matematica_financeira_aplicada_-_ibpex_digital_280.pdf

Confira quais so os temas trabalhados nesta obra:

Taxas de porcentagem e de juros;

Simulaes de operaes financeiras;

Capitalizao simples;

Desconto simples e composto;

Capitalizao composta;

Rendas ou sries uniformes;

Taxa interna de retorno e valor presente lquido;

Correo monetria e indicadores econmicos;

Depreciao de bens;

Operao de arrendamento mercantil (leasing)

Debntures e sistemas de amortizao.

Matemtica Financeira Aplicada um livro que esmia os conceitos matemticos da rea de Finanas de maneira fcil e descomplicada.

Ideal para alunos de graduao, ps-graduao e para quem se prepa-ra para concursos pblicos, apresenta diversas explicaes e exerccios prticos, onde cada qual aprender a realizar clculos lgicos com segurana e eficincia, tanto com a utilizao de frmulas como com a utilizao da calculadora financeira HP-12C.

9 788578 385460

ISBN 978-85-7838-546-0

com novos recursos

prtica

matematica financeira_CAPA.pdf 1 21/11/2011 10:12:23

matematica financeira_CAPA_verso.pdf 1 16/11/2011 14:32:02

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Nelson Pereira Castanheira

Luiz Roberto Dias de Macedo

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Conselho Editorial

Dr. Ivo Jos Both, (presidente)

Dr.a Elena Godoy

Dr. Nelson Lus Dias

Dr. Ulf Gregor Baranow

Editor-chefe

Lindsay Azambuja

Editores-assistentes

Ariadne Nunes Wenger

Editor de arte

Raphael Bernadelli

Anlise de Informao

Jerusa Piccolo

Reviso de Texto

Schirley Horcio de Gois Hartmann

Capa

Denis Kaio Tanaami

Projeto Grfico

Bruno Palma e Silva

Diagramao

Regiane de Oliveira Rosa

Roberto Querido

Castanheira, Nelson Pereira. Matemtica financeira aplicada. [livro eletrnico] / Nelson Pereira Castanheira, Luiz Roberto Dias de Macedo. Curitiba: Ibpex, 2012. (Srie Matemtica aplicada) 2 MB; PDF

Bibliografia ISBN 978-85-7838-955-0

1. Administrao financeira 2. Finanas pessoais 3. Matemtica financeira 4. Mercado de capitais I. Macedo, Luiz Roberto Dias de. II Ttulo. III. Srie

12-07565 CDD 650.01513

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

ndices para catlogo sistemtico1.Matemtica financeira 650.01513

Foi feito o depsito legal.

Av. Vicente Machado, 317 14o andarCentro CEP 80420-010 Curitiba PR BrasilFone: (41) [email protected]

Informamos que de inteira responsabilidade do autor a emisso de conceitos. Nenhuma parte desta publicao poder ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prvia autorizao da Editora Ibpex.A violao dos direitos autorais crime estabelecido na Lei n 9.610/98 e punido pelo art. 184 do Cdigo Penal.Esta obra utilizada como material didtico nos cursos do Grupo Uninter.

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Apresentao 6

Porcentagem e regimes de capitalizao 11

Capitalizao simples 19

Desconto simples 37

Capitalizao composta 49

Taxas 67

Desconto composto 79

Rendas ou sries uniformes 89

Taxa interna de retorno e valor presente lquido 121

Correo monetria e indicadores 129

Depreciao 139

Operao de arrendamento mercantil leasing e Debntures 149

Amortizaes 163

Referncias 205

Respostas 207

Apndices 213

Sobre os autores 275

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Ao elaborar o texto deste livro, estivemos atentos necessidade que as pessoas em geral tm de conhecer os fundamentos bsicos da matem-tica financeira e, simultaneamente, dificuldade que comumente encon-tram quando leem uma obra sobre esse tema cuja linguagem seja dema-siadamente rebuscada. Procuramos, ento, produzir um material de fcil compreenso e com exemplos resolvidos a fim de possibilitar o estudo da

mate mtica financeira sem que seja necessria a presena permanente de

um professor ou profissional da rea para auxiliar na aprendizagem.

Temos a certeza de que, utilizada como livro-texto nas disciplinas de Mate-mtica Financeira, Anlise de Investimentos e Anlise Financeira, esta obra poder contribuir com alunos e educadores no desenvolvimento de suas prticas em sala de aula. As definies conceituais que propomos esto

ancoradas nos estudos realizados ao longo de nossa carreira acadmica e profissional na rea, bem como nas fontes referenciadas no final do livro.

Nossa experincia mostrou, ainda, que a iniciao aos princpios da mate-mtica financeira deve ocorrer por meio do esclarecimento quanto uti-lizao das frmulas algbricas. S posteriormente cabe ensinar o uso da calculadora financeira, ferramenta indispensvel para o profissional que

necessita de agilidade na resoluo de problemas matemtico-financeiros

no dia a dia. Optamos por oferecer explicaes quanto ao manuseio da calculadora HP-12C. Caso o leitor sinta alguma dificuldade nesse sentido, poder consultar o Apndice A desta obra. Assim, do modo como a orga-nizamos, o leitor poder desenvolver-se nessas duas habilidades, obtendo o mximo de aproveitamento dos seus estudos.

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Tivemos a inteno tambm de atender a quem deseja aprender matem-tica comercial. Para tal, importantes conceitos foram acrescentados nos Apndices B, C e D proporcionalidade, grandezas proporcionais, regra de trs simples e regra de trs composta. Dessa forma, ampliamos o alcance deste material e esperamos expandir os benefcios que podemos trazer ao leitor interessado.

Os Autores

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Como aproveitar ao mximo este livro

Logo na abertura do captulo, voc fica conhecendo os contedos que sero nele abordados. Voc tambm informado a respeito das competncias que ir desenvolver e dos conheci-mentos que ir adquirir com o estudo do captulo.

Durante o livro h uma srie de exerccios resolvidos para facilitar a compreen-so dos captulos.

Exerccio ResolvidoImaginemos que desejamos determinar quanto 8% (que lemos 8 por cento) de 250.

Primeiramente, lembre-se de que o smbolo % informa que devemos dividir por 100. Ento, queremos determinar quanto vale de 250. Isso signica

que transformamos 8% em uma razo porcentual. Em seguida, devemos substituir a preposio de pelo sinal de multiplicao.

Assim, teremos:

8% de 250 =

Poderamos ter efetuado esse clculo utilizando a proporo

Teramos ento:

100 . x = 250 . 8

Contedos do captulo

Denio de porcentagem ou percentagem. Passos do clculo de porcentagem. Razo porcentual. Regimes de capitalizao. A relao entre capital e juro. Risco pas.

Aps o estudo deste captulo, voc ser capaz de:

desenvolver a lgica do clculo porcentual em operaes cotidianas;1. aplicar o clculo de transformao de uma razo qualquer em razo 2. porcentual; compreender o conceito de capitalizao;3. entender o que capital e o que juro;4. distinguir juro simples de juro composto, bem como capitalizao 5. simples de capitalizao composta;conceituar risco pas.6.

conteudo do capitulo.pdf 29/1/2010 13:48:02

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Voc dispe, ao final do captulo, de uma sntese que traz os principais conceitos nele abordados.

Porcentagem e regim

es de capitalizao

1. Qual ser o montante, no nal de oito meses, se aplicarmos um capital de R$ 90.000,00 a uma taxa de juro simples de 54% ao ano?

2. Que capital, aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano, apre-sentou, aps 1 ano 6 meses e 15 dias, um montante de R$ 233.250,00?

3. Uma caderneta de poupana rendeu, em determinado ms, R$ 48,30. Supondo que nesse ms a rentabilidade total tenha sido de 1,15%, veri-que quanto estava depositado nessa poupana antes de ser creditado o ren dimento.

