de amortecimento. Outro aspecto que merece ser citado é que, enquanto o sistema com amortecimento viscoso, tem uma queda exponencial da amplitude, o mesmo, teoricamente continuará oscilando indefinidamente, mesmo que com amplitudes infinitesimalmente pequenas (na prática o movimento cessa devido a resistências passivas), o sistema com amortecimento de Coulomb encerra seu movimento em um tempo finito, mesmo teoricamente, quando os deslocamentos forem pequenos.

2.6 - Vibração Livre de Sistemas com Amortecimento Estrutural

O atrito interno que ocorre entre as fibras dos materiais quando as mesmas estão em movimento relativo, o que acontece quando há vibração, é responsável por uma parte da dissipação da energia vibratória. Isto implica então, em


41

uma diminuição da amplitude da vibração livre. Este tipo de amortecimento, também chamado de amortecimento histerético, pode ser determinado verificando-se a energia dissipada durante o movimento. Observando o sistema da Fig. 2.30a, conclui-se que a força que causa o deslocamento x(t) é dada por

F t kx cx (2.64)

Sendo o movimento harmônico, dado por x X t sen

F t kX t c X t sen cos

da trigonometria, pode-se retirar o seguinte artifício

X X t X t X t X X t

x

2 2 2 2 2

2

sen cos cos sen

resultando em

F t kx c X x 2 2 (2.65)

Figura 2.30 - Sistema com amortecimento estrutural.

A Fig. 2.30b mostra o gráfico de F(t) versus x que representa um ciclo. A área interna da elipse representa a energia dissipada em um ciclo de oscilação (diferença de trabalho realizado). Esta área é obtida pela integração

W Fdx kX t cX t X t dt

dxdx

dtdt

d X t

dtdt X tdt

sen cos cos

sencos

0

2

com

cujo resultado é

W cX 2 (2.66)

k h

x(t) F(t)

(b)

Tensão(Força)

(a)

Ciclo de histerese

Área

Deformação(deslocamento)

Figura 2.31 - Curva tensão deformação para carregamento cíclico.

O amortecimento causado pelo atrito entre fibras internas que deslizam entre si quando o material deforma é chamado estrutural ou histerético. Observa-se experimentalmente que se forma um ciclo de histerese na curva tensão-deformação, como mostra a Fig. (2.31a). A energia perdida em um ciclo é igual à área interna do ciclo de histerese. A similaridade entre as Figs. 2.30b e 2.31a pode ser usada para definir uma constante de amortecimento estrutural.


42

Observa-se, também experimentalmente, que a energia perdida por ciclo devido ao atrito interno é independente da freqüência mas aproximadamente proporcional ao quadrado da amplitude. Para se atingir este comportamento na Equação (2.66), assume-se que o coeficiente de amortecimento c é inversamente proporcional à freqüência, na forma

ch

(2.67)

onde h é chamada de constante de amortecimento estrutural ou histerético. A combinação de (2.66) e (2.67) resulta em

W hX 2 (2.68)

2.6.1 - Rigidez Complexa

Se o sistema da Fig. 2.30a, estiver executando um movimento na forma x Xei t a força será dada por

F t kXe c iXe k i c xi t i t (2.69)

Combinando (2.67) com (2.69), chega-se a

F t k ih x k i x 1 (2.70)

onde k(1+i) é chamada de rigidez complexa do sistema e

h

k

c

k (2.71)

é uma medida adimensional do amortecimento conhecida como fator de perda.

2.6.2 - Resposta do Sistema

Em termos de a energia perdida por ciclo pode ser expressa como

W k X 2 (2.72)

t

x(t)

Xj

Xj+0,5

Xj+1

P

Q

R

Figura 2.32 - Movimento do sistema com amortecimento histerético.

Sob amortecimento histerético, o movimento pode ser considerado como aproximadamente harmônico (uma vez que W é pequeno), e o decréscimo da amplitude por ciclo pode ser determinado usando um balanço de energia. Por exemplo, a diferença de energia nos pontos P e Q (separados por meio ciclo), na Fig. 2.32 é

kX kX k X k X

X

X

j j j j

j

j

20 5

2 20 5

2

0 5

2 2 4 4

2

2

, ,

,

ou

(2.73)

Da mesma forma, a diferença de energia entre os pontos Q e R produz

X

X

j

j

0 5

1

2

2

,

(2.74)

Multiplicando (2.73) por (2.74)

constante12

22

2

2

1

j

j

X

X (2.75)


43

O decremento logarítmico para o amortecimento estrutural pode ser definido como

1lnln1j

j

X

X (2.76)

Como assumiu-se que o movimento é aproximadamente harmônico, a freqüência correspondente é definida por

k

m (2.77)

O fator de amortecimento viscoso equivalente pode ser encontrado igualando-se as relações para o decremento logarítmico

k

heq

22

2

2ln

1

22

(2.78)

Então, a constante de amortecimento viscoso equivalente é

c c mk mkk h

eq c eq

2

2 (2.79)

A adoção de um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente, é somente válida quando o movimento for harmônico. A análise efetuada acima assumiu que o sistema se movimente harmonicamente com freqüência .

2.7 - Vibrações Torcionais

Os conceitos desenvolvidos até aqui podem ser estendidos para sistemas submetidos a vibrações torcionais. Vibração torcional é entendida como a oscilação de um corpo em relação a um eixo de referência. O movimento é descrito por uma coordenada angular e os esforços atuantes se apresentam na forma de momentos. Desta forma o elemento elástico apresenta um momento de restauração, resultante da torção deste mesmo elemento. A Fig. 2.33 apresenta o esquema de um disco sustentado por um eixo em torção. A torção de eixos circulares apresenta a relação entre o momento torsor e a deformação produzida na extremidade dada por

M GJ

lt

(2.80)

Eixo

d

D

l

(a)

Disco

J0

h

kt

J0

(b)

q q q, ,

Figura 2.33 - Vibração torcional de um disco.

Sendo Mt o momento torsor aplicado na extremidade do eixo, l o comprimento do eixo, G o módulo de

elasticidade transversal do eixo, Jd

4

32 o momento de inércia geométrico polar da seção transversal do eixo e a

deformação produzida na extremidade do eixo. A rigidez torcional, kt, pode então ser definida como

kM GJ

l

Gd

lt

t

4

32 (2.81)


44

2.7.1 - Vibração Livre de Sistemas Torcionais

Vibração Livre sem Amortecimento

A vibração livre, gerada por uma condição inicial, é regida por uma equação resultante da aplicação da Segunda Lei de Newton ao movimento angular, em que os esforços atuantes estão mostrados no diagrama de corpo livre da Fig. 2.33b, resultando em

J kt0

0 (2.82)

em que J0 é o momento de inércia de massa do disco. A equação (2.82) tem a mesma forma da equação (2.15). A sua solução, portanto segue o mesmo caminho percorrido na seção 2.3. Trata-se, portanto de uma equação que descreve um movimento oscilatório de freqüência igual à freqüência natural do sistema aqui igual a

n

t

n

t

n

t

k

J

fk

J

J

k

0

0

0

1

2

2

(2.83)

Para eixos de seção não circular a constante de rigidez deverá ser calculada apropriadamente através dos métodos da Resistência dos Materiais. O momento de inércia de massa de um disco de pequena espessura é

Jh D MD

0

4 2

32 8

(2.84)

onde é a densidade do material, h é a espessura, D é o diâmetro e M é a massa do disco. Seguindo o mesmo procedimento da seção 2.3, a solução da equação diferencial (2.82) tem a forma

t A t A tn n

1 2cos sen (2.85)

Aplicando as condições iniciais t t 0 00 0 e , as constantes de integração A1 e A2 são

determinadas e (2.85) se transforma em

t t tn

n

n 0

0cos

sen (2.86)

A equação (2.86) representa um movimento oscilatório de freqüência igual a n que depende, exclusivamente das condições iniciais.

Exemplo 2.16 - Qualquer corpo rígido pivotado em um ponto que não seja o seu centro de gravidade oscilará em torno do ponto de pivotamento, quando deslocado de sua condição de equilíbrio estático, em virtude da força gravitacional. Este tipo de sistema (Fig. 2.34) é conhecido como pêndulo composto. Determinar a sua freqüência natural. Solução: A Segunda Lei de Newton, aplicada ao movimento em relação ao ponto de pivotamento resulta em

J Pd0

0 sen

que pode ser linearizada com sen , assumindo-se pequenas oscilações, resultando em

J Pd0

0

que é uma oscilação com freqüência natural igual a

n

Pd

J

mgd

J

0 0

Como a freqüência natural do pêndulo simples é dada por ng

l é possível se estabelecer um pêndulo

simples equivalente ao pêndulo composto (com a mesma freqüência natural) que deverá ter um comprimento igual a

lJ

md 0


45

d

O

x

B

G

Amg

y

Figura 2.34 - Oscilação de um pêndulo composto.

Se J mk0 0

2 onde k0 é o raio de giração em relação ao pivô O, a freqüência natural e o comprimento do pêndulo

simples equivalente são dados por

n

gd

kl

k

d

0

2

0

2

e

O teorema de Steiner (teorema dos eixos paralelos) permite que se relacione o raio de giração em relação ao pivô, k0 , e o raio de giração em relação ao centro de gravidade kG, na forma

k k dG0

2 2 2

usando a relação entre o raio de giração em relação ao pivô e o comprimento do pêndulo simples equivalente, este pode também ser dado por

lk

ddG

2

Se a linha OG se estende até o ponto A, sendo GA uma distância dada por

GAk

dG2

e o comprimento do pêndulo simples equivalente será

l GA d OA

e sua freqüência natural pode ser dada por

n

g

kd

g

l

g

OA

0

2

O ponto A que é o ponto onde se deve concentrar toda a massa do corpo para que ele se transforme em um pêndulo simples de mesma freqüência natural é conhecido como centro de percussão, e tem algumas aplicações práticas, como por exemplo: 1. Um martelo deve ser construído de forma que o seu centro de percussão se localize na cabeça e o centro de rotação

na empunhadura para que a força de impacto não produza reação normal na empunhadura; 2. Uma máquina de ensaio de impacto deve ser projetada de forma que o ponto de impacto no corpo de prova seja o

centro de percussão do pêndulo para que seja reduzida a deformação por flexão do braço do pêndulo; 3. Se as rodas dianteiras de um automóvel passam por um buraco, os passageiros não sentirão este impacto se o centro

de percussão se localizar próximo ao eixo traseiro. O ideal é que o centro de oscilação do veículo se localize em um eixo e o centro de percussão no outro.


46

Vibração Livre Amortecida

Disco, J0

Eixo, kt

Fluido, ct

(a)

, ,

kt c

t

J0

(b) Figura 2.35 - Sistema torcional com amortecimento viscoso.

Os resultados obtidos na seção 2.4 podem ser estendidos diretamente para vibrações torcionais de sistemas com amortecimento viscoso torcional. Considere-se um sistema torcional de um grau de liberdade com um amortecedor viscoso como mostra a Fig. 2.35a. O torque de amortecimento viscoso (Fig. 2.35b) é dado por

T ct

(2.87)

onde ct é a constante torcional de amortecimento viscoso, é a velocidade angular do disco e o sinal negativo significa que o torque de amortecimento tem sentido contrário ao da velocidade angular. A equação do movimento pode ser obtida utilizando-se a 2a Lei de Newton, escrita para o movimento de rotação, como

J c kt t0

0 (2.88)

onde J0 é o momento de inércia de massa do disco, kt é a constante de rigidez torcional do sistema (torque de restituição por unidade de deslocamento) e é o deslocamento angular do disco. A solução da equação (2.88) pode ser obtida exatamente da mesma forma que, na seção 2.4, foi obtida a solução da equação (2.25). Por exemplo, no caso de

vibração sub-amortecida, a freqüência da vibração amortecida é dada por d n 1 2 , onde

n

tk

J

0

(2.89)

e

c

c

c

J

c

k J

t

tc

t

n

t

t2 20 0

(2.90)

onde ctc é a constante de amortecimento torcional crítico. Exemplo 2.17 - Vibração rotacional de sólidos. Um disco circular de raio R tem um furo de raio r a uma distância r do seu centro (Fig. 2.36). O disco está livre para girar no plano vertical em torno de um eixo perpendicular ao plano do disco e passando pelo seu centro. Determinar a freqüência natural de oscilação do disco.

Figura 2.36 – Disco circular com furo.

Solução: O sistema é dinamicamente equivalente a um disco I com dois furos e um disco II menor, de massa m preenchendo o furo inferior. O Princípio de D’Alembert é aplicado para determinar a equação do movimento.

Estabelece que as forças de inércia mx (também chamadas forças efetivas) estão em equilíbrio estático com as

forças estáticas do sistema. Considere-se o disco deslocado de sua posição de equilíbrio por um ângulo . Considere-se

as forças efetivas sobre o disco, isto é, os produtos mx (forças efetivas) e OJ (momentos efetivos). Além disso,

assumir pequenos deslocamentos. O Princípio de D’Alembert exige que


47

0effO OM M (a)

ou, para pequenos ângulos,

O

Jrmgrmg sen (b)

Se M é a massa do disco sem furos, m a massa do material necessário para preencher um furo,

2 2 21 1

2 2OJ MR mr mr

(c)

e

2 2 21 10

2 2MR mr mr mgr

(d)

ou

2 2 21 10

2 2

MR r r gr

m

(e)

Mas

2

2

M R

m r (f)

Portanto

4 2

2 1 10

2 2

R rr gr

r r

(g)

Então

4 22 0,5 0,5

n

gr

r R r r r

(h)

Exemplo 2.18 – Uma serra para cortar tubulações em um processo de produção contínua consiste de um disco grande de raio r e massa M, podendo girar em torno do centro O ligado a uma barra leve, de comprimento l, em cuja extremidade é montado um motor de massa m contendo um disco de corte (Fig. 2.37). O sistema pode oscilar no plano em torno do ponto O.

Figura 2.37 – Pêndulo físico composto.

(a) Determinar o período da oscilação natural do sistema para pequenos ângulos, (b) Determinar a velocidade linear máxima do motor se o braço é deslocado inicialmente de um ângulo 0 e depois

liberado.

Solução:

(a) Aplicando a 2ª Lei de Newton para a rotação em torno do ponto O tem-se


48

sen OJ mg l r (a)

Para pequeno

0OJ mg l r (b)

O momento de inércia em torno de O é

2 21

2O m MJ J J m L r Mr (c)

O período da oscilação natural é

2 21

22 2eq

n

eq

m l r MrmT

k mg l r

(d)

(b) Como n=2/Tn, tem-se que = 0 cos nt. A velocidade angular é 0 sen n nt . O seu valor máximo é

max 0 0

2 21

2

n

mg l r

m l r Mr

(e)

sendo que a velocidade linear máxima é rl max

.

Exemplo 2.19 – Um medidor de nível de água consiste de uma haste leve B e uma bóia cilíndrica de diâmetro d = 50 mm (Fig. 2.38). Determinar o valor da constante de amortecimento c de um amortecedor que produz amortecimento crítico, sendo a massa do cilindro 0,2 kg, l = 75 mm, L = 250 mm e a densidade da água w = 1000 kg/m3.

Figura 2.38 – Medidor de nível de água.

Solução: O cilindro flutuante é equivalente a uma mola de rigidez k = Ag. Os momentos em relação ao pivô O, para pequeno, estão mostrados na Fig. 2.38c. A 2ª Lei de Newton produz

2 2 2 2 2 2 ou 0mL cl kL mL cl kL (a)

com n

k

m a constante de amortecimento crítico é

2 2 22 2nccl mL L km

ou

2

2c

Lc km

l

(b)

Como a rigidez é

2 20,05

9,81 1000 98100 19,3 N/m4 4

w

dk Ag

então


49

20, 25

2 0, 2 19,3 43,6 N s/m0,075

cc

Exemplo 2.20 – Um automóvel pesando 15000 N está apoiado em quatro molas e quatro amortecedores (Fig. 2.39). A deflexão estática do carro é 0,20 m. Determinar a constante de amortecimento de cada um dos amortecedores para que se tenha amortecimento crítico. Assumir que o carro possui apenas um grau de liberdade com vibração na direção vertical.

Figura 2.39 – Suspensão automotiva.

Solução: Dois amortecedores em paralelo são equivalentes a um amortecedor com constante de amortecimento c1 + c2.

Isto ocorre porque, a semelhança das molas, apresentam uma força reativa 1 2 1 2c x c x c c x . O automóvel pode,

então, ser modelado como um oscilador harmônico em vibração vertical com parâmetros meq = m, ceq = 4c e keq = 4k.

Como m = 15000/g = 1529 kg, tem-se

15000

4 75000 N/m0, 20

eq

st

wk k

A constante de amortecimento crítico será

s/mN104,211529750002424 3 kmccceq

e

cc = 5354 N.s/m

Exemplo 2.21 – Um instrumento eletrônico possui massa m = 1 kg estando montado sobre molas com constante de rigidez equivalente k = 2400 N/m e constante de amortecimento c = 2 N.s/m. O instrumento é deslocado 20 mm de sua posição de equilíbrio e liberado para oscilar. Determinar a amplitude de vibração após 5 oscilações e após 20 oscilações.

Solução: O fator de amortecimento é

2

0.02042400

2 2 11

c

km

m

A oscilação amortecida possui

2 2

240049,0 rad/s e

1

1 49,0 1 0,0204 49,0 rad/s

n

d n

k

m

O movimento será regido pela expressão (2.64) com as constantes calculadas pelas expressões (2.65)

0

2 2

0,02 = 0,02 m

1 1 0,0204

xX

e

1 1

2 2

0,0204tan tan ~ 0,0204 rad

1 1 0,0204

com


50

2 0,0204 49 0,9996cos 1 0,02 cos 49 0,0204 0,02 cos 49 0,0204nt t tnx t Xe t e t e t

Como o período é 2 2 0,128 s49d

T , após cinco períodos t5 = 5T = 0,641 s e

0,9996 0,6415 0,02 0,0105 mX e

e, após 20 períodos t20 = 20 T = 2,56 s e

0,9996 2,5620 0,02 0,00154 mX e

Exemplo 2.22 – Para medir o momento de inércia de um rotor pesado em relação ao seu eixo geométrico (de rotação), o mesmo é montado em dois mancais de rolamento B1 e B2, sendo o diâmetro do eixo d = 30 mm (Fig. 2.40). Em um dos furos do disco foi inserido um cilindro de aço de raio R. O rotor torna-se desbalanceado e quando é atribuído um ângulo de rotação inicial o sistema oscilará como um pêndulo físico até que o amortecimento o traga de volta ao repouso. A massa do rotor é M = 320 kg. O cilindro de teste possui massa de 10 kg e seu centro está localizado a uma distância radial R = 300 mm. Foi medido o período de oscilação e achou-se Tn = 3,5 s. Mediu-se também o ângulo de oscilação que diminuiu 6º a cada oscilação. a) Determinar o momento de inércia do rotor em relação ao seu eixo geométrico. b) Determinar o coeficiente de atrito nos mancais assumindo que as forças dinâmicas devidas ao movimento não

afetam a força de atrito, que é obtida através do carregamento estático.

Solução: JO = JR + mR2 é o momento de inércia do pêndulo físico em relação ao seu centro de rotação e JR é o momento de inércia do rotor sem a massa m inserida. A força de atrito é (M + m)g e o torque de atrito é, então, T0 = (M + m)gd/2. Portanto, a equação para o movimento do pêndulo é

0

2sign2

mgR

gdmMmRJ R

(a)

A freqüência natural é

2n

R

mgR

J mR

(b)

e, como Tn = 2/n, o momento de inércia é obtido por

2 2

2 2

2 2

9,81 3,510 0,3 0,3 8,23 kg m

4 4n

R

mgRTJ mR

Figura 2.40 – Vibração de um rotor com amortecimento de Coulomb.

A redução da amplitude de vibração por ciclo no atrito de Coulomb linear é 4N/k, onde N no presente problema é (M + m)gd/2 e k o termo mgR. Portanto, para 6º de decaimento por ciclo

1806

24

mgR

gdmM

O coeficiente de atrito é obtido por

0159,003,010320

3,010

6060

dmM

mR

Este pode ser entendido como o coeficiente de atrito do rolamento uma vez que os coeficientes estático e cinético são muito próximos nestes dispositivos.


51

Exemplo 2.23 – Um rotor de turbina de alta velocidade possui massa m = 60 kg e momento de inércia polar JO = 7 kg.m2 e está conectado ao rotor do gerador, girando com uma velocidade angular constante, através de um eixo de duas seções com diâmetros 30 e 50 mm e comprimentos 500 e 400 mm respectivamente. O módulo de elasticidade torcional é G = 1,1 x 1011 N/m2 (Fig. 2.41). Determinar a sua freqüência natural.

Figura 2.41 – Vibração torcional de rotores.

Solução: As constantes de rigidez torcionais dos dois eixos são kT = IpG/L, onde o momento de inércia polar da seção é Ip = d4/32. Consequentemente, para as duas seções

48 4

1

47 4

2

8 11

1

7 11

2

0,037,95 10 m

32

0,056,14 10 m

32

7,95 10 1,1 1017500 N m/rad

0,5

6,14 10 1,1 10169000 N m/rad

0,4

p

p

T

T

I

I

k

k

Os dois eixos comportam-se como duas molas torcionais combinadas em série, de forma que a rigidez resultante é

1 212

1 2

17500 16900015900 N m/rad

17500 169000T T

T

T T

k kk

k k

E a freqüência natural torcional é

12 1590047,6 rad/s

7T

n

O

k

J

Unidade 3: Vibrações Forçadas sob Excitação Harmônica

55

UNIDADE 3 - VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA

3.1 - Introdução

Vibração forçada é aquela que ocorre quando o sistema sofre a ação de forças externas durante o movimento. As forças que atuam sobre o sistema podem ser determinísticas ou aleatórias, determinando uma característica do movimento vibratório. As forças determinísticas poderão se apresentar de diversas formas. As forças harmônicas e as forças periódicas são as que representam a maioria dos fenômenos responsáveis por vibrações em sistemas físicos. Como visto na Unidade 2, os sistemas que serão estudados são representados por equações diferenciais lineares. A resposta de um tal sistema, que é a solução da equação do movimento, sob a ação de forças, terá a mesma forma funcional que a força atuante. Isto significa que uma força harmônica produz uma vibração harmônica, uma força periódica produz uma vibração periódica, etc. A solução particular da equação diferencial é, então responsável por representar este movimento. Mas a solução geral é composta de uma solução homogênea e uma solução particular. A solução homogênea representa a parcela transitória da resposta do sistema, aquela que é produzida pelas condições iniciais do movimento. É também a solução homogênea que representa a resposta transiente que resulta da aplicação eventual de alguma força com tempo de duração finito, o que será visto na Unidade 4. A excitação harmônica é representada por uma função senoidal apresentando a forma

F t F t( ) sen 0 ou

F t F t( ) cos 0

onde F0 é a amplitude da força (o valor da força quando a mesma é aplicada estaticamente), é a frequência com que a força é aplicada (igual a zero quando de aplicação estática) e é o ângulo de fase medido em relação ao referencial de tempo (atraso da resposta em relação à força).

Em forma complexa pode-se escrever também

F t F ei t( ) 0

Este tipo de força produzirá uma resposta harmônica que também terá a forma funcional senoidal. Neste capítulo, também será visto o fenômeno da ressonância, que ocorre quando a frequência com que a força é aplicada coincide com a frequência natural do sistema que sofre a ação da referida força. Este fenômeno é amplamente conhecido e pode produzir graves consequências à integridade estrutural do sistema.

3.2 - Equação Diferencial do Movimento

k

(a)

kx

m m

.cxc

x

Sistema Diagrama de corpo livre(b)

F(t) F(t)

Figura 3.1 - Sistema de um grau de liberdade sob esforço externo.


56

A Figura 3.1 mostra o modelo de um sistema de um grau de liberdade, amortecido, e seu respectivo diagrama de corpo livre. O diagrama de corpo livre mostrado na Figura 3.1b ilustra as forças atuantes na massa m. Aplicando a 2a Lei de Newton, a equação diferencial do movimento é obtida como

mx cx kx F t (3.1)

Esta equação diferencial possui uma solução geral constituída de uma solução homogênea associada a uma solução particular

x t x t x th p (3.2)

A solução homogênea é obtida fazendo F(t) = 0 resultando na vibração livre (dependente das condições iniciais) que foi estudada na Unidade 2. A solução particular representa a vibração de regime permanente do sistema, persistindo enquanto a força externa atuar. A Figura 3.2 ilustra a composição da solução da equação diferencial (3.1). A parcela do movimento que diminui com o tempo, devido ao amortecimento é chamada transiente ou transitória e a rapidez com que ocorre esta diminuição depende dos parâmetros do sistema, m, c e k.

t

t

xh(t)

xp(t)

x(t) = xp(t) + xp(t)

t

Figura 3.2 - Soluções homogênea, particular e geral da equação diferencial do movimento.

3.3 - Sistema Não Amortecido Sob Força Harmônica

Por simplicidade, estudaremos inicialmente o sistema sem amortecimento (c = 0) e com F(t) = F0 cost. A equação (3.1) assume a forma

mx kx F t cos 0 (3.3)

A solução homogênea desta equação, estudada na seção 2.2.1, tem a forma

x t C t C th n n 1 2cos sen (3.4)

A solução particular, por sua vez, é

x t X tp cos (3.5a)

Se (3.5a) é solução da equação (3.3), então deve verificar a mesma. Se a velocidade e a aceleração são obtidos por derivação direta


57

senx t X tp (3.5b)

cosx t X tp 2 (3.5c)

substituindo (3.5a) e (3.5c) em (3.3), resulta

m X t kX t F t 20cos cos cos

Dividindo toda a expressão por cost, e rearranjando, chega-se a

XF

k m

0

2 (3.6)

Substituindo (3.6) em (3.5a), a solução particular se torna

x tF

k mtp

0

2cos (3.7)

A solução geral é obtida como a soma das expressões (3.4) e (3.7), sendo igual a

x t C t C tF

k mtn n

1 2

0

2cos sen cos

(3.8)

Introduzindo as condições iniciais x t x 0 0 e x t x 0 0 , as constantes de integração são calculadas,

resultando em

C xF

k m1 0

0

2

e C

x

n2

0

(3.9)

que introduzidas em (3.8) resultam na expressão

x t xF

k mt

xt

F

k mtn

nn

0

0

2

0 0

2

cos

sen cos (3.10)

0

1

1

-1

-2

-3

-4

-5

2

3

2 3

4

4

5

Xst

rn

Figura 3.3 - Fator de amplificação dinâmica.


58

Dividindo numerador e denominador por k em (3.6), sendo a deflexão estática stF

k 0 , a deformação

sofrida pelo sistema quando a força é aplicada estaticamente, e considerando que a frequência natural do sistema é dada

por nk

m2 esta expressão (3.6) pode ser escrita na forma

X

st

n

1

1

2 (3.11)

que é chamado de fator de amplificação dinâmica. A Figura 3.3 mostra a função expressa em (3.11), que apresenta três domínios distintos, caracterizando comportamentos diferentes.

Caso 1 - Para 0 1

n

o denominador de (3.11) é positivo e a resposta de regime permanente do sistema é

dada pela equação (3.7). Diz-se que a resposta harmônica xp(t) está em coincidência de fase com a força externa, conforme mostra a Fig. 3.4.

F(t) = F0cost

xp(t) = X cost

F0

X

t

t

2

2

0

0

Figura 3.4 - Resposta harmônica em fase com a força externa.

Caso 2 - Para

n

1 o demonimador de (3.11) é negativo e a resposta de regime permanente do sistema é

dada por

x t X tp cos (3.12)

em que a amplitude do movimento é redefinida como uma quantidade positiva, ou

X st

n

2

1

(3.13)

Neste domínio a resposta harmônica xp(t) está oposição de fase com a força externa, conforme mostra a Fig.

3.5. Ainda na Fig. 3.3 observa-se também que, para n , a amplitude X 0 , de forma que o deslocamento de

um sistema sob excitação harmônica em frequências muito altas é muito pequeno.


59

F(t) = F0cost

xp(t) = X cost

F0

- X

t

t

2

2

0

0

Figura 3.5 - Resposta harmônica em oposição de fase com a força externa.

Caso 3 - Para

n

1, a amplitude dada por (3.11) ou (3.13) é infinita. Esta condição, em que a frequência

com que a força é aplicada é igual à frequência natural do sistema, é chamada de RESSONÂNCIA. Para determinar a resposta nesta condição é necessário que a equação (3.10) seja escrita na forma

t0

xp(t)

2

n

Figura 3.6 - Resposta harmônica na ressonância.

x t x tx

tt t

nn

n stn

n

00

2

1

cos

sencos cos

(3.14)

O último termo desta equação vai a infinito quando n, e para avaliar a função no limite é necessário aplicar a Regra de L’Hospital, resultando


60

n n n

t td

dt t

d

d

t t tt

n

n

n

nn

nnlim lim lim

cos cos cos cos sensen

1 1

2 22 2

2

De forma que (3.14), que é a resposta do sistema, se torna

x t x tx

t tnn

n

t

nst n 0

02cos

sen sen

(3.15)

representando um movimento cuja amplitude cresce indefinidamente com o tempo devido ao termo st n t

2ser sempre

crescente, como ilustra a Figura 3.6.

3.3.1 - Resposta Total

A resposta total do sistema, expressa em (3.8), pode ser escrita na forma

x t A t tn

st

n

cos cos

1

2 ; para

n

1 (3.16)

x t A t tnst

n

cos cos

2

1

; para

n

1 (3.17)

onde as constantes são determinadas a partir das condições iniciais. A Fig. 3.7a mostra o movimento produzido pela equação (3.16) em que a frequência excitadora é menor que a frequência natural do sistema e a Fig. 3.7b aquele produzido por (3.17) em que a frequência excitadora é maior que a frequência natural do sistema.

x(t) 2

A

st

n

1

2

t

t

0

0

x(t)

2

2

n

2

n

st

n

2

1

A

(a)

n

1

(b)

n

1

Figura 3.7 - Resposta total do sistema.


61

3.3.2 - Fenômeno do Batimento

Quando a frequência da força externa é muito próxima da frequência natural, ocorre uma composição de movimentos conhecida como batimento. Se, na equação (3.10) fizermos x x

0 00 , a mesma se torna

x tF

k mt t

Fm

t t

Fm

t t

n

n

n

n

n n

0

2

0

2 2

0

2 2 22 2

cos cos cos cos

sen sen

(3.18)

Se a diferença entre as frequências é pequena, pode-se dizer que

n

nn

2

242 2

e (3.18) se torna

x t

Fm t t

0

2 sen sen (3.19)

cujo movimento está representado na Fig. 3.8.

t0

xp(t)

2

2

Fm

0

2

Figura 3.8 - Fenômeno do batimento.

A Fig. 3.8 mostra o movimento composto de uma parcela de baixa frequência envolvendo outra de alta frequência. O movimento de baixa frequência tem período

b

n

2

2

2 (3.20)

conhecido como período de batimento. A frequência de batimento, consequentemente, também pode ser obtida por

b n 2 (3.21)

Exemplo 3.1 - Uma bomba alternativa, pesando 70 kg, está montada no meio de uma placa de aço de espessura igual a 0,0127 m, largura igual a 0,508 m, e comprimento igual a 2,54 m, engastada ao longo de dois lados, como mostra a Fig. 3.9. Durante a operação da bomba, a placa está sujeita a uma força harmônica F(t) = 220 cos 62,8t N. Encontrar a amplitude de vibração da placa. Solução: O momento de inércia é dado por

Ibh

m

33

8 4

12

0 508 0 0127

128 67 10

, ,,

A rigidez da placa é obtida modelando-a como uma viga bi-engastada.


62

k

EI

lN m

192 192 2 068 10 8 67 10

2 542 10 10

3

11 8

3

5, ,

,, /

F(t), x(t)

2,54 m

0,0127 m

Figura 3.9 - Bomba sobre placa.

A amplitude é obtida aplicando-se (3.6), com F0 = 220 N e = 62,8 rad/s

X

F

k mm

0

2 5 2

3220

2 10 10 70 62 83 33 10

, ,,

O sinal negativo indica que a frequência da força excitadora é maior que a frequência natural do sistema, uma vez que ocorre oposição de fase.