4. Uma pessoa investiu R$ 12.000,00 a uma taxa de juro simples de 1,2% ao ms, pelo perodo de cinco meses. Qual foi o montante obtido?

5. Qual foi o valor do montante bruto obtido por uma pessoa que investiu R$ 115.000,00 por 20 dias, a uma taxa de juro simples de 2,7% ao ms?

Com estas atividades, voc tem a possibilidade de rever os principais conceitos analisa-dos. Ao final do livro, o autor disponibiliza as respostas s questes, a fim de que voc possa verificar como est sua aprendizagem.

18

Captulo 1

Nas operaes nanceiras, o uso do clculo percentual uma constante. Para facilitar esse tipo de prtica, importante que voc compreenda a l-gica da concepo de percentual, ou seja, a ideia de fracionamento do todo e as relaes de razo entre as partes e o todo, processo que tecnicamente denominado de ou . Nesse clculo, como vimos, aplicamos a regra de trs e operamos a descoberta de quantos por cento corresponde a uma determinada razo dada. As operaes -nanceiras, importantes para o desenvolvimento de um pas, implicam um regime de capitalizao. Nesse contexto, necessrio que tenhamos claro o que capital e juro, bem como estejamos capacitados para responder: por que se cobra juro? O que uma taxa de juro? Como aplicar a taxa de juro? O que signica risco pas? Tambm no podemos esquecer que o fator montante fundamental em um regime de capitalizao e que perodo ou prazo constitui-se em fator estrutural dessa atividade.

Sntese

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Captulo 1

Sabemos que um por cento indica que dividimos o inteiro em 100 partes iguais e consideramos apenas uma dessas partes. Representamos isso da seguinte forma: , que chamamos de razo centesimal ou de razo

porcentual e lemos um por cento.

Usualmente, utiliza-se o smbolo % para representar porcentagem. No exemplo anterior, representaramos um por cento da seguinte forma: 1%.

Note que cem por cento corresponde ao todo e 100% = = 1.

Assim, chama-se 100% de unidade.

Chamemos P de principal, ou seja, o todo que temos ou que queremos.

Porcentagem uma parte do principal, ou seja, uma parte do todo.

Chamemos, agora, i de taxa, ou seja, parte da unidade. A notao i%, que

lemos i por cento, usada para representar a frao de :

Ento, para determinarmos uma porcentagem x, basta aplicarmos uma regra de trs simples, conforme vemos a seguir:

Grandeza 1 Grandeza 2

P 100

x i

Contedos do captulo

Definio de porcentagem ou percentagem. Passos do clculo de porcentagem. Razo porcentual. Regimes de capitalizao. A relao entre capital e juro. Risco pas.


1. desenvolver a lgica do clculo porcentual em operaes cotidianas;2. aplicar o clculo de transformao de uma razo qualquer em razo

porcentual; 3. compreender o conceito de capitalizao;4. entender o que capital e o que juro;5. distinguir juro simples de juro composto, bem como capitalizao

simples de capitalizao composta;6. conceituar risco pas.

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Porcentagem e regim

es de capitalizao

Ento:

1.1 Clculo da porcentagem

O clculo de uma porcentagem extremamente simples. Veja o "Exerccio Resolvido" a seguir.

Exerccio ResolvidoImaginemos que desejamos determinar quanto 8% (que lemos 8 por cento) de 250.

Primeiramente, lembre-se de que o smbolo % informa que devemos dividir por 100. Ento, queremos determinar quanto vale de 250. Isso significa

que transformamos 8% em uma razo porcentual. Em seguida, devemos substituir a preposio de pelo sinal de multiplicao.

Assim, teremos:

8% de 250 =

Poderamos ter efetuado esse clculo utilizando a proporo

Teramos ento:

100 . x = 250 . 8

x = 20

Simples e fcil, voc no achou?

1.1.1 Transformao de uma razo qualquer em razo centesimal (ou razo porcentual)

A transformao de uma razo qualquer em razo centesimal tem como objetivo descobrir a quantos por cento corresponde a razo dada. Veja e acompanhe os clculos do Exerccio Resolvido, logo a seguir.

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Captulo 1

Exerccio ResolvidoDesejamos saber a quantos por cento corresponde a razo .

Escrevemos que

4 . x = 3 . 100

x = 75

Ento, ou 75%

1.2 Operaes financeiras

Em qualquer pas em que estejamos, seja ele um pas de economia bem desen-volvida ou no, tenha ele uma moeda forte ou fraca, operaes so realizadas com a utilizao de dinheiro (moeda), com o propsito de auferir lucro.

Naqueles pases considerados em desenvolvimento, como o caso do Bra-sil, suas economias so abertas visando receber investimentos externos e, em consequncia, gerando novos empregos e contribuindo para o progresso do pas.

Essas operaes, denominadas financeiras, requerem os conhecimentos que sero mostrados ao longo desta obra.

1.2.1 Regimes de capitalizao

A incorporao do juro ao capital que o produziu denominada de capitaliza-o. Para que possamos compreender com facilidade esse conceito, necessrio, primeiro, entendermos o que capital e o que juro.

1.2.1.1 Capital

Qualquer valor expresso na moeda corrente de um pas e disponvel para uma operao financeira denomina-se capital. Ns o representaremos por C. Temos outros sinnimos para capital, a saber: valor atual, valor presen-te ou principal.

1.2.1.2 Juro

Num conceito bastante simples, porm abrangente, juro a remunerao do capital. Ns o representaremos por J.

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Porcentagem e regim

es de capitalizao Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 21) o regime de capitalizao que determina a forma de se acumularem os juros. Caso o juro incida so-mente sobre o capital inicial, trata-se de juro simples, e o regime de capi-talizao correspondente denominamos de capitalizao simples. Caso o juro incida sobre o capital mais o juro acumulado anteriormente, trata-se de juro composto, e o regime de capitalizao correspondente denomi-namos de capitalizao composta.

O conceito de juro, conforme Castanheira e Serenato (2008, p. 22), pode ser introduzido por meio das expresses:

valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado nossa disposio;

remunerao do capital empregado em atividades produtivas;

remunerao paga pelas instituies financeiras sobre o

capital nelas aplicado; remunerao do capital emprestado, podendo ser enten-dido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo

uso do dinheiro.

Devemos ressaltar que o juro simples cresce linearmente ao longo do tempo, enquanto o juro composto cresce exponencialmente. Para melhor visualizar esse comportamento, observe o quadro 1. Consideramos uma pessoa que tenha obtido um emprstimo de R$ 100,00 em uma instituio financeira

que utiliza uma taxa de juro de 80% ao ano. Qual ser a sua dvida no final

de quatro anos?

Quadro 1 Clculo do juro simples e do juro composto a partir de uma taxa de juro de 80% ao ano

AnoSaldo no incio de

cada anoJuro de cada ano

Saldo no final de

cada ano

Capitaliz.

simples

Capitaliz.

composta

Capitaliz.

simples

Capitaliz.

composta

Capitaliz.

simples

Capitaliz.

composta

1

2

3

4

100,00

180,00

260,00

340,00

100,00

180,00

324,00

583,20

0,8x100=80,00

0,8x100=80,00

0,8x100=80,00

0,8x100=80,00

0,8x100,00= 80,00

0,8x180,00=144,00

0,8x324,00=259,20

0,8x583,20=466,56

180,00

260,00

340,00

420,00

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324,00

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1.049,76

Taxa de juro

Falamos em taxa de juro. Afinal, o que essa taxa?

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Captulo 1

Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 22) o juro calculado por interm-dio de uma taxa percentual aplicada sobre o capital e que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, bimestre, ms, dia. Ns a representaremos por i. Veja os exemplos de 1 at 6. Observe, nos mesmos exemplos, como se representa a unidade de tempo (a. a., a. s., entre outros).

Exemplo 1 i = 48% ao ano = 48% a. a.

Exemplo 2 i = 22% ao semestre = 22% a. s.

Exemplo 3 i = 15% ao trimestre = 15% a. t.

Exemplo 4 i = 9% ao bimestre = 9% a. b.

Exemplo 5 i = 4% ao ms = 4% a. m.

Exemplo 6 i = 0,3% ao dia = 0,3% a. d.

Exerccios Resolvidos1. Um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 36%

ao ano proporcionar, ao final de um ano, um total de juro igual a:

36% de 5.000,00 = 36/100 . 5.000,00 = 1.800,00

2. Um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 2% ao ms proporcionar, ao final de um ano, um total de juro igual a:

2% de 5.000,00 = 2/100 . 5.000,00 = 100,00

Mas esse o valor do juro aps um ms. Como desejamos calcular o juro ao final de um ano, devemos multiplicar esse resultado por 12 (um ano

tem 12 meses) e obtemos:

J = 1.200,00

Que cuidados devemos ter ao resolver esses exemplos?

Dois so os cuidados. Primeiro, observe que, para o clculo do juro sim-ples sobre um capital C, necessrio transformar a taxa de juro em uma frao decimal. Ou seja, 2% igual a 0,02 (2 dividido por 100). Depois, Se-gundo Castanheira e Serenato (2008, p. 23) devemos cuidar

para que a taxa e o tempo sejam considerados na mesma unidade de tempo. Isso quer dizer que, se a taxa apresentada ao ms, o tempo deve ser expresso em meses; se a taxa apresentada ao semestre, o tem-po deve ser expresso em semestres; e assim por diante. Se no problema

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Porcentagem e regim

es de capitalizao apresentado isso no ocorrer, podemos tanto transformar a taxa quan-to o tempo para a obteno da homogeneidade entre ambos.

Por que se cobra juro?

comum questionarmos por que se cobra uma taxa de juro to elevada nas operaes financeiras. A composio da taxa de juro leva em conta que

o possuidor do dinheiro, ao se dispor a emprestar seu patrimnio, est

atento para os seguintes fatores:

nem sempre o tomador do emprstimo paga sua dvida ao possuidor do dinheiro (risco de crdito);

possvel que o tomador do emprstimo atrase o pagamento da sua dvida (risco de liquidez);

o possuidor do dinheiro deseja ter lucro ao emprestar o seu patrimnio;

o possuidor do dinheiro precisa precaver-se quanto a uma possvel desvalorizao do capital ao longo do tempo, em funo de um pro-cesso inflacionrio (risco de mercado);

todo emprstimo implica despesas operacionais, contratuais e tribu-trias tais como impostos;

h a possibilidade do no retorno do investimento em funo de pro-blemas operacionais da instituio onde os recursos foram aplicados (risco operacional);

existe a possibilidade de perdas em funo da situao econmica

do pas (risco pas).

Risco pas1

Outro fator responsvel pela elevao ou pela diminuio da taxa de juro o risco pas. O nvel do risco pas mostra a confiana que os investidores (em nvel mundial) tm quanto ao fato de o pas honrar ou no suas d-vidas. Quanto maior for a incerteza ou o risco associado a uma aplicao financeira, maior a taxa de juro exigida pelo investidor. Quanto mais alto

for o risco pas, maior a possibilidade, no ponto de vista do investidor, de que o pas pode dar calote. Em consequncia, quanto maior a possi-bilidade do calote, maior o valor do juro que o pas deve oferecer para convencer os investidores a comprar seus ttulos.

Caso tenhamos duas aplicaes financeiras com riscos diferentes, ambas

1 Esse item foi elaborado a partir das ideias de Castanheira e Serenato (2008, p. 64).

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Captulo 1

oferecendo o mesmo retorno (a mesma taxa de juro), parece-nos bvio que os investidores optem pela aplicao menos arriscada.

Para o clculo do risco pas, feita uma comparao entre o juro que um pas paga por ttulos de sua dvida e o que o Tesouro dos Esta dos Unidos da Amrica paga pelos seus, pois ele considerado como risco zero de calote.

Imaginemos, como exemplo, que o risco pas do Brasil est em 1.000 pon-tos. Isso quer dizer que os ttulos da dvida brasileira pagam 10% acima dos juros pagos pelos Estados Unidos da Amrica.

1.2.2 Montante

Verificamos que um capital, ao longo do tempo, precisa ter seu poder de com-pra mantido. Para tal, investimos um capital com o propsito de recebermos juro. Com a soma do capital ao juro, obtemos um valor a que denominamos montante e que representaremos por M. Temos, ento, a frmula para o cl-culo do montante:

M = C + J

1.2.3 Perodo ou prazo

Ao tempo sobre o qual um capital C ou recebe ou paga um juro J denomina-mos de perodo ou prazo e o representaremos por n. Em outras palavras, n indica o nmero de vezes que o capital ser acrescido de juro. Pode ainda se referir quantidade de parcelas de uma renda, como veremos adiante.

Nas operaes financeiras, o uso do clculo percentual uma constante.

Para facilitar esse tipo de prtica, importante que voc compreenda a l-gica da concepo de percentual, ou seja, a ideia de fracionamento do todo e as relaes de razo entre as partes e o todo, processo que tecnicamente denominado de razo centesimal ou razo percentual. Nesse clculo, como vimos, aplicamos a regra de trs e operamos a descoberta de quantos por cento corresponde a uma determinada razo dada. As operaes fi-nanceiras, importantes para o desenvolvimento de um pas, implicam um regime de capitalizao. Nesse contexto, necessrio que tenhamos claro o que capital e juro, bem como estejamos capacitados para responder: por que se cobra juro? O que uma taxa de juro? Como aplicar a taxa de juro? O que significa risco pas? Tambm no podemos esquecer que o fator

montante fundamental em um regime de capitalizao e que perodo ou prazo constitui-se em fator estrutural dessa atividade.

SnteseNe

nhum

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Capitalizao simples

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Captulo 2

Denominamos de capitalizao simples o regime de capitalizao em que a taxa de juro utilizada simples. Nesse caso, o juro calculado, sempre, sobre o valor do capital inicial. Observe que indiferente se o tomador do emprstimo pagar o juro periodicamente (por exemplo, mensalmente) ou o pagar em uma parcela nica ao final do perodo contratado, uma vez

que ele constante e proporcional ao capital sobre o qual incide.

Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 25) como para cada intervalo (pe-rodo ou prazo) a que corresponde a taxa de juro temos um mesmo valor de juro, se quisermos saber o total no perodo, basta multiplicar o valor de cada intervalo pelo nmero de intervalos. J havamos demonstrado esse fato no exemplo 10.

Temos, ento, a frmula do Juro Simples:

J = C . i . n

J mostramos que:

M = C + J

Ento:

M = C + C . i . n

M = C . (1 + i . n)

Essa a frmula geral da capitalizao simples.

Contedos do captulo

Capitalizao simples. Juro ordinrio e juro exato. Aplicaes do juro simples. Uso da calculadora financeira HP-12C em capitalizao simples.


1. identificar as situaes em que recorrer frmula de capitalizao simples;

2. fazer operaes com juro simples;3. usar a calculadora financeira HP-12C;4. fazer clculos utilizando a regra do banqueiro;5. realizar o clculo para o juro de cheque especial, bem como

o do saldo mdio de correntista.

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Capitalizao sim

plesMas onde utilizado o juro simples? Com que tipo de juro trabalha o mer-cado financeiro?