3.4 - Resposta de um Sistema Amortecido sob Excitação Harmônica

Sob a atuação de uma força harmônica a equação do movimento amortecido se torna

mx cx kx F t cos 0

(3.22)

A solução particular é

x t X t

x t X t

x t X t

p

p

p

cos

sen

cos

2

(3.23)

Substituindo em (3.22) resulta

m X t c X t kX t F t 2

0cos sen cos cos (3.24)

Colocando a amplitude X em evidência e reagrupando os termos

tFtsenctmkX coscos0

2 (3.25)

Usando as relações trigonométricas

cos cos cos sen sen

sen sen cos cos sen

t t t

t t t

a expressão (3.25) torna-se

X k m c t k m c t t F t 2 20cos sen cos sen cos sen cos (3.26)

Igualando coeficientes de sent e cost de ambos os lados da expressão

X k m c F

X k m c

20

2 0

cos sen

sen cos (3.27)

De onde se obtém


63

X

F

k m c

0

2 2 2

(3.28a)

e

tan 1

2

c

k m (3.28b)

XF0

0

F(t), x(t)

F(t)

x(t)

t

t-F(t)

x(t)

2

2

t

Figura 3.10 - Representação gráfica de função excitadora e resposta.

Dividindo numerador e denominador de (3.28a) e (3.28b) por k tem-se

X

Fk

m

k

c

k

0

2

2 2

1

(3.29a)

e

tan 1

21

c

km

k

(3.29b)

Como n

k

m ,

c

c

c

k

c

k

m

kc

c n

n

2 2 e

st

F

k 0 , tem-se

Xst

n n

1 2

2 2 2 (3.30a)

e

tan 12

2

1

n

n

(3.30b)

ou ainda com rn

= razão de frequências, pode-se escrever

X

r rst

1

1 22 2 2 (3.31a)

e

tan 1

2

2

1

r

r (3.31b)

Na Fig. 3.11 são apresentadas as funções expressas em (3.31a) e (3.31b). As curvas são obtidas para as

relações de Xst e em função de r, de onde podem ser extraídas algumas observações:


64

X

st

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

1,0

2,0

3,0

2,5

1,5

0,5

r

(a)

= 0,1

= 2,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

45o

90o

135o

180o

4,0r

(b)

= 0,1

= 0,3

= 0,3

= 0,5

= 0,5

= 0,7

= 0,7 = 1,0 = 1,0

= 2,0

= 5,0

= 5,0 = 1,0

= 2,0

= 5,0

= 0

= 0

Figura 3.11 - Variação de X e com a relação de frequências r.

1 - Para = 0 = 0 para r < 1 e = rad para r > 1.

2 - O amortecimento reduz a relação de amplitudes para todos os valores da frequência de excitação.

3 - A redução da relação de amplitudes na presença do amortecimento é significativa na, ou perto da, ressonância.

4 - A máxima relação de amplitudes é obtida fazendo a derivada de Xst em relação a r se igualar a zero. O

correspondente valor de r é

rn d

1 2 1 22 2

5 - O máximo valor de X, obtido de (3.31a) quando r 1 2 2 , é

X

st max

1

1 1 2 2 1 2

1

2 122 2

22

(3.32)

A expressão (3.31) permite a obtenção experimental do fator de amortecimento a partir da medição do máximo valor da relação de amplitudes. Na ressonância, com =n ou r = 1 a relação de amplitudes (3.31a) se torna

X

st res

1

2 (3.33)

6 - Para 12

(0,707), observa-se que a relação de amplitudes é menor que 1 para qualquer valor de r.

7 - O ângulo de fase não depende da magnitude da força excitadora F0.

8 - Para r << 1, 0 a resposta vibratória está em fase com a força excitadora. Para r >> 1, , a resposta vibratória está em oposição de fase com a força excitadora. Na ressonância, para qualquer valor de , o ângulo de fase é sempre igual a /2, independente do fator de amortecimento. Isto é utilizado para determinação experimental da frequência de ressonância uma vez que, como foi visto acima, a amplitude máxima não ocorre na ressonância, de forma que a medição do ângulo de fase permite uma medida mais precisa da frequência natural do sistema.

3.4.1 - Resposta Total

A resposta total é a solução geral da equação diferencial (3.22) cuja solução homogênea foi obtida no Cap. 2, Eq. (2.22) e a solução particular é (3.23), resultando

x t X e t X tnt

d

0 0

cos cos (3.34)

As constantes X0 e 0 são constantes de integração obtidas através das condições iniciais. Com x t x 0 0 e

x t v 0 0 , X0 e 0 são obtidos como


65

X v x X X x Xd

n d0 0 0

2

0

22

1

cos sen cos (3.35a)

e

0

1 0 0

0

tancos sen

cos

v x X X

x X

n

d

(3.35b)

onde X e são obtidos por (3.31a) e (3.31b), respectivamente.

3.4.2 - Fator de Qualidade e Largura de Banda

Para baixos fatores de amortecimento < 0,05 a eq. (3.33) pode ser utilizada

X XQ

st stn

1

2 (3.36)

onde Q é chamado de fator de qualidade.

Q 1

Xst

2=

Q

2

R1

R2

1,0

n

Figura 3.12 - Pontos de meia potência e largura de banda.

Na Fig. 3.12 os pontos R1 e R2 correspondentes a relações de frequência para as quais a razão de amplitudes é

Q2

, são chamados de pontos de meia potência, pois a energia vibratória é proporcional ao quadrado da amplitude no

movimento harmônico. A diferença entre as frequências correspondentes a estes dois pontos, 2 -1 , define o que se chama de largura de banda. Os valores das relações de frequência correspondentes a estes pontos podem ser obtidos

fazendo X Q

st

2 em (3.31a), usando (3.36)

X Q

r rst

2

1

2 2

1

1 22 2 2 (3.37)

que é resolvida para obter o valor de r, resultando em

r1,2

2 21 2 2 1 (3.38)

Para << 1 , 2 0 e (3.38) se torna

r

r

n

n

1

2 1

2

2

2 2

2

1 2

1 2

(3.39)


66

Subtraindo-se as duas raízes de (3.39), tem-se

2

2

1

2

2

2

1

2

2 1 2 1 2 4n n n

(3.40)

Abrindo o produto notável do numerador de (3.40), obtém-se

1 2 2 14

n n

(3.41)

Como

n

n

1 2 1 2

22 , tornando (3.41)

2 4 2

2 1

2 1

n

n (3.42)

e, considerando (3.36) chega-se a

Qn

1

22 1

(3.43)

onde se tem o fator de qualidade expresso em função da largura de banda 2 -1. Um método experimental de determinação do fator de amortecimento se fundamenta nesta equação: medindo-se as frequências correspondentes às

amplitudes iguais à amplitude ressonante dividida por 2 (1 e2), determina-se o fator de amortecimento por (3.43).

3.5 - Resposta de um Sistema Amortecido à Excitação Complexa

Considerando a equação do movimento na forma

mx cx kx F ei t 0

(3.44)

que tem solução particular na forma

x t Xep

i t (3.45)

que, substituída em (3.44), resulta

m ci k Xe F ei t i t 2

0 (3.46)

de onde se conclui que

XF

k m ic

0

2 (3.47)

A eq. (3.47) pode ser escrita na forma Z iF

XZ i 0 = impedância mecânica.

Multiplicando numerador e denominador de (3.47) pelo conjugado do denominador, chega-se a

XF

k m ck m ic

0

2 2 2

2

(3.48)

ou ainda

XF

k m ce i

0

2 2 2

(3.49a)

e

tan 1

2

c

k m (3.49b)

Substituindo (3.49a) em (3.45), chega-se à solução particular


67

x tF

k m cep

i t

0

2 2 2

(3.50)

Resposta em Frequência

Realizando a mesma operação realizada em (3.30a), ou seja, dividindo numerador e denominador por k e

utilizando n

k

m ,

c

k n

2

e r

n

, a expressão (3.45) pode ser escrita na forma

kX

F r i rH i

0

2

1

1 2

(3.51)

que é chamada de resposta em frequência complexa. O módulo da resposta em frequência complexa é

H ikX

F r r

0 2 2 2

1

1 2 (3.52)

de forma que a resposta em frequência complexa pode ser escrita na forma

H i H i e i (3.53a)

onde

tan 1

2

2

1

r

r (3.53b)

A resposta de regime permanente (solução particular) pode também ser escrita na forma

x tF

kH i ep

i t 0 (3.54)

A resposta harmônica também pode ser representada pelas partes real e imaginária da resposta à excitação

complexa. Se F t F t 0 cos , tem-se de (3.23), considerando-se (3.28) e (3.29)

x tF

k m ct

F

kH i e

F

kH i e

p

i t i t

0

2 2

0 0

cos

Re Re

(3.55)

Se F t F t 0 sen , tem-se de (3.23), considerando-se (3.28) e (3.29)

x tF

k m ct

F

kH i e

F

kH i e

p

i t i t

0

2 2

0 0

sen

Im Im

(3.56)

Representação Vetorial Complexa do Movimento Harmônico

mx + kx..mx

..

cx.

kx

x(t)

F(t)

Im

Re

t

Figura 3.13 - Representação complexa do movimento harmônico.


68

Se o deslocamento é dado por (3.54), a velocidade e a aceleração são determinados por derivação como

x t iF

kH i e i x t

p

i t

p 0

(3.57a)

e

x tF

kH i e x t

p

i t

p 2 0 2 (3.57b)

concluindo-se que a velocidade está adiantada /2 em relação ao deslocamento e a aceleração está em oposição de fase, também em relação ao deslocamento. O diagrama mostrado na Fig. 3.13 mostra a configuração de forças durante o movimento. O sistema está em equilíbrio dinâmico e a evolução no tempo possui o efeito apenas de girar o diagrama por inteiro sem mudar a posição relativa entre os vetores nem desfazer o equilíbrio de forças.

3.6 - Resposta de um Sistema Amortecido sob Movimento Harmônico da Base

m

ck

m

x x

y(t) = Y sen t

baset

k(x - y) c(x - y)

x

. .

..

(a) (b) Figura 3.14 - Sistema com movimento na base.

O sistema da Fig. 3.14a, tem seu movimento provocado pelo movimento de sua base y(t). O diagrama de corpo livre, mostrado na Fig. 3.14b, apresenta as forças atuantes na massa m. A Segunda Lei de Newton é aplicada para determinar a equação do movimento que se torna

mx c x y k x y 0 (3.58)

Se y Y t sen então cosy Y t e a eq. (3.58) se torna

mx cx kx kY t c Y t sen cos (3.59)

cuja solução particular é

x tkY t

k m c

c Y t

k m cp

sen cos

1

2 2 2

1

2 2 2 (3.60)

Considerando cos cos cos sen sen t t t 1 2 2 1 2 1 , (3.60) pode ser escrita na forma

x t X t Y

k c

k m ctp

cos cos

1 2

2 2

2 2 2 1 2 (3.61)

com a relação de amplitudes dada por

X

Y

k c

k m c

r

r r

2 2

2 2 2

2

2 2 2

1 2

1 2

(3.62a)

e os ângulos de fase

1

1

2

1

2

2

1

tan tanc

k m

r

r (3.62b)


69

2

1 11

2

tan tan

k

c r (3.62c)

A eq. (3.62a) expressa o que se chama de transmissibilidade entre a base e o sistema. Na forma complexa,

sendo y t Ye i t Re , a solução particular é dada por

x ti r

r i rYe

p

i t

Re1 2

1 22

(3.63)

e a transmissibilidade é dada por

X

Yr H i 1 2

2

(3.64)

3.6.1 - Força Transmitida

Como pode ser visto na Fig. 3.14b a força resultante que atua na base é a soma das forças atuantes na mola e no amortecedor, ou

F k x y c x y mx (3.65)

Se a solução particular é x t X tp

cos 1 2

, a força será

F m X t F tT

2

1 2 1 2cos cos (3.66)

onde FT é chamado de força transmitida, dada por

F

kYr

r

r r

T

2

2

2 2 2

1 2

1 2

(3.67)

A Fig. 3.15 mostra curvas da força transmitida em função de r para vários valores do fator de amortecimento,

onde se torna evidente que, para r 2 o acréscimo de amortecimento aumenta significativamente a força transmitida.

Isto nos faz concluir que acrescentar amortecimento quando a frequência vibratória é superior a 2n não é uma

solução adequada para isolamento de vibrações transmitidas pela base do sistema.

0

1

1

2

3

4

4322

r

FT

kY

= 0,35

= 0,2

= 0,1

= 0

= 0,5

= 1,0 = 0

= 0,1

= 0,2

Figura 3.15 - Força transmitida.

3.6.2 - Movimento Relativo

Em muitas aplicações é interessante representar o movimento em relação à base. Sendo z x y , o

deslocamento da massa em relação à sua base, a equação do movimento torna-se

m z y cz kz 0 (3.68)

ou então


70

mz cz kz my m Y t sen 2 (3.69)

cuja solução é

z t

m Y t

k m cZ t

2

1

2 2 2 1

sensen (3.70)

e a relação de amplitudes é dada por

Z

Y

m

k m c

r

r r

2

2 2 2

2

2 2 2

1 2 (3.71)

A Fig. 3.16 apresenta a variação da relação de amplitudes com r para vários fatores de amortecimento.

20

1

1 3 4

4

3

2

5

6

7

ZY

MXme

r

= 0,10

= 0,15

= 0,25

= 0,50 = 1,00

= 0,00 = 0,00

Figura 3.16 - Movimento relativo à base e desbalanceamento.

Exemplo 3.2 - A Fig. 3.17a mostra um modelo simples de um veículo que pode vibrar na direção vertical quando trafega por uma estrada irregular. O veículo tem uma massa de 1200 kg. O sistema de suspensão tem uma constante de mola de 400 kN/m e um fator de amortecimento de 0,5. Se a velocidade do veículo é 100 km/h, determinar a amplitude de deslocamento do mesmo. A superfície da estrada varia senoidalmente com uma amplitude de 0,05 m e um comprimento de 6 m.

Solução: O modelo adotado é de um sistema de um grau de liberdade com excitação pela base. A frequência excitadora é dada por

(a)

m

ck

y(t) = Y sen t

t

x(t)

m

x(t)

y(t) Y

um ciclo

k2

k2c

(b)

Figura 3.17 - Veículo em movimento em um piso irregular.

fv

lHz cps

1000003600

64 63, ( )


71

com a frequência angular sendo

= 2f = 229,1 rad/s

A frequência natural é dada por

n

k

mrad s

400000

120018 3, /

A relação de frequências é obtida por

rn

29 1

18 3159

,

,,

A amplitude é, então obtida utilizando a eq. (3.62a)

X

Y

r

r r

1 2

1 2

1 2 0 5 159

1 159 2 0 5 1590 849

2

2 2 2

2

2 2 2

, ,

, , ,,

consequentemente

X = 0,849 x 0,05 = 0,0425 m

Exemplo 3.3 - Uma máquina pesando 3000 N está apoiada em uma base deformável. A deflexão estática da base, devida ao peso da máquina é 7,5 cm. Observa-se que a máquina vibra com uma amplitude de 1 cm quando a base está sujeita à oscilação harmônica na frequência natural do sistema com amplitude de 0,25 cm. Achar: (1) a constante de amortecimento da base; (2) a amplitude da força dinâmica na base, e (3) a amplitude do deslocamento da máquina em relação à base.

Solução: (1) Para determinar a constante de amortecimento é necessário, em primeiro lugar, determinar a constante de rigidez

kW

N mst

3000

0 07540000

,/

O fator de amortecimento é obtido resolvendo-se a eq. (3.62a) na ressonância (r = 1)

X

Y

1 2

2

1

0 25

2

2

,

resultando em

2 1

600 129 ,

Com isto, a constante de amortecimento é obtida por

c m kmN s

mn

2 2 2 0 129 400003000

9 81903 ,

,

(2) A força atuante na base é obtida de (3.67) com r = 1 resultando em

F kY kX NT

1 2

240000 0 01 400

2

2

,

(3) A amplitude do movimento relativo é calculada a partir da expressão (3.71), que, para r = 1, torna-se

ZY

2

0 0025

2 0 1290 00968

,

,,

Pode ser observado que, embora sendo a amplitude do movimento relativo definido como z x y , Z não é

igual à diferença entre as amplitudes X e Y. Isto se dá porque existe um ângulo de fase entre os movimentos, de forma que não atingem os seus valores máximos no mesmo instante de tempo.


72

3.7 - Resposta de um Sistema Amortecido sob Desbalanceamento Rotativo

No sistema mostrado na Fig. 3.18, o movimento é gerado pela componente da força centrífuga atuante na direção vertical. As componentes horizontais são sempre iguais e opostas, anulando-se a cada instante. Desta forma a força externa, de natureza harmônica, é dada por

F t me t 2 sen (3.72)

A equação diferencial do movimento é, então

Mx cx kx me t sen 2 (3.73)

e2 sentm2

e2 sentm2

e2 costm2

e2 costm2

e2m2

e2m2

em2

m2

t

e

t

x(t)

k2

k2

c

A

A

M

Figura 3.18 - Massas rotativas desbalanceadas.

A solução particular de (3.73) tem a forma

x t X tme

MH i e

p

n

i t( ) sen Im

2

(3.74)

Pela semelhança com a eq. (3.44) a solução pode ser obtida por analogia fazendo F me02 de forma que a

amplitude será obtida de (3.49a) como

Xme

k M c

me

MH i

me

M

r

r rn

2

2 2 2

2 2

2 2 2

1 2 (3.75a)

com

tan tan1

2

1

2

2

1

c

k M

r

r (3.75b)

obtido de (3.49b), sendo nk

M .

O comportamento de X em função da relação de frequências r é mostrado na Fig. 3.16, de onde podem ser feitas algumas observações: 1 - Todas as curvas apresentam amplitudes nulas para frequências nulas. Isto acontece porque a força excitadora, que é uma força centrífuga, tem amplitude proporcional ao quadrado da frequência sendo, portanto, nula quando a frequência é zero.

2 - Em altas frequências (r >> 1) a relação MXme 1 para qualquer fator de amortecimento mostrando que,

nesta faixa de frequências, o amortecimento não é eficiente em diminuir os níveis vibratórios em sistemas com desbalanceamento rotativo.

3 - O valor máximo MX

me max

é obtido quando

d

dr

MX

me

0 o que se verifica para r

1

1 2 2que é

sempre maior que a unidade, ao contrário do que acontece com os sistemas sob excitação harmônica com forças com amplitude independente da frequência.


73

Exemplo 3.4 - O diagrama esquemático de uma turbina de água tipo Francis está mostrado na Fig. 3.19, na qual a água flui de A para as lâminas B e caem no conduto C. O rotor tem uma massa de 250 kg e um desbalanceamento (me) de 5 kg.mm. A folga radial entre o rotor e o estator é 5 mm. A turbina opera na faixa de velocidades entre 600 e 6000 rpm. O eixo de aço que suporta o rotor pode ser assumido como engastado nos mancais (livre para girar). Determinar o diâmetro do eixo de forma que o rotor não entre em contato com o estator em todas as velocidades de operação da turbina. Assumir que o amortecimento é pequeno.

A A

C

BB

Mancal

Eixo

Rotor

Estator

Saida da água

l = 2 m

5 mm5 mm

Entradada água

Entradada água

Figura 3.19 - Turbina de água tipo Francis.

Solução: Como o amortecimento é desprezível, (3.75a) torna-se

X

me

k M

me

k r

2

2

2

2 2

1 (a)

A frequência é determinada pela faixa de velocidades de operação da turbina

600 6002

6020 62 8

6000 60002

60200 628

rpm rad s rad s

rpm rad s rad s

/ , /

/ /

A frequência natural do sistema é

n

k

M

k

250 (b)

São duas soluções que satisfazem o problema apresentado. Em uma delas a faixa de frequências de operação se localiza inteiramente abaixo da frequência natural do sistema enquanto que na outra a faixa de operação está acima da frequência natural.

Caso 1 - Para que a faixa de frequências de operação fique abaixo da frequência natural é necessário que a maior frequência da faixa, = 200 rad/s, seja inferior a esta. Aqui vamos estabelecer um limite de segurança de 20%, ou seja, max 1 2 200 240, rad/s. Aplicando a expressão (a) tem-se

0 0050 005 240

250 2401 250 240 1 43 10

2

2

2 8,,

) , /

kk N m

A rigidez do eixo sob flexão é

kEI

l

Ed

l

33

643

4

3

(c)

de onde se obtém o diâmetro


74

dkl

E4

364

3

(d)

que, para este caso, resulta

d m d m48 3

11

2 464 1 43 10 2 0

3 2 07 103 74 10 0 440

, ,

,, ,

Neste caso, a frequência natural, dada na expressão (b), será igual a

n

krad s

250

1 48 10

250755

8,/

superior à maior frequência da faixa de operação.

Caso 2 - Para que a faixa de frequências de operação fique acima da frequência natural é necessário que a menor frequência da faixa, = 20 rad/s, seja superior a esta. Estabelecendo novamente um limite de segurança de 20%, ou seja, min 0 8 20 16, rad/s. Para que a faixa de frequências fique acima da frequência natural deve-se

trocar o sinal do denominador a expressão (a), para que a amplitude continue sendo positiva. Resulta, então em

Xme

M k

2

2 (e)

Aplicando a este caso

0 0050 005 16

250 16250 1 16 6 29 10

2

2

2 5,,

) , /

kk N m

O diâmetro é obtido pela aplicação da expressão (d), resultando

d m d m45 3

11

4 464 6 29 10 2 0

3 2 07 101 65 10 0 113

, ,

,, ,

Neste caso, a frequência natural, dada na expressão (b), será igual a

n

krad s

250

6 29 10

25050 2

5,, /

inferior à menor frequência da faixa de operação. Em ambos os casos as soluções encontradas atendem os requisitos dinâmicos apresentados. O valor escolhido para o diâmetro deve atender os demais requisitos de projeto.

Unidade 4 – Vibrações Forçadas sob Condições Gerais

77

Unidade 4 - Vibrações Forçadas sob Condições Gerais

4.1 - Introdução

Na Unidade 3, foi estudada a vibração forçada de sistemas de um grau de liberdade sob a ação de forças harmônicas. Neste capítulo, este estudo será estendido para forças de qualquer natureza. Inicialmente será estudada a atuação de forças periódicas que são combinações de forças harmônicas associadas através das Séries de Fourier que, em sistemas lineares, podem ser consideradas como várias forças harmônicas atuando sobre o sistema e a resposta pode ser obtida utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos. Para a determinação da resposta a forças não periódicas, conhecida como resposta transiente, serão utilizadas ferramentas matemáticas como a Integral de Convolução (ou Integral de Duhamel) e a Transformada de Laplace. O conceito de espectro de resposta também será abordado nesta Unidade. Em todos os casos o sistema será de um grau de liberdade com amortecimento viscoso.

4.2 - Resposta a Uma Força Periódica

Uma força periódica pode ser expressa em Séries de Fourier na forma

11

0 sincos2 j

jj

jtjbtja

atF (4.1)

com

0

0

,2,1sin2

,2,1,0cos2

jdttjtFb

jdttjtFa

j

j

(4.2)

onde 2 é o período da função periódica.

A equação do movimento do sistema que sofre a ação de uma força periódica é

11

0 sincos2 j

jj

jtjbtja

akxxcxm (4.3)

Utilizando-se o Princípio da Superposição dos Efeitos a eq. (4.3) pode ser decomposta nas equações

1333

1

222

0

111

sin

cos

2

jj

j

j

tjbkxxcxm

tjakxxcxm

akxxcxm

(4.4)

e sua solução particular x t x t x t x tp p p p 1 2 3 , em que

12222

3

12222

2

0

1

sin21

cos21

2

jj

j

p

jj

j

p

p

tjrjrj

kb

tx

tjrjrj

ka

tx

k

atx

(4.5)

com

2e,

1

2tan

22

1

n

jr

rj

rj(frequência fundamental)

A resposta de regime permanente do sistema (ou solução particular da equação diferencial) é


78

1

222212222

0 sin21

cos212 j

j

j

j

j

j

ptj

rjrj

kb

tjrjrj

ka

k

atx

(4.6)

Os denominadores dos segundo e terceiro termos da eq. (4.6) se aproximam de zero quando o amortecimento é pequeno e j = n o que implicará em grandes amplitudes de vibração. Isto descortina a possibilidade do fenômeno da ressonância acontecer não somente quando a frequência fundamental for igual à frequência natural do sistema mas, também, quando os múltiplos desta frequência fundamental (chamados de frequências harmônicas) forem também iguais à frequência natural do sistema de um grau de liberdade.

Exemplo 4.1 - No estudo de vibração de válvulas usadas em sistemas de controle hidráulico, a válvula e a sua haste elástica são modelados como um sistema massa-mola como mostra a Fig. 4.1a. Além das forças de mola e amortecimento, há uma força da pressão fluida na válvula que varia com a abertura da mesma. Encontrar a resposta de regime permanente da válvula quando a pressão na câmara varia como indicado na Fig. 4.1b. Assumir que k = 2500 N/m, c = 10 N.s/m e m = 0,25 kg. O diâmetro da tubulação é 50 mm.

c

d

p(t)

m

k

x(t)

0 1 2 3 4

p(t) (N/m2)

t (seg)

50000

(a)

(b)

Figura 4.1 - Válvula sob pressão periódica.

Solução: A força exercida sobre a válvula, resultante da pressão fluida é dada por

F t A p t

em que A é a área da seção vazada da câmara, dada por

2422

m 1025,64

05,0

4

d

A

Da Fig. 4.1b, = 2 s e rad/s 2

22

A força atuante na válvula é obtida pela representação da função em Séries de Fourier, na forma

tjbtjaa

tFj

jj

j

11

0 sincos2

Da Fig. 4.1b, a força externa pode ser dada como

F t

At t

A t t

50000 02

50000 22

para

para


79

Os coeficientes aj são obtidos por

a At dt A t dt A00

1

1

22

250000 50000 2 50000

2

1

1

0sin250000cos50000

2

2dttjtAdttjAta j

onde as integrais são resolvidas por partes resultando em

a

A

jj

j

j

2 10

0

5

2 2para impar

para par

A função mostrada na Fig. 4.1b é uma função par (f(t) = f(-t)), o que a caracteriza como uma função que é representada por uma série exclusivamente de cossenos. Desta forma os coeficientes bj são nulos. Uma função ímpar (f(t) = -f(-t)) é representada por uma série de senos e possui os coeficientes aj nulos. A força é, então, dada por

122

5

imparparacos1102

25000j

jtjj

AAtF

A resposta de regime permanente é

12222

2

2

5

imparparacos21

110225000

j

jpjtj

rjrj

j

k

A

k

Atx

Se a frequência natural é

rad/s 10025,0

2500

m

kn

A frequência fundamental da força periódica é = rad/seg, então

rn

1000 0314,

O fator de amortecimento é obtido a partir dos parâmetros do sistema por

c

m n2

10

2 0 25 1000 2

,,

Os ângulos de fase podem ser obtidos por

j

jr

j r

j

j

j

j

tan tan

, ,

,tan

,

,1

2 21

2 2

12

2

1

2 0 2 0 0314

1 0 0314

0 0126

1 0 000987

e a resposta de regime permanente do sistema será dada por

12222

imparpara000158,0000987,01

cos0159,00196,0

j

j

p jjjj

tjtx


80

4.3 - Resposta a Uma Força Periódica Irregular

F(t)

F1 F2

F3

FN-1

FN

tN-1

tN

t1

t2

t3

t4

F4

t

= Nt

2t

Figura 4.2 - Força periódica de forma irregular.

Quando a força atuante não possuir uma forma tal que possa ser expressa por uma expressão analítica (quando resultado de uma medição, por exemplo), a determinação dos coeficientes da Série de Fourier deverá ser realizada numericamente. Neste caso a Série assume a forma

,...,2,1para22

,...,2,1para2

cos2

2

1

1

10

jtj

senFN

b

jtj

FN

a

FN

a

N

iij

N

iij

N

ii

(4.7)

Exemplo 4.2 - Encontrar a resposta de regime permanente da válvula do exemplo 4.1, se as flutuações de pressão na câmara são periódicas. Os valores da pressão são medidas com intervalos de 0,01 s (Tabela 4.1).

tempo (s) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12

p (kN/m2) 0 20 34 42 49 53 70 60 36 22 16 7 0

Tabela 4.1 - Pressão em uma válvula hidráulica.

Solução: Como as flutuações de pressão se repetem a cada 0,12 s, o período é = 0,12 s e a frequência fundamental da série de Fourier é = 2/0,12 = 52,3599 rad/s. Como o número de valores observados em cada período é 12, da eq. (4.7) obtém-se os coeficientes

12

1

2

10 N/m68167

12

22

ji

N

ii pp

Na

6,...,2,1para12,0

2sin

12

22sin

2

6,...,2,1para12,0

2cos

12

22cos

2

12

11

12

11

jtj

ptj

pN

b

jtj

ptj

pN

a

ii

N

iij

ii

N

iij

Introduzindo estes coeficientes na expressão (4.1), a Série de Fourier é montada até a 6ª harmônica. Em virtude de se tratar de uma função discretizada, a máxima freqüência harmônica presente deve ser a freqüência de Nycquist, dada por

Hz5001,02

1

2

1

tf

Nycquist

O que, sendo a freqüência fundamental Hz33,812,0

11

f , é atingido pela sexta harmônica


81

tt

tt

tt

tt

tt

tttp

159,314sin0159,314cos667,166

799,261sin131,641799,261cos30,2170

440,209sin06,2165440,209cos333,583

080,157sin33,2333080,157cos33,5833

720,104sin44,3608720,104cos67,1416

3599,52sin80,83073599,52cos0,269963,34083

N/m2

Sendo n = 100 rad/seg, então r = 52,3599/100 = 0,523599, e = 0,2, do exemplo 4.1. A área da câmara de pressão é também obtida do exemplo 4.1, como A = 0,000625 m2. Os ângulos de fase são dados por

22

1

1

2tan

rj

rjj

1 = 0,280916 rad

2 = -1,34409 rad

3 = -0,404565 rad

4 = -0,242513 rad

5 = -0,177017 rad

6 = -0,140762 rad

A resposta de regime permanente é

m 141,0314sin0141,0314cos0000146,0

177,0262sin0000847,0177,0262cos000287,0

243,0209sin000487,0243,0209cos000131,0

405,0157sin00115,0405,0157cos00287,0

34,1105sin00659,034,1105cos00259,0

281,04,52sin00864,0281,04,52cos0281,00268,0

tt

tt

tt

tt

tt

tttxp

4.4 - Resposta a Uma Força Não Periódica

Para a determinação da resposta de um sistema de um grau de liberdade sob a ação de uma força não periódica, os métodos utilizados são:

1. Integral de Convolução. 2. Transformada de Laplace. 3. Transformada de Fourier. 4. Integração Numérica.

4.4.1 - Integral de Convolução

A Fig. 4.3b mostra uma força que tem uma determinada magnitude finita e é aplicada em um intervalo de tempo extremamente pequeno. Esta força é chamada de força impulsiva.

O Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento estabelece que

Impulso = F t mx mx 2 1

Em um intervalo de tempo t o impulso é dado por

F Fdtt

t t

(4.8)

O impulso unitário é definido por

limf Fdt Fdtt t

t t

01 (4.9)


82

m

k c

F(t)

(a)

F(t)

F

t

Ft = 1

t

x(t) = g(t)

t

2

n(b)

(c)

Figura 4.3 - Resposta ao impulso de sistemas de um grau de liberdade.

Resposta ao Impulso

A equação que descreve o movimento do sistema mostrado na Fig. 4.3a é

mx cx kx 0 (4.10)

cuja solução é

x t e x tv x

tntd

n

dd

0

0 0cos sen (4.11)

x tF e

mt F g t

nt

dd

sen

(4.12)

Se, um instante antes do sistema sofrer a ação da força impulsiva, o mesmo estiver em repouso, pode-se dizer

que em t x t x t 0 0 0 0 , e o Princípio do Impulso e da Quantidade de Movimento permite dizer que,

sob a aplicação de um impulso de magnitude unitária

f mx t mx t 1 0 0 (4.13)

e como x t v 0 0 , então

f mv vm

11

0 0 (4.14)

Como o movimento começou no repouso x0 = 0 e a resposta do sistema se torna

x te

mt g t

nt

dd

sen (4.15)

que é conhecida como função resposta ao impulso unitário. Como o sistema é linear, a resposta a um impulso de magnitude não unitária é obtida pela multiplicação da resposta ao impulso unitário pela magnitude do impulso, resultando

Se o impulso for aplicado em um tempo t=a resposta também ficará defasada no tempo, na forma

x t F g tF e

mt

n t

dd

sen

(4.16)


83

(a)

x(t)

t

(b)

F(t)

F

t

Ft = F

F g(t-)

Figura 4.4 - Resposta a um impulso aplicado em t=

Resposta a Uma Força Geral

Uma função geral pode ser considerada como uma superposição de impulsos, como mostra a Fig. 4.5.