Conforme Castanheira e Serenato (2008, p. 25) o mercado financeiro utiliza

tanto o juro simples quanto o juro composto nas suas operaes. A cal-culadora financeira HP-12C est preparada para tal situao. Segundo os mesmos autores o juro simples utilizado, por exemplo, na aplicao de-nominada hot money, que um emprstimo dirio e renovvel, com juros comerciais e com taxas mensais, ou em descontos de cheques ou de dupli-catas. Veremos adiante que, quando saldamos uma dvida em que temos perodos que no so inteiros (por exemplo, temos uma taxa de juro ao ms e atrasamos uma dvida por 23 dias), nos cobrado o juro simples por ser mais danoso. Ainda de acordo com os mesmo autores no podemos es-quecer, ainda, a utilizao do juro simples em contas vinculadas por saldo devedor (juro simples postecipado).

Para a fixao de todos esses conceitos, precisamos analisar alguns Exer-ccios Resolvidos.

Exerccios ResolvidosVamos imaginar um emprstimo de R$ 5.000,00 que ser quitado em uma parcela nica cinco meses aps, a uma taxa de juro simples de 2% ao ms. De quanto ser o montante ao final do quinto ms?

Ms Saldo inicial Juros Saldo final (m)

012345

5.000,005.100,005.200,005.300,005.400,00

5.000,00 . 0,02 = 1005.000,00 . 0,02 = 1005.000,00 . 0,02 = 1005.000,00 . 0,02 = 1005.000,00 . 0,02 = 100

5.000,005.100,005.200,005.300,005.400,005.500,00

Resolvendo esse problema pela frmula geral da capitalizao simples, te-remos:

M = C . (1 + i . n)

M = 5.000,00 . (1 + 0,02 . 5)

M = 5.000,00 . (1,10)

M = 5.500,00

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Captulo 2

Vamos, a partir de agora, utilizar a calculadora financeira HP-12C.

Para a utilizao da calculadora financeira HP-12C em operaes de juro simples, necessrio atentar para o fato de que o perodo deve ser fornecido, sempre, em dias. A taxa de juro simples, por sua vez, deve ser fornecida, sempre, ao ano. Vejamos, ento, como seria resolvido com o uso da calcu-ladora o exerccio imediatamente anterior:

f REG (limpa os registradores (memrias) financeiros)

f 2 (duas casas decimais no visor)

150 n (introduz o perodo em dias observar que consideramos o ano comercial, ou seja, 360 dias)

24 i (taxa ao ano)

5000 CHS PV (capital inicial data zero com sinal de fluxo de caixa)

f INT (valor do juro simples = 500,00)

+ (valor do montante = 5.500,00)

Exerccios Resolvidos1. Vamos agora resolver o clculo de uma aplicao financeira pela frnula

e em seguida com a calculadora. Um valor de R$ 5.000,00 foi aplicado taxa de juro simples de 2% ao ms, durante oito meses. Qual o valor do juro simples?

Como resolver pela frmula?

J = C . i . n

C = 5.000,00

i = 2% a. m. = 0,02 a. m.

n = 8 m

J = 5.000,00 . 0,02 . 8

J = 800,00

Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C?

f REG (limpa os registradores financeiros)

f 2 (queremos duas casas decimais)

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Capitalizao sim

ples5000 CHS PV (capital com sinal de fluxo de caixa)

2 ENTER

12 i (taxa de juro ao ano)

8 ENTER

30 n (perodo em dias ano comercial = 360 dias)


2. Vamos observar os dados de outro problema: Qual o rendimento de R$ 3.200,00 em quatro meses, a uma taxa de juro simples de 36% ao ano?

Iremos resolver pela frmula. Sendo assim:

C = 3.200,00

i = 36% a. a. = 36/12 % a. m. = 3,0% a. m. = 0,03 a. m.

J = C . i . n

J = 3.200,00 . 0,03 . 4

J = 384,00

Voc j se perguntou por que dividimos a taxa fornecida por 12? Porque o perodo fornecido uma quantidade de meses e necessitamos manter a ho-mogeneidade nos tempos das grandezas perodo (n) e taxa de juro (i). Op-tamos por transformar a taxa anual em taxa mensal. Poderamos ter manti-do a taxa ao ano e transformado o perodo em anos (4 meses = 4/12 anos).

Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C?

f REG (limpa os registradores financeiros)

f 2 (queremos duas casas decimais)

3200 CHS PV (capital com sinal de fluxo de caixa)

36 i (taxa fornecida ao ano)

4 ENTER

30 n (perodo fornecido em dias)


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Captulo 2

2.1 Juro ordinrio

O juro ordinrio quando trabalhamos com o ano comercial, ou seja, quando consideramos que o ano tem todos os seus meses com 30 dias. Assim, o ano comercial tem 360 dias.

2.2 Juro exato

O juro exato, como o nome sugere, considera o nmero exato de dias que tem cada ms do ano civil. O ano tem, portanto, 365 dias. No caso do ano bissexto, consideramos 366 dias.

Lembramos que, para a utilizao da HP-12C, caso o tempo no esteja em dias, devemos transform-lo; se a taxa fornecida no for ao ano, devemos transform-la.

A melhor forma de assimilarmos esse processo acompanhando um cl-culo. Vamos, portanto, calcular o juro exato e o juro ordinrio de um capital de R$ 10.000,00 que foi aplicado durante os meses de julho e agosto, a uma taxa de 48% ao ano.

a) Juro ordinrio (ano comercial)

Pela frmula:

C = 10.000,00

i = 48% a. a. = 0,48 a. a.

n = 2 meses = 2/12 anos

J = C . i . n

J = 10.000,00 . 0,48 . 2/12

J = 800,00

Pela calculadora HP-12C:

f REG

f 2

10000 CHS PV

48 i

2 ENTER

30 n

f INT (juro ordinrio = 800,00, considerando n = 60 dias)

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Capitalizao sim

plesb) Juro exato (ano civil)

Pela frmula:

C = 10.000,00

i = 48% a. a. = 0,48 a. a.

n = 62 dias = 62/365 anos

J = C . i . n

J = 10.000,00 . 0,48 . 62/365

J = 815,34


f REG

f 2

10000 CHS PV

48 i

62 n

f INT (juro ordinrio = 826,67, considerando n = 62 dias)

R (tecla roll down: mostra no visor o principal)

x y (juro exato = 815,34)

Voc observou nesse exemplo que a calculadora financeira HP-12C calcula, ao mesmo tempo, o juro ordinrio e o juro exato. Para visualizar os dois, basta pressionar as teclas na sequncia mostrada nesse exemplo.

Exerccios Resolvidos1. Calcule o montante acumulado ao final de 40 dias, a partir de um ca-

pital de R$ 1.000,00, com juro simples de 48% ao ano, nas hipteses de ano comercial e de ano civil.

a) Juro ordinrio (ano comercial)

Pela frmula:

M = C . (1 + i . n)

M = 1.000,00 . (1 + 0,48/360 . 40)

> Dr. Logo, Vc < Vr.

Para contextualizarmos essa prtica vamos determinar o desconto comer-cial e o desconto racional sobre um ttulo de R$ 38.400,00, considerando uma taxa de desconto simples igual a 3% ao ms e sabendo que o ttulo vencer daqui a cinco meses.

M = 38.400,00

i = 3% a. m. = 0,03 a. m.

n = 5 m

Dc = M . i . n

Dc = 38.400,00 . 0,03 . 5

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Captulo 3

Dc = 5.760,00

Dc = Dr . (1 + i . n)

5.760,00 = Dr . (1 + 0,03 . 5)

5.760,00 = Dr . 1,15

Dr = 5.008,70

3.4 Ttulos equivalentes

Ao necessitarmos substituir um ttulo por outro, precisamos tera certeza de que os ttulos so equivalentes. Tal substituio pode ocorrer quando se deseja ou antecipar ou postecipar o pagamento de um ttulo. Trata-se, portanto, da troca de papis.

importante ressaltar que dois ttulos s so equivalentes a uma determi-nada taxa. Alterando-se o valor da taxa, a equivalncia desaparecer.

Para estabelecer a equivalncia entre ttulos, necessrio escolhermos uma data para o clculo do valor do novo ttulo. Essa data denominada de data focal ou data de referncia. Na data focal, os valores atuais dos dois ttulos so iguais.

Vimos que Vc = M . (1 i . n)

Chamemos de M1 o valor nominal do novo ttulo para um novo prazo de vencimento n1. Portanto, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 45) Vc = M1 . (1 i . n1) pois, pela definio, os valores atuais dos ttulos des-contados na mesma data focal so iguais. Ento, temos que:

M . (1 i . n) = M1 . (1 i . n1)

M . (1 i . n)

(1 i . n1)

Assim, se considerarmos um ttulo de R$ 4.200,00, que vencer em cinco me-ses e deve ser substitudo por outro com vencimento para daqui a oito meses, admitindo que esses ttulos podem ser descontados taxa de 1,5% ao ms, vamos calcular o valor nominal do novo ttulo.

M = 4.200,00

n = 5 m

i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.

M1 =

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Desconto sim

ples

M1 =

n1 = 8 m

4.200,00 . (1 0,015 . 5)

1 0,015 . 8

M1 = 4.414,77

Exerccio ResolvidoUma empresa deve pagar dois ttulos, sendo um de R$ 2.560,00, vencvel em dois meses, e outro de R$ 3.440,00, vencvel em cinco meses. Entretanto, no podendo resgat-los nos prazos estipulados, prope ao credor substitu-los por um nico ttulo, com vencimento para oito meses. Calcule o valor nomi-nal do novo ttulo, considerando a taxa de juro simples de 1,2% ao ms.

M = 2.560,00

M = 3.440,00

n = 2 m

n= 5 m

n1 = 8 m

i = 1,2% a. m. = 0,012 a. m.

M . (1 i . n) + M. (1 i . n)

1 i . n1 1 i . n1

2.560,00 . (1 0,012 . 2) + 3.440,00 . (1 0,012 . 5)

1 0,012 . 8 1 0,012 . 8

M1 = 6.340,88

Novamente hora de voc exercitar sozinho. Apresentamos, a seguir, mais uma srie de 20 exerccios. Resolva-os e confira com as respostas

fornecidas.

M1 =

M1 =

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Captulo 3

1. Uma empresa pretende saldar um ttulo de R$ 3.900,00 trs meses antes do seu vencimento. Sabendo que a taxa de juro simples corrente de 24% ao ano, determine o desconto comercial que vai obter e que valor ela deve pagar.

2. Um ttulo de R$ 3.250,00 foi resgatado 105 dias antes do prazo de venci-mento, taxa de juro simples de 30% ao ano. Qual foi o valor do desconto comercial?

3. Uma nota promissria de R$ 44.250,00 foi paga cinco meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 18% ao ano. Qual foi o valor do resgate?

4. Um ttulo de R$ 38.444,00, com vencimento em 15/06, foi resgatado em

21/02 pelo valor de R$ 34.325,00. Qual era a taxa mensal de desconto racio-nal simples?

5. Qual seria o desconto comercial em uma negociao cujo resultado da operao forneceu um desconto racional de R$ 2.800,00 taxa de juro sim-ples de 2,0% ao ms, num perodo de quatro meses?

6. Um ttulo de valor nominal igual a R$ 55.000,00, pagvel em 30 dias, vai ser substitudo por outro com vencimento em 90 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o ttulo taxa de juro simples de 30% ao ano, deter-mine o valor nominal do novo ttulo, considerando um desconto comercial simples.

SnteseTtulo de crdito, nota promissria, duplicata, descontos comercial e racio-nal, bem como taxa de descontos, so todos conceitos relacionados ao am-biente financeiro, mais especificamente nas questes relativas a emprsti-mos e dvidas. Para facilitar as operaes desse contexto so estabelecidas frmulas matemticas que envolvem, entre outras, taxa prefixada, taxa de

despesa administrativa, alm das respectivas taxas de descontos. Mas no processo operacional do desconto simples necessrio tambm conhecer os clculos para estabelecer a relao entre o desconto comercial e o ra-cional, assim como a equivalncia entre ttulos. Para que essas operaes fiquem bem claras, foi que optamos por uma srie contnua de exerccios

de fixao, alm dos exemplos trabalhados na exposio dos contedos.

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47

Desconto sim

ples7. Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00, com vencimento em 3 de novembro. No dia 17 de agosto do mesmo ano, descontou o ttulo num banco que utilizou 2% ao ms de taxa de desconto comercial simples. Determine o valor desse desconto.

8. Qual foi a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operao financeira em que um ttulo de R$ 3.200,00 foi resgatado por R$ 2.854,40,

noventa dias antes do seu vencimento?

9. Um ttulo no valor de R$ 4.665,00 foi descontado antes do seu vencimen-to, pelo valor atual de R$ 4.156,51. Sabendo que foi utilizada a taxa de des-conto comercial simples de 2,18% ao ms, verifique quanto tempo faltava

para o ven cimento do ttulo.

10. Um cliente de um banco tinha uma duplicata que venceria em 75 dias. Dirigiu-se ao banco e resgatou-a pelo valor lquido de R$ 952,00. Sabendo que esse banco havia cobrado, nessa operao, uma taxa de desconto co-mercial simples de 1,92% ao ms, descubra o valor nominal dessa dupli-cata.

11. Um ttulo de R$ 8.345,00 foi resgatado 80 dias antes do seu vencimento e, em consequncia, ganhou um desconto comercial simples de R$ 747,72. Qual foi a taxa mensal de desconto utilizada nessa operao?

12. Um ttulo no valor de R$ 8.000,00 foi descontado taxa de 0,12% ao dia. Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de R$ 233,01, calcule o perodo de antecipao (dias) no resgate do ttulo.

13. Um ttulo foi descontado taxa de 0,30% ao dia, estando a 40 dias de seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de R$ 540,00, calcule o valor nominal do ttulo.

14. Uma pessoa possua uma dvida de R$ 589,00 e resolveu pag-la dois meses antes do vencimento. Perguntado qual o valor do desconto comer-cial simples a que tinha direito, responderam que a taxa de desconto era de 1,5% ao ms. Quanto essa pessoa ganhou de desconto?

15. Uma dvida foi paga 36 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2% ao ms. Sabendo que o valor lquido pago foi de R$ 458,72, determine o valor nominal dessa dvida.

16. Um ttulo de R$ 1.000,00 foi pago cinco meses antes do seu vencimento, por desconto comercial simples. Sabendo que o desconto recebido foi de R$ 50,00, estabelea a taxa de desconto dessa operao.

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Captulo 3

17. Uma duplicata de R$ 2.100,00 foi resgatada por R$ 1.848,00, a uma taxa de desconto comercial simples de 2% ao ms. Quanto tempo faltava para o vencimento dessa duplicata?

18. Uma dvida de R$ 3.000,00 foi paga quatro meses antes do seu venci-mento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,5% ao ms. Qual foi o valor lquido pago pela dvida?

19. Um ttulo de R$ 4.600,00 foi pago seis meses antes do seu vencimento. Sabendo que o ttulo recebeu um desconto racional simples com uma taxa de desconto de 30% ao ano, determine o valor pago pelo resgate do ttulo.

20. O desconto racional simples recebido por um ttulo de R$ 2.388,96, que foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, foi de R$ 255,96. Qual foi a taxa de desconto utilizada nessa operao?