F(t)

t

F()

+ t

Figura 4.5 - Função geral, não periódica.

A resposta de um sistema a uma força aplicada desta forma será a soma das respostas aos impulsos aplicados

ao longo do tempo. Se a resposta ao impulso unitário aplicado no tempo t = é igual a g t , então, aplicando o

Princípio da Superposição dos efeitos a resposta produzida pelo impulso F(), aplicado em t = é


84

x t F g t (4.17)

A resposta geral é obtida pela soma das respostas parciais como

x t x t F g t (4.18)

Levando ao limite para 0 chega-se a

x t F g t dt

0

(4.19)

que é conhecida como Integral de Convolução ou Integral de Duhamel. Para um sistema de um grau de liberdade com amortecimento viscoso, onde a resposta ao impulso unitário é dada na eq. (4.14), a equação (4.19) torna-se

x tm

F e t dd

td

tn

1

0 sen (4.20)

Resposta à Excitação Impulsiva na Base

Em alguns casos (um carro passando por um buraco ou uma lombada, por exemplo), a excitação na base do sistema tem características gerais, e neste caso, a equação do movimento relativo (3.69) tem sua solução modificada para

t

d

t

d

dtseneytz n

0

1

(4.21)

Exemplo 4.3 - Uma máquina de compactação, modelada como um sistema de um grau de liberdade, é mostrada na Fig. 4.6a. A força atuante na massa m (que inclui as massas do pistão, da plataforma e do material que está sendo compactado) devido a uma aplicação súbita da pressão, pode ser idealizada como uma força degrau como mostra a Fig. 4.6b. Determinar a resposta do sistema.

Solução: De acordo com o mostrado na Fig. 4.6b, a força externa é igual a

F F 0

Introduzindo na eq. (4.20) tem-se

x tm

F e t dd

td

tn

1

00

sen

que é integrada por partes, resultando

x tF

ke tnt

d

0

21

1

1 cos

onde

tan 1

21. O movimento produzido por esta expressão está mostrado na Fig. 4.6c e se caracteriza por

ser um movimento harmônico com a posição de equilíbrio deslocada da sua posição original em F

k0 .

Se o sistema não possuir amortecimento, com 0 e d n

a resposta transforma-se em

x tF

kt

n

01 cos

em que o deslocamento máximo ocorre quando cosnt 1 sendo

xF

kmax

20

o que pode ser claramente visto na Fig. 4.6d. O movimento é harmônico com amplitude F

k0 e com a posição de

equilíbrio deslocada da posição de equilíbrio original também F

k0 , de forma que o deslocamento máximo em relação

ao referencial adotado, que é a posição de equilíbrio original, é o dobro deste valor.


85

F(t)

x(t)k/2 k/2c

(a)

Plataforma

Material sendocompactado

Cilindro

Pistão

m

F(t)

x(t)

x(t)

t

t

t

(b)

(c)

(d)

F0

O

O

O

2 0F

kF

k0

2 0F

kF

k0

Figura 4.6 - Força degrau em uma máquina de compactação.

Exemplo 4.4 - Achar a resposta da máquina de compactação mostrada na Fig. 4.6 quando a mesma está submetida à força mostrada na Fig. 4.7.

F(t)

t

F0

t0

Figura 4.7 - Força degrau com tempo de atraso.

Solução: A solução é análoga à do exemplo 4.3, apenas substituindo t por t-t0 na eq. 4.20, resultando

x tF

ke t tn t t

d

0

2 011

1

0

cos

e, quando o sistema for não amortecido ( 0 e d n )

x tF

kt tn

0

01 cos


86

Exemplo 4.5 - Se a máquina de compactação mostrada na Fig. 4.6a está submetida a uma força constante com tempo de duração limitado 0

0 t t (Fig. 4.8a), determinar a resposta da máquina.

F(t)

t

F0

t0

x(t)

t0

> n/2

t

t0 n/2

(a) (b)

Figura 4.8 - Força pulso retangular.

Solução: Como o sistema é linear a força pode ser considerada como uma superposição de uma força degrau F0 aplicada em t = 0 e uma outra força degrau -F0, aplicada em t = t0. A resposta em t > t0 será a superposição das respostas a cada uma das forças quando aplicadas isoladamente. Estas respostas foram determinadas nos exemplos 4.3 e 4.4, resultando em

x tF e

ke t t t

n

n

t

td d

0

2 01

0

cos cos

com

tan 1

21

Para sistemas sem amortecimento a resposta é

x tF

kt t tn n

0

0cos cos

Exemplo 4.6 - Determinar a resposta da máquina de compactação mostrada na Fig. 4.9a quando for aplicada uma força que varia linearmente (Fig. 4.9b), devido ao movimento do came.

Solução: A equação da força aplicada, mostrada na Fig. 4.9b é

F F

onde F é a taxa de crescimento da força na unidade de tempo. A equação (4.20), neste caso, torna-se

x tF

me t d

d

t

d

t

n

sen

0

cuja integral é resolvida por partes, resultando

x tF

kt e t t

n

t

n

d

d n

n d

dn

2 2 2 2 2

2cos sen

Para sistemas sem amortecimento

x tF

kt t

n

n n

sen


87

F(t)

x(t)k/2 k/2c

(a)

Plataforma

Material sendocompactadom

x(t)

t

(c)

F/k

O

Came

Seguidor

Movimento docame

1

F(t)

t(b)

F

O

1

2

n

4

n

Figura 4.9 - Máquina de compactação sob força variando linearmente.

4.4.2 - Transformada de Laplace

Definição

O método da Transformada de Laplace é aplicado para resolver equações diferenciais ordinárias, lineares, com coeficientes constantes. Apresenta como vantagens ser aplicável a qualquer tipo de função de excitação, desde que integráveis, tratar funções descontínuas sem dificuldades e levar em conta automaticamente as condições iniciais, o que é significativo quando se trata de resolver um problema do valor inicial. A definição da Transformada de Laplace é

£

0

dttxesxtx st (4.22)

onde s é chamada de variável subsidiária, complexa e e st é o núcleo da transformação.

Transformação de Derivadas

A transformada da derivada é obtida através de uma integração por partes, na forma

£

dx t

dte

dx t

dtdt e x t s e x t dt x s x sst st st

0

0 0

0

(4.23)

onde x(0) é o valor inicial de x(t). A segunda derivada é obtida seguindo o mesmo caminho. Chega-se a

£

d x t

dte

d x t

dtdt x s x s x sst

2

2

2

2

0

20 0

(4.24)

onde x 0 é o valor inicial da derivada de x(t).

Transformação de Equações Diferenciais Ordinárias

A equação diferencial do movimento de um sistema de um grau de liberdade viscosamente amortecido é

md x t

dtc

dx t

dtkx t F t

2

2 (4.25)


88

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação (4.25) e utilizando os resultados de (4.23) e (4.24) tem-se

m s x s s x x c s x s x k x s F s2 0 0 0 (4.26)

Como cm n 2 , k

m n 2 , a equação (4.26) pode ser resolvida para se calcular a transformada de Laplace

da resposta x s , na forma

x sm s s

F ss

s sx

s sx

n n

n

n n n n

1

2

2

20

1

20

2 2 2 2 2 2

(4.27)

que é chamada equação subsidiária da equação diferencial. Para obter a resposta do sistema x(t), se deve calcular a transformada inversa de Laplace do resultado da equação (4.27).

Transformação Inversa de Laplace

A transformação inversa envolve uma integral de linha no domínio complexo de difícil solução. Por este motivo se procura transformar a função obtida na eq. (4.27) em funções que tenham a sua transformada inversa conhecida. Esta é a essência do método das frações parciais, descrito a seguir. As funções resultantes serão comparadas com funções que possuem transformadas conhecidas, relacionadas na Tabela 4.2.

Consideremos o caso em que x s pode ser escrita na forma

x sA s

B s

( ) (4.28)

onde tanto A(s) como B(s) são polinômios em s. Geralmente B(s) é um polinômio de maior ordem que A(s). Chamando de s = ak (k = 1, 2,..., n) as raízes de B(s), o polinômio pode ser escrito como

B s s a s a s a s a s ak n kk

n

1 21

(4.29)

onde é o símbolo do produto. As raízes s = ak são conhecidas como pólos simples de x s . A expansão em frações

parciais de (4.28) tem a forma

x sc

s a

c

s a

c

s a

c

s a

c

s ak

k

n

n

k

kk

n

1

1

2

2 1

(4.30)

onde os coeficientes ck são dados pela fórmula

c s a x sA s

B sk

s ak

s ak

k

lim (4.31)

onde B s é a derivada de B(s) em relação a s.

Como

£k

ta

ase k

1 (4.32)

segue-se que

£-1 1

s ae

k

a tk

(4.33)

onde (4.32) e (4.33) constituem um par de Laplace. Considerando as equações (4.31) e (4.33) a transformada inversa de

x s , eq. (4.30), se torna

x tA s

B se

A s

B se

s a

a t

k

n

st

s ak

n

k

k

k

1 1

(4.34)

Freqüentemente, é mais simples considerar a eq. (4.30) e escrever A(s) na forma


89

A s c s a c s a c s a c s ai iii

n

i

n

n ii

n

n iii k

n

k

n

1 212

2 2

1

11

(4.35)

Comparando os coeficientes de sj-1 (j = 1, 2, ... , n), em ambos os lados de (4.35), obtém-se um sistema de equações algébricas que podem ser resolvidas para a determinação dos coeficientes ck (k = 1, 2, ... , n).

Integral de Convolução. Teorema de Borel.

Considere-se duas funções f1(t) e f2(t), definidas para t > 0. Assuma-se, também, que f1(t) e f2(t) possuem

transformadas de Laplace f s1 e f s

2 , respectivamente, e considere-se a integral

x t f f t d f f t dt

1 2 1 200

(4.36)

A função x(t), é chamada de convolução das funções f1 e f2 no intervalo 0 t . O limite superior das integrais em (4.36) são intercambiáveis porque f2(t - ) = 0 para > t, que é o mesmo que t - < 0. Transformando ambos os lados da eq. (4.36), obtém-se

x s e f f t d dt f d e f t dt

f d e f t dt

st st

st

1 200

1 200

1 20

(4.37)

onde o limite inferior da segunda integral mudou porque f2(t - ) = 0 para > t. A seguir, se introduz a transformação t - = na segunda integral, e observando que para t = tem-se escrevendo-se

x s f d e f t dt f d e f d

e f d e f d f s f s

st s t

s s

1 20

1 200

10

2 1 20

(4.38)

Das equações (4.36) e (4.38), segue-se que

x(t) = £-1 x s = £-1 f s f s1 2 (4.39)

então

x t f f t d f t f dtt

1 2 1 200

(4.40)

A segunda integral na eq. (4.40) é válida porque não importa de que maneira ocorre o acréscimo de tempo.

Teorema de Borel

A transformação inversa de Laplace do produto de duas transformadas é igual à convolução das suas transformadas inversas.

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

f s f t e dtst

0

f(t)

1 c f s c g s1 2

c f t c g t1 2

2 f

s

a

f a t a

3 f s g s f t g dt

0

4

s f s s

d f t

dtn n j

j

j

tj

n

1

1

01

d f t

dt

n

n

5

1

sf s

n f d d

tt

00

6 f s a e f tat


90

7 1 t = degrau unitário aplicado em t = 0

8 e

s

as

u(t) = impulso unitário aplicado em t=a

9 1

sn(n = 1,2, ...)

t

n

n

1

1 !

10 1

s a

e at

11

1

2s a

te at

12

1

s an

(n = 1,2, ...)

1

11

nt en at

!

13

1

s s a 1

1a

e at

14

1

2s s a

11

2ae atat

15 12 2s a

1

aatsen

16 12 2s a

1

aatsenh

17 s

s a2 2

cos at

18 s

s a2 2

cosh at

19

1

2 2s s a

11

2aat cos

20

1

2 2 2s s a

13a

at at sen

21

1

2 2 2

s a

1

2 3aat at atsen cos

22

s

s a2 2 2

t

aat

2sen

23

s a

s a

2 2

2 2 2

t atcos

24

a

s s a

1 e at

25 s a

s

2

1 at

26

a

s s a

2

2 at e at 1

27

s b

s s a

b

a

a

be at1 1

28

a

s s a

2

2 2

1 cosat

29 1

22 2s sn n

1

d

t

de tn sen

30 s

s sn n

2 22

n

d

t

de tn sen

1


91

31 s

s sn

n n

2

22 2

n

d

t

de tn sen

1

32

n

n ns s s

2

2 22 1

1

n

d

t

de tn sen

33

s

s s sn

n n

2 22 e tnt

d

sen1

Tabela 4.2 - Transformadas de Laplace.

Exemplo 4.7 - Achar a resposta da máquina de compactação do exemplo 4.5, assumindo < 1, utilizando a transformada de Laplace.

Solução: A força aplicada pode ser escrita na forma

F tF t t

t t

0 0

0

0

0

A transformada de Laplace de F(t) é obtida como

F s e F t dt e F dt F e dtF

se

e

sFst st

tst st t

t s

00

00

0

00

0

00

01

Utilizando (4.27), a transformada da resposta será

x s

F e

ms s s

s

s sx

s sx

t s

n n

n

n n n n

0

2 2 2 2 2 2

1

2

2

20

1

20

0

A transformadas inversas do segundo e do terceiro termo da equação são obtidas utilizando diretamente os resultados 31 e 29 da Tabela 4.2. A transformada inversa do primeiro termo é obtida do resultado 32 da mesma Tabela 4.2 considerando que a multiplicação da transformada de uma função por e-as implica no deslocamento a da função no domínio do tempo. Então a transformada inversa torna-se

x tF

m

et

F

m

et t

x et

x xe

n

t

n

n

t t

n

n

n

t

n

n n

n

n

n

n

n

( ) sen

sen

sen

0

2 2

2

1

0

2 2

2

0 1

0

2

2

2

2

1

0 0

2 2

11

1

11

1

11

2

1

0

t

ntsen 1 2

onde 1

1 cos , e a resposta da máquina de compactação pode ser expressa na forma

x tF

me t e t t

xe t

x xe t

n

t

n

t t

n

n

t

n

n

n

t

n

n n

n n

( ) sen sen

sen

sen

0

2 2

2

1

2

0 1

0

2 2

2

1

0 0

2

2

11 1

11

2

11

0

4.4.3 - Integral de Fourier

Na seção 4.2 viu-se que uma função periódica pode ser representada por uma série de Fourier, que são séries

infinitas de funções harmônicas de frequências j onde 2 é a frequência fundamental. Fazendo o período se

aproximar do infinito, de forma que o primeiro intervalo de tempo se alongue sem limites, a função se torna não periódica. Desta maneira, o intervalo de frequência tende para zero de forma que as frequências harmônicas, originalmente discretas se tornam contínuas. Nesta situação as séries de Fourier se tornam integrais de Fourier.


92

Uma função periódica pode ser representada por séries de Fourier na sua forma complexa

f t C ejij t

j

(4.41)

onde os coeficientes Cj são obtidos por

C f t e dt jjij t

10 1 2

2

2

, , , , para (4.42)

Introduzindo a notação j = j, (j + 1) - j = = j, as equações (4.41) e (4.42) se tornam

f t C e C ej

i t

j

j

i t

j

jj j

1 1

2

(4.43)

C f t e dtjij t

2

2 (4.44)

Fazendo o período tender ao infinito , a variável j se transforma na variável contínua e, levando ao limite, se substitui a soma pela integral e se obtém

f t C e F e d

j

j

j

i t

j

ji t

lim

0

1

2

1

2 (4.45)

F C f t e dt

j

ji t

lim 0

(4.46)

A equação (4.45) implica que uma função arbitrária f(t) pode ser descrita por uma integral representando contribuições de componentes harmônicos possuindo um espectro de frequência contínuo entre e . A quantidade F() d pode ser considerada como uma contribuição das harmônicas que estão no intervalo entre e d à função f(t). A equação (4.46) é conhecida como a Transformada de Fourier de f(t), de forma que as integrais

F f t e dti t

(4.47)

f t F e di t

1

2 (4.48)

representam um par de transformadas de Fourier, onde f(t) é conhecida como a Transformada Inversa de F(). As equações (4.47) e (4.48) contém a informação sobre a composição em frequência da função f(t), que não é periódica. Se a eq. (4.41) representa uma função excitadora, então a resposta de regime permanente do sistema pode ser escrita na forma

x t H C ej jij t

j

(4.49)

onde Hj é a resposta em frequência complexa associada à frequência j. Seguindo um procedimento similar ao utilizado para f(t), conclui-se que a resposta do sistema a uma excitação arbitrária também pode ser escrita na forma de um par de transformadas de Fourier, como segue

X x t e dti t

(4.50)

x t X e di t

1

2 (4.51)

onde a transformada de Fourier da resposta é

X H F (4.52)

que é simplesmente o produto da resposta em frequência complexa pela transformada de Fourier da função excitadora. Normalmente a transformada de Fourier não é muito utilizada para calcular a resposta do sistema pela equação (4.51), pois freqüentemente a sua solução exige integrações no plano complexo o que pode se tornar extremamente complicado. A integral de convolução e a transformada de Laplace são mais fáceis de se utilizar nestes casos. Entretanto, quando se pretende analisar o comportamento no domínio da frequência a integral (4.50) é normalmente


93

fácil de ser obtida (quando a função cumpre as condições de existência da integral) e fornece uma ferramenta de análise muito útil. Existe um algoritmo para calcular a integral (4.50) de forma rápida conhecido como Fast Fourier Transform (FFT) de larga utilização na engenharia.

Exemplo 4.8 - Calcular a resposta de um sistema de um grau de liberdade não amortecido à excitação na forma de um pulso retangular mostrado na Fig. 4.10, usando o método da transformada de Fourier. Fazer o gráfico dos espectros de frequência das funções excitadora e de resposta.

F(t)

t

F0

T- T

Figura 4.10- Função pulso retangular.

Solução: A função excitadora pode ser escrita mostrada na Fig. 4.10 pode ser escrita como

f tF T t T

t T t T

0

0

para

para , (a)

Como f(t) possui apenas descontinuidades finitas no intervalo, a sua integral existe sendo possível escrever a sua transformada de Fourier na forma

F f t e dt F e dt Fi

e ei t i t

T

Ti T i T

0 0

1 (b)

Para sistemas sem amortecimento, a resposta em frequência complexa, eq. (3.49), se torna

H

n

1

1

2 (c)

Inserindo as equações (b) e () na eq. (4.52) tem-se

X H FF

k

e e

i

i T i T

n

0

2

1

(d)

Então a resposta pode ser escrita na forma da transformada inversa de Fourier como

x t X e dF

k i

e ee di t

i T i T

n

i t

1

2

1

21

0

2

(e)

Antes de tentar calcular a integral acima, é conveniente considerar o seguinte desenvolvimento em frações parciais:

1

1

1 1

2

1

22

n

n n

(f)

de forma que a eq. (e) se torna


94

x tF

k ie e d

n n

i t T i t T

01

2

1 1

2

1

2 (g)

O cálculo das integrais envolvidas na eq. (g) exige a execução de integrais de contorno no plano complexo. Como isto requer conhecimento matemático superior (ao nível exigido para um engenheiro), aqui são apresentados apenas os resultados

ed

i

ed

i e

ed

i e

i

i

n

i t

i

n

i t

n

n

0 0

2 0

0 0

2 0

0 0

2 0

para

para

para

para

para

para

(h)

Da eq. (g), nota-se que assume os valores t + T e t - T. Deve-se, portanto, distinguir entre os domínios de tempos definidos por t + T < 0 e t - T < 0, t + T > 0 e t - T < 0, t + T > 0 e t - T > 0, que são os mesmo domínios definidos por t < T , -T < t < T, e t > T, respectivamente. Inserindo as integrais (h) com os valores apropriados de obtém-se

x t t T

x tF

k ii i e i e

F

kt T T t T

x tF

k ii i e i e i i e i e

i t T i t Tn

i t T i t T i t T i t

n n

n n n n

0

1

22

1

22

1

22 1

1

22

1

22

1

22 2

1

22

1

22

0 0

0

para

para

cos

T

n n

F

kt T t T t T

0

cos cos para

(i)

O espectro de frequência associado a f(t) é dado pela eq. (b). Lembrando que e e

i Ti T i T

2 sen , eq. (b)

se torna

FF

k

T

2 0 sen (j)

A Figura 4.11a mostra o gráfico de F() versus . O espectro de frequência associado a x(t) é dado pela eq. (d). De forma similar a eq. (d) pode ser reduzida a

XF

k

T

n

2

1

0

2

sen (k)

A Figura 4.11b mostra o gráfico de X() versus . O método da integral de convolução é de aplicação mais simples, pois a transformação inversa de Fourier exige integração de contorno no plano complexo de difícil solução. A análise, porém, no domínio da frequência é de larga aplicação na engenharia, sendo a principal ferramenta de análise de vibrações.


95

F()

X()

(a) (b)

2

T

2

T

T

T

3

T

3

T

T

2

T

T

2

T

2 0F T

k

2 0F T

k

F T

k0

F T

k0

n

n

Figura 4.11 - Espectros de frequência.

Unidade 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade

97


5.1 - Introdução

Sistemas de dois graus de liberdade são aqueles que requerem duas coordenadas independentes para descrever seu movimento. As Figs. 5.1 e 5.2 mostram alguns exemplos de tais sistemas.

x(t)

x1(t)

x2(t)

kk

C.G.

C.G.

m, J0

(t)

k2

k1

x(t)

y(t)

m

Figura 5.1- Corpo com dois graus de liberdade. Figura 5.2 - Massa concentrada.

A Fig. 5.1 mostra um sistema constituído de um corpo de massa m e momento de inércia em relação ao centro de gravidade (C.G.) J0, sustentado por duas molas de rigidez k. Assumindo que o movimento da massa ocorre apenas no plano vertical, a posição do corpo em qualquer instante de tempo é perfeitamente descrita pela coordenada linear x(t), que representa o deslocamento vertical do centro de gravidade do corpo, e pela coordenada angular (t), que representa a rotação em torno de C.G. Outros sistemas de coordenadas independentes, como, por exemplo, os deslocamentos das extremidades x1(t) e x2(t), também poderiam ser utilizados para descrever completamente o mesmo movimento. Assim sendo, o sistema possui dois graus de liberdade. É importante observar que a massa é tratada como um corpo rígido com movimento plano restrito à direção vertical. A Fig. 5.2 mostra um sistema em que uma massa pontual m possui dois graus de liberdade, podendo transladar nas direções x e y. O movimento de um sistema de dois graus de liberdade é descrito por duas equações diferenciais de segunda ordem geralmente acopladas, isto é, em cada uma das equações estão presentes termos que contém as duas coordenadas. Assumindo-se uma solução harmônica para cada coordenada, as equações do movimento conduzem a duas frequências naturais para o sistema. Durante a vibração livre em cada uma das frequências naturais, as amplitudes das duas coordenadas estão sempre relacionadas entre si formando uma configuração conhecida como modo normal, modo principal ou modo natural de vibração. Quando uma condição inicial arbitrária é dada ao sistema, a vibração livre resultante será uma combinação dos dois modos naturais de vibração. Quando o sistema vibra sob a ação de uma força externa harmônica (vibração forçada), o movimento resultante ocorre na frequência da força aplicada. A ressonância pode, então, ocorrer quando a frequência da força externa coincidir com uma das frequências naturais do sistema. Das Figs. 5.1 e 5.2, fica evidente que o movimento do sistema pode ser descrito por um sistema de coordenadas independentes. Este sistema se chama de sistema de coordenadas generalizadas. Entretanto, quando as equações do movimento estão acopladas, é sempre possível encontrar um sistema de coordenadas em que cada equação contém apenas uma coordenada. Estas coordenadas são chamadas de coordenadas principais.

5.2 - Equações do Movimento

A Fig. 5.3a mostra um sistema de dois graus de liberdade com amortecimento viscoso sob ação de forças externas. O movimento deste sistema é descrito pelas coordenadas independentes x1(t) e x2(t). Os diagramas de corpo livre mostrados na Fig. 5.3b facilitam a aplicação da Segunda Lei de Newton a cada uma das massas, resultando

1221212212111

Fxkxkkxcxccxm (5.1)

2232122321222

Fxkkxkxccxcxm (5.2)


98

x1(t)

F1(t)

m1

F1(t)

m1

x2(t)

F2(t)

m2

m2

F2(t)

k1 k2 k3

c1 c2 c3

k2(x2 - x1)

122 xxc

k1x1

c x3 2c x1 1

(a)

(b)

, x x1 1 , x x2 2

k3x2

Figura 5.3 - Sistema de dois graus de liberdade.

As equações (5.1) e (5.2) formam um sistema de duas equações diferenciais acopladas. Isto acontece porque (5.1) contém termos envolvendo x2 ( 2222

e xkxc ), enquanto (5.2) contém termos envolvendo x1 ( 1212 e xkxc ). O

acoplamento representa a influência do movimento da massa m1 no movimento da massa m2 e vice-versa. As equações (5.1) e (5.2) podem ser escritas em forma matricial

tFtxktxctxm (5.3)

onde [m] é a matriz de massa, [c] a matriz de amortecimento e [k] a matriz de rigidez do sistema, dadas por

322

221

322

221

2

1

0

0

kkk

kkkk

ccc

cccc

m

mm

(5.4)

{x(t)} é o vetor dos deslocamentos e {f(t)} é o vetor das forças, dados por

tF

tFtF

tx

txtx

2

1

2

1 e (5.5)

As matrizes apresentadas em (5.4) são todas simétricas de forma que

, , , kkccmmTTT (5.6)

onde T indica a transposta da matriz. Observar que as equações (5.1) e (5.2) se tornarão desacopladas se c2 = k2 = 0, tornando as matrizes de amortecimento e rigidez diagonais, o que implica em desconectar fisicamente as massas m1 e m2, transformando o sistema de dois graus de liberdade em dois sistemas de um grau de liberdade.

5.3 - Vibração Livre

5.3.1 - Sistema Não Amortecido

A vibração livre do sistema de dois graus de liberdade é obtida fazendo F1(t) = F2(t) = 0 e o amortecimento é retirado tornando c1 = c2 = c3 = 0. As equações (5.1) e (5.2) se tornam

02212111 xkxkkxm (5.7)

02321222 xkkxkxm (5.8)


99

A análise da vibração livre consiste na investigação da possibilidade das massas oscilarem harmonicamente com a mesma frequência e ângulo de fase mas com amplitudes diferentes. Assumindo que este movimento seja possível, as soluções são da forma

tXtx

tXtx

cos

cos

22

11 (5.9)

Substituindo (5.9) em (5.7) e (5.8) tem-se

0cos

0cos

232

2

212

22121

2

1

tXkkmXk

tXkXkkm (5.10)

Como as equações (5.10) devem ser satisfeitas em qualquer instante de tempo, os termos entre chaves devem ser sempre iguais a zero já que a função cos varia entre -1 e +1. Então

0

0

232

2

212

22121

2

1

XkkmXk

XkXkkm

(5.11)

são duas equações algébricas homogêneas simultâneas com X1 e X2 como incógnitas. Estas equações podem ser satisfeitas para a solução trivial X1 = X2 = 0, o que implica em que não há vibração. Para que se obtenha uma solução não trivial, o determinante dos coeficientes de X1 e X2 deve ser nulo:

0det32

2

22

221

2

1

kkmk

kkkm

ou

02

23221

2

132221

4

21 kkkkkmkkmkkmm (5.12)

A equação (5.12) é chamada de equação característica e sua solução conduz aos valores característicos (frequências naturais) do sistema. As raízes de (5.12) são dadas por

21

2

2322121

2

1322211322212

2,12

4

mm

kkkkkmmmkkmkkmkkmkk (5.13)

É, então, possível uma solução harmônica desde que as frequências da oscilação sejam as obtidas na equação (5.13). Elas são, por isso, chamadas de frequências naturais do sistema. X1 e X2 dependem das frequências 1 e 2. Os valores de X1 e X2 obtidos com 1 serão chamados de X X

1

1

2

1 e e

os obtidos com 2. serão chamados de 2

2

2

1 e XX . Como as equações (5.11) são homogêneas é possível determinar

somente as relações 2

1

2

22

1

1

1

21 e XXrXXr . Substituindo 2

1

2 2

2

2 e as equações (5.11) produzem

32

2

22

2

2

21

2

21

2

1

2

2

2

32

2

12

2

2

21

2

11

1

1

1

2

1

kkm

k

k

kkm

X

Xr

kkm

k

k

kkm

X

Xr

(5.14)

Os modos naturais de vibração são expressos pelos vetores modais

2

12

2

1

2

2

2

12

1

11

1

1

1

2

1

11 e

Xr

X

X

XX

Xr

X

X

XX

(5.15)

A vibração livre, no primeiro e no segundo modos naturais é

x tx t

x t

X t

r X t

x tx t

x t

X t

r X t

1 1

1

2

1

1

1

1 1

1 1

1

1 1

2 1

2

2

2

1

2

2 2

2 1

2

2 2

cos

cos

cos

cos

= primeiro modo

= segundo modo

(5.16)


100

X X1

1

1

2

1 2, , e são constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento.

Pode-se fazer o sistema vibrar em um de seus modos naturais através da aplicação de condições iniciais apropriadas. Para que o sistema vibre no modo i (i = 1,2) as condições iniciais necessárias são

x t X x t

x t r X x t

i

i

1 1 1

2 1 1 2

0 0 0

0 0 0

, ,

,

(5.17)

Se quaisquer outras condições iniciais forem introduzidas, ambos os modos serão excitados e o movimento resultante será uma superposição dos modos naturais na forma

x t x t x t 1 2

(5.18)

ou então

x t x t x t X t X t

x t x t x t r X t r X t

1 1

1

1

2

1

1

1 1 1

2

2 2

2 2

1

2

2

1 1

1

1 1 2 1

2

2 2

cos cos

cos cos

(5.19)

Introduzindo-se as condições iniciais arbitrárias

x t x x t v

x t x x t v

1 10 1 10

2 20 2 20

0 0

0 0

, ,

,

(5.20)

as constantes 21

2

1

1

1 e , , XX podem ser determinadas através da solução das seguintes equações, obtidas pela

substituição de (5.20) em (5.19)

x t x X X

x t v X X

x t x r X r X

x t v r X r X

1 10 1

1

1 1

2

2

1 10 1 1

1

1 2 1

2

2

2 20 1 1

1

1 2 1

2

21

2 20 1 1 1

1

1 2 2 1

2

2

0

0

0

0

cos cos

sen sen

cos cos

sen sen

(5.21)

A solução das equações (5.21) resulta em

101202

201011

2

201021

102201

1

2

2

2

201012

10120

12

2

1

2

1

2

102202

20102

12

1

1

tan

tan

1

1

xrx

vvr

xxr

vrv

vvrxrx

rrX

vrvxxr

rrX

(5.22)

Exemplo 5.1 - Frequências Naturais do Sistema Massa-Mola Determinar as frequências naturais e os modos naturais de vibração do sistema massa-mola de dois graus de liberdade cujo movimento está restrito à direção vertical


101

m

m

k

k

k

x1(t)

x2(t)

Figura 5.4 - Sistema massa-mola.

Equações do movimento

mx kx kx

mx kx kx

1 1 2

2 1 2

2 0

2 0

Assumindo solução harmônica na forma da eq (5.9), o determinante e a equação característica (5.12) tornam-se

m k k

k m km km k

2

2

2 4 2 22

24 3 0

cuja solução conduz às frequências naturais

1

2 2 2 2

2

2

2 2 2 2

2

4 16 12

2

4 16 12

2

3

km k m m k

m

k

m

km k m m k

m

k

m

As relações de amplitudes são obtidas das equações (5.14)

rX

X

m k

k

k

m k

rX

X

m k

k

k

m k

1

2

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

21

2

21

Os modos naturais, dados pelas equações (5.16) são

Modo Segundo 3

cos

3cos

Modo Primeiro

cos

cos

2

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

tm

kX

tm

kX

tx

tm

kX

tm

kX

tx


102

Conclui-se que, quando o sistema vibra no primeiro modo, as amplitudes das duas massas permanecem iguais. Isto implica que o comprimento da mola intermediária permanece constante (a mola não se deforma, é como se não existisse). Os movimentos das massas m1 e m2 estão em coincidência de fase (sincronizados, Fig. 5.5a). Quando o sistema vibra no segundo modo, os deslocamentos das duas massas possuem a mesma amplitude mas com oposição de fase (Fig. 5.5b). Neste caso o ponto médio da mola permanece estacionário em qualquer instante de tempo. Este ponto é chamado nó.

m1

m2

m1

m2

m1

m2

m1

m2

m1

m2

m1

m2

Nó

(a) Primeiro modo (b) Segundo modo Figura 5.5 - Modos naturais de vibração.

Usando as equações (5.19), o movimento do sistema pode ser expresso como

2

2

11

1

12

2

2

11

1

11

3coscos

3coscos

tm

kXt

m

kXtx

tm

kXt

m

kXtx

Exemplo 5.2 - Condições iniciais para provocar um modo específico Encontrar as condições iniciais necessárias para que o sistema vibre (1) no primeiro modo e (2) no segundo modo.

Solução:As constantes 21

2

1

1

1 e , , XX são determinadas com o auxílio das equações (5.22), com as frequências

naturais e os modos determinados no exemplo 5.1.

k

m

xx

vv

k

m

xx

vv

vvk

mxxX

vvk

mxxX

3tan

tan

32

1

2

1

1020

20101

2

2010

10201

1

2

2010

2

1020

2

1

2

1020

2

2010

1

1

Os modos naturais foram obtidos no Exemplo 5.1, dados por

Modo Segundo 3

cos

3cos

Modo Primeiro

cos

cos

2

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

tm

kX

tm

kX

tx

tm

kX

tm

kX

tx


103

(1) Para produzir o primeiro modo é necessário que 0 2

1X , e, para tanto as condições iniciais devem ser

x10 = x20 e v10 = v20

(2) Para produzir o segundo modo é necessário que 0 1

1X , e, para tanto as condições iniciais devem ser

x10 = - x20 e v10 = - v20

5.4 - Sistema Torcional

A Fig. 5.6 mostra um sistema torcional constituído de dois discos de momentos de inércia J1 e J2, conectados por segmentos de eixos com rigidezes kt1, kt2 e kt3, sofrendo a ação dos torques Mt1 e Mt2. O sistema possui dois graus de liberdade e seu movimento pode ser descrito pelas rotações 1 e 2.

2

kt2(2-1)kt11 kt32

kt1 kt2 kt3J2J1

Mt1

Mt2

(a)

(b)

1

21

Figura 5.6 - Sistema torcional.

A segunda Lei de Newton é aplicada para os movimentos de rotação dos discos, resultando nas seguintes equações diferenciais

J k k k M

J k k k M

t t t t

t t t t

1 1 1 2 1 2 2 1

2 2 2 1 2 3 2 2

(5.23)

Exemplo 5.3 - Frequências Naturais de um Sistema Torcional Encontrar as frequências naturais e as formas modais para o sistema torcional mostrado na Fig. 5.7 para J1 = J0, J2 = 2J0, e kt1 = kt2 = kt.

1

2

kt2

kt1

J2

J1

Figura 5.7 - Sistema torcional.


104

Solução: As equações diferenciais do movimento, dadas em (5.23), com os dados do problema e Mt1 = Mt2 = 0, se reduzem para

J k k

J k k

t t

t t

0 1 1 2

0 2 1 2

2 0

2 0

cuja solução harmônica é da forma

i i

t t i cos , para 1 2

que substituída nas equações diferenciais conduzem à equação das frequências (eq. 5.13)

2 5 04

0

2 2

0

2 J J k kt t

A solução desta equação resulta nas frequências naturais

1

0

2

04

5 174

5 17 k

J

k

Jt t e

e as relações de amplitudes (formas modais) são obtidas com o auxílio das eq. (5.14)

r r

1

2

1

1

1 2

2

2

1

22

5 17

42

5 17

4

e

5.5 - Acoplamento de Coordenadas - Coordenadas Principais

Qualquer conjunto de coordenadas independentes em número igual de graus de liberdade do sistema pode ser utilizado para descrever seu movimento. Estas são chamadas de coordenadas generalizadas. A Fig. 5.8 mostra o modelo de um sistema constituído de uma barra com duas massas nas extremidades.

k1 k2

k1 k2

l'2l'1

CGA B

m,J0

l2l1

k1x1=k1(x-l1)

k2x

2=k

2(x+l

2)

CGA B

m,J0

e

P

B'

P

CG

A'

l'2l'1BA

y-l'1 y(t)

(t)

y+l'2

k1(y-l'

1)

k2(y+l'

2)

B'

CG

A'

l2l1

BA

x1(t)

x(t)

(t)

x2(t)

(a)

(b)

Figura 5.8 - Acoplamento de coordenadas.

Este sistema possui dois graus de liberdade quando a barra é considerada como um corpo rígido e não há movimento lateral. Nestas condições, vários conjuntos diferentes de coordenadas generalizadas poderiam ser utilizadas para descrever o movimento tais como:

1) Os deslocamentos das extremidades x1(t) e x2(t); 2) O deslocamento x(t) do centro de gravidade (C.G.) e a rotação (t);


105

3) O deslocamento y(t) de um ponto qualquer P e a rotação (t). 4) O deslocamento x1(t) da extremidade A e a rotação (t).

Cada um destes sistemas de coordenadas conduz a um sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem acopladas. Utilizando-se, por exemplo as coordenadas x(t) (deslocamento do centro de gravidade C.G.) e a rotação (t) as equações diferenciais que descrevem o movimento do corpo rígido são

222111

2211

llxkllxkJ

lxklxkxm

G

(5.24)

Em forma matricial, as eq. (5.24) são escritas na forma

0

0

0

02

22

2

112211

112221

x

lklklklk

lklkkkx

J

m

G

(5.25)

As duas equações que formam o sistema (5.24) estão acopladas, ou seja, ambas contém as variáveis x(t) e (t). Na equação (5.25), a matriz não diagonal representa este acoplamento. Quando a matriz de massa é não diagonal o acoplamento é chamado de dinâmico ou inercial. Se a matriz de rigidez é não diagonal, o acoplamento é chamado elástico ou estático. De uma forma geral, um sistema pode estar acoplado também pela matriz de amortecimento, de forma que a equação matricial geral do movimento pode ser expressa na forma

m m

m m

x

x

c c

c c

x

x

k k

k k

x

x11 12

12 22

1

2

11 12

12 22

1

2

11 12

12 22

1

2

0

0

(5.26)

onde a natureza das matrizes presentes revela o tipo de acoplamento presente: Acoplamento elástico (estático) matriz de rigidez não diagonal; Acoplamento inercial (dinâmico) matriz de inércia não diagonal; Acoplamento de velocidade (dinâmico) matriz de amortecimento não diagonal. O acoplamento depende exclusivamente do sistema de coordenadas utilizado, não sendo, portanto, uma característica física do sistema. É possível determinar um sistema de coordenadas que torne o sistema desacoplado. Este sistema é chamado de sistema de coordenadas principais ou naturais. A principal vantagem de utilizar coordenadas principais é que as equações resultantes podem ser resolvidas independentemente. Considerando o sistema mostrado na Fig. 5.3, com c1 = c2 = c3 = 0 e F1(t) = F2(t) = 0, as equações do movimento tornam-se as eqs. (5.7) e (5.8). A solução pode ser expressa na forma

x t q t q t

x t r q t r q t

1 1 2

2 1 1 2 2

(5.27)

onde as formas modais r1 e r2 são dadas pela eq. (5.14). Introduzindo-se (5.27) em (5.7) e (5.8) obtém-se

m q q k q q k rq r q

m rq r q k q q k rq r q

1 1 2 11 1 2 12 1 1 2 2

2 1 1 2 2 12 1 2 22 1 1 2 2

0

0

(5.28)

onde k11 = k1 + k2, k12 = - k2 e k22 = k2 + k3. Multiplicando a primeira das equações (5.28) por m2r2 e a segunda por m1 obtém-se

m m r r q m r k m r r k m k m k r q m r k m r k m k m k r q

m m r r q m r k m r k m k m k r q m r k m r r k m k m k r q

1 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2 12 1 12 1 22 1 1 2 2 11 2 2

2

12 1 12 1 22 2 2

1 2 1 2 2 2 1 11 2 1

2

12 1 12 1 22 1 1 2 1 11 2 1 2 12 1 12 1 22 2 2

0

0

(5.29)

Utilizando-se as equações (5.14), as eq. (5.29) são reduzidas para a forma

,q q ii i i 2 0 1 2 com (5.30)

onde i (i = 1,2) são as frequências naturais do sistema. As equações (5.30) são independentes, sendo resolvidas separadamente. As coordenadas q1 e q2 são então coordenadas principais ou naturais. As soluções das eq. (5.30) são simplesmente

q t C t ii i i i

cos( ) , com 1 2 (5.31)

de forma que, inserindo (5.31) em (5.27) tem-se

x t C t C t

x t C r t C r t

1 1 1 1 2 2 2

2 1 1 1 1 2 2 2 2

cos cos

cos cos

(5.32)

que podem ser escritas na forma matricial


106

x t Cr

t Cr

t C u t C u t

1

1

1 1 2

2

2 2 1

1

1 1 2

2

2 2

1 1cos cos cos cos (5.33)

onde u u1 2 e são conhecidos como vetores modais. As amplitudes C1 e C2 e os ângulos de fase 1 e2 dependem

das condições iniciais. As equações mostram que o movimento do sistema, em qualquer instante de tempo, pode ser descrito como uma superposição dos modos naturais multiplicados pelas coordenadas naturais ou principais.

Exemplo 5.4 - Coordenadas Principais do Sistema Massa-Mola Determinar as coordenadas principais para o sistema mostrado na Fig. 5.4. Solução: As equações que estabelecem o movimento livre do sistema mostrado na Fig. 5.4 foram obtidas no exemplo 5.1 sendo as seguintes

x t Xk

mt X

k

mt

x t Xk

mt X

k

mt

1 1

1

1 1

2

2

2 1

1

1 1

2

2

3

3

cos cos

cos cos

(a)

Define-se um sistema de coordenadas tais que

q t Xk

mt

q t Xk

mt

1 1

1

1

2 1

2

2

3

cos

cos

(b)

Substituindo-se (b) em (a) tem-se

x t q t q t

x t q t q t

1 1 2

2 1 2

(c)

que podem ser resolvidas algebricamente, resultando em

q t x t x t

q t x t x t

1 1 2

2 1 2

1

21

2

(d)

Como q1(t) e q2(t), dadas na eq. (b), são funções harmônicas, são soluções de equações diferenciais na forma

qk

mq

qk

mq

1 1

2 2

0

30

(e)

que são duas equações diferenciais independentes (desacopladas) que são resolvidas separadamente. Estas equações

representam um sistema de dois graus de liberdade cujas frequências naturais são 1 23 k

mk

m e .

Exemplo 5.5 - Frequências e Modos de um Automóvel. Determinar as frequências associadas ao movimento angular (arfagem) e linear vertical (oscilação) e a localização dos centros de oscilação de um automóvel (Fig. 5.9) com os seguintes dados: massa = m = 1000 kg raio de giração = r = 0,9 m distância entre eixo dianteiro e C.G. = l1 = 1,0 m distância entre eixo traseiro e C.G. = l2 = 1,5 m rigidez das molas dianteiras = kf = 18 kN/m rigidez das molas traseiras = kr = 22 kN/m

Solução: Se x e são coordenadas independentes, o diagrama do corpo livre apresentado na Fig. 5.8a, permite que as equações diferenciais do movimento sejam escritas na forma


107

mx k x l k x l

J k x l l k x l l

1 1 2 2

0 1 1 1 2 2 2

(a)

ou na forma matricial

m

J

x k k k l k l

k l k l k l k l

x0

0

0

00

1 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1

2

2 2

2

(b)

l1 l2

movimentoangular (pitch)

movimento vertical(bounce)

CG

krkf

kr

kf

CG

x

Referência

CGx

O

2,65

CGx

O

0,306

Figura 5.9 - Vibração de um automóvel. Figura 5.10 - Formas modais do automóvel.

Para o presente problema tem-se que k1 = kf, k2 = kr e J0 = mr2, de forma que a equação matricial (b) torna-se

m

mr

x k k k l k l

k l k l k l k l

xf r f r

f r f r

0

0

0

02

1 2

1 2 1

2

2

2

(c)

Para obter a expressão para a vibração livre, assume-se que a solução é harmônica na forma

x t X t t t cos cos e (d)

Substituindo as soluções (d) na equação matricial (c) obtém-se

m

mr

Xt

k k k l k l

k l k l k l k l

Xt

f r f r

f r f r

0

0

0

02

2 1 2

1 2 1

2

2

2 cos cos (e)

que pode ser rearranjada para

m k k k l k l

k l k l mr k l k l

Xt

f r f r

f r f r

2

1 2

1 2

2 2

1

2

2

2

0

0cos (f)

Como a função cos tem valores diferentes de zero, conclui-se que

m k k k l k l

k l k l mr k l k l

Xf r f r

f r f r

2

1 2

1 2

2 2

1

2

2

2

0

0 (g)

Introduzindo os dados do presente problema a expressão (g) torna-se

1000 40000 15000

15000 810 67500

0

0

2

2

X

(h)

que possui solução não trivial quando o determinante da matriz se anula


108

1000 40000 15000

15000 810 675000

2

2

(i)

resultando na equação das frequências

8 1 999 24750 04 2, (j)

cuja solução permite a determinação das frequências naturais

1 = 5,8593 rad/s (k)

2 = 9,4341 rad/s

Substituindo estes valores na equação (h) obtém-se as formas modais

rad/m 3061,0

rad/m 6461,2

2

2

1

1

X

X (l)

As localizações dos nós (pontos com velocidade nula, portanto centros de rotação) podem ser obtidas observando que a tangente de um ângulo pequeno é aproximadamente igual ao próprio ângulo. Portanto, da Fig. 5.10, encontra-se a distância entre o C.G. e o nó como -2,6461 m para 1 e 0,3061 para 2. As formas modais estão representadas por linhas tracejadas na Fig. 5.10.

5.6 - Vibração Forçada

As equações diferenciais do movimento de um sistema genérico de dois graus de liberdade sob a ação de forças externas podem ser escritas na forma

m m

m m

x

x

c c

c c

x

x

k k

k k

x

x

F

F11 12

12 22

1

2

11 12

12 22

1

2

11 12

12 22

1

2

1

2

(5.34)

Se as forças são harmônicas

F t F e jj j

i t 0

1 2 , , (5.35)

As soluções de regime permanente são

x t X e jj j

i t , , 1 2 (5.36)

onde X1 e X2 são, em geral, quantidades complexas que dependem de e dos parâmetros do sistema. Substituindo (5.35) e (5.36) em (5.34) obtém-se

2

11 11 11

2

12 12 12

2

12 12 12

2

22 22 22

1

2

10

20

m i c k m i c k

m i c k m i c k

X

X

F

F (5.37)

Da mesma maneira que no Capítulo 3, a impedância mecânica é definida por

Z i m i c k r srs rs rs rs

2 1 2 , , (5.38)

e a equação (5.37) é escrita na forma

Z i X F 0

(5.39)

onde

Z iZ i Z i

Z i Z i

11 12

12 22

matriz de impedância

XX

XF

F

F

1

2

0

10

20

e

A solução da equação (5.39) é


109

X Z i F

1

0 (5.40)

onde a inversa da matriz de impedância é

Z iZ i Z i Z i

Z i Z i

Z i Z i

1

11 22 12

2

22 12

12 11

1 (5.41)

Substituindo (5.41) em (5.40) resulta

X iZ i F Z i F

Z i Z i Z i

X iZ i F Z i F

Z i Z i Z i

1

22 10 12 20

11 22 12

2

2

12 10 11 20

11 22 12

2

(5.42)

Introduzindo os valores de (5.42) nas soluções (5.36) obtém-se

x t

x t

Z i F Z i F

Z i Z i Z i

Z i F Z i F

Z i Z i Z i

ei t1

2

22 10 12 20

11 22 12

2

12 10 11 20

11 22 12

2

(5.43)

Exemplo 5.6 - Resposta de Regime Permanente de um Sistema de Dois Graus de Liberdade Determinar a resposta de regime permanente do sistema mostrado na Fig. 5.11 em que a massa m1 sofre a ação da força F1(t) = F10 cos t. Traçar a curva de resposta em frequência.

k

k

k

x1(t)

x2(t)

F1(t) = F

10 cos t

m

m

Figura 5.11 - Vibração forçada de um

sistema de dois graus de liberdade.

Solução: As equações do movimento podem ser escritas em forma matricial

m

m

x

x

k k

k k

x

x

F t0

0

2

2 01

2

1

2

10

cos (a)

Comparando a eq. (a) com (5.34) observa-se que m11 = m22 = m, m12 = 0, c11 = c12 = c22 = 0, k11 = k22 = 2k, k12 = - k, F1 = F10 cos t, F2 = 0. Assume-se que a solução é harmônica


110

x t X t jj j

cos , 1 2 (b)

A equação (5.38) produz

Z Z m k Z k11 22

2

122 , (c)

A seguir X1 e X2 são obtidos utilizando a equação (5.42)

Xm k F

m k k

m k F

m k m k

XkF

m k k

kF

m k m k

1

2

10

2 2 2

2

10

2 2

2

10

2 2 2

10

2 2

2

2

2

3

2 3

(d)

Definindo-se 1

2 km e 2

2 3 km , as equações (d) se tornam

X

F

k

XF

k

1

1

2

10

2

1

2

1

2

1

2

2

10

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

(e)

A Fig. 5.12 mostra as amplitudes X1 e X2 em função do parâmetro adimensional 1

que foi escolhido

arbitrariamente. Pode-se ver que as amplitudes X1 e X2 se tornam infinitas em 1 2 e que são as duas

condições de ressonância para o sistema. Pode-se observar também que, para um determinado valor de a amplitude X1, da massa m1(que sofre a ação da força F1(t)), se reduz para zero. Este é o fundamento do absorvedor dinâmico de vibrações que será discutido na seção seguinte.

X k

F1

10

X k

F2

10

0

1

2

1

3

4

5

2

3

4

5

6

0

1

2

1

3

4

5

2

3

4

5

6

1

11 2

3 44321

Figura 5.12 - Curvas de resposta em frequência.

5.7 - Absorvedores Dinâmicos

Em um sistema de um grau de liberdade, quando a frequência da função excitadora é igual ou próxima da frequência natural do sistema, o fenômeno da ressonância é produzido e grandes amplitudes de vibração são geradas. Para evitar este problema, uma alternativa utilizada em máquinas é modificar a frequência natural do sistema através da adequada introdução de um sistema auxiliar massa-mola (com ou sem amortecedor) constituindo-se em um absorvedor dinâmico.


111

5.7.1 - Absorvedor Não Amortecido

Quando uma massa auxiliar m2 é conectada à massa do sistema m1, através de uma mola de rigidez k2, resulta em um sistema de dois graus de liberdade como mostra a Fig. 5.13. As equações do movimento do sistema são

m x k x k x x F t

m x k x x

1 1 1 1 2 1 2 0

2 2 2 2 10

sen

(5.44)

Assumindo solução harmônica na forma

x t X t jj j

sen , , 1 2 (5.45)

Considerando as matrizes que constituem a equação (5.34), que permitem o cálculo das expressões (5.38), cujos resultados são introduzidos em (5.42), chega-se a

2

2

2

22

2

121

02

2

2

2

2

22

2

121

0

2

22

1

kmkmkk

FkX

kmkmkk

FmkX

(5.46)

F0sent Máquina (m

1)

Isolador (k1)

k2

m2

x2(t)

x1(t)

Absorvedordinâmico

Base rígida

Fig. 5.13 - Absorvedor dinâmico não amortecido.

Como o absorvedor está sendo utilizado para reduzir as amplitudes de vibração na ressonância, com

11

2

1

2 mk , deve ser projetado de forma que o numerador da primeira das equações (5.46) seja anulado,

produzindo

2

22

m

k (5.47)

Definindo 22

2

211

2

110,, mkmkkF

st e dividindo numerador e denominador das equações (5.46) pelo

produto k1k2, chega-se a


112

X

k

k

k

k

X

k

k

k

k

st

st

1 2

2

2

1 1

2

2

2

2

1

2

2

1 1

2

2

2

2

1

1

1 1

1

1 1

(5.48)

Com absorvedor Com absorvedor

Sem absorvedor

0

4

8

12

16

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3

/1

X1/

st

m

m2

1

1 2

1

20

1

2

Fig. 5.14 - Amplitude de vibração da máquina.

A Fig. 5.14 mostra a variação da amplitude de vibração da máquina st

X 1

com a velocidade de operação da

máquina 1

. As duas amplitudes de pico correspondem às duas frequências naturais do sistema composto. De acordo

com o pretendido, a amplitude do sistema original é nula em 1. Nesta freqüência a amplitude do sistema auxiliar é

Xk

k

F

kst2

1

2

0

2

(5.49)

Introduzindo (5.49) em (5.45) para j = 2, obtém-se

x tF

kt2

0

2

sen (5.50)

que pode ser escrita na forma

k x t F t2 2 0

sen (5.51)

concluindo-se que o absorvedor (massa e mola auxiliares) atuam sobre a massa principal com uma força igual a F t

0sen que neutraliza a força externa aplicada F t

0sen . Como este efeito é obtido desde que o absorvedor possua

frequência natural igual à frequência de operação, os parâmetros m2 e k2 são obtidos estabelecendo limites para a amplitude X2 deste mesmo absorvedor. Embora tenha sido projetado para uma determinada frequência de operação da máquina, o absorvedor pode atuar satisfatoriamente em uma faixa de frequências em torno desta freqüência de operação. Nesta faixa a amplitude X1 não se anula mas mantém-se com valores inferiores a um limite previamente estabelecido. A Fig. 5.14 mostra que existe uma faixa de frequências, entre as duas novas frequências de ressonância 1 e 2. O surgimento destas novas frequências de ressonância é uma desvantagem do absorvedor dinâmico. Este efeito, entretanto, pode ser reduzido através da introdução de amortecimento, como mostra a seção 5.7.2. Observando que

2

1

2

1

1

1

2

2

2

1

2

k

m

m

m

m

k

k

k (5.52)

onde 12

mm , os valores de 1 e 2 são obtidos igualando a zero o denominador das equações (5.48), resultando


113

2

4

2

1

2

2

2

2

1

2

1 1 1 0

(5.53)

cujas raízes são as frequências naturais procuradas

2

1

2

21

2

1

2

22

1

2

2

1

2

2

2

2,1

2

41111

(5.54)

A eq. (5.54) mostra que as novas frequências naturais dependem exclusivamente das relações entre as massas do absorvedor e sistema principal e entre as frequência naturais destes dois sistemas

12 . Se o absorvedor for

projetado obedecendo rigorosamente a condição 1 = 2 = a equação (5.54) assume uma forma mais simplificada

2

42 212

2

2,1

(5.55)

Exemplo 5.7 - Absorvedor de Vibrações para um Motor Diesel Um motor diesel, pesando 3000 N, está montado sobre um pedestal. Observou-se que o motor induz vibrações na área através do pedestal quando opera a 6000 rpm. Determinar os parâmetros do absorvedor que reduzirão as vibrações do motor quando montado no pedestal. A magnitude da força que produz a vibração no motor é 250 N, e a amplitude do movimento da massa auxiliar está limitada em 2 mm.

Solução: A frequência de vibração da máquina é

f 6000

60100 628 32 Hz ou rad / seg ,

Como o movimento do pedestal deve ser eliminado, a amplitude do movimento da massa auxiliar deve ser igual e oposta à força excitadora. Da equação (5.51) chega-se a

2

2

22220XmXkF

Substituindo os dados, considerando (5.47)

250 628 32 0 002 0 316632

2

2 m m, , , kg

A rigidez da mola do absorvedor é obtida, também, pela equação (5.47)

k m2

2

2

2628 32 0 31663 125000 , , N / m

Exemplo 5.8 - Absorvedor para um Conjunto Motor-Gerador Um conjunto motor-gerador, mostrado na Fig. 5.15, é projetado para operar na faixa de 2000 a 4000 rpm. Entretanto, o conjunto vibra violentamente em 3000 rpm devido a um pequeno desbalanceamento no rotor. Propõe-se colocar uma viga engastada com uma massa na extremidade como absorvedor para eliminar o problema. Quando a viga com uma massa de 2 kg, sintonizada a 3000 rpm, é ligada ao conjunto, as frequências naturais do sistema obtidas foram de 2500 rpm e 3500 rpm. Projetar o absorvedor a ser ligado (especificando sua massa e sua rigidez) de forma que as frequências naturais do sistema fiquem fora da faixa de operação do conjunto motor-gerador.


114

Absorvedor devibração

Motor Gerador

Figura 5.15 - Conjunto motor-gerador com absorvedor dinâmico.

Solução: As frequências naturais 1 do motor-gerador e 2 do absorvedor são dadas por

1

1

1

2

2

2

k

m

k

m, (a)

As frequências naturais 1 e 2, do sistema combinado, são dadas pela equação (5.54). Como o absorvedor com massa m2 = 2 kg está sintonizado, 1 = 2 = 314,16 rad/seg (correspondente a 3000 rpm). Usando a notação

m

mr r2

1

1

1

2

2

2

2

, , e

a equação (5.54) se torna

r1,2

2

2

12

12

1

(b)

Como 1 = 261,80 rad/seg (2500 rpm) e 2 = 366,52 rad/seg (3500 rpm) tem-se

167,12,314

5,366

8333,02,314

8,261

2

22

2

1

1

r

r

portanto

r1

2

2

12

12

1

ou

2

2,1

22

2,11

r

r (c)

Como r1 = 0,8333, a equação (c) produz = 0,1344 e m1 = m2/ = 14,87 kg. O limite inferior especificado para 1 é 2000 rpm = 209,4 rad/seg , portanto

6667,02,314

4,209

2

11

r

Com este valor de r1, a equação (c) produz = 0,6942 e m2 = m1= 10,32 kg. Com este novo valor de , a segunda frequência natural pode ser obtida por

250,212

12

1

2

2

2

r


115

resultando em 2 = 4499 rpm, que é maior que o limite superior especificado de 4000 rpm. A rigidez da mola do absorvedor é, então dada por

N/m 10019,1323,1016,314 62

2

2

22 mk

5.7.2 - Absorvedor Amortecido

O absorvedor dinâmico descrito na seção 5.7.1 remove o pico original de ressonância na curva de resposta em frequência da máquina mas introduz dois novos picos. Se for necessário reduzir a amplitude de vibração da máquina em uma faixa de frequência, se deve usar um absorvedor dinâmico amortecido como o mostrado na Fig. 5.16. As equações do movimento das duas massa são

m x k x k x x c x x F t

m x k x x c x x

1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 0

2 2 2 2 1 2 2 1 0

sen

(5.56)

F0sent Máquina (m1)

Isolador (k1)

k2

m2

x2(t)

x1(t)

Absorvedordinâmico

Base rígida

c2

Figura 5.16 - Absorvedor dinâmico amortecido.

Assumindo solução harmônica na forma

x t X t jj j

sen , , 1 2 (5.57)

se obtém as amplitudes

Xk m i c F

k m k m m k k i c k m m

XX k i c

k m i c

1

2 2

2

2 0

1 1

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2 1 1

2

2

2

2

1 2 2

2 2

2

2

(5.58)

Definindo st

Fk

km

km 0

11

2 1

12

2 2

2

, , , 12

2

11

2 2 com , ,

mc

c

c=qp

c

c

as equações

(5.58) conduzem a

X q q p

q q q p q q q pst

1

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

2 1 1

(5.59)

A curva de st

X 1

em função de 1

está mostrada na Fig. 5.17 para p = 1 e = 1/20 para uns poucos

valores diferentes de . Para amortecimento nulo, a curva é a mesma mostrada na Fig. 5.14. Quando o amortecimento é


116

infinito, as duas massas estão rigidamente ligadas e o sistema se comporta como de um grau de liberdade. O principal efeito do amortecimento, mostrado para a curva com = 0,1, é a atenuação dos picos de amplitudes nas ressonâncias. Isto, porém, produz um aumento das amplitudes na frequência de operação da máquina. Isto faz com que se deva tomar um certo cuidado quando se introduz amortecimento no sistema.

= 0

0

4

8

12

16

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3

/1

X1/st

m

m

a n

2

1

1

20

= 0

= 0,1

Figura 5.17 - Resposta em frequência do absorvedor dinâmico amortecido.

Unidade 6 – Medição de Vibrações

117

Unidade 6 - Medição de Vibrações

6.1 - Introdução

Em engenharia mecânica, uma das principais aplicações das vibrações está na manutenção. A existência de vibrações em máquinas e equipamentos é, geralmente, indicação de mau funcionamento. A manutenção preditiva tem como um dos seus pilares a análise qualitativa e quantitativa das vibrações. Basicamente, o estudo das vibrações requer três passos básicos:

1- a medição da vibração; 2- a análise do sinal vibratório medido; 3 - o controle da vibração, mediante algum procedimento de manutenção.

A análise das vibrações exige que as mesmas sejam perfeitamente identificadas. Isto acontece por meio de um processo de medição. É extremamente importante a correta medição da vibração para que o processo de análise e a conseqüente correção não sejam comprometidos. A medição serve para assegurar a confiança no bom funcionamento de uma máquina, confirmar suposições teóricas, auxiliar no projeto e na operação de sistemas de isolamento ativos, identificar características de sistemas dinâmicos através da comparação de variáveis medidas na entrada e na saída dos mesmos, obter informações das características sísmicas (exploração de petróleo), estudar processos de turbulência fluida, inferir efeitos da ação de vento em estruturas, entender o efeito de irregularidades de vias na suspensão de veículos, e monitorar o desempenho de máquinas e equipamentos na manutenção preditiva. O processo de medição, ilustrado na Fig. 6.1, parte da identificação de uma característica do fenômeno vibratório que possa ser medida, geralmente uma variável mecânica (deslocamento, velocidade, aceleração ou força). O elemento que entra em contato com a máquina para medir esta variável é o transdutor que cumpre a função de converter o sinal mecânico em um sinal elétrico (corrente elétrica) que é amplificado e convertido em um sinal digital ou mostrado em um display. O sinal digital pode ser armazenado em um computador. Ainda antes de sofrer a conversão para digital, o sinal pode ser gravado em um gravador especial. Após armazenados, os dados estão disponíveis para a análise.

Máquina ouestruturavibratória

Transdutorou sensor de

vibração

Instrumentode conversão

do sinal

Unidade deapresentação ouarmazenagem

(display, gravadorou computador)

Análise dedados

Figura 6.1 - Esquema básico de medição de vibrações.

Os principais medidores de vibração são os que medem: - deslocamento (vibrômetros); - velocidade; - aceleração (acelerômetros). Também auxiliam na identificação de características vibratórias os medidores de - fase; - frequência (frequencímetros) e - rotação (tacômetros).

A Fig. 6.2 apresenta um esquema em que se ilustra a utilização de instrumentos para determinação de características dinâmicas de uma máquina. Nela um gerador de função manda a informação para um shaker (vibrador eletrodinâmico ou eletrohidráulico), produzindo uma vibração com características previamente definidas. A vibração gerada, é analisada através de metodologia adequada a fim de determinar as características desejadas do sistema.

Máquinavibratória

80

2.5

Gerador defunção

Shaker

SensorAmplificador

AnalisadorEspectral

Figura 6.2


118

6.2 - Escolha do instrumento de medição

A escolha do instrumento de medição é crítica para que se tenha confiança nos valores medidos. Essencialmente, as faixas de freqüências e amplitudes a serem medidas, as dimensões da máquina ou equipamento vibratório, suas condições operacionais e o tipo de análise que se pretende realizar são os principais condicionantes para a escolha do instrumento de medição.

1) Faixa de frequências e amplitudes

Em baixas frequências a amplitude de deslocamento normalmente é alta o que faz com que os vibrômetros sejam adequados para realizar a medição. Já em altas frequências os deslocamentos são pequenos e as acelerações são elevadas, fazendo com que os acelerômetros apresentem maior sensibilidade. Os medidores de velocidade são de aplicação geral, pois apresentam desempenho razoável tanto em baixa como em alta frequência. Os medidores de velocidade são também, largamente utilizados por serem de fácil e barata construção. Cada sensor é projetado atuar em faixas específicas de amplitudes e frequências.