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Capitalizao composta

captu

lo

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Captulo 4

No nosso dia-a-dia, quando efetuamos uma compra a prazo ou quando to-mamos emprestada uma certa quantia em dinheiro, em um banco comer-cial, estamos pagando juro. E estamos pagando juro composto. O mesmo acontece quando, por exemplo, fazemos o financiamento da casa prpria.

Ento, de suma importncia que saibamos o que e como funciona o juro composto. Inicialmente, vamos ver o que capitalizao composta.

Quando a taxa de juro utilizada composta, o regime denominado de capitalizao composta, ou seja, o juro produzido num perodo ser acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no perodo seguinte. Por isso, tambm chamado de juro sobre juro.

A cada intervalo em que o juro incorporado ao valor que o produziu deno-minamos perodo de capitalizao.

Em pases cuja moeda sofre constantes oscilaes, como o caso brasilei-ro, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 47) recomenda-se o uso de capitalizao composta, pois a aplicao de capitalizao simples produz distores at no curtssimo prazo.

4.1 Montante

Tal qual na capitalizao simples, o capital envolvido em uma operao financeira, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 47) acrescido do juro,

compe o montante. Representa sempre o valor total de uma dvida ou o valor futuro.

Contedos do captulo

Conceituao e caracterizao da capitalizao composta. Uso de frmulas de clculo de montante, juro composto, equivalncia

de taxas. Conceito e aplicao de perodo fracionrio.


1. entender como se processa a capitalizao composta;2. aplicar as frmulas de clculo de montante, juro composto

e de equivalncia de taxas na capitalizao composta;3. dimensionar e realizar os clculos que envolvam o conceito

de perodo fracionrio.

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Capitalizao com

posta M = C + J

Obtemos o montante segundo os mesmo autores (2008, p. 47) calculando o juro simples, o perodo de capi talizao a perodo de capitalizao, e incor-porando-o ao capital inicial para o prximo perodo.

Para facilitar o entendimento, iremos aplicar esse conceito em um exemplo prtico, ou seja, vamos determinar o montante produzido por um capital de R$ 100,00, aplicado a juro composto de 10% ao ms, capitalizado mensalmen-te, durante trs meses. Portanto:

C = 100,00

i = 10% a. m. = 0,1 a. m.

n = 3 m

M = C . (1 + i), com n = 1 perodo

Aps o primeiro perodo de capitalizao (n = 1 ms):

M1 = 100,00 . (1 + 0,1)

M1 = 110,00

Aps o segundo perodo de capitalizao (n = 1 ms):

M2 = M1 . (1 + 0,1)

M2 = 100,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1)

M2 = 121,00

Aps o terceiro perodo de capitalizao (n = 1 ms):

M3 = M2 . (1 + 0,1)

M3 = 100,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1) . (1 + 0,1)

M3 = 133,10

Como o fator (1 + i) varia de acordo com a quantidade de perodos de capi-talizao, fica fcil definirmos a frmula geral da capitalizao composta:

M = C . (1 + i)n

Vamos resolver este exemplo utilizando esta frmula:

M = 100,00 . (1 + 0,1)3

M = 133,10

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Captulo 4


f REG

f 2

100 CHS PV

3 n

10 i

FV valor final (montante)

Observe que, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 49) na capitalizao composta, a calculadora financeira HP-12C precisa dos valores do perodo (n) e da taxa de juro (i) na mesma base de tempo. Devemos, portanto, man-ter a homogeneidade nos tempos, diferentemente da capitalizao simples, em que a taxa de juro fornecida ao ano e o perodo fornecido em dias.

Exerccio Resolvido1. Qual o capital que, aplicado a uma taxa de juro composto de 1,5% ao ms,

capi talizado mensalmente, produz o montante de R$ 2.816,23 aps oito meses?

i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.

M

(1 + i)n

2.816,23

(1 + 0,015)8

C = 2.500,00


f REG

f 2

2816.23 CHS FV

1.5 i

8 n

PV

C =

C =

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Capitalizao com

posta

C =

4.200,00 =

(1 + i)4 =

2. Um capital de R$ 4.200,00 foi aplicado a juro composto, durante quatro meses e resultou num montante de R$ 4.617,95. Qual a taxa de juro composto utilizada nessa operao?

M

(1 + i)n

4.617,95

(1 + i)4

4.200,00 . (1 + i)4 = 4.617,95

4.617,95

4.200,00

(1 + i)4 = 1,09951191

Extraindo a raiz quarta dos dois lados da igualdade, temos:

1 + i = 1,0240

i = 0,0240 a. m. ou i = 2,4% a. m.


f REG

f 2

4200 CHS PV

4617.95 FV

4 n

i

4.2 Juro composto

Sabemos que juro, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 49-50) o rendimento produzido por um capital em determinado tempo, calculado sobre o capital. Quando sobre esse valor que j tem embutida uma parce-la de juro incide novamente a taxa de juro (juro sobre juro), estamos diante de uma capitalizao composta, em que o valor do juro aumenta a cada perodo de capitalizao.

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Captulo 4

Ao final de cada perodo de capitalizao, temos um montante parcial. Por-tanto, para a determinao do montante total de uma operao financeira,

utilizamos a frmula:

M = C . (1 + i)n

Como M = C + J:

C + J = C . (1 + i)n

J = C . (1 + i)n C

J = C . [(1 + i)n 1]

Assim, chegamos frmula geral do juro composto.

Vamos, agora, aplic-la. Considerando um capital de R$ 12.000,00, aplicado a juro composto de 1,4% ao ms, capitalizado mensalmente, durante um ano vamos determinar o juro produzido.

C = 12.000,00

i = 1,4% a. m. = 0,014 a. m.

n = 1 a = 12 m

J = C . [(1 + i)n 1]

J = 12.000,00 . [(1 + 0,014)12 1]

J = 12.000,00 . 0,181559

J = 2.178,71


f REG

f 2

12000 CHS PV

1.4 i

12 n

FV valor final (montante = 14.178,71)

RCL PV (capital = - 12.000,00 a tecla RCL mostra no visor uma posio de memria qualquer)

+ (valor dos juros = 2.178,71)

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Capitalizao com

postaExerccios Resolvidos

1. Josilma toma emprestados R$ 25.000,00 a uma taxa de juro de 2% ao ms, pelo prazo de 24 meses, com capitalizao composta. Qual o va-lor a ser pago no final do perodo?

M = C . (1 + i)n

M = 25.000,00 . (1 + 0,02)24

M = 40.210,93


f REG

f 2

25000 CHS PV

2 i

24 n

FV

2. Paulo possui um ttulo com vencimento em cinco meses, com valor no-minal de R$ 3.400,00. Foi-lhe proposta a troca daquele ttulo por outro, com vencimento para dali a dois meses e valor nominal de R$ 3.200,00. Sabendo que a taxa de juro composto corrente de 3% ao ms, verifi-que se a troca vantajosa.

n = 5 2 = 3 meses

i = 3% a. m. = 0,03 a. m.

M = 3.400,00

M

(1 + i)n

3.400,00

(1 + 0,03)3

C = 3.111,48

Logo, a troca vantajosa, pois o ttulo de R$ 3.400,00, dali a dois meses, valer R$ 3.111,48 (menos que o novo ttulo que esto oferecendo, no valor de R$ 3.200,00).

C =

C =

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Captulo 4


f REG

f 2

3400 CHS FV

3 n

3 i

PV

3. Beatriz aplicou um capital de R$ 3.000,00 a juro composto, a uma taxa de 2,2% ao ms, durante dez meses. Qual ser o montante obtido?

Verificamos que M = C . (1 + i)n

Como tanto a taxa quanto o perodo esto referenciados a meses, nenhuma transformao se faz necessria. Ento:

M = 3.000,00 . (1 + 0,022)10

M = 3.000,00 . 1,24310828

M = 3.729,32


f REG

f 2

3000 CHS PV

10 n

2.2 i

FV

4. Um ttulo de renda fixa dever ser resgatado por R$ 14.345,00 daqui a um ano. Sabendo que o rendimento desse ttulo de 28,8% ao ano, determine o seu valor atual.