2) Dimensões da máquina ou estrutura.

Com relação às dimensões, o principal aspecto a ser considerado é a possível influência da massa do sensor nas características dinâmicas da máquina, provocando alterações importantes nas curvas de resposta em freqüência do sistema. Assim, em máquinas ou equipamentos leves devem ser utilizados sensores leves ou se deve optar por medição sem contato.

3) Condição de operação da máquina.

Condições de funcionamento severas, experimentadas por máquinas que operam em ambientes corrosivos ou abrasivos, por exemplo, podem exigir blindagens especiais para proteger os instrumentos. É importante que os instrumentos não sejam danificados no ato da medição, pois isto pode também distorcer os valores medidos. Há também que considerar exigências de isolamento ou blindagem elétrica para evitar interferências, distorções ou outros efeitos eletromagnéticos.

4) Tipo de análise dos dados.

A forma com que os dados gerados serão analisados é fundamental para a escolha do instrumento de medição. Vários detalhes no processo de medição estão condicionados pela análise que será realizada. Não só o instrumento como todas as características da medição devem ser selecionadas de forma a permitir que a análise possa ser adequadamente realizada.

6.3 - Transdutores

Os transdutores transformam energia física de variadas formas (mecânica, térmica, etc.) em outras formas (principalmente elétrica). Os tipos de transdutores dependem, portanto das grandezas físicas envolvidas. Nesta seção são apresentados os principais tipos de transdutores utilizados na medição de grandezas mecânicas (deslocamento, velocidade e aceleração) e o seu princípio de funcionamento.

6.3.1 - Transdutores de Resistência Variável

Este tipo de transdutor tem um princípio de funcionamento que se baseia na variação da resistência elétrica de um elemento, produzida pelo movimento. O movimento gera a deformação de uma resistência elétrica, alterando suas características de forma a produzir uma variação da voltagem de saída do circuito elétrico do qual este elemento faz parte. O transdutor mais utilizado deste tipo é o extensômetro cujo esquema é mostrado na Fig. 6.3.

Papel fino

Arame fino

Massa

Filamentos

Papel fino

Arame fino X

X

Figura 6.3 - Extensômetro


119

Um extensômetro elétrico consiste de um arame fino cuja resistência varia quando sofre a uma deformação mecânica. Quando o extensômetro é colado a um corpo, se deforma juntamente com o mesmo, de forma que a variação em sua resistência elétrica indica a deformação sofrida pelo corpo. O arame é montado entre duas lâminas de papel fino. O material com que mais comumente é construída a resistência é uma liga de cobre e níquel conhecida como Advance.

Quando a superfície em que o extensômetro foi montado sofre uma deformação normal , o extensômetro também sofre a mesma deformação e a variação em sua resistência é dada por

KR

RL

L

r

r

L

L

1 2 1 2 (6.1)

onde K é o fator de ponte do arame, R a resistência inicial, R a variação da resistência, L o comprimento inicial do arame, L a variação no comprimento do arame, o coeficiente de Poisson do arame, r a resistividade do arame e r a variação na resistividade do arame. O valor do fator K é dado pelo fabricante do extensômetro e, portanto, o valor de normal , pode ser determinado, medindo-se R e R, na forma

L

L

R

RK (6.2)

Quando o transdutor é usado em conjunto com outros componentes que permitem o processamento e a transmissão do sinal, se transforma em um sensor. Em um sensor de vibração o extensômetro é montado em um elemento elástico de um sistema massa-mola como mostra a Fig. 6.4. A deformação em qualquer ponto do membro elástico é proporcional à deflexão da massa, x(t), a ser medida. A variação na resistência do arame R pode ser medida usando uma ponte de Wheatstone, um circuito potenciométrico e um divisor de voltagem. Uma ponte de Wheatstone típica, representando um circuito que é sensível a pequenas mudanças na resistência, é mostrada na Fig. 6.5. Aplica-se uma voltagem de alimentação (corrente contínua) V entre os pontos a e b.

m

FilamentosExtensômetro

Viga engastada

x(t)

Base

R1R2

R3R4

E

V

d

a c

b

Figura 6.4 - Esquema do sensor. Figura 6.5 - Ponte de Wheatstone.

A voltagem resultante entre os pontos b e d é

E

R R R R

R R R RV

1 3 2 4

1 2 3 4

(6.3)

Inicialmente as resistências são balanceadas, de forma que a voltagem de saída (E) é zero. Portanto, para balanço inicial, a eq. (6.3) produz

R R R R1 3 2 4

(6.4)

Quando as resistências (Ri) variam em pequenas quantidades (Ri), a variação na voltagem de saída pode ser expressa como

E V rR

R

R

R

R

R

R

R

0

1

1

2

2

3

3

4

4

(6.5)

onde


120

rR R

R R

R R

R R0

1 2

1 2

2

3 4

3 4

2

(6.6)

Se os terminais do extensômetro são conectados entre os pontos a e b , R1 = Rg, R1 =Rg, e R2 =R3 = R4 = 0, e a eq. (6.5) nos dá

R

R

E

V r

g

g

0

onde Rg, é a resistência inicial do arame. As equações (6.2) e (6.7) produzem

R

RK

E

V r

g

g

0

ou

E KV r0 (6.9)

e, como a voltagem de saída é proporcional à deformação, o instrumento pode ser calibrado para que a deformação possa ser lida diretamente.

6.3.2 - Transdutores Piezoelétricos

Transdutores piezoelétricos são aqueles que utilizam materiais naturais ou artificiais, (quartzo, turmalina, sulfato de lítio, sal de Rochelle), que geram carga elétrica quando submetidos a uma deformação (propriedade piezoelétrica). A carga elétrica gerada no cristal devida a uma força Fx é dada por

Q K F K A px p x p x (6.10)

onde Kp é chamada de constante piezoelétrica (2,25x10-12 Coulomb/Newton para o quartzo, quando a maior face está ao longo do eixo x do cristal, Fig. 6.6), A é a área em que atua a força Fx, e px é a pressão devida à mesma força. A voltagem de saída do cristal é

E t px

(6.11)

é a sensibilidade de voltagem (0,055 volt-metro/Newton para o quartzo, também quando a maior face está ao longo do eixo x do cristal, Fig. 6.6) e t a espessura do cristal.

E

Fx

Fx = A px

t

Massa

Mola

Discospiezoelétricos

Filamentos

(a)

(b) Figura 6.6 - Acelerômetro piezoelétrico.


121

A Fig. 6.6b mostra o esquema de um acelerômetro piezoelétrico. Uma pequena massa é pressionada contra um cristal piezoelétrico por meio de uma mola. Quando a base vibra, a carga exercida pela massa sobre o cristal varia com a aceleração e, portanto, a voltagem de saída gerada pelo cristal será proporcional à aceleração. Os acelerômetros piezoelétricos são compactos, resistentes, com alta sensibilidade e utilizáveis em altas faixas de frequência.

6.3.3 - Transdutores Eletrodinâmicos

Quando um condutor elétrico, na forma de um solenóide, se move em um campo magnético, produzido por um imã permanente ou por um eletroimã, como mostra a Fig. 6.7, é gerada uma voltagem V neste mesmo condutor, dada por

V D l v (6.12)

onde D é a densidade de fluxo magnético, l é o comprimento do condutor, e v é a velocidade do condutor em relação ao campo magnético. Em virtude da proporcionalidade entre a velocidade relativa entre imã e solenóide e a voltagem de saída, os transdutores eletromagnéticos são freqüentemente utilizados em sensores de velocidade. A eq. (6.12) pode ser escrita na forma

D lV

v

F

I (6.13)

onde F é a força que age sobre o solenóide quando pelo mesmo passa uma corrente I. Desta forma este tipo de transdutor pode também ser utilizado como um excitador de vibrações (a partir de uma corrente elétrica introduzida gera-se uma força mecânica)

E

SSN

N

v

Ei

Enrolamentoprimário

Enrolamentossecundários

Voltagem dealimentação

Deslocamento

EO = Voltagem

de saida

Figura 6.7 - Transdutor eletrodinâmico. Figura 6.8 - LVDT.

6.3.4 - Transformador Diferencial Linear Variável (LVDT)

Os LVDT (Fig. 6.8) são sensores para medição de deslocamento linear. O funcionamento deste sensor é baseado em três bobinas e um núcleo cilíndrico de material ferromagnético de alta permeabilidade. Ele dá como saída um sinal linear, proporcional ao deslocamento do núcleo, que está fixado ou em contato com o que se deseja medir. A bobina central é chamada de primária e as demais são chamadas de secundárias. O núcleo é conectado ao objeto cujo deslocamento deseja-se medir e a movimentação dele em relação às bobinas é o que permite esta medição. Para esta medição, uma corrente alternada é aplicada na bobina primária, fazendo com que uma tensão seja induzida em cada bobina secundária proporcionalmente à indutância mútua com a bobina primária. A freqüência da corrente alternada está geralmente entre 1 e 10 kHz. De acordo com a movimentação do núcleo, esta indutância mútua varia, fazendo com que as tensões nas bobinas secundárias variem também. As bobinas são conectadas em série reversa, com isso a tensão de saída é a diferença entre as duas tensões secundárias. Quando o núcleo está na posição central, equidistante em relação às duas bobinas secundárias, tensões de mesma amplitude porém opostas são induzidas nestas duas bobinas tornando nula a tensão de saída. Quando o núcleo é movimentado em uma direção a tensão em uma das bobinas secundárias aumenta equanto a outra diminui, fazendo com que a tensão aumente de zero até um máximo. Esta tensão está em fase com a tensão primária. Quando o núcleo se move em outra direção, a tensão de saída também aumenta de zero até um máximo, mas sua fase é oposta à fase primária. A amplitude da tensão de saída é proporcional à distância movida pelo núcleo (até o seu limite de curso), sendo por isso a denominação "linear" para o sensor. Assim, a fase da tensão indica a direção do deslocamento. Como o núcleo não entra em contato com o interior do tubo, ele pode mover-se livremente, quase sem atrito, fazendo do LVDT um dispositivo de alta confiabilidade. Além disso, a ausência de contatos deslizantes ou girantes permite que o LVDT esteja completamente selado das condições do ambiente. Os LVDTs disponíveis no mercado abrangem faixas de deslocamento entre 0,0002 cm a 40 cm, o que os torna de ampla aplicabilidade. Estes transdutores não sofrem influência de variações de temperatura, mas têm limitação em altas frequências por possuírem o núcleo magnético.


122

Desde que o núcleo não se mova demasiadamente do centro do enrolamento primário, a voltagem de saída varia linearmente com o deslocamento do núcleo, originando-se o nome de transformador diferencial variável linear.

6.3.5 – Transdutores de correntes parasita (“eddy current”)

Uma corrente parasita (também conhecida como corrente de Foucault) é um fenômeno elétrico descoberto pelo físico francês Léon Foucault em 1851. É produzida quando um condutor é exposto a um campo magnético que varia devido ao movimento relativo da fonte do campo e o condutor, ou variações do campo com o tempo. Isto pode causar uma circulação de elétrons, ou corrente, no corpo do condutor. Estas correntes circulantes induzem campos magnéticos que se opõem à variação do campo magnético original devido à Lei de Lenz, causando forças reativas entre o condutor e o magneto. A intensidade do campo induzido depende da intensidade do campo magnético aplicado, da condutividade elétrica do condutor e da distância entre condutor e campo magnético. A Fig. 6.9a ilustra o princípio de funcionamento destes sensores enquanto que a Fig. 6.9b mostra alguns modelos comerciais.

(a) (b)

Figura 6.9 – Sensores Eddy Current

Como sensores são utilizados para medição de deslocamento sem contato, quando o elemento móvel é construído com material eletricamente condutivo. Uma corrente alternada de alta freqüência flui em uma bobina alojada no sensor. O campo eletromagnético na bobina induz correntes parasitas no material condutivo o que altera a resistência da bobina. Esta mudância na impedância produz um sinal elétrico linear proporcional a distância entre objetivo e sensor.

6.3.6 – Transdutores capacitivos

São medidores que realizam a medição de deslocamento sem contato com o objeto a ser medido. Devido ao “unique active tri-electrode guard-ring-capacitor principle”, sensores capacitivos de deslocamento apresentam comportamento linear para todos os metais. O sensor atua como um eletrodo e o outro eletrodo é o objeto da medição. A técnica de medição permite que a mesma seja realizada em materiais condutores e semicondutores. Estes transdutores são ideais para diversas aplicações industriais quando não é possível realizar medições com contato. A Fig. 6.10a mostra a aplicação na medição sem contato das vibrações de um disco de freio e a Fig. 6.10b mostra alguns modelos.

(a) (b)

Figura 6.10 – Sensores capacitivos

6.4 - Sensores de Vibração (Pickups)

O sensor de vibração é constituído de um mecanismo medidor associado a um transdutor. A Fig. 6.11 apresenta um instrumento sísmico montado em um corpo vibratório. O movimento vibratório é medido achando-se o deslocamento da massa em relação à base na qual é montado.


123

x(t)

y(t)

ck T

m

Figura 6.11 - Instrumento sísmico.

O instrumento consiste de uma massa m, uma mola de rigidez k e um amortecedor de constante de amortecimento c, colocados dentro de uma caixa, que é ligada ao elemento vibratório. Com este arranjo, as extremidades da mola e do amortecedor executarão o mesmo movimento que a caixa (movimento y) e a sua vibração excita a massa dentro da caixa. O movimento da massa em relação à caixa é z = x - y, em que x representa o movimento da massa m. Se o movimento vibratório é harmônico, na forma

y t Y t sen (6.14)

A equação do movimento da massa m pode ser escrita como

mx c x y k x y 0 (6.15)

O movimento relativo é

z x y (6.16)

A equação (6.15) torna-se

mz cz kz my (6.17)

e as equações (6.14) e (6.17) conduzem a

mz cz kz m Y t sen 2 (6.18)

Esta equação é idêntica à eq. 3.66 e a solução de regime permanente é

)(sen tZtz (6.19)

onde Z e são dados por

ZY

k m c

r Y

r r

2

2 2 21

2

2

2 2 21

2

1 2

(6.20)

tan tan1

2

1

2

2

1

c

k m

r

r (6.21)

com rn

e

c

mn

2.

As Figuras 6.12 e 6.13 mostram as curvas correspondentes às equações (6.20) e (6.21), respectivamente. O tipo de instrumento é determinado pela faixa mais adequada de frequências da curva mostrada na Fig. 6.10.


124

Razão de frequências ( r)

0 1

1

2

2

3

3

4

4 5

Faixa do vibrômetroFaixa do

acelerômetro

z = 0,7z = 1,0

z = 0,5

z = 0,25

z = 0

Z/Y

Rel

ação

de

ampl

itud

es

0 1 2 3 4 5

30o

60o

90o

120o

150o

180o

Razão de frequências ( r)

Âng

ulo

de f

ase

( )

= 0

= 0,25

= 0,5

= 0,7

= 1,0

= 1,0

= 0,7

= 0,5

= 0,25

= 0

Figura 6.12 - Resposta de um instrumento sísmico. Figura 6.13 - Ângulo de fase.

6.4.1 - Vibrômetro

Um vibrômetro é um instrumento que mede o deslocamento de um corpo vibratório. A Fig. 6.12 mostra que

ZY 1 para n

3. Nesta faixa de frequências a amplitude do deslocamento relativo entre a massa e a base é igual à

amplitude do deslocamento da base, que é identificado pelo transdutor. Considere-se a eq. (6.20). Para esta faixa de

freqüências, n

3, pode-se escrever

z t Y t sen( ) (6.22)

sendo

r

r r

2

2 2 21

2

1 2

1

(6.23)

Uma comparação da eq. (6.22) com (6.14) mostra que z(t) representa diretamente o deslocamento y(t) com uma defasagem dada por . O deslocamento registrado z(t), então está atrasado t’= em relação ao deslocamento que deve ser medido y(t). Este tempo de atraso não é importante se o deslocamento da base y(t) consiste de um único componente harmônico. Como r = n, deve ser grande e depende da vibração medida, a frequência natural do sistema massa-mola-amortecedor deve ser baixa. Isto implica em que a massa deve ser grande e a mola deve possuir uma rigidez baixa. O instrumento resultante pode ser demasiado grande e pesado.

6.4.2 - Acelerômetro

Um acelerômetro é um instrumento que mede a aceleração de um corpo vibratório (Fig. 6.14). Os acelerômetros são amplamente utilizados em medições de vibrações industriais e terremotos. Uma das vantagens da medição da aceleração é que a velocidade e o deslocamento podem ser obtidos por integração, o que é computacionalmente fácil. A equação (6.19) combinada com (6.20), pode ser escrita na forma

n

z t

r r

Y t2

2 2 21

2

21

1 2

sen (6.24)

Se

1

1 2

12 2 2

12

r r

(6.25)

eq. (6.24) se torna

nz t Y t2 2 sen (6.26)

Como a segunda derivada em relação ao tempo de (6.14) é

seny t Y t 2 (6.27)


125

a amplitude da função harmônica expressa na eq. (6.26) é igual à da eq. (6.27). Então, nestas condições, o deslocamento relativo z(t) expressa a aceleração da base, com o sinal invertido, um atraso que é função do ângulo de fase , e com um fator de escala determinado pela frequência natural ao quadrado.

Anel de pré-cargaElemento

triangular central

Elementopiezoelétrico

Massasísmica

Razão de frequências (r)

1,25

1,00

0,750,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00

1

1 22 2 2 r r

= 1

= 0,7

= 0,5

= 0,25

= 0

Figura 6.14 - Acelerômetros Figura 6.15 - Curvas de linearidade do acelerômetro.

A Fig. 6.15 mostra o gráfico da expressão (6.25). Pode-se observar que a função assume valores entre 0,96 e 1,04 para 0 0 6 r , , se o fator de amortecimento é da ordem de 0,65 a 0,7, produzindo a melhor faixa linear de

funcionamento do instrumento. Como a relação de frequências r é pequena, a frequência natural do instrumento deve ser grande em comparação com a frequência que deve ser medida. Desta maneira os acelerômetros devem possuir massa pequena e grande rigidez, o que permite a construção de instrumentos compactos e resistentes, com alta sensibilidade. Na prática são os melhores instrumentos para se medir vibrações, tendo contra si apenas o custo, que, em virtude da necessidade de se utilizar um elemento piezoelétrico e amplificadores (além da tecnologia construtiva), é maior que o custo de outros instrumentos de construção mais simples.

6.4.3 - Sensor de velocidade

Este sensor mede a velocidade do corpo vibratório. Derivando a eq. (6.14) obtém-se a velocidade do corpo vibratório como

cosy t Y t (6.28)

e a derivada da eq. (6.19), considerando a eq. (6.20), leva a

cosz tr Y

r r

t

2

2 2 21

2

1 2

(6.29)

Se a eq. (6.23) é satisfeita, então (6.29) torna-se

cosz t Y t (6.30)

que, comparada com a eq. (6.28) mostra que a velocidade do movimento relativo é igual à velocidade do movimento da base, com um atraso determinado pelo ângulo de fase. Como nesta situação o valor de r deve ser grande, o instrumento deve possuir uma frequência natural baixa. Os sensores de velocidade são largamente utilizados em medição de vibração na manutenção em indústrias, porque são normalmente de baixo custo por serem de fácil construção (transdutores eletromagnéticos).

6.5 - Medidores de Frequência

Os principais medidores de freqüência utilizados em Engenharia Mecânica são os tacômetros e os estroboscópios. O tacômetro, ou taquímetro, mede o número de rotações de um elemento rotativo (geralmente RPM). Na linguagem automobilista é conhecido como conta-giros. Nas aplicações automobilísticas o tacômetro é normalmente analógico, como ilustra a Fig. 6.16a. Já nas aplicações em plantas industriais são utilizados principalmente tacômetros digitais semelhantes ao mostrado na Fig. 6.16b. Os tacômetros também podem ser óticos, para medição sem contato ou de contato. São auxiliares preciosos na análise de vibrações e estão disponíveis em diversas variedades de tecnologia e preço


126

(a) (b) Figura 6.16 – Tacômetros analógico e digital.

6.5.1 – Tacômetros

Um tacômetro é um transdutor que converte a velocidade angular em um sinal elétrico. O objeto cuja velocidade angular se pretenda conhecer é diretamente acoplado ao rotor de um gerador de corrente continua, que roda em torno dos pólos de uma armadura de um imã permanente (estator).

O funcionamento do tacômetro digital baseia-se na conversão da média de pulsos de entrada, fornecidas por um sensor durante o tempo de amostragem, em um valor legivel no display do aparelho. Os sensores podem ser do tipo óptico, indutivo, magnético, entre outros.

Como os tacômetros mecânicos constituem uma tecnologia ultrapassada, apresentam-se aqui vários princípios de funcionamento de tacômetros elétricos. Os tacômetros elétricos empregam um transdutor que produz um sinal analógico ou digital como conversão da velocidade de rotação do eixo da máquina. Um sistema eletrônico de medição básico tem quatro componentes essenciais:

1. Transdutor que converte a grandeza medida (velocidade de rotação) num sinal elétrico; 2. Condicionador de sinal que transforma a saída do transdutor em um tipo de sinal elétrico aceito pelo

leitor (display); 3. Leitor (ou display) que mostra a informação desejada a respeito da grandeza; 4. Sistema de alimentação de potencia que fornece as voltagens necessárias ao condicionador de sinal e a

alguns tipos de transdutores e leitores. Existem vários tipos de tacômetros elétricos, de acordo com os transdutores utilizados: a) Tacômetro de Correntes Parasitas. O eixo em rotação faz girar um ímã dentro de um anel de alumínio. O

giro do ímã induz correntes parasitas no alumínio originando um torque resistente proporcional à velocidade. Uma mola, que exerce uma força contrária, equilibra a torque atuante e a posição é mostrada em um dial (mostrador com ponteiro). É deste modo que funciona o tacômetro elétrico empregado em um automóvel (conta giros), por exemplo.

b) Tacômetro de Corrente Alternada. Consiste em um estator bobinado multipolar em que um rotor dotado de um ímã permanente induz uma corrente alternada. Um voltímetro mede a corrente induzida, e, portanto, a rotação a ser medida.

c) Tacômetro de Corrente Contínua. Consiste em um estator de ímã permanente e um rotor com um entreferro uniforme. A tensão (corrente contínua) recolhida através das escovas do rotor é proporcional à velocidade de rotação a ser medida. Essa tensão pode ser lida em um voltímetro indicador, ou ainda alimentar um potenciômetro através de uma resistência divisora de tensão. A precisão na medida alcança + 0.5 % para velocidades que chegam até a 6000 r.p.m.

d) Tacômetro de Frequência. Também chamado frequencímetro, mede a frequência da corrente alternada captada por transdutores eletromagnéticos, capacitivos ou ópticos que produzem impulsos cujo número é proporcional à velocidade de rotação a ser medida. O transdutor não tem nenhum contato mecânico com o eixo rotativo.

f) Tacômetro pulsátil magnético (digital). É constituído de uma bobina, dentro da qual gira um eixo marcado com interrupções radiais. Um sensor indica a interrupção de um ciclo quando uma depressão do eixo passa por ele, gerando ondas quadradas de 5V DC.

g) Tacômetros eletro-óticos. A velocidade angular é muitas vezes medida por sensores fotoelétricos que usam tanto o método de transmissão quanto de reflexão. O método da transmissão utiliza um encoder angular incremental com um padrão de codificação continuo (360º) e tem como saída uma onda quadrada ou senoidal. O método da reflexão é usado numa grande variedade de sistemas sensores de velocidade angular. A cabeça do sensor tem uma fonte luminosa que emite um feixe colimador na direção de uma porção reflexiva do objeto rotor e um sensor de luz que detecta um pulso luminoso sempre que o feixe é refletido de volta (a maioria dos objetos rotores pode requerer um pedaço de fita reflexiva colada em algum ponto). A saída do sensor de luz é uma contagem de revoluções que pode ser facilmente convertida em RPM, tanto por integração para produzir um sinal analógico quanto por comparação com pulsos gerados por relógio, a fim de ter-se um sinal digital como saída.


127

h) Tacômetro de relutância variável. Produz pulsos proporcionais à velocidade. Estes pulsos são amplificados e retificados. É utilizado para velocidades entre 10000 e 50000 rpm.

i) Tacômetro pulsátil óptico (digital). Usam microprocessadores para converter medidas de um sensor óptico em medidas de velocidade. Uma variedade interessante é o tacômetro estroboscópico. Um circuito gera a interrupção da luz a taxas muito elevadas e estas podem ser ajustadas para uma velocidade fixa, eliminando harmônicos e sub harmônicos que podem confundir as medições.

j) Tacômetros fotoelétricos. São usados para medições de até 3 milhões de rpm. A parte móvel que se deseja estudar é concebida de modo a conter partes reflexivas e absorventes. A interrupção da luz refletida provoca a geração de um impulso por meio de uma célula fotoelétrica. Estes impulsos são interpretados por um medidor de freqüência que gera ondas quadradas. Estas ondas são levadas a um circuito discriminatório que proporciona a medição da velocidade.

k) Tacômetro ótico a laser. O princípio de funcionamento do tacômetro ótico é baseado na emissão de um facho luminoso (laser), que ao ser refletido pelo objeto em rotação é detectado e contado a quantidade de reflexos por segundo. Tacômetro digital eletrônico de baixo custo utilizado para medição de rotação. Pode ser utilizado como um tacômetro óptico ou como um tacômetro de contato permitindo a medição de rpm nas mais diversas aplicações. Quando operado como tacômetro de contato, permite o uso como medidor de velocidade linear (metros/segundo) . No modo fototacômetro possui uma mira laser que pode ser usada com precisão até 100 cm de distância do ponto de medição de rotação. Por ser um instrumento de última geração dispõe de um indicador de cristal líquido de grande tamanho facilitando a leitura das medições. Este instrumento também dispõe de memória de máximo e mínimo.

6.5.2 - Estroboscópio

Um método largamente utilizado para a medição de velocidade angular de sistemas rotativos é o "congelamento do movimento", através do emprego do estroboscópio. Um estroboscópio é um instrumento que produz pulsos luminosos (flashes) intermitentes de alta intensidade que são dirigidos para o elemento em rotação. A frequência com que a luz pulsa (número de flashes por minuto) pode ser ajustada e lida no instrumento. Esse ajuste é feito até que o elemento rotativo pareça estar parado, o que ocorre quando um flash de luz é emitido a cada rotação completa do objeto. O número de flashes por minuto, correspondente ao número de rotações por minuto pode ser mostrado num display no próprio estroboscópio ou transmitido a outro instrumento. O estroboscópio é especialmente indicado para corpos rotativos pois não é necessário o contato do instrumento com o elemento vibratório. Devido à persistência da visão, e menor frequência que pode ser medida com um estroboscópio é de aproximadamente 15 Hz. A Fig. 6.17 mostra alguns modelos típicos de estroboscópios.

Figura 6.17 – Estroboscópios digitais.

6.6 - Excitadores de Vibrações

Conhecidos em laboratórios como shakers, ou mais popularmente como vibradores, são, normalmente, transdutores que funcionam na forma inversa dos medidores: transformam uma grandeza elétrica em uma grandeza mecânica. São utilizados para provocar a vibração com amplitude e frequência controladas em um sistema, e com isto, determinar características dinâmicas dos mesmos sistemas e realizar testes de fadiga em materiais. Podem ser mecânicos, eletromagnéticos, eletrodinâmicos ou hidráulicos.

Excitador Eletrodinâmico

O excitador eletrodinâmico, cujo esquema é mostrado na Fig. 6.18, funciona de forma inversa ao transdutor eletrodinâmico. Quando a corrente elétrica passa em um enrolamento de comprimento l, imerso em um campo magnético, é gerada uma força F, proporcional à corrente I e à intensidade de fluxo magnético D, acelerando a base do excitador.

F DIl (6.31)


128

Mesaexcitadora

Suporteflexível

Elementomóvel

Solenóide Imã

(a)

AceleraçãoFrequência natural do

suporte flexívelFrequência natural do

elemento móvel

Aceleraçãoconstante

Faixa de operação

Frequência

(b)

Figura 6.18 - Excitador eletrodinâmico e características. O campo magnético é produzido por um imã permanente em excitadores pequenos e por um eletroimã em

grandes excitadores. A magnitude da aceleração da mesa depende da corrente máxima e das massas da mesa e do elemento móvel do excitador. Se a corrente que passa no enrolamento varia harmonicamente (corrente alternada), a força produzida também varia harmonicamente. Por outro lado, se for utilizada uma corrente contínua, será gerada uma força constante.

Como o enrolamento e o elemento móvel devem executar um movimento linear, devem ser suspensos por um suporte flexível (com uma rigidez pequena), como mostra a Fig. 6.18. Então o excitador eletromagnético possui duas frequências naturais: uma correspondente à frequência natural do suporte flexível e a outra correspondente à frequência natural do elemento móvel, que pode ser tornada bastante grande. Estas duas frequências de ressonância são mostradas na Fig. 5.18b. A faixa de frequências de operação do excitador deve ficar entre estas duas frequências de ressonância.

Os excitadores eletrodinâmicos são usados para gerar forças até 250 kN, amplas faixas de deslocamentos e frequências. A Fig. 6.19 mostra uma foto de um excitador eletrodinâmico disponível comercialmente.

Figura 6.19 - Excitador eletrodinâmico. As Figuras 6.20 a 6.27 mostram várias aplicações de excitadores eletrodinâmicos. As legendas das figuras

explicam as aplicações.


129

Figura 6.20 – Componentes de um sistema de freio de uma locomotiva sendo testados em um shaker Unholtz-Dickie Modelo S802 com mesa deslizante. Testes de vibrações em componentes melhoram a qualidade do produto, reduzindo custos de serviços e garantias.

Figura 6.21 – Motor de jato aéreo sendo testado em um laboratório de um fabricante de motores. Centenas de sensores são colocados em posições críiticas nos componentes externos do motor para monitorar tensões ou vibrações excessivas.

Figura 6.22 – A cauda de um míssil inteligente sendo testado com um shaker Unholtz-Dickie Induct-A-Ring T2000. Para melhor fixação em virtude da posição do CG muito alta, foram colocados 4 mancais.

Figura 6.23 – Teste de transporte de um aparelho de TV de grandes dimensões com expansão da mesa. A simulação das condições de transporte tem sido uma tarefa crítica do processo de teste resultando em acréscimo na confiabilidade e diminuição de devolução de produtos. O teste de estruturas grandes e pesadas coloca novos desafios aos engenheiros de teste. Diversos aspectos novos devem ser considerados para selecionar o modo adequado de testar. Plataformas de expansão são disponíveis para testaar grandes estruturas. A maior parte da energia presente durante o transporte de um produto em caminhões, trens, navios ou aviões está abaixo de 200 Hz. Amplitudes de vibrações aleatórias típicas podem atingir 3-4 grms. Shaker eletrodinâmicos ee sistemas de controle digital da UD são ideais para reproduzir estes tipos de ambientes de forma precisa e eficiente.


130

Figura 6.24 – Componente de uma moto sendo testado em condições reais. O shaker pode ser controlado para reproduzir os perfis reais de vibração medidos em uma moto real.

Figura 6.25 – Um sistema com capacidade de 5 kN com uma cabeça de expansão de 60 x 60 polegadas, sendo usado por uma empresa para testar um satélite em ambiente com temperatura controlada. Os engenheiros estão realizando um teste de vibração harmônica para exitar ressonâncias no satélite que podem ser visíveis através de um luz estroboscópio.

Figura 6.26 – Quatro shakers são combinados para testar um container para transporte de míssie. Todos os chaker utilizam grandes cabeças de expansão para aumentar as superfícies de contato.

Figura 6.27 – Modelo de shaker para testes de embalagens.

Unidade 7 – Análise e Diagnóstico de Vibrações

129

Unidade 7 - Análise e Diagnóstico de Vibrações

7.1 - Introdução

A análise da vibração consiste em identificar características do sinal vibratório que possam ser utilizadas para conhecimento das características do sistema. A análise direta da vibração no tempo, normalmente, não apresenta muita informação útil. É necessária que ela seja processada adequadamente para que as suas características sejam identificadas. A resposta em frequência (conseguida através da transformada de Fourier) mostra as frequências em que a energia vibratória se concentra. A Fig. 7.1 mostra um registro no tempo de uma medição realizada pelo software LabView da National Instruments. Apesar de bastante simples, a análise direta do sinal no tempo apresenta algumas dificuldades. O espectro de potência (Power spectrum) mostrado abaixo, entretanto, apresenta uma clara predominância de uma determinada faixa de frequências em relação às demais. Isto torna-se extremamente útil para identificar as possíveis causas da vibração.

Figura 7.1 - Registro da vibração e seu espectro (Transformada de Fourier) (LabView, National Instruments).

Uma das possíveis aplicações está no diagnóstico de problemas em máquinas. Uma vez identificado um nível vibratório alto, o principal problema é identificar a origem da vibração. Isto é feito, normalmente utilizando-se um processo de eliminação de causas. A maior amplitude de vibração está normalmente próxima à parte da máquina onde se localiza o problema. Se um estudo inicial nas medições revela que amplitudes dominantes ocorrem em uma determinada frequência, é provável que o problema esteja ocorrendo na região da máquina em que algum elemento opera com esta determinada frequência e as amplitudes medidas são maiores. A análise da vibração é o processo em que são identificados as causas da vibração através da medição adequada dos níveis vibratórios.

7.2 - Análise Modal

Qualquer resposta dinâmica de uma máquina ou estrutura pode ser obtida por superposição de seus modos naturais (ou normais) de vibração quando as amplitudes do sistema são pequenas (regime linear). Uma descrição dinâmica completa da máquina ou estrutura requer a determinação das freqüências naturais, formas modais, e parâmetros do sistema (massas, rigidezes, e constantes de amortecimento equivalentes). A função de resposta em freqüência cumpre um papel importante na análise modal. Ela é determinada experimentalmente e então analisada para determinação das freqüências naturais, formas modais, e parâmetros do sistema (que podem ser usados, também, para predição das respostas às várias excitações ou para melhorar o comportamento


130

dinâmico do sistema através de modificações em projeto). Na análise modal , assume-se que o sistema é linear e os parâmetros são invariantes com o tempo.

7.2.1 - Tipos de Funções Excitadoras

Os seguintes tipos de funções excitadoras podem ser usadas para determinar a função de resposta em freqüência de uma estrutura:

a) Excitação harmônica de regime permanente O sistema é excitado harmonicamente em uma freqüência constante e a resposta é medida. Este procedimento é repetido em várias freqüências para se obter uma função discreta de resposta em freqüência. Como o procedimento tem que ser repetido várias vezes, consome muito tempo e é pouco utilisado. Entretanto, em situações em que se espera que ocorram poucas freqüências dominantes, o método é bastante útil.

b) Excitação de regime quase-permanente Este método envolve uma pequena varredura em freqüência e se tornou popular por causa da disponibilidade de equipamentos de análise da função transferência. Uma força senoidal é aplicada através de uma varredura de freqüências na faixa de interesse. A varredura deve ser suficientemente lenta para permitir a medição da resposta do sistema nas freqüências previamente selecionadas.

c) Excitação transiente Neste método, a função de resposta em freqüência é calculada por transformadas de Fourier dos registros temporais da excitação e da resposta. A aplicação de um impulso produz uma resposta transiente que contém a maioria das freqüências naturais (aquelas que foram excitadas) do sistema. Computadores digitais e analisadores em tempo real permitem o cálculo on-line da resposta do sistema.

d) Excitação aleatória contínua Este método é bastante utilizado por simular melhor o ambiente real. Na excitação harmônica somente uma única ressonância será excitada por vez e não serão detectadas as interações entre as ressonâncias. A excitação aleatória, por sua vez, atua em todas as ressonâncias ao mesmo tempo. O ruído branco é um sinal com conteúdo uniforme de freqüências que pode ser utilizada na alimentação de um excitador.

7.2.2 - Representação dos Dados de Resposta em Freqüência

Os dados da resposta em freqüência podem ser representados para obter gráficos de: a) Módulo e ângulo de fase em função da freqüência; b) Componentes real e imaginária da resposta em função da freqüência, e c) Diagrama vetorial da componente real versus a componente imaginária da resposta. Como o método do modo normal permite a representação de um sistema de n graus de liberdade como n sistemas

simples de um grau de liberdade, pode-se considerar o sistema de um grau de liberdade mostrado na Figura 7.2.

k

m

c

F(t)= F0eiw t

Figura 7.2 - Sistema de um grau de liberdade.

Conforma já foi visto na Unidade 3, a equação do movimento do sistema quando submetido à excitação harmônica

tieFtF

0 , é dada por

tieFkxxcxm

0 (7.1)

Assumindo uma solução harmônica

tiXetx (7.2)

a amplitude da resposta pode ser obtida como


131

rirk

F

k

ci

k

F

k

FHX

n

21

1

1

12

0

2

00 (7.3)

onde m

kn ,

n

r , r

kc 2 , e é o fator de amortecimento viscoso. A amplitude da resposta pode ser

expressa como

IRMM

i

MiXXiXXeXX sencos (7.4)

onde XM, XR e XI são o módulo, parte real e pare imaginária da resposta, respectivamente, dados por

222

2

0

21

1

rr

r

k

FX

R

(7.5)

222

0

21

2

rr

r

k

FX

I

(7.6)

222

022

21

1

rrk

FXXX IRM

(7.7)

O ângulo de fase pode ser obtido por

21

2tan

r

r

X

X

R

I (7.8)

7.2.2.1 - Gráficos de Módulo e Ângulo de Fase

As variações dos módulos e dos ângulos de fase com a freqüência são mostrados nas Figuras 7.3a e 7.3b. Se 1 e 2

são as freqüências em que a amplitude é 2

rMX (pontos de meia potência) onde XM r é a amplitude de ressonância (valor de

XM quando r = 1), o fator de amortecimento pode ser encontrado como (ver seção 3.4.2):

nn

2412

2

2

1

2

2

(7.9)

XM

XMr

XMr

/20.5

F0/k

1 2n

n

180o

90o

0o

(a) (b) Figura 7.3 - Gráficos de módulo e ângulo de fase.


132

Em testes experimentais, a freqüência correspondente à amplitude de pico é identificada como n. A amplitude de pico (XM r) resulta

k

FX

rM

0

2

1

(7.10)

A identificação dos pontos de meia potência permite o uso da equação 7.9. As equações 7.9 e 7.10, junto com a

relação m

kn , produzem os valores de m, k, e c do sistema.

7.2.2.2 - Gráficos das Componentes Real e Imaginária da Resposta

As variações de XR e XI em função da freqüência, dadas pelas equações 7.5 e 7.6, são mostradas nas figuras 7.4a e 7.4b. A ressonância pode ser identificada como o valor de w para o qual XR é igual a zero ou XI é máximo. Os pontos de meia

potência correspondem a maxRX e, portanto, a equação 7.9 pode ser usada.

n

2

1

A

C

B

20

21

1

k

F

4

10

k

F

n2

A

C

1

B

4

10

k

F

XR

XI

0

0

4

10

k

F

2

10

k

F

Figura 7.4 - Gráficos de componentes real e imaginária da resposta.

n

2,C B,

1

= 00

A

XR

XI

2

10

k

F

= 0

XM

Figura 7.5 - Diagrama vetorial.

7.2.2.3 - Diagrama Vetorial

A freqüência pode ser eliminada das equações 7.5 e 7.6, obtendo-se a equação

2

02

2

0

4

1

4

1

rk

FX

rk

FX

RI (7.11)

Esta equação é a equação de um círculo, mostrado na Figura 7.5. A condição de ressonância pode ser identificada no ponto A. Os pontos de meia potência correspondem aos pontos B e C.


133

7.3 - Diagnóstico de Máquinas por Análise de Vibração

O diagnóstico de problemas em máquinas é um processo de identificação das causas do movimento vibratório através da análise da vibração. É importante, portanto o conhecimento das principais características provocadas por um conjunto de causas mais freqüentes. A Tab. 7.1 mostra uma relação de algumas causas freqüentes (seria impossível relacionar todas as causas possíveis) e a características principais no domínio da freqüência. A experiência pessoal será fundamental para o analista anexar a esta lista novas causas e características às que estão aqui apresentadas. Uma boa revisão do tema é encontrada no artigo "The Current State of Vibroacoustical Machine Diagnostics" de Natalia A. Barkova, Vibroacoustical Systems and Technologies (VAST, Inc.), São Petersburgo, Rússia, 1998.

Causa Amplitude Freqüência Fase Considerações

Desbalanceamento Proporcional ao desbalanceamento. Maior na direção radial.

1X RPM Referência simples. Marca estável e repetitiva.

Causa mais comum de vibrações.

Desalinhamento ou empenamento

Maior na direção axial (50% acima da radial).

1X RPM normal 2X RPM algumas vezes

Referência simples, dupla ou tripla.

Melhor identificada pela grande amplitude axial.

Mancais excêntricos Normalmente não muito grande.

1X RPM Marca simples. Se em engrenagens, a maior vibração ocorre na linha de centros das engrenagens. Se em motores ou geradores, desaparece quando a potência é desligada. Se em bombas ou ventiladores, tente balancear.

Mancais anti-fricção em mau estado.

Inconstante - medir velocidade e aceleração.

Muito alta - várias vezes a RPM

Marcas múltiplas erráticas. O mancal responsável é o que está mais próximo da maior vibração de alta freqüência.

Engrenagens com defeito ou ruído.

Baixa - medir velocidade e aceleração.

Muito alta - número de dentes X RPM

Errática - marcas múltiplas.

Recomenda-se a análise de frequências de ordem alta.

Elementos mecânicos soltos.

Errática algumas vezes. 2X RPM Duas marcas levemente erráticas.

Normalmente acompanhado de desbalanceamento e/ou desalinhamento.

Correias em mau estado. Errática ou pulsante. 1,2,3,4X RPM da correia. Uma ou duas marcas, dependendo da frequência. Normalmente inconstante.

Lâmpada estroboscópica é a melhor ferramenta para congelar a correia com problema.

Elétrica. Desaparece quando a potência é desligada.

1X RPM ou 1,2X a frequência síncrona (da rede, aqui 60 Hz).

Marcas simples ou duplas rotativas.

Se a vibração desaparece instantaneamente quando a máquina é desligada a causa é elétrica. Problemas mecânicos e elétricos produzem batimentos.

Forças aerodinâmicas ou hidráulicas.

Pode ser grande na direção axial.

1X RPM ou no de pás X RPM

Marcas múltiplas Rara causa de problemas exceto quando ocorre ressonância.

Forças alternativas. Maior em linha com o movimento.

1,2 ou mais X RPM Marcar múltiplas. Em máquinas alternativas só pode ser reduzida por alteração de projeto ou isolamento.

Tabela 7.1 - Principais causas e características da vibração.

7.3.1 - Desbalanceamento

O desbalanceamento é uma das causas mais comuns de vibrações em máquinas. Na maioria das vezes as principais características da vibração medida são:

1. A frequência da vibração coincide com a rotação do elemento desbalanceado; 2. A amplitude é proporcional à quantidade do desbalanceamento (tende sempre a crescer com o passar do

tempo); 3. A amplitude de vibração é normalmente maior nas direções radiais (transversais ao eixo de rotação). 4. As leituras de fase permanecem estáveis.


134

5. A fase muda 90o quando o sensor é deslocado 90o. Estes indícios de desbalanceamento devem ser considerados com cuidado e bom senso. O balanceamento não é a única causa de vibrações que ocorrem na frequência de rotação. Um outro ponto a considerar é que o desbalanceamento em rotores verticais (turbinas hidráulicas, por exemplo) freqüentemente apresenta grandes amplitudes também na direção axial. Outras máquinas (turbinas a vapor e a gás, compressores rotativos, por exemplo) também podem apresentar grandes amplitudes axiais quando desbalanceamento devido a reações por impulsos. Portanto não se pode eliminar o desbalanceamento como uma possível causa de vibrações quando ocorre vibração axial. O desbalanceamento será abordado com mais detalhe na Unidade 8, onde serão apresentados métodos de balanceamento.

7.3.2 - Desalinhamento e Empenamento.

O desalinhamento é quase tão comum como o desbalanceamento. Apesar do uso de mancais auto-compesadores ou acoplamentos flexíveis é muito difícil alinhar dois eixos e seus mancais de forma que não atuem forças que causem vibrações. Existem três tipos básicos de desalinhamento: paralelo, angular e combinado. O eixo empenado (fletido) vibra com características semelhantes ao desalinhamento angular, de forma que também está incluído nesta seção. Na maioria das vezes, a análise de vibração originada por desalinhamento ou empenamento apresenta:

1. A frequência da vibração é normalmente 1X RPM. Se o desalinhamento for severo surgem também em 2X RPM e 3X RPM.

2. A amplitude é proporcional à quantidade de desalinhamento. 3. A amplitude de vibração pode ser alta na direção axial bem como na radial. O desalinhamento, mesmo com

acoplamentos flexíveis, produz forças axiais e radiais que, por sua vez produzem vibrações radiais e axiais. Sempre que a amplitude da vibração axial for maior que a metade da maior amplitude radial, deve-se suspeitar de desalinhamento ou empenamento.

4. As leituras de fase são instáveis.

Desalinhamento Angular - o desalinhamento angular, indicado na Fig. 7.6, submete os eixos a vibração axial na frequência 1X RPM.

Figura 7.6 - Desalinhamento angular.

Desalinhamento Paralelo - o desalinhamento paralelo, ilustrado na Fig. 7.7, produz uma vibração radial em uma frequência de 2X RPM.

Movimentolateral

Figura 7.7 - Desalinhamento paralelo.

Desalinhamento Combinado - no desalinhamento combinado, apresentado na Fig. 7.8, além da vibração predominante acontecer na direção axial em 1X RPM, ocorre uma vibração significativa em 2X RPM nesta direção.


135

Figura 7.8 - Desalinhamento combinado.

Não é apenas quando existe acoplamento que ocorre desalinhamento. Um mancal de rolamento pode estar desalinhado como mostra a Fig. 7.9, causando uma significativa vibração axial. Este problema deve ser corrigido com a montagem correta do mancal.

Figura 7.9 - Mancal de rolamento. Figura 7.10 - Mancal de deslizamento.

Um mancal de deslizamento também pode apresentar desalinhamento, como mostra a Fig. 7.10. Neste caso não ocorrem vibrações significativas, a não ser que também exista desbalanceamento. O desbalanceamento provoca grande vibração radial que, por sua vez, com o empenamento produz componentes axiais significativas.

Outra condição de desalinhamento que produz vibração axial alta é o desalinhamento de polias (ou sistema coroa-pinhão) em transmissão por correias ou correntes. A Fig. 7.11 ilustra este caso. Estas condições não apenas resultarão em vibrações destrutivas como também provocam desgaste acelerado de polias, coroas, correias e correntes.

Figura 7.11 - Desalinhamento de polias.

7.3.3 - Excentricidade

A excentricidade é outra causa comum de vibrações em máquinas rotativas. O significado de excentricidade aqui é diferente do desbalanceamento. Aqui o centro de rotação difere do centro geométrico, mesmo com a peça balanceada. A Fig. 7.12 ilustra alguns tipos comuns de excentricidade.


136

(a) Polia excêntrica (b) Rolamento excêntrico

(c) Armadura excêntrica demotor elétrico

(d) Engrenagem excêntrica

Figura 7.12 - Tipos de excentricidade.

Os sintomas da excentricidade são idênticos aos do desbalanceamento. Em alguns casos a excentricidade pode ser reduzida através de balanceamento mas, em geral, os resultados não são bons. Normalmente o problema só é corrigido através da montagem correta dos elementos envolvidos. A excentricidade pode produzir forças de reação de natureza não centrífuga. Na correia em V, da Fig. 7.12(a) a excentricidade provoca variação nas direções das tensões na correia. Neste caso, a maior amplitude de vibração ocorre na direção do ramo tensionado da correia em frequência igual a 1X RPM da polia excêntrica. Na Fig. 7.12(c) a excentricidade varia com a interação magnética entre a armadura e os pólos do motor elétrico, criando uma vibração na frequência 1X RPM entre armadura e estator. O aumento da carga pode resultar em um aumento da amplitude de vibração. Em todos os casos os sintomas são os mesmos do desbalanceamento. Uma forma de diferenciar desbalanceamento de excentricidade neste tipo de motor é medir a amplitude de vibração do motor quando em funcionamento normal. A seguir desliga-se o mesmo e observa-se a mudança da amplitude de vibração: se a amplitude decresce gradualmente o problema deve ser desbalanceamento; se a amplitude desaparece imediatamente, o problema é causado pela armadura excêntrica. Nas engrenagens excêntricas da Fig. 7.12(d) a maior amplitude de vibração ocorre na direção da linha de centros das engrenagens na frequência 1X RPM da engrenagem excêntrica. Rotores excêntricos de ventiladores, bombas e compressores também podem gerar forças vibratórias. Nesses casos, as forças resultam da atuação desigual de força aerodinâmicas e hidráulicas sobre o rotor. Os sintomas também são os mesmos do desbalanceamento. Não há forma de distinguir. O procedimento é realizar o balanceamento e, se as amplitudes não forem reduzidas significativamente, inspecionar a máquina na busca de desgastes, danos ou excentricidade nos mancais.

7.3.4 - Mancais de rolamento defeituosos

Defeitos em guias, esferas ou roletes em mancais de rolamento causam vibrações de alta frequência. Nestes casos, a frequência não é, necessariamente, um múltiplo inteiro da velocidade de rotação do eixo. Possíveis movimentos de roçamento ou deslizamento de esferas ou roletes podem gerar vibrações em frequências mais diretamente relacionadas com os processos de roçamentos ou impactos. Normalmente as amplitudes de vibração dependem da extensão do problema existente, mas os possíveis impactos podem excitar também frequências naturais, o que deve ser adequadamente verificado. As altas frequências naturais, normalmente excitadas nestes casos, estão associadas a componentes estruturais da máquina, e ocorrem, tipicamente, acima de 166 Hz (10000 CPM). Em alguns casos, podem ser geradas vibrações em frequências naturais associadas à geometria dos mancais.

Normalmente a degradação dos rolamentos ocorre de forma lenta e progressiva, sendo originalmente causados por pequenos defeitos como pistas, roletes ou esferas arranhados, arrancamento pontual de material, trincas, contaminação do lubrificante, corrosão ou erosão.

Frequências dos problemas em rolamentos

As freqüências características dos problemas em rolamentos não são múltiplas inteiras da rotação do eixo (não síncronas). Estas freqüências estão relacionadas com os componentes que constituem o rolamento:

1. Frequência de passagem dos elementos rolantes (rolos ou esferas) na pista interna (Ball Pass Frequency Inner Race – BPFI);


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cos1

2 D

dnffBPFI ei (7.12)

Onde: fi = freqüência de rotação da pista interna; fe = freqüência de rotação da pista externa; n = número de elementos rolantes (roletes ou esferas); d = diâmetro dos elementos rolantes; D = diâmetro primitivo do rolamento; = ângulo de contato.

2. Frequência de passagem dos elementos rolantes na pista externa (Ball Pass Frequency Outer Race – BPFO);

cos1

2 D

dnffBPFO ei (7.13)

3. Frequência de giro dos elementos rolantes (Ball Spin Frequency – BSF);

2

cos12

D

d

d

DffBSF ei (7.14)

4. Frequência de giro da gaiola ou do conjunto dos elementos rolantes (Fundamental Train Frequency – FTF).

iaestacionár externa pista para cos1

2

iaestacionár interna pista para cos12

D

dffFTF

D

dffFTF

ei

ei

(7.15)

Estas frequências só estarão presentes nos espectros de vibração quando os elementos a que estiverem associados estiverem defeituosos ou sujeitos a tensões e deformações excessivas que poderão induzir uma falha. A Fig. 7.13 mostra o resultado de uma análise realizada em uma máquina com mancais de rolamento defeituosos. São observadas várias vibrações em altas frequências (faixa acima de 20000 CPM ou 333 Hz, com a máquina operando em 1800 CPM ou 30 Hz). Estas vibrações são resultado da excitação de frequências naturais do mancal ou outras partes estruturais associadas. Um outro detalhe é que, normalmente, as vibrações nos mancais não são transmitidas a outros pontos da máquina, de forma que os sinais estarão presentes apenas em medições realizadas próximas ao mancal defeituoso.


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Figura 7.13 - Máquina com mancais de rolamento defeituosos.

Causas comuns de falhas em mancais de rolamento

Os rolamentos estão entre os elementos de máquinas mais cuidadosamente construídos disponíveis. Mancais de rolamento normalmente não falham, a não ser que forças geradas por outros problemas sejam responsáveis pela falha. Freqüentemente estas forças também são responsáveis pelas vibrações. Desta maneira, mesmo quando a análise da vibração apresenta sintomas de que existem problemas nos mancais, não se deve eliminar a possibilidade de que a causa primária da vibração seja outra. As principais causas de falhas em mancais de rolamento normalmente são originadas por:

1. Rolamentos mal selecionados ou com defeitos de fabricação; 2. Armazenagem inadequada dos rolamentos; 3. Rolamento atuando com sobrecarga; 4. Mancais desalinhados; 5. Alojamento dos mancais defeituosos; 6. Montagem incorreta; 7. Ajuste incorreto; 8. Lubrificação imprópria ou inadequada. 9. Falhas na vedação. 10. Passagem de correntes elétricas através dos mancais.

Outras causas de sintomas em rolamentos

Desalinhamento severo em máquinas equipadas com rolamentos podem, algumas vezes produzir vibrações de alta frequência (12600 cpm) nos mancais que não se devem a problemas nos rolamentos. Um caso ilustra isto: detectou-se uma vibração em alta frequência no mancal inferior de um motor de acionamento de uma bomba vertical, operando a 900 rpm. A vibração observada ocorre, portanto em uma frequência igual a 14 vezes a frequência de operação (número de esferas do rolamento). A amplitude máxima foi observada na direção axial. A vibração em alta frequência indica um problema no rolamento, e, como a amplitude era muito alta, requeria imediata correção. Foi então substituído o rolamento sem que a amplitude de vibração se alterasse significativamente. Nova investigação mostrou que a montagem do flange que liga o motor à bomba foi distorcida por um aperto irregular dos parafusos. Com a correção deste problema desapareceu a componente da vibração de alta frequência. O fato da frequência associada ao problema ser igual a 14 vezes a frequência de operação e este ser o número de esferas do rolamento foi apenas uma infeliz coincidência no caso.

7.3.5 - Problemas em Mancais de Deslizamento

Os altos níveis vibratórios devidos a problemas em mancais de deslizamento são resultado, geralmente, de folgas excessivas (desgaste ou erosão química), partes soltas, ou problemas de lubrificação.

Folga Excessiva

A folga excessiva provoca desbalanceamento, desalinhamento, afrouxamento e batidas.

Precessão com lubrificação (Oil whirl)

A precessão com lubrificação ocorre apenas em mancais de deslizamento lubrificados sob pressão e quando operam a altas velocidades, normalmente superiores à segunda velocidade critica do rotor.


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Figura 7.14 - Mancal de deslizamento com precessão com lubrificação (oil whirl).

O mecanismo da precessão é ilustrado na Fig. 7.14. Sob condições normais de operação, o eixo se elevará ligeiramente pela lateral do mancal. Esta elevação depende da velocidade de rotação, peso do rotor e pressão do óleo. O eixo, desta forma, opera em uma posição excêntrica em relação ao centro do mancal e arrasta o óleo formando uma espécie de cunha líquida pressurizada do outro lado. Se esta excentricidade é momentaneamente aumentada devido, por exemplo, a uma onda repentina, uma carga de impacto externa, ou outra condição transitória, uma quantidade adicional de óleo é imediatamente bombeada no espaço deixado vago pelo eixo. O resultado é um aumento na pressão do filme de óleo em contato com o eixo. A força adicional desenvolvida pode produzir um movimento circular do eixo no interior do mancal. Se o amortecimento do sistema for suficientemente grande o eixo retorna à sua posição de equilíbrio no mancal; se o amortecimento for baixo, o eixo continua com este movimento de precessão (whirl). A vibração resultante é freqüentemente muito severa, mas facilmente reconhecida por sua frequência incomum. Esta frequência é levemente menor que a metade da velocidade de rotação do eixo (geralmente 46% a 48%). A Fig. 7.15 apresenta uma análise de uma máquina com sintomas de oil whirl.

Figura 7.15 - Análise de uma máquina com sintomas de oil whirl.


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Como a frequência dominante é menor que a metade da velocidade de rotação (ou da frequência síncrona), se o eixo for observado com uma luz estroboscópica a marca não aparecerá fixa e sim girando. O problema do oil whirl é normalmente atribuído a um projeto inadequado do mancal, algumas vezes por superestimar o carregamento real do eixo. Entretanto, algumas outras causas possíveis incluem desgaste excessivo do mancal, aumento na pressão ou mudança na viscosidade do óleo. Algumas correções temporárias podem ser feitas mudando a temperatura do óleo lubrificante (mudando a sua viscosidade), introduzindo um pequeno desbalanceamento ou desalinhamento para aumentar a carga, ou fragmentar ou ranhurar as faces da superfície do mancal para desfazer a onda de óleo. Naturalmente a solução permanente é substituir o mancal adequadamente projetado para as condições de operação da máquina ou um especialmente projetado para reduzir as possibilidades de oil whirl.

A Fig. 7.16 mostra três configurações de mancais de deslizamento disponíveis especialmente construídos para reduzir as possibilidades de oil whirl:

a) Mancal com ranhuras axiais (Fig. 7.16a) - Neste tipo de mancal, as ranhuras são utilizadas para aumentar a resistência ao whirl em três pontos igualmente espaçados. Esta configuração é normalmente limitada a menores aplicações tais como pequenas turbinas a gás.

b) Mancal lobado (Fig. 7.16b) - Este tipo de mancal produz estabilidade contra o oil whirl usando três filmes de óleo pressurizado de forma que o eixo permanece centralizado. Algumas vezes possuem ranhuras axiais para aumentar a resistência ao whirl.

c) Mancais segmentados (Fig. 7.16c) - É uma escolha comum (muito utilizado) em máquinas industriais grandes, de alta velocidade. Cada segmento desenvolve uma cunha de óleo pressurizado que tende a centralizar o eixo no mancal. Normalmente o amortecimento do sistema é aumentado.

(a) Mancal ranhurado axialmente (b) Mancal lobado (c) Mancal segmentado Figura 7.16 - Mancais projetados para reduzir a possibilidade de whirl.

Uma máquina que é normalmente estável pode exibir sinais de vibração por oil whirl e, algumas vezes, esta condição ocorre intermitentemente. Neste caso o problema não está relacionado com o mancal de deslizamento mas com forças externas que, coincidentemente, estão na mesma frequência do oil whirl do mancal. Existem duas fontes comuns de vibração que podem excitar oil whirl em um mancal de deslizamento: vibração transmitida pelo maquinário que opera na vizinhança e vibração proveniente de outros elementos da própria máquina.

Precessão histerética

Um rotor que opera acima de velocidades críticas tende a se fletir em sentido oposto ao desbalanceamento. O atrito interno, ou histerético, tende a restringir esta deflexão. Quando, entretanto, as forças de amortecimento estão em coincidência de fase com a deflexão, o efeito é contrário, agindo no sento de aumentar a mesma. É uma vibração similar ao oil whirl, ocorrendo em uma frequência diferente, normalmente quando o rotor está operando entre a primeira e segunda velocidades críticas. Nesta condição a frequência da precessão histerética é igual à primeira frequência natural (primeira velocidade crítica) do rotor (raramente ocorre na mesma frequência do oil whirl). Quando o rotor está operando acima da segunda velocidade crítica os sintomas são iguais ao do oil whirl. A precessão histerética, é normalmente controlada pelo amortecimento próprio dos mancais de deslizamento (que é normalmente alto). Quando este problema ocorre a solução usual é aumentar o amortecimento do mancal ou da estrutura, através, por exemplo, da instalação de mancais segmentados ou outros especialmente projetados. Em alguns casos o problema pode ser solucionado reduzindo o amortecimento do rotor, o que pode ser feito, por exemplo, substituindo um acoplamento com engrenagens por um acoplamento flexível.

Lubrificação inadequada

Problemas como insuficiência de lubrificação ou uso de lubrificante inadequado, podem causar vibração em mancais de deslizamento. Nestes casos, a lubrificação inadequada causa atrito excessivo entre o mancal estacionário e o eixo rotativo, e o atrito excita uma vibração no mancal ou partes a ele relacionadas (dry whip). A frequência da vibração, neste caso, é normalmente muito alta, produzindo ruído agudo (guinchos), e não tem relação com a velocidade de rotação do


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rotor. Quando há suspeita sobre a existência de dry whip deve-se verificar a lubrificação do mancal e se a folga está correta (tanto folga excessiva como insuficiente pode causar dry whip).

7.3.6 - Elementos mecânicos soltos

Figura 7.17 - Elemento mecânico solto.

Elementos soltos produzem vibração em uma frequência que é normalmente igual ao dobro ou múltiplos inteiros da velocidade de rotação do eixo rotativo. Normalmente o elemento se solta em virtude de uma vibração excitada por outra fonte, como, por exemplo, desbalanceamento ou desalinhamento. O elemento solto, por sua vez, agrava a situação, transformando vibrações aceitáveis em excessivas. A Fig. 7.17 apresenta um esquema que ilustra como um elemento solto pode produzir uma vibração em uma frequência igual ao dobro da velocidade de rotação do rotor. O desbalanceamento é a origem da vibração neste exemplo. Quando a parte mais pesada do rotor está na parte inferior do mancal a força centrífuga se dirige para baixo, forçando o mancal contra o seu pedestal. Quando a parte mais pesada do rotor passa pela parte superior do mancal a força se dirige para cima e o mancal é elevado do pedestal. Quando a parte mais pesada do rotor está na lateral do mancal o mesmo cai sobre o pedestal. Este processo resulta que a força atua de duas formas distintas sobre o mancal, durante uma revolução do rotor: o rotor é inicialmente levantado e a seguir cai sobre o pedestal. A Fig. 7.18 mostra um registro possível para esta força. Caracteriza-se aqui uma força periódica com comportamento não harmônico o que implica na presença de frequências harmônicas, com predominância da segunda harmônica (igual ao dobro da frequência de operação).

Frequênciade operação

Figura 7.18 - Força centrífuga com elemento solto.

Como resumo, a principal característica da vibração originada por elemento mecânico solto é a predominância da segunda frequência harmônica. Existe, normalmente, alguma folga inerente em toda máquina, de forma que é absolutamente normal achar alguma a segunda harmônica (ou, até mesmo, harmônicas maiores) quando há desbalanceamento e desalinhamento. A suspeita de elemento mecânico solto é justificada quando a segunda harmônica é predominante.

7.3.7- Vibrações em Correias

As correias em V são muito utilizadas em transmissão de potência por sua alta capacidade de absorver choques e vibrações. Na maioria dos casos as correias em V operam mais silenciosamente que correntes e engrenagens, o que evidencia níveis vibratórios menores. Por outro lado, as correias em V podem ser fontes de vibrações indesejáveis, especialmente em máquinas ferramenta em que os níveis vibratórios devem ser mantidos muito baixos.

Os principais problemas vibratórios associados às correias em V são, geralmente, classificados como:


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1. reação da correia a outras forças geradas no equipamento; 2. problemas reais na correia.