Lembre-se: o valor de resgate o valor nominal ou valor futuro do ttulo. O valor atual quanto o ttulo vale hoje (valor presente).

Como a taxa e o perodo esto ambos referenciados a ano, a aplicao da frmula imediata.

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Capitalizao com

posta

C =

M = C . (1 + i)n

14.345,00 = C . (1 + 0,288)1

14.345,00

1,288

C = 11.137,42


f REG

f 2

14345 CHS FV

1 n

28.8 i

PV

5. Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% ao ms. Qual foi o valor do juro composto produzido?

J = C . [(1 + i)n 1]

Como a taxa fornecida mensal, precisamos transformar o perodo em meses.

Ento, n = 12 meses.

J = 6.600,00 . [(1 + 0,016)12 1]

J = 6.600,00 . [0,20983041]

J = 1.384,88


f REG

f 2

6600 CHS PV

12 n

1.6 i

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Captulo 4

FV

RCL PV

+

6. Uma aplicao a juro composto durante trs meses rendeu de juro o valor de R$ 288,44. Sabendo que o agente financeiro utilizou a taxa de

juro composto de 1,88% ao ms, verifique qual foi o capital aplicado.

J = C . [(1 + i)n 1]

288,44 = C . [(1 + 0,0188)3 1]

288,44 = C . 0,05746697

C = 5.019,23

7. Um televisor custa, vista, R$ 1.999,00. A loja prope ao comprador que leve o aparelho sem entrada e o pague de uma s vez, daqui a dois meses, a uma taxa de juro composto de 2,89% ao ms. Por quanto sair o televisor?

M = C . (1 + i)n

M = 1.999,00 . (1 + 0,0289)2

M = 1.999,00 . 1,05863521

M = 2.116,21


f REG

f 2

1999 CHS PV

2 n

2.89 i

FV

4.3 Equivalncia de taxas

Duas ou mais taxas so equivalentes se, ao mantermos constantes o capital e o prazo de aplicao do capital, o montante resultante da aplicao for o mesmo quaisquer que sejam os perodos de capitalizao.

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Capitalizao com

postaPara a determinao da taxa equivalente, em capitalizao composta, uti-lizamos a frmula:

iq = (1 + it)q/t 1

em que:

iq = taxa que eu quero;

it = taxa que eu tenho;

q = tempo (perodo) da taxa que eu quero;

t = tempo (perodo) da taxa que eu tenho.

Evidentemente dever haver uma homogeneidade nos prazos a que as taxas se referem (q e t devero estar na mesma base de tempo).

Assim, com a aplicao dessa frmula, iremos calcular a taxa anual equiva-lente a 1,2% ao ms, pelo critrio de juro composto.

it = 1,2% a. m. = 0,012 a. m.

q = 1 a = 12 m

t = 1 m

iq = ?

iq = (1 + it)q/t 1

iq = (1 + 0,012)12/1 1

iq = 0,153895 a. a. ou 15,3895% a. a.


f REG

f 4

STO EEX (indicador de estado c ligado)

100 CHS PV

101.2 FV

12 1/x n

i (taxa equivalente = 15,3895% a. a.)

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Captulo 4

Por que pressionamos a seqncia de teclas STO EEX? Essa seq-ncia ou liga ou desliga o indicador de estado c. Esse indicador informa calculadora cientfica HP-12C, que dever trabalhar em uma das duas seguintes funes:

ser calculada a taxa equivalente em capitalizao composta;

dever ser aplicado juro composto o tempo todo, inclusive em pero-do fracionrio. Esse assunto ficar mais claro para voc no item 5.4

a seguir.

Como foi usada a HP-12C?

No registrador PV, informamos sempre o valor 100, como base de cl-culo, para que a taxa equivalente j seja fornecida em percentual;

no registrador FV, informamos o resultado da soma entre o valor fornecido no registrador PV e a taxa conhecida;

no registrador n, devemos informar o resultado da diviso do tempo da taxa que eu tenho pelo tempo da taxa que eu quero (t/q).

Exerccio ResolvidoCalcule a taxa mensal equivalente a 20% ao ano.

it = 20% a. a. = 0,20 a. a.

nt = 1 a = 12 m

nq = 1 m

iq = ?

iq = (1 + it)q/t 1

iq = (1 + 0,2)1/12 1

iq = 0,01530947 ou 1,530947% a. m.


f REG

f 6

Verifique se o indicador de estado c est ligado.

100 CHS PV

120 FV

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Capitalizao com

posta12 n

i (taxa equivalente = 1,530947 a. m.)

4.4 Perodo fracionrio

Antes de darmos o conceito de perodo fracionrio, vamos lembrar que, quando fornecemos uma taxa de 2% ao ms, estamos considerando que esse percentual de 2% aplicado durante um ms inteiro. Entretanto, se-gundo Castanheira e Serenato (2008, p. 54) pode mos ter um nmero de pe-rodos de capitalizao no inteiros. Podemos ter, por exemplo, um valor aplicado durante 1 ms e 15 dias e a capitalizao ser mensal; nesse caso, temos um perodo fracionrio. Ou seja, alm do ms inteiro, h um perodo de 15 dias, que corresponde a uma frao do ms. Estamos falando de capi-talizao descontnua.

Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 54) "para o clculo do juro, sepa-ramos a parte inteira da parte fracionria. Para a parte inteira, fazemos o clculo normalmente. Para a parte fracionria, podemos adotar duas con-venes: a linear ou a exponencial".

4.4.1 Conveno linear (ou conveno mista)

Para obter o juro num perodo fracionrio, adotando a conveno linear, fa-zemos o clculo em duas etapas, conforme Castanheira e Serenato (2008):

para a parte inteira de tempo (n), calculamos o montante a juro com-posto;

para a frao no inteira de tempo (n1), admitida a formao linear de juro, ou seja, calculamos o montante a juro simples.

Para a conveno linear, portanto, as operaes na HP-12C devero ter o indicador de estado c desligado.

Considerando um capital de R$ 1.000,00 e aplicado a taxa de juro compos-to de 2% ao ms, por um perodo de 4 meses e 15 dias, com capitalizao mensal. Portanto, para determinar qual ser o montante obtido, utilizando a conveno linear utilizamos a sequncia:

M = ?

i = 2% a. m. = 0,02 a. m.

n = 4 m

Nenh

uma p

arte

desta

publi

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er s

er re

prod

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por q

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form

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autor

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viola

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rais

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Pen

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62

Captulo 4

n1 = 15 d = 15/30 m

M = C . (1 + i)n . ( 1 + i . n1)

M = 1.000,00 . (1 + 0,02)4 . (1 + 0,02 . 15/30)

M = 1.093,26


Inicialmente, certificamo-nos de que o indicador de estado c est desli-gado. Caso esteja ligado, pressionamos, na seqncia, as teclas STO EEX, antes do comando FV.

f REG

f 2

1000 CHS PV

4.5 n

2 i

FV (montante = 1.093,26)

4.4.2 Conveno exponencial

O clculo do juro num perodo fracionrio, adotando a conveno expo-nencial, tem em conta o juro composto o tempo todo, ou seja, tanto na parte inteira do tempo (n) quanto na parte no inteira (n1). Ento:

M = C . (1 + i)n . (1 + i)n1

Como as bases so iguais, podemos escrever:

M = C . (1 + i) n+n1

Utilizaremos a conveno exponencial para o clculo.