As correias em V são freqüentemente consideradas como fontes de vibrações porque é muito fácil visualizar a sua vibração, o que não ocorre com outras partes da máquina. As correias são as peças de maior facilidade de substituição. Entretanto, é bastante provável que a correia vibre em função de outros distúrbios na máquina, sendo apenas um indicador de um problema vibratório. Alguns problemas que normalmente produzem vibrações em correias são o desbalanceamento excessivo, polias excêntricas, desalinhamentos e elementos soltos. Deve-se, portanto, investigar profundamente as causas da vibração antes de efetuar uma troca de correia. O fator chave para determinar a natureza do problema é a frequência da vibração da correia. Se a vibração da correia é produzida por uma causa proveniente de outro elemento, então a frequência da vibração estará associada ao problema gerador. Por outro lado, quando a vibração ocorre por defeito na correia, a frequência de vibração é igual a um múltiplo inteiro (1, 2, 3 ou 4 vezes) da rotação da correia. Com correias múltiplas é importante que todas as correias tenham a mesma tensão. Se algumas correias estiverem frouxas enquanto que outras estão tensionadas, as correias frouxas apresentarão fortes vibrações mesmo que as forças perturbadoras sejam fracas. Esta condição causa deslizamento e acelera o desgaste na correia e na polia. A identificação de defeitos na correia geralmente pode ser feita medindo-se a vibração em um mancal próximo à mesma, inicialmente em direção perpendicular à direção da tensão na correia e, a seguir, em direção perpendicular à primeira. Correias defeituosas geralmente apresentam uma amplitude de vibração maior em uma direção paralela à direção de sua tensão. Os defeitos mais comuns em correias são:

rachaduras, pontos endurecidos ou enfraquecidos, nós laterais, partes de material arrancado, deformações originadas no empacotamento ou armazenagem (dobras) que podem causar altas amplitudes de

vibrações em equipamentos leves até que a correia se torne mais flexível e assuma a sua forma original pequenas variações na largura de correias em V que podem faze-la pular nas guias das polias, causando

vibrações devidas a variações na tensão da correia. O deslizamento de correias (“correia patinando”) é causado por tensão imprópria, desalinhamento de polias, correia

inadequada para a utilização ou carga excessiva. O deslizamento produz algumas vezes vibrações de alta frequência e ruído característico (silvo ou grunhido). As vibrações causadas por deslizamento resultam freqüentemente em amplitudes instáveis. Isto é particularmente verdadeiro em correias múltiplas que podem deslizar em diferentes graus, algumas vezes somando-se as amplitudes e outras subtraindo-se resultando em uma amplitude de vibração que aumenta e diminui ciclicamente. A extensão do deslizamento de correias múltiplas pode ser determinada com o auxílio de uma luz estroboscópica. Deve-se desligar a máquina e desenhar uma linha reta transversalmente às correias (com um pedaço de giz). A seguir faz-se a máquina operar em sua velocidade nominal, regular o analisador na frequência de rotação da correia e observar se as marcas se deslocam relativamente através da luz estroboscópica. Em caso positivo, ocorre deslizamento.

7.3.8 - Vibrações em Engrenagens

Normalmente, as vibrações originadas por problemas em engrenagens são fáceis de ser identificadas por ocorrerem em uma frequência alta, igual à frequência de rotação da engrenagem multiplicada pelo seu número de dentes(frequência de engrenamento). O espectro mostrado na Fig. 7.19 é obtido de medições realizadas no mancal C, junto à caixa de engrenagens (redutor) de um sistema constituído por uma turbina, um redutor e um ventilador. Observa-se um pico considerável (predominante nas direções horizontal e axial) em uma frequência de 134400 rpm (2240 Hz) que é exatamente igual ao produto do número de dentes do pinhão (32) pela sua frequência de rotação que é a mesma da turbina (4200 rpm ou 70 Hz). Alguns problemas comuns que apresentam estas características são:

desgaste excessivo, imperfeições nos dentes ou dentes quebrados, lubrificação deficiente, e impurezas incrustadas nos dentes.


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Figura 7.19 - Espectro de equipamento com problema de engrenagem.

Outras fontes de problemas em máquinas (desalinhamentos, eixos empenados) podem também originar vibrações na frequência de engrenamento. As excentricidades, os desbalanceamentos e os eixos empenados também podem causar vibrações em sub-múltiplos da frequência de engrenamento. A Fig. 7.20 mostra dados de medições efetuadas em um conjunto motor, redutor e compressor. As amplitudes em alta frequência são predominantes, indicando problemas nas engrenagens (posições C, D, E e F). Deve-se, entretanto, observar que as amplitudes de vibração axial medidas na frequência de rotação do motor (posições A, B, C e D) também apresentam valores elevados. Isto sugere que o desalinhamento, mais que qualquer problema nas engrenagens, seja a causa principal das vibrações. Deve-se, então, corrigir o desalinhamento e se realizar novas medições. São boas as chances de que as amplitudes na frequência de engrenamento desapareçam.


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Figura 7.20 - Dados de um problema de desalinhamento que gera vibrações na frequência de engrenamento.

Figura 7.21 - Diferença entre desbalanceamento e dente de engrenagem quebrado

As engrenagens também podem gerar vibrações em outras frequências não relacionadas com a frequência de engrenamento. Quando, por exemplo, a engrenagem apresenta apenas um dente quebrado ou deformado, pode surgir uma vibração na frequência de rotação. Neste caso o problema pode ser identificado analisando-se a forma da onda vibratória (em um osciloscópio): ocorrem picos elevados em intervalos de um período de rotação como ilustra a Fig. 7.21, comparando a vibração resultante com a que seria gerada por um desbalanceamento. Se existirem mais de um dente danificados a frequência será multiplicada pelo número destes.

Quando um trem de engrenagens opera com condição de carga muito leve as vibrações podem apresentar amplitudes e frequências erráticas. Esta condição de operação pode ocasionar impactos entre as diversas engrenagens de forma desordenada. Os impactos excitam as frequências naturais das engrenagens, mancais e componentes a eles ligados. Este tipo de problema pode ser distinguido de um problema em um mancal, por exemplo, observando-se que as amplitudes originadas pelo problema do mancal são muito maiores próximas ao próprio mancal, enquanto que as originadas por engrenagens são detectadas em dois ou mais pontos da máquina.


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As engrenagens também podem apresentar problemas comuns a outras partes da máquina como desbalanceamento ou montagem excêntrica, por exemplo, apresentando, nestes casos, vibrações com estas características.

Em virtude das vibrações de alta freqüência, as engrenagens são uma fonte comum de ruído nas máquinas de forma que a correção dos problemas associados a elas reduz significativamente o nível de ruído existente.

7.3.9 – Vibrações devido a problemas elétricos

As vibrações causadas por problemas elétricos ocorrem em sistemas que possuem máquinas elétricas (motores, geradores, alternadores, etc.) e são causadas normalmente por forças magnéticas desequilibradas atuantes em rotores ou estatores. Algumas causas comuns destas forças são:

o rotor não é perfeitamente circular; a armadura é excêntrica; o rotor e o estator estão desalinhados; o estator não é perfeitamente circular; ocorre circuito aberto ou curto circuito; há problemas no enrolamento do rotor. Os problemas elétricos geralmente apresentam vibrações na freqüência de rotação, o que torna difícil a distinção de

outras fontes como desbalanceamento. Uma maneira de se verificar se a vibração é causada por problema elétrico é desligar a energia elétrica durante a medição da amplitude de vibração e verificar se a mesma desaparece ou diminui significativamente rapidamente. Em caso positivo a causa é certamente elétrica. Se a diminuição da amplitude for lenta e acompanhar a queda na freqüência de rotação, então a causa é de natureza mecânica. Uma outra característica deste tipo de problema é que os níveis vibratórios dependem da carga. Muitas vezes, motores elétricos são testados em vazio e não apresentam amplitudes de vibração elevadas e quando em operação com carga vibram violentamente, evidenciando problemas elétricos.

Em motores de indução podem ocorrer vibrações na freqüência de deslizamento que é igual à diferença entre a freqüência de rotação do rotor e a freqüência elétrica (do campo magnético rotativo) chamada de síncrona que é sempre igual à freqüência da linha de corrente alternada (freqüência da rede, 60 Hz). Neste caso a amplitude da vibração é pulsante. O fenômeno do batimento se intensifica quando ocorre um problema mecânico associado (como o desbalanceamento) e a pulsação da amplitude se torna regular, especialmente quando as duas freqüências são relativamente próximas.

Os motores elétricos também podem apresentar vibrações devido a pulsos de torque gerados quando o campo magnético do motor energiza os polos do estator. A freqüência associada é igual ao dobro da freqüência da linha de corrente alternada. Os pulsos de torque são raramente problemáticos exceto quando são exigidos níveis de vibração extremamente baixos ou os pulsos excitam ressonâncias em outras partes da máquina.

7.3.10 – Vibrações devido a forças aerodinâmicas e hidráulicas

Máquinas que operam com fluidos como ar, água, óleo ou gases podem apresentar vibrações originadas pela interação entre elementos sólidos móveis (pás) e fluidos. Isto acontece freqüentemente em bombas, ventiladores e similares. As vibrações geradas ocorrem em freqüências altas (número de pás vezes a freqüência de rotação). As causas da vibração são forças hidráulicas que normalmente são pequenas mas se tornam importantes quando excitam alguma ressonância na máquina. A Fig. 7.22 mostra o resultado de uma medição efetuada em uma bomba vibrando em 21600 cpm (360 Hz) com um propulsor de seis pás girando a 3600 rpm (60 Hz).


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Figura 7.22 – Medição de vibração causada por forças hidráulicas.

Se não ocorre ressonância o problema pode ser originado por cavitação, recirculação ou turbulência. A cavitação ocorre quando uma bomba opera com excesso de capacidade ou baixa pressão de sucção. Como o fluido que já entrou não preenche completamente o espaço, o fluido que está entrando é puxado aos pulos para preencher os espaços vazios. Isto cria bolsas de vácuo que são altamente instáveis que podem literalmente implodir muito rapidamente. Os impactos gerados excitam freqüências naturais localizadas em partes da bomba. Como as implosões podem ocorrer em tempos e posições aleatórios na bomba ou na tubulação a amplitude e a freqüência da vibração também são aleatórias.

A recirculação pode ocorrer quando uma bomba está operando em baixa capacidade ou alta pressão de sucção. Na tentativa de se mover uma quantidade excessiva de fluido da bomba, uma porção do fluido retorna. A conseqüente combinação de movimentos em direções opostas causa vibração. A recirculação ocorre algumas vezes dentro de uma bomba de múltiplos estágios com folga excessiva entre o rotor e seu alojamento. Esta forma de recirculação pode mostrar uma freqüência quase constante não relacionada com a freqüência de rotação. Em qualquer situação, as vibrações devidas à recirculação apresentam flutuações aleatórias em freqüências e amplitudes similares às causadas pela cavitação.

O fluxo turbulento é o resultado da resistência ao fluxo normal de fluidos. Esta resistência pode ser causada por obstruções, curvas agudas ou apenas atrito superficial entre fluido e tubulação. A turbulência também pode ser causada pela mistura de fluidos de alta e baixa velocidades. Um exemplo é um motor a jato quando os gases de exaustão de alta velocidade se misturam ao ar externo quase estacionário. Embora os níveis de ruído gerado por fluxo turbulento sejam muito altos, a máquina vibra pouco pois a condição de turbulência é externa a ela.

Figura 7.23 – Espectro de uma vibração causada por cavitação.

A vibração e o ruído associados com cavitação, recirculação e fluxo turbulento apresentam características similares. Este tipo de vibração é normalmente de natureza aleatória com amplitudes e freqüências instáveis. A Fig. 7.23 mostra um espectro de uma vibração gerada por cavitação. Pode-se observar uma vibração de regime permanente em 3600 rpm (60 Hz), indicando, possivelmente, um pequeno desbalanceamento ou desalinhamento no motor. Existe, entretanto, uma vibração aleatória (banda larga) entre 30000 cpm e 100000 cpm (500 Hz e 1667 Hz) indicando problemas de associados com fluxo hidráulico e aerodinâmico.

7.3.11 – Vibrações devido a forças alternativas

Em máquinas alternativas (compressores, bombas alternativas, motores a combustão) ocorrem vibrações resultantes do movimento alternativo. Estas vibrações são causadas pelas variações de torque em virtude da variação de pressão no cilindro e pelas forças de inércia das partes que se encontram em movimento alternativo. Estas vibrações são normalmente complexas pois várias freqüências estão envolvidas embora, geralmente, as freqüências predominantes são iguais a uma e duas vezes a freqüência de rotação. Freqüências de ordem mais alta também são encontradas dependendo do número de pistões e de seu relacionamento. Por exemplo, em um motor a quatro tempos de quatro cilindros, ocorrem duas explosões a cada volta da árvore de manivelas (virabrequim). Isto resulta em uma vibração em uma freqüência igual a duas vezes a freqüência de rotação do virabrequim. Por outro lado, se o mesmo motor possuísse seis ou oito cilindros o número de explosões seria de três e quatro por volta com surgimento de freqüências iguais a três e quatro vezes a freqüência de rotação


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respectivamente. A Fig. 7.24 mostra as várias freqüências harmonicamente relacionadas reveladas pela análise de um compressor de quatro cilindros em V. Geralmente, estas freqüências de ordem mais alta são inerentes ao funcionamento da máquina e só se tornam importantes se excitarem alguma freqüência natural da mesma induzindo uma condição de ressonância.

Os problemas de vibração excessiva em máquinas alternativas podem ser originados por problemas mecânicos (desbalanceamento, desalinhamento, empenamento de eixos, folgas, peças soltas, falhas em mancais, etc.) ou operacionais (lubrificação inadequada ou ineficiente, vazamentos em válvulas, problemas de ignição ou injeção, etc.). A solução destes problemas exige uma inspeção completa na máquina acompanhada de uma análise da vibração. Existem várias formas de identificar problemas mecânicos e operacionais. Por exemplo, falhas de ignição causam um significativo decréscimo de eficiência na máquina acompanhado de forte vibração. O desbalanceamento, entretanto, praticamente não influencia no rendimento da máquina. Diversos problemas operacionais possuem a tendência de gerar forças alternativas desiguais nas diferentes direções de medição. Deve ocorrer uma amplitude bem maior na direção do movimento alternativo. Já o desbalanceamento ou o desalinhamento apresentam amplitudes semelhantes em duas direções radiais.

Figura 7.24 – Espectro de vibração em um compressor.

7.3.12 – Vibrações devido ao roçamento

O roçamento é o contato eventual entre partes estacionárias e rotativas de uma máquina podendo gerar vibrações na freqüência de rotação, no dobro dela, em seus sub-múltiplos e em altas freqüências. O roçamento também pode gerar um aumento no nível de amplitudes em toda uma ampla faixa de freqüências. Se o roçamento for contínuo é provável que não se observe nenhuma vibração característica em especial mas o atrito contínuo pode excitar ressonâncias em altas freqüências em outras partes da máquina produzindo medições de amplitudes e fases instáveis.

Observou-se que o roçamento em selos de uma turbina a vapor apresenta diferentes amplitudes e fase nas mesmas condições de operação em tempos diferentes de observação. Por exemplo: uma máquina girando a 3600 rpm apresentava níveis constantes de amplitude e fase; após diminuir a sua velocidade de rotação para 1800 rpm por um curto tempo, e retornando a operar a 3600 rpm, a mesma máquina apresentou amplitude e fase completamente diferentes das anteriores. Isto sugere que o ponto em que está acontecendo o roçamento está se movendo quando se varia a velocidade de rotação.

O roçamento é, normalmente o resultado de um eixo empenado ou partes quebradas ou avariadas que podem ser detectados por procedimentos já descritos.

7.4 – Análisadores de Sinais

A análise de sinais se ocupa com a interpretação do sinal vibratório. A observação direta do registro de uma medição de vibração no domínio do tempo permite apenas a identificação de características específicas como a modulação em amplitude ou o surgimento de pulsos ou impactos. Para melhorar a qualidade da análise é necessário observar o espectro de freqüência, obtido através da aplicação da transformada de Fourier no sinal temporal.

Um refinamento na análise no domínio da freqüência pode ser produzido através da utilização de janelas e filtros. As janelas tem o propósito de reduzir os efeitos numéricos de início e fim de amostra, enquanto os filtros são utilizados para


148

separar os sinais em faixas de freqüência de interesse. Com isso, se pode, por exemplo, excluir algumas características conhecidas do sinal (componentes na freqüência de rotação, freqüências naturais, ou freqüências da rede elétrica) para que outras causas possam ser mais claramente observadas.

Embora todas estas operações numericamente pelo computador, é recomendável que este pré-processamento seja realizado analogicamente pela instrumentação, antes da digitalização do mesmo. Assim preservam-se algumas características importantes do sinal e se melhora a qualidade da análise. Os analisadores de sinais são instrumentos que analisam o sinal no domínio da freqüência, separando a energia do sinal vibratório em várias faixas de freqüência. Esta separação é realizada através de um conjunto de filtros, sendo os analisadores classificados de acordo com o tipo de filtro que empregam. Por exemplo: analisadores de banda de uma oitava são analisadores que utilizam filtros de banda de uma oitava (oitava: intervalo entre duas freqüências em que a máxima é igual ao dobro da mínima). Atualmente já são largamente utilizados analisadores digitais para análise em tempo real. Em tempo real, o sinal é analisado continuamente em todas as faixas de freqüência. Nestes analisadores é extremamente importante que o processamento seja rápido. Os analisadores em tempo real são especialmente úteis em aplicações de manutenção industrial em que a análise deve ser rápida a fim de fundamentar a imediata tomada de decisão no que se refere ao procedimento de manutenção.

Os analisadores utilizados atualmente nas plantas industriais são constituídos de sistemas integrados a microcomputadores. Utiliza-se de um software dedicado que executa a análise espectral. A título de ilustração, a Fig. 7.25 mostra algumas janelas de um software utilizado na análise espectral.

Figura 7.25 – Exemplo de software de análise espectral.


149

A maior parte dos analisadores espectrais fabricados atualmente se destinam principalmente a aplicações eletrônicas e em telecomunicações. A Fig. 7.26 ilustra alguns destes instrumentos.

Agilent Rhode &Schwarz Yokogawa

Anritsu Advantest

Figura 7.26 – Analisadores espectrais.

Unidade 8 – Controle de Vibrações

153

Unidade 8 - Controle de Vibrações

8.1 - Introdução

Existem inúmeras fontes de vibrações no ambiente industrial: processos de impacto tais como cravamento de estacas e explosões; máquinas rotativas ou alternativas tais como motores e compressores; veículos de transporte tais como caminhões, trens e aviões; o fluxo de fluidos; e muitos outros. A presença de vibrações frequentemente conduz a efeitos indesejáveis tais como falhas mecânicas ou estruturais, manutenção freqüente e dispendiosa de máquinas, e danos e desconforto para o homem. A vibração pode ser eliminada algumas vezes com base em análise teórica. Entretanto, os custos de manufatura envolvidos na eliminação de vibrações podem ser demasiado altos; um projetista deve enfrentar o dilema de admitir uma quantidade razoável de vibração a um custo de manufatura aceitável. Em alguns casos a força de excitação é inerente à máquina. Mesmo uma força de excitação relativamente pequena pode causar uma resposta inesperadamente grande próximo à ressonância, especialmente em sistemas pouco amortecidos. Nestes casos a magnitude da resposta pode ser significantemente reduzida pelo uso de isoladores e absorvedores auxiliares. Nesta unidade, considerar-se-ão várias técnicas de controle de vibração, isto é, métodos que resultam na eliminação ou redução da vibração. A primeira alternativa para controlar vibração é tentar eliminar, isolar ou alterar a fonte da vibração. Isto nem sempre é possível. Alguns exemplos de fontes de vibrações que não podem ser alterados são terremotos, turbulência atmosférica (aviação), irregularidades em estradas e instabilidades em motores a combustão. Por outro lado, algumas fontes de vibração tais como desbalanceamento em máquinas rotativas ou alternativas podem ser alteradas. Isto pode ser atingido, usualmente, utilizando-se procedimentos de balanceamento ou melhorando a precisão dos elementos de máquinas. O uso de tolerâncias mais rigorosas e melhor acabamento superficial para algumas partes de máquinas (que apresentam movimentos relativos entre si) tornam a máquina menos suscetível à vibração. Naturalmente existem restrições econômicas e de manufatura para o grau de balanceamento que pode ser atingido ou a precisão com a qual as partes das máquinas podem ser fabricadas. Será considerado, em primeiro lugar, a análise de máquinas rotativas e alternativas na presença de desbalanceamento assim como os meios de controlar as vibrações que resultam de forças desbalanceadas.

Figura 8.1 – Carta de severidade de vibração geral (IRD Mechanalysis)

8.2 – Balanceamento de Máquinas Rotativas

A presença de uma massa excêntrica ou desbalanceada em um disco rotativo causa vibração, que pode ser aceitável até um certo nível. A Fig. 8.1 é uma carta de severidade de vibração que pode ser usada para determinar níveis aceitáveis de vibrações em várias freqüências ou rotações de operação. Se a vibração causada por uma massa desbalanceada não é


154

aceitávlel, pode ser eliminada tanto pela remoção da massa excêntrica como pela adição de uma massa igual em uma posição que cancele o efeito do desbalanceamento. Para utilizar este procedimento deve-se determinar a quantidade e a localização da massa excêntrica experimentalmente. O desbalancemento em máquinas práticas pode ser atribuído a irregularidades como erros de usinagem e variações em tamanhos de parafusos, porcas, rebites e soldas. Nesta seção, se considerará dois tipos de balanceamento: um plano ou balanceamento estático e dois planos ou balanceamento dinâmico.

8.2.1 – Balanceamento em um plano

Considere-se um elemento de máquina na forma de um disco circular tal como a ventoinha de um ventilador, um volante, uma engrenagem ou uma embreagem montada em um eixo. Quando o centro da massa é deslocado do eixo de rotação devido a defeitos de fabricação, o elemento de máquina está estaticamente balanceado. Para determinar se o disco está balanceado, pode-se montar o eixo em dois mancais de baixo atrito como mostra a Fig. 8.2. Gire-se o disco e permita-se que retorne ao repouso. Marcar o ponto inferior da circunferência do disco com um giz. Repetir o processo várias vezes, cada vez marcando o ponto inferior com o giz. Se o disco está balanceado as marcas de giz se espalharão aleatoriamente ao longo da circunferência. Por outro lado, se o disco está desbalanceado, todas as marcas de giz coincidirão. O desbalanceamento detectado por este procedimento é conhecido como desbalanceamento estático. O desbalanceamento estático pode ser corrigido removendo-se metal na posição da marca de giz ou adicionando um peso a 180º da marca de giz. Como a magnitude do desbalanceamento não é conhecida, a quantidade de material a ser removida ou adicionada deve ser determinada por tentativa e erro. Este procedimento é chamado “balanceamento em um plano” uma vez que todas as massas estão localizadas praticamente em um plano. A quantidade de desbalanceamento pode ser determinada girando-se o disco a uma velocidade de rotação conhecida e medindo-se as reações nos dois mancais (Fig. 8.2). Se uma massa desbalanceada m é localizada em um raio r do disco, a força centrífuga será mr2. Então as reações medidas nos mancais F1 e F2, são:

21

2

22

1

mrl

aF

mrl

aF

(8.1)

Figura 8.2 – Balanceamento em um plano.

Outro procedimento para balanceamento em um plano, usando um analisador de vibração é ilustrado na Fig. 8.3. Aqui, um disco é montado em um eixo rotativo que tem um mancal em A e é acionado por um motor rotativo elétrico com uma velocidade angular .


155

Figura 8.3 – Balanceamento com analisador de vibrações.

Antes de começar o procedimento, marcas de referência, também conhecidas como marcas de fase, são feitas tanto no rotor como no estator, como mostra a Fig. 8.4a. Um sensor de vibração é colocado em contato com o mancal, como mostrado na Fig. 8.3, e o analisador de vibração é regulado para uma freqüência correspondente à velocidade angular do disco. O sinal da vibração (amplitude de deslocamento) produzido pelo desbalanceamento pode ser lido no instrumento. Uma luz estroboscópica é acionada pelo analisador de vibração na freqüência de rotação do disco. Quando o rotor gira a uma velocidade , a marca de fase do rotor aparece estacionária sob a luz estroboscópica mas posicionada a um ângulo da marca feita no estator, como mostra a Fig. 8.4b, devido à diferença de fase da resposta. Tanto o ângulo como a amplitude Au (lida no analisador) causada pelo desbalanceamento original são anotadas. O rotor é então parado e um peso de teste W é fixado ao rotor, como mostra a Fig. 8.4b. Quando o rotor gira com a velocidade , a nova posição angular da marca de fase e a amplitude de vibração Au+w, causada pelo desbalanceamento combinado do rotor e do peso de teste, são anotados(ver Fig. 8.4c). (Observe-se que se o peso de teste é colocado em uma posição que desloca o desbalanceamento líquido em uma direção horária, a posição estacionária da marca de fase será deslocada exatamente pela mesma quantidade na direção anti-horária, e vice-versa).

Figura 8.4 – Balanceamento em um plano utilizando analisador de vibrações.

Agora constrói-se um diagrama vetorial para encontrar a magnitude e posição da massa de correção para o

balanceamento do disco. O vetor desbalanceamento original u

A

é traçado em uma direção arbitrária, com seu comprimento

igual a Au, como mostra a Fig. 8.5. É então traçado o vetor de desbalanceamento combinado wu

A

. O vetor diferença

uwuwAAA

, na Fig. 8.5 representa então o vetor desbalanceamento devido ao peso de teste W. A magnitude de w

A

pode

ser calculada usando a lei dos cossenos

cos222

wuuwuuwAAAAA (8.2)

como a magnitude do peso de teste W e sua direção relativa ao desbalanceamento original ( na Fig. 8.5) são conhecidos, o próprio desbalanceamento original deve estar em um ângulo a partir da posição do peso de teste, como mostrado na Fig. 8.4d. O ângulo a pode ser obtido da lei dos cossenos:

wu

wuwu

AA

AAA

2cos

222

1 (8.3)

A magnitude do desbalanceamento original é W0 = (Au/Aw)·W, localizado na mesma distância radial do eixo de rotação que o peso W. Uma vez que a localização e a magnitude do desbalanceamento original são conhecidas, o peso de correção pode ser adicionado para balancear apropriadamente o disco.


156

Figura 8.5 – Diagrama vetorial do balanceamento em um plano.

8.2.2 – Balanceamento em dois planos

O balanceamento em um único plano pode ser utilizado para balancear discos finos. Se o rotor é um corpo rígido alongado como mostrado na Fig. 8.6, o desbalanceamento pode estar em qualquer lugar ao longo do comprimento do rotor. Neste caso, o rotor pode ser balanceado pela adição de pesos balanceadores em quaisquer dois planos. Por conveniência, os dois planos são usualmente escolhidos como os planos extremos do rotor (mostrado por linhas tracejadas na Fig. 8.6).

Figura 8.6 – Balanceamento em dois planos.

Para ver que qualquer massa desbalanceada no rotor pode ser substituída por duas massas desbalanceadas equivalentes (em dois planos quaisquer), considerar um rotor com uma massa desbalanceada m a uma distância l/3 da extremidade direita, como mostra a Fig. 8.7a. Quando o rotor gira com uma velocidade , a força devida ao desbalanceamento será F = m2R, onde R é o raio do rotor. A massa desbalanceada m pode ser substituída por duas massas m1 e m2, localizadas nas extremidades do rotor, como mostrado na Fig. 8.7b. As forças exercidas sobre o rotor por estas massas são F1 = m1

2R e F2 = m22R . Para a equivalência de forças nas Figs. 8.7a e 8.7b, tem-se

21

2

2

2

1

2 ou mmmRmRmRm (8.4)

Para a equivalência de momentos nos dois casos, considerando-se momentos em relação à extremidade direita, tem-se

1

2

1

2 3ou 3

mmRlml

Rm (8.5)

As equações (8.4) e (8.5) resultam em m1 = m/3 e m2 = 2m/3. Então qualquer massa desbalanceada pode ser substituída por duas massas desbalanceadas equivalentes nos planos extremos do rotor.


157

Figura 8.7 – Substituição de massa desbalanceada em dois planos.

Considere-se agora o procedimento de balanceamento usando um analisador de vibrações. Na Fig. 8.8 o desbalanceamento total no rotor é substituído por dois pesos desbalanceados UE e UD nos planos da direita e da esquerda, respectivamente. Na velocidade de operação do rotor , a amplitude de vibração e o ângulo de fase devidos ao

desbalanceamento original são medidos em dois mancais A e B, e os resultados são registrados como vetores A

V

e B

V

. A

magnitude do vetor vibração é tomada como a amplitude de vibração, enquanto que a direção do vetor é tomada como o negativo do ângulo de fase observado sob luz estroboscópica referenciada à linha de referência do estator. Os vetores

medidos A

V

e B

V

podem ser expressos como

DADEAEA

UAUAV

(8.6)

DBDEBEBUAUAV

(8.7)

Onde ij

A

pode ser considerado como um vetor, refletindo o efeito do desbalanceamento no plano j (j = E, D) na

vibração no mancal i (i = A,B). Observar que DE

UU

, e todos os vetores ij

A

são incógnitas nas Eqs. (8.6) e (8.7).

Figura 8.8 – Balanceamento em dois planos. Pesos de correção.

Como no caso do balanceamento em um plano, adiciona-se pesos de teste conhecidos e faz-se medições para obter

informação sobre as massas desbalanceadas. Primeiro adiciona-se um peso conhecido E

W

no plano esquerdo em uma

posição angular conhecida e mede-se deslocamento e fase da vibração nos dois mancais enquanto o rotor gira com uma velocidade . Denota-se estas vibrações medidas como vetores como

DADEEAEA

UAWUAV

(8.8)

DBDEEBEB

UAWUAV

(8.9)


158

Subtraindo Eqs. (8.6) e (8.7) das Eqs. (8.8) e (8.9), respectivamente, e resolvendo, obtém-se

E

AA

AEW

VVA

(8.10)

E

BB

BEW

VVA

(8.11)

Remove-se então E

W

e adiciona-se um peso conhecido D

W

no plano direito em uma posição angular conhecida e

mede-se as vibrações resultantes enquanto o rotor está girando com uma velocidade . Denota-se estas vibrações medidas como vetores como

EAEDDADA

UAWUAV

(8.12)

EBEDDBDB

UAWUAV

(8.13)

Como antes, subtrai-se as Eqs. (8.6) e (8.7) das Eqs. (8.12) e (8.13), respectivamente, para achar

R

AA

ARW

VVA

(8.14)

R

BB

BRW

VVA

(8.15)

Uma vez que os operadores ijA

sejam conhecidos, as Eqs. (8.6) e (8.7) podem ser resolvidas para determinar os

vetores de desbalanceamento E

U

e D

U

:

BEADAEBD

BADABD

EAAAA

VAVAU

(8.16)

BDAEADBE

BAEABE

DAAAA

VAVAU

(8.17)

O rotor pode agora ser balanceado pela adição de pesos de balanceamento iguais e opostos em cada plano. Os

pesos de balanceamento nos planos esquerdo e direito podem ser chamados como os vetores EE

UB

e DD

UB

. Pode-

se ver que o procedimento de balanceamento em dois planos é uma extensão direta do balanceamento em um plano. Embora rotores de alta velocidade de rotação sejam balanceados durante a fabricação, usualmente se torna necessário balanceá-los novamente in situ devido a pequenos desbalanceamentos introduzidos devido a fissuras, operação em alta temperatura, etc.

Exemplo 8.1 – Balanceamento em dois planos de um rotor de turbina

No balanceamento em dois planos de um rotor de turbina, os dados obtidos das medidas do desbalanceamento original, o peso de teste do plano direito e o peso de teste do plano esquerdo são mostrados na Tabela 8.1. As amplitudes de deslocamento estão em mils (1/1000 pol). Determinar o tamanho e a posição dos pesos de balanceamento requeridos.

Condição Amplitude de vibração

(deslocamento) Ângulo de fase

Mancal A Mancal B Mancal A Mancal B Desbalanceamento original 8,5 6,5 60º 205º WE = 10,0 oz adicionada em 270º da marca de referência

6,0 4,5 125º 230º

WD = 12,0 oz adicionada em 180º da marca de referência

6,0 10,5 35º 160º

Tabela 8.1 – Dados para o balanceamento.


159

Dados: medições para o balanceamento apresentados na tabela 8.1.

Determinar: tamanho e posição dos pesos de balanceamento necessários.

Método: Aplicar as equações vetoriais (8.16) e (8.17), para obter o balanceamento.

Solução: Os dados podem ser expressos em notação vetorial como

3612,72500,4605,8 iVA

7470,28910,52055,6 iVB

9149,44415,31250,6 iVA

4472,38926,22305,4 iVB

4415,39149,4350,6 iVA

5912,38668,91605,10 iVB

0000,100000,02700,10 iWE

0000,00000,121800,12 iWD

As equações (8.10) e (8.11) resultam em

7691,02446,00000,100000,0

4463,26915,7i

i

i

W

VVA

E

AA

AE

2998,00700,00000,100000,0

7002,09985,2i

i

i

W

VVA

E

BB

BE

O uso das equações (8.14) e (8.15) conduz a

3266,00554,00000,00000,12

9198,36649,0i

i

i

W

VVA

D

AA

AD

5282,03313,00000,00000,12

3382,69758,3i

i

i

W

VVA

D

BB

BD

Os pesos desbalanceados podem ser determinados das equações (8.16) e (8.17)

6879,52930,83903,02234,0

9661,10725,4

)0063,01018,0()3840,03252,0(

)7721,12237,1()1941,02962,5(i

i

i

ii

ii

AAAA

VAVAU

BEADAEBD

BADABD

E

4592,51773,23903,02234,0

0693,26443,1

)3840,03252,0()0063,01018,0(

)8590,35540,3()7898,19096,1(i

i

i

ii

ii

AAAA

VAVAU

BDAEADBE

BAEABE

D

Então os pesos de balanceamento requeridos são dados por

5548,3250561,106879,52930,8 iUBEE

2559,688774,54592,51773,2 iUBDD

Isto mostra que a adição de um peso de 10,0561 oz no plano esquerdo em 325,5548º e um peso de 5,8774 oz no plano direito em 68,2559º, medidos a partir da posição de referência, balanceará o rotor da turbina. Isto exige que os pesos de balanceamento sejam adicionados na mesma posição radial (distância a partir do centro do rotor) dos pesos de teste. Se o peso de balanceamento tiver que ser posicionado em uma posição radial diferente, o mesmo deve ser modificado na proporção inversa da distância radial a partir do eixo de rotação.


160

8.3 – Velocidades Críticas de Eixos Rotativos

Na seção precedente, o sistema rotativo (o eixo rotativo e o disco) foi assumido como rígido. Na prática, entretanto, todos os eixos rotativos são flexíveis. Se um eixo flexível possui uma massa rotativa desbalanceada, as forças centrífugas geradas produzirão flexão no eixo, o que por sua vez altera o efeito do desbalanceamento. A uma certa velocidade de rotação, conhecida como velocidade crítica, a deflexão do eixo se torna muito grande. Nesta seção, são considerados os aspectos de modelagem do sistema rotativo, velocidades críticas, resposta do sistema e estabilidade.

8.3.1. Equações do movimento

Considere-se um eixo apoiado em dois mancais e possuindo um disco de massa m em seu centro, como mostra a Fig. 8.9. Assume-se que o rotor está submetido a uma excitação de regime permanente devido a uma massa desbalanceada. As forças atuantes no rotor são a força de inércia devido à aceleração do centro de massa, a força de elástica devida à deformação do eixo, e as forças de amortecimento internas e externas. (Qualquer sistema rotativo responde de duas maneiras diferentes a forças de amortecimento ou atrito, dependendo se as forças giram com o eixo ou não. Quando as posições nas quais as forças atuam permanecem fixas no espaço, como no caso de forças de amortecimento - que causam perdas de energia - atuantes no mancal, o amortecimento é chamado estacionário ou externo. Por outro lado, se as posições nas quais elas atuam giram com o eixo no espaço, como no caso do atrito interno do eixo, o amortecimento é chamado rotativo ou interno).

Figura 8.9 – Rotor de Laval

Figura 8.10 – Movimento do disco

Seja O a posição de equilíbrio do eixo quando balanceado perfeitamente (Fig. 8.10). O eixo gira com uma

velocidade angular . Usa-se um sistema de coordenadas inerciais (x, y) com origem em O para descrever as equações do movimento. Os pontos P e Q indicam o centro geométrico e o centro de massa do disco, respectivamente. A equação do movimento do sistema (massa m) pode ser escrita como


161

força de inércia ( iF

) = força elástica ( eF

) + força de amortecimento interno ( diF

) +

força de amortecimento externo ( deF

) (8.18)

As várias forças na Eq. (8.18) podem ser expressas como segue:

Força de inércia: rmFi

(8.19)

onde r

é o vetor do raio do centro de massa dado por

ji teytexr sincos

(8.20)

com x e y representando as coordenadas do centro geométrico e i e j denotando os vetores unitários ao longo da

coordenadas x e y, respectivamente. As equações (8.19) e (8.20) conduzem a

ji teytexmFi

sincos 22

(8.21)

Força elástica: ji yxkFe

(8.22)

Onde k é a rigidez do eixo.

Força de amortecimento interno: ji xyyxcFidi

(8.23)

onde ci é o coeficiente de amortecimento interno (rotativo).

Força de amortecimento externo: ji yxcFede

(8.24)

onde ce é o coeficiente de amortecimento externo. Substituindo Eqs. (8.21) a (8.24) em (8.18), obtém-se as equações do movimento em forma escalar:

temyckxxccxmiei

cos2 (8.25)

temxckyyccymiei

sin2 (8.26)

Estas equações indicam que as equações do movimento para a vibração lateral do rotor estão acopladas e são dependentes da velocidade de rotação em regime permanente. Por definição, uma quantidade complexa w é

iyxw (8.27)

onde 1i e somando-se Eq. (8.25) a (8.26) multiplicada por i, obtém-se uma única equação do movimento:

ti

ieiemewcikwwccwm 2 (8.28)

8.3.2. Velocidades críticas

Uma velocidade crítica existe quando a freqüência de rotação de um eixo se iguala a uma das freqüências naturais do eixo. A freqüência natural não amortecida do sistema rotativo pode ser obtida pela solução das Eqs. (8.25), (8.26) ou (8.28), retendo-se apenas a parte homogênea com ci = ce = 0. Isto dá a freqüência natural do sistema (ou velocidade crítica do sistema não amortecido):

m

kn (8.29)

Quando a velocidade de rotação é igual à velocidade crítica, o rotor desenvolve grandes deflexões, e a força transmitida aos mancais pode causar falhas nos mesmos. Deve ser realizada uma transição rápida da velocidade de rotação do eixo através de uma velocidade crítica para limitar as amplitudes de vibração, enquanto que uma transição lenta promove o desenvolvimento de grandes amplitudes.

8.3.3. Resposta do sistema

Sobre o rotor ilustrado na Fig. 8.10 atua uma força desbalanceada harmônica devida ao seu desbalanceamento e assume-se que o amortecimento interno ci é zero. Resolve-se as Eqs. (8.25) e (8.26) e encontra-se as amplitudes dinâmicas do movimento do rotor produzido pela da massa desbalanceada. Com ci = 0, as Eqs. (8.25) e (8.26) se reduzem a


162

temkxxcxme

cos2 (8.30)

temkyycyme

sin2 (8.31)

A solução das Eqs. (8.30) e (8.31) podem ser expressas como

2

2

11coscos teDmteCtx t (8.32)

4

2

32coscos teDmteCty t (8.33)

onde C1, C2, D, , , 1, 2, 3 e 4 são constantes. O primeiro termo nas Eqs. (8.32) e (8.33) contém uma exponencial decrescente representando uma solução transiente, e o segundo termo representa um movimento circular de regime permanente (precessão/whirl). Substituindo a parte de regime permanente da Eq. (8.32) na Eq. (8.30), pode-se determinar a amplitude do movimento circular (whirl) como:

2222

1

ecmkD

(8.34)

O ângulo de fase é dado por

2

1

42 tan

mk

ce (8.35)

Diferenciando a Eq. (8.34) com relação a e igualando o resultado a zero, pode-se achar a velocidade rotacional para a qual a amplitude do movimento circular se torna máxima:

2

2

11

n

e

n

c

(8.36)

onde n é dado pela Eq. (8.29). Pode-se ver que a velocidade crítica corresponde exatamente à freqüência natural n somente quando o amortecimento (ce) é zero. Além disso, Eq. (8.36) mostra que a presença do amortecimento, em geral, aumenta o valor da velocidade crítica. Um gráfico das Eqs. (8.34) e (8.35) é mostrado na Fig. 8.11 mostrando a variação da

amplitude de vibração em função da velocidade . A amplitude do movimento circular, D, para baixas velocidades é

determinado pela constante de mola k, uma vez que os outros dois termos m2 e 22e

c , são pequenos. O valor do ângulo de

fase 2 é 0º (Eq. 8.35) para pequenos valores de . Quando aumenta, a amplitude da resposta atinge um pico, uma vez que a ressonância ocorre em k – m2 = 0. Ao redor da ressonância, a resposta é essencialmente limitada pelo termo do amortecimento. A diferença de fase na ressonância é 90º. Quando a velocidade cresce em direção a n, a resposta é

dominada pelo termo da massa 42m na Eq. (8.34). Como este termo está 180º fora de fase com a força desbalanceada, o eixo gira em uma direção oposta aquela da força desbalanceada e, portanto a resposta do eixo será limitada.


163

Figura 8.11 – Resposta em freqüência ao desbalanceamento

8.4 – Balanceamento de Motores Alternativos

Os elementos móveis essenciais de um motor alternativo são o pistão, a manivela e a barra conectora. Vibrações em motores alternativos surgem devido a variações periódicas da pressão do gás no cilindro e a forças de inércia associadas com as partes móveis.

8.4.1. Forças desbalanceadas devido a flutuações na pressão do gás

A Fig. 8.12a é um diagrama esquemático de um cilindro de um motor alternativo. O motor é acionado por um gás que se expande no cilindro. O gás em expansão exerce no pistão uma força de pressão F, que é transmitida ao eixo de manivelas através da barra conectora. Na seção precedente, o sistema rotativo (o eixo rotativo e o disco) é constituído de elementos rígidos. A reação á força F pode ser decomposta em duas parcelas: uma de magnitude cosF , atuando ao longo

da barra conectora, e outra de magnitude tanF , atuando em uma direção horizontal. A força cosF induz um torque

Mt, que tende a girar o eixo de manivelas. (Na Fig. 8.12b, MQ atua em torno do eixo perpendicular ao plano do papel e passa no ponto Q.)

coscos

rF

M t

(8.45)


164

Figura 8.12 – Sistema pistão-biela-manivela de um motor alternativo.

Para o equilíbrio do sistema, as forças nos mancais do eixo de manivelas serão iguais a F na direção vertical e F tan na direção horizontal.

Então as forças transmitidas às partes estacionárias do motor são:

1. força F atuando na cabeça do cilindro;

2. força F tan atuando na parede do cilindro;

3. força F atuando no mancal do eixo de manivelas;

4. força F tan atuando no mancal do eixo de manivelas.

Estas forças estão mostradas na Fig. 8.12c. Embora a força resultante total seja zero, existe um torque resultante MQ = Fh tan sobre o corpo do motor, onde h pode ser determinado da geometria do sistema:

sin

cosrh (8.46)

Então o torque resultante é dado por

cos

cosFrM

Q (8.47)

Como era esperado, Mt e MQ, dados pelas equações (8.45) e (8.47) podem ser vistos como idênticos, o que indica que o torque induzido no eixo de manivelas devido à pressão do gás no pistão é sentida nos apoios do motor. Como a magnitude da força do gás F varia com o tempo, o torque MQ também varia com o tempo. A magnitude da força F varia de um máximo a um mínimo em uma freqüência determinada pelo número de cilindros do motor, pelo tipo de ciclo de operação, e pela velocidade de rotação do motor.

8.4.2. Forças desbalanceadas devido a inércia das partes móveis


165

Figura 8.13 – Sistema pistão-biela-manivela.

Aceleração do pistão. A Fig. 8.13 mostra a manivela (de comprimento r), a barra conectora (de comprimento l), e o pistão de um motor alternativo. A manivela é assumida como girando em uma direção anti-horária com uma velocidade angular constante , como mostrado na Fig. 8.13. Considerando-se a origem O do eixo x como a posição superior do pistão, o deslocamento do pistão P correspondente a um deslocamento angular da manivela = t pode ser expresso como na Fig. 8.13, através de

2sin1coscoscos ltrlrlrlrxp (8.48)

mas

trrl sinsinsin (8.49)

e então

tl

r 2

2

2

sin1cos (8.50)

Substituindo a Eq. (8.50) na Eq. (8.48) obtém-se

tl

rltrlrxp 2

2

2

sin1cos (8.51)

Devido à presença do termo envolvendo a raiz quadrada, a Eq. (8.51) não é muito conveniente em novos cálculos. A Equação (8.51) pode ser simplificada observando que, em geral, 41lr e usando a relação de expansão

211

(8.52)

a Eq. (8.51) pode ser aproximada para

tl

rtrxp 2

2

sin2

cos1 (8.53)

ou

t

l

rtr

l

rrxp 2cos

4cos

21 (8.54)

A Equação (8.54) pode ser diferenciada com relação ao tempo para obter expressões para a velocidade e a aceleração do pistão:

t

l

rtrx

p 2sin

2sin (8.55)


166

t

l

rtrxp 2coscos2 (8.56)

Aceleração do pino da manivela. Com relação ao sistema de coordenadas xy mostrado na Fir. 8.13, os deslocamentos vertical e horizontal do pino da manivela C são dados por

trlABOAxc cos1 (8.57)

trCByc

sin (8.58)

Diferenciando-se as Eqs. (8.57) e (8.58) com relação ao tempo, os componentes da velocidade e da aceleração do pino da manivela são

trxc sin (8.59)

tryc

cos (8.60)

trxc

cos2 (8.61)

tryc

sin2 (8.62)

Forças de inércia. Embora a massa da barra conectora esteja distribuída ao longo do seu comprimento, é geralmente idealizada como uma ligação sem massa, com duas massas concentradas nas suas extremidades – a extremidade do pistão e a extremidade do pino da manivela. Se mp e mc denotam a massa total do pistão e do pino da manivela (incluindo a massa concentrada da barra conectora) respectivamente, a componente vertical da força de inércia (Fx) para um cilindro é dada por

ccppxxmxmF (8.63)

Substituindo as Eqs. (8.56) e (8.61) para as acelerações de P e C, a Eq. (8.63) se torna

tl

rmtrmmF pcpx

2coscos

222 (8.64)

Pode-se observar que a componente vertical da força de inércia consiste de duas partes. Uma parte, conhecida como a parte primária, tem uma freqüência igual à freqüência rotacional da manivela . A outra parte, conhecida como parte secundária, tem uma freqüência igual ao dobro da freqüência rotacional da manivela.

Similarmente, a componente horizontal da força de inércia para um cilindro pode ser obtida:

ccppyymymF (8.65)

onde 0p

y e c

y é dada pela Eq. (8.62). Portanto

trmF cy sin2 (8.66)

A componente horizontal da força de inércia pode ser observada possuindo apenas uma parte primária.

8.4.3. Balanceamento de motores alternativos

As forças desbalanceadas ou de inércia em um único cilindro são dadas pelas Eqs. (8.64) e (8.66). Nestas equações, mp e mc representam as massas equivalentes alternativas e rotativas, respectivamente. A massa mp é sempre positiva, mas mc pode ser feita zero pelos contrapesos da manivela. É possível eliminar as forças de inércia horizontais Fy, mas as forças desbalanceadas verticais sempre existirão. Portanto um único cilindro é inerentemente desbalanceado.


167

Figura 8.14 – Balanceamento de motores alternativos.

Em um motor multicilíndros, é possível balancear algumas das forças e torques de inércia através do arranjo apropriado das manivelas. A Figura 8.14a mostra o arranjo geral de um motor N-cilindros (somente seis cilindros N = 6, são mostrados na figura). Os comprimentos de todas as manivelas e barras conectoras são assumidos serem r e l, respectivamente, e a velocidade angular de todas as manivelas é considerada constante, . O deslocamento axial e a orientação angular do i-ésimo cilindro a partir do primeiro cilindro é assumida como i e li, respectivamente; i = 2, 3, ..., N.

Para o balanço de forças, as forças de inércia totais nas direções x e y devem ser iguais a zero. Então

01

i

N

ixtotalx

FF (8.67)

01

i

N

iytotaly

FF (8.68)

onde (Fx)i e (Fy)i são as componentes vertical e horizontal das forças de inércia do cilindro i dadas por (ver Eqs. 8.64 e 8.66):

iipiicpix tl

rmtrmmF

22coscos

222 (8.69)

iiciy

trmF sin2 (8.70)

Por simplicidade, assume-se que as massas alternativas e rotativas para cada cilindro são iguais, isto é (mp)i = mp e (mc)i = mc para i = 2, 3, ..., N. Sem perda de generalidade, as Eqs. (8.67) e (8.68) podem ser aplicadas no tempo t = 0. Então as condições necessárias para o balanço total das forças são dadas por

N

ii

1

0cos e

N

i

i

1

02cos (8.71)

N

i

i

1

0sin (8.72)

As forças de inércia (Fx)i e (Fy)i do i-ésimo cilindro induzem momentos em relação aos eixos y e x, respectivamento, como mostrado na Fig. 8.14b. Os momentos em relação a z e x são dados por


168

N

iiixz lFM

1

0 (8.73)

N

iiiyx lFM

1

0 (8.74)

Substituindo as Eqs. (8.69) e (8.70) em (8.73) e (8.74) e assumindo t = 0, obtém-se as condições necessárias a serem satisfeitas para o balanceamento de momentos em relação aos eixos z e x como

N

iiil

2

0cos e

N

i

iil2

02cos (8.75)

N

i

iil2

0sin (8.76)

Então pode-se arranjar os cilindros de um motor alternativo multicilindros de forma a satisfazer as Eqs. (8.71), (8.72), (8.75) e (8.76); estará completamente balanceado em relação às forças de inércia e momentos.

8.5 – Controle de Vibrações

Em muitas situações práticas, é possível reduzir mas não eliminar as forças dinâmicas que causam vibrações. Vários métodos podem ser usados para controlar vibrações. Entre eles, os seguintes são importantes:

1. Controlando as freqüências naturais do sistema e evitando ressonância sob excitação externa. 2. Prevenindo resposta excessiva do sistema, mesmo na ressonância introduzindo amortecimento ou mecanismo de

dissipação de energia. 3. Reduzindo a transmissão de forças de excitação de uma parte da máquina para outra, pelo uso de isoladores de

vibração. 4. Reduzindo a resposta do sistema, pela adição de um neutralizador de massa auxiliar ou absorvedor de vibração.

8.5.1 – Controle de Freqüências Naturais

Sempre que a freqüência da excitação coincide com uma das freqüências naturais do sistema, ocorre ressonância. O aspecto mais proeminente da ressonância é um grande deslocamento. Na maioria dos sistemas mecânicos e estruturais, grandes deslocamentos indicam tensões e deformações indesejavelmente elevadas, o que pode conduzir a falhas no sistema. Portanto, condições de ressonância devem ser evitadas. Na maioria dos casos, a freqüência de excitação não pode ser controlada, porque é imposta pelos requisitos funcionais do sistema ou máquina. Deve-se concentrar a atenção em controlar as freqüências naturais do sistema para evitar ressonância.

Como indicado pela Eq. 2.11 (m

kn ) a freqüência natural de um sistema pode ser modificada variando-se a

massa m ou a rigidez k. (Embora esta afirmação seja feita com referência em um sistema de um único grau de liberdade, é verdadeira mesmo para sistemas de vários graus de liberdade e sistemas contínuos). Em muitos casos práticos a massa não pode ser modificada facilmente, uma vez que o seu valor é determinado por requisitos funcionais do sistema. Consequentemente, a rigidez do sistema é o fator que é mais frequentemente modificado para a alteração de freqüências naturais. Por exemplo, a rigidez de um eixo rotativo pode ser modificada mudando-se um ou mais de seus parâmetros, tais como materiais ou número e posição de seus suportes (mancais).

8.5.2 – Introdução de Amortecimento

Embora o amortecimento seja desconsiderado para a simplificação de análises, especialmente na obtenção de freqüências naturais, a maioria dos sistemas possui amortecimento em alguma quantidade. A presença de amortecimento é útil em muitos casos.

Em sistemas tais como suspensão de automóveis, por exemplo, o amortecimento deve ser introduzido para reduzir o duração de vibrações inevitavelmente geradas quando o veículo encontra irregularidades na via de tráfego. Quando o sistema opera em condições próximas à ressonância, ou necessita passar por elas para atingir a sua faixa de operação, o amortecimento pode ser útil ao reduzir as grandes amplitudes que podem ser geradas.


169

Uso de Materiais Viscoelásticos. Pode-se introduzir amortecimento no sistema através do uso de materiais estruturais que possuem amortecimento interno. A equação do movimento de um sistema de um único grau de liberdade com

amortecimento interno, sob excitação harmônica tieFtF

0 , pode ser expressa como

tieFxikxm 0

1 (8.77)

onde é chamado fator de perda (ou coeficiente de perda), que é definido como (ver Sec. 2.6.4)

ciclo no máxima deformação de Energia

radianopor harmônico todeslocamen de ciclo um durante dissipada Energia2W

W

A amplitude da resposta do sistema na ressonância ( = n) é dada por

aE

F

k

F 00 (8.78)

uma vez que a rigidez é proporcional ao módulo de Young (k = aE; a = constante). Os materiais viscoelásticos possuem grandes valores do fator de perda e consequentemente são usados para proporcionar amortecimento interno. Materiais viscoelásticos são usados para controle de vibração quando estão sujeitos a deformações diretas e de cizalhamento. No arranjo mais simples, uma camada de material viscoelástico é fixado em um material de maior rigidez. Em outro arranjo, uma camada de material viscoelástico é sanduichada entre duas camadas mais rígidas. Fitas amortecedoras, constituídas de uma fina folha de metal coberta de um adesivo viscoelástico, são usadas em estruturas vibratórias. Os valores dos coeficientes de perda para alguns materiais são dados na Tabela 8.2.

Material Fator de perda () Poliestireno 2,0 Borracha dura 1,0 Materiais fibrosos com matriz 0,1 Cork 0,13 – 0,17 Alumínio 1 x 10-4 Ferro e aço 2 – 6 x 10-4

Tabela 8.2 – Fatores de perda de diversos materiais.

8.5.3 – Uso de Isoladores de Vibração

Métodos de isolamento de vibrações são usados para reduzir os efeitos indesejáveis da vibração. Basicamente, isolamento de vibrações envolve a inserção de um membro resiliente (ou isolador) entre a massa vibratória (ou equipamento) e a fonte da vibração de para reduzir a resposta dinâmica do sistema. Um sistema de isolamento pode ser ativo ou passivo. É ativo quando requer potência externa para executar a sua função e se isto não acontece, chama-se passivo. Um isolador passivo consiste de um membro resiliente (rigidez) e um dissipador de energia (amortecimento). Exemplos de isoladores passivos incluem molas metálicas, molas pneumáticas e molas de elastômero (borracha). A Figura 8.15 mostra montagens típicas de isoladores.

(a) (b) (c) (d) Figura 8.15 – (a) Mola metálica. (b) Mola metálica com carcaça. (c) Calço de neoprene. (d) Manta de elastômero com

fibras sitnéticas.


170

Um isolador ativo é composta de um servomecanismo com um sensor, processador de sinal e um atuador. A efetividade de um isolador é estabelecida em termos de sua transmissibilidade. A transmissibilidade (Tr) é definida como uma relação da amplitude da força transmitida com a força excitadora.

Sistema de isolamento de vibração com fundação rígida

Quando uma máquina ou equipamento é colocado sobre um membro resiliente em uma fundação ou suporte rígido, o sistema pode ser idealizado como de um grau de liberdade, como mostrado na Fig. 8.16a. O membro resiliente é assumido possuir elasticidade k e amortecimento c é modelado como uma mola e um amortecedor c, como mostra a Fig. 8.16b. Se sobre a máquina atuam forças harmônicas tFtF cos

0 , então o movimento é descrito de acordo com a seção 3.6.

Figura 8.16 – Máquina e membro resiliente em fundação rígida.

A força transmitida através da mola e do amortecedor são expressos pela Eq. (3.67), que pode ser escrita como

222

2220

cmk

ckFFt

(8.79)

A transmissibilidade ou razão de transmissão do isolador (Tr) é definida como a razão entre a magnitude da força transmitida e a força excitadora e pode ser obtida da Eq. 3.62a.

222

2

21

21

rr

rTr

(8.80)

A variação de Tr com a relação de freqüências r = /n, é mostrada na Fig. 8.17. Pode ser visto que para freqüências forçantes maiores que 1,414 vezes a freqüência natural do sistema, o isolamento de vibração ocorre de forma que a força transmitida é menor que a força excitadora.


171

Figura 8.17 – Variação da razão de transmissão.

Sistema de isolamento de vibração com fundação flexível

Figura 8.18 – Máquina com isolador em fundação flexível.

Em muitas situações práticas a estrutura da fundação à qual o isolador é conectado se move quando a máquina opera montada sobre o isolador. Por exemplo, no caso de uma turbina fixada no casco de um navio ou um motor de aeronave montado na asa de um avião, a área ao redor do ponto de suporte também se move com o isolador. Em tais casos, o sistema pode ser representado como possuindo dois graus de liberdade. Na Fig. 8.18, m1 e m2 denotam as massas da máquina e da estrutura de suporte que se move com o isolador, respectivamente. O isolador é representado por uma mola de rigidez k, e o amortecimento é desconsiderado para facilitar a solução. As equações dos movimentos das massas m1 e m2 são

tFxxkxm cos02111

(8.81)

01222 xxkxm (8.82)

Assumindo uma solução harmônica na forma tXx

jjcos (8.83)

as Eqs. (8.81) e (8.82) produzem

02

221

02

2

11

mkXkX

FkXmkX (8.84)

As freqüências naturais do sistema são dadas pelas raízes da equação


172

0

2

2

2

1

mkk

kmk (8.85)

As raízes da Eq. (8.85) são dadas por

21

212

2

2

1 0

mm

kmm

(8.86)

O valor 1 = 0 corresponde ao movimento de corpo rígido uma vez que o sistema está sem vinculação. Em regime permanente, as amplitudes de m1 e m2 são governadas pelas Eqs. (8.84), cuja solução conduz a

22

2

2

1

0

2

2

1kmkmk

FmkX

(8.87)

22

2

2

1

0

2kmkmk

FkX

(8.88)

A força transmitida à estrutura de suporte (Ft)é dada pela amplitude de

22xm :

22

2

2

1

0

2

2

2

2

2kmkmk

FkmXmF

t

(8.89)

A transmissibilidade do isolador (Tr) é dada por

2

2

2

21

2

2

1

2

21

22

2

2

1

2

2

0 1

11

mm

m

k

m

m

mmkmkmk

km

F

FT t

r (8.90)

onde 2 é a freqüência natural do sistema dado pela Eq. (8.86). A Eq. (8.90) mostra, como no caso de um isolador em uma base rígida, que a força transmitida à fundação se torna menor quando a freqüência natural do sistema 2 é reduzida. O valor de Tr de um isolador com fundação rígida é mostrado na Fig. 8.17. Pode ser visto que a força transmitida à fundação não pode se tornar infinita na ressonância a não ser que o amortecimento seja nulo. Se a força transmitida à fundação se tornar pequena,

n deverá ser elevado – isto é, o isolador deverá possuir uma freqüência natural muito

menor que a velocidade de operação da máquina que suporta. Embora o amortecimento reduza a amplitude do movimento

(X) para todas as freqüências, reduz a força transmitida (Ft) somente se 2n

. Acima deste valor, a adição de

amortecimento aumenta a força transmitida. Além disso, a força transmitida à fundação é maior que a força aplicada pela

máquina (Tr > 1) quando 2n

. Estas observações sugerem que o amortecimento do isolador deve ser o menor

possível, de forma a reduzir a força transmitida. Se a velocidade da máquina (freqüência) varia, deve-se comprometer em escolher uma quantidade de amortecimento para minimizar a força transmitida. A quantidade de amortecimento deveria ser suficiente para limitar a amplitude X e a força transmitida Ft enquanto passando pela ressonância, mas não tanto de forma a aumentar desnecessariamente a força transmitida nas velocidades de operação.

Exemplo 8.2 – Suporte elástico para a ventoinha de um exaustor

A ventoinha de um exaustor, girando a 1000 rpm, deve ser suportada por quatro molas, cada uma delas com rigidez K. Se somente 10% da força desbalanceada da ventoinha deve ser transmitida à base, qual será o valor de K?

Dados: Ventoinha de exaustor com massa = 40 kg, velocidade de rotação = 1000 rpm, e força de agitação permissível a ser transmitida à base = 10%.

Determinar: rigidez (K) de cada uma das quatro molas de suporte.

Método: Utilizar a equação da transmissibilidade.

Solução: Como a transmissibilidade deve ser 0,1, tem-se da Eq. (8.86),


173

222

2

2

21

21

1,0

nn

n

(E.1)

onde a freqüência forçante é dada por

rad/s 72,10460

21000

(E.2)

e a freqüência natural do sistema por

1623,340

4 KK

m

kn (E.3)

Assumindo que o fator de amortecimento seja = 0 obtém-se, da Eq. (E.1),

2

1623,372,1041

11,0

K

(E.4)

Para evitar valores imaginários, deve-se considerar o sinal negativo no lado direito da Eq. (E.4). Isto conduz a

3166,31561,331

K

ou

K = 9969,6365 N/m

Exemplo 8.3 – Isolamento de um sistema vibratório

Um sistema vibratório deve ser isolado de sua base de apoio. Determinar o fator de amortecimento requerido que deve ser atingido pelo isolador para limitar a transmissibilidade na ressonância a Tr = 4. Assumir que o sistema possui um grau de liberdade.

Dados: Transmissibilidade na ressonância = 4.

Determinar: Fator de amortecimento do isolador.

Método: Determinar a equação de transmissibilidade na ressonância.

Solução: Fazendo = n, a Eq. (8.86) se torna

2

212

rT

ou

1291,0152

1

12

12

rT

Sistema de isolamento de vibração com fundação parcialmente flexível


174

Figura 8.19 – Máquina com isolador em fundação parcialmente flexível.

Considere-se agora uma situação mais realista. A Fig. 8.19 mostra um isolador cuja base, ao invés de ser completamente rígida ou completamente flexível, é parcialmente flexível. Pode-se definir a impedância mecânica da estrutura de base, Z(), como a força na freqüência w requerida para produzir um deslocamento unitário na base (como na Seção 3.5):

todeslocamen

frequência com aplicada força Z

As equações do movimento são dadas por

tFxxkxm cos02111

(8.91)

Zxxxk212

(8.92)

Substituindo a solução harmônica 2,1cos jtXx

jj (8.93)

nas Eqs. (8.91) e (8.92), X1 e X2 podem ser obtidas como no caso anterior:

2

1

2

1

0

2

2

1

2

1

02

1

kmmkZ

FkX

kmmkZ

FZk

k

XZkX

(8.94)

A amplitude da força transmitida é dada por

2

1

2

1

0

2

kmmkZ

FZkZXFt

(8.95)

e a transmissibilidade do isolador por

2

1

2

10

kmmkZ

Zk

F

FT t

r

(8.96)

Na prática, a impedância mecânica Z() depende da natureza da estrutura da base. Pode-se encontrar experimentalmente medindo o deslocamento produzido por um excitador (shaker) que aplica uma força harmônica na estrutura da base. Em alguns casos, tais como no caso de um isolador apoiado em uma balsa de concreto ou solo, a impedância mecânica em qualquer freqüência pode ser encontrado em termos do modelo massa-mola-amortecedor do solo.

Controle ativo de vibração


175

Figura 8.20 – Sistema vibratório com controle ativo.

Um sistema de isolamento é chamado ativo se utiliza potência externa para executar a sua função. Consiste de um servomecanismo com um sensor, processador de sinal e um atuador como mostrado esquematicamente na Fig. 8.20. Este sistema mantém uma distância (l) constante entre a massa vibratória e o plano de referência. Quando a força F(t) aplicada à massa se altera, a distância l também será alterada. Esta mudança em l é percebida pelo sensor que produz um sinal proporcional à magnitude do movimento. Este sinal será processado e será enviado um sinal de comando ao atuador, que, por sua vez, produz um movimento ou uma força proporcional a este sinal. O atuador controlará o deslocamento da base de forma que a distância l seja mantida constante.

Os sensores podem ser de diferentes tipos: medidores de deslocamento, velocidade, aceleração, força, contadores de pulsos. Os processadores de sinal podem executar funções tais como adição, integração, diferenciação, atenuação, amplificação. Os atuadores podem ser sistemas mecânicos, pneumáticos, eletromagnéticos, piezoelétricos. Dependendo do tipo de sensor, processador de sinal e atuador usado, um sistema de controle de vibração ativo pode ser chamado um sistema eletromecânico, eletrofluidico, eletromagnético, piezoelétrico ou fluídico.

8.6 – Uso de Absorvedores de Vibração

Uma máquina ou sistema pode experimentar vibrações excessivas se está sob ação de uma força excitadora cuja freqüência se aproxima da freqüência natural da máquina ou sistema. Em tais casos, a vibração da máquina ou sistema pode ser reduzida usando um neutralizador de vibração ou absorvedor dinâmico de vibração. Isto é simplesmente outro sistema massa-mola. Considerar-se-á a análise de um absorvedor dinâmico de vibração idealizando a máquina como um sistema de um grau de liberdade. Os absorvedores de vibração foram estudados na Seção 5.7, da Unidade 5.

mecanica das vibrações.pdf

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