Nesse caso, o indicador de estado c dever estar ligado. Com isso, a HP-12C aplicar juro composto tanto na parte inteira quanto na parte fra-cionria do tempo.

f REG

f 2

1000 CHS PV

4.5 n

2 i

FV (montante = 1.093,20)

Nenh

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63

Capitalizao com

postaObserve que o valor encontrado foi 1.093,20. Por que esse valor ligeira-mente menor que aquele encontrado no exemplo anterior, no qual o juro da parte fracionria foi simples?

A resposta a essa pergunta : o juro simples no perodo fracionrio maior do que o juro composto.

Assim, no dia a dia do mundo financeiro, costuma-se utilizar a conveno

linear. No caso da mquina financeira HP-12C, o indicador de estado c costuma j estar apagado.

Exerccio Resolvido

Calcule o montante produzido pela aplicao de um capital de R$ 48.000,00 taxa de 18% ao ano, com capitalizao mensal, durante 6 meses e 15 dias, pela conveno exponencial.

M = C . (1 + i)n+n1

i = 18% a. a. = 0,18 a. a. = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.

n = 6 m

n1 = 15 d = 0,5 m

M = 48.000,00 . (1 + 0,015)6,5

M = 52.877,45


f REG

f 2

1.5 i

48000 CHS PV

6.5 n

FV

No se esquea de que dever estar ligado o indicador de estado c, pois na conveno exponencial calculado juro composto o tempo todo.

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Captulo 4

1. Foram aplicados R$ 2.800,00, durante quatro trimestres, a uma taxa de 10% ao trimestre, no regime de juro composto. Calcule o montante obtido.

2. Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao ms, e foram recebidos R$ 10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicao?

3. A que taxa de juro mensal um capital de R$ 20.000,00 pode ser dobrado em trs anos? Use quatro casas decimais.

4. Calcule o montante produzido pela aplicao de R$ 9.000,00 durante 105 dias, a uma taxa de juro de 1,4% ao ms, no regime de capitalizao composta, com conveno exponencial.

5. Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco oferecer uma rentabilidade de 1,8% ao ms, quanto dever aplicar hoje? Suponha capitalizao mensal.

6. Verifique em que prazo um emprstimo de R$ 50.000,00 pode ser qui-

tado em um nico pagamento de R$ 107.179,44, sabendo que a taxa contra-tada de 10% ao semestre.

7. Uma loja financia um bem de consumo durvel no valor de R$ 8.000,00,

sem entrada, para pagamento em uma nica prestao de R$ 8.813,29 no final de quatro meses. Qual a taxa de juro composto mensal cobrada? Use

quatro casas decimais.

8. Qual ser o valor do juro correspondente a um emprstimo de R$ 15.000,00 pelo prazo de um ano, a uma taxa de juro composto de 2,5% ao ms?

SntesePodemos considerar que a essncia da capitalizao composta est na definio que diz ser ela caracterizada pela reincidncia de juros sobre o

capital, ou seja, quando sobre um valor que j tem embutida uma parce-la de juro incide novamente a taxa de juro, est instituda a capitalizao composta. Nesse contexto, utilizamos vrios instrumentos de clculo da rea financeira, como: juro composto, equivalncia de taxas e perodo fra-cionrio (conveno linear, conveno exponencial). Assim, para facilitar a prtica de tal operacionalizao, alm dos vrios exerccios resolvidos, voc encontra neste captulo 30 exerccios no item "Questes para reviso" que auxiliam na fixao desses contedos.

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Capitalizao com

posta9. Um ttulo de renda fixa dever ser resgatado por R$ 27.450,00, daqui a

trs meses. Sabendo que o rendimento desse ttulo de 1,75% ao ms, de-termine o seu valor presente.

10. Marcella possui um ttulo a receber com vencimento para daqui a oito meses, de valor nominal igual a R$ 32.000,00. Kellyn prope a ela a troca por um ttulo vencvel para daqui a quatro meses e no valor de R$ 29.500,00. Sendo de 2,5% a.m. a taxa de juro composto do mercado, verifique se a troca

vanta josa para Marcella.

11. Determine a taxa mensal equivalente a uma taxa de juro composto de 18% ao semestre, de taxa efetiva. Utilize cinco casas aps a vrgula.

12. Determine a taxa trimestral equivalente a uma taxa de juro composto de 36% ao ano, de taxa efetiva. Utilize cinco casas aps a vrgula.

13. Calcule o montante resultante da aplicao de um capital de R$ 28.400,00 durante um ano e quatro meses, a uma taxa de juro composto de 8% ao tri-mestre, capitalizveis trimestralmente, acrescentando juro simples na parte fracionria.

14. Resolva o problema anterior pela conveno exponencial.

15. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa de juro composto de 25% ao ano, em dois anos.

16. Qual ser o valor do montante e do juro cobrado por um emprstimo de R$ 55.000,00 por cinco meses, pela taxa de juro composto de 3,25% ao ms?

17. Qual ser o montante acumulado em dois anos, a uma taxa de juro com-posto de 2,2% ao ms, a partir de um principal de R$ 1.000,00, com capitali-zao mensal?

18. O capital de R$ 4.300,00 foi aplicado durante 36 meses, taxa de juro de 9% ao semestre. Calcule o montante produzido pela aplicao, supondo capitalizao semestral.

19. A que taxa de juro composto devem ser emprestados R$ 35.000,00 para, em oito meses, obtermos um montante de R$ 42.000,00? Utilize cinco casas aps a vrgula.

20. Qual foi a taxa de juro semestral utilizada, segundo a qual a impor-tncia de R$ 10.000,00 foi remunerada produzindo um montante de R$ 15.200,00 no prazo de dois anos? Utilize cinco casas aps a vrgula.

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Captulo 4

21. O capital de R$ 1.800,00 foi aplicado durante seis meses e produziu o montante, a juro composto, de R$ 2.744,35. Calcule a taxa de juro mensal de aplicao do capital. Utilize cinco casas aps a vrgula.

22. Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro composto de 1,6 % ao ms, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94?

23. O capital de R$ 1.450,00 foi aplicado durante 15 dias, taxa de 4% ao ms. Calcule o juro composto produzido pela aplicao. Lembre-se de que um perodo fracionrio.

24. O capital de R$ 38.440,00 foi aplicado durante trs meses, taxa de 9% ao semestre. Calcule o montante, a juro composto, supondo a capitaliza-o mensal. Utilize para a taxa cinco casas aps a vrgula.

25. Um televisor vendido por R$ 300,00 de entrada e mais uma parcela nica de R$ 990,00 a ser paga trs meses aps a compra. Determine a taxa de juro composto mensal dessa operao financeira, sabendo que esse tele-visor custa R$ 1.100,00 vista. Utilize cinco casas aps a vrgula.

26. Qual ser o montante produzido pela aplicao do capital de R$ 13.000,00 a uma taxa de juro composto de 25% ao ano, capitalizado anualmente, ao fim de trs anos?

27. Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro com-posto de 15% ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos se-guintes e 17% ao ano nos ltimos 15 anos. Determine o montante obtido.

28. Em que prazo uma aplicao de R$ 15.800,00, em regime de ca pita li-zao composta mensal, a uma taxa de juro de 0,1% ao dia, produ ziu um montante de R$ 22.642,53? Utilize seis casas aps a vrgula.

29. O capital de R$ 5.000,00 foi aplicado durante dez meses e produziu o montante, a juro composto, de R$ 6.094,97. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicao.

30. O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu o montante a juro composto de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicao.

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Taxas

captu

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Captulo 5

J estudamos bastante e com preciso as taxas de juros. Precisamos, agora, diferenciar com clareza o que uma taxa nominal de uma taxa efetiva. Precisamos, ainda, diferenciar perfeitamente uma taxa real de uma taxa aparente.

5.1 Taxa nominal

Ao nos dirigirmos a um a

matematica_financeira_aplicada_-_ibpex_digital_280.pdf

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